الرقم المكرر في عدد عشري لانهائي. كسور دورية لانهائية

حقيقة أن العديد من الجذور التربيعية هي أرقام غير منطقية، لا ينتقص من أهميتها ، على وجه الخصوص ، غالبًا ما يستخدم الرقم $ \ sqrt2 $ في العديد من الحسابات الهندسية والعلمية. يمكن حساب هذا الرقم بالدقة اللازمة في كل حالة محددة. يمكنك الحصول على هذا الرقم مع العديد من المنازل العشرية التي تتحلى بالصبر عليها.

على سبيل المثال ، يمكن تحديد الرقم $ \ sqrt2 $ لست منازل عشرية: $ \ sqrt2 = 1.414214 $. لا تختلف هذه القيمة كثيرًا عن القيمة الحقيقية ، نظرًا لأن $ 1.414214 \ مرات 1.414214 = 2.000001237796 $. تختلف هذه الإجابة عن 2 في ما يزيد قليلاً عن واحد في المليون. لذلك ، فإن قيمة $ \ sqrt2 $ ، والتي تساوي $ 1.414214 $ ، تعتبر مقبولة تمامًا لحل معظم المشكلات العملية. في حالة الحاجة إلى دقة أكبر ، ليس من الصعب الحصول على أكبر عدد من الأرقام المهمة بعد الفاصلة العشرية حسب الضرورة في هذه الحالة.

ومع ذلك ، إذا أظهرت عنادًا نادرًا وحاول الاستخراج الجذر التربيعيمن الرقم $ \ sqrt2 $ حتى تحصل على النتيجة الدقيقة ، فلن تنهي عملك أبدًا. إنها عملية لا نهاية لها. بغض النظر عن عدد المنازل العشرية التي تحصل عليها ، سيكون هناك دائمًا عدد قليل.

هذه الحقيقة يمكن أن تدهشك بقدر تحويل $ \ frac13 $ إلى عدد عشري لانهائي $ 0.333333333… $ وهكذا إلى ما لا نهاية أو تحويل $ \ frac17 $ إلى $ 0.142857142857142857 ... $ وهكذا إلى ما لا نهاية. للوهلة الأولى ، قد يبدو أن هذه الجذور التربيعية اللانهائية وغير المنطقية هي ظواهر من نفس الترتيب ، لكن هذا ليس هو الحال على الإطلاق. بعد كل شيء ، هذه الكسور اللانهائية لها مكافئ كسري ، بينما $ \ sqrt2 $ ليس له مثل هذا المكافئ. ولماذا بالضبط؟ الحقيقة هي أن المكافئ العشري $ \ frac13 $ و $ \ frac17 $ ، بالإضافة إلى عدد لا نهائي من الكسور الأخرى ، هي كسور دورية لا نهائية.

في نفس الوقت ، المكافئ العشري لـ $ \ sqrt2 $ هو كسر غير دوري. هذه العبارة صحيحة أيضًا لأي رقم غير نسبي.

المشكلة هي أن أي رقم عشري يمثل تقريبًا للجذر التربيعي لـ 2 هو جزء غير دوري. بغض النظر عن مدى تقدمنا ​​في الحسابات ، فإن أي كسر نحصل عليه سيكون غير دوري.

تخيل كسرًا به عدد ضخم من الأرقام غير الدورية بعد الفاصلة العشرية. إذا فجأة بعد الرقم المليون ، تكرر التسلسل الكامل للأماكن العشرية ، إذن عدد عشري- دوري وله معادل في شكل نسبة أعداد صحيحة. إذا كان الكسر الذي يحتوي على عدد ضخم (بلايين أو ملايين) من المنازل العشرية غير الدورية في مرحلة ما يحتوي على سلسلة لا نهائية من الأرقام المتكررة ، على سبيل المثال $… 55555555555… $ ، فهذا يعني أيضًا أن هذا الكسر دوري وهناك ما يعادله لها في شكل نسبة أعداد صحيحة.

ومع ذلك ، في حالة معادلاتها العشرية فهي غير دورية تمامًا ولا يمكن أن تصبح دورية.

بالطبع يمكنك طرح السؤال التالي: "ومن يستطيع أن يعرف ويقول على وجه اليقين ما يحدث لكسر ، لنقل ، بعد علامة تريليون؟ من يستطيع أن يضمن أن الكسر لن يصبح دوريًا؟ هناك طرق لإثبات بشكل قاطع أن الأعداد غير المنطقية ليست دورية ، لكن مثل هذه البراهين تتطلب جهازًا رياضيًا معقدًا. ولكن إذا اتضح فجأة أن عددًا غير منطقي يصبح جزء دوري، فهذا يعني انهيارًا كاملاً لأسس العلوم الرياضية. وفي الحقيقة ، هذا غير ممكن. هذا ليس فقط لتلقي مفاصل الأصابع من جانب إلى آخر ، فهناك نظرية رياضية معقدة هنا.

هذا المقال عن الكسور العشرية. هنا سنتعامل مع التدوين العشري للأعداد الكسرية ، ونقدم مفهوم الكسر العشري ونعطي أمثلة على الكسور العشرية. بعد ذلك ، دعنا نتحدث عن أرقام الكسور العشرية ، ونعطي أسماء هذه الأرقام. بعد ذلك ، سنركز على الكسور العشرية اللانهائية ، ولنقل عن الكسور الدورية وغير الدورية. بعد ذلك ، نقوم بإدراج الإجراءات الرئيسية مع الكسور العشرية. في الختام ، نحدد موضع الكسور العشرية على شعاع الإحداثيات.

التنقل في الصفحة.

التدوين العشري لعدد كسري

قراءة الكسور العشرية

دعنا نقول بضع كلمات عن قواعد قراءة الكسور العشرية.

تُقرأ الكسور العشرية ، التي تتوافق مع الكسور العادية الصحيحة ، بنفس طريقة قراءة هذه الكسور العادية ، ويضاف فقط "صفر كامل" مسبقًا. على سبيل المثال ، الكسر العشري 0.12 يتوافق مع الكسر العادي 12/100 (يقرأ "اثنا عشر جزءًا من مائة") ، لذلك يُقرأ 0.12 على أنه "نقطة الصفر اثنا عشر جزءًا من مائة".

تُقرأ الكسور العشرية ، التي تتوافق مع الأرقام المختلطة ، بنفس طريقة قراءة هذه الأرقام المختلطة. على سبيل المثال ، الكسر العشري 56.002 يتوافق مع عدد مختلط ، لذلك ، يُقرأ الكسر العشري 56.002 على أنه "ستة وخمسون فاصلة اثنين من الألف".

الأماكن في الكسور العشرية

في تدوين الكسور العشرية ، وكذلك في تدوين الأعداد الطبيعية ، تعتمد قيمة كل رقم على موضعه. في الواقع ، الرقم 3 في النظام العشري 0.3 يعني ثلاثة أعشار ، في الكسر العشري 0.0003 - ثلاثة على عشرة آلاف ، وفي الكسر العشري 30.000.152 - ثلاث عشرات الآلاف. وبالتالي ، يمكننا التحدث عنه أرقام في الكسور العشرية، وكذلك حول الأرقام في الأعداد الطبيعية.

تتطابق أسماء الأرقام الموجودة في الكسر العشري حتى الفاصلة العشرية تمامًا مع أسماء الأرقام الموجودة في الأعداد الطبيعية. ويمكن رؤية أسماء الخانات في الكسر العشري بعد الفاصلة العشرية من الجدول التالي.

على سبيل المثال ، في الكسر العشري 37.051 ، الرقم 3 في خانة العشرات ، و 7 في خانة الوحدات ، و 0 في خانة العاشرة ، و 5 في خانة المائة ، و 1 في خانة الألف.

تختلف الأرقام الموجودة في الكسر العشري أيضًا في الأقدمية. إذا انتقلنا من رقم إلى رقم من اليسار إلى اليمين في التدوين العشري ، فسننتقل من أولإلى الرتب الصغيرة. على سبيل المثال ، رقم المئات أقدم من رقم الجزء من عشرة ، وأرقام المليون أصغر من رقم المئات. في هذا الكسر العشري الأخير ، يمكننا التحدث عن أكثر الأرقام أهمية وأقلها دلالة. على سبيل المثال ، في النظام العشري 604.9387 كبير (أعلى)الرقم هو رقم المئات ، و مبتدئ (أدنى)- عشرة آلاف.

بالنسبة للكسور العشرية ، يتم التوسع إلى أرقام. إنه مشابه للتوسع في أرقام الأعداد الطبيعية. على سبيل المثال ، التوسع العشري 45.6072 هو: 45.6072 = 40 + 5 + 0.6 + 0.007 + 0.0002. وخصائص الجمع من توسيع الكسر العشري إلى أرقام تسمح لك بالانتقال إلى تمثيلات أخرى لهذا الكسر العشري ، على سبيل المثال ، 45.6072 = 45 + 0.6072 ، أو 45.6072 = 40.6 + 5.007 + 0.0002 ، أو 45.6072 = 45.0072 + 0.6 .

نهاية الكسور العشرية

حتى هذه النقطة ، تحدثنا فقط عن الكسور العشرية ، التي يوجد في سجلها عدد محدود من الأرقام بعد الفاصلة العشرية. تسمى هذه الكسور الكسور العشرية النهائية.

تعريف.

نهاية الكسور العشرية- هذه كسور عشرية تحتوي تسجيلاتها على عدد محدد من الأحرف (أرقام).

فيما يلي بعض الأمثلة على الكسور العشرية النهائية: 0.317 ، 3.5 ، 51.1020304958 ، 230 032.45.

ومع ذلك ، لا يمكن تمثيل كل كسر مشترك ككسر عشري محدد. على سبيل المثال ، لا يمكن استبدال الكسر 5/13 بكسر متساوٍ بواحد من المقامات 10 ، 100 ، ... ، لذلك لا يمكن تحويله إلى كسر عشري نهائي. سنتحدث أكثر عن هذا في قسم النظرية الخاص بتحويل الكسور العادية إلى كسور عشرية.

الكسور العشرية اللانهائية: الكسور الدورية والكسور غير الدورية

عند كتابة كسر عشري بعد فاصلة عشرية ، يمكنك السماح بإمكانية وجود عدد لا نهائي من الأرقام. في هذه الحالة ، سوف نأخذ في الاعتبار ما يسمى الكسور العشرية اللانهائية.

تعريف.

الكسور العشرية التي لا نهاية لها- هذه كسور عشرية ، في سجلها عدد لا نهائي من الأرقام.

من الواضح أننا لا نستطيع كتابة الكسور العشرية اللانهائية بالكامل ، لذلك ، في تسجيلها ، فهي تقتصر فقط على عدد محدد من الأرقام بعد الفاصلة العشرية ووضع علامة حذف تشير إلى تسلسل مستمر بلا حدود من الأرقام. فيما يلي بعض الأمثلة على الكسور العشرية اللانهائية: 0.143940932… ، 3.1415935432… ، 153.02003004005… ، 2.111111111… ، 69.74152152152….

إذا نظرت عن كثب إلى آخر كسرين عشريين لا نهاية لهما ، فعندئذ في الكسر 2.111111111 ... يظهر بوضوح الرقم 1 المكرر بلا حدود ، وفي الكسر 69.74152152152 ... ، بدءًا من الخانة العشرية الثالثة ، مجموعة الأرقام المتكررة 1 و 5 و 2 مرئية بوضوح. تسمى هذه الكسور العشرية اللانهائية دورية.

تعريف.

الكسور العشرية الدورية(أو ببساطة كسور دورية) هي كسور عشرية لا نهائية ، في سجلها ، بدءًا من مكان عشري معين ، بعض الأرقام أو مجموعة الأرقام ، والتي تسمى فترة الكسر.

على سبيل المثال ، فترة الكسر الدوري 2.111111111 ... هي الرقم 1 ، وفترة الكسر 69.74152152152 ... هي مجموعة من الأرقام مثل 152.

بالنسبة للكسور العشرية الدورية اللانهائية ، تم اعتماد تدوين خاص. للإيجاز ، اتفقنا على كتابة الفترة مرة واحدة ، وإرفاقها بين قوسين. على سبيل المثال ، يتم كتابة الكسر الدوري 2.111111111… بالشكل 2 ، (1) ، والكسر الدوري 69.74152152152… مكتوبًا بالشكل 69.74 (152).

تجدر الإشارة إلى أنه بالنسبة لنفس الكسر العشري الدوري ، يمكنك تحديد فترات مختلفة. على سبيل المثال ، يمكن اعتبار العلامة العشرية الدورية 0.73333 ... كسرًا 0.7 (3) بفترة 3 ، وكذلك كسر 0.7 (33) بفترة 33 ، وهكذا 0.7 (333) ، 0.7 (3333) ) ، ... يمكنك أيضًا إلقاء نظرة على الكسر الدوري 0.73333 ... مثل هذا: 0.733 (3) ، أو مثل هذا 0.73 (333) ، إلخ. هنا ، لتجنب الغموض وعدم الاتساق ، نتفق على اعتبار فترة الكسر العشري هي الأقصر بين جميع التسلسلات الممكنة لتكرار الأرقام ، والبدء من أقرب موضع إلى النقطة العشرية. أي أن فترة الكسر العشري 0.73333 ... ستُعتبر تسلسلاً من رقم واحد 3 ، وتبدأ الدورية من الموضع الثاني بعد الفاصلة العشرية ، أي 0.73333 ... = 0.7 (3). مثال آخر: الكسر الدوري 4.7412121212 ... له فترة 12 ، وتبدأ الدورية من الرقم الثالث بعد الفاصلة العشرية ، أي 4.7412121212 ... = 4.74 (12).

يتم الحصول على الكسور الدورية العشرية اللانهائية عن طريق التحويل إلى كسور عشرية من الكسور العادية التي تحتوي مقاماتها على عوامل أولية غير 2 و 5.

هنا يجدر ذكر الكسور الدورية ذات الفترة 9. فيما يلي أمثلة على هذه الكسور: 6.43 (9) ، 27 ، (9). هذه الكسور هي تدوين آخر للكسور الدورية ذات الفترة 0 ، ومن المعتاد استبدالها بالكسور الدورية بالنقطة 0. للقيام بذلك ، يتم استبدال الفترة 9 بالفترة 0 ، ويتم زيادة قيمة الرقم التالي الأعلى بمقدار واحد. على سبيل المثال ، الكسر الذي يحتوي على الفترة 9 من الشكل 7.24 (9) يتم استبداله بكسر دوري ذي الفترة 0 بالشكل 7.25 (0) أو كسر عشري نهائي مساوٍ له وهو 7.25. مثال آخر: 4 ، (9) = 5 ، (0) = 5. يمكن بسهولة تحديد مساواة كسر بفترة 9 والكسر المقابل له بفترة 0 بعد استبدال هذه الكسور العشرية بكسورها العادية المتساوية.

أخيرًا ، دعنا نلقي نظرة فاحصة على الكسور العشرية اللانهائية ، والتي لا تحتوي على تسلسل أعداد لا نهائي من التكرار. يطلق عليهم اسم غير دوري.

تعريف.

الكسور العشرية غير المتكررة(أو ببساطة كسور غير دورية) هي كسور عشرية لانهائية بدون نقطة.

في بعض الأحيان يكون للكسور غير الدورية شكل مشابه للكسور الدورية ، على سبيل المثال ، 8.02002000200002 ... هي كسر غير دوري. في هذه الحالات ، يجب أن تكون حريصًا بشكل خاص على ملاحظة الفرق.

لاحظ أن الكسور غير الدورية لا يتم تحويلها إلى كسور عادية ، وتمثل الكسور العشرية اللانهائية غير الدورية أعدادًا غير منطقية.

العمليات ذات الكسور العشرية

تعتبر المقارنة أحد الإجراءات ذات الكسور العشرية ، كما تم تحديد أربعة حسابات أساسية العمليات ذات الكسور العشرية: الجمع والطرح والضرب والقسمة. ضع في اعتبارك كل إجراء على حدة مع الكسور العشرية.

مقارنة عشريةأساسًا على أساس مقارنة الكسور العادية المقابلة للكسور العشرية المقارنة. ومع ذلك ، فإن تحويل الكسور العشرية إلى الكسور العادية هي عملية شاقة إلى حد ما ، ولا يمكن تمثيل الكسور غير المتكررة اللانهائية ككسر عادي ، لذلك من الملائم استخدام مقارنة بت للكسور العشرية. المقارنة على مستوى البت بين الكسور العشرية مماثلة لمقارنة الأعداد الطبيعية. لمزيد من المعلومات التفصيلية ، نوصي بدراسة مقالة المقارنة المادية للكسور العشرية والقواعد والأمثلة والحلول.

دعنا ننتقل إلى الخطوة التالية - ضرب الكسور العشرية. يتم تنفيذ عملية ضرب الكسور العشرية النهائية بطريقة مشابهة لطرح الكسور العشرية ، والقواعد ، والأمثلة ، وحلول الضرب في عمود من الأعداد الطبيعية. في حالة الكسور الدورية ، يمكن اختزال الضرب إلى ضرب الكسور العادية. بدوره ، يتم تقليل تكاثر الكسور العشرية اللانهائية غير الدورية بعد تقريبها إلى مضاعفة الكسور العشرية المنتهية. نوصي بمزيد من الدراسة لمادة المقال ضرب الكسور العشرية ، القواعد ، الأمثلة ، الحلول.

الكسور العشرية على شعاع الإحداثيات

يوجد تطابق واحد لواحد بين النقاط والأرقام العشرية.

لنتعرف على كيفية تكوين النقاط على الشعاع الإحداثي المقابل لكسر عشري معين.

يمكننا استبدال الكسور العشرية المحدودة والكسور العشرية الدورية اللانهائية بكسور عادية مساوية لها ، ثم بناء الكسور العادية المقابلة على شعاع الإحداثيات. على سبيل المثال ، الكسر العشري 1.4 يتوافق مع كسر عادي 14/10 ، لذلك ، تتم إزالة النقطة ذات الإحداثيات 1.4 من الأصل في الاتجاه الإيجابي بمقدار 14 جزءًا يساوي عُشر مقطع واحد.

يمكن تمييز الكسور العشرية على حزمة الإحداثيات ، بدءًا من توسيع هذا الكسر العشري إلى أرقام. على سبيل المثال ، لنفترض أننا بحاجة إلى بناء نقطة بإحداثيات 16.3007 ، نظرًا لأن 16.3007 = 16 + 0.3 + 0.0007 ، يمكننا بعد ذلك الوصول إلى هذه النقطة عن طريق وضع 16 جزءًا وحدة بالتسلسل من أصل الإحداثيات ، 3 أجزاء ، الطول التي تساوي عُشر الوحدة ، و 7 أجزاء ، طولها يساوي عشرة آلاف من جزء الوحدة.

تتيح لك هذه الطريقة في إنشاء أرقام عشرية على حزمة الإحداثيات الاقتراب بقدر ما تريد من النقطة المقابلة لكسر عشري لانهائي.

من الممكن أحيانًا أن نرسم بدقة نقطة تقابل عددًا عشريًا لانهائيًا. فمثلا، ، إذن هذا الكسر العشري اللانهائي 1.41421 ... يتوافق مع نقطة شعاع الإحداثيات ، بعيدًا عن الأصل بطول قطري مربع مع جانب من قطعة وحدة واحدة.

يُطلق على العملية العكسية للحصول على كسر عشري مطابق لنقطة معينة على حزمة الإحداثيات القياس العشري للقطعة. دعونا نرى كيف يتم ذلك.

دع مهمتنا هي الانتقال من الأصل إلى نقطة معينة على خط الإحداثيات (أو الاقتراب منها بلا حدود إذا كان من المستحيل الوصول إليها). باستخدام القياس العشري للقطعة ، يمكننا تأجيل أي عدد من أجزاء الوحدة بالتتابع من الأصل ، ثم المقاطع التي يساوي طولها عُشر مقطع واحد ، ثم المقاطع التي يكون طولها مساويًا لجزء من مائة مقطع واحد ، إلخ. . من خلال كتابة عدد المقاطع المخططة لكل طول ، نحصل على الكسر العشري المقابل لنقطة معينة على شعاع الإحداثيات.

على سبيل المثال ، للوصول إلى النقطة M في الشكل أعلاه ، تحتاج إلى تخصيص جزء وحدة واحد و 4 أجزاء ، طولها يساوي عُشر الوحدة. وبالتالي ، فإن النقطة M تقابل الكسر العشري 1.4.

من الواضح أن نقاط حزمة الإحداثيات ، والتي لا يمكن الوصول إليها أثناء القياس العشري ، تتوافق مع الكسور العشرية اللانهائية.

فهرس.

• رياضيات: دراسات. لمدة 5 خلايا. تعليم عام المؤسسات / N. Ya. Vilenkin، V. I. Zhokhov، A. S. Chesnokov، S. I. Shvartsburd. - الطبعة 21 ، ممحاة. - م: Mnemosyne، 2007. - 280 ص: مريض. ردمك 5-346-00699-0.
• رياضيات.الصف السادس: كتاب مدرسي. للتعليم العام المؤسسات / [N. يا فيلينكين وآخرون]. - الطبعة الثانية والعشرون ، القس. - م: Mnemosyne، 2008. - 288 ص: مريض. ردمك 978-5-346-00897-2.
• الجبر:كتاب مدرسي لمدة 8 خلايا. تعليم عام المؤسسات / [Yu. ن. ماكاريشيف ، إن جي مينديوك ، ك. آي. نيشكوف ، إس ب. سوفوروفا] ؛ إد. S. A. Telyakovsky. - الطبعة ال 16. - م: التربية والتعليم 2008. - 271 ص. : سوف. - ردمك 978-5-09-019243-9.
• جوسيف ف.أ ، مردكوفيتش أ.الرياضيات (دليل للمتقدمين للمدارس الفنية): Proc. بدل. - م ؛ أعلى المدرسة ، 1984. - 351 ص. ، مريض.

بالفعل في المدرسة الابتدائية ، يواجه الطلاب الكسور. وبعد ذلك تظهر في كل موضوع. من المستحيل نسيان الإجراءات بهذه الأرقام. لذلك ، تحتاج إلى معرفة جميع المعلومات حول الكسور العادية والعشرية. هذه المفاهيم بسيطة ، الشيء الرئيسي هو فهم كل شيء بالترتيب.

لماذا نحتاج الكسور؟

يتكون العالم من حولنا من أشياء كاملة. لذلك ، ليست هناك حاجة للأسهم. لكن الحياة اليومية تدفع الناس باستمرار للعمل مع أجزاء من الأشياء والأشياء.

على سبيل المثال ، تتكون الشوكولاتة من عدة شرائح. ضع في اعتبارك الموقف الذي يتكون فيه البلاط من اثني عشر مستطيلاً. إذا قسمته إلى قسمين ، تحصل على 6 أجزاء. سيتم تقسيمها جيدًا إلى ثلاثة. لكن الخمسة لن يكونوا قادرين على إعطاء عدد كامل من شرائح الشوكولاتة.

بالمناسبة ، هذه الشرائح هي بالفعل كسور. ويؤدي تقسيمهم الإضافي إلى ظهور أعداد أكثر تعقيدًا.

ما هو "الكسر"؟

هذا رقم يتكون من أجزاء من واحد. ظاهريًا ، يبدو وكأنه رقمان مفصول بينهما أفقيًا أو شرطة مائلة. هذه الميزة تسمى كسور. الرقم المكتوب في الأعلى (على اليسار) يسمى البسط. واحد في الأسفل (على اليمين) هو المقام.

في الواقع ، تبين أن الشريط الكسري هو علامة قسمة. أي أن البسط يمكن أن يسمى مقسومًا ، والمقام يمكن أن يسمى مقسومًا عليه.

ما هي الكسور؟

في الرياضيات ، هناك نوعان فقط منهم: الكسور العادية والعشرية. يتعرف تلاميذ المدارس على الصفوف الأوائل في الصفوف الابتدائية ، ويطلقون عليهم ببساطة "الكسور". الثاني يتعلم في الصف الخامس. هذا عندما تظهر هذه الأسماء.

الكسور الشائعة هي كل تلك المكتوبة كرقمين مفصولين بشريط. على سبيل المثال ، 4/7. العشري هو الرقم الذي يحتوي فيه الجزء الكسري على تدوين موضعي ويتم فصله عن العدد الصحيح بفاصلة. على سبيل المثال ، 4.7. يجب أن يكون الطلاب واضحين في أن المثالين المذكورين هما رقمان مختلفان تمامًا.

يمكن كتابة كل كسر بسيط في صورة عدد عشري. هذه العبارة صحيحة دائمًا في الاتجاه المعاكس أيضًا. هناك قواعد تسمح لك بكتابة كسر عشري على هيئة كسر عادي.

ما هي الأنواع الفرعية التي تمتلكها هذه الأنواع من الكسور؟

من الأفضل البدء بترتيب زمني ، حيث يتم دراستها. الكسور المشتركة تأتي أولاً. من بينها ، يمكن تمييز 5 أنواع فرعية.

صحيح. البسط دائمًا أقل من المقام.

خاطئ - ظلم - يظلم. بسطه أكبر من أو يساوي المقام.

قابل للاختزال / غير قابل للاختزال. يمكن أن تكون إما صحيحة أو خاطئة. هناك شيء آخر مهم ، وهو ما إذا كان البسط والمقام لهما عوامل مشتركة. إذا كان هناك ، فمن المفترض أن يقسموا كلا الجزأين من الكسر ، أي لتقليله.

مختلط. يتم تعيين عدد صحيح إلى الجزء الكسري الصحيح (غير صحيح) المعتاد. وهي دائمًا على اليسار.

مركب. يتكون من كسرين مقسومين على بعضهما البعض. أي أنه يحتوي على ثلاث سمات كسرية في وقت واحد.

تحتوي الكسور العشرية على نوعين فرعيين فقط:

أخيرًا ، أي الجزء الذي يكون فيه الجزء الكسري محدودًا (له نهاية) ؛

لانهائي - رقم لا تنتهي أرقامه بعد الفاصلة العشرية (يمكن كتابتها إلى ما لا نهاية).

كيفية تحويل عشري إلى عادي؟

إذا كان هذا رقمًا محدودًا ، فسيتم تطبيق ارتباط قائم على القاعدة - كما أسمع ، لذلك أكتب. أي أنك تحتاج إلى قراءتها بشكل صحيح وكتابتها ، ولكن بدون فاصلة ، ولكن بخط كسور.

كتلميح حول المقام المطلوب ، تذكر أنه دائمًا واحد وبضعة أصفار. يجب كتابة الأخير بقدر الأرقام الموجودة في الجزء الكسري من الرقم المعني.

كيف يتم تحويل الكسور العشرية إلى كسور عادية إذا كان الجزء كله مفقودًا ، أي يساوي صفرًا؟ على سبيل المثال ، 0.9 أو 0.05. بعد تطبيق القاعدة المحددة ، اتضح أنك بحاجة إلى كتابة صفر أعداد صحيحة. لكن لم يتم الإشارة إليه. يبقى لكتابة الأجزاء الكسرية فقط. بالنسبة للرقم الأول ، سيكون المقام 10 ، وللثاني - 100. أي أن الأمثلة المشار إليها سيكون لها أرقام كإجابات: 9/10 ، 5/100. علاوة على ذلك ، فقد تبين أن الأخير يمكن تقليله بمقدار 5. لذلك ، يجب كتابة النتيجة 1/20.

كيف تصنع كسرًا عاديًا من عدد عشري إذا كان الجزء الصحيح مختلفًا عن الصفر؟ على سبيل المثال ، 5.23 أو 13.00108. كلا المثالين يقرأان الجزء الصحيح ويكتبان قيمته. في الحالة الأولى ، هذا هو 5 ، في الحالة الثانية ، 13. ثم عليك الانتقال إلى الجزء الكسري. معهم من الضروري إجراء نفس العملية. الرقم الأول 23/100 ، والثاني 108/100000. يجب تخفيض القيمة الثانية مرة أخرى. الإجابة هي كسور مختلطة: 5 23/100 و 13 27/25000.

كيفية تحويل عدد عشري لا نهائي إلى كسر مشترك؟

إذا كانت غير دورية ، فلا يمكن تنفيذ مثل هذه العملية. ترجع هذه الحقيقة إلى حقيقة أن كل كسر عشري يتم تحويله دائمًا إلى نهائي أو دوري.

الشيء الوحيد المسموح به مع مثل هذا الكسر هو تقريبه. ولكن بعد ذلك ستكون العلامة العشرية مساوية تقريبًا لذلك اللانهائي. يمكن بالفعل أن تتحول إلى واحدة عادية. لكن العملية العكسية: التحويل إلى عشري - لن تعطي القيمة الأولية أبدًا. أي أن الكسور اللانهائية غير الدورية لا تُترجم إلى كسور عادية. يجب تذكر هذا.

كيف تكتب كسر دوري لانهائي في شكل عادي؟

في هذه الأرقام ، يظهر رقم واحد أو أكثر دائمًا بعد الفاصلة العشرية ، والتي تتكرر. يطلق عليهم فترات. على سبيل المثال ، 0.3 (3). هنا "3" في تلك الفترة. يتم تصنيفها على أنها عقلانية ، حيث يمكن تحويلها إلى كسور عادية.

يعرف أولئك الذين واجهوا كسورًا دورية أنها يمكن أن تكون نقية أو مختلطة. في الحالة الأولى ، تبدأ الفترة على الفور من الفاصلة. في الجزء الثاني ، يبدأ الجزء الكسري بأي أرقام ، ثم يبدأ التكرار.

القاعدة التي يجب أن تكتب بها عددًا عشريًا لا نهائيًا في شكل كسر عادي ستكون مختلفة لهذين النوعين من الأرقام. من السهل جدًا كتابة كسور دورية نقية ككسور عادية. كما هو الحال مع الأخيرة ، يجب تحويلها: اكتب الفترة في البسط ، وسيكون الرقم 9 هو المقام ، مع تكرار عدد المرات التي توجد فيها أرقام في الفترة.

على سبيل المثال ، 0 ، (5). لا يحتوي الرقم على جزء صحيح ، لذلك عليك المتابعة فورًا إلى الجزء الكسري. اكتب 5 في البسط واكتب 9 في المقام ، أي أن الإجابة ستكون الكسر 5/9.

قاعدة حول كيفية كتابة كسر عشري مشترك يكون كسرًا مختلطًا.

انظر إلى طول الفترة. 9 سيكون له المقام.

اكتب المقام: أول تسعة ، ثم أصفار.

لتحديد البسط ، عليك كتابة الفرق بين عددين. سيتم تقليل جميع الأرقام بعد الفاصلة العشرية جنبًا إلى جنب مع الفترة. قابل للطرح - بدون فترة.

على سبيل المثال ، 0.5 (8) - اكتب الكسر العشري الدوري ككسر مشترك. الجزء الكسري قبل الفترة هو رقم واحد. لذا فإن الصفر سيكون واحدًا. يوجد أيضًا رقم واحد فقط في الفترة - 8. أي تسعة واحد فقط. أي أنك تحتاج إلى كتابة 90 في المقام.

لتحديد البسط من 58 ، عليك أن تطرح 5. اتضح أن 53. على سبيل المثال ، سيكون عليك كتابة 53/90 كإجابة.

كيف يتم تحويل الكسور الشائعة إلى كسور عشرية؟

أبسط خيار هو رقم مقامه العدد 10 و 100 وهكذا. ثم يتم تجاهل المقام ببساطة ، ويتم وضع فاصلة بين الأجزاء الكسرية والأجزاء الصحيحة.

هناك حالات يتحول فيها المقام بسهولة إلى 10 ، 100 ، إلخ. على سبيل المثال ، الأرقام 5 ، 20 ، 25. يكفي ضربهم في 2 و 5 و 4 على التوالي. فقط من الضروري الضرب ليس فقط في المقام ، ولكن أيضًا في البسط بنفس الرقم.

في جميع الحالات الأخرى ، ستكون هناك قاعدة بسيطة مفيدة: اقسم البسط على المقام. في هذه الحالة ، قد تحصل على إجابتين: كسر عشري نهائي أو دوري.

العمليات مع الكسور المشتركة

جمع وطرح

يتعرف الطلاب عليهم في وقت أبكر من غيرهم. وفي البداية يكون للكسرين نفس المقامات ، ثم يختلفان. يمكن اختزال القواعد العامة لمثل هذه الخطة.

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للمقام.

اكتب عوامل إضافية لجميع الكسور العادية.

اضرب البسط والمقام في العوامل المحددة لهما.

اجمع (اطرح) بسط الكسور واترك المقام المشترك دون تغيير.

إذا كان بسط المطروح أقل من المطروح ، فأنت بحاجة إلى معرفة ما إذا كان لدينا عدد كسري أو كسر مناسب.

في الحالة الأولى ، يجب أن يأخذ الجزء الصحيح واحدًا. أضف مقامًا إلى بسط الكسر. ثم قم بعملية الطرح.

في الثانية - من الضروري تطبيق قاعدة الطرح من عدد أصغر إلى رقم أكبر. وهذا يعني ، طرح معامل الحد الأدنى من مقياس المطروح ، ووضع علامة "-" في الاستجابة.

انظر بعناية إلى نتيجة الجمع (الطرح). إذا حصلت على كسر غير حقيقي ، فمن المفترض أن تحدد الجزء بأكمله. أي اقسم البسط على المقام.

الضرب والقسمة

لتنفيذها ، لا يلزم اختزال الكسور إلى قاسم مشترك. هذا يجعل من السهل اتخاذ الإجراءات. لكن لا يزال يتعين عليهم اتباع القواعد.

عند ضرب الكسور العادية ، من الضروري مراعاة الأرقام الموجودة في البسط والمقام. إذا كان لأي بسط ومقام عامل مشترك ، فيمكن اختزالهما.

اضرب البسط.

اضرب القواسم.

إذا حصلت على كسر قابل للاختزال ، فمن المفترض أن يتم تبسيطه مرة أخرى.

عند القسمة ، يجب أولاً استبدال القسمة بالضرب والمقسوم عليه (الكسر الثاني) بالمقلوب (بدل البسط والمقام).

ثم تابع الضرب (بدءًا من الخطوة 1).

في المهام التي تحتاج فيها إلى الضرب (القسمة) على عدد صحيح ، من المفترض أن تتم كتابة الأخير ككسر غير لائق. هذا هو ، مع المقام 1. ثم تابع كما هو موضح أعلاه.



العمليات ذات الكسور العشرية

جمع وطرح

بالطبع ، يمكنك دائمًا تحويل الكسر العشري إلى كسر مشترك. والتصرف وفقًا للخطة التي سبق وصفها. لكن في بعض الأحيان يكون من الأنسب العمل بدون هذه الترجمة. ثم ستكون قواعد الجمع والطرح هي نفسها تمامًا.

معادلة عدد الأرقام في الجزء الكسري من الرقم ، أي بعد الفاصلة العشرية. قم بتعيين العدد المفقود من الأصفار فيه.

اكتب الكسور بحيث تكون الفاصلة أسفل الفاصلة.

أضف (اطرح) مثل الأعداد الطبيعية.

قم بإزالة الفاصلة.

الضرب والقسمة

من المهم ألا تحتاج إلى إلحاق أصفار هنا. من المفترض ترك الكسور كما وردت في المثال. ثم اذهب وفقًا للخطة.

في عملية الضرب ، تحتاج إلى كتابة كسور واحدة تحت الأخرى ، دون الانتباه إلى الفواصل.

اضرب مثل الأعداد الطبيعية.

ضع فاصلة في الإجابة ، مع العد من النهاية اليمنى للإجابة عدد الأرقام كما هو الحال في الأجزاء الكسرية لكلا العاملين.

للقسمة ، يجب عليك أولاً تحويل المقسوم عليه: اجعله رقمًا طبيعيًا. أي اضربها في 10 ، 100 ، إلخ ، اعتمادًا على عدد الأرقام في الجزء الكسري من المقسوم عليه.

اضرب المقسوم بنفس الرقم.

اقسم عددًا عشريًا على رقم طبيعي.

ضع فاصلة في الإجابة في اللحظة التي ينتهي فيها تقسيم الجزء كله.



ماذا لو كان هناك كلا النوعين من الكسور في مثال واحد؟

نعم ، غالبًا ما توجد أمثلة في الرياضيات تحتاج فيها إلى إجراء عمليات على الكسور العادية والعشرية. هناك نوعان من الحلول الممكنة لهذه المشاكل. تحتاج إلى وزن الأرقام بموضوعية واختيار أفضلها.

الطريقة الأولى: تمثيل الكسور العشرية العادية

يكون مناسبًا إذا تم الحصول على الكسور النهائية عند القسمة أو التحويل. إذا أعطى رقم واحد على الأقل جزءًا دوريًا ، فإن هذه التقنية محظورة. لذلك ، حتى إذا كنت لا تحب العمل مع الكسور العادية ، فسيتعين عليك حسابها.

الطريقة الثانية: اكتب الكسور العشرية على أنها عادية

هذه التقنية مناسبة إذا كان هناك 1-2 رقم في الجزء الذي يلي الفاصلة العشرية. إذا كان هناك المزيد منها ، فيمكن أن يظهر كسر عادي كبير جدًا وستسمح لك الإدخالات العشرية بحساب المهمة بشكل أسرع وأسهل. لذلك ، من الضروري دائمًا إجراء تقييم رصين للمهمة واختيار أبسط طريقة للحل.

تذكر كيف قلت في الدرس الأول عن الكسور العشرية أن هناك كسورًا رقمية لا يمكن تمثيلها على أنها كسور عشرية (انظر الدرس "الكسور العشرية")؟ تعلمنا أيضًا كيفية تحليل مقامات الكسور إلى عوامل للتحقق مما إذا كان هناك أي أعداد بخلاف 2 و 5.

لذا: لقد كذبت. واليوم سوف نتعلم كيفية ترجمة أي كسر رقمي مطلقًا إلى عدد عشري. في نفس الوقت ، سوف نتعرف على فئة كاملة من الكسور ذات جزء مهم لانهائي.

الرقم العشري المتكرر هو أي رقم عشري يحتوي على:

1. يتكون الجزء المهم من عدد لا حصر له من الأرقام ؛
2. في فترات زمنية معينة ، تتكرر الأرقام الموجودة في الجزء المهم.

تسمى مجموعة الأرقام المكررة التي تشكل الجزء المهم الجزء الدوري من الكسر ، وعدد الأرقام في هذه المجموعة هو فترة الكسر. يسمى الجزء المتبقي من الجزء المهم ، والذي لا يتكرر ، الجزء غير الدوري.

نظرًا لوجود العديد من التعريفات ، يجدر التفكير بالتفصيل في عدد قليل من هذه الكسور:

يحدث هذا الكسر في أغلب الأحيان في المشاكل. الجزء غير الدوري: 0 ؛ الجزء الدوري: 3 ؛ طول الفترة: 1.

الجزء غير الدوري: 0.58 ؛ الجزء الدوري: 3 ؛ طول الفترة: مرة أخرى 1.

الجزء غير الدوري: 1 ؛ الجزء الدوري: 54 ؛ طول الفترة: 2.

الجزء غير الدوري: 0 ؛ الجزء الدوري: 641025 ؛ طول الفترة: 6. للراحة ، يتم فصل الأجزاء المكررة عن بعضها بمسافة - في هذا الحل ليس من الضروري القيام بذلك.

الجزء غير الدوري: 3066 ؛ الجزء الدوري: 6 ؛ طول الفترة: 1.

كما ترى ، يعتمد تعريف الكسر الدوري على المفهوم جزء كبير من الرقم. لذلك ، إذا نسيت ما هو ، أوصي بتكرارها - انظر الدرس "".

الانتقال إلى النظام العشري الدوري

ضع في اعتبارك كسرًا عاديًا من الشكل أ / ب. دعونا نحلل قاسمها إلى عوامل بسيطة. هناك خياران:

1. فقط العاملان 2 و 5 موجودان في التمديد. يتم اختزال هذه الكسور بسهولة إلى كسور عشرية - راجع الدرس "الكسور العشرية". نحن لسنا مهتمين بمثل هذا ؛
2. هناك شيء آخر في التوسيع إلى جانب 2 و 5. في هذه الحالة ، لا يمكن تمثيل الكسر على أنه عدد عشري ، ولكن يمكن تحويله إلى عدد عشري دوري.

لتعيين كسر عشري دوري ، تحتاج إلى العثور على الجزء الدوري وغير الدوري. كيف؟ حول الكسر إلى كسر غير لائق ، ثم اقسم البسط على المقام بزاوية.

عند القيام بذلك ، سيحدث ما يلي:

1. قسّم أولاً الجزء الكاملإذا كانت موجودة
2. قد يكون هناك عدة أرقام بعد الفاصلة العشرية ؛
3. بعد فترة ستبدأ الأرقام كرر.

هذا كل شئ! يتم الإشارة إلى الأرقام المتكررة بعد الفاصلة العشرية بالجزء الدوري ، وما هو أمامها - غير دوري.

مهمة. تحويل الكسور العادية إلى كسور عشرية دورية:

جميع الكسور التي لا تحتوي على جزء صحيح ، لذلك نقسم ببساطة البسط على المقام بزاوية:

كما ترى ، تتكرر البقايا. لنكتب الكسر بالصيغة "الصحيحة": 1.733 ... = 1.7 (3).

النتيجة هي كسر: 0.5833 ... = 0.58 (3).

نكتب بالشكل العادي: 4.0909 ... = 4 ، (09).

نحصل على كسر: 0.4141 ... = 0 ، (41).

الانتقال من النظام العشري الدوري إلى النظام العادي

ضع في اعتبارك أن عددًا عشريًا دوريًا X = abc (a 1 b 1 c 1). مطلوب لنقلها إلى "طابقين" الكلاسيكية. للقيام بذلك ، اتبع أربع خطوات بسيطة:

1. أوجد فترة الكسر ، أي احسب عدد الأرقام في الجزء الدوري. فليكن رقم ك ؛
2. أوجد قيمة التعبير X · 10 k. هذا يعادل إزاحة الفاصلة العشرية فترة كاملة إلى اليمين - راجع الدرس "ضرب الكسور العشرية وقسمةها" ؛
3. اطرح التعبير الأصلي من الرقم الناتج. في هذه الحالة ، الجزء الدوري "محترق" ويبقى جزء مشترك;
4. أوجد X في المعادلة الناتجة. يتم تحويل جميع الكسور العشرية إلى عادية.

مهمة. حوّل إلى كسر عادي غير فعلي من رقم:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

العمل مع الكسر الأول: X = 9، (6) = 9.666 ...

الأقواس تحتوي على رقم واحد فقط ، وبالتالي فإن الفترة k = 1. بعد ذلك ، نضرب هذا الكسر في 10 k = 10 1 = 10. لدينا:

10x = 10 9.6666 ... = 96.666 ...

اطرح الكسر الأصلي وحل المعادلة:

10x - X = 96.666 ... - 9.666 ... = 96-9 = 87 ؛
9 س = 87 ؛
س = 87/9 = 29/3.

الآن دعونا نتعامل مع الكسر الثاني. إذن X = 32 ، (39) = 32.393939 ...

الدورة k = 2 ، لذلك نضرب كل شيء في 10 k = 10 2 = 100:

100 س = 100 32.393939 ... = 3239.3939 ...

اطرح الكسر الأصلي مرة أخرى وحل المعادلة:

100X - X = 3239.3939 ... - 32.3939 ... = 3239-32 = 3207 ؛
99 س = 3207 ؛
X = 3207/99 = 1069/33.

دعنا ننتقل إلى الكسر الثالث: X = 0.30 (5) = 0.30555 ... المخطط هو نفسه ، لذلك سأعطي فقط الحسابات:

الدورة k = 1 ⇒ اضرب كل شيء في 10 k = 10 1 = 10 ؛

10x = 10 0.30555 ... = 3.05555 ...
10X - X = 3.0555 ... - 0.305555 ... = 2.75 = 11/4 ؛
9X = 11/4 ؛
س = (11/4): 9 = 11/36.

أخيرًا ، الكسر الأخير: X = 0 ، (2475) = 0.2475 2475 ... مرة أخرى ، للراحة ، يتم فصل الأجزاء الدورية عن بعضها بواسطة مسافات. نملك:

ل = 4 ⇒ 10 ك = 10 4 = 10000 ؛
10،000 س = 10،000 0.2475 2475 = 2475.2475 ...
10،000X - X = 2475.2475 ... - 0.2475 2475 ... = 2475 ؛
9999 س = 2475 ؛
س = 2475: 9999 = 25/101.

ومن المعروف أنه إذا كان المقام صيحتوي الكسر غير القابل للاختزال في توسعه الأساسي على عامل أولي لا يساوي 2 و 5 ، ثم لا يمكن تمثيل هذا الكسر ككسر عشري محدد. إذا حاولنا في هذه الحالة كتابة الكسر الأصلي غير القابل للاختزال كعدد عشري ، قسمة البسط على المقام ، فلن تنتهي عملية القسمة ، لأن في حالة اكتماله بعد عدد محدود من الخطوات ، فسنحصل على كسر عشري منتهي في حاصل القسمة ، وهو ما يتعارض مع النظرية المثبتة سابقًا. إذن ، في هذه الحالة ، الرمز العشري لرقم نسبي موجب هو أ= يتم تمثيله ككسر لانهائي.

على سبيل المثال ، الكسر = 0.3636 .... من السهل أن ترى أن الباقي عند قسمة 4 على 11 يتكرر بشكل دوري ، وبالتالي فإن المنازل العشرية سوف تتكرر بشكل دوري ، أي اتضح عدد عشري دوري لانهائي، والتي يمكن كتابتها كـ 0 ، (36).

يشكل تكرار الأرقام 3 و 6 فترة. قد يتضح أن هناك عدة أرقام بين الفاصلة وبداية الفترة الأولى. هذه الأرقام تشكل ما قبل الفترة. فمثلا،

0.1931818 ... عملية قسمة 17 على 88 لا نهائية. تشكل الأرقام 1 و 9 و 3 فترة ما قبل الفترة ؛ 1 ، 8 - فترة. الأمثلة التي درسناها تعكس نمطًا ، أي يمكن تمثيل أي رقم منطقي موجب إما بكسر عشري دوري محدود أو لانهائي.

نظرية 1.دع الكسر العادي يكون غير قابل للاختزال وفي التمدد القانوني للمقام نهناك عامل أولي يختلف عن 2 و 5. ثم يمكن تمثيل الكسر العادي بكسر عشري دوري لانهائي.

دليل - إثبات. نحن نعلم بالفعل أن عملية قسمة عدد طبيعي ملعدد طبيعي نسيكون لانهائي. دعونا نظهر أنه سيكون دوريًا. في الواقع ، عند القسمة معلى ال نستكون المخلفات أصغر ن،أولئك. أرقام النموذج 1 ، 2 ، ... ، ( ن- 1) ، مما يدل على أن عدد المخلفات المختلفة محدود ، وبالتالي ، بدءًا من خطوة معينة ، سيتم تكرار بعض البقايا ، مما يستلزم تكرار المنازل العشرية في حاصل القسمة ، ويصبح الكسر العشري اللانهائي دوريًا.

هناك نوعان من النظريات الأخرى.

نظرية 2.إذا كان توسيع مقام كسر غير قابل للاختزال إلى عوامل أولية لا يشمل الرقمين 2 و 5 ، فعندما يتم تحويل هذا الكسر إلى كسر عشري لانهائي ، سيتم الحصول على كسر دوري خالص ، أي كسر تبدأ دورته مباشرة بعد العلامة العشرية.

نظرية 3.إذا كان توسيع المقام يتضمن العوامل 2 (أو 5) أو كليهما ، فسيتم خلط الكسر الدوري اللانهائي ، أي بين الفاصلة وبداية الفترة سيكون هناك عدة أرقام (ما قبل الفترة) ، أي أكبر عدد من الأسس للعوامل 2 و 5.

النظريات 2 و 3 مدعوة لإثباتها للقارئ بمفردهما.

28. طرق العبور من دورية لانهائية
الكسور العشرية إلى الكسور الشائعة

يجب أن يكون هناك جزء دوري أ= 0 ، (4) ، أي 0.4444 ....

دعونا نضاعف أبحلول سن العاشرة ، نحصل عليها

10أ= 4.444… 4… Þ 10 أ = 4 + 0,444….

أولئك. عشرة أ = 4 + أ، حصلنا على معادلة أ، لحلها ، نحصل على: 9 أ= 4 Þ أ = .

لاحظ أن 4 هي بسط الكسر الناتج ودورة الكسر 0 ، (4).

قاعدةتتم صياغة التحويل إلى كسر عادي لكسر دوري خالص على النحو التالي: بسط الكسر يساوي الفترة ، ويتكون المقام من عدد من التسعات حيث توجد أرقام في فترة الكسر.

دعونا الآن نثبت هذه القاعدة لكسر تتكون دورته ص

أ=. دعونا نضاعف أيوم 10 ن، نحن نحصل:

10ن × أ = = + 0, ;

10ن × أ = + أ;

(10ن – 1) أ = Þ أ ==.

لذلك ، تم إثبات القاعدة التي تمت صياغتها مسبقًا لأي جزء دوري خالص.

دعونا الآن نعطي كسر أ= 0.605 (43) - دورية مختلطة. دعونا نضاعف أبمقدار 10 مع مؤشر مثل عدد الأرقام في الفترة السابقة ، أي بحلول 10 3 ، نحصل على

10 3 × أ= 605 + 0 ، (43) Þ 10 3 × أ = 605 + = 605 + = = ,

أولئك. 10 3 × أ= .

قاعدةتتم صياغة التحويل إلى كسر عادي لكسر دوري مختلط على النحو التالي: بسط الكسر يساوي الفرق بين الرقم المكتوب بالأرقام قبل بداية الفترة الثانية والعدد المكتوب بالأرقام قبل بداية الفترة الأولى الفترة ، يتكون المقام من عدد من التسعات حيث توجد أرقام في الفترة وعدد الأصفار عدد الأرقام قبل بداية الفترة الأولى.

دعونا الآن نثبت هذه القاعدة لكسر تتكون فترة ما قبله من صوفترة إلىأرقام. يجب أن يكون هناك جزء دوري

دل في= ; ص= ,

مع= ؛ ومن بعد مع=× 10ك + ص.

دعونا نضاعف أبمقدار 10 مع هذا الأس كم عدد الأرقام في الفترة السابقة ، أي يوم 10 ن، نحن نحصل:

أ× 10 ن = + .

مع الأخذ في الاعتبار الترميز المقدم أعلاه ، نكتب:

أ × 10ن= في+ .

لذلك ، تم إثبات القاعدة الموضحة أعلاه لأي كسر دوري مختلط.

أي كسر عشري دوري لانهائي هو شكل من أشكال كتابة عدد منطقي.

من أجل التوحيد ، في بعض الأحيان يعتبر الكسر العشري المحدود أيضًا عددًا عشريًا دوريًا لانهائيًا بفترة "صفر". على سبيل المثال ، 0.27 = 0.27000 ... ؛ 10.567 = 10.567000 ... ؛ 3 = 3000 ....

الآن تصبح العبارة التالية صحيحة: يمكن التعبير عن أي رقم منطقي (علاوة على ذلك ، بطريقة فريدة) بواسطة كسر دوري عشري لانهائي ، وأي كسر عشري دوري لا نهائي يعبر عن رقم منطقي واحد بالضبط (كسور عشرية دورية بفترة 9 لا تعتبر).