أكبر وأصغر قيم لدالة لمتغيرين في منطقة مغلقة. أكبر وأصغر قيمة للدالة

دع الدالة $ z = f (x، y) $ تُعرَّف وتستمر في بعض المجالات المغلقة المحدودة $ D $. دع الدالة المعينة لها مشتقات جزئية محدودة من الدرجة الأولى في هذه المنطقة (مع استثناء محتمل لعدد محدود من النقاط). للعثور على أكبر وأصغر قيم دالة لمتغيرين في منطقة مغلقة معينة ، يلزم وجود ثلاث خطوات لخوارزمية بسيطة.

خوارزمية لإيجاد أكبر وأصغر قيم للدالة $ z = f (x، y) $ في المجال المغلق $ D $.

أوجد النقاط الحرجة للدالة $ z = f (x، y) $ التي تنتمي إلى المنطقة $ D $. حساب قيم الدالة في النقاط الحرجة.
تحقق من سلوك الدالة $ z = f (x، y) $ على حدود المنطقة $ D $ بإيجاد نقاط الحد الأقصى والحد الأدنى للقيم الممكنة. احسب قيم الوظيفة عند النقاط التي تم الحصول عليها.
من قيم الدالة التي تم الحصول عليها في الفقرتين السابقتين ، اختر الأكبر والأصغر.

ما هي النقاط الحرجة؟ اظهر المخفي

تحت نقاط حرجةتشير إلى نقاط حيث تكون كل من المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى مساوية للصفر (أي $ \ frac (\ جزئي z) (\ جزئي x) = 0 $ و $ \ frac (\ جزئي z) (\ جزئي y) = 0 $) أو لا يوجد مشتق جزئي واحد على الأقل.

غالبًا ما يتم استدعاء النقاط التي تكون فيها المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى مساوية للصفر نقاط ثابتة. وبالتالي ، فإن النقاط الثابتة هي مجموعة فرعية من النقاط الحرجة.

مثال 1

أوجد القيم القصوى والدنيا للدالة $ z = x ^ 2 + 2xy-y ^ 2-4x $ في المنطقة المغلقة التي يحدها الخطوط $ x = 3 $ و $ y = 0 $ و $ y = x + 1 دولار.

سوف نتبع ما سبق ، ولكن أولاً سنتعامل مع رسم منطقة معينة ، والتي سنشير إليها بالحرف $ D $. لدينا معادلات من ثلاثة خطوط مستقيمة ، والتي تحدد هذه المساحة. يمر الخط المستقيم $ x = 3 $ عبر النقطة $ (3؛ 0) $ الموازي للمحور y (المحور Oy). الخط المستقيم $ y = 0 $ هي معادلة محور الاحداثي (محور الثور). حسنًا ، لإنشاء خط مستقيم $ y = x + 1 $ ، فلنجد نقطتين نرسم من خلالها هذا الخط المستقيم. يمكنك بالطبع استبدال قيمتين عشوائيتين بدلاً من $ x $. على سبيل المثال ، عند استبدال $ x = 10 $ ، نحصل على: $ y = x + 1 = 10 + 1 = 11 $. لقد وجدنا النقطة $ (10؛ 11) $ الموجودة على السطر $ y = x + 1 $. ومع ذلك ، من الأفضل إيجاد تلك النقاط حيث يتقاطع الخط $ y = x + 1 $ مع الخطوط $ x = 3 $ و $ y = 0 $. لماذا هو أفضل؟ لأننا سنضع عصفورين بحجر واحد: سنحصل على نقطتين لبناء الخط المستقيم $ y = x + 1 $ وفي نفس الوقت سنكتشف في أي نقطة يتقاطع هذا الخط المستقيم مع الخطوط الأخرى التي تربط المعطى منطقة. السطر $ y = x + 1 $ يتقاطع مع السطر $ x = 3 $ عند النقطة $ (3؛ 4) $ والخط $ y = 0 $ - عند النقطة $ (- 1؛ 0) $. من أجل عدم تشويش مسار الحل بالتفسيرات المساعدة ، سأطرح مسألة الحصول على هاتين النقطتين في ملاحظة.

كيف تم الحصول على النقاط $ (3؛ 4) $ و $ (- 1؛ 0) $؟ اظهر المخفي

لنبدأ من نقطة تقاطع المستقيمين $ y = x + 1 $ و $ x = 3 $. تنتمي إحداثيات النقطة المرغوبة إلى كلا الخطين الأول والثاني ، لذلك للعثور على إحداثيات غير معروفة ، تحتاج إلى حل نظام المعادلات:

$$ \ left \ (\ start (align) & y = x + 1 ؛ \\ & x = 3. \ end (محاذاة) \ right. $$

حل مثل هذا النظام تافه: استبدال $ x = 3 $ في المعادلة الأولى سيكون لدينا: $ y = 3 + 1 = 4 $. النقطة $ (3؛ 4) $ هي نقطة التقاطع المرغوبة للخطين $ y = x + 1 $ و $ x = 3 $.

لنجد الآن نقطة تقاطع الخطين $ y = x + 1 $ و $ y = 0 $. مرة أخرى ، نؤلف ونحل نظام المعادلات:

$$ \ left \ (\ start (align) & y = x + 1 ؛ \\ & y = 0. \ end (align) \ right. $$

بالتعويض عن $ y = 0 $ في المعادلة الأولى ، نحصل على: $ 0 = x + 1 $ ، $ x = -1 $. النقطة $ (- 1 ؛ 0) $ هي نقطة التقاطع المرغوبة للخطين $ y = x + 1 $ و $ y = 0 $ (محور abscissa).

كل شيء جاهز لبناء رسم سيبدو كالتالي:

يبدو سؤال المذكرة واضحًا ، لأنه يمكن رؤية كل شيء من الشكل. ومع ذلك ، يجدر بنا أن نتذكر أن الرسم لا يمكن أن يكون بمثابة دليل. هذا الرقم مجرد توضيح للوضوح.

تم تعيين مساحتنا باستخدام معادلات الخطوط التي تحددها. من الواضح أن هذه الخطوط تحدد المثلث ، أليس كذلك؟ أو ليس واضحًا تمامًا؟ أو ربما حصلنا على منطقة مختلفة ، تحدها نفس الخطوط:

طبعا الشرط يقول ان المنطقة مغلقة وبالتالي فالصورة المعروضة خاطئة. ولكن لتجنب مثل هذا الغموض ، من الأفضل تحديد المناطق من خلال عدم المساواة. نحن مهتمون بجزء المستوى الموجود أسفل الخط $ y = x + 1 $؟ حسنًا ، إذن $ y ≤ x + 1 $. يجب أن تقع منطقتنا فوق الخط $ y = 0 $؟ رائع ، لذا $ y ≥ 0 $. بالمناسبة ، يتم دمج المتباينتين الأخيرتين بسهولة في واحدة: $ 0 ≤ y ≤ x + 1 $.

$$ \ يسار \ (\ يبدأ (محاذاة) & 0 ≤ ذ ≤ س + 1 ؛ \\ & س ≤ 3. \ نهاية (محاذاة) \ يمين. $$

هذه التفاوتات تحدد المجال $ D $ ، وتعرفه بشكل فريد ، دون أي غموض. لكن كيف يساعدنا هذا في السؤال في بداية الحاشية؟ سيساعد ذلك أيضًا :) نحتاج إلى التحقق مما إذا كانت النقطة $ M_1 (1؛ 1) $ تنتمي إلى المنطقة $ D $. لنقم بالتعويض عن $ x = 1 $ و $ y = 1 $ في نظام المتباينات التي تحدد هذه المنطقة. إذا تم استيفاء كلا التفاوتين ، فإن النقطة تكمن داخل المنطقة. إذا لم يتم استيفاء واحدة على الأقل من عدم المساواة ، فإن النقطة لا تنتمي إلى المنطقة. لذا:

$$ \ يسار \ (\ تبدأ (محاذاة) & 0 ≤ 1 ≤ 1 + 1 ؛ \\ & 1 ≤ 3. \ نهاية (محاذاة) \ يمين. \ ؛ \ ؛ \ يسار \ (\ تبدأ (محاذاة) & 0 ≤ 1 ≤ 2 ؛ \\ & 1 ≤ 3. \ نهاية (محاذاة) \ يمين. $$

كلا التفاوتات صحيحة. النقطة $ M_1 (1؛ 1) $ تنتمي إلى المنطقة $ D $.

الآن حان دور التحقيق في سلوك الوظيفة على حدود المجال ، أي اذهب إلى. لنبدأ بالخط المستقيم $ y = 0 $.

يحدد الخط المستقيم $ y = 0 $ (محور الإحداثي) المنطقة $ D $ تحت الشرط $ -1 ≤ x ≤ 3 $. عوّض $ y = 0 $ في الدالة المعطاة $ z (x، y) = x ^ 2 + 2xy-y ^ 2-4x $. سيتم الإشارة إلى دالة الاستبدال الناتجة لمتغير واحد $ x $ على أنها $ f_1 (x) $:

$$ f_1 (x) = z (x، 0) = x ^ 2 + 2x \ cdot 0-0 ^ 2-4x = x ^ 2-4x. $$

الآن بالنسبة للدالة $ f_1 (x) $ ، نحتاج إلى إيجاد أكبر وأصغر قيمة في الفترة $ -1 ≤ x ≤ 3 $. أوجد مشتق هذه الدالة وعدله بالصفر:

$$ f_ (1) ^ (") (x) = 2x-4 ؛ \\ 2x-4 = 0 ؛ \ ؛ x = 2. $$

تنتمي القيمة $ x = 2 $ إلى المقطع $ -1 ≤ x ≤ 3 $ ، لذلك نضيف أيضًا $ M_2 (2؛ 0) $ إلى قائمة النقاط. بالإضافة إلى ذلك ، نحسب قيم الدالة $ z $ في نهايات المقطع $ -1 ≤ x ≤ 3 $ ، أي عند النقاط $ M_3 (-1 ؛ 0) $ و $ M_4 (3 ؛ 0) $. بالمناسبة ، إذا كانت النقطة $ M_2 $ لا تنتمي إلى المقطع قيد النظر ، فلن تكون هناك بالطبع حاجة لحساب قيمة الدالة $ z $ فيها.

لذا ، لنحسب قيم الدالة $ z $ عند النقاط $ M_2 $ ، $ M_3 $ ، $ M_4 $. يمكنك بالطبع استبدال إحداثيات هذه النقاط في التعبير الأصلي $ z = x ^ 2 + 2xy-y ^ 2-4x $. على سبيل المثال ، بالنسبة للنقطة $ M_2 $ نحصل على:

$$ z_2 = z (M_2) = 2 ^ 2 + 2 \ cdot 2 \ cdot 0-0 ^ 2-4 \ cdot 2 = -4. $$

ومع ذلك ، يمكن تبسيط الحسابات قليلاً. للقيام بذلك ، تجدر الإشارة إلى أنه في المقطع $ M_3M_4 $ لدينا $ z (x، y) = f_1 (x) $. سأوضحها بالتفصيل:

\ start (محاذاة) & z_2 = z (M_2) = z (2،0) = f_1 (2) = 2 ^ 2-4 \ cdot 2 = -4 ؛ \\ & z_3 = z (M_3) = z (- 1.0) = f_1 (-1) = (- 1) ^ 2-4 \ cdot (-1) = 5 ؛ \\ & z_4 = z (M_4) = z (3،0) = f_1 (3) = 3 ^ 2-4 \ cdot 3 = -3. نهاية (محاذاة)

بالطبع ، ليست هناك حاجة عادةً لمثل هذه الإدخالات التفصيلية ، وسنبدأ في المستقبل في تدوين جميع الحسابات بطريقة أقصر:

$$ z_2 = f_1 (2) = 2 ^ 2-4 \ cdot 2 = -4 ؛ \ ؛ z_3 = f_1 (-1) = (- 1) ^ 2-4 \ cdot (-1) = 5 ؛ \ ؛ z_4 = f_1 (3) = 3 ^ 2-4 \ cdot 3 = -3. $$

لننتقل الآن إلى الخط المستقيم $ x = 3 $. يحد هذا السطر المجال $ D $ تحت الشرط $ 0 ≤ y ≤ 4 $. عوّض $ x = 3 $ في الدالة المعطاة $ z $. نتيجة لهذا الاستبدال ، نحصل على الوظيفة $ f_2 (y) $:

$$ f_2 (y) = z (3، y) = 3 ^ 2 + 2 \ cdot 3 \ cdot y-y ^ 2-4 \ cdot 3 = -y ^ 2 + 6y-3. $$

بالنسبة للدالة $ f_2 (y) $ ، تحتاج إلى إيجاد أكبر وأصغر قيمة في الفترة $ 0 ≤ y ≤ 4 $. أوجد مشتق هذه الدالة وعدله بالصفر:

$$ f_ (2) ^ (") (y) = - 2y + 6 ؛ \\ -2y + 6 = 0 ؛ \ ؛ y = 3. $$

تنتمي القيمة $ y = 3 $ إلى المقطع $ 0 ≤ y ≤ 4 $ ، لذلك نضيف $ M_5 (3 ؛ 3) $ إلى النقاط التي تم العثور عليها سابقًا. بالإضافة إلى ذلك ، من الضروري حساب قيمة الوظيفة $ z $ عند النقاط الموجودة في نهايات المقطع $ 0 ≤ y ≤ 4 $ ، أي عند النقطتين $ M_4 (3؛ 0) $ و $ M_6 (3؛ 4) $. عند النقطة $ M_4 (3؛ 0) $ قمنا بالفعل بحساب قيمة $ z $. دعونا نحسب قيمة الدالة $ z $ عند النقطتين $ M_5 $ و $ M_6 $. دعني أذكرك أنه في المقطع $ M_4M_6 $ لدينا $ z (x، y) = f_2 (y) $ ، لذلك:

\ ابدأ (محاذاة) & z_5 = f_2 (3) = - 3 ^ 2 + 6 \ cdot 3-3 = 6 ؛ & z_6 = f_2 (4) = - 4 ^ 2 + 6 \ cdot 4-3 = 5. نهاية (محاذاة)

وأخيرًا ، ضع في اعتبارك الحد الأخير لـ $ D $ ، أي السطر $ y = x + 1 $. يحد هذا الخط المنطقة $ D $ تحت الشرط $ -1 ≤ x ≤ 3 $. بالتعويض عن $ y = x + 1 $ في الدالة $ z $ ، سيكون لدينا:

$$ f_3 (x) = z (x، x + 1) = x ^ 2 + 2x \ cdot (x + 1) - (x + 1) ^ 2-4x = 2x ^ 2-4x-1. $$

مرة أخرى ، لدينا دالة متغير واحد $ x $. ومرة أخرى ، تحتاج إلى إيجاد أكبر وأصغر قيم لهذه الدالة في المقطع $ -1 ≤ x ≤ 3 $. أوجد مشتق الدالة $ f_ (3) (x) $ وعدله بالصفر:

$$ f_ (3) ^ (") (x) = 4x-4 ؛ \\ 4x-4 = 0 ؛ \ ؛ x = 1. $$

القيمة $ x = 1 $ تنتمي إلى الفترة $ -1 x ≤ 3 $. إذا كان $ x = 1 $ ، فإن $ y = x + 1 = 2 $. دعنا نضيف $ M_7 (1؛ 2) $ إلى قائمة النقاط ونكتشف قيمة الدالة $ z $ في هذه المرحلة. النقاط الموجودة في نهايات المقطع $ -1 ≤ x ≤ 3 $ ، أي النقاط $ M_3 (-1؛ 0) $ و $ M_6 (3؛ 4) $ تم اعتبارها سابقًا ، لقد وجدنا بالفعل قيمة الوظيفة فيها.

$$ z_7 = f_3 (1) = 2 \ cdot 1 ^ 2-4 \ cdot 1-1 = -3. $$

اكتملت الخطوة الثانية من الحل. لدينا سبع قيم:

$$ z_1 = -2 ؛ \ ؛ z_2 = -4 ؛ \ ؛ z_3 = 5 ؛ \ ؛ z_4 = -3 ؛ \ ؛ z_5 = 6 ؛ \ ؛ z_6 = 5 ؛ \ ؛ z_7 = -3. $$

دعنا ننتقل إلى. باختيار القيم الأكبر والأصغر من تلك الأرقام التي تم الحصول عليها في الفقرة الثالثة ، سيكون لدينا:

$$ z_ (دقيقة) = - 4 ؛ \ ؛ z_ (الحد الأقصى) = 6. $$

تم حل المشكلة ، يبقى فقط كتابة الإجابة.

إجابه: $ z_ (دقيقة) = - 4 ؛ \ ؛ z_ (الحد الأقصى) = 6 دولارات.

المثال رقم 2

أوجد أكبر وأصغر قيم للدالة $ z = x ^ 2 + y ^ 2-12x + 16y $ في المنطقة $ x ^ 2 + y ^ 2 ≤ 25 $.

دعونا نبني رسمًا أولاً. المعادلة $ x ^ 2 + y ^ 2 = 25 $ (هذا هو خط الحدود للمنطقة المعينة) تحدد دائرة مركزها في الأصل (أي عند النقطة $ (0؛ 0) $) ونصف قطرها 5. إن المتباينة $ x ^ 2 + y ^ 2 ≤ 25 $ تحقق كل النقاط داخل وحول الدائرة المذكورة.

سوف نعمل. لنجد المشتقات الجزئية ونكتشف النقاط الحرجة.

$$ \ frac (\ جزئي z) (\ جزئي x) = 2x-12 ؛ \ فارك (\ جزئية ض) (\ ص جزئية) = 2 ص + 16. $$

لا توجد نقاط لا توجد عندها المشتقات الجزئية الموجودة. دعونا نكتشف في أي نقطة يكون كلا المشتقين الجزئيين مساويًا للصفر في نفس الوقت ، أي ابحث عن نقاط ثابتة.

$$ \ left \ (\ start (align) & 2x-12 = 0؛ \\ & 2y + 16 = 0. \ end (align) \ right. \؛ \؛ \ left \ (\ start (align) & x = 6 ؛ \\ & y = -8. \ end (محاذاة) \ يمين. $$

حصلنا على نقطة ثابتة $ (6؛ -8) $. ومع ذلك ، فإن النقطة التي تم العثور عليها لا تنتمي إلى المنطقة $ D $. من السهل إظهار هذا دون اللجوء إلى الرسم. دعنا نتحقق مما إذا كانت المتباينة $ x ^ 2 + y ^ 2 25 $ ، والتي تحدد مجالنا $ D $ ، ثابتة. إذا كان $ x = 6 $ ، و $ y = -8 $ ، فإن $ x ^ 2 + y ^ 2 = 36 + 64 = 100 $ ، أي عدم المساواة $ x ^ 2 + y ^ 2 25 $ غير راضٍ. الخلاصة: النقطة $ (6؛ -8) $ لا تنتمي إلى المنطقة $ D $.

وبالتالي ، لا توجد نقاط حرجة داخل $ D $. هيا بنا نمضي قدما ل. نحن بحاجة إلى التحقيق في سلوك الوظيفة على حدود منطقة معينة ، أي على الدائرة $ x ^ 2 + y ^ 2 = 25 $. يمكنك بالطبع التعبير عن $ y $ بدلالة $ x $ ، ثم استبدال التعبير الناتج في الدالة $ z $. من معادلة الدائرة نحصل على: $ y = \ sqrt (25-x ^ 2) $ أو $ y = - \ sqrt (25-x ^ 2) $. بالتعويض ، على سبيل المثال ، $ y = \ sqrt (25-x ^ 2) $ في الوظيفة المحددة ، سيكون لدينا:

$$ z = x ^ 2 + y ^ 2-12x + 16y = x ^ 2 + 25-x ^ 2-12x + 16 \ sqrt (25-x ^ 2) = 25-12x + 16 \ sqrt (25-x) ^ 2) ؛ \ ؛ \ ؛ -5≤ × ≤ 5. $$

سيكون الحل الإضافي مطابقًا تمامًا لدراسة سلوك الوظيفة على حدود المنطقة في المثال السابق رقم 1. ومع ذلك ، يبدو لي أنه من المعقول في هذه الحالة تطبيق طريقة لاغرانج. نحن مهتمون فقط بالجزء الأول من هذه الطريقة. بعد تطبيق الجزء الأول من طريقة لاغرانج ، سنحصل على نقاط عندها ونفحص الدالة $ z $ للحد الأدنى والأقصى للقيم.

نقوم بتكوين وظيفة لاغرانج:

$$ F = z (x، y) + \ lambda \ cdot (x ^ 2 + y ^ 2-25) = x ^ 2 + y ^ 2-12x + 16y + \ lambda \ cdot (x ^ 2 + y ^ 2 -25). $$

نجد المشتقات الجزئية لدالة لاغرانج ونؤلف نظام المعادلات المقابل:

$$ F_ (x) ^ (") = 2x-12 + 2 \ lambda x؛ \؛ \؛ F_ (y) ^ (") = 2y + 16 + 2 \ lambda y. \\ \ left \ (\ start (محاذاة) & 2x-12 + 2 \ lambda x = 0؛ \\ & 2y + 16 + 2 \ lambda y = 0؛ \\ & x ^ 2 + y ^ 2-25 = 0. \ end (محاذاة) \ يمين. \ ؛ \ ؛ \ يسار \ (\ ابدأ (محاذاة) & x + \ lambda x = 6 ؛ \\ & y + \ lambda y = -8 ؛ \\ & x ^ 2 + y ^ 2 = 25. \ end ( محاذاة) \ حق

لحل هذا النظام ، دعنا نشير على الفور إلى أن $ \ lambda \ neq -1 $. لماذا $ \ lambda \ neq -1 $؟ دعنا نحاول استبدال $ \ lambda = -1 $ في المعادلة الأولى:

$$ x + (- 1) \ cdot x = 6 ؛ \ ؛ س س = 6 ؛ \ ؛ 0 = 6. $$

التناقض الناتج $ 0 = 6 $ يقول أن القيمة $ \ lambda = -1 $ غير صالحة. الخرج: $ \ lambda \ neq -1 $. دعنا نعبر عن $ x $ و $ y $ بدلالة $ \ lambda $:

\ ابدأ (محاذاة) & x + \ lambda x = 6 ؛ \ ؛ س (1+ \ لامدا) = 6 ؛ \ ؛ س = \ فارك (6) (1+ \ لامدا). \\ & y + \ lambda y = -8 ؛ \ ؛ ص (1+ \ لامدا) = - 8 ؛ \ ؛ ص = \ فارك (-8) (1+ \ لامدا). نهاية (محاذاة)

أعتقد أنه يتضح هنا سبب اشتراطنا تحديدًا للشرط $ \ lambda \ neq -1 $. تم إجراء ذلك لملاءمة التعبير $ 1 + \ lambda $ في المقامات دون تدخل. أي للتأكد من أن المقام هو $ 1 + \ lambda \ neq 0 $.

دعونا نستبدل التعبيرات التي تم الحصول عليها لـ $ x $ و $ y $ في المعادلة الثالثة للنظام ، أي في $ x ^ 2 + y ^ 2 = 25 $:

$$ \ يسار (\ فارك (6) (1+ \ لامدا) \ يمين) ^ 2 + \ يسار (\ فارك (-8) (1+ \ لامدا) \ يمين) ^ 2 = 25 ؛ \ \ فارك ( 36) ((1+ \ لامدا) ^ 2) + \ فارك (64) ((1+ \ لامدا) ^ 2) = 25 ؛ \ \ فارك (100) ((1+ \ لامدا) ^ 2) = 25 ؛ \ ؛ (1+ \ لامدا) ^ 2 = 4. $$

ويترتب على المساواة الناتجة أن $ 1 + \ lambda = 2 $ أو $ 1 + \ lambda = -2 $. ومن ثم ، لدينا قيمتان للمعامل $ \ lambda $ وهما: $ \ lambda_1 = 1 $ ، $ \ lambda_2 = -3 $. وفقًا لذلك ، نحصل على زوجين من القيم $ x $ و $ y $:

\ ابدأ (محاذاة) & x_1 = \ frac (6) (1+ \ lambda_1) = \ frac (6) (2) = 3 ؛ \ ؛ y_1 = \ frac (-8) (1+ \ lambda_1) = \ frac (-8) (2) = - 4. \\ & x_2 = \ frac (6) (1+ \ lambda_2) = \ frac (6) (- 2) = - 3 ؛ \ ؛ y_2 = \ frac (-8) (1+ \ lambda_2) = \ frac (-8) (- 2) = 4. نهاية (محاذاة)

لذلك ، حصلنا على نقطتين من الحد الأقصى المحتمل الشرطي ، أي $ M_1 (3 ؛ -4) $ و M_2 دولار (-3 ؛ 4) دولار. أوجد قيم الدالة $ z $ عند النقطتين $ M_1 $ و $ M_2 $:

\ start (محاذاة) & z_1 = z (M_1) = 3 ^ 2 + (- 4) ^ 2-12 \ cdot 3 + 16 \ cdot (-4) = - 75 ؛ \\ & z_2 = z (M_2) = (- 3) ^ 2 + 4 ^ 2-12 \ cdot (-3) +16 \ cdot 4 = 125. نهاية (محاذاة)

يجب أن نختار أكبر وأصغر القيم من تلك التي حصلنا عليها في الخطوتين الأولى والثانية. لكن في هذه الحالة ، يكون الخيار صغيرًا :) لدينا:

$$ z_ (دقيقة) = - 75 ؛ \ ؛ z_ (الحد الأقصى) = 125. $$

إجابه: $ z_ (دقيقة) = - 75 ؛ \ ؛ z_ (الحد الأقصى) = 125 دولار.

درس حول الموضوع: "البحث عن أكبر وأصغر قيم لدالة متصلة في مقطع"

مواد إضافية
أعزائي المستخدمين ، لا تنسوا ترك تعليقاتكم وملاحظاتكم واقتراحاتكم! يتم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.

الكتيبات وأجهزة المحاكاة في المتجر الإلكتروني "Integral" للصف 10 من 1C
نحن نحل المشاكل في الهندسة. مهام البناء التفاعلية للصفوف 7-10
نحن نحل المشاكل في الهندسة. مهام تفاعلية للبناء في الفضاء

ماذا سوف ندرس:

1. إيجاد أكبر وأصغر القيم حسب الرسم البياني للدالة.
2. إيجاد أكبر وأصغر قيمة باستخدام المشتق.
3. خوارزمية لإيجاد أكبر وأصغر قيم للدالة المستمرة y = f (x) على القطعة.
4. أكبر وأصغر قيمة لدالة في فترة زمنية مفتوحة.
5. أمثلة.

إيجاد أكبر وأصغر قيمة من الرسم البياني للدالة

يا رفاق ، وجدنا أكبر وأصغر قيم للدالة من قبل. نظرنا إلى الرسم البياني للدالة واستنتجنا أين تصل الدالة إلى أقصى قيمتها ، وأين تصل إلى الحد الأدنى.
دعنا نكرر:

يوضح الرسم البياني للدالة أنه تم الوصول إلى أكبر قيمة عند النقطة x = 1 ، وهي تساوي 2. يتم الوصول إلى أصغر قيمة عند النقطة x = -1 ، وهي تساوي -2. بهذه الطريقة ، من السهل جدًا العثور على أكبر وأصغر القيم ، ولكن ليس من الممكن دائمًا رسم رسم بياني للوظيفة.

إيجاد أكبر وأصغر قيمة باستخدام المشتق

ما رأيكم يا رفاق كيف يمكنكم إيجاد أكبر وأصغر قيمة باستخدام المشتق؟

يمكن العثور على الإجابة في موضوع القيمة القصوى للوظيفة. لقد وجدت أنا وأنت الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط ، ليست المصطلحات متشابهة. ومع ذلك ، لا ينبغي للمرء أن يخلط بين القيم القصوى والدنيا مع الحد الأقصى والحد الأدنى للدالة ، فهذه مفاهيم مختلفة.

لذلك دعونا نقدم القواعد:
أ) إذا كانت الدالة متصلة على فترة ما ، فإنها تصل إلى قيمها القصوى والدنيا في هذه الفترة.
ب) يمكن أن تصل الوظيفة إلى القيم القصوى والدنيا في نهاية المقاطع وداخلها. دعونا نلقي نظرة على هذه النقطة بمزيد من التفصيل.

في الشكل أ ، تصل الوظيفة إلى قيمها القصوى والدنيا في نهايات المقاطع.
في الشكل ب ، تصل الدالة إلى قيمها القصوى والدنيا داخل الفترة الزمنية. في الشكل ج ، تكون النقطة الدنيا داخل المقطع ، وتكون النقطة القصوى في نهاية المقطع عند النقطة ب.
ج) إذا تم الوصول إلى القيم الأكبر والأصغر داخل المقطع ، فعندئذٍ فقط عند النقاط الثابتة أو الحرجة.

خوارزمية لإيجاد أكبر وأصغر قيم للدالة المستمرة y = f (x) على قطعة

أوجد المشتق f "(x).
ابحث عن النقاط الثابتة والحرجة داخل المقطع.
احسب قيمة الوظيفة عند النقاط الثابتة والحرجة ، وكذلك عند f (a) و f (b). اختر القيم الأصغر والأكبر ، وستكون هذه هي نقاط أصغر وأكبر قيم للدالة.

أكبر وأصغر قيمة لدالة في فترة زمنية مفتوحة

يا رفاق ، كيف يعثرون على أكبر وأصغر قيمة للدالة في فترة مفتوحة؟ للقيام بذلك ، نستخدم نظرية مهمة ، والتي تم إثباتها في سياق الرياضيات العليا.

نظرية. دع الدالة y = f (x) متصلة على الفاصل الزمني x ، ولها داخل هذا الفاصل النقطة الوحيدة الثابتة أو الحرجة x = x0 ، ثم:
أ) إذا كانت x = x0 هي الحد الأقصى للنقطة ، فإن y هي الحد الأقصى. = f (x0).
ب) إذا كانت x = x0 هي الحد الأدنى للنقطة ، إذن y min. = f (x0).

مثال

أوجد أكبر وأصغر قيمة للدالة y = $ \ frac (x ^ 3) (3) $ + 2x 2 + 4x - 5 في المقطع
أ) [-9 ؛ -1] ، ب) [-3 ؛ 3] ، ج).
الحل: أوجد المشتق: y "= x 2 + 4x + 4.
المشتق موجود في مجال التعريف بالكامل ، ثم نحتاج إلى إيجاد نقاط ثابتة.
y "= 0 ، مع x = -2.
سيتم إجراء مزيد من الحسابات للقطاعات المطلوبة.
أ) أوجد قيم الوظيفة في نهايات المقطع وعند النقطة الثابتة.
ثم y nam. = -122 ، عند x = -9 ؛ ذ كحد أقصى. = y = -7 $ \ frac (1) (3) $ ، لـ x = -1.
ب) أوجد قيم الوظيفة في نهايات المقطع وعند النقطة الثابتة. يتم الوصول إلى أكبر وأصغر قيمة في نهايات المقطع.
ثم y nam. = -8 ، عند x = -3 ، y كحد أقصى. = 34 ، عند x = 3.
ج) النقطة الثابتة لا تقع على المقطع الخاص بنا ، بل نجد القيم في نهايات المقطع.
ثم y nam. = 34 ، عند x = 3 ، y كحد أقصى. = 436 عند x = 9.

مثال

أوجد أكبر وأصغر قيمة للدالة y = x 2 - 3x + 5 + | 1-x | في الجزء.
الحل: قم بتوسيع الوحدة وتحويل وظيفتنا:
ص = س 2 - 3 س + 5 + 1 - س ، س ≤ 1.
ص = س ٢ - ٣ س + ٥ - ١ + س ، ل س ≥ ١.

ثم ستأخذ وظيفتنا الشكل:
\ start (المعادلة *) f (x) = \ البدء (الحالات) x ^ 2 - 4x + 6 ، \ quad if \ quad x ≤ 1 \\ x ^ 2 - 2x + 4 ، \ quad if \ quad x ≥ 1 \ النهاية (الحالات) \ النهاية (المعادلة *) ابحث عن النقاط الحرجة: \ ابدأ (المعادلة *) و "(س) = \ تبدأ (الحالات) 2 س - 4 ، \ رباعي لـ \ رباعي س ≤ 1 \ 2 س - 2 ، \ رباعي عندما \ كواد س ≥ 1 \ نهاية (حالات) \ نهاية (المعادلة *) \ تبدأ (المعادلة *) و "(س) = 0 ، \ رباعية عندما \ كواد س = \ تبدأ (الحالات) 2 ، \ رباعية متى \ quad x ≤ 1 \\ 1، \ quad for \ quad x ≥ 1 \ end (cases) \ end (المعادلة *) إذن ، لدينا نقطتان ثابتتان ودعنا لا ننسى أن وظيفتنا تتكون من وظيفتين مختلفتين x.
لنجد أكبر وأصغر قيم للدالة ، ولهذا نحسب قيم الوظيفة عند نقاط ثابتة وفي نهايات المقطع:
الإجابة: تصل الدالة إلى أدنى قيمة لها عند النقطة الثابتة x = 1 ، y على الأقل. = 3. تصل الدالة إلى أقصى قيمتها عند نهاية المقطع عند النقطة x = 4 ، y max. = 12.

مثال

أوجد القيمة القصوى للدالة y = $ \ frac (3x) (x ^ 2 + 3) $ على الشعاع:، b)، c) [-4؛ 7].
ب) أوجد أكبر وأصغر قيمة للدالة y = x 2-6x + 8 + | x - 2 | على الفاصل الزمني [-1 ؛ 5].
ج) أوجد أكبر وأصغر قيمة للدالة y = $ -2x- \ frac (1) (2x) $ على الشعاع (0 ؛ + ∞).

من وجهة نظر عملية ، الأكثر إثارة للاهتمام هو استخدام المشتق لإيجاد أكبر وأصغر قيمة للدالة. بماذا ترتبط؟ تعظيم الأرباح ، وتقليل التكاليف ، وتحديد الحمل الأمثل للمعدات ... بمعنى آخر ، في العديد من مجالات الحياة ، يتعين على المرء حل مشكلة تحسين بعض المعلمات. وهذه هي مشكلة إيجاد أكبر وأصغر قيم للدالة.

وتجدر الإشارة إلى أن أكبر وأصغر قيمة للدالة يتم البحث عنها عادة في بعض الفترات X ، والتي تكون إما المجال الكامل للوظيفة أو جزء من المجال. يمكن أن يكون الفاصل الزمني X نفسه عبارة عن مقطع خطي ، أي فاصل مفتوح ، فاصل زمني لانهائي.

في هذه المقالة ، سنتحدث عن إيجاد أكبر وأصغر قيم لدالة معينة صراحة لمتغير واحد y = f (x).

التنقل في الصفحة.

أكبر وأصغر قيمة للدالة - التعريفات ، الرسوم التوضيحية.

دعونا نتناول بإيجاز التعاريف الرئيسية.

أكبر قيمة للدالة ، لأي عدم المساواة صحيح.

أصغر قيمة للدالة y = f (x) في الفترة الزمنية X تسمى هذه القيمة ، لأي عدم المساواة صحيح.

هذه التعريفات بديهية: القيمة الأكبر (الأصغر) للدالة هي أكبر (أصغر) قيمة مقبولة في الفترة قيد النظر مع الإحداثي السيني.

نقاط ثابتةهي قيم الحجة التي يختفي عندها مشتق الدالة.

لماذا نحتاج إلى نقاط ثابتة عند إيجاد أكبر وأصغر القيم؟ الإجابة على هذا السؤال مقدمة من نظرية فيرما. ويترتب على هذه النظرية أنه إذا كان للدالة القابلة للتفاضل حد أقصى (الحد الأدنى المحلي أو الحد الأقصى المحلي) في مرحلة ما ، فإن هذه النقطة تكون ثابتة. وبالتالي ، غالبًا ما تأخذ الوظيفة الحد الأقصى (الأصغر) لقيمتها على الفاصل الزمني X عند إحدى النقاط الثابتة من هذا الفاصل الزمني.

أيضًا ، يمكن أن تأخذ الوظيفة في كثير من الأحيان أكبر وأصغر القيم عند النقاط التي لا يوجد فيها المشتق الأول لهذه الوظيفة ، ويتم تعريف الوظيفة نفسها.

دعنا نجيب على الفور على أحد الأسئلة الأكثر شيوعًا حول هذا الموضوع: "هل من الممكن دائمًا تحديد أكبر (أصغر) قيمة للدالة"؟ لا، ليس دائما. في بعض الأحيان ، تتطابق حدود الفاصل الزمني X مع حدود مجال الوظيفة ، أو يكون الفاصل X غير محدود. وبعض الوظائف في اللانهاية وعلى حدود مجال التعريف يمكن أن تأخذ قيمًا كبيرة بلا حدود وقيم صغيرة بلا حدود. في هذه الحالات ، لا يمكن قول أي شيء عن أكبر وأصغر قيمة للدالة.

من أجل الوضوح ، نقدم توضيحًا بيانيًا. انظر إلى الصور - وسيتضح الكثير.

على الجزء

في الشكل الأول ، تأخذ الدالة أكبر قيم (max y) وأصغر (min y) عند نقاط ثابتة داخل المقطع [-6 ؛ 6].

تأمل الحالة الموضحة في الشكل الثاني. قم بتغيير المقطع إلى. في هذا المثال ، يتم تحقيق أصغر قيمة للدالة عند نقطة ثابتة ، والأكبر - عند نقطة مع إحداثية تقابل الحد الأيمن للفاصل الزمني.

في الشكل رقم 3 ، النقاط الحدودية للقطاع [-3 ؛ 2] هي حدود النقاط المقابلة لأكبر وأصغر قيمة للدالة.

في النطاق المفتوح

في الشكل الرابع ، تأخذ الدالة أكبر قيم (كحد أقصى y) وأصغر (ص ص) عند نقاط ثابتة ضمن الفاصل الزمني المفتوح (-6 ؛ 6).

في الفاصل الزمني ، لا يمكن استخلاص استنتاجات حول القيمة الأكبر.

في اللانهاية

في المثال الموضح في الشكل السابع ، تأخذ الدالة أكبر قيمة (max y) عند نقطة ثابتة مع x = 1 abscissa ، ويتم الوصول إلى أصغر قيمة (min y) عند الحد الأيمن للفاصل الزمني. عند سالب اللانهاية ، تقترب قيم الدالة بشكل مقارب من y = 3.

في الفاصل الزمني ، لا تصل الوظيفة إلى القيمة الأصغر أو الأكبر. نظرًا لأن x = 2 تميل إلى اليمين ، فإن قيم الدالة تميل إلى سالب ما لا نهاية (الخط المستقيم x = 2 خط مقارب عمودي) ، وبما أن الحد الفاصل يميل إلى زائد اللانهاية ، فإن قيم الدالة تقترب من y = 3 . يظهر الرسم التوضيحي لهذا المثال في الشكل 8.

خوارزمية لإيجاد أكبر وأصغر قيم دالة مستمرة في المقطع.

نكتب خوارزمية تسمح لنا بالعثور على أكبر وأصغر قيمة لدالة في مقطع ما.

نجد مجال الوظيفة ونتحقق مما إذا كانت تحتوي على المقطع بأكمله.
نجد جميع النقاط التي لا يوجد عندها المشتق الأول والتي يتم تضمينها في المقطع (عادةً ما تحدث هذه النقاط في وظائف ذات وسيطة تحت علامة الوحدة وفي وظائف الطاقة ذات الأس الكسري المنطقي). إذا لم تكن هناك مثل هذه النقاط ، فانتقل إلى النقطة التالية.
نحدد جميع النقاط الثابتة التي تقع في المقطع. للقيام بذلك ، نساويها بالصفر ، ونحل المعادلة الناتجة ونختار الجذور المناسبة. إذا لم تكن هناك نقاط ثابتة أو لم يقع أي منها في المقطع ، فانتقل إلى الخطوة التالية.
نحسب قيم الوظيفة عند النقاط الثابتة المحددة (إن وجدت) ، عند النقاط التي لا يوجد فيها المشتق الأول (إن وجد) ، وكذلك عند x = a و x = b.
من القيم التي تم الحصول عليها للوظيفة ، نختار الأكبر والأصغر - ستكون القيم القصوى والأصغر المرغوبة للوظيفة ، على التوالي.

دعنا نحلل الخوارزمية عند حل مثال لإيجاد أكبر وأصغر قيم لدالة في مقطع ما.

مثال.

أوجد أكبر وأصغر قيمة للدالة

في الجزء
على الفاصل الزمني [-4 ؛ -1].

المحلول.

مجال الوظيفة هو مجموعة الأعداد الحقيقية بأكملها ، باستثناء الصفر ، أي. كلا الجزأين يقعان ضمن مجال التعريف.

نجد مشتق الوظيفة فيما يتعلق:

من الواضح أن مشتق الوظيفة موجود في جميع نقاط المقاطع و [-4 ؛ -1].

يتم تحديد النقاط الثابتة من المعادلة. الجذر الحقيقي الوحيد هو x = 2. تقع هذه النقطة الثابتة في الجزء الأول.

بالنسبة للحالة الأولى ، نحسب قيم الوظيفة في نهايات المقطع وعند نقطة ثابتة ، أي بالنسبة إلى x = 1 و x = 2 و x = 4:

لذلك ، أكبر قيمة للدالة يتم الوصول إليها عند x = 1 ، وأصغر قيمة - عند x = 2.

في الحالة الثانية ، نحسب قيم الوظيفة فقط في نهايات المقطع [-4 ؛ -1] (لأنها لا تحتوي على نقطة ثابتة واحدة):

دع الوظيفة ص =F(X)مستمر على القطعة [ أ ، ب]. كما هو معروف ، تصل هذه الوظيفة إلى قيمها القصوى والدنيا في هذا الفاصل الزمني. يمكن أن تأخذ الوظيفة هذه القيم إما عند نقطة داخلية من المقطع [ أ ، ب] ، أو على حدود المقطع.

للعثور على أكبر وأصغر قيم دالة في المقطع [ أ ، ب] من الضروري:

1) أوجد النقاط الحرجة للوظيفة في الفترة الزمنية ( أ ، ب);

2) حساب قيم الوظيفة في النقاط الحرجة التي تم العثور عليها ؛

3) احسب قيم الوظيفة في نهايات المقطع ، أي لـ x=أو x = ب;

4) من جميع القيم المحسوبة للدالة ، اختر الأكبر والأصغر.

مثال.أوجد أكبر وأصغر قيم للدالة

في الجزء.

البحث عن النقاط الحرجة:

هذه النقاط تقع داخل القطعة ؛ ذ(1) = ‒ 3; ذ(2) = ‒ 4; ذ(0) = ‒ 8; ذ(3) = 1;

في هذه النقطة x= 3 وعند النقطة x= 0.

استقصاء دالة للتحدب ونقطة انعطاف.

دور ذ = F (x) اتصل محدبما بين أثنين (أ, ب) ، إذا كان الرسم البياني الخاص به يقع تحت ظل مرسوم في أي نقطة من هذه الفترة ، ويسمى محدب لأسفل (مقعر)إذا كان الرسم البياني الخاص به يقع فوق الظل.

تسمى النقطة في الانتقال التي يتم من خلالها استبدال التحدب بالتقعر أو العكس نقطة الأنحراف.

خوارزمية لدراسة التحدب ونقطة الانعطاف:

1. أوجد النقاط الحرجة من النوع الثاني ، أي النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني مساويًا للصفر أو غير موجود.

2. ضع النقاط الحرجة على خط الأعداد ، وقم بتقسيمها إلى فترات. أوجد علامة المشتق الثاني في كل فترة ؛ إذا كانت الوظيفة محدبة لأعلى ، إذا ، فإن الوظيفة محدبة لأسفل.

3. إذا غيرت الإشارة عند المرور عبر نقطة حرجة من النوع الثاني ، وعند هذه النقطة كان المشتق الثاني يساوي صفرًا ، فإن هذه النقطة هي حد نقطة الانعطاف. أوجد الإحداثي.

الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة. التحقيق في وظيفة في الخطوط المقاربة.

تعريف.يسمى خط التقارب للرسم البياني لوظيفة ما مستقيم، والتي لها خاصية أن المسافة من أي نقطة على الرسم البياني إلى هذا الخط تميل إلى الصفر مع إزالة غير محدودة لنقطة الرسم البياني من الأصل.

هناك ثلاثة أنواع من الخطوط المقاربة: عمودي وأفقي ومائل.

تعريف.دعا المباشر الخط المقارب الرأسيالرسم البياني للوظيفة ص = و (س)، إذا كانت واحدة على الأقل من الحدود أحادية الجانب للوظيفة عند هذه النقطة تساوي اللانهاية ، فهذا يعني

أين هي نقطة انقطاع الوظيفة ، أي أنها لا تنتمي إلى مجال التعريف.

مثال.

د( ذ) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 - نقطة الانهيار.

تعريف.مستقيم ص =أاتصل خط مقارب أفقيالرسم البياني للوظيفة ص = و (س)في ، إذا

مثال.

x
ذ

تعريف.مستقيم ص =كx +ب (ك≠ 0) يسمى خط مقارب مائلالرسم البياني للوظيفة ص = و (س)في ، أين

المخطط العام لدراسة الوظائف والتخطيط.

خوارزمية البحث الوظيفيص = و (س) :

1. ابحث عن مجال الوظيفة د (ذ).

2. ابحث (إن أمكن) عن نقاط تقاطع الرسم البياني مع محاور الإحداثيات (مع x= 0 وفي ذ = 0).

3. التحقيق في الوظائف الفردية والزوجية ( ذ (‒ x) = ذ (x) ‒ التكافؤ. ذ(‒ x) = ‒ ذ (x) ‒ الفردية).

4. ابحث عن الخطوط المقاربة للرسم البياني للوظيفة.

5. ابحث عن فترات رتابة الوظيفة.

6. أوجد القيمة القصوى للدالة.

7. أوجد فترات التحدب (التقعر) ونقاط انعطاف الرسم البياني للدالة.

8. على أساس البحث الذي تم إجراؤه ، قم بإنشاء رسم بياني للوظيفة.

مثال.تحقق من الدالة وارسم الرسم البياني الخاص بها.

1) د (ذ) =

x= 4 - نقطة الانهيار.

2) متى x = 0,

(0 ؛ - 5) - نقطة التقاطع مع أوي.

في ذ = 0,

3) ذ(‒ x)= الوظيفة العامة (ليست زوجية ولا فردية).

4) نحن نبحث عن الخطوط المقاربة.

أ) عمودي

ب) أفقي

ج) البحث عن الخطوط المقاربة المائلة حيث

معادلة خط مقارب شبه

5) في هذه المعادلة ، ليس مطلوبًا إيجاد فترات رتابة الوظيفة.

تقسم هذه النقاط الحرجة المجال الكامل للوظيفة على الفاصل الزمني (˗∞ ؛ ˗2) ، (˗2 ؛ 4) ، (4 ؛ 10) و (10 ؛ + ∞). من الملائم تقديم النتائج التي تم الحصول عليها في شكل الجدول التالي.