المعادلة العامة للديناميات. ديناميات تحليلية

المعادلة العامة للديناميكيات لنظام مع أي قيود (انضم إلى مبدأ دالمبرت-لاغرانجأو المعادلة العامة للميكانيكا):

أين هي القوة النشطة المطبقة على النقطة رقم -th من النظام ؛ هي قوة رد فعل الرابطة ؛ - قوة نقطة الجمود ؛ - ممكن الحركة.

في حالة توازن النظام ، عندما تذهب جميع قوى القصور الذاتي لنقاط النظام إلى الصفر ، فإنها تنتقل إلى مبدأ النزوح المحتمل. عادة ما يتم استخدامه للأنظمة ذات القيود المثالية التي تتطلبها الحالة

في هذه الحالة ، يأخذ (229) أحد الأشكال:

. (230)

في هذا الطريق، وفقًا للمعادلة العامة للديناميكيات ، في أي لحظة حركة لنظام ذي قيود مثالية ، يكون مجموع الأعمال الأولية لجميع القوى النشطة وقوى القصور الذاتي لنقاط النظام يساوي صفرًا عند أي إزاحة محتملة للنظام تسمح به القيود.

يمكن إعطاء المعادلة العامة للديناميكيات أشكالًا أخرى مكافئة. توسيع المنتج القياسي للناقلات ، يمكن التعبير عنها كـ

أين إحداثيات النقطة رقم -th من النظام. مع الأخذ في الاعتبار أن إسقاطات قوى القصور الذاتي على المحاور الإحداثية من خلال إسقاطات التسارع على هذه المحاور يتم التعبير عنها بواسطة العلاقات

يمكن إعطاء المعادلة العامة للديناميكيات الشكل

في هذا الشكل يطلق عليه المعادلة العامة للديناميات في شكل تحليلي.

عند استخدام المعادلة العامة للديناميكيات ، من الضروري أن تكون قادرًا على حساب العمل الأولي لقوى القصور الذاتي للنظام على عمليات النزوح المحتملة. لهذا ، يتم استخدام الصيغ المقابلة للعمل الأولي الذي تم الحصول عليه للقوى العادية. دعونا نفكر في تطبيقها على قوى القصور الذاتي لجسم صلب في حالات معينة من حركته.

مع الحركة إلى الأمام. في هذه الحالة ، يتمتع الجسم بثلاث درجات من الحرية ، وبسبب القيود المفروضة ، يمكنه فقط أداء الحركة متعدية. الحركات المحتملة للجسم ، والتي تسمح بالاتصالات ، هي أيضًا انتقالية.

يتم تقليل قوى القصور الذاتي في الحركة الانتقالية إلى الناتج . لمجموع العمل الأولي لقوى القصور الذاتي على الإزاحة الترجمية المحتملة للجسم ، نحصل عليها

أين هو الإزاحة المحتملة لمركز الكتلة وأي نقطة من الجسم ، لأن الإزاحة الانتقالية المحتملة هي نفسها لجميع نقاط الجسم: التسارع هو نفسه ، أي.

عندما يدور جسم صلب حول محور ثابت. يمتلك الجسد في هذه الحالة درجة واحدة من الحرية. يمكن أن تدور حول محور ثابت. الإزاحة المحتملة ، المسموح بها من خلال القيود المفروضة ، هي أيضًا دوران للجسم من خلال زاوية أولية حول محور ثابت.

يتم تقليل قوى القصور الذاتي ، التي يتم تقليلها إلى نقطة على محور الدوران ، إلى المتجه الرئيسي واللحظة الرئيسية. يتم تطبيق المتجه الرئيسي لقوى القصور الذاتي على نقطة ثابتة ، وعمله الأولي على إزاحة محتملة هو صفر. بالنسبة للحظة الرئيسية لقوى القصور الذاتي ، لن يتم تنفيذ العمل الأولي الذي لا يساوي الصفر إلا من خلال إسقاطه على محور الدوران. وهكذا ، بالنسبة لمجموع عمل قوى القصور الذاتي على الإزاحة المحتملة المدروسة ، لدينا

إذا تم الإبلاغ عن الزاوية في اتجاه السهم القوسي للتسارع الزاوي.

في حركة مسطحة. القيود المفروضة على جسم صلب في هذه الحالة تسمح فقط بإزاحة مستوية محتملة. في الحالة العامة ، تتكون من حركة انتقالية محتملة جنبًا إلى جنب مع القطب ، والتي نختار من أجلها مركز الكتلة ، والدوران بزاوية أولية حول المحور الذي يمر عبر مركز الكتلة وعمودي على المستوى ، بالتوازي مع يمكن للجسم أداء حركة مستوية.

نظرًا لأن قوى القصور الذاتي في الحركة المستوية لجسم صلب يمكن اختزالها إلى المتجه الرئيسي واللحظة الرئيسية (إذا تم اختيار مركز الكتلة كمركز مرجعي) ، فإن مجموع العمل الأولي لقوى سيتم تقليل القصور الذاتي على إزاحة مستوية محتملة إلى العمل الأولي لمتجه القوة بالقصور الذاتي عند الإزاحة المحتملة لمركز الكتلة والعمل الأولي للعزم الرئيسي لقوى القصور الذاتي على الحركة الدورانية الأولية حول المحور الذي يمر عبر المركز من الكتلة. في هذه الحالة ، لا يمكن تنفيذ العمل الأولي الذي لا يساوي الصفر إلا من خلال إسقاط اللحظة الرئيسية لقوى القصور الذاتي على المحور ، أي . وهكذا ، في الحالة قيد النظر لدينا

مقدمة

في علم الحركة ، يتم النظر في وصف أبسط أنواع الحركات الميكانيكية. في الوقت نفسه ، لم يتم التطرق إلى الأسباب التي أدت إلى حدوث تغييرات في وضع الجسم بالنسبة إلى الهيئات الأخرى ، ويتم اختيار الإطار المرجعي لأسباب تتعلق بالراحة عند حل مشكلة معينة. في الديناميكيات ، أولاً وقبل كل شيء ، فإن الاهتمام هو الأسباب التي تجعل بعض الأجسام تبدأ في التحرك بالنسبة للأجسام الأخرى ، فضلاً عن العوامل التي تسبب ظهور التسارع. ومع ذلك ، فإن القوانين في الميكانيكا ، بالمعنى الدقيق للكلمة ، لها أشكال مختلفة في أطر مرجعية مختلفة. وقد ثبت أن هناك أطر مرجعية لا تعتمد فيها القوانين والأنظمة على اختيار الإطار المرجعي. تسمى هذه الأنظمة المرجعية أنظمة بالقصور الذاتي(ISO). في هذه الأطر المرجعية ، تعتمد قيمة التسارع فقط على القوى المؤثرة ولا تعتمد على اختيار الإطار المرجعي. الإطار المرجعي بالقصور الذاتي هو إطار مرجعي مركزية الشمس، التي يكون أصلها في مركز الشمس. الإطارات المرجعية التي تتحرك بشكل مستقيم بشكل مستقيم بالنسبة للإطار بالقصور الذاتي هي أيضًا بالقصور الذاتي ، والأطر المرجعية تتحرك مع التسارع بالنسبة للإطار بالقصور الذاتي هي غير بالقصور الذاتي. لهذه الأسباب ، فإن سطح الأرض ، بالمعنى الدقيق للكلمة ، إطار مرجعي غير قصور ذاتي. في كثير من المشاكل ، يمكن اعتبار الإطار المرجعي المرتبط بالأرض قصورًا ذاتيًا بدرجة جيدة من الدقة.

القوانين الأساسية للديناميات في القصور الذاتي وغير القصور الذاتي

أنظمة مرجعية

تسمى قدرة الجسم على الحفاظ على حالة الحركة المستقيمة المنتظمة أو الراحة في ISO القصور الذاتي للجسم. مقياس القصور الذاتي للجسم هو وزن. الكتلة هي كمية عددية ، في نظام SI تقاس بالكيلوجرام (كجم). مقياس التفاعل هو كمية تسمى فرض. القوة هي كمية متجهة ، في نظام SI تُقاس بالنيوتن (N).

قانون نيوتن الأول. في الأطر المرجعية بالقصور الذاتي ، تتحرك النقطة بشكل موحد في خط مستقيم أو تكون في حالة سكون إذا كان مجموع كل القوى المؤثرة عليها صفرًا ، أي:

أين القوى التي تعمل في نقطة معينة.

قانون نيوتن الثاني. في أنظمة القصور الذاتي ، يتحرك الجسم مع التسارع إذا كان مجموع كل القوى المؤثرة عليه لا يساوي الصفر ، وحاصل ضرب كتلة الجسم وتسارعه يساوي مجموع هذه القوى ، أي:

قانون نيوتن الثالث. القوى التي تعمل بها الأجسام على بعضها البعض متساوية في الحجم ومعاكسة في الاتجاه ، أي:.

دائمًا ما تولد القوى ، كمقاييس للتفاعل ، في أزواج.

لحل معظم المشكلات بنجاح باستخدام قوانين نيوتن ، من الضروري الالتزام بتسلسل معين من الإجراءات (نوع من الخوارزمية).

النقاط الرئيسية للخوارزمية.

1. حلل حالة المشكلة واكتشف الأجسام التي يتفاعل معها الجسد المدروس. بناءً على ذلك ، حدد عدد القوى المؤثرة على الجسم المعني. افترض أن عدد القوى المؤثرة على الجسم هو. ثم قم بإجراء رسم تخطيطي صحيح ، حيث يتم بناء جميع القوى المؤثرة على الجسم.

2. باستخدام حالة المشكلة ، حدد اتجاه عجلة الجسم المعني ، ورسم متجه التسارع في الشكل.

3. اكتب في صيغة المتجه قانون نيوتن الثاني ، أي:

أين القوى المؤثرة على الجسم.

4. اختر إطارًا مرجعيًا بالقصور الذاتي. ارسم نظام إحداثيات ديكارتي مستطيل الشكل في الشكل ، حيث يتم توجيه محور OX على طول متجه التسارع ، ويتم توجيه محوري OY و OZ بشكل عمودي على محور OX.

5. باستخدام الخاصية الرئيسية لمعادلات المتجهات ، اكتب قانون نيوتن الثاني لإسقاطات المتجهات على محاور الإحداثيات ، أي:

6. إذا كان من الضروري في المسألة تحديد الإحداثيات والسرعة بالإضافة إلى القوى والتسارع ، فبالإضافة إلى قانون نيوتن الثاني ، من الضروري استخدام المعادلات الحركية للحركة. بعد كتابة نظام المعادلات ، من الضروري الانتباه إلى حقيقة أن عدد المعادلات يساوي عدد المجهول في هذه المسألة.

ضع في اعتبارك إطارًا مرجعيًا غير بالقصور الذاتي يدور بسرعة زاوية ثابتة حول محور يتحرك بشكل انتقالي بسرعة بالنسبة للإطار بالقصور الذاتي. في هذه الحالة ، يرتبط تسارع نقطة في الإطار بالقصور الذاتي () بالتسارع في الإطار غير القصور الذاتي () بالعلاقة:

أين هو تسارع الإطار غير بالقصور الذاتي بالنسبة للإطار بالقصور الذاتي ، السرعة الخطية للنقطة في الإطار غير بالقصور الذاتي. من العلاقة الأخيرة ، بدلاً من التسارع ، نستبدلها بالمساواة (1) ، نحصل على التعبير:

هذه النسبة تسمى قانون نيوتن الثاني في إطار مرجعي غير بالقصور الذاتي.

قوى القصور الذاتي. دعونا نقدم التدوين:

1. – قوة القصور الذاتي متعدية;

2. – قوة كوريوليس;

3 – قوة الطرد المركزي من القصور الذاتي.

في المهام ، يتم تصوير القوة الانتقالية من القصور الذاتي مقابل المتجه من خلال تسريع الحركة الانتقالية لإطار مرجعي غير بالقصور الذاتي () ، وقوة الطرد المركزي للقصور الذاتي - من مركز الدوران على طول نصف القطر () ؛ يتم تحديد اتجاه قوة كوريوليس بالقاعدة مثقوبلحاصل ضرب المتجهات.

بالمعنى الدقيق للكلمة ، فإن قوى القصور الذاتي ليست قوى بالمعنى الكامل ، لأن قانون نيوتن الثالث لا ينطبق عليهم ، أي لم يتم إقرانهم.

القوات

قوة الجاذبية. تنشأ قوة الجاذبية العامة في عملية التفاعل بين الأجسام ذات الكتل ، وتُحسب من النسبة:

. (4)

يسمى معامل التناسب ثابت الجاذبية. قيمتها في نظام SI هي .

قوة رد الفعل. تنشأ قوى التفاعل عندما يتفاعل الجسم مع الهياكل المختلفة التي تحد من موقعه في الفضاء. على سبيل المثال ، الجسم المعلق بخيط يتعرض لقوة رد فعل ، تسمى عادة القوة توتر. يتم توجيه قوة شد الخيط دائمًا على طول الخيط.لا توجد صيغة لحساب قيمتها. عادة ما يتم العثور على قيمتها إما من القانون الأول أو من قانون نيوتن الثاني. تشمل قوى التفاعل أيضًا القوى المؤثرة على جسيم على سطح أملس. يسمونها قوة رد الفعل العادية، دلالة. يتم توجيه قوة التفاعل دائمًا بشكل عمودي على السطح المعني. تسمى القوة التي تعمل على سطح أملس من الجسم قوة الضغط الطبيعي(). وفقًا لقانون نيوتن الثالث ، فإن قوة رد الفعل تساوي في الحجم قوة الضغط العادي ، لكن نواقل هذه القوى معاكسة في الاتجاه.

قوة مرنة. تنشأ القوى المرنة في الأجسام إذا كانت الأجسام مشوهة ، أي إذا تغير شكل الجسم أو حجمه. عندما يتوقف التشوه ، تختفي القوى المرنة. وتجدر الإشارة إلى أنه على الرغم من ظهور القوى المرنة أثناء تشوه الأجسام ، إلا أن التشوه لا يؤدي دائمًا إلى ظهور قوى مرنة. تنشأ القوى المرنة في أجسام قادرة على استعادة شكلها بعد انتهاء التأثير الخارجي. تسمى هذه الأجسام والتشوهات المقابلة لها المرن. مع تشوه البلاستيك ، لا تختفي التغييرات تمامًا بعد انتهاء التأثير الخارجي. يمكن أن تكون القوى الناشئة في الينابيع المعرضة للتشوه مثالًا صارخًا على ظهور القوى المرنة. بالنسبة للتشوهات المرنة التي تحدث في الأجسام المشوهة ، تكون القوة المرنة دائمًا متناسبة مع حجم التشوه ، أي:

, (5)

أين هو معامل مرونة (أو صلابة) الزنبرك ، ناقل سلالة الربيع.

هذا البيان يسمى قانون هوك.

قوة الإحتكاك. عندما يتحرك جسم على طول سطح آخر ، تنشأ قوى تمنع هذه الحركة. تسمى هذه القوى انزلاق الاحتكاك. يمكن أن يختلف حجم قوة الاحتكاك الساكن اعتمادًا على القوة الخارجية المطبقة. عند قيمة معينة للقوة الخارجية ، تصل قوة الاحتكاك الساكن إلى أقصى قيمتها. بعد ذلك يبدأ انزلاق الجسم. ثبت تجريبياً أن قوة الاحتكاك الانزلاقي تتناسب طرديًا مع قوة الضغط الطبيعي للجسم على السطح.وفقًا لقانون نيوتن الثالث ، فإن قوة الضغط الطبيعي لجسم ما على سطح ما تساوي دائمًا قوة رد الفعل التي يعمل بها السطح نفسه على جسم متحرك. مع وضع هذا في الاعتبار ، فإن صيغة حساب مقدار قوة الاحتكاك الانزلاقي لها الشكل:

, (6)

أين مقدار قوة رد الفعل ؛ معامل الاحتكاك الانزلاقي. دائمًا ما يتم توجيه قوة الاحتكاك المنزلق التي تعمل على جسم متحرك ضد سرعته ، على طول الأسطح الملامسة.

قوة المقاومة. عندما تتحرك الأجسام في السوائل والغازات ، تظهر قوى الاحتكاك أيضًا ، لكنها تختلف اختلافًا كبيرًا عن قوى الاحتكاك الجاف. هذه القوى تسمى قوى الاحتكاك اللزج، أو قوى المقاومة. تنشأ قوى الاحتكاك اللزج فقط مع الحركة النسبية للأجسام. تعتمد قوى المقاومة على العديد من العوامل ، وهي: على حجم وشكل الأجسام ، وعلى خصائص الوسط (الكثافة ، اللزوجة) ، وعلى سرعة الحركة النسبية. عند السرعات المنخفضة ، تتناسب قوة المقاومة طرديًا مع سرعة الجسم بالنسبة إلى الوسط ، أي:

. (7)

عند السرعات العالية ، تكون قوة المقاومة متناسبة مع مربع سرعة الجسم بالنسبة للوسط ، أي:

, (8)

حيث تسمى بعض معاملات التناسب معاملات السحب.

المعادلة الأساسية للديناميات

المعادلة الأساسية لديناميات النقطة المادية ليست أكثر من تعبير رياضي لقانون نيوتن الثاني:

. (9)

في الإطار المرجعي بالقصور الذاتي ، يشمل مجموع كل القوى فقط القوى التي هي مقاييس للتفاعلات ؛ في الأطر غير بالقصور الذاتي ، يشمل مجموع القوى قوى القصور الذاتي.

من وجهة نظر رياضية ، العلاقة (9) هي معادلة تفاضلية للحركة النقطية في شكل متجه. حلها هو المشكلة الرئيسية لديناميات النقطة المادية.

أمثلة على حل المشكلات

رقم المهمة 1. يتم وضع كوب على ورقة. بأي سرعة يجب أن تتحرك اللوح لسحبها للخارج من تحت الزجاج ، إذا كان معامل الاحتكاك بين الزجاج والورقة 0.3؟

لنفترض أنه لبعض القوة المؤثرة على ورقة ، يتحرك الزجاج مع الورقة. دعونا نصور بشكل منفصل القوى المؤثرة على كوب به كتلة. تعمل الأجسام التالية على الزجاج: الأرض بالجاذبية ، ورقة ذات قوة رد فعل ، ورقة ذات قوة احتكاك موجهة على طول سرعة الزجاج. يتم تسريع حركة الزجاج بشكل منتظم ، وبالتالي يتم توجيه متجه التسارع على طول سرعة الزجاج.

دعنا نصور متجه تسريع الزجاج في الشكل. نكتب قانون نيوتن الثاني في شكل متجه للقوى المؤثرة على الزجاج:

دعنا نوجه محور OX على طول متجه تسريع الزجاج ، ومحور OY رأسياً لأعلى. نكتب قانون نيوتن الثاني في الإسقاطات على محاور الإحداثيات هذه ، نحصل على المعادلات التالية:

(1.1)

مع زيادة القوة المؤثرة على ورقة ، يزداد مقدار قوة الاحتكاك التي تعمل بها الورقة على الزجاج. عند قيمة معينة للقوة ، يصل مقدار قوة الاحتكاك إلى أقصى قيمته ، والتي تساوي قوة الاحتكاك الانزلاقي في الحجم. من هذه اللحظة ، يبدأ الزجاج في الانزلاق بالنسبة لسطح الورقة. ترتبط القيمة المحددة لقوة الاحتكاك بقوة التفاعل المؤثرة على الزجاج بالعلاقة التالية:

من المساواة (1.2) نعبر عن حجم قوة رد الفعل ، ثم نستبدلها في العلاقة الأخيرة ، لدينا. من العلاقة التي تم الحصول عليها ، نجد قيمة قوة الاحتكاك ووضعها في المعادلة (1.1) ، نحصل على تعبير لتحديد أقصى تسارع للزجاج:

باستبدال القيم العددية للكميات في المساواة الأخيرة ، نجد قيمة أقصى تسارع للزجاج:

القيمة التي تم الحصول عليها لتسريع الزجاج تساوي الحد الأدنى لتسارع ورقة ، حيث يمكن "سحبها" من تحت الزجاج.

إجابه: .

دعونا نصور كل القوى المؤثرة على الجسم. بالإضافة إلى القوة الخارجية ، تعمل الأرض على الجسم بقوة الجاذبية ، وهو سطح أفقي بقوة رد الفعل وقوة الاحتكاك ، موجهة ضد سرعة الجسم. يتحرك الجسم بشكل متسارع ، وبالتالي ، يتم توجيه متجه تسارعه على طول سرعة الحركة. لنرسم متجهًا في الشكل. اختر نظام إحداثيات كما هو موضح في الشكل. نكتب قانون نيوتن الثاني في شكل متجه:

باستخدام الخاصية الرئيسية لمعادلات المتجهات ، نكتب المعادلات الخاصة بإسقاطات المتجهات المدرجة في مساواة المتجه الأخيرة:

نكتب النسبة لقوة الاحتكاك الانزلاقي

من المساواة (2.2) نجد حجم قوة رد الفعل

من التعبير الناتج ، نستبدل بالمساواة (2.3) بدلاً من حجم قوة التفاعل ، نحصل على التعبير

باستبدال التعبير الناتج عن قوة الاحتكاك في المعادلة (2.1) ، سيكون لدينا صيغة لحساب تسارع الجسم:

في الصيغة الأخيرة استبدلنا البيانات الرقمية في نظام SI ، نجد قيمة تسارع حركة الحمل:

إجابه: .

للحصول على أدنى قيمة للقوة ، نحدد اتجاه قوة الاحتكاك التي تؤثر على عمود السكون. تخيل أن القوة أقل من الحد الأدنى من القوة الكافية لإبقاء الجسم في حالة راحة. في هذه الحالة ، سيتحرك الجسم لأسفل ، وسيتم توجيه قوة الاحتكاك المطبقة عليه عموديًا لأعلى. لإيقاف الجسم ، تحتاج إلى زيادة مقدار القوة المؤثرة. بالإضافة إلى ذلك ، يتأثر هذا الجسم بالأرض بقوة جاذبية موجهة عموديًا لأسفل ، بالإضافة إلى جدار به قوة رد فعل موجهة أفقيًا إلى اليسار. دعونا نصور في الشكل كل القوى المؤثرة على الجسم. نأخذ نظام إحداثيات ديكارتي مستطيل ، نوجه محاوره كما هو موضح في الشكل. لجسم في حالة راحة ، نكتب قانون نيوتن الأول في شكل متجه:

بالنسبة إلى مساواة المتجه التي تم العثور عليها ، نكتب المساواة لإسقاطات المتجهات على محاور الإحداثيات ، نحصل على المعادلات التالية:

عند أدنى قيمة للقوة الخارجية ، يصل مقدار قوة الاحتكاك الساكن إلى قيمة قصوى مساوية لمقدار قوة الاحتكاك الانزلاقي:

من المساواة (3.1) نجد قيمة قوة التفاعل ، ونستبدلها في المعادلة (3.3) ، نحصل على التعبير التالي لقوة الاحتكاك:

دعونا نستبدل الجانب الأيمن من هذه العلاقة بدلاً من قوة الاحتكاك في المعادلة (3.2) ، نحصل على صيغة لحساب مقدار القوة المطبقة:

من الصيغة الأخيرة نحسب مقدار القوة:

إجابه: .

لنصوّر كل القوى المؤثرة على الكرة وهي تتحرك عموديًا لأسفل في الهواء. تتأثر الأرض بقوة الجاذبية ويتأثر الهواء بقوة السحب. نصور القوى المدروسة في الشكل. في اللحظة الأولى من الزمن ، يكون لنتيجة كل القوى قيمة قصوى ، لأن سرعة الكرة هي صفر وقوة المقاومة صفر أيضًا. في هذه اللحظة ، تساوي أقصى تسارع للكرة. عندما تتحرك الكرة ، تزداد سرعة حركتها ، وبالتالي تزداد قوة مقاومة الهواء. في وقت ما ، تصل قوة السحب إلى قيمة مساوية لقيمة الجاذبية. من هذه النقطة الزمنية ، تتحرك الكرة بشكل موحد. لنكتب قانون نيوتن الأول في شكل متجه للحركة المنتظمة للكرة:

دعنا نوجه محور OY عموديًا لأسفل. للحصول على مساواة ناقلات معينة ، نكتب المساواة لإسقاطات المتجهات على محور OY:

. (4.1)

تعتمد قوة المقاومة على مساحة المقطع العرضي للكرة وحجم سرعتها كما يلي:

, (4.2)

أين هو معامل التناسب ، يسمى معامل السحب.

تشير المعادلتان (4.1) و (4.2) إلى العلاقة التالية:

. (4.3)

نعبر عن كتلة الكرة من حيث كثافتها وحجمها ، والحجم ، بدوره ، بدلالة نصف قطر الكرة:

. (4.4)

من هذا التعبير نجد الكتلة ونستبدلها بالمساواة (4.3) ، نحصل على المساواة التالية:

. (4.5)

نعبر عن مساحة المقطع العرضي للكرة بدلالة نصف قطرها:

مع مراعاة العلاقة (4.6) ، تأخذ المساواة (4.5) الشكل التالي:

تشير إلى نصف قطر الكرة الأولى ؛ مثل نصف قطر الكرة الثانية. دعونا نكتب الصيغ الخاصة بسرعات الحركة الثابتة للكرتين الأولى والثانية:

من المعادلات التي تم الحصول عليها نجد نسبة السرعات:

من حالة المشكلة ، فإن نسبة نصف قطر الكرات تساوي اثنين. باستخدام هذا الشرط ، نجد نسبة السرعات:

إجابه: .

على جسم يتحرك لأعلى على طول مستوى مائل ، تعمل الأجسام الخارجية: أ) الأرض ذات الجاذبية الموجهة عموديًا نحو الأسفل ؛ ب) مستوى مائل بقوة رد فعل موجهة بشكل عمودي على المستوى المائل ؛ ج) طائرة مائلة بقوة احتكاك موجهة ضد حركة الجسم ؛ د) جسم خارجي بقوة موجهة لأعلى على طول مستوى مائل. تحت تأثير هذه القوى ، يتحرك الجسم بشكل متسارع أعلى المستوى المائل ، وبالتالي ، يتم توجيه متجه التسارع على طول حركة الجسم. دعنا نصور متجه التسارع في الشكل. لنكتب قانون نيوتن الثاني في شكل متجه:

نختار نظام إحداثيات ديكارتي مستطيل الشكل ، حيث يتم توجيه محور OX على طول عجلة الجسم ، ويكون محور OY عموديًا على المستوى المائل. نكتب قانون نيوتن الثاني في الإسقاطات على محاور الإحداثيات هذه ، نحصل على المعادلات التالية:

ترتبط قوة الاحتكاك المنزلقة بقوة رد الفعل بالعلاقة التالية:

من المساواة (5.2) نجد حجم قوة التفاعل واستبدالها في المعادلة (5.3) ، لدينا التعبير التالي لقوة الاحتكاك:

. (5.4)

نستبدل الجانب الأيمن من المعادلة (5.4) بدلاً من قوة الاحتكاك في المعادلة (5.1) ، نحصل على المعادلة التالية لحساب مقدار القوة المطلوبة:

لنحسب مقدار القوة:

إجابه: .

دعونا نصور كل القوى المؤثرة على الأجسام وعلى الكتلة. ضع في اعتبارك عملية حركة الأجسام المتصلة بخيط يتم إلقاؤه فوق كتلة. الخيط عديم الوزن وغير قابل للتمدد ، وبالتالي فإن حجم قوة الشد في أي جزء من الخيط سيكون هو نفسه ، أي و .

ستكون حركات الأجسام في أي فترات زمنية هي نفسها ، وبالتالي ، في أي لحظة من الوقت ، ستكون سرعات وتسارعات هذه الأجسام هي نفسها. من حقيقة أن الكتلة تدور بدون احتكاك وأنها خالية من الوزن ، يترتب على ذلك أن قوة شد الخيط على جانبي الكتلة ستكون هي نفسها ، أي:.

هذا يعني المساواة في قوى التوتر للخيط الذي يعمل على الجسمين الأول والثاني ، أي . دعونا نصور نواقل التسارع للجسم الأول والثاني في الشكل. لنرسم محورين س. دعونا نوجه المحور الأول على طول متجه التسارع للجسم الأول ، والثاني - على طول متجه التسارع للجسم الثاني. نكتب قانون نيوتن الثاني لكل جسم في الإسقاط على محاور الإحداثيات هذه:

مع الأخذ في الاعتبار ذلك ، والتعبير عن المعادلة الأولى ، نعوض في المعادلة الثانية ، نحصل عليها

من المساواة الأخيرة نجد قيمة التسارع:

من المساواة (1) نجد حجم قوة التوتر:

إجابه: , .

تؤثر قوتان على حلقة صغيرة أثناء دورانها حول دائرة: الجاذبية ، موجهة رأسياً إلى الأسفل ، وقوة رد الفعل ، موجهة نحو مركز الحلقة. نصور هذه القوى في الشكل ، ونظهر عليها أيضًا مسار الحلقة. يقع متجه التسارع المركزي للحلقة في مستوى المسار ويتم توجيهه نحو محور الدوران. دعنا نظهر في الصورة. لنكتب قانون نيوتن الثاني في شكل متجه للحلقة الدوارة:

نختار نظام إحداثيات مستطيل ، حيث سيتم توجيه محور OX على طول عجلة الجاذبية المركزية ، ومحور OY - عموديًا لأعلى على طول محور الدوران. نكتب قانون نيوتن الثاني في الإسقاطات على محاور الإحداثيات هذه:

من المساواة (7.2) نجد حجم قوة التفاعل واستبدالها في المعادلة (7.1) ، نحصل على التعبير:

. (7.3)

يرتبط تسارع الجاذبية المركزية بسرعة الدوران بنسبة: حيث نصف قطر دوران الحلقة الصغيرة. دعونا نستبدل الجانب الأيمن من المساواة الأخيرة في الصيغة (7.3) ، نحصل على العلاقة التالية:

. (7.4)

من الشكل نجد قيمة ظل الزاوية ألفا . مع أخذ هذا التعبير في الاعتبار ، تأخذ المساواة (7.4) الشكل:

من المعادلة الأخيرة نجد الارتفاع المطلوب:

إجابه: .

تعمل ثلاث قوى على جسم يدور مع القرص: الجاذبية وقوة التفاعل وقوة الاحتكاك ، موجهة نحو محور الدوران. دعنا نصور كل القوى الموجودة في الشكل. دعنا نوضح في هذا الشكل اتجاه متجه التسارع المركزي. نكتب قانون نيوتن الثاني في شكل متجه:

نختار نظام إحداثيات ديكارتي مستطيل الشكل كما هو موضح في الشكل. لنكتب قانون نيوتن الثاني في الإسقاطات على محاور الإحداثيات:

; (8.1)

. (8.2)

نكتب العلاقة لتسارع الجاذبية:

. (8.3)

نستبدل الجانب الأيمن من المساواة (8.3) بدلاً من تسريع الجاذبية إلى مساواة (8.1) ، نحصل على:

. (8.4)

من المعادلة (8.4) ، يمكن ملاحظة أن مقدار قوة الاحتكاك يتناسب طرديًا مع نصف قطر الدوران ، وبالتالي ، مع زيادة نصف قطر الدوران ، تزداد قوة الاحتكاك الساكن ، وعند قيمة معينة ، ستاتي تصل قوة الاحتكاك إلى قيمة قصوى مساوية لقوة الاحتكاك الانزلاقي ().

مع مراعاة المساواة (8.2) ، نحصل على تعبيرات لأقصى قوة احتكاك ثابتة:

نستبدل الجانب الأيمن من المساواة التي تم الحصول عليها بدلاً من قوة الاحتكاك بالمساواة (4) ، نحصل على العلاقة التالية:

من هذه المعادلة نجد القيمة الحدية لنصف قطر الدوران:

إجابه: .

أثناء طيران السقوط ، تعمل قوتان عليه: الجاذبية والسحب. دعنا نصور كل القوى الموجودة في الشكل. نختار محورًا موجهًا عموديًا OY ، يقع أصله على سطح الأرض. دعونا نكتب المعادلة الأساسية للديناميات:

بإسقاط المساواة على محور OY ، سيكون لدينا العلاقة:

نقسم كلا الجزأين من المساواة الأخيرة على كلا الجزأين ونضربهما في نفس الوقت ، مع الأخذ في الاعتبار ذلك ، نحصل على التعبير:

نقسم كلا الجزأين من هذا التعبير إلى نحصل على النسبة:

ندمج العلاقة الأخيرة ، نحصل على اعتماد السرعة على الوقت:.

نجد الثابت من الشروط الأولية ( ) ، نحصل على الاعتماد المطلوب للسرعة في الوقت المحدد:

حدد السرعة القصوى للحالة :

إجابه: ; .

دعونا نصور في الشكل القوى المؤثرة على الغسالة. نكتب قانون نيوتن الثاني في الإسقاطات على المحاور OX و OY و OZ

لان , ثم بالنسبة للمسار الكامل للغسالة لقوة الاحتكاك ، تكون الصيغة صالحة ، والتي ، مع مراعاة المساواة لـ OZ ، يتم تحويلها إلى الشكل:

مع أخذ هذه العلاقة في الاعتبار ، تأخذ المساواة لمحور OX الشكل

بإسقاط قانون نيوتن الثاني بشأن المماس لمسار القرص عند النقطة قيد الدراسة ، نحصل على العلاقة:

أين هي قيمة التسارع العرضي. بمقارنة الأجزاء الصحيحة من المساواة الأخيرة ، نستنتج ذلك.

منذ ذلك الحين ، مع مراعاة العلاقة السابقة ، لدينا المساواة ، التي يؤدي تكاملها إلى التعبير ، حيث يكون التكامل ثابتًا. عوّض في التعبير الأخير نحصل على اعتماد السرعة على الزاوية:

نحدد الثابت من الشروط الأولية (متى . ). مع وضع هذا في الاعتبار ، نكتب الاعتماد النهائي

يتم الوصول إلى أدنى قيمة للسرعة عندما يتم توجيه متجه السرعة بالتوازي مع محور OX وقيمته تساوي.

مبدأ الحركات الممكنة: من أجل توازن نظام ميكانيكي مع وصلات مثالية ، من الضروري والكافي أن يكون مجموع الأعمال الأولية لجميع القوى النشطة المؤثرة عليه لأي إزاحة محتملة مساوية للصفر. أو في الإسقاطات:.

يعطي مبدأ الإزاحة المحتملة بشكل عام شروط التوازن لأي نظام ميكانيكي ، ويعطي طريقة عامة لحل مشاكل الاستاتيكات.

إذا كان النظام يتمتع بعدة درجات من الحرية ، فإن معادلة مبدأ الإزاحة المحتملة تتكون لكل من عمليات النزوح المستقلة على حدة ، أي. سيكون هناك العديد من المعادلات مثل عدد درجات الحرية في النظام.

يعد مبدأ الإزاحة المحتملة مناسبًا لأنه عند التفكير في نظام ذي اتصالات مثالية ، لا تؤخذ ردود أفعالهم في الاعتبار ومن الضروري العمل فقط مع القوى النشطة.

تتم صياغة مبدأ الحركات المحتملة على النحو التالي:

للأم. النظام الخاضع للقيود المثالية في حالة سكون ، فمن الضروري والكافي أن يكون مجموع العمل الأولي الذي تقوم به القوى النشطة على التهجير المحتمل لنقاط النظام موجبًا

معادلة الديناميات العامة - عندما يتحرك نظام بوصلات مثالية في أي لحظة زمنية معينة ، فإن مجموع الأعمال الأولية لجميع القوى النشطة المطبقة وجميع قوى القصور الذاتي على أي حركة محتملة للنظام سيكون مساويًا للصفر. تستخدم المعادلة مبدأ الإزاحة المحتملة ومبدأ دالمبرت وتسمح للشخص بتكوين معادلات تفاضلية للحركة لأي نظام ميكانيكي. يعطي طريقة عامة لحل مشاكل الديناميات.

تسلسل التجميع:

أ) يتم تطبيق القوى المحددة المؤثرة عليها على كل جسم ، وكذلك يتم تطبيق قوى ولحظات أزواج قوى القصور الذاتي بشكل مشروط ؛

ب) إعلام النظام بالحركات المحتملة ؛

ج) يؤلف معادلات مبدأ الإزاحة المحتملة ، مع الأخذ في الاعتبار أن النظام في حالة توازن.

وتجدر الإشارة إلى أنه يمكن أيضًا تطبيق المعادلة العامة للديناميكيات على الأنظمة ذات الروابط غير المثالية ، فقط في هذه الحالة يجب أن تكون تفاعلات الروابط غير المثالية ، مثل قوة الاحتكاك أو لحظة الاحتكاك المتداول ، تصنف على أنها قوى نشطة.

يتم البحث عن العمل على الإزاحة المحتملة لكل من القوى النشطة والقصور الذاتي بنفس طريقة العمل الأولي على الإزاحة الفعلية:

القوة الممكنة للعمل: .

العمل المحتمل للحظة (زوج من القوى): .

الإحداثيات المعممة للنظام الميكانيكي هي معلمات مستقلة عن بعضها البعض q 1 ، q 2 ، ... ، q S من أي بُعد ، والتي تحدد بشكل فريد موضع النظام في أي وقت.

عدد الإحداثيات المعممة س - عدد درجات الحرية للنظام الميكانيكي. يمكن دائمًا التعبير عن موضع كل نقطة من النظام ، أي متجه نصف قطرها ، في الحالة العامة ، كدالة للإحداثيات المعممة:

تبدو المعادلة العامة للديناميكيات في الإحداثيات المعممة مثل نظام معادلات S على النحو التالي:

;

……..………. ;

(25)

………..……. ;

هنا هي القوة المعممة المقابلة للإحداثي المعمم:

(26)

أ هي قوة القصور الذاتي المعممة المقابلة للتنسيق المعمم:

يُطلق على عدد عمليات النزوح الممكنة المستقلة للنظام عدد درجات الحرية لهذا النظام. فمثلا. يمكن أن تتحرك الكرة على المستوى في أي اتجاه ، ولكن يمكن الحصول على أي حركة محتملة كمجموع هندسي لحركتين على محورين متعامدين بشكل متبادل. يمتلك الجسم الجامد الحر 6 درجات من الحرية.

القوى المعممة.لكل إحداثي معمم ، يمكن للمرء حساب القوة المعممة المقابلة س ك.

يتم الحساب وفقًا لهذه القاعدة.

لتحديد القوة المعممة س كالمقابلة للإحداثيات المعممة ف ك، تحتاج إلى إعطاء هذا الإحداثي زيادة (زيادة التنسيق بهذا المقدار) ، مع ترك جميع الإحداثيات الأخرى دون تغيير ، وحساب مجموع عمل جميع القوى المطبقة على النظام على عمليات الإزاحة المقابلة للنقاط وتقسيمها على الزيادة للتنسيق:

(7)

أين الإزاحة أنا- نقطة النظام التي تم الحصول عليها عن طريق التغيير ك- إحداثيات معممة.

يتم تحديد القوة المعممة باستخدام العمل الأولي. لذلك ، يمكن حساب هذه القوة بشكل مختلف:

ونظرًا لوجود زيادة في متجه نصف القطر بسبب زيادة الإحداثيات مع الإحداثيات المتبقية والوقت دون تغيير ر، يمكن تعريف النسبة على أنها مشتق جزئي لـ. ثم

حيث إحداثيات النقاط هي وظائف الإحداثيات المعممة (5).

إذا كان النظام محافظًا ، فهذا يعني أن الحركة تحدث تحت تأثير القوى الميدانية المحتملة التي توجد توقعاتها ، وأين ، وإحداثيات النقاط هي وظائف إحداثيات معممة ، إذن

القوة المعممة للنظام المحافظ هي مشتق جزئي من الطاقة الكامنة فيما يتعلق بالإحداثيات المعممة المقابلة بعلامة ناقص.

بالطبع ، عند حساب هذه القوة المعممة ، يجب تعريف الطاقة الكامنة على أنها دالة للإحداثيات المعممة

P = P ( ف 1 , ف 2 , ف 3 ,…,qs).

ملاحظات.

أولاً. عند حساب قوى التفاعل المعممة ، لا تؤخذ الروابط المثالية بعين الاعتبار.

ثانيا. يعتمد أبعاد القوة المعممة على أبعاد الإحداثي المعمم.

معادلات لاغرانج من النوع الثانيمشتق من المعادلة العامة للديناميات في الإحداثيات المعممة. عدد المعادلات يتوافق مع عدد درجات الحرية:

(28)

لتكوين معادلة لاغرانج من النوع الثاني ، يتم اختيار الإحداثيات المعممة وإيجاد السرعات المعممة . تم العثور على الطاقة الحركية للنظام ، وهي دالة للسرعات المعممة , وفي بعض الحالات ، الإحداثيات المعممة. يتم تنفيذ عمليات تمايز الطاقة الحركية ، المنصوص عليها في الأجزاء اليسرى من معادلات لاغرانج. وتتم مساواة التعبيرات التي تم الحصول عليها بالقوى المعممة ، والتي ، بالإضافة إلى الصيغ (26) ، غالبًا ما يتم استخدام ما يلي عند الحل مشاكل:

(29)

في بسط الجانب الأيمن من الصيغة - مجموع العمل الأولي لجميع القوى النشطة على الإزاحة المحتملة للنظام ، المقابلة لتغير الإحداثي المعمم من الدرجة الأولى -. مع هذا الإزاحة المحتملة ، لا تتغير جميع الإحداثيات المعممة الأخرى. المعادلات الناتجة هي معادلات تفاضلية للحركة لنظام ميكانيكي مع س درجات الحرية.

في هذه الحالة ، يأخذ (229) أحد الأشكال:

. (230)

يمكن إعطاء المعادلة العامة للديناميكيات الشكل

في هذا الشكل يطلق عليه المعادلة العامة للديناميات في شكل تحليلي.

إذا تم الإبلاغ عن الزاوية في اتجاه السهم القوسي للتسارع الزاوي.

يوفر مبدأ الإزاحة المحتملة طريقة عامة لحل مشاكل الاستاتيكا. من ناحية أخرى ، فإن مبدأ دالمبرت يجعل من الممكن استخدام طرق الإحصائيات لحل مشاكل الديناميات. لذلك ، من خلال تطبيق هذين المبدأين في وقت واحد ، يمكننا الحصول على طريقة عامة لحل مشاكل الديناميات.

ضع في اعتبارك نظامًا للنقاط المادية تُفرض عليه اتصالات مثالية. إذا أضفنا إلى جميع نقاط النظام ، باستثناء القوى النشطة التي تعمل عليها وردود فعل الروابط ، قوى القصور الذاتي المقابلة ، فوفقًا لمبدأ دالمبرت ، سيكون نظام القوى الناتج في حالة توازن. بعد ذلك ، يتم تطبيق مبدأ النزوح المحتمل على هذه القوات

لكن المجموع الأخير حسب الشرط (98) يساوي صفرًا وسيكون أخيرًا:

يتبع مبدأ d'Alembert-Lagrange التالي النتيجة التي تم الحصول عليها: عندما يتحرك نظام ميكانيكي ذو قيود مثالية في كل لحظة من الزمن ، فإن مجموع الأعمال الأولية لجميع القوى النشطة المطبقة وجميع قوى القصور الذاتي على أي إزاحة محتملة للنظام سوف تكون مساوية للصفر.

المعادلة (102) ، التي تعبر عن هذا المبدأ ، تسمى المعادلة العامة للديناميكيات. في الشكل التحليلي ، يكون للمعادلة (102) الشكل

تسمح المعادلات (102) أو (103) للشخص بتكوين معادلات تفاضلية للحركة لنظام ميكانيكي.

إذا كان النظام ، في هذه الحالة ، عبارة عن مجموعة من بعض الأجسام الصلبة ، فعند وضع المعادلات ، من الضروري إضافة القوى النشطة المؤثرة على كل جسم القوة المطبقة في أي مركز مساوية للمتجه الرئيسي لقوى القصور الذاتي ، وزوجين مع لحظة تساوي اللحظة الرئيسية لقوى القصور الذاتي بالنسبة إلى هذا المركز (أو إحدى هذه الكميات ، انظر الفقرة 134) ، ثم طبق مبدأ الإزاحة المحتملة.

المشكلة 173. في منظم الطرد المركزي الذي يدور بشكل موحد حول محور عمودي مع السرعة الزاوية co (الشكل 362) ، يكون وزن كل من الكرات ووزن القابض هو Q. وإهمال وزن القضبان ، تحديد الزاوية أ ، إذا

المحلول. نضيف قوى الطرد المركزي من القصور الذاتي إلى القوى النشطة (من الواضح أن قوة القصور الذاتي للقابض ستكون مساوية للصفر) ونؤلف المعادلة العامة للديناميكيات في الشكل (103). ثم نحسب إسقاطات جميع القوى على محاور الإحداثيات

إحداثيات نقاط تطبيق القوات تساوي:

عند التفريق بين هذه التعبيرات نجد:

استبدال جميع القيم الموجودة في المعادلة (أ) ، نحصل عليها

ومن ثم أخيرا

منذ الكرات عندما تنحرف. مع زيادة الزاوية ، يزداد ، يميل إلى 90 درجة عند

المشكلة 174. في المصعد الموضح في الشكل. 363 ، يتم تطبيق عزم M على ترس له وزن ونصف قطر من القصور الذاتي بالنسبة لمحوره. حدد تسارع الحمل المرفوع 3 بالوزن Q ، مع إهمال وزن الحبل والاحتكاك في المحاور. يتم تثبيت الأسطوانة ، التي يتم لف الحبل عليها ، بشكل صارم بمعدات أخرى ؛ الوزن الإجمالي ، ونصف قطر القصور الذاتي بالنسبة لمحور الدوران ، نصف قطر التروس متساويان ، على التوالي ، ونصف قطر الأسطوانة.

المحلول. نصور القوة النشطة Q المؤثرة على النظام وعزم الدوران M (القوى لا تعمل) ؛ نضيف إليهم قوة القصور الذاتي للحمل والأزواج مع اللحظات والتي تقل فيها قوى القصور الذاتي للأجسام الدوارة (انظر الفقرة 134).