المجسمات العادية المحدبة. متعددات الوجوه

لا تشغل المجسمات المتعددة السطوح مكانًا بارزًا في الهندسة فحسب ، بل توجد أيضًا في الحياة اليوميةكل شخص. ناهيك عن الأدوات المنزلية التي تم إنشاؤها بشكل مصطنع في شكل مضلعات مختلفة ، بدءًا من علبة الثقابوتنتهي بالعناصر المعمارية ، توجد في الطبيعة أيضًا بلورات على شكل مكعب (ملح) ، منشور (بلور) ، هرم (سكيليت) ، ثماني السطوح (الماس) ، إلخ.

مفهوم متعدد السطوح ، أنواع متعددات الوجوه في الهندسة

تحتوي الهندسة كعلم على قسم من القياس الفراغي الذي يدرس خصائص وخصائص الأجسام ثلاثية الأبعاد ، والتي تقع جوانبها في مساحة ثلاثية الأبعادتتكون من مستويات محدودة (وجوه) ، تسمى "متعددة الوجوه". تشمل أنواع متعددات الوجوه أكثر من اثني عشر ممثلًا ، يختلفون في عدد وشكل الوجوه.

ومع ذلك ، فإن كل متعددات الوجوه لها خصائص مشتركة:

1. تحتوي جميعها على 3 مكونات متكاملة: وجه (سطح مضلع) ، قمة (تشكل الزوايا عند تقاطع الوجوه) ، حافة (جانب الشكل أو جزء مكون عند تقاطع وجهين ).
2. تربط كل حافة مضلع وجهين ، واثنين فقط ، متجاورين.
3. التحدب يعني أن الجسم يقع بالكامل فقط على جانب واحد من المستوى الذي يقع عليه أحد الوجوه. تنطبق القاعدة على جميع أوجه متعدد السطوح. تسمى هذه الأشكال الهندسية في القياس الفراغي متعدد السطوح المحدبة. الاستثناء هو متعدد السطوح على شكل نجمة ، وهي مشتقات المواد الصلبة الهندسية متعددة السطوح العادية.

يمكن تقسيم متعددات الوجوه إلى:

1. أنواع متعددات الوجوه المحدبة ، وتتكون من الفئات التالية: عادية أو كلاسيكية (موشور ، هرم ، متوازي السطوح) ، عادية (وتسمى أيضًا المواد الصلبة الأفلاطونية) ، شبه منتظمة (الاسم الثاني - المواد الصلبة أرخميدس).
2. متعدد الوجوه غير محدب (منمق).

المنشور وخصائصه

يدرس القياس المجسم كفرع من الهندسة خصائص الأشكال ثلاثية الأبعاد ، وأنواع متعددات الوجوه (المنشور هو واحد منهم). يسمونه المنشور جسم هندسي، والتي لها وجهان متطابقان تمامًا (يطلق عليهما أيضًا القواعد) تكمن فيه طائرات موازية، والعدد n من الوجوه الجانبية على شكل متوازي أضلاع. في المقابل ، يحتوي المنشور أيضًا على عدة أنواع ، بما في ذلك أنواع متعددة الوجوه مثل:

1. يتم تشكيل خط متوازي إذا كانت القاعدة متوازي أضلاع - مضلع به زوجان من زوايا متقابلة متساوية وزوجان من الأضلاع المتقابلة المتطابقة.
2. المنشور المستقيم له حواف متعامدة مع القاعدة.
3. تتميز بوجود زوايا غير قائمة (غير 90) بين الوجوه والقاعدة.
4. يتميز المنشور المنتظم بقواعد في الشكل ذات أوجه جانبية متساوية.

الخصائص الرئيسية للمنشور:

• القواعد المتطابقة.
• جميع حواف المنشور متساوية ومتوازية مع بعضها البعض.
• الجميع وجوه جانبيةلها شكل متوازي الأضلاع.

هرم

الهرم عبارة عن جسم هندسي يتكون من قاعدة واحدة والعدد n من الوجوه المثلثة المتصلة عند نقطة واحدة - الرأس. وتجدر الإشارة إلى أنه إذا كانت الوجوه الجانبية للهرم ممثلة بالضرورة بمثلثات ، فيمكن أن يوجد في القاعدة إما مضلع مثلثي ، أو رباعي ، وخماسي ، وهكذا إلى ما لا نهاية. في هذه الحالة ، سيتوافق اسم الهرم مع المضلع في القاعدة. على سبيل المثال ، إذا كان هناك مثلث في قاعدة الهرم - فهذا رباعي الأضلاع - رباعي الزوايا ، إلخ.

الأهرامات متعددة السطوح تشبه المخروط. أنواع متعددات الوجوه لهذه المجموعة ، بالإضافة إلى تلك المذكورة أعلاه ، تشمل أيضًا الممثلين التاليين:

1. الهرم المنتظم له مضلع منتظم في قاعدته ، ويظهر ارتفاعه في مركز دائرة منقوشة في القاعدة أو محصورة حولها.
2. يتكون الهرم المستطيل عندما يتقاطع أحد حوافه الجانبية مع القاعدة بزاوية قائمة. في هذه الحالة ، من العدل أيضًا تسمية هذه الحافة بارتفاع الهرم.

خصائص الهرم:

• إذا كانت جميع الحواف الجانبية للهرم متطابقة ( نفس الارتفاع) ، ثم تتقاطع جميعها مع القاعدة بزاوية واحدة ، وحول القاعدة يمكنك رسم دائرة بمركز يتزامن مع إسقاط قمة الهرم.
• إذا كان المضلع المنتظم يقع في قاعدة الهرم ، فإن جميع الحواف الجانبية تكون متطابقة ، وتكون الوجوه مثلثات متساوية الساقين.

متعدد الوجوه المنتظم: أنواع وخصائص المجسمات المتعددة السطوح

في القياس الفراغي مكان خاصتشغل أجسامًا هندسية ذات وجوه متساوية تمامًا ، حيث يتم توصيل نفس عدد الحواف عند رؤوسها. هذه المواد الصلبة تسمى المواد الصلبة الأفلاطونية ، أو المجسمات العادية. أنواع المجسمات ذات الخصائص لها خمسة أشكال فقط:

1. رباعي الوجوه.
2. المكعب.
3. المجسم الثماني.
4. دوديكاهيدرون.
5. إيكوساهيدرون.

تدين متعددات الوجوه العادية باسم الفيلسوف اليوناني القديم أفلاطون ، الذي وصف هذه الأجسام الهندسية في كتاباته وربطها بالعناصر الطبيعية: الأرض والماء والنار والهواء. تم منح الشكل الخامس التشابه مع بنية الكون. في رأيه ، ذرات العناصر الطبيعية في الشكل تشبه أنواع متعددة السطوح العادية. نظرًا لخصائصها الأكثر إثارة - التناظر ، تم تمثيل هذه الأجسام الهندسية الفائدة الكبيرةليس فقط لعلماء الرياضيات والفلاسفة القدماء ، ولكن أيضًا للمهندسين المعماريين والرسامين والنحاتين في جميع الأوقات. كان وجود 5 أنواع فقط من متعددات الوجوه مع تناظر مطلق يعتبر اكتشافًا أساسيًا ، حتى أنهم حصلوا على صلة بالمبدأ الإلهي.

سداسي الوجوه وخصائصه

في شكل مسدس ، افترض خلفاء أفلاطون تشابهًا مع بنية ذرات الأرض. بالطبع ، في الوقت الحاضر ، تم دحض هذه الفرضية تمامًا ، والتي ، مع ذلك ، لا تمنع الشخصيات من جذب العقول في العصر الحديث. شخصيات مشهورةبجمالياتها.

في الهندسة ، يُعتبر سداسي الوجوه ، المعروف أيضًا باسم المكعب ، حالة خاصة من خط متوازي ، والذي بدوره يعد نوعًا من المنشور. وفقًا لذلك ، ترتبط خصائص المكعب بالاختلاف الوحيد هو أن جميع أوجه وأركان المكعب متساوية مع بعضها البعض. الخصائص التالية تتبع من هذا:

1. جميع حواف المكعب متطابقة وتقع في مستويات متوازية بالنسبة لبعضها البعض.
2. جميع الوجوه هي مربعات متطابقة (يوجد 6 في المجموع في المكعب) ، يمكن اعتبار أي منها كقاعدة.
3. جميع الزوايا بين السطوح 90.
4. من كل رأس يأتي عدد متساوٍ من الأضلاع ، أي 3.
5. يحتوي المكعب على 9 تتقاطع جميعها عند نقطة تقاطع أقطار سداسي الوجوه ، والتي تسمى مركز التناظر.

رباعي الوجوه

رباعي الوجوه هو رباعي السطوح له وجوه متساوية على شكل مثلثات ، كل رأس منها عبارة عن نقطة تقاطع من ثلاثة وجوه.

خصائص رباعي السطوح العادي:

1. جميع وجوه رباعي الوجوه - وهذا ما يترتب على ذلك أن جميع وجوه رباعي الوجوه متطابقة.
2. نظرًا لأن القاعدة ممثلة بشكل هندسي منتظم ، أي أنها كذلك جوانب متساوية، ثم تتقارب وجوه رباعي الوجوه في نفس الزاوية ، أي أن جميع الزوايا متساوية.
3. مجموع الزوايا المسطحة عند كل رأس هو 180 ، بما أن جميع الزوايا متساوية ، فإن أي زاوية لرباعي السطوح العادي هي 60.
4. يُسقط كل رأس إلى نقطة تقاطع ارتفاعات الوجه المقابل (المركز العمودي).

Octahedron وخصائصه

عند وصف أنواع متعددات الوجوه المنتظمة ، لا يمكن للمرء أن يفشل في ملاحظة كائن مثل ثماني السطوح ، والذي يمكن تمثيله بصريًا كهرمين منتظمين رباعي الزوايا ملتصقين ببعضهما البعض عند القواعد.

خصائص Octahedron:

1. يشير اسم الجسم الهندسي إلى عدد وجوهه. يتكون المجسم الثماني من 8 مثلثات متساوية الأضلاع متطابقة ، في كل رأس منها يتلاقى عدد متساوٍ من الوجوه ، أي 4.
2. بما أن جميع أوجه المجسم ثماني السطوح متساوية ، كذلك زوايا واجهته ، كل منها تساوي 60 ، ومجموع زوايا مستوى أي من الرؤوس هو 240.

دوديكاهيدرون

إذا تخيلنا أن جميع أوجه الجسم الهندسي عبارة عن خماسي منتظم ، فسنحصل على شكل ثنائي الوجوه - شكل 12 مضلعًا.

خصائص Dodecahedron:

1. تتقاطع ثلاثة وجوه عند كل رأس.
2. جميع الحواف متساوية ولها نفس الطولحواف ، وكذلك مساحة متساوية.
3. يحتوي الثنائي على 15 محورًا ومستويات تناظر ، ويمر أي منها عبر قمة الوجه ووسط الحافة المقابلة.

عشروني الوجوه

ليس أقل إثارة للاهتمام من الاثني عشر الوجوه ، فإن عشري الوجوه عبارة عن جسم هندسي ثلاثي الأبعاد له 20 وجهًا متساويًا. من بين خصائص عشرين hedron العادية ، يمكن ملاحظة ما يلي:

1. جميع أوجه المجسم العشريني هي مثلثات متساوية الساقين.
2. تتلاقى خمسة أوجه عند كل رأس من رأس متعدد السطوح ، وفي المجموع الزوايا المجاورةالرأس 300.
3. يحتوي العشريني الوجوه ، مثله مثل ثنائي الوجوه ، على 15 محورًا ومستوى تناظر يمر عبر نقاط المنتصف للوجوه المعاكسة.

المضلعات شبه الدائرية

بالإضافة إلى المواد الصلبة الأفلاطونية ، فإن مجموعة الأشكال المتعددة السطوح المحدبة تشمل أيضًا المواد الصلبة الأرشميدية ، والتي هي عبارة عن مجسمات متعددة السطوح العادية. أنواع متعددات الوجوه لهذه المجموعة لها الخصائص التالية:

1. الأجسام الهندسية لها أوجه متساوية زوجية من عدة أنواع ، على سبيل المثال ، رباعي الوجوه مبتور له 8 أوجه ، تمامًا مثل رباعي السطوح العادي ، ولكن في حالة صلبة أرخميدس ، ستكون 4 وجوه مثلثة و 4 ستكون سداسية.
2. جميع زوايا رأس واحد متطابقة.

نجمة متعددات الوجوه

ممثلو الأنواع غير الحجمية للأجسام الهندسية هم متعدد السطوح على شكل نجمة ، تتقاطع وجوههم مع بعضها البعض. يمكن تشكيلها بدمج جسمين عاديين ثلاثي الأبعاد أو بمواصلة وجوههم.

وهكذا ، تُعرف هذه الأشكال متعددة السطوح النجمية باسم: الأشكال النجمية من الثماني الوجوه ، والعشري الوجوه ، والعشريني الوجوه ، والمكعبات الوجوه ، والعشرينية الوجوه.

تسمى الأشكال المتعددة السطوح المحدبة بالانتظام إذا كانت جميع الوجوه متشابهة. المضلعات المنتظمة، ونفس عدد الوجوه يتقارب عند كل رأس. تسمى هذه المجسمات المتعددة الوجوه أيضًا بالمواد الصلبة الأفلاطونية.

لا يوجد سوى خمسة أشكال متعددة الوجوه منتظمة:

صورة	نوع متعدد السطوح منتظم	عدد الجوانب على الوجه	عدد الأضلاع المجاورة للرأس	العدد الإجمالي للرؤوس	العدد الإجمالي للحواف	إجمالي عدد الوجوه
رباعي الوجوه
سداسي الوجوه أو مكعب
دوديكاهيدرون
عشروني الوجوه

يأتي اسم كل متعدد الوجوه من الاسم اليونانيعدد وجوهها وكلمة "حافة".

رباعي الوجوه

رباعي الوجوه (يوناني fefsbedspn - رباعي السطوح) هو متعدد الوجوه بأربعة وجوه مثلثة ، عند كل رأس تتلاقى 3 وجوه. رباعي الوجوه له 4 وجوه و 4 رؤوس و 6 حواف.

خصائص رباعي الوجوه

تحدد المستويات المتوازية التي تمر عبر أزواج من الحواف المتقاطعة للرباعي السطوح الخطوط المتوازية المحصورة بالقرب من رباعي السطوح.

يُطلق على الجزء الذي يربط رأس رباعي السطوح بنقطة تقاطع وسطاء الوجه المعاكس اسم الوسيط ، الذي تم إسقاطه من هذا الرأس.

يُطلق على الجزء الذي يربط بين نقاط المنتصف للحواف المتقاطعة لرباعي السطوح اسم bimedian ، والذي يربط بين هذه الحواف.

يسمى الجزء الخطي الذي يربط الرأس بنقطة على الوجه المقابل والعمودي على هذا الوجه ارتفاعه من الرأس المعطى.

نظرية.تتقاطع جميع المتوسطات والثنائيات ثنائية السطوح من رباعي الوجوه عند نقطة واحدة. تقسم هذه النقطة المتوسطات بنسبة 3: 1 ، عد من الأعلى. هذه النقطة تقسم bimedians.

تخصيص:

• رباعي السطوح متساوي السطوح ، حيث تكون جميع الوجوه مثلثات متساوية مع بعضها البعض ؛
• · رباعي السطوح متعامد ، حيث تتقاطع جميع الارتفاعات من الرؤوس إلى الوجوه المقابلة عند نقطة واحدة ؛
• رباعي السطوح مستطيل ، حيث تكون جميع الحواف المجاورة لأحد الرؤوس متعامدة مع بعضها البعض ؛
• رباعي الوجوه منتظم ، حيث تكون جميع الوجوه مثلثات متساوية الأضلاع ؛
• إطار رباعي السطوح - رباعي السطوح يستوفي أيًا من الشروط التالية:
• · هناك كرة تلامس جميع الحواف.
• · تساوي مجموع أطوال الأضلاع المتقاطعة.
• · مجموع الزوايا ثنائية الأضلاع عند الحواف المتقابلة متساوية.
• الدوائر المكتوبة في الوجوه مظللة في أزواج.
• · جميع الأشكال الرباعية الناتجة عن تطور رباعي السطوح مقيدة.
• · تتقاطع الخطوط العمودية المرفوعة على الوجوه من مراكز الدوائر المنقوشة فيها عند نقطة واحدة.
• رباعي الوجوه متكافئ ، وجميع ارتفاعاته متساوية ؛
• · حافز رباعي السطوح ، حيث تتقاطع عند نقطة واحدة الأجزاء التي تربط رؤوس رباعي السطوح بمراكز الدوائر المنقوشة في الوجوه المتقابلة.

المكعب أو السداسي السداسي المنتظم هو متعدد السطوح منتظم ، كل وجه منه مربع. حالة خاصةمتوازي السطوح والمنشور.

خصائص المكعب

• · أربعة أقسام من المكعب عبارة عن أشكال سداسية منتظمة - تمر هذه الأقسام عبر مركز المكعب بشكل متعامد مع أقطاره الأربعة الرئيسية.
• يمكن نقش رباعي الوجوه في مكعب بطريقتين. في كلتا الحالتين ، ستتم محاذاة الرؤوس الأربعة للرباعي السطوح مع الرؤوس الأربعة للمكعب ، وستنتمي جميع الحواف الستة للرباعي السطوح إلى وجوه المكعب. في الحالة الأولى ، تنتمي جميع رؤوس رباعي السطوح إلى وجوه الزاوية ثلاثية السطوح ، والتي يتطابق رأسها مع أحد رؤوس المكعب. في الحالة الثانية ، تنتمي الحواف المتقاطعة الزوجية للرباعي الوجوه إلى الوجوه المقابلة للمكعب. مثل هذا رباعي الوجوه صحيح.
• · يمكن كتابة المجسم الثماني في مكعب ، علاوة على ذلك ، ستتم محاذاة جميع الرؤوس الستة للمكعب مع مراكز الوجوه الستة للمكعب.
• · يمكن نقش المكعب في المجسم الثماني ، علاوة على ذلك ، فإن الرؤوس الثمانية للمكعب ستكون موجودة في مراكز الوجوه الثمانية للمجسم ثماني السطوح.
• · يمكن نقش المجسم العشريني في مكعب ، بينما ستوضع ستة حواف متوازية متبادلة على ستة أوجه للمكعب ، والحواف الأربعة والعشرون المتبقية داخل المكعب. جميع القمم الاثني عشر للعشروني الوجوه تقع على وجوه المكعب الستة.

قطر المكعب هو قطعة تربط رأسين متماثلين حول مركز المكعب. يمكن إيجاد قطر المكعب بالصيغة

متعدد السطوح عشروني الوجوه ثماني السطوح

حيث d هو القطر و a حافة المكعب.

المجسم الثماني

Octahedron (اليونانية pkfedspn ، من اليونانية pkfyu ، "ثمانية" واليونانية Edsb - "قاعدة") هي واحدة من خمسة متعددات الوجوه المنتظمة المحدبة ، ما يسمى بالجوامد الأفلاطونية.

يحتوي المجسم ثماني الوجوه على 8 أوجه مثلثة ، و 12 ضلعًا ، و 6 رؤوس ، و 4 حواف تتلاقى عند كل رأس.

إذا كان طول حافة المجسم الثماني a ، فإن مساحته سطح كامل(S) وحجم المجسم الثماني (V) يتم حسابها بواسطة الصيغ:

نصف قطر الكرة المُحددة حول ثماني السطوح هو:

يمكن حساب نصف قطر الكرة المدوَّنة في المجسم الثماني بالصيغة:

يحتوي المجسم الثماني العادي على تناظر أوه ، وهو نفس تناظر المكعب.

المجسم الثماني له شكل نجمة واحدة. اكتشف ليوناردو دافنشي المجسم الثماني ، ثم أعاد يوهانس كيبلر اكتشافه بعد 100 عام تقريبًا ، وأطلق عليه اسم ستيلا أوكتانجولا - نجم ثماني الأضلاع. ومن ثم فإن هذا النموذج له الاسم الثاني "Kepler's stella octangula".

في الواقع ، إنه مركب من اثنين من رباعي السطوح

دوديكاهيدرون

Dodecahedron (من اليونانية dudekb - اثنا عشر و edspn - وجه) ، ثنائي الوجوه - متعدد الوجوه منتظم ، يتكون من اثني عشر خماسيًا منتظمًا. كل رأس من دوديكاهدرون هو رأس من ثلاثة خماسي منتظم.

وهكذا ، فإن اثني عشر وجهًا له 12 وجهًا (خماسي) ، 30 حافة و 20 رأسًا (3 حواف تتقارب في كل منها). مجموع زوايا المستوى عند كل من الرؤوس العشرين هو 324 درجة.

يحتوي الاثنا عشري الوجوه على 3 نجوم: اثني عشر وجهًا نجميًا صغيرًا ، وثني عشر وجهًا عظيمًا ، واثني عشر وجهًا نجميًا كبيرًا (اثنا عشر وجهًا نجميًا كبير ، الشكل النهائي). تم اكتشاف أول اثنين من قبل كبلر (1619) ، والثالث من قبل بوانسوت (1809). على عكس المجسم الثماني ، فإن أيًا من الأشكال النجمية للثنائي الوجوه ليس مركبًا من المواد الصلبة الأفلاطونية ، ولكنه يشكل متعدد الوجوه جديدًا.

تشكل جميع النجوم الثلاثة من الاثني عشر الوجوه ، جنبًا إلى جنب مع عشري الوجوه العظيم ، عائلة من المواد الصلبة كبلر-بوينسو ، أي متعدد الوجوه المنتظم غير المحدب (النجمي).

الوجوه العظيمة للاثني عشر الوجوه هي خماسية ، تلتقي بخمسة في كل من القمم. وجه dodecahedrons الصغيرة والنجوم الكبيرة - خمس نجوم(الخماسية) ، والتي في الحالة الأولى تتقارب بمقدار 5 ، وفي الحالة الثانية بمقدار 3. تتطابق رؤوس الثنائى الوجوه الكبيرة مع رؤوس الثنائى الوجوه المحدود. كل رأس يربط ثلاثة وجوه.

الصيغ الأساسية:

إذا أخذنا a بطول الحافة ، فإن مساحة سطح الاثني عشر الوجوه هي:

حجم ثنائي الوجوه:

نصف قطر المجال المحدود:

نصف قطر الكرة المنقوشة:

عناصر تناظر الاثني عشر الوجوه:

· يحتوي الثنائي على مركز تناظر و 15 محور تناظر.

يمر كل محور من خلال نقاط المنتصف للأضلاع المتوازية المعاكسة.

يحتوي الثنائي على 15 مستوى من التماثل. أي مستوى من مستويات التناظر يمر في كل وجه من خلال قمة ووسط الحافة المقابلة.

عشروني الوجوه

Icosahedron (من اليونانية. eykput - عشرون ؛ -edspn - الوجه والوجه والقاعدة) - متعدد الوجوه محدب منتظم ، ذو عشرين جانبًا ، أحد المواد الصلبة الأفلاطونية. كل وجه من الـ 20 وجه هو مثلث متساوي الاضلاع. عدد الأضلاع 30 ، وعدد الرؤوس هو 12.

يتم حساب المنطقة S ، الحجم الخامس لعشروني الوجوه بطول حرف a ، وكذلك نصف قطر المجالات المنقوشة والمحدودة بواسطة الصيغ:

نصف قطر المجال المدرج:

نصف قطر المجال المحدود:

الخصائص

• يمكن نقش العشريني الوجوه في مكعب ، بينما ستوضع ستة حواف متعامدة بشكل متبادل من عشري الوجوه على التوالي على ستة أوجه للمكعب ، والحواف الأربعة والعشرون المتبقية داخل المكعب ، وستكون جميع الرؤوس الاثني عشر للعشر الوجوه على ستة أوجه للمكعب .
• · يمكن نقش رباعي الوجوه في عشري الوجوه ، علاوة على ذلك ، سيتم دمج أربعة رؤوس من رباعي الوجوه مع أربعة رؤوس من عشروني الوجوه.
• · يمكن نقش المجسم العشريني في اثني عشر الوجوه ، في حين أن رؤوس المجسم العشريني ستكون محاذية لمراكز وجوه الاثني عشر الوجوه.
• · يمكن نقش اثني عشر الوجوه في عشري الوجوه مع محاذاة رؤوس الاثني عشر الوجوه ومراكز الوجوه للعشريني الوجوه.
• · يمكن الحصول على مجسم عشري الوجوه مبتور عن طريق قطع 12 رأسًا لتشكيل وجوه على شكل خماسي منتظم. في الوقت نفسه ، يزداد عدد رؤوس متعدد السطوح الجديد 5 مرات (12-5 = 60) ، ويتحول 20 وجهًا مثلثًا إلى أشكال سداسية منتظمة (العدد الإجمالي للوجوه يصبح 20 + 12 = 32) ، وعدد الحواف يزيد إلى 30 + 12؟ 5 = 90.

يحتوي العشريني الوجوه على 59 نجمًا ، 32 منها لها تناظر كامل و 27 غير مكتمل عشري الوجوه. واحدة من هذه النجوم (20 ، mod. 41 وفقًا لـ Wenninger) ، والتي تسمى العشروني الوجوه العظيم ، هي واحدة من أربعة صحيحمتعدد السطوح منمقة كبلر-بوينسو. وجوهها عبارة عن مثلثات منتظمة تلتقي عند كل رأس خمسة ؛ يتم مشاركة هذه الخاصية من قبل عشري الوجوه الكبير مع عشري الوجوه.

من بين الأشكال النجمية هناك أيضًا: مركب من خمسة ثماني وجوه ، مركب من خمسة رباعي السطوح ، مركب من عشرة رباعي السطوح.

الهندسة جميلة في ذلك ، على عكس الجبر ، حيث لا يكون من الواضح دائمًا ما تفكر فيه ولماذا ، فإنها تعطي رؤية للكائن. هذه عالم رائع مختلف الهيئاتتزين المجسمات العادية.

معلومات عامة عن المجسمات العادية

وفقًا للكثيرين ، فإن متعددات الوجوه العادية ، أو كما يطلق عليها أيضًا المواد الصلبة الأفلاطونية ، لها خصائص فريدة. ترتبط هذه الكائنات بالعديد الفرضيات العلمية. عندما تبدأ في دراسة هذه الأجسام الهندسية ، فإنك تدرك أنك لا تعرف شيئًا عمليًا عن مفهوم مثل متعدد الوجوه المنتظم. إن عرض هذه الأشياء في المدرسة ليس دائمًا مثيرًا للاهتمام ، لذلك لا يتذكر الكثيرون حتى ما يطلق عليهم. يتذكر معظم الناس المكعب فقط. لا توجد أجسام في الهندسة مثالية مثل المجسمات المتعددة السطوح العادية. كل أسماء هذه الأجسام الهندسية تأتي من اليونان القديمة. وهي تعني عدد الوجوه: رباعي الوجوه - رباعي الوجوه ، سداسي الوجوه - سداسي الأضلاع ، ثماني السطوح - ثمانية أوجه ، اثنا عشر وجهًا - اثني عشر وجهًا ، عشري الوجوه - عشرين جانبًا. احتلت كل هذه الأجسام الهندسية مكانة هامةفي مفهوم أفلاطون للكون. جسد أربعة منهم العناصر أو الكيانات: رباعي الوجوه - النار ، العشريني الوجوه - الماء ، المكعب - الأرض ، الثماني الوجوه - الهواء. يجسد الاثنا عشري الوجوه كل ما هو موجود. كان يعتبر الرمز الرئيسي ، لأنه كان رمزًا للكون.

تعميم مفهوم متعدد الوجوه

متعدد الوجوه عبارة عن مجموعة عدد محدودالمضلعات مثل:

• يكون كل جانب من جوانب أي من المضلعات في نفس الوقت جانبًا لمضلع واحد آخر فقط على نفس الجانب ؛
• من كل من المضلعات يمكنك الوصول إلى المضلعات الأخرى بالمرور على طول المضلعات المجاورة لها.

المضلعات التي يتكون منها متعدد السطوح هي أوجهه وجوانبه هي حوافه. رؤوس المجسمات هي رؤوس المضلعات. إذا تم فهم مفهوم المضلع على أنه خطوط مكسورة ومغلقة مسطّحة ، عندئذٍ يتوصلون إلى تعريف واحد لمتعدد السطوح. في الحالة التي يكون فيها هذا المفهوم يعني جزءًا من المستوي ، يكون محدودًا خطوط متقطعةيجب أن يُفهم على أنه سطح يتكون من قطع متعددة الأضلاع. يسمى جسمًا مستلقيًا على جانب واحد من طائرة مجاور لوجهه.

تعريف آخر لمتعدد الوجوه وعناصره

متعدد السطوح هو سطح يتكون من مضلعات تحيط بجسم هندسي. هم انهم:

• غير محدب.
• محدب (صحيح وغير صحيح).

البوليتوب المنتظم هو بوليتوب محدب بأقصى قدر من التناظر. عناصر المجسمات المنتظمة:

• رباعي الوجوه: 6 حواف ، 4 وجوه ، 5 رؤوس ؛
• سداسي الوجوه (مكعب): 12 ، 6 ، 8 ؛
• اثنا عشر وجهًا: 30 ، 12 ، 20 ؛
• ثماني السطوح: 12 ، 8 ، 6 ؛
• عشري الوجوه: 30 ، 20 ، 12.

نظرية أويلر

إنه يؤسس علاقة بين عدد الحواف والرؤوس والوجوه التي تكافئ طوبولوجيًا للكرة. من خلال جمع عدد الرؤوس والوجوه (B + D) للعديد من الأشكال المتعددة السطوح المنتظمة ومقارنتها بعدد الحواف ، يمكن إنشاء نمط واحد: مجموع عدد الوجوه والرؤوس يساوي عدد الأضلاع (P) زيادة بمقدار 2. يمكن اشتقاق صيغة بسيطة:

• C + D = P + 2.

هذه الصيغة صحيحة لجميع الأشكال المتعددة السطوح المحدبة.

التعاريف الأساسية

لا يمكن وصف مفهوم متعدد السطوح المنتظم في جملة واحدة. إنه أكثر وضوحا وضخامة. لكي يتم التعرف على الجسم على هذا النحو ، يجب أن يفي بعدد من التعريفات. لذلك ، سيكون الجسم الهندسي متعدد السطوح منتظمًا في ظل الظروف التالية:

• إنه محدب
• يتقارب نفس عدد الحواف عند كل رأس من رؤوسها ؛
• كل وجوهها مضلعات منتظمة ، متساوية مع بعضها البعض ؛
• كلهم متساوون.

خصائص المجسمات العادية

يوجد 5 أنواع مختلفةمتعددات الوجوه العادية:

1. مكعب (سداسي الوجوه) - له زاوية مسطحة في الأعلى 90 درجة. لها زاوية 3 جوانب. مجموع الزوايا المسطحة في الأعلى هو 270 درجة.
2. رباعي الوجوه - زاوية مسطحة في الأعلى - 60 درجة. لها زاوية 3 جوانب. مجموع الزوايا المسطحة في الأعلى 180 درجة.
3. Octahedron - زاوية مسطحة في الأعلى - 60 درجة. لها زاوية من 4 جوانب. مجموع الزوايا المسطحة في الأعلى 240 درجة.
4. ثنائي الوجوه - زاوية مسطحة عند قمة 108 درجة. لها زاوية 3 جوانب. مجموع الزوايا المسطحة في الأعلى هو 324 درجة.
5. Icosahedron - لها زاوية مسطحة في الأعلى - 60 درجة. لها زاوية من 5 جوانب. مجموع الزوايا المسطحة في الأعلى 300 درجة.

يتم حساب مساحة سطح هذه الأجسام الهندسية (S) على أنها مساحة مضلع منتظم مضروبة في عدد أوجهه (G):

• S \ u003d (a: 2) x 2G ctg π / p.

حجم مجسم منتظم

يتم حساب هذه القيمة بضرب الحجم الهرم الصحيح، في قاعدته يوجد مضلع منتظم ، بعدد الوجوه ، وارتفاعه هو نصف قطر الكرة المنقوشة (r):

• الخامس = 1: 3rS.

أحجام المجسمات العادية

مثل أي جسم هندسي آخر ، متعددات الوجوه المنتظمة لها أحجام مختلفة. فيما يلي الصيغ التي يمكنك من خلالها حسابها:

• رباعي الوجوه: α × 3√2: 12 ؛
• ثماني السطوح: α × 3√2: 3 ؛
• عشري الوجوه. α × 3 ؛
• سداسي الوجوه (مكعب): 5 × α × 3 × (3 + √5): 12 ؛
• ثنائي الوجوه: α × 3 (15 + 7√5): 4.

سداسي الوجوه و ثماني السطوح هي مواد صلبة هندسية مزدوجة. بمعنى آخر ، يمكن الحصول عليها من بعضها البعض إذا تم أخذ مركز ثقل وجه أحدهما كرأس الآخر ، والعكس صحيح. كما أن ثنائي الوجوه والعشريني الوجوه. فقط رباعي الوجوه هو مزدوج لنفسه. وفقًا لطريقة إقليدس ، يمكنك الحصول على ثنائي الوجوه من سداسي الوجوه عن طريق بناء "أسقف" على وجوه المكعب. ستكون رؤوس رباعي السطوح أي 4 رؤوس لمكعب غير متجاورة في أزواج على طول الحافة. من سداسي الوجوه (مكعب) يمكنك الحصول على مجسمات أخرى منتظمة. على الرغم من حقيقة أن هناك لا يحصى، لا يوجد سوى 5 متعددات وجوه منتظمة.

أنصاف أقطار المضلعات المنتظمة

يرتبط كل من هذه الأجسام الهندسية بثلاث كرات متحدة المركز:

• موصوفة ، مرورا بقممها ؛
• منقوشة ، تلامس كل وجه من وجوهها في وسطها ؛
• متوسط ​​، لمس جميع الأضلاع في المنتصف.

يتم حساب نصف قطر الكرة الموصوفة بالصيغة التالية:

• R \ u003d a: 2 x tg π / g x tg: 2.

يتم حساب نصف قطر الكرة المنقوشة بالصيغة:

• R \ u003d a: 2 x ctg π / p x tg θ: 2 ،

حيث θ هي الزاوية ثنائية الأضلاع بين الوجوه المتجاورة.

يمكن حساب نصف قطر الكرة الوسيطة باستخدام الصيغة التالية:

• ρ = a cos π / p: 2 sin π / h ،

حيث قيمة h = 4،6،6،10 أو 10. نسبة نصف القطر المحصور والمنقوش متناظرة فيما يتعلق بـ p و q. يتم حسابه بالصيغة:

• R / r \ u003d tg π / p x tg π / q.

تناظر المجسمات المتعددة السطوح

التناظر متعدد السطوح المنتظم ذو أهمية أساسية لهذه المواد الصلبة الهندسية. يُفهم على أنه حركة للجسم في الفضاء ، والتي تترك نفس عدد الرؤوس والوجوه والحواف. بعبارة أخرى ، تحت تأثير تحويل التناظر ، إما أن تحتفظ الحافة أو الرأس أو الوجه بموضعها الأصلي أو تنتقل إلى الموضع الأصلي لحافة أو رأس أو وجه آخر.

تعتبر عناصر التناظر في متعددات الوجوه المنتظمة من سمات جميع أنواع هذه الأجسام الهندسية. نحن هنا نتحدث عن تحول مماثل يترك أيًا من النقاط في موضعها الأصلي. لذلك ، عندما تقوم بتدوير منشور متعدد الأضلاع ، يمكنك الحصول على العديد من التماثلات. يمكن تمثيل أي منهم على أنه نتاج انعكاسات. يسمى التناظر الناتج عن عدد زوجي من الانعكاسات بالخط المستقيم. إذا كان ناتجًا عن عدد فردي من الانعكاسات ، فإنه يسمى معكوس. وبالتالي ، فإن جميع التدويرات حول خط ما هي تناظر مباشر. أي انعكاس لمتعدد الوجوه هو تناظر عكسي.

لفهم عناصر التناظر في متعددات الوجوه المنتظمة بشكل أفضل ، يمكننا أن نأخذ على سبيل المثال رباعي السطوح. أي خط يمر عبر إحدى القمم ومركزه الشكل الهندسي، سيمر أيضًا عبر مركز الوجه المقابل له. تنتمي كل دورة من دورات 120 و 240 درجة حول الخط إلى جمعتناظر رباعي الوجوه. نظرًا لأنه يحتوي على 4 رؤوس و 4 أوجه ، فلا يوجد سوى ثمانية تماثلات مباشرة. أي من الخطوط التي تمر عبر منتصف الحافة ووسط هذا الجسم يمر عبر منتصف الحافة المقابلة له. أي دوران 180 درجة ، يسمى نصف دورة ، حول خط مستقيم هو تناظر. نظرًا لأن رباعي الوجوه يحتوي على ثلاثة أزواج من الحواف ، فهناك ثلاثة تماثلات مباشرة أخرى. بناءً على ما سبق ، يمكن استنتاج أن الرقم الإجماليالتماثلات المباشرة ، بما في ذلك تحويل الهويةسترتفع إلى اثني عشر. لا يحتوي رباعي الوجوه على تناظرات مباشرة أخرى ، لكن لديه 12 تناظرًا عكسيًا. لذلك ، يتميز رباعي الوجوه بمجموع 24 تناظرًا. من أجل الوضوح ، يمكنك بناء نموذج رباعي السطوح منتظم من الورق المقوى والتأكد من أن هذا الجسم الهندسي يحتوي بالفعل على 24 تماثلًا فقط.

يعتبر ثنائي الوجوه والعشريني الوجوه الأقرب إلى كرة الجسم. عشروني الوجوه لها أكبر عددالوجوه ، الأكبر والأكثر كثافة على الإطلاق يمكن الضغط عليه مقابل الكرة المنقوشة. يحتوي الاثنا عشري الوجوه على أصغر عيب زاوي ، وأكبر زاوية صلبة في القمة. يمكنه ملء مجاله الموصوف قدر الإمكان.

تطوير المجسمات المتعددة السطوح

المفاهيم الصحيحة ، التي قمنا بلصقها معًا في مرحلة الطفولة ، لها العديد من المفاهيم. إذا كانت هناك مجموعة من المضلعات ، كل جانب منها محدد بجانب واحد فقط من متعدد السطوح ، فإن تحديد الجوانب يجب أن يستوفي شرطين:

• من الممكن تجاوز المضلعات التي لها جانب محدد من كل مضلع ؛
• يجب أن يكون للأضلاع المراد تحديدها نفس الطول.

إن مجموعة المضلعات التي تفي بهذه الشروط تسمى تطور متعدد السطوح. كل من هذه الهيئات لديها العديد منها. لذلك ، على سبيل المثال ، يحتوي المكعب على 11 منهم.

لاستخدام معاينة العروض التقديمية ، قم بإنشاء حساب Google (حساب) وقم بتسجيل الدخول: https://accounts.google.com

شرح الشرائح:

متعددات الوجوه. الرؤوس والحواف وأوجه متعدد السطوح. نظرية أويلر. الصف العاشر أنجزه: Kaigorodova S.V.

متعدد السطوح المنتظم هو الذي تكون فيه جميع الوجوه مضلعات منتظمة وجميع الزوايا متعددة السطوح عند الرؤوس متساوية.

منذ العصور القديمة ، عرف الإنسان خمسة متعددات وجوه مدهشة.

وفقًا لعدد الوجوه ، يطلق عليهم اسم رباعي الوجوه منتظم.

سداسي الوجوه (سداسي الوجوه) أو مكعب

ثماني السطوح (ثماني السطوح)

ثنائي الوجوه (الاثنا عشري)

عشروني الوجوه (عشرين)

تطورات المجسمات العادية

الخلفية التاريخية عرفت البشرية أربعة جوهرات من الطبيعة: النار والماء والأرض والهواء. وفقا لأفلاطون ، بدت ذراتهم مثل متعدد السطوح العادية ، الفيلسوف اليوناني العظيم أفلاطون ، الذي عاش في القرنين الرابع والخامس. قبل الميلاد ، يعتقد أن هذه الهيئات تجسد جوهر الطبيعة.

بدت ذرة النار مثل رباعي الوجوه ، والأرض - سداسي الوجوه (مكعب) من الهواء - ثماني السطوح من الماء - وعشري الوجوه

لكن كان هناك ثنائي الوجوه ، الذي لم يكن له أي تطابق ، واقترح أفلاطون أن هناك كيانًا آخر (خامسًا). أطلق عليه اسم العالم الأثير. بدت ذرات هذا الجوهر الخامس مثل اثني عشر الوجوه. أفلاطون وطلابه في أعمالهم اهتمام كبيرتعطى إلى المجسمات المدرجة. لذلك ، تسمى هذه متعددات الوجوه أيضًا بالمواد الصلبة الأفلاطونية.

بالنسبة لأي متعدد السطوح محدب ، تكون العلاقة صحيحة: Г + В-Р = 2 ، حيث Г هو عدد الوجوه ، هو عدد الرؤوس ، Р هو عدد حواف المجسم المحدد. الوجوه + الرؤوس - الحواف = 2. نظرية أويلر

خصائص متعدد السطوح المنتظم عدد جوانب الوجه عدد الوجوه المتقاربة عند كل رأس عدد الوجوه (G) عدد الحواف (P) عدد الرؤوس (V) رباعي السطوح 3 3 4 6 4 سداسي الوجوه 4 3 6 12 8 Octahedron 3 4 8 12 6 Icosahedron 3 5 20 30 12 Dodecahedron 5 3 12 30 20

ازدواجية المجسمات المتعددة السطوح المنتظمة يشكل سداسي الوجوه (مكعب) وثماني الوجوه زوجًا مزدوجًا من متعددات الوجوه. عدد وجوه متعدد السطوح واحد يساوي عدد رؤوس الآخر والعكس صحيح.

خذ أي مكعب وفكر في متعدد السطوح برؤوس في وسط وجوهه. كما ترون بسهولة ، نحصل على ثماني السطوح.

تعمل مراكز وجوه المجسم ثماني الأوجه كرؤوس المكعب.

كبريتات أنتيمون الصوديوم عبارة عن رباعي الوجوه. متعددات الوجوه في الطبيعة والكيمياء والبيولوجيا إن بلورات بعض المواد المألوفة لدينا لها شكل متعددات الوجوه المنتظمة. كريستال البيريت - نموذج ثنائي الوجوه الطبيعي. بلورات ملح الطعامينقل شكل المكعب. بلورة واحدة من الألومنيوم - البوتاسيوم الشب لها شكل ثماني السطوح. الكريستال (المنشور) كان المجسم العشريني في مركز اهتمام علماء الأحياء في نزاعاتهم بشأن شكل الفيروسات. لا يمكن أن يكون الفيروس مستديرًا تمامًا كما كان يعتقد سابقًا. لتحديد شكله ، أخذوا العديد من الأشكال المتعددة السطوح ، ووجهوا الضوء عليهم في نفس زوايا تدفق الذرات إلى الفيروس. اتضح أن متعدد السطوح واحد فقط يعطي نفس الظل بالضبط - عشري الوجوه. في عملية انقسام البويضة ، يتم أولاً تكوين رباعي السطوح من أربع خلايا ، ثم ثماني السطوح ، ومكعب ، وأخيراً بنية ثنائية السطوح - عشرونية الوجوه للمعدة. وأخيرًا ، ربما الأهم من ذلك ، بنية الحمض النووي الكود الجينيالحياة - هو اكتساح رباعي الأبعاد (على طول المحور الزمني) من اثني عشر وجهًا دوارًا! في جزيء الميثان ، يكون له شكل رباعي السطوح العادي.

المجسمات المتعددة الوجوه في فن "صورة الموناليزا" يعتمد تكوين الصورة على المثلثات الذهبية ، وهي أجزاء من البنتاغون النجمي المنتظم. نقش "حزن" في مقدمة الصورة يوجد شكل ثنائي الوجوه. تم تصوير "العشاء الأخير" المسيح مع تلاميذه على خلفية ضخمة من اثني عشر وجهًا شفافًا.

تم إنشاء الأشكال متعددة السطوح في الهندسة المعمارية لمتحف الفاكهة في ياماناشي باستخدام النمذجة ثلاثية الأبعاد. برج سباسكايا المكون من أربع طبقات مع كنيسة المخلص غير المصنوع باليد هو المدخل الرئيسي لكرملين كازان. شيد في القرن السادس عشر من قبل المهندسين المعماريين بسكوف إيفان شيرياي وبوستنيك ياكوفليف ، الملقب بـ "بارما". المستويات الأربعة للبرج هي مكعب ، متعدد السطوح وهرم. برج سباسكايا في الكرملين. متحف فواكه منارة أهرامات الإسكندرية

تعريف. يسمى متعدد الوجوه منتظم إذا: 1) كان محدبًا ؛ 2) جميع أوجهها عبارة عن مضلعات منتظمة متساوية مع بعضها البعض ؛ 3) يتقارب عند كل رأس من رؤوسه نفس العددضلوع؛ 4) جميع ثنائيات السطوح متساوية.

مثال على متعدد السطوح المنتظم هو المكعب: إنه متعدد السطوح محدب ، كل وجوهه مربعات متساوية ، ثلاثة حواف تتلاقى عند كل رأس ، وكل زوايا المكعب ثنائية الوجوه صحيحة. رباعي السطوح العادي هو أيضًا متعدد السطوح منتظم.

السؤال الذي يطرح نفسه: كم أنواع مختلفةمتعددات الوجوه العادية؟

خمسة أنواع من المجسمات العادية:

ضع في اعتبارك متعدد الوجوه المنتظم التعسفي م ، التي لها رؤوس B وحواف P ووجوه G. وفقًا لنظرية أويلر ، بالنسبة لهذا متعدد السطوح ، فإن المساواة التالية تحمل:

V - R + G = 2. (1)

دع كل وجه من المجسمات المتعددة السطوح تحتوي على مالحواف (الجوانب) ، وعند كل قمة تتلاقى نضلوع. بوضوح،

نظرًا لأن متعدد السطوح B له رؤوس ، ولكل منها عدد n من الأضلاع ، نحصل على عدد n من الأضلاع. لكن أي حافة تربط رأسين من متعدد السطوح ، لذلك ستدخل كل حافة حاصل الضرب n مرتين. لذلك فإن متعدد الوجوه مختلفضلوع. ثم

من (1) ، (3) ، (4) نحصل على - Р + = 2 ، من أين

+ = + > . (5)

وهكذا لدينا

من التفاوتات 3 و 3 ، يترتب على ذلك أن وجوه متعدد السطوح المنتظم يمكن أن تكون إما مثلثات منتظمة ، أو رباعي الزوايا منتظم ، أو خماسي منتظم. علاوة على ذلك ، في الحالات م = ن = 4 ؛ م = 4 ، ن = 5 ؛ م = 5 ، ن = 4 ؛ م = ن = 5 نصل إلى تناقض مع الشرط. لذلك ، تبقى خمس حالات ممكنة: 1) م = ن = 3 ؛ 2) م = 4 ، ن = 3 ؛ 3) م = 3 ، ن = 4 ؛ 4) م = 5 ، ن = 3 ؛ 5) م = 3 ، ن = 5. لنفكر في كل حالة من هذه الحالات باستخدام العلاقات (5) و (4) و (3).

1) م = ن = 3(كل وجه من متعدد الوجوه - مثلث قائم. هذا معروف لنا منتظم رباعي السطوح (« رباعي الوجوه"يعني رباعي الوجوه).

2) م = 4 ، ن = 3(كل وجه عبارة عن مربع ، وتتلاقى ثلاث حواف عند كل رأس). نملك

ف = 12 ؛ ب = 8 ؛ G = 6.

نحصل على شكل سداسي منتظم يكون فيه كل وجه مربعًا. يسمى هذا متعدد السطوح سداسي الوجوه العادية وهو مكعب (" المكعب"- سداسي الوجوه) ، أي خط متوازي هو سداسي الوجوه.

3) م = 3 ، ن = 4(كل وجه هو مثلث منتظم ، تتلاقى أربعة حواف عند كل رأس). نملك

ف = 12 ؛ ب = = 6 ؛ G \ u003d \ u003d 8.

نحصل على مثمن منتظم ، يكون فيه كل وجه مثلثًا منتظمًا. يسمى هذا متعدد السطوح ثماني السطوح العادية ("ثماني السطوح" -المجسم الثماني).

4) م = 5 ، ن = 3(كل وجه عبارة عن خماسي منتظم ، تتلاقى ثلاث حواف عند كل رأس). نملك:

ف = 30 ؛ ب = = 20 ؛ G \ u003d \ u003d 12.

نحصل على دوديكاهدرون منتظم ، يكون فيه كل وجه خماسي منتظم. يسمى هذا متعدد السطوح العادية الاثني عشر الوجوه (« ثنائي الوجوه"- ثنائي الوجوه).

5) م = 3 ، ن = 5(كل وجه هو مثلث منتظم ، تتلاقى خمسة حواف عند كل رأس). نملك

ف = 30 ؛ ب = = 12 ؛ G = = 20.

نحصل على العشرينيات الصحيحة. يسمى هذا متعدد السطوح عشروني الوجوه العادية (« عشروني الوجوه"- عشرين).

وهكذا ، حصلنا على النظرية التالية.

نظرية. هناك خمسة أنواع مختلفة (تصل إلى التشابه) من متعددات الوجوه المنتظمة: رباعي السطوح منتظم ، سداسي السطوح منتظم (مكعب) ، ثماني السطوح منتظم ، ثنائي الوجوه منتظم ، وعشروني الوجوه منتظم.

يمكن الوصول إلى هذا الاستنتاج بطريقة مختلفة قليلاً.

في الواقع ، إذا كان وجه متعدد الوجوه المنتظم مثلثًا منتظمًا ، وفي رأس واحد يتقارب كالأضلاع ، أي جميع الزوايا المحدبة المسطحة ك- الزاوية السطحية متساوية إذن. بالتالي، عدد طبيعي كيمكن أن تأخذ القيم: 3 ؛ 4 ؛ 5. بينما Г = ، Р =. بناءً على نظرية أويلر ، لدينا:

ب + - = 2 أو ب (6 - ك) = 12.

ثم في ك\ u003d 3 نحصل على: B \ u003d 4 ، G \ u003d 4 ، P \ u003d 6 (رباعي السطوح العادي) ؛

في ك = 4 نحصل على: B \ u003d 6 ، G \ u003d 8 ، P \ u003d 12 (ثماني السطوح العادية) ؛

في ك = 5 نحصل على: B \ u003d 12 ، G \ u003d 20 ، P \ u003d 30 (عيك الوجوه العادية).

إذا كان وجه متعدد السطوح منتظم رباعي الأضلاع ، إذن. هذا الشرط يتوافق مع الرقم الطبيعي الوحيد ك= 3. ثم: Г =، Р =؛ ب + - = 2 أو. لذلك ، B \ u003d 8 ، G = 6 ، P \ u003d 12 - نحصل على مكعب (سداسي الوجوه العادية).

إذا كان وجه متعدد السطوح المنتظم عبارة عن خماسي منتظم ، إذن يتم استيفاء هذا الشرط أيضًا فقط ك= 3 و Г = ؛ ص =. بصورة مماثلة الحسابات السابقةنحصل على: و B \ u003d 20 ، G \ u003d 12 ، P \ u003d 30 (ثنائي الوجوه العادي).

بدءًا من الأشكال السداسية المنتظمة ، والتي يُفترض أنها وجوه متعدد السطوح المنتظم ، لا تصبح زوايا المستوى أصغر وأضيق ك= 3 مجموعهم يصبح على الأقل ، وهذا مستحيل. لذلك ، هناك خمسة أنواع فقط من متعددات الوجوه المنتظمة.

توضح الأشكال تخطيطات كل من المجسمات المتعددة السطوح الخمسة المنتظمة.

منتظم رباعي السطوح

ثماني السطوح العادية

سداسي الوجوه العادية

عشروني الوجوه العادية

منتظم ثنائي الوجوه

بعض خواص المجسمات المنتظمة مبينة في الجدول التالي.

نوع الوجه	الزاوية المسطحة في الأعلى	منظر للزاوية متعددة السطوح في الرأس	مجموع الزوايا المسطحة في الرأس				اسم متعدد السطوح
الصحيح مثلث	3 جوانب				منتظم رباعي السطوح
الصحيح مثلث	4 جوانب				ثماني السطوح العادية
الصحيح مثلث	5 جوانب				عشروني الوجوه العادية
	3 جوانب				الصحيح سداسي الوجوه (مكعب)
الصحيح خماسي الاضلاع	3 جوانب					الصحيح ثنائي الوجوه

لكل من المجسمات المتعددة الوجوه العادية ، بالإضافة إلى تلك المشار إليها بالفعل ، سنهتم في أغلب الأحيان بما يلي:

• 1. قيمة ذلك زاوية زوجيةعند الضلع (بطول الضلع أ).
• 2. مساحة سطحه الكلي (مع طول الضلع أ).
• 3. حجمه (بطول الضلع أ).
• 4. يتم تحديد نصف قطر الكرة حولها (بطول الحافة أ).
• 5. نصف قطر الكرة المنقوشة فيه (بطول الحافة أ).
• 6. نصف قطر الكرة التي تلامس جميع حوافها (بطول ضلعها أ).

أبسط الحلول هو حساب مساحة السطح الكلية لمتعدد السطوح المنتظم ؛ إنها تساوي Г ، حيث هي عدد وجوه متعدد السطوح المنتظم ، وهي مساحة وجه واحد.

تذكر sin = ، مما يمنحنا الفرصة لكتابة الجذور: ctg =. بالنظر إلى ذلك ، نصنع الجداول:

أ) لمنطقة وجه متعدد السطوح منتظم

ب) لإجمالي مساحة السطح لمتعدد الوجوه المنتظم

الآن دعنا ننتقل إلى حساب قيمة الزاوية ثنائية السطوح لمتعدد السطوح المنتظم عند حافته. بالنسبة إلى رباعي السطوح ومكعب عادي ، يمكنك بسهولة العثور على قيمة هذه الزاوية.

في ثنائي الوجوه العادي ، تكون جميع الزوايا المستوية لوجوهها متساوية ، لذلك ، عند تطبيق نظرية جيب التمام للزوايا ثلاثية السطوح على أي زاوية ثلاثية السطوح من اثني عشر وجهًا معينًا عند رأسه ، نحصل على: cos ، من أين

في الشكل الثماني السطوح المنتظم ABCDMF ، يمكنك أن ترى أن الزاوية ثنائية السطوح عند حافة المجسم الثماني هي 2arctg.

لإيجاد قيمة الزاوية ثنائية السطوح عند حافة عشروني أوجه منتظمة ، يمكننا اعتبار الزاوية ثلاثية الأضلاع ABCD عند الرأس A: زاويتا المستوى BAC و CAD متساويتان ، وزاوية المستوى الثالثة BAD ، مقابل الزاوية ثنائية السطوح B (AC) D = أكاذيب ، تساوي (BCDMF - خماسي منتظم). من خلال نظرية جيب التمام للزاوية ثلاثية السطوح ABCD لدينا:. بالنظر إلى ذلك ، نصل إلى أين. وهكذا ، فإن الزاوية ثنائية الأضلاع على حافة عشري الوجوه متساوية.

إذن ، نحصل على الجدول التالي لقيم الزوايا ثنائية الأضلاع عند حواف متعددات الوجوه المنتظمة.

قبل إيجاد حجم واحد أو آخر من المجسمات العادية ، نناقش أولاً كيفية إيجاد حجم متعددات الوجوه المنتظمة بشكل عام.

حاول أن تثبت أولاً أنه إذا كان مركز كل وجه لأي متعدد السطوح منتظم هو خط مستقيم ، عمودي على المستوىهذا الوجه ، ثم ستتقاطع جميع الخطوط المرسومة عند نقطة واحدة ا، بعيدًا عن جميع أوجه مجسم معين بنفس المسافة ، والتي نشير إليها بواسطة r. نقطة اتبين أنه مركز كرة منقوشة في متعدد السطوح معين ، و ص- نصف قطرها. عن طريق توصيل النقطة الناتجة امع كل رءوس متعدد السطوح معين ، سنقسمه إلى Г أهرام متساوية مع بعضها البعض (هو عدد وجوه متعدد السطوح المنتظم): قواعد الأهرامات المشكلة هي ص. ثم حجم هذا متعدد السطوح يساوي المجموعأحجام كل هذه الأهرامات. بما أن متعدد الوجوه منتظم ، حجمه الخامسيمكن العثور عليها باستخدام الصيغة:

يبقى إيجاد طول نصف القطر ص.

للقيام بذلك ، عن طريق ربط النقطة امع المنتصف إلىحواف متعدد السطوح ، في محاولة للتأكد من أن مائل KOعلى وجه متعدد السطوح يحتوي على حافة ، يصنع زاوية مع مستوى هذا الوجه يساوي نصف قيمة الزاوية ثنائية السطوح عند حافة متعدد السطوح ؛ الإسقاط مائل KOعلى مستوى هذا الوجه ينتمي إلى مجموعته ويساوي نصف قطر الدائرة المنقوشة فيه. ثم

حيث p هو نصف مقياس الوجه. ثم من (1) و (2) نحصل على صيغة لحساب أحجامها المشتركة بين جميع متعددات الوجوه العادية:

هذه الصيغة غير ضرورية على الإطلاق لإيجاد أحجام المكعب ، ورباعي السطوح المنتظم ، وثماني الوجوه ، لكنها تجعل من السهل جدًا العثور على أحجام مجسم منتظم وعشري الوجوه.