إيجاد مساحة الشكل المحدود. كيف تحسب مساحة الشكل المستوي باستخدام التكامل المزدوج؟ قد يبدو اكتمال الحل على هذا النحو

الشكل المحدد بالرسم البياني لوظيفة مستمرة غير سالبة $ f (x) $ على الفاصل $$ والخطوط $ y = 0 ، \ x = a $ و $ x = b $ يسمى شبه منحني منحني.

منطقة المقابلة منحني الأضلاع شبه منحرفمحسوبة بالصيغة:

$ S = \ int \ limits_ (a) ^ (b) (f (x) dx). $ (*)

مشاكل إيجاد مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع سنقسمها بشروط إلى 4 دولارات. دعنا نفكر في كل نوع بمزيد من التفصيل.

النوع الأول: يتم إعطاء شبه منحرف منحني الأضلاع بشكل صريح.ثم قم على الفور بتطبيق الصيغة (*).

على سبيل المثال ، ابحث عن مساحة شبه منحنية منحنية الخطوط يحدها الرسم البياني للوظيفة $ y = 4- (x-2) ^ (2) $ والخطوط $ y = 0 ، \ x = 1 $ و $ x = 3 دولارات.

دعونا نرسم هذا شبه المنحني المنحني.

بتطبيق الصيغة (*) ، نجد مساحة هذا شبه المنحني المنحني الأضلاع.

$ S = \ int \ limits_ (1) ^ (3) (\ left (4- (x-2) ^ (2) \ right) dx) = \ int \ limits_ (1) ^ (3) (4dx) - \ int \ limits_ (1) ^ (3) ((x-2) ^ (2) dx) = 4x | _ (1) ^ (3) - \ left. \ frac ((x-2) ^ (3) ) (3) \ right | _ (1) ^ (3) = $

$ = 4 (3-1) - \ frac (1) (3) \ left ((3-2) ^ (3) - (1-2) ^ (3) \ right) = 4 \ cdot 2 - \ frac (1) (3) \ left ((1) ^ (3) - (- 1) ^ (3) \ right) = 8 - \ frac (1) (3) (1 + 1) = $

$ = 8- \ frac (2) (3) = 7 \ frac (1) (3) $ (الوحدة $ ^ (2) $).

النوع الثاني: منحني منحني شبه منحرف معطى ضمنيًا.في هذه الحالة ، الخطوط المستقيمة $ x = a ، \ x = b $ عادة غير محددة أو محددة جزئيًا. في هذه الحالة ، تحتاج إلى إيجاد نقاط تقاطع الدالتين $ y = f (x) $ و $ y = 0 $. ستكون هذه النقاط هي النقاط $ a $ و $ b $.

على سبيل المثال ، أوجد مساحة الشكل المحدد برسوم بيانية للوظائف $ y = 1-x ^ (2) $ و $ y = 0 $.

لنجد نقاط التقاطع. للقيام بذلك ، نقوم بمساواة الأجزاء الصحيحة من الوظائف.

إذن ، $ a = -1 $ و $ b = 1 $. دعونا نرسم هذا شبه المنحني المنحني.

أوجد مساحة هذا شبه المنحني المنحني الأضلاع.

$ S = \ int \ limits _ (- 1) ^ (1) (\ left (1-x ^ (2) \ right) dx) = \ int \ limits _ (- 1) ^ (1) (1dx) - \ int \ limits _ (- 1) ^ (1) (x ^ (2) dx) = x | _ (- 1) ^ (1) - \ left. \ frac (x ^ (3)) (3) \ right | _ (-1) ^ (1) = دولار

$ = (1 - (- 1)) - \ frac (1) (3) \ left (1 ^ (3) - (- 1) ^ (3) \ right) = 2 - \ frac (1) (3) \ يسار (1 + 1 \ يمين) = 2 - \ frac (2) (3) = 1 \ frac (1) (3) $ (وحدة $ ^ (2) $).

النوع الثالث: مساحة الشكل يحدها تقاطع وظيفتين مستمرتين غير سالبين.لن يكون هذا الشكل شبه منحني منحني الأضلاع ، مما يعني أنه باستخدام الصيغة (*) لا يمكنك حساب مساحته. كيف تكون؟اتضح أن مساحة هذا الشكل يمكن إيجادها على أنها الفرق بين مناطق شبه المنحنيات المنحنية التي تحدها الوظيفة العليا و $ y = 0 $ ($ S_ (uf) $) والدالة السفلية و $ y = 0 $ ($ S_ (lf) $) ، حيث يتم لعب دور $ x = a ، \ x = b $ بواسطة إحداثيات $ x $ لنقاط تقاطع هذه الوظائف ، أي

$ S = S_ (uf) -S_ (lf) $. (**)

أهم شيء عند حساب هذه المناطق هو عدم "تفويت" اختيار الوظائف العلوية والسفلية.

على سبيل المثال ، أوجد مساحة الشكل المحدد بالدالتين $ y = x ^ (2) $ و $ y = x + 6 $.

لنجد نقاط تقاطع هذه الرسوم البيانية:

وفقًا لنظرية فييتا ،

$ x_ (1) = - 2، \ x_ (2) = 3. $

أي ، $ a = -2 ، \ b = 3 $. لنرسم شكلاً:

لذا فإن الوظيفة العلوية هي $ y = x + 6 $ والدالة السفلية $ y = x ^ (2) $. بعد ذلك ، ابحث عن $ S_ (uf) $ و $ S_ (lf) $ باستخدام الصيغة (*).

$ S_ (uf) = \ int \ limits _ (- 2) ^ (3) ((x + 6) dx) = \ int \ limits _ (- 2) ^ (3) (xdx) + \ int \ limits _ (- 2 ) ^ (3) (6dx) = \ left. \ frac (x ^ (2)) (2) \ right | _ (- 2) ^ (3) + 6x | _ (- 2) ^ (3) = 32 ، 5 دولارات (الوحدة $ ^ (2) $).

$ S_ (lf) = \ int \ limits _ (- 2) ^ (3) (x ^ (2) dx) = \ left. \ frac (x ^ (3)) (3) \ right | _ (- 2) ^ (3) = \ frac (35) (3) $ (الوحدة $ ^ (2) $).

تم العثور على بديل في (**) واحصل على:

$ S = 32،5- \ frac (35) (3) = \ frac (125) (6) $ (الوحدة $ ^ (2) $).

النوع الرابع: منطقة الشكل ، وظيفة محدودة(-s) التي لا تفي بشرط عدم السلبية.للعثور على مساحة مثل هذا الشكل ، يجب أن تكون متماثلًا حول محور $ Ox $ ( بعبارات أخرى،ضع "سلبيات" أمام الوظائف) اعرض المنطقة ، وباستخدام الطرق الموضحة في الأنواع من الأول إلى الثالث ، ابحث عن منطقة المنطقة المعروضة. ستكون هذه المنطقة هي المنطقة المطلوبة. أولاً ، قد تضطر إلى إيجاد نقاط تقاطع الرسوم البيانية للوظائف.

على سبيل المثال ، أوجد مساحة الشكل المحدد برسوم بيانية للوظائف $ y = x ^ (2) -1 $ و $ y = 0 $.

لنجد نقاط تقاطع الرسوم البيانية للوظائف:

أولئك. $ a = -1 $ و $ b = 1 $. لنرسم المنطقة.

دعنا نعرض المنطقة بشكل متماثل:

$ y = 0 \ Rightarrow \ y = -0 = 0 $

$ y = x ^ (2) -1 \ Rightarrow \ y = - (x ^ (2) -1) = 1-x ^ (2) $.

تحصل على شبه منحرف منحني الخطوط يحده الرسم البياني للوظيفة $ y = 1-x ^ (2) $ و $ y = 0 $. هذه مشكلة إيجاد شبه منحرف منحني الأضلاع من النوع الثاني. لقد حللناها بالفعل. كانت الإجابة: $ S = 1 \ frac (1) (3) $ (Units $ ^ (2) $). لذلك ، فإن مساحة شبه المنحني المطلوب تساوي:

$ S = 1 \ frac (1) (3) $ (الوحدة $ ^ (2) $).

نبدأ في النظر في العملية الفعلية لحساب التكامل المزدوج والتعرف على معناه الهندسي.

تكامل مزدوج عدديًا مساوية للمنطقة شخصية مسطحة(مجالات التكامل). هو - هي ابسط شكلالتكامل المزدوج عندما تكون دالة متغيرين تساوي واحدًا:.

دعونا أولا ننظر في المشكلة في نظرة عامة. الآن ستندهش من مدى بساطتها حقًا! احسب مساحة الشكل المسطح ، تحدها خطوط. من أجل التحديد ، نفترض ذلك في الفترة. مساحة هذا الشكل تساوي عدديًا:

لنرسم المنطقة في الرسم:

دعنا نختار الطريقة الأولى لتجاوز المنطقة:

في هذا الطريق:

وعلى الفور خدعة فنية مهمة: يمكن اعتبار التكاملات المتكررة بشكل منفصل. أولًا التكامل الداخلي ، ثم التكامل الخارجي. هذه الطريقةنوصي بشدة للمبتدئين في موضوع أقداح الشاي.

1) احسب التكامل الداخلي ، بينما يتم تنفيذ التكامل على المتغير "y":

التكامل غير المحدد هنا هو الأبسط ، ثم يتم استخدام صيغة نيوتن-لايبنيز العادية ، مع الاختلاف الوحيد الذي حدود التكامل ليست أرقامًا ، بل وظائف. استبدلت أولاً بـ "y" ( دالة عكسية) الحد الأعلى، ثم الحد الأدنى

2) يجب استبدال النتيجة التي تم الحصول عليها في الفقرة الأولى بالتكامل الخارجي:

يبدو الترميز الأكثر إحكاما للحل الكامل كما يلي:

الصيغة الناتجة - هذه هي بالضبط صيغة العمل لحساب مساحة الشكل المسطح باستخدام التكامل المحدد "العادي"! انظر الدرس حساب المساحة باستخدام تكامل محدد، ها هي في كل منعطف!

هذا هو، مشكلة حساب المساحة باستخدام تكامل مزدوج مختلف قليلامن مشكلة إيجاد المساحة باستخدام تكامل محدد!في الواقع ، هم واحد ونفس الشيء!

وعليه ، لا ينبغي أن تنشأ أية صعوبات! لن أفكر في العديد من الأمثلة ، لأنك ، في الواقع ، واجهت هذه المشكلة مرارًا وتكرارًا.

المثال 9

المحلول:لنرسم المنطقة في الرسم:

دعنا نختار الترتيب التالي لاجتياز المنطقة:

هنا وأدناه ، لن أخوض في كيفية اجتياز منطقة لأن الفقرة الأولى كانت مفصلة للغاية.

في هذا الطريق:

كما أشرت بالفعل ، من الأفضل للمبتدئين حساب التكاملات المتكررة بشكل منفصل ، وسألتزم بنفس الطريقة:

1) أولاً ، باستخدام صيغة Newton-Leibniz ، نتعامل مع التكامل الداخلي:

2) يتم استبدال النتيجة التي تم الحصول عليها في الخطوة الأولى في التكامل الخارجي:

النقطة 2 هي إيجاد مساحة الشكل المسطح باستخدام تكامل محدد.

إجابه:

هذه مهمة غبية وساذجة.

مثال مثير للاهتمام ل حل مستقل:

المثال 10

باستخدام التكامل المزدوج ، احسب مساحة الشكل المستوي المحدد بالخطوط ،

مثال على الحل النهائي في نهاية الدرس.

في الأمثلة 9-10 ، من الأكثر ربحية استخدام الطريقة الأولى لتجاوز المنطقة ، وبالمناسبة ، يمكن للقراء الفضوليين تغيير ترتيب التجاوز وحساب المناطق بالطريقة الثانية. إذا لم ترتكب خطأ ، فبطبيعة الحال ، يتم الحصول على نفس قيم المنطقة.

لكن في بعض الحالات ، تكون الطريقة الثانية لتجاوز المنطقة أكثر فاعلية ، وفي ختام دورة الطالب الذي يذاكر كثيرا الشاب ، دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة الأخرى حول هذا الموضوع:

المثال 11

باستخدام التكامل المزدوج ، احسب مساحة الشكل المستوي المحدد بخطوط.

المحلول:نحن نتطلع إلى قطعتين مكافئتين مع نسيم على جانبهما. لا داعي للابتسام ، فغالبًا ما يتم مواجهة أشياء متشابهة في تكاملات متعددة.

ما هي أسهل طريقة لعمل رسم؟

دعنا نمثل القطع المكافئ كدالتين:
- الفرع العلوي و - الفرع السفلي.

وبالمثل ، تخيل قطعًا مكافئًا كقطع علوي وسفلي الفروع.

بعد ذلك ، محركات التآمر نقطة بنقطة ، مما أدى إلى مثل هذا الرقم الغريب:

يتم حساب مساحة الشكل باستخدام التكامل المزدوج وفقًا للصيغة:

ماذا يحدث إذا اخترنا الطريقة الأولى لتجاوز المنطقة؟ أولاً ، يجب تقسيم هذه المنطقة إلى قسمين. وثانيًا نلاحظ هذه الصورة الحزينة: . التكاملات ، بالطبع ، ليست ذات مستوى فائق التعقيد ، ولكن ... هناك مقولة رياضية قديمة: أي شخص صديق للجذور لا يحتاج إلى مقاصة.

لذلك ، من سوء الفهم الوارد في الشرط ، نعبر عن الوظائف العكسية:

وظائف معكوسةفي هذا المثاللها ميزة أنها تقوم على الفور بتعيين القطع المكافئ بأكمله دون أي أوراق وجوز وفروع وجذور.

وفقًا للطريقة الثانية ، سيكون اجتياز المنطقة على النحو التالي:

في هذا الطريق:

كما يقولون ، اشعر بالفرق.

1) نتعامل مع التكامل الداخلي:

نعوض بالنتيجة في التكامل الخارجي:

لا ينبغي أن يكون التكامل مع المتغير "y" محرجًا ، إذا كان هناك حرف "zyu" - فسيكون من الرائع التكامل معه. على الرغم من من قرأ الفقرة الثانية من الدرس كيف تحسب حجم جسم الثورة، لم يعد يعاني من أدنى إحراج من الاندماج على "y".

انتبه أيضًا إلى الخطوة الأولى: التكامل هو زوجي ، وقطاع التكامل متماثل حول الصفر. لذلك ، يمكن تقسيم المقطع إلى النصف ، ويمكن مضاعفة النتيجة. تم التعليق على هذه التقنية بالتفصيل في الدرس. طرق فعالةحساب تكامل محدد.

ماذا تضيف…. كل شىء!

إجابه:

لاختبار أسلوب التكامل الخاص بك ، يمكنك محاولة الحساب . يجب أن تكون الإجابة متطابقة تمامًا.

المثال 12

باستخدام التكامل المزدوج ، احسب مساحة الشكل المستوي المحدد بخطوط

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". من المثير للاهتمام ملاحظة أنه إذا حاولت استخدام الطريقة الأولى لتجاوز المنطقة ، فلن يتم تقسيم الشكل إلى قسمين ، بل إلى ثلاثة أجزاء! وبناءً عليه ، نحصل على ثلاثة أزواج من التكاملات المتكررة. يحدث ذلك في بعض الأحيان.

انتهى الفصل الرئيسي ، وحان الوقت للانتقال إلى مستوى المعلم الكبير - كيف تحسب التكامل المزدوج؟ أمثلة الحل. سأحاول ألا أكون مهووسًا جدًا في المقالة الثانية =)

أتمنى لك النجاح!

الحلول والأجوبة:

المثال الثاني:المحلول: ارسم منطقة على الرسم:

دعنا نختار الترتيب التالي لاجتياز المنطقة:

في هذا الطريق:
دعنا ننتقل إلى عكس الوظائف:

في هذا الطريق:
إجابه:

المثال 4:المحلول: دعنا ننتقل إلى الوظائف المباشرة:

لننفذ الرسم:

دعنا نغير ترتيب اجتياز المنطقة:

إجابه:

في الواقع ، من أجل العثور على مساحة الشكل ، لا تحتاج إلى الكثير من المعرفة بالتكامل غير المحدد والمؤكد. تتضمن مهمة "حساب المساحة باستخدام تكامل محدد" دائمًا إنشاء رسم، لذلك ستكون معرفتك ومهاراتك في الرسم مسألة أكثر صلة. في هذا الصدد ، من المفيد الاطلاع على الرسومات الرئيسية وظائف الابتدائية، وعلى الأقل ، تكون قادرًا على بناء خط مستقيم وقطع زائد.

شبه المنحرف المنحني الخطي هو شكل مسطح يحده محور وخطوط مستقيمة ورسم بياني لوظيفة مستمرة على مقطع لا يغير العلامة على هذا الفاصل. دع هذا الرقم يقع ليس أقلالإحداثي السيني:

ثم مساحة شبه منحرف منحني الخطي تساوي عدديًا تكاملًا معينًا. أي تكامل محدد (موجود) له معنى هندسي جيد جدًا.

من حيث الهندسة ، فإن التكامل المحدد هو المنطقة.

هذا هو،التكامل المحدد (إن وجد) يتوافق هندسيًا مع مساحة شكل ما. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك التكامل المحدد. يُحدد التكامل المنحنى على المستوى الموجود فوق المحور (أولئك الذين يرغبون في إكمال الرسم) ، والتكامل المحدد نفسه يساوي عدديًا مساحة شبه المنحني المقابل.

مثال 1

هذا بيان مهمة نموذجي. أول وأهم لحظة في القرار هي بناء الرسم. علاوة على ذلك ، يجب بناء الرسم حقا.

عند بناء مخطط ، أوصي بالترتيب التالي: أولمن الأفضل إنشاء جميع الخطوط (إن وجدت) وفقط بعد، بعدما- القطع المكافئ ، القطوع الزائدة ، الرسوم البيانية للوظائف الأخرى. تعد الرسوم البيانية الوظيفية أكثر ربحية للبناء بإتجاه.

في هذه المشكلة ، قد يبدو الحل هكذا.
لنقم برسم (لاحظ أن المعادلة تحدد المحور):

على المقطع ، يقع الرسم البياني للوظيفة على المحور، لهذا:

إجابه:

بعد اكتمال المهمة ، من المفيد دائمًا إلقاء نظرة على الرسم ومعرفة ما إذا كانت الإجابة حقيقية. في هذه القضية"بالعين" نحسب عدد الخلايا في الرسم - حسنًا ، ستتم كتابة حوالي 9 ، ويبدو أن هذا صحيح. من الواضح تمامًا أننا إذا كان لدينا ، على سبيل المثال ، الإجابة: 20 وحدات مربعةإذن ، من الواضح أنه تم ارتكاب خطأ في مكان ما - من الواضح أن 20 خلية لا تتناسب مع الرقم المعني ، على الأكثر اثنتي عشرة خلية. إذا كانت الإجابة سلبية ، فقد تم حل المهمة أيضًا بشكل غير صحيح.

مثال 3

احسب مساحة الشكل المحدد بخطوط وقم بتنسيق المحاور.

المحلول: لنرسم:

إذا كان شبه منحرف منحني الأضلاع يقع تحت المحور(أو على الأقل ليس أعلىمحور معين) ، فيمكن العثور على مساحته بالصيغة:

في هذه الحالة:

انتباه! لا تخلط بين نوعي المهام:

1) إذا طُلب منك حل تكامل محدد دون أي تكامل المعنى الهندسي، فيمكن أن تكون سلبية.

2) إذا طُلب منك إيجاد مساحة الشكل باستخدام تكامل محدد ، فإن المنطقة تكون دائمًا موجبة! هذا هو السبب في ظهور علامة الطرح في الصيغة التي تم النظر فيها للتو.

من الناحية العملية ، غالبًا ما يكون الشكل موجودًا في كل من المستويات النصفية العلوية والسفلية ، وبالتالي ، من أبسط مشاكل المدرسة ، ننتقل إلى أمثلة أكثر وضوحًا.

مثال 4

أوجد مساحة الشكل المسطح الذي تحده خطوط.

المحلول: تحتاج أولاً إلى إكمال الرسم. بشكل عام ، عند إنشاء رسم في مشاكل المنطقة ، فإننا نهتم أكثر بنقاط تقاطع الخطوط. لنجد نقاط تقاطع القطع المكافئ والخط. ويمكن أن يتم ذلك بطريقتين. الطريقة الأولى تحليلية. نحل المعادلة:

ومن ثم ، فإن الحد الأدنى للتكامل هو الحد الأعلى للتكامل.

من الأفضل عدم استخدام هذه الطريقة إن أمكن..

إن بناء الخطوط نقطة بنقطة أكثر ربحية وأسرع بكثير ، بينما يتم اكتشاف حدود التكامل كما لو كانت "من تلقاء نفسها". ومع ذلك ، لا يزال يتعين استخدام الطريقة التحليلية لإيجاد الحدود في بعض الأحيان إذا كان الرسم البياني ، على سبيل المثال ، كبيرًا بدرجة كافية ، أو لم يكشف البناء المترابط عن حدود التكامل (يمكن أن تكون كسرية أو غير منطقية). وسننظر أيضًا في مثل هذا المثال.

نعود إلى مهمتنا: من المنطقي أكثر أن نبني أولاً خطًا مستقيمًا وبعد ذلك فقط قطع مكافئ. لنرسم رسمًا:

والآن صيغة العمل: إذا كان هناك بعض الوظائف المستمرة في الفترة الزمنية أكبر من أو يساويبعض وظيفة مستمرة، ثم مساحة الشكل المحدد بالرسوم البيانية لهذه الوظائف والخطوط المستقيمة ، يمكن العثور عليها بالصيغة:

هنا لم يعد من الضروري التفكير في مكان وجود الشكل - فوق المحور أو أسفل المحور ، وبشكل تقريبي ، يهم الرسم البياني أعلاه(نسبة إلى رسم بياني آخر) ، وأي واحد أدناه.

في المثال قيد النظر ، من الواضح أن القطع المكافئ يقع فوق الخط المستقيم ، وبالتالي من الضروري طرحه من

قد يبدو اكتمال الحل كما يلي:

الشكل المطلوب محدد بقطع مكافئ من أعلى وخط مستقيم من أسفل.
في المقطع ، وفقًا للصيغة المقابلة:

إجابه:

مثال 4

احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط ، ، ،.

المحلول: لنرسم أولاً:

الشكل الذي نريد إيجاد مساحته مظلل باللون الأزرق.(انظر بعناية إلى الحالة - كيف أن الرقم محدود!). لكن في الممارسة العملية ، بسبب عدم الانتباه ، غالبًا ما يحدث "خلل" ، تحتاج إلى العثور على منطقة الشكل المظللة بالأخضر!

هذا المثال مفيد أيضًا في أنه يتم حساب مساحة الشكل باستخدام اثنين تكاملات محددة.

حقًا:

1) يوجد رسم بياني بخط مستقيم على المقطع فوق المحور ؛

2) على المقطع فوق المحور يوجد رسم بياني للقطع الزائد.

من الواضح تمامًا أنه يمكن (ويجب) إضافة المناطق ، لذلك:

مثال 1 . احسب مساحة الشكل المحدد بخطوط: x + 2y - 4 = 0 ، y = 0 ، x = -3 ، و x = 2

دعونا نبني شكلاً (انظر الشكل). نبني خطًا مستقيمًا x + 2y - 4 \ u003d 0 على طول النقطتين A (4 ؛ 0) و B (0 ؛ 2). بالتعبير عن y بدلالة x ، نحصل على y \ u003d -0.5x + 2. وفقًا للصيغة (1) ، حيث f (x) \ u003d -0.5x + 2 ، a \ u003d -3 ، b \ u003d 2 ، نحن تجد

S \ u003d \ u003d [-0.25 = 11.25 قدم مربع. الوحدات

مثال 2 احسب مساحة الشكل المحدد بخطوط: x - 2y + 4 \ u003d 0 ، x + y - 5 \ u003d 0 و y \ u003d 0.

المحلول. دعونا نبني شخصية.

لنقم ببناء خط مستقيم x - 2y + 4 = 0: y = 0، x = - 4، A (-4؛ 0)؛ س = 0 ، ص = 2 ، ب (0 ؛ 2).

لنقم ببناء خط مستقيم x + y - 5 = 0: y = 0، x = 5، С (5؛ 0)، x = 0، y = 5، D (0؛ 5).

أوجد نقطة تقاطع المستقيمين بحل نظام المعادلات:

س = 2 ، ص = 3 ؛ م (2 ؛ 3).

لحساب المساحة المطلوبة ، نقسم مثلث AMC إلى مثلثين AMN و NMC ، لأنه عندما تتغير x من A إلى N ، تكون المنطقة محدودة بخط مستقيم ، وعندما تتغير x من N إلى C ، فإنها تكون خطًا مستقيمًا

بالنسبة للمثلث AMN لدينا: ؛ ص \ u003d 0.5x + 2 ، أي f (x) \ u003d 0.5x + 2 ، a \ u003d - 4 ، b \ u003d 2.

بالنسبة لمثلث NMC لدينا: y = - x + 5 ، أي f (x) = - x + 5 ، a = 2 ، b = 5.

بحساب مساحة كل من المثلثات وإضافة النتائج نجد:

قدم مربع الوحدات

9 + 4 ، 5 = 13.5 قدم مربع الوحدات تحقق: = 0.5AC = 0.5 متر مربع. الوحدات

مثال 3 احسب مساحة الشكل المحدد بخطوط: y = x 2 ، ص = 0 ، س = 2 ، س = 3.

في هذه الحالة ، يلزم حساب مساحة شبه منحرف منحني الخط يحده قطع مكافئ y = x 2 ، الخطوط المستقيمة x \ u003d 2 و x \ u003d 3 ومحور Ox (انظر الشكل). وفقًا للصيغة (1) ، نجد مساحة شبه منحرف منحني الخطي

= = 6 كيلو فولت. الوحدات

مثال 4 احسب مساحة الشكل المحدد بخطوط: y \ u003d - x 2 + 4 و y = 0

دعونا نبني شخصية. المنطقة المرغوبة محاطة بين القطع المكافئ y \ u003d - x 2 + 4 ومحور اه.

أوجد نقاط تقاطع القطع المكافئ مع المحور x. بافتراض y \ u003d 0 ، نجد x \ u003d نظرًا لأن هذا الرقم متماثل حول محور Oy ، فإننا نحسب مساحة الشكل الموجود على يمين محور Oy ، ونضاعف النتيجة: \ u003d + 4x] قدم مربع الوحدات 2 = 2 قدم مربع الوحدات

مثال 5 احسب مساحة شكل محدد بخطوط: y 2 = س ، ص = 1 ، س = 4

مطلوب هنا حساب مساحة شبه المنحني المنحني الخطي الذي يحده الفرع العلوي من القطع المكافئ y 2 \ u003d س ، محور الثور والخطوط المستقيمة س \ u003d 1 س \ u003d 4 (انظر الشكل).

وفقًا للصيغة (1) ، حيث f (x) = a = 1 و b = 4 ، لدينا = (= وحدات مربعة)

مثال 6 . احسب مساحة الشكل المحدد بخطوط: y = sinx ، y = 0 ، x = 0 ، x =.

المنطقة المرغوبة محدودة بنصف الموجة الجيبية ومحور الثور (انظر الشكل).

لدينا - cosx \ u003d - cos \ u003d 1 + 1 \ u003d 2 متر مربع. الوحدات

مثال 7 احسب مساحة الشكل المحدد بخطوط: y \ u003d - 6x ، y \ u003d 0 و x \ u003d 4.

يقع الشكل تحت محور الثور (انظر الشكل).

لذلك ، تم العثور على مساحتها بواسطة الصيغة (3)

= =

المثال 8 احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط: y \ u003d و x \ u003d 2. سنبني المنحنى y \ u003d بالنقاط (انظر الشكل). وبالتالي ، يتم العثور على مساحة الشكل بالصيغة (4)

المثال 9 .

X 2 + ص 2 = ص 2 .

هنا تحتاج إلى حساب المساحة التي تحدها الدائرة x 2 + ص 2 = ص 2 ، أي مساحة دائرة نصف قطرها r المتمركزة في الأصل. لنجد الجزء الرابع من هذه المنطقة ، ونأخذ حدود التكامل من 0

دور. نملك: 1 = = [

بالتالي، 1 =

المثال 10 احسب مساحة الشكل المحدد بخطوط: y \ u003d x 2 و ص = 2 س

هذا الرقم محدود بواسطة القطع المكافئ y \ u003d x 2 والخط المستقيم y \ u003d 2x (انظر الشكل) لتحديد نقاط التقاطع سطور معينةحل جملة المعادلات: x 2 - 2 س = 0 س = 0 و س = 2

باستخدام الصيغة (5) لإيجاد المساحة ، نحصل عليها

= الرسم البياني للوظيفة ذ = x 2 + 2 موجود على المحورثور، لهذا:

إجابه: .

من لديه صعوبة في حساب التكامل المحدد وتطبيق صيغة نيوتن-لايبنيز

الرجوع إلى المحاضرة واضح لا يتجزأ. أمثلة الحل. بعد اكتمال المهمة ، من المفيد دائمًا إلقاء نظرة على الرسم ومعرفة ما إذا كانت الإجابة حقيقية. في هذه الحالة ، "بالعين" نحسب عدد الخلايا في الرسم - حسنًا ، ستتم كتابة حوالي 9 ، ويبدو أن هذا صحيح. من الواضح تمامًا أنه إذا كان لدينا ، على سبيل المثال ، الإجابة: 20 وحدة مربعة ، فمن الواضح أنه تم ارتكاب خطأ في مكان ما - من الواضح أن 20 خلية لا تتناسب مع الشكل المعني ، على الأكثر دزينة. إذا كانت الإجابة سلبية ، فقد تم حل المهمة أيضًا بشكل غير صحيح.

مثال 2

احسب مساحة شكل محدد بخطوط س ص = 4, x = 2, x= 4 والمحور ثور.

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". الحل الكاملوالجواب في نهاية الدرس.

ماذا تفعل إذا كان شبه منحرف منحني الأضلاع تحت المحورثور?

مثال 3

احسب مساحة شكل محدد بخطوط ذ = السابق, x= 1 وتنسيق المحاور.

الحل: لنرسم:

إذا كان شبه منحرف منحني الأضلاع تماما تحت المحور ثور ، ثم يمكن العثور على مساحتها من خلال الصيغة:

في هذه الحالة:

انتباه! لا ينبغي الخلط بين نوعي المهام:

1) إذا طُلب منك حل تكامل محدد فقط دون أي معنى هندسي ، فيمكن أن يكون سالبًا.

مثال 4

أوجد مساحة الشكل المستوي المحدد بخطوط ذ = 2x – x 2 , ذ = -x.

الحل: تحتاج أولاً إلى عمل رسم. عند إنشاء رسم في مشاكل المنطقة ، فإننا نهتم أكثر بنقاط تقاطع الخطوط. أوجد نقاط تقاطع القطع المكافئ ذ = 2x – x 2 ومباشرة ذ = -x. ويمكن أن يتم ذلك بطريقتين. الطريقة الأولى تحليلية. نحل المعادلة:

إذن ، الحد الأدنى للتكامل أ= 0 ، الحد الأعلى للتكامل ب= 3. غالبًا ما يكون إنشاء خطوط نقطة بنقطة أكثر ربحية وأسرع ، بينما يتم اكتشاف حدود التكامل كما لو كانت "من تلقاء نفسها". ومع ذلك ، لا يزال يتعين استخدام الطريقة التحليلية لإيجاد الحدود في بعض الأحيان إذا كان الرسم البياني ، على سبيل المثال ، كبيرًا بدرجة كافية ، أو لم يكشف البناء المترابط عن حدود التكامل (يمكن أن تكون كسرية أو غير منطقية). نعود إلى مهمتنا: من المنطقي أكثر أن نبني أولاً خطًا مستقيمًا وبعد ذلك فقط قطع مكافئ. لنرسم رسمًا:

نكرر أنه في البناء النقطي ، غالبًا ما يتم اكتشاف حدود التكامل "تلقائيًا".

والآن صيغة العمل:

إذا كان في الجزء [ أ; ب] بعض الوظائف المستمرة F(x) أكبر من أو يساويبعض الوظائف المستمرة ز(x) ، ثم يمكن العثور على مساحة الشكل المقابل بالصيغة:

هنا لم يعد من الضروري التفكير في مكان وجود الشكل - فوق المحور أو أسفل المحور ، ولكن يهم الرسم البياني أعلاه(نسبة إلى رسم بياني آخر) ، وأي واحد أدناه.

في المثال قيد الدراسة ، من الواضح أن القطع المكافئ يقع فوق الخط المستقيم ، وبالتالي من 2 x – xيجب طرح 2 - x.

قد يبدو اكتمال الحل كما يلي:

يتم تحديد الرقم المطلوب بواسطة القطع المكافئ ذ = 2x – x 2 قمة ومباشرة ذ = -xمن الأسفل.

في الجزء 2 x – x 2 ≥ -x. وفقًا للصيغة المقابلة:

إجابه: .

في الواقع ، الصيغة المدرسية لمنطقة شبه منحرف منحني الخطوط في نصف المستوى السفلي (انظر المثال رقم 3) هي حالة خاصةالصيغ

منذ المحور ثورمن المعادلة ذ= 0 ، والرسم البياني للوظيفة ز(x) يقع أسفل المحور ثور، ومن بعد

والآن بعض الأمثلة لقرار مستقل

مثال 5

مثال 6

أوجد مساحة شكل محدد بخطوط

أثناء حل المشكلات لحساب المساحة باستخدام تكامل معين ، يحدث أحيانًا حادث مضحك. تم الرسم بشكل صحيح ، وكانت الحسابات صحيحة ، ولكن بسبب عدم الانتباه ، ... وجدت منطقة الرقم الخطأ.

مثال 7

لنرسم أولاً:

الشكل الذي نريد إيجاد مساحته مظلل باللون الأزرق.(انظر بعناية إلى الحالة - كيف أن الرقم محدود!). لكن من الناحية العملية ، بسبب عدم الانتباه ، غالبًا ما يقررون أنهم بحاجة إلى العثور على مساحة الشكل المظللة باللون الأخضر!

هذا المثال مفيد أيضًا في أنه يتم حساب مساحة الشكل باستخدام تكاملين محددين. حقًا:

1) على المقطع [-1 ؛ 1] فوق المحور ثورالرسم البياني مستقيم ذ = x+1;

2) في الجزء فوق المحور ثوريقع الرسم البياني للقطع الزائد ذ = (2/x).

من الواضح تمامًا أنه يمكن (ويجب) إضافة المناطق ، لذلك:

إجابه:

المثال 8

احسب مساحة شكل محدد بخطوط

دعونا نقدم المعادلات في شكل "المدرسة"

ونفّذ الرسم الخطي:

يمكن أن نرى من الرسم أن الحد الأعلى لدينا هو "جيد": ب = 1.

لكن ما هو الحد الأدنى؟ من الواضح أن هذا ليس عددًا صحيحًا ، لكن ماذا؟

ربما، أ= (- 1/3)؟ ولكن أين هو الضمان أن الرسم مصنوع بدقة كاملة ، فقد يتضح ذلك أ= (- 1/4). ماذا لو لم نحصل على الرسم البياني بشكل صحيح على الإطلاق؟

في مثل هذه الحالات ، يتعين على المرء قضاء وقت إضافي وتحسين حدود التكامل بشكل تحليلي.

أوجد نقاط تقاطع الرسوم البيانية

للقيام بذلك ، نحل المعادلة:

بالتالي، أ=(-1/3).

الحل الإضافي تافه. الشيء الرئيسي هو عدم الخلط بين التبديلات والعلامات. الحسابات هنا ليست أسهل. على الجزء

, ,

وفقًا للصيغة المقابلة:

إجابه:

في ختام الدرس ، سننظر في مهمتين أكثر صعوبة.

المثال 9

احسب مساحة شكل محدد بخطوط

الحل: ارسم هذا الشكل في الرسم.

للرسم نقطة بنقطة ، عليك أن تعرف مظهر خارجيأشباه الجيوب. بشكل عام ، من المفيد معرفة الرسوم البيانية لجميع الوظائف الأولية ، بالإضافة إلى بعض قيم الجيب. يمكن العثور عليها في جدول القيم الدوال المثلثية . في بعض الحالات (على سبيل المثال ، في هذه الحالة) ، يُسمح بإنشاء رسم تخطيطي ، حيث يجب عرض الرسوم البيانية وحدود التكامل من حيث المبدأ بشكل صحيح.

لا توجد مشاكل في حدود التكامل هنا ، فهي تتبع مباشرة من الشرط:

- يتغير "x" من صفر إلى "pi". نتخذ قرارًا آخر:

على المقطع ، الرسم البياني للوظيفة ذ= الخطيئة 3 xتقع فوق المحور ثور، لهذا:

(1) يمكنك أن ترى كيف يتم دمج الجيب وجيب التمام في قوى فردية في الدرس تكاملات الدوال المثلثية. نحن نقرص جيب واحد.

(2) نستخدم الهوية المثلثية الأساسية في النموذج

(3) دعونا نغير المتغير ر= كوس xثم: تقع فوق المحور ، لذلك:

ملحوظة:لاحظ كيف يتم أخذ تكامل الظل في المكعب ، وهنا نتيجة الرئيسي الهوية المثلثية