أوجد التوزيع الطبيعي لمتغير عشوائي. التوزيع الطبيعي للمتغيرات العشوائية المستمرة

القانون العادي للتوزيع الاحتمالي

بدون مبالغة ، يمكن أن يطلق عليه قانون فلسفي. عند مراقبة الأشياء والعمليات المختلفة للعالم من حولنا ، غالبًا ما نواجه حقيقة أن شيئًا ما لا يكفي ، وأن هناك قاعدة:

هنا نظرة أساسية وظائف الكثافةالتوزيع الاحتمالي العادي ، وأنا أرحب بكم في هذا الدرس الأكثر إثارة للاهتمام.

ما هي الأمثلة التي يمكن أن تعطى؟ هم مجرد ظلام. هذا ، على سبيل المثال ، هو الطول والوزن للأشخاص (وليس فقط) ، والقوة البدنية والقدرات العقلية ، وما إلى ذلك. هناك "كتلة" (بطريقة أو بأخرى)وهناك انحرافات في كلا الاتجاهين.

هذه خصائص مختلفة للأشياء غير الحية (نفس الأبعاد والوزن). هذه مدة عشوائية من العمليات ، على سبيل المثال ، وقت سباق مائة متر أو تحول الراتنج إلى كهرمان. من الفيزياء ، تتبادر إلى الذهن جزيئات الهواء: من بينها جزيئات بطيئة ، وهناك جزيئات سريعة ، لكن معظمها يتحرك بسرعات "قياسية".

بعد ذلك ، ننحرف عن المركز بانحراف معياري آخر ونحسب الارتفاع:

وضع علامات على الرسم (اللون الاخضر)ونرى أن هذا يكفي تمامًا.

في المرحلة النهائية ، نرسم رسمًا بيانيًا بعناية ، و بعناية خاصةتعكسها التحدب / التقعر! حسنًا ، ربما أدركت منذ وقت طويل أن محور الإحداثي هو كذلك خط مقارب أفقي، ومن المستحيل تمامًا "التسلق" لذلك!

من خلال التصميم الإلكتروني للحل ، من السهل إنشاء الرسم البياني في Excel ، وبشكل غير متوقع بالنسبة لي ، حتى أنني سجلت مقطع فيديو قصيرًا حول هذا الموضوع. لكن أولاً ، لنتحدث عن كيفية تغير شكل المنحنى الطبيعي اعتمادًا على قيم و.

عند زيادة أو نقصان "a" (مع "سيجما" غير متغيرة)الرسم البياني يحتفظ بشكله و يتحرك يمينًا / يسارًاعلى التوالى. لذلك ، على سبيل المثال ، عندما تأخذ الدالة الشكل والرسم البياني "يتحرك" 3 وحدات إلى اليسار - بالضبط إلى الأصل:

حصلت الكمية الموزعة بشكل طبيعي مع توقع رياضي صفري على اسم طبيعي تمامًا - تتمحور؛ وظيفة الكثافة – حتى، والرسم البياني متماثل حول المحور ص.

في حالة حدوث تغيير في "سيجما" (مع ثابت "أ")، الرسم البياني "لا يزال في مكانه" ، ولكن يتغير شكله. عندما يتضخم ، يصبح منخفضًا وممدودًا ، مثل الأخطبوط الذي يمد مجساته. والعكس صحيح عند إنقاص الرسم البياني يصبح أضيق وأطول- اتضح "فاجأ الأخطبوط". نعم ، في تخفيض"سيجما" مرتين: يضيق المخطط السابق ويمتد مرتين:

كل شيء في توافق تام مع التحولات الهندسية للرسوم البيانية.

يسمى التوزيع الطبيعي بقيمة الوحدة "سيجما" تطبيع، وإذا كان كذلك تتمحور(حالتنا) ، ثم يسمى هذا التوزيع اساسي. لديها وظيفة كثافة أبسط ، والتي تمت مواجهتها بالفعل في نظرية لابلاس المحلية: . لقد وجد التوزيع القياسي تطبيقًا واسعًا في الممارسة ، وسرعان ما سنفهم أخيرًا الغرض منه.

لنشاهد الآن فيلمًا:

نعم ، صحيح تمامًا - لقد بقينا في الظل إلى حد ما بشكل غير مستحق دالة توزيع الاحتمالات. نحن نتذكرها تعريف:
- احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي قيمة أقل من المتغير ، والذي "يدير" جميع القيم الحقيقية إلى ما لا نهاية "زائد".

داخل التكامل ، عادةً ما يتم استخدام حرف مختلف بحيث لا توجد "تراكبات" مع الترميز ، لأنه يتم تعيين كل قيمة هنا تكامل غير لائق ، وهو ما يساوي البعض رقممن الفاصل الزمني.

لا يمكن حساب جميع القيم تقريبًا بدقة ، ولكن كما رأينا للتو ، مع قوة الحوسبة الحديثة ، هذا ليس بالأمر الصعب. لذلك ، بالنسبة للوظيفة في التوزيع القياسي ، تحتوي وظيفة Excel المقابلة عمومًا على وسيطة واحدة:

= NORMSDIST (ض)

واحد ، اثنان - وقد انتهيت:

يظهر الرسم بوضوح تنفيذ كل شيء خصائص دالة التوزيع، ومن الفروق التقنية هنا يجب الانتباه إليها الخطوط المقاربة الأفقيةونقطة انعطاف.

الآن دعنا نتذكر إحدى المهام الرئيسية للموضوع ، وهي معرفة كيفية إيجاد - احتمالية وجود متغير عشوائي عادي سيأخذ قيمة من الفاصل الزمني. هندسيًا ، هذا الاحتمال يساوي منطقةبين المنحنى الطبيعي والمحور السيني في القسم المقابل:

ولكن في كل مرة قم بطحن قيمة تقريبية غير معقول ، وبالتالي فهو أكثر عقلانية للاستخدام صيغة "سهلة":
.

! يتذكر أيضا ، ماذا او ما

هنا يمكنك استخدام Excel مرة أخرى ، ولكن هناك بعض "لكن" المهمة: أولاً ، ليس دائمًا في متناول اليد ، وثانيًا ، القيم "الجاهزة" ، على الأرجح ، ستثير أسئلة من المعلم. لماذا ا؟

لقد تحدثت عن هذا مرارًا وتكرارًا من قبل: في وقت ما (وليس منذ فترة طويلة جدًا) كانت الآلة الحاسبة العادية ترفًا ، ولا تزال الطريقة "اليدوية" لحل المشكلة قيد الدراسة محفوظة في الأدبيات التعليمية. جوهرها هو توحيدقيم "ألفا" و "بيتا" ، أي تقليل الحل للتوزيع القياسي:

ملحوظة : الوظيفة سهلة الحصول عليها من الحالة العامةباستخدام خطي بدائل. ثم و:

ومن الاستبدال يتبع الصيغة فقط الانتقال من قيم التوزيع التعسفي إلى القيم المقابلة للتوزيع القياسي.

لماذا هذا مطلوب؟ الحقيقة هي أن القيم تم حسابها بدقة من قبل أسلافنا وتم تلخيصها في جدول خاص ، وهو موجود في العديد من الكتب على terver. لكن الأكثر شيوعًا هو جدول القيم ، الذي تعاملنا معه بالفعل نظرية لابلاس التكاملية:

إذا كان لدينا تحت تصرفنا جدول قيم دالة لابلاس ثم نحلها من خلالها:

يتم تقريب القيم الكسرية تقليديًا إلى 4 منازل عشرية ، كما هو الحال في الجدول القياسي. وللسيطرة البند 5 نسق.

أذكرك بذلك ولتجنب الالتباس كن دائما تحت السيطرة، جدول ماذا تعمل أمام عينيك.

إجابهمطلوب إعطاؤه كنسبة مئوية ، لذلك يجب ضرب الاحتمالية المحسوبة في 100 وتقديم النتيجة بتعليق ذي مغزى:

- مع رحلة من 5 إلى 70 مترًا ، سيسقط ما يقرب من 15.87٪ من القذائف

نحن نتدرب بمفردنا:

مثال 3

قطر المحامل المصنعة في المصنع عبارة عن متغير عشوائي يتم توزيعه بشكل طبيعي مع توقع 1.5 سم وانحراف معياري 0.04 سم ، أوجد احتمال أن حجم المحمل العشوائي يتراوح من 1.4 إلى 1.6 سم.

في نموذج الحل وأدناه ، سأستخدم وظيفة لابلاس كخيار أكثر شيوعًا. بالمناسبة ، لاحظ أنه وفقًا للصياغة ، يمكنك هنا تضمين نهايات الفاصل الزمني في الاعتبار. ومع ذلك ، هذا ليس حرجا.

وفي هذا المثال بالفعل ، قابلنا حالة خاصة - عندما يكون الفاصل الزمني متماثلًا بالنسبة للتوقع الرياضي. في مثل هذه الحالة ، يمكن كتابتها بالشكل وباستخدام غرابة دالة لابلاس ، قم بتبسيط صيغة العمل:

يتم استدعاء معلمة دلتا انحرافمن التوقع الرياضي ، ويمكن "تحزيم" المتباينة المزدوجة باستخدام وحدة:

هو احتمال أن تنحرف قيمة المتغير العشوائي عن التوقع الرياضي بمقدار أقل من.

حسنًا ، الحل المناسب في سطر واحد :)
هو احتمال أن يختلف قطر المحمل المأخوذ عشوائياً عن 1.5 سم بما لا يزيد عن 0.1 سم.

تبين أن نتيجة هذه المهمة قريبة من الوحدة ، لكني أرغب في مزيد من الموثوقية - أي معرفة الحدود التي يكون فيها القطر الجميع تقريبارمان. هل هناك أي معيار لهذا؟ موجود! السؤال يجيب عليه ما يسمى ب

ثلاثة حكم سيجما

جوهرها هو أن موثوقة عمليا هي حقيقة أن المتغير العشوائي الموزع بشكل طبيعي سيأخذ قيمة من الفاصل الزمني .

في الواقع ، فإن احتمال الانحراف عن التوقع أقل من:
أو 99.73٪

من حيث "المحامل" - هذه 9973 قطعة بقطر 1.38 إلى 1.62 سم و 27 نسخة "دون المستوى" فقط.

في البحث العملي ، عادة ما يتم تطبيق قاعدة "الثلاث سيجما" في الاتجاه المعاكس: إذا احصائياوجدت أن جميع القيم تقريبًا متغير عشوائي قيد الدراسةتتناسب مع فترة 6 انحرافات معيارية ، إذن هناك أسباب وجيهة للاعتقاد بأن هذه القيمة موزعة وفقًا للقانون العادي. يتم التحقق باستخدام النظرية الفرضيات الإحصائية.

نواصل حل المهام السوفييتية الصعبة:

مثال 4

يتم توزيع القيمة العشوائية لخطأ الوزن وفقًا للقانون العادي مع عدم توقع رياضي وانحراف معياري قدره 3 جرام. أوجد احتمال تنفيذ الوزن التالي بخطأ لا يتجاوز 5 جرامات في القيمة المطلقة.

المحلولبسيط جدا. حسب الحالة ، ونلاحظ على الفور أنه عند الوزن التالي (شيء أو شخص ما)سنحصل على النتيجة بنسبة 100٪ تقريبًا بدقة 9 جرام. لكن في المشكلة يوجد انحراف أضيق وبحسب الصيغة :

- احتمالية تنفيذ الوزن التالي بخطأ لا يتجاوز 5 جرامات.

إجابه:

تختلف المشكلة التي تم حلها اختلافًا جوهريًا عن المشكلة التي تبدو مشابهة. مثال 3درس حول توزيع موحد. كان هناك خطأ التقريبنتائج القياس ، نحن هنا نتحدث عن الخطأ العشوائي للقياسات نفسها. تنشأ مثل هذه الأخطاء بسبب الخصائص التقنية للجهاز نفسه. (يشار إلى نطاق الأخطاء المسموح بها ، كقاعدة عامة ، في جواز سفره)، وأيضًا من خلال خطأ المجرب - عندما نأخذ ، على سبيل المثال ، "بالعين" قراءات من سهم من نفس المقاييس.

من بين أمور أخرى ، هناك أيضا ما يسمى منهجيأخطاء القياس. إنه بالفعل غير عشوائيالأخطاء التي تحدث بسبب الإعداد أو التشغيل غير الصحيح للجهاز. لذلك ، على سبيل المثال ، يمكن أن "تضيف" الموازين الأرضية غير المعدلة باستمرار كيلوغرامًا ، والبائع يقلل بشكل منهجي من وزن المشترين. أو ليس بشكل منهجي لأنه يمكنك الاختصار. ومع ذلك ، في أي حال ، لن يكون هذا الخطأ عشوائيًا ، وتوقعه يختلف عن الصفر.

... أقوم بتطوير دورة تدريبية في المبيعات بشكل عاجل =)

لنحل المشكلة بأنفسنا:

مثال 5

قطر الأسطوانة هو متغير عشوائي يتم توزيعه بشكل عشوائي ، وانحرافه المعياري هو mm. أوجد طول الفترة المتناظرة بالنسبة للتوقع الرياضي ، حيث سينخفض طول قطر الخرزة مع الاحتمال.

البند 5 * تخطيط تصميمللمساعدة. يرجى ملاحظة أن التوقع الرياضي غير معروف هنا ، لكن هذا لا يتعارض على الأقل مع حل المشكلة.

ومهمة الاختبار ، التي أوصي بشدة بدمج المادة:

مثال 6

يتم إعطاء المتغير العشوائي الموزع بشكل طبيعي من خلال معلماته (التوقع الرياضي) و (الانحراف المعياري). مطلوب:

أ) قم بتدوين كثافة الاحتمالية ورسم مخططها البياني بشكل تخطيطي ؛
ب) أوجد احتمال أن تأخذ قيمة من الفترة ;
ج) إيجاد احتمال أن لا ينحرف المعامل عن أكثر من ؛
د) بتطبيق قاعدة "الثلاث سيجما" ، أوجد قيم المتغير العشوائي.

يتم تقديم مثل هذه المشكلات في كل مكان ، وعلى مدار سنوات الممارسة تمكنت من حل المئات والمئات منها. تأكد من ممارسة الرسم اليدوي واستخدام جداول البيانات الورقية ؛)

حسنًا ، سأقوم بتحليل مثال على زيادة التعقيد:

مثال 7

كثافة التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي لها الشكل . البحث ، التوقع الرياضي ، التباين ، دالة التوزيع ، كثافة المؤامرة ودالات التوزيع ، البحث.

المحلول: أولاً ، دعنا ننتبه إلى أن الشرط لا يذكر شيئًا عن طبيعة المتغير العشوائي. لا يعني وجود العارض بحد ذاته شيئًا: فقد يكون ، على سبيل المثال ، إيضاحيأو بشكل عام تعسفي التوزيع المستمر. وبالتالي ، لا تزال "الحالة الطبيعية" للتوزيع بحاجة إلى إثبات:

منذ الوظيفة مصمم في أيالقيمة الحقيقية ، ويمكن اختزالها إلى الشكل ، ثم يتم توزيع المتغير العشوائي وفقًا للقانون العادي.

نقدم. لهذا حدد مربعًا كاملاًوتنظيم جزء من ثلاثة طوابق:

تأكد من إجراء فحص ، وإعادة المؤشر إلى شكله الأصلي:

وهو ما أردنا رؤيته.

في هذا الطريق:
- على حكم القوة"معسر قبالة". وهنا يمكنك تدوين الخصائص العددية الواضحة على الفور:

لنجد الآن قيمة المعلمة. نظرًا لأن مضاعف التوزيع العادي له الشكل ، ثم:
، والتي نعبر عنها ونستبدلها في وظيفتنا:
، وبعد ذلك سنراجع السجل بأعيننا مرة أخرى ونتأكد من أن الوظيفة الناتجة لها الشكل .

دعنا نرسم الكثافة:

ومؤامرة دالة التوزيع :

إذا لم يكن هناك برنامج Excel وحتى آلة حاسبة عادية في متناول اليد ، فسيتم إنشاء المخطط الأخير يدويًا بسهولة! عند هذه النقطة ، تأخذ دالة التوزيع القيمة وها هو

تعريف. طبيعييسمى التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي مستمر ، والذي يتم وصفه بواسطة كثافة الاحتمال

التوزيع الطبيعي يسمى أيضا قانون جاوس.

يعتبر قانون التوزيع الطبيعي مركزيًا لنظرية الاحتمالية. هذا يرجع إلى حقيقة أن هذا القانون يتجلى في جميع الحالات عندما يكون المتغير العشوائي نتيجة لعمل عدد كبير من العوامل المختلفة. جميع قوانين التوزيع الأخرى تقترب من القانون العادي.

يمكن أن تظهر بسهولة أن المعلمات و ، المدرجة في كثافة التوزيع ، على التوالي ، التوقع الرياضي والانحراف المعياري للمتغير العشوائي X.

لنجد دالة التوزيع F(x) .

يسمى مخطط كثافة التوزيع الطبيعي منحنى عاديأو منحنى جاوس.

يحتوي المنحنى الطبيعي على الخصائص التالية:

1) يتم تحديد الوظيفة على محور الرقم بأكمله.

2) للجميع Xتأخذ دالة التوزيع القيم الموجبة فقط.

3) محور OX هو الخط المقارب الأفقي للرسم البياني لكثافة الاحتمال ، منذ ذلك الحين مع زيادة غير محدودة في القيمة المطلقة للوسيطة X، قيمة الدالة تميل إلى الصفر.

4) أوجد الحد الأقصى للدالة.

لان في ذ’ > 0 في x < مو ذ’ < 0 في x > م، ثم في هذه النقطة س = ردالة لها حد أقصى يساوي
.

5) الوظيفة متناظرة بالنسبة إلى الخط المستقيم س = أ، لان فرق

(س - أ) يدخل دالة كثافة التوزيع التربيعية.

6) لإيجاد نقاط انعطاف الرسم البياني ، نجد المشتق الثاني لدالة الكثافة.

في x = م+  و x = م-  المشتق الثاني يساوي صفرًا ، وعند المرور عبر هذه النقاط تتغير علامته ، أي عند هذه النقاط يكون للوظيفة انعطاف.

في هذه النقاط ، تكون قيمة الوظيفة
.

لنقم ببناء رسم بياني لدالة كثافة التوزيع (الشكل 5).

تم إنشاء الرسوم البيانية لـ ر= 0 وثلاث قيم محتملة للانحراف المعياري  = 1 ، = 2 و  = 7. كما ترى ، كلما زادت قيمة الانحراف المعياري ، يصبح الرسم البياني أكثر انبساطًا ، وتنخفض القيمة القصوى.

اذا كان أ> 0 ، ثم الرسم البياني سوف يتحول في الاتجاه الإيجابي إذا أ < 0 – в отрицательном.

في أ= 0 و  = 1 يسمى المنحنى تطبيع. معادلة منحنى طبيعي:

وظيفة لابلاس

أوجد احتمال وقوع متغير عشوائي موزع وفقًا للقانون العادي في فترة زمنية معينة.

دل

لان متكامل
لا يتم التعبير عنها من حيث الوظائف الأولية ، ثم الوظيفة

من اتصل وظيفة لابلاسأو احتمال لا يتجزأ.

قيم هذه الوظيفة لقيم مختلفة Xمحسوبة ومقدمة في جداول خاصة.

على التين. يوضح الشكل 6 رسمًا بيانيًا لوظيفة لابلاس.

وظيفة لابلاس لها الخصائص التالية:

1) ف (0) = 0;

2) F (-x) = - و (خ) ؛

3) F( ) = 1.

تسمى وظيفة لابلاس أيضًا وظيفة الخطأوالدلالة erf x.

لا يزال قيد الاستخدام تطبيعدالة لابلاس المرتبطة بوظيفة لابلاس بالعلاقة:

على التين. يُظهر الرقم 7 مخططًا لوظيفة لابلاس الطبيعية.

ص ثلاثة حكم سيجما

عند النظر في التوزيع الطبيعي ، يتم تمييز حالة خاصة مهمة ، تُعرف باسم ثلاثة حكم سيجما.

دعنا نكتب احتمال أن يكون انحراف متغير عشوائي يتم توزيعه بشكل طبيعي عن التوقع الرياضي أقل من قيمة معينة :

إذا قبلنا  = 3 ، فإننا نحصل على استخدام جداول قيم دالة لابلاس:

أولئك. احتمال انحراف متغير عشوائي عن توقعه الرياضي بمقدار أكبر من ثلاثة أضعاف الانحراف المعياري يساوي صفرًا عمليًا.

هذه القاعدة تسمى ثلاثة حكم سيجما.

من الناحية العملية ، يعتبر أنه إذا تم استيفاء قاعدة ثلاث سيجما لأي متغير عشوائي ، فإن هذا المتغير العشوائي له توزيع طبيعي.

خاتمة المحاضرة:

درسنا في المحاضرة قوانين توزيع الكميات المستمرة ، وتحضيرًا للمحاضرة التالية والتمارين العملية ، يجب أن تكمل ملاحظات المحاضرة بشكل مستقل بدراسة متعمقة للأدبيات الموصى بها وحل المشكلات المقترحة.

نظرية موجزة

عادي هو التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي مستمر ، تكون كثافته على شكل:

أين هو التوقع الرياضي ، هو الانحراف المعياري.

احتمال أن تأخذ قيمة تنتمي إلى الفترة الزمنية:

أين وظيفة لابلاس:

احتمال أن تكون القيمة المطلقة للانحراف أقل من رقم موجب:

على وجه الخصوص ، بالنسبة إلى المساواة التالية:

عند حل المشكلات التي تطرحها الممارسة ، يتعين على المرء أن يتعامل مع توزيعات مختلفة من المتغيرات العشوائية المستمرة.

بالإضافة إلى التوزيع الطبيعي ، فإن قوانين التوزيع الرئيسية للمتغيرات العشوائية المستمرة هي:

مثال على حل المشكلة

الجزء مصنوع على الجهاز. طوله متغير عشوائي يوزع وفقًا للقانون العادي مع المعلمات. أوجد احتمال أن يكون طول الجزء بين 22 و 24.2 سم ، ويمكن ضمان انحراف طول الجزء عن مع احتمال 0.92 ؛ 0.98؟ ضمن أي حدود ، متناظرة فيما يتعلق ، ستقع عمليًا جميع أبعاد الأجزاء؟

انضم إلى مجموعة VK.

المحلول:

احتمال أن يكون المتغير العشوائي الموزع وفقًا للقانون العادي في الفترة الزمنية:

نحن نحصل:

احتمالية انحراف متغير عشوائي ، الموزع وفقًا للقانون العادي ، عن المتوسط بما لا يزيد عن:

حسب الشرط

إذا كنت لا تحتاج إلى مساعدة الآن ، ولكن قد تحتاج إليها في المستقبل ، فلكي لا تفقد الاتصال ،

ستكون هناك أيضًا مهام لحل مستقل ، يمكنك رؤية الإجابات عليها.

التوزيع الطبيعي: الأسس النظرية

من أمثلة المتغيرات العشوائية الموزعة وفقًا للقانون العادي ارتفاع الشخص ، كتلة السمكة المصطادة من نفس النوع. التوزيع الطبيعي يعني ما يلي : هناك قيم الطول البشري ، وكتلة الأسماك من نفس النوع ، والتي يُنظر إليها على مستوى حدسي على أنها "طبيعية" (وفي الواقع - متوسط) ، وهي أكثر شيوعًا في نطاق كبير بدرجة كافية عينة من تلك التي تختلف لأعلى أو لأسفل.

يمكن تسمية التوزيع الاحتمالي العادي لمتغير عشوائي مستمر (أحيانًا التوزيع الغوسي) على شكل جرس نظرًا لحقيقة أن دالة الكثافة لهذا التوزيع ، والتي تكون متماثلة حول المتوسط ، تشبه إلى حد بعيد قطع الجرس ( منحنى أحمر في الشكل أعلاه).

إن احتمال تلبية قيم معينة في العينة يساوي مساحة الشكل تحت المنحنى ، وفي حالة التوزيع الطبيعي ، نرى ذلك تحت الجزء العلوي من "الجرس" ، والذي يتوافق بالنسبة للقيم التي تميل إلى المتوسط ، فإن المساحة ، وبالتالي الاحتمال ، أكبر من أسفل الحواف. وهكذا ، نحصل على نفس الشيء الذي قيل بالفعل: احتمال مقابلة شخص ذي ارتفاع "طبيعي" ، أو اصطياد سمكة ذات وزن "طبيعي" أعلى من احتمال لقاء القيم التي تختلف صعودًا أو هبوطًا. في كثير من حالات الممارسة ، يتم توزيع أخطاء القياس وفقًا لقانون قريب من المعتاد.

دعنا نتوقف مرة أخرى عند الشكل الموجود في بداية الدرس ، والذي يوضح دالة الكثافة للتوزيع الطبيعي. تم الحصول على الرسم البياني لهذه الوظيفة من خلال حساب بعض عينات البيانات في حزمة البرامج الإحصاء. على ذلك ، تمثل أعمدة المدرج التكراري فترات من قيم العينة التي يكون توزيعها قريبًا (أو ، كما يقولون في الإحصائيات ، لا يختلف اختلافًا كبيرًا عن) إلى الرسم البياني لوظيفة كثافة التوزيع العادي نفسه ، وهو منحنى أحمر. يوضح الرسم البياني أن هذا المنحنى يتخذ شكل الجرس بالفعل.

يعتبر التوزيع الطبيعي ذا قيمة من نواحٍ عديدة لأن معرفة متوسط المتغير العشوائي المستمر والانحراف المعياري فقط ، يمكنك حساب أي احتمال مرتبط بهذا المتغير.

التوزيع الطبيعي له فائدة إضافية تتمثل في كونه واحدًا من أسهل الاستخدامات المعايير الإحصائية المستخدمة لاختبار الفرضيات الإحصائية - اختبار الطالب- يمكن استخدامها فقط في حالة امتثال بيانات العينة لقانون التوزيع العادي.

دالة الكثافة للتوزيع الطبيعي لمتغير عشوائي مستمريمكن العثور عليها باستخدام الصيغة:

أين x- قيمة المتغير - القيمة المتوسطة - - الانحراف المعياري ، ه= 2.71828 ... - قاعدة اللوغاريتم الطبيعي ، = 3.1416 ...

خصائص دالة كثافة التوزيع الطبيعي

التغييرات في المتوسط تحرك منحنى الجرس في اتجاه المحور ثور. إذا زاد ، يتحرك المنحنى إلى اليمين ، وإذا انخفض ، ثم إلى اليسار.

إذا تغير الانحراف المعياري ، يتغير ارتفاع قمة المنحنى. عندما يزيد الانحراف المعياري ، يكون الجزء العلوي من المنحنى أعلى ، وعندما ينخفض ، يكون أقل.

احتمالية أن تقع قيمة المتغير العشوائي الموزع بشكل طبيعي ضمن فترة زمنية معينة

بالفعل في هذه الفقرة ، سنبدأ في حل المشكلات العملية ، والتي يشار إلى معناها في العنوان. دعونا نحلل ما هي الاحتمالات التي توفرها النظرية لحل المشاكل. إن مفهوم البداية لحساب احتمال وقوع متغير عشوائي يتم توزيعه بشكل طبيعي في فترة زمنية معينة هو الوظيفة المتكاملة للتوزيع الطبيعي.

دالة توزيع طبيعية متكاملة:

ومع ذلك ، من الصعب الحصول على جداول لكل مجموعة ممكنة من الانحراف المتوسط والانحراف المعياري. لذلك ، فإن إحدى الطرق البسيطة لحساب احتمال وقوع متغير عشوائي يتم توزيعه بشكل طبيعي في فترة زمنية معينة هي استخدام جداول الاحتمالات لتوزيع عادي معياري.

التوزيع الطبيعي يسمى التوزيع المعياري أو الطبيعي.، الذي قيمته المتوسطة ، والانحراف المعياري.

دالة الكثافة للتوزيع الطبيعي القياسي:

دالة تراكمية للتوزيع العادي القياسي:

يوضح الشكل أدناه الوظيفة المتكاملة للتوزيع العادي القياسي ، والتي تم الحصول على الرسم البياني لها من خلال حساب بعض عينات البيانات في حزمة البرامج الإحصاء. الرسم البياني نفسه عبارة عن منحنى أحمر ، وقيم العينة تقترب منه.

لتكبير الصورة يمكنك النقر عليها بزر الفأرة الأيسر.

يعني توحيد متغير عشوائي الانتقال من الوحدات الأصلية المستخدمة في المهمة إلى الوحدات القياسية. يتم إجراء التوحيد وفقًا للصيغة

من الناحية العملية ، غالبًا ما تكون جميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي غير معروفة ، لذلك لا يمكن تحديد قيم المتوسط والانحراف المعياري بدقة. يتم استبدالها بالمتوسط الحسابي للملاحظات والانحراف المعياري س. قيمة ضيعبر عن انحرافات قيم متغير عشوائي عن المتوسط الحسابي عند قياس الانحرافات المعيارية.

الفاصل الزمني المفتوح

يحتوي جدول الاحتمالية للتوزيع العادي القياسي ، والمتوفر في أي كتاب تقريبًا عن الإحصائيات ، على احتمالات وجود متغير عشوائي له توزيع عادي قياسي ضيأخذ على قيمة أقل من رقم معين ض. أي أنه سيقع في الفترة المفتوحة من سالب ما لا نهاية إلى ض. على سبيل المثال ، احتمال أن تكون القيمة ضأقل من 1.5 يساوي 0.93319.

مثال 1تقوم الشركة بتصنيع الأجزاء التي يتم توزيعها بشكل طبيعي بمتوسط 1000 وانحراف معياري يبلغ 200 ساعة.

بالنسبة للجزء المختار عشوائيًا ، احسب احتمال أن تكون مدة خدمته 900 ساعة على الأقل.

المحلول. دعنا نقدم الترميز الأول:

الاحتمال المطلوب.

قيم المتغير العشوائي موجودة في الفاصل الزمني المفتوح. ولكن يمكننا حساب احتمال أن يأخذ متغير عشوائي قيمة أقل من قيمة معينة ، ووفقًا لظروف المشكلة ، يلزم إيجاد قيمة مساوية أو أكبر من قيمة معينة. هذا هو الجزء الآخر من الفضاء تحت منحنى الجرس. لذلك ، من أجل العثور على الاحتمال المطلوب ، من الضروري طرح الاحتمال المذكور من أحد الاحتمالات المذكورة أن المتغير العشوائي سيأخذ قيمة أقل من 900 المحدد:

الآن يحتاج المتغير العشوائي إلى أن يكون معياريًا.

نواصل تقديم التدوين:

ض = (X ≤ 900) ;

x= 900 - قيمة معطاة لمتغير عشوائي ؛

μ = 1000 - متوسط القيمة ؛

σ = 200 - الانحراف المعياري.

بناءً على هذه البيانات نحصل على شروط المشكلة:

وفقًا لجداول متغير عشوائي معياري (حدود الفاصل) ض= −0.5 يتوافق مع الاحتمال 0.30854. اطرحها من الوحدة واحصل على المطلوب في حالة المشكلة:

لذا ، فإن احتمال أن يكون عمر الجزء 900 ساعة على الأقل هو 69٪.

يمكن الحصول على هذا الاحتمال باستخدام دالة MS Excel NORM.DIST (قيمة القيمة التكاملية هي 1):

ص(X≥900) = 1 - ص(X≤900) = 1 - NORM.DIST (900 ؛ 1000 ؛ 200 ؛ 1) = 1 - 0.3085 = 0.6915.

حول العمليات الحسابية في MS Excel - في إحدى الفقرات اللاحقة من هذا الدرس.

مثال 2في بعض المدن ، يكون متوسط دخل الأسرة السنوي متغيرًا عشوائيًا يتم توزيعه عادةً بمتوسط قيمة 300000 وانحراف معياري قدره 50000. ومن المعروف أن دخل 40٪ من العائلات أقل من القيمة أ. ابحث عن قيمة أ.

المحلول. في هذه المشكلة ، 40٪ ليس أكثر من احتمال أن يأخذ متغير عشوائي قيمة من فاصل مفتوح أقل من قيمة معينة ، يشار إليها بالحرف أ.

للعثور على القيمة أ، نؤلف أولاً دالة متكاملة:

حسب المهمة

μ = 300000 - متوسط القيمة ؛

σ = 50000 - الانحراف المعياري ؛

x = أهي القيمة التي يمكن العثور عليها.

صنع المساواة

وفقًا للجداول الإحصائية ، نجد أن احتمال 0.40 يتوافق مع قيمة حد الفترة ض = −0,25 .

لذلك ، نحن نصنع المساواة

وابحث عن حلها:

أ = 287300 .

الجواب: دخل 40٪ من الأسر أقل من 287300.

فاصل مغلق

في العديد من المشكلات ، من الضروري إيجاد احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي الموزع عادةً قيمة في الفاصل الزمني ض 1 ل ض 2. أي أنه سيقع في الفترة المغلقة. لحل مثل هذه المشاكل ، من الضروري أن نجد في الجدول الاحتمالات المقابلة لحدود الفترة ، ثم إيجاد الفرق بين هذه الاحتمالات. يتطلب هذا طرح القيمة الأصغر من القيمة الأكبر. فيما يلي أمثلة لحل هذه المشكلات الشائعة ، ومن المقترح حلها بنفسك ، ومن ثم يمكنك رؤية الحلول والإجابات الصحيحة.

مثال 3ربح المشروع لفترة معينة هو متغير عشوائي يخضع لقانون التوزيع العادي بمتوسط قيمة 0.5 مليون cu. وانحراف معياري 0.354. حدد ، بدقة من منزلتين عشريتين ، احتمال أن يكون ربح المؤسسة من 0.4 إلى 0.6 c.u.

مثال 4طول الجزء المصنع هو متغير عشوائي يتم توزيعه وفقًا للقانون العادي مع المعلمات μ = 10 و σ = 0.071. أوجد ، بدقة منزلتين عشريتين ، احتمال الزواج إذا كانت الأبعاد المسموح بها للجزء يجب أن تكون 10 ± 0.05.

تلميح: في هذه المشكلة ، بالإضافة إلى إيجاد احتمال وقوع متغير عشوائي في فترة مغلقة (احتمال الحصول على جزء غير معيب) ، يلزم اتخاذ إجراء آخر.

يسمح لك بتحديد احتمالية أن تكون القيمة المعيارية ضليس أقل -zولا اكثر + ض، أين ض- قيمة تم اختيارها عشوائياً لمتغير عشوائي معياري.

طريقة تقريبية للتحقق من طبيعية التوزيع

تعتمد الطريقة التقريبية للتحقق من الحالة الطبيعية لتوزيع قيم العينة على ما يلي خاصية التوزيع الطبيعي: الانحراف β 1 ومعامل التفرطح β 2 صفر.

معامل عدم التماثل β 1 يميز عدديًا تناظر التوزيع التجريبي فيما يتعلق بالمتوسط. إذا كان الانحراف يساوي صفرًا ، فإن المتوسط الحسابي والوسيط والوضع متساويان: ويكون منحنى كثافة التوزيع متماثلًا حول المتوسط. إذا كان معامل عدم التناسق أقل من الصفر (β 1 < 0 ) ، ثم المتوسط الحسابي أقل من الوسيط ، والوسيط ، بدوره ، أقل من الوضع () و انحرف المنحنى إلى اليمين (مقارنة بالتوزيع الطبيعي). إذا كان معامل عدم التناسق أكبر من الصفر (β 1 > 0 ) ، فإن المتوسط الحسابي أكبر من الوسيط ، والوسيط ، بدوره ، أكبر من الوضع () و انحرف المنحنى إلى اليسار (مقارنة بالتوزيع الطبيعي).

معامل التفرطح β 2 يميز تركيز التوزيع التجريبي حول الوسط الحسابي في اتجاه المحور أويودرجة ذروة منحنى كثافة التوزيع. إذا كان معامل التفرطح أكبر من الصفر ، فإن المنحنى يكون أكثر استطالة (مقارنة بالتوزيع الطبيعي)على طول المحور أوي(الرسم البياني مدبب أكثر). إذا كان معامل التفرطح أقل من الصفر ، فإن المنحنى يكون أكثر تسطيحًا (مقارنة بالتوزيع الطبيعي)على طول المحور أوي(الرسم البياني أكثر منفرجة).

يمكن حساب معامل الانحراف باستخدام وظيفة MS Excel SKRS. إذا كنت تتحقق من مصفوفة واحدة من البيانات ، فأنت بحاجة إلى إدخال نطاق من البيانات في مربع "رقم" واحد.

يمكن حساب معامل التفرطح باستخدام تفرطح دالة MS Excel. عند فحص مجموعة بيانات واحدة ، يكفي أيضًا إدخال نطاق البيانات في مربع "رقم" واحد.

لذلك ، كما نعلم بالفعل ، مع التوزيع الطبيعي ، فإن معاملات الانحراف والتفرطح تساوي الصفر. ولكن ماذا لو حصلنا على معاملات الانحراف تساوي -0.14 و 0.22 و 0.43 ومعاملات التفرطح تساوي 0.17 و -0.31 و 0.55؟ السؤال عادل تمامًا ، نظرًا لأننا في الممارسة العملية لا نتعامل إلا مع القيم التقريبية والانتقائية لعدم التماثل والتفرطح ، والتي تخضع لبعض التشتت الحتمي الذي لا يمكن السيطرة عليه. لذلك ، من المستحيل اشتراط المساواة الصارمة بين هذه المعاملات إلى الصفر ، يجب أن تكون قريبة بدرجة كافية من الصفر. لكن ماذا يعني كفاية؟

مطلوب مقارنة القيم التجريبية المتلقاة مع القيم المقبولة. للقيام بذلك ، تحتاج إلى التحقق من عدم المساواة التالية (قارن قيم معاملات المعاملات بالقيم الحرجة - حدود منطقة اختبار الفرضيات).

لمعامل عدم التناسق β 1 .

تعريف. طبيعييسمى التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي مستمر ، والذي يتم وصفه بواسطة كثافة الاحتمال