مبدأ هيرمان أويلر دالمبرت للنقطة المادية. مبدأ دالمبرت للميكانيكا النظرية

تعتمد طرق حل مشاكل الميكانيكا ، التي تم النظر فيها حتى الآن ، على المعادلات التي تتبع إما مباشرة من قوانين نيوتن ، أو من النظريات العامة التي هي نتيجة لهذه القوانين. ومع ذلك ، فإن هذا المسار ليس هو الوحيد. اتضح أنه يمكن الحصول على معادلات الحركة أو شروط التوازن لنظام ميكانيكي بافتراض افتراضات عامة أخرى بدلاً من قوانين نيوتن ، والتي تسمى مبادئ الميكانيكا. في عدد من الحالات ، يتيح تطبيق هذه المبادئ ، كما سنرى ، إيجاد طرق أكثر كفاءة لحل المشكلات المقابلة. في هذا الفصل ، سيتم النظر في أحد المبادئ العامة للميكانيكا ، المسمى مبدأ دالمبرت.

دعونا أولاً نجد تعبيرًا عن المبدأ لنقطة مادية واحدة. دع نظام القوى النشطة يعمل على نقطة مادية بكتلة ، سيتم الإشارة إلى النتيجة من خلال تفاعل الاتصال N (إذا لم تكن النقطة حرة). تحت تأثير كل هذه القوى ، ستتحرك النقطة فيما يتعلق بالإطار المرجعي بالقصور الذاتي مع بعض التسارع أ.

دعونا نقدم في الاعتبار الكمية

بعد القوة. الكمية المتجهية التي تساوي القيمة المطلقة لمنتج كتلة النقطة وتسارعها والموجهة عكس هذا التسارع تسمى قوة القصور الذاتي للنقطة.

ثم يتضح أن حركة نقطة ما لها الخاصية التالية: إذا تمت إضافة قوة القصور الذاتي في أي لحظة إلى القوى النشطة التي تعمل على النقطة ورد فعل الاتصال ، فإن نظام القوى الناتج سيكون متوازن ، أي

يعبر هذا الحكم عن مبدأ دالمبرت بالنسبة للنقطة المادية. من السهل أن نرى أنه مكافئ لقانون نيوتن الثاني والعكس صحيح. في الواقع ، يعطي قانون نيوتن الثاني للنقطة المدروسة ، نقل هنا القيمة m إلى الجانب الأيمن من المساواة مع الأخذ في الاعتبار الترميز (84) ، نصل إلى العلاقة (85). على العكس من ذلك ، نقل القيمة في المعادلة (85) إلى جزء آخر من المعادلة مع مراعاة الترميز (84) ، نحصل على التعبير لقانون نيوتن الثاني.

فكر الآن في نظام ميكانيكي يتكون من نقاط مادية. دعنا نفرد بعض نقاط النظام بالكتلة. تحت تأثير القوى الخارجية والداخلية المطبقة عليها (والتي تشمل كلا من القوى النشطة وردود فعل القيود) ، ستتحرك النقطة فيما يتعلق بالإطار المرجعي بالقصور الذاتي مع بعض التسارع. وعند دخول قوة القصور الذاتي لهذه النقطة ، نحصل على حسب المعادلة (85) ان

أي التي تشكل نظامًا متوازنًا للقوى. بتكرار مثل هذا الاستدلال لكل نقطة من نقاط النظام ، نصل إلى النتيجة التالية ، التي تعبر عن مبدأ دالمبرت للنظام: إذا كان في أي لحظة من الوقت لكل نقطة من نقاط النظام ، بالإضافة إلى الخارجية والقوى الداخلية التي تعمل عليها ، يتم إرفاق قوى القصور الذاتي المقابلة ، ثم يتم موازنة نظام القوى الناتج ويمكن تطبيق جميع معادلات الإحصائيات عليه.

رياضياً ، يتم التعبير عن مبدأ دالمبرت لنظام ما من خلال مساواة المتجهات بالشكل (85) ، والتي تعادل بوضوح معادلات الحركة التفاضلية للنظام (13) التي تم الحصول عليها في الفقرة 106. لذلك ، من دالمبرت من حيث المبدأ ، وكذلك من المعادلات (13) ، يمكن للمرء الحصول على جميع ديناميكيات النظريات العامة.

تكمن أهمية مبدأ دالمبرت في حقيقة أنه عندما يتم تطبيقه بشكل مباشر على مشاكل الديناميكيات ، يتم تجميع معادلات حركة النظام في شكل معادلات توازن معروفة ؛ هذا يجعل نهج حل المشكلات موحدًا وغالبًا ما يبسط العمليات الحسابية المقابلة. بالإضافة إلى ذلك ، بالتزامن مع مبدأ الإزاحة المحتملة ، والتي سيتم النظر فيها في الفصل التالي ، يسمح لنا مبدأ دالمبرت بالحصول على طريقة عامة جديدة لحل مشاكل الديناميات (انظر الفقرة 141).

من المعروف من الإحصائيات أن المجموع الهندسي للقوى في حالة التوازن ومجموع لحظاتها بالنسبة إلى أي مركز O يساوي الصفر ، وكما هو موضح في الفقرة 120 ، هذا صحيح بالنسبة للقوى التي تعمل ليس فقط على جسم صلب ، ولكن أيضًا على أي نظام ميكانيكي متغير.

بعد ذلك ، بناءً على مبدأ دالمبرت ، يجب أن يكون:

دعونا نقدم التدوين:

تمثل الكميات المتجه الرئيسي واللحظة الرئيسية بالنسبة إلى المركز O لنظام قوى القصور الذاتي. نتيجة لذلك ، مع الأخذ في الاعتبار أن المجموع الهندسي للقوى الداخلية ومجموع لحظاتها يساوي صفرًا ، نحصل عليها من التكافؤات (86):

إن تطبيق المعادلات (88) ، التي تنطلق من مبدأ دالمبرت ، يبسط عملية حل المشكلات ، لأن هذه المعادلات لا تحتوي على قوى داخلية. في جوهرها ، المعادلات (88) تعادل المعادلات التي تعبر عن النظريات حول التغير في الزخم واللحظة الرئيسية لزخم النظام ، وتختلف عنها في الشكل فقط.

المعادلات (88) ملائمة بشكل خاص للاستخدام عند دراسة حركة جسم صلب أو نظام أجسام صلبة. من أجل دراسة كاملة لحركة أي نظام متغير ، لن تكون هذه المعادلات كافية ، مثلما لا تكفي معادلات الإحصائيات لدراسة توازن أي نظام ميكانيكي (انظر الفقرة 120).

في الإسقاطات على محاور الإحداثيات ، تعطي المساواة (88) معادلات مماثلة لمعادلات الإحصائيات المقابلة (انظر §§ 16 ، 30). لاستخدام هذه المعادلات في حل المشكلات ، تحتاج إلى معرفة التعبيرات الخاصة بالمتجه الرئيسي والعزم الرئيسي لقوى القصور الذاتي.

في الختام ، يجب التأكيد على أنه عند دراسة الحركة فيما يتعلق بالإطار المرجعي بالقصور الذاتي ، والذي يتم النظر فيه هنا ، يتم إدخال قوى القصور الذاتي فقط عند تطبيق مبدأ دالمبرت لحل المشكلات

مبدأ دالمبرتيتم استخدامه في حل المشكلة الرئيسية الأولى لديناميكيات النقطة غير الحرة ، عندما تكون حركة النقطة والقوى النشطة المؤثرة عليها معروفة ، ويتم العثور على رد الفعل الناشئ للوصلة.

دعونا نكتب المعادلة الأساسية لديناميات النقطة غير الحرة في إطار مرجعي بالقصور الذاتي:

دعنا نعيد كتابة المعادلة بالشكل التالي:

.

دلالة ، نحصل عليها

, (11.27)

حيث يسمى المتجه دالمبرت قوة القصور الذاتي.

بيان المبدأ: في كل لحظة حركة لنقطة مادية غير حرة ، تتم موازنة القوة النشطة ورد فعل الاتصال بواسطة قوة القصور الذاتي من دالمبرت.

من خلال إسقاط معادلة المتجه (11.27) على أي محاور إحداثيات ، سنحصل على معادلات التوازن المقابلة ، والتي يمكننا من خلالها إيجاد تفاعلات غير معروفة.

نضع المعادلة (11.27) على محاور طبيعية:

(11.28)

أين تسمى قوة الطرد المركزي من القصور الذاتي ، والتي يتم توجيهها دائمًا في الاتجاه السلبي للخط الطبيعي الرئيسي ؛ .

ملاحظات:

1). في الواقع ، بصرف النظر عن القوى وأي قوى فيزيائية أخرى ، لا يتم تطبيق أي قوى فيزيائية أخرى على هذه النقطة ، والقوى الثلاث لا تشكل نظامًا متوازنًا من القوى. وبهذا المعنى ، فإن قوة الجمود dalembert هي قوة وهمية تطبق بشكل مشروط على نقطة ما.

2). يجب اعتبار مبدأ دالمبرت أسلوبًا منهجيًا مناسبًا يسمح باختزال مشكلة الديناميات إلى مشكلة إحصائيات.

مثال 1دعونا نحدد رد فعل الاتصال الذي يعمل على الطيار عندما تخرج طائرة تتحرك في طائرة عمودية من رحلة غطس (الشكل 11.5).

يتأثر الطيار بالجاذبية وتفاعل المقعد. دعونا نطبق مبدأ دالمبرت عن طريق إضافة قوة القصور الذاتي لهذه القوى:

(11.29)

لنكتب المعادلة (11.29) في الإسقاطات على الوضع الطبيعي:

(11.30)

أين ص- نصف قطر الدائرة عندما تدخل الطائرة رحلة مستوية ،

السرعة القصوى للطائرة في تلك اللحظة.

من المعادلة (11.30)

(11.31)

مثال 2دعونا الآن نحدد نفس رد الفعل الذي يعمل على الطيار في لحظة الخروج من وضع الصعود (الشكل 11.6).

الحركة النسبية لنقطة مادية

إذا كانت الإطارات المرجعية لا تتحرك بالنسبة للإطار المرجعي بالقصور الذاتي ، أو إذا كانت أصول إحداثياتها تتحرك بشكل غير متساو أو منحني الخطوط ، فإن هذه الأطر المرجعية تكون غير بالقصور الذاتي. في هذه الأطر المرجعية ، البديهيات و 1 و و 2 لم يتم ملاحظتها ، لكن لا يتبع ذلك أن الحركات التي تحدث في الأطر المرجعية بالقصور الذاتي فقط هي التي تمت دراستها في الديناميات. ضع في اعتبارك حركة نقطة مادية في نظام إحداثيات غير قصور ذاتي ، إذا كانت القوى المؤثرة على نقطة المادة معروفة ، وحركة النظام المرجعي غير بالقصور الذاتي معطاة بالنظام المرجعي بالقصور الذاتي. فيما يلي ، سيطلق على الإطار المرجعي بالقصور الذاتي الإطار الثابت ، والإطار غير بالقصور الذاتي ، الإطار المرجعي المتحرك. دع - ناتج القوى النشطة التي تعمل على النقطة ، و - نتيجة تفاعل الروابط ؛ - نظام إحداثيات ثابت ؛ - نظام إحداثيات متحرك.

ضع في اعتبارك حركة نقطة مادية م(الشكل 11.7) ، غير متصل بشكل صارم بنظام الإحداثيات المتحركة ، ولكنه يتحرك بالنسبة إليه. كانت تسمى هذه الحركة لنقطة في علم الحركة نسبيًا ، وكانت تسمى حركة نقطة بالنسبة إلى نظام إحداثيات ثابت مطلقة ، وكانت حركة نظام إحداثيات متحرك تسمى محمولة.

القانون الأساسي للديناميكيات للحركة المطلقة لنقطة مسيبدو

(11.33)

أين التسارع المطلق للنقطة.

استنادًا إلى نظرية إضافة التسريع الحركي (نظرية كوريوليس) ، فإن التسارع المطلق هو مجموع التسارع النسبي ، والمتعدد ، وتسارع كوريوليس

. (11.34)

بالتعويض عن (11.34) ب (11.33) نحصل على

وبعد نقل وإدخال التدوين

(11.35)

أين ؛ المتجه يسمى القوة المحمولة من القصور الذاتي ؛ - قوة كوريوليس من القصور الذاتي.

تعبر المساواة (11.35) عن قانون الحركة النسبية للنقطة. لذلك ، يمكن اعتبار حركة نقطة في إطار مرجعي غير قصور ذاتي كحركة في إطار بالقصور الذاتي ، إذا أضفنا القوى الانتقالية وقوى كوريوليس من القصور الذاتي إلى عدد القوى النشطة التي تعمل على النقطة وردود فعل السندات.

تستند جميع طرق حل مشاكل الديناميكيات التي درسناها حتى الآن إلى المعادلات التي تتبع إما مباشرة من قوانين نيوتن ، أو من النظريات العامة التي هي نتيجة لهذه القوانين. ومع ذلك ، فإن هذا المسار ليس هو الوحيد. اتضح أنه يمكن الحصول على معادلات الحركة أو شروط التوازن لنظام ميكانيكي بافتراض افتراضات عامة أخرى بدلاً من قوانين نيوتن ، والتي تسمى مبادئ الميكانيكا. في عدد من الحالات ، يتيح تطبيق هذه المبادئ ، كما سنرى ، إيجاد طرق أكثر كفاءة لحل المشكلات المقابلة. في هذا الفصل ، سيتم النظر في أحد المبادئ العامة للميكانيكا ، المسمى مبدأ دالمبرت.

افترض أن لدينا نظامًا يتكون من ننقاط مادية. دعنا نفرد بعض نقاط النظام بالكتلة. تحت تأثير القوى الخارجية والداخلية المطبقة عليه (والتي تشمل كلا من القوى النشطة وردود الفعل المقترنة) ، تتلقى النقطة بعض التسارع فيما يتعلق بالإطار المرجعي بالقصور الذاتي.

دعونا نقدم في الاعتبار الكمية

بعد القوة. الكمية المتجهية التي تساوي القيمة المطلقة لمنتج كتلة نقطة ما وتسارعها والموجهة عكس هذا التسارع تسمى قوة القصور الذاتي للنقطة (أحيانًا قوة دالمبرت من القصور الذاتي).

ثم اتضح أن حركة نقطة ما لها الخاصية العامة التالية: إذا أضفنا في كل لحظة قوة القصور الذاتي إلى القوى التي تعمل فعليًا على النقطة ، فسيتم موازنة نظام القوى الناتج ، أي إرادة

.

يعبر هذا التعبير عن مبدأ دالمبرت عن نقطة جوهرية واحدة. من السهل أن نرى أنه مكافئ لقانون نيوتن الثاني والعكس صحيح. في الواقع ، يعطي قانون نيوتن الثاني للنقطة المعنية . نقل المصطلح هنا إلى الجانب الأيمن من المساواة ، نصل إلى العلاقة الأخيرة.

بتكرار الاستدلال أعلاه فيما يتعلق بكل نقطة من نقاط النظام ، نصل إلى النتيجة التالية ، والتي تعبر عن مبدأ دالمبرت للنظام: إذا تم تطبيق قوى الجمود المقابلة في أي وقت على كل نقطة من نقاط النظام ، بالإضافة إلى القوى الخارجية والداخلية التي تعمل فعليًا عليها ، فسيكون نظام القوى الناتج في حالة توازن وجميع معادلات يمكن تطبيق احصائيات عليه.

تكمن أهمية مبدأ دالمبرت في حقيقة أنه عندما يتم تطبيقه بشكل مباشر على مشاكل الديناميكيات ، يتم تجميع معادلات حركة النظام في شكل معادلات توازن معروفة ؛ مما يجعل منهجًا موحدًا لحل المشكلات وعادة ما يبسط بشكل كبير العمليات الحسابية المقابلة. بالإضافة إلى ذلك ، بالتزامن مع مبدأ النزوح المحتمل ، والذي سيتم مناقشته في الفصل التالي ، يسمح لنا مبدأ دالمبرت بالحصول على طريقة عامة جديدة لحل مشاكل الديناميات.

عند تطبيق مبدأ دالمبرت ، يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن القوى الخارجية والداخلية فقط هي التي تعمل على نقطة من نظام ميكانيكي ، تتم دراسة حركته ، والتي تنشأ نتيجة تفاعل نقاط النظام الميكانيكي. نظام مع بعضها البعض ومع الهيئات غير المدرجة في النظام ؛ تحت تأثير هذه القوى ، تتحرك نقاط النظام مع التسارع المقابل. لا تعمل قوى القصور الذاتي ، المذكورة في مبدأ دالمبرت ، على النقاط المتحركة (وإلا فإن هذه النقاط ستكون في حالة راحة أو تتحرك بدون تسارع ، ومن ثم لن تكون هناك قوى خمول نفسها). إن إدخال قوى القصور الذاتي هو مجرد تقنية تسمح لك بتكوين معادلات الديناميكيات باستخدام طرق أبسط للإحصاءات.

من المعروف من الإحصائيات أن المجموع الهندسي للقوى في حالة توازن ومجموع لحظاتها بالنسبة إلى أي مركز اتساوي الصفر ، ووفقًا لمبدأ التصلب ، فإن هذا صحيح بالنسبة للقوى التي تعمل ليس فقط على جسم صلب ، ولكن أيضًا على أي نظام متغير. ثم ، على أساس مبدأ دالمبرت ، يجب أن يكون كذلك.

يجعل مبدأ دالمبرت من الممكن صياغة مشاكل ديناميكيات الأنظمة الميكانيكية باعتبارها مشاكل إستاتيكية. في هذه الحالة ، تُعطى المعادلات التفاضلية الديناميكية للحركة شكل معادلات التوازن. هذه الطريقة تسمى طريقة الحركة .

مبدأ دالمبرت للنقطة المادية: « في كل لحظة من وقت حركة نقطة مادية ، تشكل القوى النشطة التي تعمل فعليًا عليها ، وتفاعلات الروابط وقوة القصور الذاتي المطبقة بشكل مشروط على النقطة نظامًا متوازنًا للقوى»

نقطة قوة الجمود تسمى كمية متجهة لها أبعاد قوة مساوية في القيمة المطلقة لمنتج كتلة نقطة وتسارعها وموجهة عكس متجه التسارع

. (3.38)

بالنظر إلى النظام الميكانيكي كمجموعة من النقاط المادية ، يتأثر كل منها ، وفقًا لمبدأ دالمبرت ، بأنظمة القوى المتوازنة ، لدينا عواقب من هذا المبدأ فيما يتعلق بالنظام. المتجه الرئيسي واللحظة الرئيسية بالنسبة إلى أي مركز من القوى الخارجية المطبقة على النظام وقوى القصور الذاتي لجميع نقاطه تساوي الصفر:

(3.39)

هنا القوى الخارجية هي القوى النشطة وردود فعل الروابط.

الناقل الرئيسي لقوى القصور الذاتيلنظام ميكانيكي يساوي ناتج كتلة النظام وتسارع مركز كتلته ويوجه في الاتجاه المعاكس لهذا التسارع

. (3.40)

اللحظة الرئيسية لقوى الجمودنظام متعلق بمركز تعسفي ايساوي مشتق الوقت من زخمه الزاوي بالنسبة لنفس المركز

. (3.41)

لجسم صلب يدور حول محور ثابت أوز، نجد اللحظة الرئيسية لقوى القصور الذاتي حول هذا المحور

. (3.42)

3.8 عناصر الميكانيكا التحليلية

يتناول قسم "الميكانيكا التحليلية" المبادئ العامة والطرق التحليلية لحل المشكلات في ميكانيكا أنظمة المواد.

3.8.1 الحركات المحتملة للنظام. تصنيف

بعض الروابط

حركات النقطة الممكنة
أي عمليات إزاحة خيالية صغيرة للغاية لها ، تسمح بها القيود المفروضة على النظام ، في نقطة زمنية ثابتة ، تسمى أنظمة ميكانيكية. الدير ، عدد درجات الحرية النظام الميكانيكي هو عدد عمليات الإزاحة الممكنة المستقلة.

تسمى الاتصالات المفروضة على النظام المثالي ، إذا كان مجموع الأعمال الأولية لردود أفعالهم على أي من عمليات الإزاحة المحتملة لنقاط النظام يساوي صفرًا

. (3. 43)

يتم استدعاء الاتصالات التي يتم الاحتفاظ بالقيود المفروضة من قبلهم في أي موضع من النظام الإمتناع . يتم استدعاء العلاقات التي لا تتغير بمرور الوقت ، والتي لا تتضمن معادلاتها الوقت بشكل صريح ثابت . يتم استدعاء الاتصالات التي تحد فقط من إزاحة نقاط النظام هندسي ، والسرعات المحددة حركي . في المستقبل ، سننظر فقط في العلاقات الهندسية وتلك الحركية التي يمكن اختزالها إلى علاقات هندسية عن طريق التكامل.

3.8.2. مبدأ الحركات الممكنة

من أجل توازن نظام ميكانيكي مع تقييد القيود المثالية والثابتة ، من الضروري والكافي

كان مجموع الأعمال الأولية لجميع القوى النشطة المؤثرة عليها ، على أي إزاحة محتملة للنظام ، يساوي صفرًا

. (3.44)

في الإسقاطات على محاور الإحداثيات:

. (3.45)

يتيح لنا مبدأ الإزاحة المحتملة تحديد شروط توازن أي نظام ميكانيكي بشكل عام ، دون مراعاة توازن أجزائه الفردية. في هذه الحالة ، يتم أخذ القوى النشطة المؤثرة على النظام فقط في الاعتبار. لا يتم تضمين تفاعلات غير معروفة للروابط المثالية في هذه الظروف. في الوقت نفسه ، يجعل هذا المبدأ من الممكن تحديد تفاعلات غير معروفة للروابط المثالية من خلال التخلص من هذه الروابط وإدخال ردود أفعالها في عدد القوى النشطة. عندما يتم تجاهل الروابط التي يجب تحديد ردود أفعالها ، يكتسب النظام بالإضافة إلى ذلك العدد المقابل من درجات الحرية.

مثال 1 . أوجد العلاقة بين القوى و جاك ، إذا كان معروفًا أنه مع كل منعطف للمقبض AB = لتر، أفسد معيمتد إلى الحد ح(الشكل 3.3).

قرار

الحركات المحتملة للآلية هي دوران المقبض وحركة الحمل  ح. شرط المساواة إلى الصفر من العمل الأولي للقوات:

رر- سح = 0;

ثم
. منذ ح 0 ، إذن

3.8.3. المعادلة المتغيرة العامة للديناميات

ضع في اعتبارك حركة نظام يتكون من ننقاط. القوى النشطة تعمل على ذلك وتفاعلات السندات .(ك = 1,…,ن) إذا أضفنا إلى القوى المؤثرة قوى القصور الذاتي للنقاط
إذن ، وفقًا لمبدأ دالمبرت ، سيكون نظام القوى الناتج في حالة توازن ، وبالتالي ، فإن التعبير المكتوب على أساس مبدأ النزوح المحتمل (3.44) صالح:

. (3.46)

إذا كانت جميع الاتصالات مثالية ، فإن المجموع الثاني يساوي صفرًا وفي الإسقاطات على محاور الإحداثيات ، ستبدو المساواة (3.46) كما يلي:

المساواة الأخيرة هي معادلة متغيرة عامة للديناميكيات في الإسقاطات على محاور الإحداثيات ، والتي تسمح للشخص بتكوين معادلات تفاضلية للحركة لنظام ميكانيكي.

المعادلة المتغيرة العامة للديناميات هي تعبير رياضي مبدأ دالمبرت لاغرانج: « عندما يكون النظام في حالة حركة ، يخضع للقيود الثابتة والمثالية والمقيدة ، في أي لحظة زمنية معينة ، يكون مجموع الأعمال الأولية لجميع القوى النشطة المطبقة على النظام وقوى القصور الذاتي على أي إزاحة محتملة للنظام هو يساوي الصفر».

مثال 2 . بالنسبة للنظام الميكانيكي (الشكل 3.4) ، الذي يتكون من ثلاث أجسام ، حدد تسارع الحمل 1 وشد الكبل 1-2 إذا: م 1 = 5م; م 2 = 4م; م 3 = 8م; ص 2 = 0,5ص 2 ؛ نصف قطر دوران الكتلة 2 أنا = 1,5ص 2. الأسطوانة 3 عبارة عن قرص متجانس مستمر.

قرار

لنصوّر القوى التي تقوم بعمل أولي على إزاحة محتملة  سالبضائع 1:

نكتب عمليات النزوح المحتملة لجميع الهيئات من خلال الإزاحة المحتملة للحمل 1:

نعبر عن التسارع الخطي والزاوي لجميع الأجسام من حيث التسارع المطلوب للحمل 1 (النسب هي نفسها كما في حالة النزوح المحتمل):

.

المعادلة المتغيرة العامة لهذه المشكلة لها الشكل:

استبدال التعبيرات التي تم الحصول عليها مسبقًا للقوى النشطة ، والقوى بالقصور الذاتي وحالات النزوح المحتملة ، بعد التحولات البسيطة ، نحصل عليها

منذ  س 0 ، إذن ، التعبير الموجود بين قوسين والذي يحتوي على العجلة يساوي صفرًا أ 1 ، أين أ 1 = 5ز/8,25 = 0,606ز.

لتحديد شد الكبل الذي يحمل الحمل ، نحرر الحمل من الكبل ، ونستبدل حركته بالتفاعل المطلوب . تحت تأثير قوى معينة ,والقوة بالقصور الذاتي المطبقة على الحمل
إنه في حالة توازن. لذلك ، ينطبق مبدأ دالمبرت على الحمل (النقطة) المدروس ، أي نكتب ذلك
. من هنا
.

3.8.4. معادلة لاغرانج من النوع الثاني

الإحداثيات المعممة والسرعات المعممة. يتم استدعاء أي معلمات مستقلة بشكل متبادل تحدد بشكل فريد موضع النظام الميكانيكي في الفضاء إحداثيات معممة . هذه الإحداثيات المشار إليها ف 1 ,....فأنا ، يمكن أن يكون لها أي بعد. على وجه الخصوص ، قد تكون الإحداثيات المعممة عبارة عن إزاحة أو زوايا دوران.

بالنسبة للأنظمة قيد الدراسة ، فإن عدد الإحداثيات المعممة يساوي عدد درجات الحرية. موقع كل نقطة في النظام هي وظيفة ذات قيمة واحدة للإحداثيات المعممة

وبالتالي ، يتم تحديد حركة النظام في الإحداثيات المعممة من خلال التبعيات التالية:

تسمى المشتقات الأولى للإحداثيات المعممة سرعات معممة :
.

القوى المعممة.التعبير عن العمل الأولي للقوة في خطوة محتملة
يشبه:

.

نكتب للعمل الأولي لنظام القوى

باستخدام التبعيات التي تم الحصول عليها ، يمكن كتابة هذا التعبير على النحو التالي:

,

أين هي القوة المعممة المقابلة ل أنا- التنسيق المعمم ،

. (3.49)

هكذا، القوة المعممة المقابلة أنا- الإحداثي المعمم ، هو معامل الاختلاف في هذا الإحداثي في ​​التعبير عن مجموع الأعمال الأولية للقوى النشطة على الإزاحة المحتملة للنظام . لحساب القوة المعممة ، من الضروري إبلاغ النظام بالإزاحة المحتملة ، حيث يتغير الإحداثيات المعممة فقط ف أنا. معامل في
وستكون القوة المعممة المرغوبة.

معادلات حركة النظام في الإحداثيات المعممة. دعونا نعطي نظام ميكانيكي مع سدرجات الحرية. بمعرفة القوى المؤثرة عليها ، من الضروري تكوين معادلات تفاضلية للحركة في إحداثيات معممة
. نطبق الإجراء الخاص بتجميع المعادلات التفاضلية للحركة للنظام - معادلات لاغرانج من النوع الثاني - عن طريق القياس باشتقاق هذه المعادلات للحصول على نقطة مادة حرة. نكتب بناءً على قانون نيوتن الثاني

نحصل على تناظرية لهذه المعادلات ، باستخدام تدوين الطاقة الحركية لنقطة مادية ،

مشتق جزئي للطاقة الحركية فيما يتعلق بإسقاط السرعة على المحور
يساوي إسقاط مقدار الحركة على هذا المحور ، أي

للحصول على المعادلات اللازمة ، نحسب المشتقات فيما يتعلق بالوقت:

نظام المعادلات الناتج هو معادلات لاغرانج من النوع الثاني لنقطة مادية.

بالنسبة للنظام الميكانيكي ، فإننا نمثل معادلات لاغرانج من النوع الثاني في شكل معادلات يتم فيها بدلاً من إسقاطات القوى النشطة ص x , ص ذ , ص ضاستخدام القوى المعممة س 1 , س 2 ,...,سط ويأخذ في الاعتبار في الحالة العامة اعتماد الطاقة الحركية على الإحداثيات المعممة.

معادلات لاغرانج من النوع الثاني لنظام ميكانيكي لها الشكل:

. (3.50)

يمكن استخدامها لدراسة حركة أي نظام ميكانيكي مع قيود هندسية ومثالية ومحددة.

مثال 3 . بالنسبة للنظام الميكانيكي (الشكل 3.5) ، البيانات الواردة في المثال السابق ، ارسم معادلة تفاضلية للحركة باستخدام معادلة لاغرانج من النوع الثاني ،

قرار

يتمتع النظام الميكانيكي بدرجة واحدة من الحرية. بالنسبة للإحداثيات المعممة ، نأخذ الحركة الخطية للحمل ف 1 = ق؛ سرعة معممة - . مع وضع ذلك في الاعتبار ، نكتب معادلة لاغرانج من النوع الثاني

.

دعونا نؤلف تعبيرا عن الطاقة الحركية للنظام

.

نعبر عن جميع السرعات الزاوية والخطية من حيث السرعة المعممة:

الآن نحصل

دعونا نحسب القوة المعممة بتكوين تعبير للعمل الأولي على إزاحة محتملة  سكل القوى النشطة. بدون قوى الاحتكاك ، يتم تنفيذ العمل في النظام فقط من خلال جاذبية الحمولة 1
نكتب القوة المعممة عند  س، كمعامل في العمل الابتدائي س 1 = 5ملغ. بعد ذلك نجد

أخيرًا ، سيكون للمعادلة التفاضلية لحركة النظام الشكل:

إذا أخذنا في الاعتبار نظامًا يتكون من عدة نقاط مادية ، يبرز نقطة واحدة محددة بكتلة معروفة ، ثم تحت تأثير القوى الخارجية والداخلية المطبقة عليه ، فإنه يتلقى بعض التسارع بالنسبة للإطار المرجعي بالقصور الذاتي. من بين هذه القوى يمكن أن يكون هناك قوى نشطة وردود فعل اقتران.

إن قوة القصور الذاتي لنقطة ما هي كمية متجهة تساوي في القيمة المطلقة حاصل ضرب كتلة النقطة وتسارعها. يشار إلى هذه القيمة أحيانًا باسم قوة القصور الذاتي ، ويتم توجيهها عكس التسارع. في هذه الحالة ، يتم الكشف عن الخاصية التالية لنقطة متحركة: إذا أضفنا في كل لحظة من الزمن قوة القصور الذاتي إلى القوى التي تعمل فعليًا على النقطة ، فسيتم موازنة نظام القوى الناتج. لذلك من الممكن صياغة مبدأ دالمبرت لنقطة مادية واحدة. يتوافق هذا البيان تمامًا مع قانون نيوتن الثاني.

مبادئ دالمبرت للنظام

إذا كررنا جميع الحجج لكل نقطة في النظام ، فإنها تؤدي إلى الاستنتاج التالي ، الذي يعبر عن مبدأ دالمبرت المصاغ للنظام: إذا طبقنا في أي وقت على كل نقطة في النظام ، بالإضافة إلى القوى الخارجية والداخلية المؤثرة فعليًا ، سيكون هذا النظام في حالة توازن ، لذلك يمكن تطبيق جميع المعادلات المستخدمة في الإحصائيات عليه.

إذا طبقنا مبدأ دالمبرت لحل مشاكل الديناميكيات ، فيمكن عندئذٍ تجميع معادلات حركة النظام في شكل معادلات التوازن المعروفة لنا. يبسط هذا المبدأ العمليات الحسابية بشكل كبير ويجعل منهج حل المشكلات موحدًا.

تطبيق مبدأ دالمبرت

يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن القوى الخارجية والداخلية فقط هي التي تعمل على نقطة متحركة في نظام ميكانيكي ، والتي تنشأ نتيجة تفاعل النقاط فيما بينها ، وكذلك مع الهيئات غير المدرجة في هذا النظام. تتحرك النقاط مع تسارع معين تحت تأثير كل هذه القوى. لا تعمل قوى القصور الذاتي على النقاط المتحركة ، وإلا فإنها ستتحرك دون تسارع أو تكون في حالة راحة.

يتم إدخال قوى القصور الذاتي فقط من أجل تكوين معادلات الديناميات باستخدام طرق أبسط وأكثر ملاءمة للإحصاءات. يؤخذ في الاعتبار أيضًا أن المجموع الهندسي للقوى الداخلية ومجموع لحظاتها يساوي صفرًا. إن استخدام المعادلات التي تتبع مبدأ دالمبرت يجعل عملية حل المشكلات أسهل ، لأن هذه المعادلات لم تعد تحتوي على قوى داخلية.