تحويل الكسر إلى رقم مفهوم. آلة حاسبة على الإنترنت تحويل كسر عشري إلى كسر عادي

الأرقام العشرية مثل 0.2 ؛ 1.05 ؛ 3.017 وما إلى ذلك. كما يسمعون هكذا هم مكتوبون. نقطة الصفر اثنين ، نحصل على كسر. جزء كامل من خمس مائة ، نحصل على كسر. ثلاثة أجزاء كاملة وسبعة عشر ألفًا ، نحصل على كسر. الأرقام قبل الفاصلة العشرية في رقم عشري هي الجزء الصحيح من الكسر. الرقم بعد الفاصلة العشرية هو بسط الكسر المستقبلي. إذا كان هناك رقم مكون من رقم واحد بعد الفاصلة العشرية ، فسيكون المقام 10 ، إذا كان رقمين - 100 ، وثلاثة أرقام - 1000 ، إلخ. يمكن اختزال بعض الكسور الناتجة. في الأمثلة لدينا

تحويل الكسر إلى رقم عشري

هذا هو عكس التحول السابق. ما هو الكسر العشري؟ يكون مقامها دائمًا 10 ، أو 100 ، أو 1000 ، أو 10000 ، وهكذا. إذا كان للكسر المعتاد مثل هذا المقام ، فلا توجد مشكلة. على سبيل المثال ، أو

إذا كان الكسر ، على سبيل المثال. في هذه الحالة ، تحتاج إلى استخدام الخاصية الأساسية للكسر وتحويل المقام إلى 10 أو 100 ، أو 1000 ... في مثالنا ، إذا ضربنا البسط والمقام في 4 ، نحصل على كسر يمكن كتابته كرقم عشري 0.12.

يسهل قسمة بعض الكسور بدلاً من تحويل المقام. فمثلا،

بعض الكسور لا يمكن تحويلها إلى أرقام عشرية!
فمثلا،

تحويل كسر مختلط إلى كسر غير فعلي

يتم تحويل الكسر المختلط ، مثل ، بسهولة إلى كسر غير فعلي. للقيام بذلك ، تحتاج إلى ضرب الجزء الصحيح في المقام (أسفل) وإضافته إلى البسط (أعلى) ، مع ترك المقام (السفلي) دون تغيير. هذا هو

عند تحويل كسر مختلط إلى كسر غير فعلي ، تذكر أنه يمكنك استخدام جمع الكسور

تحويل كسر غير فعلي إلى كسر مختلط (إبراز الجزء كله)

يمكن تحويل الكسر غير الفعلي إلى كسر مختلط بتسليط الضوء على الجزء بأكمله. تأمل في مثال. حدد عدد مرات احتواء "3" في "23". أو نقسم 23 على 3 على الآلة الحاسبة ، العدد الصحيح حتى الفاصلة العشرية هو الرقم المطلوب. هذا هو "7". بعد ذلك ، نحدد بسط الكسر المستقبلي: نضرب الناتج "7" في المقام "3" ونطرح النتيجة من البسط "23". كيف سنجد الفائض المتبقي من البسط "23" إذا أزلنا العدد الأقصى "3". بقي المقام دون تغيير. تم الانتهاء من كل شيء ، اكتب النتيجة

يمكن تحويل الكسر إلى عدد صحيح أو رقم عشري. الكسر غير الصحيح ، بسطه أكبر من المقام ويقبل القسمة عليه بدون باقي ، يتم تحويله إلى عدد صحيح ، على سبيل المثال: 20/5. قسّم 20 على 5 واحصل على الرقم 4. إذا كان الكسر صحيحًا ، أي أن البسط أقل من المقام ، ثم حوّله إلى رقم (كسر عشري). يمكنك معرفة المزيد عن الكسور من قسمنا -.

طرق تحويل الكسر إلى رقم

• الطريقة الأولى لتحويل كسر إلى رقم مناسبة لكسر يمكن تحويله إلى رقم هو كسر عشري. أولًا ، دعنا نكتشف ما إذا كان من الممكن تحويل كسر معين إلى كسر عشري. للقيام بذلك ، انتبه إلى المقام (الرقم الموجود أسفل الخط أو على يمين المائل). إذا كان من الممكن تحليل المقام إلى عوامل (في مثالنا - 2 و 5) ، والتي يمكن تكرارها ، فيمكن تحويل هذا الكسر إلى كسر عشري نهائي. على سبيل المثال: 11/40 = 11 / (2 2 ∙ 2 ∙ 5). سيتم تحويل هذا الكسر الشائع إلى رقم (كسر عشري) مع عدد محدود من المنازل العشرية. لكن الكسر 17/60 = 17 / (5 2 ∙ 2 ∙ 3) سيتم ترجمته إلى عدد لا نهائي من المنازل العشرية. أي عند حساب القيمة العددية بدقة ، يصعب تحديد العلامة النهائية بعد الفاصلة العشرية ، نظرًا لوجود عدد لا حصر له من هذه العلامات. لذلك ، لحل المشكلات ، تحتاج عادةً إلى تقريب القيمة إلى جزء من المئات أو من الألف. علاوة على ذلك ، من الضروري ضرب كل من البسط والمقام في رقم بحيث يكون للمقام الأرقام 10 ، 100 ، 1000 ، إلخ. على سبيل المثال: 11/40 = (11 ∙ 25) / (40 ∙ 25) = 275/1000 = 0.275
• الطريقة الثانية لتحويل الكسر إلى رقم أبسط: تحتاج إلى قسمة البسط على المقام. لتطبيق هذه الطريقة ، نقوم ببساطة بالقسمة ، وسيكون الرقم الناتج هو الكسر العشري المطلوب. على سبيل المثال ، تحتاج إلى تحويل الكسر 2/15 إلى رقم. نقسم 2 على 15. نحصل على 0 ، 1333 ... - كسر لا نهائي. نكتبها على النحو التالي: 0.13 (3). إذا كان الكسر غير صحيح ، أي أن البسط أكبر من المقام (على سبيل المثال ، 345/100) ، فنتيجة تحويله إلى رقم ، ستحصل على قيمة عدد صحيح أو كسر عشري مع عدد صحيح كسري جزء. في مثالنا ، سيكون هذا 3.45. لتحويل كسر مختلط مثل 3 2/7 إلى رقم ، يجب عليك أولاً تحويله إلى كسر غير فعلي: (3 ∙ 7 + 2) / 7 = 23/7. بعد ذلك ، نقسم 23 على 7 ونحصل على الرقم 3.2857143 ، والذي نختزله إلى 3.29.

أسهل طريقة لتحويل كسر إلى رقم هي استخدام آلة حاسبة أو أي جهاز كمبيوتر آخر. نشير أولاً إلى بسط الكسر ، ثم نضغط على الزر بأيقونة "قسمة" ونكتب المقام. بعد الضغط على مفتاح "=" نحصل على الرقم المطلوب.

في كثير من الأحيان في مناهج الرياضيات المدرسية ، يواجه الأطفال مشكلة كيفية تحويل كسر مشترك إلى كسر عشري. لتحويل كسر مشترك إلى كسر عشري ، دعنا نتذكر أولاً ما هو الكسر المشترك والكسر العشري. الكسر المشترك هو كسر من الصورة م / ن ، حيث م هو البسط ون هو المقام. مثال: 8/13 ؛ 6/7 إلخ. تنقسم الكسور إلى أعداد منتظمة وغير صحيحة ومختلطة. الكسر المناسب هو عندما يكون البسط أقل من المقام: م / ن ، حيث م 3. يمكن دائمًا تمثيل الكسر غير الصحيح كرقم مختلط ، أي: 4/3 \ u003d 1 و 1/3 ؛

تحويل كسر عادي إلى كسر عشري

لنلق نظرة الآن على كيفية تحويل كسر مختلط إلى كسر عشري. يمكن تحويل أي كسر عادي ، سواء كان صحيحًا أم غير صحيح ، إلى عدد عشري. للقيام بذلك ، تحتاج إلى قسمة البسط على المقام. مثال: كسر بسيط (مناسب) 1/2. نقسم البسط 1 على المقام 2 ، نحصل على 0.5. خذ مثال 45/12 ، من الواضح على الفور أن هذا كسر غير فعلي. هنا المقام أقل من البسط. نحول الكسر غير الصحيح إلى رقم عشري: 45: 12 \ u003d 3.75.

تحويل الأعداد الكسرية إلى الكسور العشرية

مثال: 25/8. أولاً ، نحول الرقم الكسري إلى كسر غير فعلي: 25/8 = 3x8 + 1/8 = 3 و 1/8 ؛ ثم نقسم البسط الذي يساوي 1 على المقام الذي يساوي 8 ، في عمود أو على الآلة الحاسبة ، ونحصل على كسر عشري يساوي 0.125. توفر المقالة أسهل أمثلة التحويل إلى كسور عشرية. بعد فهم أسلوب الترجمة باستخدام أمثلة بسيطة ، يمكنك بسهولة حل أكثرها تعقيدًا.

جميع الكسور مقسمة إلى نوعين: عادي وعشري. تسمى الكسور من هذا النوع عادية: 9 / 8.3 / 4.1 / 2.1 3/4. يميزان الرقم العلوي (البسط) والرقم السفلي (المقام). عندما يكون البسط أقل من المقام ، يسمى الكسر مناسبًا ، وإلا فسيكون الكسر غير صحيح. تتكون الكسور مثل 1 7/8 من جزء صحيح (1) وجزء كسري (7/8) وتسمى مختلطة.

إذن الكسور هي:

1. عادي
   1. صحيح
   2. خاطئ - ظلم - يظلم
   3. مختلط
2. عدد عشري

كيفية تحويل كسر مشترك إلى كسر عشري

كيفية تحويل كسر عادي إلى كسر عشري ، يقوم بتدريس مقرر رياضيات المدرسة الأساسية. كل شيء بسيط للغاية: تحتاج إلى تقسيم البسط على المقام "يدويًا" أو ، إذا كنت كسولًا تمامًا ، فعندئذٍ على آلة حاسبة صغيرة. هذا مثال: 2/5 = 0.4 ؛ 3/4 = 0.75 ؛ 1/2 = 0.5. ليس من الصعب التحويل إلى كسر عشري غير فعلي. مثال: 1/3/4 = 7/4 = 1.75. يمكن الحصول على النتيجة الأخيرة بدون قسمة ، إذا أخذنا في الاعتبار أن 3/4 = 0.75 وأضفنا واحدًا: 1 ​​+ 0.75 = 1.75.

ومع ذلك ، ليست كل الكسور العادية بهذه البساطة. على سبيل المثال ، لنحاول تحويل 1/3 من الكسور العادية إلى الكسور العشرية. حتى أولئك الذين لديهم ثلاثية في الرياضيات (وفقًا لنظام من خمس نقاط) سيلاحظون أنه ، بغض النظر عن المدة التي يستمر فيها التقسيم ، بعد الصفر والفاصلة سيكون هناك عدد لا حصر له من الثلاثيات 1/3 = 0.3333 ... . . من المعتاد أن تقرأ ما يلي: صفر أعداد صحيحة ، ثلاثة في فترة. هو مكتوب على النحو التالي: 1/3 = 0 ، (3). سيحدث موقف مشابه إذا حاولت تحويل 5/6 إلى كسر عشري: 5/6 = 0.8 (3). تسمى هذه الكسور دورية لانهائية. فيما يلي مثال للكسر 3/7: 3/7 = 0.... ، أي 3/7 = 0 ، (428571).

لذلك ، نتيجة لتحويل الكسر العادي إلى عدد عشري ، يمكن للمرء الحصول على:

1. عشري غير دوري
2. عشري دوري.

وتجدر الإشارة إلى أن هناك أيضًا كسورًا غير دورية لا نهائية ، يتم الحصول عليها من خلال تنفيذ مثل هذه الإجراءات: أخذ جذر الدرجة n ، أخذ اللوغاريتمات ، التقوية. على سبيل المثال ، √3 = 1.732050807568877…. الرقم الشهير π≈ 3.1415926535897932384626433832795…. .

لنضرب الآن 3 في 0 ، (3): 3 × 0 ، (3) = 0 ، (9) = 1. اتضح أن 0 ، (9) هو شكل مختلف لكتابة الوحدة. وبالمثل ، 9 = 9 / 9.16 = 16.0 ، إلخ.

السؤال المقابل للسؤال الوارد في عنوان هذه المقالة مشروع أيضًا: "كيفية تحويل كسر عشري إلى كسر عادي". الإجابة على هذا السؤال تعطي مثالاً: 0.5 = 5/10 = 1/2. في المثال الأخير ، قمنا بخفض بسط ومقام الكسر 5/10 بمقدار 5. أي لتحويل الكسر العشري إلى كسر عادي ، عليك تمثيله في صورة كسر مقامه 10.

سيكون من الممتع مشاهدة مقطع فيديو حول الكسور بشكل عام:

لمعرفة كيفية تحويل عدد عشري إلى كسر مشترك ، انظر هنا:

في هذه المقالة ، سوف نحلل كيف تحويل الكسور المشتركة إلى كسور عشرية، وكذلك النظر في العملية العكسية - تحويل الكسور العشرية إلى كسور عادية. سنقوم هنا بالتعبير عن القواعد لعكس الكسور وإعطاء حلول مفصلة لأمثلة نموذجية.

التنقل في الصفحة.

تحويل الكسور المشتركة إلى كسور عشرية

دعونا نشير إلى التسلسل الذي سنتعامل معه تحويل الكسور المشتركة إلى كسور عشرية.

أولاً ، سننظر في كيفية تمثيل الكسور العادية ذات المقامات 10 ، 100 ، 1000 ، ... ككسور عشرية. هذا لأن الكسور العشرية هي أساسًا شكل مضغوط من الكسور العادية ذات المقامات 10 ، 100 ، ...

بعد ذلك ، سوف نذهب إلى أبعد من ذلك ونبين كيف يمكن كتابة أي كسر عادي (ليس فقط مع القواسم 10 ، 100 ، ...) ككسر عشري. مع هذا التحويل للكسور العادية ، يتم الحصول على كل من الكسور العشرية المحدودة والكسور العشرية الدورية اللانهائية.

الآن عن كل شيء بالترتيب.

تحويل الكسور العادية ذات المقامات 10 ، 100 ، ... إلى كسور عشرية

تحتاج بعض الكسور المنتظمة إلى "إعداد أولي" قبل تحويلها إلى كسور عشرية. ينطبق هذا على الكسور العادية ، حيث يكون عدد الأرقام في البسط أقل من عدد الأصفار في المقام. على سبيل المثال ، يجب تحضير الكسر الشائع 2/100 أولاً للتحويل إلى كسر عشري ، ولكن لا يلزم تحضير الكسر 9/10.

يتكون "الإعداد الأولي" للكسور العادية الصحيحة للتحويل إلى كسور عشرية من إضافة العديد من الأصفار إلى اليسار في البسط بحيث يصبح العدد الإجمالي للأرقام هناك مساويًا لعدد الأصفار في المقام. على سبيل المثال ، سيبدو الكسر بعد إضافة الأصفار.

بعد تحضير الكسر العادي الصحيح ، يمكنك البدء في تحويله إلى كسر عشري.

هيا نعطي قاعدة لتحويل كسر مشترك سليم مقامه 10 أو 100 أو 1000 ... إلى كسر عشري. يتكون من ثلاث خطوات:

• اكتب 0 ؛
• ضع علامة عشرية بعدها ؛
• اكتب الرقم من البسط (مع الأصفار المضافة ، إذا أضفناها).

ضع في اعتبارك تطبيق هذه القاعدة في حل الأمثلة.

مثال.

حوّل الكسر الصحيح 37/100 إلى عدد عشري.

المحلول.

يحتوي المقام على الرقم 100 ، الذي يحتوي على صفرين في مدخله. يحتوي البسط على الرقم 37 ، وهناك رقمان في سجله ، لذلك لا يحتاج هذا الكسر إلى التحضير للتحويل إلى كسر عشري.

نكتب الآن 0 ، ونضع علامة عشرية ، ونكتب الرقم 37 من البسط ، بينما نحصل على الكسر العشري 0.37.

إجابه:

0,37 .

لتعزيز مهارات ترجمة الكسور العادية العادية مع البسط 10 ، 100 ، ... إلى كسور عشرية ، سنحلل حل مثال آخر.

مثال.

اكتب الكسر الصحيح 107 / 10،000،000 في صورة عدد عشري.

المحلول.

عدد الأرقام في البسط هو 3 ، وعدد الأصفار في المقام هو 7 ، لذلك يجب تحضير هذا الكسر العادي للتحويل إلى رقم عشري. نحتاج إلى إضافة 7-3 = 4 أصفار إلى اليسار في البسط بحيث يصبح إجمالي عدد الأرقام هناك مساويًا لعدد الأصفار في المقام. نحن نحصل .

يبقى لتشكيل الكسر العشري المطلوب. للقيام بذلك ، أولاً ، نكتب 0 ، ثانيًا ، نضع فاصلة ، ثالثًا ، نكتب الرقم من البسط مع الأصفار 0000107 ، ونتيجة لذلك لدينا كسر عشري 0.0000107.

إجابه:

0,0000107 .

لا تحتاج الكسور الشائعة غير الصحيحة إلى تحضير عند التحويل إلى كسور عشرية. يجب الالتزام بما يلي قواعد تحويل الكسور الشائعة غير الصحيحة ذات المقامات 10 ، 100 ، ... إلى كسور عشرية:

• اكتب الرقم من البسط ؛
• نفصل بفاصلة عشرية عددًا من الأرقام على اليمين حيث يوجد أصفار في مقام الكسر الأصلي.

دعنا نحلل تطبيق هذه القاعدة عند حل مثال.

مثال.

تحويل الكسر المشترك غير الفعلي 56888038009/100000 إلى عدد عشري.

المحلول.

أولاً ، نكتب الرقم من البسط 56888038009 ، وثانيًا ، نفصل 5 أرقام على اليمين بعلامة عشرية ، حيث يوجد 5 أصفار في مقام الكسر الأصلي. نتيجة لذلك ، لدينا كسر عشري 568 880.38009.

إجابه:

568 880,38009 .

لتحويل رقم كسري إلى كسر عشري ، يكون مقام الجزء الكسري هو الرقم 10 ، أو 100 ، أو 1000 ، ... ، يمكنك تحويل الرقم الكسري إلى كسر عادي غير فعلي ، وبعد ذلك يكون الكسر الناتج يمكن تحويلها إلى كسر عشري. ولكن يمكنك أيضًا استخدام ما يلي قاعدة تحويل الأعداد الكسرية ذات مقام الجزء الكسري 10 أو 100 أو 1000 ... إلى كسور عشرية:

• إذا لزم الأمر ، فإننا نجري "الإعداد الأولي" للجزء الكسري من العدد الكسري الأصلي عن طريق إضافة العدد المطلوب من الأصفار على اليسار في البسط ؛
• اكتب الجزء الصحيح من العدد الكسري الأصلي ؛
• ضع علامة عشرية
• نكتب الرقم من البسط مع الأصفار المضافة.

دعنا نفكر في مثال ، عند الحل سنقوم بتنفيذ جميع الخطوات اللازمة لتمثيل رقم كسري ككسر عشري.

مثال.

تحويل عدد كسري إلى عدد عشري.

المحلول.

يوجد 4 أصفار في مقام الجزء الكسري ، والرقم 17 في البسط ، ويتكون من رقمين ، لذلك نحتاج إلى إضافة صفرين إلى اليسار في البسط بحيث يصبح عدد الأحرف هناك مساويًا لـ عدد الأصفار في المقام. بعمل هذا ، سيكون البسط هو 0017.

نكتب الآن الجزء الصحيح من الرقم الأصلي ، أي الرقم 23 ، ونضع علامة عشرية ، وبعد ذلك نكتب الرقم من البسط مع الأصفار المضافة ، أي 0017 ، بينما نحصل على الرقم العشري المطلوب كسر 23.0017.

دعنا نكتب الحل الكامل باختصار: .

مما لا شك فيه أنه كان من الممكن أولاً تمثيل الرقم المختلط ككسر غير فعلي ، ثم تحويله إلى كسر عشري. مع هذا النهج ، يبدو الحل كما يلي:

إجابه:

23,0017 .

تحويل الكسور العادية إلى كسور عشرية دورية محدودة ولانهائية

ليس فقط الكسور العادية ذات القواسم 10 ، 100 ، ... يمكن تحويلها إلى كسر عشري ، ولكن الكسور العادية ذات القواسم الأخرى. الآن سنكتشف كيف يتم ذلك.

في بعض الحالات ، يتم اختزال الكسر العادي الأصلي بسهولة إلى أحد القواسم 10 ، أو 100 ، أو 1000 ، ... (انظر اختزال الكسر العادي إلى مقام جديد) ، وبعد ذلك ليس من الصعب تقديم الناتج ككسر عشري. على سبيل المثال ، من الواضح أن الكسر 2/5 يمكن اختزاله إلى كسر مقامه 10 ، لذلك تحتاج إلى ضرب البسط والمقام في 2 ، وهو ما سيعطي كسرًا 4/10 ، والذي وفقًا لـ القواعد التي تمت مناقشتها في الفقرة السابقة ، يمكن تحويلها بسهولة إلى كسر عشري 0 ، أربعة.

في حالات أخرى ، عليك استخدام طريقة مختلفة لتحويل كسر عادي إلى كسر عشري ، وهو ما سننظر فيه الآن.

لتحويل كسر عادي إلى كسر عشري ، يتم تقسيم بسط الكسر على المقام ، ويتم استبدال البسط أولاً بكسر عشري متساوٍ مع أي عدد من الأصفار بعد الفاصلة العشرية (تحدثنا عن هذا في القسم يساوي و الكسور العشرية غير المتساوية). في هذه الحالة ، يتم إجراء القسمة بنفس طريقة القسمة على عمود من الأعداد الطبيعية ، ويتم وضع الفاصلة العشرية في حاصل القسمة عندما ينتهي تقسيم الجزء الصحيح من المقسوم. كل هذا سيتضح من حلول الأمثلة الواردة أدناه.

مثال.

حوّل الكسر المشترك 621/4 إلى كسر عشري.

المحلول.

نمثل الرقم في البسط 621 في صورة كسر عشري بإضافة فاصلة عشرية وبضعة أصفار بعدها. بادئ ذي بدء ، سنضيف رقمين 0 ، لاحقًا ، إذا لزم الأمر ، يمكننا دائمًا إضافة المزيد من الأصفار. إذن ، لدينا 621.00.

الآن دعونا نقسم الرقم 621000 على 4 على عمود. لا تختلف الخطوات الثلاث الأولى عن القسمة على عمود من الأعداد الطبيعية ، وبعد ذلك نصل إلى الصورة التالية:

إذن ، وصلنا إلى النقطة العشرية في المقسوم ، والباقي يختلف عن الصفر. في هذه الحالة ، نضع فاصلة عشرية في حاصل القسمة ، ونواصل القسمة على عمود ، متجاهلين الفواصل:

اكتملت هذه القسمة ، ونتيجة لذلك حصلنا على الكسر العشري 155.25 ، والذي يتوافق مع الكسر العادي الأصلي.

إجابه:

155,25 .

لدمج المادة ، ضع في اعتبارك حل مثال آخر.

مثال.

حوّل الكسر المشترك 21/800 إلى عدد عشري.

المحلول.

لتحويل هذا الكسر المشترك إلى عدد عشري ، دعنا نقسم الكسر العشري 21000 ... على 800 على عمود. بعد الخطوة الأولى ، يجب أن نضع فاصلة عشرية في حاصل القسمة ، ثم نواصل القسمة:

أخيرًا ، حصلنا على الباقي 0 ، وبذلك اكتمل تحويل الكسر العادي 21/400 إلى كسر عشري ، ووصلنا إلى الكسر العشري 0.02625.

إجابه:

0,02625 .

قد يحدث أنه عند قسمة البسط على مقام كسر عادي ، لا نحصل أبدًا على باقي 0. في هذه الحالات ، يمكن أن يستمر التقسيم طالما رغب في ذلك. ومع ذلك ، بدءًا من خطوة معينة ، تبدأ الباقي في التكرار بشكل دوري ، بينما تتكرر الأرقام الموجودة في حاصل القسمة أيضًا. هذا يعني أن الكسر المشترك الأصلي يُترجم إلى عدد عشري دوري لا نهائي. دعنا نظهر هذا بمثال.

مثال.

اكتب الكسر المشترك 19/44 في صورة عدد عشري.

المحلول.

لتحويل كسر عادي إلى رقم عشري ، نقوم بالقسمة على عمود:

من الواضح بالفعل أنه عند القسمة ، بدأ الباقيان 8 و 36 في التكرار ، بينما يتكرر الرقمان 1 و 8 في حاصل القسمة. وهكذا ، يتم ترجمة الكسر العادي الأصلي 19/44 إلى كسر عشري دوري 0.43181818 ... = 0.43 (18).

إجابه:

0,43(18) .

في ختام هذه الفقرة ، سنكتشف الكسور العادية التي يمكن تحويلها إلى كسور عشرية نهائية ، وأيها يمكن تحويلها إلى كسور دورية فقط.

دعونا نحصل على كسر عادي غير قابل للاختزال أمامنا (إذا كان الكسر قابلاً للاختزال ، فسنقوم أولاً باختزال الكسر) ، ونحتاج إلى معرفة الكسر العشري الذي يمكن تحويله إليه - محدود أو دوري.

من الواضح أنه إذا كان من الممكن اختزال كسر عادي إلى أحد المقامات 10 ، 100 ، 1000 ، ... ، فيمكن تحويل الكسر الناتج بسهولة إلى كسر عشري نهائي وفقًا للقواعد التي تمت مناقشتها في الفقرة السابقة. لكن بالنسبة إلى القواسم 10 ، 100 ، 1000 ، إلخ. لم يتم إعطاء جميع الكسور العادية. يمكن اختزال الكسور فقط إلى مثل هذه القواسم ، والتي تكون مقاماتها واحدة على الأقل من الأعداد 10 ، 100 ، ... وما هي الأرقام التي يمكن أن تكون قواسم على 10 ، 100 ، ...؟ ستسمح لنا الأرقام 10 ، 100 ، ... بالإجابة على هذا السؤال ، وهي كالتالي: 10 = 2 5 ، 100 = 2 2 5 5 ، 1000 = 2 2 2 5 5 5 ، .... ويترتب على ذلك أن القواسم على 10 ، 100 ، 1000 ، إلخ. يمكن أن يكون هناك فقط أرقام تحتوي تحليلاتها إلى عوامل أولية على الأرقام 2 و (أو) 5 فقط.

يمكننا الآن التوصل إلى استنتاج عام حول تحويل الكسور العادية إلى كسور عشرية:

• إذا كان الرقمان 2 و (أو) 5 موجودين فقط في تحلل المقام إلى عوامل أولية ، فيمكن تحويل هذا الكسر إلى كسر عشري نهائي ؛
• إذا كان هناك ، بالإضافة إلى اثنين وخمسة ، أعداد أولية أخرى في توسيع المقام ، فسيتم ترجمة هذا الكسر إلى كسر دوري عشري لا نهائي.

مثال.

بدون تحويل الكسور العادية إلى كسور عشرية ، أخبرني أي من الكسور 47/20 ، 7/12 ، 21/56 ، 31/17 يمكن تحويلها إلى كسر عشري نهائي ، والتي لا يمكن تحويلها إلا إلى كسر دوري.

المحلول.

التحليل الأولي لمقام الكسر 47/20 له الصيغة 20 = 2 2 5. لا يوجد سوى اثنين وخمسة في هذا التوسع ، لذلك يمكن اختزال هذا الكسر إلى أحد المقامات 10 ، 100 ، 1000 ، ... (في هذا المثال ، إلى المقام 100) ، لذلك يمكن تحويله إلى رقم عشري نهائي جزء.

التحليل الأولي لمقام الكسر 7/12 له الصيغة 12 = 2 2 3. نظرًا لأنه يحتوي على عامل بسيط 3 يختلف عن 2 و 5 ، لا يمكن تمثيل هذا الكسر ككسر عشري محدد ، ولكن يمكن تحويله إلى كسر عشري دوري.

جزء 21/56 - قابل للتقلص ، بعد التخفيض يأخذ الشكل 3/8. يحتوي تحلل المقام إلى عوامل أولية على ثلاثة عوامل تساوي 2 ، لذلك يمكن ترجمة الكسر العادي 3/8 ، وبالتالي الكسر الذي يساوي 21/56 ، إلى كسر عشري نهائي.

أخيرًا ، توسيع مقام الكسر 31/17 هو نفسه 17 ، لذلك لا يمكن تحويل هذا الكسر إلى كسر عشري محدد ، ولكن يمكن تحويله إلى كسر دوري لا نهائي.

إجابه:

يمكن تحويل 47/20 و 21/56 إلى رقم عشري نهائي ، بينما لا يمكن تحويل 7/12 و 31/17 إلا إلى رقم عشري دوري.

الكسور الشائعة لا تتحول إلى كسور عشرية لا نهائية غير متكررة

تثير المعلومات الواردة في الفقرة السابقة السؤال التالي: "هل يمكن الحصول على كسر غير دوري لا نهائي عند قسمة بسط الكسر على المقام"؟

الجواب: لا. عند ترجمة كسر عادي ، يمكن الحصول على كسر عشري محدد أو كسر عشري دوري لانهائي. دعونا نشرح سبب ذلك.

يتضح من نظرية القسمة مع الباقي أن الباقي دائمًا أقل من المقسوم عليه ، أي إذا قسمنا بعض الأعداد الصحيحة على عدد صحيح q ، فإن واحدًا فقط من الأرقام 0 ، 1 ، 2 ، ... ، q يمكن أن يكون −1 هو الباقي. ويترتب على ذلك أنه بعد اكتمال قسمة الجزء الصحيح من بسط الكسر العادي على المقام q ، بعد ما لا يزيد عن q من الخطوات ، ستظهر إحدى الحالتين التاليتين:

• إما أن نحصل على الباقي 0 ، فهذا سينهي القسمة ، ونحصل على الكسر العشري الأخير ؛
• أو سنحصل على الباقي الذي ظهر بالفعل من قبل ، وبعد ذلك ستبدأ الباقي في التكرار كما في المثال السابق (لأنه عند قسمة الأرقام المتساوية على q ، يتم الحصول على الباقي المتساوي ، والذي يتبع نظرية القسمة المذكورة سابقًا) ، لذلك سيتم الحصول على كسر عشري دوري لانهائي.

لا يمكن أن تكون هناك خيارات أخرى ، لذلك ، عند تحويل كسر عادي إلى كسر عشري ، لا يمكن الحصول على كسر عشري لا نهائي غير دوري.

ويترتب على المنطق المعطى في هذه الفقرة أن طول فترة الكسر العشري دائمًا ما يكون أقل من قيمة مقام الكسر العادي المقابل.

حول الكسور العشرية إلى كسور مشتركة

لنكتشف الآن كيفية تحويل كسر عشري إلى كسر عادي. لنبدأ بتحويل الكسور العشرية الأخيرة إلى كسور مشتركة. بعد ذلك ، ضع في اعتبارك طريقة عكس الكسور العشرية الدورية اللانهائية. في الختام ، دعنا نقول عن استحالة تحويل الكسور العشرية اللانهائية غير الدورية إلى كسور عادية.

تحويل الكسور العشرية النهائية إلى كسور مشتركة

الحصول على كسر عادي مكتوب في صورة كسر عشري نهائي بسيط للغاية. قاعدة تحويل كسر عشري نهائي إلى كسر عادييتكون من ثلاث خطوات:

• أولاً ، اكتب الكسر العشري المعطى في البسط ، بعد تجاهل الفاصلة العشرية وجميع الأصفار الموجودة على اليسار ، إن وجدت ؛
• ثانيًا ، اكتب واحدًا في المقام وأضف إليه عددًا من الأصفار حيث توجد أرقام بعد الفاصلة العشرية في الكسر العشري الأصلي ؛
• ثالثًا ، إذا لزم الأمر ، قم بتقليل الكسر الناتج.

دعونا ننظر في الأمثلة.

مثال.

حوّل العدد العشري 3.025 إلى كسر مشترك.

المحلول.

إذا أزلنا العلامة العشرية من الكسر العشري الأصلي ، فسنحصل على الرقم 3025. ليس لديه أصفار على اليسار يمكننا تجاهلها. إذن ، في بسط الكسر المطلوب نكتب 3025.

نكتب الرقم 1 في المقام ونضيف 3 أصفار إلى يمينه ، نظرًا لوجود 3 أرقام في الكسر العشري الأصلي بعد الفاصلة العشرية.

إذن حصلنا على كسر عادي 3025/1000. يمكن اختزال هذا الكسر بمقدار 25 ، نحصل على ذلك .

إجابه:

.

مثال.

حوّل عشري 0.0017 إلى كسر عادي.

المحلول.

بدون علامة عشرية ، يبدو الكسر العشري الأصلي مثل 00017 ، وبغض النظر عن الأصفار على اليسار ، نحصل على الرقم 17 ، وهو بسط الكسر العادي المطلوب.

نكتب في المقام وحدة بها أربعة أصفار ، حيث يوجد في الكسر العشري الأصلي 4 أرقام بعد العلامة العشرية.

نتيجة لذلك ، لدينا كسر عادي 17/10000. هذا الكسر غير قابل للاختزال ، وتم الانتهاء من تحويل الكسر العشري إلى كسر عادي.

إجابه:

.

عندما يكون الجزء الصحيح من الكسر العشري النهائي الأصلي مختلفًا عن الصفر ، فيمكن تحويله على الفور إلى رقم مختلط ، متجاوزًا الكسر العادي. هيا نعطي قاعدة لتحويل عدد عشري نهائي إلى عدد كسري:

• يجب كتابة الرقم قبل العلامة العشرية كجزء صحيح من الرقم المختلط المطلوب ؛
• في بسط الجزء الكسري ، تحتاج إلى كتابة الرقم الذي تم الحصول عليه من الجزء الكسري من الكسر العشري الأصلي بعد التخلص من جميع الأصفار الموجودة على اليسار فيه ؛
• في مقام الجزء الكسري ، تحتاج إلى كتابة الرقم 1 ، والذي ، على اليمين ، أضف عددًا من الأصفار حيث توجد أرقام في إدخال الكسر العشري الأصلي بعد الفاصلة العشرية ؛
• إذا لزم الأمر ، قم بتقليل الجزء الكسري للعدد المختلط الناتج.

ضع في اعتبارك مثالاً لتحويل كسر عشري إلى رقم كسري.

مثال.

عبر عن العلامة العشرية 152.06005 كرقم كسري