متعدد السطوح وجهه أربعة مثلثات منتظمة. متعددات الوجوه العادية

الغرض من الدرس:

1. أدخل مفهوم متعددات الوجوه المنتظمة.
2. ضع في اعتبارك أنواع متعددات الوجوه العادية.
3. حل المشاكل.
4. لغرس الاهتمام بالموضوع ، لتعليم رؤية الجمال في الأجسام الهندسية ، وتنمية الخيال المكاني.
5. الاتصالات بين الموضوع.

الرؤية:الجداول والنماذج.

خلال الفصول

I. لحظة تنظيمية.قم بإبلاغ موضوع الدرس وصياغة أهداف الدرس.

ثانيًا. تعلم مادة جديدة /

متوفر في الهندسة المدرسية مواضيع خاصة، التي تتطلع إليها ، متوقعين لقاء مع مواد جميلة بشكل لا يصدق. وتشمل هذه المواضيع "المجسمات العادية". هنا ، ليس فقط العالم الرائع للأجسام الهندسية ذات الخصائص الفريدة يفتح ، ولكن أيضًا فرضيات علمية مثيرة للاهتمام. ثم يصبح درس الهندسة نوعًا من دراسة الجوانب غير المتوقعة للمادة المدرسية المعتادة.

لا يمتلك أي من الأجسام الهندسية مثل هذا الكمال والجمال مثل متعددات الوجوه العادية. كارول كتب ذات مرة: "المجسمات المتعددة الوجوه المنتظمة قليلة جدًا ، لكن هذا الانفصال ، وهو متواضع جدًا في العدد ، تمكن من الوصول إلى أعماق العلوم المختلفة."

تعريف متعدد الوجوه العادية.

يسمى متعدد الوجوه منتظم إذا:

1. إنه محدب
2. كل وجوهها متساوية المضلعات المنتظمة;
3. يتقارب عند كل رأس من رؤوسه نفس العددضلوع؛
4. كل زواياها ثنائية الأضلاع متساوية.

النظرية:هناك خمسة أنواع مختلفة (تصل إلى التشابه) من متعددات الوجوه المنتظمة: رباعي السطوح منتظم ، سداسي السطوح منتظم (مكعب) ، ثماني السطوح منتظم ، ثنائي الوجوه منتظم ، وعشروني الوجوه منتظم.

الجدول 1.بعض خواص المجسمات المنتظمة مبينة في الجدول التالي.

نوع الوجه	الزاوية المسطحة في الأعلى	منظر للزاوية متعددة السطوح في الرأس	مجموع الزوايا المسطحة في الرأس	في	ص	جي	اسم متعدد السطوح
مثلث قائم	60º	3 جوانب	180 درجة	4	6	4	منتظم رباعي السطوح
مثلث قائم	60º	4 جوانب	240 درجة	6	12	8	ثماني السطوح العادية
مثلث قائم	60º	5 جوانب	300 درجة	12	30	20	عشروني الوجوه العادية
ميدان	90 درجة	3 جوانب	270 درجة	8	12	6	سداسي الوجوه العادية (مكعب)
مثلث قائم	108 درجة	3 جوانب	324º	20	30	12	منتظم ثنائي الوجوه

ضع في اعتبارك أنواع متعددات الوجوه:

منتظم رباعي السطوح

<Рис. 1>

ثماني السطوح العادية

<Рис. 2>

عشروني الوجوه العادية

<Рис. 3>

سداسي الوجوه العادية (مكعب)

<Рис. 4>

منتظم ثنائي الوجوه

<Рис. 5>

الجدول 2. صيغ لإيجاد أحجام متعددات الوجوه المنتظمة.

نوع متعدد السطوح	حجم متعدد السطوح
منتظم رباعي السطوح
ثماني السطوح العادية
عشروني الوجوه العادية
سداسي الوجوه العادية (مكعب)
منتظم ثنائي الوجوه

"المواد الصلبة الأفلاطونية".

المكعب والثماني الوجوه مزدوجان ، أي يتم الحصول عليها من بعضها البعض إذا تم أخذ النقطتين الوسطى لوجوه أحدهما كرؤوس للآخر والعكس صحيح. ثنائي الوجوه والعشريني الوجوه هما بالمثل ثنائيان. رباعي الوجوه مزدوج على نفسه. يتم الحصول على ثنائي الوجوه المنتظم من مكعب عن طريق بناء "أسقف" على وجهه (طريقة إقليدس) ، وتكون رؤوس رباعي السطوح أي أربعة رؤوس للمكعب غير متجاورة بشكل زوجي على طول الحافة. هذه هي الطريقة التي يتم بها الحصول على جميع الأشكال المتعددة السطوح المنتظمة الأخرى من المكعب. حقيقة وجود خمسة مجسمات منتظمة فقط هي حقيقة مذهلة - بعد كل شيء ، هناك عدد لا نهائي من المضلعات المنتظمة على المستوى!

عُرفت جميع متعددات الوجوه المنتظمة في اليونان القديمة، والكتاب الثاني عشر من بدايات إقليدس الشهيرة مكرس لهم. غالبًا ما يطلق على هذه المجسمات المتعددة الوجوه نفسها المواد الصلبة الأفلاطونيةفي الصورة المثالية للعالم التي قدمها المفكر اليوناني القديم العظيم أفلاطون. جسد أربعة منهم العناصر الأربعة: النار رباعي الوجوه ، والأرض المكعبة ، والمياه العشرانية الوجوه ، والهواء ثماني السطوح. متعدد الوجوه الخامس ، ثنائي الوجوه ، يرمز إلى الكون بأسره. في اللاتينية ، بدأوا يطلقون عليه اسم كينتا اسينتيا ("الجوهر الخامس").

على ما يبدو ، لم يكن من الصعب التوصل إلى رباعي الوجوه الصحيح ، والمكعب ، والثماني الوجوه ، خاصة وأن هذه الأشكال لها بلورات طبيعية ، على سبيل المثال: المكعب هو بلورة واحدة ملح الطعام(كلوريد الصوديوم) ، ثماني السطوح - بلورة واحدة من شب البوتاسيوم ((KAlSO 4) 2 لتر 2H 2 O). هناك افتراض بأن الإغريق القدماء حصلوا على شكل ثنائي الوجوه من خلال النظر في بلورات البيريت (البايرايت الكبريتية FeS). مع وجود نفس الاثني عشر الوجوه ، ليس من الصعب بناء عشري الوجوه: ستكون رؤوسه هي مراكز 12 وجهًا من الاثني عشر الوجوه.

في أي مكان آخر يمكنك رؤية هذه الأجسام الرائعة؟

في كتاب جميل جدًا لعالم الأحياء الألماني في بداية قرننا ، E. Haeckel ، "جمال الأشكال في الطبيعة" ، يمكن للمرء أن يقرأ السطور التالية: "تغذي الطبيعة في أحضانها قدرًا لا ينضب من مخلوقات مذهلةوهي ، في جمالها وتنوعها ، تفوق بكثير كل الأشكال التي أنشأها فن الإنسان. إبداعات الطبيعة في هذا الكتاب جميلة ومتناسقة. هذه خاصية لا تنفصل عن الانسجام الطبيعي. لكن هنا يمكنك أن ترى الكائنات الحية وحيدة الخلية- فيوداري ، شكله ينقل بدقة العشريني الوجوه. ما سبب هذه الهندسة الطبيعية؟ ربما بسبب كل متعددات الوجوه التي لها نفس عدد الوجوه ، فإن عشري الوجوه هو الذي يحتوي على أكبر حجم وأصغر مساحة سطحية. هو - هي خاصية هندسيةيساعد الكائنات الحية الدقيقة البحرية على التغلب على ضغط عمود الماء.

ومن المثير للاهتمام أيضًا أن المجسم عشري الوجوه هو الذي تحول إلى بؤرة اهتمام علماء الأحياء في نزاعاتهم بشأن شكل الفيروسات. لا يمكن أن يكون الفيروس مستديرًا تمامًا كما كان يعتقد سابقًا. لتحديد شكله ، أخذوا العديد من الأشكال المتعددة السطوح ، ووجهوا الضوء عليهم في نفس زوايا تدفق الذرات إلى الفيروس. اتضح أن الخصائص المذكورة أعلاه تجعل من الممكن حفظ المعلومات الجينية. الأشكال المتعددة الوجوه المنتظمة هي الأكثر ربحية. والطبيعة تستفيد من هذا. تحدد متعددات الوجوه المنتظمة شكل المشابك البلورية للبعض مواد كيميائية. ستوضح المهمة التالية هذه الفكرة.

مهمة.نموذج جزيء الميثان CH 4 له شكل رباعي السطوح العادي ، مع وجود ذرات الهيدروجين في أربعة رؤوس وذرة كربون في المركز. حدد زاوية الرابطة بين سندات CH.

<Рис. 6>

المحلول.نظرًا لأن رباعي الوجوه العادي له ستة حواف متساوية ، فمن الممكن اختيار مكعب بحيث تكون أقطار الوجوه هي حواف رباعي السطوح العادي. مركز المكعب هو أيضًا مركز رباعي الوجوه ، لأن الرؤوس الأربعة للرباعي الوجوه هي أيضًا رؤوس المكعب ، ويتم تحديد الكرة الموصوفة حولها بشكل فريد بأربع نقاط لا تقع في نفس المستوى.

المثلث AOC متساوي الساقين. ومن ثم ، فإن a هو جانب المكعب ، و d هو طول القطر للوجه الجانبي أو حافة الرباعي السطوح. إذن ، a = 54.73561 0 و j = 109.47 0

مهمة.في مكعب من رأس واحد (D) ، يتم رسم أقطار الوجوه DA و DB و DC وترتبط نهاياتها بخطوط مستقيمة. إثبات أن Polytope DABC يتكون من أربع طائرات تمر عبر هذه الخطوط هو رباعي السطوح منتظم.

<Рис. 7>

مهمة.حافة المكعب هي أ.احسب سطح المجسم الثماني العادي المدوَّن فيه. أوجد علاقته بسطح رباعي السطوح منتظم منقوش في نفس المكعب.

<Рис. 8>

تعميم مفهوم متعدد الوجوه.

متعدد الوجوه عبارة عن مجموعة من عدد محدود من المضلعات المستوية مثل:

1. كل جانب من أي من المضلعات يكون في نفس الوقت جانبًا من الآخر (لكن واحدًا فقط (يسمى مجاورًا للأول) على طول هذا الجانب) ؛
2. من أي من المضلعات التي يتكون منها متعدد السطوح ، يمكن للمرء الوصول إلى أي منها بالمرور إلى المضلع المجاور له ، ومن هذا بدوره إلى المجاور له ، إلخ.

تسمى هذه المضلعات الوجوه ، وتسمى جوانبها الحواف ، ورؤوسها هي رؤوس متعدد السطوح.

يحصل التعريف أعلاه لمتعدد الوجوه معنى مختلفاعتمادًا على كيفية تحديد المضلع:

- إذا تم فهم المضلع على أنه خطوط مكسورة ومغلقة (على الرغم من أنها تتقاطع مع بعضها البعض) ، فإنها تأتي هذا التعريفمتعدد الوجوه.

- إذا تم فهم المضلع على أنه جزء من مستوى محاط بخطوط متقطعة ، فمن وجهة النظر هذه ، يُفهم متعدد السطوح على أنه سطح مكون من قطع متعددة الأضلاع. إذا كان هذا السطح لا يتقاطع مع نفسه ، فهو السطح الكامل للبعض جسم هندسي، والذي يسمى أيضًا متعدد السطوح. من هنا ، تظهر وجهة نظر ثالثة على الأجسام متعددة السطوح كما هو الحال في الأجسام الهندسية ، ويُسمح أيضًا بأن تحتوي هذه الأجسام على "ثقوب" محدودة عدد محدودحواف مسطحة.

أبسط الأمثلة على متعددات الوجوه هي المنشورات والأهرامات.

يسمى متعدد الوجوه ن-فحم الهرم ، إذا كان له أحد وجوهه (القاعدة) أي ن-مربع ، والأوجه المتبقية عبارة عن مثلثات ذات رأس مشترك لا يقع في مستوى القاعدة. الهرم الثلاثي يسمى أيضا رباعي الوجوه.

يسمى متعدد الوجوه ن- منشور فحم إذا كان له وجهان متساويان ن- أسلحة (لا ترقد في نفس المستوى) تم الحصول عليها من بعضها البعض عن طريق الترجمة المتوازية ، والوجوه المتبقية هي متوازي الأضلاع ، الأطراف المقابلةوهي الجوانب المقابلة للقواعد.

بالنسبة لأي بوليتوب من الجنس صفر ، فإن خاصية أويلر (عدد الرؤوس مطروحًا منها عدد الأضلاع بالإضافة إلى عدد الوجوه) تساوي اثنين ؛ رمزياً: V - P + G = 2 (نظرية أويلر). لمتعدد الوجوه من الجنس صالعلاقة B - R + G \ u003d 2-2 ص.

متعدد السطوح المحدب هو متعدد السطوح يقع على جانب واحد من مستوى أي من وجوهه. الأهم هي الأشكال المتعددة السطوح المحدبة التالية:

<Рис. 9>

1. متعددات الوجوه المنتظمة (أجسام أفلاطون الصلبة) - مثل هذه الأشكال المتعددة السطوح المحدبة ، وجميع أوجهها هي نفس المضلعات المنتظمة وجميع الزوايا متعددة السطوح عند الرؤوس منتظمة ومتساوية<Рис. 9, № 1-5>;
2. isogons و isohedra - متعدد السطوح محدبة ، جميع زواياها متعددة السطوح متساوية (isogons) أو مساوية لجميع الوجوه (isohedra) ؛ علاوة على ذلك ، فإن مجموعة الدورات (مع الانعكاسات) للإيزوجون (isohedron) حول مركز الجاذبية تأخذ أيًا من رؤوسها (الوجوه) إلى أي من الرؤوس الأخرى (الوجوه). تسمى المجسمات المتعددة السطوح التي تم الحصول عليها بهذه الطريقة متعددة السطوح شبه المنتظمة (جوامد أرخميدس)<Рис. 9, № 10-25>;
3. متوازي الوجوه (محدب) - متعدد الوجوه ، يعتبر أجسامًا ، من خلال تقاطع متوازي يمكن ملء الفراغ اللانهائي بالكامل بحيث لا يدخلان في بعضهما البعض ولا يتركان فراغات فيما بينهما ، أي شكلت تقسيم الفضاء<Рис. 9, № 26-30>;
4. إذا كنا نعني بالمضلع خطوطًا مكسورة ومغلقة (حتى لو كانت متقاطعة ذاتيًا) ، فيمكن الإشارة إلى 4 أشكال أخرى متعددة السطوح غير محدبة (على شكل نجمة) (أجسام Poinsot). في هذه متعددات الوجوه ، إما أن تتقاطع الوجوه مع بعضها البعض ، أو أن الوجوه عبارة عن مضلعات ذاتية التقاطع.<Рис. 9, № 6-9>.

ثالثا. واجب منزلي.

رابعا. حل المشكلات رقم 279 ، رقم 281.

خامسا تلخيص.

قائمة الأدب المستخدم:

1. الموسوعة الرياضية تحرير آي إم فينوغرادوفا ،دار نشر " الموسوعة السوفيتية"، موسكو ، 1985. المجلد 4 ، ص 552-553 المجلد 3 ، الصفحات 708-711.
2. "الموسوعة الرياضية الصغيرة" ، إي فرايد ، آي باستور ، آي ريمانوآخرون. دار النشر التابعة للأكاديمية المجرية للعلوم ، بودابست ، 1976. ص. 264-267.
3. "مجموعة مشاكل في الرياضيات للمتقدمين للجامعات" في كتابين ، تحرير م. سكانافي ، كتاب 2 - الهندسة ، دار النشر " تخرج من المدرسه"، موسكو ، 1998. ص. 45-50.
4. “ورش عملالرياضيات: الدورة التعليميةللمدارس الفنية "، دار النشر" Vysshaya Shkola "، موسكو ، 1979. ص. 388–395 ، ص 405.
5. "كرر الرياضيات" ، طبعة 2-6 ، ملحق ، كتاب مدرسي للمتقدمين للجامعات ، دار النشر "فيشايا شكولا" ، موسكو ، 1974. ص. 446-447.
6. قاموس موسوعيعالم رياضيات شاب A. P. Savin،دار النشر "بيداغوجي" ، موسكو ، 1989. ص. 197-199.
7. "موسوعة للأطفال. ت. رياضيات"، رئيس التحرير إم دي أكسينوفا؛ طريقة و Resp. المحرر V. A. Volodin ، دار نشر Avanta + ، موسكو ، 2003. ص. 338 - 340.
8. الهندسة ، 10-11: كتاب مدرسي لـ المؤسسات التعليمية/ إل. أتاناسيان ، ف.ف. بوتوزوف ، س.ب. كادومتسيفوآخرون - الطبعة العاشرة - م: التربية ، 2001. ص. 68-71.
9. "Kvant" العدد 9 ، 11 - 1983 ، العدد 12 - 1987 ، العدد 11 ، 12 - 1988 ، العدد 6 ، 7 ، 8 - 1989. المجلة العلمية والرياضية الشعبية لأكاديمية العلوم في اتحاد الجمهوريات الاشتراكية السوفياتية والاتحاد السوفيتي الأكاديمية العلوم التربويةاتحاد الجمهوريات الاشتراكية السوفياتية. دار النشر "العلوم". الطبعة الرئيسية من الأدب الفيزيائي والرياضي. صفحة 5-9 ، 6-12 ، 7-9 ، 10 ، 4-8 ، 13 ، 16 ، 58.
10. حل المشاكل زيادة التعقيدفي الهندسة: الصف الحادي عشر - M: ARKTI ، 2002. ص. 9 ، 19-20.

تسمى الأشكال المتعددة السطوح المنتظمة ، وجميع أوجهها هي نفس المضلعات المنتظمة ، ويتلاقى نفس عدد الوجوه عند كل قمة. تسمى هذه المجسمات المتعددة الوجوه أيضًا بالمواد الصلبة الأفلاطونية.

لا يوجد سوى خمسة أشكال متعددة الوجوه منتظمة:

صورة	نوع متعدد السطوح منتظم	عدد الجوانب على الوجه	عدد الأضلاع المجاورة للرأس	العدد الإجمالي للرؤوس	العدد الإجمالي للحواف	إجمالي عدد الوجوه
رباعي الوجوه
سداسي الوجوه أو مكعب
دوديكاهيدرون
عشروني الوجوه

يأتي اسم كل متعدد الوجوه من الاسم اليونانيعدد وجوهها وكلمة "حافة".

رباعي الوجوه

رباعي الوجوه (يوناني fefsbedspn - رباعي السطوح) هو متعدد الوجوه بأربعة وجوه مثلثة ، عند كل رأس تتلاقى 3 وجوه. رباعي الوجوه له 4 وجوه و 4 رؤوس و 6 حواف.

خصائص رباعي السطوح

تحدد المستويات المتوازية التي تمر عبر أزواج من الحواف المتقاطعة للرباعي السطوح الخطوط المتوازية المحصورة بالقرب من رباعي السطوح.

يُطلق على الجزء الذي يربط رأس رباعي السطوح بنقطة تقاطع وسطاء الوجه المعاكس اسم الوسيط ، الذي تم إسقاطه من هذا الرأس.

يُطلق على الجزء الذي يربط بين نقاط المنتصف للحواف المتقاطعة لرباعي السطوح اسم bimedian ، والذي يربط بين هذه الحواف.

يسمى الجزء الخطي الذي يربط الرأس بنقطة على الوجه المقابل والعمودي على هذا الوجه ارتفاعه من الرأس المعطى.

نظرية.تتقاطع جميع المتوسطات والثنائيات ثنائية السطوح من رباعي الوجوه عند نقطة واحدة. تقسم هذه النقطة المتوسطات بنسبة 3: 1 ، عد من الأعلى. هذه النقطة تقسم bimedians.

تخصيص:

• رباعي السطوح متساوي السطوح ، حيث تكون جميع الوجوه مثلثات متساوية مع بعضها البعض ؛
• · رباعي السطوح متعامد ، حيث تتقاطع جميع الارتفاعات من الرؤوس إلى الوجوه المقابلة عند نقطة واحدة ؛
• رباعي السطوح مستطيل ، حيث تكون جميع الحواف المجاورة لأحد الرؤوس متعامدة مع بعضها البعض ؛
• رباعي الوجوه منتظم ، حيث تكون جميع الوجوه مثلثات متساوية الأضلاع ؛
• إطار رباعي السطوح - رباعي السطوح يستوفي أيًا من الشروط التالية:
• · هناك كرة تلامس جميع الحواف.
• · تساوي مجموع أطوال الأضلاع المتقاطعة.
• · مجموع الزوايا ثنائية الأضلاع عند الحواف المتقابلة متساوية.
• الدوائر المكتوبة في الوجوه مظللة في أزواج.
• · جميع الأشكال الرباعية الناتجة عن تطور رباعي السطوح مقيدة.
• · تتقاطع الخطوط العمودية المرفوعة على الوجوه من مراكز الدوائر المنقوشة فيها عند نقطة واحدة.
• رباعي الوجوه متكافئ ، وجميع ارتفاعاته متساوية ؛
• · حافز رباعي السطوح ، حيث تتقاطع عند نقطة واحدة الأجزاء التي تربط رؤوس رباعي السطوح بمراكز الدوائر المنقوشة في الوجوه المتقابلة.

المكعب أو السداسي السداسي المنتظم هو متعدد السطوح منتظم ، كل وجه منه مربع. حالة خاصةمتوازي السطوح والمنشور.

خصائص المكعب

• · أربعة أقسام من المكعب عبارة عن أشكال سداسية منتظمة - تمر هذه الأقسام عبر مركز المكعب بشكل متعامد مع أقطاره الأربعة الرئيسية.
• يمكن نقش رباعي الوجوه في مكعب بطريقتين. في كلتا الحالتين ، ستتم محاذاة الرؤوس الأربعة للرباعي السطوح مع الرؤوس الأربعة للمكعب ، وستنتمي جميع الحواف الستة للرباعي السطوح إلى وجوه المكعب. في الحالة الأولى ، تنتمي جميع رؤوس رباعي السطوح إلى وجوه الزاوية ثلاثية السطوح ، والتي يتطابق رأسها مع أحد رؤوس المكعب. في الحالة الثانية ، تنتمي الحواف المتقاطعة الزوجية للرباعي الوجوه إلى الوجوه المقابلة للمكعب. مثل هذا رباعي الوجوه صحيح.
• · يمكن كتابة المجسم الثماني في مكعب ، علاوة على ذلك ، ستتم محاذاة جميع الرؤوس الستة للمكعب مع مراكز الوجوه الستة للمكعب.
• · يمكن نقش المكعب في المجسم الثماني ، علاوة على ذلك ، فإن الرؤوس الثمانية للمكعب ستكون موجودة في مراكز الوجوه الثمانية للمجسم ثماني السطوح.
• · يمكن نقش المجسم العشريني في مكعب ، بينما ستوضع ستة حواف متوازية متبادلة على ستة أوجه للمكعب ، والحواف الأربعة والعشرون المتبقية داخل المكعب. جميع القمم الاثني عشر للعشروني الوجوه تقع على وجوه المكعب الستة.

قطر المكعب هو قطعة تربط رأسين متماثلين حول مركز المكعب. يمكن إيجاد قطر المكعب بالصيغة

متعدد السطوح عشروني الوجوه ثماني السطوح

حيث d هو القطر و a حافة المكعب.

المجسم الثماني

Octahedron (اليونانية pkfedspn ، من اليونانية pkfyu ، "ثمانية" واليونانية Edsb - "قاعدة") هي واحدة من خمسة متعددات الوجوه المنتظمة المحدبة ، ما يسمى بالجوامد الأفلاطونية.

يحتوي المجسم ثماني الوجوه على 8 أوجه مثلثة ، و 12 حافة ، و 6 رؤوس ، و 4 حواف تتلاقى عند كل رأس.

إذا كان طول حافة المجسم الثماني a ، فإن مساحته سطح كامل(S) وحجم المجسم الثماني (V) يتم حسابها بواسطة الصيغ:

نصف قطر الكرة المُحددة حول ثماني السطوح هو:

يمكن حساب نصف قطر الكرة المدوَّنة في المجسم الثماني بالصيغة:

يحتوي المجسم الثماني العادي على تناظر أوه ، وهو نفس تناظر المكعب.

المجسم الثماني له شكل نجمة واحدة. اكتشف ليوناردو دافنشي المجسم الثماني ، ثم أعاد يوهانس كيبلر اكتشافه بعد 100 عام تقريبًا ، وأطلق عليه اسم ستيلا أوكتانجولا - نجم ثماني الأضلاع. ومن ثم فإن هذا النموذج له الاسم الثاني "Kepler's stella octangula".

في الواقع ، إنه مركب من اثنين من رباعي السطوح

دوديكاهيدرون

Dodecahedron (من اليونانية dudekb - اثنا عشر و edspn - وجه) ، ثنائي الوجوه - متعدد الوجوه منتظم ، يتكون من اثني عشر خماسيًا منتظمًا. كل رأس من دوديكاهدرون هو رأس من ثلاثة خماسي منتظم.

وهكذا ، فإن اثني عشر وجهًا له 12 وجهًا (خماسي) ، 30 حافة و 20 رأسًا (3 حواف تتقارب في كل منها). مجموع زوايا المستوى عند كل من الرؤوس العشرين هو 324 درجة.

يحتوي الاثنا عشري الوجوه على 3 نجوم: اثني عشر وجهًا نجميًا صغيرًا ، وثني عشر وجهًا عظيمًا ، واثني عشر وجهًا نجميًا كبيرًا (اثنا عشر وجهًا نجميًا كبير ، الشكل النهائي). تم اكتشاف أول اثنين من قبل كبلر (1619) ، والثالث من قبل بوانسوت (1809). على عكس المجسم الثماني ، فإن أيًا من الأشكال النجمية للثنائي الوجوه ليس مركبًا من المواد الصلبة الأفلاطونية ، ولكنه يشكل متعدد الوجوه جديدًا.

تشكل جميع النجوم الثلاثة من الاثني عشر الوجوه ، جنبًا إلى جنب مع عشري الوجوه العظيم ، عائلة من المواد الصلبة كبلر-بوينسو ، أي متعدد الوجوه المنتظم غير المحدب (النجمي).

الوجوه العظيمة للاثني عشر الوجوه هي خماسية ، تلتقي بخمسة في كل من القمم. وجه dodecahedrons الصغيرة والنجوم الكبيرة - خمس نجوم(الخماسية) ، والتي في الحالة الأولى تتقارب بمقدار 5 ، وفي الحالة الثانية بمقدار 3. تتطابق رؤوس الثنائى الوجوه الكبيرة مع رؤوس الثنائى الوجوه المحدود. كل رأس يربط ثلاثة وجوه.

الصيغ الأساسية:

إذا أخذنا a بطول الحافة ، فإن مساحة سطح الاثني عشر الوجوه هي:

حجم ثنائي الوجوه:

نصف قطر المجال المحدود:

نصف قطر الكرة المنقوشة:

عناصر تناظر الاثني عشر الوجوه:

· يحتوي الثنائي على مركز تناظر و 15 محور تناظر.

يمر كل محور من خلال نقاط المنتصف للأضلاع المتوازية المعاكسة.

يحتوي الثنائي على 15 مستوى من التماثل. أي مستوى من مستويات التناظر يمر في كل وجه من خلال قمة ووسط الحافة المقابلة.

عشروني الوجوه

Icosahedron (من اليونانية eykput - عشرون ؛ -edspn - الوجه والوجه والقاعدة) - صحيح متعدد السطوح محدب، عشرين جانبًا ، أحد المواد الصلبة الأفلاطونية. كل وجه من الـ 20 وجه هو مثلث متساوي الاضلاع. عدد الأضلاع 30 ، وعدد الرؤوس هو 12.

يتم حساب المنطقة S ، الحجم الخامس لعشروني الوجوه بطول حرف a ، وكذلك نصف قطر المجالات المنقوشة والمحدودة بواسطة الصيغ:

نصف قطر المجال المدرج:

نصف قطر المجال المحدود:

الخصائص

• يمكن نقش العشريني الوجوه في مكعب ، بينما ستوضع ستة حواف متعامدة بشكل متبادل من عشري الوجوه على التوالي على ستة أوجه للمكعب ، والحواف الأربعة والعشرون المتبقية داخل المكعب ، وستكون جميع الرؤوس الاثني عشر للعشر الوجوه على ستة أوجه للمكعب .
• · يمكن نقش رباعي الوجوه في عشري الوجوه ، علاوة على ذلك ، سيتم دمج أربعة رؤوس من رباعي الوجوه مع أربعة رؤوس من عشروني الوجوه.
• · يمكن نقش المجسم العشريني في اثني عشر الوجوه ، في حين أن رؤوس المجسم العشريني ستكون محاذية لمراكز وجوه الاثني عشر الوجوه.
• · يمكن نقش اثني عشر الوجوه في عشري الوجوه مع محاذاة رؤوس الاثني عشر الوجوه ومراكز الوجوه للعشريني الوجوه.
• · يمكن الحصول على مجسم عشري الوجوه مبتور عن طريق قطع 12 رأسًا لتشكيل وجوه على شكل خماسي منتظم. في الوقت نفسه ، يزداد عدد رؤوس متعدد السطوح الجديد 5 مرات (12-5 = 60) ، ويتحول 20 وجهًا مثلثًا إلى أشكال سداسية منتظمة (العدد الإجمالي للوجوه يصبح 20 + 12 = 32) ، وعدد الحواف يزيد إلى 30 + 12؟ 5 = 90.

يحتوي العشريني الوجوه على 59 نجمًا ، 32 منها لها تناظر كامل و 27 غير مكتمل عشري الوجوه. واحدة من هذه النجوم (20 ، mod. 41 وفقًا لـ Wenninger) ، تسمى المجسم العشري الكبير ، هي واحدة من أربعة أشكال منتظمة متعددة الوجوه من Kepler-Poinsot. وجوهها عبارة عن مثلثات منتظمة تلتقي عند كل رأس خمسة ؛ يتم مشاركة هذه الخاصية من قبل عشري الوجوه الكبير مع عشري الوجوه.

من بين الأشكال النجمية هناك أيضًا: مركب من خمسة ثماني وجوه ، مركب من خمسة رباعي السطوح ، مركب من عشرة رباعي السطوح.

لاستخدام معاينة العروض التقديمية ، قم بإنشاء حساب Google (حساب) وقم بتسجيل الدخول: https://accounts.google.com

شرح الشرائح:

متعددات الوجوه. الرؤوس والحواف وأوجه متعدد السطوح. نظرية أويلر. الصف العاشر أنجزه: Kaigorodova S.V.

متعدد السطوح المنتظم هو الذي تكون فيه جميع الوجوه مضلعات منتظمة وجميع الزوايا متعددة السطوح عند الرؤوس متساوية.

منذ العصور القديمة ، عرف الإنسان خمسة متعددات وجوه مدهشة.

وفقًا لعدد الوجوه ، يطلق عليهم اسم رباعي الوجوه منتظم.

سداسي الوجوه (سداسي الوجوه) أو مكعب

ثماني السطوح (ثماني السطوح)

ثنائي الوجوه (الاثنا عشري)

عشروني الوجوه (عشرين)

تطورات المجسمات العادية

الخلفية التاريخية عرفت البشرية أربعة جوهرات من الطبيعة: النار والماء والأرض والهواء. وفقا لأفلاطون ، بدت ذراتهم مثل متعدد السطوح العادية ، الفيلسوف اليوناني العظيم أفلاطون ، الذي عاش في القرنين الرابع والخامس. قبل الميلاد ، يعتقد أن هذه الهيئات تجسد جوهر الطبيعة.

بدت ذرة النار مثل رباعي الوجوه ، والأرض - سداسي الوجوه (مكعب) من الهواء - ثماني السطوح من الماء - وعشري الوجوه

لكن كان هناك ثنائي الوجوه ، الذي لم يكن له أي تطابق ، واقترح أفلاطون أن هناك كيانًا آخر (خامسًا). أطلق عليه اسم العالم الأثير. بدت ذرات هذا الجوهر الخامس مثل اثني عشر الوجوه. أفلاطون وطلابه في أعمالهم اهتمام كبيرتعطى إلى المجسمات المدرجة. لذلك ، تسمى هذه متعددات الوجوه أيضًا بالمواد الصلبة الأفلاطونية.

بالنسبة لأي متعدد السطوح محدب ، تكون العلاقة صحيحة: Г + В-Р = 2 ، حيث Г هو عدد الوجوه ، هو عدد الرؤوس ، Р هو عدد حواف المجسم المحدد. الوجوه + الرؤوس - الحواف = 2. نظرية أويلر

خصائص متعدد السطوح المنتظم عدد جوانب الوجه عدد الوجوه المتقاربة عند كل رأس عدد الوجوه (G) عدد الحواف (P) عدد الرؤوس (V) رباعي السطوح 3 3 4 6 4 سداسي الوجوه 4 3 6 12 8 Octahedron 3 4 8 12 6 Icosahedron 3 5 20 30 12 Dodecahedron 5 3 12 30 20

ازدواجية المجسمات المتعددة السطوح المنتظمة يشكل سداسي الوجوه (مكعب) وثماني الوجوه زوجًا مزدوجًا من متعددات الوجوه. عدد وجوه متعدد السطوح واحد يساوي عدد رؤوس الآخر والعكس صحيح.

خذ أي مكعب وفكر في متعدد السطوح برؤوس في وسط وجوهه. كما ترون بسهولة ، نحصل على ثماني السطوح.

تعمل مراكز وجوه المجسم ثماني الأوجه كرؤوس المكعب.

كبريتات أنتيمون الصوديوم عبارة عن رباعي الوجوه. متعددات الوجوه في الطبيعة والكيمياء والبيولوجيا إن بلورات بعض المواد المألوفة لدينا لها شكل متعددات الوجوه المنتظمة. كريستال البيريت - نموذج ثنائي الوجوه الطبيعي. بلورات الملح تنقل شكل المكعب. بلورة واحدة من الألومنيوم - البوتاسيوم الشب لها شكل ثماني السطوح. الكريستال (المنشور) كان المجسم العشريني في مركز اهتمام علماء الأحياء في نزاعاتهم بشأن شكل الفيروسات. لا يمكن أن يكون الفيروس مستديرًا تمامًا كما كان يعتقد سابقًا. لتحديد شكله ، أخذوا العديد من الأشكال المتعددة السطوح ، ووجهوا الضوء عليهم في نفس زوايا تدفق الذرات إلى الفيروس. اتضح أن متعدد السطوح واحد فقط يعطي نفس الظل بالضبط - عشري الوجوه. في عملية انقسام البويضة ، يتم أولاً تكوين رباعي السطوح من أربع خلايا ، ثم ثماني السطوح ، ومكعب ، وأخيراً بنية ثنائية السطوح - عشرونية الوجوه للمعدة. وأخيرًا ، ربما الأهم من ذلك ، بنية الحمض النووي الكود الجينيالحياة - هو اكتساح رباعي الأبعاد (على طول المحور الزمني) من اثني عشر وجهًا دوارًا! في جزيء الميثان ، يكون له شكل رباعي السطوح العادي.

المجسمات المتعددة الوجوه في فن "صورة الموناليزا" يعتمد تكوين الصورة على المثلثات الذهبية ، وهي أجزاء من البنتاغون النجمي المنتظم. نقش "حزن" في مقدمة الصورة يوجد شكل ثنائي الوجوه. تم تصوير "العشاء الأخير" المسيح مع تلاميذه على خلفية ضخمة من اثني عشر وجهًا شفافًا.

تم إنشاء الأشكال متعددة السطوح في الهندسة المعمارية لمتحف الفاكهة في ياماناشي باستخدام النمذجة ثلاثية الأبعاد. برج سباسكايا المكون من أربع طبقات مع كنيسة المخلص غير المصنوع باليد هو المدخل الرئيسي لكرملين كازان. شيد في القرن السادس عشر من قبل المهندسين المعماريين بسكوف إيفان شيرياي وبوستنيك ياكوفليف ، الملقب بـ "بارما". المستويات الأربعة للبرج هي مكعب ، متعدد السطوح وهرم. برج سباسكايا في الكرملين. متحف فواكه منارة أهرامات الإسكندرية

في المناهج الدراسية، للأسف ، لم يتم دراسة الهندسة الكروية وهندسة Lobachevsky. وفي الوقت نفسه ، تتيح دراستها مع الهندسة الإقليدية فهمًا أعمق لما يحدث للأشياء. على سبيل المثال ، لفهم العلاقة بين متعددات الوجوه المنتظمة وأسطح الكرة ، وأسطح المستوى الإقليدي ، وأسطح مستوى Lobachevsky.
تساعد معرفة هندسة الفراغات ذات الانحناء الثابت على الارتفاع فوق الأبعاد الثلاثة وكشف الأشكال المتعددة السطوح في فضاءات ذات البعد 4 وما فوق. أسئلة لإيجاد متعددات الوجوه ، وإيجاد أقسام للمسافات ذات الانحناء المستمر ، واشتقاق صيغة زاوية زوجيةمتعدد الوجوه المنتظم في ن الأبعاد الفضاء- متشابكة بشكل وثيق لدرجة أنه تبين أن وضع كل ذلك في عنوان المقال يمثل مشكلة. دع التركيز على الأشكال المتعددة السطوح الواضحة والمنتظمة ، على الرغم من أنها ليست نتيجة جميع الاستنتاجات فحسب ، ولكنها أيضًا ، في نفس الوقت ، أداة لفهم المسافات ذات الأبعاد الأعلى والمسافات المنحنية بشكل موحد.

بالنسبة لأولئك الذين لا يعرفون (نسوا) ، أبلغ (أذكر) أنه في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد المألوف لنا ، هناك فقط خمسة أشكال متعددة الوجوه منتظمة:

1. رباعي الوجوه:	2. مكعب:	3. Octahedron:	4. دوديكاهيدرون:	5. إيكوساهيدرون:

في مساحة ثلاثية الأبعادمتعدد السطوح المنتظم هو متعدد السطوح محدب تكون فيه جميع الرؤوس متساوية مع بعضها البعض ، وجميع الأضلاع متساوية مع بعضها البعض ، وجميع الوجوه متساوية مع بعضها البعض والأوجه عبارة عن مضلعات منتظمة.

المضلع المنتظم هو مضلع محدب، حيث تكون جميع الجوانب متساوية مع بعضها البعض وجميع الزوايا متساوية مع بعضها البعض.

الرؤوس متساوية مع بعضها البعض ، مما يعني أن عدد الأضلاع وعدد الأوجه التي تقترب من كل رأس هو نفسه ويقترب من الزوايا نفسها عند كل رأس.

في مثل هذا الترميز ، ستتلقى متعددات الوجوه الخاصة بنا التعيينات:
1 - رباعي الوجوه (3 ، 3) ،
2. مكعب (4 ، 3) ،
3. Octahedron (3 ، 4) ،
4. Dodecahedron (5 ، 3) ،
5. Icosahedron (3 ، 5)
على سبيل المثال ، (4 ، 3) - للمكعب 4 أوجه زاوية ، 3 وجوه تلتقي في كل رأس.
في المجسم الثماني (3 ، 4) ، على العكس من ذلك ، تكون الوجوه 3 فحم ، وتتقارب 4 قطع في الرأس.
وهكذا ، فإن رمز Schläfli يحدد تمامًا البنية الاندماجية لمتعدد الوجوه.

لماذا يوجد 5 متعددات وجوه عادية فقط؟ ربما هناك المزيد؟

لإعطاء إجابة كاملة على هذا السؤال ، يجب أن يحصل المرء أولاً على حدس حول الهندسة على الكرة وطائرة Lobachevsky. بالنسبة لأولئك الذين ليس لديهم مثل هذه الفكرة بعد ، سأحاول تقديم التفسيرات اللازمة.

جسم كروى

1. ما هي النقطة على الكرة؟ أعتقد أنه أمر بديهي للجميع. من الناحية الذهنية ، ليس من الصعب تخيل نقطة على الكرة.

2. ما هو الجزء على الكرة؟ خذ نقطتين وقم بتوصيلهما أقصر مسافةعلى الكرة ، تحصل على قوس إذا نظرت إلى الكرة من الجانب.

3. إذا واصلت هذا الجزء في كلا الاتجاهين ، فسوف يغلق وستحصل على دائرة. في هذه الحالة ، يحتوي مستوى الدائرة على مركز الكرة ، وهذا ناتج عن حقيقة أننا ربطنا نقطتي البداية بأقصر مسافة ، وليست عشوائية. من الجانب ، يبدو وكأنه دائرة ، ولكن من حيث الهندسة الكروية هو خط مستقيم ، حيث تم الحصول عليه من مقطع ، ويستمر إلى اللانهاية في كلا الاتجاهين.

4. وأخيرًا ، ما هو المثلث الموجود على الكرة؟ نأخذ ثلاث نقاط على الكرة ونربطها بالمقاطع.

عن طريق القياس مع المثلث ، يمكنك رسم مضلع عشوائي على الكرة. بالنسبة لنا ، فإن خاصية المثلث الكروي مهمة بشكل أساسي ، والتي تتمثل في حقيقة أن مجموع زوايا هذا المثلث يزيد عن 180 درجة ، وهو ما اعتدنا عليه في المثلث الإقليدي. علاوة على ذلك ، فإن مجموع زوايا مثلثين كرويين مختلفين مختلف. كلما كبر المثلث ، زاد مجموع زواياه.

وفقًا لذلك ، تظهر العلامة الرابعة للمساواة بين المثلثات على الكرة - عند ثلاث زوايا: مثلثا كرويًا متساويان إذا تساوت زواياهما المقابلة.

للتبسيط ، من الأسهل عدم رسم الكرة نفسها ، ثم سيبدو المثلث منتفخًا بعض الشيء:

تسمى الكرة أيضًا مساحة الانحناء الإيجابي المستمر. يؤدي انحناء الفضاء إلى حقيقة أن أقصر مسافة هي قوس ، وليس مقطعًا مستقيمًا مألوفًا لنا. يبدو أن المقطع منحني.

لوباتشيفسكي

الآن بعد أن تعرفنا على الهندسة على الكرة ، لن يكون من الصعب فهم الهندسة على المستوى الزائدي ، الذي اكتشفه العالم الروسي العظيم نيكولاي إيفانوفيتش لوباتشيفسكي ، لأن كل شيء يحدث هنا بنفس طريقة الكرة ، فقط "من الداخل إلى الخارج" ، "العكس". إذا رسمنا أقواسًا على الكرة بها دوائر ، مع وجود مركز داخل الكرة ، فيجب الآن رسم الأقواس بدوائر بمركز خارج الكرة.

هيا بنا نبدأ. سنمثل طائرة Lobachevsky في تفسير Poincaré II (Jules Henri Poincaré ، العالم الفرنسي العظيم) ، وهذا التفسير لهندسة Lobachevsky يسمى أيضًا قرص Poincaré.

1. نقطة في طائرة Lobachevsky. النقطة هي أيضًا نقطة في إفريقيا.

2. قطعة على طائرة Lobachevsky. نربط نقطتين بخط على طول أقصر مسافة بمعنى طائرة Lobachevsky.

تم رسم أقصر مسافة على النحو التالي:

من الضروري رسم دائرة متعامدة على قرص Poincaré من خلال النقطتين المحددتين (Z و V في الشكل). سيكون مركز هذه الدائرة دائمًا خارج القرص. سيكون القوس الذي يربط بين النقطتين الأصليتين هو أقصر مسافة بمعنى طائرة Lobachevsky.

3. بإزالة الأقواس المساعدة ، نحصل على الخط المستقيم E1 - H1 في مستوى Lobachevsky.

النقاط E1 ، H1 "تقع" على ما لا نهاية لمستوى Lobachevsky ، بشكل عام ، حافة قرص Poincaré كلها لانهائية النقاط البعيدةطائرات Lobachevsky.

4. وأخيرًا ، ما هو المثلث في طائرة Lobachevsky؟ نأخذ ثلاث نقاط ونربطها بالمقاطع.

عن طريق القياس مع المثلث ، يمكنك رسم مضلع عشوائي على مستوى Lobachevsky. بالنسبة لنا ، الملكية مثلث زائدي، والتي تتمثل في حقيقة أن مجموع زوايا مثل هذا المثلث يكون دائمًا أقل من 180 درجة ، وهو ما اعتدنا عليه في المثلث الإقليدي. علاوة على ذلك ، فإن مجموع زوايا مثلثين زائديين مختلفين مختلف. كلما كان المثلث أكبر في المساحة ، كلما كان مجموع الزوايا أقل.

وفقًا لذلك ، تحدث هنا أيضًا العلامة الرابعة للمساواة في المثلثات الزائدية - بثلاث زوايا: مثلثا زائديين متساويين إذا تساوت زواياهما المتناظرة.

للتبسيط ، يمكن في بعض الأحيان حذف قرص Poincare نفسه ، ثم سيبدو المثلث "منكمشًا" قليلاً ، "في مهب":

يُطلق على مستوى Lobachevsky (وبشكل عام مساحة Lobachevsky من أي بُعد) أيضًا مساحة الثابت انحناء سلبي. يؤدي انحناء الفضاء إلى حقيقة أن أقصر مسافة هي قوس ، وليس مقطعًا مستقيمًا مألوفًا لنا. يبدو أن المقطع منحني.

الأقسام المنتظمة للكرة ثنائية الأبعاد والمتعددة السطوح المنتظمة ثلاثية الأبعاد

كل ما يقال عن كرة وطائرة Lobachevsky يشير إلى ثنائية الأبعاد ، أي سطح الكرة ثنائي الأبعاد. ما علاقة هذا بالأبعاد الثلاثية المشار إليها في عنوان المقال؟ اتضح أن كل متعدد الوجوه إقليدي منتظم ثلاثي الأبعاد يتوافق مع واحد لواحد مع قسمه الخاص للكرة ثنائية الأبعاد. يظهر هذا بشكل أفضل في الشكل:

من أجل الحصول على قسم للكرة من متعدد السطوح منتظم ، من الضروري وصف كرة حول متعدد السطوح. ستكون رؤوس متعدد السطوح على سطح الكرة ، وتربط هذه النقاط بأجزاء على الكرة (الأقواس) ، وسوف نحصل على قسم من كرة ثنائية الأبعاد إلى مضلعات كروية منتظمة. على سبيل المثال ، تم إجراء عرض توضيحي بالفيديو لكيفية توافق العشريني الوجوه مع تقسيم الكرة إلى مثلثات كروية والعكس صحيح ، كيف أن تقسيم الكرة إلى مثلثات كروية تتلاقى خمسة عند قمة الرأس يتوافق مع عشري الوجوه.

من أجل بناء متعدد السطوح من قسم في كرة ، يجب أن تكون رؤوس القسم المقابل للأقواس متصلة بقطاعات إقليدية عادية ومستقيمة.

وفقًا لذلك ، فإن رمز Schläfli للعشريني الوجوه (3 ، 5) - مثلثات تتقارب خمس قطع عند الرأس ، لا تحدد فقط بنية هذا متعدد السطوح ، ولكن أيضًا هيكل تقسيم الكرة ثنائية الأبعاد. وبالمثل مع polytopes أخرى ، تحدد رموز Schläfli أيضًا بنية الأقسام المقابلة. علاوة على ذلك ، يمكن أيضًا تحديد أقسام المستوى الإقليدي وطائرة Lobachevsky إلى مضلعات منتظمة بواسطة رمز Schläfli. على سبيل المثال ، (4 ، 4) - رباعي الأضلاع يتقارب في أربع - هذا هو دفتر الملاحظات المربّع المعتاد لنا جميعًا ، أي هو تقسيم الطائرة إقليدس إلى مربعات. هل هناك أقسام أخرى للطائرة الإقليدية؟ سنرى المزيد.

بناء أقسام الكرة ثنائية الأبعاد والطائرة الإقليدية وطائرة Lobachevsky

لإنشاء أقسام من فضاءات ثنائية الأبعاد ذات انحناء ثابت (هذا هو اسم شائعهؤلاء ثلاث مسافات) نحتاج إلى هندسة مدرسة ابتدائية ومعرفة أن مجموع زوايا المثلث الكروي أكبر من 180 درجة (أكبر من Pi) ، وأن مجموع زوايا المثلث الزائدي أقل من 180 درجة (أقل من Pi) ، وما هو رمز شلَيْفلي. كل هذا سبق أن قيل أعلاه.

لذلك ، لنأخذ رمز Schläfli التعسفي (p1 ، p2) ، فهو يحدد قسمًا من أحد المساحات الثلاثة للانحناء المستمر (هذا صحيح بالنسبة للمستوى ، بالنسبة للمساحات ذات الأبعاد الأعلى ، يكون الوضع أكثر تعقيدًا ، لكن لا شيء يمنعنا من استكشاف جميع تركيبات الرمز).

ضع في اعتبارك أن p1-gon منتظم ، ارسم مقاطع تربط مركزها ورؤوسها. احصل على قطع p1 مثلث متساوي الساقين(يظهر في الشكل مثلث واحد فقط). نشير إلى مجموع زوايا كل من هذه المثلثات كـ t ونعبر عن t بدلالة pi ومعامل lambda.

ثم إذا كانت lamda = 1 ، فإن المثلث الإقليدي ، أي في المستوى الإقليدي ، إذا كانت لامدا في الفترة (1 ، 3) ، فهذا يعني أن مجموع الزوايا أكبر من pi وهذا يعني أن هذا المثلث كروي (ليس من الصعب تخيل ذلك باستخدام زيادة في المثلث الكروي في النهاية ، يتم الحصول على دائرة بها ثلاث نقاط عليها ، في كل نقطة ، تبين أن زاوية المثلث تساوي pi ، وفي المجموع 3 * pi. وهذا يفسر الحد الأعلى لـ الفاصل = 3). إذا كانت لامدا في الفترة (0 ، 1) ، يكون المثلث قطعيًا ، لأن مجموع زواياه أقل من pi (أي أقل من 180 درجة). باختصار ، يمكن كتابة هذا على النحو التالي:

من ناحية أخرى ، من أجل التقارب عند قمة الرأس p2 من القطع (أي عدد صحيح) من المضلعات نفسها ، من الضروري أن

معادلة تعبيرات 2 * betta الموجودة في حالة التقارب ومن المضلع:

حصلنا على معادلة توضح أيًا من المساحات الثلاثة ينقسم الشكل المعطى برمز Schläfli (p1 ، p2). لحل هذه المعادلة ، يجب على المرء أيضًا أن يتذكر أن p1 ، p2 هي أعداد صحيحة أكبر من أو تساوي 3. هذا ، إذا جاز التعبير ، يتبع من الحس المادي، نظرًا لأن هذه زوايا p1 (على الأقل 3 زوايا) ، تتقارب في قطع p2 عند الرأس (أيضًا 3 على الأقل ، وإلا فلن تكون قمة).

حل هذه المعادلة هو تكرار جميع القيم الممكنة لـ p1 و p2 أكبر من أو تساوي 3 وحساب قيمة lambda. إذا اتضح أنه يساوي 1 ، فإن (p1 ، p2) يقسم المستوى الإقليدي ، إذا كان أكبر من 1 ولكن أقل من 3 ، فهذا يعني انقسام الكرة ، إذا كان من 0 إلى 1 ، فهذا هو انقسام طائرة Lobachevsky. يتم تلخيص كل هذه الحسابات بشكل ملائم في جدول.

أين يمكنك أن ترى ذلك:
1. 5 حلول فقط تتوافق مع الكرة ، عندما تكون لامدا أكبر من 1 وأقل من 3 ، يتم تمييزها بالأخضرفي الطاولة. هذه هي: (3 ، 3) - رباعي السطوح ، (3 ، 4) - ثماني السطوح ، (3 ، 5) - عشروني الوجوه ، (4 ، 3) - مكعب ، (5 ، 3) - ثنائي الوجوه. تم عرض صورهم في بداية المقال.
2. تتوافق أقسام المستوى الإقليدي مع ثلاثة حلول فقط ، عندما تكون lamda = 1 ، يتم تمييزها باللون الأزرق في الجدول. هذا ما تبدو عليه هذه الانقسامات.

3. وأخيرًا ، تتوافق جميع المجموعات الأخرى (p1 ، p2) مع أقسام مستوى Lobachevsky ، على التوالي ، هناك عدد لا حصر له (معدود) من هذه الأقسام. يبقى فقط لتوضيح بعض منهم ، على سبيل المثال.

نتائج

وبالتالي ، لا يوجد سوى 5 متعددات الوجوه العادية ، وهي تتوافق مع خمسة أقسام من كرة ثنائية الأبعاد ، ولا يوجد سوى 3 أقسام من المستوى الإقليدي ، وهناك عدد لا يحصى من الأقسام في مستوى Lobachevsky.
ما هو تطبيق هذه المعرفة؟

هناك أشخاص مهتمون بشكل مباشر بأقسام المجال.