مساحة المعين هي نتاج الأقطار. أربع صيغ لحساب مساحة المعين

المعين هو حالة خاصة من متوازي الأضلاع. إنه شكل رباعي الزوايا تتساوى فيه جميع الجوانب. تحدد هذه الخاصية أن المعينات لها جوانب متقابلة متوازية وزوايا متقابلة متساوية. تتقاطع أقطار المعين بزاوية قائمة ، وتكون نقطة تقاطعها في منتصف كل قطري ، وتنقسم الزوايا التي تخرج منها إلى نصفين. أي أن قطري المعين هم منصف الزوايا. بناءً على التعريفات المذكورة أعلاه والخصائص المدرجة للمعاينات ، يمكن تحديد منطقتهم بطرق مختلفة.

1. إذا كان كلا قطري المعين AC و BD معروفين ، فيمكن تحديد مساحة المعين على أنها نصف حاصل ضرب القطرين.

S = ½ ∙ تيار متردد ∙ BD

حيث AC ، BD هي طول قطري المعين.

لفهم سبب ذلك ، يمكنك كتابة مستطيل عقليًا في معين بحيث تكون جوانب الأخير متعامدة مع قطري المعين. يصبح من الواضح أن مساحة المعين ستكون مساوية لنصف مساحة المستطيل المنقوش بهذه الطريقة في المعين ، وطوله وعرضه سيتوافقان مع حجم أقطار المعين.

2. بالقياس مع خط الموازي ، يمكن إيجاد مساحة المعين على أنها حاصل ضرب جانبه ، بارتفاع الضلع العمودي من الضلع المقابل المنخفض إلى الجانب المعطى.

S = أ ∙ ح

حيث أ هو جانب المعين ؛
h هو ارتفاع العمود العمودي الذي تم إسقاطه على الجانب المعطى.

3. مساحة المعين تساوي أيضًا مربع جانبه مضروبًا في جيب الزاوية α.

S = a2 ∙ الخطيئة α

حيث ، a هو جانب المعين ؛
α هي الزاوية بين الجانبين.

4. أيضًا ، يمكن العثور على مساحة المعين من خلال جانبه ونصف قطر الدائرة المنقوشة فيه.

S = 2 ∙ أ ∙ ص

حيث ، a هو جانب المعين ؛
r هو نصف قطر الدائرة المنقوشة في المعين.

حقائق مثيرة للاهتمام
تأتي كلمة المعين من الكلمة اليونانية القديمة rombus ، والتي تعني "الدف". في تلك الأيام ، كانت الدفوف لها شكل ماسي ، وليس دائريًا ، كما اعتدنا على رؤيتها في الوقت الحاضر. منذ ذلك الوقت ، ظهر أيضًا اسم بدلة البطاقة "الدف". تستخدم المعينات على نطاق واسع من أنواع مختلفة في شعارات النبالة.

المعين هو شخصية خاصة في الهندسة. نظرًا لخصائصه الخاصة ، لا توجد صيغ واحدة ، بل عدة صيغ تحسب مساحة المعين. ما هي هذه الخصائص وما هي الصيغ الأكثر شيوعًا لإيجاد مساحة هذا الشكل؟ دعونا نفهم ذلك.

ما يسمى الشكل الهندسي المعين

قبل معرفة مساحة المعين ، يجدر بنا معرفة نوع الشكل.

منذ زمن الهندسة الإقليدية ، يُطلق على المعين اسم رباعي الأضلاع المتماثل ، وجميع جوانبه الأربعة متساوية في الطول ومتوازية في أزواج.

أصل المصطلح

جاء اسم هذا الرقم إلى معظم اللغات الحديثة من اليونانية ، من خلال وساطة اللاتينية. كان "سلف" كلمة "معين" هو الاسم اليوناني ῥόμβος (الدف). على الرغم من أن سكان القرن العشرين اعتادوا على الدفوف المستديرة ، إلا أنه من الصعب تخيلها في شكل مختلف ، ولكن بين الهيلينيين ، كانت هذه الآلات الموسيقية تُصنع تقليديًا ليس في شكل دائري ، ولكن في شكل ماسي.

في معظم اللغات الحديثة ، يستخدم هذا المصطلح الرياضي ، كما في اللاتينية: rombus. ومع ذلك ، في اللغة الإنجليزية ، يطلق على الماس أحيانًا اسم الماس (الماس أو الماس). حصل هذا الرقم على مثل هذا اللقب بسبب شكله الخاص الذي يذكرنا بالحجر الثمين. كقاعدة عامة ، لا يتم استخدام مصطلح مشابه لجميع المعينات ، ولكن فقط لتلك التي تكون فيها زاوية تقاطع جانبيها ستين أو خمسة وأربعين درجة.

تم ذكر هذا الرقم لأول مرة في كتابات عالم الرياضيات اليوناني الذي عاش في القرن الأول لعصر جديد - هيرون الإسكندرية.

ما هي خصائص هذا الشكل الهندسي

للعثور على مساحة المعين ، عليك أولاً معرفة الميزات التي يمتلكها الشكل الهندسي المحدد.

تحت أي ظروف يكون متوازي الأضلاع معينًا؟

كما تعلم ، كل معين هو متوازي أضلاع ، لكن ليس كل متوازي أضلاع هو معين. من أجل التأكيد بدقة على أن الشكل المعروض هو في الواقع معين ، وليس متوازي أضلاع بسيط ، يجب أن يتوافق مع واحدة من السمات الرئيسية الثلاثة التي تميز المعين. أو الثلاثة كلها مرة واحدة.

1. قطري متوازي الأضلاع يتقاطعان بزاوية تسعين درجة.
2. تقسم الأقطار الزوايا إلى قسمين ، وتعمل كمنصف لها.
3. ليس فقط الأضلاع المتوازية ، ولكن أيضًا الأضلاع المتجاورة لها نفس الطول. هذا ، بالمناسبة ، هو أحد الاختلافات الرئيسية بين المعين ومتوازي الأضلاع ، حيث أن الشكل الثاني له جوانب متوازية فقط متماثلة الطول ، لكن ليست متجاورة.

في أي ظروف يكون المعين مربعًا؟

وفقًا لخصائصه ، في بعض الحالات ، يمكن أن يصبح المعين مربعًا في نفس الوقت. لتأكيد هذا البيان بصريًا ، يكفي فقط تدوير المربع في أي اتجاه بمقدار 45 درجة. سيكون الشكل الناتج عبارة عن دالتون ، كل ركن من أركانه يساوي تسعين درجة.

أيضًا ، لتأكيد أن المربع هو معين ، يمكنك مقارنة إشارات هذه الأشكال: في كلتا الحالتين ، جميع الأضلاع متساوية ، والأقطار هي منصف وتتقاطع بزاوية تسعين درجة.

كيفية إيجاد مساحة المعين باستخدام قطريه

في العالم الحديث ، يمكنك العثور على جميع المواد تقريبًا على الإنترنت لإجراء الحسابات اللازمة. لذلك ، هناك الكثير من الموارد المجهزة ببرامج لحساب مساحة شخصية معينة تلقائيًا. علاوة على ذلك ، إذا كان (كما في حالة المعين) هناك عدة صيغ لهذا ، فمن الممكن اختيار الصيغة الأكثر ملاءمة للاستخدام. ومع ذلك ، أولاً وقبل كل شيء ، أنت نفسك بحاجة إلى أن تكون قادرًا على حساب مساحة المعين دون مساعدة الكمبيوتر والتنقل في الصيغ. يوجد الكثير منهم على شكل معين ، لكن أشهرهم أربعة.

من أسهل الطرق وأكثرها شيوعًا لمعرفة مساحة هذا الشكل إذا كان لديك معلومات حول طول أقطارها. إذا كانت المشكلة تحتوي على هذه البيانات ، في هذه الحالة ، يمكنك تطبيق الصيغة التالية للعثور على المنطقة: S = KM x LN / 2 (KM و LN هما قطري المعين KLMN).

يمكنك التحقق من صحة هذه الصيغة في الممارسة العملية. لنفترض أن المعين KLMN له طول أحد قطريه KM - 10 سم ، والثاني LN - 8 سم. ثم نستبدل هذه البيانات في الصيغة أعلاه ، ونحصل على النتيجة التالية: S \ u003d 10 x 8 / 2 = 40 سم 2.

صيغة لحساب مساحة متوازي الأضلاع

هناك صيغة أخرى. كما هو مذكور أعلاه في تعريف المعين ، فهو ليس مجرد شكل رباعي ، ولكنه أيضًا متوازي أضلاع ، وله جميع ميزات هذا الشكل. في هذه الحالة ، للعثور على مساحتها ، من المستحسن استخدام الصيغة المستخدمة في متوازي الأضلاع: S \ u003d KL x Z. في هذه الحالة ، KL هو طول جانب متوازي الأضلاع (المعين) ، و Z هو طول الارتفاع مرسومًا على هذا الجانب.

في بعض المسائل ، لا يُذكر طول الضلع ، لكن محيط المعين معروف. بما أن صيغة إيجاده موضحة أعلاه ، فيمكن استخدامها أيضًا لمعرفة طول الضلع. إذن ، محيط الشكل هو 10 سم ، ويمكن إيجاد طول الضلع بقلب صيغة المحيط وقسمة 10 على 4. النتيجة ستكون 2.5 سم - هذا هو طول الضلع المطلوب من المعين.

الآن يجدر بنا محاولة استبدال هذا الرقم في الصيغة ، مع العلم أن طول الارتفاع المرسوم على الجانب هو أيضًا 2.5 سم. الآن دعونا نحاول وضع هذه القيم في الصيغة أعلاه لمساحة \ u200b \ u200b متوازي الأضلاع. اتضح أن مساحة المعين هي S = 2.5 × 2.5 = 6.25 سم 2.

طرق أخرى لحساب مساحة المعين

أولئك الذين أتقنوا بالفعل الجيوب وجيب التمام يمكنهم استخدام الصيغ التي تحتوي عليها للعثور على مساحة المعين. المثال الكلاسيكي هو الصيغة التالية: S = KM 2 x Sin KLM. في هذه الحالة ، مساحة الشكل تساوي حاصل ضرب جانبي المعين ، مضروبًا في جيب الزاوية بينهما. وبما أن جميع الأضلاع في المعين متماثلة ، فمن الأسهل تحويل جانب واحد إلى مربع على الفور ، كما هو موضح في الصيغة.

نتحقق من هذا المخطط في الممارسة العملية ، وليس فقط على شكل معين ، ولكن لمربع ، حيث ، كما تعلمون ، جميع الزوايا صحيحة ، مما يعني أنها تساوي تسعين درجة. افترض أن أحد الأضلاع يساوي 15 سم ، ومن المعروف أيضًا أن جيب الزاوية 90 درجة يساوي واحدًا. بعد ذلك ، وفقًا للصيغة ، S \ u003d 15 x 15 x Sin 90 ° \ u003d 255x1 \ u003d 255 سم 2.

بالإضافة إلى ما سبق ، في بعض الحالات ، يتم استخدام صيغة أخرى ، باستخدام الجيب لتحديد مساحة المعين: S \ u003d 4 x R 2 / Sin KLM. في هذا الإصدار ، يتم استخدام نصف قطر الدائرة المنقوشة في المعين. ترفع إلى أس المربع وتضرب في أربعة. والنتيجة كلها مقسومة على جيب الزاوية المجاورة للشكل المنقوش.

كمثال ، لتبسيط العمليات الحسابية ، دعنا نأخذ مربعًا مرة أخرى (جيب الزاوية سيكون دائمًا مساويًا للواحد). يبلغ نصف قطر الدائرة المدرجة فيها 4.4 سم ، ثم يتم حساب مساحة المعين على النحو التالي: S \ u003d 4 × 4.4 2 / Sin 90 ° \ u003d 77.44 سم 2

الصيغ المذكورة أعلاه لإيجاد نصف قطر المعين بعيدة كل البعد عن الصيغ الوحيدة من نوعها ، لكنها أسهل في فهم الحسابات وتنفيذها.

ما هو المعين؟ المعين هو متوازي أضلاع متساوية في جميع جوانبه.

المعين ، شكل على مستوى ، رباعي الأضلاع متساوي الأضلاع. المعين هو حالة خاصة من PARALLELOGRAM ، حيث يكون إما ضلعان متجاوران متساويين ، أو يتقاطع الأقطار بزوايا قائمة ، أو يشطر القطر إلى شطر الزاوية. يسمى المعين ذو الزوايا القائمة مربعًا.

الصيغة الكلاسيكية لمساحة المعين هي حساب القيمة من خلال الارتفاع. مساحة المعين تساوي حاصل ضرب الضلع والارتفاع المرسوم على هذا الجانب.

1. مساحة المعين تساوي حاصل ضرب الضلع والارتفاع المرسوم على هذا الجانب:

\ [S = a \ cdot h \]

2. إذا كان جانب المعين معروفًا (جميع جوانب المعين متساوية) والزاوية بين الجانبين ، فيمكن إيجاد المنطقة باستخدام الصيغة التالية:

\ [S = a ^ (2) \ cdot sin (\ alpha) \]

3. مساحة المعين تساوي أيضًا نصف حاصل ضرب الأقطار ، أي:

\ [S = \ dfrac (d_ (1) \ cdot d_ (2)) (2) \]

4. إذا كان نصف القطر r للدائرة المنقوشة في المعين معروفًا ، وجانب المعين a ، فإن مساحته تُحسب بالصيغة التالية:

\ [S = 2 \ cdot a \ cdot R \]

خصائص المعين

في الصورة أعلاه ، \ (ABCD \) ماسة ، \ (AC = DB = CD = AD \). نظرًا لأن المعين عبارة عن متوازي أضلاع ، فإنه يحتوي على جميع خصائص متوازي الأضلاع ، ولكن هناك أيضًا خصائص فريدة في المعين.

يمكن كتابة دائرة في أي معين. مركز الدائرة المنقوشة في المعين هو نقطة تقاطع قطريها. دائرة نصف قطرهايساوي نصف ارتفاع المعين:

\ [r = \ frac (AH) (2) \]

خصائص المعين

أقطار المعين متعامدة ؛

أقطار المعين هي منصف زواياه.

علامات المعين

متوازي الأضلاع الذي تتقاطع أقطاره في الزوايا القائمة هو المعين.

متوازي الأضلاع الذي تكون أقطاره مناصرات زواياه هو المعين.

تم تعطيل جافا سكريبت في المتصفح الخاص بك.
يجب تمكين عناصر تحكم ActiveX لإجراء العمليات الحسابية!

- هذا هو متوازي الأضلاع ، حيث جميع الأضلاع متساوية ، ثم تنطبق عليه جميع الصيغ نفسها كما في متوازي الأضلاع ، بما في ذلك صيغة إيجاد المساحة من خلال حاصل ضرب الارتفاع والجانب.

يمكن العثور على مساحة المعين من خلال معرفة أقطارها أيضًا. تقسم الأقطار المعين إلى أربعة مثلثات قائمة متطابقة تمامًا. إذا قمنا بفرزها للحصول على مستطيل ، فسيكون طوله وعرضه مساويين لقطر واحد كامل ونصف القطر الثاني. لذلك ، يتم العثور على مساحة المعين بضرب قطري المعين ، ويتم تقليله بمقدار اثنين (كمساحة المستطيل الناتج).

إذا كانت الزاوية والجانب فقط متاحين ، فيمكنك تسليح نفسك بقطر كمساعد ورسمه مقابل الزاوية المعروفة. ثم ستقسم المعين إلى مثلثين متطابقين ، حيث ستعطينا مساحة المعين مساحة المعين. مساحة كل من المثلثين ستكون مساوية لنصف حاصل ضرب مربع الضلع وجيب الزاوية المعروفة ، كمساحة المثلث متساوي الساقين. نظرًا لوجود مثلثين من هذا القبيل ، يتم إلغاء المعاملات ، تاركين فقط الجانب إلى الدرجة الثانية والجيب:

إذا كانت هناك دائرة منقوشة داخل معين ، فإن نصف قطرها سيشير إلى الضلع بزاوية 90 درجة ، مما يعني أن ضعف نصف القطر يساوي ارتفاع المعين. بالتعويض بدلاً من الارتفاع h = 2r في الصيغة السابقة ، نحصل على المساحة S = ha = 2ra

إذا لم يتم إعطاء جانب ، بل زاوية ، جنبًا إلى جنب مع نصف قطر الدائرة المنقوشة ، فيجب عليك أولاً إيجاد الضلع عن طريق رسم الارتفاع بطريقة للحصول على مثلث قائم الزاوية بزاوية معينة. ثم يمكن إيجاد الضلع a من العلاقات المثلثية بالصيغة . استبدال هذا التعبير في نفس الصيغة القياسية لمساحة المعين ، اتضح

المعين (من اليونانية القديمة ῥόμβος ومن المعين اللاتيني "الدف") هو متوازي أضلاع يتميز بوجود جوانب بنفس الطول. في الحالة التي تكون فيها الزوايا 90 درجة (أو الزاوية اليمنى) ، يسمى هذا الشكل الهندسي مربعًا. المعين هو شكل هندسي ، نوع من رباعي الزوايا. يمكن أن يكون مربعًا ومتوازي أضلاع.

أصل المصطلح

دعنا نتحدث قليلاً عن تاريخ هذا الرقم ، والذي سيساعد في الكشف قليلاً عن الأسرار الغامضة للعالم القديم. الكلمة المألوفة لنا ، والتي توجد غالبًا في الأدب المدرسي ، "rhombus" ، تنبع من الكلمة اليونانية القديمة "tambourine". في اليونان القديمة ، كانت هذه الآلات الموسيقية تُصنع على شكل معين أو مربع (على عكس التركيبات الحديثة). بالتأكيد لاحظت أن بدلة البطاقة - الدف - لها شكل معيني. يعود تشكيل هذه البدلة إلى الأيام التي لم يتم فيها استخدام الماس المستدير في الحياة اليومية. لذلك ، فإن المعين هو أقدم شخصية تاريخية اخترعتها البشرية قبل فترة طويلة من ظهور العجلة.

لأول مرة ، تم استخدام كلمة مثل "المعين" من قبل شخصيات مشهورة مثل هيرون وبابا الإسكندرية.

خصائص المعين

1. نظرًا لأن جانبي المعين متقابلان ومتوازيان معًا ، فإن المعين هو بلا شك متوازي أضلاع (AB || CD ، AD || BC).
2. تتقاطع الأقطار المعينية بزوايا قائمة (AC ⊥ BD) ، وبالتالي فهي متعامدة. لذلك ، فإن التقاطع يشطر الأقطار.
3. منصفات الزوايا المعينية هي أقطار المعين (∠DCA = ∠BCA ، ∠ABD = ∠CBD ، وما إلى ذلك).
4. من هوية متوازي الأضلاع ، يترتب على ذلك أن مجموع مربعات أقطار المعين هو رقم مربع الضلع ، مضروبًا في 4.

علامات المعين

المعين في تلك الحالات يكون متوازي أضلاع عندما يفي بالشروط التالية:

1. جميع جوانب متوازي الأضلاع متساوية.
2. تتقاطع أقطار المعين مع الزاوية اليمنى ، أي أنها متعامدة مع بعضها البعض (AC⊥BD). هذا يثبت قاعدة الأضلاع الثلاثة (الأضلاع متساوية وهي بزاوية 90 درجة).
3. يتشارك قطري متوازي الأضلاع في الزوايا بالتساوي ، لأن الأضلاع متساوية.

منطقة المعين

1. مساحة المعين تساوي الرقم الذي يمثل نصف حاصل ضرب جميع الأقطار.
2. نظرًا لأن المعين هو نوع من متوازي الأضلاع ، فإن مساحة المعين (S) هي رقم حاصل ضرب جانب متوازي الأضلاع وارتفاعه (h).
3. بالإضافة إلى ذلك ، يمكن حساب مساحة المعين باستخدام الصيغة التي هي حاصل ضرب الضلع التربيعي للمعين وجيب الزاوية. جيب الزاوية هو alpha - الزاوية بين جانبي المعين الأصلي.
4. الصيغة التي تكون حاصل ضرب ضعف الزاوية ألفا ونصف قطر الدائرة المنقوشة (r) تعتبر مقبولة تمامًا للحل الصحيح.