أبسط المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى أمثلة. المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى

مؤسسة تعليمية "دولة بيلاروسيا

الأكاديمية الزراعية "

قسم الرياضيات العليا

معادلات تفاضلية من الدرجة الأولى

ملخص محاضرة لطلاب المحاسبة

شكل من أشكال التعليم بالمراسلة (NISPO)

جوركي ، 2013

المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى

مفهوم المعادلة التفاضلية. حلول عامة وخاصة

عند دراسة الظواهر المختلفة ، غالبًا ما يكون من غير الممكن العثور على قانون يربط مباشرة المتغير المستقل والوظيفة المرغوبة ، ولكن من الممكن إنشاء اتصال بين الوظيفة المرغوبة ومشتقاتها.

تسمى العلاقة التي تربط المتغير المستقل والوظيفة المطلوبة ومشتقاتها المعادلة التفاضلية :

هنا xهو متغير مستقل ، ذهي الوظيفة المطلوبة ،
هي مشتقات الوظيفة المطلوبة. في هذه الحالة ، تتطلب العلاقة (1) وجود مشتق واحد على الأقل.

ترتيب المعادلة التفاضلية هو ترتيب المشتق الأعلى في المعادلة.

ضع في اعتبارك المعادلة التفاضلية

. (2)

نظرًا لأن هذه المعادلة تتضمن مشتقًا من الدرجة الأولى فقط ، فيتم استدعاؤها هي معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى.

إذا كان من الممكن حل المعادلة (2) فيما يتعلق بالمشتق وكتابتها كـ

, (3)

ثم تسمى هذه المعادلة بالمعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى في الشكل العادي.

في كثير من الحالات ، من المناسب النظر في معادلة النموذج

من اتصل معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى مكتوبة في شكل تفاضلي.

لان
، ثم يمكن كتابة المعادلة (3) كـ
أو
حيث يمكن للمرء الاعتماد
و
. هذا يعني أن المعادلة (3) قد تم تحويلها إلى المعادلة (4).

نكتب المعادلة (4) في الصورة
. ثم
,
,
حيث يمكن للمرء الاعتماد
، بمعنى آخر. يتم الحصول على معادلة بالصيغة (3). وبالتالي ، فإن المعادلتين (3) و (4) متساويتان.

بحل المعادلة التفاضلية (2) أو (3) أي وظيفة تسمى
، والتي عند استبدالها في المعادلة (2) أو (3) ، تحولها إلى متطابقة:

أو
.

تسمى عملية إيجاد جميع حلول المعادلة التفاضلية دمج ، والرسم البياني للحل
تسمى المعادلة التفاضلية منحنى متكامل هذه المعادلة.

إذا تم الحصول على حل المعادلة التفاضلية بشكل ضمني
، ثم يطلق عليه متكامل معادلة تفاضلية.

الحل العام المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى هي عائلة من وظائف النموذج
، اعتمادًا على ثابت تعسفي من، كل منها عبارة عن حل للمعادلة التفاضلية المحددة لأي قيمة مقبولة للثابت التعسفي من. وبالتالي ، فإن المعادلة التفاضلية لها عدد لا حصر له من الحلول.

قرار خاص تسمى المعادلة التفاضلية الحل الذي تم الحصول عليه من صيغة الحل العامة لقيمة محددة للثابت التعسفي من، بما فيها
.

مشكلة كوشي وتفسيرها الهندسي

المعادلة (2) لها عدد لا نهائي من الحلول. من أجل تحديد حل واحد من هذه المجموعة ، والذي يسمى حلًا معينًا ، يجب تحديد بعض الشروط الإضافية.

تسمى مشكلة إيجاد حل معين للمعادلة (2) في ظل ظروف معينة مشكلة كوشي . هذه المشكلة هي واحدة من أهم المشاكل في نظرية المعادلات التفاضلية.

تمت صياغة مشكلة كوشي على النحو التالي: من بين جميع حلول المعادلة (2) أوجد مثل هذا الحل
، حيث الوظيفة
يأخذ قيمة عددية معينة إذا كان المتغير المستقل x يأخذ قيمة عددية معينة ، بمعنى آخر.

,
, (5)

أين دهو مجال الوظيفة
.

المعنى اتصل القيمة الأولية للدالة ، أ – القيمة الأولية للمتغير المستقل . الشرط (5) يسمى الشرط الأولي أو حالة كوشي .

من وجهة نظر هندسية ، يمكن صياغة مشكلة كوشي للمعادلة التفاضلية (2) على النحو التالي: من مجموعة المنحنيات المتكاملة في المعادلة (2) حدد المنحنى الذي يمر عبر نقطة معينة
.

المعادلات التفاضلية ذات المتغيرات المنفصلة

واحدة من أبسط أنواع المعادلات التفاضلية هي معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى لا تحتوي على الوظيفة المطلوبة:

. (6)

بشرط
، نكتب المعادلة في الصورة
أو
. بدمج طرفي المعادلة الأخيرة ، نحصل على:
أو

. (7)

وبالتالي ، فإن (7) هو حل عام للمعادلة (6).

مثال 1 . أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية
.

المحلول . نكتب المعادلة في الصورة
أو
. ندمج كلا الجزأين من المعادلة الناتجة:
,
. دعنا نكتب في النهاية
.

مثال 2 . ابحث عن حل للمعادلة
بشرط
.

المحلول . لنجد الحل العام للمعادلة:
,
,
,
. حسب الشرط
,
. بديل في الحل العام:
أو
. نستبدل القيمة التي تم العثور عليها للثابت التعسفي في صيغة الحل العام:
. هذا هو الحل الخاص للمعادلة التفاضلية التي تفي بالشرط المحدد.

المعادلة

(8)

اتصل معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى لا تحتوي على متغير مستقل . نكتبها في الشكل
أو
. ندمج كلا الجزأين من المعادلة الأخيرة:
أو
- الحل العام للمعادلة (8).

مثال . ابحث عن حل عام للمعادلة
.

المحلول . نكتب هذه المعادلة بالشكل:
أو
. ثم
,
,
,
. في هذا الطريق،
هو الحل العام لهذه المعادلة.

اكتب المعادلة

(9)

متكامل باستخدام فصل المتغيرات. للقيام بذلك ، نكتب المعادلة في الصورة
، وبعد ذلك ، باستخدام عمليات الضرب والقسمة ، نأتي به إلى مثل هذا الشكل بحيث يتضمن جزء واحد فقط وظيفة Xوالتفاضلية dx، وفي الجزء الثاني - وظيفة فيوالتفاضلية دى. للقيام بذلك ، يجب ضرب طرفي المعادلة في dxوتقسم على
. نتيجة لذلك ، نحصل على المعادلة

, (10)

فيها المتغيرات Xو فيفصل. ندمج كلا الجزأين من المعادلة (10):
. العلاقة الناتجة هي التكامل العام للمعادلة (9).

مثال 3 . تكامل المعادلة
.

المحلول . قم بتحويل المعادلة وفصل المتغيرات:
,
. دعنا ندمج:
,
أو هو التكامل العام لهذه المعادلة.
.

دع المعادلة تعطى بالشكل

تسمى هذه المعادلة معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى بمتغيرات قابلة للفصل في شكل متماثل.

لفصل المتغيرات ، يجب قسمة طرفي المعادلة على
:

. (12)

يتم استدعاء المعادلة الناتجة معادلة تفاضلية منفصلة . ندمج المعادلة (12):

.(13)

العلاقة (13) هي جزء لا يتجزأ من المعادلة التفاضلية (11).

مثال 4 . ادمج المعادلة التفاضلية.

المحلول . نكتب المعادلة في الصورة

وقسم كلا الجزأين إلى
,
. المعادلة الناتجة:
هي معادلة متغيرة منفصلة. دعنا ندمجها:

,
,

,
. المساواة الأخيرة هي التكامل العام للمعادلة التفاضلية المعطاة.

مثال 5 . ابحث عن حل معين لمعادلة تفاضلية
، تلبية الشرط
.

المحلول . بشرط
، نكتب المعادلة في الصورة
أو
. دعنا نفصل بين المتغيرات:
. دعنا ندمج هذه المعادلة:
,
,
. العلاقة الناتجة هي التكامل العام لهذه المعادلة. حسب الشرط
. عوّض في التكامل العام وأوجد من:
,من= 1. ثم التعبير
هو حل معين لمعادلة تفاضلية معينة ، مكتوبًا كتكامل معين.

المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى

المعادلة

(14)

اتصل المعادلة التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى . وظيفة غير معروفة
ومشتقاتها تدخل هذه المعادلة خطيًا والوظائف
و
مستمر.

اذا كان
ثم المعادلة

(15)

اتصل متجانسة خطية . اذا كان
، ثم تسمى المعادلة (14) خطي غير متجانس .

لإيجاد حل للمعادلة (14) ، يستخدم المرء عادة طريقة الاستبدال (برنولي) ، وجوهرها على النحو التالي.

سيتم البحث عن حل المعادلة (14) في شكل منتج من وظيفتين

, (16)

أين
و
- بعض الوظائف المستمرة. بديل
ومشتق
في المعادلة (14):

دور الخامسسيتم اختياره بهذه الطريقة الشرط
. ثم
. وبالتالي ، لإيجاد حل للمعادلة (14) ، من الضروري حل نظام المعادلات التفاضلية

المعادلة الأولى للنظام هي معادلة خطية متجانسة ويمكن حلها بطريقة فصل المتغيرات:
,
,
,
,
. كوظيفة
يمكن للمرء أن يأخذ أحد الحلول المعينة للمعادلة المتجانسة ، أي في من=1:
. استبدل بالمعادلة الثانية للنظام:
أو
.ثم
. وهكذا ، فإن الحل العام لمعادلة تفاضلية خطية من الدرجة الأولى له الشكل
.

مثال 6 . حل المعادلة
.

المحلول . سنبحث عن حل المعادلة بالصيغة
. ثم
. استبدل في المعادلة:

أو
. دور الخامساختر بهذه الطريقة المساواة
. ثم
. نحل أول هذه المعادلات بطريقة فصل المتغيرات:
,
,
,
,. دور الخامساستبدل بالمعادلة الثانية:
,
,
,
. الحل العام لهذه المعادلة هو
.

أسئلة لضبط النفس في المعرفة

ما هي المعادلة التفاضلية؟

ما هو ترتيب المعادلة التفاضلية؟

أي معادلة تفاضلية تسمى معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى؟

كيف تتم كتابة معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى في شكل تفاضلي؟

ما هو حل المعادلة التفاضلية؟

ما هو المنحنى المتكامل؟

ما هو الحل العام لمعادلة تفاضلية من الدرجة الأولى؟

ما هو الحل المعين للمعادلة التفاضلية؟

كيف يتم صياغة مسألة كوشي لمعادلة تفاضلية من الدرجة الأولى؟

ما هو التفسير الهندسي لمسألة كوشي؟

كيف يتم كتابة المعادلة التفاضلية بمتغيرات قابلة للفصل في شكل متماثل؟

ما هي المعادلة التي تسمى معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الأولى؟

ما الطريقة التي يمكن استخدامها لحل معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الأولى وما هو جوهر هذه الطريقة؟

مهام للعمل المستقل

حل المعادلات التفاضلية ذات المتغيرات القابلة للفصل:

أ)
؛ ب)
;

في)
؛ ز)
.

2. حل المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى:

أ)
؛ ب)
؛ في)
;

ز)
؛ ه)
.

إما تم حلها بالفعل فيما يتعلق بالمشتق ، أو يمكن حلها فيما يتعلق بالمشتق .

الحل العام للمعادلات التفاضلية من النوع في الفترة X، التي يتم تقديمها ، يمكن العثور عليها من خلال اتخاذ جزء لا يتجزأ من هذه المساواة.

احصل على .

إذا نظرنا إلى خصائص التكامل غير المحدد ، نجد الحل العام المطلوب:

ص = و (س) + ج,

أين و (س)- أحد المشتقات العكسية للوظيفة و (خ)ما بين أثنين X، أ منثابت تعسفي.

يرجى ملاحظة أن الفاصل الزمني في معظم المهام Xلا تشير. هذا يعني أنه يجب إيجاد حل للجميع. xوالتي من أجلها والوظيفة المطلوبة ذ، والمعادلة الأصلية منطقية.

إذا كنت بحاجة إلى حساب حل معين لمعادلة تفاضلية تحقق الشرط الأولي ص (س 0) = ص 0، ثم بعد حساب التكامل العام ص = و (س) + ج، لا يزال من الضروري تحديد قيمة الثابت C = C0باستخدام الشرط الأولي. هذا هو ثابت C = C0تحدد من المعادلة و (س 0) + ج = ص 0، وسيأخذ الحل المعين المطلوب للمعادلة التفاضلية الشكل:

ص = F (س) + C0.

فكر في مثال:

أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية ، وتحقق من صحة النتيجة. لنجد حلاً معينًا لهذه المعادلة يلبي الشرط الأولي.

المحلول:

بعد دمج المعادلة التفاضلية المحددة ، نحصل على:

.

نأخذ هذا التكامل بطريقة التكامل بالأجزاء:

الذي - التي.، هو حل عام للمعادلة التفاضلية.

دعنا نتحقق للتأكد من صحة النتيجة. للقيام بذلك ، نعوض بالحل الذي وجدناه في المعادلة الآتية:

.

هذا هو ، في تتحول المعادلة الأصلية إلى هوية:

لذلك ، تم تحديد الحل العام للمعادلة التفاضلية بشكل صحيح.

الحل الذي توصلنا إليه هو الحل العام للمعادلة التفاضلية لكل قيمة حقيقية للوسيطة x.

يبقى حساب حل معين لـ ODE يفي بالشرط الأولي. بمعنى آخر ، من الضروري حساب قيمة الثابت من، حيث ستكون المساواة صحيحة:

.

.

ثم استبدال ج = 2في الحل العام لـ ODE ، نحصل على حل معين للمعادلة التفاضلية التي تفي بالشرط الأولي:

.

المعادلة التفاضلية العادية يمكن حلها فيما يتعلق بالمشتق عن طريق قسمة جزأين من المعادلة على و (خ). سيكون هذا التحول معادلاً إذا و (خ)لا تذهب إلى الصفر لأي xمن فترة تكامل المعادلة التفاضلية X.

من المحتمل عندما تكون المواقف ، بالنسبة لبعض قيم الحجة x ∈ Xالمهام و (خ)و ز (س)تتحول إلى الصفر في نفس الوقت. لقيم مماثلة xالحل العام للمعادلة التفاضلية هو أي دالة ذالتي تم تعريفها فيها ، لأن .

إذا لبعض قيم الحجة x ∈ Xتم استيفاء الشرط ، مما يعني أنه في هذه الحالة ليس لدى ODE حلول.

لجميع الآخرين xمن الفاصل Xيتم تحديد الحل العام للمعادلة التفاضلية من المعادلة المحولة.

لنلقِ نظرة على الأمثلة:

مثال 1

دعونا نجد الحل العام لـ ODE: .

المحلول.

من خصائص الوظائف الأساسية الأساسية ، من الواضح أن وظيفة اللوغاريتم الطبيعي محددة للقيم غير السالبة للوسيطة ، وبالتالي ، مجال التعبير تسجيل (x + 3)هناك فترة x > -3 . ومن ثم ، فإن المعادلة التفاضلية المعطاة منطقية x > -3 . مع هذه القيم من الحجة ، والتعبير x + 3لا يتلاشى ، لذلك يمكن للمرء حل ODE فيما يتعلق بالمشتق عن طريق قسمة الجزأين على x + 3.

نحن نحصل .

بعد ذلك ، نقوم بدمج المعادلة التفاضلية الناتجة ، التي تم حلها فيما يتعلق بالمشتق: . لأخذ هذا التكامل ، نستخدم طريقة التصنيف تحت علامة التفاضل.

المعادلة التفاضلية العادية تسمى المعادلة التي تربط متغيرًا مستقلاً ، وهي دالة غير معروفة لهذا المتغير ومشتقاته (أو تفاضلاته) من أوامر مختلفة.

ترتيب المعادلة التفاضلية هو ترتيب المشتق الأعلى الموجود فيه.

بالإضافة إلى المعادلات العادية ، يتم أيضًا دراسة المعادلات التفاضلية الجزئية. هذه معادلات تتعلق بالمتغيرات المستقلة ، وهي دالة غير معروفة لهذه المتغيرات ومشتقاتها الجزئية فيما يتعلق بنفس المتغيرات. لكننا سننظر فقط المعادلات التفاضلية العادية وبالتالي فإننا نحذف كلمة "عادية" للإيجاز.

أمثلة على المعادلات التفاضلية:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

المعادلة (1) من الدرجة الرابعة ، والمعادلة (2) من الدرجة الثالثة ، والمعادلتان (3) و (4) من الدرجة الثانية ، والمعادلة (5) من الدرجة الأولى.

المعادلة التفاضلية نلا يجب أن يحتوي النظام بشكل صريح على دالة ، كل مشتقاتها من الأول إلى نالترتيب العاشر ومتغير مستقل. قد لا تحتوي بشكل صريح على مشتقات لبعض الأوامر أو دالة أو متغير مستقل.

على سبيل المثال ، في المعادلة (1) من الواضح أنه لا توجد مشتقات من الرتبتين الثالثة والثانية ، وكذلك الوظائف ؛ في المعادلة (2) - مشتق ودالة من الدرجة الثانية ؛ في المعادلة (4) - متغير مستقل ؛ في المعادلة (5) - دوال. تحتوي المعادلة (3) فقط صراحةً على جميع المشتقات والدالة والمتغير المستقل.

بحل المعادلة التفاضلية أي وظيفة تسمى ص = و (س)، مع استبدال أي في المعادلة ، يتحول إلى متطابقة.

تسمى عملية إيجاد حل للمعادلة التفاضلية دمج.

مثال 1أوجد حلاً للمعادلة التفاضلية.

المحلول. نكتب هذه المعادلة في الصورة. الحل هو إيجاد الدالة بمشتقتها. الوظيفة الأصلية ، كما هو معروف من حساب التفاضل والتكامل ، هي المشتق العكسي لـ ، أي

هذا ما هو عليه حل المعادلة التفاضلية المعطاة . تغيير فيه جسنحصل على حلول مختلفة. اكتشفنا أن هناك عددًا لا حصر له من الحلول لمعادلة تفاضلية من الدرجة الأولى.

الحل العام للمعادلة التفاضلية نالترتيب هو الحل المعبر عنه صراحةً فيما يتعلق بالوظيفة غير المعروفة والاحتواء نثوابت اعتباطية مستقلة ، أي

حل المعادلة التفاضلية في المثال 1 عام.

الحل الجزئي للمعادلة التفاضلية يسمى حلها ، حيث يتم تعيين قيم عددية محددة إلى ثوابت عشوائية.

مثال 2أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية والحل الخاص لها .

المحلول. نقوم بدمج كلا الجزأين من المعادلة بعدد المرات التي يكون فيها ترتيب المعادلة التفاضلية متساويًا.

,

.

نتيجة لذلك ، حصلنا على الحل العام -

بالنظر إلى المعادلة التفاضلية من الدرجة الثالثة.

لنجد الآن حلًا معينًا في ظل الظروف المحددة. للقيام بذلك ، نستبدل قيمها بدلاً من المعاملات العشوائية ونحصل عليها

.

إذا تم ، بالإضافة إلى المعادلة التفاضلية ، إعطاء الشرط الأولي في النموذج ، عندئذٍ تسمى هذه المشكلة مشكلة كوشي . تم العثور على القيم واستبدالها في الحل العام للمعادلة وقيمة الثابت التعسفي ج، ثم حل معين لمعادلة القيمة التي تم العثور عليها ج. هذا هو الحل لمشكلة كوشي.

مثال 3حل مسألة كوشي للمعادلة التفاضلية من المثال 1 تحت الشرط.

المحلول. نعوض في الحل العام بالقيم من الشرط الأولي ذ = 3, x= 1. نحصل

نكتب حل مسألة كوشي للمعادلة التفاضلية المعطاة من الرتبة الأولى:

يتطلب حل المعادلات التفاضلية ، حتى أبسطها ، مهارات جيدة في دمج المشتقات وأخذها ، بما في ذلك الدوال المعقدة. يمكن ملاحظة ذلك في المثال التالي.

مثال 4أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية.

المحلول. تمت كتابة المعادلة في مثل هذا الشكل بحيث يمكن دمج كلا الجانبين على الفور.

.

نطبق طريقة التكامل عن طريق تغيير المتغير (الاستبدال). دعنا إذن.

مطلوب لاتخاذ dxوالآن - انتباه - نقوم بذلك وفقًا لقواعد تمايز دالة معقدة ، منذ ذلك الحين xوهناك وظيفة معقدة ("تفاحة" - استخراج الجذر التربيعي أو ، وهو نفسه - رفع إلى القوة "ثانية واحدة" ، و "اللحم المفروم" - التعبير نفسه تحت الجذر):

نجد التكامل:

العودة إلى المتغير x، نحن نحصل:

.

هذا هو الحل العام لهذه المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى.

لن تكون المهارات من الأقسام السابقة للرياضيات العليا مطلوبة فقط في حل المعادلات التفاضلية ، ولكن أيضًا المهارات من المرحلة الابتدائية ، أي الرياضيات المدرسية. كما ذكرنا سابقًا ، في معادلة تفاضلية لأي ترتيب قد لا يكون هناك متغير مستقل ، أي متغير x. ستساعد المعرفة بالنسب التي لم يتم نسيانها (ومع ذلك ، أي شخص لديه مثل ذلك) من مقعد المدرسة على حل هذه المشكلة. هذا هو المثال التالي.

محتوى المقال

المعادلات التفاضلية.تتم كتابة العديد من القوانين الفيزيائية ، التي تخضع لظواهر معينة ، في شكل معادلة رياضية تعبر عن علاقة معينة بين بعض الكميات. غالبًا ما نتحدث عن العلاقة بين القيم التي تتغير بمرور الوقت ، على سبيل المثال ، تعتمد كفاءة المحرك ، المقاسة بالمسافة التي يمكن أن تقطعها السيارة على لتر واحد من الوقود ، على سرعة السيارة. تحتوي المعادلة المقابلة على وظيفة واحدة أو أكثر ومشتقاتها وتسمى المعادلة التفاضلية. (يتم تحديد معدل تغير المسافة مع الوقت بالسرعة ؛ لذلك ، السرعة مشتق من المسافة ؛ وبالمثل ، فإن التسارع مشتق من السرعة ، لأن التسارع يحدد معدل تغير السرعة مع الوقت.) أهمية المعادلات التفاضلية have للرياضيات وخاصة لتطبيقاتها ، يتم تفسيرها من خلال حقيقة أن دراسة العديد من المشكلات المادية والتقنية يتم تقليلها إلى حل مثل هذه المعادلات. تلعب المعادلات التفاضلية دورًا أساسيًا في العلوم الأخرى ، مثل علم الأحياء والاقتصاد والهندسة الكهربائية ؛ في الواقع ، تنشأ حيثما كانت هناك حاجة إلى وصف كمي (رقمي) للظواهر (طالما يتغير العالم المحيط في الوقت المناسب ، وتتغير الظروف من مكان إلى آخر).

أمثلة.

توفر الأمثلة التالية فهمًا أفضل لكيفية صياغة المشكلات المختلفة من حيث المعادلات التفاضلية.

1) قانون اضمحلال بعض المواد المشعة هو أن معدل التحلل يتناسب مع الكمية المتاحة من هذه المادة. اذا كان xهو مقدار المادة في وقت معين ر، ثم يمكن كتابة هذا القانون على النحو التالي:

أين dx/دهو معدل الاضمحلال ، و كهو ثابت إيجابي يميز المادة المعينة. (تشير علامة الطرح على الجانب الأيمن إلى ذلك xيتناقص مع الوقت علامة الجمع ، التي يتم الإشارة إليها دائمًا عندما لا يتم ذكر العلامة صراحة ، تعني ذلك xيزيد بمرور الوقت.)

2) تحتوي الحاوية مبدئيًا على 10 كجم من الملح المذاب في 100 م 3 من الماء. إذا تم سكب الماء النقي في وعاء بمعدل 1 م 3 في الدقيقة وتم خلطه بالتساوي مع محلول ، ويتدفق المحلول الناتج من الحاوية بنفس السرعة ، فكم سيكون الملح في الحاوية بأي حال النقطة اللاحقة في الوقت المناسب؟ اذا كان x- كمية الملح (بالكيلو جرام) في الحاوية في ذلك الوقت ر، ثم في أي وقت ريحتوي 1 م 3 من المحلول الموجود في الحاوية x/ 100 كغم من الملح. لذا فإن كمية الملح تنخفض بمعدل x/ 100 كجم / دقيقة ، أو

3) دع الكتلة على الجسم ممعلقة من نهاية الربيع ، تعمل قوة الاستعادة بما يتناسب مع مقدار التوتر في الربيع. يترك x- مقدار انحراف الجسم عن وضعية التوازن. ثم ، وفقًا لقانون نيوتن الثاني ، الذي ينص على أن التسارع (المشتق الثاني لـ xفي الوقت المناسب د 2 x/د 2) بما يتناسب مع القوة:

الجانب الأيمن بعلامة ناقص لأن قوة الاستعادة تقلل من امتداد الزنبرك.

4) ينص قانون تبريد الجسم على أن كمية الحرارة في الجسم تتناقص بما يتناسب مع اختلاف درجة الحرارة بين الجسم والبيئة. إذا كان فنجان القهوة المسخن إلى درجة حرارة 90 درجة مئوية في غرفة تبلغ درجة حرارتها 20 درجة مئوية ، إذن

أين تي- درجة حرارة القهوة في ذلك الوقت ر.

5) يدعي وزير خارجية ولاية بليفوسكو أن برنامج التسلح الذي تبناه ليليبوت يجبر بلاده على زيادة الإنفاق العسكري قدر الإمكان. وأدلى وزير خارجية ليليبوت بتصريحات مماثلة. يمكن وصف الموقف الناتج (في أبسط تفسيره) بدقة من خلال معادلتين تفاضليتين. يترك xو ذ- تكلفة تسليح Lilliput و Blefuscu. بافتراض أن Lilliputia تزيد من إنفاقها على التسلح بمعدل يتناسب مع معدل الزيادة في الإنفاق على التسلح في Blefuscu ، والعكس صحيح ، نحصل على:

حيث الأعضاء فأسو - بواسطةوصف الإنفاق العسكري لكل بلد ، كو لثوابت موجبة. (تمت صياغة هذه المشكلة لأول مرة بهذه الطريقة في عام 1939 بواسطة ل. ريتشاردسون).

بعد كتابة المشكلة بلغة المعادلات التفاضلية ، يجب على المرء أن يحاول حلها ، أي إيجاد الكميات التي يتم تضمين معدلات تغيرها في المعادلات. في بعض الأحيان ، يتم العثور على الحلول في شكل صيغ صريحة ، ولكن في كثير من الأحيان يمكن تمثيلها فقط في شكل تقريبي أو الحصول على معلومات نوعية عنها. غالبًا ما يكون من الصعب تحديد ما إذا كان الحل موجودًا على الإطلاق ، ناهيك عن إيجاد حل. جزء مهم من نظرية المعادلات التفاضلية هو ما يسمى "نظريات الوجود" ، والتي تثبت وجود حل لنوع أو آخر من المعادلات التفاضلية.

عادة ما تحتوي الصيغة الرياضية الأصلية لمشكلة فيزيائية على افتراضات مبسطة ؛ يمكن أن يكون معيار المعقولية هو درجة اتساق الحل الرياضي مع الملاحظات المتاحة.

حلول المعادلات التفاضلية.

المعادلة التفاضلية ، على سبيل المثال دى/dx = x/ذ، لا ترضي رقمًا ، ولكنها ترضي دالة ، في هذه الحالة بالذات مثل أن يكون للرسم البياني الخاص بها في أي نقطة ، على سبيل المثال ، عند نقطة ذات إحداثيات (2،3) ، مماسًا بميل يساوي نسبة الإحداثيات ( في مثالنا 2/3). من السهل التحقق مما إذا كان قد تم إنشاء عدد كبير من النقاط وتم فصل جزء قصير مع منحدر مقابل من كل منها. سيكون الحل دالة يلامس رسمها البياني كل نقطة من نقاطها في المقطع المقابل. إذا كان هناك ما يكفي من النقاط والأجزاء ، فيمكننا تحديد مسار منحنيات القرار تقريبًا (ثلاثة منحنيات من هذا القبيل موضحة في الشكل 1). يوجد منحنى حل واحد بالضبط يمر عبر كل نقطة ذرقم 0. كل حل فردي يسمى حل معين للمعادلة التفاضلية. إذا كان من الممكن العثور على صيغة تحتوي على جميع الحلول الخاصة (مع استثناء محتمل لبعض الحلول الخاصة) ، فإننا نقول إنه تم الحصول على حل عام. حل معين هو وظيفة واحدة ، بينما الحل العام هو عائلة كاملة منهم. يعني حل المعادلة التفاضلية إيجاد حل خاص أو عام. في مثالنا ، الحل العام له الشكل ذ 2 – x 2 = ج، أين ج- أي رقم ؛ الحل المعين الذي يمر عبر النقطة (1،1) له الشكل ذ = xويتم الحصول عليها عندما ج= 0 ؛ الحل المعين الذي يمر عبر النقطة (2.1) له الشكل ذ 2 – x 2 = 3. الشرط الذي يتطلب أن يمر منحنى الحل ، على سبيل المثال ، من خلال النقطة (2،1) ، يسمى الشرط الأولي (لأنه يحدد نقطة البداية على منحنى الحل).

يمكن إثبات أنه في المثال (1) الحل العام له الشكل x = م –كيلو طن، أين ج- ثابت يمكن تحديده ، على سبيل المثال ، بالإشارة إلى كمية المادة عند ر= 0. المعادلة من المثال (2) هي حالة خاصة من المعادلة من المثال (1) ، المقابلة ل ك= 1/100. الشرط الأولي x= 10 في ر= 0 يعطي حلاً معينًا x = 10ه –ر/ 100. المعادلة من المثال (4) لها حل عام تي = 70 + م –كيلو طنوحل خاص 70 + 130 - كيلو طن؛ لتحديد القيمة ك، هناك حاجة إلى بيانات إضافية.

المعادلة التفاضلية دى/dx = x/ذتسمى معادلة من الدرجة الأولى ، لأنها تحتوي على المشتق الأول (من المعتاد اعتبار ترتيب المشتق الأعلى المتضمن فيه ترتيبًا لمعادلة تفاضلية). بالنسبة لمعظم (وليس كل) المعادلات التفاضلية من النوع الأول التي تنشأ في الممارسة ، يمر منحنى حل واحد فقط عبر كل نقطة.

هناك عدة أنواع مهمة من المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى التي يمكن حلها في شكل صيغ تحتوي على وظائف أولية فقط - القوى ، الأس ، اللوغاريتمات ، الجيب وجيب التمام ، إلخ. تشمل هذه المعادلات ما يلي.

المعادلات ذات المتغيرات القابلة للفصل.

معادلات النموذج دى/dx = F(x)/ز(ذ) يمكن حلها عن طريق كتابتها في تفاضلات ز(ذ)دى = F(x)dxودمج كلا الجزأين. في أسوأ الحالات ، يمكن تمثيل الحل كتكامل لدوال معروفة. على سبيل المثال ، في حالة المعادلة دى/dx = x/ذنملك F(x) = x, ز(ذ) = ذ. من خلال كتابته في النموذج ydy = xdxوالتكامل ، نحصل عليه ذ 2 = x 2 + ج. تشمل المعادلات ذات المتغيرات القابلة للفصل المعادلات من الأمثلة (1) ، (2) ، (4) (يمكن حلها بالطريقة الموضحة أعلاه).

المعادلات في مجموع الفروق.

إذا كانت المعادلة التفاضلية لها الشكل دى/dx = م(x,ذ)/ن(x,ذ)، أين مو نوظيفتان معينتان ، يمكن تمثيلهما كـ م(x,ذ)dx – ن(x,ذ)دى= 0. إذا كان الجانب الأيسر هو تفاضل بعض الوظائف F(x,ذ) ، ثم يمكن كتابة المعادلة التفاضلية كـ مدافع(x,ذ) = 0 ، وهو ما يعادل المعادلة F(x,ذ) = const. وبالتالي ، فإن منحنيات حل المعادلة هي "خطوط ذات مستويات ثابتة" لوظيفة ما ، أو موضع النقاط التي تحقق المعادلات F(x,ذ) = ج. المعادلة ydy = xdx(الشكل 1) - مع المتغيرات القابلة للفصل ، وهي نفسها - في مجموع الفروق: للتحقق من الأخير ، نكتبه في النموذج ydy – xdx= 0 ، أي د(ذ 2 – x 2) = 0. الوظيفة F(x,ذ) في هذه الحالة يساوي (1/2) ( ذ 2 – x 2) ؛ تظهر بعض خطوط المستوى الثابت في الشكل. واحد.

المعادلات الخطية.

المعادلات الخطية هي معادلات من "الدرجة الأولى" - يتم تضمين الوظيفة غير المعروفة ومشتقاتها في هذه المعادلات في الدرجة الأولى فقط. وهكذا ، فإن المعادلة التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى لها الشكل دى/dx + ص(x) = ف(x)، أين ص(x) و ف(x) هي وظائف تعتمد فقط على x. يمكن دائمًا كتابة حلها باستخدام تكاملات وظائف معروفة. يتم حل العديد من الأنواع الأخرى من المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى باستخدام تقنيات خاصة.

معادلات الرتب الأعلى.

العديد من المعادلات التفاضلية التي يتعامل معها الفيزيائيون هي معادلات من الدرجة الثانية (أي المعادلات التي تحتوي على مشتقات ثانية). مثل ، على سبيل المثال ، معادلة الحركة التوافقية البسيطة من المثال (3) ، م 2 x/د 2 = –ككس. بشكل عام ، يتوقع المرء أن يكون لمعادلة من الدرجة الثانية حلول معينة تفي بشرطين ؛ على سبيل المثال ، قد يطلب المرء أن يمر منحنى الحل عبر نقطة معينة في اتجاه معين. في الحالات التي تحتوي فيها المعادلة التفاضلية على بعض المعلمات (رقم تعتمد قيمته على الظروف) ، توجد حلول من النوع المطلوب فقط لقيم معينة من هذه المعلمة. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك المعادلة م 2 x/د 2 = –ككسونحن نطلب ذلك ذ(0) = ذ(1) = 0. الوظيفة ذє 0 هو بالتأكيد حل ، ولكن إذا كان عددًا صحيحًا مضاعفًا ص، بمعنى آخر. ك = م 2 ن 2 ص 2 ، أين نهو عدد صحيح ، وفي الحقيقة فقط في هذه الحالة هناك حلول أخرى ، وهي: ذ= الخطيئة npx. تسمى قيم المعلمات التي تحتوي المعادلة على حلول خاصة لها بالخصائص أو القيم الذاتية ؛ يلعبون دورًا مهمًا في العديد من المهام.

تمثل معادلة الحركة التوافقية البسيطة فئة مهمة من المعادلات ، وهي المعادلات التفاضلية الخطية ذات المعاملات الثابتة. المعادلة هي مثال أكثر عمومية (أيضًا من الدرجة الثانية)

أين أو بتعطى ثوابت ، F(x) هي وظيفة معينة. يمكن حل هذه المعادلات بطرق مختلفة ، على سبيل المثال ، باستخدام تحويل لابلاس المتكامل. يمكن قول الشيء نفسه عن المعادلات الخطية للطلبات الأعلى ذات المعاملات الثابتة. تلعب المعادلات الخطية ذات المعاملات المتغيرة دورًا مهمًا أيضًا.

المعادلات التفاضلية غير الخطية.

المعادلات التي تحتوي على دوال غير معروفة ومشتقاتها أعلى من الأولى أو بطريقة أكثر تعقيدًا تسمى غير الخطية. في السنوات الأخيرة ، جذبت المزيد والمزيد من الاهتمام. النقطة هي أن المعادلات المادية عادة ما تكون خطية فقط في التقريب الأول ؛ يتطلب التحقيق الأكثر دقة ، كقاعدة عامة ، استخدام المعادلات غير الخطية. بالإضافة إلى ذلك ، فإن العديد من المشاكل هي بطبيعتها غير خطية. نظرًا لأن حلول المعادلات غير الخطية غالبًا ما تكون معقدة للغاية ويصعب تمثيلها باستخدام صيغ بسيطة ، فإن جزءًا كبيرًا من النظرية الحديثة مكرسًا للتحليل النوعي لسلوكهم ، أي تطوير الأساليب التي تجعل من الممكن ، دون حل المعادلات ، قول شيء مهم حول طبيعة الحلول ككل: على سبيل المثال ، أنها كلها محدودة ، أو لها طابع دوري ، أو تعتمد بطريقة معينة على المعاملات.

يمكن إيجاد الحلول التقريبية للمعادلات التفاضلية عدديًا ، لكن هذا يستغرق وقتًا طويلاً. مع ظهور أجهزة الكمبيوتر عالية السرعة ، تم تقليل هذه المرة بشكل كبير ، مما فتح إمكانيات جديدة للحل العددي للعديد من المشكلات التي لم تكن في السابق قابلة لمثل هذا الحل.

نظريات الوجود.

نظرية الوجود هي نظرية تنص على أنه في ظل ظروف معينة ، يكون لمعادلة تفاضلية معينة حل. هناك معادلات تفاضلية ليس لها حلول أو لديها حلول أكثر من المتوقع. الغرض من نظرية الوجود هو إقناعنا بأن معادلة معينة لها حل ، وفي أغلب الأحيان للتأكد من أن لديها حلًا واحدًا بالضبط من النوع المطلوب. على سبيل المثال ، المعادلة التي واجهناها بالفعل دى/dx = –2ذلديه حل واحد بالضبط يمر عبر كل نقطة من المستوى ( x,ذ) ، وبما أننا وجدنا بالفعل أحد هذه الحلول ، فقد حللنا هذه المعادلة تمامًا. من ناحية أخرى ، فإن المعادلة ( دى/dx) 2 = 1 – ذ 2 له العديد من الحلول. من بينها مباشرة ذ = 1, ذ= –1 والمنحنيات ذ= الخطيئة ( x + ج). قد يتكون الحل من عدة أجزاء من هذه الخطوط والمنحنيات المستقيمة ، ويمر بعضها ببعض عند نقاط التلامس (الشكل 2).

المعادلات التفاضلية الجزئية.

المعادلة التفاضلية العادية هي بيان حول مشتق دالة غير معروفة لمتغير واحد. تحتوي المعادلة التفاضلية الجزئية على دالة من متغيرين أو أكثر ومشتقات هذه الوظيفة في متغيرين مختلفين على الأقل.

في الفيزياء ، أمثلة هذه المعادلات هي معادلة لابلاس

X ، ذ) داخل الدائرة إذا كانت القيم شترد في كل نقطة من الدائرة المحيطة. نظرًا لأن المشكلات التي تحتوي على أكثر من متغير في الفيزياء هي القاعدة وليست الاستثناء ، فمن السهل تخيل مدى اتساع موضوع نظرية المعادلات التفاضلية الجزئية.

في بعض مشاكل الفيزياء ، لا يمكن إنشاء علاقة مباشرة بين الكميات التي تصف العملية. ولكن هناك إمكانية للحصول على مساواة تحتوي على مشتقات الوظائف قيد الدراسة. هذه هي الطريقة التي تنشأ بها المعادلات التفاضلية والحاجة إلى حلها لإيجاد دالة غير معروفة.

هذه المقالة مخصصة لأولئك الذين يواجهون مشكلة حل معادلة تفاضلية تكون فيها الوظيفة غير المعروفة دالة لمتغير واحد. تم بناء النظرية بطريقة تتيح لك القيام بعملك مع عدم فهم المعادلات التفاضلية.

يرتبط كل نوع من المعادلات التفاضلية بطريقة الحل مع شرح مفصل وحلول لأمثلة ومشكلات نموذجية. عليك فقط تحديد نوع المعادلة التفاضلية لمشكلتك ، والعثور على مثال مشابه تم تحليله وتنفيذ إجراءات مماثلة.

لحل المعادلات التفاضلية بنجاح ، ستحتاج أيضًا إلى القدرة على إيجاد مجموعات من المشتقات العكسية (تكاملات غير محددة) من وظائف مختلفة. إذا لزم الأمر ، نوصي بالرجوع إلى القسم.

أولاً ، ضع في اعتبارك أنواع المعادلات التفاضلية العادية من الدرجة الأولى التي يمكن حلها فيما يتعلق بالمشتق ، ثم ننتقل إلى المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية ، ثم سنركز على المعادلات ذات الترتيب الأعلى وننتهي من أنظمة المعادلات التفاضلية.

تذكر أنه إذا كانت y دالة في المتغير x.

المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى.

أبسط المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى للصيغة.

دعونا نكتب العديد من الأمثلة على هذا النوع من DE .

المعادلات التفاضلية يمكن حلها فيما يتعلق بالمشتق عن طريق قسمة طرفي المساواة على f (x). في هذه الحالة ، نصل إلى المعادلة التي ستكون مكافئة للمعادلة الأصلية لـ f (x) ≠ 0. ومن الأمثلة على مثل هذه المعادلات الخارجية.

إذا كانت هناك قيم للوسيطة x حيث تتلاشى الدالتان f (x) و g (x) في نفس الوقت ، فستظهر حلول إضافية. حلول إضافية للمعادلة نظرًا لأن x هي أي وظائف محددة لقيم الوسيطة هذه. أمثلة على هذه المعادلات التفاضلية.

المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية.

المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة.

LODE ذو المعاملات الثابتة هو نوع شائع جدًا من المعادلات التفاضلية. حلهم ليس صعبًا بشكل خاص. أولاً ، تم العثور على جذور المعادلة المميزة . بالنسبة إلى p و q المختلفة ، هناك ثلاث حالات ممكنة: يمكن أن تكون جذور المعادلة المميزة حقيقية ومختلفة وحقيقية ومتطابقة أو اقتران معقد. اعتمادًا على قيم جذور المعادلة المميزة ، تتم كتابة الحل العام للمعادلة التفاضلية كـ ، أو ، أو على التوالي.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك معادلة تفاضلية خطية متجانسة من الدرجة الثانية ذات معاملات ثابتة. جذور معادلته المميزة هي k 1 = -3 و k 2 = 0. الجذور حقيقية ومختلفة ، وبالتالي ، فإن الحل العام لمعاملات LDE الثابتة هو


المعادلات التفاضلية الخطية غير المتجانسة من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة.

يتم البحث عن الحل العام لـ LIDE من الدرجة الثانية مع معاملات ثابتة y كمجموع للحل العام لـ LODE المقابل وحل معين للمعادلة الأصلية غير المتجانسة ، أي. الفقرة السابقة مكرسة لإيجاد حل عام لمعادلة تفاضلية متجانسة ذات معاملات ثابتة. ويتم تحديد حل معين إما بطريقة المعاملات غير المحددة لشكل معين من الدالة f (x) ، يقف على الجانب الأيمن من المعادلة الأصلية ، أو بطريقة تغيير الثوابت التعسفية.

كأمثلة على LIDEs من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة ، نقدمها


لفهم النظرية والتعرف على الحلول التفصيلية للأمثلة ، نقدم لك في الصفحة معادلات تفاضلية خطية غير متجانسة من الدرجة الثانية مع معاملات ثابتة.

المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة (LODEs) والمعادلات التفاضلية الخطية غير المتجانسة من الدرجة الثانية (LNDEs).

حالة خاصة من المعادلات التفاضلية من هذا النوع هي LODE و LODE مع معاملات ثابتة.

يتم تمثيل الحل العام لـ LODE في فترة زمنية معينة من خلال مجموعة خطية من حلين خاصين مستقلين خطيًا y 1 و y 2 من هذه المعادلة ، أي ، .

تكمن الصعوبة الرئيسية بالتحديد في إيجاد حلول جزئية مستقلة خطيًا لهذا النوع من المعادلات التفاضلية. عادة ، يتم اختيار حلول معينة من الأنظمة التالية للوظائف المستقلة خطيًا:


ومع ذلك ، لا يتم تقديم حلول معينة دائمًا في هذا النموذج.

مثال على LODU هو .

يتم البحث عن الحل العام لـ LIDE بالشكل ، حيث يكون الحل العام لـ LODE المقابل ، وهو حل خاص للمعادلة التفاضلية الأصلية. تحدثنا للتو عن إيجاد ، ولكن يمكن تحديده باستخدام طريقة اختلاف الثوابت التعسفية.

مثال على LNDE هو .

المعادلات التفاضلية ذات الرتبة الأعلى.

المعادلات التفاضلية التي تقبل تخفيض الأمر.

ترتيب المعادلة التفاضلية ، التي لا تحتوي على الوظيفة المطلوبة ومشتقاتها حتى ترتيب k-1 ، يمكن اختزالها إلى n-k عن طريق الاستبدال.

في هذه الحالة ، يتم تقليل المعادلة التفاضلية الأصلية إلى. بعد إيجاد الحل p (x) ، يبقى العودة إلى البديل وتحديد الوظيفة غير المعروفة y.

على سبيل المثال ، المعادلة التفاضلية بعد أن يصبح الاستبدال معادلة قابلة للفصل ، وينخفض ​​ترتيبها من الثالث إلى الأول.