أمثلة مصفوفة معكوسة بمحلول 2x2. المصفوفة المعكوسة وخصائصها

مصفوفة الجبر - معكوس المصفوفة

مصفوفة معكوسة

مصفوفة معكوسةتسمى المصفوفة التي ، عند ضربها في كل من اليمين واليسار هذه المصفوفةيعطي مصفوفة الهوية.
أشر إلى معكوس المصفوفة للمصفوفة لكنمن خلال ، ثم وفقًا للتعريف نحصل عليه:

أين ه – مصفوفة الهوية.
مصفوفة مربعةاتصل غير خاص (غير منحط) إذا كان محدده لا يساوي صفرًا. خلاف ذلك ، يطلق عليه خاص (تتدهور) أو صيغة المفرد.

هناك نظرية: كل مصفوفة غير مفردة لها مصفوفة معكوسة.

تسمى عملية إيجاد معكوس المصفوفة مناشدةالمصفوفات. ضع في اعتبارك خوارزمية انعكاس المصفوفة. دعنا نعطي مصفوفة غير مفردة نالترتيب الثالث:

حيث Δ = det أ ≠ 0.

عنصر جبري مكملالمصفوفات نالترتيب لكنمحدد المصفوفة ( نتم الحصول على طلب رقم 1) بالحذف أنا-الخط و ي- العمود الثالث من المصفوفة لكن:

دعونا ننشئ ما يسمى ب تعلقمصفوفة:

أين المكملات الجبرية للعناصر المقابلة للمصفوفة لكن.
لاحظ أن الجبر يكمل عناصر الصف في المصفوفة لكنيتم وضعها في الأعمدة المقابلة من المصفوفة Ã ، وهذا يعني ، يتم تبديل المصفوفة في وقت واحد.
قسمة جميع عناصر المصفوفة Ã على Δ - قيمة محدد المصفوفة لكن، نحصل على معكوس المصفوفة نتيجة لذلك:

نلاحظ السلسلة خصائص خاصةمصفوفة معكوسة:
1) لمصفوفة معينة لكنلها مصفوفة معكوسة هو الوحيد
2) إذا كانت هناك مصفوفة معكوسة العكس الصحيحو اليسار العكسيالمصفوفات تتطابق معها ؛
3) لا تحتوي مصفوفة مربعة خاصة (متدهورة) على مصفوفة معكوسة.

الخصائص الرئيسية للمعكوس المصفوفة:
1) محدد المصفوفة العكسية ومحدد المصفوفة الأصلية مقلوبان ؛
2) المصفوفة العكسية لمنتج المصفوفات المربعة تساوي حاصل ضرب المصفوفات العكسية للعوامل ، مأخوذة بترتيب عكسي:

3) المصفوفة المعكوسة المنقولة تساوي معكوس المصفوفة من المصفوفة المنقولة المعطاة:

مثال احسب معكوس المصفوفة للمصفوفة الآتية.

التعريف 1:تسمى المصفوفة متدهورة إذا كان محددها صفرًا.

التعريف 2:تسمى المصفوفة غير المفرد إذا كان محددها لا يساوي الصفر.

يسمى مصفوفة "أ" مصفوفة معكوسة، إذا تم استيفاء الشرط A * A-1 = A-1 * A = E (مصفوفة الهوية).

تكون المصفوفة المربعة قابلة للعكس فقط إذا كانت غير أحادية.

مخطط لحساب معكوس المصفوفة:

1) احسب محدد المصفوفة "أ" إذا ∆ A = 0 ، إذن لا يوجد معكوس المصفوفة.

2) أوجد كل التكميلات الجبرية للمصفوفة "أ".

3) يؤلف مصفوفة من الإضافات الجبرية (Aij)

4) قلب مصفوفة المكملات الجبرية (Aij) T

5) اضرب المصفوفة المنقولة بعدد ، محدد عكسيهذه المصفوفة.

6) قم بإجراء فحص:

للوهلة الأولى قد يبدو الأمر صعبًا ، لكن في الحقيقة كل شيء بسيط للغاية. كل الحلول مبنية على أساس بسيط عمليات حسابية، الشيء الرئيسي عند الحل هو عدم الخلط بين علامات "-" و "+" ، وعدم فقدانها.

الآن دعونا نقرر معا مهمة عملية، حساب معكوس المصفوفة.

المهمة: إيجاد معكوس المصفوفة "أ" الموضحة في الصورة أدناه:

نحل كل شيء تمامًا كما هو موضح في خطة حساب معكوس المصفوفة.

1. أول شيء يجب فعله هو إيجاد محدد المصفوفة "أ":

تفسير:

لقد بسطنا المحدد باستخدام وظائفه الرئيسية. أولاً ، أضفنا إلى الصف الثاني والثالث عناصر الصف الأول مضروبة في رقم واحد.

ثانيًا ، قمنا بتغيير العمودين الثاني والثالث من المحدد ، ووفقًا لخصائصه ، قمنا بتغيير العلامة الموجودة أمامه.

ثالثًا ، استخرجنا العامل المشترك (-1) للصف الثاني ، وبالتالي غيرنا الإشارة مرة أخرى ، وأصبحت موجبة. قمنا أيضًا بتبسيط السطر 3 بنفس الطريقة كما في بداية المثال.

لدينا محدد مثلث ، حيث العناصر الموجودة أسفل القطر تساوي صفرًا ، وبحسب الخاصية 7 يساوي المنتجعناصر قطرية. نتيجة لذلك ، وصلنا ∆ أ = 26 ، ومن هنا توجد المصفوفة العكسية.

أ 11 = 1 * (3 + 1) = 4

A12 = -1 * (9 + 2) = -11

أ 13 = 1 * 1 = 1

أ 21 = -1 * (- 6) = 6

أ 22 = 1 * (3-0) = 3

A23 = -1 * (1 + 4) = -5

أ 31 = 1 * 2 = 2

أ 32 = -1 * (- 1) = -1

أ 33 = 1+ (1 + 6) = 7

3. الخطوة التالية هي تجميع مصفوفة من الإضافات الناتجة:

5. نضرب هذه المصفوفة في مقلوب المحدد ، أي في 1/26:

6. حسنًا ، نحتاج الآن فقط إلى التحقق مما يلي:

أثناء التحقق ، تلقينا مصفوفة هوية ، وبالتالي ، تم اتخاذ القرار بشكل صحيح تمامًا.

2 طريقة لحساب معكوس المصفوفة.

1. التحول الأولي للمصفوفات

2. مصفوفة معكوسة من خلال محول أولي.

يتضمن تحويل المصفوفة الأولية:

1. ضرب سلسلة في عدد غير صفري.

2. إضافة إلى أي سطر من سطر آخر ، مضروبًا في رقم.

3. تبديل صفوف المصفوفة.

4. تطبيق السلسلة التحولات الأولية، نحصل على مصفوفة أخرى.

لكن -1 = ?

1. (أ | هـ) ~ (هـ | أ -1 )

2. أ -1 * أ = هـ

النظر في الأمر مثال عمليبأرقام حقيقية.

ممارسه الرياضه:أوجد معكوس المصفوفة.

المحلول:

دعونا تحقق:

القليل من التوضيح حول الحل:

قمنا أولاً بتبديل الصفين 1 و 2 من المصفوفة ، ثم ضربنا الصف الأول في (-1).

بعد ذلك ، تم ضرب الصف الأول في (-2) وإضافته إلى الصف الثاني من المصفوفة. ثم قمنا بضرب الصف الثاني في 1/4.

المرحلة الأخيرةكانت التحويلات هي ضرب الصف الثاني في 2 والجمع من الأول. نتيجة لذلك ، لدينا مصفوفة وحدة على اليسار ، وبالتالي ، فإن معكوس المصفوفة هو المصفوفة الموجودة على اليمين.

بعد التدقيق ، اقتنعنا بصحة القرار.

كما ترى ، حساب معكوس المصفوفة بسيط للغاية.

في ختام هذه المحاضرة ، أود أيضًا تخصيص بعض الوقت لخصائص مثل هذه المصفوفة.

إيجاد معكوس المصفوفة- مشكلة يتم حلها غالبًا بطريقتين:

طريقة الإضافات الجبرية ، حيث يلزم إيجاد المحددات وتبديل المصفوفات ؛
طريقة القضاء جاوس غير معروف، حيث يلزم إجراء تحويلات أولية للمصفوفات (إضافة صفوف ، وضرب الصفوف بنفس العدد ، وما إلى ذلك).

بالنسبة لأولئك الذين لديهم فضول بشكل خاص ، هناك طرق أخرى ، على سبيل المثال ، طريقة التحولات الخطية. في هذا الدرس ، سنقوم بتحليل الطرق الثلاثة المذكورة والخوارزميات لإيجاد معكوس المصفوفة بهذه الطرق.

مصفوفة معكوسة لكن، تسمى هذه المصفوفة

لكن
. (1)

مصفوفة معكوسة ليتم العثور عليها من أجل المعطى مصفوفة مربعة لكن، تسمى هذه المصفوفة

المنتج الذي بواسطته المصفوفات لكنعلى اليمين مصفوفة الهوية ، أي
. (1)

مصفوفة الوحدة هي مصفوفة قطرية تكون فيها جميع الإدخالات القطرية مساوية لواحد.

نظرية.لكل مصفوفة مربعة غير مفردة (غير مفردة ، غير مفردة) ، يمكن للمرء أن يجد مصفوفة معكوسة ، وعلاوة على ذلك ، مصفوفة واحدة فقط. بالنسبة لمصفوفة مربعة خاصة (منحطة ، مفردة) ، لا توجد مصفوفة معكوسة.

تسمى المصفوفة المربعة غير خاص(أو غير منحط, غير مفرد) إذا كان محدده لا يساوي صفرًا ، و خاص(أو تتدهور, صيغة المفرد) إذا كان المحدد هو صفر.

يمكن إيجاد المصفوفة العكسية لمصفوفة مربعة فقط. بطبيعة الحال ، ستكون المصفوفة العكسية أيضًا مربعة ومن نفس ترتيب المصفوفة المعطاة. تسمى المصفوفة التي يمكن إيجاد مصفوفة معكوسة بها مصفوفة عكسية.

إلى عن على مصفوفة معكوسة هناك تشابه مناسب مع مقلوب الرقم. لكل رقم أ، الذي لا يساوي الصفر ، يوجد رقم بهذا العمل أو بيساوي واحد: أب= 1. رقم بيسمى مقلوب الرقم ب. على سبيل المثال ، بالنسبة للرقم 7 ، المعكوس هو الرقم 1/7 ، حيث أن 7 * 1/7 = 1.

إيجاد معكوس المصفوفة بطريقة الجمع الجبرية (مصفوفة الاتحاد)

لمصفوفة مربعة غير مفردة لكنالمعكوس هو المصفوفة

أين محدد المصفوفة لكن، а هي المصفوفة المرتبطة بالمصفوفة لكن.

متحالف مع مصفوفة مربعة أهي مصفوفة من نفس الترتيب والتي تكون عناصرها هي المكملات الجبرية للعناصر المقابلة لمحدد المصفوفة المنقولة فيما يتعلق بالمصفوفة أ. وهكذا ، إذا

ومن بعد

خوارزمية لإيجاد معكوس المصفوفة بطريقة الجمع الجبرية

1. أوجد محدد هذه المصفوفة أ. إذا كان المحدد يساوي صفرًا ، فإن إيجاد معكوس المصفوفة يتوقف ، لأن المصفوفة تتدهور ولا يوجد معكوس لها.

2. البحث عن مصفوفة منقول بالنسبة ل أ.

3. احسب عناصر مصفوفة الاتحاد كمكملات جبرية لماريتا الموجودة في الخطوة 2.

4. طبق المعادلة (2): اضرب مقلوب محدد المصفوفة أ، إلى مصفوفة الاتحاد الموجودة في الخطوة 4.

5. تحقق من النتيجة التي تم الحصول عليها في الخطوة 4 بضرب هذه المصفوفة أإلى معكوس المصفوفة. إذا كان حاصل ضرب هذه المصفوفات يساوي مصفوفة الوحدة ، فسيتم إيجاد معكوس المصفوفة بشكل صحيح. وإلا ابدأ عملية الحل مرة أخرى.

مثال 1للمصفوفة

أوجد معكوس المصفوفة.

المحلول. لإيجاد معكوس المصفوفة ، من الضروري إيجاد محدد المصفوفة لكن. نجد من خلال قاعدة المثلثات:

لذلك ، المصفوفة لكنهو غير مفرد (غير منحط ، غير مفرد) وهناك معكوس له.

لنجد المصفوفة المرتبطة بالمصفوفة المعطاة لكن.

لنجد المصفوفة المنقولة بالنسبة إلى المصفوفة أ:

نحسب عناصر مصفوفة الاتحاد كمكملات جبرية للمصفوفة المنقولة فيما يتعلق بالمصفوفة أ:

لذلك ، فإن المصفوفة مترافقة مع المصفوفة أ، له الشكل

تعليق.قد يختلف ترتيب حساب العناصر وتبديل المصفوفة. يمكن للمرء أن يحسب أولا المكملات الجبرية للمصفوفة أ، ثم بدّل مصفوفة التكميلات الجبرية. يجب أن تكون النتيجة نفس عناصر مصفوفة الاتحاد.

بتطبيق الصيغة (2) ، نجد معكوس المصفوفة على المصفوفة لكن:

إيجاد المصفوفة المعكوسة عن طريق القضاء على المجهول

الخطوة الأولى لإيجاد معكوس المصفوفة بالحذف الغاوسي هي إسناد المصفوفة أمصفوفة الهوية من نفس الترتيب ، مع فصلها بشريط عمودي. نحصل على مصفوفة مزدوجة. اضرب كلا الجزأين في هذه المصفوفة ، ثم نحصل على

خوارزمية لإيجاد معكوس المصفوفة من خلال القضاء الغاوسي على المجهول

1. إلى المصفوفة أتخصيص مصفوفة هوية من نفس الترتيب.

2. قم بتحويل المصفوفة المزدوجة الناتجة بحيث يتم الحصول على مصفوفة الوحدة في الجزء الأيسر منها ، ثم يتم الحصول على المصفوفة العكسية تلقائيًا في الجزء الأيمن بدلاً من مصفوفة الوحدة. مصفوفة أعلى الجانب الأيسر يتم تحويلها إلى مصفوفة الوحدة عن طريق التحويلات الأولية للمصفوفة.

2. إذا كان في عملية تحويل مصفوفة أفي مصفوفة الوحدة في أي صف أو في أي عمود سيكون هناك فقط أصفار ، ثم محدد المصفوفة يساوي صفرًا ، وبالتالي ، المصفوفة أسوف تتدهور ، وليس لها مصفوفة معكوسة. في هذه الحالة ، يتوقف العثور على معكوس المصفوفة.

مثال 2للمصفوفة

أوجد معكوس المصفوفة.

وسنقوم بتحويله بحيث يتم الحصول على مصفوفة الوحدة على الجانب الأيسر. لنبدأ التحول.

اضرب الصف الأول من المصفوفة اليسرى واليمنى في (-3) وأضفه إلى الصف الثاني ، ثم اضرب الصف الأول في (-4) وأضفه إلى الصف الثالث ، ثم نحصل على

لتجنب ، إذا كان ذلك ممكنا أعداد كسريةفي التحويلات اللاحقة ، سننشئ أولاً وحدة في الصف الثاني على الجانب الأيسر من المصفوفة المزدوجة. للقيام بذلك ، اضرب الصف الثاني في 2 واطرح منه الصف الثالث ، ثم نحصل عليه

لنضيف الصف الأول إلى الصف الثاني ، ثم نضرب الصف الثاني في (-9) ونضيفه إلى الصف الثالث. ثم نحصل

اقسم الصف الثالث على 8 ، ثم

اضرب الصف الثالث في 2 وأضفه إلى الصف الثاني. اتضح:

تبديل أماكن الخطين الثاني والثالث ، ثم نحصل أخيرًا على:

نرى أن مصفوفة الوحدة تم الحصول عليها من الجانب الأيسر ، لذلك تم الحصول على معكوس المصفوفة في الجانب الأيمن. في هذا الطريق:

يمكنك التحقق من صحة العمليات الحسابية بضرب المصفوفة الأصلية في معكوس المصفوفة:

يجب أن تكون النتيجة معكوس المصفوفة.

مثال 3للمصفوفة

أوجد معكوس المصفوفة.

المحلول. تجميع مصفوفة مزدوجة

وسوف نقوم بتحويله.

نضرب الصف الأول في 3 ، والثاني في 2 ، ونطرح من الثاني ، ثم نضرب الصف الأول في 5 ، والثالث في 2 ونطرح من الصف الثالث ، ثم نحصل على

نضرب الصف الأول في 2 ونضيفه إلى الثاني ، ثم نطرح الثاني من الصف الثالث ، ثم نحصل على

نرى أنه في السطر الثالث على الجانب الأيسر ، تبين أن جميع العناصر تساوي صفرًا. لذلك ، فإن المصفوفة متدهورة وليس لها مصفوفة معكوسة. نتوقف عن المزيد من العثور على ماريا العكسية.

تسمى المصفوفة $ A ^ (- 1) $ معكوس المصفوفة المربعة $ A $ إذا $ A ^ (- 1) \ cdot A = A \ cdot A ^ (- 1) = E $ ، حيث $ E $ هي مصفوفة الوحدة ، ترتيبها يساوي ترتيب المصفوفة $ A $.

المصفوفة غير المفردة هي مصفوفة لا يساوي محددها صفرًا. وفقًا لذلك ، فإن المصفوفة المتدهورة هي التي يكون محددها صفرًا.

توجد المصفوفة المعكوسة $ A ^ (- 1) $ إذا وفقط إذا كانت المصفوفة $ A $ غير لغوية. إذا كانت المصفوفة المعكوسة $ A ^ (- 1) $ موجودة ، فإنها تكون فريدة.

توجد عدة طرق لإيجاد معكوس المصفوفة ، وسننظر في طريقتين منها. ستغطي هذه الصفحة طريقة المصفوفة المساعدة ، والتي تعتبر قياسية في معظم الدورات. رياضيات أعلى. الطريقة الثانية للعثور على المصفوفة العكسية (طريقة التحويلات الأولية) ، والتي تتضمن استخدام طريقة Gauss أو طريقة Gauss-Jordan ، يتم النظر فيها في الجزء الثاني.

طريقة المصفوفة المساعدة (الاتحاد)

دع المصفوفة $ A_ (n \ times n) $ تُعطى. لإيجاد معكوس المصفوفة $ A ^ (- 1) $ ، يلزم ثلاث خطوات:

ابحث عن محدد المصفوفة $ A $ وتأكد من أن $ \ Delta A \ neq 0 $ ، أي أن المصفوفة A غير متولدة.
تكوين مكملات جبرية $ A_ (ij) $ لكل عنصر من عناصر المصفوفة $ A $ واكتب المصفوفة $ A_ (n \ times n) ^ (*) = \ left (A_ (ij) \ right) $ من الموجود يكمل الجبر.
اكتب معكوس المصفوفة مع مراعاة الصيغة $ A ^ (- 1) = \ frac (1) (\ Delta A) \ cdot (A ^ (*)) ^ T $.

المصفوفة $ (A ^ (*)) ^ T $ غالبًا ما يشار إليها بالمصفوفة المساعدة (المتبادلة ، المتحالفة) للمصفوفة $ A $.

إذا تم اتخاذ القرار يدويًا ، فإن الطريقة الأولى جيدة فقط لمصفوفات الطلبات الصغيرة نسبيًا: الثانية () ، والثالثة () ، والرابعة (). لإيجاد معكوس مصفوفة أعلى ترتيب، يتم استخدام طرق أخرى. على سبيل المثال ، طريقة غاوس التي تمت مناقشتها في الجزء الثاني.

مثال 1

أوجد المصفوفة معكوسة للمصفوفة $ A = \ left (\ begin (array) (cccc) 5 & -4 & 1 & 0 \ 12 & -11 & 4 & 0 \\ -5 & 58 & 4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \ end (مجموعة) \ يمين) $.

نظرًا لأن جميع عناصر العمود الرابع تساوي صفرًا ، فإن $ \ Delta A = 0 $ (أي أن المصفوفة $ A $ تتدهور). بما أن $ \ Delta A = 0 $ ، فلا يوجد معكوس مصفوفة لـ $ A $.

المثال رقم 2

أوجد معكوس المصفوفة للمصفوفة $ A = \ left (\ begin (array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \ end (array) \ right) $.

نحن نستخدم طريقة المصفوفة المساعدة. أولًا نجد المحدد مصفوفة معينةدولار أمريكي:

$$ \ Delta A = \ left | \ start (array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \ end (array) \ right | = -5 \ cdot 8-7 \ cdot 9 = -103. $$

بما أن $ \ Delta A \ neq 0 $ ، فإن المصفوفة العكسية موجودة ، لذلك نواصل الحل. إيجاد المكملات الجبرية

\ ابدأ (محاذاة) & A_ (11) = (- 1) ^ 2 \ cdot 8 = 8 ؛ \ ؛ A_ (12) = (- 1) ^ 3 \ cdot 9 = -9 ؛ \\ & A_ (21) = (- 1) ^ 3 \ cdot 7 = -7 ؛ \ ؛ A_ (22) = (- 1) ^ 4 \ cdot (-5) = - 5. \\ \ end (محاذاة)

قم بتكوين مصفوفة للمكملات الجبرية: $ A ^ (*) = \ left (\ begin (array) (cc) 8 & -9 \\ -7 & -5 \ end (array) \ right) $.

قلب المصفوفة الناتجة: $ (A ^ (*)) ^ T = \ left (\ begin (array) (cc) 8 & -7 \\ -9 & -5 \ end (array) \ right) $ (الناتج غالبًا ما تسمى المصفوفة بالمصفوفة المساعدة أو المصفوفة الموحدة للمصفوفة $ A $). باستخدام الصيغة $ A ^ (- 1) = \ frac (1) (\ Delta A) \ cdot (A ^ (*)) ^ T $ ، لدينا:

$$ A ^ (- 1) = \ frac (1) (- 103) \ cdot \ left (\ begin (array) (cc) 8 & -7 \\ -9 & -5 \ end (array) \ right) = \ left (\ start (array) (cc) -8/103 & 7/103 \ 9/103 & 5/103 \ end (array) \ right) $$

لذلك تم العثور على المصفوفة المعكوسة: $ A ^ (- 1) = \ left (\ begin (array) (cc) -8/103 & 7/103 \ 9/103 & 5/103 \ end (array) \ حق) $. للتحقق من صحة النتيجة ، يكفي التحقق من حقيقة إحدى نقاط المساواة: $ A ^ (- 1) \ cdot A = E $ أو $ A \ cdot A ^ (- 1) = E $. دعونا نتحقق من المساواة $ A ^ (- 1) \ cdot A = E $. من أجل العمل بشكل أقل مع الكسور ، سنقوم باستبدال المصفوفة $ A ^ (- 1) $ وليس بالصيغة $ \ left (\ begin (array) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ end (array) \ right) $ لكن مثل $ - \ frac (1) (103) \ cdot \ left (\ begin (array) (cc) 8 & -7 \\ -9 & -5 \ نهاية (مجموعة) \ يمين) $:

إجابه: $ A ^ (- 1) = \ left (\ begin (array) (cc) -8/103 & 7/103 \ 9/103 & 5/103 \ end (array) \ right) $.

المثال رقم 3

أوجد معكوس المصفوفة $ A = \ left (\ begin (array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \ end (array) \ right) $.

لنبدأ بحساب محدد المصفوفة $ A $. إذن ، محدد المصفوفة $ A $ هو:

$$ \ Delta A = \ left | \ start (array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \ end (array) \ right | = 18-36 + 56-12 = 26. $$

بما أن $ \ Delta A \ neq 0 $ ، فإن المصفوفة العكسية موجودة ، لذلك نواصل الحل. نجد المكملات الجبرية لكل عنصر من عناصر المصفوفة المعطاة:

نؤلف مصفوفة من الإضافات الجبرية وننقلها:

$$ A ^ * = \ left (\ start (array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37 \ end (array) \ right) ؛ \ ؛ (A ^ *) ^ T = \ left (\ start (array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37 \ end (array) \ right) $$

باستخدام الصيغة $ A ^ (- 1) = \ frac (1) (\ Delta A) \ cdot (A ^ (*)) ^ T $ ، نحصل على:

$$ A ^ (- 1) = \ frac (1) (26) \ cdot \ left (\ start (array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37 \ end (array) \ right) = \ left (\ start (array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3 / 26 & 37/26 \ نهاية (مجموعة) \ يمين) $$

إذن $ A ^ (- 1) = \ left (\ start (array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 / 13 & -3 / 26 & 37/26 نهاية (مصفوفة) \ يمين) $. للتحقق من صحة النتيجة ، يكفي التحقق من حقيقة إحدى نقاط المساواة: $ A ^ (- 1) \ cdot A = E $ أو $ A \ cdot A ^ (- 1) = E $. دعونا نتحقق من المساواة $ A \ cdot A ^ (- 1) = E $. من أجل العمل بشكل أقل مع الكسور ، سنقوم باستبدال المصفوفة $ A ^ (- 1) $ وليس بالصيغة $ \ left (\ begin (array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \ end (مجموعة) \ يمين) $ ، ولكن مثل $ \ frac (1) (26) \ cdot \ left (\ begin (array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37 \ end (array) \ right) $:

تم اجتياز الاختبار بنجاح ، تم العثور على المصفوفة المعكوسة $ A ^ (- 1) $ بشكل صحيح.

إجابه: $ A ^ (- 1) = \ left (\ start (array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 / 13 & -3 / 26 & 37/26 نهاية (مصفوفة) \ يمين) $.

المثال رقم 4

أوجد معكوس المصفوفة $ A = \ left (\ begin (array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4 \\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7 \\ -4 & 8 & -8 & -3 \ end (مجموعة) \ يمين) $.

بالنسبة لمصفوفة من الدرجة الرابعة ، يكون إيجاد المصفوفة العكسية باستخدام عمليات الجمع الجبرية أمرًا صعبًا إلى حد ما. ومع ذلك ، مثل هذه الأمثلة مراقبة العمليجتمع.

لإيجاد معكوس المصفوفة ، عليك أولاً حساب محدد المصفوفة $ A $. أفضل طريقة للقيام بذلك في هذه الحالة هي توسيع المحدد في صف (عمود). نختار أي صف أو عمود ونجد المكمل الجبري لكل عنصر من عناصر الصف أو العمود المحدد.

إيجاد معكوس المصفوفة.

في هذا المقال سنتناول مفهوم المصفوفة المعكوسة وخصائصها وطرق إيجادها. دعونا نتناول بالتفصيل حل الأمثلة التي تتطلب بناء مصفوفة معكوسة لمصفوفة معينة.

التنقل في الصفحة.

المصفوفة المعكوسة - التعريف.

إيجاد معكوس المصفوفة باستخدام مصفوفة الجمع الجبرية.

خصائص معكوس المصفوفة.

إيجاد معكوس المصفوفة بطريقة غاوس جوردان.

إيجاد عناصر المصفوفة العكسية عن طريق حل الأنظمة المقابلة من المعادلات الجبرية الخطية.

المصفوفة المعكوسة - التعريف.

يتم تقديم مفهوم المصفوفة العكسية فقط للمصفوفات المربعة التي يختلف محددها عن الصفر ، أي لمصفوفات مربعة غير مفردة.

تعريف.

مصفوفةيسمى معكوس المصفوفة، الذي يختلف محدده عن الصفر ، إذا كانت المساواة صحيحة ، أين ههي مصفوفة هوية النظام نعلى ال ن.

إيجاد معكوس المصفوفة باستخدام مصفوفة الجمع الجبرية.

كيفية إيجاد معكوس المصفوفة لمصفوفة معينة؟

أولا ، نحن بحاجة إلى المفاهيم مصفوفة منقولوالمصفوفة الصغرى والمكمل الجبري لعنصر المصفوفة.

تعريف.

تحت السن القانونيك ال ترتيبالمصفوفات أترتيب معلى ال نهو محدد مصفوفة الترتيب كعلى ال ك، والتي يتم الحصول عليها من عناصر المصفوفة لكنيقع في المحدد كخطوط و كالأعمدة. ( كلا يتجاوز أصغر عدد مأو ن).

تحت السن القانوني (ن -1) عشرالترتيب ، والذي يتكون من عناصر جميع الصفوف ، باستثناء ط، وجميع الأعمدة باستثناء ي-ال، مصفوفة مربعة لكنترتيب نعلى ال ندعنا نشير إليها على أنها.

بمعنى آخر ، يتم الحصول على القاصر من المصفوفة المربعة لكنترتيب نعلى ال نشطب العناصر طخطوط و ي-العمودي.

على سبيل المثال ، دعنا نكتب ، قاصر الثانيالنظام الذي يتم الحصول عليه من المصفوفة اختيار عناصر الصف الثاني والثالث والأول والثالث . نعرض أيضًا القاصر ، الذي تم الحصول عليه من المصفوفة حذف الصف الثاني والعمود الثالث . دعونا نوضح بناء هؤلاء القصر: و.

تعريف.

الجمع الجبرييسمى عنصر المصفوفة المربعة بالقاصر (ن -1) عشرالنظام الذي يتم الحصول عليه من المصفوفة لكنوحذف عناصر من طخطوط و ي-الالعمود مضروبًا في.

يُشار إلى التكملة الجبرية للعنصر على أنها. هكذا، .

على سبيل المثال ، لمصفوفة المكمل الجبري للعنصر هو.

ثانيًا ، سنحتاج إلى خاصيتين للمُحدد ، والتي ناقشناها في القسم حساب محدد المصفوفة:

بناءً على خصائص المحدد ، التعريفات عمليات ضرب مصفوفة بعددومفهوم معكوس المصفوفة ، لدينا المساواة ، أين هي مصفوفة منقول عناصرها مكملات جبرية.

مصفوفة هو بالفعل معكوس المصفوفة لكن، منذ المساواة . دعونا نظهر ذلك

دعونا نؤلف خوارزمية المصفوفة العكسيةباستخدام المساواة .

دعنا نحلل الخوارزمية لإيجاد معكوس المصفوفة باستخدام مثال.

مثال.

معطى مصفوفة . أوجد معكوس المصفوفة.

المحلول.

احسب محدد المصفوفة لكنوتوسيعه بعناصر العمود الثالث:

المحدد ليس صفريًا ، لذا المصفوفة لكنتفريغ.

لنجد مصفوفة من الإضافات الجبرية:

لهذا

لنقم بنقل المصفوفة من الإضافات الجبرية:

الآن نجد معكوس المصفوفة على النحو التالي :

دعنا نتحقق من النتيجة:

المساواة لذلك ، تم العثور على معكوس المصفوفة بشكل صحيح.

خصائص معكوس المصفوفة.

مفهوم المصفوفة المعكوسة ، المساواة ، فإن تعريفات العمليات على المصفوفات وخصائص محدد المصفوفة تجعل من الممكن إثبات ما يلي خصائص المصفوفة العكسية:

إيجاد عناصر المصفوفة العكسية عن طريق حل الأنظمة المقابلة من المعادلات الجبرية الخطية.

فكر في طريقة أخرى لإيجاد معكوس المصفوفة لمصفوفة مربعة لكنترتيب نعلى ال ن.

هذه الطريقة تعتمد على الحل ننظم المعادلات الجبرية الخطية غير المتجانسة مع نمجهول. المتغيرات غير المعروفة في أنظمة المعادلات هذه هي عناصر معكوس المصفوفة.

الفكرة بسيطة جدا. دلالة على معكوس المصفوفة X، هذا هو، . منذ ذلك الحين من خلال تعريف معكوس المصفوفة

نحصل على مساواة العناصر المقابلة بالأعمدة نأنظمة المعادلات الخطية

نحلها بأي طريقة ونشكل مصفوفة عكسية من القيم التي تم العثور عليها.

دعنا نحلل هذه الطريقة بمثال.

مثال.

معطى مصفوفة . أوجد معكوس المصفوفة.

المحلول.

قبول . تعطينا المساواة ثلاثة أنظمة من المعادلات الجبرية الخطية غير المتجانسة:

لن نصف حل هذه الأنظمة ؛ إذا لزم الأمر ، ارجع إلى القسم حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية.

من نظام المعادلات الأول لدينا ، من الثاني - من الثالث -. لذلك ، فإن المصفوفة العكسية المرغوبة لها الشكل . نوصي بالتحقق للتأكد من صحة النتيجة.

لخص.

درسنا مفهوم المصفوفة العكسية وخصائصها وطرق ثلاث لإيجادها.

مثال على حلول المصفوفة العكسية

التمرين 1.حل SLAE باستخدام طريقة المصفوفة العكسية. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + س 4 = 4

بداية النموذج

نهاية النموذج

المحلول. لنكتب المصفوفة بالشكل التالي: المتجه B: B T = (1،2،3،4) المحدد الرئيسي الصغرى لـ (1،1): = 5 (6 1-3 2) -7 (3 1-3 2) +4 (3 2-6 2) = -3 ثانوي لـ (2،1): = 3 (6 1-3 2) -7 (3 1-3 1) +4 (3 2-6 1) = 0 ثانوي لـ (3 ، 1): = 3 (3 1-3 2) -5 (3 1-3 1) +4 (3 2-3 1) = 3 ثانوي لـ (4،1): = 3 (3 2-) 6 2) -5 (3 2-6 1) +7 (3 2-3 1) = 3 محدد ثانوي ∆ = 2 (-3) -3 0 + 5 3-4 3 = -3

مصفوفة منقولالمكملات الجبرية ∆ 1.1 = 5 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4) +2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1.2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4) +1 (7 3-6 4) = 0 1.3 = 3 (3 1-2 3) -3 (5 1-2 4) +1 (5 3-3 4) = 3 1.4 = -3 (3 2-2 6) -3 (5 2-2 7) +1 (5 6-3 7) = -3 2.1 = -3 (6 1-2 3) -3 (5 1-2 4 ) +2 (5 3-6 4) = 9 2.2 = 2 (6 1-2 3) -3 (5 1-2 4) +1 (5 3-6 4) = 0 2.3 = -2 (3 1-2 3) -3 (3 1-2 4) +1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2.4 = 2 (3-2 2 6) -3 (3 2-2 5) +1 (3) 6-3 5) = 3 3.1 = 3 (7 1-2 4) -5 (5 1-2 4) +2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3.2 = -2 (7 1-2 4 ) -3 (5 1-2 4) +1 (5 4-7 4) = 1 3.3 = 2 (5 1 -2 4) -3 (3 1-2 4) +1 (3 4-5 4) = 1 ∆ 3.4 = -2 (5 2-2 7) -3 (3 2-2 5) +1 (3 7-5 5) = 0 4.1 = -3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4) +3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4.2 = 2 (7 3-6 4) -3 (5 3-6 4) +3 (5 4-7 4) \ u003d -3 ∆ 4.3 \ u003d -2 (5 3-3 4) -3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 4.4 = 2 (5 6-3 7) -3 (3 6- 3 5) +3 (3 7-5 5) = -3 مصفوفة معكوسة النتيجة المتجه Xس = أ -1 ∙ ب X T = (2 ، -1 ، -0.33.1) × 1 = 2 × 2 = -1 × 3 = -0.33 × 4 = 1

أنظر أيضا حلول SLAE بطريقة المصفوفة العكسيةعبر الانترنت. للقيام بذلك ، أدخل بياناتك واحصل على قرار مع التعليقات التفصيلية.

المهمة 2. اكتب جملة المعادلات في صورة مصفوفة وحلها باستخدام معكوس المصفوفة. تحقق من الحل الذي تم الحصول عليه. المحلول:xml:xls

مثال 2. اكتب جملة المعادلات في صورة مصفوفة وحل باستخدام معكوس المصفوفة. المحلول:xml:xls

مثال. نظام من ثلاث معادلات خطية مع ثلاثة مجاهيل معطاة. المطلوب: 1) إيجاد الحل باستخدام صيغ كرامر؛ 2) اكتب النظام في صورة مصفوفة وحلها باستخدام حساب المصفوفة. القواعد الارشادية. بعد الحل بطريقة كرامر ، ابحث عن الزر "حل المصفوفة العكسية للبيانات الأولية". سوف تتلقى القرار المناسب. وبالتالي ، لن يتعين ملء البيانات مرة أخرى. المحلول. دلالة بواسطة أ - مصفوفة معاملات المجهول ؛ X - مصفوفة العمود المجهول ؛ ب - عمود المصفوفة للأعضاء الأحرار:

المتجه B: B T = (4، -3، -3) بالنظر إلى هذه الرموز ، يأخذ نظام المعادلات هذا شكل المصفوفة التالي: А * Х = B. إذا كانت المصفوفة А غير صفرية (محددها غير صفري ، فهذا يعني أنها تحتوي على المصفوفة العكسية А -1. بضرب جانبي المعادلة بـ A -1 ، نحصل على: A -1 * A * X \ u003d A -1 * B ، A -1 * A \ u003d E. هذه المساواة تسمى رمز المصفوفة لحل نظام المعادلات الخطية. لإيجاد حل لنظام المعادلات ، من الضروري حساب معكوس المصفوفة A -1. سيكون للنظام حل إذا كان محدد المصفوفة A غير صفري. لنجد المحدد الرئيسي. ∆ = -1 (-2 (-1) -1 1) -3 (3 (-1) -1 0) +2 (3 1 - (- 2 0)) = 14 إذن ، المحدد هو 14 ≠ 0 ، لذلك نواصل الحل. للقيام بذلك ، نجد معكوس المصفوفة من خلال عمليات الجمع الجبرية. لنحصل على مصفوفة غير مفردة أ:

نحسب الإضافات الجبرية.

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7

∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

X T = (- 1،1،2) × 1 = -14 / 14 = -1 × 2 = 14/14 = 1 × 3 = 28/14 = 2 فحص. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 وثيقة:xml:xls إجابه: -1,1,2.