من المدرسة ، نعلم جميعًا القاعدة المتعلقة بالرفع إلى قوة: أي رقم به أس N يساوي نتيجة الضرب رقم معينعلى نفسه عدد N عشر من المرات. بعبارة أخرى ، 7 أس 3 يساوي 7 مضروبًا في نفسه ثلاث مرات ، أي 343. قاعدة أخرى - رفع أي قيمة إلى أس 0 يعطي واحدًا ، ورفع قيمة سالبةيمثل نتيجة الأس العادي إذا كان زوجيًا ، والنتيجة نفسها بعلامة ناقص إذا كانت فردية.

تعطي القواعد أيضًا إجابة حول كيفية رفع رقم إلى قوة سالبة. للقيام بذلك ، تحتاج إلى رفع القيمة المطلوبة بواسطة وحدة المؤشر بالطريقة المعتادة ، ثم قسمة الوحدة على النتيجة.

من هذه القواعد يتضح أن التنفيذ مهام حقيقيةبكميات كبيرة سيتطلب التواجد الوسائل التقنية. يدويًا سيكون من الممكن أن تضرب في حد ذاتها نطاقًا أقصى من الأرقام يصل إلى عشرين أو ثلاثين ، ثم لا يزيد عن ثلاث أو أربع مرات. ناهيك عن حقيقة أنه يتم بعد ذلك أيضًا تقسيم الوحدة على النتيجة. لذلك ، بالنسبة لأولئك الذين ليس لديهم خاص آلة حاسبة هندسيةسنشرح كيفية رفع رقم إلى الأس السالب في إكسيل.

حل المشكلات في Excel

لحل مشاكل الأُس ، يتيح لك Excel استخدام أحد الخيارين.

الأول هو استخدام الصيغة مع رمز الغطاء القياسي. أدخل البيانات التالية في خلايا ورقة العمل:

بنفس الطريقة ، يمكنك رفع القيمة المطلوبة إلى أي قوة - سالبة ، كسرية. لنفعل ما يلي ونجيب على السؤال عن كيفية رفع رقم إلى أس سالب. مثال:

من الممكن التصحيح مباشرة في الصيغة = B2 ^ -C2.

الخيار الثاني هو استخدام وظيفة "الدرجة" الجاهزة ، والتي تأخذ وسيطين إلزاميين - رقم ومؤشر. لبدء استخدامه ، يكفي وضع علامة يساوي (=) في أي خلية حرة ، مع الإشارة إلى بداية الصيغة ، وإدخال الكلمات أعلاه. يبقى تحديد خليتين ستشاركان في العملية (أو تحديد أرقام محددةيدويًا) واضغط على مفتاح Enter. دعونا نلقي نظرة على القليل أمثلة بسيطة.

			معادلة	نتيجة
			POWER (B2؛ C2)
			POWER (B3؛ C3)	0,002915

كما ترى ، لا يوجد شيء معقد حول كيفية رفع رقم إلى قوة سالبة وإلى القوة المعتادة. باستخدام Excel. بعد كل شيء ، لحل هذه المشكلة ، يمكنك استخدام كل من رمز "الغطاء" المألوف والوظيفة المدمجة سهلة التذكر في البرنامج. هذا هو زائد واضح!

دعنا ننتقل إلى المزيد أمثلة معقدة. دعنا نتذكر القاعدة الخاصة بكيفية رفع رقم إلى قوة سالبة ذات طابع كسري ، وسنرى أن هذه المهمة تم حلها بكل بساطة في Excel.

مؤشرات كسرية

باختصار ، الخوارزمية لحساب الرقم باستخدام مؤشر كسريالتالي.

1. حوّل أسًا كسريًا إلى كسر حقيقي أو كسر غير فعلي.
2. ارفع الرقم إلى بسط الكسر المحول الناتج.
3. من الرقم الذي تم الحصول عليه في الفقرة السابقة ، احسب الجذر ، بشرط أن يكون مؤشر الجذر هو مقام الكسر الذي تم الحصول عليه في المرحلة الأولى.

توافق على أنه حتى عند العمل بأعداد صغيرة و الكسور المناسبةيمكن أن تستغرق هذه الحسابات وقتًا طويلاً. ذلك جيد معالج جداول البياناتلا يهتم Excel بأي عدد وإلى أي درجة يتم رفعه. حاول حل المثال التالي في ورقة عمل Excel:

باستخدام القواعد المذكورة أعلاه ، يمكنك التحقق والتأكد من صحة الحساب.

في نهاية مقالتنا ، سنقدم في شكل جدول مع الصيغ والنتائج عدة أمثلة على كيفية رفع رقم إلى قوة سالبة ، بالإضافة إلى عدة أمثلة مع العملية أعداد كسريةوالدرجات.

مثال على الجدول

تحقق من ورقة العمل كتب اكسلالأمثلة التالية. لكي يعمل كل شيء بشكل صحيح ، تحتاج إلى استخدام مرجع مختلط عند نسخ الصيغة. أصلح رقم العمود الذي يحتوي على الرقم الذي يتم رفعه ، ورقم الصف الذي يحتوي على المؤشر. يجب أن تكون صيغتك تقريبًا العرض التالي: "= B4 ^ C $ 3".

الرقم / الدرجة

يرجى ملاحظة أن الأرقام الموجبة (حتى التي لا تحتوي على أعداد صحيحة) يتم حسابها بدون مشاكل لأي أس. لا توجد مشاكل في رفع أي أعداد إلى أعداد صحيحة. لكن رفع رقم سالب إلى قوة كسرية سيكون خطأً بالنسبة لك ، لأنه من المستحيل اتباع القاعدة الموضحة في بداية مقالنا حول زيادة الأرقام السالبة ، لأن التكافؤ هو سمة من سمات العدد الصحيح حصريًا.

مستوى اول

الدرجة وخصائصها. دليل شامل (2019)

لماذا الدرجات العلمية مطلوبة؟ أين تريدهم؟ لماذا تحتاج لقضاء الوقت في دراستها؟

لتتعلم كل شيء عن الدرجات العلمية ، وما الغرض منها ، وكيفية استخدام معرفتك فيها الحياة اليوميةاقرأ هذه المقالة.

وبالطبع ، فإن معرفة الدرجات العلمية سيقربك منها تسليم ناجح OGE أو USE ودخول جامعة أحلامك.

هيا بنا هيا بنا!)

ملاحظة مهمة! إذا رأيت هراءًا بدلاً من الصيغ ، فقم بمسح ذاكرة التخزين المؤقت. للقيام بذلك ، اضغط على CTRL + F5 (في نظام Windows) أو Cmd + R (في أنظمة تشغيل Mac).

مستوى اول

الأُس هو نفسه عملية حسابيةمثل الجمع والطرح والضرب والقسمة.

الآن سأشرح كل شيء لغة بشريةبأمثلة بسيطة للغاية. كن حذرا. الأمثلة أولية ، لكنها تشرح أشياء مهمة.

لنبدأ بالجمع.

لا يوجد شيء يمكن شرحه هنا. أنت تعرف كل شيء بالفعل: هناك ثمانية منا. تحتوي كل زجاجة على زجاجتين من الكولا. كم كولا؟ هذا صحيح - 16 زجاجة.

الآن الضرب.

يمكن كتابة نفس المثال مع الكولا بطريقة مختلفة:. علماء الرياضيات أناس ماكرون وكسولون. يلاحظون أولاً بعض الأنماط ، ثم يتوصلون إلى طريقة "لعدها" بشكل أسرع. في حالتنا ، لاحظوا أن كل شخص من الأشخاص الثمانية لديه نفس عدد زجاجات الكولا وابتكروا تقنية تسمى الضرب. موافق ، يعتبر أسهل وأسرع من.

لذلك ، للعد بشكل أسرع وأسهل وبدون أخطاء ، ما عليك سوى أن تتذكر جدول الضرب. بالطبع ، يمكنك أن تفعل كل شيء بشكل أبطأ وأصعب ومع وجود أخطاء! ولكن…

هنا جدول الضرب. يكرر.

وآخر أجمل:

وما هي حيل العد الصعبة الأخرى التي توصل إليها علماء الرياضيات الكسالى؟ بشكل صحيح - رفع رقم إلى قوة.

رفع رقم إلى قوة

إذا كنت بحاجة إلى ضرب رقم في نفسه خمس مرات ، فإن علماء الرياضيات يقولون إنك تحتاج إلى رفع هذا الرقم إلى الأس الخامس. فمثلا، . يتذكر علماء الرياضيات أن اثنين أس الخامس هو. وهم يحلون مثل هذه المشاكل في أذهانهم - بشكل أسرع وأسهل وبدون أخطاء.

للقيام بذلك ، ما عليك سوى تذكر ما تم تمييزه بالألوان في جدول قوى الأعداد. صدقني ، ستجعل حياتك أسهل بكثير.

بالمناسبة ، لماذا تسمى الدرجة الثانية ميدانالأرقام ، والثالث مكعب؟ ماذا يعني ذلك؟ جدا سؤال جيد. الآن سيكون لديك كل من المربعات والمكعبات.

مثال من الحياة الواقعية # 1

لنبدأ بمربع أو القوة الثانية لعدد.

تخيل بركة مربعة قياسها متر في متر. المجمع في الفناء الخلفي الخاص بك. الجو حار وأريد السباحة حقًا. لكن ... بركة بلا قاع! من الضروري تغطية قاع البركة بالبلاط. كم عدد البلاط الذي تحتاجه؟ لتحديد ذلك ، تحتاج إلى معرفة مساحة قاع البركة.

يمكنك ببساطة العد عن طريق نقر إصبعك على أن قاع البركة يتكون من مكعبات مترًا في المتر. إذا كان البلاط الخاص بك مترًا بعد متر ، فستحتاج إلى قطع. إنه سهل ... لكن أين رأيت مثل هذا البلاط؟ يفضل أن تكون البلاطة سم × سم ، وبعد ذلك سوف تتعذب من خلال "العد بإصبعك". ثم عليك أن تتكاثر. لذلك ، على جانب واحد من قاع البركة ، سنقوم بتركيب البلاط (القطع) وعلى الجانب الآخر أيضًا ، البلاط. بالضرب ، تحصل على مربعات ().

هل لاحظت أننا ضربنا نفس العدد في نفسه لتحديد مساحة قاع البركة؟ ماذا يعني ذلك؟ بما أن العدد نفسه مضروبًا ، فيمكننا استخدام تقنية الأُس. (بالطبع ، عندما يكون لديك رقمان فقط ، فما زلت بحاجة إلى ضربهما أو رفعهما إلى قوة. ولكن إذا كان لديك الكثير منهم ، فإن الارتقاء إلى قوة يكون أسهل بكثير ، كما أن هناك أخطاء أقل في الحسابات بالنسبة للامتحان هذا مهم جدا).
إذن ، ثلاثون درجة إلى الدرجة الثانية ستكون (). أو يمكنك القول أن ثلاثين تربيع ستكون. بعبارة أخرى ، يمكن دائمًا تمثيل القوة الثانية لرقم ما على شكل مربع. والعكس صحيح ، إذا رأيت مربعًا ، فهو دائمًا القوة الثانية لبعض الأرقام. المربع هو صورة للقوة الثانية لعدد.

مثال من الحياة الواقعية # 2

هذه مهمة لك ، احسب عدد المربعات الموجودة على رقعة الشطرنج باستخدام مربع الرقم ... على جانب واحد من الخلايا وعلى الجانب الآخر أيضًا. لحساب عددهم ، عليك أن تضرب ثمانية في ثمانية ، أو ... إذا لاحظت أن رقعة الشطرنج هي مربع به جانب ، فيمكنك تربيع ثمانية. احصل على الخلايا. () لذا؟

مثال من الحياة الواقعية # 3

الآن المكعب أو القوة الثالثة لعدد. نفس البركة. لكنك الآن بحاجة إلى معرفة كمية المياه التي يجب سكبها في هذا البركة. تحتاج إلى حساب الحجم. (بالمناسبة ، الأحجام والسوائل تقاس بـ متر مكعب. بشكل غير متوقع ، أليس كذلك؟) ارسم حوضًا: قاع يبلغ حجمه مترًا واحدًا وعمقه مترًا واحدًا وحاول حساب عدد المكعبات مترًا بمتر في المجموع التي ستدخل إلى حمام السباحة الخاص بك.

فقط أشر بإصبعك وعد! واحد ، اثنان ، ثلاثة ، أربعة ... اثنان وعشرون ، ثلاثة وعشرون ... ما مقدار ما حدث؟ لم تضيع؟ هل من الصعب العد بإصبعك؟ لهذا السبب! خذ مثالا من علماء الرياضيات. إنهم كسالى ، لذلك لاحظوا أنه من أجل حساب حجم البركة ، تحتاج إلى ضرب طولها وعرضها وارتفاعها ببعضها البعض. في حالتنا ، سيكون حجم البركة مساويًا للمكعبات ... أسهل ، أليس كذلك؟

تخيل الآن كيف أن علماء الرياضيات كسالى وماكرون إذا جعلوا ذلك سهلاً للغاية. اختزل كل شيء لعمل واحد. لاحظوا أن الطول والعرض والارتفاع متساويون وأن نفس العدد يضرب في نفسه ... وماذا يعني هذا؟ هذا يعني أنه يمكنك استخدام الدرجة. إذن ، ما عدته بإصبع مرة ، يفعلونه في إجراء واحد: ثلاثة في مكعب متساوية. إنه مكتوب على هذا النحو:

يبقى فقط احفظ جدول الدرجات. ما لم تكن ، بالطبع ، كسولًا وماكرًا مثل علماء الرياضيات. إذا كنت ترغب في العمل الجاد وارتكاب الأخطاء ، يمكنك الاستمرار في العد بإصبعك.

حسنًا ، من أجل إقناعك أخيرًا أن الدرجات اخترعها المتسكعون والأشخاص الماكرة لحل مشكلتهم مشاكل الحياة، وليس لخلق مشاكل لك ، إليك بعض الأمثلة من الحياة.

مثال من الحياة الواقعية # 4

لديك مليون روبل. في بداية كل عام ، تكسب مليونًا آخر مقابل كل مليون. أي أن كل مليون في بداية كل عام يتضاعف. كم من المال سيكون لديك في السنوات؟ إذا كنت جالسًا الآن و "تعد بإصبعك" ، فأنت شخص مجتهد جدًا و .. غبي. لكن على الأرجح ستقدم إجابة في غضون بضع ثوانٍ ، لأنك ذكي! إذن ، في السنة الأولى - مرتين مرتين ... في السنة الثانية - ما حدث ، مرتين أخريين ، في السنة الثالثة ... توقف! لقد لاحظت أن الرقم مضروب في نفسه مرة واحدة. إذن اثنان أس الخامس يساوي مليون! تخيل الآن أن لديك منافسة والشخص الذي يحسب أسرع سيحصل على هذه الملايين ... هل يستحق تذكر درجات الأرقام ، ما رأيك؟

مثال من الحياة الواقعية # 5

لديك مليون. في بداية كل عام ، تكسب اثنين آخرين مقابل كل مليون. إنه شيء رائع ، أليس كذلك؟ كل مليون يتضاعف ثلاث مرات. كم من المال سيكون لديك في السنة؟ لنعد. السنة الأولى - اضرب في ، ثم النتيجة في أخرى ... إنها ممل بالفعل ، لأنك فهمت بالفعل كل شيء: ثلاثة مضروبة في نفسها مرات. إذن القوة الرابعة هي مليون. عليك فقط أن تتذكر أن ثلاثة مرفوعًا للقوة الرابعة يساوي أو.

أنت تعلم الآن أنه من خلال رفع رقم إلى قوة ، ستجعل حياتك أسهل كثيرًا. دعنا نلقي نظرة إضافية على ما يمكنك فعله بالدرجات وما تحتاج إلى معرفته عنها.

المصطلحات والمفاهيم ... حتى لا يتم الخلط

لذا ، أولاً ، دعنا نحدد المفاهيم. ما رأيك، ما هو الأس؟ إنه بسيط للغاية - هذا هو الرقم "في أعلى" قوة الرقم. ليس علميًا ولكنه واضح وسهل التذكر ...

حسنًا ، في نفس الوقت ، ماذا هذه القاعدة من الدرجة؟ أبسط من ذلك هو الرقم الموجود في الأسفل ، في القاعدة.

إليك صورة لتتأكد منها.

حسنا وداخل نظرة عامةللتعميم والتذكر بشكل أفضل ... تُقرأ الدرجة التي تحتوي على أساس "" والأس "" على أنها "إلى الدرجة" وتتم كتابتها على النحو التالي:

قوة عدد ذو أس طبيعي

ربما خمنت بالفعل: لأن الأس عدد طبيعي. نعم ، ولكن ما هو عدد طبيعي؟ ابتدائي! الأرقام الطبيعية هي تلك التي تُستخدم في العد عند سرد العناصر: واحد ، اثنان ، ثلاثة ... عندما نحسب العناصر ، لا نقول: "ناقص خمسة" ، "ناقص ستة" ، "ناقص سبعة". لا نقول "ثلث" أو "صفر فاصلة خمسة أعشار" أيضًا. ليس أعداد صحيحة. ما رأيك في هذه الأرقام؟

تشير الأرقام مثل "ناقص خمسة" و "ناقص ستة" و "ناقص سبعة" الأعداد الكلية.بشكل عام ، تتضمن الأعداد الصحيحة جميع الأعداد الطبيعية والأرقام المقابلة للأرقام الطبيعية (أي مأخوذة بعلامة ناقص) ورقم. من السهل فهم الصفر - يحدث هذا عندما لا يكون هناك شيء. وماذا تعني الأرقام السالبة ("ناقص")؟ لكن تم اختراعها في المقام الأول للدلالة على الديون: إذا كان لديك رصيد على هاتفك بالروبل ، فهذا يعني أنك مدين للمشغل بالروبل.

جميع الكسور أرقام نسبية. كيف جاءوا ، في رأيك؟ بسيط جدا. منذ عدة آلاف من السنين ، اكتشف أسلافنا أنه ليس لديهم أعداد طبيعية كافية لقياس الطول والوزن والمساحة وما إلى ذلك. وقد توصلوا إلى أرقام نسبية... مثيرة للاهتمام ، أليس كذلك؟

هناك أيضًا أعداد غير منطقية. ما هي هذه الأرقام؟ باختصار ، كسر عشري لا نهائي. على سبيل المثال ، إذا كان محيط الدائرة مقسومًا على قطرها ، إذن عدد غير نسبي.

ملخص:

دعنا نحدد مفهوم الدرجة ، الأس هو عدد طبيعي (أي عدد صحيح وموجب).

1. أي عدد للقوة الأولى يساوي نفسه:
2. لتربيع رقم هو ضربه في نفسه:
3. لتكعيب رقم هو ضربه بنفسه ثلاث مرات:

تعريف.ارفع رقمًا إلى درجة طبيعيةيعني ضرب عدد في نفسه مرات:
.

خصائص الدرجة

من أين أتت هذه الخصائص؟ سأريك الآن.

دعونا نرى ما هو و ?

حسب التعريف:

كم عدد المضاعفات هناك في المجموع؟

الأمر بسيط للغاية: أضفنا العوامل إلى العوامل ، والنتيجة هي العوامل.

لكن بحكم التعريف ، هذه هي درجة الرقم مع الأس ، أي: ، التي كان مطلوبًا إثباتها.

مثال: تبسيط التعبير.

المحلول:

مثال:تبسيط التعبير.

المحلول:من المهم أن نلاحظ ذلك في حكمنا بالضرورةلا بد وأن نفس الأسباب!
لذلك ، نجمع الدرجات مع القاعدة ، لكننا نبقى عاملاً منفصلاً:

فقط لمنتجات القوى!

تحت أي ظرف من الظروف لا يجب أن تكتب ذلك.

2. هذا هو - القوة رقم

تمامًا كما هو الحال مع الخاصية السابقة ، دعنا ننتقل إلى تعريف الدرجة:

اتضح أن التعبير يضرب في نفسه مرة واحدة ، أي وفقًا للتعريف ، هذه هي القوة ال رقم:

في الواقع ، يمكن أن يسمى هذا "تصحيح المؤشر". لكن لا يمكنك القيام بذلك إجمالاً:

لنتذكر معادلات الضرب المختصر: كم مرة أردنا أن نكتب؟

لكن هذا ليس صحيحًا حقًا.

درجة مع قاعدة سلبية

حتى هذه النقطة ، ناقشنا فقط ما يجب أن يكون عليه الأس.

لكن ماذا يجب أن يكون الأساس؟

بدرجات من مؤشر طبيعيقد يكون الأساس أي رقم. في الواقع ، يمكننا ضرب أي رقم في بعضنا البعض ، سواء كانت موجبة أو سالبة أو زوجية.

دعونا نفكر في أي علامات ("" أو "") سيكون لها درجات من الأرقام الموجبة والسالبة؟

على سبيل المثال ، هل سيكون الرقم موجبًا أم سالبًا؟ لكن؟ ؟ في الحالة الأولى ، يكون كل شيء واضحًا: بغض النظر عن عدد الأرقام الموجبة التي نضربها مع بعضنا البعض ، ستكون النتيجة موجبة.

لكن السلبية أكثر إثارة للاهتمام. بعد كل شيء ، نتذكر قاعدة بسيطة من الصف السادس: "سالب في سالب يعطي زائد". هذا هو ، أو. لكن إذا ضربنا في ، يتبين.

حدد لنفسك العلامة التي ستحملها التعبيرات التالية:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

هل تستطيع فعلها؟

إليكم الإجابات: في الأمثلة الأربعة الأولى ، آمل أن يكون كل شيء واضحًا؟ نحن ببساطة ننظر إلى الأساس والأس ، ونطبق القاعدة المناسبة.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

في المثال 5) ، كل شيء ليس مخيفًا كما يبدو: لا يهم ما تساوي القاعدة - الدرجة متساوية ، مما يعني أن النتيجة ستكون دائمًا إيجابية.

حسنًا ، إلا عندما تكون القاعدة صفرًا. القاعدة ليست هي نفسها ، أليس كذلك؟ من الواضح لا ، منذ (لأن).

المثال 6) لم يعد بهذه البساطة!

6 أمثلة على الممارسة

تحليل الحل 6 أمثلة

إذا لم ننتبه إلى الدرجة الثامنة فماذا نرى هنا؟ دعونا نلقي نظرة على برنامج الصف السابع. لذلك تذكر؟ هذه هي صيغة الضرب المختصرة ، وهي فرق المربعات! نحن نحصل:

نحن ننظر بعناية إلى المقام. يشبه إلى حد كبير أحد عوامل البسط ، لكن ما الخطأ؟ ترتيب خاطئ للشروط. إذا تم تبديلها ، يمكن تطبيق القاعدة.

ولكن كيف نفعل ذلك؟ اتضح أنه سهل للغاية: الدرجة المتساوية للمقام تساعدنا هنا.

لقد غيرت المصطلحات أماكنها بطريقة سحرية. تنطبق هذه "الظاهرة" على أي تعبير بدرجة متساوية: يمكننا تغيير الإشارات الموجودة بين قوسين بحرية.

لكن من المهم أن تتذكر: كل العلامات تتغير في نفس الوقت!

دعنا نعود إلى المثال:

ومرة أخرى الصيغة:

كاملنقوم بتسمية الأعداد الطبيعية وأضدادها (أي مأخوذة بعلامة "") والرقم.

عدد صحيح موجب، ولا يختلف عن الطبيعي ، فكل شيء يبدو تمامًا كما في القسم السابق.

الآن دعونا نلقي نظرة على الحالات الجديدة. لنبدأ بمؤشر يساوي.

أي عدد أس صفر يساوي واحدًا:

كالعادة نسأل أنفسنا: لماذا هذا؟

ضع في اعتبارك بعض القوة مع القاعدة. خذ على سبيل المثال واضرب في:

لذلك ، قمنا بضرب الرقم في ، وحصلنا على نفس الرقم كما كان -. ما هو الرقم الذي يجب ضربه حتى لا يتغير شيء؟ هذا صحيح ، على. وسائل.

يمكننا أن نفعل الشيء نفسه مع رقم عشوائي:

لنكرر القاعدة:

أي عدد أس صفر يساوي واحدًا.

لكن هناك استثناءات للعديد من القواعد. وهنا يوجد أيضًا - هذا رقم (كأساس).

من ناحية ، يجب أن تكون مساوية لأي درجة - بغض النظر عن مقدار ضرب الصفر في نفسه ، لا يزال بإمكانك الحصول على صفر ، وهذا واضح. لكن من ناحية أخرى ، مثل أي رقم لدرجة الصفر ، يجب أن يكون متساويًا. إذن ما هي حقيقة هذا؟ قرر علماء الرياضيات عدم التورط ورفضوا رفع الصفر إلى الصفر. أي أنه لا يمكننا الآن القسمة على الصفر فحسب ، بل نرفعها أيضًا إلى أس صفر.

لنذهب أبعد من ذلك. بالإضافة إلى الأعداد والأرقام الطبيعية ، تتضمن الأعداد الصحيحة أرقامًا سالبة. لفهم ما هو الأس السالب ، دعنا نفعل كما في آخر مرة: اضرب بعض الأعداد العادية بنفس الدرجة السالبة:

من هنا ، من السهل بالفعل التعبير عن المطلوب:

الآن نوسع القاعدة الناتجة إلى درجة تعسفية:

لذلك ، دعونا نصيغ القاعدة:

الرقم إلى أس سالب هو معكوس نفس العدد إلى أس موجب. و لكن في نفس الوقت لا يمكن أن تكون القاعدة فارغة:(لأنه من المستحيل القسمة).

دعونا نلخص:

أنا لم يتم تعريف التعبير في حالة. اذا ثم.

ثانيًا. أي عدد أس صفر يساوي واحدًا:.

ثالثا. الرقم الذي لا يساوي صفرًا إلى أس سالب هو معكوس نفس العدد لقوة موجبة:.

مهام الحل المستقل:

حسنًا ، كالعادة ، أمثلة لحل مستقل:

تحليل المهام للحل المستقل:

أعلم ، أعلم ، الأرقام مخيفة ، لكن في الامتحان عليك أن تكون مستعدًا لأي شيء! حل هذه الأمثلة أو حلل حلها إذا لم تتمكن من حلها وستتعلم كيفية التعامل معها بسهولة في الامتحان!

دعنا نواصل توسيع دائرة الأعداد "مناسبة" كأسس.

فكر الآن أرقام نسبية.ما تسمى الأرقام المنطقية؟

الجواب: كل ما يمكن تمثيله في صورة كسر ، وأين وأعداد صحيحة ، علاوة على ذلك.

لفهم ما هو "درجة جزئية"لنفكر في كسر:

دعنا نرفع كلا طرفي المعادلة إلى قوة:

الآن تذكر القاعدة "درجة إلى درجة":

ما هو الرقم الذي يجب رفعه إلى قوة للحصول عليه؟

هذه الصيغة هي تعريف جذر الدرجة.

اسمحوا لي أن أذكرك: جذر القوة ال () لرقم () هو الرقم الذي ، عند رفعه إلى أس ، يكون مساويًا.

أي أن جذر الدرجة هو العملية العكسية للأس:.

لقد أتضح أن. من الواضح هذا حالة خاصةيمكن تمديدها:.

الآن أضف البسط: ما هو؟ من السهل الحصول على الإجابة من خلال قاعدة القوة إلى السلطة:

لكن هل يمكن أن تكون القاعدة أي رقم؟ بعد كل شيء ، لا يمكن استخراج الجذر من جميع الأرقام.

لا أحد!

تذكر القاعدة: أي رقم مرفوع إليه حتى درجةهو رقم موجب. أي أنه من المستحيل استخلاص جذور الدرجة الزوجية من الأعداد السالبة!

وهذا يعني أن مثل هذه الأعداد لا يمكن رفعها إلى قوة كسرية ذات مقام زوجي ، أي أن التعبير لا معنى له.

ماذا عن التعبير؟

ولكن هنا تنشأ مشكلة.

يمكن تمثيل الرقم ككسور أخرى ، على سبيل المثال ، أو.

واتضح أنه موجود ولكنه غير موجود ، وهذان مجرد سجلين مختلفين من نفس الرقم.

أو مثال آخر: مرة واحدة ، يمكنك كتابته. ولكن بمجرد أن نكتب المؤشر بطريقة مختلفة ، فإننا نواجه مشكلة مرة أخرى: (أي ، حصلنا على نتيجة مختلفة تمامًا!).

لتجنب مثل هذه المفارقات ، خذ بعين الاعتبار فقط الأس الأساسي الموجب مع الأس الكسري.

حتى إذا:

• - عدد طبيعي؛
• هو عدد صحيح

أمثلة:

تعتبر القوى ذات الأس المنطقي مفيدة جدًا في تحويل التعبيرات ذات الجذور ، على سبيل المثال:

5 أمثلة على الممارسة

تحليل 5 أمثلة للتدريب

حسنًا ، الآن - الأصعب. الآن سوف نحلل درجة مئوية مؤشر غير منطقي .

جميع قواعد وخصائص الدرجات هنا هي نفسها تمامًا مثل الدرجات ذات الأس المنطقي ، باستثناء

في الواقع ، بحكم التعريف ، الأعداد غير المنطقية هي أرقام لا يمكن تمثيلها ككسر ، حيث تكون أعدادًا صحيحة (أي أن الأعداد غير المنطقية كلها أرقام حقيقية باستثناء الأرقام المنطقية).

عند دراسة الدرجات العلمية بمؤشر طبيعي وعدد صحيح ومنطقي ، في كل مرة نكوّن "صورة" معينة أو "تشبيه" أو وصف بمصطلحات مألوفة أكثر.

على سبيل المثال ، الأس الطبيعي هو عدد مضروب في نفسه عدة مرات ؛

...صفر قوة- هذا ، كما كان ، رقم مضروب في نفسه مرة واحدة ، أي أنه لم يبدأ بعد في التكاثر ، مما يعني أن الرقم نفسه لم يظهر حتى الآن - وبالتالي فإن النتيجة ليست سوى "رقم فارغ" معين وهو الرقم ؛

...الأس الصحيح السالب- يبدو الأمر كما لو حدثت "عملية عكسية" معينة ، أي أن الرقم لم يضرب بنفسه ، بل تم تقسيمه.

بالمناسبة ، غالبًا ما يستخدم العلم درجة ذات أس معقد ، أي أن الأس ليس حتى عددًا حقيقيًا.

لكن في المدرسة ، لا نفكر في مثل هذه الصعوبات ؛ ستتاح لك الفرصة لفهم هذه المفاهيم الجديدة في المعهد.

أين نحن متأكدون من أنك ستذهب! (إذا تعلمت كيفية حل مثل هذه الأمثلة :))

فمثلا:

تقرر لنفسك:

تحليل الحلول:

1. لنبدأ بالقاعدة المعتادة بالفعل لرفع درجة إلى درجة ما:

الآن انظر إلى النتيجة. هل يذكرك بأي شيء؟ نتذكر معادلة الضرب المختصر لفرق المربعات:

في هذه الحالة،

لقد أتضح أن:

إجابه: .

2. نعطي الكسور في الأس k نفس النوع: إما كلا الكسور العشرية أو كلاهما عادي. نحصل على سبيل المثال:

الجواب: 16

3. لا يوجد شيء خاص ، فنحن نطبق الخصائص المعتادة للدرجات:

مستوى متقدم

تعريف الدرجة

الدرجة هي تعبير عن النموذج: حيث:

• — قاعدة الدرجة
• - الأس.

الدرجة مع الأس الطبيعي (ن = 1 ، 2 ، 3 ، ...)

رفع رقم إلى القوة الطبيعية n يعني ضرب الرقم في نفسه مرات:

قوة مع الأس الصحيح (0 ، ± 1 ، ± 2 ، ...)

إذا كان الأس عدد صحيح موجبرقم:

الانتصاب إلى الصفر السلطة:

التعبير غير محدد ، لأنه ، من ناحية ، هو هذا إلى أي درجة ، ومن ناحية أخرى ، أي رقم إلى الدرجة ال هو هذا.

إذا كان الأس عدد صحيح سلبيرقم:

(لأنه من المستحيل القسمة).

مرة أخرى حول القيم الخالية: لم يتم تعريف التعبير في الحالة. اذا ثم.

أمثلة:

درجة مع الأس المنطقي

• - عدد طبيعي؛
• هو عدد صحيح

أمثلة:

خصائص الدرجة

لتسهيل حل المشكلات ، دعنا نحاول أن نفهم: من أين أتت هذه الخصائص؟ دعنا نثبتهم.

دعونا نرى: ما هو و؟

حسب التعريف:

لذلك ، على الجانب الأيمن من هذا التعبير ، يتم الحصول على المنتج التالي:

لكن بحكم التعريف ، هذه قوة لرقم له أس ، أي:

Q.E.D.

مثال : تبسيط التعبير.

المحلول : .

مثال : تبسيط التعبير.

المحلول : من المهم أن نلاحظ ذلك في حكمنا بالضرورةيجب أن يكون له نفس الأساس. لذلك ، نجمع الدرجات مع القاعدة ، لكننا نبقى عاملاً منفصلاً:

اخر ملاحظة مهمة: هذه القاعدة - فقط لمنتجات القوى!

لا يجب أن أكتب ذلك تحت أي ظرف من الظروف.

تمامًا كما هو الحال مع الخاصية السابقة ، دعنا ننتقل إلى تعريف الدرجة:

دعنا نعيد ترتيبه هكذا:

اتضح أن التعبير يضرب في نفسه مرة واحدة ، أي وفقًا للتعريف ، هذه هي القوة رقم -th:

في الواقع ، يمكن أن يسمى هذا "تصحيح المؤشر". لكن لا يمكنك القيام بذلك إجمالاً:!

لنتذكر معادلات الضرب المختصر: كم مرة أردنا أن نكتب؟ لكن هذا ليس صحيحًا حقًا.

قوة ذات قاعدة سالبة.

حتى هذه النقطة ، ناقشنا فقط ما يجب أن يكون فهرسالدرجة العلمية. لكن ماذا يجب أن يكون الأساس؟ بدرجات من طبيعي مؤشر قد يكون الأساس أي رقم .

في الواقع ، يمكننا ضرب أي رقم في بعضنا البعض ، سواء كانت موجبة أو سالبة أو زوجية. دعونا نفكر في أي علامات ("" أو "") سيكون لها درجات من الأرقام الموجبة والسالبة؟

على سبيل المثال ، هل سيكون الرقم موجبًا أم سالبًا؟ لكن؟ ؟

في الحالة الأولى ، يكون كل شيء واضحًا: بغض النظر عن عدد الأرقام الموجبة التي نضربها مع بعضنا البعض ، ستكون النتيجة موجبة.

لكن السلبية أكثر إثارة للاهتمام. بعد كل شيء ، نتذكر قاعدة بسيطة من الصف السادس: "سالب في سالب يعطي زائد". هذا هو ، أو. لكن إذا ضربنا في () ، نحصل على -.

وهكذا إلى ما لا نهاية: مع كل عملية ضرب لاحقة ، ستتغير العلامة. من الممكن صياغة مثل هذا قواعد بسيطة:

1. حتىدرجة - رقم إيجابي.
2. رفع الرقم السالب إلى الفرديةدرجة - رقم نفي.
3. الرقم الموجب لأي قوة هو رقم موجب.
4. صفر إلى أي قوة يساوي صفرًا.

حدد لنفسك العلامة التي ستحملها التعبيرات التالية:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

هل تستطيع فعلها؟ ها هي الإجابات:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

في الأمثلة الأربعة الأولى ، آمل أن يكون كل شيء واضحًا؟ نحن ببساطة ننظر إلى الأساس والأس ، ونطبق القاعدة المناسبة.

في المثال 5) ، كل شيء ليس مخيفًا كما يبدو: لا يهم ما تساوي القاعدة - الدرجة متساوية ، مما يعني أن النتيجة ستكون دائمًا إيجابية. حسنًا ، إلا عندما تكون القاعدة صفرًا. القاعدة ليست هي نفسها ، أليس كذلك؟ من الواضح لا ، منذ (لأن).

المثال 6) لم يعد بهذه البساطة. هنا تحتاج إلى معرفة أيهما أقل: أو؟ إذا تذكرت ذلك ، يتضح ذلك ، مما يعني أن القاعدة أقل من الصفر. أي أننا نطبق القاعدة 2: ستكون النتيجة سلبية.

ومرة أخرى نستخدم تعريف الدرجة:

كل شيء كالمعتاد - نكتب تعريف الدرجات ونقسمها إلى بعضها البعض ، ونقسمها إلى أزواج ونحصل على:

قبل التفكيك آخر حكمدعنا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

احسب قيم التعبيرات:

حلول :

إذا لم ننتبه إلى الدرجة الثامنة فماذا نرى هنا؟ دعونا نلقي نظرة على برنامج الصف السابع. لذلك تذكر؟ هذه هي صيغة الضرب المختصرة ، وهي فرق المربعات!

نحن نحصل:

نحن ننظر بعناية إلى المقام. يشبه إلى حد كبير أحد عوامل البسط ، لكن ما الخطأ؟ ترتيب خاطئ للشروط. إذا تم عكسها ، يمكن تطبيق القاعدة 3. ولكن كيف نفعل ذلك؟ اتضح أنه سهل للغاية: الدرجة المتساوية للمقام تساعدنا هنا.

إذا قمت بضربها ، فلن يتغير شيء ، أليس كذلك؟ لكن الآن يبدو كالتالي:

لقد غيرت المصطلحات أماكنها بطريقة سحرية. تنطبق هذه "الظاهرة" على أي تعبير بدرجة متساوية: يمكننا تغيير الإشارات الموجودة بين قوسين بحرية. لكن من المهم أن تتذكر: كل العلامات تتغير في نفس الوقت!لا يمكن استبداله بتغيير واحد فقط مرفوض لنا!

دعنا نعود إلى المثال:

ومرة أخرى الصيغة:

حتى الآن القاعدة الأخيرة:

كيف سنثبت ذلك؟ بالطبع كالعادة: لنوسع مفهوم الدرجة ونبسط:

حسنًا ، لنفتح الأقواس الآن. كم عدد الحروف سيكون هناك؟ مرات بالمضاعفات - كيف تبدو؟ هذا ليس سوى تعريف العملية عمليه الضرب: المجموع تبين أن هناك مضاعفات. أي ، بحكم التعريف ، قوة رقم مع أس:

مثال:

درجة مع الأس غير المنطقي

بالإضافة إلى المعلومات حول درجات المستوى المتوسط ​​، سنقوم بتحليل الدرجة بمؤشر غير منطقي. جميع قواعد وخصائص الدرجات هنا هي نفسها تمامًا بالنسبة لدرجة ذات أس عقلاني ، باستثناء - بعد كل شيء ، بحكم التعريف ، الأرقام غير المنطقية هي أرقام لا يمكن تمثيلها ككسر ، أين وأعداد صحيحة (أي ، الأرقام غير المنطقية كلها أرقام حقيقية باستثناء الأرقام المنطقية).

عند دراسة الدرجات العلمية بمؤشر طبيعي وعدد صحيح ومنطقي ، في كل مرة نكوّن "صورة" معينة أو "تشبيه" أو وصف بمصطلحات مألوفة أكثر. على سبيل المثال ، الأس الطبيعي هو عدد مضروب في نفسه عدة مرات ؛ الرقم إلى درجة الصفر هو ، كما كان ، عددًا مضروبًا في نفسه مرة واحدة ، أي أنه لم يبدأ بعد في التكاثر ، مما يعني أن الرقم نفسه لم يظهر حتى الآن - وبالتالي ، فإن النتيجة ليست سوى بعض "إعداد رقم" ، أي رقم ؛ درجة ذات مؤشر سلبي صحيح - يبدو الأمر كما لو حدثت "عملية عكسية" معينة ، أي أن الرقم لم يضرب بنفسه ، بل تم تقسيمه.

من الصعب للغاية تخيل درجة ذات أس غير منطقي (تمامًا كما يصعب تخيل مساحة رباعية الأبعاد). بدلاً من ذلك ، هو كائن رياضي بحت ابتكره علماء الرياضيات لتوسيع مفهوم الدرجة ليشمل مساحة الأرقام بأكملها.

بالمناسبة ، غالبًا ما يستخدم العلم درجة ذات أس معقد ، أي أن الأس ليس حتى عددًا حقيقيًا. لكن في المدرسة ، لا نفكر في مثل هذه الصعوبات ؛ ستتاح لك الفرصة لفهم هذه المفاهيم الجديدة في المعهد.

إذن ماذا سنفعل إذا رأينا أسًا غير منطقي؟ نحن نبذل قصارى جهدنا للتخلص منه! :)

فمثلا:

تقرر لنفسك:

1)

2)

3)

الإجابات:

1. تذكر الفرق في صيغة المربعات. إجابه: .
2. نحضر الكسور إلى نفس الشكل: إما كلا الكسور العشرية أو كلاهما عادي. نحصل على سبيل المثال:.
3. لا يوجد شيء مميز ، فنحن نطبق الخصائص المعتادة للدرجات:

ملخص القسم والصيغة الأساسية

درجةيسمى تعبير عن النموذج: ، حيث:

الدرجة مع الأس الصحيح

الدرجة ، الأس هو عدد طبيعي (أي عدد صحيح وموجب).

درجة مع الأس المنطقي

الدرجة التي يكون مؤشرها أرقامًا سالبة وجزئية.

درجة مع الأس غير المنطقي

الأس الذي يكون أسه كسرًا عشريًا لا نهائيًا أو جذرًا.

خصائص الدرجة

ميزات الدرجات.

• رفع الرقم السالب إلى حتىدرجة - رقم إيجابي.
• رفع الرقم السالب إلى الفرديةدرجة - رقم نفي.
• الرقم الموجب لأي قوة هو رقم موجب.
• الصفر يساوي أي قوة.
• أي عدد أس صفر يساوي.

الآن لديك كلمة ...

كيف تحب المقال؟ اسمحوا لي أن أعرف في التعليقات أدناه إذا كنت تحب ذلك أم لا.

أخبرنا عن تجربتك مع خصائص الطاقة.

ربما لديك أسئلة. او اقتراحات.

اكتب في التعليقات.

ونتمنى لك التوفيق في امتحاناتك!

عدد مرفوع إلى أساستدعاء رقم مضروب في نفسه عدة مرات.

قوة رقم ذات قيمة سالبة (أ - ن) يمكن تعريفه بنفس الطريقة التي يتم بها تحديد درجة نفس الرقم مع الأس الموجب (أ) . ومع ذلك ، فإنه يتطلب أيضا تعريف إضافي. يتم تعريف الصيغة على النحو التالي:

أ-ن = (1 / أ ن)

تتشابه خصائص القيم السالبة لقوى الأعداد مع قوى ذات أس موجب. تمثيل المعادلة أ م / أ ن = م ن يمكن أن تكون عادلة

« في أي مكان ، كما هو الحال في الرياضيات ، لا يسمح وضوح ودقة الاستنتاج لأي شخص بالابتعاد عن الإجابة بالتحدث حول السؤال.».

أ. د. الكسندروف

في ن أكثر م ، إلى جانب م أكثر ن . لنلقي نظرة على مثال: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

تحتاج أولاً إلى تحديد الرقم الذي يعمل كتعريف للدرجة. ب = أ (-ن) . في هذا المثال -ن هو مؤشر على الدرجة ب - القيمة العددية المطلوبة ، أ - قاعدة الدرجة في شكل طبيعي قيمة عددية. ثم حدد الوحدة ، أي قيمه مطلقهرقم سالب يعمل كأُس. احسب درجة عدد معين نسبيًا العدد المطلقكمؤشر. يتم العثور على قيمة الدرجة بقسمة واحد على الرقم الناتج.

أرز. واحد

ضع في اعتبارك قوة عدد أس كسري سالب. تخيل أن الرقم أ هو أي رقم موجب ، أي الأرقام ن و م - أعداد صحيحة. حسب التعريف أ التي ترفع إلى السلطة - يساوي واحدًا مقسومًا على نفس الرقم بدرجة موجبة (الشكل 1). عندما تكون قوة الرقم كسرًا ، في مثل هذه الحالات ، يتم استخدام الأرقام ذات الأس الموجبة فقط.

يستحق التذكرلا يمكن أن يكون هذا الصفر أسًا لرقم (قاعدة القسمة على صفر).

بدأ انتشار مثل هذا المفهوم كرقم معالجات مثل حسابات القياس ، وكذلك تطوير الرياضيات كعلم. كان إدخال القيم السالبة بسبب تطور علم الجبر ، والذي أعطى حلول عامة مشاكل حسابية، بغض النظر عن معناها المحدد والبيانات الرقمية الأولية. في الهند في القرنين السادس والحادي عشر القيم السالبةتم استخدام الأرقام بشكل منهجي أثناء حل المشكلات وتفسيرها بنفس الطريقة المستخدمة اليوم. في العلوم الأوروبيةبدأ استخدام الأرقام السالبة على نطاق واسع بفضل R. ديكارت ، الذي قدم تفسيرًا هندسيًا أرقام سالبة، كتوجيهات مقاطع الخط. كان ديكارت هو الذي اقترح أن يتم عرض الرقم الذي تم رفعه إلى قوة كصيغة من طابقين أ .

اكتشفنا درجة الرقم بشكل عام. نحتاج الآن إلى فهم كيفية حسابه بشكل صحيح ، أي رفع الأعداد للقوى. في هذه المادة ، سنقوم بتحليل القواعد الأساسية لحساب الدرجة في حالة الأس الصحيح والطبيعي والكسري والعقلاني وغير المنطقي. سيتم توضيح جميع التعاريف بأمثلة.

Yandex.RTB R-A-339285-1

مفهوم الأس

لنبدأ بصياغة التعاريف الأساسية.

التعريف 1

الأسهو حساب قيمة قوة عدد ما.

بمعنى ، الكلمات "حساب قيمة الدرجة" و "الأس" تعني نفس الشيء. لذا ، إذا كانت المهمة هي "رفع الرقم 0 ، 5 إلى الأس الخامس" ، فيجب فهم ذلك على أنه "حساب قيمة القوة (0 ، 5) 5.

نقدم الآن القواعد الأساسية التي يجب اتباعها في مثل هذه الحسابات.

تذكر ما هي قوة العدد ذات الأس الطبيعي. بالنسبة للقوة ذات القاعدة a والأس n ، فسيكون هذا ناتجًا عن العدد التاسع من العوامل ، كل منها يساوي a. يمكن كتابة هذا على النحو التالي:

لحساب قيمة الدرجة ، تحتاج إلى إجراء عملية الضرب ، أي ضرب قواعد الدرجة الرقم المحددذات مرة. يعتمد مفهوم الدرجة ذات المؤشر الطبيعي على القدرة على الضرب بسرعة. دعنا نعطي أمثلة.

مثال 1

الشرط: رفع - 2 لقوة 4.

المحلول

باستخدام التعريف أعلاه نكتب: (- 2) 4 = (- 2) (- 2) (- 2) (- 2). بعد ذلك ، نحتاج فقط إلى اتباع هذه الخطوات والحصول على 16.

لنأخذ مثالًا أكثر تعقيدًا.

مثال 2

احسب القيمة 3 2 7 2

المحلول

يمكن إعادة كتابة هذا الإدخال بالشكل 3 2 7 3 2 7. في وقت سابق نظرنا في كيفية ضرب الأرقام المختلطة المذكورة في الشرط بشكل صحيح.

نفذ هذه الخطوات واحصل على الإجابة: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

إذا كانت المهمة تشير إلى الحاجة إلى رفع الأعداد غير المنطقية إلى قوة طبيعية ، فسنحتاج أولاً إلى تقريب قواعدها إلى رقم يسمح لنا بالحصول على إجابة بالدقة المطلوبة. لنأخذ مثالا.

مثال 3

قم بتربيع العدد π.

المحلول

دعونا نقربها لأقرب جزء من مائة أولاً. ثم π 2 ≈ (3 ، 14) 2 = 9 ، 8596. إذا ≈ 3. 14159 ثم نحصل على المزيد النتيجة الدقيقة: π 2 ≈ (3 ، 14159) 2 = 9 ، 8695877281.

لاحظ أن الحاجة إلى حساب قوى الأعداد غير المنطقية تنشأ في الممارسة العملية بشكل نادر نسبيًا. يمكننا بعد ذلك كتابة الإجابة على أنها القوة نفسها (ln 6) 3 أو التحويل إن أمكن: 5 7 = 125 5.

بشكل منفصل ، يجب الإشارة إلى القوة الأولى للرقم. هنا يمكنك فقط أن تتذكر أن أي رقم مرفوع للقوة الأولى سيبقى على حاله:

هذا واضح من السجل. .

لا تعتمد على أساس الدرجة.

مثال 4

إذن ، (- 9) 1 = - 9 ، و 7 3 مرفوعة للقوة الأولى تظل مساوية لـ 7 3.

للراحة ، سنحلل ثلاث حالات بشكل منفصل: إذا كان الأس عددًا صحيحًا موجبًا ، وإذا كان صفرًا ، وإذا كان عددًا صحيحًا سالبًا.

في الحالة الأولى ، هذا هو نفس الرفع إلى قوة طبيعية: فبعد كل شيء ، تنتمي الأعداد الصحيحة الموجبة إلى مجموعة الأعداد الطبيعية. لقد وصفنا بالفعل كيفية العمل بهذه الدرجات أعلاه.

لنرى الآن كيف نرفع بشكل صحيح إلى الأس صفر. مع قاعدة غير صفرية ، ينتج عن هذا الحساب دائمًا ناتج 1. لقد أوضحنا سابقًا أنه يمكن تعريف القوة 0 لأي عدد حقيقي، لا يساوي 0 ، و 0 = 1.

مثال 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - غير محدد.

يتبقى لنا حالة الدرجة ذات الأس الصحيح السالب فقط. لقد ناقشنا بالفعل أنه يمكن كتابة هذه الدرجات في صورة كسر 1 a z ، حيث a هو أي رقم ، و z عدد صحيح مؤشر سلبي. نرى أن مقام هذا الكسر ليس أكثر من درجة عادية ذات عدد صحيح موجب ، وقد تعلمنا بالفعل كيفية حسابه. دعنا نعطي أمثلة على المهام.

مثال 6

ارفع 3 للقوة -2.

المحلول

باستخدام التعريف أعلاه نكتب: 2-3 = 1 2 3

نحسب مقام هذا الكسر ونحصل على 8: 2 3 \ u003d 2 2 2 \ u003d 8.

ثم الجواب هو: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

مثال 7

ارفع 1 ، 43 إلى القوة -2.

المحلول

أعد الصياغة: 1 ، 43-2 = 1 (1 ، 43) 2

نحسب المربع في المقام: 1.43 1.43. يمكن ضرب الكسور العشرية بهذه الطريقة:

نتيجة لذلك ، حصلنا على (1 ، 43) - 2 = 1 (1 ، 43) 2 = 1 2 ، 0449. يبقى لنا أن نكتب هذه النتيجة في شكل كسر عادي ، والذي من الضروري ضربه في 10 آلاف (انظر المادة الخاصة بتحويل الكسور).

الجواب: (1 ، 43) - 2 = 10000 20449

حالة منفصلة ترفع رقمًا إلى القوة الأولى ناقصًا. قيمة هذه الدرجة تساوي الرقم المقابل للقيمة الأصلية للقاعدة: أ - 1 \ u003d 1 أ 1 \ u003d 1 أ.

المثال 8

مثال: 3-1 = 1/3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

كيفية رفع رقم إلى قوة كسرية

لإجراء هذه العملية ، علينا أن نتذكر التعريف الأساسيالدرجات ذات الأس الكسري: أ م ن = أ م ن لأي عدد صحيح موجب م وطبيعي ن.

التعريف 2

وبالتالي ، فإن حساب الدرجة الكسرية يجب أن يتم على خطوتين: الرفع إلى قوة عددية وإيجاد جذر الدرجة n.

لدينا المساواة a m n = a m n ، والتي ، نظرًا لخصائص الجذور ، تُستخدم عادةً لحل المشكلات في الصورة a m n = a n m. هذا يعني أننا إذا رفعنا الرقم a إلى قوة كسرية m / n ، فسنستخرج أولاً جذر الدرجة n من a ، ثم نرفع النتيجة إلى قوة أس بها عدد صحيح m.

دعنا نوضح بمثال.

المثال 9

احسب ٨ - ٢ ٣.

المحلول

الطريقة 1. وفقًا للتعريف الأساسي ، يمكننا تمثيل ذلك على النحو التالي: 8-2 3 ​​\ u003d 8-2 3

الآن لنحسب الدرجة تحت الجذر ونستخرج الجذر الثالث من النتيجة: 8-2 3 ​​= 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

الطريقة الثانية: لنحول المساواة الأساسية: 8-2 3 ​​\ u003d 8-2 3 ​​\ u003d 8 3-2

بعد ذلك نقوم باستخراج الجذر 8 3-2 = 2 3 3-2 = 2-2 وتربيع النتيجة: 2-2 = 1 2 2 = 1 4

نرى أن الحلول متطابقة. يمكنك استخدام أي طريقة تريدها.

هناك حالات يتم فيها التعبير عن الدرجة بمؤشر عدد كسريأو عدد عشري. لسهولة الحساب ، من الأفضل استبداله بـ جزء عاديوعد على النحو الوارد أعلاه.

المثال 10

ارفع 44.89 للقوة 2.5.

المحلول

تحويل قيمة المؤشر إلى جزء مشترك - 44 , 89 2 , 5 = 49 , 89 5 2 .

والآن نقوم بتنفيذ جميع الإجراءات الموضحة أعلاه بالترتيب: 44، 89 5 2 = 44، 89 5 = 44، 89 5 = 4489100 5 = 4489100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13501 ، 25107

الجواب: 13501 ، 25107.

إذا كانت هناك أعداد كبيرة في بسط ومقام الأس الكسري ، فسيتم حساب هذه القوى باستخدام مؤشرات عقلانية- عمل صعب للغاية. عادة ما يتطلب تكنولوجيا الكمبيوتر.

بشكل منفصل ، نركز على الدرجة ذات الأساس الصفري والأس الكسري. يمكن إعطاء تعبير بالصيغة 0 m n المعنى التالي: إذا كان m n> 0 ، إذن 0 m n = 0 m n = 0 ؛ إذا م ن< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную درجة ايجابيةيؤدي إلى الصفر: 0 7 12 \ u003d 0 ، 0 3 2 5 \ u003d 0 ، 0 0 ، 024 \ u003d 0 ، وإلى عدد صحيح سالب - لا يهم: 0-4 3.

كيفية رفع رقم إلى قوة غير عقلانية

لا تنشأ في كثير من الأحيان الحاجة إلى حساب قيمة الدرجة ، التي يوجد فيها رقم غير منطقي. من الناحية العملية ، تقتصر المهمة عادةً على حساب قيمة تقريبية (حتى عدد معين من المنازل العشرية). يتم حساب هذا عادةً على جهاز كمبيوتر نظرًا لتعقيد مثل هذه الحسابات ، لذلك لن نتطرق إلى هذا بالتفصيل ، سنشير فقط إلى الأحكام الرئيسية.

إذا احتجنا إلى حساب قيمة الدرجة a مع الأس غير المنطقي a ، فإننا نأخذ التقريب العشري للأس ونحسب منه. ستكون النتيجة إجابة تقريبية. كلما كان التقريب العشري أكثر دقة ، زادت دقة الإجابة. دعنا نظهر بمثال:

المثال 11

احسب قيمة تقريبية 21 ، 174367 ....

المحلول

نحن نقتصر على التقريب العشري أ ن = 1 ، 17. لنقم بالحسابات باستخدام هذا الرقم: 2 1 ، 17 2 ، 250116. إذا أخذنا ، على سبيل المثال ، التقريب أ ن = 1 ، 1743 ، فإن الإجابة ستكون أكثر دقة: 2 1 ، 174367. . . ≈ 2 1.1743 ≈ 2 .256833.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

في القرن الخامس قبل الميلاد ، صاغ الفيلسوف اليوناني القديم زينو من إيليا أبورياس الشهير ، وأشهرها أبوريا "أخيل والسلحفاة". إليك كيف يبدو الأمر:

لنفترض أن أخيل يركض أسرع بعشر مرات من السلحفاة وخلفه ألف خطوة. خلال الوقت الذي يقطع فيه أخيل هذه المسافة ، تزحف السلحفاة مائة خطوة في نفس الاتجاه. عندما يركض أخيل مائة خطوة ، ستزحف السلحفاة عشر درجات أخرى ، وهكذا. ستستمر العملية إلى أجل غير مسمى ، ولن يلحق أخيل بالسلحفاة أبدًا.

أصبح هذا التفكير صدمة منطقية لجميع الأجيال اللاحقة. أرسطو ، ديوجين ، كانط ، هيجل ، جيلبرت ... كلهم ​​، بطريقة أو بأخرى ، يعتبرون زينو أبورياس. كانت الصدمة قوية لدرجة " ... تستمر المناقشات في الوقت الحاضر للوصول إلى رأي مشترك حول جوهر التناقضات المجتمع العلميلم تنجح بعد ... التحليل الرياضي، نظرية المجموعة ، مناهج فيزيائية وفلسفية جديدة ؛ لم يصبح أي منهم حلاً مقبولًا عالميًا للمشكلة ..."[Wikipedia،" Zeno's Aporias "]. الجميع يفهم أنه يتم خداعهم ، لكن لا أحد يفهم ماهية الخداع.

من وجهة نظر الرياضيات ، أظهر زينو في أبوريا بوضوح الانتقال من القيمة إلى. يتضمن هذا الانتقال تطبيقًا بدلاً من الثوابت. بقدر ما أفهم، جهاز رياضيلم يتم تطوير استخدام وحدات القياس المتغيرة بعد ، أو لم يتم تطبيقه على أبوريا Zeno. إن تطبيق منطقنا المعتاد يقودنا إلى الفخ. نحن ، بجمود التفكير ، نطبق وحدات زمنية ثابتة على المعاملة بالمثل. من وجهة نظر مادية ، يبدو أن الوقت يتباطأ نقطةفي اللحظة التي يلحق فيها أخيل السلحفاة. إذا توقف الوقت ، لم يعد بإمكان أخيل تجاوز السلحفاة.

إذا قمنا بتحويل المنطق الذي اعتدنا عليه ، فإن كل شيء يقع في مكانه. يعمل أخيل مع سرعة ثابتة. كل جزء لاحق من مساره أقصر بعشر مرات من المقطع السابق. وعليه فإن الوقت الذي يقضيه في التغلب عليه أقل بعشر مرات من الوقت السابق. إذا طبقنا مفهوم "اللانهاية" في هذه الحالة ، فسيكون من الصحيح أن نقول "سيتفوق أخيل على السلحفاة بسرعة لانهائية."

كيف نتجنب هذا الفخ المنطقي؟ ابقى في وحدات ثابتةقياسات الوقت ولا تتحول إلى قيم متبادلة. في لغة Zeno ، يبدو الأمر كما يلي:

في الوقت الذي يستغرقه أخيل لتشغيل ألف خطوة ، تزحف السلحفاة مائة خطوة في نفس الاتجاه. خلال الفترة الزمنية التالية ، التي تساوي الأولى ، سيجري أخيل ألف خطوة أخرى ، وستزحف السلحفاة مائة خطوة. الآن Achilles متقدم بثمانمائة خطوة على السلحفاة.

يصف هذا النهج الواقع بشكل مناسب دون أي مفارقات منطقية. لكنها ليست كذلك الحل الكاملمشاكل. إن بيان أينشتاين حول عدم القدرة على التغلب على سرعة الضوء يشبه إلى حد بعيد أبوريا زينو "أخيل والسلحفاة". لا يزال يتعين علينا دراسة هذه المشكلة وإعادة التفكير فيها وحلها. ويجب البحث عن الحل ليس بأعداد كبيرة لانهائية ، ولكن بوحدات قياس.

تحكي أبوريا مثيرة أخرى لزينو عن سهم طائر:

السهم الطائر ثابت ، لأنه في حالة راحة في كل لحظة ، ولأنه في حالة راحة في كل لحظة ، فهو دائمًا في حالة راحة.

في هذا aporia مفارقة منطقيةيتم التغلب عليها بكل بساطة - يكفي توضيح أنه في كل لحظة يقع السهم الطائر في نقاط مختلفة في الفضاء ، وهي في الواقع حركة. هناك نقطة أخرى يجب ملاحظتها هنا. من صورة واحدة لسيارة على الطريق ، من المستحيل تحديد حقيقة حركتها أو المسافة إليها. لتحديد حقيقة حركة السيارة ، يلزم التقاط صورتين من نفس النقطة في نقاط زمنية مختلفة ، لكن لا يمكن استخدامهما لتحديد المسافة. لتحديد المسافة إلى السيارة ، تحتاج إلى صورتين مأخوذة من نقاط مختلفةمساحة في وقت واحد ، لكن من المستحيل تحديد حقيقة الحركة منها (بطبيعة الحال ، لا تزال هناك حاجة إلى بيانات إضافية للحسابات ، وسيساعدك علم المثلثات). ما الذي أريد التركيز عليه انتباه خاص، هي أن نقطتين في الوقت ونقطتين في الفضاء هما شيئان مختلفان لا يجب الخلط بينهما ، لأنهما يوفران فرصًا مختلفة للاستكشاف.

الأربعاء 4 يوليو 2018

جيد جدًا ، تم وصف الاختلافات بين مجموعة و multiset في ويكيبيديا. نحن ننظر.

كما ترى ، "لا يمكن أن تحتوي المجموعة على عنصرين متطابقين" ، ولكن إذا كانت هناك عناصر متطابقة في المجموعة ، فإن هذه المجموعة تسمى "multiset". الكائنات المعقولة لن تفهم أبدًا منطق العبثية هذا. هذا هو مستوى الببغاوات الناطقة والقرود المدربة ، حيث يغيب العقل عن كلمة "تمامًا". يعمل علماء الرياضيات كمدربين عاديين ، يكرزون لنا بأفكارهم السخيفة.

ذات مرة ، كان المهندسون الذين بنوا الجسر في قارب تحت الجسر أثناء اختبارات الجسر. إذا انهار الجسر ، مات المهندس المتوسط ​​تحت أنقاض خليقته. إذا كان الجسر يستطيع تحمل الحمل ، فقد بنى المهندس الموهوب جسورًا أخرى.

لا يهم كيف يختبئ علماء الرياضيات وراء عبارة "مانعني ، أنا في المنزل" ، أو بالأحرى "دراسات الرياضيات المفاهيم المجردة"، هناك حبل سري واحد يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالواقع. هذا الحبل السري هو المال. قابل للتطبيق النظرية الرياضيةمجموعات لعلماء الرياضيات أنفسهم.

لقد درسنا الرياضيات جيدًا ونحن الآن نجلس في مكتب النقدية ندفع الرواتب. هنا يأتي إلينا عالم رياضيات من أجل ماله. نحسب المبلغ بالكامل ونضعه على طاولتنا في أكوام مختلفة ، حيث نضع سندات من نفس الفئة. ثم نأخذ فاتورة واحدة من كل كومة ونعطي عالم الرياضيات "مجموعة راتبه الرياضي". نوضح الرياضيات أنه سيتلقى بقية الفواتير فقط عندما يثبت أن المجموعة التي لا تحتوي على عناصر متطابقة لا تساوي المجموعة التي تحتوي على عناصر متطابقة. هنا يبدا المرح.

بادئ ذي بدء ، سينجح منطق النواب: "يمكنك تطبيقه على الآخرين ، لكن ليس عليّ!" علاوة على ذلك ، ستبدأ التأكيدات بوجود أرقام مختلفة للأوراق النقدية على الأوراق النقدية من نفس الفئة ، مما يعني أنه لا يمكن اعتبارها عناصر متطابقة. حسنًا ، نحسب الراتب بالعملات المعدنية - لا توجد أرقام على العملات المعدنية. هنا سيبدأ عالم الرياضيات في استدعاء الفيزياء بشكل متشنج: يوجد على عملات معدنية مختلفة كمية مختلفةطين، هيكل بلوريوترتيب الذرات في كل عملة فريد ...

والآن لدي أكثر اسأل الفائدة: أين هي الحدود التي بعدها تتحول عناصر مجموعة متعددة إلى عناصر من مجموعة والعكس صحيح؟ مثل هذا الخط غير موجود - كل شيء يقرره الشامان ، والعلم هنا ليس قريبًا.

انظر هنا. نختار ملاعب كرة القدم مع نفس المنطقةمجالات. مساحة الحقول هي نفسها ، مما يعني أن لدينا مجموعة متعددة. لكن إذا أخذنا في الاعتبار أسماء نفس الملاعب ، فسنحصل على الكثير ، لأن الأسماء مختلفة. كما ترى ، فإن نفس مجموعة العناصر هي مجموعة ومجموعة متعددة في نفس الوقت. كيف الحق؟ وهنا يخرج عالم الرياضيات الشامان شولر الآس الرابحة من جعبته ويبدأ في إخبارنا إما عن مجموعة أو مجموعة متعددة. على أي حال ، سيقنعنا أنه على حق.

لفهم كيف يعمل الشامان الحديثون مع نظرية المجموعات ، وربطها بالواقع ، يكفي الإجابة على سؤال واحد: كيف تختلف عناصر مجموعة واحدة عن عناصر مجموعة أخرى؟ سأريكم ، بدون أي "لا يمكن تصوره على أنه ليس كل واحد" أو "لا يمكن تصوره ككل واحد".

الأحد 18 مارس 2018

مجموع أرقام العدد هو رقصة الشامان مع الدف ، والتي لا علاقة لها بالرياضيات. نعم ، في دروس الرياضيات نتعلم أن نجد مجموع أرقام العدد ونستخدمها ، لكنهم شامان لذلك ، لتعليم أحفادهم مهاراتهم وحكمتهم ، وإلا فإن الشامان سوف يموتون ببساطة.

هل تريد إثبات؟ افتح ويكيبيديا وحاول العثور على صفحة "مجموع أرقام الرقم". هي غير موجودة. لا توجد معادلة في الرياضيات يمكنك من خلالها إيجاد مجموع أرقام أي رقم. بعد كل شيء ، الأرقام الرموز الرسومية، بمساعدة التي نكتب بها الأرقام وفي لغة الرياضيات تبدو المهمة كما يلي: "ابحث عن مجموع الرموز الرسومية التي تمثل أي رقم." لا يستطيع علماء الرياضيات حل هذه المشكلة ، لكن الشامان يمكنهم حلها بشكل أساسي.

دعنا نفهم ماذا نفعل وكيف نفعل لإيجاد مجموع أرقام عدد معين. وبالتالي ، لنفترض أن لدينا الرقم 12345. ما الذي يجب فعله لإيجاد مجموع أرقام هذا العدد؟ دعنا نفكر في جميع الخطوات بالترتيب.

1. اكتب الرقم على قطعة من الورق. ماذا فعلنا؟ لقد قمنا بتحويل الرقم إلى رمز بياني رقمي. هذه ليست عملية رياضية.

2. قمنا بتقطيع صورة واحدة تم استلامها إلى عدة صور تحتوي على أرقام منفصلة. قص الصورة ليس عملية حسابية.

3. تحويل الأحرف الرسومية الفردية إلى أرقام. هذه ليست عملية رياضية.

4. اجمع الأرقام الناتجة. الآن هذه رياضيات.

مجموع أرقام الرقم 12345 هو 15. هذه هي "دورات القص والخياطة" من الشامان التي يستخدمها علماء الرياضيات. لكن هذا ليس كل شيء.

من وجهة نظر الرياضيات ، لا يهم في أي نظام رقمي نكتب الرقم. لذلك ، في أنظمة مختلفةحساب ، سيكون مجموع أرقام نفس الرقم مختلفًا. في الرياضيات ، يُشار إلى نظام الأرقام على أنه رمز منخفض على يمين الرقم. من عدد كبير 12345 لا أريد أن أخدع رأسي ، ضع في اعتبارك الرقم 26 من المقالة حول. لنكتب هذا الرقم في أنظمة الأعداد الثنائية والثمانية والعشرية والسداسية العشرية. لن نفكر في كل خطوة تحت المجهر ، لقد فعلنا ذلك بالفعل. دعونا نلقي نظرة على النتيجة.

كما ترى ، في أنظمة الأرقام المختلفة ، يختلف مجموع أرقام نفس الرقم. هذه النتيجة لا علاقة لها بالرياضيات. يبدو الأمر كما لو أن حساب مساحة المستطيل بالأمتار والسنتيمتر سيعطيك نتائج مختلفة تمامًا.

يبدو الصفر في جميع أنظمة الأرقام متماثلًا ولا يحتوي على مجموع أرقام. هذه حجة أخرى لصالح حقيقة أن. سؤال لعلماء الرياضيات: كيف يُشار في الرياضيات إلى ما ليس رقمًا؟ ماذا بالنسبة لعلماء الرياضيات ، لا يوجد شيء سوى الأرقام؟ بالنسبة إلى الشامان ، يمكنني السماح بذلك ، لكن بالنسبة للعلماء ، لا. الواقع ليس مجرد أرقام.

يجب اعتبار النتيجة التي تم الحصول عليها كدليل على أن أنظمة الأرقام هي وحدات قياس الأرقام. بعد كل شيء ، لا يمكننا مقارنة الأرقام بوحدات قياس مختلفة. إذا كانت نفس الإجراءات بوحدات قياس مختلفة بنفس الكمية تؤدي إلى نتائج مختلفة بعد مقارنتها ، فهذا لا علاقة له بالرياضيات.

ما هي الرياضيات الحقيقية؟ يحدث هذا عندما لا تعتمد نتيجة إجراء رياضي على قيمة الرقم ، ووحدة القياس المستخدمة ، وعلى من يقوم بهذا الإجراء.

وقع على الباب يفتح الباب ويقول:

أوتش! أليس هذا هو مرحاض النساء؟
- شابة! هذا مختبر لدراسة قداسة النفوس غير المحدودة عند الصعود إلى السماء! نيمبوس في الأعلى والسهم لأعلى. أي مرحاض آخر؟

أنثى ... هالة في الأعلى وسهم لأسفل ذكر.

إذا كان لديك مثل هذا العمل الفني التصميمي يومض أمام عينيك عدة مرات في اليوم ،

إذن فليس من المستغرب أن تجد فجأة أيقونة غريبة في سيارتك:

أنا شخصياً أبذل جهداً على نفسي لأرى أربع درجات تحت الصفر في شخص يتغوط (صورة واحدة) (تكوين عدة صور: علامة ناقص ، رقم أربعة ، تعيين درجات). ولا أعتقد أن تلك الفتاة غبية ، لا من يعرف الفيزياء. لديها فقط صورة نمطية قوسية لإدراك الصور الرسومية. ويعلمنا علماء الرياضيات هذا طوال الوقت. هنا مثال.

1A ليست "أربع درجات تحت الصفر" أو "واحدة أ". هذا هو "رجل يتغوط" أو الرقم "ستة وعشرون" في نظام الأرقام الست عشري. هؤلاء الأشخاص الذين يعملون باستمرار في نظام الأرقام هذا يدركون تلقائيًا الرقم والحرف كرمز رسومي واحد.