أوجد إسقاط النقطة على المستوى المعطى بالمعادلة. إيجاد إحداثيات إسقاط نقطة على مستوى ، أمثلة

جهاز الإسقاط

يشتمل جهاز الإسقاط (الشكل 1) على ثلاث مستويات إسقاط:

π 1 -مستوى الإسقاط الأفقي

2 -طائرة الإسقاط الأمامي

π 3- مستوى البروفايل من الإسقاطات .

طائرات الإسقاط متعامدة بشكل متبادل ( π 1^ π 2^ π 3) ، وتشكل خطوط التقاطع محاور:

تقاطع مستوي π 1و π 2تشكل محور 0X (π 1∩ π 2 = 0X);

تقاطع مستوي π 1و π 3تشكل محور 0 ص (π 1∩ π 3 = 0 ص);

تقاطع مستوي π 2و π 3تشكل محور 0Z (π 2∩ π 3 = 0Z).

تعتبر نقطة تقاطع المحاور (ОХ∩OY∩OZ = 0) هي النقطة المرجعية (النقطة 0).

نظرًا لأن الطائرات والمحاور متعامدة بشكل متبادل ، فإن مثل هذا الجهاز متشابه النظام الديكارتيإحداثيات.

تقسم طائرات الإسقاط المساحة بأكملها إلى ثمانية ثمانية (في الشكل 1 يشار إليها بالأرقام الرومانية). تعتبر طائرات الإسقاط معتمة ، والمشاهد موجود دائمًا أناالأوكتان.

إسقاط متعامد مع مراكز الإسقاط S1, S2و S3على التوالي لطائرات الإسقاط الأفقية والأمامية والملف الجانبي.

لكن.

من مراكز العرض S1, S2و S3إسقاط الحزم يخرج ل 1, ل 2و ل 3 لكن

- أ 1 لكن;

- أ 2- الإسقاط الأمامي للنقطة لكن;

- أ 3- إسقاط الملف الشخصي لنقطة لكن.

نقطة في الفضاء تتميز بإحداثياتها أ(س ، ص ، ض). نقاط فأس, أ ذو من الألف إلى الياءعلى التوالي على المحاور 0X, 0 صو 0Zإظهار الإحداثيات س ، صو ضنقاط لكن. على التين. 1 يعطي كل التعيينات الضرورية ويوضح العلاقة بين النقطة لكنالفضاء وإسقاطاته وإحداثياته.

مخطط نقطة

لرسم نقطة لكن(الشكل 2) ، في جهاز الإسقاط (الشكل 1) الطائرة π 1 أ 1 0X π 2. ثم الطائرة π 3مع نقطة الإسقاط أ 3، قم بالتدوير عكس اتجاه عقارب الساعة حول المحور 0Z، حتى يتزامن مع المستوى π 2. اتجاه دوران الطائرات π 2و π 3هو مبين في الشكل. 1 سهام. في نفس الوقت ، مباشر أ 1 أ سو أ 2 أ س 0Xعمودي أ 1 أ 2، وخطوط مستقيمة أ 2 أ سو أ 3 أ سستكون موجودة بشكل مشترك مع المحور 0Zعمودي أ 2 أ 3. ستتم الإشارة إلى هذه الأسطر باسم عمودي و عرضي خطوط الاتصال.

وتجدر الإشارة إلى أنه أثناء الانتقال من جهاز الإسقاط إلى الرسم التخطيطي ، يختفي الكائن المسقط ، ولكن كل المعلومات حول شكله ، أبعاد هندسيةويتم الحفاظ على مكانه في الفضاء.

لكن(س أ ، ص أ ، ض أس أ ، ص أو ض أفي التسلسل التالي (الشكل 2). يسمى هذا التسلسل بتقنية رسم النقاط.

1. يتم رسم المحاور بشكل متعامد OX ، OYو أوقية.

2. على المحور ثور x أنقاط لكنواحصل على موضع النقطة فأس.

3. من خلال النقطة فأسعمودي على المحور ثور

فأسفي اتجاه المحور OYتم تأجيل القيمة العددية للإحداثيات ذ أنقاط لكن أ 1على المؤامرة.

فأسفي اتجاه المحور أوقيةتم تأجيل القيمة العددية للإحداثيات ض أنقاط لكن أ 2على المؤامرة.

6. من خلال النقطة أ 2بالتوازي مع المحور ثوريتم رسم خط أفقي. تقاطع هذا الخط مع المحور أوقيةسيعطي موقع النقطة أ ض.

7. على خط أفقي من النقطة أ ضفي اتجاه المحور OYتم تأجيل القيمة العددية للإحداثيات ذ أنقاط لكنويتم تحديد موضع إسقاط الملف الشخصي للنقطة أ 3على المؤامرة.

خاصية النقطة

تنقسم جميع نقاط الفضاء إلى نقاط من المواقف الخاصة والعامة.

نقاط الموقف الخاص. تسمى النقاط التي تنتمي إلى جهاز الإسقاط نقاط موضع معين. وتشمل هذه النقاط التي تنتمي إلى مستويات الإسقاط والمحاور والأصل ومراكز الإسقاط. السمات المميزة لنقاط الوظيفة الخاصة هي:

Metamathematical - قيمة واحدة أو اثنتين أو كل القيم العددية للإحداثيات تساوي الصفر و (أو) اللانهاية ؛

في الرسم التخطيطي - يوجد اثنان أو كل إسقاطات النقطة على المحاور و (أو) تقع عند اللانهاية.

نقاط الموقف العام. تشمل النقاط الموجودة في الوضع العام النقاط التي لا تنتمي إلى جهاز الإسقاط. على سبيل المثال ، نقطة لكنفي التين. 1 و 2.

في الحالة العامةتحدد القيم العددية لإحداثيات نقطة ما المسافة التي تفصلها عن مستوى الإسقاط: الإحداثي Xمن الطائرة π 3؛ تنسيق ذمن الطائرة π 2؛ تنسيق ضمن الطائرة π 1. وتجدر الإشارة إلى أن العلامات الموجودة على القيم العددية للإحداثيات تشير إلى اتجاه إزالة النقطة من مستويات الإسقاط. اعتمادًا على مجموعة علامات القيم العددية لإحداثيات النقطة ، يعتمد ذلك على أي من الأوكتان يقع.

طريقة صورتين

في الممارسة العملية ، بالإضافة إلى طريقة الإسقاط الكامل ، يتم استخدام طريقة الصورتين. وهو يختلف في أن الإسقاط الثالث للكائن مستبعد في هذه الطريقة. للحصول على جهاز إسقاط لطريقة الصورتين ، يتم استبعاد مستوى إسقاط المظهر الجانبي مع مركز الإسقاط الخاص به من جهاز الإسقاط الكامل (الشكل 3). بالإضافة إلى ذلك ، على المحور 0Xيتم تعيين الأصل (نقطة 0 ) ومنه عموديًا على المحور 0Xفي طائرات الإسقاط π 1و π 2إنفاق المحور 0 صو 0Zعلى التوالى.

في هذا الجهاز ، يتم تقسيم المساحة بأكملها إلى أربعة أرباع. على التين. 3 تم تمييزها بالأرقام الرومانية.

تعتبر طائرات الإسقاط معتمة ، والمشاهد موجود دائمًا أناالربع ال.

ضع في اعتبارك تشغيل الجهاز باستخدام مثال إسقاط نقطة لكن.

من مراكز العرض S1و S2إسقاط الحزم يخرج ل 1و ل 2. هذه الأشعة تمر عبر النقطة لكنوتتقاطع مع مستويات الإسقاط تشكل توقعاتها:

- أ 1- الإسقاط الأفقي لنقطة لكن;

- أ 2- الإسقاط الأمامي للنقطة لكن.

لرسم نقطة لكن(الشكل 4) ، في جهاز الإسقاط (الشكل 3) الطائرة π 1مع إسقاط النقطة الناتج أ 1استدارة في اتجاه عقارب الساعة حول محور 0X، حتى يتزامن مع المستوى π 2. اتجاه دوران الطائرة π 1هو مبين في الشكل. 3 سهام. في الوقت نفسه ، تبقى نقطة واحدة فقط على الرسم التخطيطي للنقطة التي تم الحصول عليها بطريقة الصورتين. عموديخط الاتصال أ 1 أ 2.

في الممارسة العملية ، بالتآمر على نقطة لكن(س أ ، ص أ ، ض أ) وفقًا للقيم العددية لإحداثياتها س أ ، ص أو ض أفي التسلسل التالي (الشكل 4).

1. يتم رسم محور ثورويتم تعيين الأصل (نقطة 0 ).

2. على المحور ثورتم تأجيل القيمة العددية للإحداثيات x أنقاط لكنواحصل على موضع النقطة فأس.

3. من خلال النقطة فأسعمودي على المحور ثوريتم رسم خط عمودي.

4. على الخط العمودي من النقطة فأسفي اتجاه المحور OYتم تأجيل القيمة العددية للإحداثيات ذ أنقاط لكنويتم تحديد موضع الإسقاط الأفقي للنقطة أ 1 OYلم يتم رسمها ، ولكن من المفترض أن تكون كذلك القيم الإيجابيةتقع أسفل المحور ثور، بينما السلبية أعلى.

5. على الخط العمودي من النقطة فأسفي اتجاه المحور أوقيةتم تأجيل القيمة العددية للإحداثيات ض أنقاط لكنويتم تحديد موضع الإسقاط الأمامي للنقطة أ 2على المؤامرة. وتجدر الإشارة إلى أن المحور في الرسم التخطيطي أوقيةلم يتم رسمها ، ولكن من المفترض أن تكون قيمها الموجبة أعلى المحور ثور، بينما السلبية أقل.

النقاط المتنافسة

تسمى النقاط الموجودة على نفس شعاع الإسقاط بالنقاط المتنافسة. لديهم إسقاط مشترك في اتجاه شعاع الإسقاط ، أي تتطابق توقعاتهم بشكل متماثل. السمة المميزةالنقاط المتنافسة على الرسم البياني هي نفس المصادفة لإسقاطاتها التي تحمل الاسم نفسه. تكمن المنافسة في رؤية هذه التوقعات بالنسبة للمراقب. بعبارة أخرى ، في الفضاء بالنسبة للمراقب ، تكون إحدى النقطتين مرئية ، والأخرى غير مرئية. وبالتالي ، في الرسم: أحد إسقاطات النقاط المتنافسة مرئي ، وإسقاط النقطة الأخرى غير مرئي.

في نموذج الإسقاط المكاني (الشكل 5) من نقطتين متنافستين لكنو فينقطة مرئية لكنعلى أساسين متكاملين بشكل متبادل. حسب السلسلة S 1 → A → Bنقطة لكنأقرب إلى المراقب من نقطة في. وبالتالي ، بعيدًا عن مستوى الإسقاط π 1(أولئك. ض أ > ض أ).

أرز. 5 الشكل 6

إذا كانت النقطة نفسها مرئية أ، ثم يكون إسقاطه مرئيًا أيضًا أ 1. فيما يتعلق بالإسقاط الذي يتزامن معه ب 1. من أجل الوضوح ، وإذا لزم الأمر ، على الرسم التخطيطي ، عادة ما يتم وضع الإسقاطات غير المرئية للنقاط بين قوسين.

قم بإزالة النقاط الموجودة على النموذج لكنو في. ستبقى توقعاتهم المتزامنة على متن الطائرة π 1وتوقعات منفصلة - على π 2. نترك بشكل مشروط الإسقاط الأمامي للمراقب (⇩) ، الموجود في وسط الإسقاط S1. ثم على طول سلسلة الصور ⇩ → أ 2 → B2سيكون من الممكن الحكم على ذلك ض أ > zBوأن النقطة نفسها مرئية لكنوإسقاطه أ 1.

وبالمثل ، ضع في اعتبارك النقاط المتنافسة منو دعلى ما يبدو نسبة إلى المستوى π 2. منذ الشعاع الإسقاط المشترك لهذه النقاط ل 2بالتوازي مع المحور 0 ص، ثم علامة رؤية النقاط المتنافسة منو ديتم تحديده من خلال عدم المساواة yC> ياردة. لذلك ، فإن النقطة دمغلق بنقطة منوبالتالي ، إسقاط النقطة د 2سيتم تغطيتها بإسقاط النقطة من 2على السطح π 2.

دعونا نفكر في كيفية تحديد رؤية النقاط المتنافسة في رسم معقد (الشكل 6).

وفقًا للتوقعات المطابقة أ 1≡في 1النقاط نفسها لكنو فيعلى نفس شعاع الإسقاط الموازي للمحور 0Z. لذلك يجب مقارنة الإحداثيات ض أو zBهذه النقاط. للقيام بذلك ، نستخدم مستوى الإسقاط الأمامي مع صور نقطية منفصلة. في هذه القضية ض أ > zB. ويترتب على ذلك أن الإسقاط مرئي أ 1.

نقاط جو دفي الرسم المعقد قيد النظر (الشكل 6) توجد أيضًا على نفس حزمة الإسقاط ، ولكنها موازية فقط للمحور 0 ص. لذلك ، من المقارنة yC> ياردةنستنتج أن الإسقاط C 2 مرئي.

قاعدة عامة . يتم تحديد الرؤية الخاصة بإسقاطات متطابقة للنقاط المتنافسة من خلال مقارنة إحداثيات هذه النقاط في اتجاه حزمة إسقاط مشتركة. المرئي هو إسقاط النقطة التي يكون فيها هذا الإحداثي أكبر. في هذه الحالة ، تتم مقارنة الإحداثيات على مستوى الإسقاطات مع صور منفصلة للنقاط.

من المستحيل دراسة خصائص الأشكال في الفضاء وعلى المستوى دون معرفة المسافات بين نقطة والأجسام الهندسية مثل الخط المستقيم والمستوى. في هذه المقالة ، سوف نوضح كيفية إيجاد هذه المسافات من خلال النظر في إسقاط نقطة على مستوى وعلى خط.

معادلة خط مستقيم للمساحات ثنائية وثلاثية الأبعاد

يتم حساب مسافات نقطة إلى خط مستقيم ومستوى باستخدام إسقاطه على هذه الكائنات. لتكون قادرًا على إيجاد هذه الإسقاطات ، يجب على المرء أن يعرف في أي شكل تُعطى معادلات الخطوط والمستويات. لنبدأ بالأول.

الخط المستقيم عبارة عن مجموعة من النقاط ، يمكن الحصول على كل منها من النقطة السابقة عن طريق التحويل إلى نواقل موازية لبعضها البعض. على سبيل المثال ، هناك نقطتان M و N. المتجه MN¯ يربط بينهما خرائط M إلى N. هناك أيضًا نقطة ثالثة P. إذا كان المتجه MP¯ أو NP¯ موازيًا لـ MN¯ ، فإن جميع النقاط الثلاث تقع عليها نفس الخط وشكله.

اعتمادًا على بُعد المساحة ، يمكن للمعادلة التي تحدد الخط المستقيم تغيير شكلها. نعم ، الجميع يعلم الاعتماد الخطيتصف إحداثيات y من x في الفضاء المستوى الذي يوازي المحور z الثالث. في هذا الصدد ، في هذه المقالة سننظر فقط في معادلة المتجه لخط مستقيم. لديها نفس المظهرللطائرة و مساحات ثلاثية الأبعادأ.

في الفضاء ، يمكن تحديد خط مستقيم التعبير التالي:

(س ؛ ص ؛ ض) = (س 0 ؛ ص 0 ؛ ض 0) + α * (أ ؛ ب ؛ ج)

هنا ، تتوافق قيم الإحداثيات مع مؤشرات الصفر مع نقطة ما تنتمي إلى الخط ، u¯ (أ ؛ ب ؛ ج) هي إحداثيات متجه الاتجاه الذي يقع على الخط المحدد ، α هو تعسفي عدد حقيقي، يمكنك تغيير الذي يمكنك الحصول على جميع نقاط الخط. هذه المعادلة تسمى المتجه.

غالبًا ما تتم كتابة المعادلة أعلاه في شكل موسع:

وبالمثل ، يمكنك كتابة معادلة لخط مستقيم في مستوى ، أي في مساحة ثنائية الأبعاد:

(س ؛ ص) = (س 0 ؛ ص 0) + α * (أ ؛ ب) ؛

معادلة الطائرة

لتتمكن من إيجاد المسافة من نقطة إلى مستويات الإسقاط ، تحتاج إلى معرفة كيفية تحديد مستوى. تمامًا مثل الخط المستقيم ، يمكن تمثيله بعدة طرق. هنا نعتبر واحدًا فقط: المعادلة العامة.

افترض أن النقطة M (x 0 ؛ y 0 ؛ z 0) تنتمي إلى المستوى ، والمتجه n¯ (A ؛ B ؛ C) عمودي عليها ، ثم بالنسبة لجميع النقاط (x ؛ y ؛ z) من الطائرة ستكون المساواة صالحة:

A * x + B * y + C * z + D = 0 حيث D = -1 * (A * x 0 + B * y 0 + C * z 0)

يجب أن نتذكر أنه في هذه المعادلة العامة للمستوى ، المعاملات A و B و C هي إحداثيات المتجه العادي للمستوى.

حساب المسافات بالإحداثيات

قبل الشروع في النظر في الإسقاطات على مستوى نقطة وعلى خط مستقيم ، يجب أن نتذكر كيف ينبغي حساب المسافة بين نقطتين معروفتين.

يجب أن يكون هناك نقطتان مكانيتان:

أ 1 (× 1 ؛ ص 1 ؛ ض 1) وأ 2 (× 2 ؛ ص 2 ؛ ض 2)

ثم يتم حساب المسافة بينهما بواسطة الصيغة:

أ 1 أ 2 \ u003d √ ((س 2-س 1) 2 + (ص 2-ص 1) 2 + (ض 2-ع 1) 2)

باستخدام هذا التعبير ، يتم تحديد طول المتجه 1 2 ¯ أيضًا.

بالنسبة للحالة على المستوى ، عندما يتم إعطاء نقطتين من خلال زوج من الإحداثيات فقط ، يمكننا كتابة مساواة مماثلة دون وجود مصطلح مع z فيه:

أ 1 أ 2 \ u003d √ ((س 2-س 1) 2 + (ص 2-ص 1) 2)

الآن ننظر في حالات مختلفة من الإسقاط على مستوى نقطة على خط مستقيم وعلى مستوى في الفضاء.

النقطة والخط والمسافة بينهما

افترض أن هناك نقطة وخط:

ف 2 (× 1 ؛ ص 1) ؛

(س ؛ ص) = (س 0 ؛ ص 0) + α * (أ ؛ ب)

تتطابق المسافة بين هذه الأجسام الهندسية مع طول المتجه ، حيث تقع بدايته عند النقطة P 2 ، وتقع نهايته عند النقطة P على الخط المحدد ، حيث يكون المتجه P 2 P ¯ متعامدًا. لهذا الخط. تسمى النقطة P إسقاط النقطة P 2 على الخط قيد الدراسة.

يوضح الشكل أدناه النقطة P 2 ، ومسافتها d إلى الخط المستقيم ، بالإضافة إلى متجه الدليل v 1 ¯. أيضا على الخط المحدد نقطة تعسفية P 1 ومنه إلى P 2 يتم رسم متجه. النقطة P هنا تتطابق مع المكان الذي يتقاطع فيه الخط العمودي مع الخط.

يمكن ملاحظة أن السهمين البرتقالي والحمراء يشكلان متوازي أضلاع ، ضلعه المتجهان P 1 P 2 ¯ و v 1 ¯ ، والارتفاع d. من المعروف من علم الهندسة أنه لإيجاد ارتفاع متوازي الأضلاع ، يجب تقسيم مساحته على طول القاعدة ، حيث يتم إنزال العمود العمودي. نظرًا لأن مساحة متوازي الأضلاع تُحسب على أنها حاصل الضرب المتجه لأضلاعه ، نحصل على صيغة حساب د:

د = || / | v 1 ¯ |

جميع المتجهات وإحداثيات النقاط في هذا التعبير معروفة ، لذا يمكنك استخدامها دون إجراء أي تحويلات.

كان من الممكن حل هذه المشكلة بشكل مختلف. لهذا ، يجب كتابة معادلتين:

• يجب أن يكون الناتج القياسي لـ P 2 P ¯ و v 1 مساويًا للصفر ، لأن هذين المتجهين متعامدين بشكل متبادل ؛
• يجب أن تحقق إحداثيات النقطة P معادلة الخط المستقيم.

تكفي هذه المعادلات لإيجاد الإحداثيات P ثم الطول d باستخدام الصيغة الواردة في الفقرة السابقة.

إيجاد المسافة بين خط ونقطة

دعنا نوضح لك كيفية استخدام البيانات المعلومات النظريةلحل مشكلة معينة. افترض أن النقطة والخط التاليين معروفان:

(س ؛ ص) = (3 ؛ 1) - α * (0 ؛ 2)

من الضروري إيجاد نقاط الإسقاط على الخط الموجود على المستوى وكذلك المسافة من M إلى الخط.

دلالة على الإسقاط الذي يمكن إيجاده بالنقطة M 1 (x 1 ؛ y 1). نقوم بحل هذه المشكلة بطريقتين موصوفين في الفقرة السابقة.

الطريقة 1. متجه الاتجاه v 1 إحداثيات (0 ؛ 2). لإنشاء متوازي أضلاع ، نختار بعض النقاط التي تنتمي إلى الخط. على سبيل المثال ، نقطة ذات إحداثيات (3 ؛ 1). ثم سيكون لمتجه الجانب الثاني من متوازي الأضلاع إحداثيات:

(5; -3) - (3; 1) = (2; -4)

الآن يجب أن تحسب حاصل ضرب المتجهات التي تحدد جوانب متوازي الأضلاع:

نعوض بهذه القيمة في الصيغة ، نحصل على المسافة d من M إلى الخط المستقيم:

الطريقة الثانية: لنجد الآن بطريقة أخرى ليس فقط المسافة ، ولكن أيضًا إحداثيات إسقاط M على الخط المستقيم ، كما هو مطلوب في حالة المشكلة. كما ذكر أعلاه ، لحل المشكلة ، من الضروري تكوين نظام معادلات. سوف يأخذ النموذج:

(س 1-5) * 0 + (ص 1 +3) * 2 = 0 ؛

(× 1 ؛ ص 1) = (3 ؛ 1) -α * (0 ؛ 2)

لنحل هذا النظام:

إسقاط النقطة الأصلية للإحداثيات له M 1 (3 ؛ -3). ثم المسافة المطلوبة هي:

د = | مم 1 ¯ | = √ (4 + 0) = 2

كما ترى ، أعطت كلتا طريقتين الحل نفس النتيجة ، مما يشير إلى صحة ما تم تنفيذه عمليات رياضية.

إسقاط نقطة على مستو

فكر الآن في ما هو إسقاط نقطة في الفضاء على مستوى معين. من السهل تخمين أن هذا الإسقاط هو أيضًا نقطة تشكل ، مع الإسقاط الأصلي ، متجهًا عموديًا على المستوى.

افترض أن الإسقاط على مستوى النقطة M له الإحداثيات التالية:

يتم وصف الطائرة نفسها بالمعادلة:

أ * س + ب * ص + ج * ض + د = 0

بناءً على هذه البيانات ، يمكننا صياغة معادلة خط مستقيم يتقاطع مع المستوى بزاوية قائمة ويمر عبر M و M 1:

(س ؛ ص ؛ ض) = (س 0 ؛ ص 0 ؛ ع 0) + α * (أ ؛ ب ؛ ج)

هنا ، المتغيرات ذات المؤشرات الصفرية هي إحداثيات النقطة M. يمكن حساب الموضع على مستوى النقطة M 1 بناءً على حقيقة أن إحداثياتها يجب أن تفي بكلتا المعادلتين المكتوبتين. إذا لم تكن هذه المعادلات كافية عند حل المشكلة ، فيمكن استخدام حالة التوازي لـ MM 1 والمتجه التوجيهي لمستوى معين.

من الواضح أن إسقاط نقطة تنتمي إلى المستوى يتطابق مع نفسه ، والمسافة المقابلة هي صفر.

مشكلة في النقطة والطائرة

دع النقطة M (1 ؛ -1 ؛ 3) والمستوى الموصوف في ما يلي معادلة عامة:

يجب عليك حساب إحداثيات الإسقاط على مستوى النقطة وحساب المسافة بين هذه الكائنات الهندسية.

بادئ ذي بدء ، نبني معادلة خط مستقيم يمر عبر M وعمودي على المستوى المحدد. يبدو مثل:

(س ؛ ص ؛ ض) = (1 ؛ -1 ؛ 3) + α * (- 1 ؛ 3 ؛ -2)

دعنا نشير إلى النقطة التي يتقاطع فيها هذا الخط مع المستوى ، M 1. يجب تحقيق المساواة في المستوى والخط المستقيم إذا تم استبدال الإحداثيات M 1 بهما. عند كتابة معادلة الخط المستقيم بشكل صريح ، نحصل على المساواة الأربع التالية:

X 1 + 3 * y1-2 * z 1 + 4 = 0 ؛

ص 1 \ u003d -1 + 3 * α ؛

من المساواة الأخيرة نحصل على المعلمة α ، ثم نستبدلها في التعبير قبل الأخير وفي التعبير الثاني ، نحصل على:

ص 1 \ u003d -1 + 3 * (3-z 1) / 2 \ u003d -3 / 2 * z 1 + 3.5 ؛

× 1 \ u003d 1 - (3-z 1) / 2 \ u003d 1/2 * z 1 - 1/2

نعوض بالتعبير عن y 1 و x 1 في معادلة المستوى ، لدينا:

1 * (1/2 * z 1 - 1/2) + 3 * (- 3/2 * z 1 + 3.5) -2 * z 1 + 4 = 0

من أين نحصل:

ص 1 \ u003d -3 / 2 * 15/7 + 3.5 \ u003d 2/7 ؛

× 1 = 1/2 * 15/7 - 1/2 = 4/7

لقد قررنا أن إسقاط النقطة م على طائرة معينةيتوافق مع الإحداثيات (4/7 ؛ 2/7 ؛ 15/7).

الآن لنحسب المسافة | MM 1 ¯ |. إحداثيات المتجه المقابل هي:

مم 1 ¯ (-3/7 ؛ 9/7 ؛ -6 / 7)

المسافة المطلوبة هي:

د = | مم 1 ¯ | = √126 / 7 ≈ 1.6

ثلاث نقاط إسقاط

أثناء إعداد الرسومات ، غالبًا ما يكون من الضروري الحصول على إسقاطات للأقسام على مستويات ثلاثة متعامدة بشكل متبادل. لذلك ، من المفيد النظر في إسقاطات بعض النقاط M ذات الإحداثيات (x 0 ؛ y 0 ؛ z 0) على ثلاثة تنسيق الطائرات.

ليس من الصعب إظهار أن المستوى xy موصوف بالمعادلة z = 0 ، والمستوى xz يتوافق مع التعبير y = 0 ، والمستوى yz المتبقي يُرمز إليه بـ x = 0. ومن السهل تخمين أن الإسقاطات لنقطة على 3 مستويات ستكون متساوية:

بالنسبة إلى x = 0: (0 ؛ y 0 ؛ z 0) ؛

بالنسبة إلى y = 0: (x 0 ؛ 0 ؛ z 0) ؛

لـ z = 0: (x 0؛ y 0؛ 0)

أين من المهم معرفة إسقاطات نقطة ما ومسافاتها إلى الطائرات؟

يعد تحديد موضع إسقاط النقاط على مستوى معين أمرًا مهمًا عند إيجاد كميات مثل مساحة السطح والحجم لـ مناشير مائلةوالأهرامات. على سبيل المثال ، المسافة من قمة الهرم إلى مستوى القاعدة هي الارتفاع. يتم تضمين الأخير في صيغة حجم هذا الرقم.

إن الصيغ والأساليب المدروسة لتحديد الإسقاطات والمسافات من نقطة إلى خط مستقيم ومستوى بسيطة للغاية. من المهم فقط أن تتذكر الأشكال المقابلةمعادلات المستوى والخط المستقيم ولديها أيضًا خير الخيال المكانيلتطبيقها بنجاح.

إن إسقاط نقطة على مستو هو حالة خاصة المهمة الشائعةإيجاد إسقاط نقطة على سطح. نظرًا لبساطة حساب إسقاط نقطة على مستوى مستو مماس للسطح ، يتم استخدامه كتقريب صفري في حل المشكلة العامة.

ضع في اعتبارك مشكلة إسقاط نقطة على مستوى معطى بواسطة متجه نصف القطر

سنفترض أن المتجهات ليست على علاقة خطية واحدة. افترض أنه في الحالة العامة ، لا تكون المتجهات متعامدة ولها طول غير وحدة. يمر المستوى عبر النقطة التي تكون فيها المعلمات مساوية للصفر ، وتحدد المتجهات الاتجاهات البارامترية. النقطة المحددة لها إسقاط فريد على المستوى (4.6.1). لنقم ببناء وحدة عادية بالنسبة للمستوى

أرز. 4.6.1. إسقاط نقطة على المستوى s (u ، v)

دعونا نحسب متجه نصف القطر لإسقاط النقطة على المستوى على أنه الفرق بين متجه نصف القطر للنقطة المسقطة ومكون المتجه الموازي للخط العمودي للمستوى ،

(4.6.4)

على التين. يوضح الشكل 4.6.1 متجهات المستوى ونقطة البداية والإسقاط نقطة معينة.

معلمات وأطوال الإسقاطات مرتبطة بالمعادلات

حيث يتم تحديد جيب تمام الزاوية بين المتجهات بواسطة الصيغة (1.7.13).

من نظام هذه المعادلات ، نجد معلمات إسقاط نقطة على مستو

(4.6.6)

أين معاملات العامل الرئيسي الأول شكل تربيعيالطائرات (1.7.8) ، والتي هي أيضًا مكونات متغيرة من موتر السطح المتري ، هي مكونات متناقضة لموتّر السطح المتري. إذا كانت المتجهات متعامدة ، فإن الصيغتين (4.6.6) و (4.6.7) تأخذ الشكل

تُحسب المسافة من نقطة إلى إسقاطها على مستوى بشكل عام على أنها طول المتجه. يمكن تحديد المسافة من نقطة إلى إسقاطها على مستوى بدون حساب إسقاط النقطة ، ولكن عن طريق حساب إسقاط المتجه على المستوى العادي على المستوى

(4.6.8)

حالات خاصة.

يمكن العثور على إسقاطات نقطة على بعض الأسطح التحليلية دون تدخل الطرق العددية. على سبيل المثال ، للعثور على إسقاط نقطة على سطح أسطوانة دائرية أو مخروط أو كرة أو طارة ، تحتاج إلى ترجمة النقطة المسقطة إلى النظام المحليإحداثيات السطح ، حيث يسهل العثور على معلمات الإسقاط. وبالمثل ، يمكن العثور على نتوءات على أسطح البثق والدوران. في بعض الحالات الخاصة ، يمكن العثور بسهولة على مواقع النقطة المسقطة لإسقاطها على الأسطح الأخرى أيضًا.

الحالة العامة.

ضع في اعتبارك مشكلة إسقاط نقطة على سطح ما في الحالة العامة. دعه مطلوبًا للعثور على جميع إسقاطات نقطة على السطح. كل النقطة المطلوبةالسطح يفي بنظام المعادلتين

يحتوي نظام المعادلات (4.6.9) على كميتين غير معروفين - المعلمات u و v. يتم حل هذه المشكلة بنفس طريقة حل مشكلة إيجاد إسقاطات نقطة معينة على المنحنى.

في المرحلة الأولى ، نحدد التقديرات الصفرية لمعلمات السطح لإسقاطات النقطة ، وفي المرحلة الثانية ، نجد القيم الدقيقة للمعلمات التي تحدد إسقاطات النقطة المحددة على السطح

دعنا ننتقل إلى السطح بخطوات محسوبة بالصيغتين (4.2.4) و (4.2.5) الموصوفين أعلاه عن طريق التحرك على طول المنطقة البارامترية. دعنا نشير إلى معلمات النقاط التي سنمر من خلالها. في كل نقطة ، سنحسب المنتجات العددية للمتجهات

(4.6.10)

إذا كان الحل المطلوب يقع بالقرب من نقطة بها معلمات ، فسنحصل عليها علامات مختلفة، وكذلك سيكون لها علامات مختلفة. تغيير العلامات المنتجات العدديةيشير إلى أن الحل المطلوب قريب. للتقريب الصفري للمعلمات ، نأخذ القيم بدءًا من التقريب الصفري للمعلمات ، إحدى طرق الحل المعادلات غير الخطيةإيجاد حل للمشكلة بدقة معينة. على سبيل المثال ، في طريقة نيوتن ، عند التكرار ، يمكن العثور على زيادات معلمات الإسقاط من نظام المعادلات الخطية

أين هي المشتقات الجزئية لمتجه نصف القطر بالنسبة للمعلمات. التقريب التاليمعلمات إسقاط النقطة تساوي. ستكتمل عملية تنقيح المعلمات عندما يتم استيفاء عدم المساواة في التكرار التالي ، حيث يكون الخطأ المحدد. بنفس الطريقة ، نجد جميع الجذور الأخرى لنظام المعادلات (4.6.9).

إذا كنت بحاجة إلى العثور فقط على أقرب إسقاط لنقطة معينة على السطح ، فيمكنك المرور عبر نفس النقاط لكائن هندسي وتحديد أقرب نقطة إلى نقطة معينة. يجب اختيار معلمات أقرب نقطة على أنها تقريب صفري لحل المشكلة.

إسقاط نقطة على سطح في اتجاه معين.

في بعض الحالات ، تنشأ المشكلة في تحديد إسقاط نقطة على سطح ليس على طول الاتجاه الطبيعي لها ، ولكن على طول اتجاه معين. دع اتجاه الإسقاط يُعطى بواسطة متجه طول الوحدة q. دعونا نبني خطا مستقيما

(4.6.12)

يمر عبر نقطة معينة وله اتجاه ناقلات معينة. إسقاطات نقطة على سطح في اتجاه معيننحدد كنقاط تقاطع السطح مع الخط (4.6.12) الذي يمر عبر نقطة معينة في الاتجاه المحدد.

إسقاط نقطة على خطتي إسقاط

يمكن تمثيل تشكيل قطعة خط مستقيم AA 1 كنتيجة لتحريك النقطة A في أي مستوى H (الشكل 84 ، أ) ، ويمكن تمثيل تشكيل المستوى على أنه إزاحة لقطعة خط مستقيم AB ( الشكل 84 ب).

نقطة - رئيسي عنصر هندسيالخطوط والأسطح ، لذلك تبدأ دراسة الإسقاط المستطيل للجسم ببناء إسقاطات مستطيلة لنقطة.

في الفضاء زاوية زوجية، يتكون من مستويين متعامدين - المستوى الأمامي (الرأسي) للإسقاطات V والمستوى الأفقي للإسقاطات H ، نضع النقطة A (الشكل 85 ، أ).

خط تقاطع مستويات الإسقاط هو خط مستقيم يسمى محور الإسقاط ويشار إليه بالحرف x.

يظهر المستوى V هنا كمستطيل والمستوى H كمتوازي أضلاع. عادةً ما يُرسم الجانب المائل من متوازي الأضلاع بزاوية 45 درجة إلى جانبه الأفقي. يؤخذ طول الضلع المائل بمقدار 0.5 من طوله الفعلي.

من النقطة A ، يتم إنزال الخطوط العمودية على المستويين V و H. النقاط a "و a من تقاطع الخطوط العمودية مع مستويات الإسقاط V و H هي إسقاطات مستطيلةالنقاط A. الشكل Aaa x a "في الفضاء هو مستطيل. يتم تقليل الضلع aa من هذا المستطيل في الصورة المرئية بمقدار مرتين.

دعونا نحاذاة المستوى H مع المستوى V عن طريق تدوير V حول خط تقاطع المستويات x. والنتيجة هي رسم معقد للنقطة أ (الشكل 85 ، ب).

لتبسيط الرسم المعقد ، لا تتم الإشارة إلى حدود مستويات الإسقاط V و H (الشكل 85 ، ج).

تسمى الخطوط العمودية المرسومة من النقطة أ إلى مستويات الإسقاط خطوط الإسقاط ، وتسمى قواعد خطوط الإسقاط هذه - النقاط أ و "إسقاطات النقطة أ:" هي الإسقاط الأمامي للنقطة أ ، وهي الإسقاط الأفقي النقطة أ.

الخط أ "يسمى الخط العمودي لاتصال الإسقاط.

يعتمد موقع إسقاط نقطة على رسم معقد على موضع هذه النقطة في الفضاء.

إذا كانت النقطة A تقع على مستوى الإسقاط الأفقي H (الشكل 86 ، أ) ، فإن إسقاطها الأفقي يتطابق مع النقطة المعينة ، والإسقاط الأمامي أ "يقع على المحور. عندما تقع النقطة ب على الإسقاط الأمامي المستوى V ، يتطابق الإسقاط الأمامي مع هذه النقطة ، ويقع الإسقاط الأفقي على المحور x. الإسقاط الأماميتتطابق النقطة C الموجودة على المحور x مع هذه النقطة. يظهر رسم معقد للنقاط A و B و C في الشكل. 86 ب.

إسقاط نقطة على ثلاث مستويات من الإسقاطات

في الحالات التي يكون فيها من المستحيل تخيل شكل كائن من إسقاطين ، يتم إسقاطه على ثلاث مستويات إسقاط. في هذه الحالة ، يتم تقديم مستوى ملف التعريف للإسقاطات W ، عمودي على الطائرات V و H. يرد تمثيل مرئي لنظام من ثلاث مستويات إسقاط في الشكل. 87 أ.

تسمى حواف الزاوية ثلاثية الأضلاع (تقاطع مستويات الإسقاط) محاور الإسقاط ويُشار إليها بالرموز x و y و z. يُطلق على تقاطع محاور الإسقاط بداية محاور الإسقاط ويُشار إليه بالحرف O. دعنا نسقط العمود العمودي من النقطة A إلى مستوى الإسقاط W ، ونضع علامة على قاعدة العمود العمودي بالحرف a ، احصل على إسقاط الملف الشخصيالنقاط أ.

للحصول على رسم معقد ، تتم محاذاة النقاط A للطائرات H و W مع المستوى V ، مع تدويرها حول محوري Ox و Oz. يظهر رسم معقد للنقطة أ في الشكل. 87 ب و ج.

تسمى أجزاء خطوط الإسقاط من النقطة A إلى مستويات الإسقاط إحداثيات النقطة A ويشار إليها بـ: x A و y A و z A.

على سبيل المثال ، الإحداثي z A للنقطة A ، يساوي المقطع a "a x (الشكل 88 ، a و b) ، هو المسافة من النقطة A إلى مستوى الإسقاط الأفقي H. الإحداثي عند النقطة A ، يساوي القطعة aa x هي المسافة من النقطة A إلى المستوى الأمامي للإسقاطات V. إحداثي x A الذي يساوي المقطع aa y هو المسافة من النقطة A إلى مستوى المظهر الجانبي للإسقاطات W.

وبالتالي ، فإن المسافة بين إسقاط نقطة ومحور الإسقاط تحدد إحداثيات النقطة وهي المفتاح لقراءة رسمها المعقد. من خلال إسقاطين لنقطة ، يمكن تحديد جميع الإحداثيات الثلاثة لنقطة ما.

إذا تم تقديم إحداثيات النقطة A (على سبيل المثال ، x A \ u003d 20 مم ، y A \ u003d 22 مم و z A \ u003d 25 مم) ، فيمكن بناء ثلاثة إسقاطات لهذه النقطة.

للقيام بذلك ، من أصل الإحداثيات O في اتجاه محور Oz ، تم وضع الإحداثيات z A ووضع الإحداثي y A أسفل. الأجزاء التي تساوي إحداثي x A. النقاط الناتجة أ "و a - أمامي و الإسقاط الأفقيالنقاط أ.

وفقًا لإسقاطين أ "ونقطة أ ، يمكن إنشاء إسقاط ملفه الشخصي بثلاث طرق:

1) من الأصل O ، يتم رسم قوس إضافي بنصف قطر Oa y يساوي الإحداثي (الشكل 87 ، ب ، ج) ، من النقطة التي تم الحصول عليها ، ارسم خطًا مستقيمًا موازٍ لمحور أوز ، ثم ضع الجزء يساوي ض أ ؛

2) من النقطة a y ، يتم رسم خط مستقيم إضافي بزاوية 45 درجة إلى المحور Oy (الشكل 88 ، أ) ، يتم الحصول على النقطة a y1 ، وما إلى ذلك ؛

3) من الأصل O ، ارسم خطًا مستقيمًا مساعدًا بزاوية 45 درجة إلى المحور Oy (الشكل 88 ، ب) ، واحصل على النقطة a y1 ، إلخ.