قاعدة حل المعادلات البسيطة. من ممارستي

عندما نعمل باستخدام تعبيرات مختلفة ، بما في ذلك الأرقام والحروف والمتغيرات ، يتعين علينا إجراء عدد كبير من العمليات الحسابية. عندما نجري تحويلًا أو نحسب قيمة ، من المهم جدًا اتباع الترتيب الصحيح لهذه الإجراءات. بمعنى آخر ، العمليات الحسابية لها ترتيب تنفيذ خاص بها.

Yandex.RTB R-A-339285-1

في هذه المقالة ، سنخبرك ما هي الإجراءات التي يجب القيام بها أولاً وبعد ذلك. أولاً ، لنلق نظرة على بعض التعبيرات البسيطة التي تحتوي فقط على متغيرات أو قيم عددية ، بالإضافة إلى علامات القسمة والضرب والطرح والجمع. ثم نأخذ أمثلة بأقواس ونأخذ بعين الاعتبار الترتيب الذي يجب أن يتم تقييمها به. في الجزء الثالث ، سنقدم الترتيب الصحيح للتحويلات والحسابات في تلك الأمثلة التي تتضمن علامات الجذور والقوى والوظائف الأخرى.

التعريف 1

في حالة التعبيرات التي لا تحتوي على أقواس ، يتم تحديد ترتيب الإجراءات بشكل لا لبس فيه:

1. يتم تنفيذ جميع الإجراءات من اليسار إلى اليمين.
2. بادئ ذي بدء ، نقوم بالقسمة والضرب ، وثانيًا ، نقوم بالطرح والجمع.

من السهل فهم معنى هذه القواعد. يحدد ترتيب الكتابة التقليدي من اليسار إلى اليمين التسلسل الأساسي للحسابات ، ويتم شرح الحاجة إلى الضرب أو القسمة أولاً بجوهر هذه العمليات.

لنأخذ بعض المهام من أجل الوضوح. لقد استخدمنا فقط أبسط التعبيرات العددية بحيث يمكن إجراء جميع الحسابات ذهنيًا. حتى تتمكن من تذكر الترتيب المطلوب بسرعة والتحقق من النتائج بسرعة.

مثال 1

حالة:احسب كم 7 − 3 + 6 .

المحلول

لا توجد أقواس في تعبيرنا ، كما أن الضرب والقسمة غائبان أيضًا ، لذلك نقوم بتنفيذ جميع الإجراءات بالترتيب المحدد. أولاً ، اطرح ثلاثة من سبعة ، ثم أضف ستة إلى الباقي ، ونتيجة لذلك نحصل على عشرة. هنا سجل للحل بأكمله:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

إجابه: 7 − 3 + 6 = 10 .

مثال 2

حالة:في أي ترتيب يجب إجراء العمليات الحسابية في التعبير 6: 2 8: 3?

المحلول

للإجابة على هذا السؤال ، نعيد قراءة قاعدة المقادير التي ليس لها أقواس ، والتي صاغناها سابقًا. لدينا فقط عمليات الضرب والقسمة هنا ، مما يعني أننا نحتفظ بالترتيب المكتوب للحسابات ونعد بالتتابع من اليسار إلى اليمين.

إجابه:أولًا ، نقسم ستة على اثنين ، ونضرب الناتج في ثمانية ، ونقسم العدد الناتج على ثلاثة.

مثال 3

حالة:احسب كم سيكون 17-5 6: 3 - 2 + 4: 2.

المحلول

أولاً ، دعنا نحدد الترتيب الصحيح للعمليات ، حيث لدينا هنا جميع الأنواع الأساسية للعمليات الحسابية - الجمع والطرح والضرب والقسمة. أول شيء علينا فعله هو القسمة والضرب. هذه الإجراءات ليس لها أولوية على بعضها البعض ، لذلك نقوم بتنفيذها بالترتيب المكتوب من اليمين إلى اليسار. أي يجب ضرب 5 في 6 والحصول على 30 ، ثم 30 على 3 والحصول على 10. بعد ذلك نقسم 4 على 2 ، أي 2. استبدل القيم الموجودة في التعبير الأصلي:

17-5 6: 3 - 2 + 4: 2 = 17-10-2 + ​​2

لا يوجد قسمة أو ضرب هنا ، لذلك نقوم بالحسابات المتبقية بالترتيب ونحصل على الإجابة:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

إجابه:17-5 6: 3 - 2 + 4: 2 = 7.

حتى يتم التعرف على ترتيب تنفيذ الإجراءات بحزم ، يمكنك وضع أرقام فوق علامات العمليات الحسابية ، للإشارة إلى ترتيب الحساب. على سبيل المثال ، بالنسبة للمشكلة أعلاه ، يمكننا كتابتها على النحو التالي:

إذا كان لدينا تعبيرات حرفية ، فإننا نفعل الشيء نفسه معهم: أولاً نضرب ونقسم ، ثم نجمع ونطرح.

ما هي الخطوات الأولى والثانية

في بعض الأحيان في الكتب المرجعية ، يتم تقسيم جميع العمليات الحسابية إلى عمليات المرحلتين الأولى والثانية. دعونا نصوغ التعريف المطلوب.

تشمل عمليات المرحلة الأولى الطرح والجمع ، والثاني - الضرب والقسمة.

بمعرفة هذه الأسماء ، يمكننا كتابة القاعدة المعطاة سابقًا فيما يتعلق بترتيب الإجراءات على النحو التالي:

التعريف 2

في التعبير الذي لا يحتوي على أقواس ، قم أولاً بتنفيذ إجراءات الخطوة الثانية في الاتجاه من اليسار إلى اليمين ، ثم إجراءات الخطوة الأولى (في نفس الاتجاه).

ترتيب التقييم في التعبيرات ذات الأقواس

الأقواس نفسها هي علامة تخبرنا بالترتيب المطلوب لأداء الإجراءات. في هذه الحالة ، يمكن كتابة القاعدة المطلوبة على النحو التالي:

التعريف 3

إذا كانت هناك أقواس في التعبير ، فسيتم تنفيذ الإجراء فيها أولاً ، وبعد ذلك نقوم بالضرب والقسمة ، ثم نجمع ونطرح في الاتجاه من اليسار إلى اليمين.

أما بالنسبة للتعبير بين الأقواس نفسه ، فيمكن اعتباره أحد مكونات التعبير الرئيسي. عند حساب قيمة التعبير بين قوسين ، نحتفظ بنفس الإجراء المعروف لنا. دعنا نوضح فكرتنا بمثال.

مثال 4

حالة:احسب كم 5 + (7-2 3) (6-4): 2.

المحلول

هذا التعبير به أقواس ، فلنبدأ بها. بادئ ذي بدء ، لنحسب مقدار 7 - 2 · 3. نحتاج هنا إلى ضرب 2 في 3 وطرح النتيجة من 7:

7-2 3 = 7-6 = 1

نعتبر النتيجة بين الأقواس الثانية. يوجد لدينا عمل واحد فقط: 6 − 4 = 2 .

نحتاج الآن إلى استبدال القيم الناتجة في التعبير الأصلي:

5 + (7-2 3) (6-4): 2 = 5 + 1 2: 2

لنبدأ بالضرب والقسمة ، ثم نطرح ونحصل على:

5 + 1 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6

هذا يكمل الحسابات.

إجابه: 5 + (7-2 3) (6-4): 2 = 6.

لا تنزعج إذا احتوى الشرط على تعبير تتضمن بعض الأقواس أقواسًا أخرى. نحتاج فقط إلى تطبيق القاعدة أعلاه بشكل ثابت على جميع التعبيرات بين قوسين. لنأخذ هذه المهمة.

مثال 5

حالة:احسب كم 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)).

المحلول

لدينا أقواس بين قوسين. نبدأ بـ 3 + 1 + 4 (2 + 3) ، أي 2 + 3. سيكون 5. يجب استبدال القيمة في التعبير وحساب ذلك 3 + 1 + 4 5. نتذكر أنه يجب علينا الضرب أولاً ، ثم نضيف: 3 + 1 + 4 5 = 3 + 1 + 20 = 24. بالتعويض عن القيم الموجودة في التعبير الأصلي ، نحسب الإجابة: 4 + 24 = 28 .

إجابه: 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)) = 28.

بعبارة أخرى ، عند تقييم قيمة تعبير يتضمن أقواسًا بين قوسين ، نبدأ بالأقواس الداخلية ونعمل في طريقنا إلى الخارج.

لنفترض أننا بحاجة إلى إيجاد المقدار (4 + (4 + (4-6: 2)) - 1) - 1. نبدأ بالتعبير الموجود بين الأقواس الداخلية. بما أن 4 - 6: 2 = 4 - 3 = 1 ، يمكن كتابة التعبير الأصلي بالشكل (4 + (4 + 1) - 1) - 1. ننتقل مرة أخرى إلى الأقواس الداخلية: 4 + 1 = 5. لقد وصلنا إلى التعبير (4 + 5 − 1) − 1 . نحن نؤمن 4 + 5 − 1 = 8 ونتيجة لذلك نحصل على الفرق 8 - 1 ، ونتيجته ستكون 7.

ترتيب الحساب في التعبيرات ذات القوى والجذور واللوغاريتمات والوظائف الأخرى

إذا كان لدينا تعبير في الشرط بدرجة أو جذر أو لوغاريتم أو دالة مثلثية (الجيب وجيب التمام والظل والظل) أو وظائف أخرى ، فإننا نحسب أولاً قيمة الدالة. بعد ذلك نتصرف وفق القواعد المحددة في الفقرات السابقة. بمعنى آخر ، الوظائف متساوية في الأهمية للتعبير المحاط بأقواس.

دعونا نلقي نظرة على مثال على مثل هذا الحساب.

مثال 6

حالة:أوجد المبلغ الذي سيكون (3 + 1) 2 + 6 2: 3 - 7.

المحلول

لدينا تعبير بدرجة ، يجب إيجاد قيمته أولاً. نحن نعتبر: 6 2 \ u003d 36. الآن نعوض بالنتيجة في التعبير ، وبعد ذلك ستأخذ الصورة (3 + 1) 2 + 36: 3 - 7.

(3 + 1) 2 + 36: 3 - 7 = 4 2 + 36: 3 - 7 = 8 + 12 - 7 = 13

إجابه: (3 + 1) 2 + 6 2: 3-7 = 13.

في مقالة منفصلة مخصصة لحساب قيم التعبيرات ، نقدم أمثلة أخرى أكثر تعقيدًا للحسابات في حالة التعبيرات ذات الجذور والدرجات وما إلى ذلك. نوصي بالتعرف عليها.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

في هذا الدرس ، يتم النظر بالتفصيل في إجراء العمليات الحسابية في التعبيرات بدون أقواس وبها أقواس. يتم منح الطلاب الفرصة ، أثناء إكمال المهام ، لتحديد ما إذا كان معنى التعبيرات يعتمد على الترتيب الذي يتم تنفيذ العمليات الحسابية به ، لمعرفة ما إذا كان ترتيب العمليات الحسابية يختلف في التعبيرات بدون أقواس ومع أقواس ، إلى ممارسة تطبيق القاعدة المتعلمة ، لإيجاد وتصحيح الأخطاء التي حدثت في تحديد ترتيب الإجراءات.

في الحياة ، نؤدي باستمرار نوعًا من الإجراءات: نسير ، ندرس ، نقرأ ، نكتب ، نحسب ، نبتسم ، نتشاجر ، ونكياج. نقوم بتنفيذ هذه الخطوات بترتيب مختلف. في بعض الأحيان يمكن تبديلها ، وأحيانًا لا يمكن ذلك. على سبيل المثال ، عند الذهاب إلى المدرسة في الصباح ، يمكنك أولاً ممارسة التمارين ، ثم ترتيب السرير ، أو العكس. لكن لا يمكنك الذهاب إلى المدرسة أولاً ثم ارتداء الملابس.

وفي الرياضيات ، هل من الضروري إجراء العمليات الحسابية بترتيب معين؟

دعونا تحقق

دعنا نقارن التعبيرات:
8-3 + 4 و8-3 + 4

نرى أن كلا التعبيرين متطابقان تمامًا.

دعونا ننفذ الإجراءات في تعبير واحد من اليسار إلى اليمين ، وفي تعبير آخر من اليمين إلى اليسار. يمكن أن تشير الأرقام إلى الترتيب الذي يتم تنفيذ الإجراءات به (الشكل 1).

أرز. 1. الإجراء

في التعبير الأول ، سنقوم أولاً بإجراء عملية الطرح ، ثم نضيف الرقم 4 إلى النتيجة.

في التعبير الثاني ، نجد أولاً قيمة المجموع ، ثم نطرح النتيجة 7 من 8.

نرى أن قيم التعبيرات مختلفة.

لنستنتج: لا يمكن تغيير الترتيب الذي تتم به العمليات الحسابية..

دعنا نتعلم قاعدة إجراء العمليات الحسابية في التعبيرات بدون أقواس.

إذا كان التعبير بدون أقواس يتضمن فقط الجمع والطرح ، أو الضرب والقسمة فقط ، فسيتم تنفيذ الإجراءات بالترتيب الذي كُتبت به.

لنتمرن.

ضع في اعتبارك التعبير

هذا التعبير له عمليات الجمع والطرح فقط. تسمى هذه الإجراءات إجراءات الخطوة الأولى.

نقوم بتنفيذ الإجراءات من اليسار إلى اليمين بالترتيب (الشكل 2).

أرز. 2. الإجراء

تأمل التعبير الثاني

في هذا التعبير ، لا توجد سوى عمليات الضرب والقسمة - هذه هي إجراءات الخطوة الثانية.

نقوم بتنفيذ الإجراءات من اليسار إلى اليمين بالترتيب (الشكل 3).

أرز. 3. الإجراء

بأي ترتيب يتم تنفيذ العمليات الحسابية إذا كان التعبير لا يحتوي فقط على الجمع والطرح ، ولكن أيضًا على الضرب والقسمة؟

إذا كان التعبير بدون أقواس لا يشمل الجمع والطرح فحسب ، بل يشمل أيضًا الضرب والقسمة ، أو كلتا العمليتين ، فقم أولاً بالضرب والقسمة بالترتيب (من اليسار إلى اليمين) ، ثم الجمع والطرح.

ضع في اعتبارك تعبيرًا.

نحن نفكر بهذا الشكل. يحتوي هذا التعبير على عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة. نحن نتصرف وفقًا للقاعدة. أولاً ، نقوم بعملية الضرب والقسمة بالترتيب (من اليسار إلى اليمين) ، ثم الجمع والطرح. دعونا نضع الإجراء.

دعونا نحسب قيمة التعبير.

18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

ما هو ترتيب العمليات الحسابية إذا احتوى التعبير على أقواس؟

إذا كان التعبير يحتوي على أقواس ، فسيتم حساب قيمة التعبيرات الموجودة بين الأقواس أولاً.

ضع في اعتبارك تعبيرًا.

30 + 6 * (13 - 9)

نرى أنه يوجد في هذا التعبير إجراء بين قوسين ، مما يعني أننا سنقوم بهذا الإجراء أولاً ، ثم بالترتيب ، الضرب والجمع. دعونا نضع الإجراء.

30 + 6 * (13 - 9)

دعونا نحسب قيمة التعبير.

30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

كيف ينبغي لأحد الأسباب أن يؤسس بشكل صحيح ترتيب العمليات الحسابية في التعبير العددي؟

قبل الشروع في العمليات الحسابية ، من الضروري النظر في التعبير (اكتشف ما إذا كان يحتوي على أقواس ، وما هي الإجراءات التي يحتوي عليها) وفقط بعد ذلك قم بتنفيذ الإجراءات بالترتيب التالي:

1. الإجراءات المكتوبة بين قوسين.

2. الضرب والقسمة.

3. الجمع والطرح.

سيساعدك الرسم التخطيطي على تذكر هذه القاعدة البسيطة (الشكل 4).

أرز. 4. الإجراء

لنتمرن.

ضع في اعتبارك التعبيرات ، وحدد ترتيب العمليات وقم بإجراء الحسابات.

43 - (20 - 7) +15

32 + 9 * (19 - 16)

دعنا نتبع القواعد. للتعبير 43 - (20-7) +15 عمليات بين قوسين وكذلك عمليات الجمع والطرح. دعونا نحدد مسار العمل. الخطوة الأولى هي تنفيذ الإجراء بين قوسين ، ثم بالترتيب من اليسار إلى اليمين ، الطرح والجمع.

43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45

للتعبير 32 + 9 * (19-16) عمليات بين قوسين وكذلك عمليات الضرب والجمع. وفقًا للقاعدة ، نقوم أولاً بتنفيذ الإجراء بين قوسين ، ثم الضرب (يتم ضرب الرقم 9 بالنتيجة التي تم الحصول عليها بالطرح) والإضافة.

32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

في التعبير 2 * 9-18: 3 لا توجد أقواس ، ولكن توجد عمليات الضرب والقسمة والطرح. نحن نتصرف وفقًا للقاعدة. أولاً ، نقوم بالضرب والقسمة من اليسار إلى اليمين ، ثم من النتيجة التي تم الحصول عليها عن طريق الضرب ، نطرح النتيجة التي تم الحصول عليها عن طريق القسمة. أي أن الإجراء الأول هو الضرب ، والثاني هو القسمة ، والثالث هو الطرح.

2*9-18:3=18-6=12

دعنا نكتشف ما إذا كان ترتيب الإجراءات في التعبيرات التالية محددًا بشكل صحيح.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

18: (11 - 5) + 47=

7 * 3 - (16 + 4)=

نحن نفكر بهذا الشكل.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

لا توجد أقواس في هذا التعبير ، مما يعني أننا نقوم أولاً بالضرب أو القسمة من اليسار إلى اليمين ، ثم الجمع أو الطرح. في هذا التعبير ، الإجراء الأول هو القسمة ، والثاني هو الضرب. يجب أن يكون الإجراء الثالث هو الجمع ، والرابع - الطرح. الخلاصة: يتم تحديد ترتيب الإجراءات بشكل صحيح.

أوجد قيمة هذا التعبير.

37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

نستمر في الجدال.

يحتوي التعبير الثاني على أقواس ، مما يعني أننا نقوم أولاً بتنفيذ الإجراء بين قوسين ، ثم من اليسار إلى اليمين الضرب أو القسمة أو الجمع أو الطرح. نتحقق: الإجراء الأول بين قوسين ، والثاني هو القسمة ، والثالث هو الجمع. الخلاصة: تم تحديد ترتيب الإجراءات بشكل غير صحيح. صحح الأخطاء ، ابحث عن قيمة التعبير.

18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

يحتوي هذا التعبير أيضًا على أقواس ، مما يعني أننا نقوم أولاً بتنفيذ الإجراء بين قوسين ، ثم من اليسار إلى اليمين الضرب أو القسمة أو الجمع أو الطرح. نتحقق: الإجراء الأول بين قوسين ، والثاني هو الضرب ، والثالث هو الطرح. الخلاصة: تم تحديد ترتيب الإجراءات بشكل غير صحيح. صحح الأخطاء ، ابحث عن قيمة التعبير.

7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

لنكمل المهمة.

دعنا نرتب ترتيب الإجراءات في التعبير باستخدام القاعدة المدروسة (الشكل 5).

أرز. 5. الإجراء

لا نرى قيمًا عددية ، لذلك لن نتمكن من إيجاد معنى التعبيرات ، لكننا سنتدرب على تطبيق القاعدة التي تم تعلمها.

نحن نتصرف وفقًا للخوارزمية.

يحتوي التعبير الأول على أقواس ، لذا يكون الإجراء الأول بين قوسين. ثم من اليسار إلى اليمين الضرب والقسمة ، ثم من اليسار إلى اليمين الطرح والجمع.

يحتوي التعبير الثاني أيضًا على أقواس ، مما يعني أننا نقوم بتنفيذ الإجراء الأول بين قوسين. بعد ذلك ، من اليسار إلى اليمين ، الضرب والقسمة ، وبعد ذلك - الطرح.

دعونا نتحقق من أنفسنا (الشكل 6).

أرز. 6. الإجراء

اليوم في الدرس تعرفنا على قاعدة ترتيب تنفيذ الإجراءات في تعبيرات بدون أقواس وأقواس.

فهرس

1. م. مورو ، م. بانتوفا وآخرون الرياضيات: كتاب مدرسي. الصف 3: في جزأين ، الجزء 1. - م: "التنوير" ، 2012.
2. م. مورو ، م. بانتوفا وآخرون الرياضيات: كتاب مدرسي. الصف 3: في جزأين ، الجزء 2. - م: "التنوير" ، 2012.
3. م. مورو. دروس الرياضيات: إرشادات للمعلمين. الصف 3 - م: التعليم ، 2012.
4. وثيقة تنظيمية. مراقبة وتقييم نتائج التعلم. - م: "التنوير" ، 2011.
5. "مدرسة روسيا": برامج للمدارس الابتدائية. - م: "التنوير" ، 2011.
6. S.I. فولكوف. الرياضيات: اختبار العمل. الصف 3 - م: التعليم ، 2012.
7. في. رودنيتسكايا. الاختبارات. - م: "امتحان" 2012.

1. Festival.1september.ru ().
2. Sosnovoborsk-soobchestva.ru ().
3. Openclass.ru ().

الواجب المنزلي

1. تحديد ترتيب الإجراءات في هذه التعبيرات. ابحث عن معنى التعبيرات.

2. تحديد التعبير الذي يتم تنفيذ ترتيب الإجراءات هذا فيه:

1. الضرب. 2. الانقسام ؛. 3. إضافة ؛ 4. الطرح. 5. الإضافة. أوجد قيمة هذا التعبير.

3. قم بتكوين ثلاثة عبارات يتم من خلالها تنفيذ ترتيب الإجراءات التالي:

1. الضرب. 2. إضافة ؛ 3. الطرح

1. إضافة ؛ 2. الطرح. 3. الإضافة

1. الضرب. 2. الانقسام. 3. الإضافة

ابحث عن معنى هذه التعبيرات.

وعند حساب قيم التعبيرات ، يتم تنفيذ الإجراءات بترتيب معين ، بمعنى آخر ، يجب أن تراقب ترتيب الإجراءات.

في هذه المقالة ، سنكتشف الإجراءات التي يجب تنفيذها أولاً ، وأيها بعدها. لنبدأ بأبسط الحالات ، عندما يحتوي التعبير فقط على أرقام أو متغيرات مرتبطة بعلامة الجمع والطرح والضرب والقسمة. بعد ذلك ، سنشرح ترتيب تنفيذ الإجراءات الذي يجب اتباعه في التعبيرات ذات الأقواس. أخيرًا ، ضع في اعتبارك التسلسل الذي يتم فيه تنفيذ الإجراءات في التعبيرات التي تحتوي على قوى وجذور ووظائف أخرى.

التنقل في الصفحة.

أول عملية الضرب والقسمة ، ثم الجمع والطرح

توفر المدرسة ما يلي قاعدة تحدد الترتيب الذي يتم تنفيذ الإجراءات به في تعبيرات بدون أقواس:

• يتم تنفيذ الإجراءات بالترتيب من اليسار إلى اليمين ،
• حيث يتم الضرب والقسمة أولاً ثم الجمع والطرح.

يُنظر إلى القاعدة المنصوص عليها بشكل طبيعي. يتم تفسير تنفيذ الإجراءات بالترتيب من اليسار إلى اليمين من خلال حقيقة أنه من المعتاد بالنسبة لنا الاحتفاظ بالسجلات من اليسار إلى اليمين. وحقيقة أن الضرب والقسمة يتم إجراؤه قبل الجمع والطرح يفسر بالمعنى الذي تحمله هذه الإجراءات في حد ذاتها.

لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة لتطبيق هذه القاعدة. على سبيل المثال ، سوف نأخذ أبسط التعبيرات العددية حتى لا يتم تشتيت انتباهنا بالحسابات ، ولكن للتركيز على الترتيب الذي يتم تنفيذ الإجراءات به.

مثال.

اتبع الخطوات 7−3 + 6.

المحلول.

لا يحتوي التعبير الأصلي على أقواس ، ولا يحتوي على عمليات الضرب والقسمة. لذلك ، يجب أن ننفذ جميع الإجراءات بالترتيب من اليسار إلى اليمين ، أي ، أولاً نطرح 3 من 7 ، ونحصل على 4 ، وبعد ذلك نضيف 6 إلى الفرق الناتج 4 ، ونحصل على 10.

باختصار ، يمكن كتابة الحل على النحو التالي: 7−3 + 6 = 4 + 6 = 10.

إجابه:

7−3+6=10 .

مثال.

حدد الترتيب الذي يتم تنفيذ الإجراءات به في التعبير 6: 2 · 8: 3.

المحلول.

للإجابة على سؤال المشكلة ، دعنا ننتقل إلى القاعدة التي تشير إلى الترتيب الذي يتم به تنفيذ الإجراءات في التعبيرات بدون أقواس. يحتوي التعبير الأصلي فقط على عمليات الضرب والقسمة ، ووفقًا للقاعدة ، يجب إجراؤها بالترتيب من اليسار إلى اليمين.

إجابه:

أولاً 6 مقسومًا على 2 ، حاصل ضرب هذا الناتج في 8 ، أخيرًا ، يتم قسمة الناتج على 3.

مثال.

احسب قيمة التعبير 17−5 · 6: 3−2 + 4: 2.

المحلول.

أولاً ، دعنا نحدد في أي ترتيب يجب تنفيذ الإجراءات في التعبير الأصلي. ويشمل كلا من الضرب والقسمة والجمع والطرح. أولاً ، من اليسار إلى اليمين ، تحتاج إلى إجراء الضرب والقسمة. نضرب 5 في 6 ، نحصل على 30 ، نقسم هذا الرقم على 3 ، نحصل على 10. الآن نقسم 4 على 2 ، نحصل على 2. نعوض بالقيمة التي تم العثور عليها 10 بدلاً من 5 6: 3 في التعبير الأصلي ، والقيمة 2 بدلاً من 4: 2 ، لدينا 17−5 6: 3−2 + 4: 2 = 17−10−2 + 2.

لا يوجد ضرب وقسمة في التعبير الناتج ، لذلك يبقى تنفيذ الإجراءات المتبقية بالترتيب من اليسار إلى اليمين: 17−10−2 + 2 = 7−2 + 2 = 5 + 2 = 7.

إجابه:

17−5 6: 3−2 + 4: 2 = 7.

في البداية ، من أجل عدم الخلط بين ترتيب تنفيذ الإجراءات عند حساب قيمة التعبير ، من الملائم وضع الأرقام فوق علامات الإجراءات المقابلة للترتيب الذي يتم تنفيذها به. بالنسبة للمثال السابق ، سيبدو كالتالي:.

يجب اتباع نفس ترتيب العمليات - الضرب والقسمة الأول ، ثم الجمع والطرح - عند التعامل مع التعبيرات الحرفية.

الخطوتين 1 و 2

في بعض الكتب المدرسية عن الرياضيات ، هناك تقسيم للعمليات الحسابية إلى عمليات للخطوتين الأولى والثانية. دعونا نتعامل مع هذا.

تعريف.

إجراءات الخطوة الأولىيسمى الجمع والطرح ، ويطلق على الضرب والقسمة إجراءات الخطوة الثانية.

في هذه المصطلحات ، ستتم كتابة القاعدة من الفقرة السابقة ، والتي تحدد الترتيب الذي يتم تنفيذ الإجراءات به ، على النحو التالي: إذا كان التعبير لا يحتوي على أقواس ، ثم بالترتيب من اليسار إلى اليمين ، إجراءات المرحلة الثانية ( الضرب والقسمة) أولاً ، ثم إجراءات المرحلة الأولى (الجمع والطرح).

ترتيب تنفيذ العمليات الحسابية في التعبيرات ذات الأقواس

غالبًا ما تحتوي التعبيرات على أقواس للإشارة إلى الترتيب الذي سيتم تنفيذ الإجراءات به. في هذه الحالة قاعدة تحدد الترتيب الذي يتم به تنفيذ الإجراءات في التعبيرات ذات الأقواس، تتم صياغتها على النحو التالي: أولاً ، يتم تنفيذ الإجراءات بين قوسين ، بينما يتم أيضًا تنفيذ الضرب والقسمة بالترتيب من اليسار إلى اليمين ، ثم الجمع والطرح.

لذلك ، تعتبر التعبيرات الموجودة بين قوسين مكونات للتعبير الأصلي ، ويتم الاحتفاظ بترتيب الإجراءات المعروف لنا بالفعل فيها. ضع في اعتبارك حلول الأمثلة لمزيد من الوضوح.

مثال.

نفذ الخطوات الموضحة 5+ (7−2 3) (6−4): 2.

المحلول.

يحتوي التعبير على أقواس ، لذلك دعونا أولاً نجري العمليات في التعبيرات المضمنة بين هذه الأقواس. لنبدأ بالتعبير 7−2 3. في ذلك ، يجب عليك أولاً إجراء عملية الضرب ، وبعد ذلك فقط يكون لدينا 7−2 3 = 7−6 = 1. نمرر إلى التعبير الثاني بين قوسين 6−4. لا يوجد سوى إجراء واحد هنا - الطرح ، نقوم به 6−4 = 2.

نستبدل القيم التي تم الحصول عليها في التعبير الأصلي: 5+ (7−2 3) (6−4): 2 = 5 + 1 2: 2. في التعبير الناتج ، نقوم أولاً بالضرب والقسمة من اليسار إلى اليمين ، ثم الطرح ، نحصل على 5 + 1 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6. في هذا الصدد ، تم الانتهاء من جميع الإجراءات ، والتزمنا بالترتيب التالي لتنفيذها: 5+ (7−2 3) (6−4): 2.

لنكتب حلًا قصيرًا: 5+ (7−2 3) (6−4): 2 = 5 + 1 2: 2 = 5 + 1 = 6.

إجابه:

5+ (7−2 3) (6−4): 2 = 6.

يحدث أن يحتوي التعبير على أقواس داخل أقواس. يجب ألا تخاف من ذلك ، فأنت تحتاج فقط إلى تطبيق القاعدة الصوتية باستمرار لتنفيذ الإجراءات في التعبيرات ذات الأقواس. دعنا نعرض مثالاً للحل.

مثال.

نفذ الإجراءات في التعبير 4+ (3 + 1 + 4 · (2 ​​+ 3)).

المحلول.

هذا تعبير ذو أقواس ، مما يعني أن تنفيذ الإجراءات يجب أن يبدأ بالتعبير الموجود بين قوسين ، أي 3 + 1 + 4 (2 + 3). يحتوي هذا التعبير أيضًا على أقواس ، لذلك يجب عليك أولاً تنفيذ الإجراءات فيها. لنفعل هذا: 2 + 3 = 5. بالتعويض عن القيمة التي تم العثور عليها ، نحصل على 3 + 1 + 4 5. في هذا التعبير ، نقوم أولاً بالضرب ، ثم الجمع ، لدينا 3 + 1 + 4 5 = 3 + 1 + 20 = 24. القيمة الأولية ، بعد استبدال هذه القيمة ، تأخذ الشكل 4 + 24 ، ويبقى فقط لإكمال الإجراءات: 4 + 24 = 28.

إجابه:

4+ (3 + 1 + 4 (2 + 3)) = 28.

بشكل عام ، عندما تكون الأقواس الموجودة بين الأقواس موجودة في تعبير ما ، فمن الملائم غالبًا البدء بالأقواس الداخلية والعمل في طريقك إلى الخارج.

على سبيل المثال ، لنفترض أننا بحاجة إلى إجراء عمليات في التعبير (4+ (4+ (4−6: 2)) - 1) −1. أولاً ، نقوم بتنفيذ الإجراءات بين قوسين داخليين ، حيث أن 4−6: 2 = 4−3 = 1 ، ثم بعد ذلك سيأخذ التعبير الأصلي الشكل (4+ (4 + 1) −1) −1. مرة أخرى ، نقوم بتنفيذ الإجراء في الأقواس الداخلية ، نظرًا لأن 4 + 1 = 5 ، ثم نصل إلى التعبير التالي (4 + 5−1) −1. مرة أخرى ، نقوم بتنفيذ الإجراءات بين قوسين: 4 + 5−1 = 8 ، بينما نصل إلى الفرق 8−1 ، وهو ما يساوي 7.

تعد المعادلات من أصعب الموضوعات التي يجب إتقانها ، لكنها قوية بما يكفي لحل معظم المشكلات.

بمساعدة المعادلات ، يتم وصف العمليات المختلفة التي تحدث في الطبيعة. تستخدم المعادلات على نطاق واسع في العلوم الأخرى: في الاقتصاد والفيزياء والبيولوجيا والكيمياء.

سنحاول في هذا الدرس فهم جوهر أبسط المعادلات ، وتعلم كيفية التعبير عن المجهول وحل العديد من المعادلات. كلما تعلمت مواد جديدة ، ستصبح المعادلات أكثر تعقيدًا ، لذا فإن فهم الأساسيات مهم جدًا.

المهارات الأولية محتوى الدرس

ما هي المعادلة؟

المعادلة هي المساواة التي تحتوي على متغير تريد البحث عن قيمته. يجب أن تكون هذه القيمة بحيث عندما يتم استبدالها في المعادلة الأصلية ، يتم الحصول على المساواة العددية الصحيحة.

على سبيل المثال ، التعبير 2 + 2 = 4 هو المساواة. عند حساب الجانب الأيسر ، يتم الحصول على المساواة العددية الصحيحة 4 = 4.

لكن المساواة 2 + x= 4 معادلة لأنها تحتوي على متغير x، التي يمكن العثور على قيمتها. يجب أن تكون القيمة بحيث عندما يتم استبدال هذه القيمة في المعادلة الأصلية ، يتم الحصول على المساواة العددية الصحيحة.

بعبارة أخرى ، علينا إيجاد قيمة تبرر فيها علامة التساوي موقعها - يجب أن يكون الطرف الأيسر مساويًا للجانب الأيمن.

المعادلة 2+ x= 4 أساسي. قيمة متغيرة xيساوي الرقم 2. أي قيمة أخرى لن تكون متساوية

يقال أن الرقم 2 هو جذرأو حل المعادلة 2 + x = 4

جذرأو حل المعادلةهي قيمة المتغير الذي تصبح فيه المعادلة مساواة عددية حقيقية.

قد يكون هناك عدة جذور أو لا شيء على الإطلاق. حل المعادلةيعني العثور على جذوره أو إثبات عدم وجود جذور.

يُعرف المتغير في المعادلة أيضًا باسم مجهول. أنت حر في تسميتها ما تشاء. هذه مرادفات.

ملحوظة. عبارة "حل المعادلة" تتحدث عن نفسها. لحل المعادلة يعني "مساواة" معادلة - لجعلها متوازنة بحيث يكون الطرف الأيسر يساوي الجانب الأيمن.

عبر عن أحدهما من حيث الآخر

تبدأ دراسة المعادلات تقليديًا بتعلم التعبير عن رقم واحد مشمول في المساواة من حيث عدد آخر. دعونا لا نكسر هذا التقليد ونفعل الشيء نفسه.

ضع في اعتبارك التعبير التالي:

8 + 2

هذا التعبير هو مجموع العددين 8 و 2. قيمة هذا التعبير هي 10

8 + 2 = 10

لدينا المساواة. الآن يمكنك التعبير عن أي رقم من هذه المساواة من حيث الأرقام الأخرى المدرجة في نفس المساواة. على سبيل المثال ، دعنا نعبر عن الرقم 2.

للتعبير عن الرقم 2 ، عليك طرح السؤال التالي: "ما الذي يجب فعله بالرقمين 10 و 8 للحصول على الرقم 2." من الواضح أنه للحصول على الرقم 2 ، عليك طرح الرقم 8 من الرقم 10.

لذلك نقوم به. نكتب الرقم 2 ومن خلال علامة التساوي نقول أنه للحصول على هذا الرقم 2 ، قمنا بطرح الرقم 8 من الرقم 10:

2 = 10 − 8

عبرنا عن الرقم 2 من المعادلة 8 + 2 = 10. كما ترون من المثال ، لا يوجد شيء معقد في هذا الأمر.

عند حل المعادلات ، لا سيما عند التعبير عن رقم واحد من حيث عدد آخر ، من الملائم استبدال علامة التساوي بكلمة " يوجد" . يجب أن يتم ذلك عقليًا ، وليس في التعبير نفسه.

لذلك ، بالتعبير عن الرقم 2 من المساواة 8 + 2 = 10 ، حصلنا على المساواة 2 = 10-8. يمكن قراءة هذه المعادلة على النحو التالي:

2 يوجد 10 − 8

هذا هو ، العلامة = استبدلت بكلمة "is". علاوة على ذلك ، يمكن ترجمة المساواة 2 = 10-8 من اللغة الرياضية إلى لغة بشرية كاملة. ثم يمكن قراءتها على النحو التالي:

رقم 2 يوجدالفرق بين 10 و 8

رقم 2 يوجدالفرق بين الرقم 10 والرقم 8.

لكننا سنقتصر على استبدال علامة المساواة بكلمة "is" ، وبعد ذلك لن نفعل ذلك دائمًا. يمكن فهم التعبيرات الأولية دون ترجمة اللغة الرياضية إلى لغة بشرية.

دعنا نعيد المساواة الناتجة 2 = 10-8 إلى حالتها الأصلية:

8 + 2 = 10

دعنا نعبر عن الرقم 8 هذه المرة ، ما الذي يجب عمله مع باقي الأرقام للحصول على الرقم 8؟ هذا صحيح ، عليك طرح الرقم 2 من الرقم 10

8 = 10 − 2

دعنا نعيد المساواة الناتجة 8 = 10-2 إلى حالتها الأصلية:

8 + 2 = 10

هذه المرة سوف نعبر عن الرقم 10. ولكن اتضح أن العشرة لا تحتاج إلى التعبير عنها ، حيث تم التعبير عنها بالفعل. يكفي تبديل الجزأين الأيمن والأيسر ، ثم نحصل على ما نحتاجه:

10 = 8 + 2

مثال 2. ضع في اعتبارك المساواة 8 - 2 = 6

نعبر عن الرقم 8 من هذه المساواة ، وللتعبير عن الرقم 8 يجب إضافة الرقمين الآخرين:

8 = 6 + 2

دعنا نعيد المساواة الناتجة 8 = 6 + 2 إلى حالتها الأصلية:

8 − 2 = 6

نعبر عن الرقم 2 من هذه المساواة ، وللتعبير عن الرقم 2 ، نحتاج إلى طرح 6 من 8

2 = 8 − 6

مثال 3. ضع في اعتبارك المعادلة 3 × 2 = 6

عبر عن الرقم 3. للتعبير عن الرقم 3 ، تحتاج إلى قسمة 6 على 2

دعنا نعيد المساواة الناتجة إلى حالتها الأصلية:

3 × 2 = 6

دعنا نعبر عن الرقم 2 من هذه المساواة.للتعبير عن الرقم 2 ، تحتاج إلى قسمة 3 على 6

مثال 4. ضع في اعتبارك المساواة

نعبر عن الرقم 15 من هذه المساواة.للتعبير عن الرقم 15 ، تحتاج إلى ضرب الرقمين 3 و 5

15 = 3 × 5

دعنا نعيد المساواة الناتجة 15 = 3 × 5 إلى حالتها الأصلية:

نعبر عن الرقم 5 من هذه المساواة.للتعبير عن الرقم 5 ، تحتاج إلى قسمة 15 على 3

قواعد البحث عن المجهولين

ضع في اعتبارك عدة قواعد لإيجاد المجهول. ربما تكون مألوفة لك ، لكن لا يضر تكرارها مرة أخرى. في المستقبل ، يمكن نسيانها ، لأننا سنتعلم حل المعادلات دون تطبيق هذه القواعد.

لنعد إلى المثال الأول الذي تناولناه في الموضوع السابق ، حيث كان مطلوبًا في المعادلة 8 + 2 = 10 التعبير عن الرقم 2.

في المعادلة 8 + 2 = 10 ، الرقمان 8 و 2 عبارة عن حدود ، والرقم 10 هو المجموع.

للتعبير عن الرقم 2 ، قمنا بما يلي:

2 = 10 − 8

أي اطرح 8 من مجموع 10.

تخيل الآن أنه في المعادلة 8 + 2 = 10 ، بدلاً من الرقم 2 ، يوجد متغير x

8 + x = 10

في هذه الحالة ، تصبح المعادلة 8 + 2 = 10 هي المعادلة 8 + x= 10 والمتغير x مصطلح غير معروف

مهمتنا هي إيجاد هذا الحد المجهول ، أي حل المعادلة 8 + x= 10. للعثور على المصطلح غير المعروف ، يتم توفير القاعدة التالية:

للعثور على المصطلح غير المعروف ، اطرح المصطلح المعروف من المجموع.

وهو ما فعلناه أساسًا عندما عبرنا عن الاثنين في المعادلة 8 + 2 = 10. للتعبير عن الحد 2 ، طرحنا حدًا آخر 8 من مجموع 10

2 = 10 − 8

والآن للعثور على المصطلح المجهول x، يجب أن نطرح المصطلح المعروف 8 من مجموع 10:

x = 10 − 8

إذا قمت بحساب الجانب الأيمن من المساواة الناتجة ، فيمكنك معرفة ما يساوي المتغير x

x = 2

لقد حللنا المعادلة. قيمة متغيرة xيساوي 2. للتحقق من قيمة المتغير xتم إرسالها إلى المعادلة الأصلية 8 + x= 10 واستبدل x.من المستحسن القيام بذلك مع أي معادلة تم حلها ، حيث لا يمكنك التأكد من حل المعادلة بشكل صحيح:

نتيجة ل

تنطبق نفس القاعدة إذا كان المصطلح المجهول هو الرقم الأول 8.

x + 2 = 10

في هذه المعادلة xهو المصطلح غير المعروف ، 2 هو المصطلح المعروف ، 10 هو المجموع. للعثور على المصطلح المجهول x، عليك طرح المصطلح المعروف 2 من المجموع 10

x = 10 − 2

x = 8

لنعد إلى المثال الثاني من الموضوع السابق ، حيث كان مطلوبًا في المعادلة 8-2 = 6 التعبير عن الرقم 8.

في المعادلة 8-2 = 6 ، الرقم 8 هو الحد الأدنى ، الرقم 2 هو المطروح ، الرقم 6 هو الفرق

للتعبير عن الرقم 8 ، قمنا بما يلي:

8 = 6 + 2

أي ، اجمع الفرق 6 والطرح 2.

تخيل الآن أنه في المعادلة 8-2 = 6 ، بدلاً من الرقم 8 ، يوجد متغير x

x − 2 = 6

في هذه الحالة ، المتغير xيأخذ على دور ما يسمى ب حد أدنى غير معروف

للعثور على الحد الأدنى غير المعروف ، يتم توفير القاعدة التالية:

للعثور على الحد الأدنى المجهول ، تحتاج إلى إضافة المطروح إلى الفرق.

وهو ما فعلناه عندما عبرنا عن الرقم 8 في المعادلة 8-2 = 6. للتعبير عن الحد الأدنى 8 ، أضفنا المطروح 2 إلى الفرق 6.

والآن ، للعثور على الحد الأدنى المجهول x، يجب أن نضيف المطروح 2 إلى الفرق 6

x = 6 + 2

إذا قمت بحساب الجانب الأيمن ، فيمكنك معرفة ما يساوي المتغير x

x = 8

تخيل الآن أنه في المعادلة 8-2 = 6 ، بدلاً من الرقم 2 ، يوجد متغير x

8 − x = 6

في هذه الحالة ، المتغير xيأخذ على دور مطروح غير معروف

للعثور على المطروح المجهول ، يتم توفير القاعدة التالية:

للعثور على المطروح المجهول ، تحتاج إلى طرح الفرق من المطروح الصغرى.

هذا ما فعلناه عندما عبرنا عن الرقم 2 في المعادلة 8-2 = 6. للتعبير عن الرقم 2 ، طرحنا الفرق 6 من 8 المصغرة.

والآن ، للعثور على المطروح المجهول x، تحتاج مرة أخرى لطرح الفرق 6 من 8 المصغرة

x = 8 − 6

احسب الطرف الأيمن وأوجد القيمة x

x = 2

لنعد إلى المثال الثالث من الموضوع السابق ، حيث حاولنا في المعادلة 3 × 2 = 6 التعبير عن الرقم 3.

في المعادلة 3 × 2 = 6 ، الرقم 3 هو المضاعف ، الرقم 2 هو المضاعف ، الرقم 6 هو المنتج

للتعبير عن الرقم 3 ، قمنا بما يلي:

أي قسمة حاصل ضرب 6 على عامل 2.

تخيل الآن أنه في المعادلة 3 × 2 = 6 ، بدلاً من الرقم 3 ، يوجد متغير x

x× 2 = 6

في هذه الحالة ، المتغير xيأخذ على دور مضروب غير معروف.

للعثور على المضاعف المجهول ، يتم توفير القاعدة التالية:

للعثور على المضاعف المجهول ، تحتاج إلى قسمة حاصل الضرب على العامل.

وهو ما فعلناه عندما عبرنا عن الرقم 3 من المعادلة 3 × 2 = 6. قسمنا حاصل ضرب 6 على 2.

والآن للعثور على المضاعف المجهول x، عليك قسمة حاصل ضرب 6 على 2.

يسمح لنا حساب الجانب الأيمن بإيجاد قيمة المتغير x

x = 3

تنطبق نفس القاعدة إذا كان المتغير xيقع بدلاً من المضاعف ، وليس المضاعف. تخيل أنه في المعادلة 3 × 2 = 6 ، بدلاً من الرقم 2 ، يوجد متغير x.

في هذه الحالة ، المتغير xيأخذ على دور مضاعف غير معروف. للعثور على عامل غير معروف ، يتم توفير نفس الشيء لإيجاد مُضاعِف غير معروف ، أي قسمة المنتج على عامل معروف:

للعثور على العامل المجهول ، تحتاج إلى قسمة حاصل الضرب على الضرب.

وهو ما فعلناه عندما عبرنا عن الرقم 2 من المعادلة 3 × 2 = 6. ثم للحصول على الرقم 2 ، قسمنا حاصل ضرب 6 على المضاعف 3.

والآن للعثور على العامل المجهول xقسمنا حاصل ضرب 6 على مضاعف 3.

يتيح لك حساب الجانب الأيمن من المعادلة معرفة ما يساوي x

x = 2

يُطلق على المضاعف والمضاعف معًا عوامل. نظرًا لأن قواعد إيجاد عامل المضاعف والعامل هي نفسها ، يمكننا صياغة قاعدة عامة لإيجاد عامل غير معروف:

للعثور على العامل المجهول ، تحتاج إلى تقسيم المنتج على العامل المعروف.

على سبيل المثال ، لنحل المعادلة 9 × x= 18. عامل xعامل غير معروف. للعثور على هذا العامل المجهول ، عليك قسمة حاصل الضرب 18 على العامل المعروف 9

لنحل المعادلة x× 3 = 27. عامل xعامل غير معروف. للعثور على هذا العامل المجهول ، عليك قسمة حاصل الضرب 27 على العامل المعروف 3

لنعد إلى المثال الرابع من الموضوع السابق ، حيث كان مطلوبًا في المساواة التعبير عن الرقم 15. في هذه المساواة ، الرقم 15 هو المقسوم ، الرقم 5 هو المقسوم عليه ، الرقم 3 هو حاصل القسمة.

للتعبير عن الرقم 15 قمنا بما يلي:

15 = 3 × 5

أي اضرب حاصل قسمة 3 في مقسوم عليه 5.

تخيل الآن أنه في المساواة ، بدلاً من الرقم 15 ، يوجد متغير x

في هذه الحالة ، المتغير xيأخذ على دور عائد غير معروف.

للعثور على عائد غير معروف ، يتم توفير القاعدة التالية:

لإيجاد المقسوم المجهول ، عليك ضرب حاصل القسمة بالمقسوم عليه.

وهو ما فعلناه عندما عبرنا عن الرقم 15 من المساواة. للتعبير عن العدد 15 ، قمنا بضرب خارج قسمة 3 في مقسوم عليه 5.

والآن ، لإيجاد العائد المجهول x، تحتاج إلى ضرب حاصل قسمة 3 في مقسوم عليه 5

x= 3 × 5

x .

x = 15

تخيل الآن أنه في المساواة ، بدلاً من الرقم 5 ، يوجد متغير x .

في هذه الحالة ، المتغير xيأخذ على دور قاسم غير معروف.

للعثور على القاسم المجهول ، يتم توفير القاعدة التالية:

وهو ما فعلناه عندما عبرنا عن الرقم 5 من المساواة. للتعبير عن الرقم 5 ، قسمنا المقسوم 15 على حاصل القسمة 3.

والآن للعثور على القاسم المجهول x، تحتاج إلى قسمة المقسوم 15 على حاصل القسمة 3

دعونا نحسب الجانب الأيمن من المساواة الناتجة. إذن ، نكتشف ما يساوي المتغير x .

x = 5

لذلك ، للعثور على المجهول ، درسنا القواعد التالية:

• للعثور على المصطلح غير المعروف ، تحتاج إلى طرح المصطلح المعروف من المجموع ؛
• للعثور على الحد الأدنى المجهول ، تحتاج إلى إضافة المطروح إلى الفرق ؛
• للعثور على المطروح المجهول ، تحتاج إلى طرح الفرق من المطروح ؛
• للعثور على المضاعف المجهول ، تحتاج إلى قسمة حاصل الضرب على العامل ؛
• للعثور على العامل المجهول ، تحتاج إلى قسمة حاصل الضرب على الضرب ؛
• لإيجاد المقسوم المجهول ، تحتاج إلى ضرب حاصل القسمة بالمقسوم عليه ؛
• للعثور على قاسم غير معروف ، عليك قسمة المقسوم على حاصل القسمة.

عناصر

المكونات سوف نطلق عليها الأرقام والمتغيرات المدرجة في المساواة

إذن ، مكونات الإضافة هي مصلحاتو مجموع

مكونات الطرح هي ضئيل, المطروحو فرق

مكونات الضرب هي المضاعفة, عاملو الشغل

مكونات القسمة هي المقسوم والمقسوم عليه وحاصل القسمة.

اعتمادًا على المكونات التي نتعامل معها ، سيتم تطبيق القواعد المقابلة للعثور على المجهول. لقد درسنا هذه القواعد في الموضوع السابق. عند حل المعادلات ، من المستحسن معرفة هذه القواعد عن ظهر قلب.

مثال 1. أوجد جذر المعادلة 45+ x = 60

45 - المدى ، xهو المصطلح غير المعروف ، 60 هو المجموع. نحن نتعامل مع مكونات إضافة. نتذكر أنه للعثور على المصطلح المجهول ، عليك طرح المصطلح المعروف من المجموع:

x = 60 − 45

احسب الجانب الأيمن ، احصل على القيمة xيساوي 15

x = 15

إذن ، جذر المعادلة هو 45 + x= 60 يساوي 15.

في أغلب الأحيان ، يجب اختزال المصطلح غير المعروف إلى شكل يمكن التعبير عنه به.

مثال 2. حل المعادلة

هنا ، على عكس المثال السابق ، لا يمكن التعبير عن المصطلح المجهول على الفور ، لأنه يحتوي على معامل 2. مهمتنا هي إحضار هذه المعادلة إلى الشكل الذي يمكننا التعبير به x

في هذا المثال ، نتعامل مع مكونات الإضافة - المصطلحات والمبلغ. 2 xهو الحد الأول ، 4 هو الحد الثاني ، 8 هو المجموع.

في هذه الحالة ، المصطلح 2 xيحتوي على متغير x. بعد إيجاد قيمة المتغير xمصطلح 2 xسوف تتخذ شكلا مختلفا. لذلك ، المصطلح 2 xيمكن أن تؤخذ بالكامل لمصطلح غير معروف:

الآن نطبق القاعدة لإيجاد المصطلح المجهول. اطرح المصطلح المعروف من المجموع:

دعنا نحسب الجانب الأيمن من المعادلة الناتجة:

لدينا معادلة جديدة. نحن الآن نتعامل مع مكونات الضرب: الضرب والمضاعف والحاصل الضرب. 2 - مضاعف ، x- مضاعف 4 - حاصل ضرب

في نفس الوقت ، المتغير xليس مجرد عامل ، ولكنه عامل غير معروف

للعثور على هذا العامل المجهول ، تحتاج إلى قسمة حاصل الضرب على الضرب:

احسب الطرف الأيمن واحصل على قيمة المتغير x

للتحقق من الجذر الذي تم العثور عليه ، أرسله إلى المعادلة الأصلية واستبدله بدلاً من ذلك x

مثال 3. حل المعادلة 3x+ 9x+ 16x= 56

عبر عن المجهول xممنوع. تحتاج أولاً إلى إحضار هذه المعادلة إلى الشكل الذي يمكن التعبير عنها به.

نقدم على الجانب الأيسر من هذه المعادلة:

نحن نتعامل مع مكونات الضرب. 28 - المضاعف ، x- مضاعف 56 - منتج. حيث xعامل غير معروف. للعثور على العامل المجهول ، تحتاج إلى قسمة حاصل الضرب على الضرب:

من هنا xهو 2

المعادلات المتكافئة

في المثال السابق عند حل المعادلة 3x + 9x + 16x = 56 ، أعطينا الحدود المتشابهة في الجانب الأيسر من المعادلة. والنتيجة هي معادلة جديدة 28 x= 56. معادلة قديمة 3x + 9x + 16x = 56 والمعادلة الجديدة الناتجة 28 x= 56 دعا معادلات معادلةلأن جذورهم هي نفسها.

يقال أن المعادلات متساوية إذا كانت جذورها واحدة.

دعونا التحقق من ذلك. للمعادلة 3x+ 9x+ 16x= 56 وجدنا الجذر يساوي 2. عوّض بهذا الجذر أولاً في المعادلة 3x+ 9x+ 16x= 56 ، ثم في المعادلة 28 x= 56 ، والتي نتجت عن تقليل المصطلحات المماثلة على الجانب الأيسر من المعادلة السابقة. يجب أن نحصل على المساواة العددية الصحيحة

وفقًا لترتيب العمليات ، يتم إجراء الضرب أولاً:

عوّض بجذر 2 في المعادلة الثانية 28 x= 56

نرى أن كلا المعادلتين لهما نفس الجذور. إذن المعادلات 3x+ 9x+ 16x= 6 و 28 x= 56 متكافئة بالفعل.

لحل المعادلة 3x+ 9x+ 16x= 56 لقد استخدمنا أحد - اختزال المصطلحات المتشابهة. سمح لنا تحويل الهوية الصحيح للمعادلة بالحصول على معادلة مكافئة 28 x= 56 ، وهو أسهل في الحل.

من بين التحويلات المتطابقة ، لا يمكننا في الوقت الحالي سوى تقليل الكسور ، وإحضار الحدود المتشابهة ، وإخراج العامل المشترك من الأقواس ، وكذلك فتح الأقواس. هناك تحولات أخرى يجب أن تكون على دراية بها. ولكن للحصول على فكرة عامة عن التحولات المتطابقة في المعادلات ، فإن الموضوعات التي درسناها كافية تمامًا.

ضع في اعتبارك بعض التحولات التي تسمح لنا بالحصول على معادلة مكافئة

إذا أضفت نفس الرقم إلى كلا طرفي المعادلة ، فستحصل على معادلة مكافئة للمعادلة المعطاة.

وبالمثل:

إذا تم طرح نفس الرقم من كلا طرفي المعادلة ، فسيتم الحصول على معادلة مكافئة للمعادلة المعطاة.

بمعنى آخر ، لا يتغير جذر المعادلة إذا تمت إضافة الرقم نفسه إلى (أو طرحه من كلا طرفي) المعادلة.

مثال 1. حل المعادلة

اطرح الرقم 10 من طرفي المعادلة

حصلت على المعادلة 5 x= 10. نحن نتعامل مع مكونات الضرب. للعثور على العامل المجهول x، عليك قسمة حاصل ضرب 10 على العامل المعروف 5.

وبدلا من ذلك xوجدت القيمة 2

لقد حصلنا على الرقم الصحيح. إذن المعادلة صحيحة.

حل المعادلة طرحنا الرقم 10 من طرفي المعادلة. النتيجة هي معادلة مكافئة. جذر هذه المعادلة مثل المعادلات يساوي أيضًا 2

مثال 2. حل المعادلة 4 ( x+ 3) = 16

اطرح الرقم 12 من طرفي المعادلة

سيكون الجانب الأيسر 4 x، وعلى الجانب الأيمن الرقم 4

حصلت على المعادلة 4 x= 4. نحن نتعامل مع مكونات الضرب. للعثور على العامل المجهول x، تحتاج إلى تقسيم المنتج 4 على العامل المعروف 4

دعنا نعود إلى المعادلة الأصلية 4 ( x+ 3) = 16 واستبدل بدلًا منها xوجدت القيمة 1

لقد حصلنا على الرقم الصحيح. إذن المعادلة صحيحة.

حل المعادلة 4 ( x+ 3) = 16 طرحنا الرقم 12 من طرفي المعادلة. نتيجة لذلك ، حصلنا على معادلة مكافئة 4 x= 4. جذر هذه المعادلة وكذلك المعادلات 4 ( x+ 3) = 16 يساوي أيضًا 1

مثال 3. حل المعادلة

دعنا نفك الأقواس في الجانب الأيسر من المعادلة:

دعونا نضيف الرقم 8 إلى طرفي المعادلة

نقدم مصطلحات متشابهة في كلا الجزأين من المعادلة:

سيكون الجانب الأيسر 2 x، وعلى الجانب الأيمن الرقم 9

في المعادلة الناتجة 2 x= 9 نعبر عن المصطلح المجهول x

العودة إلى المعادلة الأصلية وبدلا من ذلك xوجدت القيمة 4.5

لقد حصلنا على الرقم الصحيح. إذن المعادلة صحيحة.

حل المعادلة أضفنا الرقم 8 إلى طرفي المعادلة ، ونتيجة لذلك حصلنا على معادلة مكافئة. جذر هذه المعادلة مثل المعادلات يساوي أيضًا 4.5

القاعدة التالية ، التي تسمح لك بالحصول على معادلة مكافئة ، هي كما يلي

إذا نقلنا المصطلح في المعادلة من جزء إلى آخر ، وقمنا بتغيير علامته ، فسنحصل على معادلة مكافئة للمعادلة المعطاة.

أي أن جذر المعادلة لن يتغير إذا نقلنا المصطلح من جزء من المعادلة إلى جزء آخر عن طريق تغيير علامته. تعد هذه الخاصية من أهم الخصائص وأكثرها استخدامًا في حل المعادلات.

ضع في اعتبارك المعادلة التالية:

جذر هذه المعادلة هو 2. عوّض بدلاً من xهذا الجذر وتحقق مما إذا تم الحصول على المساواة العددية الصحيحة

اتضح المساواة الصحيحة. إذن فالعدد 2 هو حقًا جذر المعادلة.

لنحاول الآن تجربة مصطلحات هذه المعادلة ، ونقلها من جزء إلى آخر ، وتغيير العلامات.

على سبيل المثال ، المصطلح 3 xتقع على الجانب الأيسر من المعادلة. دعنا ننتقل إلى الجانب الأيمن ، ونغير الإشارة إلى العكس:

اتضح المعادلة 12 = 9x − 3x . على الجانب الأيمن من هذه المعادلة:

xعامل غير معروف. لنجد هذا العامل المعروف:

من هنا x= 2. كما ترى ، لم يتغير جذر المعادلة. إذن المعادلات 12 + 3 x = 9xو 12 = 9x − 3x متكافئة.

في الواقع ، هذا التحويل هو طريقة مبسطة للتحويل السابق ، حيث تمت إضافة نفس الرقم (أو طرحه) إلى كلا طرفي المعادلة.

قلنا ذلك في المعادلة 12 + 3 x = 9xمصطلح 3 xتم نقله إلى الجانب الأيمن عن طريق تغيير العلامة. في الواقع ، حدث ما يلي: تم طرح المصطلح 3 من كلا طرفي المعادلة x

ثم تم إعطاء مصطلحات مماثلة على الجانب الأيسر وتم الحصول على المعادلة 12 = 9x − 3x. ثم تم إعطاء مصطلحات مماثلة مرة أخرى ، ولكن على الجانب الأيمن ، وتم الحصول على المعادلة 12 = 6 x.

لكن ما يسمى بـ "النقل" أكثر ملاءمة لمثل هذه المعادلات ، وهذا هو سبب انتشارها على نطاق واسع. عند حل المعادلات ، غالبًا ما نستخدم هذا التحويل المعين.

المعادلتان 12 + 3 متساويتان أيضًا x= 9xو 3x - 9x= −12 . هذه المرة في المعادلة 12 + 3 x= 9xتم نقل المصطلح 12 إلى الجانب الأيمن ، والمصطلح 9 xإلى اليسار. لا ينبغي أن ننسى أن علامات هذه الشروط قد تغيرت أثناء النقل

القاعدة التالية التي تسمح لك بالحصول على معادلة مكافئة هي كما يلي:

إذا تم ضرب أو تقسيم كلا الجزأين من المعادلة على نفس الرقم الذي لا يساوي الصفر ، فسيتم الحصول على معادلة مكافئة لهذا المعطى.

بمعنى آخر ، لا تتغير جذور المعادلة إذا تم ضرب كلا الطرفين أو تقسيمهما على نفس العدد. يستخدم هذا الإجراء غالبًا عندما تحتاج إلى حل معادلة تحتوي على تعبيرات كسرية.

أولاً ، ضع في اعتبارك أمثلة يتم فيها ضرب طرفي المعادلة بنفس الرقم.

مثال 1. حل المعادلة

عند حل المعادلات التي تحتوي على تعبيرات كسرية ، من المعتاد أولاً تبسيط هذه المعادلة.

في هذه الحالة ، نحن نتعامل مع مثل هذه المعادلة. لتبسيط هذه المعادلة ، يمكن ضرب كلا الطرفين في 8:

نتذكر أنه من أجل ، تحتاج إلى ضرب بسط كسر معين في هذا العدد. لدينا كسرين ، كل منهما مضروب في الرقم 8. مهمتنا هي ضرب بسط الكسور في هذا الرقم 8

الآن يحدث الشيء الأكثر إثارة للاهتمام. يحتوي البسط والمقام في كلا الكسرين على العامل 8 ، والذي يمكن اختزاله بمقدار 8. وهذا سيسمح لنا بالتخلص من التعبير الكسري:

نتيجة لذلك ، تبقى أبسط معادلة

حسنًا ، من السهل تخمين أن جذر هذه المعادلة هو 4

xوجدت القيمة 4

اتضح المساواة العددية الصحيحة. إذن المعادلة صحيحة.

عند حل هذه المعادلة ، ضربنا كلا الجزأين في 8. ونتيجة لذلك ، حصلنا على المعادلة. جذر هذه المعادلة ، مثل المعادلات ، هو 4. إذن هذه المعادلات متكافئة.

عادة ما يتم كتابة المضاعف الذي يتم به ضرب كلا الجزأين من المعادلة قبل جزء المعادلة ، وليس بعده. لذلك ، بحل المعادلة ، قمنا بضرب كلا الجزأين في عامل 8 وحصلنا على الإدخال التالي:

من هذا ، لم يتغير جذر المعادلة ، لكن إذا فعلنا ذلك أثناء وجودنا في المدرسة ، لكنا قد لاحظنا ذلك ، لأنه من المعتاد في الجبر كتابة العامل قبل التعبير الذي يتم ضربه به. لذلك ، من المستحسن إعادة كتابة طرفي المعادلة بمعامل 8 على النحو التالي:

مثال 2. حل المعادلة

على الجانب الأيسر ، يمكن تقليل العوامل 15 بمقدار 15 ، وعلى الجانب الأيمن ، يمكن تقليل العوامل 15 و 5 بمقدار 5

لنفتح الأقواس على الجانب الأيمن من المعادلة:

دعنا ننتقل المصطلح xمن الجانب الأيسر للمعادلة إلى الجانب الأيمن عن طريق تغيير الإشارة. وسيتم نقل المصطلح 15 من الجانب الأيمن من المعادلة إلى الجانب الأيسر ، مع تغيير العلامة مرة أخرى:

نحضر شروطًا متشابهة في كلا الجزأين ، نحصل عليها

نحن نتعامل مع مكونات الضرب. عامل x

العودة إلى المعادلة الأصلية وبدلا من ذلك xوجدت القيمة 5

اتضح المساواة العددية الصحيحة. إذن المعادلة صحيحة. عند حل هذه المعادلة ، ضربنا كلا الطرفين في 15. علاوة على ذلك ، عند إجراء تحويلات متطابقة ، حصلنا على المعادلة 10 = 2 x. جذر هذه المعادلة مثل المعادلات يساوي 5. إذن هذه المعادلات متكافئة.

مثال 3. حل المعادلة

في الجانب الأيسر ، يمكن اختزال ثلاثيتين ، والجانب الأيمن يساوي 18

تبقى أبسط معادلة. نحن نتعامل مع مكونات الضرب. عامل xعامل غير معروف. لنجد هذا العامل المعروف:

دعنا نعود إلى المعادلة الأصلية ونستبدلها بدلاً من xوجدت القيمة 9

اتضح المساواة العددية الصحيحة. إذن المعادلة صحيحة.

مثال 4. حل المعادلة

اضرب طرفي المعادلة ب 6

افتح الأقواس الموجودة في الجانب الأيسر من المعادلة. على الجانب الأيمن ، يمكن رفع العامل 6 إلى البسط:

نختصر في كلا الجزأين من المعادلتين ما يمكن اختزاله:

دعنا نعيد كتابة ما تبقى لدينا:

نحن نستخدم نقل الشروط. المصطلحات التي تحتوي على المجهول x، نجمع على الجانب الأيسر من المعادلة ، والمصطلحات خالية من المجهول - على اليمين:

نقدم مصطلحات متشابهة في كلا الجزأين:

لنجد الآن قيمة المتغير x. للقيام بذلك ، نقسم حاصل الضرب 28 على العامل المعروف 7

من هنا x= 4.

العودة إلى المعادلة الأصلية وبدلا من ذلك xوجدت القيمة 4

اتضح المساواة العددية الصحيحة. إذن المعادلة صحيحة.

مثال 5. حل المعادلة

لنفتح الأقواس في كلا جزأي المعادلة حيثما أمكن ذلك:

اضرب طرفي المعادلة ب 15

لنفتح الأقواس في كلا جزأي المعادلة:

دعنا نختصر في كلا الجزأين من المعادلة ، ما يمكن اختزاله:

دعنا نعيد كتابة ما تبقى لدينا:

لنفتح الأقواس حيثما أمكن ذلك:

نحن نستخدم نقل الشروط. يتم تجميع المصطلحات التي تحتوي على المجهول في الجانب الأيسر من المعادلة ، ويتم تجميع المصطلحات الخالية من المجهول في الجانب الأيمن. لا تنس أنه أثناء النقل ، تغير المصطلحات إشاراتها إلى عكس ذلك:

نقدم مصطلحات متشابهة في كلا الجزأين من المعادلة:

لنجد القيمة x

في الإجابة الناتجة ، يمكنك تحديد الجزء بأكمله:

دعنا نعود إلى المعادلة الأصلية ونستبدلها بدلاً من xوجدت قيمة

اتضح أنه تعبير مرهق إلى حد ما. دعنا نستخدم المتغيرات. نضع الجانب الأيسر من المساواة في متغير أ، والجانب الأيمن من المساواة في متغير ب

مهمتنا هي التأكد من أن الطرف الأيسر يساوي الطرف الأيمن. بمعنى آخر ، أثبت المساواة أ = ب

أوجد قيمة التعبير في المتغير أ.

قيمة متغيرة لكنيساوي. لنجد الآن قيمة المتغير ب. أي قيمة الجانب الصحيح من مساواتنا. إذا كانت تساوي ، فسيتم حل المعادلة بشكل صحيح

نرى أن قيمة المتغير ب، وكذلك قيمة المتغير أ هي. هذا يعني أن الطرف الأيسر يساوي الطرف الأيمن. من هذا نستنتج أن المعادلة قد تم حلها بشكل صحيح.

دعونا الآن نحاول ألا نضرب طرفي المعادلة في نفس العدد ، بل نجرب القسمة.

ضع في اعتبارك المعادلة 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 . نقوم بحلها بالطريقة المعتادة: نقوم بتجميع المصطلحات التي تحتوي على مجاهيل على الجانب الأيسر من المعادلة ، والمصطلحات الخالية من المجهول على اليمين. علاوة على ذلك ، عند إجراء التحولات المتطابقة المعروفة ، نجد القيمة x

عوّض بالقيمة التي تم إيجادها 2 بدلاً من xفي المعادلة الأصلية:

لنحاول الآن فصل جميع حدود المعادلة 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 من خلال عدد ما. نلاحظ أن جميع شروط هذه المعادلة لها عامل مشترك 2. نقسم كل مصطلح عليه:

دعونا نقلل في كل مصطلح:

دعنا نعيد كتابة ما تبقى لدينا:

نحل هذه المعادلة باستخدام التحولات المتطابقة المعروفة:

حصلنا على الجذر 2. إذن المعادلات 15x+ 7x+ 7 = 35x - 20x+ 21 و 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 متكافئة.

يتيح لك قسمة طرفي المعادلة على نفس الرقم تحرير المجهول من المعامل. في المثال السابق ، عندما حصلنا على المعادلة 7 x= 14 ، نحتاج إلى قسمة حاصل الضرب 14 على العامل المعروف 7. ولكن إذا حررنا المجهول من المعامل 7 على الجانب الأيسر ، فسيتم إيجاد الجذر على الفور. للقيام بذلك ، كان يكفي قسمة كلا الجزأين على 7

سنستخدم هذه الطريقة أيضًا في كثير من الأحيان.

اضرب في ناقص واحد

إذا تم ضرب طرفي المعادلة في ناقص واحد ، فسيتم الحصول على معادلة مكافئة للمعادلة المعطاة.

تأتي هذه القاعدة من حقيقة أنه من خلال ضرب (أو قسمة) كلا الجزأين من المعادلة بنفس الرقم ، فإن جذر هذه المعادلة لا يتغير. هذا يعني أن الجذر لن يتغير إذا تم ضرب كلا الجزأين في 1.

تسمح لك هذه القاعدة بتغيير علامات جميع المكونات المضمنة في المعادلة. لما هذا؟ مرة أخرى ، للحصول على معادلة مكافئة يسهل حلها.

ضع في اعتبارك المعادلة. ما هو جذر هذه المعادلة؟

دعونا نضيف الرقم 5 إلى طرفي المعادلة

فيما يلي مصطلحات متشابهة:

والآن دعنا نتذكر. ما هو الجانب الأيسر من المعادلة. هذا هو حاصل ضرب ناقص واحد والمتغير x

أي ، ناقص أمام المتغير xلا يشير إلى المتغير نفسه x، ولكن للوحدة التي لا نراها ، حيث أنه من المعتاد عدم كتابة المعامل 1. هذا يعني أن المعادلة تبدو في الواقع كما يلي:

نحن نتعامل مع مكونات الضرب. لايجاد X، تحتاج إلى قسمة حاصل الضرب −5 على العامل المعروف −1.

أو اقسم طرفي المعادلة على 1 ، وهذا أسهل

إذن جذر المعادلة هو 5. للتحقق من ذلك ، نعوض به في المعادلة الأصلية. لا تنس أنه في المعادلة الأصلية ، ناقص أمام المتغير xيشير إلى وحدة غير مرئية

اتضح المساواة العددية الصحيحة. إذن المعادلة صحيحة.

لنحاول الآن ضرب طرفي المعادلة في ناقص واحد:

بعد فتح الأقواس ، يتم تكوين التعبير على الجانب الأيسر ، ويكون الجانب الأيمن مساويًا لـ 10

جذر هذه المعادلة ، مثل المعادلة ، هو 5

إذن المعادلات متكافئة.

مثال 2. حل المعادلة

في هذه المعادلة ، جميع المكونات سالبة. يعتبر العمل بالمكونات الإيجابية أكثر ملاءمة من العمل مع المكونات السلبية ، لذلك دعونا نغير إشارات جميع المكونات المضمنة في المعادلة. للقيام بذلك ، اضرب طرفي هذه المعادلة في -1.

من الواضح أنه بعد الضرب في 1 ، فإن أي رقم سيغير علامته إلى العكس. لذلك ، لا يتم وصف إجراء الضرب في 1 وفتح الأقواس بالتفصيل ، ولكن يتم تدوين مكونات المعادلة ذات العلامات المعاكسة على الفور.

لذلك ، يمكن كتابة ضرب المعادلة في -1 بالتفصيل على النحو التالي:

أو يمكنك فقط تغيير علامات جميع المكونات:

سيظهر الأمر نفسه ، لكن الاختلاف هو أننا سنوفر على أنفسنا الوقت.

إذن ، بضرب طرفي المعادلة في 1 ، نحصل على المعادلة. لنحل هذه المعادلة. اطرح الرقم 4 من كلا الجزأين واقسم كلا الجزأين على 3

عندما يتم العثور على الجذر ، فعادة ما يكتب المتغير على الجانب الأيسر ، وقيمته على اليمين ، وهذا ما فعلناه.

مثال 3. حل المعادلة

اضرب طرفي المعادلة ب −1. ثم ستغير جميع المكونات إشاراتها إلى عكس:

اطرح 2 من طرفي المعادلة الناتجة xوأضف المصطلحات المشابهة:

نضيف الوحدة إلى كلا الجزأين من المعادلة ونعطي مصطلحات متشابهة:

يساوي الصفر

لقد تعلمنا مؤخرًا أنه إذا قمنا في معادلة بنقل مصطلح من جزء إلى آخر عن طريق تغيير علامته ، فإننا نحصل على معادلة مكافئة لتلك المعادلة.

وماذا سيحدث إذا نقلنا من جزء إلى آخر ليس مصطلحًا واحدًا ، بل كل المصطلحات؟ هذا صحيح ، في الجزء الذي أُخذت منه كل المصطلحات ، سيبقى الصفر. بمعنى آخر ، لن يتبقى شيء.

لنأخذ المعادلة كمثال. نحل هذه المعادلة ، كالعادة - نجمع المصطلحات التي تحتوي على مجاهيل في جزء واحد ، ونترك المصطلحات العددية خالية من المجهول في الجزء الآخر. علاوة على ذلك ، عند إجراء التحويلات المتطابقة المعروفة ، نجد قيمة المتغير x

لنحاول الآن حل المعادلة نفسها عن طريق مساواة جميع مكوناتها بصفر. للقيام بذلك ، نقوم بنقل جميع المصطلحات من الجانب الأيمن إلى اليسار ، مع تغيير العلامات:

فيما يلي المصطلحات المماثلة على الجانب الأيسر:

لنجمع 77 لكلا الجزأين ، ونقسم كلا الجزأين على 7

بديل لقواعد البحث عن المجهول

من الواضح ، بمعرفة التحولات المتطابقة في المعادلات ، لا يمكن للمرء أن يحفظ قواعد إيجاد المجهول.

على سبيل المثال ، لإيجاد المجهول في المعادلة ، قسمنا حاصل الضرب 10 على العامل المعروف 2

ولكن إذا تم تقسيم كلا الجزأين في المعادلة على 2 ، فسيتم إيجاد الجذر على الفور. على الجانب الأيسر من المعادلة ، سيتم تقليل العامل 2 في البسط والعامل 2 في المقام بمقدار 2. والطرف الأيمن سيساوي 5

حللنا معادلات النموذج بالتعبير عن المصطلح المجهول:

لكن يمكنك استخدام التحولات المتطابقة التي درسناها اليوم. في المعادلة ، يمكن نقل المصطلح 4 إلى الجانب الأيمن عن طريق تغيير العلامة:

على الجانب الأيسر من المعادلة ، سيتم تخفيض اثنين من التعادل. سيساوي الجانب الأيمن 2. وبالتالي.

أو يمكنك طرح 4 من طرفي المعادلة ، ثم تحصل على ما يلي:

في حالة معادلات النموذج ، يكون أكثر ملاءمة لتقسيم المنتج على عامل معروف. دعنا نقارن كلا الحلين:

الحل الأول أقصر بكثير وأكثر إتقانًا. يمكن تقصير الحل الثاني بشكل كبير إذا قمت بإجراء القسمة في رأسك.

ومع ذلك ، فأنت بحاجة إلى معرفة كلتا الطريقتين وبعد ذلك فقط استخدم الطريقة التي تفضلها.

عندما يكون هناك عدة جذور

يمكن أن يكون للمعادلة جذور متعددة. على سبيل المثال المعادلة x(x + 9) = 0 له جذران: 0 و 9.

في المعادلة x(x + 9) = 0 كان من الضروري إيجاد مثل هذه القيمة xالتي سيساوي جانبها الأيسر صفرًا. يحتوي الجانب الأيسر من هذه المعادلة على التعبيرات xو (x + 9)، وهي عوامل. من قوانين حاصل الضرب ، نعلم أن المنتج يساوي صفرًا إذا كان أحد العوامل على الأقل يساوي صفرًا (إما العامل الأول أو الثاني).

هذا هو ، في المعادلة x(x + 9) = 0 سيتم تحقيق المساواة إذا xسيكون صفرًا أو (x + 9)سيكون صفرا.

x= 0 أو x + 9 = 0

بمساواة هذين المقدارين بالصفر ، يمكننا إيجاد جذور المعادلة x(x + 9) = 0. تم العثور على الجذر الأول ، كما يتضح من المثال ، على الفور. لإيجاد الجذر الثاني ، عليك حل المعادلة الأولية x+ 9 = 0. من السهل تخمين أن جذر هذه المعادلة هو −9. يظهر الفحص أن الجذر صحيح:

−9 + 9 = 0

مثال 2. حل المعادلة

هذه المعادلة لها جذران: 1 و 2. الجانب الأيسر من المعادلة هو حاصل ضرب التعابير ( x- 1) و ( x- 2). والمنتج يساوي صفرًا إذا كان أحد العوامل على الأقل يساوي صفرًا (أو العامل ( x- 1) أو العامل ( x − 2) ).

لنجده xتحتها العبارات ( x- 1) أو ( x- 2) تختفي:

نعوض بالقيم التي تم العثور عليها بدورنا في المعادلة الأصلية ونتأكد من أن الجانب الأيسر بهذه القيم يساوي صفرًا:

عندما يكون هناك عدد لا نهائي من الجذور

يمكن أن تحتوي المعادلة على عدد لا نهائي من الجذور. أي باستبدال أي رقم في مثل هذه المعادلة ، نحصل على المساواة العددية الصحيحة.

مثال 1. حل المعادلة

جذر هذه المعادلة هو أي رقم. إذا فتحت الأقواس على الجانب الأيسر من المعادلة وأحضرت شروطًا متشابهة ، فستحصل على المساواة 14 \ u003d 14. سيتم الحصول على هذه المساواة لأي x

مثال 2. حل المعادلة

جذر هذه المعادلة هو أي رقم. إذا قمت بفتح الأقواس على الجانب الأيسر من المعادلة ، تحصل على المساواة 10x + 12 = 10x + 12. سيتم الحصول على هذه المساواة لأي x

عندما لا توجد جذور

يحدث أيضًا أن المعادلة ليس لها حلول على الإطلاق ، أي ليس لها جذور. على سبيل المثال ، المعادلة ليس لها جذور ، لأن أي قيمة x، فإن الجانب الأيسر من المعادلة لن يكون مساويًا للجانب الأيمن. على سبيل المثال ، دعونا. ثم تأخذ المعادلة الشكل التالي

مثال 2. حل المعادلة

دعنا نفك الأقواس في الجانب الأيسر من المعادلة:

فيما يلي مصطلحات متشابهة:

نرى أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن. وهكذا سيكون لأي قيمة ذ. على سبيل المثال ، دعونا ذ = 3 .

معادلات الحروف

يمكن أن تحتوي المعادلة ليس فقط على أرقام ذات متغيرات ، ولكن أيضًا على أحرف.

على سبيل المثال ، صيغة إيجاد السرعة هي معادلة حرفية:

تصف هذه المعادلة سرعة الجسم في حركة متسارعة بشكل منتظم.

المهارة المفيدة هي القدرة على التعبير عن أي مكون مدرج في معادلة الحروف. على سبيل المثال ، لتحديد المسافة من المعادلة ، تحتاج إلى التعبير عن المتغير س .

اضرب طرفي المعادلة في ر

المتغيرات على اليمين رتقليل بنسبة ر

في المعادلة الناتجة ، يتم تبادل الأجزاء اليمنى واليسرى:

لقد حصلنا على صيغة إيجاد المسافة التي درسناها سابقًا.

دعنا نحاول تحديد الوقت من المعادلة. للقيام بذلك ، تحتاج إلى التعبير عن المتغير ر .

اضرب طرفي المعادلة في ر

المتغيرات على اليمين رتقليل بنسبة روأعد كتابة ما تبقى لدينا:

في المعادلة الناتجة v × t = sقسم كلا الجزأين إلى الخامس

المتغيرات على اليسار الخامستقليل بنسبة الخامسوأعد كتابة ما تبقى لدينا:

لقد حصلنا على صيغة تحديد الوقت التي درسناها سابقًا.

افترض أن سرعة القطار 50 كم / ساعة

الخامس= 50 كم / ساعة

والمسافة 100 كم

س= 100 كم

ثم تأخذ الرسالة النموذج التالي

من هذه المعادلة يمكنك إيجاد الوقت. للقيام بذلك ، يجب أن تكون قادرًا على التعبير عن المتغير ر. يمكنك استخدام القاعدة لإيجاد قاسم غير معروف عن طريق قسمة المقسوم على حاصل القسمة وبالتالي تحديد قيمة المتغير ر

أو يمكنك استخدام تحويلات متطابقة. أولًا ، اضرب طرفي المعادلة في ر

ثم قسّم كلا الجزأين على 50

مثال 2 x

اطرح من طرفي المعادلة أ

اقسم طرفي المعادلة على ب

أ + ب س = ج، ثم سيكون لدينا حل جاهز. يكفي استبدال القيم الضرورية فيه. تلك القيم التي سيتم استبدالها بالأحرف أ ، ب ، جاتصل المعلمات. والمعادلات بالصيغة أ + ب س = جاتصل المعادلة مع المعلمات. اعتمادًا على المعلمات ، سيتغير الجذر.

حل المعادلة 2 + 4 x= 10. تبدو وكأنها معادلة حرفية أ + ب س = ج. بدلاً من إجراء تحولات متطابقة ، يمكننا استخدام حل جاهز. دعنا نقارن كلا الحلين:

نرى أن الحل الثاني أبسط وأقصر بكثير.

للحل النهائي ، تحتاج إلى إبداء ملاحظة صغيرة. معامل بيجب ألا تكون صفراً (ب ≠ 0)، لأن القسمة على صفر غير مسموح بها.

مثال 3. اعطاء معادلة حرفية. التعبير عن هذه المعادلة x

لنفتح القوسين في كلا جزئي المعادلة

نحن نستخدم نقل الشروط. معلمات تحتوي على متغير x، نقوم بالتجميع على الجانب الأيسر من المعادلة ، والمعلمات الخالية من هذا المتغير - على اليمين.

في الطرف الأيسر ، نخرج العامل x

قسّم كلا الجزأين في تعبير أ-ب

على الجانب الأيسر ، يمكن اختزال البسط والمقام بمقدار أ-ب. لذلك يتم التعبير عن المتغير أخيرًا x

الآن ، إذا صادفنا معادلة بالصيغة أ (س - ج) = ب (س + د)، ثم سيكون لدينا حل جاهز. يكفي استبدال القيم الضرورية فيه.

لنفترض أننا حصلنا على معادلة 4(x - 3) = 2(x+ 4) . يبدو وكأنه معادلة أ (س - ج) = ب (س + د). نحلها بطريقتين: استخدام تحويلات متطابقة واستخدام حل جاهز:

للراحة ، نستخرج من المعادلة 4(x - 3) = 2(x+ 4) قيمه المعامل أ, ب, ج, د . سيسمح لنا ذلك بعدم ارتكاب أخطاء عند استبدال:

كما في المثال السابق ، يجب ألا يساوي المقام هنا صفرًا ( أ - ب 0). إذا صادفنا معادلة للصيغة أ (س - ج) = ب (س + د)فيها المعلمات أو بهي نفسها ، يمكننا القول دون حلها أن هذه المعادلة ليس لها جذور ، لأن الفرق بين الأعداد المتطابقة هو صفر.

على سبيل المثال ، المعادلة 2 (س - 3) = 2 (س + 4)هي معادلة النموذج أ (س - ج) = ب (س + د). في المعادلة 2 (س - 3) = 2 (س + 4)والخيارات أو بنفس الشيء. إذا بدأنا في حلها ، فسنصل إلى استنتاج مفاده أن الجانب الأيسر لن يكون مساويًا للجانب الأيمن:

مثال 4. اعطاء معادلة حرفية. التعبير عن هذه المعادلة x

نحضر الجانب الأيسر من المعادلة إلى قاسم مشترك:

اضرب كلا الطرفين في أ

على الجانب الأيسر xأخرجها من الأقواس

نقسم كلا الجزأين على التعبير (1 - أ)

المعادلات الخطية مع واحد غير معروف

المعادلات التي تم تناولها في هذا الدرس تسمى المعادلات الخطية من الدرجة الأولى مع واحد غير معروف.

إذا أعطيت المعادلة من الدرجة الأولى ، ولا تحتوي على قسمة على المجهول ، ولا تحتوي أيضًا على جذور من المجهول ، فيمكن تسميتها خطية. لم ندرس بعد الدرجات والجذور ، لذا حتى لا نعقد حياتنا ، سوف نفهم كلمة "خطي" على أنها "بسيطة".

انتهى الأمر بمعظم المعادلات التي تم حلها في هذا الدرس إلى أبسط معادلة حيث يجب تقسيم المنتج على عامل معروف. على سبيل المثال ، المعادلة 2 ( x+ 3) = 16. دعونا نحلها.

لنفتح القوسين على الجانب الأيسر من المعادلة ، نحصل على 2 x+ 6 = 16. لننقل المصطلح 6 إلى الجانب الأيمن عن طريق تغيير الإشارة. ثم نحصل على 2 x= 16 - 6. نحسب الجانب الأيمن ، نحصل على 2 x= 10. لتجد x، نقسم حاصل الضرب 10 على العامل المعروف 2. ومن ثم x = 5.

المعادلة 2 ( x+ 3) = 16 خطي. تم تخفيضه إلى المعادلة 2 x= 10 ، لإيجاد الجذر الذي كان من الضروري قسمة المنتج على عامل معروف. هذه المعادلة البسيطة تسمى معادلة خطية من الدرجة الأولى مع واحدة غير معروفة في الشكل الأساسي. كلمة "canonical" مرادفة لكلمات "بسيط" أو "عادي".

تسمى المعادلة الخطية من الدرجة الأولى مع وجود واحد غير معروف في الشكل الأساسي معادلة النموذج الفأس = ب.

معادلتنا 2 x= 10 هي معادلة خطية من الدرجة الأولى مع واحدة غير معروفة في الشكل الأساسي. هذه المعادلة لها الدرجة الأولى ، واحدة غير معروفة ، لا تحتوي على قسمة على المجهول ولا تحتوي على جذور من المجهول ، ويتم تقديمها في شكل أساسي ، أي في أبسط شكل يسهل فيه تحديد القيمة x. بدلا من المعلمات أو بتحتوي معادلتنا على العددين 2 و 10. لكن معادلة مماثلة يمكن أن تحتوي على أرقام أخرى: موجبة أو سالبة أو مساوية للصفر.

إذا كان في معادلة خطية أ= 0 و ب= 0 ، إذن للمعادلة عدد لا نهائي من الجذور. في الواقع ، إذا أهو صفر و بيساوي صفرًا ، ثم المعادلة الخطية فأس= بيأخذ الشكل 0 x= 0. لأي قيمة xالجانب الأيسر سيكون مساويًا للجانب الأيمن.

إذا كان في معادلة خطية أ= 0 و ب≠ 0 ، فإن المعادلة ليس لها جذور. في الواقع ، إذا أهو صفر و بيساوي عددًا غير صفري ، على سبيل المثال الرقم 5 ، ثم المعادلة الفأس = بيأخذ الشكل 0 x= 5. الطرف الأيسر يساوي صفرًا والضلع الأيمن خمسة. والصفر لا يساوي خمسة.

إذا كان في معادلة خطية أ≠ 0 و بيساوي أي رقم ، إذن للمعادلة جذر واحد. يتم تحديده بقسمة المعلمة بلكل معلمة أ

في الواقع ، إذا أيساوي عددًا غير صفري ، لنقل الرقم 3 ، و بيساوي عددًا ما ، لنقل الرقم 6 ، ثم تأخذ المعادلة الشكل.
من هنا.

هناك شكل آخر لكتابة معادلة خطية من الدرجة الأولى مع حالة واحدة غير معروفة. تبدو هكذا: الفأس - ب= 0. هذه هي نفس المعادلة مثل الفأس = ب

هل أعجبك الدرس؟
انضم إلى مجموعة فكونتاكتي الجديدة وابدأ في تلقي إشعارات الدروس الجديدة