أمثلة على تكامل الوظائف المنطقية للكسور. تكامل التوابع الكسرية - دالة كسرية أبسط

في وقت سابق ، ناقشنا الطرق العامة للتكامل. في هذا والأقسام التالية ، سنتحدث عن تكامل فئات معينة من الوظائف بمساعدة التقنيات المدروسة.

تكامل أبسط التوابع الكسرية

ضع في اعتبارك جزءًا لا يتجزأ من النموذج textstyle (int R (x)، dx)، حيث y = R (x) دالة كسرية. يمكن تمثيل أي تعبير منطقي R (x) كـ \ فارك (ف (س)) (س (س))، حيث P (x) و Q (x) متعددو الحدود. إذا كان هذا الكسر غير صحيح ، أي إذا كانت درجة البسط أكبر من درجة المقام أو تساويها ، فيمكن تمثيلها كمجموع كثير الحدود (الجزء الصحيح) وكسر مناسب. لذلك ، يكفي النظر في تكامل الكسور المناسبة.

دعنا نظهر أن تكامل هذه الكسور يقلل من التكامل كسور بسيطة، أي تعبيرات النموذج:

\ mathsf (1)) ~ \ frac (A) (x-a) ؛ \ quad \ mathsf (2)) ~ \ frac (A) ((x-a) ^ n) ؛ \ quad \ mathsf (3)) ~ \ frac ( Ax + B) (x ^ 2 + px + q) ؛ \ quad \ mathsf (4)) ~ \ frac (Ax + B) ((x ^ 2 + px + q) ^ n).

أين أ ، \ ، ب ، \ ، أ ، \ ، ص ، \ ، فهي أرقام حقيقية ، والمربع ثلاثي الحدود x ^ 2 + px + q ليس له جذور حقيقية. تسمى التعبيرات ذات الشكل 1) و 2) كسور من النوع الأول ، وتسمى التعبيرات ذات الشكل 3) و 4) كسور من النوع الثاني.

يتم حساب تكاملات الكسور من النوع الأول مباشرة

\ start (محاذاة) \ mathsf (1)) & ~ \ int \ frac (A) (x-a) \ ، dx = A \ ln | x-a | + C ؛ \\ \ mathsf (2)) & ~ \ int \ frac (أ) ((x-a) ^ n) \ ، dx = A \ int (x-a) ^ (- n) \ ، dx = A \ ، \ frac ((x-a) ^ (- n + 1)) (- n + 1 ) + C ~ (ن = 2،3،4 ، \ نقاط). نهاية (محاذاة)

ضع في اعتبارك حساب التكاملات من كسور من النوع الثاني: \ mathsf (3)) ~ \ int \ frac (Ax + B) (x ^ 2 + px + q) \ ، dx \ ،.

أولاً ، دعنا نلاحظ ذلك

\ int \ frac (dt) (t ^ 2 + a ^ 2) = \ frac (1) (a) \ operatorname (arctg) \ frac (t) (a) + C ، \ qquad \ int \ frac (t \ ، dt) (t ^ 2 + a ^ 2) = \ frac (1) (2) \ ln (t ^ 2 + a ^ 2) + C.

لتقليل حساب التكامل 3) إلى هذين التكاملين ، نقوم بتحويل ثلاثي الحدود المربع x ^ 2 + px + q باستخراج مربع كامل منه:

x ^ 2 + px + q = (\ left (x + \ frac (p) (2) \ right) \^2+ \left(q-\frac{p^2}{4}\right)\!. !}

بما أنه من خلال الافتراض ، فإن هذا ثلاثي الحدود ليس له جذور حقيقية ، إذن ف- \ فارك (ص ^ 2) (4)> 0ويمكننا أن نضع ف- \ فارك (ص ^ 2) (4) = أ ^ 2. الاستبدال x + \ frac (p) (2) = t ، ~ dx = dtيحول التكامل 3) إلى مجموعة خطية من التكاملات المذكورة أعلاه:

\ start (محاذاة) \ int \ frac (Ax + B) (x ^ 2 + px + q) \ ، dx & = \ int \ frac (A \! \ left (t- \ frac (p) (2) \ right ) + B) (t ^ 2 + a ^ 2) \، dt = A \ int \ frac (t \، dt) (t ^ 2 + a ^ 2) + \ left (B- \ frac (Ap) (2 ) \ right) \! \ int \ frac (dt) (t ^ 2 + a ^ 2) = \\ & = \ frac (A) (2) \ ln (t ^ 2 + a ^ 2) + \ frac ( 1) (a) \! \ left (B- \ frac (Ap) (2) \ right) \! \ \ operatorname (arctg) \ frac (t) (a) + C. نهاية (محاذاة)

في الإجابة النهائية ، ما عليك سوى استبدال (t) بـ x + \ frac (p) (2) و (a) بـ \ الجذر التربيعي (q- \ فارك (ص ^ 2) (4)). بما أن t ^ 2 + a ^ 2 = x ^ 2 + px + q ، إذن

\ int \ frac (Ax + B) (x ^ 2 + px + q) \ ، dx = \ frac (A) (2) \ ln (x ^ 2 + px + q) + \ frac (B- \ dfrac ( Ap) (2)) (\ sqrt (q- \ dfrac (p ^ 2) (4))) \ operatorname (arctg) \ frac (x + \ dfrac (p) (2)) (\ sqrt (q- \ dfrac (ص ^ 2) (4))) + ج.

ضع في اعتبارك الحالة \ mathsf (4)) ~ \ int \ frac (Ax + B) ((x ^ 2 + px + q) ^ n) \ ، dx.

كما في الحالة السابقة ، قمنا بتعيين x + \ frac (p) (2) = t. نحن نحصل:

\ int \ frac (Ax + B) ((x ^ 2 + px + q) ^ n) \، dx = A \ int \ frac (t \، dt) ((t ^ 2 + a ^ 2) ^ n) + \ يسار (B- \ frac (Ap) (2) \ right) \! \ int \ frac (dt) ((t ^ 2 + a ^ 2) ^ n) \ ،.

يتم حساب المصطلح الأول على النحو التالي:

A \ int \ frac (t \، dt) ((t ^ 2 + a ^ 2) ^ n) = \ frac (A) (2) \ int (t ^ 2 + a ^ 2) ^ (- n) \ ، د (t ^ 2 + a ^ 2) = \ frac (A) (2) \ frac ((t ^ 2 + a ^ 2) ^ (- n + 1)) (- n + 1) = \ frac ( أ) (2 (1-n) (t ^ 2 + a ^ 2) ^ (n-1)) \ ،.

يتم حساب التكامل الثاني باستخدام الصيغة المتكررة.

مثال 1إحصاء - عد \ int \ frac (3x + 2) (x ^ 2 + 2x + 3) \ ، dx.

المحلول.نملك: س ^ 2 + 2 س + 3 = (س + 1) ^ 2 + 2. دع x + 1 = t. ثم dx = dt و 3 س + 2 = 3 (ر -1) + 2 = 3 ت -1وبالتالي

\ start (محاذاة) \ int \ frac (3x + 2) (x ^ 2 + 2x + 3) \، dx & = \ int \ frac (3t-1) (t ^ 2 + 2) \، dt = \ frac ( 3) (2) \ int \ frac (2t \، dt) (t ^ 2 + 2) - \ int \ frac (dt) (t ^ 2 + (\ sqrt (2)) ^ 2) = \\ & = \ frac (3) (2) \ ln (t ^ 2 + 2) - \ frac (1) (\ sqrt (2)) \ operatorname (arctg) \ frac (t) (\ sqrt (2)) + C = \\ & = \ frac (3) (2) \ ln (x ^ 2 + 2x + 3) - \ frac (1) (\ sqrt (2)) \ operatorname (arctg) \ frac (x + 1) (\ الجذر التربيعي (2)) + ج. نهاية (محاذاة)

مثال 2إحصاء - عد \ int \ frac (x + 2) ((x ^ 2 + 6x + 10) ^ 2) \ ، dx.

المحلول.نملك: س ^ 2 + 6 س + 10 = (س + 3) ^ 2 + 1. دعنا نقدم متغيرًا جديدًا عن طريق ضبط x + 3 = t. ثم dt = dx و x + 2 = t-1. استبدال المتغير تحت علامة التكامل ، نحصل على:

\ start (محاذاة) \ int \ frac (x + 2) ((x ^ 2 + 6x + 10) ^ 2) \ ، dx & = \ int \ frac (t-1) ((t ^ 2 + 1) ^ 2 ) \، dt = \ frac (1) (2) \ int \ frac (2t \، dt) ((t ^ 2 + 1) ^ 2) - \ int \ frac (dt) ((t ^ 2 + 1) ^ 2) = \\ & = - \ frac (1) (2 (t ^ 2 + 1)) - \ int \ frac (dt) ((t ^ 2 + 1) ^ 2) \ ،. نهاية (محاذاة))

هيا نضع I_2 = \ int \ frac (dt) ((t ^ 2 + 1) ^ 2). نملك:

I_2 = \ frac (1) (2) I_1 + \ frac (1) (2) \ frac (t) (t ^ 2 + 1)، لكن I_1 = \ int \ frac (dt) (t ^ 2 + 1) = \ operatorname (arctg) tفي هذا الطريق، I_2 = \ frac (1) (2) \ operatorname (arctg) t + \ frac (t) (2 (t ^ 2 + 1)).

أخيرًا نحصل على:

\ start (محاذاة) \ int \ frac (x + 2) ((x ^ 2 + 6x + 10) ^ 2) \ ، dx & = - \ frac (1) (2 (t ^ 2 + 1)) - \ frac (1) (2) \ operatorname (arctg) t- \ frac (t) (2 (t ^ 2 + 1)) = \\ & = - \ frac (1) (2 (x ^ 2 + 6x + 10) ) - \ frac (1) (2) \ operatorname (arctg) (x + 3) - \ frac (x + 3) (2 (x ^ 2 + 6x + 10)) + C = \\ & = \ frac ( -x-4) (2 (x ^ 2 + 6x + 10)) - \ frac (1) (2) \ operatorname (arctg) (x + 3) + C \ end (محاذاة)

تكامل الكسور الصحيحة

ضع في اعتبارك كسرًا مناسبًا R (x) = \ frac (P (x)) (Q (x))، حيث Q (x) هي كثيرة الحدود من الدرجة n. بدون فقدان التعميم ، يمكننا أن نفترض أن المعامل الرئيسي في Q (x) يساوي 1. في سياق الجبر ، ثبت أن مثل هذه كثيرة الحدود ذات المعاملات الحقيقية يمكن تحليلها في عوامل من الدرجة الأولى والثانية مع معاملات حقيقية :

Q (x) = (x-x_1) ^ (\ alpha) \ ldots (x-x_k) ^ (\ beta) (x ^ 2 + p \، x + q) ^ (\ gamma) \ ldots (x ^ 2 + r \، x + s) ^ (\ دلتا).

حيث x_1، \ ldots، x_k هي جذور حقيقية لكثير الحدود Q (x) و ثلاثي الحدود ليس لها جذور حقيقية. يمكن إثبات أن R (x) يتم تمثيلها كمجموع الكسور البسيطة بالشكل 1) -4):

\ start (محاذاة) R (x) = & \ frac (P (x)) (Q (x)) = \ frac (A_1) ((x-x_1) ^ (\ alpha)) + \ frac (A_2) ( (x-x_1) ^ (\ alpha-1)) + \ ldots + \ frac (A _ (\ alpha)) (x-x_1) \ ، + \\ & + \ ، \ ldots + \ frac (B_1) ((x- x_k) ^ (\ beta)) + \ frac (B_2) ((x-x_k) ^ (\ beta-1)) + \ ldots + \ frac (B _ (\ beta)) (x-x_k) + \ frac (M_1x + N_1) ((x ^ 2 + p \، x + q) ^ (\ gamma)) \، + \\ & + \، \ ldots + \ frac (M _ (\ gamma) + N _ (\ gamma)) (x ^ 2+ p \، x + s) + \ frac (E_1x + F_1) ((x ^ 2 + rx + s) ^ (\ delta)) + \ ldots + \ frac (E _ (\ delta) x + F _ (\ delta )) (x ^ 2 + rx + s) \، \ end (محاذاة)

حيث تتناقص أسس المقامات بالتتابع من \ alpha إلى 1 ، ... ، من \ beta إلى 1 ، من \ gamma إلى 1 ، ... ، من \ delta إلى 1 ، و A_1، \ ldots، F _ (\ delta)- معاملات غير محددة. من أجل العثور على هذه المعاملات ، من الضروري التخلص من المقامات ، وبعد الحصول على المساواة بين اثنين من كثيرات الحدود ، استخدم طريقة المعاملات غير المحددة.

طريقة أخرى لتحديد المعاملات A_1، \ ldots، A _ (\ alpha)، \ ldots، F _ (\ delta)يعتمد على استبدال قيم المتغير x. استبدال أي رقم بدلاً من x في المساواة التي تم الحصول عليها من المساواة (1) بعد القواسم ، نصل إلى معادلة خطية فيما يتعلق بالمعاملات المرغوبة. من خلال استبدال العدد المطلوب من هذه القيم الخاصة للمتغير ، نحصل على نظام معادلات لإيجاد المعاملات. من الأنسب اختيار جذور المقام (الحقيقية والمعقدة) كقيم خاصة للمتغير. في هذه الحالة ، تختفي جميع المصطلحات الموجودة على الجانب الأيمن من المساواة (بمعنى المساواة بين متعددي الحدود) ، مما يجعل من السهل العثور على المعاملات المتبقية. عند استبدال القيم المعقدة ، يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن رقمين مركبين متساويين إذا وفقط إذا كان الجزأين الحقيقي والخيالي متساويين ، على التوالي. لذلك ، من كل مساواة تحتوي على أرقام معقدة ، يتم الحصول على معادلتين.

بعد إيجاد المعاملات غير المحددة ، يبقى حساب تكاملات الكسور البسيطة التي تم الحصول عليها. منذ ذلك الحين عند دمج أبسط الكسور ، كما رأينا ، يتم الحصول على الدوال المنطقية فقط ، والظلمات المستقيمة واللوغاريتمات ، إذن يتم التعبير عن تكامل أي دالة كسرية بدلالة دالة كسرية ، و Arctangents و لوغاريتمات.

مثال 3احسب تكامل كسر كسري سليم \ int \ frac (6x + 1) (x ^ 2 + 2x-3) \ ، dx.

المحلول.نحن نحلل مقام التكامل إلى عوامل:

س ^ 2 + 2 س -3 = (س -1) (س + 3).

نكتب التكامل ونمثله كمجموع من الكسور البسيطة:

\ فارك (6 س + 1) (س ^ 2 + 2 س -3) = \ فارك (أ) (س -1) + \ فارك (ب) (ب + 3) \ ،.

بعد أن حررنا أنفسنا من القواسم في هذه المساواة ، حصلنا على:

6x + 1 = A \ cdot (x + 3) + B \ cdot (x-1) \ ،.

لإيجاد المعاملات ، نستخدم طريقة استبدال القيم الجزئية. لإيجاد المعامل أ نضع س = 1. ثم من المساواة (2) نحصل على 7 = 4A ، حيث A = 7/4. لإيجاد المعامل B ، حددنا x = -3. ثم من المساواة (2) نحصل على -17 = -4B ، حيث B = 17/4.

لذا، \ frac (6x + 1) (x ^ 2 + 2x-3) = \ frac (7) (4) \ cdot \ frac (1) (x-1) + \ frac (17) (4) \ cdot \ frac (1) (x + 3). وسائل،

\ int \ frac (6x + 1) (x ^ 2 + 2x-3) \، dx = \ frac (7) (4) \ int \ frac (dx) (x-1) + \ frac (17) (4) ) \ int \ frac (dx) (x + 3) = \ frac (7) (4) \ ln | x-1 | + \ frac (17) (4) \ ln | x + 3 | + C.

مثال 4إحصاء - عد \ int \ frac (x ^ 4 + 2x ^ 2 + 8x + 5) ((x ^ 2 + 2) (x-1) ^ 2 (x + 2)) \ ، dx.

المحلول.نكتب التكامل ونمثله كمجموع من الكسور البسيطة. المقام يحتوي على العامل x ^ 2 + 2 ، والذي ليس له جذور حقيقية ، فهو يقابل كسر من النوع الثاني: \ فارك (فأس + ب) (س ^ 2 + 2)العامل (x-1) ^ 2 يتوافق مع مجموع كسرين من النوع الأول: \ frac (C) ((x-1) ^ 2) + \ frac (D) (x-1)؛ أخيرًا ، العامل x + 2 يقابل كسرًا واحدًا من النوع الأول \ frac (E) (x + 2). وبالتالي ، سوف نمثل التكامل و كمجموع لأربعة كسور:

\ فارك (س ^ 4 + 2 س ^ 2 + 8 س + 5) ((س ^ 2 + 2) (س -1) ^ 2 (س + 2)) = \ فارك (فأس + ب) (س ^ 2 + 2 ) + \ frac (C) ((x-1) ^ 2) + \ frac (D) (x-1) + \ frac (E) (x + 2) \ ،.

دعونا نتخلص من القواسم في هذه المساواة. نحن نحصل:

\ تبدأ (محاذاة) x ^ 4 + 2x ^ 2 + 8x + 5 & = (Ax + B) (x-1) ^ 2 (x + 2) + C (x ^ 2 + 2) (x + 2) \، + \\ & \ phantom (=) + D (x ^ 2 + 2) (x-1) (x + 2) + E (x ^ 2 + 2) (x-1) ^ 2. \ end (محاذاة)

مقام التكامل له جذران حقيقيان: x = 1 و x = -2. عند استبدال x = 1 بالمساواة (4) ، نحصل على 16 = 9C ، ومنه نجد C = 16/9. عند استبدال x = -2 ، نحصل على 13 = 54E ونحدد E = 13/54 وفقًا لذلك. استبدال القيمة x = i \، \ sqrt (2) (جذر كثير الحدود x ^ 2 + 2) يسمح لنا بالمرور إلى المساواة

4-4 + 8 \، i \، \ sqrt (2) + 5 = (A \، i \، \ sqrt (2) + B) \ cdot (i \، \ sqrt (2) -1) ^ 2 \ cdot (i \، \ sqrt (2) +2).

يتحول إلى:

(10A + 2B) + (2A-5B) \ sqrt (2) \، i = 5 + 8 \ sqrt (2) \، i، من أين 10A + 2B = 5 ، و (2A-5B) \ sqrt (2) = 8 \ sqrt (2).

حل نظام من معادلتين بمتغيرين \ start (الحالات) 10A + 2B = 5 ، \\ 2A-5B = 8 ، \ النهاية (الحالات)نجد: أ = \ فارك (41) (54) ، ~ ب = - \ فارك (35) (27).

يبقى تحديد قيمة المعامل د. للقيام بذلك ، في المساواة (4) نفتح الأقواس ، ونعطي مصطلحات مماثلة ، ثم نقارن المعاملات عند x ^ 4. نحن نحصل:

أ + د + ه = 1 ، أي د = 0.

دعونا نستبدل القيم الموجودة للمعاملات في المساواة (3):

\ frac (x ^ 4 + 2x ^ 2 + 8x + 5) ((x ^ 2 + 2) (x-1) ^ 2 (x + 2)) = \ frac (\ drac (41) (54) \، x- \ dfrac (35) (27)) (x ^ 2 + 2) + \ frac (16) (9) \ frac (1) ((x-1) ^ 2) + \ frac (13) (54) \ فارك (1) (س + 2) \،

ثم ننتقل إلى التكامل:

\ start (محاذاة) \ int \ frac (x ^ 4 + 2x ^ 2 + 8x + 5) ((x ^ 2 + 2) (x-1) ^ 2 (x + 2)) \ ، dx & = \ frac ( 41) (54) \ int \ frac (x \، dx) (x ^ 2 + 2) - \ frac (35) (27) \ int \ frac (dx) (x ^ 2 + 2) + \ frac (16 ) (9) \ int \ frac (dx) ((x-1) ^ 2) + \ frac (13) (54) \ int \ frac (dx) (x + 2) = \\ & = \ frac (41) ) (108) \ ln (x ^ 2 + 2) - \ frac (35) (27 \ sqrt (2)) \ operatorname (arctg) \ frac (x) (\ sqrt (2)) - \ frac (16) (9 (x-1)) + \ frac (13) (54) \ ln | x + 2 | + C. \ end (محاذاة)

تكامل الكسور غير الصحيحة

فليكن من الضروري دمج الوظيفة y = \ frac (f (x)) (g (x))، حيث f (x) و g (x) كثيرات الحدود ، ودرجة كثير الحدود f (x) أكبر من أو تساوي درجة كثير الحدود g (x). في هذه الحالة ، أولاً وقبل كل شيء ، من الضروري تحديد الجزء الصحيح من الكسر غير الصحيح \ frac (f (x)) (g (x))، أي تمثيلها في النموذج

\ frac (f (x)) (g (x)) = s (x) + \ frac (r (x)) (g (x)) \،

حيث s (x) هي كثيرة الحدود من الدرجة تساوي الفرق بين درجات كثيرات الحدود f (x) و g (x) ، و \ frac (r (x)) (g (x))هو كسر صحيح.

إذن لدينا \ int \ frac (f (x)) (g (x)) \ ، dx = \ int s (x) \ ، dx + \ int \ frac (r (x)) (g (x)) \ ، dx \ ، ..

مثال 5احسب تكامل كسر غير فعلي \ int \ frac (x ^ 4-4x ^ 3 + x ^ 2 + 16x-11) ((x-1) (x + 2) (x-3)) \ ، dx.

المحلول.نملك:

\ تبدأ (محاذاة) g (x) & = (x-1) (x + 2) (x-3) = x ^ 3-2x ^ 2-5x + 6 ، \\ f (x) & = x ^ 4 -4x ^ 3 + x ^ 2 + 16x-11. نهاية (محاذاة)

لاستخراج الجزء الصحيح ، نقسم f (x) على g (x): \ frac (f (x)) (g (x)) = x-2 + \ frac (2x ^ 2 + 1) (x ^ 3-2x ^ 2-5x + 6) \ ،.

وسائل، \ int \ frac (x ^ 4-4x ^ 3 + x ^ 2 + 16x-11) ((x-1) (x + 2) (x-3)) \ ، dx = \ int (x-2) dx + \ int \ frac (2x ^ 2 + 1) ((x-1) (x + 2) (x-3)) \ ، dx

نملك: \ int (x-2) dx = \ frac (x ^ 2) (2) -2x + C.

لحساب التكامل \ int \ frac (2x ^ 2 + 1) ((x-1) (x + 2) (x-3)) \ ، dxمطبق ، على النحو الوارد أعلاه ، طريقة المعاملات غير المحددة. بعد الحسابات التي نتركها للقارئ ، نحصل عليها.

تكامل الدوال الكسرية دالة عقلانية أبسط الكسور المنطقية تحلل الكسر الكسري في أبسط الكسور تكامل أبسط الكسور قاعدة عامة لتكامل الكسور النسبية

متعدد الحدود من الدرجة n. دالة كسرية كسرية دالة كسرية هي دالة مساوية لنسبة اثنين من كثيرات الحدود: يسمى الكسر الكسري مناسب إذا كانت درجة البسط أقل من درجة المقام ، أي< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

تحويل الكسر غير الصحيح إلى الصيغة الصحيحة: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 63 x 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

أبسط الكسور المنطقية الصحيحة في النموذج: تسمى أبسط الكسور المنطقية من الأنواع. الفأس أ) ؛ 2 (Nkk ax A k) 04 (2 2 qp qpxx NMx) ؛ 2 ؛ 04 (2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V ،

نظرية تحلل الكسر المنطقي إلى كسور بسيطة: أي كسر منطقي مناسب ، مقامه محسوب إلى عوامل: يمكن تمثيله ، علاوة على ذلك ، بطريقة فريدة كمجموع الكسور البسيطة: s k qxpxxxxxx. Q) () () (22 2 11 2 21) () (x. Q x. P 1 xx A k k xx B) () (2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11) (qxpx Nx. M ss qxpx Nx. M) (

تحليل الكسر المنطقي إلى كسور بسيطة دعنا نوضح صياغة النظرية باستخدام الأمثلة التالية: لإيجاد المعاملات غير المحددة أ ، ب ، ج ، د ... يتم استخدام طريقتين: طريقة مقارنة المعاملات وطريقة الجزئية قيم المتغير. لنلقِ نظرة على الطريقة الأولى بمثال. 3 2) 3) (2 (4 xx x 2 x A 3 3 2 21) 3 () 3 (3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11) 1 (1 xx Nx. M) 1 (3 22 3 × × 2 21 × أ 22 2) 1) (4 (987 × × × 4 ×

تحليل كسر كسري إلى كسور بسيطة يمثل كسرًا كمجموع كسور بسيطة: اختصر أبسط الكسور إلى مقام مشترك. 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx) 52) (1 () 1) (() 52 (2 2 xxx x. CBxxx. A 33252222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

تكامل أبسط الكسور لنجد تكاملات أبسط الكسور المنطقية: لنفكر في تكامل كسور من النوع الثالث باستخدام مثال. dx ax A k dx qpxx NMx 2 axd A) (Cax. Aln) (axdax. A k C k ax. A k

تكامل الكسور البسيطة dx xx x 102 13 2 dx xx x 9) 12 (13 2 dx x x 9) 1 (13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1) 1 (3 2 dt t t 9 23 2 9322 t dtt 9 9 2 3 2 2 td 33 2 t arctg.C t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2110 ln

تكامل الكسور البسيطة تكامل من هذا النوع عن طريق التعويض: يتم اختزاله إلى مجموع تكاملين: يتم حساب التكامل الأول بإدخال t تحت علامة التفاضل. يتم حساب التكامل الثاني باستخدام الصيغة العودية: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk at dt N at dtt M 22122 1221222)) (1 (222321 kkkk atk t k k aat dt

تكامل الكسور البسيطة أ = 1 ؛ ك = 3323) 1 (طن طن طن طن طن طن متري 1 21) 1) (12 (2222322 1 21222 طن طن طن طن وزن طن ثابت) 1 (22 1 2 طن طن طن طن تاركت 2223) 1 (13 (2232332 طن طن طن طن طن طن تاركت 222) 1 (4) 1 (

قاعدة عامة لتكامل الكسور النسبية إذا كان الكسر غير فعلي ، فقم بتمثيله كمجموع كثير الحدود وكسر مناسب. بعد أن حلل مقام الكسر المنطقي المناسب إلى عوامل ، قم بتمثيله كمجموع من الكسور البسيطة ذات المعاملات غير المحددة.ابحث عن المعاملات غير المحددة عن طريق مقارنة المعاملات أو بطريقة القيم الجزئية للمتغير. ادمج كثير الحدود ومجموع الكسور البسيطة الناتج.

مثال لنجلب الكسر إلى الصورة الصحيحة. dx xxx 23 35 2442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2234242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2442 xxx xx xx 23 2 2 2 48 52 5 xxx 5105 23 48 2 xx

مثال تحليل مقام كسر مناسب يمثل الكسر كمجموع الكسور البسيطة إيجاد معاملات غير مؤكدة باستخدام طريقة القيم الجزئية للمتغير xxx xx 23 2 2 48 2 2) 1 (48 xx xx 2) 1 (1 x C x B x A 2 2) 1 () 1 (xx Cxx. Bxx. A 48) 1 () 1 (22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2) 1 (3 1124 ×××

مثال dx xx 2 2) 1 (3 1 124 52 2 2) 1 (3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln

الدالة الكسرية هي جزء من الصورة ، بسطها ومقامها عبارة عن كثيرات حدود أو نتاج كثيرات حدود.

مثال 1 الخطوة 2

.

نقوم بضرب المعاملات غير المحددة بواسطة كثيرات الحدود التي ليست في هذا الكسر الفردي ، ولكنها موجودة في الكسور الأخرى التي تم الحصول عليها:

نفتح الأقواس ونساوي بسط التكامل الأصلي والمستقبل بالتعبير الذي تم الحصول عليه:

في كلا الجزأين من المساواة ، نبحث عن المصطلحات التي لها نفس قوى x ونكوّن نظامًا من المعادلات منها:

.

نلغي كل x ونحصل على نظام معادلات مكافئ:

.

وهكذا ، فإن التوسع النهائي للتكامل و في مجموع الكسور البسيطة:

.

مثال 2 الخطوة 2في الخطوة 1 ، حصلنا على التوسيع التالي للكسر الأصلي في مجموع الكسور البسيطة ذات المعاملات غير المحددة في البسط:

.

نبدأ الآن في البحث عن معاملات غير مؤكدة. للقيام بذلك ، نساوي بسط الكسر الأصلي في تعبير الدالة ببسط التعبير الذي تم الحصول عليه بعد تقليل مجموع الكسور إلى مقام مشترك:

أنت الآن بحاجة إلى إنشاء وحل نظام المعادلات. للقيام بذلك ، نساوي معاملات المتغير بالدرجة المناسبة في بسط التعبير الأصلي للدالة والمعاملات المماثلة في التعبير الذي تم الحصول عليه في الخطوة السابقة:

نحل النظام الناتج:

لذا من هنا

.

مثال 3 الخطوة 2في الخطوة 1 ، حصلنا على التوسيع التالي للكسر الأصلي في مجموع الكسور البسيطة ذات المعاملات غير المحددة في البسط:

نبدأ في البحث عن معاملات غير مؤكدة. للقيام بذلك ، نساوي بسط الكسر الأصلي في تعبير الدالة ببسط التعبير الذي تم الحصول عليه بعد تقليل مجموع الكسور إلى مقام مشترك:

كما في الأمثلة السابقة ، نؤلف نظام معادلات:

نقوم بتقليل x ونحصل على نظام معادلات مكافئ:

عند حل النظام ، نحصل على القيم التالية للمعاملات غير المؤكدة:

نحصل على المفكوك النهائية للتكامل في مجموع الكسور البسيطة:

.

مثال 4 الخطوة 2في الخطوة 1 ، حصلنا على التوسيع التالي للكسر الأصلي في مجموع الكسور البسيطة ذات المعاملات غير المحددة في البسط:

.

كيفية مساواة بسط الكسر الأصلي بالتعبير الموجود في البسط الذي تم الحصول عليه بعد تحليل الكسر إلى مجموع الكسور البسيطة وتقليل هذا المجموع إلى مقام مشترك ، نعلم بالفعل من الأمثلة السابقة. لذلك ، من أجل التحكم فقط ، نقدم نظام المعادلات الناتج:

عند حل النظام ، نحصل على القيم التالية للمعاملات غير المؤكدة:

نحصل على المفكوك النهائية للتكامل في مجموع الكسور البسيطة:

مثال 5 الخطوة 2في الخطوة 1 ، حصلنا على التوسيع التالي للكسر الأصلي في مجموع الكسور البسيطة ذات المعاملات غير المحددة في البسط:

.

نحول هذا المجموع بشكل مستقل إلى مقام مشترك ، ونساوي بسط هذا التعبير في بسط الكسر الأصلي. يجب أن تكون النتيجة نظام المعادلات التالي:

عند حل النظام ، نحصل على القيم التالية للمعاملات غير المؤكدة:

.

نحصل على المفكوك النهائية للتكامل في مجموع الكسور البسيطة:

.

مثال 6 الخطوة 2في الخطوة 1 ، حصلنا على التوسيع التالي للكسر الأصلي في مجموع الكسور البسيطة ذات المعاملات غير المحددة في البسط:

نقوم بنفس الإجراءات بهذا المبلغ كما في الأمثلة السابقة. يجب أن تكون النتيجة نظام المعادلات التالي:

عند حل النظام ، نحصل على القيم التالية للمعاملات غير المؤكدة:

.

نحصل على المفكوك النهائية للتكامل في مجموع الكسور البسيطة:

.

مثال 7 الخطوة 2في الخطوة 1 ، حصلنا على التوسيع التالي للكسر الأصلي في مجموع الكسور البسيطة ذات المعاملات غير المحددة في البسط:

.

بعد الإجراءات المعروفة بالمجموع الناتج ، يجب الحصول على نظام المعادلات التالي:

عند حل النظام ، نحصل على القيم التالية للمعاملات غير المؤكدة:

نحصل على المفكوك النهائية للتكامل في مجموع الكسور البسيطة:

.

المثال 8 الخطوة 2في الخطوة 1 ، حصلنا على التوسيع التالي للكسر الأصلي في مجموع الكسور البسيطة ذات المعاملات غير المحددة في البسط:

.

دعنا نجري بعض التغييرات على الإجراءات التي تم إجراؤها بالفعل على التلقائية للحصول على نظام المعادلات. هناك حيلة مصطنعة تساعد في بعض الحالات على تجنب الحسابات غير الضرورية. بإحضار مجموع الكسور إلى مقام مشترك ، نحصل على بسط هذا التعبير ونعادله في بسط الكسر الأصلي ، نحصل عليه.

"عالم الرياضيات ، مثل الفنان أو الشاعر ، يخلق أنماطًا. وإذا كانت أنماطه أكثر ثباتًا ، فهذا فقط لأنها تتكون من أفكار ... يجب أن تكون أنماط عالم الرياضيات ، تمامًا مثل أنماط الفنان أو الشاعر ، جميلة ؛ يجب أن تتطابق الأفكار ، تمامًا مثل الألوان أو الكلمات. الجمال هو المطلب الأول: لا مكان في العالم للرياضيات القبيحة».

GH هاردي

لوحظ في الفصل الأول أن هناك مشتقات عكسية لوظائف بسيطة إلى حد ما لم يعد من الممكن التعبير عنها من حيث الوظائف الأولية. في هذا الصدد ، تكتسب هذه الفئات من الوظائف أهمية عملية كبيرة ، والتي يمكن القول بالتأكيد أن المشتقات العكسية لها هي وظائف أولية. تشمل هذه الفئة من الوظائف وظائف عقلانية، وهي نسبة اثنين من كثيرات الحدود الجبرية. تؤدي العديد من المشكلات إلى تكامل الكسور المنطقية. لذلك ، من المهم جدًا أن تكون قادرًا على دمج هذه الوظائف.

2.1.1. التوابع المنطقية الكسرية

كسر منطقي(أو دالة منطقية كسرية) هي نسبة اثنين من كثيرات الحدود الجبرية:

أين و هي كثيرات الحدود.

أذكر ذلك متعدد الحدود (متعدد الحدود, دالة منطقية كاملة) نالدرجة التسمى وظيفة النموذج

أين هي أرقام حقيقية. فمثلا،

هي كثيرة الحدود من الدرجة الأولى ؛

هي كثيرة الحدود من الدرجة الرابعة ، إلخ.

يسمى الكسر المنطقي (2.1.1) صحيح، إذا كانت الدرجة أقل من الدرجة ، أي. ن<م، وإلا يسمى الكسر خاطئ - ظلم - يظلم.

يمكن تمثيل أي كسر غير لائق كمجموع كثير الحدود (جزء صحيح) وكسر مناسب (جزء كسري).يمكن اختيار عدد صحيح وأجزاء كسرية لكسر غير لائق وفقًا لقاعدة قسمة كثيرات الحدود على "زاوية".

مثال 2.1.1.حدد العدد الصحيح والجزء الكسري من الكسور المنطقية غير الصحيحة التالية:

أ) ، ب) .

المحلول . أ) باستخدام "ركن" خوارزمية القسمة نحصل عليها

وهكذا نحصل

.

ب) هنا نستخدم أيضًا خوارزمية القسمة "الزاوية":

نتيجة لذلك ، نحصل عليه

.

دعونا نلخص. يمكن بشكل عام تمثيل التكامل غير المحدد لكسر كسري كمجموع تكاملات كثير الحدود وكسر منطقي مناسب. العثور على المشتقات العكسية لكثيرات الحدود ليس بالأمر الصعب. لذلك ، في المستقبل ، سننظر بشكل أساسي في الكسور المنطقية المنتظمة.

2.1.2. أبسط الكسور المنطقية وتكاملها

هناك أربعة أنواع من الكسور المنطقية الصحيحة ، والتي يتم تصنيفها على أنها أبسط الكسور المنطقية (الابتدائية):

3) ,

4) ,

أين هو عدد صحيح ، بمعنى آخر. ثلاثي الحدود مربع ليس له جذور حقيقية.

لا يمثل تكامل أبسط الكسور من النوع الأول والثاني صعوبات كبيرة:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

لنفكر الآن في تكامل أبسط الكسور من النوع الثالث ، ولن نأخذ في الاعتبار كسورًا من النوع الرابع.

نبدأ بتكاملات النموذج

.

يتم حساب هذا التكامل عادةً بأخذ المربع الكامل في المقام. والنتيجة هي جدول لا يتجزأ من النموذج التالي

أو .

مثال 2.1.2.البحث عن التكاملات:

أ) ، ب) .

المحلول . أ) نختار مربعًا كاملاً من ثلاثي الحدود المربع:

من هنا نجد

ب) اختيار المربع الكامل من ثلاثي الحدود المربع ، نحصل على:

في هذا الطريق،

.

للعثور على التكامل

يمكننا استخراج مشتق المقام في البسط وفك التكامل في مجموع تكاملين: أولهما بالتعويض يأتي إلى النموذج

,

والثاني - لما سبق.

مثال 2.1.3.البحث عن التكاملات:

.

المحلول . لاحظ أن . نختار مشتق المقام في البسط:

يتم حساب التكامل الأول باستخدام التعويض :

في التكامل الثاني ، نختار المربع الكامل في المقام

أخيرًا ، وصلنا

2.1.3. توسيع كسر منطقي مناسب
مجموع الكسور البسيطة

أي كسر منطقي مناسب يمكن تمثيلها بشكل فريد كمجموع الكسور البسيطة. للقيام بذلك ، يجب أن يتحلل المقام إلى عوامل. من المعروف من الجبر العالي أن كل كثير الحدود مع معاملات حقيقية

الموضوع: تكامل الكسور النسبية.

انتباه! عند دراسة إحدى الطرق الرئيسية للتكامل - تكامل الكسور المنطقية - من الضروري مراعاة كثيرات الحدود في المجال المعقد للحصول على براهين صارمة. لذلك ، من الضروري الدراسة مقدما بعض خصائص الأعداد المركبة والعمليات عليها.

تكامل أبسط الكسور النسبية.

اذا كان ص(ض) و س(ض) هي كثيرات الحدود في المجال المركب ، إذن هي كسر كسري. يدعي صحيحإذا كانت الدرجة ص(ض) درجة أقل س(ض) ، و خاطئ - ظلم - يظلمإذا كانت الدرجة ص لا تقل درجة س.

يمكن تمثيل أي كسر غير حقيقي على النحو التالي: ,

الفوسفور (ض) = Q (z) S (z) + R (z) ،

أ ص(ض) – كثير الحدود الذي تكون درجته أقل من الدرجة س(ض).

وبالتالي ، يتم تقليل تكامل الكسور المنطقية إلى تكامل كثيرات الحدود ، أي وظائف القدرة ، والكسور المناسبة ، لأنها جزء مناسب.

التعريف 5. الكسور الأبسط (أو الأولية) هي كسور من الأنواع التالية:

1) , 2) , 3) , 4) .

دعنا نتعرف على كيفية دمجها.

3) (تم استكشافه سابقًا).

النظرية 5. يمكن تمثيل أي كسر صحيح كمجموع الكسور البسيطة (بدون دليل).

النتيجة الطبيعية 1. إذا كان كسرًا منطقيًا مناسبًا ، وإذا كانت هناك جذور حقيقية بسيطة من بين جذور كثير الحدود ، فعند توسيع الكسر إلى مجموع الكسور البسيطة ، لن يكون هناك سوى كسور بسيطة من النوع الأول:

مثال 1

النتيجة الطبيعية 2. إذا كان كسرًا منطقيًا مناسبًا ، وإذا كان من بين جذور كثير الحدود جذور حقيقية متعددة فقط ، فعند توسيع الكسر إلى مجموع الكسور البسيطة ، سيكون هناك كسور بسيطة فقط من النوعين الأول والثاني :

مثال 2

النتيجة الطبيعية 3. إذا كان كسرًا منطقيًا مناسبًا ، وإذا كان هناك فقط جذور مترافقة معقدة من بين جذور كثير الحدود ، فعند توسيع الكسر إلى مجموع الكسور البسيطة سيكون هناك فقط كسور بسيطة من النوع الثالث:

مثال 3

نتيجة طبيعية 4. إذا كان كسرًا منطقيًا مناسبًا ، وإذا كان هناك عدة جذور مترافقة معقدة من بين جذور كثير الحدود ، فعند توسيع الكسر إلى مجموع الكسور البسيطة ، سيكون هناك كسور بسيطة فقط من الثالث والرابع الأنواع:

لتحديد المعاملات غير المعروفة في التوسعات أعلاه ، تابع ما يلي. يتم ضرب الجزأين الأيمن والأيسر من التوسيع الذي يحتوي على معاملات غير معروفة من خلال المساواة بين عديدي الحدود. يتم الحصول على معادلات المعاملات المرغوبة منه ، باستخدام ما يلي:

1. المساواة صالحة لأية قيم X (طريقة القيم الجزئية). في هذه الحالة ، يتم الحصول على أي عدد من المعادلات ، أي متر منها يسمح لنا بإيجاد معاملات غير معروفة.

2. تتطابق المعاملات عند نفس قوى X (طريقة المعاملات غير المحددة). في هذه الحالة ، يتم الحصول على نظام m - المعادلات مع m - المجهول ، والتي من خلالها يتم العثور على معاملات غير معروفة.

3. الطريقة المركبة.

مثال 5. فك كسر كسر لأبسطها.

المحلول:

أوجد المعاملين أ وب.

طريقة واحدة - طريقة القيمة الخاصة:

الطريقة الثانية - طريقة المعاملات غير المؤكدة:

إجابه:

تكامل الكسور المنطقية.

نظرية 6. يوجد التكامل غير المحدود لأي كسر عقلاني على أي فترة لا يساوي فيها قاسمه صفرًا ويتم التعبير عنه من حيث الدوال الأولية ، أي الكسور المنطقية واللوغاريتمات والمستقيمات.

دليل - إثبات.

نمثل كسرًا منطقيًا بالشكل: . علاوة على ذلك ، فإن المصطلح الأخير هو كسر مناسب ، ومن خلال النظرية 5 يمكن تمثيله كمجموعة خطية من الكسور البسيطة. وبالتالي ، فإن دمج كسر منطقي يقلل من تكامل كثير الحدود س(x) وأبسط الكسور ، التي تحتوي مشتقاتها العكسية ، كما هو موضح ، على الشكل المشار إليه في النظرية.

تعليق. تتمثل الصعوبة الرئيسية في هذه الحالة في تحلل المقام إلى عوامل ، أي البحث عن جميع جذوره.

مثال 1. أوجد التكامل