أوجد معكوس حل المصفوفة. المصفوفة المعكوسة وخصائصها

المصفوفة العكسية لمصفوفة معينة هي مثل هذه المصفوفة ، ضرب المصفوفة الأصلية التي تعطي مصفوفة هوية: الشرط الإلزامي والكافي لوجود مصفوفة معكوسة هو عدم المساواة في محدد المصفوفة الأصلية (والذي بدوره يعني أن المصفوفة يجب أن تكون مربعة). إذا كان محدد المصفوفة يساوي صفرًا ، فإنه يسمى متدهورًا وليس لهذه المصفوفة معكوس. في الرياضيات العليا ، تعتبر المصفوفات العكسية مهمة وتستخدم لحل عدد من المسائل. على سبيل المثال ، في إيجاد معكوس المصفوفةيتم إنشاء طريقة مصفوفة لحل أنظمة المعادلات. يسمح موقع خدمتنا حساب معكوس المصفوفة على الإنترنتطريقتان: طريقة Gauss-Jordan واستخدام مصفوفة الإضافات الجبرية. الأول ينطوي على عدد كبير من التحويلات الأولية داخل المصفوفة ، والثاني - حساب المحدد والإضافات الجبرية لجميع العناصر. لحساب محدد المصفوفة عبر الإنترنت ، يمكنك استخدام خدمتنا الأخرى - حساب محدد المصفوفة عبر الإنترنت

أوجد معكوس المصفوفة في الموقع

موقع الكترونييسمح لك أن تجد مصفوفة معكوسة على الإنترنتسريع ومجاني. في الموقع ، يتم إجراء الحسابات من خلال خدمتنا ويتم عرض النتيجة مع حل مفصل للبحث مصفوفة معكوسة. يعطي الخادم دائمًا الإجابة الدقيقة والصحيحة فقط. في المهام حسب التعريف مصفوفة معكوسة على الإنترنت، فمن الضروري أن المحدد المصفوفاتكان مختلفًا عن الصفر ، وإلا موقع الكترونيسيبلغ عن استحالة إيجاد معكوس المصفوفة نظرًا لحقيقة أن محدد المصفوفة الأصلية يساوي صفرًا. البحث عن المهمة مصفوفة معكوسةتوجد في العديد من فروع الرياضيات ، كونها أحد أبسط مفاهيم الجبر وأداة رياضية في المسائل التطبيقية. لا يعتمد تعريف المصفوفة العكسيةيتطلب جهدًا كبيرًا ووقتًا طويلاً وحسابات وعناية كبيرة حتى لا يحدث زلة أو خطأ بسيط في الحسابات. لذلك ، خدمتنا إيجاد معكوس المصفوفة على الإنترنتسيسهل مهمتك إلى حد كبير وسيصبح أداة لا غنى عنها لحل المشكلات الرياضية. حتى لو كنت أوجد معكوس المصفوفةبنفسك ، نوصي بالتحقق من الحل الخاص بك على خادمنا. أدخل المصفوفة الأصلية في حساب المصفوفة المعكوسة على الإنترنت وتحقق من إجابتك. نظامنا لا يخطئ ابدا ويجد مصفوفة معكوسةبعد معين في الوضع عبر الانترنتفورا! في الموقع موقع الكترونييُسمح بإدخالات الأحرف في العناصر المصفوفات، في هذه الحالة مصفوفة معكوسة على الإنترنتسيتم تقديمها بشكل رمزي عام.

لأي مصفوفة غير لغوية A ، توجد مصفوفة فريدة A -1 مثل هذه المصفوفة

أ * أ -1 = أ -1 * أ = ه ،

حيث E هي مصفوفة الوحدة من نفس الرتب مثل A. تسمى المصفوفة A -1 معكوس المصفوفة A.

إذا نسي شخص ما ، في مصفوفة الهوية ، باستثناء المائل المملوء بالواحد ، فإن جميع المواضع الأخرى مملوءة بالأصفار ، مثال على مصفوفة الهوية:

إيجاد معكوس المصفوفة بطريقة المصفوفة المجاورة

يتم تعريف المصفوفة المعكوسة بالصيغة:

حيث A ij - عناصر ij.

أولئك. لحساب معكوس المصفوفة ، عليك حساب محدد هذه المصفوفة. ثم ابحث عن الإضافات الجبرية لجميع عناصرها واصنع منها مصفوفة جديدة. بعد ذلك ، تحتاج إلى نقل هذه المصفوفة. وقسم كل عنصر من عناصر المصفوفة الجديدة على محدد المصفوفة الأصلية.

لنلق نظرة على بعض الأمثلة.

ابحث عن A -1 للمصفوفة

الحل: أوجد A -1 بطريقة المصفوفة المجاورة. لقد اكتشفنا A = 2. دعونا نجد المكملات الجبرية لعناصر المصفوفة أ. في هذه الحالة ، ستكون المكملات الجبرية لعناصر المصفوفة هي العناصر المقابلة للمصفوفة نفسها ، مأخوذة بعلامة وفقًا لـ معادلة

لدينا A 11 = 3 ، A 12 = -4 ، A 21 = -1 ، A 22 = 2. نشكل المصفوفة المساعدة

نقوم بنقل المصفوفة A *:

نجد معكوس المصفوفة بالصيغة:

نحن نحصل:

استخدم طريقة المصفوفة المرافقة لإيجاد A -1 إذا

الحل: أولًا ، نحسب المصفوفة المعطاة للتأكد من وجود معكوس المصفوفة. نملك

هنا قمنا بإضافة عناصر الصف الثالث إلى عناصر الصف الثاني ، مضروبة مسبقًا في (-1) ، ثم فكنا المحدد في الصف الثاني. نظرًا لأن تعريف هذه المصفوفة يختلف عن الصفر ، فإن معكوس المصفوفة موجود. لإنشاء المصفوفة المساعدة ، نجد المكملات الجبرية لعناصر هذه المصفوفة. نملك

حسب الصيغة

نقوم بنقل المصفوفة A *:

ثم حسب الصيغة

إيجاد معكوس المصفوفة بطريقة التحويلات الأولية

بالإضافة إلى طريقة إيجاد المصفوفة العكسية ، التي تتبع الصيغة (طريقة المصفوفة المرتبطة) ، هناك طريقة لإيجاد معكوس المصفوفة ، تسمى طريقة التحويلات الأولية.

تحولات المصفوفة الأولية

تسمى التحولات التالية تحويلات المصفوفة الأولية:

1) تبديل الصفوف (الأعمدة) ؛

2) ضرب صف (عمود) بعدد غير صفري ؛

3) إضافة إلى عناصر الصف (العمود) العناصر المقابلة لصف آخر (عمود) ، مضروبة مسبقًا في رقم معين.

للعثور على المصفوفة A -1 ، نقوم ببناء مصفوفة مستطيلة B \ u003d (A | E) للأوامر (n ؛ 2n) ، مع تخصيص المصفوفة A على اليمين مصفوفة الهوية E من خلال الخط الفاصل:

تأمل في مثال.

باستخدام طريقة التحويلات الأولية ، أوجد A -1 إذا

الحل: نشكل المصفوفة ب:

تشير إلى صفوف المصفوفة B حتى α 1 ، α 2 ، α 3. لنقم بإجراء التحويلات التالية على صفوف المصفوفة B.

تسمى المصفوفة A -1 المصفوفة المعكوسة بالنسبة للمصفوفة A ، إذا كانت A * A -1 \ u003d E ، حيث E هي مصفوفة الهوية بالترتيب n. لا يمكن أن توجد المصفوفة العكسية إلا للمصفوفات المربعة.

مهمة الخدمة. باستخدام هذه الخدمة عبر الإنترنت ، يمكنك العثور على الإضافات الجبرية والمصفوفة المنقولة A T والمصفوفة الموحدة والمصفوفة العكسية. يتم تنفيذ الحل مباشرة على الموقع (عبر الإنترنت) وهو مجاني. يتم عرض نتائج الحساب في تقرير بتنسيق Word وبتنسيق Excel (أي أنه من الممكن التحقق من الحل). انظر مثال التصميم.

تعليمات. للحصول على حل ، يجب عليك تحديد أبعاد المصفوفة. بعد ذلك ، في مربع الحوار الجديد ، املأ المصفوفة أ.

انظر أيضًا المصفوفة المعكوسة بطريقة جوردان-غاوس

خوارزمية لإيجاد معكوس المصفوفة

إيجاد المصفوفة المنقولة A T.
تعريف الإضافات الجبرية. استبدل كل عنصر من عناصر المصفوفة بمكمله الجبري.
تجميع معكوس المصفوفة من الإضافات الجبرية: يتم تقسيم كل عنصر من عناصر المصفوفة الناتجة على محدد المصفوفة الأصلية. المصفوفة الناتجة هي معكوس المصفوفة الأصلية.

التالي خوارزمية المصفوفة العكسيةعلى غرار الخطوة السابقة ، باستثناء بعض الخطوات: أولاً ، يتم حساب المكملات الجبرية ، ثم يتم تحديد مصفوفة الوحدة C.

حدد ما إذا كانت المصفوفة مربعة. إذا لم يكن كذلك ، فلا توجد مصفوفة معكوسة.
حساب محدد المصفوفة أ. إذا لم يكن يساوي صفرًا ، نواصل الحل ، وإلا فلن يكون معكوس المصفوفة.
تعريف الإضافات الجبرية.
ملء المصفوفة النقابية (المتبادلة والمتعاونة) ج.
تجميع معكوس المصفوفة من الإضافات الجبرية: يتم تقسيم كل عنصر من عناصر المصفوفة المجاورة C على محدد المصفوفة الأصلية. المصفوفة الناتجة هي معكوس المصفوفة الأصلية.
قم بإجراء فحص: اضرب المصفوفات الأصلية والمصفوفات الناتجة. يجب أن تكون النتيجة مصفوفة هوية.

مثال 1. نكتب المصفوفة بالشكل:

الإضافات الجبرية.

أ 1.1 = (-1) 1 + 1

-1	-2
5	4

∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

أ 1،2 = (-1) 1 + 2

2	-2
-2	4

∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

أ 1.3 = (-1) 1 + 3

2	-1
-2	5

∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

أ 2.1 = (-1) 2 + 1

2	3
5	4

∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7

أ 2.2 = (-1) 2 + 2

-1	3
-2	4

∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

أ 2.3 = (-1) 2 + 3

-1	2
-2	5

∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

أ 3.1 = (-1) 3 + 1

2	3
-1	-2

∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

أ 3.2 = (-1) 3 + 2

-1	3
2	-2

∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

أ 3.3 = (-1) 3 + 3

-1	2
2	-1

∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
ثم مصفوفة معكوسةيمكن كتابتها على النحو التالي:

أ -1 = 1/10

6	-4	8
7	2	1
-1	4	-3

أ -1 =

0,6	-0,4	0,8
0,7	0,2	0,1
-0,1	0,4	-0,3

خوارزمية أخرى لإيجاد معكوس المصفوفة

نقدم مخططًا آخر لإيجاد معكوس المصفوفة.

أوجد محدد المصفوفة المربعة المعطاة أ.
نجد الإضافات الجبرية لجميع عناصر المصفوفة أ.
نكتب التكميلات الجبرية لعناصر الصفوف في الأعمدة (التحويل).
نقسم كل عنصر من عناصر المصفوفة الناتجة على محدد المصفوفة أ.

كما ترى ، يمكن تطبيق عملية التحويل في البداية وعلى المصفوفة الأصلية وفي النهاية على الإضافات الجبرية الناتجة.

حالة خاصة: معكوس بالنسبة لمصفوفة الوحدة E ، هو مصفوفة الوحدة E.

التعريف 1:تسمى المصفوفة متدهورة إذا كان محددها صفرًا.

التعريف 2:تسمى المصفوفة غير المفرد إذا كان محددها لا يساوي الصفر.

يسمى مصفوفة "أ" مصفوفة معكوسة، إذا تم استيفاء الشرط A * A-1 = A-1 * A = E (مصفوفة الهوية).

تكون المصفوفة المربعة قابلة للعكس فقط إذا كانت غير أحادية.

مخطط لحساب معكوس المصفوفة:

1) احسب محدد المصفوفة "أ" إذا ∆ A = 0 ، فإن معكوس المصفوفة غير موجود.

2) أوجد كل التكميلات الجبرية للمصفوفة "أ".

3) يؤلف مصفوفة من الإضافات الجبرية (Aij)

4) قلب مصفوفة المكملات الجبرية (Aij) T

5) اضرب المصفوفة المنقولة بمقلوب محدد هذه المصفوفة.

6) قم بإجراء فحص:

للوهلة الأولى قد يبدو الأمر صعبًا ، لكن في الحقيقة كل شيء بسيط للغاية. تعتمد جميع الحلول على عمليات حسابية بسيطة ، والشيء الرئيسي عند الحل هو عدم الخلط بين علامات "-" و "+" ، وعدم فقدانها.

والآن دعونا نحل مهمة عملية معًا بحساب معكوس المصفوفة.

المهمة: إيجاد معكوس المصفوفة "أ" الموضحة في الصورة أدناه:

نحل كل شيء تمامًا كما هو موضح في خطة حساب معكوس المصفوفة.

1. أول شيء يجب فعله هو إيجاد محدد المصفوفة "أ":

تفسير:

لقد بسطنا المحدد باستخدام وظائفه الرئيسية. أولاً ، أضفنا إلى الصف الثاني والثالث عناصر الصف الأول مضروبة في رقم واحد.

ثانيًا ، قمنا بتغيير العمودين الثاني والثالث من المحدد ، ووفقًا لخصائصه ، قمنا بتغيير العلامة الموجودة أمامه.

ثالثًا ، استخرجنا العامل المشترك (-1) للصف الثاني ، وبالتالي غيرنا الإشارة مرة أخرى ، وأصبحت موجبة. قمنا أيضًا بتبسيط السطر 3 بنفس الطريقة كما في بداية المثال.

لدينا محدد مثلث ، حيث العناصر الموجودة أسفل القطر تساوي صفرًا ، وبواسطة الخاصية 7 ، يساوي حاصل ضرب عناصر القطر. نتيجة لذلك ، وصلنا ∆ أ = 26 ، ومن هنا توجد المصفوفة العكسية.

أ 11 = 1 * (3 + 1) = 4

A12 = -1 * (9 + 2) = -11

أ 13 = 1 * 1 = 1

أ 21 = -1 * (- 6) = 6

أ 22 = 1 * (3-0) = 3

A23 = -1 * (1 + 4) = -5

أ 31 = 1 * 2 = 2

أ 32 = -1 * (- 1) = -1

أ 33 = 1+ (1 + 6) = 7

3. الخطوة التالية هي تجميع مصفوفة من الإضافات الناتجة:

5. نضرب هذه المصفوفة في مقلوب المحدد ، أي في 1/26:

6. حسنًا ، نحتاج الآن فقط إلى التحقق مما يلي:

أثناء التحقق ، تلقينا مصفوفة هوية ، وبالتالي ، تم اتخاذ القرار بشكل صحيح تمامًا.

2 طريقة لحساب معكوس المصفوفة.

1. التحول الأولي للمصفوفات

2. مصفوفة معكوسة من خلال محول أولي.

يتضمن تحويل المصفوفة الأولية:

1. ضرب سلسلة في عدد غير صفري.

2. إضافة إلى أي سطر من سطر آخر ، مضروبًا في رقم.

3. تبديل صفوف المصفوفة.

4. بتطبيق سلسلة من التحولات الأولية ، نحصل على مصفوفة أخرى.

لكن -1 = ?

1. (أ | هـ) ~ (هـ | أ -1 )

2. أ -1 * أ = هـ

لنلق نظرة على هذا في مثال عملي بأرقام حقيقية.

ممارسه الرياضه:أوجد معكوس المصفوفة.

المحلول:

دعونا تحقق:

القليل من التوضيح حول الحل:

قمنا أولاً بتبديل الصفين 1 و 2 من المصفوفة ، ثم ضربنا الصف الأول في (-1).

بعد ذلك ، تم ضرب الصف الأول في (-2) وإضافته إلى الصف الثاني من المصفوفة. ثم قمنا بضرب الصف الثاني في 1/4.

كانت المرحلة الأخيرة من التحول هي ضرب الصف الثاني في 2 والجمع من الأول. نتيجة لذلك ، لدينا مصفوفة وحدة على اليسار ، وبالتالي ، فإن معكوس المصفوفة هو المصفوفة الموجودة على اليمين.

بعد التدقيق ، اقتنعنا بصحة القرار.

كما ترى ، حساب معكوس المصفوفة بسيط للغاية.

في ختام هذه المحاضرة ، أود أيضًا تخصيص بعض الوقت لخصائص مثل هذه المصفوفة.

طرق إيجاد معكوس المصفوفة. اعتبر مصفوفة مربعة

دلالة Δ = det A.

تسمى المصفوفة المربعة أ غير منحطأو غير خاصإذا كان محدده غير صفري ، و منحطأو خاص، إذاΔ = 0.

توجد مصفوفة مربعة B لمصفوفة مربعة A من نفس الترتيب إذا كان منتجها A B = B A = E ، حيث E هي مصفوفة الوحدة من نفس ترتيب المصفوفتين A و B.

نظرية . لكي يكون للمصفوفة A مصفوفة معكوسة ، من الضروري والكافي أن يكون محددها غير صفري.

مصفوفة معكوسة للمصفوفة A ، يُرمز إليها بالرمز A- 1 لذا ب = أ - 1 وتحسب بالصيغة

, (1)

حيث А i j - المكملات الجبرية للعناصر a i j من المصفوفة A ..

يعد حساب A -1 بالصيغة (1) للمصفوفات عالية الترتيب أمرًا شاقًا للغاية ، لذا من الملائم عمليًا العثور على A -1 باستخدام طريقة التحويلات الأولية (EP). أي مصفوفة غير مفردة A يمكن اختزالها بواسطة EP للأعمدة فقط (أو الصفوف فقط) إلى مصفوفة الهوية E. إذا تم تطبيق EPs على المصفوفة A بنفس الترتيب على مصفوفة الهوية E ، فإن النتيجة هي مصفوفة معكوسة. من الملائم إجراء EP على المصفوفتين A و E في وقت واحد ، وكتابة كلتا المصفوفتين جنبًا إلى جنب عبر السطر. نلاحظ مرة أخرى أنه عند البحث عن الشكل الأساسي لمصفوفة ، من أجل العثور عليها ، يمكن للمرء استخدام تحويلات الصفوف والأعمدة. إذا كنت بحاجة إلى العثور على المصفوفة المعكوسة ، فيجب عليك استخدام الصفوف فقط أو الأعمدة فقط في عملية التحويل.

المثال 2.10. للمصفوفة تجد A -1.

المحلول.نجد أولًا محدد المصفوفة A
لذلك توجد المصفوفة العكسية ويمكننا إيجادها بالصيغة: ، حيث A i j (i ، j = 1،2،3) - المكملات الجبرية للعناصر a i j من المصفوفة الأصلية.

أين .

المثال 2.11. باستخدام طريقة التحويلات الأولية ، أوجد A -1 للمصفوفة: A =.

المحلول.نخصص مصفوفة هوية من نفس الترتيب للمصفوفة الأصلية الموجودة على اليمين: . بمساعدة تحويلات العمود الأولي ، نقوم بتقليص "النصف" الأيسر إلى هوية واحدة ، ونقوم في نفس الوقت بإجراء مثل هذه التحويلات بالضبط على المصفوفة اليمنى.
للقيام بذلك ، قم بتبديل العمودين الأول والثاني: ~ . نضيف الأول إلى العمود الثالث ، ونضرب الأول في -2 إلى الثاني: . من العمود الأول نطرح الثانية المضاعفة ، ومن الثالث - الثاني مضروبًا في 6 ؛ . دعنا نضيف العمود الثالث إلى الأول والثاني: . اضرب العمود الأخير في -1: . المصفوفة المربعة التي تم الحصول عليها على يمين الشريط العمودي هي معكوس المصفوفة للمصفوفة المعطاة أ.
.