دعونا الآن نرى ما إذا كانت معادلة الموجة تصف بالفعل الخصائص الأساسية للموجات الصوتية في الوسط. بادئ ذي بدء ، نريد أن نستنتج أن الموجة الصوتية ، أو الاضطراب ، تتحرك بسرعة ثابتة. بالإضافة إلى ذلك ، نحتاج إلى إثبات أن اهتزازين مختلفين يمكنهما المرور بحرية عبر بعضهما البعض ، أي مبدأ التراكب. نريد أيضًا إثبات أن الصوت يمكن أن ينتشر إلى اليمين واليسار. يجب احتواء كل هذه الخصائص في معادلتنا الفردية.

لاحظنا سابقًا أن أي اضطراب له شكل موجة مستوية ويتحرك بسرعة ثابتة يمكن كتابته على النحو التالي: F(x—فاتو). دعنا الآن نرى ما إذا كان F(x— الخامسر) حل معادلة الموجة. الحوسبة دχ/ dx ،نحصل على مشتق الدالة د χ / دx= F`(x—فاتو). بالتفريق مرة أخرى ، نجد

التفريق بين نفس الوظيفة χ على ر, الحصول على القيمة - الخامس, مضروبة في المشتق ، أو د χ / در = —الخامسF`(x — فاتو); يعطي المشتق الثاني فيما يتعلق بالوقت

من الواضح أن f (X — فاتو) يفي بمعادلة الموجة إذا الخامس يساوي جس.
وهكذا ، من قوانين الميكانيكا ، نتوصل إلى أن أي اضطراب في الصوت ينتشر بسرعة جس بجانب ذلك،

بذلك لقد ربطنا سرعة الموجات الصوتية بخصائصهابيئة.

من السهل ملاحظة أن الموجة الصوتية يمكن أن تنتشر في اتجاه سلبي X ،أي اضطراب الصوت في الشكل χ (س ، t) = g (x + vt) يلبي أيضًا معادلة الموجة. الفرق الوحيد بين هذه الموجة والموجة التي تنتشر من اليسار إلى اليمين هو الإشارة الخامس،لكن التوقيع د 2 χ / دT2لا تعتمد على الاختيار x +فاتوأو X—الخامسرلأن هذا المشتق يحتوي فقط الخامس 2.ويترتب على ذلك أن حل المعادلة يصف موجات تتحرك في أي اتجاه بسرعة جس .


تحظى مسألة تراكب الحلول بأهمية خاصة. لنفترض أننا توصلنا إلى حل واحد ، دعنا نقول χ 1 . هذا يعني أن المشتق الثاني χ 1 . على Xيساوي المشتق الثاني χ 1 على رمضروبة في 1 / ج 2 ث. وليكن هناك حل ثان χ 2 لها نفس الممتلكات. بإضافة هذين الحلين ، نحصل على

الآن نريد التأكد من ذلك χ (س ،ر)يمثل أيضًا موجة معينة ، أي χ يفي أيضًا بمعادلة الموجة. من السهل جدًا إثبات ذلك ، منذ ذلك الحين

ومن ثم يتبع ذلك د 2 χ /د× 2 = (1 /ج 2 ق)د 2χ لدt2 ،لذلك تم التحقق من صحة مبدأ التراكب. إن مجرد وجود مبدأ التراكب يرجع إلى حقيقة أن معادلة الموجة خطياعلى χ .


سيكون من الطبيعي الآن توقع انتشار موجة ضوئية مستوية على طول المحور Xويستقطب بحيث يتم توجيه المجال الكهربائي على طول المحور في, يفي أيضًا بمعادلة الموجة

أين معهي سرعة الضوء. معادلة الموجة لموجة ضوئية هي إحدى نتائج معادلات ماكسويل. تؤدي معادلات الديناميكا الكهربائية إلى معادلة موجية للضوء ، تمامًا كما تؤدي معادلات الميكانيكا إلى معادلة موجية للصوت.

أمواج. معادلة الموجة

بالإضافة إلى الحركات التي درسناها بالفعل ، يوجد في جميع مجالات الفيزياء تقريبًا نوع آخر من الحركة - أمواج. السمة المميزة لهذه الحركة ، والتي تجعلها فريدة من نوعها ، هي أنها ليست جسيمات المادة التي تنتشر في الموجة ، ولكن التغييرات في حالتها (الاضطرابات).

تسمى الاضطرابات التي تنتشر في الفضاء بمرور الوقت أمواج . الموجات ميكانيكية وكهرومغناطيسية.

موجات مرنةتنتشر اضطرابات الوسط المرن.

اضطراب الوسيط المرن هو أي انحراف لجسيمات هذا الوسط عن موضع التوازن. تنشأ الاضطرابات نتيجة تشوه الوسط في أي مكان من أماكنه.

مجموع جميع النقاط التي وصلت إليها الموجة في وقت معين تشكل سطحًا يسمى جبهة الموجة .

وفقًا لشكل المقدمة ، تنقسم الأمواج إلى كروية ومستوية. اتجاه يتم تحديد انتشار جبهة الموجةعمودي على مقدمة الموجة ، ودعا الحزم . بالنسبة للموجة الكروية ، تكون الأشعة عبارة عن حزمة متباعدة شعاعيًا. بالنسبة للموجة المستوية ، يكون الشعاع شعاعًا من خطوط متوازية.

في أي موجة ميكانيكية ، يوجد نوعان من الحركة في وقت واحد: تذبذبات جسيمات الوسط وانتشار الاضطراب.

تسمى الموجة التي تحدث فيها تذبذبات جسيمات الوسط وانتشار الاضطراب في نفس الاتجاه طولي (الشكل 7.2 أ).

الموجة التي تتأرجح فيها جسيمات الوسط عموديًا على اتجاه انتشار الاضطرابات تسمى مستعرض (الشكل 7.2 ب).

في الموجة الطولية ، تمثل الاضطرابات انضغاطًا (أو خلخلة) للوسط ، وفي الموجة المستعرضة ، فإنها تمثل إزاحة (مقصات) لبعض طبقات الوسط بالنسبة إلى طبقات أخرى. يمكن أن تنتشر الموجات الطولية في جميع الوسائط (في صورة سائلة وصلبة وغازية) ، بينما يمكن أن تنتشر الموجات المستعرضة في الموجات الصلبة فقط.

تنتشر كل موجة بسرعة معينة . تحت سرعة الموجة υ فهم سرعة انتشار الاضطراب.يتم تحديد سرعة الموجة من خلال خصائص الوسط الذي تنتشر فيه هذه الموجة. في المواد الصلبة ، تكون سرعة الموجات الطولية أكبر من سرعة الموجات المستعرضة.

الطول الموجيλ هي المسافة التي تنتشر خلالها الموجة في وقت يساوي فترة التذبذب في مصدرها. نظرًا لأن سرعة الموجة قيمة ثابتة (لوسط معين) ، فإن المسافة التي تقطعها الموجة تساوي حاصل ضرب السرعة ووقت انتشارها. لذا فإن الطول الموجي

يتبع من المعادلة (7.1) أن الجسيمات مفصولة عن بعضها البعض بفاصل λ تتذبذب في نفس المرحلة. ثم يمكننا إعطاء التعريف التالي لطول الموجة: الطول الموجي هو المسافة بين أقرب نقطتين تتأرجحان في نفس المرحلة.

دعونا نشتق معادلة الموجة المستوية ، والتي تسمح لنا بتحديد إزاحة أي نقطة من الموجة في أي وقت. دع الموجة تنتشر على طول الشعاع من المصدر ببعض السرعة v.

يثير المصدر التذبذبات التوافقية البسيطة ، ويتم تحديد إزاحة أي نقطة من الموجة في أي لحظة من الوقت بواسطة المعادلة

S = Asinωt (7. 2)

عندئذٍ ، ستؤدي نقطة الوسط ، التي تقع على مسافة x من مصدر الموجة ، أيضًا إلى حدوث تذبذبات توافقية ، ولكن مع تأخير زمني ، أي الوقت الذي تستغرقه الاهتزازات للانتشار من المصدر إلى تلك النقطة. سيتم وصف إزاحة نقطة التذبذب بالنسبة إلى موضع التوازن في أي لحظة من خلال العلاقة

(7. 3)

هذه هي معادلة الموجة المستوية. تتميز هذه الموجة بالمعلمات التالية:

· S - الإزاحة من موضع نقطة التوازن للوسط المرن ، التي وصل إليها التذبذب ؛

· ω - التردد الدوري للتذبذبات الناتجة عن المصدر ، والتي تتأرجح بها نقاط الوسيط أيضًا ؛

· υ - سرعة انتشار الموجة (سرعة الطور) ؛

x - المسافة إلى تلك النقطة من الوسط حيث وصل التذبذب والإزاحة التي تساوي S ؛

· ر - الوقت المحسوب من بداية التذبذبات.

بإدخال الطول الموجي λ في التعبير (7. 3) ، يمكن كتابة معادلة موجة المستوى على النحو التالي:

(7. 4)

أين يسمى رقم الموجة (عدد الموجات لكل وحدة طول).

معادلة الموجة

معادلة الموجة المستوية (7. 5) هي أحد الحلول الممكنة للمعادلة التفاضلية العامة ذات المشتقات الجزئية ، والتي تصف عملية انتشار اضطراب في وسط. تسمى هذه المعادلة لوح . تشمل المعادلات (7.5) المتغيرات t و x ، أي يتغير الإزاحة بشكل دوري في كل من الزمان والمكان S = f (x ، t). يمكن الحصول على معادلة الموجة عن طريق التفريق (7.5) مرتين بالنسبة إلى t:

ومرتين x

باستبدال المعادلة الأولى بالمعادلة الثانية ، نحصل على معادلة موجة متنقلة على طول المحور X:

(7. 6)

المعادلة (7.6) تسمى لوح، وفي الحالة العامة ، عندما يكون الإزاحة دالة لأربعة متغيرات ، يكون لها الشكل

(7.7)

، أين عامل لابلاس

§ 7.3 طاقة الأمواج. ناقلات Umov.

عند الانتشار في وسط موجة مستوية

(7.8)

يحدث نقل الطاقة. دعونا نفرد عقليًا الحجم الأولي ∆V ، وهو صغير جدًا بحيث يمكن اعتبار سرعة الحركة والتشوه في جميع نقاطه متساوية ومتساوية ، على التوالي

الحجم المخصص له طاقة حركية

(7.10)

م = ρ∆V هي كتلة المادة في الحجم ∆V ، ρ هي كثافة الوسط].

(7.11)

بالتعويض عن القيمة (7.10) نحصل عليها

(7.12)

تقع الحد الأقصى للطاقة الحركية على نقاط الوسط التي تمر بمواضع التوازن في لحظة معينة من الزمن (S = 0) ، في هذه اللحظات الزمنية ، تتميز الحركة التذبذبية لنقاط الوسط بأعلى سرعة .

يحتوي الحجم المدروس V أيضًا على الطاقة الكامنة للتشوه المرن

[E - معامل يونغ ؛ - استطالة أو ضغط نسبي].

مع الأخذ في الاعتبار الصيغة (7.8) والتعبير عن المشتق ، نجد أن الطاقة الكامنة تساوي

(7.13)

يوضح تحليل التعبيرات (7.12) و (7.13) أن الحد الأقصى للطاقات الكامنة والحركية يتطابقان. وتجدر الإشارة إلى أن هذه سمة مميزة لموجات السفر. لتحديد الحجم الكلي للطاقة ∆V ، عليك أن تأخذ مجموع الطاقات المحتملة والحركية:

بقسمة هذه الطاقة على الحجم الذي تحتوي عليه ، نحصل على كثافة الطاقة:

(7.15)

يستنتج من التعبير (7.15) أن كثافة الطاقة هي دالة للإحداثي x ، أي أن لها قيمًا مختلفة في نقاط مختلفة في الفضاء. تصل كثافة الطاقة إلى قيمتها القصوى عند تلك النقاط في الفضاء حيث يكون الإزاحة صفرًا (S = 0). متوسط ​​كثافة الطاقة في كل نقطة من الوسط هو

(7.16)

لأن المتوسط

وبالتالي ، فإن الوسيط الذي تنتشر فيه الموجة لديه احتياطي إضافي من الطاقة ، والذي يتم تسليمه من مصدر التذبذبات إلى مناطق مختلفة من الوسط.

يتميز نقل الطاقة في الأمواج كمياً بواسطة ناقل كثافة تدفق الطاقة. يسمى هذا المتجه للموجات المرنة ناقل أوموف (على اسم العالم الروسي ن. أ. أوموف). يتزامن اتجاه متجه أوموف مع اتجاه نقل الطاقة ، ومعامله يساوي الطاقة المنقولة بواسطة موجة لكل وحدة زمنية عبر منطقة وحدة تقع بشكل عمودي على اتجاه انتشار الموجة.

آلية تكوين الموجات الميكانيكية في وسط مرن.

موجات ميكانيكية

1. آلية تكوين الموجات الميكانيكية في وسط مرن. الموجات الطولية والعرضية. معادلة الموجة وحلها. الموجات التوافقية وخصائصها.

2. سرعة الطور وتشتت الموجة. حزمة الموجة وسرعة المجموعة.

3. مفهوم التماسك. تدخل الموجة. الموجات الموقوفه.

4. تأثير دوبلر للموجات الصوتية.

إذا كانت تذبذبات جسيماتها في أي مكان من الوسط المرن (صلبة أو سائلة أو غازية) متحمسة ، فبسبب التفاعل بين الجسيمات ، سينتشر هذا التذبذب في الوسط من جسيم إلى جسيم بسرعة معينة. تسمى عملية انتشار التذبذبات في الفضاء بالموجة. يُطلق على موقع النقاط التي تصل إليها التذبذبات بحلول الوقت t اسم مقدمة الموجة (مقدمة الموجة).اعتمادًا على شكل المقدمة ، يمكن أن تكون الموجة كروية ، أو مسطحة ، إلخ.

تسمى الموجة الطولية، إذا كان اتجاه إزاحة جسيمات الوسط يتزامن مع اتجاه انتشار الموجة.

تنتشر الموجة الطولية في الأوساط الصلبة والسائلة والغازية.

تسمى الموجة المستعرضة، إذا كان إزاحة جسيمات الوسط عموديًا على اتجاه انتشار الموجة. تنتشر الموجة الميكانيكية المستعرضة فقط في المواد الصلبة (في الوسائط ذات مقاومة القص ، لذلك ، لا يمكن لمثل هذه الموجة أن تنتشر في السوائل والغازات).

معادلة لتحديد الإزاحة(س ، تي) من أي نقطة في الوسط بالإحداثيات س في أي وقت تسمى معادلة الموجة.

على سبيل المثال ، معادلة الموجة المستوية ، أي انتشار الموجة في اتجاه واحد ، على سبيل المثال في اتجاه المحور x ، لها الشكل

دعونا نقدم القيمة التي تسمى رقم الموجة.

إذا ضربنا رقم الموجة في متجه الوحدة لاتجاه انتشار الموجة ، نحصل على متجه يسمى ناقلات الموجة

باستخدام عامل لابلاس (لابلاسيان) يمكن كتابة هذه المعادلة بشكل أكثر إيجازًا

(حل هذه المعادلة هو معادلة الموجة (28-1) ، (28-2).)

التعريف 1

في حالة انتشار الموجة في وسط متجانس ، يتم وصف حركتها بشكل عام بواسطة معادلة الموجة(بمعادلة تفاضلية جزئية):

\ [\ frac ((\ جزئي) ^ 2 \ overrightarrow (s)) (\ جزئي t ^ 2) = v ^ 2 \ left (\ frac ((\ جزئي) ^ 2 \ overrightarrow (s)) (\ جزئي x ^ 2) + \ frac ((جزئي) ^ 2 \ overrightarrow (s)) (\ جزئي y ^ 2) + \ frac ((\ جزئي) ^ 2 \ overrightarrow (s)) (\ جزئي z ^ 2) \ يمين) \ يسار (1 \ يمين) \]

\ [\ مثلث \ سهم فوق اليمين = \ frac (1) (v ^ 2) \ frac ((\ جزئي) ^ 2 \ overrightarrow (s)) (\ جزئي t ^ 2) \ يسار (2 \ يمين) ، \]

حيث $ v $ هي سرعة الطور للموجة $ \ مثلث = \ frac ((\ جزئي) ^ 2) (\ جزئي x ^ 2) + \ frac ((\ جزئي) ^ 2) (\ جزئي y ^ 2) + \ frac ((\ جزئي) ^ 2) (\ جزئي z ^ 2) $ هو عامل تشغيل لابلاس. يتم حل المعادلة (1.2) بمعادلة أي موجة ؛ هذه المعادلات ترضي ، على سبيل المثال ، كل من الموجات المستوية والكروية.

إذا انتشرت موجة مستوية على طول المحور $ X $ ، فسيتم تمثيل المعادلة (1) على النحو التالي:

ملاحظة 1

إذا انتشرت كمية مادية مثل الموجة ، فإنها بالضرورة تفي بمعادلة الموجة. العبارة العكسية صحيحة: إذا كانت أي كمية تخضع لمعادلة الموجة ، فإنها تنتشر مثل الموجة. ستكون سرعة انتشار الموجة مساوية للجذر التربيعي للمعامل الذي يمثل مجموع المشتقات المكانية (في هذا النوع من التسجيل).

تلعب معادلة الموجة دورًا مهمًا جدًا في الفيزياء.

حل معادلة الموجة لموجة مستوية

دعونا نكتب الحل العام للمعادلة (2) لموجة ضوئية تنتشر في الفراغ إذا كانت الدالة العددية تعتمد فقط على أحد المتغيرات الديكارتية ، على سبيل المثال $ z $ ، أي $ s = s (z، t) $ ، مما يعني أن الدالة $ s $ لها قيمة ثابتة عند نقاط المستوى المتعامدة مع المحور $ z. ستأخذ معادلة الموجة (1) في هذه الحالة الشكل:

حيث سرعة انتشار الضوء في الفراغ تساوي $ c $.

سيكون الحل العام للمعادلة (4) في ظل ظروف معينة هو التعبير:

حيث $ s_1 \ left (z + ct \ right) $ هي دالة تصف موجة عشوائية تتحرك بسرعة $ c $ في اتجاه سلبي بالنسبة لاتجاه المحور z $ ، $ s_2 \ left (z-ct \ right) $ - دالة تصف موجة عشوائية تتحرك بسرعة $ c $ في اتجاه موجب بالنسبة لاتجاه المحور Z $. وتجدر الإشارة إلى أنه أثناء الحركة قيم $ s_1 $ و $ s_2 $ في أي نقطة من الموجة وشكلها للموجة لم يتغير.

واتضح أن الموجة التي توصف بتراكب موجتين (وفق الصيغة (5)). علاوة على ذلك ، فإن هذه الموجات المكونة تتحرك في اتجاهين متعاكسين. في هذه الحالة ، لم يعد من الممكن التحدث عن سرعة أو اتجاه الموجة. في أبسط الحالات ، يتم الحصول على موجة واقفة. في الحالة العامة ، من الضروري النظر في مجال كهرومغناطيسي معقد.

معادلة الموجة ونظام معادلات ماكسويل

يمكن الحصول بسهولة على معادلات الموجة لتذبذبات نواقل المجال الكهربائي ومتجه الحث المغناطيسي للمجال المغناطيسي من نظام معادلات ماكسويل في شكل تفاضلي. دعونا نكتب نظام معادلات ماكسويل لمادة لا توجد فيها رسوم مجانية وتيارات توصيل:

لنطبق العملية $ rot $ على المعادلة (7):

في التعبير (10) ، من الممكن تغيير ترتيب التمايز على الجانب الأيمن من التعبير ، حيث أن الإحداثيات المكانية والوقت متغيرات مستقلة ، لذلك لدينا:

دعونا نأخذ في الاعتبار هذه المعادلة (6) ، استبدل $ rot \ overrightarrow (B) $ في التعبير (11) بالجانب الأيمن من الصيغة (6) ، لدينا:

مع العلم أن $ rotrot \ overrightarrow (E) = graddiv \ overrightarrow (E) - (\ nabla) ^ 2 \ overrightarrow (E) $ وباستخدام $ div \ overrightarrow (E) = 0 $ ، نحصل على:

وبالمثل ، يمكن الحصول على معادلة الموجة لـ ناقل الحث المغناطيسي. يبدو مثل:

في التعبيرين (13) و (14) ، سرعة الطور لانتشار الموجة $ (v) $ تساوي:

مثال 1

ممارسه الرياضه:احصل على الحل العام لمعادلة الموجة $ \ frac ((\ جزئي) ^ 2s) (\ جزئي z ^ 2) - \ frac (1) (c ^ 2) \ frac ((\ جزئي) ^ 2s) (\ جزئي t ^ 2) = 0 (1.1) $ لموجة ضوئية مستوية.

المحلول:

دعنا نقدم متغيرات النوع المستقلة للدالة $ s $:

\ [\ xi = z-ct، \ \ \ eta = z + ct \ يسار (1.2 \ يمين). \]

في هذه الحالة ، المشتق الجزئي $ \ frac (\ جزئي s) (\ جزئي z) $ يساوي:

\ [\ فارك (\ جزئية) (\ جزئية ض) = \ فارك (\ جزئية) (\ جزئية \ xi) \ فارك (\ جزئية \ xi) (\ جزئية ض) + \ فارك (\ جزئية) ( \ جزئي \ إيتا) \ فارك (\ جزئي \ إيتا) (\ جزئي ض) = \ فارك (\ جزئية ق) (\ جزئية \ xi) + \ فارك (\ جزئية ث) (\ جزئية \ إيتا) \ يسار (1.3 \حقا).\]

المشتق الجزئي $ \ frac (\ part s) (\ جزئي t) $ هو:

\ [\ frac (\ parts) (\ part t) = \ frac (\ parts) (\ جزئي \ xi) \ frac (\ جزئي \ xi) (\ جزئي t) + \ frac (\ جزئي s) ( \ جزئي \ إيتا) \ فارك (\ جزئي \ إيتا) (\ جزئي تي) = - ج \ فارك (\ جزئية ث) (\ جزئية \ شى) + ج \ فارك (\ جزء ث) (\ جزئي \ إيتا) \ إلى \ فارك (1) (ج) \ فارك (\ جزئية) (\ جزئية t) = - \ فارك (\ جزئية) (\ جزئية \ xi) + \ فارك (\ جزئية) (\ جزئية \ إيتا) \ يسار (1.4 \ يمين). \]

اطرح المصطلح حسب تعبير المصطلح (1.4) من التعبير (1.3) ، لدينا:

\ [\ فارك (\ جزئية) (\ جزئية ض) - \ فارك (1) (ج) \ فارك (\ جزئية) (\ جزئية تي) = 2 \ فارك (\ جزئية) (\ جزئية \) \ يسار (1.5 \ يمين). \]

تؤدي إضافة التعبيرات (1.4) و (1.3) إلى ما يلي:

\ [\ فارك (\ جزئية) (\ جزئية ض) - \ فارك (1) (ج) \ فارك (\ جزئية) (\ جزئية تي) = 2 \ فارك (\ جزئية) (\ جزئي \ إيتا) \ يسار (1.6 \ يمين). \]

دعونا نجد حاصل ضرب الأجزاء اليسرى من التعبيرات (1.5) و (1.6) ونأخذ في الاعتبار النتائج المكتوبة في الأجزاء اليمنى من هذه التعبيرات:

\ [\ يسار (\ frac (\ جزئي) (\ جزئي z) - \ frac (1) (c) \ frac (\ جزئي s) (\ جزئي t) \ يمين) \ يسار (\ frac (\ جزئي s ) (\ جزئي ض) - \ فارك (1) (ج) \ فارك (\ جزئي ث) (\ جزئي t) \ اليمين) = \ فارك ((\ جزئي) ^ 2 ثانية) (\ جزئي z ^ 2) - \ frac (1) (c ^ 2) \ frac ((\ جزئي) ^ 2s) (\ جزئي t ^ 2) = 4 \ frac (\ جزئي) (\ جزئي \ xi) \ frac (\ جزئي s) (\ جزئي \ eta) = 0 \ يسار (1.7 \ يمين). \]

إذا قمنا بدمج التعبير (1.7) على $ \ xi $ ، فإننا نحصل على دالة لا تعتمد على هذا المتغير ويمكن أن تعتمد فقط على $ \ eta $ ، مما يعني أنها دالة عشوائية لـ $ \ Psi (\ إتا) $. في هذه الحالة ، ستأخذ المعادلة (1.7) الشكل:

\ [\ frac (\ parts) (\ part \ eta) = \ Psi \ left (\ eta \ right) \ left (1.8 \ right). \]

دعونا ندمج (1.8) أكثر من $ \ eta $ لدينا:

حيث $ s_1 \ left (3 \ right) $ هو المشتق العكسي ، $ s_2 \ left (\ xi \ right) $ هو ثابت التكامل. علاوة على ذلك ، فإن الدالتين $ s_1 $ و $ s_2 $ تعسفيان. مع الأخذ في الاعتبار التعبيرات (1.2) ، يمكن كتابة الحل العام للمعادلة (1.1) على النحو التالي:

إجابه:$ s \ left (z، t \ right) = s_1 \ left (z + ct \ right) + s_2 \ left (z-ct \ right). $

مثال 2

ممارسه الرياضه:أوجد من معادلة الموجة سرعة الطور لانتشار الموجة الضوئية المستوية.

المحلول:

مقارنة معادلة الموجة ، على سبيل المثال ، لمتجه المجال ، التي تم الحصول عليها من معادلات ماكسويل:

\ [(\ nabla) ^ 2 \ overrightarrow (E) - \ varepsilon (\ varepsilon) _0 \ mu (\ mu) _0 \ frac ((\ جزئي) ^ 2 \ overrightarrow (E)) (\ جزئي t ^ 2) = 0 (2.1) \]

مع معادلة الموجة:

\ [\ مثلث \ overrightarrow (s) = \ frac (1) (v ^ 2) \ frac ((\ جزئي) ^ 2 \ overrightarrow (s)) (\ جزئي t ^ 2) (2.2) \]

يسمح لنا باستنتاج أن سرعة انتشار الموجة $ (v) $ تساوي:

لكن من الضروري هنا ملاحظة أن مفهوم سرعة الموجة الكهرومغناطيسية له معنى معين فقط مع الموجات ذات التكوين البسيط ؛ على سبيل المثال ، فئة الموجات المستوية مناسبة لمثل هذه الموجات. إذن ، $ v $ لن تكون سرعة انتشار الموجة في حالة حل مشتق من معادلة الموجة ، والتي تشمل ، على سبيل المثال ، الموجات الواقفة.

إجابه:$ v = \ frac (c) (\ sqrt (\ mu \ varepsilon)). $

تعد معادلة الموجة واحدة من أكثر المعادلات التفاضلية الجزئية من الدرجة الثانية شيوعًا في الممارسة الهندسية ، والتي تصف أنواعًا مختلفة من التذبذبات. نظرًا لأن التذبذبات عملية غير ثابتة ، فإن الوقت هو أحد المتغيرات المستقلة ر. بالإضافة إلى ذلك ، فإن المتغيرات المستقلة في المعادلة هي أيضًا إحداثيات مكانية س ، ص ،ض. اعتمادًا على عددهم ، يتم تمييز معادلات الموجة أحادية الأبعاد وثنائية الأبعاد وثلاثية الأبعاد.

معادلة الموجة أحادية البعد- معادلة تصف الاهتزازات الطولية لقضيب ، تؤدي أقسامه حركات تذبذبية متوازية مستوية ، بالإضافة إلى اهتزازات عرضية لقضيب رفيع (وتر) ومشكلات أخرى. معادلة الموجة ثنائية الأبعادتستخدم لدراسة اهتزازات صفيحة رقيقة (غشاء). معادلة الموجة ثلاثية الأبعاديصف انتشار الموجات في الفضاء (على سبيل المثال ، الموجات الصوتية في سائل ، موجات مرنة في وسط مستمر ، إلخ).

فكر في معادلة الموجة أحادية البعد ، والتي يمكن كتابتها كـ

للاهتزازات المستعرضة للسلسلة ، الوظيفة المطلوبة يو(x, ر) يصف موضع الخيط في الوقت الحالي ر. في هذه الحالة أ 2 = Т / ρ ،أين تي -التوتر الخيطي ، ρ - كثافته الخطية (الخطية). من المفترض أن تكون التقلبات صغيرة ، أي السعة صغيرة مقارنة بطول السلسلة. بالإضافة إلى ذلك ، تمت كتابة المعادلة (2.63) في حالة التذبذبات الحرة. في حالة التذبذبات القسرية ، تتم إضافة وظيفة معينة إلى الجانب الأيمن من المعادلة F(x, ر), توصيف التأثيرات الخارجية ، بينما لا تؤخذ في الاعتبار مقاومة الوسط لعملية التذبذب.

أبسط مشكلة للمعادلة (2.63) هي مشكلة كوشي: في اللحظة الأولى من الزمن ، يتم تعيين شرطين (عدد الشروط يساوي ترتيب المشتق فيما يتعلق ر):

تصف هذه الشروط الشكل الأولي للخيط وسرعة نقاطه.

من الناحية العملية ، غالبًا ما يكون من الضروري حل ليس مشكلة كوشي لسلسلة لانهائية ، ولكن حل مشكلة مختلطة لسلسلة محدودة من بعض الطول ل. في هذه الحالة ، يتم تعيين شروط الحدود في نهاياتها. على وجه الخصوص ، عندما يتم إصلاح النهايات ، تكون إزاحاتها مساوية للصفر ، وتكون شروط الحدود لها الشكل

دعونا نفكر في بعض مخططات الاختلاف لحل المشكلة (2.63) - (2.65). أبسطها هو مخطط صريح ثلاثي الطبقات (يظهر القالب في الشكل 2.21). دعونا نستبدل في المعادلة (2.63) المشتقات الثانية للدالة المطلوبة يوعلى رو Xعلاقات الفروق المحدودة الخاصة بهم باستخدام قيم وظيفة الشبكة في العقد الشبكية:

أرز. 2.21. نمط المخطط الصريح

من هنا ، يمكن للمرء أن يجد تعبيرًا صريحًا لقيمة وظيفة الشبكة على ( ي + 1) الطبقة:

هنا ، كالعادة في المخططات ثلاثية الطبقات ، لتحديد القيم غير المعروفة على ( ي + 1) الطبقة الثالثة تحتاج إلى معرفة الحلول على ي-من و ( ي- 1) الطبقات ال. لذلك ، من الممكن بدء العد باستخدام الصيغ (2.66) للطبقة الثانية فقط ، ويجب معرفة الحلول على الطبقة الصفرية والأولى. تم العثور عليها باستخدام الشروط الأولية (2.64). على طبقة الصفر لدينا

للحصول على حل للطبقة الأولى ، نستخدم الشرط الأولي الثاني (2.64). نستبدل المشتق بتقريب الفروق المحدودة. في أبسط الحالات ، يفترض المرء

(2.68)

من هذه العلاقة ، يمكن للمرء أن يجد قيم وظيفة الشبكة في طبقة الوقت الأولى:

لاحظ أن تقريب الشرط الأولي بالشكل (2.68) يزيد من سوء تقريب المشكلة التفاضلية الأصلية: يصبح خطأ التقريب بترتيب ، أي. أول طلب في τ, على الرغم من أن المخطط (2.66) نفسه له الترتيب الثاني للتقريب في حو τ. يمكن تصحيح الموقف إذا أخذنا تمثيلاً أكثر دقة بدلاً من (2.69):

(2.70)

بدلا من ذلك ، خذ. ويمكن إيجاد التعبير الخاص بالمشتق الثاني باستخدام المعادلة الأصلية (2.63) والشرط الأولي الأول (2.64). احصل على

ثم (2.70) يأخذ الشكل:

مخطط الفرق (2.66) ، مع الأخذ في الاعتبار (2.71) ، به خطأ تقريبي في الترتيب

عند حل مشكلة مختلطة بشروط حدية للشكل (2.65) ، أي عندما يتم إعطاء قيم الوظيفة نفسها في نهايات المقطع قيد النظر ، يتم الاحتفاظ بالترتيب الثاني للتقريب. في هذه الحالة ، للراحة ، توجد العقد القصوى للشبكة عند النقاط الحدودية ( × 0=0, الحادي عشر = ل). ومع ذلك ، يمكن أيضًا تحديد شروط الحدود للمشتق.

على سبيل المثال ، في حالة الاهتزازات الطولية الحرة لقضيب ، الحالة

إذا تمت كتابة هذا الشرط في شكل اختلاف بترتيب التقريب الأول ، فسيصبح خطأ التقريب للمخطط بترتيب. لذلك ، للحفاظ على الترتيب الثاني من هذا المخطط من حيث حمن الضروري تقريب شرط الحدود (2.72) بالترتيب الثاني.

مخطط الاختلاف المدروس (2.66) لحل المشكلة (2.63) - (2.65) مستقر مشروطًا. الشرط الضروري والكافي للاستقرار:

وبالتالي ، في ظل هذا الشرط ومع مراعاة التقريب ، يتقارب المخطط (2.66) مع المشكلة الأصلية بمعدل ا(ح2 + τ 2 ). غالبًا ما يستخدم هذا المخطط في الحسابات العملية. يوفر دقة حل مقبولة. يو(x, ر), التي لها مشتقات مستمرة من الدرجة الرابعة.

أرز. 2.22. خوارزمية لحل معادلة الموجة

خوارزمية حل المشكلة (2.63) - (2.65) بمساعدة مخطط الاختلاف الواضح هذا موضّح في الشكل. 2.22. هنا يتم تقديم أبسط نسخة ، عندما يتم تخزين جميع قيم وظيفة الشبكة ، التي تشكل مصفوفة ثنائية الأبعاد ، في ذاكرة الكمبيوتر أثناء الحساب ، وبعد حل المشكلة ، يتم عرض النتائج. سيكون من الممكن توفير تخزين الحل على ثلاث طبقات فقط ، مما سيوفر الذاكرة. يمكن عرض النتائج في هذه الحالة أثناء عملية الحساب (انظر الشكل 2.13).

هناك مخططات اختلاف أخرى لحل معادلة الموجة. على وجه الخصوص ، يكون من الأنسب أحيانًا استخدام المخططات الضمنية للتخلص من القيود المفروضة على حجم الخطوة التي يفرضها الشرط (2.73). عادةً ما تكون هذه المخططات مستقرة تمامًا ، لكن الخوارزمية الخاصة بحل المشكلة وبرنامج الكمبيوتر تصبح أكثر تعقيدًا.

دعونا نبني أبسط مخطط ضمني. المشتق الثاني بالنسبة ل رفي المعادلة (2.63) نقارب ، كما في السابق ، بنمط النقاط الثلاث باستخدام قيم وظيفة الشبكة على الطبقات ي- 1, ي, ي + 1. مشتق ل Xنستبدل نصف مجموع تقريبه إلى ( ي + 1) - أوم و ( ي- 1) الطبقات الثالثة (الشكل 2.23):

أرز. 2.23. نمط المخطط الضمني

من هذه العلاقة ، يمكن للمرء الحصول على نظام معادلات لقيم غير معروفة لوظيفة الشبكة على ( ي+ 1) الطبقة:

المخطط الضمني الناتج مستقر ويتقارب بمعدل. يمكن حل نظام المعادلات الجبرية الخطية (2.74) ، على وجه الخصوص ، بطريقة المسح. يجب استكمال هذا النظام بشروط أولية وحدودية مختلفة. وبالتالي ، يمكن استخدام التعبيرات (2.67) أو (2.69) أو (2.71) لحساب قيم وظيفة الشبكة على طبقتين الصفر وأول مرة.

بالنسبة لمتغيرين أو ثلاثة متغيرات مكانية مستقلة ، تأخذ معادلات الموجة الشكل

يمكن أيضًا إنشاء مخططات الفرق لهم عن طريق القياس مع معادلة الموجة أحادية البعد. الفرق هو أنه من الضروري تقريب المشتقات فيما يتعلق بمتغيرين أو ثلاثة متغيرات مكانية ، مما يعقد الخوارزمية بشكل طبيعي ويتطلب وقتًا أكبر للذاكرة والحساب. سيتم النظر في المسائل ثنائية الأبعاد بمزيد من التفصيل أدناه لمعادلة الحرارة.