وظيفة عكسية 3. وظائف معكوسة متبادلة ، تعريفات أساسية ، خصائص ، رسوم بيانية

أعمال منتهية

هذا يعمل

لقد تأخر الكثير بالفعل وأنت الآن خريج ، إذا كتبت بالطبع أطروحتك في الوقت المحدد. لكن الحياة شيء يتضح لك الآن فقط ، بعد أن توقفت عن أن تكون طالبًا ، ستفقد كل أفراح الطلاب ، والتي لم تجرب الكثير منها ، وتؤجل كل شيء وتؤجله لوقت لاحق. والآن ، بدلاً من اللحاق بالركب ، هل تتلاعب بأطروحتك؟ هناك طريقة رائعة للخروج: قم بتنزيل الرسالة التي تحتاجها من موقعنا على الإنترنت - وستحصل على الفور على الكثير من وقت الفراغ!
تم الدفاع عن أعمال الدبلوم بنجاح في الجامعات الرائدة في جمهورية كازاخستان.
تكلفة العمل من 20000 تنغي

الدورة تعمل

مشروع الدورة هو أول عمل عملي جاد. يبدأ التحضير لتطوير مشاريع التخرج بكتابة ورقة الفصل الدراسي. إذا تعلم الطالب كيفية تحديد محتوى الموضوع بشكل صحيح في مشروع الدورة التدريبية ورسمه بشكل صحيح ، فلن يواجه في المستقبل مشاكل سواء في كتابة التقارير أو في تجميع الأطروحات أو في أداء المهام العملية الأخرى. من أجل مساعدة الطلاب في كتابة هذا النوع من العمل الطلابي وتوضيح الأسئلة التي تطرأ أثناء إعداده ، في الواقع ، تم إنشاء قسم المعلومات هذا.
تكلفة العمل من 2500 تنغي

أطروحات الماجستير

في الوقت الحاضر ، في مؤسسات التعليم العالي في كازاخستان وبلدان رابطة الدول المستقلة ، تعتبر مرحلة التعليم المهني العالي ، التي تلي درجة البكالوريوس - درجة الماجستير ، شائعة جدًا. في القضاء ، يدرس الطلاب بهدف الحصول على درجة الماجستير ، المعترف بها في معظم دول العالم أكثر من درجة البكالوريوس ، ومعترف بها أيضًا من قبل أرباب العمل الأجانب. نتيجة التدريب في القضاء هي الدفاع عن أطروحة الماجستير.
سنزودك بمواد تحليلية ونصية حديثة ، السعر يشمل مقالتين علميتين وملخص.
تكلفة العمل من 35000 تنغي

تقارير الممارسة

بعد الانتهاء من أي نوع من ممارسة الطلاب (التعليمية ، الصناعية ، الجامعية) مطلوب تقرير. ستكون هذه الوثيقة تأكيدًا للعمل العملي للطالب وأساسًا لتشكيل التقييم الخاص بالممارسة. عادة ، من أجل تجميع تقرير التدريب ، تحتاج إلى جمع وتحليل المعلومات حول المؤسسة ، والنظر في هيكل وجدول عمل المنظمة التي يتم فيها التدريب ، ووضع خطة تقويم ووصف أنشطتك العملية.
سنساعدك في كتابة تقرير عن التدريب ، مع مراعاة خصوصيات أنشطة مؤسسة معينة.

أهداف الدرس:

التعليمية:

• لتكوين المعرفة حول موضوع جديد وفقًا لمواد البرنامج ؛
• لدراسة خاصية انعكاس الدالة وتعليم كيفية إيجاد دالة معكوسة لوظيفة معينة ؛

النامية:

• تطوير مهارات ضبط النفس ، والكلام الموضوع ؛
• إتقان مفهوم الدالة العكسية وتعلم طرق إيجاد دالة عكسية ؛

التعليمية: لتكوين الكفاءة الاتصالية.

معدات:كمبيوتر ، جهاز عرض ، شاشة ، سبورة بيضاء تفاعلية SMART Board ، نشرة (عمل مستقل) للعمل الجماعي.

خلال الفصول.

1. لحظة تنظيمية.

استهداف – تحضير الطلاب للعمل في الفصل:

تعريف الغائب

موقف الطلاب من العمل ، وتنظيم الاهتمام ؛

رسالة حول موضوع الدرس والغرض منه.

2. تحديث المعارف الأساسية للطلاب.الاستطلاع الأمامي.

استهداف - لإثبات صحة وإدراك المادة النظرية المدروسة ، وتكرار المادة التي تمت تغطيتها.<Приложение 1 >

يتم عرض رسم بياني للوظيفة على السبورة التفاعلية للطلاب. يقوم المعلم بصياغة المهمة - للنظر في الرسم البياني للوظيفة وسرد الخصائص المدروسة للوظيفة. يسرد الطلاب خصائص الوظيفة وفقًا لتصميم البحث. يقوم المدرس ، على يمين الرسم البياني للوظيفة ، بكتابة الخصائص المسماة بعلامة على السبورة التفاعلية.

خصائص الوظيفة:

في نهاية الدراسة ، أفاد المعلم أنه اليوم في الدرس سيتعرف على خاصية أخرى للوظيفة - قابلية الانعكاس. للحصول على دراسة هادفة للمواد الجديدة ، يدعو المعلم الأطفال للتعرف على الأسئلة الرئيسية التي يجب على الطلاب الإجابة عليها في نهاية الدرس. تتم كتابة الأسئلة على لوحة عادية ولكل طالب نشرة (يتم توزيعها قبل الدرس)

1. ما هي الوظيفة العكسية؟
2. هل كل وظيفة قابلة للعكس؟
3. ما هي الدالة المعكوسة المعطاة؟
4. كيف يرتبط مجال التعريف ومجموعة قيم الدالة ودالتها العكسية؟
5. إذا أعطيت الدالة بشكل تحليلي ، فكيف تحدد الدالة العكسية باستخدام صيغة؟
6. إذا أعطيت الدالة بيانياً ، فكيف نرسم الدالة العكسية؟

3. شرح المواد الجديدة.

استهداف - لتكوين المعرفة حول موضوع جديد وفقًا لمواد البرنامج ؛ لدراسة خاصية انعكاس الدالة وتعليم كيفية إيجاد دالة معكوسة لوظيفة معينة ؛ تطوير الموضوع.

يقوم المعلم بإجراء عرض تقديمي للمادة وفقًا لمادة الفقرة. على السبورة التفاعلية ، يقارن المعلم الرسوم البيانية لوظيفتين تتشابه مجالات تعريفهما ومجموعات القيم ، لكن إحداهما رتيبة والأخرى ليست كذلك ، مما يضع الطلاب تحت مفهوم الوظيفة العكسية .

يقوم المعلم بعد ذلك بصياغة تعريف الوظيفة العكسية وإثبات نظرية الدالة العكسية باستخدام الرسم البياني للوظيفة الرتيبة على السبورة التفاعلية.

التعريف 1: الوظيفة y = f (x) ، x X تسمى تفريغ، إذا كان يأخذ أيًا من قيمه عند نقطة واحدة فقط من المجموعة X.

النظرية: إذا كانت الدالة y = f (x) رتيبة في المجموعة X ، فإنها تكون قابلة للعكس.

دليل - إثبات:

1. دع الوظيفة ص = و (س)يزيد بنسبة Xدعها تذهب × 1 × 2- نقطتان من المجموعة X.
2. من أجل التحديد ، اسمحوا × 1< × 2.
   ثم من ماذا × 1< × 2يتبع ذلك و (× 1) < و (× 2).
3. وبالتالي ، تتوافق قيم الوسيطة المختلفة مع قيم مختلفة للوظيفة ، أي الوظيفة قابلة للعكس.

(أثناء إثبات النظرية ، يقدم المعلم جميع التفسيرات اللازمة على الرسم بعلامة)

قبل صياغة تعريف الوظيفة العكسية ، يطلب المعلم من الطلاب تحديد أي من الوظائف المقترحة يمكن عكسها؟ تعرض السبورة التفاعلية رسومًا بيانية للوظائف وتتم كتابة العديد من الوظائف المحددة تحليليًا:

ب)

ز) ص = 2 س + 5

د) ص = -x 2 + 7

يقدم المعلم تعريف الدالة العكسية.

التعريف 2: دع دالة قابلة للعكس ص = و (س)المحددة في المجموعة Xو ه (و) = ص. دعونا نتطابق مع كل منهما ذمن صثم المعنى الوحيد X، الذي و (س) = ص.ثم نحصل على دالة معرفة على ص، أ Xهو نطاق الوظيفة

يتم الإشارة إلى هذه الوظيفة س = و -1 (ص)ويسمى معكوس الوظيفة ص = و (س).

الطلاب مدعوون لاستخلاص استنتاج حول العلاقة بين مجال التعريف ومجموعة قيم الوظائف العكسية.

للنظر في مسألة كيفية العثور على الوظيفة العكسية لمعطى ، أشرك المعلم اثنين من الطلاب. في اليوم السابق ، تلقى الأطفال مهمة من المعلم لتحليل الأساليب التحليلية والرسومية بشكل مستقل لإيجاد الوظيفة المعكوسة المعينة. عمل المدرس كمستشار في إعداد الطلاب للدرس.

رسالة من الطالب الأول.

ملاحظة: رتابة الوظيفة هي كافٍشرط وجود دالة عكسية. لكن ذلك ليسشرط ضروري.

قدم الطالب أمثلة لمواقف مختلفة عندما لا تكون الوظيفة رتيبة ، ولكنها قابلة للعكس ، عندما لا تكون الوظيفة رتيبة وغير قابلة للعكس ، عندما تكون رتيبة وقابلة للانعكاس

ثم يقوم الطالب بتعريف الطلاب على طريقة إيجاد الدالة العكسية المعطاة تحليليًا.

إيجاد الخوارزمية

1. تأكد من أن الوظيفة رتيبة.
2. اكتب س بدلالة ص.
3. إعادة تسمية المتغيرات. بدلاً من x \ u003d f -1 (y) يكتبون y \ u003d f -1 (x)

ثم يحل مثالين لإيجاد دالة معكوس المعطى.

مثال 1:بيّن أن هناك دالة عكسية للدالة y = 5x-3 وابحث عن التعبير التحليلي الخاص بها.

المحلول. يتم تعريف الدالة الخطية y = 5x-3 على R ، وتزداد على R ، ومداها هو R. ومن ثم ، توجد الدالة العكسية على R. للعثور على تعبيرها التحليلي ، نحل المعادلة y = 5x-3 فيما يتعلق بـ العاشر ؛ نحصل على هذه هي الوظيفة العكسية المطلوبة. يتم تعريفه ويزيد بواسطة R.

المثال 2:بيّن أن هناك دالة عكسية للدالة y = x 2 ، x≤0 ، وابحث عن التعبير التحليلي الخاص بها.

الوظيفة مستمرة ، رتيبة في مجال تعريفها ، لذلك فهي قابلة للعكس. بعد تحليل مجالات التعريف ومجموعة قيم الوظيفة ، يتم التوصل إلى نتيجة مقابلة حول التعبير التحليلي للدالة العكسية.

يقدم الطالب الثاني عرضًا تقديميًا حول الرسمكيفية إيجاد الدالة العكسية. في سياق شرحه يستخدم الطالب قدرات السبورة التفاعلية.

للحصول على الرسم البياني للدالة y = f -1 (x) ، معكوسًا للدالة y = f (x) ، من الضروري تحويل الرسم البياني للدالة y = f (x) بشكل متماثل فيما يتعلق بالخط المستقيم ص = س.

أثناء الشرح على السبورة التفاعلية ، يتم تنفيذ المهمة التالية:

أنشئ رسمًا بيانيًا لوظيفة ورسمًا بيانيًا لوظيفتها العكسية في نفس نظام الإحداثيات. اكتب تعبيرًا تحليليًا للدالة العكسية.

4. التثبيت الأولي للمادة الجديدة.

استهداف - لإثبات صحة وإدراك فهم المواد المدروسة ، لتحديد الفجوات في الفهم الأساسي للمادة ، وتصحيحها.

يتم تقسيم الطلاب إلى أزواج. يتم إعطاؤهم أوراقًا بها مهام يعملون فيها في أزواج. الوقت المحدد لإنجاز العمل محدود (5-7 دقائق). يعمل زوج واحد من الطلاب على الكمبيوتر ، ويتم إيقاف تشغيل جهاز العرض لهذه المرة ولا يمكن لبقية الأطفال رؤية كيفية عمل الطلاب على الكمبيوتر.

في نهاية الوقت (يفترض أن غالبية الطلاب أكملوا العمل) ، تعرض السبورة التفاعلية (يتم تشغيل جهاز العرض مرة أخرى) عمل الطلاب ، حيث يتم توضيح أثناء الاختبار أن المهمة قد اكتملت في أزواج. إذا لزم الأمر ، يقوم المعلم بعمل تصحيحي وتوضيحي.

عمل مستقل في أزواج<الملحق 2 >

5. نتيجة الدرس.حول الأسئلة التي طرحت قبل المحاضرة. اعلان الدرجات للدرس.

الواجب المنزلي §10. №№ 10.6 (أ ، ج) 10.8-10.9 (ب) 10.12 (ب)

الجبر وبدايات التحليل. الصف العاشر في جزأين للمؤسسات التعليمية (مستوى الملف الشخصي) / A.G. Mordkovich ، L.O. Denishcheva ، T.A. Koreshkova وآخرون ؛ إد. إيه جي مردكوفيتش ، إم: منيموسين ، 2007

لقد واجهنا بالفعل مشكلة عندما كان من الضروري حساب قيمة الوظيفة في هذه المرحلة ، نظرًا للدالة f وقيمة معينة لوسعتها. لكن في بعض الأحيان يتعين على المرء أن يواجه مشكلة معكوسة: لإيجاد قيمة الوسيطة التي تأخذ فيها الوظيفة القيمة المعطاة y ، بالنظر إلى الدالة المعروفة f وقيمتها المحددة y.

الوظيفة التي تأخذ كل من قيمها في نقطة واحدة في مجال تعريفها تسمى الوظيفة المعكوسة. على سبيل المثال ، ستكون الوظيفة الخطية وظيفة عكسية. لن تكون الوظيفة التربيعية أو دالة الجيب دالات قابلة للعكس. بما أن الوظيفة يمكن أن تأخذ نفس القيمة بوسائط مختلفة.

وظيفة عكسية

لنفترض أن f هي وظيفة عكسية تعسفية. يتوافق كل رقم من نطاقه y0 مع رقم واحد فقط من المجال x0 ، مثل f (x0) = y0.

إذا قمنا الآن بتعيين قيمة y0 لكل قيمة x0 ، فسنحصل على وظيفة جديدة. على سبيل المثال ، بالنسبة للدالة الخطية f (x) = k * x + b ، فإن الدالة g (x) = (x - b) / k ستكون معكوسة.

إذا كانت بعض الوظائف زفي كل نقطة Xنطاق الدالة العكسية f يأخذ القيمة y بحيث أن f (y) = x ، ثم نقول أن الدالة ز- هناك دالة عكسية لـ f.

إذا كان لدينا رسم بياني لبعض الدالة القابلة للانعكاس f ، فمن أجل رسم الرسم البياني للدالة العكسية ، يمكننا استخدام العبارة التالية: سيكون الرسم البياني للدالة f والدالة g العكسية متماثلًا بالنسبة إلى الخط المستقيم المعطى بالمعادلة y = x.

إذا كانت الدالة g هي معكوس الدالة f ، فإن الدالة g ستكون دالة قابلة للعكس. وستكون الدالة f معكوسة للدالة g. يقال عادة أن وظيفتين f و g معاكستان لبعضهما البعض.

يوضح الشكل التالي الرسوم البيانية للوظائف f و g معكوسة بعضهما البعض.

دعونا نشتق النظرية التالية: إذا زادت الدالة f (أو نقصت) في بعض الفترات A ، فإنها تكون قابلة للعكس. الدالة g العكسية إلى a ، المحددة في نطاق الدالة f ، هي أيضًا دالة متزايدة (أو متناقصة على التوالي). هذه النظرية تسمى نظرية الدالة العكسية.

نسخة طبق الأصل

1 دالات عكسية متبادلة تسمى دالتان f و g معكوسان بشكل متبادل إذا كانت الصيغتان y = f (x) و x = g (y) تعبران عن نفس العلاقة بين المتغيرين x و y ، أي إذا كانت المساواة y = f (x) صحيحة إذا وفقط إذا كانت المساواة x = g (y) صحيحة: y = f (x) x = g (y) إذا كانت وظيفتان f و g معكوسان بشكل متبادل ، فإن g تسمى الدالة العكسية لـ f والعكس صحيح ، f هي الدالة العكسية لـ g. على سبيل المثال ، y = 10 x و x = lgy هما دالتان معكوستان بشكل متبادل. شرط وجود دالة عكسية متبادلة. يكون للدالة f معكوس إذا كان المتغير x من العلاقة y = f (x) يمكن التعبير عنه بشكل فريد بدلالة y. هناك وظائف يستحيل فيها التعبير عن الوسيطة بشكل فريد من خلال القيمة المعطاة للدالة. على سبيل المثال: 1. ص = س. بالنسبة لعدد موجب معطى y ، توجد قيمتان للوسيطة x مثل x = y. على سبيل المثال ، إذا كانت y \ u003d 2 ، ثم x \ u003d 2 أو x \ u003d - 2. وبالتالي ، من المستحيل التعبير عن x بشكل فريد من خلال y. لذلك ، هذه الوظيفة ليس لها معكوس متبادل. 2. y = x 2. x =، x = - 3. y = sinx. بالنسبة لقيمة معينة لـ y (y 1) ، يوجد عدد لانهائي من قيم x مثل y = sinx. للدالة y = f (x) معكوس إذا كان أي خط y = y 0 يتقاطع مع الرسم البياني للدالة y = f (x) عند نقطة واحدة على الأكثر (قد لا تتقاطع مع الرسم البياني على الإطلاق إذا لم يكن y 0 لا تنتمي إلى نطاق الوظيفة و). يمكن صياغة هذا الشرط بشكل مختلف: لا تحتوي المعادلة f (x) = y 0 لكل y 0 على أكثر من حل واحد. يتم استيفاء شرط أن يكون للدالة معكوسًا بالتأكيد إذا كانت الوظيفة تتزايد بشكل صارم أو تتناقص بشكل صارم. إذا كانت f تتزايد بشكل صارم ، فعندئذٍ بالنسبة لقيمتين مختلفتين من الوسيطة ، فإنها تأخذ قيمًا مختلفة ، نظرًا لأن القيمة الأكبر للوسيطة تتوافق مع القيمة الأكبر للدالة. لذلك ، فإن المعادلة f (x) = y لوظيفة رتيبة تمامًا لها حل واحد على الأكثر. الدالة الأسية y \ u003d a x رتيبة تمامًا ، لذا فهي تحتوي على دالة لوغاريتمية عكسية. العديد من الوظائف ليس لها انعكاسات. إذا كانت المعادلة f (x) = b بالنسبة للبعض تحتوي على أكثر من حل واحد ، فإن الدالة y = f (x) ليس لها معكوس. على الرسم البياني ، هذا يعني أن الخط y = b يتقاطع مع الرسم البياني للدالة في أكثر من نقطة واحدة. على سبيل المثال ، y \ u003d x 2 ؛ ص = sinx ؛ ص = tgx.

2 يمكن التعامل مع غموض حل المعادلة f (x) = b إذا تم تقليل مجال تعريف الوظيفة f بحيث لا يتغير نطاق قيمها ، ولكنها تأخذ كل من قيمها مرة واحدة. على سبيل المثال ، y = x 2، x 0؛ y = sinx ، ص = tgx ،. القاعدة العامة لإيجاد الدالة العكسية للدالة: 1. حل معادلة x ، نجد ؛ 2. بتغيير تسمية المتغير x إلى y ، ومن y إلى x ، نحصل على معكوس الدالة إلى المعطى. خصائص وظائف معكوسة متبادلة المتطابقات دع f و g دالات معكوسة بشكل متبادل. هذا يعني أن المساواة y = f (x) و x = g (y) متكافئة: f (g (y)) = y and g (f (x)) = x. على سبيل المثال ، 1. لنفترض أن f دالة أسية و g دالة لوغاريتمية. نحصل على: 2. الدوال y \ u003d x 2 و x 0 و y \ u003d معكوسة بشكل متبادل. لدينا متطابقتان: وبالنسبة إلى x 0. مجال التعريف لنفترض أن f و g هما دالتان معكوستان بشكل متبادل. يتطابق مجال الوظيفة f مع مجال الوظيفة g ، والعكس صحيح ، يتطابق مجال الوظيفة f مع مجال الوظيفة g. مثال. مجال الدالة الأسية هو محور العدد الصحيح R ، ومجالها هو مجموعة جميع الأرقام الموجبة. الوظيفة اللوغاريتمية لها العكس: مجال التعريف هو مجموعة جميع الأرقام الموجبة ، ومجال القيم هو المجموعة الكاملة R. رتابة. . دليل - إثبات. لنفترض أن x 1 و x 2 عبارة عن رقمين يقعان في مجال الدالة g و x 1

3 رسوم بيانية للدوال المعكوسة المتبادلة. لنفترض أن f و g هما دالتان معاكستان لبعضهما البعض. الرسوم البيانية للوظائف y = f (x) و x = g (y) متناظرة مع بعضها البعض فيما يتعلق بمنصف زاوية howe. دليل - إثبات. من خلال تعريف الدوال العكسية المتبادلة ، تعبر الصيغتان y = f (x) و x = g (y) عن نفس الاعتماد بين المتغيرين x و y ، مما يعني أن هذا الاعتماد يُصوَّر بنفس الرسم البياني لبعض المنحنيات C. C عبارة عن وظائف رسم بياني y = f (x). خذ نقطة عشوائية P (a؛ b) C. وهذا يعني أن b = f (a) وفي نفس الوقت a = g (b). دعونا نبني نقطة Q متناظرة مع النقطة P بالنسبة لمنصف زاوية الكيفية. سيكون للنقطة Q إحداثيات (ب ؛ أ). بما أن a = g (b) ، فإن النقطة Q تنتمي إلى الرسم البياني للدالة y = g (x): في الواقع ، بالنسبة إلى x = b ، فإن قيمة y = a تساوي g (x). وبالتالي ، فإن جميع النقاط المتماثلة مع نقاط المنحنى C فيما يتعلق بالخط المستقيم المحدد تقع على الرسم البياني للوظيفة y \ u003d g (x). أمثلة على وظائف الرسوم التي تكون معكوسة بشكل متبادل: y = e x and y = lnx؛ ص = س 2 (س 0) وص = ؛ ص = 2 × 4 وص = + 2.

4 مشتق دالة عكسية لنفترض أن f و g دالتان معكوستان بشكل متبادل. الرسوم البيانية للوظائف y = f (x) و x = g (y) متناظرة مع بعضها البعض فيما يتعلق بمنصف زاوية howe. لنأخذ النقطة x = a ونحسب قيمة إحدى الوظائف في هذه المرحلة: f (a) = b. ثم من خلال تعريف الدالة العكسية g (b) = a. النقاط (أ ؛ و (أ)) = (أ ؛ ب) و (ب ؛ ز (ب)) = (ب ؛ أ) متناظرة فيما يتعلق بالخط ل. نظرًا لأن المنحنيات متناظرة ، فإن مماساتها تكون أيضًا متناظرة بالنسبة للخط l. من التناظر ، فإن زاوية أحد الخطوط ذات المحور x تساوي زاوية الخط الآخر مع المحور y. إذا شكل الخط المستقيم زاوية α مع المحور x ، فإن ميلها يساوي k 1 = tgα ؛ ثم الخط الثاني لديه ميل k 2 = tg (α) = ctgα =. وبالتالي ، فإن معاملات ميل الخطوط المتماثلة فيما يتعلق بالخط l معكوسة بشكل متبادل ، أي ك 2 = ، أو ك 1 ك 2 = 1. بالمرور إلى المشتقات ومراعاة أن ميل المماس هو قيمة المشتق عند نقطة الاتصال ، نستنتج: قيم مشتقات الدوال العكسية المتبادلة عند النقاط المقابلة معكوسة بشكل متبادل ، أي مثال 1. أثبت أن الدالة f (x) = x 3 قابلة للعكس. المحلول. y = f (x) = x 3. ستكون الوظيفة العكسية هي الدالة y = g (x) =. لنجد مشتق الدالة g :. أولئك. =. المهمة 1. إثبات أن الوظيفة التي توفرها الصيغة قابلة للعكس 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

5 مثال 2. أوجد الدالة المعكوسة للدالة y = 2x + 1. المحلول. الدالة y \ u003d 2x + 1 تتزايد ، لذلك لها معكوس. نعبر عن x من خلال y: نحصل على .. بالانتقال إلى التدوين المقبول عمومًا ، الإجابة: المهمة 2. ابحث عن الوظائف العكسية لهذه الوظائف 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

الفصل 9 الدرجات الدرجة مع الأس الصحيح. 0 = 0 ؛ 0 = ؛ 0 = 0.> 0> 0 ؛ >> ..>. إذا كان زوجيًا ، إذن ()< (). Например, () 0 = 0 < 0 = = () 0. Если нечетно, то () >(). على سبيل المثال ، () => = = () ، إذن

ما سوف ندرسه: درس حول الموضوع: التحقيق في دالة من أجل الرتابة. تقليل وزيادة الوظائف. العلاقة بين المشتق ورتابة الوظيفة. اثنين من نظريات الرتابة الهامة. أمثلة. يا رفاق ، نحن

6 المشكلات التي تؤدي إلى مفهوم المشتق دع نقطة مادية تتحرك في خط مستقيم في اتجاه واحد وفقًا للقانون s f (t) ، حيث t هو الوقت و s هو المسار الذي تسير عليه النقطة الزمنية t لاحظ لحظة معينة

1 محاضرة SA Lavrenchenko 12 الدوال العكسية 1 مفهوم الدالة العكسية التعريف 11 تسمى الوظيفة واحد لواحد إذا لم تأخذ أي قيمة أكثر من مرة ، والتي تتبع من

المحاضرة 5 مشتقات الوظائف الأولية الأساسية ملخص: تم إعطاء تفسيرات فيزيائية وهندسية لمشتقة دالة لمتغير واحد ، مع الأخذ في الاعتبار أمثلة على تمايز دالة وقاعدة.

الفصل 1. الحدود والاستمرارية 1. المجموعات العددية 1 0. الأعداد الحقيقية من رياضيات المدرسة تعرف الأعداد الصحيحة N الطبيعية Z المنطقية Q والأرقام الحقيقية R الأعداد الطبيعية والأعداد الصحيحة

الدوال العددية والتتابعات العددية DV Lytkina NPP ، I الفصل الدراسي DV Lytkina (SibSUTI) التحليل الرياضي لـ NPP ، الفصل الدراسي الأول 1/35 المحتويات 1 الوظيفة الرقمية مفهوم الوظيفة الوظائف العددية.

المحاضرة 19 المشتقة وتطبيقاتها. تعريف المشتقات. لنحصل على دالة y = f (x) مُعرَّفة في بعض الفترات. لكل قيمة من قيمة الوسيطة x من هذه الفترة ، الدالة y = f (x)

الفصل 5 التحقيق في وظائف باستخدام صيغة تايلور إكستريموم المحلية لتعريف الوظيفة

قسم الرياضيات والمعلوماتية عناصر الرياضيات العليا مجمع تعليمي ومنهجي لطلاب التعليم المهني الثانوي الذين يدرسون باستخدام تقنيات عن بعد.

قسم الرياضيات والمعلوماتية التحليل الرياضي مجمع تعليمي ومنهجي لطلاب HPE الذين يدرسون باستخدام تقنيات عن بعد الوحدة 4 تطبيقات المشتق من إعداد: أستاذ مشارك

مهام القرار المستقل. أوجد مجال دالة 6x. أوجد ظل زاوية الميل إلى المحور x للماس المار عبر النقطة M (؛) في الرسم البياني للوظيفة. أوجد ظل الزاوية

موضوع نظرية الحدود تمرين عملي المتواليات العددية تعريف التسلسل العددي التسلسل المحدود وغير المحدود التسلسلات أحادية اللون صغيرة بلا حدود

44 مثال أوجد المشتق الكلي لدالة معقدة = sin v cos w حيث v = ln + 1 w = 1 وفقًا للصيغة (9) d v w v w = v w d sin cos + cos + 1 sin sin 1 الآن نجد المشتق الكلي للدالة المعقدة و

MODULE "تطبيق الاستمرارية والمشتق. تطبيق المشتق على دراسة التوابع. تطبيق الاستمرارية .. طريقة الفواصل .. مماس للرسم البياني. صيغة لاغرانج. 4. تطبيق المشتق

معهد موسكو للفيزياء والتكنولوجيا المعادلات الأسية واللوغاريتمية وعدم المساواة ، طريقة التقوية واللوغاريتم في حل المشكلات. دليل منهجي للتحضير للأولمبياد.

الفصل 8 الوظائف والرسوم البيانية المتغيرات والتبعيات فيما بينها. كميتين وتسمى متناسبة مباشرة إذا كانت نسبتها ثابتة ، أي إذا كانت = ، حيث هي رقم ثابت لا يتغير مع التغيير

وزارة التربية والتعليم في جمهورية بيلاروسيا المؤسسة التعليمية "تسمية جامعة ولاية غرودنو بعد يانكا كوبالا" Yu.Yu. جينيزدوفسكي ، في.ن. جوربوزوف ، ب. Pronevich الأسي واللوغاريتمي

موضوع الوظيفة العددية وخصائصها والرسم البياني مفهوم الوظيفة العددية مجال التعريف ومجموعة قيم الدالة دع مجموعة عددية X تُعطى قاعدة تطابق كل رقم X مع فريد

تعريف دالة لعدة متغيرات مجال التعريف عند دراسة العديد من الظواهر ، يتعين على المرء أن يتعامل مع وظائف متغيرين مستقلين أو أكثر ، على سبيل المثال ، درجة حرارة الجسم في لحظة معينة

1. لا يتجزأ محدد 1.1. لنفترض أن f دالة محددة في المقطع [، b] R. قسم المقطع [، b] هو مجموعة من النقاط τ = (x، x 1، ...، x n 1، x n) [، b ] مثل هذا = x< x 1 < < x n 1

محاضرة التحقيق في دالة وبناء الرسم البياني الخاص بها الملخص: يتم التحقيق في الوظيفة من أجل الرتابة ، الحد الأقصى ، التحدب-التقعر ، لوجود الخطوط المقاربة

عنوان. دور. طرق المهمة. وظيفة ضمنية. وظيفة عكسية. تصنيف الوظائف عناصر نظرية المجموعات. المفاهيم الأساسية أحد المفاهيم الأساسية للرياضيات الحديثة هو مفهوم المجموعة.

الموضوع 2.1 الدوال الرقمية. الوظيفة وخصائصها والرسم البياني دع X و Y بعض مجموعات الأرقام إذا تم تعيين عنصر واحد لكل منها وفقًا لبعض القواعد F ، فيقولون ذلك

الجبر وبداية التحليل ، الجبر الحادي عشر وبدء التحليل

لوس انجليس شتراوس ، إ. مهام Barinova مع معلمة في إرشادات فحص الدولة الموحدة y = -x 0 -a- -a x -5 Ulyanovsk 05 Strauss L.A. المهام ذات المعلمة في الاستخدام [نص]: المبادئ التوجيهية / L.A. شتراوس ، إ.

الفصل 3. التحقيق في الوظائف بمساعدة المشتقات 3.1. تعتبر وظيفة y = f () محددة في بعض الفترات I R. ويقال أن لها قيمة قصوى محلية عند النقطة

عنوان. المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات وأنظمة المعادلات 1. تعليمات عامة

ما سوف ندرسه: درس حول الموضوع: إيجاد نقاط الدوال القصوى. 1 المقدمة. 2) نقاط من الحد الأدنى والحد الأقصى. 3) إكستريموم الوظيفة. 4) كيف تحسب النهايات؟ 5) أمثلة يا رفاق ، دعونا نرى

1 SA Lavrenchenko المحاضرة 13 الدوال الأسية واللوغاريتمية 1 مفهوم الدالة الأسية التعريف 11 الوظيفة الأسية هي دالة للقاعدة الموجبة للنموذج الثابت ، حيث الوظيفة

موضوع ندوة الويب 5: مراجعة التحضير لاختبار الدولة الموحد (المهمة 8) المهمة 8 ابحث عن جميع قيم المعلمة a ، لكل منها المعادلة a 0 إما سبعة أو ثمانية حلول دعنا ، ثم t t المعادلة الأولية

جامعة موسكو التقنية الحكومية التي تحمل اسم N.E. كلية بومان للعلوم الأساسية قسم النمذجة الرياضية А.Н. كاناتنيكوف ، أ. كريشينكو

معلومات عامة المهام مع المعلمات المعادلات مع وحدة المهام من النوع C 5 1 التحضير لامتحان الدولة الموحد Dikhtyar M.B. 1. القيمة المطلقة ، أو مقياس العدد x ، هو الرقم x نفسه ، إذا كان x 0 ؛ الرقم x ،

I. V. Yakovlev المواد في الرياضيات MathUs.ru اللوغاريتم

13. المشتقات الجزئية للأوامر العليا Let = have ومُعرَّفة على D O. الوظائف وتسمى أيضًا مشتقات جزئية من الدرجة الأولى لوظيفة أو مشتقات جزئية أولى للدالة. وبشكل عام

وزارة التربية والتعليم والعلوم في الاتحاد الروسي

محتويات الجبر وبدء تحليل الوظيفة ... 10 الخصائص الأساسية للوظائف ... 11 الفردية والزوجية ... 11 الدورية ... 12 أصفار الوظيفة ... (الحد الأقصى

مقدمة في محاضرة التحليل الرياضي. مفهوم المجموعة. تعريف الوظيفة الخصائص الأساسية. محتويات الدوال الأساسية الأساسية: عناصر نظرية المجموعة مجموعة من الأعداد الحقيقية الرقمية

الموضوع 36 "خصائص الوظائف" سنقوم بتحليل خصائص الدالة باستخدام مثال الرسم البياني لوظيفة عشوائية y = f (x): 1. مجال الوظيفة هو مجموعة جميع قيم المتغير x التي لها المقابلة

خطوط مقاربة رسم بياني لوظيفة نظام الإحداثيات الديكارتية دالة كسرية خطية دالة خطية ثلاثية الحدود

جامعة الأورال الفيدرالية ، معهد الرياضيات وعلوم الكمبيوتر ، قسم الجبر والرياضيات المتقطعة ملاحظات تمهيدية هذه المحاضرة مخصصة لدراسة الطائرة. المواد التي يحتوي عليها

المعادلات التفاضلية 1. المفاهيم الأساسية المعادلة التفاضلية فيما يتعلق ببعض الوظائف هي معادلة تربط هذه الوظيفة بمتغيراتها المستقلة ومشتقاتها.

استخدامات الرياضيات C5 7 عدم المساواة (طريقة المنطقة) المؤشرات والحلول مادة مرجعية المصادر Koryanov A G، Bryansk أرسل التعليقات والاقتراحات إلى: [البريد الإلكتروني محمي]المهام مع المعلمات

الموضوع 41 "المهام ذات المعلمة" الصيغ الرئيسية للمهام ذات المعلمة: 1) ابحث عن جميع قيم المعلمات ، كل منها يفي بشرط معين.) حل معادلة أو عدم المساواة باستخدام

الموضوع 39. "مشتقات الدوال" الوظيفة تسمى مشتقة دالة عند النقطة x 0 حد نسبة زيادة الدالة إلى زيادة المتغير ، أي = lim = lim + () جدول المشتقات: المشتقات

قسم الرياضيات والمعلوماتية عناصر الرياضيات العليا مجمع تعليمي ومنهجي لطلاب التعليم المهني الثانوي الذين يدرسون باستخدام تقنيات عن بعد وحدة نظرية الحدود من إعداد: أستاذ مشارك

مشتق من دالة معناها الهندسي والمادي.

تمايز دالة ضمنية ضع في اعتبارك الوظيفة (،) = C (C = const) تحدد هذه المعادلة وظيفة ضمنية () لنفترض أننا حللنا هذه المعادلة ووجدنا تعبيرًا صريحًا = () الآن يمكننا

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي جامعة ولاية ياروسلافل تحمل اسم PG Demidov قسم التحليل المنفصل مجموعة المهام من أجل حل مستقل بشأن حدود الوظيفة الموضوعية

المؤتمر العلمي العملي الإقليمي للأعمال التربوية والبحثية والتصميمية للطلاب في الصفوف 6-11 "القضايا التطبيقية والأساسية في الرياضيات" الجوانب المنهجية لدراسة الرياضيات

الحدود والاستمرارية. حد الوظيفة دع الدالة = f) تُعرَّف في بعض المناطق المجاورة للنقطة = أ. في نفس الوقت ، في نفس النقطة ، لا يتم تعريف الوظيفة بالضرورة. تعريف. الرقم ب يسمى الحد

اختبار الحالة الموحدة في الرياضيات ، العرض التوضيحي لمدة 7 سنوات ، الجزء أ أوجد قيمة التعبير 6p p مع p = الحل استخدم خاصية الدرجة: استبدل في التعبير الناتج صحيح

0.5 المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات. كتب مستخدمة:. الجبر وبداية التحليل 0 - حرره A.N. Kolmogorov. أعمال مستقلة وضابطة على الجبر 0- تحرير E.P. Ershov

نظام المهام حول موضوع "المعادلة المماسية" حدد علامة منحدر الظل المرسوم على الرسم البياني للوظيفة y f () ، عند النقاط التي تحتوي على abscissas a ، b ، c a) b) حدد النقاط التي عندها المشتق

عدم المساواة مع معلمة في امتحان الدولة الموحدة VV Silvestrov

المعادلات الجبرية حيث التعريف. الجبرية هي معادلة بالصيغة 0 ، P () 0 ، بعض الأعداد الحقيقية. 0 0 في هذه الحالة ، يسمى المتغير مجهول ، والأرقام 0 تسمى

معادلات الخط المستقيم والمستوى معادلة الخط المستقيم على المستوى المعادلة العامة للخط المستقيم. علامة على التوازي والعمودي للخطوط. في الإحداثيات الديكارتية ، يتم تحديد كل سطر في مستوى Oxy بواسطة

رسم بياني لمشتق دالة فترات رتابة دالة مثال 1. يوضح الشكل رسمًا بيانيًا y = f (x) لمشتق الدالة f (x) المحددة في الفترة (1 ؛ 13). أوجد فترات الدالة المتزايدة

عينة من مسائل وأسئلة ماجستير أساسية لتسلسل الفصل الدراسي حد التسلسل البسيط لحساب حد التسلسل l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 حساب حد التسلسل

مشاكل في الهندسة التحليلية ، الرياضيات الميكانيكية ، جامعة موسكو الحكومية المشكلة دان هو رباعي الوجوه O Express المتجه EF من حيث المتجهات O O O مع البداية في المنتصف E من الحافة O وتنتهي عند النقطة F من تقاطع المتوسطات من حل المثلث Let

بيان المشكلة طريقة التقسيم طريقة الأوتار (طريقة الأجزاء المتناسبة 4 طريقة نيوتن (طريقة الظل 5 طريقة التكرارات (طريقة التقريب المتتالي) بيان المشكلة معطى

1. التعبيرات والتحولات 1.1 جذر الدرجة n مفهوم جذر الدرجة n خصائص جذر الدرجة n: جذر المنتج ومنتج الجذور: تبسيط التعبير ؛ أوجد القيم جذر حاصل القسمة

المحاضرة N4. تفاضل دالة بين الرتب الأولى والعليا. ثبات الصيغة التفاضلية. مشتقات الطلبات الأعلى. تطبيق التفاضل في الحسابات التقريبية. 1. مفهوم التفاضل ....

الوحدة 7 "الدوال الأسية واللوغاريتمية". تعميم مفهوم الدرجة. جذر الدرجة وخصائصها .. معادلات غير منطقية .. درجة ذات أس عقلاني .. دالة أسية ..

13. الأس واللوغاريتم لاستكمال إثبات الاقتراح 12.8 ، يبقى لنا تقديم تعريف واحد وإثبات اقتراح واحد. التعريف 13.1. تسمى السلسلة أ أنا متقاربة تمامًا إذا

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي جامعة ولاية نوفوسيبيرسك التعليمية المتخصصة ومركز العلوم الرياضيات للصف العاشر بحث عن وظائف نوفوسيبيرسك

محاضرة ن. المجال العددي. مشتق اتجاهي. الانحدار. مستوى ظل وسطح عادي. Extrema لدالة من عدة متغيرات. أقصى حد شرطي المجال العددي. المشتق فيما يتعلق

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي جامعة ولاية نوفوسيبيرسك المتخصصة التعليمية والعلمية الرياضيات الصف 0 حدود التسلسل نوفوسيبيرسك حدسي

تعريف الوظيفة العكسية وخصائصها: lemma على الرتابة المتبادلة للوظائف المباشرة والمعكوسة ؛ تناظر الرسوم البيانية للوظائف المباشرة والعكسية ؛ النظريات حول وجود واستمرارية الدالة العكسية لوظيفة رتيبة بشكل صارم على مقطع ، فاصل ، ونصف فترة. أمثلة على الوظائف العكسية. مثال على حل المشكلة. براهين الخواص والنظريات.

التعريف والخصائص

تعريف الدالة العكسية
دع الدالة لها مجال X ومجموعة من القيم Y. ودعها تمتلك الملكية:
للجميع.
ثم بالنسبة لأي عنصر من المجموعة Y ، يمكن ربط عنصر واحد فقط من المجموعة X ، لذلك. تحدد هذه المراسلات وظيفة تسمى وظيفة عكسيةإلى . يتم الإشارة إلى الوظيفة العكسية على النحو التالي:
.

يتبع من التعريف أن
;
للجميع
للجميع.

خاصية حول تناظر الرسوم البيانية للوظائف المباشرة والمعكوسة
الرسوم البيانية للدوال المباشرة والعكسية متناظرة بالنسبة للخط المباشر.

نظرية حول وجود واستمرارية الدالة العكسية على قطعة
دع الوظيفة تكون مستمرة وتتزايد بشكل صارم (متناقص) في الفترة الزمنية. ثم في الفاصل الزمني ، يتم تعريف الدالة العكسية ومستمرة ، والتي تتزايد (تناقصًا) بشكل صارم.

لدالة متزايدة. للنزول -.

نظرية حول وجود واستمرارية الدالة العكسية على فترة
دع الوظيفة تكون مستمرة وتتزايد بشكل صارم (متناقص) على فاصل مفتوح محدود أو لانهائي. ثم يتم تحديد الوظيفة العكسية ومستمرة على الفترة الزمنية ، والتي تتزايد (تناقصًا) بشكل صارم.

لدالة متزايدة.
للنزول:.

بطريقة مماثلة ، يمكن للمرء صياغة نظرية حول وجود واستمرارية دالة عكسية على نصف الفترة.

إذا كانت الوظيفة مستمرة وتزداد (تنقص) بشكل صارم على نصف الفاصل الزمني أو ، ثم في نصف الفترة أو يتم تحديد الوظيفة العكسية ، مما يزيد (ينقص) بدقة. هنا .

إذا كانت تتزايد بشكل صارم ، فإن الفواصل الزمنية وتتوافق مع الفترات الزمنية و. إذا تناقص بشكل صارم ، فإن الفواصل الزمنية وتتوافق مع الفواصل الزمنية و.
تم إثبات هذه النظرية بنفس طريقة إثبات النظرية حول وجود واستمرارية الدالة العكسية على فترة.

أمثلة على الوظائف العكسية

أركسين

المؤامرات ص = الخطيئة xوالدالة العكسية y = أركسين x.

ضع في اعتبارك الدالة المثلثية التجويف:. يتم تعريفه ومستمر لجميع قيم الوسيطة ، ولكنه ليس رتيبًا. ومع ذلك ، إذا تم تضييق مجال التعريف ، فيمكن التمييز بين الأقسام الرتيبة. لذلك ، في المقطع ، يتم تعريف الوظيفة ، ومستمرة ، وزيادة صارمة ، وأخذ القيم منها -1 قبل +1 . لذلك ، لها وظيفة عكسية تسمى القوسين. القوس لديه مجال تعريف ومجموعة من القيم.

لوغاريتم

المؤامرات ص = 2 ×والدالة العكسية y = سجل 2 x.

يتم تعريف الدالة الأسية ، ومستمرة ، وتتزايد بشكل صارم لجميع قيم الوسيطة. مجموعة قيمها عبارة عن فاصل زمني مفتوح. الدالة العكسية هي لوغاريتم الأساس الثاني. لها نطاق ومجموعة من القيم.

الجذر التربيعي

المؤامرات y = x 2 والدالة العكسية.

وظيفة الطاقة محددة ومستمرة للجميع. مجموعة قيمها عبارة عن نصف فاصل. لكنها ليست رتيبة بالنسبة لجميع قيم الحجة. ومع ذلك ، في نصف الفترة الزمنية ، يكون مستمرًا ويزداد بشكل رتيب بشكل صارم. لذلك ، إذا أخذنا المجموعة كمجال ، فهناك دالة عكسية تسمى الجذر التربيعي. للدالة العكسية مجال تعريف ومجموعة من القيم.

مثال. دليل على وجود وتفرد جذر الدرجة n

إثبات أن المعادلة ، حيث n عدد طبيعي ، هي رقم حقيقي غير سالب ، ولها حل فريد في مجموعة الأعداد الحقيقية ،. يسمى هذا الحل الجذر النوني لـ a. أي أنك تحتاج إلى إظهار أن أي رقم غير سالب له جذر فريد للدرجة n.

ضع في اعتبارك دالة للمتغير x:
(P1) .

دعونا نثبت أنه مستمر.
باستخدام تعريف الاستمرارية ، نظهر ذلك
.
نطبق صيغة نيوتن ذات الحدين:
(ف 2)
.
دعونا نطبق الخصائص الحسابية لحدود الدالة. منذ ذلك الحين ، فإن المصطلح الأول فقط هو غير صفري:
.
تم إثبات الاستمرارية.

دعنا نثبت أن الوظيفة (P1) تزيد بدقة.
لنأخذ أرقامًا عشوائية مرتبطة بعدم المساواة:
, , .
نحن بحاجة لإظهار ذلك. دعنا نقدم المتغيرات. ثم . منذ ذلك الحين ، يُرى من (A2) أن. أو
.
تم إثبات الزيادة الصارمة.

أوجد مجموعة قيم الدالة لـ.
في هذه النقطة.
لنجد الحد.
للقيام بذلك ، قم بتطبيق عدم المساواة برنولي. عندما نمتلك:
.
منذ ذلك الحين و.
بتطبيق خاصية المتباينات ذات الدوال اللانهائية الكبيرة ، نجد ذلك.
في هذا الطريق، ، .

وفقًا لنظرية الدالة العكسية ، يتم تعريف دالة عكسية ومستمرة على فترة. وهذا يعني ، بالنسبة لأي شخص هناك فريد يرضي المعادلة. نظرًا لأن لدينا ، فهذا يعني أنه بالنسبة لأي معادلة لها حل فريد ، يسمى جذر الدرجة n من الرقم x:
.

براهين الخواص والنظريات

إثبات اللمة على الرتابة المتبادلة للوظائف المباشرة والمعكوسة

دع الدالة لها مجال X ومجموعة من القيم Y. دعنا نثبت أن لها دالة عكسية. بناءً على ذلك ، نحتاج إلى إثبات ذلك
للجميع.

لنفترض العكس. يجب ألا تكون هناك أرقام ، لذلك. دع في نفس الوقت. خلاف ذلك ، نقوم بتغيير الترميز بحيث يكون كذلك. بعد ذلك ، بسبب الرتابة الصارمة لـ f ، يجب أن يكون أحد التفاوتات قائماً:
إذا كانت f تتزايد بشكل صارم ؛
إذا كانت f تتناقص بشكل صارم.
هذا هو . كان هناك تناقض. لذلك ، لها دالة عكسية.

دع الوظيفة تتزايد بشكل صارم. دعنا نثبت أن الدالة العكسية تتزايد أيضًا بشكل صارم. دعونا نقدم التدوين:
. وهذا يعني أننا بحاجة إلى إثبات ذلك إذا ، إذن.

لنفترض العكس. دعونا ، ولكن.

اذا ثم . هذه الحالة خارج.

يترك . بعد ذلك ، بسبب الزيادة الصارمة في الوظيفة ، أو. كان هناك تناقض. لذلك ، فإن الحالة فقط ممكنة.

ثبت أن اللمة تعمل بشكل صارم على الزيادة. يمكن إثبات هذه اللمة بطريقة مماثلة لوظيفة متناقصة بشكل صارم.

إثبات خاصية على تناظر الرسوم البيانية للوظائف المباشرة والمعكوسة

يجب أن تكون نقطة تعسفية للرسم البياني للوظيفة المباشرة:
(2.1) .
دعنا نوضح أن النقطة ، المتماثلة مع النقطة أ بالنسبة للخط ، تنتمي إلى الرسم البياني للدالة العكسية:
.
ويترتب على تعريف الدالة العكسية أن
(2.2) .
وبالتالي ، نحن بحاجة لإظهار (2.2).

رسم بياني للدالة العكسية y = f -1 (x)متماثل مع الرسم البياني للدالة المباشرة y = f (خ)بالنسبة إلى الخط المستقيم y = x.

من النقطتين A و S نقوم بإسقاط الخطوط العمودية على محاور الإحداثيات. ثم
, .

من خلال النقطة أ نرسم خطًا عموديًا على الخط. دع الخطوط تتقاطع عند النقطة C. نبني نقطة S على الخط بحيث. ثم ستكون النقطة S متناظرة مع النقطة أ بالنسبة للخط المستقيم.

ضع في اعتبارك المثلثات و. لهما ضلعان متساويان في الطول: و بينهما زوايا متساوية:. لذلك فهي متطابقة. ثم
.

لنفكر في المثلث. منذ ذلك الحين
.
الأمر نفسه ينطبق على المثلث:
.
ثم
.

الآن نجد:
;
.

إذن ، المعادلة (2.2):
(2.2)
راضي لأن و (2.1) راضٍ:
(2.1) .

نظرًا لأننا اخترنا النقطة A بشكل تعسفي ، فإن هذا ينطبق على جميع نقاط الرسم البياني:
جميع نقاط الرسم البياني للدالة ، المنعكسة بشكل متماثل فيما يتعلق بالخط المستقيم ، تنتمي إلى الرسم البياني للدالة العكسية.
ثم يمكننا تبديل الأماكن. نتيجة لذلك ، نحصل عليه
جميع نقاط الرسم البياني للدالة ، المنعكسة بشكل متماثل حول الخط المستقيم ، تنتمي إلى الرسم البياني للدالة.
ويترتب على ذلك أن الرسوم البيانية للوظائف متماثلة فيما يتعلق بالخط المستقيم.

تم إثبات الملكية.

إثبات النظرية على وجود واستمرارية الدالة العكسية على فترة

دعنا نشير إلى مجال تعريف الوظيفة - المقطع.

1. دعنا نظهر أن مجموعة قيم الوظيفة هي الفاصل الزمني:
,
أين .

في الواقع ، نظرًا لأن الوظيفة مستمرة في المقطع ، فإنها تصل إلى الحد الأدنى والأقصى لها وفقًا لنظرية Weierstrass. بعد ذلك ، وفقًا لنظرية Bolzano-Cauchy ، تأخذ الوظيفة جميع القيم من المقطع. هذا هو ، لأي موجود ، من أجله. نظرًا لوجود حد أدنى وحد أقصى ، تأخذ الوظيفة قيم المقطع فقط من المجموعة.

2. نظرًا لأن الوظيفة رتيبة تمامًا ، فوفقًا لما سبق ، توجد وظيفة عكسية ، وهي أيضًا رتيبة تمامًا (تزداد إذا زادت ؛ وتنقص إذا انخفضت). مجال الدالة العكسية هو المجموعة ، ومجموعة القيم هي المجموعة.

3. الآن نثبت أن الدالة العكسية مستمرة.

3.1. يجب ألا يكون هناك نقطة داخلية تعسفية للقطاع:. دعنا نثبت أن الدالة العكسية متصلة عند هذه النقطة.

دعها تتوافق مع النقطة. نظرًا لأن الوظيفة العكسية رتيبة تمامًا ، أي النقطة الداخلية للمقطع:
.
وفقًا لتعريف الاستمرارية ، نحتاج إلى إثبات أنه لأي دالة من هذا القبيل
(3.1) للجميع.

لاحظ أننا يمكن أن نأخذ صغيرة بشكل تعسفي. في الواقع ، إذا وجدنا دالة بحيث يتم استيفاء المتباينات (3.1) لقيم صغيرة بما فيه الكفاية ، فسيتم استيفائها تلقائيًا لأي قيم كبيرة لـ ، إذا حددناها.

دعونا نأخذها صغيرة جدًا بحيث تكون النقاط وتنتمي إلى المقطع:
.
دعونا نقدم ونرتب الترميز:



.

نقوم بتحويل المتباينة الأولى (3.1):
(3.1) للجميع.
;
;
;
(3.2) .
نظرًا لأنه رتيب تمامًا ، فإنه يتبع ذلك
(3.3.1) ، إذا زاد ؛
(3.3.2) إذا انخفض.
بما أن الوظيفة العكسية هي أيضًا رتيبة تمامًا ، فإن المتباينات (3.3) تشير إلى عدم المساواة (3.2).

لأي ε > 0 موجود δ ، لذا | f -1 (ص) - و -1 (ص 0) |< ε للجميع | ص - ص 0 | < δ .

المتباينات (3.3) تحدد فترة مفتوحة يتم فصل نهاياتها عن النقطة بمسافات و. يجب ألا يكون هناك أصغر هذه المسافات:
.
بسبب الرتابة الصارمة لـ ، ،. لهذا . ثم يقع الفاصل الزمني في الفترة المحددة بواسطة المتباينات (3.3). وبالنسبة لجميع القيم التي تنتمي إليها ، سيتم إشباع التفاوتات (3.2).

لذلك ، وجدنا أنه لما يكفي من الصغر ، موجود ، لذلك
في .
الآن دعونا نغير الترميز.
لصغير بما يكفي ، يوجد مثل هذا
في .
هذا يعني أن الدالة العكسية مستمرة عند النقاط الداخلية.

3.2 فكر الآن في نهايات مجال التعريف. هنا تظل جميع الحجج كما هي. فقط الأحياء أحادية الجانب من هذه النقاط التي يجب أخذها في الاعتبار. بدلاً من النقطة ، سيكون هناك أو ، وبدلاً من النقطة - أو.

لذلك ، من أجل وظيفة متزايدة ،.
في .
الدالة العكسية متصلة عند ، لأنه يوجد أي دالة صغيرة بما فيه الكفاية
في .

لدالة متناقصة ،.
الدالة العكسية متصلة عند ، لأنه يوجد أي دالة صغيرة بما فيه الكفاية
في .
الدالة العكسية متصلة عند ، لأنه يوجد أي دالة صغيرة بما فيه الكفاية
في .

لقد تم إثبات النظرية.

إثبات النظرية على وجود واستمرارية الدالة العكسية على الفترة الزمنية

دعنا نشير إلى مجال الوظيفة - فاصل مفتوح. اسمحوا ان تكون مجموعة من القيم. وفقًا لما سبق ، هناك دالة عكسية لها مجال تعريف ، ومجموعة من القيم وهي رتيبة تمامًا (تزداد إذا زادت وتنقص إذا انخفضت). يبقى لنا أن نثبت ذلك
1) المجموعة عبارة عن فاصل زمني مفتوح ، وذلك
2) الدالة العكسية مستمرة عليها.
هنا .

1. دعنا نظهر أن مجموعة قيم الدالة هي فترة مفتوحة:
.

مثل أي مجموعة غير فارغة تحتوي عناصرها على عملية مقارنة ، فإن مجموعة قيم الدالة لها حدود سفلية وأعلى:
.
هنا ، ويمكن أن تكون أرقامًا أو رموزًا محدودة و.

1.1 دعونا نظهر أن النقاط ولا تنتمي إلى مجموعة قيم الوظيفة. أي أن مجموعة القيم لا يمكن أن تكون قطعة.

إذا كان أو هو نقطة في اللانهاية: أو ، إذن هذه النقطة ليست عنصرًا من عناصر المجموعة. لذلك ، لا يمكن أن تنتمي إلى مجموعة من القيم.

لنكن (أو) عددًا محدودًا. لنفترض العكس. دع النقطة (أو) تنتمي إلى مجموعة قيم الوظيفة. أي يوجد مثل هذا الذي (أو). خذ النقاط واستيفاء التفاوتات:
.
نظرًا لأن الوظيفة رتيبة تمامًا ، إذن
، إذا زاد f ؛
إذا كانت f تتناقص.
أي أننا وجدنا نقطة تكون فيها قيمة الدالة أقل (أكبر من ). لكن هذا يتناقض مع تعريف الوجه السفلي (العلوي) على أساسه
للجميع .
لذلك النقاط و لا يمكن أن تنتمي إلى مجموعة من القيم المهام .

1.2. الآن دعنا نظهر أن مجموعة القيم هي فترة , بدلاً من اتحاد الفترات والنقاط. هذا هو ، لأي نقطة موجود , لأي منهم .

حسب تعريفات الوجوه السفلية والعليا ، في أي حي من النقاط و يحتوي على عنصر واحد على الأقل من المجموعة . يترك - رقم تعسفي ينتمي إلى الفاصل الزمني : . ثم للحي موجود , لأي منهم
.
للحي موجود , لأي منهم
.

بسبب ال و , ومن بعد . ثم
(4.1.1) إذا يزيد؛
(4.1.2) إذا النقصان.
من السهل إثبات عدم المساواة (4.1) بالتناقض. ولكن يمكنك استخدامها ، وفقًا للمجموعة هناك دالة عكسية , الذي يتزايد بشكل صارم إذا ويقل بشكل صارم إذا . ثم نحصل على الفور على المتباينات (4.1).

لذلك لدينا شريحة , أين إذا يزيد؛
إذا النقصان.
في نهايات المقطع ، تأخذ الدالة القيم و . بسبب ال , ثم من خلال نظرية بولزانو كوشي ، هناك نقطة , لأي منهم .

بسبب ال , وهكذا أظهرنا ذلك لأي موجود , لأي منهم . هذا يعني أن مجموعة قيم الدالة فترة زمنية مفتوحة .

2. دعنا نظهر الآن أن الدالة العكسية مستمرة عند نقطة عشوائية فترة : . للقيام بذلك ، تنطبق على المقطع . بسبب ال , ثم الدالة العكسية مستمر على الجزء , بما في ذلك في هذه النقطة .

لقد تم إثبات النظرية.

مراجع:
O.I. شياطين. محاضرات في التحليل الرياضي. الجزء 1. موسكو ، 2004.
سم. نيكولسكي. دورة التحليل الرياضي. المجلد 1. موسكو ، 1983.