تتضمن دورة الفيديو "الحصول على أ" جميع الموضوعات الضرورية لنجاحك اجتياز الامتحانفي الرياضيات لـ 60-65 نقطة. بالكامل جميع المهام 1-13 امتحان الملف الشخصيالرياضيات. مناسب أيضًا لاجتياز الاستخدام الأساسي في الرياضيات. إذا كنت ترغب في اجتياز الاختبار بمجموع 90-100 نقطة ، فأنت بحاجة إلى حل الجزء الأول في 30 دقيقة وبدون أخطاء!

دورة تحضيرية لامتحان الصفوف 10-11 وكذلك للمعلمين. كل ما تحتاجه لحل الجزء الأول من امتحان الرياضيات (أول 12 مشكلة) والمسألة 13 (حساب المثلثات). وهذا أكثر من 70 نقطة في امتحان الدولة الموحد ، ولا يمكن لطالب مائة نقطة ولا إنساني الاستغناء عنها.

كل النظرية اللازمة. طرق سريعةالحلول والفخاخ و أسرار الاستخدام. تم تحليل جميع المهام ذات الصلة بالجزء 1 من مهام بنك FIPI. تتوافق الدورة تمامًا مع متطلبات USE-2018.

تحتوي الدورة على 5 مواضيع كبيرة 2.5 ساعة لكل منهما. يتم إعطاء كل موضوع من الصفر ، ببساطة وبشكل واضح.

المئات من مهام الامتحان. مشاكل النصونظرية الاحتمالات. خوارزميات حل المشكلات بسيطة وسهلة التذكر. الهندسة. نظرية، المواد المرجعيةوتحليل جميع أنواع مهام الاستخدام. القياس المجسم. حلول صعبة ، أوراق غش مفيدة ، تطوير الخيال المكاني. علم المثلثات من البداية إلى المهمة 13. الفهم بدلاً من الحشو. شرح مرئي للمفاهيم المعقدة. الجبر. الجذور والقوى واللوغاريتمات والوظيفة والمشتقات. قاعدة للحل المهام الصعبة 2 جزء من الامتحان.

متوازي الأضلاع هو شكل رباعي حيث الأضلاع المتقابلة متوازية.

متوازي الأضلاع لديه جميع خصائص الأشكال الرباعية ، ولكن له أيضًا خصائصه الخاصة السمات المميزة. بمعرفتهم ، يمكننا بسهولة العثور على جانبي وزوايا متوازي الأضلاع.

خصائص متوازي الأضلاع

1. مجموع الزوايا في أي متوازي أضلاع ، كما في أي رباعي ، هو 360 درجة.
2. تتقاطع الخطوط الوسطى في متوازي الأضلاع وأقطارها عند نقطة واحدة وتنقسمها إلى نصفين. تسمى هذه النقطة بمركز تناظر متوازي الأضلاع.
3. أضلاع متوازي الأضلاع المتقابلة متساوية دائمًا.
4. أيضًا ، هذا الشكل له دائمًا زوايا متقابلة متساوية.
5. مجموع الزوايا المجاورة لأي من جانبي متوازي الأضلاع يساوي دائمًا 180 درجة.
6. مجموع مربعي قطري متوازي الأضلاع يساوي ضعف مجموع مربعي ضلعيه المتجاورين. يتم التعبير عن ذلك بالصيغة:
   • د 1 2 + د 2 2 = 2 (أ 2 + ب 2) ، حيث د 1 ود 2 قطريان ، أ وب ضلعان متجاوران.
7. دائمًا ما يكون جيب تمام الزاوية المنفرجة أقل من الصفر.

كيف يمكن إيجاد زوايا متوازي أضلاع معين بتطبيق هذه الخصائص عمليًا؟ وما هي الصيغ الأخرى التي يمكن أن تساعدنا في ذلك؟ ضع في اعتبارك المهام المحددة التي تتطلب: إيجاد زوايا متوازي الأضلاع.

إيجاد زوايا متوازي الأضلاع

الحالة 1. قياس الزاوية المنفرجة معروف ، مطلوب إيجاد زاوية حادة.

مثال: في متوازي الأضلاع ABCD ، الزاوية A تساوي 120 درجة. أوجد قياس الزوايا المتبقية.

المحلول: باستخدام الخاصية رقم 5 ، يمكننا إيجاد قياس الزاوية B المجاورة للزاوية المعطاة في التخصيص. ستكون مساوية لـ:

• 180 درجة -120 درجة = 60 درجة

والآن ، باستخدام الخاصية رقم 4 ، نحدد أن الزاويتين المتبقيتين C و D تقابلان الزاويتين اللتين وجدناهما بالفعل. الزاوية C مقابل الزاوية A ، والزاوية D المقابلة للزاوية B. لذلك ، فهما متساويان في أزواج.

• الجواب: ب = 60 درجة ، ج = 120 درجة ، د = 60 درجة

الحالة الثانية: أطوال الأضلاع والقطر معروفة

في هذه الحالة ، علينا استخدام نظرية جيب التمام.

يمكننا أولًا استخدام الصيغة لحساب جيب التمام للزاوية التي نحتاجها ، ثم استخدام جدول خاص لإيجاد قياس الزاوية نفسها.

للزاوية الحادة ، الصيغة هي:

• cosa \ u003d (A² + B² - d²) / (2 * A * B) ، أين
• أ هو المطلوب زاوية حادة,
• A و B هما ضلعان في متوازي الأضلاع
• د - قطري أصغر

لزاوية منفرجة ، تتغير الصيغة قليلاً:

• cosß \ u003d (A² + B² - D²) / (2 * A * B) ، أين
• ß هو زاوية منفرجة,
• A و B جانبان
• د - قطري كبير

مثال: تحتاج إلى إيجاد الزاوية الحادة لمتوازي أضلاع طول ضلعه 6 سم و 3 سم وقطره الأصغر 5.2 سم

نعوض بالقيم في الصيغة لإيجاد زاوية حادة:

• cosa = (6 2 + 3 2 - 5.2 2) / (2 * 6 * 3) = (36 + 9 - 27.04) / (2 * 18) = 17.96 / 36 ~ 18/36 ~ 1/2
• cosa = 1/2. وفقًا للجدول ، وجدنا أن الزاوية المرغوبة هي 60 درجة.

متوازي الأضلاع هو شكل رباعي الأضلاع المتقابلة متوازية. أيضًا ، متوازي الأضلاع له خصائص مثل الأضلاع المتقابلة متساوية ، والزوايا المتقابلة متساوية ، ومجموع كل الزوايا هو 360 درجة.

سوف تحتاج

• المعرفة الهندسية.

تعليمات

1. تخيل أن أحد أركان متوازي الأضلاع يساوي أ. أوجد قيم 3 المتبقية. بخاصية متوازي الأضلاع ، الزوايا المتقابلة متساوية. إذن ، الزاوية المقابلة للزاوية المعطاة تساوي الزاوية المعطاة وقيمتها تساوي A.

2. أوجد الزاويتين المتبقيتين. نظرًا لأن مجموع جميع الزوايا في متوازي الأضلاع هو 360 درجة ، والزوايا المتقابلة متساوية مع بعضها البعض ، فقد اتضح أن الزاوية التي تنتمي إلى نفس الضلع مع المعطى تساوي (360 - 2A) / 2. حسنًا ، إما بعد الإصلاح نحصل على 180 - أ. وهكذا ، في متوازي أضلاع ، زاويتان تساويان أ ، وزاويتان أخريان تساويان 180 - أ.

ملحوظة!
لا يمكن أن تتجاوز قيمة الزاوية الواحدة 180 درجة. يمكن التحقق من قيم الزوايا التي تم الحصول عليها بسهولة. للقيام بذلك ، اجمعهم ، وإذا كان المجموع 360 ، فسيتم حساب كل شيء بشكل صحيح.

نصيحة مفيدة
المستطيل والمعين هما حالة خاصة لمتوازي الأضلاع ، لذا فإن جميع خصائص وطرق حساب الزوايا تنطبق عليهم أيضًا.

مستوى متوسط

متوازي الأضلاع ، مستطيل ، معين ، مربع (2019)

1. متوازي الأضلاع

كلمة مركبة "متوازي الأضلاع"؟ وخلفه شخصية بسيطة للغاية.

حسنًا ، لقد أخذنا خطين متوازيين:

عبرها اثنان آخران:

والداخل - متوازي الأضلاع!

ما هي خصائص متوازي الاضلاع؟

خصائص متوازي الأضلاع.

بمعنى ، ما الذي يمكن استخدامه إذا تم إعطاء متوازي الأضلاع في المسألة؟

تتم الإجابة على هذا السؤال بالنظرية التالية:

دعونا نرسم كل شيء بالتفصيل.

ماذا فعلت النقطة الأولى من النظرية؟ وحقيقة أنه إذا كان لديك متوازي أضلاع ، فبكل الوسائل

الفقرة الثانية تعني أنه إذا كان هناك متوازي أضلاع ، إذن ، مرة أخرى ، بكل الوسائل:

حسنًا ، وأخيرًا ، النقطة الثالثة تعني أنه إذا كان لديك متوازي أضلاع ، فتأكد من:

ترى ما ثروة من الاختيار؟ ماذا تستخدم في المهمة؟ حاول التركيز على مسألة المهمة ، أو فقط جرب كل شيء على حدة - نوع من "المفتاح" سيفي بالغرض.

والآن دعونا نسأل أنفسنا سؤالاً آخر: كيف نتعرف على متوازي الأضلاع "في الوجه"؟ ما الذي يجب أن يحدث للشكل الرباعي حتى يكون لنا الحق في إعطائه "عنوان" متوازي الأضلاع؟

تتم الإجابة على هذا السؤال بعدة علامات على متوازي الأضلاع.

ملامح متوازي الأضلاع.

انتباه! يبدأ.

متوازي الاضلاع.

انتبه: إذا وجدت علامة واحدة على الأقل في مشكلتك ، فهذا يعني أن لديك متوازي أضلاع بالضبط ، ويمكنك استخدام جميع خصائص متوازي الأضلاع.

2. المستطيل

لا أعتقد أنها ستكون أخبارًا لك على الإطلاق.

السؤال الأول هو: هل المستطيل متوازي أضلاع؟

بالطبع هو كذلك! بعد كل شيء ، لديه - تذكر ، علامتنا 3؟

ومن هنا ، بالطبع ، يتبع ذلك بالنسبة للمستطيل ، مثل أي متوازي أضلاع ، ويتم تقسيم الأقطار على نقطة التقاطع إلى نصفين.

لكن هناك مستطيل وخاصية مميزة واحدة.

خاصية المستطيل

لماذا هذه الخاصية مميزة؟ لأنه لا يوجد متوازي أضلاع آخر له أقطار متساوية. دعونا نصيغها بشكل أكثر وضوحًا.

انتبه: لكي يصبح الشكل الرباعي مستطيلًا ، يجب أولاً أن يصبح متوازي أضلاع ، ثم يقدم المساواة بين الأقطار.

3. الماس

ومرة أخرى السؤال هو: هل المعين متوازي أضلاع أم لا؟

مع اليمين الكامل - متوازي الأضلاع ، لأنه يحتوي و (تذكر علامتنا 2).

ومرة أخرى ، بما أن المعين هو متوازي أضلاع ، فلا بد أن يحتوي على جميع خصائص متوازي الأضلاع. هذا يعني أن المعين له زوايا متقابلة متساوية ، وأن الأضلاع المتقابلة متوازية ، والأقطار تنقسم عند نقطة التقاطع.

خصائص المعين

انظر الى الصورة:

كما في حالة المستطيل ، هذه الخصائص مميزة ، أي لكل خاصية من هذه الخصائص ، يمكننا أن نستنتج أنه ليس لدينا متوازي أضلاع فقط ، بل معين.

علامات المعين

وانتبه مرة أخرى: لا ينبغي أن يكون هناك مجرد رباعي الزوايا بأقطار متعامدة ، بل متوازي أضلاع. تأكد:

لا ، بالطبع لا ، على الرغم من أن أقطارها متعامدة ، والقطري هو منصف الزوايا u. لكن ... الأقطار لا تنقسم ، ونقطة التقاطع إلى النصف ، وبالتالي - ليست متوازي أضلاع ، وبالتالي فهي ليست المعين.

أي أن المربع عبارة عن مستطيل ومعين في نفس الوقت. دعونا نرى ما سيخرج من هذا.

هل من الواضح لماذا؟ - المعين - منصف الزاوية A ، وهو ما يساوي. لذلك يقسم (وكذلك) إلى زاويتين على طول.

حسنًا ، هذا واضح تمامًا: أقطار المستطيل متساوية ؛ الأقطار المعينية متعامدة ، وبشكل عام - يتم تقسيم أقطار متوازي الأضلاع بنقطة التقاطع إلى النصف.

مستوى متوسط

خصائص الأشكال الرباعية. متوازي الاضلاع

خصائص متوازي الأضلاع

انتباه! الكلمات " خصائص متوازي الأضلاع»يعني أنه إذا كان لديك مهمة يوجدمتوازي الأضلاع ، ثم يمكن استخدام كل ما يلي.

نظرية في خصائص متوازي الأضلاع.

في أي متوازي أضلاع:

دعونا نرى لماذا هذا صحيح ، بعبارة أخرى سوف نثبتنظرية.

فلماذا 1) صحيح؟

بما أنه متوازي أضلاع ، إذن:

• مثل الكذب بالعرض
• كما يرقد عبر.

ومن ثم ، (على أساس II: و - عام.)

حسنًا ، مرة واحدة ، إذن - هذا كل شيء! - اثبت.

لكن بالمناسبة! أثبتنا أيضًا 2)!

لماذا ا؟ ولكن بعد كل شيء (انظر إلى الصورة) ، وهذا هو ، بسبب.

تبقى 3 فقط).

للقيام بذلك ، لا يزال عليك رسم قطري ثانٍ.

والآن نرى ذلك - وفقًا للعلامة II (الزاوية والجانب "بينهما").

ثبت خصائص! دعنا ننتقل إلى العلامات.

ميزات متوازي الأضلاع

تذكر أن علامة متوازي الأضلاع تجيب على السؤال "كيف تكتشف؟" أن الشكل متوازي أضلاع.

في الرموز مثل هذا:

لماذا ا؟ سيكون من الجميل أن نفهم لماذا - هذا يكفي. لكن انظر:

حسنًا ، اكتشفنا سبب صحة العلامة 1.

حسنًا ، هذا أسهل! لنرسم قطريًا مرة أخرى.

مما يعني:

ومن السهل أيضا. ولكن مختلفة!

وسائل، . رائع! ولكن أيضًا - داخلي من جانب واحد في قاطع!

لذلك حقيقة هذا يعني ذلك.

وإذا نظرت من الجانب الآخر ، فهي داخلية من جانب واحد عند قاطع! وبالتالي.

انظر كم هو رائع ؟!

ومرة أخرى ببساطة:

بالضبط نفس الشيء ، و.

انتبه:إذا وجدت على الأقلعلامة واحدة على متوازي الأضلاع في مشكلتك ، إذن لديك بالضبطمتوازي الأضلاع ويمكنك استخدامها كل واحدخصائص متوازي الأضلاع.

من أجل الوضوح الكامل ، انظر إلى الرسم التخطيطي:

خصائص الأشكال الرباعية. مستطيل.

خصائص المستطيل:

النقطة 1) واضحة تمامًا - بعد كل شيء ، تم الوفاء بالعلامة 3 () ببساطة

والنقطة 2) - مهم جدا. لذلك دعونا نثبت ذلك

لذلك ، على قدمين (و - عام).

حسنًا ، بما أن المثلثات متساوية ، فإن الوتر متساوي أيضًا.

أثبت أن!

تخيل أن مساواة الأقطار هي خاصية مميزة للمستطيل بين جميع متوازيات الأضلاع. هذا هو البيان التالي صحيح

دعنا نرى لماذا؟

إذن (أي زوايا متوازي الأضلاع). لكن مرة أخرى ، تذكر ذلك - متوازي الأضلاع ، وبالتالي.

وسائل، . وبالطبع ، يترتب على ذلك أن كل واحد منهم بعد كل شيء ، بالمبلغ الذي يجب أن يقدموه!

هنا أثبتنا أنه إذا متوازي الاضلاعفجأة (!) سيكون قطريًا متساويًا ، ثم هذا بالضبط مستطيل.

ولكن! انتبه!هذا هو حول متوازي الأضلاع! ليس أيالشكل الرباعي ذو الأقطار المتساوية هو مستطيل ، و فقطمتوازي الاضلاع!

خصائص الأشكال الرباعية. معين

ومرة أخرى السؤال هو: هل المعين متوازي أضلاع أم لا؟

مع اليمين الكامل - متوازي الأضلاع ، لأنه يحتوي و (تذكر علامتنا 2).

ومرة أخرى ، بما أن المعين متوازي أضلاع ، فلا بد أن يحتوي على جميع خصائص متوازي الأضلاع. هذا يعني أن المعين له زوايا متقابلة متساوية ، وأن الأضلاع المتقابلة متوازية ، والأقطار تنقسم عند نقطة التقاطع.

ولكن هناك أيضًا خصائص خاصة. نصوغ.

خصائص المعين

لماذا ا؟ حسنًا ، نظرًا لأن المعين متوازي أضلاع ، فإن قطريه ينقسمان إلى نصفين.

لماذا ا؟ نعم هذا هو السبب!

وبعبارة أخرى ، تبين أن الأقطار هي منصفات زوايا المعين.

كما في حالة المستطيل ، فإن هذه الخصائص هي متميز، كل واحد منهم هو أيضًا علامة على شكل معين.

علامات المعين.

لماذا هذا؟ وانظر

ومن ثم و على حد سواءهذه المثلثات متساوية الساقين.

لكي يكون الشكل الرباعي معينًا ، يجب أولاً أن "يصبح" متوازي أضلاع ، ثم يوضح بالفعل الميزة 1 أو الميزة 2.

خصائص الأشكال الرباعية. ميدان

أي أن المربع عبارة عن مستطيل ومعين في نفس الوقت. دعونا نرى ما سيخرج من هذا.

هل من الواضح لماذا؟ مربع - دالتون - منصف الزاوية التي تساوي. لذلك يقسم (وكذلك) إلى زاويتين على طول.

حسنًا ، هذا واضح تمامًا: أقطار المستطيل متساوية ؛ الأقطار المعينية متعامدة ، وبشكل عام - يتم تقسيم أقطار متوازي الأضلاع بنقطة التقاطع إلى النصف.

لماذا ا؟ حسنًا ، فقط طبق نظرية فيثاغورس على.

ملخص وصيغة أساسية

خصائص متوازي الأضلاع:

1. الأضلاع المتقابلة متساوية: ،.
2. الزوايا المعاكسة هي: ،.
3. مجموع الزوايا على جانب واحد: ،.
4. يتم تقسيم الأقطار بواسطة نقطة التقاطع إلى نصفين:.

خصائص المستطيل:

1. أقطار المستطيل هي:.
2. المستطيل متوازي أضلاع (جميع خصائص متوازي الأضلاع مستوفاة للمستطيل).

خصائص المعين:

1. أقطار المعين متعامدة:.
2. أقطار المعين هي منصفات زواياها: ؛ ؛ ؛ .
3. المعين هو متوازي الأضلاع (تتحقق جميع خصائص متوازي الأضلاع في المعين).

خصائص المربع:

المربع هو معين ومستطيل في نفس الوقت ، لذلك بالنسبة للمربع ، تتحقق جميع خصائص المستطيل والمعين. إلى جانب.

الرباعيات.

§43. متوازي الاضلاع.

1. تعريف متوازي الأضلاع.

إذا تقاطعنا مع زوج من الخطوط المتوازية مع زوج آخر من الخطوط المتوازية ، فسنحصل على شكل رباعي أضلاعه المتقابلة متوازية.

في المربعات ABDC و EFNM (الشكل 224) BD || AC و AB || قرص مضغوط
إي أف || MN و EM || ف.

يسمى الشكل الرباعي الذي يكون ضلعه المتقابلان متوازيين متوازي الأضلاع.

2. خصائص متوازي الأضلاع.

نظرية. قطري متوازي الأضلاع يقسمه إلى مثلثين متساويين.

يجب أن يكون هناك متوازي أضلاع ABDC (الشكل 225) فيه AB || CD و AC || BD.

مطلوب إثبات أن القطر يقسمه إلى مثلثين متساويين.

ارسم قطريًا CB في متوازي أضلاع ABDC. دعنا نثبت ذلك /\ CAB = /\ CDB.

الجانب الشمالي الشرقي مشترك بين هذه المثلثات ؛ / ABC = / BCD ، كزوايا استلقاء داخلية متقاطعة مع AB متوازي و CD و CB القاطع ؛ / DIA = / CBD ، أيضًا كزوايا متقاطعة داخلية مع AC متوازي و BD و CB القاطع (الفقرة 38).

من هنا /\ CAB = /\ CDB.

بنفس الطريقة ، يمكن للمرء أن يثبت أن القطر AD يقسم متوازي الأضلاع إلى مثلثين متساويين ACD و ABD.

الآثار. 1 . الزوايا المتقابلة في متوازي الأضلاع متساوية.

/ أ = / D ، هذا يتبع من المساواة بين المثلثات CAB و CDB.
بصورة مماثلة، / ج = / في.

2. أضلاع متوازي أضلاع متساوية.

AB \ u003d CD و AC \ u003d BD ، لأن هذه جوانب من مثلثات متساوية وتقع في زوايا متساوية متقابلة.

نظرية 2. يتم تقسيم أقطار متوازي الأضلاع عند نقطة تقاطعها.

لنفترض أن BC و AD هما قطري متوازي الأضلاع ABDC (الشكل 226). دعنا نثبت أن AO = OD و CO = OB.

للقيام بذلك ، قارن بين زوج من المثلثات المتقابلة ، على سبيل المثال /\ AOB و /\ سمك القد.

في هذه المثلثات AB = CD ، كأضلاع متقابلة في متوازي الأضلاع ؛
/ 1 = / 2 ، كزوايا داخلية بالعرض ملقاة على التوازي AB و CD والقطع AD ؛
/ 3 = / 4 لنفس السبب ، منذ AB || CD و CB هي قاطعتهم (المادة 38).

ومن ثم يتبع ذلك /\ AOB = /\ سمك القد. وفي المثلثات المتساوية ، الزوايا المتقابلة متساوية الأضلاع. لذلك ، AO = OD و CO = OB.

نظرية 3. مجموع الزوايا المجاورة لأحد جانبي متوازي الأضلاع يساوي 2 د .

تثبت نفسك.

3. علامات متوازي الأضلاع.

نظرية. إذا كانت الأضلاع المتقابلة في الشكل الرباعي متساوية في الزوج ، فإن الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.

دع الشكل الرباعي ABDC (الشكل 227) AB = CD و AC = BD. دعونا نثبت أنه في ظل هذا الشرط AB || CD و AC || BD ، أي أن الشكل الرباعي ABDC هو متوازي أضلاع.
دعنا نربط بقطعة رأسين متقابلين من هذا الرباعي ، على سبيل المثال ، C و B. وينقسم الرباعي ABDC إلى مثلثين متساويين: /\ CAB و /\ CDB. في الواقع ، لديهم جانب مشترك CB و AB \ u003d CD و AC \ u003d BD حسب الشرط. وبالتالي ، فإن الأضلاع الثلاثة لمثلث واحد تساوي على التوالي الأضلاع الثلاثة للمثلث الآخر ، إذن /\ CAB = /\ CDB.

في المثلثات المتساوية مقابل. جوانب متساويةيكذب زوايا متساوية، لهذا
/ 1 = / 2 و / 3 = / 4.

الزاويتان 1 و 2 هما زاويتان متصالبتان داخليتان عند تقاطع الخطين AB و CD مع الخط CB. لذلك ، AB || قرص مضغوط.

وبالمثل ، فإن الزاويتين الثالثة والرابعة هما زاويتان متصالبتان داخليتان عند تقاطع الخطين CA و BD مع الخط CB ، وبالتالي ، CA || BD (§ 35).

وبالتالي ، فإن الأضلاع المتقابلة من الشكل الرباعي ABDC متوازيتان ، وبالتالي ، فهي متوازي أضلاع ، والتي كان مطلوبًا إثباتها.

نظرية 2. إذا كان ضلعان متعاكسان في الشكل الرباعي متساويين ومتوازيين ، فإن الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.

دعنا ندخل الشكل الرباعي ABDC AB = CD و AB || قرص مضغوط. دعنا نثبت أنه في ظل هذه الظروف ، يكون الشكل الرباعي ABDC متوازي أضلاع (الشكل 228).

نقوم بتوصيل الرأسين C و B بالقطعة CB. وبسبب توازي الخطين AB و CD ، فإن الزاويتين 1 و 2 ، باعتبارهما الزاويتان الداخليتان ، متساويتان (الفقرة 38).
ثم مثلث CAB يساوي المثلثСDВ ، نظرًا لأن لديهم جانبًا مشتركًا CB ،
AB \ u003d CD حسب حالة النظرية و / 1 = / 2 كما ثبت. من المساواة بين هذه المثلثات يتبع المساواة بين الزاويتين 3 و 4 ، لأنهما يقعان في أضلاع متساوية متقابلة في مثلثات متساوية.

لكن الزاويتين 3 و 4 هما زاويتان متصالبتان داخليتان تتشكلان عند تقاطع الخطين AC و BD بالخط CB ، وبالتالي ، AC || BD (§ 35) ، أي رباعي الأضلاع
ABDC متوازي أضلاع.

تمارين.

1. أثبت أنه إذا تم تقسيم أقطار الشكل الرباعي عند نقطة تقاطعها إلى نصفين ، فإن هذا الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.

2. إثبات أن رباعي الأضلاع مجموعها الزوايا الداخلية، المجاور لكل من الضلعين المتجاورين ، يساوي 2 د، هو متوازي الأضلاع.

3. أنشئ متوازي أضلاع على الجانبين وزاوية بينهما:

أ) استخدام التوازي الأطراف المقابلةمتوازي الاضلاع؛
ب) استخدام مساواة الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع.

4. بناء متوازي الأضلاع في اثنين الأطراف المجاورةوأقطار.

5. أنشئ متوازي أضلاع بقطريه والزاوية بينهما.

6. أنشئ متوازي أضلاع على جانبه وقطرين.