النقطة هي أن النتيجة. واحد

بأي درجة تبدأ؟ طريقة اللحظات هي إحدى الطرق الأكثر شهرة وسهولة في الاستخدام. يأتي الاسم من حقيقة أن هذه الطريقة تعتمد على استخدام لحظات العينة

حيث x1 ، x2 ، ... ، xn هي عينة ، أي مجموعة من المتغيرات العشوائية المستقلة الموزعة بشكل متماثل مع القيم العددية.

في الإحصاء التطبيقي ، تسمى طريقة تحليل البيانات طريقة اللحظةإذا كانت تستخدم الإحصائيات

أين ز: ص ف >ص ك- بعض الوظائف (هنا كهو عدد المعلمات العددية غير المعروفة). في أغلب الأحيان ، يتم استخدام مصطلح "طريقة اللحظات" عندما نحن نتكلمحول تقدير المعلمة. في هذه الحالة ، يُفترض عادةً أن كثافة احتمالية توزيع عناصر العينة F(x) مدرج في الأسرة البارامترية ( F(x؛ ط) ، أنا) ، أي F(x) = F(x؛ و 0) للبعض و 0. أنا هنا محدد سلفا كمساحة المعلمة ذات الأبعاد ، وهي مجموعة فرعية من الفضاء الإقليدي ص ك، والقيمة المحددة للمعامل وإحصاءات 0 غير معروفة ، ويجب تقديرها. من المعروف أيضًا أن المعلمة غير المعروفة يتم تحديدها باستخدام إحصاء دالة معروف من خلال اللحظات الأولية لعناصر العينة:

في طريقة اللحظات ، يتم استخدام الإحصائيات كتقديرات و 0 ص نمن الشكل (1) والتي تختلف عن الصيغة (1) في ذلك لحظات نظريةاستبدالها بأخرى انتقائية.

إحصائيات ص نمن النموذج (1) ليس فقط لتقدير المعلمات ، ولكن أيضًا للتقدير اللامعلمي لخصائص متغير عشوائي ، مثل معامل التباين ، واختبار الفرضيات. في جميع الحالات التي يتم فيها تطبيق الإحصائيات ص نمن الشكل (1) يتحدث عن طريقة اللحظات.

توزيع المتجهات ص نطبيعي بشكل مقارب في جميع الحالات المهمة عمليًا. هذا البيان مبني على الحقيقة العامة التالية.

دع متجه عشوائي ض ن є ص فطبيعي مقارب مع توقع رياضي ض؟ ومصفوفة التغاير || ج اي جاي ||/ن، والوظيفة ح: ص ف > ص 1 سلس للغاية. ثم قيمة عشوائية ح(ض ن) طبيعي بشكل مقارب مع التوقع ح(ض؟) والتشتت

للحصول على التوزيع المقارب للإحصاءات ص نالشكل (1) يمكن للمرء أن يطبق طريقة الخطية على التقارب ناقلات الطبيعيلحظات عينة ( م ن 1 , م ن 2 , …, م نف) والوظائف زمن الصيغة (1).

لتطبيق الصيغة (3) ، من الضروري استخدام الفروق المقاربة والتباين في لحظات العينة ، أي الكميات المشار إليها في الصيغة (3) كـ ج روبية. تبدو هذه الكميات كما يلي:

هنا م ص - نظري لحظة مركزيةترتيب ص، بمعنى آخر.

وبالتالي ، للحصول على توزيع مقارب لمتغير عشوائي ص نمن النموذج (1) يكفي معرفة اللحظات المركزية النظرية لنتائج الملاحظات وشكل الوظيفة ز.

ومع ذلك ، فإن التوقيت غير معروف. يجب أن يتم تقييمها. وفقًا للنظريات حول وراثة التقارب ، للعثور على التوزيع المقارب لوظيفة لحظات العينة ، لا يمكن للمرء استخدام اللحظات النظرية ، ولكن تقديراتها المتسقة. يمكن الحصول على هذه الدرجات طرق مختلفة. يمكن تطبيق الصيغ (4) مباشرة عن طريق استبدال اللحظات النظرية بأخرى انتقائية. يمكن التعبير عن اللحظات من حيث معلمات التوزيع المدروس.

لتقدير معلمات توزيع جاما ، نستخدمها الصيغة الشهيرة، وفقًا لمتغير عشوائي X، والتي لها توزيع غاما مع معلمات الشكل أ، مقياس ب= 1 والتحول ج = 0 ،

بالتالي، م(X) = أ, م(X 2) = أ(أ+1), د(X) = م(X 2) - (م(X)) 2 = أ(أ+1) - أ 2 = أ. لنجد اللحظة المركزية الثالثة م(X - م(X)) 3. مساواة عادلة

م(X - م(X)) 3 = م(X 3) - 3 م(X 2) م(X) + 3 م(خ) ( م(X)) 2 - (م(X)) 3

من المساواة (6) يتبع ذلك

م(X - م(X)) 3 = أ(أ+1)(أ+2) - 3 أ (أ+1) أ + 3 أ أ 2 - أ 3 = 2أ.

اذا كان ص- متغير عشوائي له توزيع غاما بمعلمات شكل عشوائية أ، مقياس بوالتحول ج، ومن بعد ص =bX + ج. بالتالي، م(ص) = أب+ج, د(ص) = أب 2 , م(ص - م(ص)) 3 = 2أ ب 3 .

طريقة اللحظات عالمية. ومع ذلك ، فإن التقديرات التي تم الحصول عليها بمساعدتها لها خصائص مثالية فقط في حالات نادرة. لذلك ، يتم استخدام أنواع أخرى من التقديرات أيضًا في الإحصائيات التطبيقية.

تتكون سلسلة التوزيع المتغير من عنصرين من المتغيرات والترددات.

خياراتتسمى القيم العددية للسمة الكمية في سلسلة التوزيع ، ويمكن أن تكون موجبة وسالبة ، مطلقة ونسبية. التردداتهي عدد المتغيرات الفردية أو كل مجموعة من سلسلة التباينات. يُطلق على مجموع كل الترددات حجم السكان ويحدد عدد عناصر المجتمع بأكمله.

يمكن تشكيل صفوف التوزيع وفقًا للنوعي (الإحالة) والكمي pr-ku. في الحالة الأولى ، يتم استدعاؤهم نسبي ، وفي الثانية - المتغيرة.

سلسلة التوزيع المتغيرة على طول بناء sp-bu منفصلة وفاصلة:

Diskr. فار. صف التوزيع - المجموعات متسقة على أساس أنه يتغير بشكل منفصل ولا يأخذ سوى قيم صحيحة. تباين الفاصل الزمني. صف التوزيع - يمكن لسمة التجميع ، حالة المجموعة ، أن تأخذ أي قيمة في فترة زمنية معينة. يتم استدعاء عدد وحدات التردد لكل وحدة int-la. كثافة التوزيع. عدد من التكرارات التراكمية (التراكمية) - تبين عدد الحالات تحت أو أعلى من مستوى معين. صور بيانية لعدد من التوزيعات: مخططات خطية ، مستوية ، مدرج تكراري ، منحنى تراكمي (يعرض سلسلة من الترددات المتراكمة)

9. حساب المتوسط المرجح.

عند حساب المتوسطات ، يمكن تكرار القيم الفردية للسمة التي تم حساب متوسطها ، لذلك يتم حساب المتوسط باستخدام البيانات المجمعة. في هذه الحالة نتحدث عن استخدام المتوسط الحسابي المرجح والذي يبدو مثل: X mean = (EXi * fi) / Efi

عند حساب المتوسط لسلسلة تباين الفاصل الزمني ، من أجل إجراء الحسابات اللازمة ، يمر المرء من الفترات إلى نقاط المنتصف الخاصة بهم.

حساب المتوسط بطريقة اللحظات.بناء على الخصائص المتوسط الحسابي. كصفر شرطي - X0 ، اختر منتصف أحد الفواصل المركزية ، والذي يحتوي على أعلى تردديتم استخدام هذه الطريقة فقط في صفوف ذات فترات زمنية متساوية.

10. المتوسط التوافقي البسيط والمرجح.

متوسط متناسق. يسمى هذا المتوسط بالمتوسط الحسابي المتبادل ، حيث يتم استخدام هذه القيمة عندما تكون k = -1. يعني التوافقية البسيطةيستخدم عندما تكون أوزان القيم المميزة هي نفسها. يمكن اشتقاق صيغتها من الصيغة الأساسية بالتعويض عن k = -1:

إلى على سبيل المثال ، نحتاج إلى حساب متوسط سرعة سيارتين سافرا في نفس المسار ، ولكن بسرعات مختلفة: الأولى بسرعة 100 كم / ساعة ، والثانية عند 90 كم / ساعة. باستخدام طريقة المتوسط التوافقي ، نحسب متوسط السرعة:

في الممارسة الإحصائية ، يعد استخدامه أكثر شيوعًا التوازن التوافقي، تبدو صيغة القط مثل:

تُستخدم هذه الصيغة في الحالات التي لا تتساوى فيها الأوزان (أو أحجام الظواهر) لكل سمة. في النسبة الأصلية ، من المعروف أن البسط يحسب المتوسط ، لكن المقام غير معروف.

على سبيل المثال ، عند الحساب متوسط السعريجب أن نستخدم نسبة كمية المبيعات إلى عدد الوحدات المباعة. لا نعرف عدد الوحدات المباعة (نحن نتحدث عن بضائع مختلفة) ، لكننا نعرف مبالغ مبيعات هذه البضائع المختلفة. لنفترض أنك بحاجة إلى معرفة متوسط سعر البضائع المباعة: نوع البضاعة السعر لكل وحدة ، فرك ، كمية المبيعات ، فرك.

نحن نحصل

ه إذا كنت تستخدم معادلة المتوسط الحسابي هنا ، يمكنك الحصول على متوسط سعر غير واقعي:

11. حساب مبسط لمتوسط الحساب. (راجع ar.) (طريقة اللحظات).

باستخدام St. cf. ar. ، يمكن حساب الأثر. الطريقة: 1) اطرح رقمًا ثابتًا من جميع الخيارات (الأفضل قيمة الخيار الأوسط) ؛ 2) قسّم الخيارات على رقم ثابت - بقيمة الفاصل الزمني ؛ 3) التعبير عن الترددات في٪. الحساب cf. نكون. أول طريقتين تسمى طريقة العد من البداية الشرطية (طريقة اللحظات). تُستخدم هذه الطريقة في صفوف ذات فترات زمنية مختلفة. تزوج نكون. في هذه الحالة ، مواطنه. بواسطة f-le:

حيث m هي لحظة الترتيب الأول ؛ × 0 - بداية العد التنازلي ؛ K هي قيمة الفترة.

12. الوضع والمتوسط.

د لتحديد هيكل السكان ، يتم استخدام متوسطات خاصة ، والتي تشمل الوسيط والوضع ، أو ما يسمى بالمتوسطات الهيكلية. الوسيط(Me) هي القيمة التي تتوافق مع المتغير في منتصف السلسلة المرتبة. بالنسبة للسلسلة المرتبة التي تحتوي على عدد فردي من القيم الفردية (على سبيل المثال ، 1 ، 2 ، 3 ، 3 ، 6 ، 7 ، 9 ، 9 ، 10) ، سيكون الوسيط هو القيمة الموجودة في وسط سلسلة ، أي الحجم الخامس. بالنسبة إلى سلسلة مرتبة مع عدد زوجي من القيم الفردية (على سبيل المثال ، 1 ، 5 ، 7 ، 10 ، 11 ، 14) ، سيكون الوسيط هو المتوسط قيمة حسابية، والتي يتم حسابها من كميتين متجاورتين. الوسيط في حالتنا هو (7 + 10): 2 = 8.5. أي ، للعثور على الوسيط ، يجب عليك أولاً تحديده رقم سري(موقعه في السلسلة المرتبة) وفقًا للصيغة Nme = (n + 1) / 2 ، حيث n هو عدد الوحدات في الإجمالي. يتم تحديد القيمة العددية للوسيط من خلال الترددات المتراكمة في سلسلة متغيرة منفصلة. للقيام بذلك ، يجب عليك أولاً تحديد الفاصل الزمني للعثور على الوسيط في سلسلة الفاصل الزمني للتوزيع. الوسيط هو الفاصل الزمني الأول حيث يتجاوز مجموع الترددات المتراكمة نصف العدد الإجمالي للملاحظات. عادة ما يتم تحديد القيمة العددية للوسيط بالصيغة -----  حيث xMe هو الحد الأدنى للفاصل الزمني الوسيط ؛ ط - قيمة الفاصل الزمني ؛ S-1 - التردد المتراكم للفترة التي تسبق الوسيط ؛ f هو تكرار الفترة الوسيطة.

أزياء (مو)قم بتسمية قيمة السمة التي تحدث غالبًا في وحدات السكان. بالنسبة للسلسلة المنفصلة ، سيكون الوضع هو البديل بأعلى تردد. لتحديد طريقة سلسلة الفاصل الزمني ، يتم تحديد الفاصل الزمني الشرطي (الفاصل الزمني الذي يحتوي على أعلى تردد) أولاً. بعد ذلك ، خلال هذا الفاصل الزمني ، يتم العثور على قيمة الميزة ، والتي يمكن أن تكون وضعًا. للعثور على قيمة وضع معينة ، يجب عليك استخدام الصيغة

حيث xMo هو الحد الأدنى للفاصل الزمني الشرطي ؛ iMo - قيمة الفاصل الزمني الشرطي ؛ fMo هو تردد الفاصل الزمني ؛ fMo-1 - تردد الفاصل الزمني السابق للوضع ؛ fMo + 1 - تردد الفاصل الزمني بعد النموذج.

الموضة استخدام واسعفي الأنشطة التسويقية في دراسة طلب المستهلك ، لا سيما في تحديد الأحجام الأكثر شيوعًا للملابس والأحذية ، في تنظيم سياسة التسعير.

13. خواص الحساب المتوسط. (راجع Ar.)

1. إذا كان من بين جميع خيارات السلسلة (-) أو لجميع الخيارات (+) رقم ثابت ، فعندئذٍ راجع. نكون. تقليل أو زيادة تبعا لذلك.
.2 إذا تم ضرب أو قسمة جميع متغيرات المتسلسلة على رقم ثابت ، فعندئذٍ راجع. نكون. على التوالي زيادة أو نقصان بهذا العدد من المرات.
3. إذا زادت جميع الترددات أو انخفضت بعدد ثابت من المرات ، فلن يتغير المتوسط من هذا.
.

4. مجموع الانحرافات لجميع متغيرات السلسلة عن cf. نكون. = 0. (خاصية الصفر للمتوسط). . 5. Σ إذا أنا = Σ إصلاح أنا. دائمًا ما يكون ناتج المتوسط ومجموع الترددات مساويًا لمجموع حاصل ضرب المتغير والترددات.

6
مجموع الانحرافات التربيعية لجميع متغيرات السلسلة من cf. نكون.

هذه الخاصية هي أساس الطريقة المربعات الصغرى، قطة. تستخدم على نطاق واسع في البحث. العلاقات.

14. أنواع التشتت. حكم جمعهم .

ص هناك ثلاثة أنواع من التشتت: عام ؛ متوسط intragroup بين المجموعات. التباين الكلي ( 2 حول ) يميز تباين سمة السكان بالكامل تحت تأثير كل تلك العوامل التي تسببت في هذا الاختلاف. يتم تحديد هذه القيمة بواسطة الصيغة  2 o =  (متوسط X - Xo) 2 * f / f ، حيث يكون متوسط Xo هو المتوسط الحسابي العام لجميع السكان قيد الدراسة. يعني التشتت داخل المجموعة ( 2 معدل) يشير إلى تباين عشوائي قد ينشأ تحت تأثير أي عوامل غير محسوبة ولا يعتمد على العامل المميز الذي يقوم عليه التجميع. يتم حساب هذا التباين على النحو التالي: أولاً ، يتم حساب الفروق للمجموعات الفردية (  2 أنا) ، ثم يتم حساب متوسط التباين داخل المجموعة (  2 أنايعني): حيث ni هو عدد الوحدات في المجموعة. التباين بين المجموعاتيميز الاختلاف المنهجي ، أي الاختلافات في قيمة السمة قيد الدراسة ، والتي تنشأ تحت تأثير عامل السمات ، وهو أساس التجميع. يتم حساب هذا التشتت بواسطة الصيغة

جي دي- متوسط القيمةلمجموعة منفصلة. جميع أنواع التشتت الثلاثة مترابطة: التباين الكلييساوي مجموع المتوسط التباين داخل المجموعةوالتباين بين المجموعات:

د هذه النسبة تعكس القانون الذي يسمى قاعدة إضافة الفروق. وفقًا لهذا القانون (القاعدة) ، فإن التشتت الكلي الذي يحدث تحت تأثير جميع العوامل يساوي مجموع التشتت الذي يظهر تحت تأثير العامل المميز الذي يقوم عليه التجمع وتحت تأثير العوامل الأخرى. بفضل قاعدة إضافة التباينات ، من الممكن تحديد أي جزء من التباين الكلي يقع تحت تأثير العامل المميز الذي يقوم عليه التجميع.

15 . أنواع المتوسطات. حسابهم .

16. مؤشرات الاختلاف المستخدمة في الإحصاء.

الاختلاف ، أي التناقض بين مستويات نفس المؤشر في كائنات مختلفة موضوعي ويساعد على فهم جوهر الظاهرة قيد الدراسة. هناك عدة طرق لقياس التباين في الإحصائيات. أبسط هو حساب المؤشر تباين الامتداد H كفرق بين Xmax و Xmin: H = Xmax - Xmin. لكن نطاق التباين يظهر فقط القيم القصوى للسمة. لا يتم أخذ تكرار القيم الوسيطة في الاعتبار هنا. متوسط الانحراف الخطي d هو المتوسط الحسابي للانحرافات المطلقة لميزة عن مستواها المتوسط: d =  (متوسط Xi - X) / n. عند تكرار القيم الفردية لـ X ، يتم استخدام صيغة المتوسط الحسابي المرجح. في البحث العلمي الإحصائي ، غالبًا ما يستخدم المؤشر لقياس التباين. تشتت:δ \ u003d  (متوسط Xi - X) 2 / n. المؤشر الذي يساوي √δ 2 يسمى المتوسط الانحراف التربيعي.قيمة Mx = √ (δ 2 / n) هي متوسط خطأ أخذ العينات وهي خاصية لانحراف القيمة المتوسطة للعينة عن قيمتها المتوسطة الحقيقية. فِهرِس متوسط الخطأتستخدم في تقييم موثوقية نتائج الملاحظات الانتقائية. معامل في الرياضيات او درجة التذبذباتيعكس تذبذب القيم القصوى للسمة حول المتوسط: Ko = (متوسط R / X) * 100٪. رحلة خطية نسبيةيميز نسبة متوسط قيمة علامة الانحرافات المطلقة عن متوسط القيمة Kd = (متوسط d / متوسط X) * 100٪. معامل الاختلاف: V = (/ X متوسط) * 100٪

17. أبسط طرق معالجة السلاسل الزمنية.

أبسط أنواع معالجة السلاسل الزمنية هي: تكبير الفاصل الزمني ، طريقة المتوسط المتحرك ، المحاذاة التحليلية ، الاستقراء والاستيفاء.

توحيد الفترات.سلسلة من الديناميكيات مقسمة إلى عدد كبير بما فيه الكفاية فترات متساوية. إذا كانت المستويات المتوسطة عبر الفترات الزمنية لا تسمح برؤية اتجاه التطور ، فإنها تشرع في حساب المستويات لفترات طويلة من الزمن ، مما يزيد من طول كل فترة (تقليل عدد الفواصل الزمنية). المتوسط المتحرك.في هذه الطريقة ، يتم استبدال المستويات الأولية للسلسلة بقيم متوسطة ، يتم الحصول عليها من هذا المستوى والعديد من المستويات المتماثلة المحيطة بها. يُطلق على العدد الصحيح للمستويات التي يتم حساب متوسط القيمة عليها اسم فاصل التجانس. من أجل إنشاء نموذج يعبر عن الاتجاه الرئيسي لتغيير مستويات السلسلة الديناميكية بمرور الوقت ، نستخدم المحاذاة التحليليةسلسلة من الديناميات. أبسط النماذج التي تعبر عن اتجاه التطور هي: دالة خطية لخط مستقيم ، دالة أسية ، قطع مكافئ ، قطع مكافئ بترتيب n ، قطع زائد ، أسي. في بعض الأحيان يصبح من الضروري توقع المستوى المستقبلي لسلسلة زمنية. في مثل هذه الحالات ، يلجأون إلى طريقة معالجة السلاسل الزمنية ، المسماة استقراء: y n +1 = y n + y n + y n ، حيث y n +1 هو المستوى غير المعروف من السلسلة ، y n هو آخر مستوى معروف من السلسلة ، ∆y n هي الزيادة المطلقة في السلسلة للمستوى الأخير من السلسلة (∆y n = y n - y n -1) ، ∆∆y n - التغيير في نمو المستوى الأخير من السلسلة. إلى جانب الاستقراء ، تُستخدم أحيانًا مثل هذه التقنية لمعالجة السلاسل الزمنية ، مثل إقحام- الاكتشاف المصطنع للأعضاء المفقودين داخل السلسلة الديناميكية. تم العثور على المستوى المجهول للسلسلة من خلال الصيغة: y i = (y i +1 + y i -1) / 2. حيث: y i - مستوى غير معروف من السلسلة ، y i +1 - مستوى السلسلة بعد المجهول ، y i -1- المستوى السابق من السلسلة.

في عملية حساب المتوسط الحسابي واستخدامه في تحليل العمليات الاجتماعية والاقتصادية ، قد يكون من المفيد معرفة عدد من الخصائص الرياضية، والتي نقدمها بدون أدلة مفصلة.

خاصية 1. الوسط الحسابي قيمة ثابتةيساوي هذا الثابت: at

خاصية 2. مجموع جبريانحرافات قيم السمات الفردية عن المتوسط الحسابي هي صفر: للبيانات غير المبوبة و لصفوف التوزيع.

هذه الخاصية تعني أن مجموع الانحرافات الموجبة يساوي المجموع الانحرافات السلبية، بمعنى آخر. جميع الانحرافات لأسباب عشوائية تلغي بعضها البعض.

الخاصية 3. مجموع الانحرافات التربيعية للقيم الفردية للسمة عن المتوسط الحسابي هو الحد الأدنى للرقم: للبيانات غير المبوبة و لصفوف التوزيع. تعني هذه الخاصية أن مجموع الانحرافات التربيعية للقيم الفردية لسمة ما عن المتوسط الحسابي يكون دائمًا أقل من مجموع انحرافات متغيرات السمة عن أي قيمة أخرى ، حتى لو كانت تختلف قليلاً عن المتوسط.

يتم استخدام الخواص الثانية والثالثة للمتوسط الحسابي للتحقق من صحة حساب متوسط القيمة ؛ عند دراسة أنماط التغيرات في مستويات سلسلة من الديناميكيات ؛ لإيجاد معاملات معادلة الانحدار عند دراسة الارتباط بين السمات.

تعبر الخصائص الثلاثة الأولى عن السمات الأساسية للمتوسط كفئة إحصائية.

الخصائص التاليةيعتبر المتوسط حسابيًا ، لأن لديهم بعض القيمة التطبيقية.

الخاصية 4. إذا تم تقسيم جميع الأوزان (الترددات) على عدد ثابت معين d ، فلن يتغير المتوسط الحسابي ، نظرًا لأن هذا يُعد اختزالًا في بالتساويسيؤثر على كل من البسط والمقام في الصيغة لحساب المتوسط.

نتيجتان مهمتان يتبعان هذه الخاصية.

النتيجة الطبيعية 1. إذا كانت جميع الأوزان متساوية ، فيمكن استبدال حساب المتوسط الحسابي الموزون بحساب المتوسط الحسابي البسيط.

النتيجة 2. القيم المطلقةيمكن استبدال الترددات (الأوزان) بأوزانها المحددة.

الخاصية 5. إذا تم تقسيم جميع الخيارات أو ضربها بعدد ثابت d ، فإن المتوسط الحسابي سينخفض أو يزيد بمقدار d مرات.

الملكية 6. إذا تم تخفيض أو زيادة جميع الخيارات بنسبة رقم ثابتأ ، ثم ستحدث تغييرات مماثلة مع المتوسط.

خصائص التطبيقيمكن توضيح المتوسط الحسابي بتطبيق طريقة حساب المتوسط من البداية الشرطية (طريقة اللحظات).

متوسط طريقة حسابيةيتم حساب اللحظات بالصيغة:

حيث A هو منتصف أي فترة (يتم إعطاء الأفضلية للفاصل المركزي) ؛

د هي قيمة الفترة المتساوية ، أو القاسم المتعدد الأكبر للفترات ؛

م 1 هي لحظة الترتيب الأول.

يتم تحديد لحظة الطلب الأول على النحو التالي:

سنوضح تقنية تطبيق طريقة الحساب هذه باستخدام بيانات المثال السابق.

الجدول 5.6

خبرة في العمل ، سنوات	عدد العمال	الفاصل x
ما يصل الى 5		2,5	-10	-2	-28
5-10		7,5	-5	-1	-22
10-15		12,5
15-20		17,5	+5	+1	+25
20 وما فوق		22,5	+10	+2	+22
المجموع		X	X	X	-3

كما يتضح من الحسابات الواردة في الجدول. يتم طرح 5.6 من قيمها 12.5 من جميع الخيارات ، والتي تساوي الصفر وتعمل كنقطة مرجعية شرطية. نتيجة لقسمة الاختلافات على قيمة الفاصل - 5 ، يتم الحصول على متغيرات جديدة.

حسب نتائج الجدول. 5.6 لدينا: .

نتيجة الحسابات بطريقة اللحظات مشابهة للنتيجة التي تم الحصول عليها باستخدام الطريقة الرئيسية للحساب بالمتوسط المرجح الحسابي.

صيغ للإحصاءات

الموضوع 1: تجميع الإحصائيات

تحديد عدد المجموعات(إذا تم تجميعها حسب الجائزة المستمرة أو منفصلة مع العديد من القيم)

تحديد حجم الفترة المتساوية:

الموضوع 2: القيم المطلقة والنسبية

القيم النسبية :

1) يتعلق. هياكل led:

2) يتعلق. الرصاص في مهمة مجدولة:

3) يتعلق. تنفيذ الخطة الأولية:

4) يتعلق. ديناميات led أو معدل النمو:

5) يتعلق. الصمام للمقارنة

6) يتعلق. شدة الرصاص(مثال: العائد على الأصول = الحجم / القيمة (سنة واحدة))

الموضوع 3: وسائل ومقاييس التباين

المتوسط الحسابي

بسيط :

موزون :

متوسط متناسق

بسيط :

موزون : , مجموع القيم المميزة حسب المجموعة

خصائص متوسطة علم الحساب:

إذا كان كل متغير Xإنقاص أو زيادة بنفس العدد ، ثم راجع. انخفاض أو زيادة في نفس العدد ؛

إذا كان كل متغير Xتنقص أو تزيد بنفس العدد من المرات ، ثم راجع. انخفاض أو زيادة في نفس العدد من المرات ؛

إذا كان كل تردد Fتنقص أو تزيد بنفس العدد من المرات ، ثم راجع. لن يتغير vel-on.

تزوج قاد على يعتمد على من var-youX وهياكل مغرفة، قطة. تتميز بالأسهم د.

سلسلة التوزيع لديها 3 مراكز:

1) راجع Arimet شيء ;

2) موضه - فار تا الأكثر شيوعًا ؛

3) الوسيط - Var-ta ، يقف في منتصف صف التوزيع. ابحث أولاً عن متوسط N ، قطة. يساوي ن / 2 إذا عدد الوحداتسكوب ن هو عدد زوجي ، أو إذا كان عدد وحدات المغرفة فرديًا.

رئيسي بعد الاختلافات:

1) نطاق الاختلاف:

2) راجع الانحراف الخطي(راجع الحساب من الانحرافات المطلقة للقيم المنفصلة)

ل ungrouped بيانات:

للمجموعة بيانات:

3) راجع الانحراف المعياري(har-et cf. الانحراف المطلق للمتغير من cf. vel-ny)

ل ungrouped بيانات:

للمجموعة بيانات:

4) تشتت- انحراف الجذر التربيعي التربيعي

ل ungrouped بيانات:

للمجموعة بيانات:

التباين الكلي: (للمجموعات) (لغير المجموعات.)

– راجع أدى إلى النتيجة. جائزة الضمير - التردد (في المجموع!)

التباين داخل المجموعة: - عدد الخيارات في المجموعة أنا

التباين بين المجموعات: - عدد الخيارات في المجموعة أنا

قاعدة لإضافة الفروق:

لا توجد وحدات قياس.

5) معامل الاختلاف har-et cf. يتعلق. انحراف فار يو عن cf. فيل لنا.

طريقة اللحظات

غالبًا ما نواجه حساب المتوسط الحسابي بطريقة مبسطة.

في هذه الحالة ، يتم استخدام خصائص القيمة المتوسطة. طريقة الحساب المبسطة تسمى طريقة اللحظات ، أو طريقة العد من الصفر الشرطي.

طريقة اللحظات تعني الإجراءات التالية :

1) تم تحديد الأصل ( منX ) - صفر شرطي ( أ). عادة ما تكون قريبة من منتصف التوزيع قدر الإمكان.

2) تم العثور على انحرافات الخيارات عن الصفر الشرطي ().

4) إذا كانت هذه الانحرافات تحتوي على عامل مشترك ( ك) ، ثم المحسوبة

الانحرافات مقسمة على هذا العامل.

طريقة اللحظات :

متوسط:

تشتت:

الموضوع 4: الملاحظة الانتقائية

تدوين في نظرية أخذ العينات:

ن- عدد المولدات. عينات	ن- عدد المولدات. عينات
جيل. متوسط (تقديري)	- خيار. متوسط (احسب)
ص- الجنرال. حصة (تقدير)	ث- خيار. حصة (احسب)
ص(ر) - مستوى احتمالية معين

جيل. المتوسط: من المجموعة. مستوى الاحتمال P (t)

هو خطأ أخذ العينات لـ cf. رائعة

, ر- معيار الموثوقية ، يتم تعيين زعيمها على رأس المستوى. الاحتمال P (t)

اذا كان 1) ص(ر) = 0.683 إذنر=1 ; 2) ص(ر) = 0.954 إذنر=2 ; 3) ص(ر) = 0.997 إذنر=3

- جذر متوسط التربيع. خطأ المعاينه

- صحيح ل إعادة الاختيارفي العينة.

- للاختيار غير المتكرر

ثبت: مع معطى. مستوى الاحتمال P (t)

هو خطأ أخذ العينات للكسر

، - جذر متوسط التربيع. خطأ في أخذ العينات للمشاركة

- لإعادة الاختيار

- للاختيار غير المتكرر

الموضوع 5: السلاسل الزمنية

المحللة. حتى الآن:

1) مطلق. نمو(فرق المستوى)

(سلسلة)؛ (أساسي)

2) معدل النمو (نسبة المستويات)

(سلسلة)؛ (أساسي)

3) معدل الزيادة

(سلسلة)؛ (أساسي)

4) زيادة القيمة المطلقة بنسبة 1٪

(سلسلة)؛ (أساسي)

المتوسطات:

1) راجع مستويات ديناميكية صف ;

2) راجع تحليلي عرض ما إذا كان الدينام. صف .

الحساب cf. مستوى الرأس من نوع الممرات:

أ) للفترة. RD بالتساوي. فترات زمنية – راجع الحساب. بسيط

ب) للفترة. RD مع عدم المساواة فترات زمنية – راجع الحساب. موزون

في) للممرات السريعة مع تواريخ متساوية البعد – راجع مرتب زمنيًا

ز) للممرات السريعة ذات التواريخ غير المتكافئة – راجع الحساب. موزون

الحساب cf. المحللة عرض لي:

أ) راجع مطلق. نمو

ب) راجع معدل النمو

في) راجع معدل الزيادة

إغلاق الممر

لتنفيذ إغلاق RD في الصفوف المنضمة ، هناك لحظة زمنية (التاريخ ، الفترة) عندما يكون لديهم معلومات حول السمة قيد الدراسة في كل من الظروف القديمة والجديدة. يتم حساب المعامل كذلك. الحسابات - مغلقة. صف.

أثناء المعالجة ، RD مهم. المهمة هي تحديد الأسس. ميول تطور الظاهرة (الاتجاه) وتنعيم القضية. تقلبات. لحل هذه المشكلة ، هناك طرق خاصة ، قطة. تسمى طرق المحاذاة.

3 رئيسي طريقة معالجة السلسلة الديناميكية:

أ) توسيع فترات الممشى وحساب المتوسطات لكل منها. فاصل موسع

(الانتقال من int-lov الأقل فترةًا إلى فترة أطول. يسمح لك المتوسط ، المحسوب على أساس int-lams الموسعة ، بتحديد اتجاه وطبيعة (التسارع أو التباطؤ) لاتجاهات التطوير الرئيسية. يتم حساب المتوسط باستخدام معادلات لمتوسط حسابي بسيط.

ب) طريقة المتوسط المتحرك.

(احسب المستوى المتوسط من رقم معين ، عادة فردي ، من المستويات الأولى على التوالي. ثم - من نفس عدد المستويات ، ولكن بدءًا من الثاني على التوالي ، ثم - بدءًا من المستوى الثالث ، إلخ. T / o ، ينزلق المتوسط ، كما كان ، على طول السلاسل الزمنية من بدايتها إلى نهايتها ، في كل مرة يتم تجاهل مستوى واحد في البداية وإضافة مستوى تالي.

ج) المحاذاة التحليلية.

التقلبات والأمواج الموسمية

مؤشرات الموسمية هي النسب المئوية للمستويات الفعلية خلال السنة إلى متوسط ثابت أو متغير. يعكس مجموع هذه المؤشرات الموجة الموسمية.

للتعرف على الموسم. عادةً ما تستخدم التقلبات البيانات لعدة سنوات ، موزعة على شهور. لكل شهر ، يتم حساب متوسط قيمة المستوى ، على سبيل المثال ، لمدة 3 سنوات ( ) ، ثم يحسب منهم مستوى متوسطللسلسلة بأكملها ( ) ، ثم يتم تحديد النسبة المئوية للمتوسطات لكل شهر إلى إجمالي متوسط المستوى الشهري للسلسلة:

أين هو المستوى المتوسط لكل شهر ؛

المتوسط الشهري للسلسلة بأكملها.

للحصول على تمثيل مرئي للموجة الموسمية ، يتم تصوير المؤشرات الموسمية في شكل رسوم بيانية.

الفهارس الفردية:

		الكلفة الرئيسية	كلفة	التكاليف النقدية	تكاليف العمالة
أنا ف	أنا ص	أنا ض	أنا ص	أنا qz	أنا كيو تي

الفهارس العامة:

مؤشر الحجم العام (كمتوسط تغيير في عدد السلع في السوق)
التغيير المطلق في التكلفة بسبب التغيير في عدد البضائع
مؤشر الأسعار العام (إجمالي) (كمتوسط تغير الأسعار في السوق)
تغيير التكلفة المطلق بسبب تغير السعر
مؤشر الدوران العام (القيمة) المجموع يتعلق. التغيرات في تكلفة البضائع في السوق
توت. مطلق. التغيير في تكلفة البضائع في السوق
علاقة الفهرس	أنا ص = أنا ص أنا ف
مؤشر التكلفة العامة
المؤشر العام للفيزيائية. الحجم (بالتكلفة)
العلاقة بين المؤشرات
الرقم القياسي العام لتكلفة الإنتاج

تختلف علامات وحدات المجاميع الإحصائية في معناها ، على سبيل المثال ، أجور العمال في مهنة واحدة في مؤسسة ليست هي نفسها لنفس الفترة الزمنية ، وأسعار السوق لنفس المنتجات مختلفة ، وعوائد المحاصيل في المزارع من المنطقة ، إلخ. لذلك ، من أجل تحديد قيمة خاصية مميزة لجميع السكان من الوحدات قيد الدراسة ، يتم حساب متوسط القيم.
متوسط القيمة – إنها خاصية معممة لمجموعة القيم الفردية لبعض السمات الكمية.

الكلية التي درسها السمة الكميةيتكون من قيم فردية ؛ هم يتأثرون الأسباب الشائعةوالظروف الفردية. في القيمة المتوسطة ، يتم إلغاء الانحرافات المميزة للقيم الفردية. المتوسط ، كونه دالة لمجموعة من القيم الفردية ، يمثل المجموعة بأكملها بقيمة واحدة ويعكس الشيء المشترك المتأصل في جميع وحداتها.

يُطلق على المتوسط المحسوب للسكان المكونين من وحدات متجانسة نوعياً متوسط نموذجي. على سبيل المثال ، يمكنك حساب متوسط الراتب الشهري لموظف في مجموعة مهنية أو أخرى (عامل منجم ، طبيب ، أمين مكتبة). بالطبع تختلف مستويات الأجور الشهرية لعمال المناجم ، بسبب الاختلاف في مؤهلاتهم ، ومدة الخدمة ، وساعات العمل في الشهر والعديد من العوامل الأخرى ، عن بعضها البعض ، وعن مستوى متوسط الأجور. ومع ذلك ، فإن المستوى المتوسط يعكس العوامل الرئيسية التي تؤثر على مستوى الأجور ، ويعوض بشكل متبادل الفروق التي تنشأ بسبب الخصائص الفرديةعامل. يعكس متوسط الراتب المستوى النموذجيأجور لهذا النوع من العمال. يجب أن يسبق الحصول على متوسط نموذجي تحليل للكيفية مجموعة معينةموحد نوعيا. إذا كانت المجموعة تتكون من أجزاء منفصلة ، فيجب تقسيمها إلى مجموعات نموذجية ( معدل الحرارةبالمستشفى).

يتم استدعاء القيم المتوسطة المستخدمة كخصائص لمجموعات غير متجانسة متوسطات النظام. على سبيل المثال ، متوسط نصيب الفرد من الناتج المحلي الإجمالي ، متوسط الاستهلاك مجموعات مختلفةالبضائع لكل شخص وكميات أخرى مماثلة تمثل الخصائص المعممة للدولة كنظام اقتصادي واحد.

يجب حساب المتوسط للمجموعات المكونة من عدد كافٍ عدد كبيرالوحدات. الامتثال لهذا الشرط ضروري لدخول القانون حيز التنفيذ. أعداد كبيرة، نتيجة لذلك انحرافات عشوائيةالقيم الفردية من الاتجاه العام تلغي بعضها البعض.

أنواع المتوسطات وطرق حسابها

يتم تحديد اختيار نوع المتوسط من خلال المحتوى الاقتصادي لمؤشر معين والبيانات الأولية. ومع ذلك ، يجب حساب أي قيمة متوسطة بحيث عندما تحل محل كل متغير للميزة المتوسطة ، تكون نهائية ، أو معممة ، أو كما يطلق عليها عادة ، تحديد المؤشر، وهو مرتبط بالمتوسط. على سبيل المثال ، عند استبدال السرعات الفعلية في أقسام منفصلة من المسار ، فإنها متوسط السرعةلا ينبغي أن تتغير المسافة الكلية، تم الاجتياز بنجاح عربةفي نفس الوقت؛ عند استبدال الأجور الفعلية للأفراد العاملين في المؤسسة بالمتوسط راتبيجب ألا يتغير جدول الرواتب. وبالتالي ، في كل حالة محددة ، اعتمادًا على طبيعة البيانات المتاحة ، هناك قيمة متوسطة حقيقية واحدة فقط للمؤشر تتناسب مع خصائص وجوهر الظاهرة الاجتماعية والاقتصادية قيد الدراسة.
الأكثر شيوعًا هي المتوسط الحسابي والمتوسط التوافقي والمتوسط الهندسي والمتوسط المربع والمتوسط التكعيبي.
المعدلات المدرجة تنتمي إلى الفصل قوةمتوسط ويتم دمجها بواسطة الصيغة العامة:
,
أين هو متوسط قيمة السمة المدروسة ؛
م هو الأس الوسط ؛
- القيمة الحالية (المتغير) للميزة المتوسطة ؛
n هو عدد الميزات.
اعتمادًا على قيمة الأس م ، هناك الأنواع التاليةمتوسطات القوة:
عند م = -1 - يعني التوافقي ؛
عند م = 0 - الوسط الهندسي ؛
عند م = 1 - الوسط الحسابي ؛
عند م = 2 - جذر متوسط التربيع ؛
عند م = 3 - متوسط مكعب.
عند استخدام نفس بيانات الإدخال ، كلما زاد الأس م في الصيغة أعلاه ، فإن المزيد من القيمةمقاس متوسط:
.
هذه الخاصية لقانون القوة تعني زيادة مع زيادة في الأس للدالة المحددة يسمى حكم أغلبية الوسائل.
يمكن أن يتخذ كل من المتوسطات المميزة شكلين: بسيطو موزون.
الشكل البسيط للوسطينطبق عندما يتم حساب المتوسط على بيانات أولية (غير مجمعة). شكل مرجح- عند حساب متوسط البيانات الثانوية (المجمعة).

المتوسط الحسابي

يتم استخدام المتوسط الحسابي عندما يكون حجم السكان هو مجموع كل القيم الفردية للسمة المتغيرة. وتجدر الإشارة إلى أنه في حالة عدم الإشارة إلى نوع المتوسط ، يتم افتراض المتوسط الحسابي. صيغته المنطقية هي:

متوسط حسابي بسيطمحسوب من خلال البيانات غير المبوبة حسب الصيغة:
أو ،
أين - القيم الفرديةإشارة؛
j هو الرقم التسلسلي لوحدة المراقبة ، والتي تتميز بالقيمة ؛
N هو عدد وحدات المراقبة (حجم المجموعة).
مثال.في محاضرة "ملخص وتجميع البيانات الإحصائية" تم النظر في نتائج مراقبة تجربة العمل لفريق من 10 أشخاص. حساب متوسط الخبرة العملية لعمال اللواء. 5 ، 3 ، 5 ، 4 ، 3 ، 4 ، 5 ، 4 ، 2 ، 4.

وفقًا لصيغة المتوسط الحسابي البسيط ، يحسب المرء أيضًا المتوسطات الزمنية، إذا كانت الفترات الزمنية التي يتم تقديم القيم المميزة لها متساوية.
مثال.بلغ حجم المنتجات المباعة للربع الأول 47 دن. وحدة ، للثاني 54 ، للثالث 65 وللرابع 58 دن. الوحدات متوسط معدل الدوران ربع السنوي هو (47 + 54 + 65 + 58) / 4 = 56 دن. الوحدات
إذا تم تقديم المؤشرات اللحظية في التسلسل الزمني ، فعند حساب المتوسط ، يتم استبدالها بنصف مجموع القيم في بداية ونهاية الفترة.
إذا كان هناك أكثر من لحظتين وكانت الفترات الفاصلة بينهما متساوية ، فسيتم حساب المتوسط باستخدام صيغة المتوسط الزمني

,
حيث n هو عدد النقاط الزمنية
عندما يتم تجميع البيانات حسب قيم السمات (على سبيل المثال ، ملف منفصل سلسلة الاختلافالتوزيع) مع المتوسط الحسابي المرجحيتم حسابها باستخدام إما الترددات أو ترددات مراقبة القيم المحددة للميزة ، وعددها (k) بشكل كبير أقل من رقمالملاحظات (ن).
,
,
حيث k هو عدد مجموعات سلسلة التباين ،
i هو رقم مجموعة سلسلة التباينات.
منذ ذلك الحين ، وحصلنا على الصيغ المستخدمة في الحسابات العملية:
و
مثال.لنحسب متوسط طول خدمة فرق العمل للسلسلة المجمعة.
أ) استخدام الترددات:

ب) استخدام الترددات:

عندما يتم تجميع البيانات حسب فترات ، بمعنى آخر. يتم تقديمها في شكل سلسلة توزيع الفاصل ؛ عند حساب المتوسط الحسابي ، يتم أخذ منتصف الفاصل الزمني كقيمة للميزة ، بناءً على افتراض توزيع موحد للوحدات السكانية في هذه الفترة الزمنية. يتم الحساب وفقًا للصيغ:
و
أين منتصف الفترة الزمنية:،
أين و هي الحدود الدنيا والعليا للفترات الزمنية (بشرط أن يتزامن الحد الأعلى لهذه الفترة مع الحد الأدنى للفترة التالية).

مثال.دعونا نحسب المتوسط الحسابي لسلسلة تباينات الفترات التي تم إنشاؤها من نتائج دراسة للأجور السنوية لـ 30 عاملاً (انظر المحاضرة "ملخص وتجميع البيانات الإحصائية").
الجدول 1 - سلسلة تباين الفاصل الزمني للتوزيع.

فترات زمنية ، غريفنا	التردد ، بيرس.	تكرر،	منتصف الفترة
600-700 700-800 800-900 900-1000 1000-1100 1100-1200	3 6 8 9 3 1	0,10 0,20 0,267 0,30 0,10 0,033	(600+700):2=650 (700+800):2=750 850 950 1050 1150	1950 4500 6800 8550 3150 1150	65 150 226,95 285 105 37,95

غريفنا أو غريفنا
قد لا تتطابق الوسائل الحسابية المحسوبة على أساس البيانات الأولية وسلسلة تباين الفترات بسبب التوزيع غير المتكافئ لقيم السمات داخل الفواصل الزمنية. في هذه الحالة ، للمزيد الحساب الدقيقالمتوسط الحسابي الموزون ، لا يجب أن تستخدم منتصف الفترات ، بل المتوسط الحسابي البسيط المحسوب لكل مجموعة ( متوسطات المجموعة). المتوسط المحسوب من المجموعة يعني باستخدام صيغة حساب مرجحة تسمى العوارية العامة.
يحتوي المتوسط الحسابي على عدد من الخصائص.
1. مجموع انحرافات المتغير عن المتوسط هو صفر:
.
2. إذا زادت أو نقصت جميع قيم الخيار بالقيمة A ، فإن متوسط القيمة يزيد أو ينقص بنفس القيمة A:

3. إذا تمت زيادة أو تقليل كل خيار بمقدار B مرات ، فإن متوسط القيمة سيزداد أو ينقص بنفس عدد المرات:
أو
4. مجموع حاصل ضرب المتغير من خلال الترددات يساوي حاصل ضرب متوسط القيمة بمجموع الترددات:

5. إذا تم تقسيم أو ضرب جميع الترددات بأي رقم ، فلن يتغير المتوسط الحسابي:

6) إذا كانت التكرارات في جميع الفترات متساوية مع بعضها البعض ، فإن المتوسط الحسابي المرجح يساوي المتوسط الحسابي البسيط:
,
حيث k هو عدد المجموعات في سلسلة التباين.

يتيح لك استخدام خصائص المتوسط تبسيط حسابه.
افترض أن جميع الخيارات (س) يتم تقليلها أولاً بنفس الرقم أ ، ثم يتم تقليلها بعامل ب. يتم تحقيق أكبر قدر من التبسيط عندما يتم اختيار قيمة منتصف الفاصل الزمني بأعلى تردد على أنها A ، وقيمة الفاصل الزمني كـ B (للصفوف ذات الفواصل الزمنية المتساوية). تسمى الكمية أ الأصل ، لذلك تسمى هذه الطريقة لحساب المتوسط طريقب مرجع أوم من الصفر الشرطيأو طريقة اللحظات.
بعد هذا التحول ، نحصل على سلسلة توزيع متغيرة جديدة ، متغيراتها متساوية. متوسطهم الحسابي يسمى لحظة من الدرجة الأولى ،معبرًا عنها بالصيغة ووفقًا للخصائص الثانية والثالثة ، فإن المتوسط الحسابي يساوي متوسط نسخة أولية، يتم تقليله أولاً بواسطة A ، ثم بمقدار B مرات ، أي.
للحصول على متوسط حقيقي(في منتصف الصف الأصلي) تحتاج إلى ضرب لحظة الترتيب الأول في B وإضافة A:

يتم توضيح حساب المتوسط الحسابي بطريقة اللحظات من خلال البيانات الواردة في الجدول. 2.
الجدول 2 - توزيع موظفي متجر المؤسسة حسب طول الخدمة

خبرة في العمل ، سنوات	عدد العمال	نقطة منتصف الفاصل
0 – 5 5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30	12 16 23 28 17 14	2,5 7,5 12,7 17,5 22,5 27,5	15 -10 -5 0 5 10	3 -2 -1 0 1 2	36 -32 -23 0 17 28

إيجاد اللحظة من الدرجة الأولى . بعد ذلك ، مع العلم أن A = 17.5 ، و B = 5 ، نحسب متوسط خبرة العمل لعمال المتجر:
سنوات

متوسط متناسق
كما هو موضح أعلاه ، يتم استخدام المتوسط الحسابي لحساب متوسط قيمة الميزة في الحالات التي تكون فيها متغيراتها x وتردداتها f معروفة.
اذا كان المعلومات الإحصائيةلا يحتوي على ترددات f للخيارات الفردية x من السكان ، ولكن يتم تقديمه كمنتج ، يتم تطبيق الصيغة وسط الموزون التوافقي . لحساب المتوسط ، أشر إلى أين. بالتعويض عن هذه التعبيرات في صيغة المتوسط الحسابي الموزون ، نحصل على صيغة المتوسط التوافقي الموزون:
,
أين هو حجم (وزن) قيم نعوت المؤشر في الفاصل الزمني مع الرقم i (i = 1،2 ، ... ، k).

وبالتالي ، يتم استخدام الوسط التوافقي في الحالات التي لا تكون فيها الخيارات نفسها هي التي تخضع للتجميع ، بل هي مقلوبة: .
في الحالات التي يكون فيها وزن كل خيار يساوي واحد، بمعنى آخر. القيم الفردية علامة معكوسةتحدث مرة واحدة ، قم بتطبيق متوسط توافقي بسيط:
,
أين توجد المتغيرات الفردية للسمة العكسية التي تحدث مرة واحدة ؛
N هو عدد الخيارات.
إذا كانت هناك متوسطات توافقية لجزءين من السكان مع عدد ، ثم يتم حساب المتوسط الإجمالي لجميع السكان بواسطة الصيغة:

ودعا المتوسط التوافقي المرجح للمجموعة.

مثال.تم إبرام ثلاث صفقات خلال الساعة الأولى من التداول في بورصة العملات. وترد في الجدول بيانات عن حجم مبيعات الهريفنيا وسعر صرف الهريفنيا مقابل الدولار الأمريكي. 3 (العمودان 2 و 3). تحديد متوسط سعر صرف الهريفنيا مقابل الدولار الأمريكي للساعة الأولى من التداول.
الجدول 3 - بيانات عن مسار التداول في بورصة العملات

يتم تحديد متوسط سعر صرف الدولار من خلال نسبة مبلغ الهريفنيا المباعة في سياق جميع المعاملات إلى مبلغ الدولارات المكتسبة نتيجة لنفس المعاملات. يُعرف المبلغ الإجمالي لبيع الهريفنيا من العمود 2 من الجدول ، ويتم تحديد مبلغ الدولارات المشتراة في كل معاملة بقسمة مبلغ بيع الهريفنيا على سعر الصرف (العمود 4). تم شراء ما مجموعه 22 مليون دولار خلال ثلاث معاملات. وهذا يعني أن متوسط سعر صرف الهريفنيا للدولار الواحد كان
.
القيمة الناتجة حقيقية لأن لن يؤدي استبداله لأسعار صرف الهريفنيا الفعلية في المعاملات إلى تغيير المبلغ الإجمالي لمبيعات الهريفنيا ، والتي تعمل بمثابة تحديد المؤشر: مليون غريفنا
إذا تم استخدام الوسط الحسابي للحساب ، أي الهريفنيا ، ثم بسعر الصرف لشراء 22 مليون دولار. يجب إنفاق 110.66 مليون غريفنا ، وهذا ليس صحيحًا.

الوسط الهندسي
يستخدم المتوسط الهندسي لتحليل ديناميات الظواهر ويسمح لك بتحديدها معامل متوسطنمو. عند حساب المتوسط الهندسي ، تكون القيم الفردية للسمة الأداء النسبيديناميكيات مبنية على شكل قيم متسلسلة ، كنسبة كل مستوى إلى المستوى السابق.
يتم حساب المتوسط الهندسي البسيط بالصيغة:
,
أين علامة المنتج ،
N هو عدد القيم المتوسطة.
مثال.زاد عدد الجرائم المسجلة على مدى 4 سنوات بمقدار 1.57 مرة ، بما في ذلك للجريمة الأولى - بمقدار 1.08 مرة ، وللثانية - 1.1 مرة ، وللثالث - 1.18 وللرابعة - 1.12 مرة. ثم متوسط المعدل السنويالنمو في عدد الجرائم هو: ارتفع عدد الجرائم المسجلة بمعدل 12٪ سنويا.