يجب أن يكون أساس اللوغاريتم اللوغاريتمات العشرية والطبيعية

كما تعلم ، عند ضرب التعابير ذات القوى ، يتم جمع الأسس دائمًا (أ ب * أ ج = أ ب + ج). اشتق أرخميدس هذا القانون الرياضي ، وفي وقت لاحق ، في القرن الثامن ، أنشأ عالم الرياضيات فيراسن جدولًا لمؤشرات الأعداد الصحيحة. كانوا هم الذين خدموا لمزيد من اكتشاف اللوغاريتمات. يمكن العثور على أمثلة لاستخدام هذه الوظيفة في كل مكان تقريبًا حيث يلزم تبسيط الضرب المرهق إلى عملية الجمع البسيطة. إذا أمضيت 10 دقائق في قراءة هذا المقال ، فسنشرح لك ماهية اللوغاريتمات وكيفية التعامل معها. لغة بسيطة وسهلة الوصول.

التعريف في الرياضيات

اللوغاريتم هو تعبير عن النموذج التالي: log a b = c ، أي ، لوغاريتم أي رقم غير سالب (أي ، أي موجب) "b" وفقًا لقاعدته "a" يعتبر قوة "c "، والتي من الضروري رفع القاعدة" أ "إليها ، بحيث تحصل في النهاية على القيمة" ب ". دعنا نحلل اللوغاريتم باستخدام الأمثلة ، دعنا نقول أن هناك تعبير log 2 8. كيف تجد الإجابة؟ الأمر بسيط للغاية ، تحتاج إلى العثور على الدرجة التي تحصل عليها من 2 إلى الدرجة المطلوبة 8. وبعد إجراء بعض الحسابات في ذهنك ، نحصل على الرقم 3! وهذا صحيح ، لأن 2 أس 3 يعطي الرقم 8 في الإجابة.

أنواع اللوغاريتمات

بالنسبة للعديد من التلاميذ والطلاب ، يبدو هذا الموضوع معقدًا وغير مفهوم ، ولكن في الواقع ، اللوغاريتمات ليست مخيفة جدًا ، والشيء الرئيسي هو فهم معناها العام وتذكر خصائصها وبعض القواعد. هناك ثلاثة أنواع مختلفة من التعبيرات اللوغاريتمية:

1. اللوغاريتم الطبيعي ln a ، حيث الأساس هو رقم أويلر (e = 2.7).
2. العلامة العشرية a حيث الأساس هو 10.
3. لوغاريتم أي عدد ب للقاعدة أ> 1.

يتم حل كل منها بطريقة قياسية ، بما في ذلك التبسيط والاختزال والاختزال اللاحق إلى لوغاريتم واحد باستخدام النظريات اللوغاريتمية. للحصول على القيم الصحيحة للوغاريتمات ، يجب على المرء أن يتذكر خصائصها وترتيب الإجراءات في قراراتهم.

القواعد وبعض القيود

في الرياضيات ، هناك العديد من قيود القواعد المقبولة كبديهية ، أي أنها لا تخضع للنقاش وهي صحيحة. على سبيل المثال ، من المستحيل قسمة الأرقام على صفر ، ومن المستحيل أيضًا استخراج جذر الدرجة الزوجية من الأرقام السالبة. تمتلك اللوغاريتمات أيضًا قواعدها الخاصة ، والتي يمكنك بعدها بسهولة معرفة كيفية العمل حتى مع التعبيرات اللوغاريتمية الطويلة والواسعة:

• يجب أن تكون القاعدة "a" دائمًا أكبر من الصفر ، وفي نفس الوقت لا تساوي 1 ، وإلا فإن التعبير سيفقد معناه ، لأن "1" و "0" إلى أي درجة تساوي دائمًا قيمهما ؛
• إذا كانت a> 0 ، ثم a b> 0 ، فقد اتضح أن "c" يجب أن تكون أكبر من صفر.

كيف تحل اللوغاريتمات؟

على سبيل المثال ، تم تكليف المهمة للعثور على إجابة المعادلة 10 x \ u003d 100. إنه سهل للغاية ، تحتاج إلى اختيار مثل هذه القوة ، ورفع الرقم عشرة الذي نحصل عليه 100. هذا ، بالطبع ، هو 10 2 \ u003d 100.

الآن لنمثل هذا المقدار على أنه واحد لوغاريتمي. نحصل على log 10 100 = 2. عند حل اللوغاريتمات ، تتقارب جميع الإجراءات عمليًا لإيجاد الدرجة التي يجب إدخال أساس اللوغاريتم عندها للحصول على رقم معين.

لتحديد قيمة الدرجة غير المعروفة بدقة ، يجب أن تتعلم كيفية التعامل مع جدول الدرجات. تبدو هكذا:

كما ترى ، يمكن تخمين بعض الأسس بشكل حدسي إذا كان لديك عقلية تقنية ومعرفة بجدول الضرب. ومع ذلك ، ستتطلب القيم الأكبر جدول طاقة. يمكن استخدامه حتى من قبل أولئك الذين لا يفهمون أي شيء على الإطلاق في الموضوعات الرياضية المعقدة. يحتوي العمود الأيسر على أرقام (القاعدة أ) ، والصف العلوي من الأرقام هو قيمة القوة ج ، التي يرتفع إليها الرقم أ. عند التقاطع في الخلايا ، يتم تحديد قيم الأرقام ، وهي الإجابة (أ ج = ب). لنأخذ ، على سبيل المثال ، الخلية الأولى التي تحتوي على الرقم 10 وتربيعها ، نحصل على القيمة 100 ، والتي يشار إليها عند تقاطع خليتينا. كل شيء بسيط للغاية وسهل حتى يفهمه حتى أكثر إنساني حقيقي!

المعادلات وعدم المساواة

اتضح أنه في ظل ظروف معينة ، يكون الأس هو اللوغاريتم. لذلك ، يمكن كتابة أي تعبيرات عددية رياضية كمعادلة لوغاريتمية. على سبيل المثال ، 3 4 = 81 يمكن كتابتها على أنها لوغاريتم 81 للأساس 3 ، وهو أربعة (log 3 81 = 4). بالنسبة للقوى السالبة ، القواعد هي نفسها: 2-5 = 1/32 نكتب كلوغاريتم ، نحصل على log 2 (1/32) = -5. أحد أكثر أقسام الرياضيات روعة هو موضوع "اللوغاريتمات". سننظر في أمثلة وحلول للمعادلات أقل قليلاً ، مباشرة بعد دراسة خصائصها. الآن دعونا نلقي نظرة على شكل المتباينات وكيفية تمييزها عن المعادلات.

يتم إعطاء تعبير بالصيغة التالية: log 2 (x-1)> 3 - إنها متباينة لوغاريتمية ، لأن القيمة غير المعروفة "x" تحت علامة اللوغاريتم. وأيضًا في التعبير تتم مقارنة كميتين: لوغاريتم الرقم المطلوب في الأساس الثاني أكبر من الرقم ثلاثة.

يتمثل الاختلاف الأكثر أهمية بين المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات في أن المعادلات ذات اللوغاريتمات (على سبيل المثال ، لوغاريتم 2 س = √9) تتضمن قيمة عددية محددة أو أكثر في الإجابة ، بينما عند حل المتباينة ، كلا النطاقين القيم المقبولة والنقاط التي تكسر هذه الوظيفة. نتيجة لذلك ، فإن الإجابة ليست مجموعة بسيطة من الأرقام الفردية ، كما هو الحال في إجابة المعادلة ، ولكنها سلسلة متصلة أو مجموعة من الأرقام.

النظريات الأساسية حول اللوغاريتمات

عند حل المهام البدائية لإيجاد قيم اللوغاريتم ، قد لا تكون خصائصه معروفة. ومع ذلك ، عندما يتعلق الأمر بالمعادلات اللوغاريتمية أو عدم المساواة ، فمن الضروري أولاً أن نفهم بوضوح وتطبيق جميع الخصائص الأساسية للوغاريتمات في الممارسة العملية. سنتعرف على أمثلة المعادلات لاحقًا ، دعنا أولاً نحلل كل خاصية بمزيد من التفصيل.

1. تبدو الهوية الأساسية كما يلي: a logaB = B. يتم تطبيقه فقط إذا كان a أكبر من 0 ، ولا يساوي واحدًا ، وكان B أكبر من صفر.
2. يمكن تمثيل لوغاريتم المنتج بالصيغة التالية: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. في هذه الحالة ، يكون المتطلب الأساسي: d، s 1 and s 2> 0؛ أ ≠ 1. يمكنك تقديم دليل على صيغة اللوغاريتمات هذه ، مع أمثلة وحل. دع السجل a s 1 = f 1 وسجل a s 2 = f 2 ، ثم f1 = s 1 ، a f2 = s 2. نحصل على s 1 * s 2 = a f1 * a f2 = a f1 + f2 (خصائص الدرجة ) ، وكذلك بالتعريف: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2 ، الذي كان من المقرر إثباته.
3. يبدو لوغاريتم حاصل القسمة على النحو التالي: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. تأخذ النظرية في شكل صيغة الصيغة التالية: log a q b n = n / q log a b.

هذه الصيغة تسمى "خاصية درجة اللوغاريتم". إنها تشبه خصائص الدرجات العادية ، وهذا ليس مفاجئًا ، لأن كل الرياضيات تقوم على افتراضات منتظمة. دعونا نلقي نظرة على الدليل.

دع السجل أ ب \ u003d t ، اتضح أن t \ u003d ب. إذا رفعت كلا الجزأين إلى القوة m: a tn = b n ؛

ولكن بما أن tn = (a q) nt / q = b n ، وبالتالي سجل a q b n = (n * t) / t ، ثم سجل a q b n = n / q log a b. لقد تم إثبات النظرية.

أمثلة على المشاكل وعدم المساواة

أكثر أنواع مسائل اللوغاريتم شيوعًا هي أمثلة على المعادلات والمتباينات. تم العثور عليها في جميع الكتب المشكلة تقريبًا ، كما يتم تضمينها أيضًا في الجزء الإلزامي من امتحانات الرياضيات. لدخول الجامعة أو اجتياز اختبارات القبول في الرياضيات ، تحتاج إلى معرفة كيفية حل هذه المهام بشكل صحيح.

لسوء الحظ ، لا توجد خطة أو مخطط واحد لحل وتحديد القيمة غير المعروفة للوغاريتم ، ومع ذلك ، يمكن تطبيق قواعد معينة على كل متباينة رياضية أو معادلة لوغاريتمية. بادئ ذي بدء ، يجب أن تعرف ما إذا كان التعبير يمكن تبسيطه أو تصغيره إلى صورة عامة. يمكنك تبسيط التعبيرات اللوغاريتمية الطويلة إذا كنت تستخدم خصائصها بشكل صحيح. دعنا نتعرف عليهم قريبا.

عند حل المعادلات اللوغاريتمية ، من الضروري تحديد نوع اللوغاريتم الموجود أمامنا: مثال للتعبير قد يحتوي على لوغاريتم طبيعي أو لوغاريتم عشري.

فيما يلي أمثلة ln100 ، ln1026. يتلخص حلهم في حقيقة أنك بحاجة إلى تحديد الدرجة التي سيكون عندها الأساس 10 مساويًا لـ 100 و 1026 على التوالي. للحصول على حلول اللوغاريتمات الطبيعية ، يجب على المرء تطبيق الهويات اللوغاريتمية أو خصائصها. لنلقِ نظرة على أمثلة لحل المسائل اللوغاريتمية بمختلف أنواعها.

كيفية استخدام صيغ اللوغاريتم: مع أمثلة وحلول

لذا ، دعونا نلقي نظرة على أمثلة لاستخدام النظريات الرئيسية في اللوغاريتمات.

1. يمكن استخدام خاصية لوغاريتم المنتج في المهام التي يكون من الضروري فيها تحليل قيمة كبيرة للرقم ب إلى عوامل أبسط. على سبيل المثال ، السجل 2 4 + السجل 2128 = السجل 2 (4 * 128) = السجل 2512. الإجابة هي 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - كما ترون ، باستخدام الخاصية الرابعة لدرجة اللوغاريتم ، تمكنا من حل تعبير معقد وغير قابل للحل للوهلة الأولى. من الضروري فقط تحليل الأساس ثم أخذ قيم الأس من علامة اللوغاريتم.

مهام من الامتحان

غالبًا ما توجد اللوغاريتمات في امتحانات القبول ، خاصةً الكثير من المشكلات اللوغاريتمية في اختبار الدولة الموحدة (امتحان رسمي لجميع خريجي المدارس). عادةً ما تكون هذه المهام موجودة ليس فقط في الجزء أ (أسهل جزء للاختبار من الاختبار) ، ولكن أيضًا في الجزء ج (المهام الأكثر صعوبة وضخامة). يتضمن الاختبار معرفة دقيقة وكاملة لموضوع "اللوغاريتمات الطبيعية".

يتم أخذ الأمثلة وحل المشكلات من الإصدارات الرسمية للامتحان. دعونا نرى كيف يتم حل هذه المهام.

معطى السجل 2 (2x-1) = 4. الحل:
دعونا نعيد كتابة التعبير ، ونبسطه قليلاً log 2 (2x-1) = 2 2 ، من خلال تعريف اللوغاريتم نحصل على 2x-1 = 2 4 ، وبالتالي 2x = 17 ؛ س = 8.5.

• من الأفضل اختزال جميع اللوغاريتمات إلى نفس القاعدة بحيث لا يكون الحل مرهقًا ومربكًا.
• يشار إلى جميع التعبيرات الموجودة تحت علامة اللوغاريتم على أنها موجبة ، لذلك ، عند إخراج الأس الأس للتعبير ، الذي يقع تحت علامة اللوغاريتم وكقاعدة له ، يجب أن يكون التعبير المتبقي تحت اللوغاريتم موجبًا.

(من اليونانية λόγος - "كلمة" ، "علاقة" و ἀριθμός - "رقم") أرقام ببسبب أ(سجل α ب) يسمى هذا الرقم ج، و ب= أ ج، وهذا هو ، سجل α ب=جو ب = أجمتكافئة. يكون اللوغاريتم منطقيًا إذا كانت a> 0 ، a 1 ، b> 0.

بعبارات أخرى اللوغاريتمأعداد ببسبب أتمت صياغته كمؤشر درجاتالتي تريد رفع الرقم إليها أللحصول على الرقم ب(اللوغاريتم موجود فقط لـ أرقام موجبة).

ويترتب على هذه الصيغة أن الحساب x = log α ب، يعادل حل المعادلة أ س = ب.

فمثلا:

سجل 2 8 = 3 لأن 8 = 2 3.

لاحظ أن الصيغة أعلاه اللوغاريتميجعل من الممكن تحديد على الفور قيمة اللوغاريتمعندما يكون الرقم الموجود أسفل علامة اللوغاريتم قوة معينة للقاعدة. في الواقع ، فإن صياغة اللوغاريتم تجعل من الممكن تبرير ذلك إذا ب = أ ج، ثم لوغاريتم الرقم ببسبب أيساوي مع. من الواضح أيضًا أن موضوع اللوغاريتم وثيق الصلة بالموضوع درجة العدد .

يشار إلى حساب اللوغاريتم اللوغاريتم. اللوغاريتم هو العملية الرياضية لأخذ اللوغاريتم. عند أخذ اللوغاريتم ، يتم تحويل منتجات العوامل إلى مبالغ من المصطلحات.

التقويةهي العملية الحسابية معكوسة للوغاريتم. عند التقوية ، يتم رفع القاعدة المعينة إلى الدرجة العلميةالتعبير المراد تقويته. في هذه الحالة ، يتم تحويل مبالغ المصطلحات إلى نتاج العوامل.

في كثير من الأحيان ، يتم استخدام اللوغاريتمات الحقيقية ذات القواعد 2 (ثنائي) ورقم أويلر e 2.718 (اللوغاريتم الطبيعي) و 10 (عشري).

في هذه المرحلة ، الأمر يستحق النظر عينات من اللوغاريتماتسجل 7 2 , ln √ 5, إل جي 0.0001.

والمدخلات lg (-3) ، log -3 3.2 ، log -1 -4.3 لا معنى لها ، لأنه في أولها ، تحت علامة اللوغاريتم ، رقم سالب، في الثانية - رقم سالب في الأساس ، وفي الثالث - رقم سالب تحت علامة اللوغاريتم ووحدة في القاعدة.

شروط تحديد اللوغاريتم.

يجدر النظر بشكل منفصل في الشروط أ> 0 ، أ 1 ، ب> 0. تعريف اللوغاريتم. دعونا نفكر في سبب اتخاذ هذه القيود. سيساعدنا هذا في تحقيق المساواة في الشكل x = log α ب، تسمى اللوغاريتمية الأساسية هوية، والتي تتبع مباشرة من التعريف أعلاه للوغاريتم.

خذ الشرط أ ≠ 1. منذ الوحدة في أي درجاتيساوي واحدًا ، ثم المساواة x = log α بيمكن أن توجد فقط عندما ب = 1، ولكن سجل 1 1 سيكون أيًا عدد حقيقي. للقضاء على هذا الغموض ، نأخذ أ ≠ 1.

دعونا نثبت ضرورة الشرط أ> 0. في أ = 0وفقًا لصياغة اللوغاريتم ، لا يمكن أن توجد إلا عندما ب = 0. وبعد ذلك وفقًا لذلك سجل 0 0يمكن أن يكون أي شيء بخلاف الصفر عدد حقيقي،بما أن صفرًا لأي قوة أخرى غير الصفر يساوي صفرًا. للقضاء على هذا الغموض ، الشرط أ ≠ 0. وعندما أ<0 علينا رفض الاعراب معقولو غير منطقيقيم اللوغاريتم ، لأن الأس ذو الأس عقلاني وغير منطقي يتم تعريفه فقط للقواعد غير السالبة. ولهذا السبب فإن الشرط أ> 0.

والشرط الأخير ب> 0يتبع من عدم المساواة أ> 0، منذ x = log α ب، وقيمة الدرجة ذات الأساس الموجب أدائما إيجابية.

ميزات اللوغاريتمات.

اللوغاريتماتتتميز بامتياز الميزات، مما أدى إلى استخدامها على نطاق واسع لتسهيل الحسابات المضنية إلى حد كبير. في الانتقال "إلى عالم اللوغاريتمات" عمليه الضربيتحول إلى إضافة أسهل بكثير ، والتقسيم إلى طرح ، ويتحول الأس واستخراج الجذر إلى الضرب والقسمة على الأس ، على التوالي.

تم نشر صياغة اللوغاريتمات وجدول قيمها (للوظائف المثلثية) لأول مرة في عام 1614 من قبل عالم الرياضيات الاسكتلندي جون نابير. تم استخدام الجداول اللوغاريتمية ، الموسعة والمفصلة من قبل علماء آخرين ، على نطاق واسع في الحسابات العلمية والهندسية ، وظلت ذات صلة حتى بدأ استخدام الآلات الحاسبة الإلكترونية وأجهزة الكمبيوتر.

مع تطور المجتمع ، تعقيد الإنتاج ، تطورت الرياضيات أيضًا. الحركة من البسيط إلى المعقد. من طريقة المحاسبة المعتادة للجمع والطرح ، مع تكرارهم المتكرر ، توصلوا إلى مفهوم الضرب والقسمة. أصبح الحد من عملية المضاعفة المتكررة مفهوم الأس. تم تجميع الجداول الأولى لاعتماد الأرقام على القاعدة وعدد الأس في القرن الثامن من قبل عالم الرياضيات الهندي فاراسينا. من بينها ، يمكنك حساب وقت حدوث اللوغاريتمات.

مخطط تاريخي

حفز إحياء أوروبا في القرن السادس عشر أيضًا تطور الميكانيكا. تي يتطلب قدرًا كبيرًا من الحسابالمرتبطة بضرب وقسمة الأعداد متعددة الأرقام. كانت الطاولات القديمة خدمة رائعة. لقد جعلوا من الممكن استبدال العمليات المعقدة بعمليات أبسط - الجمع والطرح. تمثلت خطوة كبيرة إلى الأمام في عمل عالم الرياضيات مايكل ستيفل ، الذي نُشر عام 1544 ، والذي أدرك فيه فكرة العديد من علماء الرياضيات. هذا جعل من الممكن استخدام الجداول ليس فقط للدرجات في شكل أعداد أولية ، ولكن أيضًا للأرقام المنطقية التعسفية.

في عام 1614 ، قام الاسكتلندي جون نابير ، بتطوير هذه الأفكار ، بتقديم المصطلح الجديد "لوغاريتم الرقم". تم تجميع جداول معقدة جديدة لحساب لوغاريتمات الجيب وجيب التمام ، وكذلك الظلال. هذا قلل بشكل كبير من عمل علماء الفلك.

بدأت الجداول الجديدة في الظهور ، والتي استخدمها العلماء بنجاح لمدة ثلاثة قرون. مر الكثير من الوقت قبل أن تكتسب العملية الجديدة في الجبر شكلها النهائي. تم تحديد اللوغاريتم ودراسة خصائصه.

فقط في القرن العشرين ، مع ظهور الآلة الحاسبة والكمبيوتر ، تخلت البشرية عن الجداول القديمة التي كانت تعمل بنجاح طوال القرن الثالث عشر.

اليوم نسمي لوغاريتم b لأساس الرقم x ، وهو قوة a ، لنحصل على الرقم b. تتم كتابة هذا كصيغة: x = log a (b).

على سبيل المثال ، سجل 3 (9) سيساوي 2. وهذا واضح إذا اتبعت التعريف. إذا رفعنا 3 أس 2 ، فسنحصل على 9.

وبالتالي ، فإن التعريف المصوغ يضع قيدًا واحدًا فقط ، يجب أن يكون الرقمان أ و ب حقيقيين.

أنواع اللوغاريتمات

يُطلق على التعريف الكلاسيكي اللوغاريتم الحقيقي وهو في الواقع حل للمعادلة أ س = ب. الخيار a = 1 هو حد فاصل ولا يهم. ملاحظة: 1 إلى أي قوة هي 1.

القيمة الحقيقية للوغاريتميتم تعريفها فقط إذا كانت القاعدة والوسيطة أكبر من 0 ، ويجب ألا تكون الأساس مساوية لـ 1.

مكانة خاصة في مجال الرياضياتلعب اللوغاريتمات ، والتي سيتم تسميتها بناءً على قيمة قاعدتها:

القواعد والقيود

الخاصية الأساسية للوغاريتمات هي القاعدة: لوغاريتم المنتج يساوي المجموع اللوغاريتمي. سجل أب = سجل أ (ب) + سجل أ (ع).

كمتغير لهذا البيان ، سيكون: السجل ج (ب / ع) \ u003d السجل ج (ب) - السجل ج (ع) ، وظيفة حاصل القسمة تساوي فرق الوظائف.

من السهل أن نرى من القاعدتين السابقتين أن: log a (b p) = p * log a (b).

تشمل الخصائص الأخرى ما يلي:

تعليق. لا ترتكب خطأ شائعًا - لوغاريتم المجموع لا يساوي مجموع اللوغاريتمات.

لقرون عديدة ، كانت عملية إيجاد اللوغاريتم مهمة تستغرق وقتًا طويلاً. استخدم علماء الرياضيات الصيغة المعروفة للنظرية اللوغاريتمية للتوسع في كثير الحدود:

ln (1 + x) = x - (x ^ 2) / 2 + (x ^ 3) / 3 - (x ^ 4) / 4 + ... + ((-1) ^ (n + 1)) * ((x ^ n) / n) ، حيث n هو رقم طبيعي أكبر من 1 ، والذي يحدد دقة الحساب.

تم حساب اللوغاريتمات ذات القواعد الأخرى باستخدام نظرية الانتقال من قاعدة إلى أخرى وخاصية لوغاريتم المنتج.

لأن هذه الطريقة شاقة للغاية و عند حل المشكلات العمليةصعب التنفيذ ، فقد استخدموا جداول اللوغاريتمات المجمعة مسبقًا ، مما أدى إلى تسريع العمل بأكمله بشكل كبير.

في بعض الحالات ، تم استخدام الرسوم البيانية التي تم تجميعها خصيصًا للوغاريتمات ، مما أعطى دقة أقل ، ولكنه أدى إلى تسريع البحث عن القيمة المطلوبة بشكل كبير. منحنى الدالة y = log a (x) ، المبني على عدة نقاط ، يسمح باستخدام المسطرة المعتادة للعثور على قيم الوظيفة في أي نقطة أخرى. لفترة طويلة ، استخدم المهندسون ما يسمى بورق الرسم البياني لهذه الأغراض.

في القرن السابع عشر ، ظهرت أولى ظروف الحوسبة التناظرية المساعدة ، والتي اكتسبت شكلاً كاملاً بحلول القرن التاسع عشر. كان الجهاز الأكثر نجاحًا يسمى قاعدة الشريحة. على الرغم من بساطة الجهاز ، إلا أن مظهره أدى إلى تسريع عملية جميع الحسابات الهندسية بشكل كبير ، ومن الصعب المبالغة في تقدير ذلك. في الوقت الحالي ، قلة من الناس على دراية بهذا الجهاز.

جعل ظهور الآلات الحاسبة وأجهزة الكمبيوتر من العبث استخدام أي أجهزة أخرى.

المعادلات وعدم المساواة

تُستخدم الصيغ التالية لحل المعادلات والمتباينات المختلفة باستخدام اللوغاريتمات:

• الانتقال من قاعدة إلى أخرى: log a (b) = log c (b) / log c (a) ؛
• كنتيجة للإصدار السابق: سجل أ (ب) = 1 / سجل ب (أ).

لحل عدم المساواة ، من المفيد معرفة:

• ستكون قيمة اللوغاريتم موجبة فقط إذا كان كل من الأساس والوسيطة أكبر من أو أقل من واحد ؛ إذا تم انتهاك شرط واحد على الأقل ، فستكون قيمة اللوغاريتم سالبة.
• إذا تم تطبيق دالة اللوغاريتم على الجانبين الأيمن والأيسر من المتباينة ، وكانت قاعدة اللوغاريتم أكبر من واحد ، فسيتم الاحتفاظ بعلامة عدم المساواة ؛ خلاف ذلك ، يتغير.

أمثلة المهام

ضع في اعتبارك عدة خيارات لاستخدام اللوغاريتمات وخصائصها. أمثلة لحل المعادلات:

ضع في اعتبارك خيار وضع اللوغاريتم في الدرجة:

• المهمة 3. احسب 25 ^ سجل 5 (3). الحل: في ظروف المشكلة ، يكون التدوين مشابهًا لما يلي (5 ^ 2) ^ log5 (3) أو 5 ^ (2 * log 5 (3)). دعنا نكتبها بشكل مختلف: 5 ^ log 5 (3 * 2) ، أو يمكن كتابة مربع الرقم كوسيطة دالة كمربع للدالة نفسها (5 ^ log 5 (3)) ^ 2. باستخدام خصائص اللوغاريتمات ، يكون هذا التعبير 3 ^ 2. الجواب: نتيجة الحساب نحصل على 9.

الاستخدام العملي

لكونه أداة رياضية بحتة ، يبدو بعيدًا عن الحياة الواقعية أن اللوغاريتم أصبح فجأة ذا أهمية كبيرة في وصف الأشياء في العالم الحقيقي. من الصعب العثور على علم لا يستخدم فيه. هذا لا ينطبق فقط على مجالات المعرفة الطبيعية ، ولكن أيضًا على مجالات المعرفة الإنسانية.

التبعيات اللوغاريتمية

فيما يلي بعض الأمثلة على التبعيات العددية:

الميكانيكا والفيزياء

تاريخيًا ، تطورت الميكانيكا والفيزياء دائمًا باستخدام طرق البحث الرياضية وفي الوقت نفسه كانت بمثابة حافز لتطوير الرياضيات ، بما في ذلك اللوغاريتمات. معظم قوانين الفيزياء مكتوبة بلغة الرياضيات. نعطي مثالين فقط لوصف القوانين الفيزيائية باستخدام اللوغاريتم.

من الممكن حل مشكلة حساب كمية معقدة مثل سرعة الصاروخ باستخدام صيغة Tsiolkovsky ، التي أرست الأساس لنظرية استكشاف الفضاء:

V = I * ln (M1 / M2) ، أين

• V هي السرعة النهائية للطائرة.
• أنا هو الدافع المحدد للمحرك.
• M 1 هي الكتلة الأولية للصاروخ.
• م 2 - الكتلة النهائية.

مثال آخر مهم- هذا هو الاستخدام في صيغة عالم عظيم آخر ، ماكس بلانك ، والذي يعمل على تقييم حالة التوازن في الديناميكا الحرارية.

S = k * ln () ، أين

• S هي خاصية ديناميكية حرارية.
• k هو ثابت بولتزمان.
• Ω هو الوزن الإحصائي للحالات المختلفة.

كيمياء

أقل وضوحًا هو استخدام الصيغ في الكيمياء التي تحتوي على نسبة اللوغاريتمات. هنا مثالان فقط:

• معادلة نرنست ، حالة إمكانات الأكسدة والاختزال للوسط فيما يتعلق بنشاط المواد وثابت التوازن.
• كما أن حساب الثوابت مثل مؤشر التحلل الذاتي وحموضة المحلول لا يكتمل بدون وظيفتنا.

علم النفس وعلم الأحياء

ومن غير المفهوم تمامًا ما علاقة علم النفس به. اتضح أن قوة الإحساس موصوفة جيدًا بواسطة هذه الوظيفة على أنها النسبة العكسية لقيمة شدة التحفيز إلى قيمة الشدة الأقل.

بعد الأمثلة المذكورة أعلاه ، لم يعد من المستغرب أن يتم استخدام موضوع اللوغاريتمات أيضًا على نطاق واسع في علم الأحياء. يمكن كتابة مجلدات كاملة عن الأشكال البيولوجية المقابلة للحلزونات اللوغاريتمية.

مناطق أخرى

يبدو أن وجود العالم مستحيل دون الارتباط بهذه الوظيفة ، وهو يحكم جميع القوانين. خاصة عندما ترتبط قوانين الطبيعة بتقدم هندسي. يجدر الإشارة إلى موقع MatProfi ، وهناك العديد من الأمثلة في مجالات النشاط التالية:

يمكن أن تكون القائمة لا نهاية لها. بعد أن أتقنت القوانين الأساسية لهذه الوظيفة ، يمكنك الانغماس في عالم الحكمة اللانهائية.