بناء البراهين الرياضية. طرق الإثبات الرياضي

1. طرق الإثبات الرياضي

2. دليل مباشر وغير مباشر. الإثبات بالتناقض.

3. النتائج الرئيسية

طرق الإثبات الرياضي

في الحياة اليوميةفي كثير من الأحيان ، عندما يتحدث المرء عن دليل ، يعني المرء ببساطة التحقق من التأكيد المعلن. في الرياضيات ، التحقق والإثبات شيئان مختلفان ، على الرغم من ارتباطهما. لنفترض ، على سبيل المثال ، أنه مطلوب إثبات أنه إذا كان الشكل الرباعي له ثلاث زوايا قائمة ، فهو مستطيل.

إذا أخذنا أي شكل رباعي بثلاث زوايا قائمة ، وقياسنا للرابع ، فإننا مقتنعون بأنه مستقيم حقًا ، فإن هذا التحقق سيجعل هذا البيان أكثر قبولًا ، ولكن لم يتم إثباته بعد.

لإثبات هذا البيان ، فكر في شكل رباعي تعسفي تكون فيه ثلاث زوايا صحيحة. نظرًا لأن مجموع الزوايا في أي شكل رباعي محدب هو 360 درجة ، فهو 360 درجة في هذه الزاوية. مجموع ثلاث زوايا قائمة هو 270⁰ (90⁰ 3 = 270⁰) ، فالزوايا الرابعة هي 90⁰ (360⁰ - 270⁰). إذا كانت جميع زوايا الشكل الرباعي زوايا قائمة ، فهو مستطيل ، وبالتالي فإن هذا الشكل الرباعي سيكون مستطيلاً. Q.E.D.

لاحظ أن جوهر الدليل هو بناء مثل هذا التسلسل من العبارات الصحيحة (النظريات ، البديهيات ، التعريفات) ، التي يتبع منها البيان الذي سيتم إثباته منطقيًا.

عمومًا إن إثبات بيان يعني إظهار أن هذا البيان يتبع منطقيًا نظام من العبارات الصحيحة وذات الصلة..

من الناحية المنطقية ، يُعتقد أنه إذا كانت العبارة قيد النظر تتبع منطقيًا من بيانات مثبتة بالفعل ، فإنها مبررة وصحيحة تمامًا مثل الأخيرة.

وبالتالي ، فإن أساس الدليل الرياضي هو الاستدلال الاستنتاجي. والدليل نفسه عبارة عن سلسلة من الاستدلالات ، واستنتاج كل منها (باستثناء الاستنتاج الأخير) هو مقدمة في أحد الاستنتاجات اللاحقة.

على سبيل المثال ، في الدليل أعلاه ، يمكن تمييز الاستنتاجات التالية:

1. في أي شكل رباعي محدب ، يكون مجموع الزوايا 360 درجة ؛ هذا الشكل هو شكل رباعي محدب ، لذلك مجموع الزوايا فيه هو 360 درجة.

2. إذا كان مجموع كل زوايا الشكل الرباعي ومجموع ثلاثة منها معروفًا ، فبإمكانك إيجاد قيمة الرابع عن طريق الطرح ؛ مجموع زوايا هذا الشكل الرباعي هو 360⁰ ، ومجموع الثلاثة هو 270⁰ (90⁰ 3 = 270⁰) ، ثم قيمة الرابع هي 360⁰ - 270⁰ = 90⁰.

3. إذا كانت جميع الزوايا قائمة في الشكل الرباعي ، فإن هذا الشكل الرباعي هو مستطيل. هذا الشكل الرباعي له جميع الزوايا القائمة ، لذا فهو مستطيل.

يتم إجراء جميع الاستنتاجات المذكورة أعلاه وفقًا لقاعدة الاستنتاج ، وبالتالي فهي استنتاجية.

يتكون الدليل الأبسط من استنتاج واحد. هذا ، على سبيل المثال ، هو الدليل على التأكيد على أن 6< 8.

لذا ، عند الحديث عن هيكل البرهان الرياضي ، يجب أن نفهم أنه ، أولاً وقبل كل شيء ، يتضمن البيان الذي يتم إثباته ، ونظام العبارات الصحيحة التي يتم بها البرهان.

وتجدر الإشارة أيضًا إلى أن البرهان الرياضي ليس مجرد مجموعة من الاستدلالات ، فهذه استنتاجات مرتبة بترتيب معين.

وفقًا لطريقة الإدارة (في الشكل) ، فإنهم يميزون مباشر و غير مباشر الدليل ل. كان الإثبات الذي تم اعتباره سابقًا مباشرًا - في ذلك ، بناءً على بعض الجمل الصحيحة ومع مراعاة حالة النظرية ، تم بناء سلسلة من الاستدلالات الاستنتاجية ، مما أدى إلى استنتاج حقيقي.

مثال على الأدلة الظرفية هو الدليل بالتناقض . جوهرها على النحو التالي. فليكن مطلوبًا لإثبات النظرية

A ⇒ B. عند إثبات التناقض ، يُفترض أن نتيجة النظرية (B) خاطئة ، وبالتالي فإن نفيها صحيح. بإضافة الجملة "ليس ب" إلى مجموعة المقدمات الحقيقية المستخدمة في عملية الإثبات (من بينها الشرط أ) ، فإنهم يبنون سلسلة من الاستدلالات الاستنتاجية حتى يتم الحصول على بيان يتعارض مع أحد المقدمات المنطقية ، وعلى وجه الخصوص ، الشرط أ. بمجرد إثبات هذا التناقض ، تكتمل عملية الإثبات ويقال إن التناقض الناتج يثبت صحة النظرية

المشكلة 1. برهن أنه إذا كانت a + 3> 10 ، ثم a 7. طريقة التناقض.

المهمة 2. إثبات أنه إذا x² - رقم زوجي، إذن x يساوي. الطريقة المعاكسة.

المشكلة 3. أعطيت أربعة أعداد طبيعية متتالية. هل صحيح أن حاصل ضرب متوسطات هذا التسلسل المزيد من الأعمال الفنيةمتطرف بمقدار 2؟ طريقة الاستقراء غير المكتمل.

الاستقراء الكامل- هذه طريقة إثبات تنبع فيها حقيقة البيان من حقيقته في جميع الحالات الخاصة.

المشكلة 4. إثبات أن كل عدد طبيعي مركب أكبر من 4 ولكن أقل من 20 يمكن تمثيله كمجموع اثنين من الأعداد الأولية.

المشكلة 5. هل صحيح أنه إذا كان العدد الطبيعي n ليس من مضاعفات 3 ، فإن قيمة التعبير n² + 2 هي مضاعف 3؟ طريقة الحث الكامل.

الاستنتاجات الرئيسية

في هذه المرحلة ، تعرفنا على المفاهيم: الاستدلال ، والفرضية والاستنتاج ، والاستدلال الاستنتاجي (الصحيح) ، والاستقراء غير الكامل ، والقياس ، والأدلة المباشرة ، والأدلة غير المباشرة ، والاستقراء الكامل.

وجدنا أن الاستقراء غير المكتمل والقياس يرتبطان ارتباطًا وثيقًا بالاستنتاج: الاستنتاجات التي تم الحصول عليها باستخدام الاستقراء والقياس غير الكامل يجب إما إثباتها أو دحضها. من ناحية أخرى ، لا ينشأ الخصم من نقطة الصفر ، ولكنه نتيجة دراسة استقرائية أولية للمادة.

يجعل التفكير الاستنتاجي من الممكن الحصول على حقائق جديدة من المعرفة الموجودة ، علاوة على ذلك ، بمساعدة التفكير ، دون اللجوء إلى الخبرة أو الحدس ، إلخ.

لقد اكتشفنا أن الدليل الرياضي هو سلسلة من الاستدلالات الاستنتاجية التي يتم إجراؤها وفقًا لقواعد معينة. تعرفنا على أبسطها: قاعدة الاستنتاج ، قاعدة النفي ، قاعدة القياس. تعلمنا أنه يمكنك التحقق من صحة الاستنتاجات باستخدام دوائر أويلر.

مشكلة النص وعملية حلها

المحاضرة 11

1. بنية مشكلة النص

2. طرق وطرق حل المشكلات الكلامية

3. مراحل حل المشكلة وطرق تنفيذها

إلا مفاهيم مختلفةوالاقتراحات والأدلة في أي دورة الرياضياتهناك مهام. في تدريس الرياضيات تلاميذ المدارستسود تلك التي تسمى الحسابية والنصية والمؤامرة. تمت صياغة هذه المهام بلغة طبيعية (يطلق عليها نص):عادة ما يصفون الجانب الكمي لبعض الظواهر والأحداث (لذلك يطلق عليهم غالبًا علم الحسابأو حبكة)؛إنها مهام للعثور على المطلوب ويتم تقليلها إلى الحساب قيمة غير معروفةمن بعض الحجم (وهذا هو سبب تسميتها أحيانًا الحوسبة).

في هذا الدليل ، سوف نستخدم مصطلح "مشاكل النص" ، حيث أنه يستخدم غالبًا في منهجية تدريس الرياضيات للطلاب الأصغر سنًا.

حل مشاكل النص مع تعليم ابتدائياهتماما كبيرا. هذا يرجع إلى حقيقة أن مثل هذه المهام ليست في كثير من الأحيان مجرد وسيلة لتشكيل العديد مفاهيم رياضية، ولكن الأهم - وسيلة لتطوير المهارات للبناء النماذج الرياضيةظواهر حقيقية ووسيلة لتنمية تفكير الأطفال.

هناك العديد المناهج المنهجيةلتعليم الأطفال حل مشاكل الكلمات. ولكن بغض النظر عن طريقة التدريس التي يختارها المعلم ، فإنه يحتاج إلى معرفة كيفية ترتيب هذه المهام ويكون قادرًا على حلها. أساليب مختلفةوالطرق.

بنية مهمة نصية

كما ذكر أعلاه ، أي مهمة نصيةهو وصف لظاهرة (حالة ، عملية). من وجهة النظر هذه ، فإن المهمة النصية هي نموذج لفظي لظاهرة (موقف ، عملية). وكما هو الحال في أي نموذج ، فإن المهمة النصية لا تصف الظاهرة برمتها ، بل تصف فقط بعض جوانبها ، وخاصة خصائصها الكمية. تأمل ، على سبيل المثال ، المشكلة التالية: "تركت السيارة النقطة A بسرعة 60 كم / ساعة. بعد ساعتين ، تبعته سيارة ثانية بسرعة 90 كم / ساعة. على أي مسافة من A ستتجاوز السيارة الثانية الأولى؟

المشكلة تصف حركة سيارتين. كما تعلم فإن أي حركة تتميز بثلاث كميات: المسافة المقطوعة والسرعة وزمن الحركة. في هذه المشكلة تعرف سرعتا السيارتين الأولى والثانية (60 كم / س و 90 كم / س) ، ومن المعروف أنهما قطعتا نفس المسافة من النقطة أ إلى نقطة الالتقاء ، الخاصية الكميةالتي يجب العثور عليها. بالإضافة إلى ذلك ، من المعروف أن السيارة الأولى كانت على الطريق لمدة ساعتين أكثر من الثانية.

تلخيصًا ، يمكننا القول أن المهمة النصية عبارة عن وصف لغة طبيعيةظاهرة معينة (حالة ، عملية) مع اشتراط إعطاء وصف كمي لأي مكون لهذه الظاهرة ، لإثبات وجود أو عدم وجود علاقة ما بين المكونات ، أو لتحديد نوع هذه العلاقة.

النظر في مشكلة أخرى من الدورة الأوليةعلماء الرياضيات: "لقد تم حياكة السترة والقبعة والوشاح من وزن 200 جم من الصوف. يتطلب الأمر 100 جرام من الصوف للوشاح أكثر من القبعة ، و 400 جرام أقل من السترة. ما هي كمية الصوف التي تم استخدامها لكل قطعة؟

في المهمة نحن نتكلمحول إنفاق الصوف على سترة وقبعة ووشاح. فيما يتعلق بهذه الأشياء ، هناك شيء مؤكد صياغاتو المتطلبات.

صياغات:

1. سترة وقبعة ووشاح محبوكة من 1200 جرام من الصوف.

2. أنفقنا 100 جرام على الوشاح أكثر من القبعة.

3. 400 جرام أقل على الوشاح مقارنة بالسترة.

متطلبات:

1. ما هي كمية الصوف التي استخدمتها للسترة؟

2. ما هي كمية الصوف التي استخدمتها للقبعة؟

3. ما هي كمية الصوف التي استخدمتها للوشاح؟

يتم استدعاء عبارات المهمة الظروف(أو شرط ، كما في المدرسة الابتدائية). في المهمة ، لا يوجد عادة شرط واحد ، ولكن هناك عدة شروط أولية. إنها تمثل الخصائص الكمية أو النوعية لأشياء المهمة والعلاقات فيما بينها. قد يكون هناك العديد من المتطلبات في المهمة. يمكن صياغتها في كل من الاستفهام و شكل الإيجابي. الشروط والمتطلبات مترابطة.

يسمى نظام الشروط والمتطلبات المترابطة بالنموذج المقترح للمهمة.

وبالتالي ، من أجل فهم ماهية هيكل المهمة ، من الضروري تحديد شروطها ومتطلباتها ، وتجاهل كل شيء غير ضروري ، ثانوي ، لا يؤثر على هيكلها. بمعنى آخر ، من الضروري بناء نموذج افتراضي للمشكلة.

للحصول على هذا النموذج ، من الضروري توسيع نص المهمة (يمكن القيام بذلك كتابيًا أو شفهيًا) ، نظرًا لأن نص المهمة ، كقاعدة عامة ، يتم تقديمه في شكل مختصر مطوي. للقيام بذلك ، يمكنك إعادة صياغة المشكلة وبناءها نموذج رسومي، إدخال بعض التعيينات ، إلخ.

بالإضافة إلى ذلك ، يمكن عزل ظروف المشكلة بأعماق مختلفة. يعتمد عمق تحليل شروط ومتطلبات المشكلة بشكل أساسي على ما إذا كنا على دراية بنوع المشكلة التي تنتمي إليها المشكلة المعينة ، وما إذا كنا نعرف كيفية حل هذه المشكلات.

مثال 1. صِغ شروط ومتطلبات المهمة:

ركضت فتاتان في وقت واحد باتجاه بعضهما البعض على طول مضمار رياضي ، يبلغ طوله 420 مترًا ، وعندما التقيا ، ركضت الأولى 60 مترًا أكثر من الثانية. ما مدى سرعة الجري كل فتاة إذا التقيا بعد 30 ثانية؟

المشكلة تدور حول حركة فتاتين تجاه بعضهما البعض. كما تعلم فإن الحركة تتميز بثلاث مقادير: المسافة والسرعة والوقت.

شروط المشكلة:

1. فتاتان تجري نحو بعضهما البعض.

2. بدأوا في التحرك في نفس الوقت.

3. المسافة التي ركضوا بها 420 م.

4. ركضت إحدى الفتيات 60 متراً أكثر من الأخرى.

5. اجتمعت الفتيات بعد 30 ثانية.

6. سرعة حركة الفتاة أكثر من سرعة الحركة
اخر.

متطلبات المهمة:

1. ما مدى سرعة الجري الفتاة الأولى؟

2. ما السرعة التي ركضت بها الفتاة الثانية؟

فيما يتعلق بالشروط والمتطلبات ، هناك:

أ) بعض المهام -لديهم العديد من الشروط المعطاة
ضرورية وكافية لتلبية المتطلبات ؛

ب) مهام غير محددة -فيهم الظروف لا تكفي للحصول على إجابة ؛

في) إعادة تعريف المهام -لديهم شروط إضافية.

في مدرسة إبتدائيةتعتبر المهام غير المحددة على أنها مهام ذات بيانات مفقودة ، وتعتبر المهام المحددة بشكل زائد مهام ذات بيانات زائدة عن الحاجة.

على سبيل المثال ، المهمة "كان هناك 5 أشجار تفاح و 2 كرز و 3 بتولا بالقرب من المنزل. كم عدد أشجار الفاكهة التي نمت بالقرب من المنزل؟ تم تجاوزه لأنه يحتوي على شرط إضافي.

المهمة "تم إخراج أول 12 كرسيًا من القاعة ، ثم 5 كراسي أخرى. كم عدد الكراسي المتبقية في القاعة؟" غير محدد - لا توجد شروط كافية فيه للإجابة على السؤال المطروح.

دعونا الآن نوضح معنى مصطلح "حل المشكلة". لقد حدث أن هذا المصطلح يشير مفاهيم مختلفة:

1) النتيجة تسمى حل المشكلة أي استجابة للطلب
مهام؛

2) تسمى عملية إيجاد هذه النتيجة حل المشكلة ، ويتم النظر في هذه العملية بطريقتين: كلاهما كطريقة لإيجاد النتيجة (على سبيل المثال ، يتحدثون عن حل المشكلة بطريقة حسابية) وكذلك تسلسل من تلك الإجراءات التي يقوم بها المحلل باستخدام طريقة أو أخرى (على سبيل المثال ، في هذه القضيةتحت
يُفهم حل المشكلة على أنه النشاط الكامل للشخص الذي يحل المشكلة).

تمارين

1. في المهام التالية ، قم بتسليط الضوء على الشروط والمتطلبات:

أ) انطلقت حافلتان في وقت واحد من المدينة إلى القرية بمسافة 72 كم. وصلت الحافلة الأولى إلى القرية قبل 15 دقيقة من الثانية. ما هي سرعة كل حافلة إذا كانت سرعة إحداها تزيد عن سرعة الأخرى بمقدار 4 كم / ساعة؟

ب) مجموع عددين هو 199. أوجد هذين الرقمين إذا كان أحدهما يزيد 61 عن الآخر.

2. قم بصياغة المهام من التمرين 1 بحيث لا تحتوي الجملة التي تحتوي على المتطلب على شروط.

3. في المشاكل من التمرين 1 صيغة الأمراستبدل المتطلبات بمتطلبات استفهام ، وواحدة استفهام بأخرى ضرورية.

4. حل المشاكل من التمرين الأول.

5. شروط المشكلة: "جمعنا 42 كغم من الخيار ومملح 5/7 من الخيار".

من القائمة أدناه ، حدد متطلبات هذا الشرط وحل المشكلة الناتجة:

أ) كم كيلوجرام من الخيار تبقى غير مملحة؟

ب) كم كيلو جرام من الطماطم بقيت غير مملحة؟

ج) أيهما أكبر - كتلة الخيار المملح أم كتلة الخيار التي ظلت غير مملحة؟

6. صياغة المتطلبات المحتملة لظروف المشكلة:

أ) اشترينا 12 مترًا من القماش وقضينا ثلث القماش على فستان.

ب) غادر أحد المشاة القرية ، وبعد ساعتين غادر خلفه راكب دراجة. سرعة الدراج 10 كم / س وسرعة المشاة 5 كم / س.

7. ما هي البيانات المطلوبة للإجابة على المتطلبات التالية
مهام:

أ) أي جزء من الدرس يستخدم لحل المشكلة؟

ب) كم عدد الفساتين المصنوعة من القماش الذي تم شراؤه؟

ج) أوجد محيط المستطيل.

8. تم تكليف الطالب بما يلي: "ركب الدراج لمدة ساعتين معه
بعض السرعة. بعد أن يسافر 60 كم بنفس الشيء
السرعة ، مسارها سيكون 48 كم. ما السرعة التي قادت بها
دراج؟ " لقد حلها على النحو التالي:

1) 60-48 = 12 (كم)

2) 12: 2 = 6 (كم / ساعة)

إجابه: 6 كم / ساعة هي سرعة الدراج.

هل توافق على هذا الحل لهذه المشكلة؟

9. هل يمكنك الإجابة عن متطلبات المشكلة التالية:

أ) تم دفع 60 ألف روبل مقابل 3 أمتار من القماش. في المرة الثانية اشترينا 6 أمتار من القماش. كم من المال تم دفعه مقابل شراء القماش للمرة الثانية؟

ب) اثنان من سائقي الدراجات النارية يتجهان نحو بعضهما البعض. سرعة إحداهما 62 كم / س ، وسرعة الأخرى 54 كم / س. في كم ساعة سيلتقي راكبو الدراجات النارية؟

إذا كان من المستحيل الإجابة على متطلبات المشكلة ، استكمل حالتها وحل المشكلة.

10. هل هناك أي مهام تحتوي على بيانات إضافية من بين ما يلي:

أ) حجم الغرفة 72 متر مكعب. ارتفاع الغرفة 3 م أوجد مساحة أرضية الغرفة إذا كان طولها 6 م.

5) تم تخصيص مساحة 300 هكتار لزراعة غابة. تم زرع Du6s في 7/10 من قطعة الأرض ، وأشجار الصنوبر في 3/10 من قطعة الأرض. كم هكتارا تشغلها أشجار البلوط والصنوبر؟

إذا كانت المهمة تحتوي على بيانات إضافية ، فاستبعدها وحل المهمة.

إن إثبات بيان يعني إظهار أن هذا البيان يتبع منطقيًا نظام من العبارات الصحيحة وذات الصلة.

وبالتالي ، فإن أساس الدليل الرياضي هو طريقة استنتاجية. الدليل عبارة عن مجموعة من الأساليب المنطقية لإثبات صحة البيان بمساعدة بيانات أخرى صحيحة وذات صلة.

الدليل الرياضي ليس مجرد مجموعة من الاستدلالات ، إنه استدلالات مرتبة بترتيب معين.

الدليل يميز بين المباشر وغير المباشر.

أدلة مباشرة.

1) بناءً على بعض الجمل الصحيحة وشرط النظرية ، يتم بناء سلسلة من الاستدلالات الاستنتاجية التي تؤدي إلى استنتاج حقيقي.

مثال. دعنا نثبت ذلك الزوايا العموديمتساوية. الزاويتان 1 و 2 متجاورتان ، بالتالي ، 1 + 2 = 180 درجة. الزاويتان 2 و 3 متجاورتان ، وبالتالي ، 2 + 3 = 180 درجة. لدينا: 1 = 180 o –23 = 180 o –21 = 2.

2) طريقة الاستقراء الرياضي. البيان صحيح للجميع عدد طبيعي صإذا: فهو صالح لـ ص= 1 ومن صحة التوكيد عن أي اعتباطية طبيعية ص=كيتبع عدالته ل ص=ك+ 1. (ستتم مناقشة المزيد من التفاصيل في دورات التخرج).

3) الاستقراء الكامل (انظر سابقًا).

دليل غير مباشر.

1) طريقة التناقض. فليكن مطلوبًا لإثبات النظرية لكنفي. من المفترض أن استنتاجها خاطئ ، وبالتالي نفيها حقيقي. عن طريق إرفاق عرض إلى مجموعة المقدمات الحقيقية المستخدمة في عملية الإثبات (من بينها الشرط لكن) ، قم ببناء سلسلة من التفكير الاستنتاجي حتى يتم الحصول على بيان يتعارض مع أحد المقدمات. التناقض الناتج يثبت النظرية.

مثال. إذا كان هناك خطان متوازيان مع نفس الخط ، فسيكونان متوازيين مع بعضهما البعض.

معطى: X مع,في مع. اثبت ذلك X في.

دليل - إثبات. دع الخط Xلا يوازي الخط في، بمعنى آخر. تتقاطع الخطوط في مرحلة ما لكن. لذلك ، من خلال النقطة لكنمرر سطرين موازيين للخط مع، وهو أمر مستحيل من خلال بديهية التوازي.

2) الإثبات على أساس قانون المخالفة: بدلاً من النظرية لكنفيإثبات نظرية مكافئة
. إذا كان هذا صحيحًا ، فإن النظرية الأصلية صحيحة أيضًا.

مثال. اذا كان X 2 هو رقم زوجي إذن X- رقم زوجي.

دليل - إثبات. دعونا نتظاهر بذلك Xهو رقم فردي ، أي X= 2ك+ 1X 2 = (2ك+ 1) 2 = = 4ك 2 + 4ك+ 1 = 2(2ك 2 + 2ك) + 1 غريب.

أسئلة الاختبار

ما يسمى الاستدلال؟

أي نوع من التفكير يسمى استنتاجي؟

إعطاء تعريفات الاستقراء غير الكامل والكامل.

حدد الاستدلال بالقياس.

اكتب مخططات التفكير الاستنتاجي وأثبت الحقيقة المتطابقة للصيغ التي تقوم عليها هذه القواعد.

كيف تتحقق من صحة الاستنتاجات باستخدام دوائر أويلر؟ ما هي الطرق الأخرى المعروفة للتحقق من صحة الاستدلالات؟

ما هو الاستنتاج الذي يسمى السفسطة؟

ماذا يعني إثبات بيان؟

ما هي الأدلة التي تتميز بأسلوب إجراء؟

صف الطرق التي يتم بها التفكير أشكال مختلفةدليل مباشر وغير مباشر.

الطريقة الرئيسية في البحث الرياضيهي براهين رياضية - تفكير منطقي صارم. بحكم الضرورة الموضوعية ، يشير العضو المراسل في الأكاديمية الروسية للعلوم L.D. Kudryavtsev Kudryavtsev L.D. - الرياضيات الحديثة وتدريسها ، موسكو ، ناوكا ، 1985 ، التفكير المنطقي (الذي بطبيعته ، إذا كان صحيحًا ، صارم أيضًا) هو طريقة في الرياضيات ، والرياضيات لا يمكن تصورها بدونها. وتجدر الإشارة إلى أن التفكير الرياضي لا يقتصر على التفكير المنطقي. إلى عن على الإعداد الصحيحالمهمة ، لتقييم بياناتها ، وتسليط الضوء على البيانات الأساسية واختيار طريقة لحلها ، هناك حاجة أيضًا إلى الحدس الرياضي ، والذي يسمح للمرء بالتنبؤ بالنتيجة المرجوة قبل الحصول عليها ، لتحديد مسار البحث بمساعدة المنطق المعقول. لكن ثبت صحة الحقيقة قيد النظر ليس بالتحقق منها في عدد من الأمثلة ، وليس من خلال إجراء عدد من التجارب (التي تلعب في حد ذاتها دورًا كبيرًا في البحث الرياضي) ، ولكن بطريقة منطقية بحتة ، وفقًا لـ قوانين المنطق الرسمي.

يعتقد أن الدليل الرياضي هو الحقيقة المطلقة. لا يمكن أن يكون القرار الذي يستند إلى منطق محض خطأ. ولكن مع تطور العلم والمهام قبل أن يصبح علماء الرياضيات أكثر تعقيدًا.

"لقد دخلنا حقبة عندما جهاز رياضييقول كيث ديفلين من جامعة ستانفورد في كاليفورنيا بالولايات المتحدة الأمريكية: "لقد أصبحت معقدة ومرهقة للغاية لدرجة أنه للوهلة الأولى لم يعد من الممكن معرفة ما إذا كانت المشكلة التي تمت مواجهتها صحيحة أم لا". ويذكر كمثال "تصنيف المجموعات المحدودة البسيطة" ، الذي تمت صياغته في عام 1980 ، ولكن لم يتم تقديم دليل دقيق كامل بعد. على الأرجح ، النظرية صحيحة ، لكن من المستحيل الجزم بذلك.

لا يمكن تسمية حل الكمبيوتر بدقة أيضًا ، لأن مثل هذه الحسابات بها دائمًا خطأ. في عام 1998 ، اقترح هالز حلاً بمساعدة الكمبيوتر لنظرية كبلر ، التي تمت صياغتها مرة أخرى في عام 1611. تصف هذه النظرية التعبئة الأكثر كثافة للكرات في الفضاء. قُدم الدليل في 300 صفحة واحتوى على 40.000 سطر من كود الآلة. قام 12 مراجعًا بفحص الحل لمدة عام ، لكنهم لم يحققوا ثقة بنسبة 100٪ في صحة الإثبات ، وتم إرسال الدراسة للمراجعة. ونتيجة لذلك ، لم يتم نشره إلا بعد أربع سنوات وبدون الحصول على شهادة كاملة من المراجعين.

كافة الحسابات الأخيرة لـ المهام التطبيقيةيتم إجراؤها على جهاز كمبيوتر ، لكن العلماء يعتقدون أنه لمزيد من الموثوقية ، يجب تقديم الحسابات الرياضية دون أخطاء.

تم تطوير نظرية الإثبات في المنطق وتشمل ثلاثة مركبات اساسيه: الأطروحة (ما من المفترض إثباته) ، والحجج (مجموعة من الحقائق ، والمفاهيم المقبولة عمومًا ، والقوانين ، وما إلى ذلك من العلوم ذات الصلة) والشرح (إجراء نشر الأدلة نفسها ؛ سلسلة متسلسلة من الاستدلالات عندما ن- يصبح الاستدلال أحد المباني ن + 1الاستدلال). قواعد الإثبات مميزة ، يشار إلى الأخطاء المنطقية المحتملة.

يشترك الدليل الرياضي كثيرًا مع المبادئ التي وضعها المنطق الرسمي. بالإضافة إلى، القواعد الرياضيةمن الواضح أن التفكير والعمليات كانا بمثابة أحد الأسس في تطوير إجراءات الإثبات في المنطق. على وجه الخصوص ، يعتقد الباحثون في تاريخ تكوين المنطق الرسمي أنه في وقت ما ، عندما اتخذ أرسطو الخطوات الأولى لإنشاء قوانين وقواعد المنطق ، تحول إلى الرياضيات وممارسة النشاط القانوني. في هذه المصادر ، وجد مادة للتركيبات المنطقية للنظرية المتصورة.

في القرن العشرين ، فقد مفهوم الإثبات معناه الصارم ، وهو ما حدث فيما يتعلق بالاكتشاف مفارقات منطقيةمخفية في نظرية المجموعات ، وخاصة فيما يتعلق بالنتائج التي جلبتها نظريات K.Gödel حول عدم اكتمال الصفة الرسمية.

بادئ ذي بدء ، أثر هذا على الرياضيات نفسها ، حيث كان يُعتقد أن مصطلح "إثبات" لا يوجد التعريف الدقيق. لكن إذا كان مثل هذا الرأي (الذي لا يزال قائماً حتى اليوم) يؤثر على الرياضيات نفسها ، فإنهم يتوصلون إلى استنتاج مفاده أنه يجب قبول الدليل ليس في المنطق الرياضي ، ولكن في الحس النفسي. علاوة على ذلك ، تم العثور على وجهة نظر مماثلة في أرسطو نفسه ، الذي يعتقد أن إثبات وسيلة لإدارة التفكير الذي من شأنه أن يقنعنا لدرجة أننا ، باستخدامه ، نقنع الآخرين بصحة شيء ما. ظل معين نهج نفسينجد في A.E. Yesenin-Volpin. إنه يعارض بشدة قبول الحقيقة بدون دليل ، ويربطها بفعل إيماني ، ويكتب كذلك: "إنني أسمي إثبات الحكم طريقة صادقة تجعل هذا الحكم لا يمكن إنكاره". يفيد يسينين فولبين أن تعريفه لا يزال بحاجة إلى توضيح. في الوقت نفسه ، ألا يخون توصيف الأدلة على أنها "طريقة صادقة" مناشدة تقييم أخلاقي - نفسي؟

في الوقت نفسه ، ساهم اكتشاف مفارقات نظرية المجموعات وظهور نظريات وديل في تطوير نظرية الإثبات الرياضي التي قام بها علماء الحدس ، وخاصة الاتجاه البنائي ، ود.

يُعتقد أحيانًا أن الدليل الرياضي له طبيعة عامة ويمثل الخيار الأمثل دليل علمي. ومع ذلك ، فهي ليست الطريقة الوحيدة ؛ هناك طرق أخرى للإجراءات والعمليات القائمة على الأدلة. صحيح فقط أن البرهان الرياضي له الكثير من القواسم المشتركة مع الدليل المنطقي الرسمي المطبق في العلوم الطبيعية ، وأن البرهان الرياضي له خصائص معينة ، بالإضافة إلى مجموعة تقنيات العمليات. هذا هو المكان الذي سنتوقف فيه ، مع حذف الشيء العام الذي يجعله مرتبطًا بأشكال أخرى من الأدلة ، أي دون توسيع الخوارزمية ، والقواعد ، والأخطاء ، وما إلى ذلك في جميع الخطوات (حتى الرئيسية منها). عملية الإثبات.

البرهان الرياضي هو تفكير له مهمة إثبات الحقيقة (بالطبع ، في الرياضيات ، أي الاستنتاج ، المعنى) للبيان.

تم تشكيل مجموعة القواعد المستخدمة في الإثبات مع ظهور الإنشاءات البديهية النظرية الرياضية. تم تحقيق ذلك بشكل واضح وكامل في هندسة إقليدس. أصبحت "مبادئه" نوعًا من المعايير النموذجية للتنظيم البديهي للمعرفة الرياضية ، وظلت لفترة طويلة على هذا النحو لعلماء الرياضيات.

يجب أن تضمن البيانات المقدمة في شكل تسلسل معين استنتاجًا ، والذي يعتبر ، وفقًا لقواعد التشغيل المنطقي ، مثبتًا. يجب التأكيد على أن تفكيرًا معينًا هو دليل فقط فيما يتعلق ببعض الأنظمة البديهية.

عند توصيف البرهان الرياضي ، يتم تمييز سمتين رئيسيتين. بادئ ذي بدء ، حقيقة أن البرهان الرياضي يستبعد أي إشارة إلى الأدلة التجريبية. يتم تنفيذ الإجراء الكامل لإثبات حقيقة الاستنتاج في إطار البديهيات المقبولة. ويؤكد الأكاديمي أ.د. أليكساندروف في هذا الصدد. يمكنك قياس زوايا المثلث آلاف المرات والتأكد من أنها تساوي 2 د. لكن الرياضيات لا تثبت أي شيء. سوف تثبت ذلك له إذا استنتجت البيان أعلاه من البديهيات. دعنا نكرر. هنا الرياضيات قريبة من مناهج المذهب المدرسي ، والتي ترفض أيضًا بشكل أساسي الجدل من خلال الحقائق المعطاة تجريبيًا.

على سبيل المثال ، عندما تم اكتشاف عدم قابلية المقاطع للقياس ، عند إثبات هذه النظرية ، يتم استدعاء تجربة جسدية، أولاً ، لأن مفهوم "عدم القابلية للقياس" يخلو من الحس المادي، وثانيًا ، علماء الرياضيات ، عندما يتعاملون مع التجريد ، لم يتمكنوا من تقديم امتدادات ملموسة حقيقية ، تقاس بجهاز حسي بصري. تم إثبات عدم قابلية القياس ، على وجه الخصوص ، للجانب والقطر للمربع ، بناءً على خاصية الأعداد الصحيحة باستخدام نظرية فيثاغورس على مساواة مربع الوتر (على التوالي ، القطر) لمجموع مربعات الساقين (جانبان مثلث قائم). أو عندما طلب Lobachevsky تأكيدًا لهندسته بالإشارة إلى النتائج الملاحظات الفلكية، ثم تم هذا التأكيد من قبله عن طريق المضاربة البحتة الطبيعة. تميزت تفسيرات كايلي كلاين وبلترامي للهندسة غير الإقليدية أيضًا بشكل نموذجي بالرياضيات بدلاً من الأشياء المادية.

السمة الثانية للإثبات الرياضي هي أعلى درجة من التجريد ، حيث تختلف عن إجراءات الإثبات في العلوم الأخرى. ومرة أخرى ، كما في حالة مفهوم الشيء الرياضي ، لا يتعلق الأمر بدرجة التجريد فحسب ، بل يتعلق بطبيعته. الحقيقة انه مستوى عاليصل البرهان إلى التجريد في عدد من العلوم الأخرى ، على سبيل المثال ، في الفيزياء وعلم الكونيات وبالطبع في الفلسفة ، لأن المشاكل النهائية للوجود والتفكير تصبح موضوع الأخير. من ناحية أخرى ، تتميز الرياضيات بحقيقة أن المتغيرات تعمل هنا ، ومعنى ذلك هو تجريد من أي خصائص محددة. تذكر أن المتغيرات ، بحكم تعريفها ، هي إشارات ليس لها معاني في حد ذاتها وتكتسب الأخيرة فقط عندما يتم استبدال أسماء كائنات معينة بها (المتغيرات الفردية) أو عند الإشارة إلى خصائص وعلاقات محددة (المتغيرات الأصلية) ، أو أخيرًا ، في حالات استبدال متغير بعبارة ذات معنى (متغير اقتراح).

تحدد الميزة الملحوظة طبيعة التجريد الشديد للعلامات المستخدمة في البرهان الرياضي ، وكذلك البيانات ، والتي تتحول إلى عبارات بسبب إدراج المتغيرات في هيكلها.

إن إجراء الإثبات ذاته ، المحدد في المنطق على أنه برهان ، يستمر على أساس قواعد الاستدلال ، التي على أساسها يتم تنفيذ الانتقال من بيان مثبت إلى آخر ، مما يشكل سلسلة متسقة من الاستدلالات. الأكثر شيوعًا هما القاعدتان (الاستبدال واشتقاق الاستنتاجات) ونظرية الاستنتاج.

حكم الاستبدال. في الرياضيات ، يتم تعريف الاستبدال على أنه استبدال كل عنصر من العناصر أ مجموعة معينةبعض العناصر الأخرى لـ F ( أ) من نفس المجموعة. في المنطق الرياضيتتم صياغة قاعدة الاستبدال على النحو التالي. إذا كانت الصيغة صحيحة مفي حساب التفاضل والتكامل يحتوي على حرف ، على سبيل المثال أ، ثم استبداله أينما حدث بحرف تعسفي د، نحصل على صيغة صحيحة أيضًا ، مثل الصيغة الأصلية. هذا ممكن ، ومقبول على وجه التحديد لأنه في حساب القضايا يستخلص المرء من معنى الافتراضات (الصيغ) ... فقط القيم "صواب" أو "خطأ" تؤخذ في الاعتبار. على سبيل المثال ، في الصيغة م: أ ->(بيو أ) في المكان أاستبدل التعبير ( أيو ب) ، ونتيجة لذلك نحصل على صيغة جديدة ( أيو ب) -->[(بيو ( أيو ب) ].

تتوافق قاعدة استخلاص الاستنتاجات مع بنية أسلوب القياس المنطقي المشروط (الوضع الإيجابي) في منطق رسمي. تبدو هكذا:

أ -> ب

أ .

إعطاء بيان ( أ-> ب) ولا يزال يعطى أ. وبالتالي ب.

على سبيل المثال: إذا كانت تمطر ، فالرصيف رطب ، إنها تمطر ( أ) ، لذلك فإن الرصيف رطب ( ب). في المنطق الرياضي ، يتم كتابة هذا القياس على النحو التالي ( أ-> ب) أ-> ب.

يتم تحديد الاستدلال ، كقاعدة عامة ، بالفصل للتضمين. إذا أعطيت المعنى الضمني ( أ-> ب) وما سبقه ( أ) ، إذن لدينا الحق في أن نضيف إلى التعليل (الدليل) أيضًا نتيجة هذا المعنى الضمني ( ب). القياس المنطقي قسري ، ويشكل ترسانة من وسائل الإثبات الاستنتاجية ، أي أنها تلبي تمامًا متطلبات التفكير الرياضي.

تلعب نظرية الاستنتاج دورًا رئيسيًا في الإثبات الرياضي - اسم شائعلعدد من النظريات ، الإجراء الذي يجعل من الممكن إثبات إمكانية إثبات ضمني: أ-> بعندما يكون هناك اشتقاق منطقي للصيغة بمن الصيغة أ. في النسخة الأكثر شيوعًا من حساب التفاضل والتكامل (في الرياضيات الكلاسيكية والحدسية وأنواع أخرى من الرياضيات) ، تنص نظرية الاستنتاج على ما يلي. بالنظر إلى نظام الطرود G وطرد أ، والتي ، وفقًا للقواعد ، نستمد منها بز أ ب(- علامة القابلية للاشتقاق) ، ثم يترتب على ذلك أنه فقط من مباني G يمكن للمرء الحصول على جملة أ -> ب.

لقد نظرنا في النوع ، وهو دليل مباشر. في الوقت نفسه ، يتم استخدام ما يسمى بالأدلة غير المباشرة أيضًا في المنطق ؛ هناك أدلة غير مباشرة يتم نشرها وفقًا للمخطط التالي. عدم وجود فرصة ، بسبب عدد من الأسباب (عدم إمكانية الوصول إلى موضوع الدراسة ، وفقدان حقيقة وجوده ، وما إلى ذلك) لإجراء دليل مباشر على حقيقة أي بيان أو أطروحة ، فإنهم يبنون نقيضًا. إنهم مقتنعون بأن التناقض يؤدي إلى تناقضات ، وبالتالي فهو خاطئ. ثم ، من حقيقة زيف التناقض ، فإنهم يصنعون - على أساس قانون الوسط المستبعد ( أالخامس ) - استنتاج حول حقيقة الأطروحة.

في الرياضيات ، يستخدم أحد أشكال الإثبات غير المباشر على نطاق واسع - الإثبات بالتناقض. إنها قيمة بشكل خاص ، وفي الواقع ، لا غنى عنها في قبول المفاهيم والأحكام الأساسية للرياضيات ، على سبيل المثال ، مفهوم اللانهاية الفعلية ، والتي لا يمكن تقديمها بأي طريقة أخرى.

يتم تمثيل عملية الإثبات بالتناقض في المنطق الرياضي على النحو التالي. بالنظر إلى سلسلة من الصيغتين G والنفي أ(ز ، أ). إذا كان هذا يتبع بونفيها (G ، أ ب ، غير ب) ، ثم يمكننا أن نستنتج أن تسلسل الصيغ G يدل على الحقيقة أ. بعبارة أخرى ، تنبع حقيقة الأطروحة من زيف النقيض.

دعونا نعطي مثالاً على استخدام الاستقراء غير المكتمل في العمل مع الأطفال في سن ما قبل المدرسة: استخدام اللعبة " الحقيبة المعجزة»ضخمة الأشكال الهندسية، نباح المهمة للطفل: "احصل على الشكل وقم بتسميته." بعد عدة محاولات يخمن الطفل:

كرة. كرة. كرة. هنا ، على الأرجح ، كل الكرات.

المهمة 14

اقترح المزيد من التفكير من أجل التحقق من صحة (أو زيف) البيان الناتج.

من المستحيل المبالغة في تقدير أهمية الأدلة في حياتنا وخاصة في العلم. يلجأ الجميع إلى الأدلة ، لكنهم لا يفكرون دائمًا في معنى "الإثبات *". المهارات العملية للإثبات والأفكار البديهية حوله كافية للعديد من الأغراض اليومية ، ولكن ليس للأغراض العلمية.

لإثبات بيان هو إظهار أن هذا البيان المنطقي يتبع منطقيًا نظام من العبارات الصحيحة والمتعلقة.

الدليل عملية منطقيةإثبات صحة البيان بمساعدة بيانات أخرى صحيحة وذات صلة.

هناك ثلاثة براهين العنصر الهيكلي:

1) التأكيد المطلوب إثباته ؛

2) نظام من البيانات الصحيحة ، بمساعدة حقيقة ما يتم إثباته ؛

3) علاقة منطقية بين المطالبات. 1 و 2.

الطريقة الرئيسية للإثبات الرياضي الاستدلال الاستنتاجي.

من خلال شكله دليل - إثبات- هذا استنتاج استنتاجي أو سلسلة من الاستدلالات الاستنتاجية تؤدي من المقدمات الصحيحة إلى بيان مثبت.

في البرهان الرياضي ، ترتيب الاستنتاجات مهم. حسب طريقة إجراء ، فإنهم يميزون دليل مباشر وغير مباشر.تشمل البراهين المباشرة الاستقراء الكامل ، والذي تمت مناقشته في القسم 1.6.

الاستقراء الكامل- أسلوب الإثبات الذي تنبع فيه حقيقة البيان من صدقه في جميع الحالات الخاصة.

الاستقراء الكاملغالبًا ما تستخدم في الألعاب مع الأطفال في مرحلة ما قبل المدرسة ، مثل: "أطلق عليها اسمًا في كلمة واحدة".

مثال أدلة مباشرةيقول "مجموع الزوايا في أي شكل رباعي 360 درجة":

"النظر في شكل رباعي تعسفي. برسم قطري فيه ، نحصل على مثلثين. سيكون مجموع زوايا الشكل الرباعي مساويًا لمجموع زوايا المثلثين المتكونين. نظرًا لأن مجموع زوايا أي مثلث هو 180 درجة ، فبإضافة 180 درجة و 180 درجة ، نحصل على مجموع الزوايا في مثلثين ، سيكون 360 درجة. لذلك ، فإن مجموع الزوايا في أي شكل رباعي يساوي 360 "، وهو ما كان مطلوبًا لإثباته.

في الدليل أعلاه ، يمكن تمييز الاستنتاجات التالية:

1. إذا كان الشكل رباعي الزوايا ، فيمكن رسم قطري فيه ، والذي سيقسم الرباعي إلى مثلثين. هذا الشكل رباعي الأضلاع. لذلك ، يمكن تقسيمها إلى مثلثين من خلال بناء قطري.

2. مجموع زوايا أي مثلث يساوي ISO ، وهذه الأشكال مثلثات ، وبالتالي فإن مجموع زوايا كل منها هو 180 درجة.

3. إذا كان رباعي الزوايا مكونًا من مثلثين ، فإن مجموع زواياه يساوي مجموع زوايا هذين المثلثين. يتكون هذا الشكل الرباعي من مثلثين مجموع زواياهما 180 درجة. 180 درجة + 180 درجة = 360 درجة. إذن ، مجموع الزوايا في هذا الشكل الرباعي هو 360 درجة.

يتم إجراء جميع الاستنتاجات المذكورة أعلاه وفقًا لقاعدة الاستنتاج ، وبالتالي فهي استنتاجية.

مثال على الدليل غير المباشر هو الدليل بالتناقض. في في هذه الحالة ، اسمحأن الاستنتاج خاطئ ، وبالتالي فإن نفيه صحيح. بعد إرفاق هذه الجملة بمجموع المقدمات الحقيقية ، يتم تنفيذ التفكير حتى يتم الحصول على تناقض.

دعونا نعطي مثالاً عن برهان من خلال تناقض النظرية: "لو سطرين أ و ب موازية للخط الثالث ج ، فهما متوازيتان ":

"لنفترض أن المباشر أ و ب ليست متوازية ، ثم ستتقاطع عند نقطة ما A ، ولا تنتمي إلى الخط c. ثم نحصل على ذلك من خلال النقطة A ، ومن الممكن رسم خطين أ و ب متوازيين مع ج. هذا يتناقض مع بديهية التوازي: "من خلال

8. صياغة قواعد التعريف الواضح من خلال الجنس والاختلاف المحدد.

9. ما يسمى التعريف:

سياقية.

مذكور؟

10. ما هو البيان ، وما هو شكل البيان؟

11. متى تكون الجمل من النوع "أ ، ب" ، "أ أو ب" ، "ليست أ" صحيحة ، ومتى تكون خاطئة؟

12. ضع قائمة بالمحددات الكمية للعموم ومحددات الوجود. كيف تحدد قيمة الحقيقة للجمل بمحددات كمية مختلفة؟

13. متى توجد علاقة تعاقب بين الجمل ومتى توجد علاقة تكافؤ؟ كيف يتم تعيينهم؟

14. ما هو الاستدلال؟ أي نوع من التفكير يسمى استنتاجي؟

15. اكتب بمساعدة الرموز قواعد الاستنتاج ، وقاعدة النفي ، وقاعدة القياس.

16. ما هي الاستدلالات التي تسمى الاستقراء غير الكامل ، وأي الاستدلالات عن طريق القياس؟

17. ماذا يعني إثبات بيان؟

18. ما هو البرهان الرياضي؟

19. أعط تعريف الاستقراء الكامل.

20. ما هي المغالطات؟

إن إثبات بيان يعني إظهار أن هذا البيان يتبع منطقيًا نظام من العبارات الصحيحة وذات الصلة.

وبالتالي ، فإن أساس الدليل الرياضي هو الطريقة الاستنتاجية. الدليل عبارة عن مجموعة من الأساليب المنطقية لإثبات صحة البيان بمساعدة بيانات أخرى صحيحة وذات صلة.

الدليل الرياضي ليس مجرد مجموعة من الاستدلالات ، إنه استدلالات مرتبة بترتيب معين.

الدليل يميز بين المباشر وغير المباشر.

أدلة مباشرة.

مثال. نثبت أن الزوايا الرأسية متساوية. الزاويتان 1 و 2 متجاورتان ،
Ð 1 + Ð 2 = 180 درجة. الزاويتان 2 و 3 متجاورتان ، لذلك ، Р 2 + Р 3 = 180 o. لدينا: R 1 \ u003d 180 o - R 2 R 3 \ u003d 180 o - R 2 Þ R 1 \ u003d R 2.

2) الطريقة الاستنتاج الرياضي. البيان صحيح لأي عدد طبيعي صإذا: فهو صالح لـ ص= 1 ومن صحة التوكيد عن أي اعتباطية طبيعية ص = كيتبع عدالته ل ص = ك+ 1. (ستتم مناقشة المزيد من التفاصيل في دورات التخرج).

3) الاستقراء الكامل (انظر سابقًا).

دليل غير مباشر.

1) طريقة التناقض. فليكن مطلوبًا لإثبات النظرية لكن Þ في. يفترض أن استنتاجها خاطئ ، وبالتالي فإن نفيها صحيح. بإضافة الجملة إلى مجموعة المقدمات الصحيحة المستخدمة في عملية الإثبات (من بينها شرط لكن) ، قم ببناء سلسلة من التفكير الاستنتاجي حتى يتم الحصول على بيان يتعارض مع أحد المقدمات. التناقض الناتج يثبت النظرية.

مثال. إذا كان هناك خطان متوازيان مع نفس الخط ، فسيكونان متوازيين مع بعضهما البعض.

معطى: Xúú مع, فيúú مع. اثبت ذلك Xúú في.

2) الإثبات على أساس قانون المخالفة: بدلاً من النظرية لكن Þ فيإثبات نظرية مكافئة لها. إذا كان هذا صحيحًا ، فإن النظرية الأصلية صحيحة أيضًا.

مثال. اذا كان X 2 هو رقم زوجي إذن X- رقم زوجي.

دليل - إثبات. دعونا نتظاهر بذلك Xهو رقم فردي ، أي X = 2ك+ 1 X 2 = (2ك + 1) 2 =
= 4ك 2 + 4ك + 1 = 2(2ك 2 + 2ك) + 1 غريب.

ماذا سنفعل بالمواد المستلمة:

إذا كانت هذه المادة مفيدة لك ، فيمكنك حفظها على صفحتك على الشبكات الاجتماعية:

جميع المواضيع في هذا القسم:

قوانين الجبر الإقتراضي
1. القوانين التبادلية A Ù B º B Ù A A B B Ú A 2. Assoc

مفهوم المجموعة. تعيين العنصر. مجموعة فارغة
المجموعة هي مفهوم أساسي للرياضيات وبالتالي لا يتم تعريفها من منظور الآخرين. عادة ، تُفهم المجموعة على أنها مجموعة من الأشياء موحدة وفقًا لـ ارضية مشتركة. نعم ، يمكنك القول

العلاقات بين المجموعات. رسم توضيحي للمجموعات
تعريف. إذا كانت المجموعتان A و B لهما عناصر مشتركة ، أي العناصر التي تنتمي في وقت واحد إلى المجموعتين A و B ، ثم نقول إن هذه المجموعات

قوانين العمليات على مجموعات
1. القوانين التبادلية A Ç B = B Ç A A È B = B È A 2. القوانين الترابطية

عدد عناصر الاتحاد من مجموعتين وثلاث مجموعات محدودة
في الرياضيات ، غالبًا ما يتعين على المرء حل المشكلات التي يتطلب فيها تحديد عدد العناصر في مجموعة ، أو في اتحاد أو تقاطع مجموعات. دعونا نتفق على عدد العناصر

زوجان أمران. منتج ديكارتي من مجموعتين
ضع في اعتبارك المشكلة: باستخدام الأرقام 1 ، 2 ، 3 ، شكّل جميع الأرقام الممكنة المكونة من رقمين. يتكون سجل كل رقم من رقمين ، وترتيب تسلسلهما مهم (h

مراسلة شخص لشخص
تعريف. إن تعيين f لمجموعة X إلى مجموعة Y هو مثل هذا التطابق بين المجموعتين X و Y ، حيث يكون كل عنصر

مجموعات مكافئة. مجموعات معدودة وغير معدودة
تعريف. مجموعتان X و Y متكافئتان إذا كان هناك تعيين واحد لواحد للمجموعة X للمجموعة Y. (يُشار إليه: X ~ Y).

أنواع الوظائف
1. وظيفة ثابتة. تعريف. الوظيفة تسمى ثابت. من خلال الصيغةص = ب ، حيث ب هو عدد ما.

وظيفة عكسية
دع الدالة y = f (x) تحدد تعيينًا حقنيًا مجموعة عدد X لتعيين أرقام حقيقية R (أي قيم مختلفة

خصائص العلاقة
قد يكون للعلاقة المحددة في مجموعة عدد من الخصائص ، وهي: 1. تعريف الانعكاسية. العلاقة R في المجموعة X

ترتيب العلاقة. مجموعات مرتبة
تعريف. تسمى العلاقة R على مجموعة X علاقة ترتيب إذا كانت متعدية وغير متماثلة أو غير متماثلة. تعريف. Rel

أقوال مع محددات الكم ونفيها
إذا تم تقديم المسند ، فمن أجل تحويله إلى بيان ، يكفي استبدال قيمته بدلاً من كل من المتغيرات المدرجة في المسند. على سبيل المثال ، إذا كان على مجموعة الطبيعي h

علاقة التعاقب والتكافؤ بين الجمل. شرط ضروري وكافي
غالبًا ما تحدث المسندات بحيث تشير حقيقة أحدهما إلى حقيقة الآخر. على سبيل المثال ، يمكن للمرء أن يقول ذلك من المسند A (x): "الرقم x هو مضاعف لـ

تركيب وأنواع النظريات
النظرية هي بيان ، يتم إثبات حقيقته من خلال الاستدلال (البرهان). من وجهة نظر منطقية ، فإن النظرية هي بيان بالصيغة A & T.

تعريف المفهوم. متطلبات تعريف المفهوم
إن ظهور مفاهيم جديدة في الرياضيات ، وبالتالي المصطلحات الجديدة التي تدل على هذه المفاهيم ، يفترض تعريفها مسبقًا. يُطلق على التعريف عادةً جملة تشرح جوهر كل ما هو جديد

الاستدلالات وأنواعها
الاستدلال (الاستدلال) هو طريقة للحصول على معرفة جديدة بناءً على بعض المعرفة الموجودة. يتكون الاستدلال من المباني والاستنتاج. الطرود مرتفعة

مخططات التفكير الاستنتاجي
يعطي الاستدلال استنتاجًا حقيقيًا إذا كانت المقدمات صحيحة ويتم ملاحظة قواعد الاستدلال ، أو كما يطلق عليها أيضًا ، مخططات الاستدلال الاستنتاجي. النظر في أكثر

التحقق من صحة الاستدلالات
في المنطق هناك طرق مختلفةالتحقق من صحة الاستنتاجات. أحدهم يستخدم دوائر أويلر. تم كتابة هذا الاستنتاج لأول مرة على نظرية المجموعات