المعادلات المتجانسة المعممة من الدرجة الثانية. معادلة متجانسة معممة

بالنقر فوق الزر "تنزيل الأرشيف" ، ستقوم بتنزيل الملف الذي تريده مجانًا.
قبل تنزيل هذا الملف ، تذكر تلك المقالات الجيدة ، والتحكم ، وأوراق الفصل الدراسي ، والأطروحات ، والمقالات ، والمستندات الأخرى التي لم تتم المطالبة بها على جهاز الكمبيوتر الخاص بك. هذا عملك يجب أن تشارك في تنمية المجتمع وإفادة الناس. ابحث عن هذه الأعمال وأرسلها إلى قاعدة المعرفة.
نحن وجميع الطلاب وطلاب الدراسات العليا والعلماء الشباب الذين يستخدمون قاعدة المعرفة في دراساتهم وعملهم سنكون ممتنين للغاية لك.

لتنزيل أرشيف بمستند ، أدخل رقمًا مكونًا من خمسة أرقام في الحقل أدناه وانقر على الزر "تنزيل الأرشيف"

وثائق مماثلة

مسائل كوشي للمعادلات التفاضلية. رسم بياني لحل المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى. المعادلات ذات المتغيرات القابلة للفصل والاختزال إلى المتجانسة. المعادلات الخطية المتجانسة وغير المتجانسة من الدرجة الأولى. معادلة برنولي.

تمت إضافة محاضرة 18/08/2012

المفاهيم الأساسية لنظرية المعادلات التفاضلية العادية. علامة على معادلة في مجموع الفروق ، بناء التكامل العام. أبسط حالات إيجاد عامل التكامل. حالة المضاعف تعتمد فقط على X وفقط على Y.

ورقة مصطلح ، تمت إضافة 12/24/2014

خصائص المعادلات التفاضلية كعلاقات بين الوظائف ومشتقاتها. إثبات نظرية الوجود وتفرد الحل. أمثلة وخوارزمية لحل المعادلات في مجموع الفروق. عامل التكامل في الأمثلة.

ورقة مصطلح ، تمت إضافة 02/11/2014

معادلات ريكاتي التفاضلية. حل عام لمعادلة خطية. إيجاد كل الحلول الممكنة لمعادلة برنولي التفاضلية. حل المعادلات ذات المتغيرات المنفصلة. الحلول العامة والخاصة لمعادلة كلايروت التفاضلية.

ورقة مصطلح ، تمت الإضافة في 01/26/2015

معادلة ذات متغيرات منفصلة. المعادلات التفاضلية المتجانسة والخطية. الخصائص الهندسية للمنحنيات المتكاملة. مجموع التفاضل لدالة من متغيرين. تحديد التكامل بطرق برنولي واختلافات الثابت التعسفي.

الملخص ، تمت الإضافة في 08/24/2015

مفاهيم وحلول أبسط المعادلات التفاضلية والمعادلات التفاضلية ذات الترتيب التعسفي ، بما في ذلك تلك ذات المعاملات التحليلية الثابتة. نظم المعادلات الخطية. السلوك المقارب للحلول لبعض الأنظمة الخطية.

أطروحة تمت إضافة 06/10/2010

التكامل العام للمعادلة ، تطبيق طريقة لاغرانج لحل معادلة خطية غير متجانسة بدالة غير معروفة. حل معادلة تفاضلية بصيغة بارامترية. شرط أويلر ، معادلة من الدرجة الأولى في الفروق الكلية.

التحكم في العمل ، تمت إضافة 11/02/2011

.
المعادلات التفاضلية.

§ 1. المفاهيم الأساسية للمعادلات التفاضلية العادية.

التعريف 1.المعادلة التفاضلية العادية نالترتيب الثالث للوظيفة ذجدال xيسمى علاقة النموذج

أين Fهي وظيفة معينة في حججها. في اسم هذه الفئة من المعادلات الرياضية ، يؤكد مصطلح "التفاضلية" على أنها تشمل المشتقات
(الوظائف التي تشكلت نتيجة التمايز) ؛ المصطلح - "عادي" يقول أن الوظيفة المرغوبة تعتمد على حجة حقيقية واحدة فقط.

المعادلة التفاضلية العادية قد لا تحتوي صراحة على حجة x, الوظيفة المطلوبة
وأي من مشتقاته ، لكن المشتق الأعلى
يجب تضمينها في المعادلة ن- ترتيب. فمثلا

أ)
هي المعادلة من الدرجة الأولى ؛

ب)
هي معادلة من الدرجة الثالثة.

عند كتابة المعادلات التفاضلية العادية ، غالبًا ما يتم استخدام تدوين المشتقات من خلال التفاضلات:

في)
هي معادلة من الدرجة الثانية ؛

ز)
هي المعادلة من الدرجة الأولى ،

تشكيل بعد القسمة dxشكل مكافئ للمعادلة:
.

وظيفة
يسمى حلاً لمعادلة تفاضلية عادية ، إذا استبدل بها ، تصبح متطابقة.

على سبيل المثال ، معادلة الرتبة الثالثة

لديه حل
.

للعثور بطريقة أو بأخرى ، على سبيل المثال ، التحديد ، وظيفة واحدة ترضي معادلة لا تعني حلها. لحل معادلة تفاضلية عادية يعني إيجاد الجميعالدوال التي تشكل هوية عند استبدالها في المعادلة. بالنسبة للمعادلة (1.1) ، تتشكل عائلة هذه الوظائف بمساعدة الثوابت التعسفية وتسمى الحل العام للمعادلة التفاضلية العادية نالترتيب ، وعدد الثوابت يتطابق مع ترتيب المعادلة: ذ(x) : في هذه الحالة يسمى الحل التكامل العام للمعادلة (1.1).

على سبيل المثال ، الحل العام للمعادلة التفاضلية
هو التعبير التالي: ، ويمكن أيضًا كتابة المصطلح الثاني كـ
، منذ ثابت تعسفي القسمة على 2 يمكن استبدالها بثابت تعسفي جديد .

من خلال تحديد بعض القيم المقبولة لجميع الثوابت التعسفية في الحل العام أو في التكامل العام ، نحصل على وظيفة معينة لم تعد تحتوي على ثوابت اعتباطية. تسمى هذه الوظيفة بحل معين أو تكامل معين للمعادلة (1.1). للعثور على قيم الثوابت التعسفية ، وبالتالي الحل المحدد ، يتم استخدام شروط إضافية مختلفة للمعادلة (1.1). على سبيل المثال ، يمكن إعطاء ما يسمى بالشروط الأولية لـ (1.2)

في الأجزاء الصحيحة من الشروط الأولية (1.2) ، يتم إعطاء القيم العددية للدالة والمشتقات ، والعدد الإجمالي للشروط الأولية يساوي عدد الثوابت التعسفية التي يتم تحديدها.

تسمى مشكلة إيجاد حل معين للمعادلة (1.1) من الشروط الأولية بمشكلة كوشي.

§ 2. المعادلات التفاضلية العادية من الدرجة الأولى - المفاهيم الأساسية.

المعادلة التفاضلية العادية من الدرجة الأولى ( ن= 1) له شكل:
أو ، إذا كان من الممكن حلها فيما يتعلق بالمشتق:
. قرار مشترك ذ= ذ(x،مع)أو التكامل العام
تحتوي المعادلات من الدرجة الأولى على ثابت تعسفي واحد. الشرط الأولي الوحيد لمعادلة الدرجة الأولى
يسمح لك بتحديد قيمة الثابت من الحل العام أو من التكامل العام. وبالتالي ، سيتم العثور على حل معين أو سيتم حل مشكلة كوشي أيضًا. تعد مسألة وجود وتفرد حل لمشكلة كوشي واحدة من القضايا المركزية في النظرية العامة للمعادلات التفاضلية العادية. بالنسبة لمعادلة من الدرجة الأولى ، على وجه الخصوص ، فإن النظرية صحيحة ، والتي يتم قبولها هنا بدون دليل.

نظرية 2.1.إذا كانت الوظيفة في المعادلة
ومشتقها الجزئي
مستمر في بعض المناطق دطائرة XOY، ونقطة معطاة في هذا المجال
، ثم يوجد ، علاوة على ذلك ، حل فريد يلبي كلاً من المعادلة والشرط الأولي
.

الحل العام هندسيًا لمعادلة الرتبة الأولى هو مجموعة منحنيات في المستوى XOY، والتي ليس لها نقاط مشتركة وتختلف عن بعضها البعض في معلمة واحدة - قيمة الثابت ج. تسمى هذه المنحنيات منحنيات متكاملة للمعادلة المحددة. المنحنيات المتكاملة للمعادلة لها خاصية هندسية واضحة: عند كل نقطة ، يكون ظل المنحدر من المماس للمنحنى مساويًا لقيمة الجانب الأيمن من المعادلة عند تلك النقطة:
. بمعنى آخر ، المعادلة معطاة في المستوى XOYمجال اتجاهات الظل لمنحنيات متكاملة. تعليق:وتجدر الإشارة إلى أن المعادلة
يتم إعطاء المعادلة والمعادلة المزعومة في شكل متماثل
.

§ 3. المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى مع المتغيرات القابلة للفصل.

تعريف.المعادلة التفاضلية ذات المتغيرات القابلة للفصل هي معادلة النموذج
(3.1)

أو معادلة بالصيغة (3.2)

من أجل فصل المتغيرات في المعادلة (3.1) ، أي اختزل هذه المعادلة إلى ما يسمى بالمعادلة ذات المتغيرات المنفصلة ، وقم بتنفيذ الإجراءات التالية:

;

الآن علينا حل المعادلة ز(ذ)= 0 . إذا كان لديها حل حقيقي ذ= أ, ومن بعد ذ= أسيكون أيضًا حل المعادلة (3.1).

يتم تقليل المعادلة (3.2) إلى معادلة متغيرة منفصلة عن طريق القسمة على المنتج
:

، والذي يسمح لنا بالحصول على التكامل العام للمعادلة (3.2):
. (3.3)

سيتم استكمال المنحنيات المتكاملة (3.3) بالحلول
إذا وجدت مثل هذه الحلول.

حل المعادلة: .

فصل المتغيرات:

التكامل ، نحصل عليه

أبعد من المعادلات
و
تجد x=1, ذ=-1. هذه القرارات قرارات خاصة.

§ 4. المعادلات التفاضلية المتجانسة من الدرجة الأولى.

التعريف 1.تسمى معادلة الترتيب الأول متجانسة إذا كانت للجانب الأيمن لأي منها
النسبة
، تسمى شرط التجانس لدالة من متغيرين لهما بُعد صفري.

مثال 1أظهر تلك الوظيفة
- قياس الصفر المتجانس.

قرار.

Q.E.D.

نظرية.أي وظيفة
متجانسة ، وعلى العكس من ذلك ، أي وظيفة متجانسة
يتم تقليل البعد الصفري إلى النموذج
.

دليل - إثبات.

التأكيد الأول للنظرية واضح ، منذ ذلك الحين
. دعونا نثبت التأكيد الثاني. هيا نضع
، ثم لوظيفة متجانسة
التي كان من المقرر إثباتها.

التعريف 2.المعادلة (4.1)

حيث مو نهي وظائف متجانسة من نفس الدرجة ، أي تملك الممتلكات للجميع ، يسمى متجانسة.

من الواضح أنه يمكن دائمًا اختزال هذه المعادلة إلى الشكل
(4.2) ، على الرغم من أن هذا قد لا يتم حلها.

يتم اختزال المعادلة المتجانسة إلى معادلة ذات متغيرات قابلة للفصل عن طريق استبدال الوظيفة المطلوبة ذحسب الصيغة ذ= zx, أين ض(x) هي الوظيفة الجديدة المطلوبة. بعد إجراء هذا الاستبدال في المعادلة (4.2) ، نحصل على:
أو
أو
.

بالتكامل ، نحصل على التكامل العام للمعادلة فيما يتعلق بالوظيفة ض(x)
، والتي بعد الاستبدال المتكرر
يعطي التكامل العام للمعادلة الأصلية. بالإضافة إلى ذلك ، إذا - جذور المعادلة
، ثم الوظائف
- حلول معادلة معينة متجانسة. إذا
، ثم تأخذ المعادلة (4.2) الشكل

وتصبح معادلة بمتغيرات منفصلة. حلولها شبه مباشرة:
.

تعليق.يُنصح أحيانًا باستخدام هذا الاستبدال بدلاً من الاستبدال أعلاه x= زي.

§ 5. اختزال المعادلات التفاضلية إلى المعادلات المتجانسة.

ضع في اعتبارك معادلة النموذج
. (5.1)

إذا
، فهذه المعادلة بالتعويض أين و متغيرات جديدة ، و - بعض الأعداد الثابتة المحددة من النظام

اختزلت إلى معادلة متجانسة

إذا
، ثم تأخذ المعادلة (5.1) الشكل

بافتراض ض= فأس+ بواسطة, نصل إلى معادلة لا تحتوي على متغير مستقل.

ضع في اعتبارك الأمثلة.

مثال 1

تكامل المعادلة

وتسليط الضوء على المنحنى المتكامل الذي يمر عبر النقاط: أ) (2 ؛ 2) ؛ ب) (1 ؛ -1).

قرار.

هيا نضع ذ= zx. ثم دى= xdz+ zdxو

دعونا نقصرها وجمع الأعضاء في dxو دز:

دعنا نفصل بين المتغيرات:

.

التكامل ، نحصل ؛

أو
,
.

استبدال هنا ضتشغيل ، نحصل على التكامل العام للمعادلة المعطاة بالصيغة (5.2)
أو

.

هذه العائلة من الدوائر
، التي تقع مراكزها على خط مستقيم ذ = xوالتي تكون في الأصل مماسًا للخط ذ + x = 0. هذا مستقيمذ = - x بدوره ، حل معين للمعادلة.

الآن وضع مهمة كوشي:

أ) افتراض التكامل العام x=2, ذ=2, تجد ج = 2 ،لذا فإن الحل المطلوب هو
.

ب) لا يمر أي من الدوائر (5.2) بالنقطة (1 ؛ -1). لكن نصف الخط ذ = - x,
يمر عبر النقطة ويعطي الحل المطلوب.

مثال 2حل المعادلة: .

قرار.

المعادلة هي حالة خاصة من المعادلة (5.1).

محدد
في هذا المثال
، لذلك نحن بحاجة إلى حل النظام التالي

بالحل ، نحصل على ذلك
. إجراء الاستبدال في المعادلة المعطاة
، نحصل على معادلة متجانسة. دمجها مع الاستبدال
، نجد
.

العودة إلى المتغيرات القديمة xو ذالصيغ
، نملك .

§ 6. معادلة متجانسة معممة.

المعادلة م(x, ذ) dx+ ن(x, ذ) دى=0 يسمى متجانس معمم إذا كان من الممكن اختيار مثل هذا الرقم كأن يصبح الجانب الأيسر من هذه المعادلة دالة متجانسة بدرجة ما منسبياً x, ذ, dxو دىبشرط xتعتبر قيمة القياس الأول ، ذ – كالقياس ال , dxو دى – صفر و (ك-1) القياسات ال. على سبيل المثال ، ستكون هذه هي المعادلة
. (6.1)

صالح في ظل الافتراض الذي تم إجراؤه حول القياسات

x, ذ, dxو دىأعضاء الجانب الأيسر
و دىسيكون لها أبعاد -2 ، 2 على التوالي كو ك-واحد. معادلتها ، نحصل على الشرط الذي يجب أن يفي به الرقم المطلوب ك: -2 = 2ك=ك-واحد. يتم استيفاء هذا الشرط عندما ك= -1 (مع هذا كجميع الشروط على الجانب الأيسر من المعادلة قيد النظر سيكون لها البعد -2). وبالتالي ، فإن المعادلة (6.1) معممة متجانسة.

يتم تقليل المعادلة المتجانسة المعممة إلى معادلة ذات متغيرات قابلة للفصل باستخدام الاستبدال
، أين ضهي وظيفة جديدة غير معروفة. دعونا ندمج المعادلة (6.1) بالطريقة المشار إليها. لان ك= -1 إذن
، وبعد ذلك نحصل على المعادلة.

دمجها نجد
، أين
. هذا هو الحل العام للمعادلة (6.1).

§ 7. المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى.

المعادلة الخطية من الدرجة الأولى هي معادلة خطية فيما يتعلق بالوظيفة المطلوبة ومشتقاتها. يبدو مثل:

, (7.1)

أين ص(x) و س(x) يتم إعطاء وظائف مستمرة من x. إذا كانت الوظيفة
, ثم يكون للمعادلة (7.1) الشكل:
(7.2)

وتسمى معادلة خطية متجانسة ، وإلا
يطلق عليه معادلة خطية غير متجانسة.

المعادلة التفاضلية الخطية المتجانسة (7.2) هي معادلة ذات متغيرات قابلة للفصل:

(7.3)

التعبير (7.3) هو الحل العام للمعادلة (7.2). لإيجاد حل عام للمعادلة (7.1) فيها الدالة ص(x) يشير إلى نفس الوظيفة كما في المعادلة (7.2) ، نطبق طريقة تسمى طريقة تغيير ثابت تعسفي وتتكون مما يلي: سنحاول اختيار الوظيفة ج = ج (x) بحيث يكون الحل العام للمعادلة الخطية المتجانسة (7.2) هو حل المعادلة الخطية غير المتجانسة (7.1). ثم بالنسبة لمشتق الوظيفة (7.3) نحصل على:

استبدال المشتق الموجود في المعادلة (7.1) ، سيكون لدينا:

أو
.

أين
، أين هو ثابت تعسفي. نتيجة لذلك ، سيكون الحل العام للمعادلة الخطية غير المتجانسة (7.1) هو (7.4)

يمثل المصطلح الأول في هذه الصيغة الحل العام (7.3) للمعادلة التفاضلية الخطية المتجانسة (7.2) ، والمصطلح الثاني في الصيغة (7.4) هو حل خاص للمعادلة الخطية غير المتجانسة (7.1) التي تم الحصول عليها من العام (7.4) ) مع
. دعونا نفرد هذا الاستنتاج المهم في شكل نظرية.

نظرية.إذا كان حل واحد معين لمعادلة تفاضلية خطية غير متجانسة معروفًا
، فجميع الحلول الأخرى لها الشكل
، أين
هو الحل العام للمعادلة التفاضلية الخطية المتجانسة المقابلة.

ومع ذلك ، تجدر الإشارة إلى أن طريقة أخرى ، تسمى أحيانًا طريقة برنولي ، تُستخدم غالبًا لحل المعادلة التفاضلية الخطية غير المتجانسة من الدرجة الأولى (7.1). سنبحث عن حل للمعادلة (7.1) بالصيغة
. ثم
. نعوض بالمشتق الموجود في المعادلة الأصلية:
.

دعونا نجمع ، على سبيل المثال ، الحد الثاني والثالث من التعبير الأخير ونستخرج الدالة ش(x) للأقواس:
(7.5)

نطلب الأقواس لتختفي:
.

نحل هذه المعادلة بوضع ثابت تعسفي جيساوي الصفر:
. مع وظيفة وجدت الخامس(x) العودة إلى المعادلة (7.5):
.

لحلها ، نحصل على:
.

لذلك ، فإن الحل العام للمعادلة (7.1) له الشكل:

§ 8. معادلة برنولي.

تعريف.

المعادلة التفاضلية للشكل
، أين
، تسمى معادلة برنولي.

افترض أن
، نقسم كلا طرفي معادلة برنولي على . نتيجة لذلك ، نحصل على:
(8.1)

نقدم وظيفة جديدة
. ثم
. نضرب المعادلة (8.1) في
وتمريره إلى الوظيفة ض(x) :
، بمعنى آخر. للوظيفة ض(x) حصلوا على معادلة خطية غير متجانسة من الدرجة الأولى. يتم حل هذه المعادلة بالطرق التي تمت مناقشتها في الفقرة السابقة. دعونا نعوض في حلها العام بدلا من ض(x) التعبير
، نحصل على التكامل العام لمعادلة برنولي ، والذي يمكن حله بسهولة فيما يتعلق بـ ذ. في
يضاف الحل ذ(x)=0 . يمكن أيضًا حل معادلة برنولي دون الانتقال إلى معادلة خطية عن طريق الاستبدال
، وتطبيق طريقة برنولي ، التي تمت مناقشتها بالتفصيل في § 7. ضع في اعتبارك تطبيق هذه الطريقة لحل معادلة برنولي باستخدام مثال محدد.

مثال.أوجد الحل العام للمعادلة:
(8.2)

قرار.

لذلك ، فإن الحل العام لهذه المعادلة له الشكل:
, ذ(x)=0.

§ 9. المعادلات التفاضلية في مجموع الفروق.

تعريف.إذا كان في المعادلة م(x, ذ) dx+ ن(x, ذ) دى=0 (9.1) الجانب الأيسر هو التفاضل الكلي لبعض الوظائف يو(x, ذ) ، ثم يطلق عليها معادلة في مجموع الفروق. يمكن إعادة كتابة هذه المعادلة كـ دو(x, ذ)=0 لذلك ، فإن التكامل العام هو ش(x, ذ)= ج.

على سبيل المثال ، المعادلة xdy+ ydx=0 هي معادلة في مجموع الفروق ، حيث يمكن إعادة كتابتها بالشكل د(س ص)=0. التكامل العام سيكون س ص= جهي دالة تفاضلية تعسفية. نفرق (9.3) بالنسبة إلى u
§ 10. عامل التكامل.

إذا كانت المعادلة م(x, ذ) dx + ن(x, ذ) دى = 0 ليست معادلة في مجموع الفروق وهناك دالة µ = µ(x, ذ) ، بحيث نحصل على المعادلة بعد ضرب طرفي المعادلة بها

µ (Mdx + Ndy) = 0في الفروق الإجمالية ، أي µ (Mdx + Ndy)دو، ثم الوظيفة µ(x, ذ) يسمى عامل تكامل المعادلة. في الحالة التي تكون فيها المعادلة بالفعل معادلة في مجموع الفروق ، نفترض µ = 1.

إذا تم العثور على عامل تكامل µ ، ثم يتم تقليل تكامل هذه المعادلة بضرب أجزائها في µ وإيجاد التكامل العام للمعادلة الناتجة في مجموع الفروق.

إذا µ هي دالة قابلة للتفاضل بشكل مستمر لـ xو ذ، ومن بعد
.

ويترتب على ذلك أن عامل التكامل µ يفي بالترتيب الأول التالي PDE:

(10.1).

إذا كان معروفا مسبقا أن µ= µ(ω) ، أين ω هي وظيفة معينة من xو ذ، ثم تقل المعادلة (10.1) إلى معادلة عادية (وخطية أيضًا) بدالة غير معروفة µ من المتغير المستقل ω :

(10.2),

أين
، أي أن الكسر هو دالة فقط لـ ω .

بحل المعادلة (10.2) نجد عامل التكامل

, مع = 1.

على وجه الخصوص ، المعادلة م(x, ذ) dx + ن(x, ذ) دى = 0 له عامل تكامل يعتمد فقط على x(ω = x) أو فقط من ذ(ω = ذ) إذا تم استيفاء الشروط التالية ، على التوالي:

,
.

def 1 نوع التحكم

اتصل معادلة تفاضلية متجانسة من الدرجة الأولى(ODE).

Th1 دع الشروط التالية تكون مستوفاة للوظيفة:

1) مستمر في

إذن ، لدى ODE (1) تكامل مشترك ، والذي تعطى له الصيغة:

أين توجد بعض المشتقات العكسية للدالة معثابت تعسفي.

ملاحظة 1إذا تم استيفاء الشرط بالنسبة للبعض ، فعند عملية حل ODE (1) ، قد يتم فقد حلول النموذج ؛ يجب معالجة هذه الحالات بعناية أكبر ويجب فحص كل منها على حدة.

هكذا من النظرية Th1ينبغي الخوارزمية العامة لحل ODE (1):

1) قم بعمل بديل:

2) وبالتالي ، سيتم الحصول على DE مع المتغيرات القابلة للفصل ، والتي يجب دمجها ؛

3) العودة إلى متغيرات g القديمة ؛

4) تحقق من قيم مشاركتهم في الحل جهاز التحكم عن بعد الأصلي، والتي بموجبها الشرط

5) اكتب الإجابة.

مثال 1حل DE (4).

قرار: DE (4) هي معادلة تفاضلية متجانسة ، لأنها تحتوي على الشكل (1). لنقم بالاستبدال (3) ، وهذا سيجلب المعادلة (4) إلى النموذج:

المعادلة (5) هي التكامل العام لـ DE (4).

لاحظ أنه عند فصل المتغيرات والقسمة على ، يمكن أن تضيع الحلول ، لكنها ليست حلاً لـ DE (4) ، والتي يمكن التحقق منها بسهولة عن طريق الاستبدال المباشر في المساواة (4) ، نظرًا لأن هذه القيمة غير مدرجة في مجال التعريف من الأصل DE.

إجابه:

ملاحظة 2في بعض الأحيان يمكن للمرء أن يكتب معادلات ODE من حيث الفروق في المتغيرات Xو ذ.يوصى بالمرور من رمز DE هذا إلى التعبير من خلال المشتق وبعد ذلك فقط إجراء الاستبدال (3).

المعادلات التفاضلية تختزل إلى المعادلات المتجانسة.

مواطنه 2 الوظيفة تسمى دالة متجانسة من الدرجة k في المنطقةوالتي من أجلها تتحقق المساواة:

فيما يلي الأنواع الأكثر شيوعًا من DE التي يمكن اختزالها إلى النموذج (1) بعد التحولات المختلفة.

1) أين هي الوظيفة متجانسة ، درجة الصفر، أي أن المساواة التالية صحيحة: يمكن اختصار DE (6) بسهولة إلى النموذج (1) إذا وضعنا ، والذي تم دمجه بشكل أكبر باستخدام الاستبدال (3).

2) (7) ، حيث تكون الوظائف متجانسة من نفس الدرجة ك . تم أيضًا دمج DE للنموذج (7) باستخدام التغيير (3).

مثال 2حل DE (8).

قرار:دعونا نظهر أن DE (8) متجانسة. نقسم على ما هو ممكن ، لأنه ليس حلاً للمعادلة التفاضلية (8).

لنقم بالاستبدال (3) ، وهذا سيجلب المعادلة (9) إلى النموذج:

المعادلة (10) هي التكامل العام لـ DE (8).

لاحظ أنه عند فصل المتغيرات والقسمة على ، يمكن أن تضيع الحلول المقابلة لقيم و. دعنا نتحقق من هذه التعبيرات. دعنا نستبدلهم بـ DE (8):

إجابه:

من المثير للاهتمام ملاحظة أنه عند حل هذا المثال ، تظهر وظيفة تسمى "علامة" الرقم X(اقرأ " إشارة x") ، المحدد بالتعبير:

ملاحظة 3ليس من الضروري إحضار DE (6) أو (7) إلى النموذج (1) ، إذا كان من الواضح أن DE متجانسة ، فمن الممكن استبداله على الفور

3) يتم دمج DE للنموذج (11) باعتباره ODE إذا ، بينما يتم إجراء الاستبدال في البداية:

(12) أين حل النظام: (13) ، ثم استخدم البديل (3) للدالة. بعد الحصول على التكامل العام ، ارجع إلى المتغيرات Xو في.

إذا ، إذن ، بافتراض المعادلة (11) ، نحصل على DE بمتغيرات قابلة للفصل.

مثال 3حل مشكلة كوشي (14).

قرار:دعنا نظهر أن DE (14) يتم اختزاله إلى DE متجانس ومتكامل وفقًا للمخطط أعلاه:

دعونا نحل النظام غير المتجانس للمعادلات الجبرية الخطية (15) بطريقة كرامر:

نقوم بتغيير المتغيرات ودمج المعادلة الناتجة:

(16) - التكامل العام لـ DE (14). عند قسمة المتغيرات ، يمكن أن تضيع الحلول عند القسمة على تعبير ، والتي يمكن الحصول عليها صراحة بعد حل معادلة تربيعية. ومع ذلك ، يتم أخذها في الاعتبار في التكامل العام (16) في

دعونا نجد حلاً لمسألة كوشي: نستبدل قيم التكامل العام (16) ونجد مع.

وبالتالي ، سيتم إعطاء التكامل الجزئي بالصيغة:

إجابه:

4) من الممكن قيادة بعض DEs إلى وحدات متجانسة لوظيفة جديدة ، ولكن غير معروفة ، إذا طبقنا بديلاً للنموذج:

في نفس الوقت ، الرقم ميتم اختياره من شرط أن تصبح المعادلة الناتجة ، إن أمكن ، متجانسة إلى حد ما. ومع ذلك ، إذا تعذر القيام بذلك ، فلا يمكن اختزال DE المدروس إلى عامل متجانس بهذه الطريقة.

مثال 4حل DU. (الثامنة عشر)

قرار:دعنا نوضح أن DE (18) يتم تقليله إلى DE متجانس باستخدام الاستبدال (17) ثم يتم دمجه باستخدام الاستبدال (3):

لنجد مع:

وبالتالي ، فإن حل معين لـ DE (24) له الشكل

معادلات تفاضلية من الدرجة الأولى بمتغيرات منفصلة.

تعريف.المعادلة التفاضلية ذات المتغيرات القابلة للفصل هي معادلة بالصيغة (3.1) أو معادلة بالصيغة (3.2)

من أجل فصل المتغيرات في المعادلة (3.1) ، أي اختزل هذه المعادلة إلى ما يسمى بالمعادلة ذات المتغيرات المنفصلة ، وقم بتنفيذ الإجراءات التالية: ;

الآن علينا حل المعادلة ز (ص) = 0. إذا كان لديها حل حقيقي ص = أ ،ومن بعد ص = أسيكون أيضًا حل المعادلة (3.1).

يتم تقليل المعادلة (3.2) إلى معادلة ذات متغيرات منفصلة عن طريق القسمة على المنتج:

، والذي يسمح لنا بالحصول على التكامل العام للمعادلة (3.2): . (3.3)

سيتم استكمال المنحنيات المتكاملة (3.3) بالحلول إذا وجدت مثل هذه الحلول.

المعادلات التفاضلية المتجانسة من الرتبة الأولى.

التعريف 1.تسمى معادلة الترتيب الأول متجانسة إذا كانت العلاقة ، تسمى شرط التجانس لدالة من متغيرين لهما بُعد صفري.

مثال 1أظهر أن الوظيفة متجانسة ذات أبعاد صفرية.

قرار. ,

Q.E.D.

نظرية.أي دالة متجانسة ، وعلى العكس من ذلك ، فإن أي دالة متجانسة ذات بعد صفري يتم تقليلها إلى النموذج.

دليل - إثبات.التأكيد الأول للنظرية واضح ، منذ ذلك الحين . دعونا نثبت التأكيد الثاني. دعنا إذن من أجل وظيفة متجانسة التي كان من المقرر إثباتها.

التعريف 2.المعادلة (4.1) وفيها مو نهي وظائف متجانسة من نفس الدرجة ، أي لها خاصية للجميع ، تسمى متجانسة. من الواضح أنه يمكن دائمًا اختزال هذه المعادلة إلى الشكل (4.2) ، على الرغم من أن هذا قد لا يتم حلها. يتم اختزال المعادلة المتجانسة إلى معادلة ذات متغيرات قابلة للفصل عن طريق استبدال الوظيفة المطلوبة ذحسب الصيغة ص = zx ،أين ض (س)هي الوظيفة الجديدة المطلوبة. بعد إجراء هذا الاستبدال في المعادلة (4.2) ، نحصل على: أو.

بالتكامل ، نحصل على التكامل العام للمعادلة فيما يتعلق بالوظيفة ض (س) ، والذي يعطي بعد الاستبدال المتكرر التكامل العام للمعادلة الأصلية. بالإضافة إلى ذلك ، إذا كانت جذور المعادلة ، فإن الوظائف هي حلول لمعادلة معينة متجانسة. إذا ، فإن المعادلة (4.2) تأخذ الشكل

وتصبح معادلة بمتغيرات منفصلة. حلولها نصف خطوط:.

تعليق.يُنصح أحيانًا باستخدام هذا الاستبدال بدلاً من الاستبدال أعلاه س = زي.

معادلة متجانسة معممة.

المعادلة M (x، y) dx + N (x، y) dy = 0يسمى متجانس معمم إذا كان من الممكن اختيار مثل هذا الرقم كأن يصبح الجانب الأيسر من هذه المعادلة دالة متجانسة بدرجة ما منسبياً x ، y ، dxو دىبشرط xتعتبر قيمة القياس الأول ، ذ – ك-القياس ال ، dxو د-صفر و (ك -1)القياسات ال. على سبيل المثال ، ستكون هذه هي المعادلة . (6.1) في الواقع ، وفقًا للافتراض الذي تم إجراؤه حول القياسات x ، y ، dxو دىأعضاء الجانب الأيسر و دىسيكون لها أبعاد -2 ، 2 على التوالي كو ك-واحد. معادلتها ، نحصل على الشرط الذي يجب أن يفي به الرقم المطلوب ك: -2 = 2ك=ك-واحد. يتم استيفاء هذا الشرط عندما ك= -1 (مع هذا كجميع الشروط على الجانب الأيسر من المعادلة قيد النظر سيكون لها البعد -2). وبالتالي ، فإن المعادلة (6.1) معممة متجانسة.

المعادلة م(x, ذ) dx+ ن(x, ذ) دى=0 يسمى متجانس معمم إذا كان من الممكن اختيار مثل هذا الرقم كأن يصبح الجانب الأيسر من هذه المعادلة دالة متجانسة بدرجة ما م نسبياً x, ذ, dx و دى بشرط x تعتبر قيمة القياس الأول ، ذ – ك‑ القياس ال , dx و دى – صفر و (ك-1) القياسات ال. على سبيل المثال ، ستكون هذه هي المعادلة. (6.1)

صالح في ظل الافتراض الذي تم إجراؤه حول القياسات

x, ذ, dx و دى أعضاء الجانب الأيسر
و دى سيكون لها أبعاد -2 ، 2 على التوالي كو ك-واحد. معادلتها ، نحصل على الشرط الذي يجب أن يفي به الرقم المطلوب ك: -2 = 2ك = ك-واحد. يتم استيفاء هذا الشرط عندما ك = -1 (مع هذا كجميع الشروط على الجانب الأيسر من المعادلة قيد النظر سيكون لها البعد -2). وبالتالي ، فإن المعادلة (6.1) معممة متجانسة.

يتم تقليل المعادلة المتجانسة المعممة إلى معادلة ذات متغيرات قابلة للفصل باستخدام الاستبدال
، أين ضهي وظيفة جديدة غير معروفة. دعونا ندمج المعادلة (6.1) بالطريقة المشار إليها. لان ك = -1 إذن
، وبعد ذلك نحصل على المعادلة.