تعريف عام للمشتق. مشتق المجموع والفرق

يعد اشتقاق الوظيفة من أصعب الموضوعات في المناهج الدراسية. لن يجيب كل خريج على سؤال ما هو المشتق.

تشرح هذه المقالة ببساطة وبشكل واضح ما هو المشتق ولماذا هو مطلوب.. لن نكافح الآن من أجل الدقة الرياضية في العرض. أهم شيء هو فهم المعنى.

لنتذكر التعريف:

المشتق هو معدل تغير الوظيفة.

يوضح الشكل الرسوم البيانية لثلاث وظائف. أي واحد برأيك ينمو الأسرع؟

الجواب واضح - الثالث. لديها أعلى معدل تغيير ، أي المشتق الأكبر.

هنا مثال آخر.

حصل كوستيا وجريشا وماتفي على وظائف في نفس الوقت. دعونا نرى كيف تغير دخلهم خلال العام:

يمكنك رؤية كل شيء على الرسم البياني على الفور ، أليس كذلك؟ تضاعف دخل كوستيا في ستة أشهر. وزاد دخل جريشا أيضًا ، لكن قليلاً فقط. وانخفض دخل ماثيو إلى الصفر. شروط البداية هي نفسها ، ولكن معدل تغيير الوظيفة ، أي المشتق، - مختلف. أما بالنسبة لماتفي ، فإن مشتق دخله سلبي بشكل عام.

حدسيًا ، يمكننا بسهولة تقدير معدل تغيير الوظيفة. ولكن كيف لنا أن نفعل ذلك؟

ما ننظر إليه حقًا هو إلى أي مدى يرتفع الرسم البياني للوظيفة (أو ينخفض). بمعنى آخر ، مدى سرعة تغير y مع x. من الواضح أن نفس الوظيفة في نقاط مختلفة يمكن أن يكون لها قيمة مختلفة للمشتق - أي أنها يمكن أن تتغير بشكل أسرع أو أبطأ.

يتم الإشارة إلى مشتق الوظيفة بواسطة.

دعنا نوضح كيفية إيجاد ذلك باستخدام الرسم البياني.

يتم رسم رسم بياني لبعض الوظائف. خذ نقطة في ذلك مع حدود الإحداثية. ارسم ظلًا للرسم البياني للدالة عند هذه النقطة. نريد تقييم مدى ارتفاع منحنى الدالة. قيمة في متناول اليد لهذا ظل منحدر الظل.

مشتق دالة عند نقطة ما يساوي ظل منحدر المماس المرسوم على الرسم البياني للدالة عند تلك النقطة.

يرجى ملاحظة - كزاوية ميل المماس ، نأخذ الزاوية بين المماس والاتجاه الموجب للمحور.

يسأل الطلاب أحيانًا ما هو المماس للرسم البياني للدالة. هذا خط مستقيم له النقطة المشتركة الوحيدة مع الرسم البياني في هذا القسم ، علاوة على ذلك ، كما هو موضح في الشكل. يبدو وكأنه مماس لدائرة.

لنجد. نتذكر أن ظل الزاوية الحادة في مثلث قائم الزاوية يساوي نسبة الضلع المقابلة على المجاورة. من المثلث:

وجدنا المشتق باستخدام التمثيل البياني دون معرفة صيغة الدالة. غالبًا ما توجد مثل هذه المهام في امتحان الرياضيات تحت الرقم.

هناك ارتباط مهم آخر. تذكر أن المعادلة تعطى للخط المستقيم

الكمية في هذه المعادلة تسمى منحدر خط مستقيم. إنه يساوي ظل زاوية ميل الخط المستقيم على المحور.

.

لقد حصلنا على ذلك

لنتذكر هذه الصيغة. يعبر عن المعنى الهندسي للمشتق.

مشتق دالة عند نقطة ما يساوي ميل المماس المرسوم على الرسم البياني للدالة عند تلك النقطة.

بمعنى آخر ، المشتق يساوي ظل منحدر المماس.

قلنا بالفعل أن نفس الدالة يمكن أن يكون لها مشتقات مختلفة عند نقاط مختلفة. دعونا نرى كيف يرتبط المشتق بسلوك الوظيفة.

لنرسم رسمًا بيانيًا لبعض الوظائف. دع هذه الوظيفة تزداد في بعض المناطق ، وتنخفض في مناطق أخرى ، وبمعدلات مختلفة. ودع هذه الوظيفة لها الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط.

عند نقطة ما ، تتزايد الوظيفة. المماس للرسم البياني ، المرسوم عند النقطة ، يشكل زاوية حادة ؛ مع اتجاه المحور الإيجابي. إذن ، المشتق موجب عند هذه النقطة.

عند هذه النقطة ، تتناقص وظيفتنا. يشكل الظل عند هذه النقطة زاوية منفرجة ؛ مع اتجاه المحور الإيجابي. بما أن ظل الزاوية المنفرجة سالب ، فإن المشتق عند النقطة سالب.

إليك ما يحدث:

إذا كانت الدالة تتزايد ، فإن مشتقها يكون موجبًا.

إذا انخفض ، يكون مشتقه سالبًا.

وماذا سيحدث عند الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط؟ نرى أنه عند (النقطة القصوى) و (النقطة الدنيا) يكون الظل أفقيًا. إذن ، ظل مماس منحدر المماس عند هاتين النقطتين يساوي صفرًا ، والمشتقة تساوي صفرًا أيضًا.

النقطة هي الحد الأقصى. في هذه المرحلة ، يتم استبدال الزيادة في الوظيفة بنقصان. وبالتالي ، تتغير علامة المشتق عند النقطة من "زائد" إلى "ناقص".

عند النقطة - النقطة الدنيا - المشتق يساوي أيضًا صفرًا ، لكن علامته تتغير من "ناقص" إلى "زائد".

الخلاصة: بمساعدة المشتق ، يمكنك معرفة كل ما يثير اهتمامنا حول سلوك الوظيفة.

إذا كان المشتق موجبًا ، فإن الدالة تتزايد.

إذا كانت المشتقة سالبة ، فإن الدالة تتناقص.

عند الحد الأقصى ، يكون المشتق صفراً ويغير إشارة من موجب إلى سالب.

عند أدنى نقطة ، يكون المشتق أيضًا صفرًا ويغير إشارة من سالب إلى موجب.

نكتب هذه النتائج في شكل جدول:

	يزيد	أقصى نقطة	تناقص	الحد الأدنى من النقاط	يزيد
+	0	-	0	+

لنقدم توضيحيين صغيرين. ستحتاج إلى واحد منهم عند حل المشكلة. آخر - في السنة الأولى ، مع دراسة أكثر جدية للوظائف والمشتقات.

تكون الحالة ممكنة عندما يكون مشتق دالة عند نقطة ما مساويًا للصفر ، لكن الوظيفة ليس لها حد أقصى أو حد أدنى في هذه المرحلة. هذا ما يسمى :

عند نقطة ما ، يكون مماس الرسم البياني أفقيًا والمشتق يساوي صفرًا. ومع ذلك ، قبل النقطة زادت الوظيفة - وبعد النقطة تستمر في الزيادة. لا تتغير علامة المشتق - فقد ظلت إيجابية كما كانت.

يحدث أيضًا أنه عند نقطة الحد الأقصى أو الحد الأدنى ، لا يوجد المشتق. على الرسم البياني ، هذا يتوافق مع كسر حاد ، عندما يكون من المستحيل رسم ظل عند نقطة معينة.

ولكن كيف يمكن إيجاد المشتق إذا لم يتم إعطاء الدالة من خلال رسم بياني ، ولكن بواسطة صيغة؟ في هذه الحالة ، فإنه ينطبق

عملية إيجاد المشتق تسمى التفاضل.

نتيجة لحل مشاكل إيجاد مشتقات لأبسط الوظائف (وليست بسيطة جدًا) من خلال تعريف المشتق على أنه حد نسبة الزيادة إلى الزيادة في الوسيطة ، ظهر جدول للمشتقات وقواعد محددة بدقة للتفاضل . كان إسحاق نيوتن (1643-1727) وجوتفريد فيلهلم ليبنيز (1646-1716) أول من عمل في مجال إيجاد المشتقات.

لذلك ، في عصرنا ، من أجل العثور على مشتق أي دالة ، ليس من الضروري حساب الحد المذكور أعلاه لنسبة زيادة الوظيفة إلى زيادة الوسيطة ، ولكن تحتاج فقط إلى استخدام الجدول المشتقات وقواعد التفاضل. الخوارزمية التالية مناسبة لإيجاد المشتق.

لإيجاد المشتق، فأنت بحاجة إلى تعبير تحت علامة السكتة الدماغية تحطيم الوظائف البسيطةوتحديد ما هي الإجراءات (المنتج ، المجموع ، الحاصل)ترتبط هذه الوظائف. علاوة على ذلك ، نجد مشتقات الدوال الأولية في جدول المشتقات ، والصيغ الخاصة بمشتقات المنتج ، والجمع والحاصل - في قواعد التفاضل. يتم إعطاء جدول المشتقات وقواعد التفاضل بعد المثالين الأولين.

مثال 1أوجد مشتق دالة

المحلول. من قواعد التفاضل نجد أن مشتق مجموع الوظائف هو مجموع مشتقات الوظائف ، أي

من جدول المشتقات ، نجد أن مشتق "X" يساوي واحدًا ، ومشتق جيب التمام هو جيب التمام. نعوض بهذه القيم في مجموع المشتقات ونجد المشتق الذي تتطلبه حالة المشكلة:

مثال 2أوجد مشتق دالة

المحلول. اشتق كمشتق من المجموع ، حيث يمكن إخراج المصطلح الثاني بعامل ثابت من علامة المشتق:

إذا كانت لا تزال هناك أسئلة حول مصدر شيء ما ، فإنها ، كقاعدة عامة ، تصبح واضحة بعد قراءة جدول المشتقات وأبسط قواعد التفاضل. نحن نذهب إليهم الآن.

جدول مشتقات الدوال البسيطة

1. مشتق ثابت (رقم). أي رقم (1 ، 2 ، 5 ، 200 ...) موجود في تعبير الدالة. دائما صفر. من المهم جدًا تذكر هذا ، لأنه مطلوب في كثير من الأحيان
2. مشتق المتغير المستقل. في أغلب الأحيان "x". دائما يساوي واحد. من المهم أيضًا تذكر هذا
3. مشتق من الدرجة. عند حل المشكلات ، تحتاج إلى تحويل الجذور غير التربيعية إلى أس.
4. مشتق متغير من القوة -1
5. مشتق من الجذر التربيعي
6. مشتق الجيب
7. مشتق جيب التمام
8. مشتق الظل
9. مشتق ظل التمام
10. مشتق القوسين
11. مشتق قوس جيب التمام
12. مشتق قوس الظل
13. مشتق من معكوس الظل
14. مشتق من اللوغاريتم الطبيعي
15. مشتق دالة لوغاريتمية
16. مشتق من الأس
17. مشتق من الدالة الأسية

قواعد التمايز

1. مشتق من المجموع أو الفرق
2. مشتق من المنتج
2 أ. مشتق من تعبير مضروب بعامل ثابت
3. مشتق من حاصل القسمة
4. مشتق دالة معقدة

المادة 1إذا كان يعمل

قابلة للتفاضل عند نقطة ما ، ثم الوظائف في نفس النقطة

و

أولئك. مشتق المجموع الجبري للوظائف يساوي المجموع الجبري لمشتقات هذه الدوال.

عاقبة. إذا اختلفت وظيفتان قابلتان للتفاضل بواسطة ثابت ، فإن مشتقاتهما تكون، بمعنى آخر.

القاعدة 2إذا كان يعمل

قابلة للتفاضل في مرحلة ما ، فإن منتجها قابل للتفاضل أيضًا في نفس النقطة

و

أولئك. مشتق حاصل ضرب وظيفتين يساوي مجموع حاصل ضرب كل من هاتين الدالتين ومشتق الآخر.

النتيجة 1. يمكن إخراج العامل الثابت من علامة المشتق:

النتيجة 2. مشتق ناتج العديد من الوظائف القابلة للتفاضل يساوي مجموع حاصل ضرب مشتق كل من العوامل وكل العوامل الأخرى.

على سبيل المثال ، لثلاثة مضاعفات:

القاعدة 3إذا كان يعمل

قابلة للتفاضل في مرحلة ما و , عند هذه النقطة يكون حاصل قسمةها أيضًا قابلاً للاشتقاق.u / v و

أولئك. مشتق خارج قسمة دالتين يساوي كسر بسطه هو الفرق بين حاصل ضرب المقام ومشتق البسط والبسط ومشتق المقام ، والمقام هو مربع البسط السابق .

أين تبحث في الصفحات الأخرى

عند العثور على مشتق المنتج وحاصل القسمة في مشاكل حقيقية ، من الضروري دائمًا تطبيق عدة قواعد تفاضل في وقت واحد ، لذلك توجد المزيد من الأمثلة على هذه المشتقات في المقالة."مشتق المنتج والحاصل".

تعليق.يجب ألا تخلط بين ثابت (أي رقم) كمصطلح في المجموع وكعامل ثابت! في حالة المصطلح ، يكون مشتقه مساويًا للصفر ، وفي حالة وجود عامل ثابت ، يتم استبعاده من علامة المشتقات. هذا خطأ نموذجي يحدث في المرحلة الأولى من دراسة المشتقات ، ولكن عندما يحل الطالب العادي عدة أمثلة مكونة من مكونين ، فإن الطالب العادي لم يعد يرتكب هذا الخطأ.

وإذا كان لديك مصطلح عند التفريق بين منتج أو حاصل قسمة ش"الخامس، حيث ش- رقم ، على سبيل المثال ، 2 أو 5 ، أي ثابت ، ثم مشتق هذا الرقم سيكون مساويًا للصفر ، وبالتالي ، فإن المصطلح بأكمله سيكون مساويًا للصفر (يتم تحليل هذه الحالة في المثال 10) .

خطأ شائع آخر هو الحل الميكانيكي لمشتق دالة معقدة كمشتق لدالة بسيطة. لهذا مشتق دالة معقدةمكرسة لمقال منفصل. لكن أولاً سوف نتعلم إيجاد مشتقات وظائف بسيطة.

على طول الطريق ، لا يمكنك الاستغناء عن تحولات التعبيرات. للقيام بذلك ، قد تحتاج إلى فتح كتيبات النوافذ الجديدة أفعال ذات قوى وجذورو الأفعال مع الكسور .

إذا كنت تبحث عن حلول للمشتقات ذات القوى والجذور ، أي عندما تبدو الوظيفة ، ثم اتبع الدرس "مشتق من مجموع الكسور مع القوى والجذور".

إذا كان لديك مهمة مثل ، فأنت في الدرس "مشتقات الدوال المثلثية البسيطة".

أمثلة خطوة بخطوة - كيفية إيجاد المشتق

مثال 3أوجد مشتق دالة

المحلول. نحدد أجزاء تعبير الدالة: يمثل التعبير بأكمله المنتج ، وعوامله عبارة عن مجاميع ، وفي الثانية يحتوي أحد المصطلحات على عامل ثابت. نطبق قاعدة تمايز المنتج: مشتق حاصل ضرب وظيفتين يساوي مجموع حاصل ضرب كل من هاتين الدالتين ومشتق الآخر:

بعد ذلك ، نطبق قاعدة اشتقاق المجموع: مشتق مجموع الدوال الجبري يساوي المجموع الجبري لمشتقات هذه الدوال. في حالتنا ، في كل مجموع ، الحد الثاني بعلامة ناقص. في كل مجموع ، نرى متغيرًا مستقلاً ، مشتقه يساوي واحدًا ، وثابتًا (رقمًا) مشتقه يساوي صفرًا. لذا ، يتحول "x" إلى واحد ، وسالب 5 - إلى صفر. في التعبير الثاني ، يتم ضرب "x" في 2 ، لذلك نضرب اثنين في نفس وحدة مشتق "x". نحصل على القيم التالية للمشتقات:

نستبدل المشتقات الموجودة في مجموع المنتجات ونحصل على مشتق الوظيفة الكاملة التي تتطلبها حالة المشكلة:

مثال 4أوجد مشتق دالة

المحلول. مطلوب منا إيجاد مشتق خارج القسمة. نطبق صيغة اشتقاق خارج القسمة: مشتق خارج قسمة دالتين يساوي كسرًا يمثل بسطه الفرق بين حاصل ضرب المقام ومشتق البسط ومشتق المقام ، و المقام هو مربع البسط السابق. نحن نحصل:

لقد وجدنا بالفعل مشتق العوامل في البسط في المثال 2. دعونا لا ننسى أيضًا أن حاصل الضرب ، وهو العامل الثاني في البسط في المثال الحالي ، مأخوذ بعلامة ناقص:

إذا كنت تبحث عن حلول لمثل هذه المشاكل التي تحتاج فيها إلى إيجاد مشتق دالة ، حيث توجد كومة مستمرة من الجذور والدرجات ، مثل ، على سبيل المثال ، ثم مرحبًا بك في الفصل "مشتق مجموع الكسور ذات القوى والجذور" .

إذا كنت بحاجة إلى معرفة المزيد عن مشتقات الجيب وجيب التمام والظلال والوظائف المثلثية الأخرى ، أي عندما تبدو الدالة مثل ، ثم لديك درس "مشتقات الدوال المثلثية البسيطة" .

مثال 5أوجد مشتق دالة

المحلول. في هذه الدالة ، نرى منتجًا ، أحد عوامله هو الجذر التربيعي للمتغير المستقل ، والذي تعرفنا على مشتقه في جدول المشتقات. وفقًا لقاعدة تمايز المنتج والقيمة الجدولية لمشتق الجذر التربيعي ، نحصل على:

مثال 6أوجد مشتق دالة

المحلول. في هذه الدالة ، نرى حاصل القسمة الذي يكون المقسوم عليه هو الجذر التربيعي للمتغير المستقل. وفقًا لقاعدة اشتقاق حاصل القسمة ، التي كررناها وطبقناها في المثال 4 ، والقيمة المجدولة لمشتق الجذر التربيعي ، نحصل على:

للتخلص من الكسر في البسط ، اضرب البسط والمقام في.

من المستحيل تمامًا حل المشكلات الفيزيائية أو الأمثلة في الرياضيات دون معرفة المشتقات وطرق حسابها. المشتق من أهم مفاهيم التحليل الرياضي. قررنا تكريس مقال اليوم لهذا الموضوع الأساسي. ما هو المشتق ، ما هو معناه المادي والهندسي ، وكيف نحسب مشتقة دالة؟ يمكن دمج كل هذه الأسئلة في سؤال واحد: كيف نفهم المشتق؟

المعنى الهندسي والمادي للمشتق

يجب ألا تكون هناك وظيفة و (خ) ، في بعض الفترات (أ ، ب) . النقطتان x و x0 تنتمي إلى هذه الفترة. عندما تتغير x ، تتغير الوظيفة نفسها. تغيير الحجة - اختلاف قيمها x-x0 . هذا الاختلاف مكتوب كـ دلتا س ويسمى زيادة الوسيطة. تغيير أو زيادة دالة هو الفرق بين قيم الدالة عند نقطتين. تعريف مشتق:

مشتق دالة عند نقطة ما هو حد نسبة الزيادة في الدالة عند نقطة معينة إلى زيادة الوسيطة عندما تميل الأخيرة إلى الصفر.

وإلا يمكن كتابتها على النحو التالي:

ما الهدف من إيجاد مثل هذا الحد؟ لكن اي واحدة:

مشتق دالة عند نقطة ما يساوي ظل الزاوية بين محور OX وظل الرسم البياني للدالة عند نقطة معينة.

المعنى المادي للمشتق: المشتق الزمني للمسار يساوي سرعة الحركة المستقيمة.

في الواقع ، منذ أيام الدراسة ، يعلم الجميع أن السرعة مسار خاص. س = و (ر) و الوقت ر . متوسط ​​السرعة خلال فترة زمنية معينة:

لمعرفة سرعة الحركة في وقت واحد t0 تحتاج إلى حساب الحد:

القاعدة الأولى: أخرج الثابت

يمكن إخراج الثابت من علامة المشتق. علاوة على ذلك ، يجب أن يتم ذلك. عند حل الأمثلة في الرياضيات ، كقاعدة عامة - إذا كان بإمكانك تبسيط التعبير ، فتأكد من التبسيط .

مثال. دعنا نحسب المشتق:

القاعدة الثانية: مشتق مجموع الوظائف

مشتق مجموع وظيفتين يساوي مجموع مشتقات هاتين الدالتين. وينطبق الشيء نفسه على مشتق اختلاف الوظائف.

لن نعطي دليلًا على هذه النظرية ، بل سننظر في مثال عملي.

أوجد مشتق دالة:

القاعدة الثالثة: مشتق حاصل ضرب التوابع

يتم حساب مشتق ناتج وظيفتين قابلتين للتفاضل بواسطة الصيغة:

مثال: أوجد مشتق دالة:

المحلول:

من المهم هنا أن نقول عن حساب مشتقات الوظائف المعقدة. مشتق دالة معقدة يساوي ناتج مشتق هذه الدالة فيما يتعلق بالحجة الوسيطة بمشتق الوسيطة فيما يتعلق بالمتغير المستقل.

في المثال أعلاه ، نواجه التعبير:

في هذه الحالة ، الوسيطة الوسيطة هي 8x أس الخامس. من أجل حساب مشتق مثل هذا التعبير ، نأخذ أولاً في الاعتبار مشتق الوظيفة الخارجية فيما يتعلق بالحجة الوسيطة ، ثم نضرب في مشتق الوسيطة نفسها فيما يتعلق بالمتغير المستقل.

القاعدة الرابعة: مشتق حاصل قسمة وظيفتين

صيغة لتحديد مشتق حاصل قسمة وظيفتين:

حاولنا الحديث عن مشتقات الدمى من الصفر. هذا الموضوع ليس بالبساطة التي يبدو عليها ، لذا كن حذرًا: غالبًا ما تكون هناك عيوب في الأمثلة ، لذا كن حذرًا عند حساب المشتقات.

مع أي سؤال حول هذا الموضوع وموضوعات أخرى ، يمكنك الاتصال بخدمة الطلاب. في وقت قصير ، سنساعدك في حل أصعب الضوابط والتعامل مع المهام ، حتى لو لم تتعامل مع حساب المشتقات من قبل.

قم بتكوين النسبة وحساب الحد.

اين جدول المشتقات وقواعد التفاضل؟ بفضل حد واحد. يبدو وكأنه سحر ، لكن في الواقع - خفة اليد ولا احتيال. في الدرس ما هو المشتق؟بدأت بالنظر في أمثلة محددة ، حيث وجدت ، باستخدام التعريف ، مشتقات دالة خطية وتربيعية. لغرض الإحماء المعرفي ، سوف نستمر في الإزعاج جدول مشتقوشحذ الخوارزمية والحلول التقنية:

مثال 1

في الواقع ، من الضروري إثبات حالة خاصة لمشتق دالة القدرة ، والتي تظهر عادةً في الجدول:.

المحلولرسميًا من الناحية الفنية بطريقتين. لنبدأ بالنهج الأول المألوف بالفعل: يبدأ السلم بلوح ، وتبدأ الدالة المشتقة بمشتق عند نقطة ما.

انصح بعض(محدد) نقطة تنتمي إلى المجالاتدالة لها مشتق. اضبط الزيادة في هذه المرحلة (بالطبع ، ليس أبعد من ذلكس / س -أنا)وقم بتكوين الزيادة المقابلة للوظيفة:

لنحسب الحد:

يتم التخلص من عدم اليقين 0: 0 بواسطة تقنية قياسية تعود إلى القرن الأول قبل الميلاد. اضرب البسط والمقام بالتعبير المجاور :

تتم مناقشة تقنية حل هذا الحد بالتفصيل في الدرس التمهيدي. حول حدود الوظائف.

نظرًا لأنه يمكن اختيار أي نقطة في الفاصل الزمني ، فعندئذٍ ، عن طريق الاستبدال ، نحصل على:

إجابه

مرة أخرى ، دعونا نبتهج باللوغاريتمات:

مثال 2

أوجد مشتق التابع باستخدام تعريف المشتق

المحلول: لنفكر في نهج مختلف للترويج لنفس المهمة. إنه نفس الشيء تمامًا ، لكنه أكثر عقلانية من حيث التصميم. الفكرة هي التخلص من الرمز الموجود في بداية الحل واستخدام الحرف بدلاً من الحرف.

انصح افتراضىنقطة تنتمي إلى المجالاتوظيفة (فاصل زمني) ، وضبط الزيادة فيها. وهنا ، بالمناسبة ، كما هو الحال في معظم الحالات ، يمكنك الاستغناء عن أي تحفظات ، لأن الوظيفة اللوغاريتمية قابلة للتفاضل في أي نقطة في مجال التعريف.

ثم زيادة الوظيفة المقابلة هي:

لنجد المشتق:

تتم موازنة سهولة التصميم من خلال الارتباك الذي يمكن للمبتدئين (وليس فقط) تجربته. بعد كل شيء ، تعودنا على حقيقة أن الحرف "X" يتغير في الحد! لكن هنا كل شيء مختلف: - تمثال عتيق ، - زائر حي ، يسير بمرح على طول ممر المتحف. وهذا يعني أن "x" هي "مثل ثابت".

سأعلق على إزالة عدم اليقين خطوة بخطوة:

(1) نستخدم خاصية اللوغاريتم.

(2) بين قوسين ، نقسم البسط على حد المقام على حد.

(3) في المقام ، نضرب بشكل مصطنع ونقسم على "x" للاستفادة منه حد رائع ، بينما متناهي الصغريقف خارجا.

إجابه: حسب تعريف المشتق:

أو باختصار:

أقترح إنشاء صيغتين جدوليتين بشكل مستقل:

مثال 3

في هذه الحالة ، تكون الزيادة المجمعة ملائمة على الفور لتقليلها إلى قاسم مشترك. عينة تقريبية من الواجب في نهاية الدرس (الطريقة الأولى).

المثال 3:المحلول : ضع في اعتبارك نقطة ما ، تنتمي إلى نطاق الوظيفة . اضبط الزيادة في هذه المرحلة وقم بتكوين الزيادة المقابلة للوظيفة:

لنجد المشتق عند نقطة ما :

منذ ذلك الحين يمكنك اختيار أي نقطة نطاق الوظيفة ، ومن بعد و
إجابه : من خلال تعريف المشتق

مثال 4

ابحث عن المشتق بالتعريف

وهنا يجب اختزال كل شيء إلى حد رائع. الحل مؤطر بالطريقة الثانية.

وبالمثل ، هناك عدد آخر المشتقات المجدولة. يمكن العثور على قائمة كاملة في كتاب مدرسي ، أو ، على سبيل المثال ، المجلد الأول من Fichtenholtz. لا أرى فائدة كبيرة في إعادة الكتابة من الكتب وإثباتات قواعد التمايز - فقد تم إنشاؤها أيضًا بواسطة الصيغة.

المثال 4:المحلول ، مملوكة ، وتعيين زيادة فيه

لنجد المشتق:

الاستفادة من الحد الرائع

إجابه : حسب التعريف

مثال 5

أوجد مشتق دالة باستخدام تعريف المشتق

المحلول: استخدم النمط المرئي الأول. دعنا نفكر في نقطة ما تنتمي إلى ، دعنا نضع زيادة الحجة فيها. ثم زيادة الوظيفة المقابلة هي:

ربما لم يفهم بعض القراء بعد تمامًا المبدأ الذي يجب أن تتم الزيادة فيه. نأخذ نقطة (رقم) ونجد قيمة الوظيفة فيها: ، وهذا هو ، في الوظيفة بدلاً منيجب استبدال "x". نأخذ الآن أيضًا عددًا محددًا جدًا ونعوضه أيضًا في الدالة بدلاً من"x":. نكتب الفرق ، بينما هو ضروري أقواس تماما.

زيادة الوظيفة المكونة من المفيد التبسيط على الفور. لاجل ماذا؟ تسهيل واختصار حل الحد الإضافي.

نستخدم الصيغ والأقواس المفتوحة ونختصر كل ما يمكن تقليله:

الديك الرومي محترق ، لا مشكلة في الشواء:

نظرًا لأنه يمكن اختيار أي رقم حقيقي باعتباره الجودة ، فإننا نجري الاستبدال ونحصل عليه .

إجابه: حسب التعريف.

لأغراض التحقق ، نجد المشتق باستخدام قواعد وجداول التمايز:

من المفيد والممتع دائمًا معرفة الإجابة الصحيحة مقدمًا ، لذلك من الأفضل عقليًا أو في المسودة التفريق بين الوظيفة المقترحة بطريقة "سريعة" في بداية الحل.

مثال 6

أوجد مشتق دالة بتعريف المشتق

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". النتيجة تكمن في السطح:

المثال 6:المحلول : ضع في اعتبارك نقطة ما ، مملوكة ، وضبط زيادة الوسيطة فيه . ثم زيادة الوظيفة المقابلة هي:


دعنا نحسب المشتق:


في هذا الطريق:
لأنه كما يمكن اختيار أي رقم حقيقي و
إجابه : حسب التعريف.

دعنا نعود إلى النمط رقم 2:

مثال 7

دعنا نكتشف على الفور ما يجب أن يحدث. بواسطة قاعدة اشتقاق دالة معقدة:

المحلول: ضع في اعتبارك نقطة تعسفية تنتمي إلى ، وقم بتعيين زيادة الوسيطة فيها وقم بتكوين الزيادة في الوظيفة:

لنجد المشتق:


(1) الاستخدام الصيغة المثلثية .

(2) تحت الجيب نفتح الأقواس ، وتحت جيب التمام نقدم مصطلحات مماثلة.

(3) تحت الجيب نقوم بتقليل الحدود ، وتحت جيب التمام نقسم البسط على حد المقام على حد.

(4) بسبب غرابة الجيب ، نخرج "ناقص". تحت جيب التمام ، نشير إلى أن المصطلح.

(5) نضرب المقام بشكل مصطنع لاستخدامه أول حد رائع. وبالتالي ، يتم التخلص من عدم اليقين ، نقوم بتمشيط النتيجة.

إجابه: حسب التعريف

كما ترى ، تكمن الصعوبة الرئيسية للمشكلة قيد النظر في تعقيد الحد نفسه + أصالة طفيفة في التعبئة. في الممارسة العملية ، يتم مصادفة كلتا الطريقتين في التصميم ، لذلك أصف كلا النهجين بأكبر قدر ممكن من التفاصيل. إنها متكافئة ، ولكن مع ذلك ، في انطباعي الشخصي ، من الأفضل أن تلتزم الدمى بالخيار الأول بـ "X صفر".

المثال 8

باستخدام التعريف ، أوجد مشتق الدالة

المثال 8:المحلول : اعتبر نقطة تعسفية ، مملوكة ، فلنضع زيادة فيه وقم بزيادة الوظيفة:

لنجد المشتق:

نستخدم الصيغة المثلثية وأول حد لافت للنظر:


إجابه : حسب التعريف

دعنا نحلل نسخة نادرة من المشكلة:

المثال 9

أوجد مشتق دالة عند نقطة باستخدام تعريف المشتق.

أولا ، ماذا يجب أن يكون المحصلة النهائية؟ رقم

دعنا نحسب الإجابة بالطريقة القياسية:

المحلول: من وجهة نظر الوضوح ، هذه المهمة أبسط بكثير ، لأن الصيغة تأخذ في الاعتبار قيمة محددة بدلاً من ذلك.

نضع زيادة عند النقطة ونؤلف الزيادة المقابلة للوظيفة:

احسب المشتق عند نقطة ما:

نستخدم صيغة نادرة جدًا لاختلاف الظل ومرة أخرى تقليل الحل إلى أول حد رائع:

إجابه: عن طريق تعريف المشتق عند نقطة.

المهمة ليست صعبة الحل و "بشكل عام" - يكفي استبدالها أو ببساطة ، اعتمادًا على طريقة التصميم. في هذه الحالة ، بالطبع ، لا تحصل على رقم ، بل دالة مشتقة.

المثال 10

باستخدام التعريف ، أوجد مشتق الدالة في مرحلة ما (قد تكون إحداها غير محدودة) ، والتي تحدثت عنها بالفعل بعبارات عامة حول درس نظري حول المشتق.

بعض الوظائف المعطاة متعددة التعريف قابلة للتفاضل أيضًا عند نقاط "الوصلة" في الرسم البياني ، على سبيل المثال ، يمتلك القط-الكلب مشتقًا مشتركًا وظلًا مشتركًا (محور الإحداثيات) عند النقطة. منحنى ، نعم قابل للتمييز! يمكن لأولئك الذين يرغبون في التحقق من ذلك بأنفسهم على نموذج المثال الذي تم حله للتو.

© 2015-2019 الموقع
جميع الحقوق تنتمي إلى مؤلفيها. لا يدعي هذا الموقع حقوق التأليف ، ولكنه يوفر الاستخدام المجاني.
تاريخ إنشاء الصفحة: 2017-06-11

في المسألة B9 ، يتم إعطاء رسم بياني لوظيفة أو مشتق ، والذي يتطلب منه تحديد إحدى الكميات التالية:

1. قيمة المشتق عند نقطة ما × 0 ،
2. النقاط العالية أو المنخفضة (النقاط القصوى) ،
3. فترات الدوال المتزايدة والمتناقصة (فترات الرتابة).

دائمًا ما تكون الدوال والمشتقات المقدمة في هذه المسألة مستمرة ، مما يبسط الحل بشكل كبير. على الرغم من حقيقة أن المهمة تنتمي إلى قسم التحليل الرياضي ، إلا أنها تقع في نطاق سلطة حتى أضعف الطلاب ، حيث لا يلزم معرفة نظرية عميقة هنا.

للعثور على قيمة المشتق والنقاط القصوى وفترات الرتابة ، هناك خوارزميات بسيطة وعالمية - ستتم مناقشتها جميعًا أدناه.

اقرأ حالة المشكلة B9 بعناية حتى لا ترتكب أخطاء غبية: أحيانًا تظهر نصوص ضخمة جدًا ، لكن هناك بعض الشروط المهمة التي تؤثر على مسار الحل.

حساب قيمة المشتق. طريقة نقطتين

إذا أعطيت المشكلة رسمًا بيانيًا للدالة f (x) ، ظل هذا الرسم البياني عند نقطة ما x 0 ، وكان مطلوبًا إيجاد قيمة المشتق في هذه المرحلة ، يتم تطبيق الخوارزمية التالية:

1. ابحث عن نقطتين "مناسبتين" على الرسم البياني للماس: يجب أن تكون إحداثياتهما عددًا صحيحًا. دعنا نشير إلى هذه النقاط على أنها A (x 1 ؛ y 1) و B (x 2 ؛ y 2). اكتب الإحداثيات بشكل صحيح - هذه هي النقطة الأساسية للحل ، وأي خطأ هنا يؤدي إلى إجابة خاطئة.
2. من خلال معرفة الإحداثيات ، من السهل حساب زيادة الوسيطة Δx = x 2 - x 1 وزيادة الدالة Δy = y 2 - y 1.
3. أخيرًا ، نجد قيمة المشتق D = y / Δx. بمعنى آخر ، تحتاج إلى قسمة زيادة الدالة على زيادة الوسيطة - وستكون هذه هي الإجابة.

مرة أخرى ، نلاحظ: يجب البحث عن النقطتين A و B بدقة على الظل ، وليس على الرسم البياني للدالة f (x) ، كما هو الحال غالبًا. سيحتوي الظل بالضرورة على نقطتين من هذه النقطتين على الأقل ، وإلا تمت صياغة المشكلة بشكل غير صحيح.

ضع في اعتبارك النقطتين A (−3 ؛ 2) و B (1 ؛ 6) وابحث عن الزيادات:
Δx \ u003d × 2 - × 1 \ u003d -1 - (-3) \ u003d 2 ؛ Δy \ u003d y 2 - y 1 \ u003d 6-2 \ u003d 4.

لنجد قيمة المشتق: D = Δy / Δx = 4/2 = 2.

مهمة. يوضح الشكل الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x) والماس لها عند النقطة مع الإحداثي x 0. أوجد قيمة مشتق الدالة f (x) عند النقطة x 0.

ضع في اعتبارك النقاط A (0 ؛ 3) و B (3 ؛ 0) ، ابحث عن الزيادات:
Δx \ u003d × 2 - × 1 \ u003d 3-0 \ u003d 3 ؛ Δy \ u003d y 2 - y 1 \ u003d 0-3 \ u003d -3.

الآن نجد قيمة المشتق: D = Δy / Δx = −3/3 = −1.

مهمة. يوضح الشكل الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x) والماس لها عند النقطة مع الإحداثي x 0. أوجد قيمة مشتق الدالة f (x) عند النقطة x 0.

ضع في اعتبارك النقاط A (0 ؛ 2) و B (5 ؛ 2) وابحث عن الزيادات:
Δx \ u003d x 2 - x 1 \ u003d 5-0 \ u003d 5 ؛ Δy = ص 2 - ص 1 = 2-2 = 0.

يبقى إيجاد قيمة المشتق: D = Δy / Δx = 0/5 = 0.

من المثال الأخير ، يمكننا صياغة القاعدة: إذا كان الظل موازيًا لمحور OX ، فإن مشتق الوظيفة عند نقطة الاتصال يساوي صفرًا. في هذه الحالة ، لا تحتاج حتى إلى حساب أي شيء - ما عليك سوى إلقاء نظرة على الرسم البياني.

حساب النقاط العالية والمنخفضة

في بعض الأحيان ، بدلاً من رسم بياني لوظيفة في المسألة B9 ، يتم إعطاء رسم بياني مشتق ومطلوب إيجاد الحد الأقصى أو الحد الأدنى للدالة. في هذا السيناريو ، طريقة النقطتين عديمة الفائدة ، ولكن هناك خوارزمية أخرى أبسط. أولاً ، دعنا نحدد المصطلحات:

1. تسمى النقطة x 0 بالنقطة القصوى للدالة f (x) إذا كانت المتباينة التالية موجودة في بعض المناطق المجاورة لهذه النقطة: f (x 0) ≥ f (x).
2. تسمى النقطة x 0 النقطة الدنيا للدالة f (x) إذا كانت المتباينة التالية موجودة في بعض المناطق المجاورة لهذه النقطة: f (x 0) ≤ f (x).

من أجل إيجاد الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط على الرسم البياني للمشتق ، يكفي القيام بالخطوات التالية:

1. أعد رسم الرسم البياني للمشتق ، مع إزالة جميع المعلومات غير الضرورية. كما تظهر الممارسة ، تتداخل البيانات الإضافية مع الحل فقط. لذلك ، نحدد أصفار المشتق على محور الإحداثيات - وهذا كل شيء.
2. اكتشف علامات المشتق على الفترات بين الأصفار. إذا كان من المعروف في نقطة ما x 0 أن f '(x 0) ≠ 0 ، فعندئذ يكون هناك خياران فقط ممكنان: f' (x 0) ≥ 0 أو f '(x 0) ≤ 0. علامة المشتق هي من السهل تحديده من الرسم الأصلي: إذا كان الرسم البياني المشتق يقع فوق محور OX ، فعندئذٍ f '(x) ≥ 0. وعلى العكس ، إذا كان الرسم البياني المشتق يقع أسفل محور OX ، فعندئذٍ f' (x) ≤ 0.
3. نتحقق مرة أخرى من أصفار وعلامات المشتق. عندما تتغير العلامة من سالب إلى زائد ، يكون هناك حد أدنى للنقطة. على العكس من ذلك ، إذا تغيرت علامة المشتق من موجب إلى سالب ، فهذه هي النقطة القصوى. يتم العد دائمًا من اليسار إلى اليمين.

يعمل هذا المخطط فقط للوظائف المستمرة - لا توجد مشاكل أخرى في المشكلة B9.

مهمة. يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لمشتق الوظيفة f (x) المحددة في المقطع [−5 ؛ 5]. أوجد النقطة الدنيا للدالة f (x) في هذا المقطع.

دعونا نتخلص من المعلومات غير الضرورية - سنترك فقط الحدود [−5 ؛ 5] وأصفار المشتق x = −3 و x = 2.5. لاحظ أيضًا العلامات:

من الواضح أنه عند النقطة x = −3 ، تتغير إشارة المشتق من سالب إلى موجب. هذه هي النقطة الدنيا.

مهمة. يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لمشتق الوظيفة f (x) المحددة في المقطع [−3 ؛ 7]. أوجد النقطة العظمى للدالة f (x) في هذا المقطع.

دعونا نعيد رسم الرسم البياني ، ونترك فقط الحدود [−3 ؛ 7] وأصفار المشتق x = 1.7 و x = 5. لاحظ إشارات المشتق على الرسم البياني الناتج. نملك:

من الواضح أنه عند النقطة x = 5 ، تتغير علامة المشتق من موجب إلى سالب - وهذه هي النقطة العظمى.

مهمة. يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لمشتق الوظيفة f (x) المحددة في الفاصل الزمني [6 ؛ أربعة]. أوجد عدد النقاط القصوى للدالة f (x) التي تنتمي إلى الفترة [−4 ؛ 3].

ويترتب على ظروف المشكلة أنه يكفي النظر فقط في جزء الرسم البياني الذي يحده المقطع [−4 ؛ 3]. لذلك ، نبني رسمًا بيانيًا جديدًا ، نضع عليه الحدود فقط [−4 ؛ 3] وأصفار المشتق بداخله. وهي النقاط x = −3.5 و x = 2. نحصل على:

في هذا الرسم البياني ، توجد نقطة عظمى واحدة فقط x = 2. حيث تتغير إشارة المشتق من موجب إلى سالب.

ملاحظة صغيرة حول النقاط ذات الإحداثيات غير الصحيحة. على سبيل المثال ، في المسألة الأخيرة ، تم أخذ النقطة x = −3.5 في الاعتبار ، ولكن بنفس النجاح يمكننا أخذ x = −3.4. إذا تمت صياغة المشكلة بشكل صحيح ، فلا ينبغي أن تؤثر هذه التغييرات على الإجابة ، لأن النقاط "بدون مكان إقامة ثابت" لا تشارك بشكل مباشر في حل المشكلة. بالطبع ، مع نقاط صحيحة لن تعمل هذه الحيلة.

إيجاد فترات الزيادة والنقصان لدالة

في مثل هذه المشكلة ، مثل نقاط الحد الأقصى والحد الأدنى ، يُقترح العثور على المناطق التي تزيد أو تنقص فيها الوظيفة نفسها من الرسم البياني للمشتق. أولاً ، دعنا نحدد ما هو تصاعدي وتنازلي:

1. تسمى الدالة f (x) زيادة على مقطع إذا كانت العبارة صحيحة لأي نقطتين x 1 و x 2 من هذا المقطع: x 1 ≤ x 2 ⇒ f (x 1) ≤ f (x 2). بمعنى آخر ، كلما زادت قيمة الوسيطة ، زادت قيمة الدالة.
2. تسمى الدالة f (x) بالتناقص على مقطع إذا كانت العبارة صحيحة لأي نقطتين x 1 و x 2 من هذا المقطع: x 1 ≤ x 2 ⇒ f (x 1) ≥ f (x 2). أولئك. تتوافق القيمة الأكبر للوسيطة مع قيمة أصغر للدالة.

نصوغ شروطًا كافية للزيادة والنقصان:

1. لكي تزداد الدالة المستمرة f (x) في المقطع ، يكفي أن يكون مشتقها داخل المقطع موجبًا ، أي و '(س) ≥ 0.
2. لكي تنخفض الدالة المستمرة f (x) في المقطع ، يكفي أن يكون مشتقها داخل المقطع سالبًا ، أي و '(س) ≤ 0.

نحن نقبل هذه التأكيدات دون دليل. وبالتالي ، نحصل على مخطط لإيجاد فترات الزيادة والنقصان ، والتي تشبه من نواح كثيرة خوارزمية حساب النقاط القصوى:

1. قم بإزالة كافة المعلومات الزائدة عن الحاجة. في الرسم البياني الأصلي للمشتقة ، نحن مهتمون بشكل أساسي بأصفار الدالة ، لذلك نتركها فقط.
2. قم بتمييز علامات المشتق على فترات بين الأصفار. حيث f '(x) ≥ 0 ، تزداد الوظيفة ، وحيث تتناقص f' (x) ≤ 0. إذا كانت المشكلة لها قيود على المتغير x ، فإننا نضعها أيضًا على الرسم البياني الجديد.
3. الآن بعد أن عرفنا سلوك الوظيفة والقيد ، يبقى حساب القيمة المطلوبة في المشكلة.

مهمة. يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لمشتق الوظيفة f (x) المحددة في الفاصل الزمني [3 ؛ 7.5]. أوجد فترات تناقص الدالة f (x). في إجابتك ، اكتب مجموع الأعداد الصحيحة المضمنة في هذه الفواصل الزمنية.

كالعادة ، نعيد رسم الرسم البياني ونضع علامة على الحدود [−3 ؛ 7.5] ، وكذلك أصفار مشتق x = 1.5 و x = 5.3. ثم نحتفل بعلامات المشتق. نملك:

بما أن المشتق سالب في الفترة (- 1.5) ، فهذه هي فترة دالة التناقص. يبقى جمع كل الأعداد الصحيحة الموجودة داخل هذه الفترة الزمنية:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

مهمة. يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لمشتق الوظيفة f (x) المحددة في المقطع [10 ؛ أربعة]. أوجد فترات دالة الزيادة f (x). اكتب في إجابتك طول أكبرها.

دعنا نتخلص من المعلومات الزائدة عن الحاجة. نترك فقط الحدود [−10؛ 4] وأصفار المشتق ، والتي تحولت هذه المرة إلى أربعة: x = −8 ، x = −6 ، x = −3 ، x = 2. لاحظ علامات المشتق واحصل على الصورة التالية:

نحن مهتمون بفترات زيادة الوظيفة ، أي حيث f '(x) ≥ 0. هناك فترتان من هذا القبيل على الرسم البياني: (−8 ؛ −6) و (3 ؛ 2). دعونا نحسب أطوالهم:
ل 1 = - 6 - (8) = 2 ؛
ل 2 = 2 - (−3) = 5.

نظرًا لأنه مطلوب إيجاد طول أكبر الفترات ، نكتب القيمة l 2 = 5 استجابةً لذلك.