أمثلة على حل أنظمة المعادلات التفاضلية بالطرق العددية. الطرق العددية لحل المعادلات التفاضلية

مقدمة

عند حل المشكلات العلمية والهندسية ، غالبًا ما يكون من الضروري وصف أي نظام ديناميكي رياضيًا. من الأفضل القيام بذلك في شكل معادلات تفاضلية ( دو) أو أنظمة المعادلات التفاضلية. في أغلب الأحيان ، تنشأ مثل هذه المشكلة عند حل المشكلات المتعلقة بنمذجة حركية التفاعلات الكيميائية وظواهر النقل المختلفة (الحرارة والكتلة والزخم) - نقل الحرارة ، والخلط ، والتجفيف ، والامتزاز ، عند وصف حركة الجزيئات الكبيرة والميكروية.

في بعض الحالات ، يمكن تحويل المعادلة التفاضلية إلى صيغة يتم فيها التعبير عن المشتق الأعلى صراحةً. يسمى هذا الشكل من الكتابة معادلة تم حلها فيما يتعلق بأعلى مشتق (في هذه الحالة ، أعلى مشتق غائب في الجانب الأيمن من المعادلة):

حل المعادلة التفاضلية العادية هو دالة y (x) التي ، لأي x ، تفي بهذه المعادلة في فترة محددة أو غير محدودة. تسمى عملية حل المعادلة التفاضلية تكامل المعادلة التفاضلية.

تاريخيًا ، الطريقة الأولى والأبسط لحل مشكلة كوشي رقميًا بالنسبة إلى المعادلات التفاضلية الجزئية من الدرجة الأولى هي طريقة أويلر. يعتمد على تقريب المشتق بنسبة الزيادات المحدودة للمتغيرات التابعة (y) والمستقلة (x) بين عقد شبكة موحدة:

حيث y i + 1 هي القيمة المطلوبة للدالة عند النقطة x i + 1.

يمكن تحسين دقة طريقة أويلر إذا استخدمنا صيغة تكامل أكثر دقة لتقريب التكامل: صيغة شبه منحرف.

تبين أن هذه الصيغة ضمنية فيما يتعلق بـ y i + 1 (هذه القيمة موجودة في كلا الجانبين الأيسر والأيمن من التعبير) ، أي أنها معادلة لـ y i + 1 ، والتي يمكن حلها ، على سبيل المثال ، عدديًا ، باستخدام بعض الطرق التكرارية (في مثل هذا الشكل ، يمكن اعتبارها صيغة تكرارية لطريقة التكرار البسيطة).

تكوين عمل الدورة: يتكون عمل الدورة من ثلاثة أجزاء. في الجزء الأول ، وصف موجز للطرق. في الجزء الثاني ، صياغة المشكلة وحلها. في الجزء الثالث - تنفيذ البرمجيات في لغة الحاسوب

الغرض من الدورة التدريبية: دراسة طريقتين لحل المعادلات التفاضلية - طريقة أويلر-كوشي وطريقة أويلر المحسّنة.

1. الجزء النظري

التمايز العددي

المعادلة التفاضلية هي المعادلة التي تحتوي على مشتق واحد أو أكثر. اعتمادًا على عدد المتغيرات المستقلة ، يتم تقسيم المعادلات التفاضلية إلى فئتين.

المعادلات التفاضلية العادية (ODEs)

المعادلات التفاضلية الجزئية.

تسمى المعادلات التفاضلية العادية مثل هذه المعادلات التي تحتوي على واحد أو أكثر من مشتقات الوظيفة المطلوبة. يمكن كتابتها في النموذج

متغير مستقل

أعلى ترتيب مشمول في المعادلة (1) يسمى ترتيب المعادلة التفاضلية.

أبسط (خطي) معادلة ODE هي المعادلة (1) التي تم حلها فيما يتعلق بالمشتق

حل المعادلة التفاضلية (1) هو أي دالة ، بعد استبدالها في المعادلة ، تحولها إلى متطابقة.

تُعرف المشكلة الرئيسية المتعلقة بـ ODE الخطي بمشكلة Kashi:

أوجد حلاً للمعادلة (2) في شكل دالة تحقق الشرط الأولي (3)

هندسيًا ، هذا يعني أنه مطلوب للعثور على منحنى متكامل يمر عبر النقطة) عند استيفاء المساواة (2).

العددية من وجهة نظر مشكلة كاشي تعني: مطلوب بناء جدول قيم الدالة التي تفي بالمعادلة (2) والشرط الأولي (3) على مقطع بخطوة معينة. عادةً ما يُفترض ، بمعنى ، أن الشرط الأولي معطى في الطرف الأيسر من المقطع.

أبسط الطرق العددية لحل المعادلات التفاضلية هي طريقة أويلر. يعتمد على فكرة إنشاء حل للمعادلة التفاضلية بيانياً ، ولكن هذه الطريقة توفر أيضًا طريقة للعثور على الوظيفة المطلوبة في شكل رقمي أو في جدول.

دع المعادلة (2) تعطى مع الشرط الأولي ، أي تم تعيين مشكلة كاشي. لنحل المشكلة التالية أولاً. أوجد بأبسط طريقة القيمة التقريبية للحل في نقطة ما حيث تكون خطوة صغيرة بما فيه الكفاية. تحدد المعادلة (2) مع الشرط الأولي (3) اتجاه ظل المنحنى المتكامل المطلوب عند النقطة ذات الإحداثيات

معادلة الظل لها الشكل

بالانتقال على طول هذا الظل ، نحصل على القيمة التقريبية للحل عند النقطة:

بوجود حل تقريبي عند نقطة ما ، يمكننا تكرار الإجراء الموصوف سابقًا: إنشاء خط مستقيم يمر عبر هذه النقطة بميل ، واستخدامه لإيجاد القيمة التقريبية للحل عند النقطة

. لاحظ أن هذا الخط المستقيم ليس مماسًا لمنحنى التكامل الحقيقي ، نظرًا لأن النقطة غير متاحة لنا ، ومع ذلك ، إذا كانت صغيرة بما يكفي ، فإن القيم التقريبية الناتجة ستكون قريبة من القيم الدقيقة للحل.

استمرارًا لهذه الفكرة ، نقوم ببناء نظام من النقاط المتباعدة بشكل متساوٍ

الحصول على جدول قيم الوظيفة المطلوبة

وفقًا لطريقة أويلر ، يتمثل في التطبيق الدوري للصيغة

الشكل 1. تفسير رسومي لطريقة أويلر

تسمى طرق التكامل العددي للمعادلات التفاضلية ، والتي يتم فيها الحصول على الحلول من عقدة إلى أخرى ، على مراحل. طريقة أويلر هي أبسط تمثيل للطرق خطوة بخطوة. تتمثل إحدى ميزات أي طريقة خطوة بخطوة في أنه ، بدءًا من الخطوة الثانية ، فإن القيمة الأولية في الصيغة (5) هي نفسها تقريبية ، أي أن الخطأ في كل خطوة تالية يزداد بشكل منهجي. الطريقة الأكثر استخدامًا لتقدير دقة الطرق خطوة بخطوة للحل العددي التقريبي لـ ODE هي طريقة المرور المزدوج لجزء معين بخطوة وخطوة

1.1 طريقة أويلر المحسنة

الفكرة الرئيسية لهذه الطريقة: القيمة التالية المحسوبة بالصيغة (5) ستكون أكثر دقة إذا لم يتم حساب قيمة المشتق ، أي ميل الخط المستقيم الذي يحل محل المنحنى المتكامل على المقطع ، على طول الحافة اليسرى (أي عند النقطة) ، ولكن على طول منتصف الجزء. ولكن بما أن قيمة المشتق بين النقطتين غير محسوبة ، فلننتقل إلى الأقسام المزدوجة للمركز ، حيث تكون النقطة ، بينما تأخذ معادلة الخط المستقيم الشكل:

والصيغة (5) تأخذ الشكل

يتم تطبيق الصيغة (7) فقط من أجل ، لذلك ، لا يمكن الحصول على القيمة منها ، لذلك تم العثور عليها باستخدام طريقة أويلر ، بينما للحصول على نتيجة أكثر دقة ، يقومون بذلك: من البداية ، باستخدام الصيغة (5 ) ، أوجد القيمة

(8)

عند نقطة ثم يتم العثور عليها بواسطة الصيغة (7) بخطوة

(9)

بعد العثور على مزيد من الحسابات ل أنتجت بواسطة الصيغة (7)

معمل 1

الطرق العددية للحل

المعادلات التفاضلية العادية (4 ساعات)

عند حل العديد من المشكلات الفيزيائية والهندسية ، يتعين على المرء أن يبحث عن دالة غير معروفة من خلال علاقة معينة بين الوظيفة غير المعروفة ومشتقاتها والمتغيرات المستقلة. هذه النسبة تسمى المعادلة التفاضلية ، وإيجاد دالة تحقق معادلة تفاضلية يسمى حل المعادلة التفاضلية.

المعادلة التفاضلية العادية يسمى المساواة

, (1)

حيث

هو متغير مستقل يتغير في بعض الفترات ، و - وظيفة غير معروفة ذ ( x ) وهي اولا نالمشتقات. اتصل ترتيب المعادلة .

تكمن المشكلة في إيجاد دالة y التي تحقق المساواة (1). علاوة على ذلك ، دون تحديد هذا بشكل منفصل ، سنفترض أن الحل المطلوب يتمتع بدرجة معينة من السلاسة اللازمة لإنشاء طريقة معينة وتطبيقها "الشرعي".

هناك نوعان من المعادلات التفاضلية العادية

المعادلات بدون شروط أولية

المعادلات بشروط أولية.

المعادلات بدون شروط أولية هي معادلة من الشكل (1).

المعادلة مع الشروط الأوليةهي معادلة بالصيغة (1) التي يلزم فيها إيجاد مثل هذه الوظيفة

، والتي بالنسبة للبعض تستوفي الشروط التالية: ،

أولئك. في هذه النقطة

تأخذ الدالة ومشتقاتها الأولى قيمًا محددة مسبقًا.

مشاكل كوشي

عند دراسة طرق حل المعادلات التفاضلية بالطرق التقريبية المهمة الرئيسيةالعد مشكلة كوشي.

فكر في الطريقة الأكثر شيوعًا لحل مشكلة كوشي - طريقة رونج-كوتا. تتيح هذه الطريقة إمكانية إنشاء صيغ لحساب حل تقريبي لأي ترتيب دقة تقريبًا.

دعونا نشتق معادلات طريقة Runge-Kutta من الدرجة الثانية من الدقة. للقيام بذلك ، نقوم بتمثيل الحل كقطعة من سلسلة Taylor ، مع تجاهل المصطلحات بترتيب أعلى من الثاني. ثم القيمة التقريبية للوظيفة المطلوبة عند النقطة x 1 يمكن كتابتها على النحو التالي:

(2)

المشتق الثاني ذ "( x 0 ) يمكن التعبير عنها من حيث مشتق الوظيفة F ( x , ذ ) ومع ذلك ، في طريقة Runge-Kutta ، يتم استخدام الفرق بدلاً من المشتق

اختيار قيم المعلمات بشكل مناسب

ثم يمكن إعادة كتابة (2) على النحو التالي:

ذ 1 = ذ 0 + ح [ β F ( x 0 , ذ 0 ) + α F ( x 0 + γh , ذ 0 + δh )], (3)

أين α , β , γ و δ - بعض المعلمات.

النظر في الجانب الأيمن من (3) كدالة في الحجة ح , دعونا نقسمها في القوى ح :

ذ 1 = ذ 0 +( α + β ) ح F ( x 0 , ذ 0 ) + آه 2 [ γ fx ( x 0 , ذ 0 ) + δ و ذ ( x 0 , ذ 0 )],

وحدد الخيارات α , β , γ و δ بحيث يكون هذا التوسع قريبًا من (2). ومن ثم يتبع ذلك

α + β =1, αγ =0,5, α δ =0,5 F ( x 0 , ذ 0 ).

باستخدام هذه المعادلات ، نعبر عن β , γ و δ عبر المعلمات α , نحن نحصل

ذ 1 = ذ 0 + ح [(1 - α ) F ( x 0 , ذ 0 ) + α F ( x 0 +, ذ 0 + F ( x 0 , ذ 0 )], (4)

0 < α ≤ 1.

الآن إذا بدلاً من ( x 0 , ذ 0 ) في (4) بديل ( x 1 , ذ 1 ) ، نحصل على صيغة للحساب ذ 2 – القيمة التقريبية للوظيفة المطلوبة عند النقطة x 2 .

في الحالة العامة ، يتم تطبيق طريقة Runge-Kutta على قسم تعسفي من المقطع [ x 0 , X ] على ال نالأجزاء ، أي مع درجة متغيرة

× 0 ، × 1 ، ... ، × ن ؛ h i \ u003d x i + 1 - x i، x n \ u003d X. (5)

خيارات α اختر يساوي 1 أو 0.5. دعونا نكتب معادلات الحساب النهائية لطريقة Runge-Kutta من الرتبة الثانية بخطوة متغيرة لـ α =1:

y i + 1 = y i + h i f (x i + ، ذ أنا + و (س ط ، ص ط)) ، (6.1)

أنا = 0, 1,…, ن -1.

و α =0,5:

yi + 1 = yi + ، (6.2)

أنا = 0, 1,…, ن -1.

الصيغ الأكثر استخدامًا لطريقة Runge-Kutta هي صيغ من الدرجة الرابعة من الدقة:

yi + 1 = yi + (ك 1 + 2 ك 2 + 2 ك 3 + ك 4) ،

ك 1 \ u003d و (س أنا ، ص أنا) ، ك 2 \ u003d و (س أنا + ، ذ أنا + ك 1) ، (7)

ل 3 = و (س i + ، ذ أنا + ك 2) ، ك 4 = و (س ط + ح ، ص ط + هك 3).

بالنسبة لطريقة Runge-Kutta ، فإن قاعدة Runge لتقدير الخطأ قابلة للتطبيق. يترك ذ ( x ; ح ) هي القيمة التقريبية للحل عند النقطة x , تم الحصول عليها بالصيغ (6.1) أو (6.2) أو (7) بخطوة ح , أ ص – ترتيب دقة الصيغة المقابلة. ثم الخطأ ص ( ح ) القيم ذ ( x ; ح ) يمكن تقديرها باستخدام القيمة التقريبية ذ ( x ; 2 ح ) حلول النقطة x , تم الحصول عليها بخطوة 2 ح :

(8)

أين ص =2 للصيغ (6.1) و (6.2) و ص =4 لـ (7).

لحل المعادلات التفاضلية من الضروري معرفة قيمة المتغير التابع ومشتقاته لبعض قيم المتغير المستقل. إذا تم تحديد شروط إضافية لقيمة واحدة من المجهول ، أي متغير مستقل ، ثم تسمى هذه المشكلة مشكلة كوشي. إذا تم إعطاء الشروط الأولية عند قيمتين أو أكثر من المتغير المستقل ، فإن المشكلة تسمى مشكلة حدية. عند حل المعادلات التفاضلية من أنواع مختلفة ، يتم حساب الوظيفة التي تريد تحديد قيمها في شكل جدول.

تصنيف الطرق العددية لحل الفروق. Lv. أنواع.

مشكلة كوشي تتكون من خطوة واحدة: طرق أويلر ، طرق رونج-كوتا ؛ - متعدد الخطوات: الطريقة الرئيسية ، طريقة آدمز. مشكلة القيمة الحدية هي طريقة لتقليل مشكلة القيمة الحدية إلى مشكلة كوشي ؛ - طريقة الفروق المحدودة.

عند حل مشكلة كوشي ، فرق. اور. طلب ن أو نظام ديفر. اور. من الدرجة الأولى من معادلات n و n شروط إضافية لحلها. يجب تحديد شروط إضافية لنفس قيمة المتغير المستقل. عند حل مشكلة الحدود ، مكافئ. الترتيب رقم n أو نظام المعادلات n و n شروط إضافية لقيمتين أو أكثر من المتغير المستقل. عند حل مشكلة كوشي ، يتم تحديد الوظيفة المطلوبة بشكل منفصل في شكل جدول مع بعض الخطوات المعطاة . عند تحديد كل قيمة تالية ، يمكنك استخدام معلومات حول نقطة سابقة واحدة. في هذه الحالة ، تسمى الطرق طرق الخطوة الواحدة ، أو يمكنك استخدام معلومات حول عدة نقاط سابقة - طرق متعددة الخطوات.

أور التفاضلية العادية. مشكلة كوشي. طرق خطوة واحدة. طريقة أويلر.

معطى: g (x، y) y + h (x، y) = 0، y = -h (x، y) / g (x، y) = f (x، y)، x 0، y ( س 0) = ص 0. معروف: f (x، y)، x 0، y 0. أوجد الحل المنفصل: x i، y i، i = 0،1،…، n. تعتمد طريقة أويلر على توسيع دالة في سلسلة تايلور حول النقطة × 0. تم وصف الحي بالخطوة h. y (x 0 + h) y (x 0) + hy (x 0) +… + (1). تأخذ طريقة أويلر في الاعتبار فترتين فقط من سلسلة تايلور. دعونا نقدم التدوين. ستتخذ صيغة أويلر الصيغة: y i + 1 = y i + y i، y i = hy (x i) = hf (x i، y i)، y i + 1 = y i + hf (x i، y i) (2) ، أنا = 0،1،2 ... ، س أنا + 1 = س أنا + ح

الصيغة (2) هي صيغة طريقة أويلر البسيطة.

التفسير الهندسي لصيغة أويلر

للحصول على حل عددي ، فإن f-la للماس المار عبر Eq. الظل: y = y (x 0) + y (x 0) (x-x 0) ، x = x 1 ،

y 1 \ u003d y (x 0) + f (x 0، y 0)  (x-x 0) ، لأن

x-x 0 \ u003d h ، ثم y 1 \ u003d y 0 + hf (x 0 ، y 0) ، f (x 0 ، y 0) \ u003d tg £.

طريقة أويلر المعدلة

معطى: y = f (x، y)، y (x 0) = y 0. معروف: f (x، y)، x 0، y 0. أوجد: اعتماد y على x في صورة دالة جدولية منفصلة: x i، y i، i = 0،1،…، n.

تفسير هندسي

1) احسب ظل زاوية الانحدار عند نقطة البداية

tg £ = y (x n، y n) = f (x n، y n)

2) احسب القيمة  y n + 1 on

في نهاية الخطوة وفقًا لصيغة أويلر

 y n + 1 \ u003d y n + f (x n، y n) 3) احسب ظل المنحدر

الظل عند n + 1 نقطة: tg £ = y (x n + 1،  y n + 1) = f (x n + 1،  y n + 1) 4) احسب المتوسط ​​الحسابي للزوايا

المنحدر: tg £ = ½. 5) باستخدام ظل زاوية الميل ، نعيد حساب قيمة الدالة عند n + 1 نقطة: y n + 1 = y n + htg £ = y n + ½h = y n + ½h هي صيغة طريقة أويلر المعدلة . يمكن إثبات أن f-la الناتج يتوافق مع توسع f-ii في سلسلة تايلور ، بما في ذلك المصطلحات (حتى h 2). طريقة Eilnr المعدلة ، على عكس الطريقة البسيطة ، هي طريقة من الدرجة الثانية من الدقة ، منذ ذلك الحين يتناسب الخطأ مع h 2.

تسمى المعادلات التفاضلية العادية مثل هذه المعادلات التي تحتوي على واحد أو أكثر من مشتقات الوظيفة المرغوبة y = y (x). يمكن كتابتها في النموذج

حيث x هو المتغير المستقل.

أعلى رتبة n للمشتق في المعادلة تسمى ترتيب المعادلة التفاضلية.

يمكن تقسيم طرق حل المعادلات التفاضلية العادية إلى المجموعات التالية: رسومية ، تحليلية ، تقريبية وعددية.

تستخدم الأساليب الرسومية الإنشاءات الهندسية.

تم العثور على الطرق التحليلية في سياق المعادلات التفاضلية. بالنسبة للمعادلات من الدرجة الأولى (مع المتغيرات القابلة للفصل ، والمتجانسة ، والخطية ، وما إلى ذلك) ، وكذلك لبعض أنواع المعادلات ذات الترتيب الأعلى (على سبيل المثال ، الخطية ذات المعاملات الثابتة) ، من الممكن الحصول على حلول في شكل صيغ عن طريق التحولات التحليلية.

تستخدم الطرق التقريبية تبسيطًا مختلفًا للمعادلات نفسها عن طريق الرفض المعقول لبعض المصطلحات الواردة فيها ، وكذلك من خلال اختيار خاص لفئات الوظائف المرغوبة.

تعد الأساليب العددية لحل المعادلات التفاضلية حاليًا الأداة الرئيسية في دراسة المشكلات العلمية والتقنية الموصوفة بالمعادلات التفاضلية. في الوقت نفسه ، يجب التأكيد على أن هذه الأساليب فعالة بشكل خاص مع استخدام أجهزة الكمبيوتر الحديثة.

أبسط طريقة عددية لحل مشكلة كوشي الخاصة بـ ODE هي طريقة أويلر. ضع في اعتبارك المعادلة بالقرب من العقد (i = 1،2،3 ، ...) واستبدل المشتق على الجانب الأيسر بالفرق الأيمن. في هذه الحالة ، سيتم استبدال قيم الوظيفة في العقد بقيم وظيفة الشبكة:

التقريب الذي تم الحصول عليه لـ DE هو من الدرجة الأولى ، حيث يُسمح بحدوث خطأ عند الاستبدال بـ.

لاحظ أنه يتبع من المعادلة

لذلك ، فهو اكتشاف تقريبي لقيمة الوظيفة عند نقطة ما باستخدام التوسع في سلسلة تايلور مع رفض شروط الرتب الثانية والأعلى. بمعنى آخر ، يُفترض أن تكون الزيادة في دالة مساوية لتفاضلها.

بافتراض أن i = 0 ، باستخدام العلاقة نجد قيمة دالة الشبكة في:

يتم إعطاء القيمة المطلوبة هنا من خلال الشرط الأولي ، أي

وبالمثل ، يمكن العثور على قيم وظيفة الشبكة في العقد الأخرى:

تسمى الخوارزمية المركبة بطريقة أويلر

الشكل - 19 طريقة أويلر

يوضح الشكل التفسير الهندسي لطريقة أويلر. يتم عرض الخطوتين الأوليين ، أي يتم توضيح حساب وظيفة الشبكة عند النقاط. تصف المنحنيات المتكاملة 0،1،2 الحلول الدقيقة للمعادلة. في هذه الحالة ، يتوافق المنحنى 0 مع الحل الدقيق لمسألة كوشي ، لأنه يمر عبر نقطة البداية A (x 0 ، y 0). يتم الحصول على النقاط B و C كنتيجة للحل العددي لمسألة كوشي بطريقة أويلر. تميز انحرافاتهم عن المنحنى 0 خطأ الطريقة. عند تنفيذ كل خطوة ، نصل في الواقع إلى منحنى متكامل آخر. الجزء AB هو جزء من المماس للمنحنى 0 عند النقطة A ، ويتميز ميله بقيمة المشتق. يظهر الخطأ لأن الزيادة في قيمة الوظيفة أثناء الانتقال من x 0 إلى x 1 يتم استبدالها بزيادة في إحداثيات الظل للمنحنى 0 عند النقطة A. يتم رسم الظل BC بالفعل إلى منحنى متكامل آخر 1 وهكذا ، يؤدي خطأ طريقة أويلر إلى حقيقة أنه في كل خطوة ، ينتقل الحل التقريبي إلى منحنى متكامل آخر.

تعريف معادلة أويلر التفاضلية. تعتبر طرق حلها.

محتوى

معادلة أويلر التفاضلية هي معادلة للصيغة
أ 0 x n y (n) + a 1 x n-1 y (n-1) + ...+ أ ن- 1 س ص ′ + أ ن ص = و (س).

بشكل أكثر عمومية ، يكون لمعادلة أويلر الشكل:
.
يتم تقليل هذه المعادلة إلى صورة أبسط بالتعويض عن t = ax + b ، وهو ما سننظر فيه.

اختزال معادلة أويلر التفاضلية إلى معادلة ذات معاملات ثابتة.

ضع في اعتبارك معادلة أويلر:
(1) .
يتم تقليله إلى معادلة خطية ذات معاملات ثابتة عن طريق الاستبدال:
س = ه ر.
في الواقع ، إذن
;
;
;

;
;
..........................

وهكذا ، تلغي العوامل التي تحتوي على x m. هناك شروط ذات معاملات ثابتة. ومع ذلك ، في الممارسة العملية ، لحل معادلات أويلر ، من الممكن تطبيق طرق لحل DE الخطي مع المعاملات الثابتة دون استخدام التعويض أعلاه.

حل معادلة أويلر المتجانسة

ضع في اعتبارك معادلة أويلر المتجانسة:
(2) .
نبحث عن حل للمعادلة (2) بالصيغة
.
;
;
........................
.
عوّض ب (2) واختزل ب x k. نحصل على المعادلة المميزة:
.
نحلها ونحصل على عدد n من الجذور ، والتي يمكن أن تكون معقدة.

ضع في اعتبارك الجذور الحقيقية. لنفترض أن k i جذرًا متعددًا للتعددية m. تتوافق هذه الجذور m مع حلول m المستقلة خطيًا:
.

ضع في اعتبارك الجذور المعقدة. تظهر في أزواج مع اتحادات معقدة. لنفترض أن k i جذرًا متعددًا للتعددية m. نعبر عن الجذر المركب k i بدلالة الجزأين الحقيقي والتخيلي:
.
تتوافق هذه الجذور m والجذور المترافقة المعقدة m مع 2 محلول مستقلة خطيًا:
;
;
..............................
.

بعد الحصول على حلول مستقلة خطيًا ، نحصل على الحل العام للمعادلة (2):
(3) .

أمثلة

حل المعادلات:


حل الأمثلة>>>

حل معادلة أويلر غير المتجانسة

ضع في اعتبارك معادلة أويلر غير المتجانسة:
.
طريقة تغيير الثوابت (طريقة لاجرانج) قابلة للتطبيق أيضًا على معادلات أويلر.

أولاً ، نحل المعادلة المتجانسة (2) ونحصل على حلها العام (3). ثم نعتبر الثوابت وظائف للمتغير x. اشتق (3) ن - 1 ذات مرة. نحصل على تعبيرات لـ n - 1 مشتقات y بالنسبة إلى x. مع كل تمايز ، فإن المصطلحات التي تحتوي على المشتقات تساوي صفرًا. لذلك نحصل على n - 1 المعادلات المتعلقة بالمشتقات. بعد ذلك ، نجد المشتقة النونية لـ y. نستبدل المشتقات التي تم الحصول عليها في (1) ونحصل على المعادلة رقم n المتعلقة بالمشتقات. من هذه المعادلات نحدد. بعد ذلك ، التكامل ، نحصل على الحل العام للمعادلة (1).

مثال

حل المعادلة:

الحل>>>

معادلة أويلر غير المتجانسة مع جزء خاص غير متجانس

إذا كان الجزء غير المتجانس له شكل معين ، فمن الأسهل الحصول على حل عام من خلال إيجاد حل معين للمعادلة غير المتجانسة. يتضمن هذا الفصل معادلات النموذج:
(4)
,
أين توجد كثيرات الحدود بالدرجات و ، على التوالي.

في هذه الحالة ، من الأسهل إجراء استبدال
,
ويقرر