6. حركة منحنية. الإزاحة الزاوية والسرعة الزاوية وتسارع الجسم. المسار والإزاحة أثناء الحركة المنحنية للجسم.

حركة منحنية- هذه حركة يكون مسارها خطًا منحنيًا (على سبيل المثال ، دائرة ، قطع ناقص ، قطع زائد ، قطع مكافئ). مثال على الحركة المنحنية هي حركة الكواكب ونهاية عقرب الساعة على القرص ، إلخ. على العموم سرعة منحنيةالتغييرات في الحجم والاتجاه.

حركة منحنية لنقطة ماديةتعتبر حركة موحدة إذا كانت الوحدة النمطية سرعة ثابت (على سبيل المثال ، حركة موحدة في دائرة) ، ومتسارع بشكل موحد إذا كانت الوحدة النمطية والاتجاه سرعة التغييرات (على سبيل المثال ، حركة الجسم التي يتم إلقاؤها بزاوية مع الأفق).

أرز. 1.19 ناقل المسار والإزاحة في حركة منحنية.

عند التحرك على طول مسار منحن ناقلات الإزاحة موجه على طول الوتر (الشكل 1.19) ، و ل- الطول المسارات . يتم توجيه السرعة اللحظية للجسم (أي سرعة الجسم عند نقطة معينة في المسار) بشكل عرضي في تلك النقطة في المسار حيث يقع الجسم المتحرك حاليًا (الشكل 1.20).

أرز. 1.20. السرعة اللحظية في حركة منحنية.

الحركة المنحنية هي دائمًا حركة متسارعة. هذا هو تسارع منحنيدائمًا ما يكون موجودًا ، حتى لو لم يتغير معامل السرعة ، ولكن يتغير اتجاه السرعة فقط. التغيير في السرعة لكل وحدة زمنية هو العجله عرضية :

أو

أين الخامس τ ، الخامس 0 هي السرعات في الوقت الحالي ر 0 + Δtو ر 0 على التوالى.

العجله عرضية عند نقطة معينة من المسار ، يتزامن الاتجاه مع اتجاه سرعة الجسم أو عكسه.

تسارع طبيعي هو التغير في السرعة في الاتجاه لكل وحدة زمنية:

تسارع طبيعيموجهة على طول نصف قطر انحناء المسار (نحو محور الدوران). التسارع الطبيعي عمودي على اتجاه السرعة.

تسارع الجاذبيةهو التسارع الطبيعي للحركة الدائرية المنتظمة.

تسارع كامل مع حركة منحنية متغيرة متساوية للجسميساوي:

يمكن تمثيل حركة الجسم على طول مسار منحني بشكل تقريبي كحركة على طول أقواس بعض الدوائر (الشكل 1.21).

أرز. 1.21. حركة الجسم أثناء الحركة المنحنية.

حركة منحنية

حركات منحنية- الحركات التي لا تكون مساراتها مستقيمة بل خطوط منحنية. تتحرك الكواكب ومياه الأنهار على طول مسارات منحنية.

الحركة المنحنية هي دائمًا حركة مع تسارع ، حتى لو كانت القيمة المطلقة للسرعة ثابتة. تحدث الحركة المنحنية مع تسارع ثابت دائمًا في المستوى الذي توجد فيه متجهات التسارع والسرعات الأولية للنقطة. في حالة الحركة المنحنية مع تسارع ثابت في المستوي xOyالتوقعات الخامس xو الخامس ذسرعته على المحور ثورو أويوالإحداثيات xو ذنقطة في أي وقت رتحددها الصيغ

حالة خاصة من الحركة المنحنية هي الحركة الدائرية. دائمًا ما تكون الحركة الدائرية ، حتى المنتظمة ، عبارة عن حركة متسارعة: يتم توجيه معامل السرعة دائمًا بشكل عرضي إلى المسار ، يتغير الاتجاه باستمرار ، لذلك تحدث الحركة الدائرية دائمًا مع تسارع الجاذبية حيث صهو نصف قطر الدائرة.

يتم توجيه متجه التسارع عند التحرك على طول دائرة باتجاه مركز الدائرة وعمودي على متجه السرعة.

في الحركة المنحنية ، يمكن تمثيل التسارع على أنه مجموع المكونات العادية والماسية:

التسارع الطبيعي (الجاذب) موجه نحو مركز انحناء المسار ويميز التغير في السرعة في الاتجاه:

الخامس-سرعة لحظية، صهو نصف قطر انحناء المسار عند نقطة معينة.

يتم توجيه التسارع المماسي بشكل عرضي إلى المسار ويميز التغيير في نمط السرعة.

التسارع الكلي الذي تتحرك به نقطة مادية يساوي:

بالإضافة إلى التسارع المركزي ، فإن أهم خصائص الحركة المنتظمة في الدائرة هي فترة وتواتر الدورة.

فترة التداولهو الوقت الذي يستغرقه الجسم لإكمال ثورة واحدة .

الفترة يشار إليها بالحرف تي(ج) وتحددها الصيغة:

أين ر- الفترة الزمنية ص- عدد الثورات التي تمت خلال هذا الوقت.

تردد الدورة الدموية- هذه قيمة مساوية عدديًا لعدد الدورات التي تم إجراؤها لكل وحدة زمنية.

يُشار إلى التردد بالحرف اليوناني (nu) ويتم العثور عليه بالصيغة:

يتم قياس التردد في 1 / ثانية.

الدورة والتردد هي كميات متبادلة معاكسة:

إذا كان الجسم يتحرك في دائرة بسرعة الخامس،يقوم بعمل ثورة واحدة ، ثم يمكن إيجاد المسار الذي يسلكه هذا الجسم بضرب السرعة الخامسلمرة واحدة:

ل = vT.من ناحية أخرى ، هذا المسار يساوي 2π محيط ص. لهذا

vT = 2π ص

أين ث(من 1) - السرعة الزاوية.

عند تردد دوران ثابت ، يتناسب تسارع الجاذبية بشكل مباشر مع المسافة من الجسيم المتحرك إلى مركز الدوران.

السرعة الزاوية (ث) هي قيمة مساوية لنسبة زاوية دوران نصف القطر الذي تقع عليه نقطة الدوران إلى الفاصل الزمني الذي حدث خلاله هذا الدوران:

.

العلاقة بين السرعات الخطية والزاوية:

يمكن اعتبار حركة الجسم معروفة فقط عندما تُعرف كيف تتحرك كل نقطة من نقاطه. أبسط حركة للأجسام الصلبة هي حركة انتقالية. متعديةتسمى حركة الجسم الصلب ، حيث يتحرك أي خط مستقيم مرسوم في هذا الجسم بالتوازي مع نفسه.

نعلم أنه في الحركة المستقيمة ، يتطابق اتجاه متجه السرعة دائمًا مع اتجاه الحركة. ماذا يمكن أن يقال عن اتجاه السرعة والإزاحة في حركة منحنية؟ للإجابة على هذا السؤال ، سنستخدم نفس التقنية التي تم استخدامها في الفصل السابق عند دراسة السرعة اللحظية للحركة المستقيمة.

يوضح الشكل 56 بعض المسار المنحني. افترض أن جسمًا يتحرك على طوله من النقطة أ إلى النقطة ب.

في هذه الحالة ، المسار الذي يقطعه الجسم هو قوس A B ، وإزاحته متجه ، وبالطبع لا يمكن افتراض أن سرعة الجسم أثناء الحركة موجهة على طول متجه الإزاحة. دعونا نرسم سلسلة من الأوتار بين النقطتين A و B (الشكل 57) ونتخيل أن حركة الجسم تحدث بدقة على طول هذه الأوتار. يتحرك الجسم في كل منهما في خط مستقيم ويتم توجيه متجه السرعة على طول الوتر.

الآن دعونا نجعل المقاطع المستقيمة (الأوتار) أقصر (الشكل 58). كما كان من قبل ، يتم توجيه متجه السرعة على كل منهم على طول الوتر. ولكن يمكن ملاحظة أن الخط المكسور في الشكل 58 يبدو بالفعل وكأنه منحنى سلس.

لذلك من الواضح أنه من خلال الاستمرار في تقليل طول المقاطع المستقيمة ، سنقوم ، كما هو الحال ، بتقليصها إلى نقاط وسيتحول الخط المكسور إلى منحنى سلس. ستكون السرعة عند كل نقطة من هذا المنحنى موجَّهة للمنحنى عند هذه النقطة ولكنها تظل مظلمة (الشكل 59).

يتم توجيه سرعة الجسم في أي نقطة من المسار المنحني بشكل عرضي إلى المسار عند هذه النقطة.

حقيقة أن سرعة نقطة أثناء الحركة المنحنية يتم توجيهها بالفعل على طول المماس مقتنعة ، على سبيل المثال ، من خلال مراقبة عمل gochnl (الشكل 60). إذا ضغطت على طرفي قضيب فولاذي على حجر طحن دوار ، فستظهر الجزيئات الساخنة الخارجة من الحجر على شكل شرارات. هذه الجسيمات تتحرك بنفس سرعة

كانوا يمتلكونها في لحظة الانفصال عن الحجر. من الواضح أن اتجاه الشرر يتزامن دائمًا مع ظل الدائرة عند النقطة التي يلمس فيها القضيب الحجر. يتحرك الرش من عجلات السيارة المنزلقة أيضًا بشكل عرضي إلى الدائرة (الشكل 61).

وبالتالي ، فإن السرعة اللحظية للجسم في نقاط مختلفة من المسار المنحني لها اتجاهات مختلفة ، كما هو موضح في الشكل 62. يمكن أن تكون وحدة السرعة هي نفسها في جميع نقاط المسار (انظر الشكل 62) أو تتغير من نقطة إلى نقطة ، من وقت إلى آخر (الشكل 63).

مع الحركة المستقيمة ، تعلمنا بشكل أو بآخر كيفية العمل في الدروس السابقة ، أي حل المشكلة الرئيسية للميكانيكا لهذا النوع من الحركة.

ومع ذلك ، من الواضح أننا في العالم الحقيقي نتعامل غالبًا مع الحركة المنحنية ، عندما يكون المسار عبارة عن خط منحني. ومن الأمثلة على هذه الحركة مسار جسم مُلقى بزاوية نحو الأفق ، وحركة الأرض حول الشمس ، وحتى مسار عينيك ، والتي تتبع الآن هذا المجرد.

سيخصص هذا الدرس لمسألة كيفية حل المشكلة الرئيسية للميكانيكا في حالة الحركة المنحنية.

بادئ ذي بدء ، دعنا نحدد الاختلافات الأساسية للحركة المنحنية (الشكل 1) بالنسبة للحركة المستقيمة ، وما الذي تؤدي إليه هذه الاختلافات.

أرز. 1. مسار الحركة المنحنية

دعنا نتحدث عن مدى ملاءمة وصف حركة الجسم أثناء الحركة المنحنية.

يمكنك تقسيم الحركة إلى أقسام منفصلة ، يمكن اعتبار كل منها مستقيمة (الشكل 2).

أرز. 2. تقسيم الحركة المنحنية إلى حركات متعدية

ومع ذلك ، فإن النهج التالي أكثر ملاءمة. سوف نمثل هذه الحركة كمجموعة من عدة حركات على طول أقواس الدوائر (انظر الشكل 3.). لاحظ أن هناك عددًا أقل من هذه الأقسام مقارنة بالحالة السابقة ، بالإضافة إلى أن الحركة على طول الدائرة تكون منحنية الخطوط. بالإضافة إلى ذلك ، فإن أمثلة الحركة في دائرة في الطبيعة شائعة جدًا. من هذا يمكننا أن نستنتج:

من أجل وصف الحركة المنحنية ، يجب أن يتعلم المرء أن يصف الحركة على طول الدائرة ، ثم يمثل الحركة التعسفية كمجموعة من الحركات على طول أقواس الدوائر.

أرز. 3. تقسيم الحركة المنحنية إلى حركات على طول أقواس الدوائر

لنبدأ دراسة الحركة المنحنية بدراسة الحركة المنتظمة في الدائرة. دعونا نرى ما هي الاختلافات الأساسية بين الحركة المنحنية والحركة المستقيمة. بادئ ذي بدء ، تذكر أننا في الصف التاسع درسنا حقيقة أن سرعة الجسم عند التحرك على طول دائرة يتم توجيهها عرضيًا إلى المسار. بالمناسبة ، يمكنك ملاحظة هذه الحقيقة عمليًا إذا نظرت إلى كيفية تحرك الشرر عند استخدام حجر الشحذ.

تأمل في حركة الجسم في دائرة (الشكل 4).

أرز. 4. سرعة الجسم عند التحرك في دائرة

يرجى ملاحظة أنه في هذه الحالة ، مقياس سرعة الجسم عند النقطة أ يساوي مقياس سرعة الجسم عند النقطة ب.

ومع ذلك ، فإن المتجه لا يساوي المتجه. إذن ، لدينا متجه فرق السرعة (انظر الشكل 5).

أرز. 5. فرق السرعة عند النقطتين A و B.

علاوة على ذلك ، حدث التغيير في السرعة بعد فترة. وهكذا ، نحصل على التركيبة المألوفة:

,

إنه ليس أكثر من تغيير في السرعة على مدى فترة من الزمن ، أو تسارع الجسم. يمكننا استخلاص نتيجة مهمة للغاية:

يتم تسريع الحركة على طول المسار المنحني. طبيعة هذا التسارع هو تغيير مستمر في اتجاه متجه السرعة.

مرة أخرى ، نلاحظ أنه حتى لو قيل إن الجسم يتحرك بشكل موحد في دائرة ، فهذا يعني أن معامل سرعة الجسم لا يتغير ، لكن هذه الحركة تتسارع دائمًا ، لأن اتجاه السرعة يتغير.

في الصف التاسع ، درست ماهية هذا التسارع وكيف يتم توجيهه (انظر الشكل 6). يتم توجيه تسارع الجاذبية دائمًا نحو مركز الدائرة التي يتحرك الجسم على طولها.

أرز. 6. تسارع الجاذبية

يمكن حساب وحدة التسارع المركزي بواسطة الصيغة

ننتقل إلى وصف الحركة المنتظمة للجسم في دائرة. دعنا نتفق على أن السرعة التي استخدمتها أثناء وصف الحركة الانتقالية ستسمى الآن السرعة الخطية. وبالسرعة الخطية سنفهم السرعة اللحظية عند نقطة مسار جسم دوار.

أرز. 7. حركة نقاط القرص

ضع في اعتبارك قرصًا ، للتأكيد ، يدور في اتجاه عقارب الساعة. في نصف قطرها ، نحدد النقطتين A و B. ونأخذ في الاعتبار حركتهما. بعد مرور بعض الوقت ، ستتحرك هذه النقاط على طول أقواس الدائرة وتصبح النقطتين "أ" و "ب". من الواضح أن النقطة A قد تحركت أكثر من النقطة B. ومن هذا يمكننا أن نستنتج أنه كلما كانت النقطة أبعد عن محور الدوران ، زادت السرعة الخطية التي تتحرك بها.

ومع ذلك ، إذا نظرت بعناية إلى النقطتين A و B ، فيمكننا القول إن الزاوية التي استداروا بها بالنسبة لمحور الدوران O ظلت دون تغيير ، وسنستخدم الخصائص الزاوية لوصف الحركة في دائرة. لاحظ أنه لوصف الحركة في دائرة ، يمكنك استخدام ركنمميزات. بادئ ذي بدء ، نتذكر مفهوم قياس الراديان للزوايا.

الزاوية 1 راديان هي زاوية مركزية طول قوسها يساوي نصف قطر الدائرة.

وبالتالي ، من السهل ملاحظة أن الزاوية عند تساوي الراديان ، على سبيل المثال. وبناءً عليه ، يمكنك تحويل أي زاوية معطاة بالدرجات إلى الراديان بضربها في والقسمة على. زاوية الدوران في الحركة الدورانية مماثلة لتلك الموجودة في الحركة الانتقالية. لاحظ أن الراديان عبارة عن كمية بلا أبعاد:

لذلك غالبًا ما يتم حذف التعيين "rad".

لنبدأ دراسة الحركة في دائرة بأبسط حالة - حركة موحدة في دائرة. تذكر أن الحركة الانتقالية المنتظمة هي حركة يقوم فيها الجسم بنفس الإزاحات لأي فترات زمنية متساوية. على نفس المنوال،

الحركة المنتظمة في الدائرة هي الحركة التي يدور فيها الجسم خلال أي فترات زمنية متساوية عبر الزوايا نفسها.

على غرار مفهوم السرعة الخطية ، تم تقديم مفهوم السرعة الزاوية.

السرعة الزاوية هي كمية مادية تساوي نسبة الزاوية التي تحول فيها الجسم إلى الوقت الذي حدث فيه هذا الانعطاف.

تُقاس السرعة الزاوية بالراديان في الثانية ، أو ببساطة بالثواني المقلوبة.

لنجد العلاقة بين السرعة الزاوية لنقطة والسرعة الخطية لهذه النقطة.

أرز. 9. العلاقة بين السرعة الزاوية والخطية

تدور النقطة A خلال قوس طوله S ، وتدور في نفس الوقت بزاوية φ. من تعريف قياس الراديان للزاوية ، يمكننا كتابة ذلك

قسّم الجزأين الأيمن والأيسر من المعادلة على الفترة الزمنية التي تم إجراء الحركة من أجلها ، ثم استخدم تعريف السرعات الزاوية والخطية

.

لاحظ أنه كلما كانت النقطة أبعد عن محور الدوران ، زادت سرعتها الزاوية والخطية. والنقاط الموجودة على محور الدوران ذاته ثابتة. مثال على ذلك هو دائري: كلما اقتربت من مركز الدائرة ، كان من الأسهل عليك البقاء عليها.

تذكر أننا قدمنا ​​سابقًا مفاهيم الفترة وتكرار الدوران.

فترة الدوران هي وقت دوران كامل واحد.يشار إلى فترة الدوران بحرف ويتم قياسها بالثواني في نظام SI:

تردد الدوران - عدد الدورات لكل وحدة زمنية.يشار إلى التردد بحرف ويتم قياسه بالثواني التبادلية:

هم مرتبطين من قبل:

هناك علاقة بين السرعة الزاوية وتكرار دوران الجسم. إذا تذكرنا أن هناك ثورة كاملة ، فمن السهل أن نرى أن السرعة الزاوية هي:

بالإضافة إلى ذلك ، إذا تذكرنا كيف حددنا مفهوم الراديان ، يصبح من الواضح كيفية ربط السرعة الخطية للجسم بالسرعة الزاوية:

.

دعونا أيضًا نكتب العلاقة بين تسارع الجاذبية وهذه الكميات:

.

وهكذا ، فإننا نعرف العلاقة بين جميع خصائص الحركة المنتظمة في الدائرة.

دعونا نلخص. في هذا الدرس ، بدأنا في وصف الحركة المنحنية. لقد فهمنا كيفية ربط الحركة المنحنية بالحركة الدائرية. تتسارع الحركة الدائرية دائمًا ، ويؤدي وجود التسارع إلى حقيقة أن السرعة تغير اتجاهها دائمًا. يسمى هذا التسارع بالجاذبية المركزية. أخيرًا ، استدعينا بعض خصائص الحركة في الدائرة (السرعة الخطية ، السرعة الزاوية ، الدورة وتواتر الدوران) ، ووجدنا العلاقة بينهما.

فهرس:

1. G. Ya. Myakishev، B. B. Bukhovtsev، N. N. Sotsky. الفيزياء 10. - م: التربية ، 2008.
2. أ.ب.ريمكيفيتش. الفيزياء. كتاب المشاكل 10-11. - م: بوستارد ، 2006.
3. يا. سافتشينكو. مشاكل في الفيزياء. - م: نوكا ، 1988.
4. في.بيوريشكين ، في.ف.كروكليس. دورة فيزياء. T. 1. - م: الدولة. uch.-ped. إد. دقيقة. تعليم روسيا الاتحادية الاشتراكية السوفياتية ، 1957.

1. موسوعة ().
2. Ayp.ru ().
3. ويكيبيديا ().

الواجب المنزلي:

من خلال حل مهام هذا الدرس ، ستتمكن من التحضير للأسئلة 1 من GIA والأسئلة A1 و A2 من اختبار الدولة الموحد.

1. مشاكل 92، 94، 98، 106، 110 sb. المشاكل A. P. Rymkevich ed. عشرة ()
2. احسب السرعة الزاوية لعقرب الدقائق والثواني والساعة على مدار الساعة. احسب عجلة الجاذبية المركزية المؤثرة على أطراف هذه الأسهم إذا كان نصف قطر كل منها مترًا واحدًا.
3. تأمل الأسئلة التالية وإجاباتها:

سؤال:هل توجد نقاط على سطح الأرض تكون فيها السرعة الزاوية المرتبطة بالدوران اليومي للأرض صفراً؟

إجابه:هنالك. هذه النقاط هي الأقطاب الجغرافية للأرض. السرعة عند هذه النقاط هي صفر ، لأنك ستكون عند هذه النقاط على محور الدوران.

مع الحركة المنحنية ، يتغير اتجاه متجه السرعة. في هذه الحالة ، يمكن أيضًا تغيير وحدتها ، أي الطول. في هذه الحالة ، يتحلل متجه التسارع إلى مكونين: مماس للمسار وعمودي على المسار (الشكل 10). المكون يسمى تماسي(عرضي) تسارع ، مكون - عادي(تسارع الجاذبية.

التسارع المنحني

يميز التسارع المماسي معدل تغير السرعة الخطية ، بينما يميز التسارع الطبيعي معدل التغير في اتجاه الحركة.

العجلة الكلية تساوي مجموع متجه للتسارعين المماسيين والعاديين:

(15)

معامل التسارع الكلي هو:

.

ضع في اعتبارك الحركة المنتظمة لنقطة على طول الدائرة. حيث و . دع النقطة في الموضع 1 في الوقت المحدد t (الشكل 11). بعد الوقت Δt ، ستكون النقطة في الموضع 2 ، بعد أن قطعت المسار Δs، يساوي القوس 1-2. في هذه الحالة ، تزداد سرعة النقطة v Δv، ونتيجة لذلك ، فإن متجه السرعة ، الذي يبقى دون تغيير في الحجم ، سوف يدور بزاوية Δφ ، التي تتزامن في المقدار مع الزاوية المركزية على أساس قوس الطول Δs:

(16)

حيث R هو نصف قطر الدائرة التي تتحرك عليها النقطة. لنجد زيادة متجه السرعة للقيام بذلك ، سنحرك المتجه بحيث تتزامن بدايته مع بداية المتجه. ثم يتم تمثيل المتجه بواسطة مقطع مرسوم من نهاية المتجه إلى نهاية المتجه . يعمل هذا الجزء كقاعدة لمثلث متساوي الساقين مع جوانب و والزاوية Δφ في الأعلى. إذا كانت الزاوية Δφ صغيرة (وهذا ينطبق على Δt صغير) ، فيمكننا كتابة أضلاع هذا المثلث تقريبًا:

.

بالتعويض هنا من (16) ، نحصل على تعبير لمعامل المتجه:

.

بقسمة كلا الجزأين من المعادلة على Δt وإجراء انتقال الحد ، نحصل على قيمة التسارع المركزي:

هنا الكميات الخامسو صثابتة ، بحيث يمكن إخراجها من علامة الحد. حد النسبة هو معامل السرعة وتسمى أيضًا السرعة الخطية.

نصف قطر انحناء

دائرة نصف قطرها R يسمى نصف قطر انحناءالمسارات. مقلوب R يسمى انحناء المسار:

.

حيث R هو نصف قطر الدائرة المعنية. إذا كانت α هي الزاوية المركزية المقابلة لقوس الدائرة s ، فإن العلاقة التالية ، كما هو معروف ، تثبت بين R و α و s:

ق = رع. (18)

لا ينطبق مفهوم نصف قطر الانحناء على الدائرة فحسب ، بل على أي خط منحني. يميز نصف قطر الانحناء (أو تقوسه المقلوب) درجة انحناء الخط. كلما كان نصف قطر الانحناء أصغر (على التوالي ، كلما زاد الانحناء) ، كلما زاد ثني الخط. دعونا نفكر في هذا المفهوم بمزيد من التفصيل.

دائرة الانحناء لخط مسطح عند نقطة ما A هي الموضع المحدد لدائرة تمر بالنقطة A ونقطتين أخريين B 1 و B 2 عندما تقترب بلا حدود من النقطة A (في الشكل 12 ، يرسم المنحنى بواسطة a خط متصل ، ودائرة الانحناء متقطعة). يعطي نصف قطر دائرة الانحناء نصف قطر انحناء المنحنى المعني عند النقطة A ، ومركز هذه الدائرة هو مركز انحناء المنحنى لنفس النقطة A.

ارسم المماس B 1 D و B 2 E عند النقطتين B 1 و B 2 E للدائرة المارة بالنقاط B 1 و A و B 2. القيم الطبيعية لهذه المماسات B 1 C و B 2 C ستكون نصف قطر الدائرة R وتتقاطع في مركزها C. دعونا نقدم الزاوية Δα بين القيمتين B1C و B 2 C ؛ من الواضح أنها تساوي الزاوية بين المماس B 1 D و B 2 E. لنحدد قسم المنحنى بين النقطتين B 1 و B 2 على أنه Δs. ثم حسب المعادلة (18):

.

دائرة الانحناء لخط منحني مسطح

تحديد انحناء منحنى مستو عند نقاط مختلفة

على التين. يوضح الشكل 13 دوائر انحناء لخط مسطح عند نقاط مختلفة. عند النقطة A 1 ، حيث يكون المنحنى مسطحًا ، يكون نصف قطر الانحناء أكبر منه عند النقطة A 2 ، على التوالي ، يكون انحناء الخط عند النقطة A 1 أقل من النقطة A 2. عند النقطة A 3 يكون المنحنى أكثر انبساطًا مما هو عليه عند النقطتين A 1 و A 2 ، لذلك سيكون نصف قطر الانحناء عند هذه النقطة أكبر ويكون الانحناء أصغر. بالإضافة إلى ذلك ، تقع دائرة الانحناء عند النقطة أ 3 على الجانب الآخر من المنحنى. لذلك ، يتم تعيين حجم الانحناء عند هذه النقطة بإشارة معاكسة لعلامة الانحناء عند النقطتين A 1 و A 2: إذا اعتبر الانحناء عند النقطتين A 1 و A 2 موجبًا ، فسيكون الانحناء عند النقطة A 3 نفي.

نعلم أن أي حركة منحنية الخطوط تحدث تحت تأثير قوة موجهة بزاوية مع السرعة. في حالة الحركة المنتظمة في الدائرة ، تكون هذه الزاوية صحيحة. في الواقع ، إذا قمنا ، على سبيل المثال ، بتدوير كرة مربوطة بحبل ، فإن اتجاه سرعة الكرة في أي لحظة من الوقت يكون عموديًا على الحبل.

يتم توجيه قوة شد الحبل ، التي تحمل الكرة على الدائرة ، على طول الحبل باتجاه مركز الدوران.

وفقًا لقانون نيوتن الثاني ، ستؤدي هذه القوة إلى تسارع الجسم في نفس الاتجاه. يسمى التسارع الموجه على طول نصف القطر باتجاه مركز الدوران تسارع الجاذبية .

دعونا نشتق معادلة لتحديد قيمة تسارع الجاذبية.

بادئ ذي بدء ، نلاحظ أن الحركة في الدائرة هي حركة معقدة. تحت تأثير قوة الجاذبية المركزية ، يتحرك الجسم باتجاه مركز الدوران وفي نفس الوقت يتحرك بالقصور الذاتي بعيدًا عن هذا المركز على طول مماس الدائرة.

دع الجسم يتحرك بشكل موحد مع السرعة v ، يتحرك من D إلى E في الوقت t. افترض أنه في اللحظة التي يكون فيها الجسم عند النقطة D ، ستتوقف قوة الجاذبية عن التأثير عليه. ثم ، في الوقت t ، سينتقل إلى النقطة K ملقاة على المماس DL. إذا كان الجسم في اللحظة الأولى سيكون تحت تأثير قوة جذب مركزية واحدة فقط (لم يتحرك بالقصور الذاتي) ، فإنه سيتحرك متسارعًا بشكل موحد في الوقت t إلى النقطة F الواقعة على الخط المستقيم DC. نتيجة لإضافة هاتين الحركتين في الوقت t ، يتم الحصول على الحركة الناتجة على طول القوس DE.

قوة الجاذبية

تسمى القوة التي تحمل جسمًا دوارًا على دائرة وموجهة نحو مركز الدوران قوة الجاذبية .

للحصول على صيغة لحساب مقدار قوة الجاذبية المركزية ، يجب على المرء استخدام قانون نيوتن الثاني ، والذي ينطبق على أي حركة منحنية.

بالتعويض في الصيغة F \ u003d ma قيمة التسارع المركزي a \ u003d v 2 / R ، نحصل على صيغة القوة الجاذبة:

F = mv 2 / R.

مقدار قوة الجاذبية المركزية يساوي حاصل ضرب كتلة الجسم ومربع السرعة الخطية مقسومًا على نصف القطر.

إذا أعطيت السرعة الزاوية للجسم ، فمن الأنسب حساب قوة الجاذبية بالصيغة: F = m؟ 2R أين؟ 2 R - تسارع الجاذبية.

من الصيغة الأولى يمكن ملاحظة أنه بنفس السرعة ، كلما كان نصف قطر الدائرة أصغر ، زادت قوة الجاذبية المركزية. لذلك ، عند منعطفات الطريق على جسم متحرك (قطار ، سيارة ، دراجة) ، كلما كان تأثير القوة أكبر تجاه مركز الانحناء ، كلما كان الانحدار أكثر حدة ، أي كلما كان نصف قطر الانحناء أصغر.

تعتمد قوة الجاذبية على السرعة الخطية: مع زيادة السرعة تزداد. إنه معروف جيدًا لجميع المتزلجين والمتزلجين وراكبي الدراجات: كلما تحركت بشكل أسرع ، كلما كان من الصعب القيام بالانعطاف. يعرف السائقون جيدًا مدى خطورة قلب السيارة بحدة بسرعة عالية.

سرعة الخط

آليات الطرد المركزي

حركة جسم مُلقى بزاوية مع الأفق

دعونا نلقي بعض الجسم بزاوية في الأفق. بعد حركته ، نلاحظ أن الجسم يرتفع أولاً ، ويتحرك على طول منحنى ، ثم يسقط أيضًا على طول المنحنى.

إذا وجهت نفاثة من الماء بزوايا مختلفة إلى الأفق ، يمكنك أن ترى أنه في البداية ، مع زيادة الزاوية ، تضرب الطائرة مسافة أبعد وأبعد. بزاوية 45 درجة مع الأفق (إذا لم تأخذ في الاعتبار مقاومة الهواء) ، يكون النطاق أكبر. كلما زادت الزاوية أكثر ، قل النطاق.

لبناء مسار جسم مُلقى بزاوية مع الأفق ، نرسم خطًا أفقيًا OA ونظام تشغيل خطيًا بزاوية معينة.

على خط نظام التشغيل على المقياس المحدد ، نرسم المقاطع المساوية عدديًا للمسارات التي تسير في اتجاه الرمي (0-1 ، 1-2 ، 2-3 ، 3-4). من النقاط 1 ، 2 ، 3 ، وما إلى ذلك ، نخفض الخطوط العمودية إلى OA ونضع جانبًا المقاطع المساوية عدديًا للمسارات التي يجتازها جسم يتساقط بحرية لمدة 1 ثانية (1 - I) ، 2 ثانية (2 –2) ، 3 sec (3 – III) ، إلخ. نقوم بتوصيل النقاط 0 ، I ، II ، III ، IV ، إلخ. بمنحنى سلس.

مسار الجسم متماثل بالنسبة للخط العمودي المار بالنقطة IV.

تقلل مقاومة الهواء كلاً من مدى الطيران وأعلى ارتفاع للطيران ، ويصبح المسار غير متماثل. هذه ، على سبيل المثال ، هي مسارات المقذوفات والرصاص. في الشكل ، يوضح المنحنى الصلب بشكل تخطيطي مسار القذيفة في الهواء ، ويظهر المنحنى المنقط في مساحة خالية من الهواء. يمكن رؤية مقدار مقاومة الهواء التي تغير نطاق الرحلة من المثال التالي. في حالة عدم وجود مقاومة للهواء ، فإن قذيفة مدفع 76 ملم تُطلق بزاوية 20 درجة في الأفق تطير 24 كم. في الهواء ، تطير هذه المقذوفة حوالي 7 كم.

قانون نيوتن الثالث

حركة جسم مُلقى أفقياً

استقلالية الحركات

أي حركة منحنية الخطوط هي حركة معقدة ، تتكون من حركة بالقصور الذاتي وحركة تحت تأثير قوة موجهة بزاوية مع سرعة الجسم. يمكن أن يظهر هذا في المثال التالي.

افترض أن الكرة تتحرك بشكل موحد وفي خط مستقيم على الطاولة. عندما تتدحرج الكرة عن الطاولة ، لا يعود وزنها متوازنًا بقوة ضغط الطاولة ، وبسبب القصور الذاتي ، مع الحفاظ على حركة منتظمة ومستقيمة ، تبدأ في نفس الوقت في السقوط. نتيجة لإضافة الحركات - المنتظمة المستقيمة بالقصور الذاتي والمتسرعة بشكل موحد تحت تأثير الجاذبية - تتحرك الكرة على طول خط منحني.

يمكن إثبات تجريبياً أن هذه الحركات مستقلة عن بعضها البعض.

يوضح الشكل زنبركًا ، والذي ، ينحني تحت ضربة بمطرقة ، يمكنه ضبط إحدى الكرات في الحركة في اتجاه أفقي وفي نفس الوقت إطلاق الكرة الأخرى ، بحيث يبدأ كلاهما في التحرك في نفس اللحظة : الأول على طول منحنى ، والثاني على طول الطريق الرأسي لأسفل. ستضرب كلتا الكرتين الأرض في نفس الوقت ؛ لذلك ، وقت سقوط كلتا الكرتين هو نفسه. من هذا يمكننا أن نستنتج أن حركة الكرة تحت تأثير الجاذبية لا تعتمد على ما إذا كانت الكرة في حالة سكون في اللحظة الأولى أو تحركت في اتجاه أفقي.

توضح هذه التجربة مبدأً مهمًا جدًا في الميكانيكا يسمى مبدأ استقلالية الحركة.

الحركة الدائرية المنتظمة

واحدة من أبسط أنواع الحركة المنحنية وأكثرها شيوعًا هي الحركة المنتظمة لجسم في دائرة. في دائرة ، على سبيل المثال ، تتحرك أجزاء من الحذافات ، ونقاط على سطح الأرض أثناء الدوران اليومي للأرض ، إلخ.

دعونا نقدم الكميات التي تميز هذه الحركة. دعنا ننتقل إلى الرسم. دعنا ، أثناء دوران الجسم ، تتحرك إحدى نقاطه من A إلى B في الزمن t. هل يدور نصف القطر الذي يربط A مع مركز الدائرة بزاوية في نفس الوقت؟ (اليونانية "fi"). يمكن أن تتميز سرعة دوران النقطة بقيمة نسبة الزاوية؟ بحلول الوقت t ، أي؟ / ر.

السرعة الزاوية

تسمى نسبة زاوية دوران نصف القطر الذي يربط نقطة الحركة بمركز الدوران إلى الفاصل الزمني الذي يحدث خلاله هذا الدوران السرعة الزاوية.

دلالة السرعة الزاوية بحرف يوناني؟ ("أوميغا") ، يمكنك كتابة:

؟ =؟ / ر

السرعة الزاوية تساوي عدديًا زاوية الدوران لكل وحدة زمنية.

مع الحركة المنتظمة في دائرة ، تكون السرعة الزاوية قيمة ثابتة.

عند حساب السرعة الزاوية ، تُقاس زاوية الدوران عادةً بوحدات الراديان. الراديان هو زاوية مركزية طول قوسها يساوي نصف قطر ذلك القوس.

حركة الأجسام تحت تأثير قوة موجهة بزاوية مع السرعة

عند التفكير في الحركة المستقيمة ، أصبح معروفًا أنه إذا كانت هناك قوة تؤثر على الجسم في اتجاه الحركة ، فإن حركة الجسم ستظل مستقيمة. فقط السرعة ستتغير. علاوة على ذلك ، إذا تزامن اتجاه القوة مع اتجاه السرعة ، فستكون الحركة مستقيمة ومتسارعة. في حالة الاتجاه المعاكس للقوة ، ستكون الحركة مستقيمة وبطيئة. مثل ، على سبيل المثال ، حركة الجسم التي يتم إلقاؤها عموديًا لأسفل وحركة الجسم التي يتم إلقاؤها عموديًا لأعلى.

دعونا نفكر الآن في كيفية تحرك الجسم تحت تأثير قوة موجهة بزاوية في اتجاه السرعة.

لنلقِ نظرة على التجربة أولاً. لنقم بإنشاء مسار للكرة الفولاذية حول المغناطيس. نلاحظ على الفور أنه بعيدًا عن المغناطيس ، تحركت الكرة في خط مستقيم ، أثناء اقترابها من المغناطيس ، كان مسار الكرة منحنيًا وتحركت الكرة على طول منحنى. كان اتجاه سرعتها يتغير باستمرار. والسبب في ذلك هو تأثير المغناطيس على الكرة.

يمكننا أن نجعل جسمًا يتحرك في خط مستقيم يتحرك على طول منحنى إذا دفعناه ، وسحبنا الخيط المرتبط به ، وما إلى ذلك ، طالما أن القوة موجهة بزاوية مع سرعة الجسم.

لذلك ، فإن الحركة المنحنية للجسم تحدث تحت تأثير قوة موجهة بزاوية في اتجاه سرعة الجسم.

اعتمادًا على اتجاه وحجم القوة المؤثرة على الجسم ، يمكن أن تكون الحركات المنحنية شديدة التنوع. أبسط أنواع الحركات المنحنية هي الحركات الدائرية والقطع المكافئ والقطع الناقص.

أمثلة على عمل قوة الجاذبية

في بعض الحالات ، تكون قوة الجاذبية المركزية ناتجة عن قوتين تؤثران على جسم يتحرك في دائرة.

دعونا نلقي نظرة على بعض هذه الأمثلة.

1. سيارة تتحرك على جسر مقعر بسرعة v ، وكتلة السيارة m ، ونصف قطر انحناء الجسر هو R. ما هي قوة الضغط التي تنتجها السيارة على الجسر عند أدنى نقطة له؟

دعونا أولاً نحدد ما هي القوى التي تؤثر على السيارة. هناك نوعان من هذه القوى: وزن السيارة وقوة ضغط الجسر على السيارة. (نستبعد قوة الاحتكاك في هذا وفي جميع الفائزين بالجوائز اللاحقة من الاعتبار).

عندما تكون السيارة ثابتة ، فإن هذه القوى ، متساوية في الحجم وموجهة في اتجاهين متعاكسين ، تتوازن مع بعضها البعض.

عندما تتحرك السيارة على طول الجسر ، فإنها ، مثل أي جسم يتحرك في دائرة ، تتأثر بقوة الجاذبية. ما هو مصدر هذه القوة؟ يمكن أن يكون مصدر هذه القوة هو تأثير الجسر على السيارة فقط. القوة Q ، التي يضغط بها الجسر على السيارة المتحركة ، لا يجب أن توازن وزن السيارة P فحسب ، بل يجب أن تجبرها أيضًا على التحرك في دائرة ، مما يخلق قوة الجاذبية المركزية F اللازمة لذلك. يمكن أن تكون القوة F فقط ناتج القوتين P و Q ، لأنه نتيجة تفاعل سيارة متحركة وجسر.