طرق ومراحل البحث الرياضي في الاقتصاد. الطرق الرياضية في البحث

المقدمة بحوث عمليات الانضباط وماذا تفعل

يعود تشكيل بحوث العمليات كفرع مستقل للرياضيات التطبيقية إلى فترة الأربعينيات والخمسينيات. تميز العقد ونصف العقد التالي بالتطبيق الواسع للنتائج النظرية الأساسية التي تم الحصول عليها على مختلف المشاكل العملية وإعادة التفكير في الاحتمالات المحتملة للنظرية المرتبطة بهذا. ونتيجة لذلك ، اكتسبت أبحاث العمليات سمات نظام علمي كلاسيكي ، والذي بدونه لا يمكن التفكير في التعليم الاقتصادي الأساسي.

بالانتقال إلى المهام والمشكلات التي هي موضوع أبحاث العمليات ، لا يسع المرء إلا أن يتذكر المساهمة التي قدمها في حلها ممثلو المدرسة العلمية الوطنية ، ومن بينهم L. الاستخدام الأمثل للموارد في الاقتصاد.

ترتبط بداية تطوير بحوث العمليات كعلم تقليديًا بأربعينيات القرن العشرين. من بين الدراسات الأولى في هذا الاتجاه ، يمكن تسمية أعمال L. V. Kantorovich "الطرق الرياضية لتنظيم وتخطيط الإنتاج" ، التي نُشرت في عام 1939 ، بالمهام.

وتجدر الإشارة إلى أنه لا يوجد تعريف صارم وراسخ ومقبول بشكل عام لموضوع بحوث العمليات. في كثير من الأحيان ، عند الإجابة على هذا السؤال ، يقال إن " بحوث العمليات هي مجموعة من الأساليب العلمية لحل مشاكل الإدارة الفعالة للأنظمة التنظيمية.

التعريف الثاني: بحوث العمليات - هذا هو الإعداد العلمي للقرار الذي يتم اتخاذه - هذه مجموعة من الأساليب المقترحة للتحضير وإيجاد الحلول الأكثر فعالية أو الأكثر اقتصادا.

يمكن أن تكون طبيعة الأنظمة التي تظهر في التعريف أعلاه تحت اسم "التنظيمية" مختلفة تمامًا ، ولا تُستخدم نماذجها الرياضية العامة في حل المشكلات الصناعية والاقتصادية فحسب ، بل أيضًا في علم الأحياء والبحوث الاجتماعية والمجالات العملية الأخرى. بالمناسبة ، يرتبط اسم الانضباط باستخدام الأساليب الرياضية لإدارة العمليات العسكرية.

على الرغم من تنوع مهام الإدارة التنظيمية ، عند حلها ، يمكن للمرء تحديد تسلسل عام معين من المراحل التي يمر من خلالها أي بحث تشغيلي. كقاعدة عامة ، هذا هو:

1. بيان المشكلة.

2. بناء نموذج ذي مغزى (لفظي) للكائن المدروس (العملية). في هذه المرحلة ، يتم إضفاء الطابع الرسمي على هدف إدارة الكائن ، واختيار إجراءات التحكم المحتملة التي تؤثر على تحقيق الهدف المصاغ ، وكذلك وصف نظام القيود المفروضة على إجراءات التحكم.

3. بناء نموذج رياضي ، أي ترجمة النموذج اللفظي المركب إلى الشكل الذي يمكن من خلاله استخدام الجهاز الرياضي لدراسته.

4. حل المشكلات المصاغة على أساس النموذج الرياضي المركب.

5. التحقق من النتائج التي تم الحصول عليها لملاءمتها لطبيعة النظام قيد الدراسة ، بما في ذلك دراسة تأثير ما يسمى بالعوامل الخارجة عن النموذج ، والتصحيح المحتمل للنموذج الأصلي.

6. تنفيذ الحل الذي تم الحصول عليه في الممارسة.

تركز هذه الدورة على الأسئلة المتعلقة بالنقطة الرابعة من الرسم البياني أعلاه. لا يتم ذلك لأنه الأكثر أهمية أو تعقيدًا أو إثارة للاهتمام ، ولكن لأن النقاط المتبقية تعتمد بشكل كبير على الطبيعة المحددة للنظام قيد الدراسة ، ولهذا السبب لا يمكن صياغة توصيات شاملة وذات مغزى للإجراءات التي ينبغي تنفيذها ضمن إطار عملهم.

في أكثر مجالات النشاط البشري تنوعًا ، تتم مواجهة مهام متشابهة: تنظيم الإنتاج ، وتشغيل النقل ، والعمليات العسكرية ، وتنسيب الموظفين ، والاتصالات الهاتفية ، إلخ. المشاكل الناشئة في هذه المجالات متشابهة في الصياغة ، ولها عدد من السمات المشتركة ويتم حلها بطرق مماثلة.

مثال :

يتم تنظيم بعض الأحداث الهادفة (نظام الإجراءات) ، والتي يمكن تنظيمها بطريقة أو بأخرى. من الضروري اختيار حل معين من عدد من الخيارات الممكنة. كل خيار له مزايا وعيوب - ليس من الواضح على الفور الخيار الأفضل. من أجل توضيح الموقف ومقارنة الخيارات المختلفة لعدد من الميزات ، يتم تنظيم سلسلة من الحسابات الرياضية. تظهر نتائج الحسابات الخيار الذي سيتوقف.

النمذجة الرياضيةفي العمليات البحثية ، من ناحية ، عملية مهمة للغاية ومعقدة ، ومن ناحية أخرى ، عملية غير قابلة عمليًا لإضفاء الطابع الرسمي عليها. وتجدر الإشارة إلى أن المحاولات المتكررة لتحديد المبادئ العامة لإنشاء نماذج رياضية أدت إما إلى إعلان توصيات ذات طابع عام يصعب تطبيقها لحل مشاكل معينة ، أو على العكس من ذلك ، إلى ظهور وصفات في الواقع قابلة للتطبيق فقط على نطاق ضيق من المشاكل. لذلك ، من المفيد التعرف على أسلوب النمذجة الرياضية باستخدام أمثلة محددة.

1) خطة توريد المؤسسة.

هناك عدد من المؤسسات التي تستخدم أنواعًا مختلفة من المواد الخام ؛ هناك عدد من قواعد الموارد. ترتبط القواعد بالمؤسسات بوسائل اتصال مختلفة (السكك الحديدية والسيارات والمياه والنقل الجوي). كل نقل له تعريفاته الخاصة. مطلوب تطوير مثل هذه الخطة لتزويد المؤسسات بالمواد الخام بحيث يتم تلبية احتياجات المواد الخام بأقل تكاليف نقل.

2) إنشاء قسم من الطريق السريع.

قسم من خط السكة الحديد قيد الإنشاء. لدينا قدر معين من الموارد تحت تصرفنا: الأشخاص ، المعدات ، إلخ. مطلوب تحديد أولويات العمل وتوزيع الأشخاص والمعدات على طول أقسام المسار بطريقة تكمل البناء في أقصر وقت ممكن.

يتم إنتاج نوع معين من المنتجات. لضمان الجودة العالية للمنتجات ، يلزم تنظيم نظام التحكم في أخذ العينات: تحديد حجم دفعة التحكم ، ومجموعة الاختبارات ، وقواعد الرفض ، وما إلى ذلك. مطلوب لتوفير مستوى معين من جودة المنتج مع الحد الأدنى من تكاليف التحكم.

4) العمليات العسكرية.

الهدف في هذه الحالة هو تدمير كائن العدو.

غالبا ما يتم مواجهة مثل هذه المشاكل في الممارسة. لديهم سمات مشتركة. كل مهمة لها هدف - هذه الأهداف متشابهة ؛ يتم تعيين شروط معينة - في إطار هذه الشروط ، يجب اتخاذ قرار بحيث يكون هذا الحدث هو الأكثر ربحية. وفقًا لهذه الميزات العامة ، يتم أيضًا تطبيق الأساليب العامة.

1. مفاهيم عامة

1.1 الغرض والمفاهيم الأساسية في بحوث العمليات

عملية -هذا هو أي نظام إجراءات (حدث) ، توحده خطة واحدة وموجه نحو تحقيق هدف ما. هذا حدث مُدار ، أي أنه يعتمد علينا في كيفية اختيار بعض المعلمات التي تميز مؤسسته.

يسمى كل اختيار محدد للمعلمات المعتمدة علينا قرار.

الغرض من عمليات البحثهو تبرير كمي أولي للحلول المثلى.

يتم استدعاء تلك المعلمات ، التي تشكل مجملها حلاً عناصر الحل.يمكن استخدام العديد من الأرقام والمتجهات والوظائف والسمات المادية وما إلى ذلك كعناصر للحل.

مثال : نقل البضائع المتجانسة.

هناك نقاط انطلاق: لكن 1 , لكن 2 , لكن 3 ,…, لكن م .

هناك وجهات: في 1 , في 2 , في 3 ,…, في ن .

ستكون عناصر الحل هنا أرقامًا x اي جاي , يوضح عدد البضائع التي سيتم إرسالها من نقطة المغادرة رقم i إلى يالوجهة رقم.

مجموع هذه الأرقام: x 11 , x 12 , x 13 ,…, x 1 م ,…, x ن 1 , x ن 2 ,…, x نانومتر يشكل حلا.

من أجل مقارنة الخيارات المختلفة مع بعضها البعض ، من الضروري أن يكون لديك نوع من المعيار الكمي - مؤشر للكفاءة ( دبليو). هذا المؤشر يسمى الهدف وظيفة.

يتم اختيار هذا المؤشر بحيث يعكس الاتجاه المستهدف للعملية. عند اختيار الحل ، نسعى جاهدين لجعل هذا المؤشر يميل إلى الحد الأقصى أو الحد الأدنى. إذا كان W هو الدخل ، ثم W max ؛ وإذا كان W هو معدل التدفق ، فعندئذٍ W min.

إذا كان الاختيار يعتمد على عوامل عشوائية (الطقس ، تعطل المعدات ، تقلبات العرض والطلب) ، يتم اختيار متوسط ​​القيمة كمؤشر للأداء - التوقع الرياضي -.

كمؤشر على الكفاءة ، يتم اختيار احتمالية تحقيق الهدف في بعض الأحيان. هنا ، يكون الغرض من العملية مصحوبًا بعوامل عشوائية ويعمل وفقًا لمخطط YES-NO.

لتوضيح مبادئ اختيار مؤشر الأداء ، دعنا نعود إلى الأمثلة التي تم النظر فيها سابقًا:

1) خطة توريد المؤسسة.

مؤشر الأداء مرئي في الهدف. ص- الرقم - تكلفة النقل. في هذه الحالة ، يجب استيفاء جميع القيود.

2) إنشاء قسم من الطريق السريع.

تلعب العوامل العشوائية دورًا مهمًا في المشكلة. يتم اختيار متوسط ​​الوقت المتوقع لإنجاز البناء كمؤشر للأداء.

3) التحكم الانتقائي في الإنتاج.

مؤشر الأداء الطبيعي الذي يقترحه بيان المشكلة هو متوسط ​​تكلفة التحكم المتوقعة لكل وحدة زمنية ، بافتراض أن النظام يتحكم في تحقيق مستوى معين من الجودة.

برفقة جسدية أو رياضيالنمذجة. النمذجة المادية ... التخطيطات والشاقة دراسة. رياضياتيتم تنفيذ المحاكاة باستخدام ... للمحاكاة ، من الضروري القيام بما يلي عمليات: 1. دخول القائمة ...

يذاكرتكامل وتمييز مكبرات الصوت على أساس op-amp

العمل المخبري >> الاتصالات والاتصالات

العمل تجريبي دراسةالخصائص والخصائص ... هذه واحدة من أهم رياضي عملياتوتنفيذها الكهربائي ... dB Oscillograms of output voltages at ابحاثفي الوضع النبضي: دمج مكبر للصوت ...

رياضياتأساليب في التحليل الاقتصادي

اختبار >> النمذجة الاقتصادية والرياضية

بعض الطرق رياضيالبرمجة والطرق ابحاث عمليات، لتقريب التحسين - جزء من الأساليب رياضيبرمجة، ابحاث عمليات، اقتصادي...

رياضياتالألعاب كوسيلة لتنمية التفكير المنطقي

أطروحة >> علم أصول التدريس

تنمية التفكير المنطقي. موضوعات ابحاث: رياضيالألعاب التي ... باستخدام الإجراءات المنطقية عمليات. تشكل الأفعال العقلية ... المكونات العملية للعمل. معقد عملياتيتشابك التفكير المجرد مع ...

محتوى المقال

التحليل الرياضي،فرع من فروع الرياضيات يوفر طرقًا للدراسة الكمية لعمليات التغيير المختلفة ؛ يتعامل مع دراسة معدل التغير (حساب التفاضل) وتحديد أطوال المنحنيات ، ومساحات وأحجام الأشكال المقيدة بخطوط منحنية وأسطح (حساب التفاضل والتكامل). من المعتاد بالنسبة لمشاكل التحليل الرياضي أن يرتبط حلها بمفهوم الحد.

تم وضع بداية التحليل الرياضي في عام 1665 من قبل نيوتن و (حوالي 1675) بشكل مستقل بواسطة G. فيرمات (1601-1665) ، جيه واليس (1616-1703) وإي بارو (1630-1677).

لجعل العرض أكثر حيوية ، سنلجأ إلى لغة الرسوم البيانية. لذلك ، قد يكون من المفيد للقارئ أن ينظر في مقالة الهندسة التحليلية قبل قراءة هذه المقالة.

حساب التفاضل

الظلال.

على التين. يوضح الشكل 1 جزءًا من المنحنى ذ = 2x – x 2 بين x= –1 و x= 3. تبدو الأجزاء الصغيرة بشكل كافٍ من هذا المنحنى مستقيمة. بمعنى آخر ، إذا صهي نقطة اعتباطية لهذا المنحنى ، ثم هناك بعض الخط المستقيم الذي يمر عبر هذه النقطة ويكون تقريبًا للمنحنى في منطقة صغيرة من النقطة ص، وكلما كان الحي أصغر ، كان التقريب أفضل. يسمى هذا الخط المماس للمنحنى عند النقطة ص. تتمثل المهمة الرئيسية لحساب التفاضل في بناء طريقة عامة تسمح لك بإيجاد اتجاه المماس في أي نقطة على المنحنى حيث يوجد المماس. من السهل تخيل منحنى به كسر حاد (الشكل 2). اذا كان صهي قمة هذا الفاصل ، فمن الممكن بناء خط مستقيم تقريبي PT 1 - على يمين النقطة صوخط تقريبي آخر RT 2 - على يسار النقطة ص. لكن لا يوجد خط واحد يمر عبر هذه النقطة ص، والتي اقتربت من المنحنى بنفس القدر بالقرب من النقطة صعلى كل من اليمين واليسار ، ومن هنا المماس عند النقطة صغير موجود.

على التين. 1 ظل منمن خلال الأصل ا= (0،0). ميل هذا الخط المستقيم هو 2 ، أي عندما يتغير الإحداثي بمقدار 1 ، يزيد الإحداثي بمقدار 2. إذا xو ذهي إحداثيات نقطة تعسفية على من، ثم الابتعاد عن اعلى مسافة Xوحدات على اليمين ، نبتعد عنها اعلى 2 ذوحدات تصل. بالتالي، ذ/x= 2 أو ذ = 2x. هذه هي معادلة الظل منإلى المنحنى ذ = 2x – x 2 عند النقطة ا.

من الضروري الآن شرح السبب ، من مجموعة الخطوط التي تمر عبر النقطة ايتم اختيار الخط المستقيم من. ما الفرق بين الخط المستقيم الذي ميله 2 والخطوط المستقيمة الأخرى؟ هناك إجابة واحدة بسيطة ، ويصعب علينا مقاومة إغراء إعطائها باستخدام تشبيه مماس الدائرة: الظل منله نقطة مشتركة واحدة فقط مع المنحنى ، بينما يمر أي خط غير عمودي آخر عبر النقطة ا، يتجاوز المنحنى مرتين. يمكن التحقق من هذا على النحو التالي.

منذ التعبير ذ = 2x – x 2 يمكن الحصول عليها بالطرح X 2 من ذ = 2x(معادلات الخط المباشر من) ثم القيم ذبالنسبة للرسومات هناك معرفة أقل ذلخط مستقيم في جميع النقاط ، باستثناء النقطة x= 0. لذلك ، فإن الرسم البياني موجود في كل مكان باستثناء النقطة ا، الموجود أدناه من، وهذا الخط والرسم البياني لهما نقطة مشتركة واحدة فقط. بالإضافة إلى ذلك ، إذا ذ = مكس- معادلة خط مستقيم آخر يمر بالنقطة ا، فلا بد من وجود نقطتي تقاطع. حقًا، مكس = 2x – x 2 ليس فقط ل x= 0 ، ولكن أيضًا لـ x = 2 – م. وفقط عندما م= 2 كلا نقطتي التقاطع تتطابقان. على التين. 3 يظهر الحال عندما مأقل من 2 ، لذلك على يمين اهناك نقطة تقاطع ثانية.

ماذا او ما منهو الخط الوحيد غير الرأسي الذي يمر عبر النقطة اووجود نقطة مشتركة واحدة فقط مع الرسم البياني ، وهي ليست أهم خصائصه. في الواقع ، إذا لجأنا إلى الرسوم البيانية الأخرى ، فسوف يتضح قريبًا أن خاصية الظل التي لاحظناها غير راضية بشكل عام. على سبيل المثال ، من التين. 4 يمكن ملاحظة أنه بالقرب من النقطة (1،1) رسم المنحنى ذ = x 3 تقترب جيدًا بخط مستقيم RT، والتي ، مع ذلك ، لديها أكثر من نقطة مشتركة واحدة معها. ومع ذلك ، نود النظر RTمماس هذا الرسم البياني عند النقطة ص. لذلك ، من الضروري إيجاد طريقة أخرى لإبراز الظل غير تلك التي خدمتنا جيدًا في المثال الأول.

لنفترض ذلك من خلال النقطة اونقطة اعتباطية س = (ح,ك) على الرسم البياني للمنحنى ذ = 2x – x 2 (الشكل 5) يرسم خط مستقيم (يسمى قاطع). استبدال القيم في معادلة المنحنى x = حو ذ = ك، حصلنا على ذلك ك = 2ح – ح 2 ، إذن ، ميل القاطع يساوي

صغير جدا حالمعنى مقريبة من 2. وعلاوة على ذلك ، واختيار حقريبة بما يكفي من 0 ، يمكننا القيام به متقترب بشكل تعسفي من 2. يمكننا أن نقول ذلك م"يذهب إلى الحد" يساوي 2 عندما حيميل إلى الصفر ، أو ما هو الحد ميساوي 2 عندما حتميل إلى الصفر. رمزيا مكتوب على النحو التالي:

ثم المماس للرسم البياني عند هذه النقطة ايُعرَّف بأنه خط يمر عبر نقطة ا، بميل يساوي هذا الحد. هذا التعريف للظل قابل للتطبيق في الحالة العامة.

سنعرض مزايا هذا النهج بمثال آخر: سنجد ميل المماس للرسم البياني للمنحنى ذ = 2x – x 2 في نقطة تعسفية ص = (x,ذ) ، لا يقتصر على أبسط حالة عندما ص = (0,0).

يترك س = (x + ح, ذ + ك) هي النقطة الثانية على الرسم البياني ، وتقع على مسافة حعلى يمين ص(الشكل 6). مطلوب لإيجاد معامل الميل ك/حقاطع PQ. نقطة سعلى مسافة

على المحور X.

عند توسيع الأقواس نجد:

طرح من هذه المعادلة ذ = 2x – x 2 ، أوجد المسافة العمودية من النقطة صالى حد، الى درجة س:

لذلك ، المنحدر مقاطع PQيساوي

الآن هذا حيميل إلى الصفر ميميل إلى 2 - 2 x؛ سنأخذ القيمة الأخيرة لميل المماس PT. (سيتم الحصول على نفس النتيجة إذا حيأخذ القيم السالبة ، والتي تتوافق مع اختيار نقطة سعلى يسار ص.) لاحظ أن x= 0 النتيجة هي نفسها السابقة.

التعبير 2 - 2 xيسمى مشتق 2 x – x 2. في الأيام الخوالي ، كان المشتق يُطلق عليه أيضًا "النسبة التفاضلية" و "المعامل التفاضلي". إذا كان التعبير 2 x – x 2 عين F(x)، بمعنى آخر.

ثم يمكن الإشارة إلى المشتق

من أجل معرفة ميل المماس للرسم البياني للوظيفة ذ = F(x) في مرحلة ما ، من الضروري الاستبدال بـ Fў ( x) القيمة المقابلة لهذه النقطة X. لذا فإن المنحدر Fў (0) = 2 من أجل X = 0, Fў (0) = 0 من أجل X= 1 و F¢ (2) = –2 في X = 2.

يتم الإشارة إلى المشتق أيضًا فيў , دى/dx, د س صو يفعل.

حقيقة المنحنى ذ = 2x – x 2 بالقرب من نقطة معينة لا يمكن تمييزه عمليًا عن الظل عند هذه النقطة ، مما يسمح لنا بالحديث عن منحدر المماس على أنه "ميل المنحنى" عند نقطة الاتصال. وبالتالي ، يمكننا التأكيد على أن ميل المنحنى الذي ندرسه له ميل 2 عند النقطة (0،0). ويمكننا أيضًا أن نقول ذلك عندما x= 0 معدل التغيير ذنسبياً xيساوي 2. عند النقطة (2،0) ، يكون ميل المماس (والمنحنى) هو -2. (تعني علامة الطرح أن مثل xعامل ذينخفض.) عند النقطة (1،1) يكون الظل أفقيًا. نقول المنحنى ذ = 2x – x 2 له قيمة ثابتة في هذه المرحلة.

مرتفعات ومنخفظات.

لقد أظهرنا للتو أن المنحنى F(x) = 2x – x 2 ثابت عند النقطة (1،1). لان Fў ( x) = 2 – 2x = 2(1 – x) ، فمن الواضح أن متى x، أقل من 1، Fў ( x) موجبة ، وبالتالي ذيزيد؛ في x، كبير 1 Fў ( x) سلبي ، وبالتالي ذالنقصان. وهكذا ، بالقرب من النقطة (1،1) ، المشار إليها في الشكل. 6 حرف م، المعنى فيينمو إلى حد ما م، ثابت عند النقطة موينخفض ​​بعد النقطة م. تسمى هذه النقطة بـ "الحد الأقصى" لأن القيمة فيعند هذه النقطة يتجاوز أي من قيمه في حي صغير بما فيه الكفاية. وبالمثل ، يتم تعريف "الحد الأدنى" على أنها النقطة التي تدور حولها جميع القيم ذتفوق القيمة فيفي هذه المرحلة بالذات. قد يحدث ذلك أيضًا على الرغم من أن مشتق F(x) في مرحلة ما وتختفي ، لا تتغير علامتها في حي من هذه النقطة. هذه النقطة ، التي ليست حدًا أقصى ولا حدًا أدنى ، تسمى نقطة انعطاف.

كمثال ، لنجد النقطة الثابتة للمنحنى

مشتق هذه الوظيفة

ويختفي عند x = 0, X= 1 و X= –1 ؛ أولئك. عند النقاط (0،0) ، (1 ، –2 / 15) و (-1 ، 2/15). اذا كان Xأقل بقليل من -1 ، إذن Fў ( x) سلبي ؛ إذا Xأكثر بقليل من -1 ، إذن Fў ( x) إيجابية. لذلك ، فإن النقطة (–1 ، 2/15) هي الحد الأقصى. وبالمثل ، يمكن إثبات أن النقطة (1 ، -2/15) هي الحد الأدنى. لكن المشتق Fў ( x) سالبة قبل النقطة (0،0) وبعدها. لذلك ، (0،0) هي نقطة انعطاف.

أجريت الدراسة على شكل المنحنى ، وكذلك حقيقة أن المنحنى يتقاطع مع المحور Xفي F(x) = 0 (على سبيل المثال ، من أجل X= 0 أو) تسمح لنا بتمثيل الرسم البياني تقريبًا كما هو موضح في الشكل. 7.

بشكل عام ، إذا استبعدنا الحالات غير العادية (المنحنيات التي تحتوي على مقاطع خط مستقيم أو عدد لا نهائي من الانحناءات) ، فهناك أربعة خيارات للموضع النسبي للمنحنى والظل بالقرب من نقطة الظل ص. (سم. أرز. 8 ، حيث يكون للماس ميل موجب.)

1) على جانبي النقطة صيقع المنحنى فوق الظل (الشكل 8 ، أ). في هذه الحالة نقول أن المنحنى عند النقطة صمحدب لأسفل أو مقعر.

2) على جانبي النقطة صيقع المنحنى أسفل الظل (الشكل 8 ، ب). في هذه الحالة ، يقال إن المنحنى محدب لأعلى أو محدب ببساطة.

3) و 4) يقع المنحنى فوق المماس على جانب واحد من النقطة صوأدناه - من ناحية أخرى. في هذه الحالة ص- نقطة الأنحراف.

مقارنة القيم Fў ( x) على جانبي صبقيمته عند هذه النقطة ص، يمكنك تحديد أي من هذه الحالات الأربع يتعين عليك التعامل معها في مشكلة معينة.

التطبيقات.

كل ما سبق يجد تطبيقات مهمة في مختلف المجالات. على سبيل المثال ، إذا تم إلقاء جسم رأسيًا لأعلى بسرعة ابتدائية 200 قدم في الثانية ، فإن الارتفاع س، والتي سيتم تحديد موقعهم من خلالها رستكون الثواني مقارنة بنقطة البداية

ونجد أنه يسير بنفس الطريقة كما في الأمثلة التي درسناها

هذه القيمة تتلاشى عند s. المشتق Fў ( x) موجب حتى c وسالب بعد هذا الوقت. بالتالي، سيزداد إلى ، ثم يصبح ثابتًا ، ثم ينخفض. هذا هو الوصف العام لحركة الجسد إلى الأعلى. نتعلم منه عندما يصل الجسم إلى أعلى نقطة له. بعد ذلك ، الاستبدال ر= 25/4 بوصة F(ر) ، نحصل على 625 قدمًا ، وهو أقصى ارتفاع للرفع. في هذه المهمة Fў ( ر) له معنى فيزيائي. يوضح هذا المشتق السرعة التي يتحرك بها الجسم في كل مرة ر.

لنفكر الآن في نوع آخر من التطبيقات (الشكل 9). من ورقة من الورق المقوى بمساحة 75 سم 2 ، يلزم عمل صندوق بقاع مربع. ما هي أبعاد هذا الصندوق حتى يكون له الحجم الأقصى؟ اذا كان X- جانب قاعدة الصندوق و حهو ارتفاعه ، ثم حجم الصندوق يساوي الخامس = x 2 ح، ومساحة السطح 75 = x 2 + 4xh. تحويل المعادلة ، نحصل على:

مشتق من الخامستبين أنها متساوية

ويختفي عند X= 5. ثم

و الخامس= 125/2. رسم بياني وظيفي الخامس = (75x – x 3) / 4 يظهر في الشكل. 10 (القيم السالبة Xتم حذفه لأنه ليس له معنى مادي في هذه المشكلة).

المشتقات.

مهمة مهمة لحساب التفاضل هو إنشاء طرق تسمح لك بإيجاد المشتقات بسرعة وسهولة. على سبيل المثال ، من السهل حساب ذلك

(مشتق الثابت هو بالطبع صفر). ليس من الصعب استنتاج القاعدة العامة:

أين ن- أي عدد صحيح أو كسر. فمثلا،

(يوضح هذا المثال مدى فائدة الأسس الكسرية.)

فيما يلي بعض أهم الصيغ:

وهناك أيضًا القواعد التالية: 1) إذا كانت كل وظيفة من هاتين الوظيفتين ز(x) و F(x) لها مشتقات ، ثم مشتق مجموعها يساوي مجموع مشتقات هذه الوظائف ، ومشتق الفرق يساوي فرق المشتقات ، أي

2) مشتق من حاصل ضرب وظيفتين يحسب بالصيغة:

3) مشتق نسبة وظيفتين له الشكل

4) مشتق دالة مضروبة في ثابت يساوي الثابت مضروبًا في مشتق هذه الدالة ، أي

غالبًا ما يحدث أنه يجب حساب قيم الدالة على مراحل. على سبيل المثال ، لحساب الخطيئة x 2 ، نحن بحاجة إلى إيجاد ش = x 2 ، ثم بالفعل حساب جيب الرقم ش. نجد مشتقًا من هذه الدوال المعقدة باستخدام ما يسمى ب "قاعدة السلسلة":

في مثالنا F(ش) = الخطيئة ش, Fў ( ش) = كوس ش، بالتالي،

هذه القواعد وغيرها من القواعد المماثلة تجعل من الممكن كتابة مشتقات العديد من الوظائف على الفور.

التقريبات الخطية.

إن حقيقة أنه ، بمعرفة المشتقة ، يمكننا في كثير من الحالات استبدال التمثيل البياني للدالة بالقرب من نقطة ما بماسها عند تلك النقطة ، بأهمية كبيرة ، حيث يسهل التعامل مع الخطوط المستقيمة.

تجد هذه الفكرة تطبيقًا مباشرًا في حساب القيم التقريبية للوظائف. على سبيل المثال ، من الصعب حساب قيمة x= 1.033. لكن يمكنك استخدام حقيقة أن الرقم 1.033 قريب من 1 وذاك. أغلق x= 1 يمكننا استبدال الرسم البياني لمنحنى الظل دون ارتكاب أي خطأ جسيم. منحدر هذا الظل يساوي قيمة المشتق ( x 1/3) ў = (1/3) x–2/3 لـ x = 1 ، أي 1/3. نظرًا لأن النقطة (1،1) تقع على المنحنى وميل المماس للمنحنى عند هذه النقطة هو 1/3 ، فإن معادلة الظل لها الشكل

على هذا الخط المستقيم X = 1,033

القيمة المستلمة ذيجب أن تكون قريبة جدًا من القيمة الحقيقية ذ؛ وبالفعل ، فهي تزيد بمقدار 0.00012 فقط عن القيمة الحقيقية. في التحليل الرياضي ، تم تطوير طرق تجعل من الممكن تحسين دقة مثل هذه التقريبات الخطية. تضمن هذه الطرق موثوقية حساباتنا التقريبية.

الإجراء الموصوف للتو يقترح تدوينًا مفيدًا واحدًا. يترك ص- النقطة المقابلة للرسم البياني للوظيفة Fعامل X، ودع الوظيفة F(x) قابل للتفاضل. دعنا نغير مخطط المنحنى بالقرب من النقطة صمماس لها في تلك المرحلة. اذا كان Xتغيير إلى القيمة ح، ثم سيتغير إحداثيات الظل بالقيمة حح F ў ( x). اذا كان حصغير جدًا ، فإن القيمة الأخيرة هي تقريب جيد للتغيير الحقيقي في الإحداثي ذالفنون التصويرية. إذا بدلا من ذلك حسنكتب رمز dx(هذا ليس منتجًا!) ، ولكنه تغيير في الإحداثي ذدل دى، ثم نحصل عليه دى = F ў ( x)dx، أو دى/dx = F ў ( x) (سم. أرز. أحد عشر). لذلك ، بدلا من دىأو F ў ( x) للإشارة إلى المشتق ، غالبًا ما يستخدم الرمز دى/dx. تعتمد ملاءمة هذا الترميز بشكل أساسي على المظهر الصريح لقاعدة السلسلة (تمايز دالة مركبة) ؛ في الترميز الجديد ، تبدو هذه الصيغة كما يلي:

حيث يعني ذلك ضمنيًا فييعتمد على ش، أ شبدوره يعتمد على X.

قيمة دىيسمى التفاضلية في؛ في الواقع هذا يعتمد على اثنينالمتغيرات وهي: from Xوالزيادات dx. عند الزيادة dxحجم صغير جدا دىيقترب من التغيير المقابل في القيمة ذ. لكن افترض أن الزيادة dxقليل ، لا حاجة.

مشتق من وظيفة ذ = F(x) أشرنا إليه F ў ( x) أو دى/dx. من الممكن غالبًا أخذ مشتق من المشتق. النتيجة تسمى المشتق الثاني من F (x) والمشار إليها F ўў ( x) أو د 2 ذ/dx 2. على سبيل المثال ، إذا F(x) = x 3 – 3x 2 ، إذن F ў ( x) = 3x 2 – 6xو F ўў ( x) = 6x- 6. يتم استخدام ترميز مشابه للمشتقات ذات الرتبة الأعلى. ومع ذلك ، لتجنب عدد كبير من الأعداد الأولية (مساوية لترتيب المشتق) ، يمكن كتابة المشتق الرابع (على سبيل المثال) كـ F (4) (x) والمشتق نالترتيب ال F (ن) (x).

يمكن إثبات أن المنحنى عند نقطة ما محدب لأسفل إذا كان المشتق الثاني موجبًا ومحدبًا صاعدًا إذا كان المشتق الثاني سالبًا.

إذا كان للدالة مشتق ثانٍ ، فسيكون التغيير في القيمة ذالمقابلة للزيادة dxعامل X، يمكن حسابها تقريبًا بواسطة الصيغة

هذا التقريب أفضل بشكل عام من التقريب الذي قدمه التفاضل Fў ( x)dx. وهو يقابل استبدال جزء من المنحنى لم يعد خطاً مستقيماً ، بل قطع مكافئ.

إذا كانت الوظيفة F(x) هناك مشتقات من أوامر أعلى إذن

المصطلح المتبقي له شكل

أين x- عدد بين xو x + dx. النتيجة أعلاه تسمى صيغة تايلور مع الباقي. اذا كان F(x) له مشتقات لجميع الطلبات ، ثم عادة ص ن® 0 من أجل ن ® Ґ .

حساب متكامل

مربعات.

تفتح دراسة مناطق الأشكال المستوية المنحنية جوانب جديدة للتحليل الرياضي. لقد حاول الإغريق القدماء حل هذه المشكلات ، والذين كان تحديد مساحة الدائرة ، على سبيل المثال ، من أصعب المهام. حقق أرخميدس نجاحًا كبيرًا في حل هذه المشكلة ، حيث تمكن أيضًا من العثور على منطقة الجزء المكافئ (الشكل 12). باستخدام تفكير معقد للغاية ، أثبت أرخميدس أن مساحة القطعة المكافئة تساوي 2/3 من مساحة المستطيل المحدود ، وبالتالي في هذه الحالة تساوي (2/3) (16) = 32 / 3. كما سنرى لاحقًا ، يمكن الحصول على هذه النتيجة بسهولة من خلال طرق التحليل الرياضي.

حل أسلاف نيوتن ولايبنيز ، وعلى رأسهم كبلر وكافالييري ، مشاكل حساب مناطق الأشكال المنحنية بطريقة يصعب وصفها بأنها سليمة منطقيًا ، ولكنها أثبتت أنها مثمرة للغاية. عندما جمعت واليس ، في عام 1655 ، بين طرق كبلر وكافاليري مع طرق ديكارت (الهندسة التحليلية) واستفادت من علم الجبر المولود حديثًا ، كانت مرحلة ظهور نيوتن جاهزة تمامًا.

قسم واليس الشكل ، الذي كان من المطلوب حساب مساحته ، إلى شرائح ضيقة جدًا ، كل منها كان يعتبر تقريبًا مستطيلًا. ثم جمع مساحات المستطيلات التقريبية ، وفي أبسط الحالات ، حصل على القيمة التي يتجه إليها مجموع مساحات المستطيلات عندما ذهب عدد الشرائط إلى ما لا نهاية. على التين. يوضح الشكل 13 مستطيلات تتوافق مع بعض خطوط المنطقة الواقعة أسفل المنحنى ذ = x 2 .

النظرية الرئيسية.

جعل الاكتشاف العظيم لنيوتن ولايبنيز من الممكن القضاء على العملية الشاقة للتمرير إلى حد مجموع المساحات. تم ذلك بفضل نظرة جديدة لمفهوم المنطقة. خلاصة القول هي أننا يجب أن نمثل المنطقة الواقعة أسفل المنحنى كما تم إنشاؤها بواسطة الإحداثي المتحرك من اليسار إلى اليمين ونسأل عن مدى سرعة تغير المنطقة التي اكتسحتها الإحداثيات. نحصل على مفتاح الإجابة على هذا السؤال إذا أخذنا في الاعتبار حالتين خاصتين تُعرف المنطقة فيهما مسبقًا.

لنبدأ بالمساحة الموجودة أسفل الرسم البياني للدالة الخطية ذ = 1 + x، لأنه في هذه الحالة يمكن حساب المنطقة باستخدام الهندسة الأولية.

يترك أ(x) هو جزء المستوى المحصور بين الخط المستقيم ذ = 1 + xوالجزء اوك(الشكل 14). عند القيادة QPالمربع الصحيح أ(x) يزيد. بأية سرعة؟ ليس من الصعب الإجابة عن هذا السؤال ، لأننا نعلم أن مساحة شبه المنحرف تساوي حاصل ضرب ارتفاعها ونصف مجموع القواعد. بالتالي،

معدل تغيير المنطقة أ(x) بواسطة مشتقها

نحن نرى ذلك أў ( x) يتزامن مع الإحداثي فينقاط ص. هل هي مصادفة؟ دعنا نحاول التحقق من القطع المكافئ الموضح في الشكل. 15. مربع أ (x) تحت القطع المكافئ في = X 2 في النطاق من 0 إلى Xمساوي ل أ(x) = (1 / 3)(x)(x 2) = x 3/3. يتم تحديد معدل التغيير في هذه المنطقة من خلال التعبير

الذي يتطابق تمامًا مع الإحداثي فينقطة متحركة ص.

على افتراض أن هذه القاعدة تنطبق في الحالة العامة ، لذلك

هو معدل تغير المنطقة الواقعة تحت الرسم البياني للوظيفة ذ = F(x) ، ثم يمكن استخدام هذا في حسابات المناطق الأخرى. في الواقع ، النسبة أў ( x) = F(x) يعبر عن نظرية أساسية يمكن صياغتها على النحو التالي: المشتق ، أو معدل تغير المنطقة كدالة لـ X، تساوي قيمة الوظيفة F (x) عند النقطة X.

على سبيل المثال ، لإيجاد المنطقة تحت الرسم البياني للدالة ذ = x 3 من 0 إلى X(الشكل 16) ، وضعناها

تقول إجابة محتملة:

منذ مشتق X 4/4 يساوي حقًا X 3. بجانب، أ(x) تساوي صفرًا من أجل X= 0 ، كما ينبغي أن يكون إذا أ(x) هي بالفعل منطقة.

في التحليل الرياضي ، ثبت أنه لا توجد إجابة أخرى غير التعبير أعلاه عن أ(x)، غير موجود. دعنا نظهر أن هذا البيان معقول باستخدام الاستدلال الاستدلالي (غير الصارم) التالي. افترض أن هناك حلًا ثانيًا في(x). اذا كان أ(x) و في(x) "ابدأ" في وقت واحد من القيمة الصفرية عند X= 0 وتتغير بنفس المعدل طوال الوقت ، فلن تتغير قيمها أبدًا Xلا يمكن أن تصبح مختلفة. يجب أن تتطابق في كل مكان ؛ ومن ثم هناك حل فريد.

كيف يمكنك تبرير النسبة أў ( x) = F(x) على العموم؟ لا يمكن الإجابة على هذا السؤال إلا من خلال دراسة معدل تغير المنطقة كدالة لـ Xعلى العموم. يترك م- أصغر قيمة للدالة F (x) في الفترة من Xقبل ( x + ح)، أ مهي أكبر قيمة لهذه الوظيفة في نفس الفترة الزمنية. ثم تزداد المساحة عند المرور من Xإلى ( x + ح) بين منطقتي المستطيلين (الشكل 17). أساس كلا المستطيلين متساويان ح. المستطيل الأصغر له ارتفاع موالمنطقة مأكبر على التوالي مو م. على قطعة أرض مقابل منطقة. X(الشكل 18) يمكن ملاحظة أنه عندما يتغير الإحداثي إلى ح، قيمة الإحداثي (أي المنطقة) تزداد بالمقدار بين مو م. يقع ميل القاطع في هذا الرسم البياني بين مو م. ماذا يحدث عندما حيذهب الى الصفر؟ إذا كان الرسم البياني للدالة ذ = F(x) مستمر (أي لا يحتوي على انقطاعات) إذن م، و متميل إلى F(x). لذلك ، المنحدر أў ( x) الرسم البياني للمنطقة كدالة Xيساوي F(x). كان هذا هو الاستنتاج الذي يجب التوصل إليه.

اقترح لايبنيز للمنطقة الواقعة تحت المنحنى ذ = F(x) من 0 إلى أتعيين

مع اتباع نهج صارم ، يجب تعريف هذا التكامل المزعوم على أنه حد لمبالغ معينة بطريقة واليس. بالنظر إلى النتيجة التي تم الحصول عليها أعلاه ، من الواضح أن هذا التكامل محسوب بشرط أن نجد مثل هذه الوظيفة أ(x) ، والتي تختفي عندما X= 0 ولها مشتق أў ( x) يساوي F (x). عادة ما يسمى العثور على مثل هذه الوظيفة التكامل ، على الرغم من أنه سيكون من الأنسب تسمية هذه العملية بمضاد التمايز ، مما يعني أنها بمعنى ما معكوس التفاضل. في حالة كثير الحدود ، يكون التكامل سهلاً. على سبيل المثال ، إذا

التي يسهل التحقق منها عن طريق التمييز أ(x).

لحساب المنطقة لكن 1 تحت المنحنى ذ = 1 + x + x 2/2 بين الإحداثيين 0 و 1 ، نكتب ببساطة

وباستبدال X= 1 ، نحصل عليه أ 1 = 1 + 1/2 + 1/6 = 5/3. ميدان أ(x) من 0 إلى 2 هو أ 2 = 2 + 4/2 + 8/6 = 16/3. كما يظهر في الشكل. 19 ، المنطقة المحاطة بين الإحداثيين 1 و 2 هي أ 2 – أ 1 = 11/3. عادة ما يتم كتابتها على أنها جزء لا يتجزأ

أحجام.

يجعل التفكير المماثل من السهل بشكل مدهش حساب أحجام أجسام الثورة. دعنا نوضح ذلك باستخدام مثال حساب حجم الكرة ، وهي مشكلة كلاسيكية أخرى نجح الإغريق القدماء في حلها بصعوبة كبيرة باستخدام الأساليب المعروفة لديهم.

دعونا ندير جزءًا من المستوى محاطًا بربع دائرة نصف قطرها صبزاوية 360 درجة حول المحور X. نتيجة لذلك ، نحصل على نصف كرة (الشكل 20) ، ونشير إلى حجمه الخامس(x). مطلوب لتحديد المعدل الذي يتم عنده الخامس(x) مع زيادة x. ينطلق من Xإلى X + ح، فمن السهل التحقق من أن زيادة الحجم أقل من الحجم ص(ص 2 – x 2)حأسطوانة دائرية نصف قطرها وارتفاعها ح، وأكثر من الحجم ص[ص 2 – (x + ح) 2 ]حنصف قطر الاسطوانة وارتفاعها ح. لذلك ، على الرسم البياني للدالة الخامس(x) يتم وضع منحدر القاطع بين ص(ص 2 – x 2 و ص[ص 2 – (x + ح) 2]. متي حيميل إلى الصفر ، ويميل المنحدر إليه

في x = صنحن نحصل

لحجم نصف الكرة الأرضية ، وبالتالي 4 ص ص 3/3 لحجم الكرة بأكملها.

تسمح طريقة مماثلة بإيجاد أطوال المنحنيات ومناطق الأسطح المنحنية. على سبيل المثال ، إذا أ(x) - طول القوس العلاقات العامةفي التين. 21 ، ثم مهمتنا هي الحساب أў( x). على مستوى الكشف عن مجريات الأمور ، سوف نستخدم تقنية تسمح لنا بعدم اللجوء إلى الممر المعتاد إلى الحد الأقصى ، وهو أمر ضروري لإثبات النتيجة بدقة. لنفترض أن معدل تغير الوظيفة أ(x) عند النقطة صكما لو تم استبدال المنحنى بظلها PTفي هذه النقطة ص. لكن من التين. الرقم 21 مرئي بشكل مباشر عند الخطو حعلى يمين أو يسار النقطة Xعلى طول RTالمعنى أ(x) تغيير الى

لذلك ، معدل تغير الوظيفة أ(x) هو

للعثور على الوظيفة نفسها أ(x) ، من الضروري فقط دمج التعبير على الجانب الأيمن من المساواة. اتضح أن التكامل صعب إلى حد ما بالنسبة لمعظم الوظائف. لذلك ، يعد تطوير طرق حساب التفاضل والتكامل جزءًا كبيرًا من التحليل الرياضي.

البدائية.

كل دالة مشتقها يساوي دالة معينة F(x) ، يسمى مشتق عكسي (أو بدائي) لـ F(x). فمثلا، X 3/3 - المشتق العكسي للوظيفة X 2 لأن ( x 3/3) ў = x 2. بالطبع X 3/3 ليس المشتق الوحيد للدالة X 2 لأن x 3 /3 + جهو أيضا مشتق ل X 2 لأي ثابت من. ومع ذلك ، في ما يلي نتفق على حذف هذه الثوابت المضافة. على العموم

أين نهو عدد صحيح موجب ، لأن ( x ن + 1/(ن+ 1)) ў = x ن. يتم استيفاء العلاقة (1) بمعنى أكثر عمومية إذا ناستبدل بأي رقم منطقي ك، باستثناء -1.

دالة عكسية عشوائية لوظيفة معينة F(x) عادةً ما يُطلق عليه التكامل غير المحدود لـ F(x) والدلالة عليها

على سبيل المثال ، منذ (sin x) ў = كوس x، الصيغة

في كثير من الحالات حيث توجد صيغة للتكامل غير المحدد لدالة معينة ، يمكن العثور عليها في العديد من الجداول المنشورة على نطاق واسع للتكاملات غير المحددة. تكاملات الدوال الأولية جدولية (تشمل القوى واللوغاريتمات والدالة الأسية والدوال المثلثية والدوال المثلثية العكسية بالإضافة إلى مجموعاتها المحدودة التي تم الحصول عليها باستخدام الجمع والطرح والضرب والقسمة). بمساعدة التكاملات الجدولية ، يمكن أيضًا حساب التكاملات من دوال أكثر تعقيدًا. هناك طرق عديدة لحساب التكاملات غير المحددة ؛ الأكثر شيوعًا هو طريقة الاستبدال أو الاستبدال المتغيرة. يتكون من حقيقة أننا إذا أردنا استبدال التكامل غير المحدد (2) xلبعض الوظائف التفاضلية x = ز(ش) ، إذن من الضروري حتى لا يتغير التكامل xوحل محله زў ( ش)دو. وبعبارة أخرى ، المساواة

(الاستبدال 2 x = شومن أين 2 dx = دو).

دعونا نقدم طريقة أخرى للتكامل - طريقة التكامل بالأجزاء. يعتمد على الصيغة المعروفة

بعد دمج الجانبين الأيمن والأيسر ومراعاة ذلك

تسمى هذه الصيغة صيغة التكامل على حدة.

مثال 2. بحاجة إلى البحث. منذ كوس x= (الخطيئة x) ў ، يمكننا كتابة ذلك

من (5) بافتراض ش = xو الخامس= الخطيئة x، نحن نحصل

ومنذ ذلك الحين (-cos x) ў = الخطيئة xنجد ذلك و

يجب التأكيد على أننا اقتصرنا على مقدمة موجزة جدًا لموضوع واسع للغاية ، حيث تراكمت العديد من الحيل الذكية.

وظائف متغيرين.

بسبب المنحنى ذ = F(x) ، نظرنا في مشكلتين.

1) أوجد ميل المماس للمنحنى عند نقطة معينة. يتم حل هذه المشكلة عن طريق حساب قيمة المشتق Fў ( x) في نقطة معينة.

2) ابحث عن المنطقة الواقعة أسفل المنحنى فوق جزء المحور Xتحدها خطوط عمودية X = أو X = ب. يتم حل هذه المشكلة عن طريق حساب تكامل محدد.

كل من هذه المشاكل لها نظير في حالة السطح ض = F(x,ذ).

1) أوجد المستوى المماس للسطح عند نقطة معينة.

2) أوجد الحجم تحت السطح فوق جزء المستوى هو، منحنى يحد من، وعلى الجانب - عمودي على المستوى س صيمر عبر نقاط منحنى الحدود من (سم. أرز. 22).

توضح الأمثلة التالية كيف يتم حل هذه المشاكل.

مثال 4. أوجد المستوى المماس للسطح

عند النقطة (0،0،2).

يتم تعريف المستوى إذا تم إعطاء خطين متقاطعين فيهما. أحد هذه الخطوط ل 1) سنركب الطائرة xz (في= 0) ، ثانية ( ل 2) - في الطائرة yz (x = 0) (سم. أرز. 23).

بادئ ذي بدء ، إذا في= 0 إذن ض = F(x,0) = 2 – 2x – 3x 2. المشتق فيما يتعلق X، يعني Fў x(x,0) = –2 – 6x، في X= 0 له قيمة -2. مستقيم ل 1 معطى بواسطة المعادلات ض = 2 – 2x, في= 0 - مماس لـ من 1 ، خطوط تقاطع السطح مع المستوي في= 0. وبالمثل ، إذا X= 0 إذن F(0,ذ) = 2 – ذ – ذ 2 ، والمشتق فيما يتعلق فيلديه الشكل

لان Fў ذ(0.0) = -1 ، منحنى من 2 - خط تقاطع السطح مع المستوي yz- له ظل ل 2 معطى بواسطة المعادلات ض = 2 – ذ, X= 0. يحتوي مستوى الظل المطلوب على كلا السطرين ل 1 و ل 2 ويكتب بواسطة المعادلة

هذه هي معادلة المستوى. بالإضافة إلى ذلك ، نحصل مباشرة ل 1 و ل 2 ، بافتراض ، على التوالي ، في= 0 و X = 0.

يمكن التحقق من حقيقة أن المعادلة (7) تحدد المستوى المماس حقًا على مستوى الكشف عن مجريات الأمور إذا لاحظت أن هذه المعادلة تحتوي على مصطلحات من الدرجة الأولى تظهر في المعادلة (6) ، ويمكن تمثيل تلك المصطلحات من الدرجة الثانية كـ -. لأن هذا التعبير سالب لجميع القيم Xو في، بجانب X = في= 0 ، يقع السطح (6) تحت المستوى (7) في كل مكان ، باستثناء النقطة ص= (0،0،0). يمكننا القول أن السطح (6) محدب لأعلى عند النقطة ص.

مثال 5. أوجد المستوى المماس للسطح ض = F(x,ذ) = x 2 – ذ 2 في الأصل 0.

على السطح في= 0 لدينا: ض = F(x,0) = x 2 و Fў x(x,0) = 2x. على ال من 1 ، خطوط التقاطع ، ض = x 2. في هذه النقطة االمنحدر Fў x(0،0) = 0. على متن الطائرة X= 0 لدينا: ض = F(0,ذ) = –ذ 2 و Fў ذ(0,ذ) = –2ذ. على ال من 2 ، خطوط التقاطع ، ض = –ذ 2. في هذه النقطة امنحنى المنحنى من 2 يساوي Fў ذ(0،0) = 0. منذ الظل إلى من 1 و من 2 محاور Xو في، المستوى المماس الذي يحتوي عليها هو المستوى ض = 0.

ومع ذلك ، بالقرب من الأصل ، فإن سطحنا ليس على نفس الجانب من مستوى الظل. في الواقع ، المنحنى من 1 يقع فوق مستوى الظل في كل مكان ، باستثناء النقطة 0 والمنحنى من 2 - على التوالي تحتها. يتقاطع السطح مع المستوى المماس ض= 0 في خطوط مستقيمة في = Xو في = –X. ويقال أن مثل هذا السطح به نقطة سرج عند نقطة الأصل (الشكل 24).

المشتقات الخاصة.

في الأمثلة السابقة ، استخدمنا مشتقات F (x,ذ) على Xوبواسطة في. دعونا الآن نفكر في هذه المشتقات بطريقة أكثر عمومية. إذا كانت لدينا دالة لمتغيرين ، على سبيل المثال ، F(x,ذ) = x 2 – س ص، ثم يمكننا تحديد اثنين من "مشتقاتها الجزئية" في كل نقطة ، واحدة - عن طريق اشتقاق الدالة فيما يتعلق Xوتحديد في، وتمييز الآخر فيما يتعلق فيوتحديد X. يشار إلى أول هذه المشتقات كـ Fў x(x,ذ) أو ¶ F/¶ x؛ والثاني هو كيف F F ذ. إذا كان كلا المشتقات المختلطة (بواسطة Xو في، على فيو X) متواصلة ، ثم ¶ 2 F/¶ x¶ ذ= ¶ 2 F/¶ ذ¶ x؛ في مثالنا ¶ 2 F/¶ x¶ ذ= ¶ 2 F/¶ ذ¶ x = –1.

اشتقاق جزئي Fў x(x,ذ) يشير إلى معدل تغيير الوظيفة Fعند نقطة ( x,ذ) في اتجاه الزيادة X، أ Fў ذ(x,ذ) هو معدل تغير الوظيفة Fفي الاتجاه التصاعدي في. معدل تغيير الوظيفة Fعند نقطة ( X,في) في اتجاه الخط المستقيم الذي يشكل الزاوية فمع اتجاه المحور الإيجابي X، يسمى مشتق الوظيفة Fمن اتجاه؛ قيمتها عبارة عن مزيج من مشتقين جزئيين للدالة تكاد تكون f في المستوى المماس متساوية (للصغيرة dxو دى) التغيير الحقيقي ضعلى السطح ، لكن حساب الفرق يكون أسهل في العادة.

الصيغة التي درسناها بالفعل من تغيير الطريقة المتغيرة ، والمعروفة باسم مشتق دالة معقدة أو قاعدة السلسلة ، في الحالة أحادية البعد ، عندما فييعتمد على X، أ Xيعتمد على ر، يشبه:

بالنسبة إلى دوال متغيرين ، تحتوي الصيغة المماثلة على الشكل:

يمكن تعميم مفاهيم التمايز الجزئي وتدوينه بسهولة على أبعاد أعلى. على وجه الخصوص ، إذا تم إعطاء السطح ضمنيًا بواسطة المعادلة F(x,ذ,ض) = 0 ، يمكن إعطاء معادلة المستوى المماس للسطح شكلاً أكثر تناسقًا: معادلة مستوى الظل عند النقطة ( x (x 2/4)] ، ثم يتكامل Xمن 0 إلى 1. النتيجة النهائية هي 3/4.

يمكن أيضًا تفسير الصيغة (10) على أنها ما يسمى بالتكامل المزدوج ، أي كحد لمجموع أحجام "الخلايا" الأولية. كل خلية لها قاعدة D xد ذوارتفاع يساوي ارتفاع السطح فوق نقطة ما من القاعدة المستطيلة ( سم. أرز. 26). يمكن إثبات أن كلا وجهتي النظر في الصيغة (10) متكافئتان. تستخدم التكاملات المزدوجة لإيجاد مراكز الجاذبية ولحظات عديدة في الميكانيكا.

تبرير أكثر صرامة للجهاز الرياضي.

حتى الآن قدمنا ​​مفاهيم وأساليب التحليل الرياضي على مستوى حدسي ولم نتردد في اللجوء إلى الأشكال الهندسية. يبقى لنا أن نفكر بإيجاز في الأساليب الأكثر صرامة التي ظهرت في القرنين التاسع عشر والعشرين.

في بداية القرن التاسع عشر ، عندما انتهى عصر الهجوم والهجوم على "إنشاء التحليل الرياضي" ، برزت أسئلة حول تبريره. في أعمال أبيل وكوشي وعدد من علماء الرياضيات البارزين الآخرين ، تم تحديد مفاهيم "الحد" و "الوظيفة المستمرة" و "السلسلة المتقاربة" بدقة. كان هذا ضروريًا لإدخال ترتيب منطقي في أساس التحليل الرياضي لجعله أداة بحث موثوقة. أصبحت الحاجة إلى تبرير شامل أكثر وضوحًا بعد اكتشاف Weierstrass في عام 1872 للوظائف المستمرة في كل مكان ولكن لا يمكن تمييزها في أي مكان (الرسم البياني لهذه الوظائف له فاصل عند كل نقطة من نقاطه). تركت هذه النتيجة انطباعًا مذهلاً لدى علماء الرياضيات ، لأنها تناقضت بوضوح حدسهم الهندسي. من الأمثلة الأكثر وضوحا على عدم موثوقية الحدس الهندسي هو المنحنى المستمر الذي أنشأه D. Peano ، والذي يملأ مربعًا معينًا تمامًا ، أي يمر بجميع نقاطه. أدت هذه الاكتشافات وغيرها إلى إحياء برنامج "الحساب" للرياضيات ، أي جعلها أكثر موثوقية من خلال إثبات جميع المفاهيم الرياضية بمساعدة مفهوم العدد. كان للامتناع شبه المتشدد عن التصور في الأعمال على أسس الرياضيات تبريره التاريخي.

وفقًا للشرائع الحديثة للصرامة المنطقية ، من غير المقبول التحدث عن المنطقة الواقعة تحت المنحنى ذ = F(x) وفوق جزء المحور X، حتى Fهي وظيفة مستمرة ، دون تحديد المعنى الدقيق لمصطلح "منطقة" مسبقًا ودون إثبات أن المنطقة المحددة بهذه الطريقة موجودة بالفعل. تم حل هذه المشكلة بنجاح في عام 1854 من قبل ب. ريمان ، الذي قدم تعريفًا دقيقًا لمفهوم التكامل المحدد. منذ ذلك الحين ، كانت فكرة التلخيص وراء مفهوم التكامل المحدد موضوعًا للعديد من التحقيقات والتعميمات العميقة. نتيجة لذلك ، من الممكن اليوم إعطاء معنى للتكامل المحدد ، حتى لو كان التكامل غير متصل في كل مكان. أدت المفاهيم الجديدة للتكامل ، والتي ساهم في إنشائها أ. ليبيج (1875-1941) وعلماء الرياضيات الآخرون مساهمة كبيرة ، إلى زيادة قوة وجمال التحليل الرياضي الحديث.

لن يكون من المناسب الخوض في تفاصيل كل هذه المفاهيم وغيرها. نحن نقتصر على تقديم تعريفات صارمة للحد والتكامل المحدد.

في الختام ، دعنا نقول أن التحليل الرياضي ، باعتباره أداة قيّمة للغاية في يد عالم ومهندس ، لا يزال يجذب انتباه علماء الرياضيات اليوم كمصدر للأفكار المثمرة. في الوقت نفسه ، يبدو أن التطور الحديث يشير إلى أن التحليل الرياضي يتم امتصاصه بشكل متزايد من قبل هذا السائد في القرن العشرين. فروع الرياضيات مثل الجبر المجرد والطوبولوجيا.

دعونا نقارن منهجية تطبيق الرياضيات في البحث العملي بمنهجية العلوم الطبيعية الأخرى. تدرس علوم مثل الفيزياء والكيمياء والبيولوجيا الكائن الحقيقي نفسه مباشرةً (ربما على نطاق صغير وفي ظروف معملية). يمكن أيضًا تطبيق النتائج العلمية ، بعد التحقق اللازم ، بشكل مباشر في الممارسة العملية. الرياضيات لا تدرس الأشياء نفسها ، بل تدرس نماذجها. يتم ترجمة وصف الكائن وصياغة المشكلة من اللغة العادية إلى "لغة الرياضيات" (بشكل رسمي) ، مما أدى إلى نموذج رياضي. علاوة على ذلك ، تمت دراسة هذا النموذج كمشكلة رياضية. لا يتم تطبيق النتائج العلمية التي تم الحصول عليها على الفور في الممارسة العملية ، حيث تمت صياغتها بلغة رياضية. لذلك ، يتم تنفيذ العملية العكسية - تفسير ذي مغزى (بلغة المشكلة الأصلية) للنتائج الرياضية التي تم الحصول عليها. فقط بعد ذلك يتم البت في مسألة تطبيقها في الممارسة العملية.

جزء لا يتجزأ من منهجية الرياضيات التطبيقية هو التحليل الشامل لمشكلة حقيقية تسبق النمذجة الرياضية. بشكل عام ، يتضمن تحليل النظام للمشكلة الخطوات التالية:

التحليل الإنساني (ما قبل الرياضي) للمشكلة ؛

· دراسة رياضية للمشكلة.

تطبيق النتائج التي تم الحصول عليها في الممارسة العملية.

يجب أن يتم تنفيذ مثل هذا التحليل للنظام لكل مشكلة محددة من قبل مجموعة بحثية ، بما في ذلك الاقتصاديين (مثل محللي المشكلات أو العملاء) ، وعلماء الرياضيات ، والمحامين ، وعلماء الاجتماع ، وعلماء النفس ، وعلماء البيئة ، وما إلى ذلك. علاوة على ذلك ، يجب على علماء الرياضيات ، كباحثين رئيسيين ، أن المشاركة ليس فقط في "حل" المهام ، ولكن أيضًا في صياغتها ، وكذلك في تنفيذ النتائج عمليًا.

لإجراء دراسات رياضية لمشكلة اقتصادية ، يجب اتباع الخطوات الرئيسية التالية:

1. دراسة موضوع الدراسة وتحديد الغرض من الدراسة.

2. صياغة المشكلة.

3. جمع البيانات (إحصائية وخبيرة وغيرها).

4. بناء نموذج رياضي.

5. اختيار (أو تطوير) طريقة حسابية وبناء خوارزمية لحل المشكلة ؛

6. برمجة الخوارزمية وتصحيح البرنامج.

7. التحقق من جودة النموذج على مثال تحكم.

8. تنفيذ النتائج في الممارسة العملية.

مراحل 1 -3 تنتمي إلى الجزء قبل الرياضي من الدراسة. يجب دراسة مجال الموضوع بدقة من قبل الاقتصاديين أنفسهم حتى يتمكنوا ، كعملاء ، من صياغة المشكلة بوضوح وتحديد الأهداف للباحثين. يجب تزويد الباحثين بجميع البيانات الوثائقية والإحصائية اللازمة في مجلد شامل. يقوم علماء الرياضيات بتنظيم وتخزين وتحليل ومعالجة البيانات المقدمة لهم في شكل مناسب (إلكتروني) من قبل العملاء.

مراحل 4 -7 تنتمي إلى الجزء الرياضي من البحث. نتيجة هذه المرحلة هي صياغة المشكلة الأصلية في شكل مشكلة رياضية صارمة. نادرًا ما يمكن "اختيار" نموذج رياضي من بين النماذج المتاحة والمعروفة (الشكل 1.1). تسمى عملية اختيار معلمات النموذج بطريقة تتوافق مع الكائن قيد الدراسة تحديد النموذج. بناءً على طبيعة النموذج (المهمة) الذي تم الحصول عليه والغرض من الدراسة ، يتم اختيار طريقة معروفة ، أو يتم تكييف طريقة معروفة (معدلة) ، أو تطوير طريقة جديدة. بعد ذلك ، يتم تجميع خوارزمية (إجراء لحل المشكلة) وبرنامج كمبيوتر. يتم تحليل النتائج التي تم الحصول عليها باستخدام هذا البرنامج: حل مشاكل الاختبار ، وإدخال التغييرات والتصحيحات اللازمة على الخوارزمية والبرنامج.

إذا كان من المعتاد بالنسبة للرياضيات "البحتة" تحديد نموذج رياضي مرة واحدة وصياغة الافتراضات في بداية الدراسة ، فمن المفيد غالبًا في العمل التطبيقي العودة إلى النموذج وإجراء تصحيحات عليه بعد الجولة الأولى من التجربة تم إجراء الحسابات بالفعل. علاوة على ذلك ، غالبًا ما يكون من المفيد مقارنة النماذج عندما لا يتم وصف الظاهرة نفسها بواسطة نموذج واحد ، ولكن من خلال عدة نماذج. إذا تبين أن الاستنتاجات (تقريبًا) هي نفسها بالنسبة لنماذج مختلفة ، وطرق بحث مختلفة ، فهذا دليل على صحة الحسابات ، وملاءمة النموذج للهدف نفسه ، وموضوعية التوصيات الصادرة.

المرحلة النهائية 8 تم تنفيذها بشكل مشترك من قبل العملاء ومطوري النماذج.

نتائج البحث الرياضي (وكذلك أي بحث علمي) ليست سوى توصية للاستخدام في الممارسة العملية. القرار النهائي بشأن هذه المسألة - سواء تطبيق النموذج أم لا - يعتمد على العميل ، أي على الشخص المسؤول عن النتيجة والعواقب التي سيؤدي إليها تطبيق النتائج الموصى بها.

لبناء نموذج رياضي لمهمة اقتصادية محددة (مشكلة) ، يوصى بتنفيذ تسلسل العمل التالي:

1. تعريف الكميات المعروفة وغير المعروفة ، وكذلك الشروط والمتطلبات الحالية (ما الذي يتم تقديمه وما الذي يجب العثور عليه؟) ؛

2. تحديد أهم عوامل المشكلة.

3. تحديد المعلمات الخاضعة للرقابة وغير المدارة ؛

4. الوصف الرياضي عن طريق المعادلات والمتباينات والوظائف والعلاقات الأخرى بين عناصر النموذج (المعلمات ، المتغيرات) ، بناءً على محتوى المشكلة قيد الدراسة.

يتم النظر في المعلمات المعروفة للمشكلة بالنسبة لنموذجها الرياضي خارجي(مقدمًا مسبقًا ، أي قبل بناء النموذج). في الأدبيات الاقتصادية يطلق عليهم المتغيرات الخارجية. يتم حساب قيمة المتغيرات غير المعروفة في البداية كنتيجة لدراسة النموذج ، وبالتالي ، فيما يتعلق بالنموذج ، يتم اعتبارها داخلي. في الأدبيات الاقتصادية يطلق عليهم المتغيرات الذاتية.

في § 2أهم العوامل هي تلك التي تلعب دورًا مهمًا في المهمة نفسها والتي تؤثر بطريقة أو بأخرى على النتيجة النهائية. في § 3يمكن التحكم فيها هي تلك المعلمات المهمة التي يمكن تعيين قيم رقمية تعسفية بناءً على شروط المهمة ؛ المعلمات غير المُدارة هي المعلمات التي تم إصلاح قيمتها ولا يمكن تغييرها.

من وجهة نظر الغرض ، يمكن للمرء أن يميز نماذج وصفيةو نماذج صنع القرار. النماذج الوصفيةتعكس المحتوى والخصائص الأساسية للأشياء الاقتصادية على هذا النحو. بمساعدتهم ، يتم حساب القيم العددية للعوامل الاقتصادية والمؤشرات.

تساعد نماذج القرار في العثور على أفضل الخيارات للمؤشرات المخططة أو قرارات الإدارة. من بينها ، أقلها تعقيدًا هي نماذج التحسين ، التي تصف (تحاكي) مهام نوع التخطيط ، والأكثر تعقيدًا هي نماذج الألعاب التي تصف المشكلات ذات الطبيعة المتضاربة ، مع مراعاة تقاطع الاهتمامات المختلفة. تختلف هذه النماذج عن النماذج الوصفية من حيث أن لديها القدرة على اختيار قيم معلمات التحكم (وهذا ليس هو الحال في النماذج الوصفية).

أمثلة على تجميع النماذج الرياضية

المثال 1.1.دع بعض المناطق الاقتصادية تنتج عدة أنواع من المنتجات بشكل حصري وفقط لسكان هذه المنطقة. من المفترض أن العملية التكنولوجية قد تم إجراؤها ، وتمت دراسة طلب السكان على هذه السلع. من الضروري تحديد الحجم السنوي للإنتاج من المنتجات ، مع الأخذ في الاعتبار حقيقة أن هذا الحجم يجب أن يوفر كلاً من الاستهلاك النهائي والصناعي.

لنقم بعمل نموذج رياضي لهذه المشكلة. حسب الشرط المعطى: أنواع المنتجات والطلب عليها والعملية التكنولوجية ؛ مطلوب العثور على حجم الإنتاج لكل نوع من المنتجات. دعونا نحدد القيم المعروفة: - طلب السكان على المنتج -th ؛ - كمية المنتج i المطلوب لإنتاج وحدة من المنتج رقم -th وفقًا لهذه التقنية . دعنا نحدد الكميات غير المعروفة: - حجم ناتج المنتج رقم-ث. إجمالي يسمى متجه الطلب ، وتسمى الأرقام المعاملات التكنولوجية ، والمجموعة - الافراج عن ناقلات. وفقًا لظروف المشكلة ، يتم تقسيم المتجه إلى جزأين: للاستهلاك النهائي (ناقل) وللتكاثر (ناقل). دعونا نحسب ذلك الجزء من المتجه الذي يذهب إلى التكاثر. بحكم تدوين إنتاج كمية السلعة -th ، تذهب كمية السلعة -th. ثم المجموع يُظهر قيمة المنتج -th ، المطلوب لكامل الناتج . لذلك ، يجب أن تحمل المساواة:

بتعميم هذا المنطق على جميع أنواع المنتجات ، نصل إلى النموذج المطلوب:

حل نظام المعادلات الخطية الناتج عن إيجاد متجه الخرج المطلوب.

من أجل كتابة هذا النموذج في شكل أكثر إحكاما (متجه) ، نقدم الترميز:

تسمى المصفوفة المربعة أ (الحجم) بالمصفوفة التكنولوجية. من الواضح أن النموذج يمكن كتابته على النحو التالي: أو

لقد حصلنا على نموذج "التكلفة-المخرجات" الكلاسيكي ، ومؤلفه الاقتصادي الأمريكي الشهير في. ليونتيف.

مثال 1.2.تحتوي المصفاة على درجتين من النفط: درجة مقدارها 10 وحدات ، درجة - 15 وحدة. عند معالجة الزيت ، يتم الحصول على مادتين: البنزين () وزيت الوقود (). هناك ثلاثة خيارات لتقنية المعالجة:

أنا: وحدة 1 لكن+ 2 وحدة فييعطي 3 وحدات. ب+ 2 وحدة م;

ثانيًا: 2 وحدة لكن+ 1 وحدة فييعطي 1 وحدة. ب+ 5 وحدات م;

ثالثا: 2 وحدة لكن+ 2 وحدة فييعطي 1 وحدة. ب+ 2 وحدة م.

سعر البنزين 10 دولارات للوحدة ، وزيت الوقود 1 دولار للوحدة. من الضروري تحديد التركيبة الأكثر فائدة من العمليات التكنولوجية لمعالجة الكمية المتاحة من الزيت.

قبل النمذجة ، نوضح النقاط التالية. ويترتب على ظروف المشكلة أن "ربحية" العملية التكنولوجية للمصنع ينبغي فهمها بمعنى الحصول على أقصى دخل من بيع منتجاتها النهائية (البنزين وزيت الوقود). في هذا الصدد ، من الواضح أن "قرار الاختيار (اتخاذ)" للمصنع هو تحديد التكنولوجيا وعدد مرات التطبيق. من الواضح أن هناك العديد من هذه الاحتمالات.

دعنا نشير إلى القيم غير المعروفة: - مقدار استخدام العملية التكنولوجية رقم-ث. معلمات أخرى للنموذج (احتياطيات درجات الزيت ، أسعار البنزين وزيت الوقود) معروف.

ثم يتم تقليل قرار واحد محدد للمصنع إلى اختيار ناقل واحد ، حيث تساوي إيرادات المصنع دولار هنا 32 دولاراً هو الدخل المستلم من تطبيق واحد للعملية التكنولوجية الأولى (10 دولارات 3 وحدات. ب+ 1 2 وحدة م= 32 دولارًا). المعامل 15 و 12 لهما نفس المعنى في العمليتين التكنولوجيتين الثانية والثالثة ، على التوالي. يؤدي احتساب احتياطي النفط إلى الشروط التالية:

للتنوع لكن: ,

للتنوع في: ,

حيث في المتفاوت الأول المعامِلات 1 ، 2 ، 2 هي معدلات استهلاك درجة الزيت لكنلتكنولوجيا عملية الاستخدام الفردي أنا, ثانيًا, ثالثاعلى التوالى. معاملات المتباينة الثانية لها نفس المعنى بالنسبة لدرجة الزيت في.

النموذج الرياضي ككل له الشكل:

ابحث عن ناقل مثل هذا

تحقيق أقصى قدر

عند استيفاء الشروط:

,

,

.

الشكل المختصر لهذا الإدخال هو:

تحت قيود

, (1.4.2)

,

حصلنا على ما يسمى بمشكلة البرمجة الخطية. النموذج (1.4.2.) هو مثال لنموذج أمثل من نوع حتمي (مع عناصر محددة جيدًا).

مثال 1.3.يحتاج المستثمر إلى تحديد أفضل مجموعة من الأسهم والسندات والأوراق المالية الأخرى لشرائها بمبلغ معين من أجل الحصول على ربح معين بأقل قدر من المخاطر على نفسه. يتميز العائد على كل دولار يستثمر في ورقة مالية من النوع -th بمؤشرين: العائد المتوقع والعائد الفعلي. من المستحسن بالنسبة للمستثمر ألا يكون الربح المتوقع لكل دولار واحد من الاستثمار أقل من قيمة معينة لمجموعة الأوراق المالية بأكملها. لاحظ أنه من أجل النمذجة الصحيحة لهذه المشكلة ، يتطلب عالم الرياضيات معرفة أساسية معينة في مجال نظرية المحفظة للأوراق المالية. دعونا نحدد المعايير المعروفة للمشكلة: - عدد أصناف الأوراق المالية. - الربح الفعلي (رقم عشوائي) من النوع -th للأمان- الربح المتوقع من النوع -th من الأوراق المالية. لنحدد الأحجام غير المعروفة: - الوسائل المخصصة لاقتناء الأوراق المالية من نوع ما. بحكم التدوين ، يتم تعريف المبلغ المستثمر بالكامل على أنه. لتبسيط النموذج ، نقدم كميات جديدة

وبالتالي ، هي حصة جميع الأموال المخصصة لشراء الأوراق المالية من النوع. من الواضح أن . يمكن أن نرى من حالة المشكلة أن هدف المستثمر هو تحقيق مستوى معين من الربح بأقل قدر من المخاطر. في الأساس ، تعد المخاطر مقياسًا لانحراف الربح الفعلي عن الربح المتوقع. لذلك ، يمكن التعرف عليه من خلال التغاير

أرباح الأوراق المالية من نوعها ونوعها. هنا م- تعيين التوقع الرياضي. النموذج الرياضي للمشكلة الأصلية له الشكل:

(1.4.3)

لقد حصلنا على نموذج Markowitz المعروف لتحسين هيكل محفظة الأوراق المالية. النموذج (1.4.3.) هو مثال لنموذج أمثل من النوع العشوائي (مع عناصر العشوائية).

مثال 1.4.على أساس منظمة تجارية ، هناك أنواع من منتجات الحد الأدنى من التشكيلة. يجب تسليم نوع واحد فقط من هذا المنتج إلى المتجر. مطلوب اختيار نوع البضائع التي ينصح بإحضارها إلى المتجر. إذا كان هناك طلب على منتج من هذا النوع ، فسيحقق المتجر ربحًا من بيعه ، وإذا لم يكن مطلوبًا ، فستكون خسارة.

والهندسة. السمة المميزة الرئيسية للتحليل بالمقارنة مع المجالات الأخرى هي وجود وظائف المتغيرات كموضوع للدراسة. في الوقت نفسه ، إذا تم دمج الأقسام الأولية للتحليل في المناهج والمواد مع الجبر الابتدائي (على سبيل المثال ، هناك العديد من الكتب والدورات الدراسية تسمى "الجبر وبدايات التحليل") ، فإن التحليل الحديث يستخدم إلى حد كبير أساليب أقسام هندسية حديثة ، في المقام الأول الهندسة التفاضلية والطوبولوجيا.

قصة

افصل الفروع عن "تحليل اللامتناهيات في الصغر" ، مثل نظرية المعادلات التفاضلية العادية (أويلر ، يوهان برنولي ، دالمبرت) ، حساب التباينات (أويلر ، لاغرانج) ، نظرية الدوال التحليلية (لاغرانج ، كوشي ، لاحقًا Riemann) ، في الفصل الثامن عشر - النصف الأول من القرن التاسع عشر. ومع ذلك ، فإن بداية تشكيل التحليل كقسم حديث مستقل تعتبر أعمال منتصف القرن التاسع عشر حول إضفاء الطابع الرسمي على المفاهيم الرئيسية للتحليل الكلاسيكي - العدد الحقيقي ، الوظيفة ، الحد ، التكامل ، في المقام الأول في أعمال كوشي وبولزانو ، واكتسبت شكلًا نهائيًا بحلول سبعينيات وثمانينيات القرن التاسع عشر في أعمال وييرستراس وديديكيند وكانتور. في هذا الصدد ، تم تشكيل نظرية وظائف المتغير الحقيقي ، وفي تطوير طرق للعمل مع الوظائف التحليلية ، نظرية وظائف المتغير المعقد. أعطت نظرية المجموعات الساذجة التي ابتكرها كانتور في نهاية القرن التاسع عشر زخماً لظهور مفاهيم الفراغات المترية والطوبولوجية ، والتي غيرت بشكل كبير مجموعة أدوات التحليل بأكملها ، ورفع مستوى تجريد الكائنات قيد الدراسة وتحويل التركيز من الأعداد الحقيقية إلى المفاهيم غير العددية.

في بداية القرن العشرين ، بشكل رئيسي من قبل قوى المدرسة الرياضية الفرنسية (جوردان ، بوريل ، ليبيغ ، باير) ، تم إنشاء نظرية القياس ، وبفضلها تم تعميم مفهوم التكامل ، ونظرية وظائف تم بناء متغير حقيقي. أيضًا في بداية القرن العشرين ، بدأ التحليل الوظيفي بالتشكل كقسم فرعي مستقل للتحليل الحديث ، ودراسة فضاءات المتجهات الطوبولوجية وتعييناتها. تم تقديم مصطلح "التحليل الوظيفي" بواسطة Hadamard ، للدلالة على فرع من حساب الاختلافات ، تم تطويره في مطلع القرنين التاسع عشر والعشرين من قبل مجموعة من علماء الرياضيات الإيطاليين والفرنسيين (بما في ذلك Volterra و Artsela). في عام 1900 ، نشر فريدهولم مقالًا عن المعادلات التكاملية ، مما أعطى قوة دفع لتطوير نظرية المعادلات التكاملية ، وتطوير النظرية العامة للتكامل (Lebesgue) ، وتشكيل التحليل الوظيفي. في عام 1906 ، حدد هيلبرت النظرية الطيفية ، وفي نفس العام نُشر عمل فريشيه ، حيث تم إدخال المساحات المترية المجردة في التحليل لأول مرة. في العشرينيات من القرن العشرين إلى العشرينات من القرن الماضي ، تم تنقيح مفاهيم القابلية للفصل وطُبقت الأساليب الطوبولوجية العامة لأول مرة على التحليل (Hausdorff) ، وتم إتقان المساحات الوظيفية ، وبدأ تشكيل نظرية عامة للمساحات المعيارية (هيلبرت ، ريس ، باناخ ، هان) . في الفترة 1929-1932 ، تم تشكيل النظرية البديهية لمساحات هلبرت (جون فون نيومان ، مارشال ستون ، ريس). في عام 1936 ، صاغ سوبوليف مفهوم الوظيفة المعممة (لاحقًا ، في الأربعينيات ، بشكل مستقل عنه ، توصل لوران شوارتز إلى مفهوم مماثل) ، والذي أصبح واسع الانتشار في العديد من فروع التحليل ووجد تطبيقًا واسعًا في التطبيقات (على سبيل المثال ، الوظيفة المعممة هي δ (displaystyle delta)هي وظيفة ديراك). في ثلاثينيات وخمسينيات القرن الماضي ، تم الحصول على نتائج مهمة في التحليل الوظيفي من خلال استخدام الأدوات الجبرية العامة (المشابك المتجهات ، الجبر المشغل ، جبر باناخ).

بحلول منتصف القرن العشرين ، تلقت مجالات مثل نظرية الأنظمة الديناميكية ونظرية إرغوديك (جورج بيركوف ، كولموغوروف ، فون نيومان) تطورًا مستقلاً ، وتم تعميم نتائج التحليل التوافقي بشكل كبير من خلال استخدام الوسائل الجبرية العامة - المجموعات الطوبولوجية والتمثيلات (ويل ، نفذ، بونترياجين). منذ أربعينيات وخمسينيات القرن الماضي ، وجدت طرق التحليل الوظيفي تطبيقًا في المجالات التطبيقية ، ولا سيما في أعمال كانتوروفيتش في الثلاثينيات والأربعينيات من القرن الماضي ، واستخدمت أدوات التحليل الوظيفية في الرياضيات الحسابية والاقتصاد (البرمجة الخطية). في الخمسينيات من القرن الماضي ، في أعمال Pontryagin والطلاب ، تم إنشاء نظرية التحكم الأمثل في تطوير طرق حساب الاختلافات.

بدءًا من النصف الثاني من القرن العشرين ، مع تطور الطوبولوجيا التفاضلية ، انضم اتجاه جديد إلى التحليل - تحليل متعدد الطيات ، يُطلق عليه "التحليل الشامل" ، والذي بدأ بالفعل في التشكل في وقت سابق ، في عشرينيات القرن الماضي ، في إطار نظرية مورس كتعميم لحساب الاختلافات (دعا مورس "حساب التباين بشكل عام" ، حساب التباين الإنجليزي بشكل كبير). يتضمن هذا المجال مثل هذه المجالات التي تم إنشاؤها في تطوير نظرية تشعب الأنظمة الديناميكية (أندرونوف) كنظرية التفردات (ويتني) ونظرية الكوارث (المجلد ، و مازر،) ، والتي تم تطويرها في السبعينيات في أعمال زيمان وأرنولد.

التحليل الرياضي الكلاسيكي

التحليل الرياضي الكلاسيكي - قسم يتوافق فعليًا تمامًا مع "تحليل اللامتناهيات في الصغر" التاريخي ، ويتكون من عنصرين رئيسيين: حساب التفاضل والتكامل. المفاهيم الرئيسية هي حدود الوظيفة ، التفاضل ، المشتق ، التكامل ، النتائج الرئيسية هي معادلة نيوتن-ليبنيز ، التي تربط التكامل المحدد والمشتق العكسي وسلسلة تايلور - التوسع المتسلسل لوظيفة لا نهائية قابلة للتفاضل في الجوار من نقطة.

عادة ما يُفهم مصطلح "التحليل الرياضي" على أنه هذا القسم الكلاسيكي ، بينما يستخدم بشكل أساسي في المناهج والمواد. في الوقت نفسه ، يتم تضمين دراسة أساسيات التحليل في معظم برامج التعليم الثانوي ، ويتم تضمين دراسة كاملة إلى حد ما للموضوع في برامج السنوات الأولى من التعليم العالي لمجموعة واسعة من التخصصات ، بما في ذلك العديد من العلوم الإنسانية. في التقليد التربوي الأنجلو أمريكي ، يستخدم مصطلح "حساب التفاضل والتكامل" (حساب التفاضل والتكامل باللغة الإنجليزية) للإشارة إلى التحليل الرياضي الكلاسيكي.

نظرية وظائف المتغير الحقيقي(يشار إليها أحيانًا باختصار - نظرية الوظيفة) نشأت نتيجة لإضفاء الطابع الرسمي على مفاهيم العدد الحقيقي والوظيفة: إذا تم النظر في الأقسام الكلاسيكية للتحليل بطريقة طبيعية فقط الوظائف التي تنشأ في مشاكل محددة ، ثم في نظرية الوظائف تصبح الوظائف نفسها يتم دراسة موضوع الدراسة وسلوكهم والعلاقة بخصائصهم. إحدى النتائج التي توضح تفاصيل نظرية وظائف المتغير الحقيقي هي حقيقة أن الوظيفة المستمرة قد لا يكون لها مشتق في أي نقطة (علاوة على ذلك ، وفقًا للأفكار السابقة للتحليل الرياضي الكلاسيكي ، كان التمايز بين جميع الوظائف المستمرة لا استجواب).

الاتجاهات الرئيسية لنظرية وظائف المتغير الحقيقي:

نظرية وظائف المتغير المعقد

موضوع دراسة نظرية وظائف المتغير المعقد هو الوظائف العددية المحددة على المستوى المعقد ج 1 (displaystyle mathbb (C) ^ (1))أو الفضاء الإقليدي المعقد ج ن (displaystyle mathbb (C) ^ (n))، في حين أن الوظائف التحليلية التي تمت دراستها بدقة هي الأكثر شمولاً ، والتي تلعب دورًا مهمًا في ربط جميع فروع التحليل الرياضي تقريبًا. على وجه الخصوص ، تم تعميم مفهوم الوظيفة التحليلية لمساحات Banach التعسفية ، وبالتالي تم تعميم العديد من نتائج نظرية وظائف المتغير المعقد في التحليل الوظيفي.

تحليل وظيفي

يتميز التحليل الوظيفي كفرع بوجوده كموضوع لدراسة الفراغات المتجهية الطوبولوجية وتعييناتها مع مختلف الظروف الجبرية والطوبولوجية المفروضة عليها. تلعب المساحات الوظيفية دورًا مركزيًا في التحليل الوظيفي ، والمثال الكلاسيكي هو مساحات جميع الوظائف القابلة للقياس ، والتي * (displaystyle p)الدرجة -th قابلة للتكامل ؛ بينما بالفعل L 2 (displaystyle L ^ (2))- الفضاء اللانهائي الأبعاد (فضاء هيلبرت) ، والمساحات ذات الأبعاد اللانهائية متأصلة جدًا في التحليل الوظيفي بحيث يتم تعريف القسم بأكمله أحيانًا على أنه جزء من الرياضيات التي تدرس المساحات اللانهائية الأبعاد وتعييناتها. إن أهم أشكال الفراغات في الأقسام الكلاسيكية للتحليل الوظيفي هي فضاءات Banach - فضاءات متجهة معيارية ، كاملة من حيث القياس المتولد عن القاعدة: نسبة كبيرة من المساحات المثيرة للاهتمام في الممارسة العملية ، من بينها جميع مساحات هيلبرت ، المساحات م * (displaystyle L ^ (p))، مساحات هاردي ، مساحات سوبوليف. يتم لعب دور مهم في التحليل الوظيفي من خلال الهياكل الجبرية التي هي فضاءات باناخ - مشابك باناخ وجبر باناخ (بما في ذلك - ج ∗ (displaystyle C ^ (*))-الجبر، الجبر فون نيومان).

في التحليل التوافقي المجرد ، يتم تعميم الأساليب الكلاسيكية على الهياكل المجردة باستخدام مفاهيم مثل مقياس هار وتمثيلات المجموعة. النتيجة الأكثر أهمية للتحليل التوافقي التبادلي هي نظرية بونترياجين الثنائية ، والتي بفضلها يتم وصف جميع النتائج الكلاسيكية تقريبًا للتحليل التوافقي بوسائل جبرية عامة بسيطة نسبيًا. تطور إضافي للنظرية هو التحليل التوافقي غير التبادلي ، والذي له تطبيقات مهمة في ميكانيكا الكم.

المعادلات التفاضلية والتكاملية

في نظرية المعادلات التكاملية ، بالإضافة إلى الطرق الكلاسيكية للحل ، هناك مجالات مثل نظرية فريدهولم ، التي كان لها تأثير كبير على تشكيل التحليل الوظيفي كقسم مستقل ، على وجه الخصوص ، ساهمت في تشكيل مفهوم فضاء هلبرت.

نظرية الأنظمة الديناميكية ونظرية ergodic

من المجالات الرئيسية لدراسة المعادلات التفاضلية ، برزت نظرية الأنظمة الديناميكية ، التي تدرس تطور الأنظمة الميكانيكية في الوقت المناسب ، ونظرية ergodic ، التي تهدف إلى إثبات الفيزياء الإحصائية ، كأقسام مستقلة. على الرغم من الطبيعة التطبيقية للمشكلات ، إلا أن هذه الأقسام تشمل مجموعة واسعة من المفاهيم والأساليب ذات الأهمية الرياضية العامة ، على وجه الخصوص ، مثل مفاهيم الاستقرار والراحة.

التحليل الشامل

التحليل الشامل- فرع التحليل الذي يدرس الوظائف والمعادلات التفاضلية على المشعبات وحزم المتجهات ؛ في بعض الأحيان يشار إلى هذا الاتجاه باسم "تحليل على المشعبات".

من أولى اتجاهات التحليل العالمي نظرية مورس وتطبيقها على المشكلات المتعلقة بالجيوديسيا على فتحات ريمان. الاتجاه كان يسمى "حساب الاختلافات بشكل عام". النتائج الرئيسية هي Morse lemma ، والتي تصف سلوك الوظائف الملساء على المشعبات الملساء في نقاط مفردة غير متحللة ، ومثل هذا التماثل الثابت مثل فئة Lyusternik-Shnirelman. يتم تعميم العديد من الإنشاءات والبيانات على حالة المشعبات اللانهائية الأبعاد ( فتحات هلبرت *, أصناف باناخ). وجدت النتائج التي تم الحصول عليها في إطار التحليل العالمي للنقاط المفردة تطبيقًا واسعًا لحل المشكلات الطوبولوجية البحتة ، مثل ، على سبيل المثال ، نظرية دورية القاع، والتي كانت إلى حد كبير بمثابة أساس لقسم مستقل من الرياضيات - البوتاسيوم (displaystyle K)-النظرية ، وكذلك النظرية على ح (displaystyle h)-cobordism ، والنتيجة هي تحقيق تخمين بوانكاريه لأبعاد أكبر من 4.

كتلة رئيسية أخرى من مجالات التحليل العالمي التي استخدمت على نطاق واسع في الفيزياء والاقتصاد هي نظرية التفردات ، نظرية التشعبات ونظرية الكوارث. الاتجاه الرئيسي للبحث في هذه الكتلة هو تصنيف سلوك المعادلات أو الوظائف التفاضلية في محيط النقاط الحرجة وتحديد السمات المميزة للفئات المقابلة.

التحليل المخصص

التحليل غير القياسي - إضفاء الطابع الرسمي على المفاهيم الأساسية للتحليل عن طريق المنطق الرياضي ، والفكرة الرئيسية هي إضفاء الطابع الرسمي على الكميات الكبيرة والصغيرة للغاية ، وإضفاء الطابع الرسمي المنطقي على التلاعب بها. في الوقت نفسه ، تبين أن أدوات التحليل غير القياسية مريحة للغاية: لقد حصلوا على نتائج لم يتم العثور عليها مسبقًا بالوسائل الكلاسيكية بسبب الافتقار إلى الوضوح.

جوهر وتعريف الأساليب الرياضية لدراسة الاقتصاد

التعريف 1

النمذجة الاقتصادية والرياضية هي تعبير مركز عن العلاقات وأنماط السلوك الأكثر أهمية للنظام الخاضع للرقابة في شكل رياضي.

حتى الآن ، هناك عدد من أنواع وتعديلات أساليب النمذجة الاقتصادية والرياضية. في نظام إدارة التطوير المبتكر لمؤسسة صناعية ، يتم استخدام عدد كبير منها. دعونا ننظر في مناهج التصنيف الرئيسية لطرق النمذجة.

حسب الصناعة والغرض من الاستخدام ، يتم تمييز طرق النمذجة الاقتصادية والرياضية إلى:

1. النظري التحليلي - تحليل الخصائص والأنماط العامة ؛
2. التطبيقية - تستخدم في حل مشاكل اقتصادية محددة للتحليل والإدارة.

تصنيف طرق النمذجة

حسب نوع النهج في النظم الاجتماعية والاقتصادية:النماذج الوصفية - مصممة لوصف وشرح الظواهر التي يتم ملاحظتها بالفعل أو للتنبؤ بهذه الظواهر ؛ النماذج المعيارية - توضح تطور النظام الاقتصادي في سياق تأثير معايير معينة.

عن طريق انعكاس الأشياء الحقيقية:النماذج الوظيفية - يحاول موضوع النمذجة تحقيق التشابه بين النموذج والأصل فقط في حالة الفهم بأنهم يؤدون نفس الوظائف ؛ النماذج الهيكلية - يحاول موضوع النمذجة إعادة إنشاء البناء الداخلي للهيكل النموذجي ، وبسبب عرض أكثر دقة للهيكل ، احصل على عرض أكثر دقة للوظيفة.

بمراعاة عامل الوقت:نماذج ثابتة - تشير جميع التبعيات إلى نقطة زمنية واحدة ؛ النماذج الديناميكية - تصف النظم الاقتصادية قيد التطوير. وفقًا للنوع المستخدم في النموذج: النماذج التحليلية - توضع على أساس معلومات مسبقة ، مبنية مع الأخذ في الاعتبار الأنماط الحالية ، مكتوبة بشكل رسمي نظري ؛ يتم تحديد النماذج - مبنية على نتائج ملاحظات الكائنات.

بخطوات استخدام العناصر النموذجية:النماذج ذات الهيكل الثابت - يتم تقليل عملية النمذجة إلى اختيار وتعديل قيم معلمات الكتل النموذجية ؛ نماذج ذات بنية متغيرة - يتم إنشاء بنية النموذج أثناء المحاكاة وهي ليست نموذجية.

وفقًا لخصائص الكائنات الرياضية المدرجة في النماذج (يتم تحديد ميزات كل نوع حسب نوع الجهاز الرياضي المستخدم في النموذج): نماذج المصفوفة ؛ النماذج الهيكلية نماذج الشبكة نماذج البرمجة الخطية وغير الخطية ؛ نماذج العوامل مجموع؛ نماذج نظرية الألعاب ، إلخ.

بالمناسبة يتم تقديم النموذج أو وصفه:النماذج المقدمة في شكل تحليلي - يتم تقديم النماذج بلغة الرياضيات ؛ النماذج المقدمة في شكل خوارزمية - يتم تنفيذها عدديًا أو باستخدام البرامج ؛ نماذج المحاكاة - يتم التنفيذ العددي للعلاقات التي يتكون منها النموذج بدون تحويلات أولية ؛ في عملية التقليد ، تعيد خوارزمية الحساب إنتاج منطق عمل الكائن الأصلي.

كنتيجة متوقعة:النماذج التي يتم فيها تقليل التكاليف - تستند النتيجة النهائية المتوقعة إلى تقليل التكلفة ؛ النماذج التي يتم فيها تصغير النتيجة النهائية - النماذج التي يكون الهدف فيها تقليل المؤشرات التي تميز موضوع الدراسة (إذا كانت هذه المؤشرات موجهة إلى الحد الأقصى) أو زيادة قيمة المؤشرات (إذا كانت هذه المؤشرات موجهة للتصغير) .

مكانة أساليب البحث الرياضي في إدارة المشاريع

عند دراسة أساليب النمذجة الاقتصادية والرياضية في سياق التنبؤ بالتطور المبتكر للمؤسسات الصناعية ، يصبح من الضروري تكييفها مع الظروف الاقتصادية الحقيقية في عصرنا ، ووضع بيئة السوق وأسس إدارة التسويق الاستراتيجي. وبالتالي ، فمن المستحسن الجمع بين طرق التنبؤ الرسمية والطرق التحليلية التي يمكن أن تغطي نوعيًا جميع مشاكل بيئة السوق.

ملاحظة 1

تتضمن نماذج التحسين الاقتصادي الرياضي وظيفة موضوعية واحدة ، وإضفاء الطابع الرسمي على معيار الأمثلية ، والذي يتم بموجبه اختيار الأفضل بين الخطط الممكنة ، والقيود المفروضة على المتغيرات تحدد مجموعة الخطط الممكنة.

لذلك ، فإن أحد العناصر الأساسية للخطة الحالية للمؤسسة هو خطة الإنتاج أو برنامج الإنتاج ، والذي يتضمن نظامًا لمؤشرات الإنتاج المخطط لها من حيث الحجم والتشكيلة وجودة المنتجات. بعد كل شيء ، تتمثل إحدى المراحل المهمة في تطوير برنامج الإنتاج في تشكيل الهيكل الأمثل لمحفظة المنتجات ، والذي يتضمن تحديد حجم ونطاق ونطاق من المنتجات التي من شأنها ضمان استخدام المؤسسة بكفاءة للموارد المتاحة والحصول على نتيجة مالية مرضية.

تحدث الموافقة على مجموعة المنتجات والموارد لتصنيعها بسبب استخدام الأساليب الاقتصادية والرياضية ، والتي تخضع لمتطلبات معينة. بادئ ذي بدء ، يجب أن تكون متطابقة مع الظروف الخارجية للسوق ، وأن تأخذ في الاعتبار أيضًا مجموعة متنوعة من الطرق لتحقيق الهدف الرئيسي للمؤسسة - تعظيم الربح.