قواعد العمليات ذات الأعداد النسبية. جمع الأعداد المنطقية الموجبة

درس 4
درجة مع مؤشر طبيعي

الأهداف: لتعزيز تكوين المهارات والقدرات الحاسوبية ، وتراكم المعرفة حول الدرجات على أساس الخبرة الحسابية ؛ تعلم كيفية كتابة الأعداد الكبيرة والصغيرة باستخدام قوى 10.

خلال الفصول

أولا - تفعيل المعرفة الأساسية.

يحلل المعلم نتائج عمل الاختبار ، ويتلقى كل طالب توصيات لتطوير خطة فردية لتصحيح المهارات والقدرات الحسابية.

ثم يُطلب من الطلاب إجراء العمليات الحسابية وقراءة أسماء علماء الرياضيات المشهورين الذين ساهموا في بناء نظرية الدرجات العلمية:

0,3 2 ; 5 3 ; (– 12) 2 ; ; ; –7 3 ; (–0,2) 3 ; –13 2 ; 1,7 2 ; ; 1,1 2 ; 1 3 .

مفتاح:

بمساعدة جهاز كمبيوتر أو جهاز epiprojector ، يتم عرض صور العلماء Diophantus و Rene Descartes و Simon Stevin على الشاشة. الطلاب مدعوون لإعداد ، إذا رغبوا في ذلك ، معلومات تاريخية حول حياة وعمل هؤلاء الرياضيين.

ثانيًا. تشكيل مفاهيم وأساليب عمل جديدة.

يكتب الطلاب التعبيرات التالية في دفاتر ملاحظاتهم:

1. 2 + 2 + 2 + 2 + 2;

2. 2 + 2 + 2 + … + 2;

أمصلحات

3. 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5;

4. 5 ∙ 5 … ∙ 5;

نالمضاعفات

5. أ∙ أ∙ … ∙ أ;

نالمضاعفات

الطلاب مدعوون للإجابة على السؤال: "كيف يمكن تقديم هذه السجلات بشكل أكثر إحكاما بحيث تصبح" مرئية "؟

ثم يقوم المعلم بإجراء محادثة حول موضوع جديد ، وتعريف الطلاب بمفهوم الدرجة الأولى من الرقم. يمكن للطلاب إعداد مسرحية لأسطورة هندية قديمة عن مخترع الشطرنج ، سيث ، والملك شيرام. من الضروري إنهاء المحادثة بقصة حول استخدام صلاحيات 10 عند كتابة كميات كبيرة وصغيرة ، وبعد أن قدمت للطلاب عدة كتب مرجعية في الفيزياء والتكنولوجيا وعلم الفلك ، لإعطائهم الفرصة لإيجاد أمثلة على هذه الكميات. في الكتب.

ثالثا. تكوين المهارات والقدرات.

1. حل التمرين رقم 40 د) ، هـ) ، و) ؛ 51.

أثناء الحل ، يستنتج الطلاب أنه من المفيد تذكر: الأس ذو الأساس السالب يكون موجبًا إذا كان الأس زوجيًا وسالب إذا كان الأس فرديًا.

2. حل التمرين رقم 41 ، 47.

رابعا. تلخيص.

يعلق المعلم ويقيم عمل الطلاب في الدرس.

الواجب المنزلي: البند 1.3 ، رقم 42 ، 43 ، 52 ؛ اختياري: قم بإعداد رسائل حول Diophantus و Descartes و Stevin.

مرجع التاريخ

ديوفانتوس- عالم رياضيات يوناني قديم من الإسكندرية (القرن الثالث). تم الاحتفاظ بجزء من أطروحته الرياضية "الحساب" (6 كتب من أصل 13) ، حيث يتم تقديم حل للمسائل ، والتي يؤدي معظمها إلى ما يسمى بـ "معادلات ديوفانتين" ، والتي يتم البحث عن حل لها بطريقة عقلانية أرقام موجبة (ديوفانتوس ليس لديه أرقام سلبية).

لتعيين المجهول ودرجاته (حتى السادسة) ، استخدمت علامة المساواة Diophantus تدوينًا مختصرًا للكلمات المقابلة. اكتشف العلماء أيضًا النص العربي لأربعة كتب أخرى من كتاب ديوفانتوس الحسابي. كانت كتابات ديوفانتوس نقطة البداية لبحوث P. Fermat و L. Euler و K. Gauss وغيرهم.

ديكارت رينيه (31.03.159.2020) 6 –11. 02. 1650) - فيلسوف وعالم رياضيات فرنسي ، من عائلة نبيلة عريقة. تلقى تعليمه في المدرسة اليسوعية لا فليش في أنجو. في بداية حرب الثلاثين عاما خدم في الجيش وتركه عام 1621. بعد عدة سنوات من السفر انتقل إلى هولندا (1629) ، حيث أمضى عشرين عامًا في الدراسة العلمية الانفرادية. في عام 1649 ، بدعوة من الملكة السويدية ، انتقل إلى ستوكهولم ، لكنه سرعان ما توفي.

وضع ديكارت أسس الهندسة التحليلية وقدم العديد من الرموز الجبرية الحديثة. حسّن ديكارت التدوين بشكل كبير من خلال إدخال علامات مقبولة بشكل عام للمتغيرات.
(X, في,ض…) والمعاملات ( أ, ب, مع...) ، وكذلك تدوين الدرجات ( X 4 , أ 5…). لا تختلف كتابة معادلات ديكارت تقريبًا عن الصيغ الحديثة.

في الهندسة التحليلية ، كان الإنجاز الرئيسي لديكارت هو طريقة الإحداثيات التي أنشأها.

ستيفين سيمون (1548–1620) هو عالم ومهندس هولندي. من عام 1583 درس في جامعة ليدن ، وفي عام 1600 قام بتنظيم مدرسة هندسة في جامعة ليدن ، حيث حاضر في الرياضيات. يتعامل Stevin's Tithing (1585) مع النظام العشري والكسور العشرية التي قدمها Simon Stevin إلى أوروبا.

ثم أ + ب = ب + أ ، أ + (ب + ج) = (أ + ب) + ج.

لا تؤدي إضافة الصفر إلى تغيير الرقم ، ومجموع الأرقام المقابلة هو صفر.

ومن ثم ، بالنسبة لأي رقم منطقي لدينا: أ + 0 = أ ، أ + (- أ) = 0.

لضرب الأعداد المنطقية أيضًا خصائص تبادلية وترابطية. بمعنى آخر ، إذا كانت a و b و c أي أرقام منطقية ، فعندئذٍ ab - ba، a (bc) - (ab) c.

الضرب في 1 لا يغير رقمًا منطقيًا ، لكن حاصل ضرب رقم ومقلوبه هو 1.

لذلك بالنسبة لأي رقم منطقي (أ) لدينا:

أ) س + 8 - س - 22 ؛ ج) أ م + 7-8 + م ؛
ب) -x-a + 12 + a -12 ؛ د) 6.1 ك + 2.8 + ص - 8.8 + ك - ص.

1190. بعد اختيار ترتيب مناسب للحسابات ، أوجد قيمة التعبير:

1191- صغ بالكلمات الخاصية التبادلية لعملية الضرب ab = ba وتحقق منها من أجل:

1192. صِغ بالكلمات الخاصية الترابطية للضرب a (bc) = (ab) c وتحقق منها من أجل:

1193- باختيار ترتيب مناسب للحسابات ، ابحث عن قيمة التعبير:

1194. ما هو الرقم (موجب أو سالب) إذا ضربت:

أ) رقم واحد سلبي ورقمان موجبان ؛
ب) رقمان سالبان ورقم موجب ؛
ج) 7 أرقام سلبية وعدة أرقام موجبة ؛
د) 20 سلبيات وبعض الإيجابيات؟ تقديم استنتاج.

1195- حدد علامة المنتج:

أ) - 2 (- 3) (- 9) (-1.3) 14 (- 2.7) (- 2.9) ؛
ب) 4 (-11) (-12) (-13) (-15) (-17) 80 90.

أ) تجمع فيتيا وكوليا وبيتيا وسيريوزا وماكسيم في صالة الألعاب الرياضية (الشكل 91 ، أ). اتضح أن كل طفل يعرف اثنين آخرين فقط. من يعرف من؟ (تعني حافة الرسم البياني "نحن نعرف بعضنا البعض.")

ب) الإخوة والأخوات من نفس العائلة يسيرون في الفناء. أي من هؤلاء الأطفال هم من الأولاد ومن هم البنات (الشكل 91 ، ب)؟ (تعني الحواف المنقطة للرسم البياني - "أنا أخت" ، والأطراف الصلبة - "أنا أخ".)

1205. احسب:

1206. قارن:

أ) 2 3 و 3 2 ؛ ب) (-2) 3 و (-3) 2 ؛ ج) 1 3 و 1 2 ؛ د) (-1) 3 و (-1) 2.

1207. تقريب 5.2853 إلى جزء من الألف ؛ قبل المئات؛ ما يصل إلى أعشار ما يصل إلى وحدات.

1208- حل المشكلة:

1) يلحق سائق الدراجة النارية بالدراج. الآن بينهما 23.4 كم. تبلغ سرعة سائق الدراجة النارية 3.6 أضعاف سرعة سائق الدراجة. أوجد سرعات راكب الدراجة النارية وسائق الدراجة النارية إذا كان معروفًا أن راكب الدراجة النارية سيتجاوزه في غضون ساعات.
2) سيارة تلحق بالحافلة. الآن بينهما 18 كم. سرعة الحافلة هي سرعة السيارة. أوجد سرعات الحافلة والسيارة إذا كان من المعروف أن السيارة ستتجاوز الحافلة في غضون ساعات.

1209- أوجد قيمة التعبير:

1) (0,7245:0,23 - 2,45) 0,18 + 0,07 4;
2) (0,8925:0,17 - 4,65) 0,17+0,098;
3) (-2,8 + 3,7 -4,8) 1,5:0,9;
4) (5,7-6,6-1,9) 2,1:(-0,49).

تحقق من حساباتك مع آلة حاسبة.
1210. بعد اختيار ترتيب مناسب للحسابات ، أوجد قيمة التعبير:

1211. بسّط التعبير:

1212. أوجد قيمة التعبير:

1213. قم بما يلي:

1214. تم تكليف الطلاب بجمع 2.5 طن من الخردة المعدنية. لقد جمعوا 3.2 طن من الخردة المعدنية. ما هي النسبة المئوية التي أكملها الطلاب المهمة وبأي نسبة قاموا بإفراط في إنجاز المهمة؟

1215 قطعت السيارة 240 كلم. من بين هؤلاء ، سارت 180 كم على طول طريق ريفي ، وبقية الطريق - على طول الطريق السريع. كان استهلاك البنزين لكل 10 كيلومترات من طريق ريفي 1.6 لتر ، وعلى الطريق السريع - 25 ٪ أقل. كم لترًا من البنزين تم استهلاكه في المتوسط ​​لكل 10 كيلومترات من السفر؟

1216. عند مغادرته القرية ، لاحظ الدراج أن أحد المشاة يسير في نفس الاتجاه على الجسر ، ولحق به في غضون 12 دقيقة. أوجد سرعة المشاة إذا كانت سرعة الدراج 15 كم / س والمسافة من القرية إلى الجسر 1 كم 800 م؟

1217. قم بما يلي:

أ) - 4.8 3.7 - 2.9 8.7 - 2.6 5.3 + 6.2 1.9 ؛
ب) -14.31: 5.3 - 27.81: 2.7 + 2.565: 3.42 + 4.1 0.8 ؛
ج) 3.5 0.23 - 3.5 (- 0.64) + 0.87 (- 2.5).

كما تعلم ، تعرف الناس تدريجياً على الأرقام المنطقية. في البداية ، عند عد الأشياء ، نشأت الأعداد الطبيعية. في البداية ، كان هناك القليل منهم. لذلك ، حتى وقت قريب ، كان لدى السكان الأصليين للجزر في مضيق توريس (الذي يفصل غينيا الجديدة عن أستراليا) رقمان فقط في لغتهم: "urapun" (واحد) و "okaza" (رقمان). اعتقد سكان الجزيرة ذلك: "okaza-urapun" (ثلاثة) ، "okaza-okaza" (أربعة) ، إلخ. جميع الأرقام ، بدءًا من سبعة ، أطلق عليها السكان الأصليون الكلمة التي تعني "كثير".

يعتقد العلماء أن كلمة مائة ظهرت منذ أكثر من 7000 عام ، منذ ألف - 6000 عام ، و 5000 عام في مصر القديمة وبابل القديمة ، تظهر الأسماء بأعداد هائلة - تصل إلى مليون. لكن لفترة طويلة ، اعتبرت السلسلة الطبيعية للأرقام محدودة: اعتقد الناس أن هناك عددًا أكبر.

توصل أعظم عالم الرياضيات والفيزيائي اليوناني القديم أرخميدس (287-212 قبل الميلاد) إلى طريقة لوصف الأعداد الهائلة. كان أكبر رقم عرف أرخميدس تسميته كبيرًا لدرجة أن تسجيله الرقمي يتطلب شريطًا أطول بألفي مرة من المسافة من الأرض إلى الشمس.

لكنهم ما زالوا لا يعرفون كيف يكتبون مثل هذه الأعداد الضخمة. أصبح هذا ممكنًا فقط بعد علماء الرياضيات الهنود في القرن السادس. تم اختراع الرقم صفر وبدأ يشير إلى عدم وجود وحدات في أرقام التدوين العشري للرقم.

عند قسمة الغنيمة ولاحقًا عند قياس الكميات ، وفي حالات أخرى مماثلة ، التقى الناس بالحاجة إلى إدخال "الأعداد المكسورة" - الكسور العادية. تعتبر الإجراءات على الكسور أصعب منطقة في الرياضيات في العصور الوسطى. حتى الآن ، يقول الألمان عن شخص في وضع صعب ، إنه "وقع في شقوق".

لتسهيل التعامل مع الكسور ، تم اختراع الكسور العشرية. كسور. في أوروبا ، تم تقديمها في X585 من قبل عالم الرياضيات والمهندس الهولندي سيمون ستيفين.

ظهرت الأعداد السالبة بعد الكسور. لفترة طويلة ، كانت هذه الأرقام تعتبر "غير موجودة" ، "خاطئة" ، ويرجع ذلك أساسًا إلى حقيقة أن التفسير المقبول للأرقام الموجبة والسالبة "الملكية - الدين" أدى إلى الحيرة: يمكنك إضافة أو طرح "خاصية" أو "ديون" ولكن كيف يفهم العمل أو "الملكية" الخاصة و "الدين"؟

ومع ذلك ، على الرغم من هذه الشكوك والحيرة ، تم اقتراح قواعد ضرب وتقسيم الأرقام الموجبة والسالبة في القرن الثالث. بواسطة عالم الرياضيات اليوناني ديوفانتوس (بالشكل: "المطروح ، مضروبًا في المضافة ، يعطي المطروح ؛ المطروح من المطروح يعطي المضاف" ، إلخ) ، ولاحقًا عبر عالم الرياضيات الهندي باسكارا (القرن الثاني عشر) عن نفس الشيء القواعد في مفاهيم "الملكية" ، "الدين" ("ناتج عقارين أو دينين هو ملكية ؛ منتج الملكية والديون هو الدين". تنطبق القاعدة نفسها على التقسيم).

وجد أن خصائص الإجراءات على الأعداد السالبة هي نفسها الموجودة في الأعداد الموجبة (على سبيل المثال ، الجمع والضرب لهما خاصية تبادلية). وأخيرًا ، منذ بداية القرن الماضي ، أصبحت الأرقام السالبة مساوية للأرقام الإيجابية.

في وقت لاحق ، ظهرت أرقام جديدة في الرياضيات - غير منطقية ومعقدة وغيرها. سوف تتعلم عنهم في المدرسة الثانوية.

نيا فيلينكين ، أ. تشيسنوكوف ، إس. Schwarzburd، V.I. Zhokhov، الرياضيات للصف السادس، كتاب مدرسي للمدرسة الثانوية

الكتب والكتب المدرسية وفقًا لخطة التقويم الخاصة بتنزيل الرياضيات للصف السادس ، تساعد الطالب عبر الإنترنت

محتوى الدرس ملخص الدرسدعم إطار عرض الدرس بأساليب متسارعة تقنيات تفاعلية يمارس مهام وتمارين امتحان ذاتي ورش عمل ، تدريبات ، حالات ، أسئلة ، واجبات منزلية ، أسئلة مناقشة أسئلة بلاغية من الطلاب الرسوم التوضيحية مقاطع الصوت والفيديو والوسائط المتعددةصور فوتوغرافية ، صور رسومات ، جداول ، مخططات فكاهة ، نوادر ، نكت ، أمثال كاريكاتورية ، أقوال ، ألغاز كلمات متقاطعة ، اقتباسات الإضافات الملخصاترقائق المقالات لأوراق الغش الفضولي والكتب المدرسية الأساسية والإضافية معجم مصطلحات أخرى تحسين الكتب المدرسية والدروستصحيح الأخطاء في الكتاب المدرسيتحديث جزء في الكتاب المدرسي من عناصر الابتكار في الدرس واستبدال المعرفة القديمة بأخرى جديدة فقط للمعلمين دروس مثاليةخطة التقويم للسنة التوصيات المنهجية لبرنامج المناقشة دروس متكاملة
صورة. العمليات الحسابية على الأعداد النسبية.

نص:

قواعد العمليات ذات الأرقام المنطقية:
. عند إضافة الأرقام بنفس العلامات ، من الضروري إضافة وحداتها ووضع علامتها المشتركة أمام المجموع ؛
. عند إضافة رقمين بعلامات مختلفة من رقم ذي وحدة كبيرة ، يتم طرح رقم ذي وحدة أصغر وتوضع علامة الرقم الذي يحتوي على وحدة أكبر أمام الفرق الناتج ؛
. عند طرح رقم من رقم آخر ، تحتاج إلى إضافة الرقم المعاكس للرقم المطروح: أ - ب \ u003d أ + (-ب)
. عند ضرب رقمين بنفس العلامات ، تتضاعف وحداتهما ويتم وضع علامة الجمع أمام المنتج الناتج ؛
. عند ضرب رقمين بعلامات مختلفة ، تتضاعف وحداتهما ويتم وضع علامة الطرح أمام المنتج الناتج ؛
. عند قسمة الأرقام بنفس العلامات ، يتم تقسيم معامل المقسوم على معامل المقسوم عليه وتوضع علامة الجمع أمام حاصل القسمة الناتج ؛
. عند قسمة الأرقام بعلامات مختلفة ، يتم تقسيم معامل المقسوم على معامل المقسوم عليه وتوضع علامة الطرح أمام حاصل القسمة الناتج ؛
. ينتج عن قسمة الصفر وضربه في أي رقم غير صفري صفر:
. لا يمكنك القسمة على صفر.

الأرقام الحقيقية II

§ 36 الإجراءات على الأرقام المنطقية

كما تعلم ، كسرين م / ن و ك / ل متساوية ، أي تمثل نفس العدد المنطقي إذا وفقط إذا مل = nk .

على سبيل المثال ، 1/3 = 2/6 منذ 1 6 = 3 2 ؛ -5 / 7 = 10 / - 14 لأن (-5) (- 14) = 7 10 ؛ 0/1 = 0/5 منذ 0 5 = 1 0 إلخ.

من الواضح ، لأي عدد صحيح ص ، لا يساوي 0 ،

: م / ن = م ص / ن ص

هذا يتبع من المساواة الواضحة ر (ص ص ) = ص (ر ص ). لذلك ، يمكن تمثيل أي رقم منطقي كنسبة من رقمين بعدد لا نهائي من الطرق. فمثلا،

5 \ u003d 5/1 \ u003d -10 / -2 \ u003d 15/3 ، إلخ ،

1/7 = 2 / -14 = -3 / 21 = -100 / 700 إلخ.

0 = 0/1 = 0 / -2 = 0/3 = 0/100 إلخ.

في مجموعة جميع الأعداد المنطقية ، تكون عمليات الجمع والضرب والطرح والقسمة (باستثناء القسمة على صفر) ممكنة. تذكر كيف يتم تعريف هذه الإجراءات.

مجموع عددين منطقيين م / ن و ك / ل يتم تحديده من خلال الصيغة:

حاصل ضرب عددين منطقيين م / ن و ك / ل يتم تحديده من خلال الصيغة:

م / ن ك / ل = عضو الكنيست / nl (2)

نظرًا لأن نفس الرقم المنطقي يسمح بعدة إدخالات (على سبيل المثال ، 1/3 = 2/6 = 3/9 = ...) سيكون من الضروري إظهار أن مجموع ومنتج الأرقام المنطقية لا يعتمدان على كيفية استخدام المصطلحات أو يتم كتابة العوامل. فمثلا،

1 / 2 + 1 / 3 = 2 / 4 + 3 / 9 ; 1 / 2 1 / 3 = 3 / 6 2 / 6

إلخ. ومع ذلك ، فإن النظر في هذه الأسئلة هو خارج نطاق برنامجنا.

عند جمع وضرب الأعداد المنطقية ، يتم ملاحظة القوانين الأساسية التالية:

1) تبادلي(أو تبادلي) قانون الإضافة

م / ن + ك / ل = ك / ل + م / ن

2) ترابطي(أو الجمعيات) قانون الإضافة:

( م / ن + ك / ل ) + ص / ف = م / ن + ( ك / ل + ص / ف )

3) تبادلي(أو تبادلي) قانون الضرب:

م / ن ك / ل = ك / ل م / ن

4) ترابطي(أو الترابطي) قانون الضرب:

( م / ن ك / ل ) ص / ف = م / ن ( ك / ل ص / ف )

5) توزيعي(أو التوزيع) قانون الضرب فيما يتعلق بالإضافة:

( م / ن + ك / ل ) ص / ف = م / ن ص / ف + ك / ل ص / ف

الجمع والضرب من العمليات الجبرية الأساسية. أما بالنسبة للطرح والقسمة ، فتعرف هاتان العمليتان على أنهما معكوس الجمع والضرب.

الفرق بين عددين منطقيين م / ن و ك / ل هذا الرقم يسمى X ، والتي مع ك / ل يعطي م / ن . بمعنى آخر ، الاختلاف م / ن - ك / ل

ك / ل + x = م / ن

يمكن إثبات أن مثل هذه المعادلة لها دائمًا جذر ، علاوة على ذلك ، فقط واحد:

إذن الفرق بين عددين م / ن و ك / ل تم العثور عليه وفقًا للصيغة:

إذا كانت الأرقام م / ن و ك / ل متساوون ، ثم يتلاشى اختلافهم ؛ إذا كانت هذه الأرقام لا تساوي بعضها البعض ، فإن الاختلاف بينهما يكون إما موجبًا أو سالبًا. في م / ن - ك / ل > 0 قل الرقم م / ن رقم أكثر ك / ل ؛ إذا م / ن - ك / ل < 0, то говорят, что число م / ن أقل من رقم ك / ل .

حاصل قسمة عدد نسبي م / نإلى رقم منطقي ك / لهذا الرقم يسمى X، والتي في المنتج مع ك / ليعطي م / ن . بمعنى آخر ، خاص م / ن : ك / ل يعرف بأنه جذر المعادلة

ك / ل X = م / ن .

اذا كان ك / ل = / = 0 ، إذن هذه المعادلة لها جذر واحد

X = مل / nk

إذا ك / ل = 0 ، فإن هذه المعادلة إما ليس لها جذور على الإطلاق (لـ م / ن = / = 0) ، أو له عدد لا نهائي من الجذور (لـ م / ن = 0). رغبة في جعل عملية القسمة مجدية بشكل فريد ، نتفق على عدم اعتبار القسمة على صفر على الإطلاق. وهكذا ، قسمة عدد منطقي م / ن إلى رقم منطقي ك / ل دائما محددة ما لم ك / ل = / = 0. في هذه الحالة

م / ن : ك / ل = مل / nk

تمارين

295. احسب بأكثر الطرق عقلانية وبيان قوانين العمل التي يجب استخدامها في هذه الحالة ؛

أ) (5 1/12 - 3 1/4) 24 ؛ ج) (333 1/3 4) (3/125 1/16).

ب) (1/10 - 3 1/2) + 9/10