اختبار

الانضباط "التخطيط والتنبؤ

في ظروف السوق "

حول الموضوع: فترات الثقة للتنبؤ

تقييم مدى كفاية ودقة النماذج

الفصل 1. الجزء النظري

فترات الثقة للتنبؤ. تقييم مدى كفاية ودقة النماذج

1.1 توقع فترات الثقة

المرحلة الأخيرةإن تطبيق منحنيات النمو هو استقراء الاتجاه بناءً على المعادلة المختارة. يتم حساب القيم المتوقعة للمؤشر قيد الدراسة عن طريق استبدال قيم الوقت في معادلة المنحنى رالمقابلة للمهلة الزمنية. يُطلق على التنبؤ الذي يتم الحصول عليه بهذه الطريقة اسم تنبؤ النقطة ، حيث يتم تحديد قيمة واحدة فقط للمؤشر المتوقع لكل نقطة زمنية.

في الممارسة العملية ، بالإضافة إلى التنبؤ بالنقطة ، من المستحسن تحديد حدود التغيير المحتمل في المؤشر المتوقع ، لتعيين "مفترق" للقيم المحتملة للمؤشر المتوقع ، أي حساب التنبؤ الفاصل.

يمكن أن يكون سبب التناقض بين البيانات الفعلية وتوقعات النقطة التي تم الحصول عليها من خلال استقراء الاتجاه من منحنيات النمو:

1. مغالطة شخصية في اختيار نوع المنحنى ؛

2. خطأ في تقدير معاملات المنحنيات.

3. الخطأ المرتبط بانحراف الملاحظات الفردية عن الاتجاه الذي يميز البعض مستوى متوسطسلسلة لكل لحظة من الزمن.

يمكن أن ينعكس الخطأ المرتبط بالمصادر الثانية والثالثة في شكل فاصل ثقة للتنبؤ. يتم تعريف فاصل الثقة ، الذي يأخذ في الاعتبار عدم اليقين المرتبط بموقف الاتجاه ، وإمكانية الانحراف عن هذا الاتجاه ، على النحو التالي:

حيث n هو طول السلسلة الزمنية ؛

L - مهلة ؛

توقعات y n + L في الوقت الحالي n + L ؛

t a - قيمة إحصائيات الطالب t ؛

S p - جذر متوسط ​​الخطأ التربيعي للتنبؤ.

لنفترض أن الاتجاه يتميز بخط مستقيم:

منذ يتم تحديد تقديرات المعلمة بواسطة إطار أخذ العينات، ممثلة بسلسلة زمنية ، تحتوي على خطأ. يؤدي خطأ المعلمة a o إلى تحول رأسي للخط المستقيم ، وخطأ المعلمة a 1 - إلى تغيير في زاوية ميل الخط المستقيم بالنسبة لمحور x. مع الأخذ في الاعتبار تشتت عمليات التنفيذ المحددة بالنسبة لخطوط الاتجاه ، يمكن تمثيل التباين على النحو التالي:

(1.2.),

أين هو تباين الانحرافات في الملاحظات الفعلية عن الملاحظات المحسوبة ؛

ر 1 - مهلة إجراء الاستقراء ؛

ر 1 = ن + ل ;

ر- الرقم التسلسلي لمستويات السلسلة ، t = 1،2 ، ... ، n ؛

رقم سريالمستوى في منتصف الصف

ثم يمكن تمثيل فاصل الثقة على النحو التالي:

(1.3.),

دعونا نشير إلى الجذر في التعبير (1.3.) من خلال K. قيمة K تعتمد فقط على n و L ، أي على طول الصف والمهلة. لذلك ، يمكنك عمل جداول القيم K أو K * \ u003d t a K. ثم سيبدو تقدير الفاصل كما يلي:

(1.4.),

يمكن الحصول على تعبير مشابه لـ (1.3.) لكثير حدود من الدرجة الثانية:

(1.5.),

(1.6.),

يتم تحديد تشتت انحرافات الملاحظات الفعلية عن الملاحظات المحسوبة من خلال التعبير:

(1.7.),

أين ذ ر- القيم الفعلية لمستويات السلاسل ،

القيم المقدرة لمستويات السلسلة ،

ن- طول السلسلة الزمنية ،

ك- عدد المعلمات المقدرة لمنحنى التسوية.

وبالتالي ، فإن عرض فاصل الثقة يعتمد على مستوى الأهمية وفترة الرصاص والانحراف المعياري عن الاتجاه ودرجة كثير الحدود.

كلما زادت درجة كثير الحدود ، اتسع نطاق الثقة لنفس القيمة سي، نظرًا لأنه يتم حساب التباين في معادلة الاتجاه على أنه المجموع المرجح لتفاوتات المعلمات المقابلة للمعادلة

الشكل 1.1. توقع فترات الثقة لاتجاه خطي

يتم تحديد فترات الثقة للتنبؤات التي تم الحصول عليها باستخدام المعادلة الأسية بطريقة مماثلة. الفرق هو أنه عند حساب معلمات المنحنى وعند حساب متوسط ​​الخطأ التربيعي ، لا يتم استخدام قيم مستويات السلاسل الزمنية نفسها ، ولكن يتم استخدام اللوغاريتمات الخاصة بها.

يمكن استخدام نفس المخطط لتحديد فترات الثقة لعدد من المنحنيات ذات الخطوط المقاربة ، إذا كانت قيمة الخط المقارب معروفة (على سبيل المثال ، من أجل الأسي المعدل).

الجدول 1.1. يتم إعطاء القيم إلى*حسب طول السلسلة الزمنية نوالمهلة إلللخطوط المستقيمة والقطع المكافئ. من الواضح أن طول السلسلة ( ن) القيم إلى*انخفاض ، مع زيادة في المهلة إلالقيم إلى*زيادة. في الوقت نفسه ، فإن تأثير فترة الرصاص ليس هو نفسه معان مختلفة ن: كلما زاد طول الصف ، قل تأثير فترة الرصاص إل .

الجدول 1.1.

قيم K * للتقييم فترات الثقةالتنبؤ على أساس الاتجاه الخطي واتجاه القطع المكافئ عندما مستوى الثقة 0,9 (7).

الاتجاه الخطي	اتجاه القطع المكافئ
طول صف (ن)	المهلة (L)	طول الصف (ع)	مهلة (L)
7	2,6380 2,8748 3,1399	7	3,948 5,755 8,152
8	2,4631 2,6391 2,8361	8	3,459 4,754 6,461
9	2,3422 2,4786 2,6310	9	3,144 4,124 5,408
10	2,2524 2,3614 2,4827	10	2,926 3,695 4,698
11	2,1827 2,2718 2,3706	11	2,763 3,384 4,189
12	2,1274 2,2017 2,2836	12	2,636 3,148 3,808
13	2,0837 2,1463 2,2155	13	2,536 2,965 3,516
14	2,0462 2,1000 2,1590	14	2,455 2,830 3,286
15	2,0153 2,0621 2,1131	15	2,386 2,701 3,100
16	1,9883 2,0292 2,0735	16	2,330 2,604 2,950
17	1,9654 2,0015 2,0406	17	2,280 2,521 2,823
18	1,9455 1,9776 2,0124	18	2,238 2,451 2,717
19	1,9280 1,9568 1,9877	19	2,201 2,391 2,627
20	1,9117 1,9375 1,9654	20	2,169 2,339 2,549
21	1,8975 1,9210 1,9461	21	2,139 2,293 2,481
22	1,8854 1,9066 1,9294	22	2,113 2,252 2,422
23	1,8738 1,8932 1,9140	23	2,090 2,217 2,371
24	1,8631 1,8808 1,8998	24	2,069 2,185 2,325
25	1,8538 1,8701 1,8876	25	2,049 2,156 2,284

الفصل 2 الجزء العملي

المهمة 1.5. استخدام الأساليب التكيفية في التنبؤ الاقتصادي

1. احسب المتوسط ​​الأسي للسلسلة الزمنية لسعر سهم شركة UM. كما القيمة البدائيةيأخذ المتوسط ​​الأسي متوسط ​​أول 5 مستويات من السلسلة. يتم أخذ قيمة معلمة التكيف أ تساوي 0.1.

الجدول 1.2.

سعر سهم IBM

ر	ذ ر	ر	ذ ر	ر	ذ ر
1	510	11	494	21	523
2	497	12	499	22	527
3	504	13	502	23	523
4	510	14	509	24	528
5	509	15	525	25	529
6	503	16	512	26	538
7	500	17	510	27	539
8	500	18	506	28	541
9	500	19	515	29	543
10	495	20	522	30	541

2. وفقًا للمهمة رقم 1 ، احسب المتوسط ​​الأسي بقيمة معامل التكيف أيساوي 0.5. قارن بيانيًا السلاسل الزمنية الأصلية وسلسلة المتوسطات الأسية التي تم الحصول عليها باستخدام أ= 0.1 و أ= 0.5. حدد الصف الأكثر سلاسة.

3. تم التنبؤ بسعر أسهم شركة IBM على أساس نموذج متعدد الحدود التكيفي من الدرجة الثانية

,

أين هي المهلة.

في الخطوة الأخيرة ، يتم الحصول على تقديرات المعامل التالية:

قبل يوم واحد (= 1) ؛

قبل يومين (= 2).

حل المهمة 1.5

1. دعنا نحدد

دعونا نجد قيم المتوسط ​​الأسي في أ =0,1.

. أ= 0.1 - حسب الحالة ؛

؛ S 1 \ u003d 0.1 × 510 + 0.9 × 506 \ u003d 506.4 ؛

؛ S 2 \ u003d 0.1 × 497 + 0.9 × 506.4 \ u003d 505.46 ؛

؛ S 3 \ u003d 0.1 × 504 + 0.9 × 505.46 = 505.31 ، إلخ.

أ= 0.5 - حسب الشرط.

؛ S 1 \ u003d 0.5 × 510 + 0.5 × 506 \ u003d 508 ؛

؛ S 2 \ u003d 0.5 × 497 + 0.5 × 508 = 502.5 ، إلخ.

يتم عرض نتائج الحساب في الجدول 1.3.

الجدول 1.3.

المتوسطات الأسية

ر	المتوسط ​​الأسي		ر	المتوسط ​​الأسي
	أ =0,1	أ =0,5		أ =0,1	أ =0,5
1	506,4	508	16	505,7	513,3
2	505,5	502,5	17	506,1	511,7
3	505,3	503,2	18	506,1	508,8
4	505,8	506,6	19	507,0	511,9
5	506,1	507,8	20	508,5	517
6	505,8	505,4	21	509,9	520
7	505,2	502,7	22	511,6	523,5
8	504,7	501,4	23	512,8	523,2
9	504,2	500,7	24	514,3	525,6
10	503,4	497,8	25	515,8	527,3
11	502,4	495,9	26	518,0	532,7
12	502,0	497,5	27	520,1	525,8
13	502,0	499,7	28	522,2	538,4
14	502,7	504,4	29	524,3	540,7
15	505,0	514,7	30	525,9	540,9

الشكل 1.2. تجانس الأسيالسلاسل الزمنية لسعر السهم: أ - البيانات الفعلية. ب - المتوسط ​​الأسي عند alpha = 0.1 ؛ C - المتوسط ​​الأسي عند alpha = 0.5

في أ= 0.1 المتوسط ​​الأسي له طابع أكثر سلاسة ، لأن في هذه الحالة ، يتم امتصاص التقلبات العشوائية في السلاسل الزمنية إلى أقصى حد.

3. يتم تشكيل التنبؤ لنموذج متعدد الحدود التكيفي من الدرجة الثانية في الخطوة الأخيرة عن طريق الاستبدال في معادلة النموذج أحدث القيمالمعاملات والقيم - مهلة.

التنبؤ قبل يوم واحد (= 1):

التوقعات قبل يومين (= 2):

فهرس

1. دوبروفا تي. أساليب إحصائيةالتنبؤ في الاقتصاد: الدورة التعليمية/ موسكو جامعة الدولةالاقتصاد والإحصاء والمعلوماتية. - م: MESI ، 2003. - 52 ص.

2. أفاناسييف في إن ، يوزباشيف م. تحليل السلاسل الزمنية والتنبؤ م: المالية والإحصاء ، 2001.

3. لوكاشين يو. طرق الانحدار والتنبؤ التكيفي. الدورة التعليمية. - م: MESI ، 1997.

إذا كانت هناك أسباب ، عند تحليل تطور كائن التنبؤ ، لقبول الافتراضين الأساسيين للاستقراء اللذين ناقشناهما أعلاه ، فإن عملية الاستقراء تتكون من استبدال القيمة المقابلة لفترة الرصاص في الصيغة التي تصف الاتجاه.

الاستقراء ، بشكل عام ، يعطي تقديرًا تنبؤيًا للنقطة. حدسيًا ، هناك قصور في مثل هذا التقييم والحاجة إلى الحصول عليه تقدير الفاصلبحيث تكون التوقعات ، التي تغطي نطاقًا معينًا من قيم المتغير المتوقع ، أكثر موثوقية. كما ذكر أعلاه ، المطابقة التامة بين البيانات الفعلية والتوقعات تقديرات النقطةالتي تم الحصول عليها عن طريق استقراء منحنيات الاتجاه أمر غير محتمل الحدوث. الخطأ المقابل له المصادر التالية:

1) يحتوي اختيار شكل المنحنى الذي يميز الاتجاه على عنصر الذاتية. على أي حال ، لا يوجد غالبًا أساس ثابت للتأكيد على أن الشكل المختار للمنحنى هو الشكل الوحيد الممكن ، أو حتى الأفضل للاستقراء في ظل ظروف معينة معينة ؛

2) يعتمد تقدير معلمات المنحنى (بمعنى آخر ، تقدير الاتجاه) على مجموعة محدودة من الملاحظات ، يحتوي كل منها على مكون عشوائي. وبسبب هذا ، فإن معاملات المنحنى ، وبالتالي موقعه في الفضاء ، تتميز ببعض عدم اليقين ؛

3) يميز الاتجاه بعض المستويات المتوسطة للسلسلة لكل لحظة من الزمن. تميل الملاحظات الفردية إلى الانحراف عنها في الماضي. من الطبيعي توقع حدوث مثل هذه الانحرافات في المستقبل.

يمكن أن ينعكس الخطأ المرتبط بمصادره الثانية والثالثة في شكل فاصل ثقة للتنبؤ عند وضع افتراضات معينة حول خاصية السلسلة. بمساعدة مثل هذا الفاصل الزمني ، يتم تحويل توقع استقراء النقطة إلى فترة زمنية واحدة.

هناك حالات محتملة تمامًا عندما يتم اختيار شكل المنحنى الذي يصف الاتجاه بشكل غير صحيح أو عندما يتغير اتجاه التطور في المستقبل بشكل كبير ولا يتبع نوع المنحنى الذي تم اعتماده أثناء المحاذاة. في الحالة الأخيرةالافتراض الاستقرائي الأساسي لا يتوافق مع الوضع الفعلي للأمور. المنحنى الذي تم العثور عليه يساوي فقط السلسلة الديناميكية ويميز الاتجاه فقط خلال الفترة التي تغطيها الملاحظة. سيؤدي استقراء مثل هذا الاتجاه حتماً إلى نتيجة خاطئة ، ولا يمكن تقدير خطأ من هذا النوع مسبقًا. في هذا الصدد ، لا يسعنا إلا أن نلاحظ أنه ، على ما يبدو ، ينبغي للمرء أن يتوقع زيادة في مثل هذا الخطأ (أو احتمال حدوثه) مع زيادة في فترة التوقعات المتوقعة.

تتمثل إحدى المهام الرئيسية التي تنشأ عند استقراء الاتجاه في تحديد فترات الثقة للتنبؤ. من الواضح بشكل بديهي أن حساب فاصل الثقة للتنبؤ يجب أن يعتمد على مقياس التذبذب لعدد من القيم المرصودة للميزة. وكلما زاد هذا التذبذب ، قلَّ تأكيد موضع الاتجاه في مساحة "المستوى - الوقت" والأوسع يجب أن يكون الفاصل الزمني لخيارات التنبؤ بنفس الدرجة من الثقة. لذلك ، عند إنشاء فاصل الثقة للتنبؤ ، ينبغي للمرء أن يأخذ في الاعتبار تقييم التقلب أو التباين في مستويات السلسلة. عادة ، هذا التقدير هو المتوسط الانحراف المعياري(الانحراف المعياري) للملاحظات الفعلية من تلك المحسوبة التي تم الحصول عليها أثناء المحاذاة سلسلة ديناميكية.

قبل الشروع في تحديد فاصل الثقة للتنبؤ ، من الضروري إبداء تحفظ حول بعض الاصطلاحات للحساب الوارد أدناه. ما يلي هو ، إلى حد ما ، امتداد اعتباطي للنتائج التي تم العثور عليها لانحدار مقاييس العينة إلى تحليل السلاسل الزمنية. النقطة هي أن الافتراض تحليل الانحدارحول الحالة الطبيعية لتوزيع الانحرافات حول خط الانحدار ، لا يمكن ، في جوهرها ، تأكيدها دون قيد أو شرط في تحليل السلاسل الزمنية.

المعلمات التي تم الحصول عليها في سياق التقدير الإحصائي ليست خالية من الخطأ المرتبط بحقيقة أن كمية المعلومات التي تم على أساسها إجراء التقدير محدودة ، وبمعنى ما يمكن اعتبار هذه المعلومات كعينة. على أي حال ، فإن تغيير فترة المراقبة بخطوة واحدة فقط ، أو إضافة أو حذف أعضاء من السلسلة بسبب حقيقة أن كل عضو في السلسلة يحتوي على مكون عشوائي ، يؤدي إلى تغيير في التقديرات العددية للمعلمات. وبالتالي ، فإن القيم المحسوبة تتحمل عبء عدم اليقين المرتبط بالأخطاء في قيمة المعلمات.

في نظرة عامةيتم تعريف فاصل الثقة للاتجاه على أنه

أين ¾ الخطأ المعياري للاتجاه ؛

¾ قيمة التصميم yt;

¾ المعنى ر- إحصائيات الطلاب.

اذا كان ر = أنا+ إلثم ستحدد المعادلة قيمة فاصل الثقة للاتجاه الممتد بمقدار إلوحدات زمنية.

من الواضح أن فترة الثقة للتنبؤ يجب أن تأخذ في الاعتبار ليس فقط عدم اليقين المرتبط بموقف الاتجاه ، ولكن إمكانية الانحراف عن هذا الاتجاه. من الناحية العملية ، هناك حالات يمكن فيها تطبيق عدة أنواع من المنحنيات بشكل معقول أو أكثر للاستقراء. في هذه الحالة ، ينزل المنطق أحيانًا إلى ما يلي. نظرًا لأن كل من المنحنيات تميز أحد الاتجاهات البديلة ، فمن الواضح أن المسافة بين الاتجاهات المستقرأة تمثل "طبيعيًا" معينًا منطقة الثقة"للقيمة المتوقعة. لا يمكن للمرء أن يتفق مع مثل هذا البيان. بادئ ذي بدء ، لأن كل خط من خطوط الاتجاه المحتملة يتوافق مع فرضيات تطوير مقبولة مسبقًا. لا ترتبط المسافة بين الاتجاهات بأي منها - يمكن رسم عدد غير محدود من الاتجاهات من خلالها. يجب أيضًا إضافة أن فاصل الثقة يرتبط بمستوى معين من الاحتمال لتجاوز حدوده. لا ترتبط المسافة بين الاتجاهات بأي مستوى من الاحتمالات ، ولكنها تعتمد على اختيار أنواع المنحنيات. علاوة على ذلك ، مع مهلة زمنية طويلة بما فيه الكفاية ، تصبح هذه المساحة ، كقاعدة عامة ، ذات أهمية كبيرة بحيث تفقد "فترة الثقة" كل معانيها.

شريطة أن تؤخذ الأخطاء المعيارية لتقديرات معلمات معادلة الاتجاه في الاعتبار (والتي ، بحكم التعريف ، انتقائية ، وبالتالي قد لا تكون تقديرات لمعلمات عامة غير معروفة بسبب المظهر خطأ عشوائيالتمثيلية) ، ودون النظر في تسلسل التحولات ، نحصل عليها الصيغة العامةفاصل الثقة للتنبؤ.

حيث - قيمة التنبؤ المحسوبة بواسطة معادلة الاتجاه للفترة t + L

¾ الخطأ المعياري للاتجاه ؛

ك - معامل مع مراعاة أخطاء معاملات معادلة الاتجاه

¾ المعنى ر- إحصائيات الطلاب.

معامل في الرياضيات او درجة إلىمحسوبة على النحو التالي

ن ¾ عدد المشاهدات (طول سلسلة الديناميات) ؛

L هو عدد التنبؤات

تعتمد قيمة K فقط على n و L ، أي مدة المراقبة وفترة التنبؤ.

مثال لحساب التنبؤ وإنشاء فاصل الثقة للتنبؤ.

الاتجاه الأمثل هو الاتجاه الخطي . من الضروري حساب توقعات حجم الواردات في ألمانيا لعامي 1996 و 1997. للقيام بذلك ، من الضروري تحديد قيم مستويات الاتجاه لقيم عامل الوقت 14 و 15.

حجم الواردات عام 1996:

حجم الواردات عام 1997:

خطأ تقليديالترند سي = 30.727. معامل الثقة لتوزيع الطالب عند مستوى دلالة 0.05 وعدد درجات الحرية 2.16. معامل K هو 1.428:

وبالتالي ، فإن الحد الأدنى لفترة الثقة الأولى هو 378.62: 473.452-30.727 * 2.16 * 1.428.

الحد الأعلى 568.28: 473.452 + 30.727 * 2.16 * 1.428.

يجب تقديم نتائج الحسابات في شكل جدول ورسم بيانيًا.

	القيمة الفعلية لحجم الواردات في ألمانيا لعام 1996	القيمة المتوقعة لحجم الواردات في ألمانيا لعام 1996
الحد الأدنى لفاصل الثقة 95٪	القيمة الفعلية لحجم الواردات في ألمانيا لعام 1997	القيمة المتوقعة لحجم الواردات في ألمانيا لعام 1997	الحد الأعلى لفاصل الثقة 95٪

هذا الرسم البياني مرسوم على النحو التالي:

1) من الضروري عمل نسخة من الرسم البياني الموجود بالفعل لتنعيم السلسلة الديناميكية مع الاتجاه الخطي

2) أكمل القيم المفقودة (المستويات الفعلية للسلسلة لعامي 1996 و 1997 ، التوقعات لعامي 1996 و 1997 ، بالإضافة إلى حدود فترات الثقة).

الجدول مشروط إلى حد ما ، منذ ذلك الحين مقياس دقيقغير مرجح أن تتعرض. يمكنك الرسم يدويًا وباستخدام أدوات رسم Excel.

اختبار

الانضباط "التخطيط والتنبؤ

في ظروف السوق "

حول الموضوع: فترات الثقة للتنبؤ

تقييم مدى كفاية ودقة النماذج

الفصل 1. الجزء النظري

فترات الثقة للتنبؤ. تقييم مدى كفاية ودقة النماذج

1.1 توقع فترات الثقة

الخطوة الأخيرة في تطبيق منحنيات النمو هي استقراء الاتجاه بناءً على المعادلة المختارة. يتم حساب القيم المتوقعة للمؤشر قيد الدراسة عن طريق استبدال قيم الوقت في معادلة المنحنى رالمقابلة للمهلة الزمنية. يُطلق على التنبؤ الذي يتم الحصول عليه بهذه الطريقة اسم تنبؤ النقطة ، حيث يتم تحديد قيمة واحدة فقط للمؤشر المتوقع لكل نقطة زمنية.

في الممارسة العملية ، بالإضافة إلى التنبؤ بالنقطة ، من المستحسن تحديد حدود التغيير المحتمل في المؤشر المتوقع ، لتعيين "مفترق" للقيم المحتملة للمؤشر المتوقع ، أي حساب التنبؤ الفاصل.

يمكن أن يكون سبب التناقض بين البيانات الفعلية وتوقعات النقطة التي تم الحصول عليها من خلال استقراء الاتجاه من منحنيات النمو:

1. مغالطة شخصية في اختيار نوع المنحنى ؛

2. خطأ في تقدير معاملات المنحنيات.

3. الخطأ المرتبط بانحراف الملاحظات الفردية عن الاتجاه الذي يميز مستوى متوسط ​​معين من السلسلة في كل لحظة من الزمن.

يمكن أن ينعكس الخطأ المرتبط بالمصادر الثانية والثالثة في شكل فاصل ثقة للتنبؤ. يتم تعريف فاصل الثقة ، الذي يأخذ في الاعتبار عدم اليقين المرتبط بموقف الاتجاه ، وإمكانية الانحراف عن هذا الاتجاه ، على النحو التالي:

(1.1.),

حيث n هو طول السلسلة الزمنية ؛

L - مهلة ؛

توقعات y n + L في الوقت الحالي n + L ؛

t a - قيمة إحصائيات الطالب t ؛

S p - جذر متوسط ​​الخطأ التربيعي للتنبؤ.

لنفترض أن الاتجاه يتميز بخط مستقيم:

نظرًا لأن تقديرات المعلمات يتم تحديدها بواسطة عينة السكان الممثلة بالسلسلة الزمنية ، فإنها تحتوي على خطأ. يؤدي خطأ المعلمة a o إلى تحول رأسي للخط المستقيم ، وخطأ المعلمة a 1 - إلى تغيير في زاوية ميل الخط المستقيم بالنسبة لمحور x. مع الأخذ في الاعتبار تشتت تطبيقات محددة بالنسبة لخطوط الاتجاه ، التباين

يمكن تمثيلها على النحو التالي: (1.2.) ، - تشتت انحرافات الملاحظات الفعلية عن الملاحظات المحسوبة ؛

ر 1 - مهلة إجراء الاستقراء ؛

ر 1 = ن + ل ;

ر- الرقم التسلسلي لمستويات السلسلة ، t = 1،2 ، ... ، n ؛

- الرقم التسلسلي للمستوى في منتصف الصف ،

ثم يمكن تمثيل فاصل الثقة على النحو التالي:

(1.3.),

دعونا نشير إلى الجذر في التعبير (1.3.) من خلال K. قيمة K تعتمد فقط على n و L ، أي على طول الصف والمهلة. لذلك ، يمكنك عمل جداول القيم K أو K * \ u003d t a K. ثم سيبدو تقدير الفاصل كما يلي:

(1.4.),

يمكن الحصول على تعبير مشابه لـ (1.3.) لكثير حدود من الدرجة الثانية:

(1.5.), (1.6.),

يتم تحديد تشتت انحرافات الملاحظات الفعلية عن الملاحظات المحسوبة من خلال التعبير:

(1.7.),

أين ذ ر- القيم الفعلية لمستويات السلاسل ،

- القيم المحسوبة لمستويات السلسلة ،

ن- طول السلسلة الزمنية ،

ك- عدد المعلمات المقدرة لمنحنى التسوية.

وبالتالي ، فإن عرض فاصل الثقة يعتمد على مستوى الأهمية وفترة الرصاص والانحراف المعياري عن الاتجاه ودرجة كثير الحدود.

كلما زادت درجة كثير الحدود ، اتسع نطاق الثقة لنفس القيمة سي، نظرًا لأنه يتم حساب التباين في معادلة الاتجاه على أنه المجموع المرجح لتفاوتات المعلمات المقابلة للمعادلة

الشكل 1.1. توقع فترات الثقة لاتجاه خطي

يتم تحديد فترات الثقة للتنبؤات التي تم الحصول عليها باستخدام المعادلة الأسية بطريقة مماثلة. الفرق هو أنه عند حساب معلمات المنحنى وعند حساب متوسط ​​الخطأ التربيعي ، لا يتم استخدام قيم مستويات السلاسل الزمنية نفسها ، ولكن يتم استخدام اللوغاريتمات الخاصة بها.

يمكن استخدام نفس المخطط لتحديد فترات الثقة لعدد من المنحنيات ذات الخطوط المقاربة ، إذا كانت قيمة الخط المقارب معروفة (على سبيل المثال ، من أجل الأسي المعدل).

الجدول 1.1. يتم إعطاء القيم إلى*حسب طول السلسلة الزمنية نوالمهلة إلللخطوط المستقيمة والقطع المكافئ. من الواضح أن طول السلسلة ( ن) القيم إلى*انخفاض ، مع زيادة في المهلة إلالقيم إلى*زيادة. في نفس الوقت ، تأثير فترة الرصاص ليس هو نفسه بالنسبة للقيم المختلفة ن: كلما زاد طول الصف ، قل تأثير فترة الرصاص إل .

الجدول 1.1.

قيم K * لتقدير فترات الثقة المتوقعة بناءً على اتجاه خطي واتجاه مكافئ بمستوى ثقة 0.9 (7).

الاتجاه الخطي	اتجاه القطع المكافئ
طول صف (ن)	المهلة (L) 1 2 3	طول الصف (ع)	مهلة (L) 1 2 3
7	2,6380 2,8748 3,1399	7	3,948 5,755 8,152
8	2,4631 2,6391 2,8361	8	3,459 4,754 6,461
9	2,3422 2,4786 2,6310	9	3,144 4,124 5,408
10	2,2524 2,3614 2,4827	10	2,926 3,695 4,698
11	2,1827 2,2718 2,3706	11	2,763 3,384 4,189
12	2,1274 2,2017 2,2836	12	2,636 3,148 3,808
13	2,0837 2,1463 2,2155	13	2,536 2,965 3,516
14	2,0462 2,1000 2,1590	14	2,455 2,830 3,286
15	2,0153 2,0621 2,1131	15	2,386 2,701 3,100
16	1,9883 2,0292 2,0735	16	2,330 2,604 2,950
17	1,9654 2,0015 2,0406	17	2,280 2,521 2,823
18	1,9455 1,9776 2,0124	18	2,238 2,451 2,717
19	1,9280 1,9568 1,9877	19	2,201 2,391 2,627
20	1,9117 1,9375 1,9654	20	2,169 2,339 2,549
21	1,8975 1,9210 1,9461	21	2,139 2,293 2,481
22	1,8854 1,9066 1,9294	22	2,113 2,252 2,422
23	1,8738 1,8932 1,9140	23	2,090 2,217 2,371
24	1,8631 1,8808 1,8998	24	2,069 2,185 2,325
25	1,8538 1,8701 1,8876	25	2,049 2,156 2,284

الفصل 2. الجزء العملي

المهمة 1.5. استخدام الأساليب التكيفية في التنبؤ الاقتصادي

1. احسب المتوسط ​​الأسي للسلسلة الزمنية لسعر سهم شركة UM. كقيمة أولية للمتوسط ​​الأسي ، خذ متوسط ​​قيمة المستويات الخمسة الأولى من السلسلة. يتم أخذ قيمة معلمة التكيف أ تساوي 0.1.

الجدول 1.2.

سعر سهم IBM

ر	ذ ر	ر	ذ ر	ر	ذ ر
1	510	11	494	21	523
2	497	12	499	22	527
3	504	13	502	23	523
4	510	14	509	24	528
5	509	15	525	25	529
6	503	16	512	26	538
7	500	17	510	27	539
8	500	18	506	28	541
9	500	19	515	29	543
10	495	20	522	30	541

2. وفقًا للمهمة رقم 1 ، احسب المتوسط ​​الأسي بقيمة معامل التكيف أيساوي 0.5. قارن بيانيًا السلاسل الزمنية الأصلية وسلسلة المتوسطات الأسية التي تم الحصول عليها باستخدام أ= 0.1 و أ= 0.5. حدد الصف الأكثر سلاسة.

اختبار

الانضباط "التخطيط والتنبؤ

في ظروف السوق "

حول الموضوع: فترات الثقة للتنبؤ

تقييم مدى كفاية ودقة النماذج

الفصل 1. الجزء النظري. 3

الفصل 2. الجزء العملي. 9

قائمة الأدب المستعمل .. 13

الفصل 1. الجزء النظري

فترات الثقة للتنبؤ. تقييم مدى كفاية ودقة النماذج

1.1 توقع فترات الثقة

الخطوة الأخيرة في تطبيق منحنيات النمو هي استقراء الاتجاه بناءً على المعادلة المختارة. يتم حساب القيم المتوقعة للمؤشر قيد الدراسة عن طريق استبدال قيم الوقت t المقابلة لفترة الرصاص في معادلة المنحنى. يُطلق على التنبؤ الذي يتم الحصول عليه بهذه الطريقة اسم تنبؤ النقطة ، حيث يتم تحديد قيمة واحدة فقط للمؤشر المتوقع لكل نقطة زمنية.

في الممارسة العملية ، بالإضافة إلى التنبؤ بالنقطة ، من المستحسن تحديد حدود التغيير المحتمل في المؤشر المتوقع ، لتعيين "مفترق" للقيم المحتملة للمؤشر المتوقع ، أي حساب التنبؤ الفاصل.

يمكن أن يكون سبب التناقض بين البيانات الفعلية وتوقعات النقطة التي تم الحصول عليها من خلال استقراء الاتجاه من منحنيات النمو:

1. مغالطة شخصية في اختيار نوع المنحنى ؛

2. خطأ في تقدير معاملات المنحنيات.

3. الخطأ المرتبط بانحراف الملاحظات الفردية عن الاتجاه الذي يميز مستوى متوسط ​​معين من السلسلة في كل لحظة من الزمن.

يمكن أن ينعكس الخطأ المرتبط بالمصادر الثانية والثالثة في شكل فاصل ثقة للتنبؤ. يتم تعريف فاصل الثقة ، الذي يأخذ في الاعتبار عدم اليقين المرتبط بموقف الاتجاه ، وإمكانية الانحراف عن هذا الاتجاه ، على النحو التالي:

حيث n هو طول السلسلة الزمنية ؛

L - مهلة ؛

توقعات y n + L في الوقت الحالي n + L ؛

t a - قيمة إحصائيات الطالب t ؛

S p - جذر متوسط ​​الخطأ التربيعي للتنبؤ.

لنفترض أن الاتجاه يتميز بخط مستقيم:

نظرًا لأن تقديرات المعلمات يتم تحديدها بواسطة عينة السكان الممثلة بالسلسلة الزمنية ، فإنها تحتوي على خطأ. يؤدي خطأ المعلمة a o إلى تحول رأسي للخط المستقيم ، وخطأ المعلمة a 1 - إلى تغيير في زاوية ميل الخط المستقيم بالنسبة لمحور x. مع الأخذ في الاعتبار تشتت عمليات التنفيذ المحددة بالنسبة لخطوط الاتجاه ، يمكن تمثيل التباين على النحو التالي:

(1.2.),

أين هو تباين الانحرافات في الملاحظات الفعلية عن الملاحظات المحسوبة ؛

t 1 هي المهلة التي يتم الاستقراء من أجلها ؛

t - الرقم التسلسلي لمستويات السلسلة ، t = 1،2 ، ... ، n ؛

الرقم التسلسلي للمستوى في منتصف الصف ،

ثم يمكن تمثيل فاصل الثقة على النحو التالي:

(1.3.),

دعونا نشير إلى الجذر في التعبير (1.3.) من خلال K. قيمة K تعتمد فقط على n و L ، أي على طول الصف والمهلة. لذلك ، يمكنك عمل جداول القيم K أو K * \ u003d t a K. ثم سيبدو تقدير الفاصل كما يلي:

(1.4.),

يمكن الحصول على تعبير مشابه لـ (1.3.) لكثير حدود من الدرجة الثانية:

(1.5.),

(1.6.),

يتم تحديد تشتت انحرافات الملاحظات الفعلية عن الملاحظات المحسوبة من خلال التعبير:

(1.7.),

حيث y t هي القيم الفعلية لمستويات السلسلة ،

القيم المقدرة لمستويات السلسلة ،

ن هو طول السلسلة الزمنية ،

k هو عدد المعلمات المقدرة لمنحنى التسوية.

وبالتالي ، فإن عرض فاصل الثقة يعتمد على مستوى الأهمية وفترة الرصاص والانحراف المعياري عن الاتجاه ودرجة كثير الحدود.

كلما زادت درجة كثير الحدود ، اتسع نطاق الثقة لنفس قيمة S y ، حيث يتم حساب التباين في معادلة الاتجاه كمجموع مرجح لتباينات المعلمات المقابلة للمعادلة

الشكل 1.1. توقع فترات الثقة لاتجاه خطي

يتم تحديد فترات الثقة للتنبؤات التي تم الحصول عليها باستخدام المعادلة الأسية بطريقة مماثلة. الفرق هو أنه عند حساب معلمات المنحنى وعند حساب متوسط ​​الخطأ التربيعي ، لا يتم استخدام قيم مستويات السلاسل الزمنية نفسها ، ولكن يتم استخدام اللوغاريتمات الخاصة بها.

يمكن استخدام نفس المخطط لتحديد فترات الثقة لعدد من المنحنيات ذات الخطوط المقاربة ، إذا كانت قيمة الخط المقارب معروفة (على سبيل المثال ، من أجل الأسي المعدل).

الجدول 1.1. يتم إعطاء قيم K * اعتمادًا على طول السلسلة الزمنية n وفترة الرصاص L للخط المستقيم والقطع المكافئ. من الواضح أنه مع زيادة طول الصفوف (ن) ، تنخفض قيم K * ، مع زيادة فترة الرصاص L ، تزداد قيم K *. في الوقت نفسه ، لا يكون تأثير فترة الرصاص هو نفسه بالنسبة للقيم المختلفة لـ n: فكلما زاد طول الصف ، قل تأثير فترة الرصاص L.

الجدول 1.1.

قيم K * لتقدير فترات الثقة المتوقعة بناءً على اتجاه خطي واتجاه مكافئ بمستوى ثقة 0.9 (7).

	الاتجاه الخطي		اتجاه القطع المكافئ
طول الصف (ن)	المهلة (L)	طول الصف (ع)	مهلة (L)
7	2,6380 2,8748 3,1399	7	3,948 5,755 8,152
8	2,4631 2,6391 2,8361	8	3,459 4,754 6,461
9	2,3422 2,4786 2,6310	9	3,144 4,124 5,408
10	2,2524 2,3614 2,4827	10	2,926 3,695 4,698
11	2,1827 2,2718 2,3706	11	2,763 3,384 4,189
12	2,1274 2,2017 2,2836	12	2,636 3,148 3,808
13	2,0837 2,1463 2,2155	13	2,536 2,965 3,516
14	2,0462 2,1000 2,1590	14	2,455 2,830 3,286
15	2,0153 2,0621 2,1131	15	2,386 2,701 3,100
16	1,9883 2,0292 2,0735	16	2,330 2,604 2,950
17	1,9654 2,0015 2,0406	17	2,280 2,521 2,823
18	1,9455 1,9776 2,0124	18	2,238 2,451 2,717
19	1,9280 1,9568 1,9877	19	2,201 2,391 2,627
20	1,9117 1,9375 1,9654	20	2,169 2,339 2,549
21	1,8975 1,9210 1,9461	21	2,139 2,293 2,481
22	1,8854 1,9066 1,9294	22	2,113 2,252 2,422
23	1,8738 1,8932 1,9140	23	2,090 2,217 2,371
24	1,8631 1,8808 1,8998	24	2,069 2,185 2,325
25	1,8538 1,8701 1,8876	25	2,049 2,156 2,284

الفصل 2. الجزء العملي

المهمة 1.5. استخدام الأساليب التكيفية في التنبؤ الاقتصادي

1. احسب المتوسط ​​الأسي للسلسلة الزمنية لسعر سهم شركة UM. كقيمة أولية للمتوسط ​​الأسي ، خذ متوسط ​​قيمة المستويات الخمسة الأولى من السلسلة. يتم أخذ قيمة معلمة التكيف أ تساوي 0.1.

الجدول 1.2.

سعر سهم IBM

1	510	11	494	21	523
2	497	12	499	22	527
3	504	13	502	23	523
4	510	14	509	24	528
5	509	15	525	25	529
6	503	16	512	26	538
7	500	17	510	27	539
8	500	18	506	28	541
9	500	19	515	29	543
10	495	20	522	30	541

2. وفقًا للمهمة رقم 1 ، احسب المتوسط ​​الأسي بقيمة معامل التكيف a يساوي 0.5. قارن بيانياً بين السلاسل الزمنية الأصلية وسلسلة المتوسطات الأسية التي تم الحصول عليها عند a = 0.1 و a = 0.5. حدد الصف الأكثر سلاسة.

إذا كانت هناك أسباب ، عند تحليل تطور كائن التنبؤ ، لقبول افتراضين أساسيين من افتراضات الاستقراء ، فإن عملية الاستقراء تتمثل في استبدال القيمة المقابلة لفترة الرصاص في الصيغة التي تصف الاتجاه. علاوة على ذلك ، إذا كان ، لسبب ما ، أثناء الاستقراء ، هو الأكثر ملاءمة ضبط بداية العد التنازلي على لحظة تختلف عن لحظة أوليةمقبولة عند تقدير معلمات المعادلة ، لذلك يكفي تغيير المصطلح الثابت في كثير الحدود المقابل. لذلك في معادلة الخط المستقيم ، عندما يتم تغيير المرجع الزمني لـ t من السنوات القادمة ، فإن الحد الثابت سيكون مساويًا لـ a + bm ، أما بالنسبة للقطع المكافئ من الدرجة الثانية فسيكون a + bt + st2.

الاستقراء ، بشكل عام ، يعطي تقديرًا تنبؤيًا للنقطة. حدسيًا ، هناك قصور في مثل هذا التقدير والحاجة إلى الحصول على تقدير الفاصل الزمني بحيث تكون التوقعات ، التي تغطي نطاقًا معينًا من قيم المتغير المتوقع ، أكثر موثوقية. كما ذكر أعلاه ، من غير المحتمل وجود تطابق تام بين البيانات الفعلية وتقديرات النقطة التنبؤية التي تم الحصول عليها من خلال استقراء منحنيات الاتجاه. يحتوي الخطأ المقابل على المصادر التالية: اختيار شكل المنحنى الذي يميز الاتجاه يحتوي على عنصر الذاتية. على أي حال ، لا يوجد غالبًا أساس ثابت للتأكيد على أن الشكل المختار للمنحنى هو الشكل الوحيد الممكن ، أو حتى الأفضل للاستقراء في ظل ظروف معينة معينة ؛

• 1. يعتمد تقدير معلمات المنحنى (بمعنى آخر ، تقدير الاتجاه) على مجموعة محدودة من الملاحظات ، يحتوي كل منها على مكون عشوائي. وبسبب هذا ، فإن معاملات المنحنى ، وبالتالي موقعه في الفضاء ، تتميز ببعض عدم اليقين ؛
• 2. يميز الاتجاه مستوى متوسط ​​من السلسلة لكل لحظة من الزمن. تميل الملاحظات الفردية إلى الانحراف عنها في الماضي. من الطبيعي توقع حدوث مثل هذه الانحرافات في المستقبل.

يمكن أن ينعكس الخطأ المرتبط بمصادره الثانية والثالثة في شكل فاصل ثقة للتنبؤ عند وضع افتراضات معينة حول خاصية السلسلة. بمساعدة مثل هذا الفاصل الزمني ، يتم تحويل توقع استقراء النقطة إلى فترة زمنية واحدة. هناك حالات محتملة تمامًا عندما يتم اختيار شكل المنحنى الذي يصف الاتجاه بشكل غير صحيح أو عندما يتغير اتجاه التطور في المستقبل بشكل كبير ولا يتبع نوع المنحنى الذي تم اعتماده أثناء المحاذاة. في الحالة الأخيرة ، لا يتوافق افتراض الاستقراء الأساسي مع الحالة الفعلية للأمور. المنحنى الذي تم العثور عليه يساوي فقط السلسلة الديناميكية ويميز الاتجاه فقط خلال الفترة التي تغطيها الملاحظة. سيؤدي استقراء مثل هذا الاتجاه حتماً إلى نتيجة خاطئة ، ولا يمكن تقدير خطأ من هذا النوع مسبقًا. في هذا الصدد ، لا يسعنا إلا أن نلاحظ أنه ، على ما يبدو ، ينبغي للمرء أن يتوقع زيادة في مثل هذا الخطأ (أو احتمال حدوثه) مع زيادة في فترة التوقعات المتوقعة. تتمثل إحدى المهام الرئيسية التي تنشأ عند استقراء الاتجاه في تحديد فترات الثقة للتنبؤ. من الواضح بشكل بديهي أن حساب فاصل الثقة للتنبؤ يجب أن يعتمد على مقياس التذبذب لعدد من القيم المرصودة للميزة. وكلما زاد هذا التذبذب ، قلَّ تأكيد موضع الاتجاه في "المستوى - الوقت" المكاني ، وينبغي أن يكون الفاصل الزمني الأوسع لخيارات التنبؤ بنفس الدرجة من الثقة. لذلك ، يجب أن تبدأ مسألة فترة الثقة للتنبؤ بالنظر في مقياس التباين. عادة ، يتم تعريف هذا العداد على أنه الانحراف المعياري ( الانحراف المعياري) الملاحظات الفعلية من تلك المحسوبة التي تم الحصول عليها من خلال معادلة المتسلسلة الزمنية. بشكل عام ، يمكن التعبير عن الانحراف المعياري عن الاتجاه على النحو التالي:

بشكل عام ، يتم تعريف فاصل الثقة لاتجاه ما على النحو التالي:

إذا كانت t = i + L ، فستحدد المعادلة قيمة فاصل الثقة للاتجاه الممتد بمقدار L من الوحدات الزمنية. من الواضح أن فترة الثقة للتنبؤ يجب أن تأخذ في الاعتبار ليس فقط عدم اليقين المرتبط بموقف الاتجاه ، ولكن إمكانية الانحراف عن هذا الاتجاه. من الناحية العملية ، هناك حالات يمكن فيها تطبيق عدة أنواع من المنحنيات بشكل معقول أو أكثر للاستقراء. في هذه الحالة ، ينزل المنطق أحيانًا إلى ما يلي. نظرًا لأن كل من المنحنيات تميز أحد الاتجاهات البديلة ، فمن الواضح أن المسافة بين الاتجاهات المستقرأة هي بعض مناطق الثقة الطبيعية للقيمة المتوقعة. لا يمكن للمرء أن يتفق مع مثل هذا البيان.

بادئ ذي بدء ، لأن كل خط من خطوط الاتجاه المحتملة يتوافق مع فرضيات تطوير مقبولة مسبقًا. لا ترتبط المسافة بين الاتجاهات بأي منها - يمكن رسم عدد غير محدود من الاتجاهات من خلالها. يجب أيضًا إضافة أن فاصل الثقة يرتبط بمستوى معين من الاحتمال لتجاوز حدوده. لا ترتبط المسافة بين الاتجاهات بأي مستوى من الاحتمالات ، ولكنها تعتمد على اختيار أنواع المنحنيات. علاوة على ذلك ، مع مهلة زمنية طويلة بما فيه الكفاية ، تصبح هذه المساحة ، كقاعدة عامة ، مهمة للغاية بحيث تفقد فاصل الثقة كل معنى.

الشكل 2 - إيجاد الحد الأقصى لفاصل الارتباط

رسوم متحركة: الإطارات: 20 ، عدد التكرارات: 7 ، المجلد: 55.9 كيلوبايت

لمقارنة جودة حل مشاكل التنبؤ في الأساليب التقليدية والمقترحة ، يتم استخدام فترات الثقة المتوقعة لاتجاه خطي. كمثال لتحليل تأثير الخصائص النوعية للسلاسل الزمنية على عمق التنبؤ ، تم أخذ ثلاث سلاسل زمنية ذات بعد n يساوي 30 مع تقلبات مختلفة حول الاتجاه. نتيجة حساب قيم مساحة مقاطع منحنيات العينة وظائف الارتباط التلقائيتم الحصول على التقديرات التالية لعمق التنبؤ الأمثل: لسلسلة متذبذبة بشكل ضعيف - 9 مستويات ، لسلسلة متذبذبة متوسطة - 3 مستويات ، لسلسلة شديدة التذبذب - مستوى 1 (الشكل

الشكل 3 - النتائج التي تم الحصول عليها لتقدير العمق المتوقع

يُظهر تحليل النتائج أنه حتى مع وجود تقلب متوسط ​​لقيم السلسلة حول الاتجاه ، يتضح أن فاصل الثقة واسع جدًا (مع احتمال ثقة بنسبة 90٪) لفترة زمنية تتجاوز تلك المحسوبة بواسطة الطريقة المقترحة. بالفعل بالنسبة للرائد بـ 4 مستويات ، كان فاصل الثقة 25٪ تقريبًا من المستوى المحسوب. بسرعة كبيرة ، يؤدي الاستقراء إلى نتائج غير مؤكدة إحصائيًا. هذا يثبت إمكانية تطبيق النهج المقترح.

نظرًا لأن الحساب أعلاه قد تم بناءً على تقديرات القيم ، يبدو من الممكن رسم اعتماد تقييم عمق التنبؤ الاقتصادي على قيم قاعدته من خلال تحديد قيم الفاصل الزمني k و القيم المقابلة لعمق التوقعات الاقتصادية.

وهكذا ، فإن المقترح نهج جديدلتقييم عمق التوقعات الاقتصادية يجمع الكمي و خصائص الجودةالقيم الأولية للسلسلة الديناميكية ويسمح معقول نقطة رياضيةبهدف تحديد الفترة الزمنية للسلسلة الزمنية المستنبطة.

التخطيط الاستراتيجي استقراء التنبؤ