مساحة السطح الجانبي للكرة والمخروط. مساحة السطح الجانبي والكامل للمخروط

مساحة سطح المخروط (أو ببساطة سطح المخروط) تساوي مجموع مساحات القاعدة والسطح الجانبي.

يتم حساب مساحة السطح الجانبي للمخروط بالصيغة: S = πR ل، حيث R هو نصف قطر قاعدة المخروط ، و ل- تركيبة مخروط.

نظرًا لأن مساحة قاعدة المخروط هي πR 2 (مثل مساحة الدائرة) ، فإن مساحة السطح الكامل للمخروط ستكون مساوية لـ : πR 2 + πR ل= πR (R + ل).

يمكن تفسير الحصول على صيغة مساحة السطح الجانبي للمخروط بهذا المنطق. دع الرسم يظهر تطور السطح الجانبي للمخروط. نقسم القوس AB إلى أكبر عدد ممكن من الأجزاء المتساوية ونربط جميع نقاط الانقسام بمركز القوس والنقاط المجاورة مع بعضها البعض بواسطة الأوتار.

نحصل على سلسلة من المثلثات المتساوية. مساحة كل مثلث آه / 2 ، أين أ- طول قاعدة المثلث ، أ ح- منتشاه.

مجموع مساحات كل المثلثات هو: آه / 2 ن = آنه / 2 ، أين نهو عدد المثلثات.

مع وجود عدد كبير من التقسيمات ، يصبح مجموع مناطق المثلثات قريبًا جدًا من منطقة التطور ، أي مساحة السطح الجانبي للمخروط. مجموع قواعد المثلثات أي ا، قريبًا جدًا من طول القوس AB ، أي لمحيط قاعدة المخروط. يصبح ارتفاع كل مثلث قريبًا جدًا من نصف قطر القوس ، أي من المصفوفة المولدة للمخروط.

بإهمال الاختلافات الطفيفة في أحجام هذه الكميات ، نحصل على صيغة مساحة السطح الجانبي للمخروط (S):

S = ج ل / 2 ، حيث C هي محيط قاعدة المخروط ، ل- تركيبة مخروط.

مع العلم أن C \ u003d 2πR ، حيث R هو نصف قطر دائرة قاعدة المخروط ، نحصل على: S \ u003d πR ل.

ملحوظة.في الصيغة S = C ل / 2 ، علامة المساواة الدقيقة وليست التقريبية ، على الرغم من أنه بناءً على المنطق أعلاه ، يمكننا اعتبار هذه المساواة تقريبية. لكن في المدرسة الثانوية ، ثبت أن المساواة

S = ج ل / 2 دقيقة وليست تقريبية.

نظرية. السطح الجانبي للمخروط يساوي حاصل ضرب محيط القاعدة ونصف المولد.

نكتب في مخروط (الشكل) بعض الهرم المنتظم ونشير إليه بالحروف رو لالأعداد التي تعبر عن أطوال محيط القاعدة وعروة هذا الهرم.

ثم يتم التعبير عن سطحه الجانبي بواسطة المنتج 1/2 ر ل .

لنفترض الآن أن عدد جوانب المضلع المدرج في القاعدة يزداد إلى ما لا نهاية. ثم المحيط رسوف تميل إلى الحد المأخوذ مثل الطول C لمحيط القاعدة ، و apothem لسيكون له مولد مخروطي كحد أقصى له (حيث أن ΔSAK يعني أن SA - SK
1 / 2 ر ل، سوف تميل إلى الحد 1/2 ج L. يؤخذ هذا الحد على أنه قيمة السطح الجانبي للمخروط. للدلالة على السطح الجانبي للمخروط بالحرف S ، يمكننا كتابة:

S = 1/2 ج L = ج 1/2 لتر

الآثار.
1) منذ C \ u003d 2 π R ، ثم يتم التعبير عن السطح الجانبي للمخروط بالصيغة:

S = 1/2 2π ر L = π RL

2) نحصل على السطح الكامل للمخروط إذا أضفنا السطح الجانبي إلى منطقة القاعدة ؛ لذلك ، للدلالة على السطح الكامل بواسطة T ، سيكون لدينا:

تي = π RL + π R2 = π R (L + R)

نظرية. السطح الجانبي للمخروط المقطوع يساوي حاصل ضرب نصف مجموع محيطات القواعد والمركبة المولدة.

نكتب في مخروط مقطوع (الشكل). بعض الهرم المقطوع المنتظم ونشير إليه بالحروف ص ، ص 1 و لأرقام تعبر في نفس الوحدات الخطية عن أطوال محيطي القاعدتين السفلية والعلوية وقسم هذا الهرم.

ثم يكون السطح الجانبي للهرم المنقوش 1/2 ( ص + ص 1) ل

مع زيادة غير محدودة في عدد الوجوه الجانبية للهرم المنقوش ، المحيط رو ر 1 تميل إلى الحدود المأخوذة مثل أطوال C و C 1 من دوائر القواعد ، و apothem للها حدودها المولد L للمخروط المقطوع. وبالتالي ، فإن قيمة السطح الجانبي للهرم المنقوش تميل إلى الحد الذي يساوي (С + С 1) L. يؤخذ هذا الحد كقيمة للسطح الجانبي للمخروط المقطوع. للدلالة على السطح الجانبي للمخروط المقطوع بالحرف S ، سيكون لدينا:

S \ u003d 1/2 (C + C 1) L.

الآثار.
1) إذا كان R و R 1 يعنيان أنصاف أقطار دوائر القاعدة السفلية والعليا ، فإن السطح الجانبي للمخروط المقطوع سيكون:

S = 1/2 (2 π R + 2 π R 1) L = π (R + R1) إل.

2) إذا كان في شبه المنحرف OO 1 A 1 A (الشكل) ، من الدوران الذي يتم الحصول على مخروط مقطوع منه ، نرسم خط الوسط BC ، ثم نحصل على:

BC \ u003d 1/2 (OA + O 1 A 1) \ u003d 1/2 (R + R 1) ،

R + R 1 = 2BC.

بالتالي،

S = 2 π BC L ،

بمعنى آخر. السطح الجانبي للمخروط المقطوع يساوي حاصل ضرب محيط المقطع المتوسط والمركب التوليدي.

3) يتم التعبير عن إجمالي السطح T للمخروط المقطوع على النحو التالي:

تي = π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)

إلى الأمام

انتباه! تعد معاينة الشرائح للأغراض الإعلامية فقط وقد لا تمثل النطاق الكامل للعرض التقديمي. إذا كنت مهتمًا بهذا العمل ، فيرجى تنزيل النسخة الكاملة.

نوع الدرس:درس في دراسة المواد الجديدة باستخدام عناصر طريقة التدريس لتطوير المشكلة.

أهداف الدرس:

الإدراكي:
- التعرف على مفهوم رياضي جديد ؛
- تشكيل ZUN الجديد ؛
- تكوين المهارات العملية لحل المشكلات.
تطوير:
- تنمية التفكير المستقل للطلاب ؛
- تنمية مهارات النطق الصحيحة لأطفال المدارس.
التعليمية:
- تنمية مهارات العمل الجماعي.

معدات الدرس:لوحة مغناطيسية ، كمبيوتر ، شاشة ، جهاز عرض وسائط متعددة ، نموذج مخروطي ، عرض درس ، نشرة.

أهداف الدرس (للطلاب):

تعرف على مفهوم هندسي جديد - مخروط ؛
اشتقاق معادلة لحساب مساحة سطح المخروط ؛
تعلم كيفية تطبيق المعرفة المكتسبة في حل المشكلات العملية.

خلال الفصول

أنا مرحلة. التنظيمية.

إرسال دفاتر الملاحظات مع عمل الاختبار المنزلي حول الموضوع المغطى.

الطلاب مدعوون لمعرفة موضوع الدرس القادم من خلال حل rebus (شريحة 1):

الصورة 1.

إعلان للطلبة عن موضوع الدرس وأهدافه (الشريحة 2).

المرحلة الثانية. شرح مادة جديدة.

1) محاضرة المعلم.

يوجد على السبورة طاولة عليها صورة مخروط. يتم شرح المادة الجديدة مصحوبة بمادة البرنامج "قياس الفراغ". تظهر على الشاشة صورة ثلاثية الأبعاد لمخروط. يعطي المعلم تعريفًا للمخروط ، ويتحدث عن عناصره. (الشريحة 3). يقال أن المخروط هو جسم يتكون من دوران مثلث قائم الزاوية بالنسبة إلى الساق. (الشريحتان 4 و 5).تظهر صورة لتطور السطح الجانبي للمخروط. (الشريحة 6)

2) العمل العملي.

تفعيل المعرفة الأساسية: كرر الصيغ لحساب مساحة الدائرة ، ومساحة القطاع ، وطول الدائرة ، وطول قوس الدائرة. (الشرائح 7-10)

ينقسم الفصل إلى مجموعات. تتلقى كل مجموعة مسحًا للسطح الجانبي للمخروط المقطوع من الورق (قطاع دائري برقم معين). يأخذ الطلاب القياسات اللازمة ويحسبون مساحة القطاع الناتج. تعليمات القيام بالعمل ، الأسئلة - بيانات المشكلة - تظهر على الشاشة (الشرائح 11-14). يكتب ممثل كل مجموعة نتائج الحسابات في جدول معد على السبورة. يقوم المشاركون من كل مجموعة بلصق نموذج المخروط من التطور الذي لديهم. (الشريحة 15)

3) بيان وحل المشكلة.

كيف تحسب مساحة السطح الجانبية للمخروط إذا كان نصف قطر القاعدة وطول الشبكة العامة للمخروط معروفين فقط؟ (الشريحة 16)

تقوم كل مجموعة بالقياسات اللازمة وتحاول اشتقاق صيغة لحساب المساحة المطلوبة باستخدام البيانات المتاحة. عند القيام بهذا العمل ، يجب أن يلاحظ الطلاب أن محيط قاعدة المخروط يساوي طول قوس القطاع - تطور السطح الجانبي لهذا المخروط. (الشرائح 17-21)باستخدام الصيغ اللازمة ، يتم اشتقاق الصيغة المرغوبة. يجب أن يبدو تفكير الطلاب كما يلي:

نصف قطر القطاع - المسح يساوي لقياس درجة القوس هو φ. يتم حساب مساحة القطاع بالمعادلة: طول القوس الذي يحيط بهذا القطاع يساوي نصف قطر قاعدة المخروط R. وطول الدائرة الواقعة عند قاعدة المخروط هو C = 2πR . لاحظ أنه بما أن مساحة السطح الجانبي للمخروط تساوي مساحة تطور سطحه الجانبي ، إذن

لذلك ، يتم حساب مساحة السطح الجانبي للمخروط بالصيغة S BOD = πRl.

بعد حساب مساحة السطح الجانبي للنموذج المخروطي وفقًا للصيغة المشتقة بشكل مستقل ، يكتب ممثل كل مجموعة نتيجة الحسابات في جدول على السبورة وفقًا لأرقام النموذج. يجب أن تكون نتائج الحساب في كل صف متساوية. على هذا الأساس ، يحدد المعلم صحة استنتاجات كل مجموعة. يجب أن يبدو جدول النتائج كما يلي:

نموذج رقم.	أنا أعمل	المهمة الثانية

	(125/3) π ~ 41.67 درجة

	(425/9) π ~ 47.22 درجة
	(539/9) π ~ 59.89 درجة

معلمات النموذج:

ل = 12 سم ، φ = 120°
ل = 10 سم ، φ = 150°
ل = 15 سم ، φ = 120°
ل = 10 سم ، φ = 170°
ل = 14 سم ، φ = 110°

تقريب الحسابات يرتبط بأخطاء القياس.

بعد التحقق من النتائج ، يظهر على الشاشة إخراج الصيغ الخاصة بمناطق الأسطح الجانبية والكاملة للمخروط (الشرائح 22-26)يحتفظ الطلاب بالملاحظات في دفاتر الملاحظات.

المرحلة الثالثة. توحيد المادة المدروسة.

1) يتم تقديم الطلاب مهام الحل الشفوي على الرسومات الجاهزة.

أوجد مساحات الأسطح الكلية للأقماع الموضحة في الأشكال (الشرائح 27-32).

2) السؤال:هل تتساوى مساحات أسطح المخاريط بفعل دوران مثلث قائم الزاوية حول أرجل مختلفة؟ يضع الطلاب فرضية ويختبرونها. يتم إجراء اختبار الفرضيات عن طريق حل المشكلات ويتم كتابته بواسطة الطالب على السبورة.

إعطاء:Δ ABC ، ∠C = 90 درجة ، AB = ج ، AC = ب ، BC = أ ؛

BAA "، ABV" - جثث الثورة.

يجد: S PPC 1 ، S PPC 2.

الشكل 5 (الشريحة 33)

قرار:

1) ص = ق = أ؛ S PPC 1 = S BOD 1 + S الرئيسي 1 = π أ ج + π أ 2 \ u003d π أ (أ + ج).

2) R = AC = ب؛ S PPC 2 = S BOD 2 + S main 2 = π ب ج + π ب 2 \ u003d π ب (ب + ج).

إذا كان S PPC 1 = S PPC 2 ، إذن أ 2 + أس \ u003d ب 2 + ق.م ، أ 2 - ب 2 + أس - ق.م \ u003d 0 ، (أ-ب) (أ + ب + ج) \ u003d 0.لان أ ، ب ، جالأعداد الموجبة (أطوال جوانب المثلث) ، والمساواة المقطوعة صحيحة فقط إذا أ =ب.

انتاج:تتساوى مساحات أسطح المخروطين فقط إذا كانت أرجل المثلث متساوية. (الشريحة 34)

3) حل المشكلة من الكتاب المدرسي: رقم 565.

المرحلة الرابعة. تلخيص الدرس.

الواجب المنزلي:ص 55 ، 56 ؛ رقم 548 ، رقم 561. (الشريحة 35)

اعلان الدرجات.

الاستنتاجات خلال الدرس ، تكرار المعلومات الرئيسية الواردة في الدرس.

أدب (الشريحة 36)

درجات الهندسة من 10 إلى 11 - أتاناسيان ، في.ف.بوتوزوف ، س.ب.كادومتسيف وآخرون ، إم ، التنوير ، 2008.
"الألغاز والحزورات الرياضية" - N.V. اودالتسوف ، مكتبة "الأول من سبتمبر" ، سلسلة "الرياضيات" ، العدد 35 ، M. ، Chistye Prudy ، 2010.

نعرف ما هو المخروط ، فلنحاول إيجاد مساحة سطحه. لماذا من الضروري حل مثل هذه المشكلة؟ على سبيل المثال ، أنت بحاجة إلى فهم مقدار العجين الذي سيستخدم لصنع كعكة الوافل؟ أو كم عدد الطوب الذي يتطلبه وضع سقف القرميد لقلعة؟

ليس من السهل قياس مساحة السطح الجانبية للمخروط. لكن تخيل نفس القرن ملفوفًا بقطعة قماش. للعثور على مساحة قطعة القماش ، تحتاج إلى قصها ونشرها على الطاولة. نحصل على شكل مسطح ، يمكننا إيجاد مساحته.

أرز. 1. قسم من المخروط على طول المولد

لنفعل الشيء نفسه مع المخروط. دعونا "نقطع" سطحه الجانبي على طول أي مولد ، على سبيل المثال ، (انظر الشكل 1).

الآن نحن "نفك" السطح الجانبي على متن طائرة. نحصل على قطاع. مركز هذا القطاع هو الجزء العلوي من المخروط ، ونصف قطر القطاع يساوي المصفوفة التوليدية للمخروط ، وطول قوسه يتطابق مع محيط قاعدة المخروط. يسمى هذا القطاع بتطور السطح الجانبي للمخروط (انظر الشكل 2).

أرز. 2. تطوير السطح الجانبي

أرز. 3. قياس الزاوية بالتقدير الدائري

دعنا نحاول إيجاد مساحة القطاع وفقًا للبيانات المتاحة. أولاً ، دعنا نقدم رمزًا: اجعل الزاوية أعلى القطاع بوحدات الراديان (انظر الشكل 3).

سنواجه في كثير من الأحيان الزاوية في الجزء العلوي من عملية المسح في المهام. في هذه الأثناء ، دعنا نحاول الإجابة على السؤال: ألا يمكن أن تكون هذه الزاوية أكثر من 360 درجة؟ أي ، ألن يتضح أن المسح سوف يركب نفسه؟ بالطبع لا. دعنا نثبت ذلك رياضيا. دع الاجتياح "يتداخل" مع نفسه. هذا يعني أن طول قوس الاجتياح أكبر من محيط نصف القطر. ولكن ، كما ذكرنا سابقًا ، فإن طول قوس الاجتياح هو محيط نصف القطر. ونصف قطر قاعدة المخروط ، بالطبع ، أقل من المصفوفة ، على سبيل المثال ، لأن ضلع المثلث القائم أصغر من الوتر

ثم دعونا نتذكر صيغتين من مسار قياس الكواكب: طول القوس. منطقة القطاع:.

في حالتنا ، يتم لعب الدور بواسطة المولد , وطول القوس يساوي محيط قاعدة المخروط ، أي. نملك:

أخيرًا نحصل على:

إلى جانب مساحة السطح الجانبية ، يمكن أيضًا العثور على إجمالي مساحة السطح. للقيام بذلك ، أضف مساحة القاعدة إلى مساحة السطح الجانبية. لكن القاعدة عبارة عن دائرة نصف قطرها مساحتها وفقًا للصيغة.

أخيرًا لدينا: , أين هو نصف قطر قاعدة الاسطوانة ، هو المولد.

لنحل مشكلتين في الصيغ المعطاة.

أرز. 4. الزاوية المرغوبة

مثال 1. تطور السطح الجانبي للمخروط هو قطاع بزاوية عند القمة. أوجد هذه الزاوية إذا كان ارتفاع المخروط 4 سم ونصف قطر القاعدة 3 سم (انظر الشكل 4).

أرز. 5. مثلث قائم الزاوية يشكل مخروط

من خلال الإجراء الأول ، وفقًا لنظرية فيثاغورس ، نجد المولد: 5 سم (انظر الشكل 5). علاوة على ذلك ، نحن نعلم ذلك .

مثال 2. مساحة المقطع المحوري للمخروط ، الارتفاع. أوجد مساحة السطح الكلية (انظر الشكل 6).