إيجاد الدالة العكسية. لا حصر له وغير محدد - هايبر ماركت المعرفة

هناك ثلاث قواعد أساسية لإيجاد وظائف عكسية. إنها تشبه إلى حد بعيد قواعد التفاضل المقابلة.

المادة 1

إذا كانت F مشتق عكسي لبعض الوظائف f ، و G هي مشتق عكسي لبعض الوظائف g ، فإن F + G ستكون مشتق عكسي لـ f + g.

من خلال تعريف المشتق العكسي F '= f. G '= ز. ونظرًا لاستيفاء هذه الشروط ، فوفقًا لقاعدة حساب المشتق لمجموع الوظائف ، سيكون لدينا:

(F + G) '= F' + G '= f + g.

القاعدة 2

إذا كانت F مشتقة عكسية لبعض الوظائف f و k تكون ثابتة إلى حد ما. ثم k * F هو المشتق العكسي للدالة k * f. هذه القاعدة تتبع قاعدة حساب مشتق دالة معقدة.

لدينا: (k * F) '= k * F' = k * f.

القاعدة 3

إذا كانت F (x) عبارة عن مشتق عكسي لـ f (x) ، و k و b بعض الثوابت ، و k غير صفرية ، فإن (1 / k) * F * (k * x + b) ستكون مشتق عكسي لـ و (ك * س + ب).

هذه القاعدة تتبع قاعدة حساب مشتق دالة معقدة:

((1 / k) * F * (k * x + b)) '= (1 / k) * F' (k * x + b) * k = f (k * x + b).

لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة حول كيفية تطبيق هذه القواعد:

مثال 1. أوجد الصيغة العامة للمشتقات العكسية للدالة f (x) = x ^ 3 + 1 / x ^ 2. بالنسبة للدالة x ^ 3 ، ستكون إحدى المشتقات العكسية هي الوظيفة (x ^ 4) / 4 ، وبالنسبة للوظيفة 1 / x ^ 2 ، ستكون إحدى المشتقات العكسية هي الوظيفة -1 / x. باستخدام القاعدة الأولى ، لدينا:

و (س) = س ^ 4/4 - 1 / س + ج.

مثال 2. لنجد الصيغة العامة للمشتقات العكسية للدالة f (x) = 5 * cos (x). بالنسبة لدالة cos (x) ، ستكون إحدى المشتقات العكسية دالة sin (x). إذا استخدمنا الآن القاعدة الثانية ، فسنحصل على:

F (x) = 5 * sin (x).

مثال 3أوجد أحد المشتقات العكسية للدالة y = sin (3 * x-2). بالنسبة لدالة sin (x) ، ستكون إحدى المشتقات العكسية هي -cos (x). إذا استخدمنا الآن القاعدة الثالثة ، فسنحصل على تعبير للمشتقة العكسية:

F (x) = (-1/3) * cos (3 * x-2)

مثال 4. أوجد المشتق العكسي للدالة f (x) = 1 / (7-3 * x) ^ 5

المشتق العكسي للوظيفة 1 / x ^ 5 سيكون الوظيفة (-1 / (4 * x ^ 4)). الآن ، باستخدام القاعدة الثالثة ، نحصل على.

حل التكاملات مهمة سهلة ، ولكن فقط للنخبة. هذه المقالة مخصصة لأولئك الذين يرغبون في تعلم كيفية فهم التكاملات ، لكنهم لا يعرفون سوى القليل أو لا يعرفون شيئًا عنها. لا يتجزأ ... لماذا هو مطلوب؟ كيف تحسبها؟ ما هي التكاملات المحددة وغير المحددة؟ إذا كان الاستخدام الوحيد للتكامل الذي تعرفه هو الحصول على شيء مفيد من الأماكن التي يصعب الوصول إليها بخطاف على شكل رمز متكامل ، فمرحبًا بك! تعرف على كيفية حل التكاملات ولماذا لا يمكنك الاستغناء عنها.

ندرس مفهوم "متكامل"

كان الاندماج معروفا في مصر القديمة. بالطبع ، ليس في شكل حديث ، ولكن لا يزال. منذ ذلك الحين ، كتب علماء الرياضيات عددًا كبيرًا من الكتب حول هذا الموضوع. مميز بشكل خاص نيوتن و لايبنيز لكن جوهر الأشياء لم يتغير. كيف نفهم التكاملات من الصفر؟ مستحيل! لفهم هذا الموضوع ، ستظل بحاجة إلى معرفة أساسية بأساسيات التحليل الرياضي. المعلومات حول ، والتي تعتبر ضرورية أيضًا لفهم التكاملات ، موجودة بالفعل في مدونتنا.

تكامل غير محدد

دعونا نحصل على بعض الوظائف و (خ) .

تكامل الدالة غير المحدود و (خ) تسمى هذه الوظيفة و (س) ، مشتقها يساوي الوظيفة و (خ) .

بمعنى آخر ، التكامل هو مشتق عكسي أو مشتق عكسي. بالمناسبة ، حول كيفية القراءة في مقالتنا.

المشتق العكسي موجود لجميع الوظائف المستمرة. أيضًا ، غالبًا ما يتم إضافة علامة ثابتة إلى المشتق العكسي ، حيث تتطابق مشتقات الوظائف التي تختلف بشكل ثابت. تسمى عملية إيجاد تكامل التكامل.

مثال بسيط:

من أجل عدم حساب المشتقات العكسية للوظائف الأولية باستمرار ، من المناسب إدراجها في جدول واستخدام القيم الجاهزة.

جدول كامل للتكاملات للطلاب

واضح لا يتجزأ

عند التعامل مع مفهوم التكامل ، فإننا نتعامل مع كميات متناهية الصغر. سيساعد التكامل في حساب مساحة الشكل ، وكتلة الجسم غير المتجانس ، والمسار الذي تم قطعه أثناء الحركة غير المتساوية ، وأكثر من ذلك بكثير. يجب أن نتذكر أن التكامل هو مجموع عدد لا نهائي من الحدود الصغيرة بشكل لا نهائي.

كمثال ، تخيل رسمًا بيانيًا لبعض الوظائف. كيف يمكن إيجاد مساحة شكل محدد برسم بياني للدالة؟

بمساعدة جزء لا يتجزأ! دعنا نقسم شبه المنحني المنحني الخطي ، المحاط بمحاور الإحداثيات والرسم البياني للوظيفة ، إلى مقاطع متناهية الصغر. وبالتالي ، سيتم تقسيم الشكل إلى أعمدة رفيعة. سيكون مجموع مساحات الأعمدة هو مساحة شبه المنحرف. لكن تذكر أن مثل هذا الحساب سيعطي نتيجة تقريبية. ومع ذلك ، كلما كانت المقاطع أصغر وأضيق ، زادت دقة الحساب. إذا قمنا بتقليلها إلى الحد الذي يميل فيه الطول إلى الصفر ، فإن مجموع مناطق المقاطع سيميل إلى مساحة الشكل. هذا هو التكامل المحدد ، والذي يتم كتابته على النحو التالي:

تسمى النقطتان أ و ب حدود التكامل.

باري عليباسوف ومجموعة "Integral"

على فكرة! بالنسبة لقرائنا ، يوجد الآن خصم 10٪ على

قواعد حساب التكاملات للمبتدئين

خصائص التكامل غير المحدود

كيفية حل التكامل غير المحدد؟ هنا سننظر في خصائص التكامل غير المحدد ، والتي ستكون مفيدة في حل الأمثلة.

• مشتق التكامل يساوي التكامل:

• يمكن إخراج الثابت من تحت علامة التكامل:

• تكامل المجموع يساوي مجموع التكاملات. ينطبق أيضًا على الاختلاف:

خصائص التكامل المحدد

• الخطية:

• تتغير علامة التكامل إذا تم عكس حدود التكامل:

• في أينقاط أ, بو مع:

لقد اكتشفنا بالفعل أن التكامل المحدد هو نهاية المجموع. ولكن كيف تحصل على قيمة محددة عند حل مثال؟ لهذا ، هناك صيغة نيوتن-لايبنيز:

أمثلة على حل التكاملات

أدناه ننظر في عدة أمثلة لإيجاد تكاملات غير محددة. نحن نقدم لك أن تفهم بشكل مستقل تعقيدات الحل ، وإذا كان هناك شيء غير واضح ، اطرح الأسئلة في التعليقات.

لتوحيد المادة ، شاهد مقطع فيديو حول كيفية حل التكاملات عمليًا. لا تيأس إذا لم يتم إعطاء التكامل على الفور. انتقل إلى خدمة طلابية احترافية ، وسيكون أي تكامل ثلاثي أو منحني الأضلاع على سطح مغلق في حدود قدرتك.

هذا الدرس هو الأول في سلسلة مقاطع الفيديو حول التكامل. في ذلك ، سنحلل ماهية المشتق العكسي للدالة ، وكذلك دراسة الطرق الأولية لحساب هذه المشتقات العكسية.

في الواقع ، لا يوجد شيء معقد هنا: في الأساس ، كل شيء يعود إلى مفهوم المشتق ، والذي يجب أن تكون على دراية به بالفعل. :)

ألاحظ على الفور أنه نظرًا لأن هذا هو الدرس الأول في موضوعنا الجديد ، فلن يكون هناك اليوم حسابات وصيغ معقدة ، ولكن ما سنقوم بدراسته اليوم سيشكل أساسًا لحسابات وهياكل أكثر تعقيدًا عند حساب التكاملات والمساحات المعقدة .

بالإضافة إلى ذلك ، عند البدء في دراسة التكامل والتكاملات على وجه الخصوص ، نفترض ضمنيًا أن الطالب على الأقل على دراية بمفاهيم المشتق ولديه على الأقل مهارات أولية في حسابها. بدون فهم واضح لهذا ، لا يوجد شيء على الإطلاق للقيام به في التكامل.

ومع ذلك ، تكمن هنا واحدة من أكثر المشاكل شيوعًا وماكرة. الحقيقة هي أنه عند بدء حساب المشتقات العكسية الأولى ، يخلط العديد من الطلاب بينها وبين المشتقات. نتيجة لذلك ، يتم ارتكاب أخطاء غبية ومسيئة في الامتحانات والعمل المستقل.

لذلك ، الآن لن أعطي تعريفًا واضحًا للمشتق العكسي. وبالمقابل ، أقترح أن تنظر في كيفية النظر إليه من خلال مثال ملموس بسيط.

ما هي البدائية وكيف يتم النظر فيها

نحن نعرف هذه الصيغة:

\ [((\ left (((x) ^ (n)) \ right)) ^ (\ prime)) = n \ cdot ((x) ^ (n-1)) \]

يعتبر هذا المشتق أوليًا:

\ [(f) "\ left (x \ right) = ((\ left (((x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime)) = 3 ((x) ^ (2)) \ ]

لنلقِ نظرة فاحصة على التعبير الناتج ونعبر عن $ ((x) ^ (2)) $:

\ [((x) ^ (2)) = \ frac (((\ left (((x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime))) (3) \]

لكن يمكننا أيضًا كتابتها بهذه الطريقة ، وفقًا لتعريف المشتق:

\ [((x) ^ (2)) = ((\ left (\ frac (((x) ^ (3))) (3) \ right)) ^ (\ prime)) \]

والانتباه الآن: ما كتبناه للتو هو تعريف المشتق العكسي. لكن لكتابتها بشكل صحيح ، عليك أن تكتب ما يلي:

لنكتب التعبير التالي بنفس الطريقة:

إذا قمنا بتعميم هذه القاعدة ، فيمكننا اشتقاق الصيغة التالية:

\ [((x) ^ (n)) \ to \ frac (((x) ^ (n + 1))) (n + 1) \]

الآن يمكننا صياغة تعريف واضح.

المشتق العكسي للدالة هو دالة مشتقها يساوي الوظيفة الأصلية.

أسئلة حول الوظيفة العكسية

يبدو أنه تعريف بسيط ومفهوم إلى حد ما. ومع ذلك ، عند سماعه ، سيكون لدى الطالب اليقظ على الفور عدة أسئلة:

1. لنفترض ، حسنًا ، هذه الصيغة صحيحة. ومع ذلك ، في هذه الحالة ، عندما يكون $ n = 1 $ ، لدينا مشاكل: يظهر "صفر" في المقام ، ومن المستحيل القسمة على "صفر".
2. الصيغة تقتصر فقط على القوى. كيفية حساب المشتق العكسي ، على سبيل المثال ، الجيب وجيب التمام وأي حساب مثلثات آخر ، وكذلك الثوابت.
3. سؤال وجودي: هل من الممكن دائمًا العثور على المشتقات العكسية على الإطلاق؟ إذا كان الأمر كذلك ، فماذا عن المجموع العكسي ، والفرق ، والمنتج ، وما إلى ذلك؟

سأجيب على السؤال الأخير على الفور. لسوء الحظ ، لا يتم دائمًا اعتبار المشتق العكسي ، على عكس المشتق. لا توجد معادلة عالمية كهذه ، والتي بموجبها ، من أي بناء أولي ، سنحصل على وظيفة ستكون مساوية لهذا البناء المماثل. بالنسبة للقوى والثوابت ، سنتحدث عن ذلك الآن.

حل مشاكل وظائف الطاقة

\ [((x) ^ (- 1)) \ to \ frac (((x) ^ (- 1 + 1))) (- 1 + 1) = \ frac (1) (0) \]

كما ترى ، هذه الصيغة $ ((x) ^ (- 1)) $ لا تعمل. السؤال الذي يطرح نفسه: ماذا بعد ذلك يعمل؟ ألا يمكننا حساب $ ((x) ^ (- 1)) $؟ بالطبع نستطيع. لنبدأ بهذا:

\ [((x) ^ (- 1)) = \ frac (1) (x) \]

لنفكر الآن: مشتق أي دالة يساوي $ \ frac (1) (x) $. من الواضح أن أي طالب شارك على الأقل قليلاً في هذا الموضوع سيتذكر أن هذا التعبير يساوي مشتق اللوغاريتم الطبيعي:

\ [((\ left (\ ln x \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (x) \]

لذلك يمكننا أن نكتب بكل ثقة ما يلي:

\ [\ frac (1) (x) = ((x) ^ (- 1)) \ to \ ln x \]

يجب معرفة هذه الصيغة ، تمامًا مثل مشتق دالة الأس.

إذن ما نعرفه حتى الآن:

• لوظيفة الطاقة - $ ((x) ^ (n)) \ to \ frac (((x) ^ (n + 1))) (n + 1) $
• للثابت - $ = const \ to \ cdot x $
• حالة خاصة لدالة الطاقة - $ \ frac (1) (x) \ to \ ln x $

وإذا بدأنا بضرب أبسط الدوال وقسمتها ، فكيف نحسب إذن المشتقة العكسية لمنتج أو حاصل قسمة. لسوء الحظ ، لا تعمل المقارنات مع مشتق منتج أو حاصل القسمة هنا. لا توجد صيغة قياسية. في بعض الحالات ، هناك صيغ خاصة صعبة - سنتعرف عليها في دروس الفيديو المستقبلية.

ومع ذلك ، تذكر: لا توجد صيغة عامة مشابهة لصيغة حساب مشتق حاصل القسمة والمنتج.

حل المشاكل الحقيقية

مهمة 1

دعنا نحسب كل من وظائف الطاقة بشكل منفصل:

\ [((x) ^ (2)) \ to \ frac (((x) ^ (3))) (3) \]

بالعودة إلى تعبيرنا ، نكتب البناء العام:

المهمة رقم 2

كما قلت سابقًا ، لا يتم النظر في الأعمال البدائية و "فارغة من خلال" الخاصة. ومع ذلك ، يمكنك هنا القيام بما يلي:

لقد قسمنا الكسر إلى مجموع كسرين.

دعنا نحسب:

الخبر السار هو أنه بمجرد أن تعرف الصيغ الخاصة بحساب المشتقات العكسية ، فأنت قادر بالفعل على حساب بنى أكثر تعقيدًا. ومع ذلك ، دعنا نمضي قدمًا ونوسع معرفتنا أكثر قليلاً. الحقيقة هي أن العديد من التركيبات والتعبيرات التي ، للوهلة الأولى ، لا علاقة لها بـ $ ((x) ^ (n)) $ ، يمكن تمثيلها كدرجة ذات أس منطقي ، وهي:

\ [\ sqrt (x) = ((x) ^ (\ frac (1) (2))) \]

\ [\ sqrt [n] (x) = ((x) ^ (\ frac (1) (n))) \]

\ [\ frac (1) (((x) ^ (n))) = ((x) ^ (- n)) \]

كل هذه التقنيات يمكن بل يجب دمجها. يمكن لتعبيرات القوة

• تتكاثر (تضاف الصلاحيات) ؛
• قسمة (يتم طرح الدرجات) ؛
• اضرب في ثابت ؛
• إلخ.

حل التعبيرات بدرجة ذات أس منطقي

مثال 1

دعونا نحسب كل جذر على حدة:

\ [\ sqrt (x) = ((x) ^ (\ frac (1) (2))) \ to \ frac (((x) ^ (\ frac (1) (2) +1))) (\ frac (1) (2) +1) = \ frac (((x) ^ (\ frac (3) (2)))) (\ frac (3) (2)) = \ frac (2 \ cdot (( x) ^ (\ frac (3) (2)))) (3) \]

\ [\ sqrt (x) = ((x) ^ (\ frac (1) (4))) \ to \ frac (((x) ^ (\ frac (1) (4)))) (\ frac ( 1) (4) +1) = \ frac (((x) ^ (\ frac (5) (4)))) (\ frac (5) (4)) = \ frac (4 \ cdot ((x) ^ (\ frac (5) (4)))) (5) \]

في المجموع ، يمكن كتابة البناء بالكامل على النحو التالي:

المثال رقم 2

\ [\ frac (1) (\ sqrt (x)) = ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (- 1)) = ((\ left (((x) ^ (\ frac ( 1) (2))) \ right)) ^ (- 1)) = ((x) ^ (- \ frac (1) (2))) \]

لذلك سوف نحصل على:

\ [\ frac (1) (((x) ^ (3))) = ((x) ^ (- 3)) \ to \ frac (((x) ^ (- 3 + 1))) (- 3 +1) = \ frac (((x) ^ (- 2))) (- 2) = - \ frac (1) (2 ((x) ^ (2))) \]

في المجموع ، بجمع كل شيء في تعبير واحد ، يمكننا كتابة:

المثال رقم 3

أولاً ، لاحظ أننا قمنا بالفعل بحساب $ \ sqrt (x) $:

\ [\ sqrt (x) \ to \ frac (4 ((x) ^ (\ frac (5) (4)))) (5) \]

\ [((x) ^ (\ frac (3) (2))) \ to \ frac (((x) ^ (\ frac (3) (2) +1))) (\ frac (3) (2 ) +1) = \ frac (2 \ cdot ((x) ^ (\ frac (5) (2)))) (5) \]

دعنا نعيد كتابة:

آمل ألا يفاجئ أي شخص إذا قلت أن ما درسناه للتو هو فقط أبسط حسابات المشتقات العكسية ، أبسط التركيبات. دعنا الآن نلقي نظرة على أمثلة أكثر تعقيدًا بعض الشيء ، والتي ، بالإضافة إلى المشتقات العكسية المجدولة ، ما زلت بحاجة إلى تذكر المناهج الدراسية ، أي معادلات الضرب المختصرة.

حل المزيد من الأمثلة المعقدة

مهمة 1

تذكر معادلة مربع الفرق:

\ [((\ left (a-b \ right)) ^ (2)) = ((a) ^ (2)) - ab + ((b) ^ (2)) \]

دعنا نعيد كتابة وظيفتنا:

علينا الآن إيجاد المشتقة العكسية لمثل هذه الوظيفة:

\ [((x) ^ (\ frac (2) (3))) \ to \ frac (3 \ cdot ((x) ^ (\ frac (5) (3)))) (5) \]

\ [((x) ^ (\ frac (1) (3))) \ to \ frac (3 \ cdot ((x) ^ (\ frac (4) (3)))) (4) \]

نجمع كل شيء في تصميم مشترك:

المهمة رقم 2

في هذه الحالة ، نحتاج إلى فتح مكعب الفرق. دعنا نتذكر:

\ [((\ left (a-b \ right)) ^ (3)) = ((a) ^ (3)) - 3 ((a) ^ (2)) \ cdot b + 3a \ cdot ((b) ^ (2)) - ((ب) ^ (3)) \]

بالنظر إلى هذه الحقيقة يمكن كتابتها على النحو التالي:

دعنا نعدل وظيفتنا قليلاً:

نعتبر ، كما هو الحال دائمًا ، لكل مصطلح على حدة:

\ [((x) ^ (- 3)) \ to \ frac (((x) ^ (- 2))) (- 2) \]

\ [((x) ^ (- 2)) \ to \ frac (((x) ^ (- 1))) (- 1) \]

\ [((x) ^ (- 1)) \ to \ ln x \]

دعنا نكتب البناء الناتج:

المهمة رقم 3

في الأعلى لدينا مربع المجموع ، لنفتحه:

\ [\ frac (((\ left (x + \ sqrt (x) \ right)) ^ (2))) (x) = \ frac (((x) ^ (2)) + 2x \ cdot \ sqrt (x ) + ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (2))) (x) = \]

\ [= \ frac (((x) ^ (2))) (x) + \ frac (2x \ sqrt (x)) (x) + \ frac (x) (x) = x + 2 ((x) ^ (\ frac (1) (2))) + 1 \]

\ [((x) ^ (\ frac (1) (2))) \ to \ frac (2 \ cdot ((x) ^ (\ frac (3) (2)))) (3) \]

لنكتب الحل النهائي:

والانتباه الآن! شئ مهم جدا يرتبط بنصيب الأسد من الأخطاء وسوء الفهم. الحقيقة هي أنه حتى الآن ، بحساب المشتقات العكسية بمساعدة المشتقات ، وإعطاء التحويلات ، لم نفكر في ما يساوي مشتق الثابت. لكن مشتق ثابت يساوي "صفر". وهذا يعني أنه يمكنك كتابة الخيارات التالية:

1. $ ((x) ^ (2)) \ to \ frac (((x) ^ (3))) (3) $
2. $ ((x) ^ (2)) \ to \ frac (((x) ^ (3))) (3) + 1 $
3. $ ((x) ^ (2)) \ to \ frac (((x) ^ (3))) (3) + C $

من المهم جدًا فهم هذا الأمر: إذا كانت مشتقة الوظيفة هي نفسها دائمًا ، فإن نفس الوظيفة لها عدد لا حصر له من المشتقات العكسية. يمكننا ببساطة إضافة أي أعداد ثابتة إلى الأعداد الأولية والحصول على أرقام جديدة.

ليس من قبيل المصادفة أنه في شرح المهام التي قمنا بحلها للتو ، تمت كتابة "اكتب المظهر العام للمشتقات العكسية". أولئك. يُفترض مسبقًا مسبقًا أنه لا يوجد واحد منهم ، بل مجموعة كاملة منهم. لكن في الواقع ، يختلفان فقط في $ C $ الثابت في النهاية. لذلك ، في مهامنا ، سنصحح ما لم نكمله.

مرة أخرى ، نعيد كتابة الإنشاءات الخاصة بنا:

في مثل هذه الحالات ، يجب إضافة أن $ C $ ثابت - $ C = const $.

في وظيفتنا الثانية ، نحصل على البناء التالي:

وآخر واحد:

والآن حصلنا حقًا على ما هو مطلوب منا في الحالة الأولية للمشكلة.

حل مسائل إيجاد المشتقات العكسية بنقطة معينة

الآن ، عندما نعرف عن الثوابت وخصائص كتابة المشتقات العكسية ، فإن النوع التالي من المشاكل ينشأ بشكل منطقي تمامًا ، عندما يكون مطلوبًا من مجموعة جميع المشتقات العكسية العثور على واحد فقط من شأنه أن يمر عبر نقطة معينة. ما هي هذه المهمة؟

الحقيقة هي أن جميع المشتقات العكسية لدالة معينة تختلف فقط من حيث أنها تُزاح عموديًا بواسطة رقم ما. وهذا يعني أنه بغض النظر عن النقطة التي نتخذها على المستوى الإحداثي الذي نتخذه ، فإن مشتق عكسي واحد سيمر بالتأكيد ، وعلاوة على ذلك ، واحد فقط.

لذا ، فإن المهام التي سنحلها الآن تتم صياغتها على النحو التالي: ليس من السهل العثور على المشتق العكسي ، مع معرفة صيغة الوظيفة الأصلية ، ولكن اختيار واحد منها بالضبط يمر عبر نقطة معينة ، إحداثياتها سوف في حالة المشكلة.

مثال 1

أولاً ، دعنا نحسب فقط كل مصطلح:

\ [((x) ^ (4)) \ to \ frac (((x) ^ (5))) (5) \]

\ [((x) ^ (3)) \ to \ frac (((x) ^ (4))) (4) \]

الآن نعوض بهذه التعبيرات في بنائنا:

يجب أن تمر هذه الوظيفة عبر النقطة $ M \ left (-1 ؛ 4 \ right) $. ماذا يعني أنه يمر عبر نقطة؟ هذا يعني أنه بدلاً من $ x $ وضعنا $ -1 $ في كل مكان ، وبدلاً من $ F \ left (x \ right) $ - $ -4 $ ، يجب أن نحصل على المساواة العددية الصحيحة. هيا بنا نقوم بذلك:

نرى أن لدينا معادلة لـ $ C $ ، لذلك دعونا نحاول حلها:

دعنا نكتب الحل الذي كنا نبحث عنه:

المثال رقم 2

بادئ ذي بدء ، من الضروري فتح مربع الاختلاف باستخدام صيغة الضرب المختصرة:

\ [((x) ^ (2)) \ to \ frac (((x) ^ (3))) (3) \]

سيتم كتابة الهيكل الأصلي على النحو التالي:

لنجد الآن $ C $: استبدل إحداثيات النقطة $ M $:

\ [- 1 = \ frac (8) (3) -12 + 18 + C \]

نعبر عن $ C $:

يبقى لعرض التعبير النهائي:

حل المسائل المثلثية

كوتر أخير لما حللناه للتو ، أقترح النظر في مشكلتين أكثر تعقيدًا تحتويان على علم المثلثات. وبنفس الطريقة ، سيكون من الضروري إيجاد المشتقات العكسية لجميع الوظائف ، ثم اختر من هذه المجموعة المجموعة الوحيدة التي تمر عبر النقطة $ M $ على المستوى الإحداثي.

بالنظر إلى المستقبل ، أود أن أشير إلى أن التقنية التي سنستخدمها الآن لإيجاد المشتقات العكسية للدوال المثلثية هي ، في الواقع ، تقنية عالمية للتدقيق الذاتي.

مهمة 1

لنتذكر الصيغة التالية:

\ [((\ left (\ text (tg) x \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (((\ cos) ^ (2)) x) \]

بناءً على ذلك يمكننا أن نكتب:

لنعوض بإحداثيات النقطة $ M $ في التعبير:

\ [- 1 = \ text (tg) \ frac (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) (\ text (4)) + C \]

دعنا نعيد كتابة التعبير مع وضع هذه الحقيقة في الاعتبار:

المهمة رقم 2

هنا سيكون الأمر أكثر صعوبة بقليل. الآن سترى لماذا.

لنتذكر هذه الصيغة:

\ [((\ left (\ text (ctg) x \ right)) ^ (\ prime)) = - \ frac (1) (((\ sin) ^ (2)) x) \]

للتخلص من "الطرح" يجب القيام بما يلي:

\ [((\ left (- \ text (ctg) x \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (((\ sin) ^ (2)) x) \]

هنا تصميمنا

استبدل إحداثيات النقطة $ M $:

دعنا نكتب البناء النهائي:

هذا كل ما أردت إخبارك به اليوم. درسنا مصطلح المشتقات العكسية ، وكيفية حسابها من الدوال الأولية ، وكذلك كيفية إيجاد المشتقات العكسية التي تمر عبر نقطة معينة على المستوى الإحداثي.

آمل أن يساعدك هذا الدرس قليلاً على الأقل في فهم هذا الموضوع المعقد. على أي حال ، يتم بناء التكاملات غير المحددة وغير المحدودة على المشتقات العكسية ، لذلك من الضروري للغاية أخذها في الاعتبار. هذا كل شيء بالنسبة لي. اراك قريبا!

تعريف.تسمى الوظيفة F (x) المشتقة العكسية للدالة f (x) في فترة زمنية معينة ، إذا كانت لأي x من الفاصل الزمني المعطى F "(x) \ u003d f (x).

الخاصية الرئيسية للأوليات.

إذا كانت F (x) هي المشتق العكسي لـ f (x) ، فإن الوظيفة F (x) + C ، حيث C هي ثابت تعسفي ، هي أيضًا المشتق العكسي لـ f (x) (أي جميع المشتقات العكسية لـ f (x) مكتوبة بالصيغة F (x) + C).

تفسير هندسي.

يتم الحصول على الرسوم البيانية لجميع المشتقات العكسية لدالة معينة f (x) من الرسم البياني لأي مشتق عكسي واحد عن طريق التحويلات المتوازية على طول محور Oy.

جدول الأوليات.

قواعد إيجاد المشتقات العكسية .

افترض أن F (x) و G (x) هما المشتقات العكسية للوظائف f (x) و g (x) ، على التوالي. ثم:

1.F ( x) ± G ( x) مشتق عكسي لـ F(x) ± ز(x);

2. أ F( x) مشتق عكسي لـ أF(x);

3. - مشتق عكسي لـ أF(kx +ب).

المهام والاختبارات حول موضوع "مكافحة التجريم"

• عكسي

  الدروس: 1 مهام: 11 اختبارات: 1

• المشتق والمشتق العكسي - التحضير لامتحان الرياضيات

  الوظائف: 3

• متكامل - المشتق العكسي والتكامل الصف 11

  الدروس: 4 مهام: 13 اختبارات: 1

• حساب المساحات باستخدام التكاملات - المشتق العكسي والتكامل الصف 11

  الدروس: 1 مهام: 10 اختبارات: 1

بعد دراسة هذا الموضوع ، يجب أن تعرف ما يسمى المشتق العكسي ، خاصيته الرئيسية ، التفسير الهندسي ، قواعد إيجاد المشتقات العكسية ؛ تكون قادرًا على إيجاد جميع المشتقات العكسية للوظائف باستخدام جدول وقواعد لإيجاد المشتقات العكسية ، بالإضافة إلى المشتقات العكسية التي تمر عبر نقطة معينة. ضع في اعتبارك حل المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع باستخدام الأمثلة. انتبه لتصميم القرارات.

أمثلة.

1. اكتشف ما إذا كانت الوظيفة F ( x) = X 3 – 3X+ 1 مشتق عكسي للوظيفة F(x) = 3(X 2 – 1).

المحلول: F"( x) = (X 3 – 3X+ 1) ′ = 3 X 2 – 3 = 3(X 2 – 1) = F(x)، بمعنى آخر. F"( x) = F(x) ، لذلك ، F (x) مشتق عكسي للدالة f (x).

2. أوجد جميع الوظائف العكسية f (x):

أ) F(x) = X 4 + 3X 2 + 5

المحلول:باستخدام الجدول والقواعد لإيجاد المشتقات العكسية ، نحصل على:

إجابه:

ب) F(x) = الخطيئة (3 x – 2)

المحلول:

لقد رأينا أن للمشتق تطبيقات عديدة: المشتق هو سرعة الحركة (أو بشكل عام سرعة أي عملية) ؛ المشتق هو ميل المماس للرسم البياني للدالة ؛ باستخدام المشتق ، يمكنك التحقق من وظيفة الرتابة والقيمة القصوى ؛ المشتق يساعد في حل مشاكل التحسين.

لكن في الحياة الواقعية ، يتعين على المرء أيضًا حل المشكلات العكسية: على سبيل المثال ، جنبًا إلى جنب مع مشكلة إيجاد السرعة من قانون معروف للحركة ، هناك أيضًا مشكلة استعادة قانون الحركة من سرعة معروفة. لنفكر في إحدى هذه المشاكل.

مثال 1تتحرك نقطة مادية على طول خط مستقيم ، وتعطى سرعة حركتها في الوقت t بواسطة الصيغة u = tg. أوجد قانون الحركة.

المحلول.لنفترض أن s = s (t) هو قانون الحركة المطلوب. من المعروف أن s "(t) = u" (t). لذا ، لحل المشكلة ، علينا الاختيار وظيفة s = s (t) ، مشتقها يساوي tg. من السهل تخمين ذلك

نلاحظ على الفور أن المثال تم حله بشكل صحيح ، ولكن بشكل غير كامل. لقد حصلنا على ذلك في الواقع ، للمشكلة عدد لا نهائي من الحلول: أي وظيفة في الشكل الثابت التعسفي ، يمكن أن يكون بمثابة قانون الحركة ، لأن

لجعل المهمة أكثر تحديدًا ، كان علينا إصلاح الموقف الأولي: الإشارة إلى تنسيق نقطة الحركة في وقت ما ، على سبيل المثال ، عند t = 0. إذا ، على سبيل المثال ، s (0) \ u003d s 0 ، ثم من المساواة نحصل على s (0) \ u003d 0 + C ، أي S 0 \ u003d C. الآن تم تعريف قانون الحركة بشكل فريد:
في الرياضيات ، يتم إعطاء العمليات العكسية المتبادلة أسماء مختلفة ، واختراع رموز خاصة: على سبيل المثال ، التربيع (x 2) واستخراج الجذر التربيعي للجيب (sinx) و قوس(arcsin x) ، إلخ. تسمى عملية إيجاد المشتق فيما يتعلق بوظيفة معينة التفاضل ، والعملية العكسية ، أي عملية إيجاد دالة بمشتق معين - بالتكامل.
يمكن تبرير مصطلح "المشتق" نفسه "بطريقة دنيوية": الوظيفة y - f (x) "تنتج في العالم" وظيفة جديدة y "= f" (x) الوظيفة y \ u003d f (x) يتصرف كما لو كان "أحد الوالدين" ، لكن علماء الرياضيات ، بالطبع ، لا يسمونه "الأصل" أو "المنتج" ، ويقولون إنه ، فيما يتعلق بالوظيفة y "= f" (x) ، الصورة الأساسية ، أو باختصار ، المشتق العكسي.

التعريف 1.تسمى الوظيفة y \ u003d F (x) المشتق العكسي للوظيفة y \ u003d f (x) على فاصل زمني معين X ، إذا كانت المساواة F "(x) \ u003d f (x) صحيحة .

في الممارسة العملية ، لا يتم تحديد الفاصل الزمني X عادةً ، ولكنه ضمني (باعتباره المجال الطبيعي للوظيفة).

وهنا بعض الأمثلة:

1) الوظيفة y \ u003d x 2 هي مشتق عكسي للوظيفة y \ u003d 2x ، لأن المساواة (x 2) "\ u003d 2x صحيحة بالنسبة للجميع.
2) الوظيفة y - x 3 هي المشتق العكسي للدالة y-3x 2 ، لأن المساواة (x 3) "\ u003d 3x 2 صحيحة بالنسبة للجميع.
3) الدالة y-sinx هي مشتق عكسي للدالة y = cosx ، حيث أن جميع x المساواة (sinx) "= cosx صالحة.
4) الوظيفة مشتقة عكسية للدالة في الفترة الزمنية لأن المساواة صحيحة بالنسبة لجميع x> 0
بشكل عام ، عند معرفة الصيغ لإيجاد المشتقات ، ليس من الصعب تجميع جدول الصيغ لإيجاد المشتقات العكسية.

نأمل أن تفهم كيف يتم تجميع هذا الجدول: مشتق الوظيفة المكتوبة في العمود الثاني يساوي الوظيفة المكتوبة في الصف المقابل من العمود الأول (تحقق من ذلك ، لا تكن كسولًا ، إنها مفيد جدا). على سبيل المثال ، بالنسبة للدالة y \ u003d x 5 ، فإن المشتق العكسي ، كما تحدده ، هو الوظيفة (انظر الصف الرابع من الجدول).

ملحوظات: 1. أدناه نثبت النظرية القائلة بأنه إذا كانت y = F (x) مشتقة عكسية للدالة y = f (x) ، فإن الدالة y = f (x) بها عدد لا نهائي من المشتقات العكسية وجميعها لها الصيغة y = F (x) + C. لذلك ، سيكون من الأصح إضافة المصطلح C في كل مكان في العمود الثاني من الجدول ، حيث C هو رقم حقيقي تعسفي.
2. من أجل الإيجاز ، في بعض الأحيان بدلاً من العبارة "الدالة y = F (x) هي المشتق العكسي للدالة y = f (x)" ، يقولون أن F (x) هي المشتق العكسي لـ f (x) ".

2. قواعد إيجاد المشتقات العكسية

عند البحث عن المشتقات العكسية ، وكذلك عند البحث عن المشتقات ، لا يتم استخدام الصيغ فقط (تم سردها في الجدول في الصفحة 196) ، ولكن أيضًا بعض القواعد. ترتبط ارتباطًا مباشرًا بالقواعد المقابلة لحساب المشتقات.

نعلم أن مشتقة المجموع تساوي مجموع المشتقات. تولد هذه القاعدة قاعدة مقابلة لإيجاد المشتقات العكسية.

المادة 1المشتق العكسي لمجموع ما يساوي مجموع المشتقات العكسية.

نلفت انتباهكم إلى بعض "الخفة" في هذه الصياغة. في الواقع ، سيكون من الضروري صياغة نظرية: إذا كانت الدالتان y = f (x) و y = g (x) لها مشتقات عكسية في الفترة X و y-F (x) و y-G (x) على التوالي ، فسيكون المجموع من الدوال y = f (x) + g (x) لها مشتق عكسي على الفترة X ، وهذه المشتق العكسي هي الوظيفة y = F (x) + G (x). ولكن في العادة ، عند صياغة القواعد (وليس النظريات) ، تبقى الكلمات الرئيسية فقط - وهذا أكثر ملاءمة لتطبيق القاعدة في الممارسة العملية.

مثال 2أوجد المشتق العكسي للدالة y = 2x + cos x.

المحلول.المشتق العكسي لـ 2x هو x "؛ المشتق العكسي لـ cosx هو sin x. ومن ثم ، فإن المشتق العكسي للدالة y \ u003d 2x + cos x سيكون الوظيفة y \ u003d x 2 + sin x (وبشكل عام أي دالة لـ شكل Y \ u003d x 1 + sinx + C).
نعلم أنه يمكن إخراج العامل الثابت من علامة المشتق. تولد هذه القاعدة قاعدة مقابلة لإيجاد المشتقات العكسية.

القاعدة 2يمكن إخراج العامل الثابت من علامة المشتق العكسي.

مثال 3

المحلول.أ) المشتق العكسي للخطيئة x هو -cos x ؛ ومن ثم ، بالنسبة للدالة y \ u003d 5 sin x ، فإن المشتق العكسي سيكون الوظيفة y \ u003d -5 cos x.

ب) المشتق العكسي لـ cos x هو sin x ؛ ومن ثم ، بالنسبة للوظيفة العكسية ستكون هناك وظيفة
ج) المشتق العكسي لـ x 3 هو المشتق العكسي لـ x هو المشتق العكسي للوظيفة y \ u003d 1 هي الوظيفة y \ u003d x. باستخدام القاعدتين الأولى والثانية لإيجاد المشتقات العكسية ، نحصل على أن المشتق العكسي للدالة y \ u003d 12x 3 + 8x-1 هو الوظيفة
تعليق.كما تعلم ، مشتق المنتج لا يساوي حاصل ضرب المشتقات (قاعدة اشتقاق المنتج أكثر تعقيدًا) ومشتق حاصل القسمة لا يساوي حاصل قسمة المشتقات. لذلك ، لا توجد قواعد لإيجاد المشتقة العكسية للمنتج أو المشتقة العكسية لحاصل قسمة وظيفتين. كن حذرا!
نحصل على قاعدة أخرى لإيجاد المشتقات العكسية. نعلم أن مشتق الدالة y \ u003d f (kx + m) يحسب بالصيغة

تولد هذه القاعدة قاعدة مقابلة لإيجاد المشتقات العكسية.
القاعدة 3إذا كانت y \ u003d F (x) هي المشتق العكسي للوظيفة y \ u003d f (x) ، فإن المشتق العكسي للوظيفة y \ u003d f (kx + m) هو الوظيفة

في الواقع،

هذا يعني أنه مشتق عكسي للدالة y \ u003d f (kx + m).
معنى القاعدة الثالثة على النحو التالي. إذا كنت تعلم أن المشتق العكسي للوظيفة y \ u003d f (x) هو الوظيفة y \ u003d F (x) ، وتحتاج إلى إيجاد المشتق العكسي للوظيفة y \ u003d f (kx + m) ، ثم تابع كما يلي: خذ نفس الدالة F ، ولكن بدلاً من المتغير x ، استبدل التعبير xx + m ؛ بالإضافة إلى ذلك ، لا تنس كتابة "عامل التصحيح" قبل علامة الوظيفة
مثال 4ابحث عن المشتقات العكسية لوظائف معينة:

المحلول، أ) المشتق العكسي للخطيئة x هو -cos x ؛ هذا يعني أنه بالنسبة للدالة y \ u003d sin2x ، ستكون المشتق العكسي هي الوظيفة
ب) المشتق العكسي لـ cos x هو sin x ؛ ومن ثم ، بالنسبة للوظيفة العكسية ستكون هناك وظيفة

ج) المشتق العكسي لـ x 7 هو لذلك ، بالنسبة للوظيفة y \ u003d (4-5x) 7 ، ستكون المشتق العكسي هي الوظيفة

3. تكامل غير محدد

لقد لاحظنا أعلاه بالفعل أن مشكلة إيجاد المشتق العكسي لدالة معينة y = f (x) لها أكثر من حل. دعونا نناقش هذه المسألة بمزيد من التفصيل.

دليل - إثبات. 1. اجعل y \ u003d F (x) المشتق العكسي للوظيفة y \ u003d f (x) على الفاصل الزمني X. هذا يعني أنه بالنسبة لجميع x من X ، تكون المساواة x "(x) \ u003d f (x) هي صحيح. أوجد مشتق أي دالة بالصيغة y \ u003d F (x) + C:
(F (x) + C) \ u003d F "(x) + C \ u003d f (x) + 0 \ u003d f (x).

إذن ، (F (x) + C) = f (x). هذا يعني أن y \ u003d F (x) + C هو مشتق عكسي للوظيفة y \ u003d f (x).
وبالتالي ، فقد أثبتنا أنه إذا كانت الوظيفة y \ u003d f (x) لها مشتق عكسي y \ u003d F (x) ، فإن الوظيفة (f \ u003d f (x) لها عدد لا نهائي من المشتقات العكسية ، على سبيل المثال ، أي وظيفة من شكل y \ u003d F (x) + C مشتق عكسي.
2. دعنا الآن نثبت أن المجموعة الكاملة من المشتقات العكسية قد استنفدت بنوع الدوال المشار إليها.

لنفترض أن y = F 1 (x) و y = F (x) هما مشتقتان عكسيتان للدالة Y = f (x) في الفترة X. وهذا يعني أنه بالنسبة لجميع x من الفترة X ، فإن العلاقات التالية تحمل: F ^ ( س) = و (س) ؛ F "(x) \ u003d f (x).

ضع في اعتبارك الوظيفة y \ u003d F 1 (x) -.F (x) وابحث عن مشتقها: (F، (x) -F (x)) "\ u003d F [(x) - F (x) \ u003d f (س) - و (س) = 0.
من المعروف أنه إذا كان مشتق دالة في الفترة X يساوي صفرًا ، فإن الوظيفة تكون ثابتة في الفترة X (انظر النظرية 3 في الفقرة 35). ومن ثم ، F 1 (x) -F (x) \ u003d C ، أي Fx) \ u003d F (x) + C.

لقد تم إثبات النظرية.

مثال 5تم تعيين قانون تغيير السرعة من الوقت v = -5sin2t. أوجد قانون الحركة s = s (t) إذا كان معروفًا أنه في الوقت t = 0 ، كان إحداثيات النقطة مساويًا للعدد 1.5 (أي s (t) = 1.5).

المحلول.نظرًا لأن السرعة هي مشتق الإحداثي كدالة للوقت ، فنحن نحتاج أولاً إلى إيجاد المشتق العكسي للسرعة ، أي المشتق العكسي للدالة v = -5sin2t. إحدى هذه المشتقات العكسية هي الوظيفة ، ومجموعة المشتقات العكسية لها الشكل:

لإيجاد قيمة محددة للثابت C ، نستخدم الشروط الأولية ، والتي وفقًا لها ، s (0) = 1.5. بالتعويض في الصيغة (1) القيم t = 0 ، S = 1.5 ، نحصل على:

باستبدال القيمة الموجودة C في الصيغة (1) ، نحصل على قانون الحركة الذي يهمنا:

التعريف 2.إذا كانت الدالة y = f (x) لها مشتق عكسي y = F (x) على الفترة X ، فإن مجموعة جميع المشتقات العكسية ، أي تسمى مجموعة وظائف النموذج y \ u003d F (x) + C ، التكامل غير المحدود للوظيفة y \ u003d f (x) والمشار إليها:

(يقرأون: "التكامل غير المحدد لـ x de x").
في القسم التالي ، سنكتشف المعنى الخفي لهذا الترميز.
استنادًا إلى جدول المشتقات العكسية المتوفرة في هذه الفقرة ، سنقوم بتجميع جدول بالتكاملات الأساسية غير المحددة:

بناءً على القواعد الثلاث السابقة لإيجاد المشتقات العكسية ، يمكننا صياغة قواعد التكامل المقابلة.

المادة 1تكامل مجموع الوظائف يساوي مجموع تكاملات هذه الدوال:

القاعدة 2يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التكامل:

القاعدة 3اذا كان

مثال 6البحث عن التكاملات غير المحددة:

المحلول، أ) باستخدام قواعد التكامل الأولى والثانية ، نحصل على:

نستخدم الآن صيغتي التكامل الثالث والرابع:

نتيجة لذلك ، نحصل على:

ب) باستخدام قاعدة التكامل الثالثة والصيغة 8 ، نحصل على:

ج) من أجل التحديد المباشر للتكامل المحدد ، ليس لدينا الصيغة المقابلة ولا القاعدة المقابلة. في مثل هذه الحالات ، تساعد أحيانًا التحولات الأولية المتطابقة للتعبير الموجود تحت علامة التكامل.

دعنا نستخدم الصيغة المثلثية لتقليل الدرجة:

ثم نجد على التوالي:

اي جي. Mordkovich الجبر الصف 10

التقويم المواضيعي التخطيط في الرياضيات ، فيديوفي الرياضيات على الإنترنت ، الرياضيات في المدرسة