واضح لا يتجزأ. أمثلة الحل

مرحبا مجددا. في هذا الدرس ، سنحلل بالتفصيل شيئًا رائعًا مثل التكامل الواضح. هذه المرة ستكون المقدمة قصيرة. كل شىء. بسبب عاصفة ثلجية خارج النافذة.

لكي تتعلم كيفية حل تكاملات معينة ، عليك أن:

1) تكون قادرة تجدتكاملات غير محددة.

2) تكون قادرة احسبلا يتجزأ.

كما ترى ، من أجل إتقان التكامل المحدد ، يجب أن تكون على دراية جيدة بالتكاملات غير المحدودة "العادية". لذلك ، إذا كنت قد بدأت للتو في الغوص في حساب التفاضل والتكامل المتكامل ، ولم تغلي الغلاية بعد على الإطلاق ، فمن الأفضل أن تبدأ بالدرس تكامل غير محدد. أمثلة الحل. بالإضافة إلى ذلك ، هناك دورات pdf لـ تدريب فائق السرعة- إذا كان لديك يوم حرفيًا ، بقي نصف يوم.

بشكل عام ، يتم كتابة التكامل المحدد على النحو التالي:

ما الذي تمت إضافته مقارنة بالتكامل غير المحدد؟ مضاف حدود التكامل.

الحد الأدنى من التكامل
الحد الأعلى للتكاملتدل عليها الحرف بشكل قياسي.
الجزء يسمى جزء من التكامل.

قبل أن ننتقل إلى الأمثلة العملية ، توجد أسئلة شائعة صغيرة حول التكامل المحدد.

ماذا يعني حل تكامل محدد؟حل تكامل محدد يعني إيجاد رقم.

كيف نحل تكامل محدد؟بمساعدة صيغة Newton-Leibniz المألوفة من المدرسة:

من الأفضل إعادة كتابة الصيغة على ورقة منفصلة ؛ يجب أن تكون أمام عينيك طوال الدرس.

خطوات حل تكامل محدد هي كما يلي:

1) أولاً نجد الدالة العكسية (تكامل غير محدد). لاحظ أن الثابت في التكامل المحدد غير مضافة. التعيين تقني بحت ، والعصا الرأسية لا تحمل أي معنى رياضي ، فهي في الحقيقة مجرد خط يتوسطه خط. لماذا السجل ضروري؟ التحضير لتطبيق صيغة نيوتن-لايبنيز.

2) نعوض بقيمة الحد الأعلى في دالة المشتقات العكسية:.

3) نعوض بقيمة الحد الأدنى في الدالة العكسية:.

4) نحسب (بدون أخطاء!) الفرق ، أي نجد الرقم.

هل يوجد تكامل محدد دائمًا؟لا، ليس دائما.

على سبيل المثال ، لا يوجد التكامل ، لأن فاصل التكامل غير مدرج في مجال التكامل (لا يمكن أن تكون القيم تحت الجذر التربيعي سالبة). إليك مثال أقل وضوحًا:. هنا ، في فترة التكامل ظليتحمل فترات راحة لا نهاية لهاعند هذه النقاط ، وبالتالي فإن هذا التكامل المحدد غير موجود أيضًا. بالمناسبة ، الذي لم يقرأ بعد المواد المنهجية الرسوم البيانية والخصائص الأساسية للوظائف الأولية- حان الوقت الآن للقيام بذلك. سيكون من الرائع المساعدة طوال دورة الرياضيات العليا.

من أجل هذا من أجل أن يوجد التكامل المحدد على الإطلاق ، يكفي أن يكون التكامل والتكامل مستمرًا في فترة التكامل.

مما سبق ، فإن التوصية المهمة الأولى تتبع: قبل الشروع في حل أي تكامل محدد ، تحتاج إلى التأكد من أن التكامل مستمر في فترة التكامل. كطالب ، مررت مرارًا بحادث عندما عانيت لفترة طويلة من العثور على بدائية صعبة ، وعندما وجدتها أخيرًا ، كنت في حيرة بشأن سؤال آخر: "ما نوع الهراء الذي حدث؟" في نسخة مبسطة ، يبدو الموقف كما يلي:

؟؟؟! لا يمكنك استبدال الأرقام السالبة تحت الجذر! بحق الجحيم؟! الإهمال الأولي.

إذا كان الحل (في الاختبار ، أو الاختبار ، أو الامتحان) قد عُرض عليك أمر لا يتجزأ أو ، فأنت بحاجة إلى تقديم إجابة تفيد بأن هذا التكامل المحدد غير موجود وتبرير السبب.

! ملحوظة : في الحالة الأخيرة ، لا يمكن حذف كلمة "مؤكد" ، لأن ينقسم التكامل مع نقاط التوقف إلى عدة ، في هذه الحالة ، إلى 3 تكاملات غير صحيحة ، وتصبح الصيغة "هذا التكامل غير موجود" غير صحيحة.

هل يمكن أن يساوي التكامل المحدد عددًا سالبًا؟يمكن. ورقم سالب. وصفر. قد يتحول الأمر إلى ما لا نهاية ، لكنه سيكون كذلك بالفعل تكامل غير لائقوالتي تعطى محاضرة منفصلة.

هل يمكن أن يكون الحد الأدنى للتكامل أكبر من الحد الأعلى للتكامل؟ربما يحدث مثل هذا الموقف في الواقع في الممارسة.

- يتم حساب التكامل بهدوء باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز.

ما الذي لا تستغني عنه الرياضيات العليا؟ بالطبع ، بدون كل أنواع الخصائص. لذلك ، فإننا نعتبر بعض خصائص تكامل محدد.

في تكامل محدد ، يمكنك إعادة ترتيب الحدين العلوي والسفلي ، مع تغيير العلامة:

على سبيل المثال ، في تكامل محدد قبل التكامل ، يُنصح بتغيير حدود التكامل إلى الترتيب "المعتاد":

- في هذا الشكل ، يكون التكامل أكثر ملاءمة.

- لا ينطبق هذا على وظيفتين فحسب ، بل ينطبق أيضًا على أي عدد من الوظائف.

في تكامل محدد ، يمكن للمرء أن ينفذ تغيير متغير التكاملومع ذلك ، بالمقارنة مع التكامل غير المحدد ، فإن هذا له خصائصه الخاصة ، والتي سنتحدث عنها لاحقًا.

لتكامل محدد ، صيغة للتكامل حسب الأجزاء:

مثال 1

قرار:

(1) نخرج الثابت من علامة التكامل.

(2) ندمج على الطاولة باستخدام الصيغة الأكثر شيوعًا . يُنصح بفصل الثابت الظاهر عن القوس وإخراجه من القوس. ليس من الضروري القيام بذلك ، لكن من المرغوب فيه - لماذا الحسابات الإضافية؟

. نعوض أولاً في الحد الأعلى ، ثم الحد الأدنى. نجري المزيد من العمليات الحسابية ونحصل على الإجابة النهائية.

مثال 2

احسب تكامل محدد

هذا مثال على الحل الذاتي والحل والإجابة في نهاية الدرس.

لنجعل الأمر أكثر صعوبة:

مثال 3

احسب تكامل محدد

قرار:

(1) نستخدم الخصائص الخطية للتكامل المحدد.

(2) نقوم بالتكامل فوق الجدول ، بينما نحذف جميع الثوابت - لن يشاركوا في استبدال الحدين العلوي والسفلي.

(3) لكل من المصطلحات الثلاثة ، نطبق صيغة نيوتن-لايبنيز:

يعتبر ارتباط ضعيف في جزء لا يتجزأ من الأخطاء الحسابية وارتباك إشارة مشترك. كن حذرا! أركز على الفترة الثالثة: - المركز الأول في استعراض الأخطاء بسبب عدم الانتباه ، وغالبًا ما يكتبون تلقائيًا (خاصةً عندما يتم استبدال الحدين العلوي والسفلي شفهيًا ولم يتم التوقيع عليه بهذه التفاصيل). مرة أخرى ، ادرس بعناية المثال أعلاه.

وتجدر الإشارة إلى أن الطريقة المدروسة لحل تكامل محدد ليست الطريقة الوحيدة. مع بعض الخبرة ، يمكن تقليل الحل بشكل كبير. على سبيل المثال ، اعتدت على حل مثل هذه التكاملات مثل هذا:

هنا استخدمت قواعد الخطية لفظيًا ، مدمجة شفهيًا فوق الطاولة. انتهى بي الأمر بقوس واحد فقط مع الحدود الموضحة: (على عكس الأقواس الثلاثة في الطريقة الأولى). وفي الدالة العكسية "الكاملة" ، استبدلت أولاً بـ 4 أولاً ، ثم -2 ، وأقوم مرة أخرى بكل الإجراءات في ذهني.

ما هي عيوب طريقة الحل القصير؟ كل شيء ليس جيدًا هنا من وجهة نظر عقلانية الحسابات ، لكنني شخصيًا لا أهتم - أحسب الكسور العادية على الآلة الحاسبة.
بالإضافة إلى ذلك ، هناك خطر متزايد لارتكاب خطأ في الحسابات ، لذلك من الأفضل للطلاب المبتدئين استخدام الطريقة الأولى ، مع طريقة "الحل الخاص بي" ، ستضيع العلامة بالتأكيد في مكان ما.

ومع ذلك ، فإن المزايا التي لا شك فيها للطريقة الثانية هي سرعة الحل ، واكتناز التدوين ، وحقيقة أن المشتق العكسي يقع في قوس واحد.

نصيحة: قبل استخدام صيغة Newton-Leibniz ، من المفيد التحقق من: هل تم العثور على المشتق العكسي نفسه بشكل صحيح؟

لذا ، فيما يتعلق بالمثال قيد الدراسة: قبل استبدال الحدين العلوي والسفلي في دالة المشتقة العكسية ، يُنصح بالتحقق من مسودة ما إذا كان التكامل غير المحدد موجودًا بشكل صحيح على الإطلاق؟ يميز:

تم الحصول على التكامل الأصلي ، مما يعني أنه تم العثور على التكامل غير المحدد بشكل صحيح. يمكنك الآن تطبيق صيغة Newton-Leibniz.

لن يكون هذا الفحص غير ضروري عند حساب أي تكامل محدد.

مثال 4

احسب تكامل محدد

هذا مثال على الحل الذاتي. حاول حلها بطريقة قصيرة ومفصلة.

تغيير المتغير في تكامل محدد

بالنسبة للتكامل المحدد ، تكون جميع أنواع الاستبدالات صالحة ، كما هو الحال بالنسبة للتكامل غير المحدد. وبالتالي ، إذا لم تكن جيدًا في التبديلات ، فيجب عليك قراءة الدرس بعناية. طريقة الاستبدال في تكامل غير محدد.

لا يوجد شيء مخيف أو معقد في هذه الفقرة. الجدة تكمن في السؤال كيفية تغيير حدود التكامل عند الاستبدال.

في الأمثلة ، سأحاول تقديم مثل هذه الأنواع من البدائل التي لم تتم رؤيتها بعد في أي مكان على الموقع.

مثال 5

احسب تكامل محدد

السؤال الرئيسي هنا ليس على الإطلاق في تكامل محدد ، ولكن كيفية تنفيذ الاستبدال بشكل صحيح. نحن ننظر في جدول متكاملونكتشف كيف يبدو التكامل والأهم من ذلك كله؟ من الواضح ، على اللوغاريتم الطويل: . ولكن هناك تناقض واحد ، في التكامل الجدولي تحت الجذر ، وفي تكاملنا - "x" إلى الدرجة الرابعة. تنبع فكرة الاستبدال من المنطق - سيكون من الجيد تحويل القوة الرابعة بطريقة ما إلى مربع. هذا حقيقي.

أولاً ، نقوم بإعداد التكامل الخاص بنا للاستبدال:

من الاعتبارات المذكورة أعلاه ، فإن البديل يقترح نفسه بشكل طبيعي:
وهكذا يكون كل شيء على ما يرام في المقام:.
نكتشف ما الذي سيتحول إليه باقي التكامل ، ولهذا نجد التفاضل:

بالمقارنة مع الاستبدال في التكامل غير المحدد ، نضيف خطوة إضافية.

إيجاد حدود جديدة للتكامل.

انها بسيطة بما فيه الكفاية. نحن ننظر إلى استبدالنا وحدود التكامل القديمة ،.

أولاً ، نعوض بالحد الأدنى للتكامل ، أي صفر ، في تعبير الاستبدال:

ثم نعوض بالحد الأعلى للتكامل في تعبير الاستبدال ، أي جذر ثلاثة:

مستعد. وفقط شيء ...

دعنا نواصل الحل.

(1) حسب الاستبدال اكتب تكاملًا جديدًا بحدود تكامل جديدة.

(2) هذا هو أبسط لا يتجزأ من الجدول ، نتكامل على الجدول. من الأفضل ترك الثابت خارج الأقواس (لا يمكنك القيام بذلك) حتى لا يتدخل في عمليات حسابية أخرى. على اليمين ، نرسم خطًا يشير إلى حدود التكامل الجديدة - وهذا تحضير لتطبيق صيغة نيوتن-لايبنيز.

(3) نستخدم صيغة نيوتن-لايبنيز .

نحن نسعى جاهدين لكتابة الإجابة في شكل مضغوط ، وهنا استخدمت خصائص اللوغاريتمات.

هناك اختلاف آخر عن التكامل غير المحدد وهو أنه بعد إجراء التعويض ، لا بدائل.

والآن بعض الأمثلة لقرار مستقل. ما هي البدائل التي يجب تنفيذها - حاول التخمين بنفسك.

مثال 6

احسب تكامل محدد

مثال 7

احسب تكامل محدد

هذه أمثلة على المساعدة الذاتية. الحلول والأجوبة في نهاية الدرس.

وفي نهاية الفقرة بضع نقاط مهمة ظهر تحليلها بفضل زوار الموقع. الأول يتعلق شرعية الاستبدال. في بعض الحالات ، لا يمكن القيام بذلك!لذا يبدو أن المثال 6 قابل للحل باستخدام الاستبدال المثلثي العالمي، ولكن الحد الأعلى للتكامل ("بي")غير مدرج في نطاقهذا الظل وبالتالي هذا الاستبدال غير قانوني! هكذا، يجب أن تكون وظيفة "الاستبدال" مستمرة في الكلنقاط جزء من التكامل.

في بريد إلكتروني آخر ، تم تلقي السؤال التالي: "هل نحتاج إلى تغيير حدود التكامل عندما نضع الوظيفة تحت العلامة التفاضلية؟". في البداية أردت "تجاهل هذا الهراء" والإجابة تلقائيًا على "بالطبع لا" ، ولكن بعد ذلك فكرت في سبب هذا السؤال واكتشفت فجأة أن المعلومات يفتقر. لكنه ، وإن كان واضحًا ، لكنه مهم جدًا:

إذا وضعنا الدالة تحت علامة التفاضل ، فلا داعي لتغيير حدود التكامل! لماذا؟ لأنه في هذه الحالة لا يوجد انتقال فعلي إلى متغير جديد. على سبيل المثال:

وهنا يكون التلخيص أكثر ملاءمة من الاستبدال الأكاديمي بـ "الرسم" اللاحق لحدود التكامل الجديدة. هكذا، إذا لم يكن التكامل المحدد معقدًا للغاية ، فحاول دائمًا وضع الدالة تحت علامة التفاضل! إنه أسرع وأكثر إحكاما وشائعًا - كما سترى عشرات المرات!

شكرا جزيلا على رسائلك!

طريقة التكامل بالأجزاء في تكامل محدد

هناك حداثة أقل هنا. جميع منشورات المقال التكامل بالأجزاء في التكامل غير المحددصالحة تمامًا لتكامل محدد أيضًا.
بالإضافة إلى ذلك ، هناك تفصيل واحد فقط ، في صيغة التكامل بالأجزاء ، تتم إضافة حدود التكامل:

يجب هنا تطبيق صيغة نيوتن-ليبنيز مرتين: للمنتج وبعد أن نأخذ التكامل.

على سبيل المثال ، اخترت مرة أخرى نوع التكامل الذي لم أره في أي مكان آخر على الموقع. المثال ليس الأسهل ، ولكنه غني بالمعلومات للغاية.

المثال 8

احسب تكامل محدد

نحن نقرر.

التكامل بالأجزاء:

من لديه صعوبة في التكامل ، ألق نظرة على الدرس تكاملات الدوال المثلثيةحيث تمت مناقشته بالتفصيل.

(1) نكتب الحل وفقًا لصيغة التكامل بالأجزاء.

(2) بالنسبة للمنتج ، نستخدم صيغة Newton-Leibniz. بالنسبة للمتكامل المتبقي ، نستخدم خصائص الخطية ، ونقسمها إلى تكاملين. لا ترتبك العلامات!

(4) نطبق صيغة نيوتن-لايبنيز للمشتقات العكسية الموجودة.

لأكون صادقًا ، لا أحب الصيغة وإذا أمكن ، ... الاستغناء عنها على الإطلاق! فكر في الطريقة الثانية للحل ، من وجهة نظري ، فهي أكثر عقلانية.

احسب تكامل محدد

في الخطوة الأولى ، أجد التكامل غير المحدد:

التكامل بالأجزاء:

تم العثور على وظيفة عكسية. لا معنى لإضافة ثابت في هذه الحالة.

ما هي ميزة هذه الرحلة؟ ليست هناك حاجة "لسحب" حدود التكامل ، في الواقع ، يمكنك أن تتعذب عشرات المرات من خلال كتابة أيقونات صغيرة لحدود التكامل

في الخطوة الثانية ، أتحقق(عادة في المسودة).

إنه منطقي أيضًا. إذا وجدت الدالة العكسية بشكل غير صحيح ، فسأحل أيضًا التكامل المحدد بشكل غير صحيح. من الأفضل معرفة ذلك على الفور ، دعنا نفرق الإجابة:

تم الحصول على التكامل الأصلي ، مما يعني أنه تم العثور على الوظيفة العكسية بشكل صحيح.

المرحلة الثالثة هي تطبيق صيغة نيوتن-لايبنيز:

وهناك فائدة كبيرة هنا! في طريقتي في الحل ، هناك خطر أقل بكثير للارتباك في الاستبدالات والحسابات - يتم تطبيق صيغة نيوتن-لايبنيز مرة واحدة فقط. إذا كانت الغلاية تحل تكاملًا مشابهًا باستخدام الصيغة (الطريقة الأولى) ، ثم stopudovo سوف يخطئ في مكان ما.

يمكن تطبيق خوارزمية الحل المدروسة على أي تكامل محدد.

عزيزي الطالب اطبع واحفظ:

ماذا تفعل إذا تم إعطاء تكامل محدد يبدو معقدًا أو لم يكن من الواضح على الفور كيفية حله؟

1) أولاً نجد التكامل غير المحدد (دالة المشتقة العكسية). إذا كان هناك خطأ في المرحلة الأولى ، فلا فائدة من هز القارب مع نيوتن ولايبنيز. هناك طريقة واحدة فقط - لزيادة مستوى معرفتك ومهاراتك في الحل تكاملات غير محددة.

2) نتحقق من الدالة العكسية الموجودة عن طريق التفاضل. إذا تم العثور عليها بشكل غير صحيح ، فإن الخطوة الثالثة ستكون مضيعة للوقت.

3) نستخدم صيغة نيوتن-لايبنيز. نجري جميع العمليات الحسابية بعناية فائقة - إليك الحلقة الأضعف في المهمة.

وللوجبة الخفيفة ، فهي جزء لا يتجزأ من الحل المستقل.

المثال 9

احسب تكامل محدد

الحل والجواب في مكان قريب.

البرنامج التعليمي التالي الموصى به حول الموضوع هو - كيف تحسب مساحة الشكل باستخدام التكامل المحدد؟
التكامل بالأجزاء:

هل قمت بحلها بالتأكيد وحصلت على مثل هذه الإجابات؟ ؛-) وهناك الإباحية على المرأة العجوز.

لكي تتعلم كيفية حل تكاملات معينة ، عليك أن:

1) تكون قادرة تجدتكاملات غير محددة.

2) تكون قادرة احسبلا يتجزأ.

كما ترى ، من أجل إتقان التكامل المحدد ، يجب أن تكون على دراية جيدة بالتكاملات غير المحدودة "العادية". لذلك ، إذا كنت قد بدأت للتو في الغوص في حساب التفاضل والتكامل المتكامل ، ولم تغلي الغلاية بعد على الإطلاق ، فمن الأفضل أن تبدأ بالدرس تكامل غير محدد. أمثلة الحل.

بشكل عام ، يتم كتابة التكامل المحدد على النحو التالي:

ما الذي تمت إضافته مقارنة بالتكامل غير المحدد؟ مضاف حدود التكامل.

الحد الأدنى من التكامل
الحد الأعلى للتكاملتدل عليها الحرف بشكل قياسي.
الجزء يسمى جزء من التكامل.

قبل أن ننتقل إلى الأمثلة العملية ، القليل من "اللعينة" على التكامل المحدد.

ما هو محدد لا يتجزأ؟يمكنني أن أخبرك عن قطر تقسيم القطعة ، وحد المجموع المتكامل ، وما إلى ذلك ، لكن الدرس ذو طبيعة عملية. لذلك ، سأقول أن التكامل المحدد هو رقم. نعم ، نعم ، الرقم الأكثر شيوعًا.

هل التكامل المحدد له معنى هندسي؟هناك. وجيد جدا. المهمة الأكثر شعبية حساب المساحة باستخدام تكامل محدد.

ماذا يعني حل تكامل محدد؟حل تكامل محدد يعني إيجاد رقم.

كيف نحل تكامل محدد؟بمساعدة صيغة Newton-Leibniz المألوفة من المدرسة:

من الأفضل إعادة كتابة الصيغة على ورقة منفصلة ؛ يجب أن تكون أمام عينيك طوال الدرس.

خطوات حل تكامل محدد هي كما يلي:

1) أولاً نجد الدالة العكسية (تكامل غير محدد). لاحظ أن الثابت في التكامل المحدد لم يضف قط. التعيين تقني بحت ، والعصا الرأسية لا تحمل أي معنى رياضي ، فهي في الحقيقة مجرد خط يتوسطه خط. لماذا السجل ضروري؟ التحضير لتطبيق صيغة نيوتن-لايبنيز.

2) نعوض بقيمة الحد الأعلى في دالة المشتقات العكسية:.

3) نعوض بقيمة الحد الأدنى في الدالة العكسية:.

4) نحسب (بدون أخطاء!) الفرق ، أي نجد الرقم.

هل يوجد تكامل محدد دائمًا؟لا، ليس دائما.

على سبيل المثال ، لا يوجد التكامل ، لأن فاصل التكامل غير مدرج في مجال التكامل (لا يمكن أن تكون القيم تحت الجذر التربيعي سالبة). إليك مثال أقل وضوحًا:. مثل هذا التكامل غير موجود أيضًا ، نظرًا لعدم وجود ظل عند نقاط المقطع. بالمناسبة ، الذي لم يقرأ بعد المواد المنهجية الرسوم البيانية والخصائص الأساسية للوظائف الأولية- حان الوقت الآن للقيام بذلك. سيكون من الرائع المساعدة طوال دورة الرياضيات العليا.

من أجل وجود تكامل محدد على الإطلاق ، من الضروري أن يكون التكامل و مستمرًا في فترة التكامل.

مما سبق ، فإن التوصية المهمة الأولى تتبع: قبل الشروع في حل أي تكامل محدد ، تحتاج إلى التأكد من أن التكامل مستمر في فترة التكامل. كطالب ، مررت مرارًا بحادث عندما عانيت لفترة طويلة من العثور على بدائية صعبة ، وعندما وجدتها أخيرًا ، كنت في حيرة بشأن سؤال آخر: "ما نوع الهراء الذي حدث؟" في نسخة مبسطة ، يبدو الموقف كما يلي:

???!!!

لا يمكنك استبدال الأرقام السالبة تحت الجذر!

إذا كنت تريد حلًا (في اختبار ، أو في اختبار ، أو امتحان) ، فقد عُرض عليك جزء لا يتجزأ من هذا القبيل

فأنت بحاجة إلى إعطاء إجابة مفادها أن التكامل غير موجود وتبرير السبب.

هل يمكن أن يساوي التكامل المحدد عددًا سالبًا؟يمكن. ورقم سالب. وصفر. قد يتحول الأمر إلى ما لا نهاية ، لكنه سيكون كذلك بالفعل تكامل غير لائقوالتي تعطى محاضرة منفصلة.

هل يمكن أن يكون الحد الأدنى للتكامل أكبر من الحد الأعلى للتكامل؟ربما يحدث مثل هذا الموقف في الواقع في الممارسة.

- يتم حساب التكامل بهدوء باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز.

ما الذي لا تستغني عنه الرياضيات العليا؟ بالطبع ، بدون كل أنواع الخصائص. لذلك ، فإننا نعتبر بعض خصائص تكامل محدد.

في تكامل محدد ، يمكنك إعادة ترتيب الحدين العلوي والسفلي ، مع تغيير العلامة:

على سبيل المثال ، في تكامل محدد قبل التكامل ، يُنصح بتغيير حدود التكامل إلى الترتيب "المعتاد":

- في هذا الشكل ، يكون التكامل أكثر ملاءمة.

بالنسبة للتكامل غير المحدد ، فإن خصائص الخطية صالحة للتكامل المحدد:

- لا ينطبق هذا على وظيفتين فحسب ، بل ينطبق أيضًا على أي عدد من الوظائف.

في تكامل محدد ، يمكن للمرء أن ينفذ تغيير متغير التكاملومع ذلك ، بالمقارنة مع التكامل غير المحدد ، فإن هذا له خصائصه الخاصة ، والتي سنتحدث عنها لاحقًا.

لتكامل محدد ، صيغة للتكامل حسب الأجزاء:

مثال 1

قرار:

(1) نخرج الثابت من علامة التكامل.

(2) ندمج على الطاولة باستخدام الصيغة الأكثر شيوعًا . يُنصح بفصل الثابت الظاهر عن القوس وإخراجه من القوس. ليس من الضروري القيام بذلك ، لكن من المرغوب فيه - لماذا الحسابات الإضافية؟

(3) نستخدم صيغة نيوتن-لايبنيز

.

نعوض أولاً في الحد الأعلى ، ثم الحد الأدنى. نجري المزيد من العمليات الحسابية ونحصل على الإجابة النهائية.

مثال 2

احسب تكامل محدد

هذا مثال على الحل الذاتي والحل والإجابة في نهاية الدرس.

لنجعل الأمر أكثر صعوبة:

مثال 3

احسب تكامل محدد

قرار:

(1) نستخدم الخصائص الخطية للتكامل المحدد.

(2) نقوم بالتكامل فوق الجدول ، بينما نحذف جميع الثوابت - لن يشاركوا في استبدال الحدين العلوي والسفلي.

(3) لكل من المصطلحات الثلاثة ، نطبق صيغة نيوتن-لايبنيز:

يعتبر ارتباط ضعيف في جزء لا يتجزأ من الأخطاء الحسابية وارتباك إشارة مشترك. كن حذرا! أركز على الفترة الثالثة:

- المركز الأول في استعراض الأخطاء بسبب عدم الانتباه ، وغالبًا ما يكتبون تلقائيًا

(خاصةً عندما يتم استبدال الحدين العلوي والسفلي شفهيًا ولم يتم التوقيع عليه بهذه التفاصيل). مرة أخرى ، ادرس بعناية المثال أعلاه.

وتجدر الإشارة إلى أن الطريقة المدروسة لحل تكامل محدد ليست الطريقة الوحيدة. مع بعض الخبرة ، يمكن تقليل الحل بشكل كبير. على سبيل المثال ، اعتدت على حل مثل هذه التكاملات مثل هذا:

هنا استخدمت قواعد الخطية لفظيًا ، مدمجة شفهيًا فوق الطاولة. انتهى بي الأمر بقوس واحد فقط مع الحدود الموضحة:

(على عكس الأقواس الثلاثة في الطريقة الأولى). وفي الدالة العكسية "الكاملة" ، استبدلت أولاً بـ 4 أولاً ، ثم -2 ، وأقوم مرة أخرى بكل الإجراءات في ذهني.

ما هي عيوب طريقة الحل القصير؟ كل شيء ليس جيدًا هنا من وجهة نظر عقلانية الحسابات ، لكنني شخصيًا لا أهتم - أحسب الكسور العادية على الآلة الحاسبة.
بالإضافة إلى ذلك ، هناك خطر متزايد لارتكاب خطأ في الحسابات ، لذلك من الأفضل للطلاب المبتدئين استخدام الطريقة الأولى ، مع طريقة "الحل الخاص بي" ، ستضيع العلامة بالتأكيد في مكان ما.

تتمثل المزايا غير المشكوك فيها للطريقة الثانية في سرعة الحل ، واكتناز التدوين ، وحقيقة أن المشتقة العكسية

يقع بين قوسين.

تسمى عملية حل التكاملات في العلم "الرياضيات" بالتكامل. بمساعدة التكامل ، يمكنك العثور على بعض الكميات المادية: المساحة والحجم وكتلة الأجسام وغير ذلك الكثير.

التكاملات غير محددة ومحددة. فكر في شكل تكامل محدد وحاول فهم معناه المادي. يظهر كالتالي: $$ \ int ^ a _b f (x) dx $$. السمة المميزة لكتابة تكامل محدد من غير محدد هو أن هناك حدود للتكامل a و b. الآن سوف نكتشف الغرض منها ، وما يعنيه التكامل المحدد. بالمعنى الهندسي ، فإن هذا التكامل يساوي مساحة الشكل التي يحدها المنحنى f (x) والخطوط a و b ومحور Ox.

يتضح من الشكل 1 أن التكامل المحدد هو نفس المنطقة المظللة باللون الرمادي. دعنا نتحقق من ذلك بمثال بسيط. لنجد مساحة الشكل في الصورة أدناه باستخدام التكامل ، ثم نحسبها بالطريقة المعتادة بضرب الطول في العرض.

يوضح الشكل 2 أن $ y = f (x) = 3 $ ، $ a = 1 ، b = 2 $. الآن نستبدلها في تعريف التكامل ، نحصل على $$ S = \ int _a ^ b f (x) dx = \ int _1 ^ 2 3 dx = $$ $$ = (3x) \ Big | _1 ^ 2 = (3 \ cdot 2) - (3 \ cdot 1) = $$ $$ = 6-3 = 3 \ نص (وحدة) ^ 2 $$ دعونا نتحقق بالطريقة المعتادة. في حالتنا ، الطول = 3 ، عرض الشكل = 1. $$ S = \ text (length) \ cdot \ text (width) = 3 \ cdot 1 = 3 \ text (unit) ^ 2 $$ كما ترون ، كل شيء متطابق تماما.

السؤال الذي يطرح نفسه: كيف نحل التكاملات غير المحددة وما هو معناها؟ حل هذه التكاملات هو إيجاد وظائف عكسية. هذه العملية هي عكس إيجاد المشتق. من أجل إيجاد المشتق العكسي ، يمكنك استخدام مساعدتنا في حل المشكلات في الرياضيات ، أو تحتاج إلى حفظ خصائص التكاملات وجدول التكامل لأبسط الدوال الأولية بدقة. يبدو العثور على هذا النحو $$ \ int f (x) dx = F (x) + C \ text (حيث) F (x) $ هو المشتق العكسي لـ $ f (x) ، C = const $.

لحل التكامل ، تحتاج إلى تكامل الدالة $ f (x) $ بالنسبة إلى المتغير. إذا كانت الوظيفة جدولية ، فسيتم كتابة الإجابة بالشكل المناسب. إذا لم يكن الأمر كذلك ، فسيتم تقليل العملية إلى الحصول على دالة جدول من الوظيفة $ f (x) $ عن طريق تحويلات رياضية صعبة. هناك طرق وخصائص مختلفة لهذا ، والتي سنناقشها أدناه.

الآن ، دعونا نصنع خوارزمية كيف نحل التكاملات للدمى؟

خوارزمية لحساب التكاملات

1. اكتشف التكامل المحدد أم لا.
2. إذا لم يتم تعريفها ، فأنت بحاجة إلى إيجاد الدالة العكسية $ F (x) $ للمتكامل $ f (x) $ باستخدام التحويلات الرياضية التي تجعل الدالة $ f (x) $ في شكل جدولي.
3. إذا تم تعريفها ، فيجب تنفيذ الخطوة 2 ، ثم استبدال حدود $ a $ و $ b $ في الدالة العكسية $ F (x) $. بأي صيغة للقيام بذلك ، سوف تتعلم في مقال "صيغة نيوتن ليبنيز".

أمثلة الحل

إذاً ، لقد تعلمت كيفية حل التكاملات للمبتدئين ، تم فرز أمثلة لحل التكاملات على الرفوف. تعلموا معناها المادي والهندسي. ستتم مناقشة طرق الحل في مقالات أخرى.

أمثلة على حساب التكاملات غير المحددة

جدول حساب متكامل

تكامل الاستبدال:

أمثلة على حساب التكاملات

صيغة نيوتن ليبنيز الأساسية

حسابات الاستبدال

الفصل 4 المعادلات التفاضلية.

المعادلة التفاضليةتسمى معادلة تتعلق بمتغير مستقل X ، الوظيفة المطلوبة في ومشتقاتها أو فروقها.

تتم كتابة المعادلة المميزة رمزياً على النحو التالي:

تسمى المعادلة التفاضلية عاديإذا كانت الوظيفة المطلوبة تعتمد على متغير مستقل واحد.

ترتيبتسمى المعادلة التفاضلية بترتيب المشتق الأعلى (أو التفاضل) المتضمن في هذه المعادلة.

قرار(أو متكامل) المعادلة التفاضلية هي دالة تحول هذه المعادلة إلى متطابقة.

الحل العام(أو التكامل المشترك) المعادلة التفاضلية هو حل يتضمن العديد من الثوابت التعسفية المستقلة مثل ترتيب المعادلة. وبالتالي ، فإن الحل العام لمعادلة تفاضلية من الدرجة الأولى يحتوي على ثابت تعسفي واحد.

قرار خاصالمعادلة التفاضلية هي حل يتم الحصول عليه من حل عام للقيم العددية المختلفة للثوابت التعسفية. تم العثور على قيم الثوابت التعسفية في بعض القيم الأولية للحجة والوظيفة.

يسمى الرسم البياني لحل معين لمعادلة تفاضلية منحنى متكامل.

يتوافق الحل العام للمعادلة التفاضلية مع مجموعة (عائلة) جميع المنحنيات المتكاملة.

معادلة تفاضلية من الدرجة الأولىتسمى المعادلة ، والتي تتضمن مشتقات (أو تفاضلات) ليست أعلى من الدرجة الأولى.

معادلة تفاضلية ذات متغيرات منفصلةيسمى معادلة النموذج

لحل هذه المعادلة ، يجب أولاً فصل المتغيرات:

ثم دمج كلا الجزأين من المساواة الناتجة:

1. ابحث عن حل عام للمعادلة

o قسمة المتغيرات لدينا

دمج كلا الجزأين من المعادلة الناتجة:

منذ ثابت تعسفي معيمكن أن تأخذ أي قيم عددية ، وذلك لتسهيل إجراء المزيد من التحولات بدلاً من جكتبنا (1/2) ln ج.تعزيز المساواة الأخيرة ، نحصل عليها

هذا هو الحل العام لهذه المعادلة.

أدب

بولتانسكي ، ما هو التمايز ، "محاضرات شعبية في الرياضيات" ،

العدد 17 ، Gostekhizdat 1955 ، 64 pp.

في.أ.جوسيف ، إيه.جي مردكوفيتش "الرياضيات"

G. M. Fikhtengolts "دورة حساب التفاضل والتكامل" ، المجلد 1

V. M. Borodikhin ، الرياضيات العليا ، كتاب مدرسي. دليل ISBN 5-7782-0422-1.

الفصل التاسع من Nikolsky SM. لا يتجزأ من Riemann / دورة التحليل الرياضي. - 1990. - T. 1.

Ilyin V. A. ، Poznyak ، E.G. الفصل 6. تكامل غير محدد // أساسيات التحليل الرياضي. - 1998. - V. 1. - (دورة الرياضيات العليا والفيزياء الرياضية).

ديميدوفيتش ب. القسم 3. تكامل غير محدد // مجموعة من المشاكل والتمارين في التحليل الرياضي. - 1990. - (دورة الرياضيات العليا والفيزياء الرياضية).

Valutse I.I. ، Diligul G.D. الرياضيات للمدارس الفنية على أساس المدرسة الثانوية: كتاب مدرسي - الطبعة الثانية. وإضافية M.6 العلوم. 1989

Kolyagin Yu.M. ياكوفليف ج. الرياضيات للمدارس الفنية. الجبر وبدايات التحليل الجزأين 1 و 2. دار النشر "نوكا" م .1981.

Shchipachev V.S. المهام في الرياضيات العليا: Proc. بدل للجامعات. أعلى مدرسة 1997

Bogomolov NV دروس عملية في الرياضيات: كتاب مدرسي. بدل للمدارس الفنية. أعلى المدرسة 1997