حل المعادلات التربيعية. المعادلات العقلانية

موضوعات

الجبر

فصل

الموضوع ورقم الدرس في الموضوع

"المعادلات التربيعية"؛ الدرس 14

البرنامج التعليمي الأساسي

الجبر 8 ، أد. ش. أليموف وآخرون ، موسكو: التعليم ، 2009

5. الغرض من الدرس: إصلاح الخوارزميات لحل المعادلات ثنائية التكافؤ والمنطقية الكسرية.

6. المهام:

- تعليمي: معرفة شكل المعادلة biquadratic والعقلانية الكسرية ؛ خوارزمية حل biquad

ومعادلة كسرية ؛ أن تكون قادرًا على حل المعادلات ثنائية الأبعاد والعقلانية الكسرية ؛

-تطوير : تكوين القدرة على إبراز الشيء الرئيسي والمقارنة والتحليل واستخلاص النتائج ؛

تكوين القدرة على صياغة المهام المعرفية ، وتخطيط النشاط المعرفي ؛

تطوير سمات الشخصية - الاجتهاد والدقة والمثابرة في تحقيق الهدف ؛

- تعليمي: إنتاج تقييم موضوعيإنجازاتهم تشكيل المسؤولية

تنمية مهارات العمل الجماعي.

7. نوع الدرس: فيمصير ترسيخ المعرفة.

8. أشكال عمل الطلاب: أمامي ، فرديمجموعة.

9. المعدات التقنية اللازمة: الكمبيوتر وجهاز العرض والمعرف.

البطاقة التكنولوجية للدرس

وعظي هيكل السماء جولة في الدرس	الهيكل المنهجي للدرس
وعظي هيكل السماء جولة في الدرس		تحديث المعرفة	تشكيل ZUN	حصره	مراقبة		إحاطة المنزل
	اعداد الطلاب للعمل في الفصل	توفير الدافع وتحديث المعارف والمهارات الأساسية	كرر الخوارزمية لحل البيكوادرا. ur-th وطرق حل fractional-rac. المعادلات	تعرف على الخوارزمية لحل البيكوادرا. ur-th وطرق حل fractional-rac. المعادلات والقدرة على تطبيقها عمليا	مجموعة عمل	إجراء تحليل وتقييم لمدى نجاح تحقيق هدف الدرس وتحديد آفاق العمل المستقبلي	توفير فهم للغرض والمحتوى وطرق أداء d / z
		اليوم سنكون ثنائي الوجوه. لإصلاح وجوه الاثني عشر الوجوه ، تحتاج إلى حل نوع معينالمعادلات. ما نوع المعادلة التي تعلمت حلها في الدروس السابقة؟	1. مع الطالب ، قم بصياغة هدف الدرس 2. كرر الخوارزمية لحل المعادلة biquadratic. شروط مساواة الكسر 0 ؛ صيغة الجذر التربيعي. المعادلات	1. تم اقتراح العديد من المتغيرات لصيغة الجذر التربيعي. اور. - اختر العرض الصحيح. رقم 2 2. إنشاء تطابق بين مراحل الخوارزمية ونقاط حل البيكيه. ur-i Prez. رقم 3 3. اختر من بين ثلاث إجابات شرطًا لوجود الكسر Prez. رقم 4 4. البحث عن خطأ في الحل الخاص بك. بريس. رقم 5	تقوم مجموعات من مستويات مختلفة بأداء المهام على البطاقات. التطبيق رقم 1 على الشريحة توجد وجوه الاثني عشر الوجوه بالإجابات الصحيحة. بريس. ل. رقم 6. يتم تعيين لون لكل فريق مسبقًا ، إذا قام الفريق بحل المعادلات بشكل صحيح ، فإن وجوهه المختارة ستطابق لونه في ثلاثة أماكن. في نهاية العمل ، يتحقق الطلاب من نتائج بناء عملية مسح للثني عشر الوجوه.	يلخص المعلم مع الطلاب العمل المنجز.	العمل على الخلل: إصلاح حل المعادلات العمل الطبقيالتي بها أخطاء
طرق التدريس		الإنجابية	الإنجابية	البحث الجزئي	استكشافية جزئية ، استكشافية ، ضبط النفس	التحكم الذاتي	التحكم الذاتي
أشكال org. الإدراكي-		أمامي	أمامي	أمامي	مجموعة	فرد ، أمامي	أمامي
نتيجة حقيقية	يتم تضمين جميع الطلاب في بيئة العمل	أعد الطلاب للتعلم النشط النشاط المعرفي	تعرف الطلاب على المعادلات التي تختزل إلى التربيعية وطرق حلها	يعرف الطلاب كيفية حل المعادلات التربيعية.	لدى الطلاب فكرة عن درجة استيعاب المواد التي درسوها ، والإنجازات والفجوات في الموضوع المدروس	أجرى الطالب تقييمًا ذاتيًا للمعرفة والمهارات المتعلقة بالموضوع ، وتم التوصل إلى استنتاج حول نتيجة عملهم	خلق الظروف لأداء الواجبات المنزلية

في هذا المقال سوف أريكم سبعة أنواع من خوارزميات الحل المعادلات المنطقية ، والتي يتم تقليلها إلى مربع واحد عن طريق تغيير المتغيرات. في معظم الحالات ، تكون التحولات التي تؤدي إلى الاستبدال غير مهمة للغاية ، ومن الصعب جدًا تخمينها بنفسك.

لكل نوع من المعادلات ، سأشرح كيفية إجراء تغيير متغير فيه ، وبعد ذلك سأعرض حلاً مفصلاً في الفيديو التعليمي المقابل.

لديك الفرصة لمواصلة حل المعادلات بنفسك ، ثم تحقق من الحل الخاص بك باستخدام فيديو تعليمي.

لذا ، لنبدأ.

1 . (x-1) (x-7) (x-4) (x + 2) = 40

لاحظ أن حاصل ضرب أربعة أقواس موجود في الجانب الأيسر من المعادلة ، والرقم في الجانب الأيمن.

1. دعنا نجمع الأقواس على اثنين بحيث يكون مجموع الحدود الحرة واحدًا.

2. اضربهم.

3. دعونا نقدم تغيير المتغير.

في معادلتنا ، نقوم بتجميع القوس الأول مع الثالث ، والثاني مع الرابع ، منذ (-1) + (-4) \ u003d (-7) + 2:

في هذه المرحلة ، يصبح التغيير المتغير واضحًا:

نحصل على المعادلة

إجابه:

2 .

معادلة من هذا النوع تشبه المعادلة السابقة مع اختلاف واحد: على الجانب الأيمن من المعادلة هو حاصل ضرب رقم بواسطة. ويتم حلها بطريقة مختلفة تمامًا:

1. نقوم بتجميع الأقواس على اثنين بحيث يكون حاصل ضرب المصطلحات المجانية هو نفسه.

2. نضرب كل زوج من الأقواس.

3. من كل عامل ، نخرج x من القوس.

4. قسّم طرفي المعادلة على.

5. نقوم بإدخال تغيير في المتغير.

في هذه المعادلة ، نقوم بتجميع القوس الأول مع الرابع ، والثاني مع القوس الثالث ، حيث:

لاحظ أن المعامل عند والمصطلح الحر في كل قوس متماثلان. لنخرج المضاعف من كل شريحة:

بما أن x = 0 ليس جذر المعادلة الأصلية ، فإننا نقسم طرفي المعادلة على. نحن نحصل:

نحصل على المعادلة:

إجابه:

3 .

لاحظ أن مقامات كلا الكسرين عبارة عن قيم ثلاثية الحدود ، حيث يكون المعامل الرئيسي والمصطلح الحر متماثلين. نخرج ، كما في معادلة النوع الثاني ، x من الأقواس. نحن نحصل:

اقسم بسط ومقام كل كسر على x:

الآن يمكننا إدخال تغيير في المتغير:

نحصل على معادلة المتغير t:

4 .

لاحظ أن معاملات المعادلة متماثلة بالنسبة للمعادلة المركزية. تسمى هذه المعادلة قابل للإرجاع .

لحلها

1. قسّم طرفي المعادلة على (يمكننا فعل ذلك لأن x = 0 ليس جذر المعادلة.) نحصل على:

2. جمّع المصطلحات على هذا النحو:

3. في كل مجموعة ، نخرج العامل المشترك:

4. لنقدم بديلاً:

5. دعونا نعبر عن التعبير بدلالة t:

من هنا

نحصل على معادلة t:

إجابه:

5. معادلات متجانسة.

يمكن مواجهة المعادلات التي لها بنية متجانسة عند حل الأسي واللوغاريتمي و المعادلات المثلثية، لذلك يجب التعرف عليه.

المعادلات المتجانسة لها الهيكل التالي:

في هذه المساواة ، A و B و C هي أرقام ، وتتم الإشارة إلى نفس التعبيرات بواسطة مربع ودائرة. أي على الجانب الأيسر من المعادلة المتجانسة هو مجموع المونوميرات التي لها نفس الدرجة (في هذه القضيةدرجة المونومال هي 2) ، ولا يوجد مصطلح مجاني.

لتحل معادلة متجانسة، قسّم كلا الجزأين على

انتباه! عند قسمة الجانبين الأيمن والأيسر من المعادلة على تعبير يحتوي على مجهول ، يمكن أن تفقد الجذور. لذلك ، من الضروري التحقق مما إذا كانت جذور التعبير الذي نقسم به كلا الجزأين من المعادلة هي جذور المعادلة الأصلية.

دعنا نذهب في الطريق الأول. نحصل على المعادلة:

نقدم الآن بديلًا متغيرًا:

بسّط التعبير واحصل على معادلة biquadratic لـ t:

إجابه:أو

7 .

هذه المعادلة لها الهيكل التالي:

لحلها ، تحتاج إلى تحديد الجانب الأيسر من المعادلة مربع كامل.

لتحديد مربع كامل ، تحتاج إلى إضافة أو طرح المنتج المزدوج. ثم نحصل على مربع المجموع أو الفرق. هذا أمر بالغ الأهمية لاستبدال متغير ناجح.

لنبدأ بإيجاد حاصل الضرب المزدوج. سيكون المفتاح لاستبدال المتغير. في معادلتنا منتج مزدوجيساوي

لنكتشف الآن ما هو أكثر ملاءمة لنا - مربع المجموع أو الفرق. ضع في اعتبارك ، بالنسبة للمبتدئين ، مجموع التعبيرات:

ممتاز! هذا التعبير يساوي ضعف حاصل الضرب بالضبط. بعد ذلك ، من أجل الحصول على مربع المجموع بين قوسين ، تحتاج إلى جمع وطرح حاصل الضرب المزدوج:

المعادلة التربيعية هي معادلة ax² + bx + c = 0 ، حيث a ، b ، c معطى أرقام ، a0 ، x غير معروف. عادةً ما تسمى المعاملات أ ، ب ، ج للمعادلة التربيعية على النحو التالي: أ - المعامل الأول أو الأعلى ، ب - المعامل الثاني ، ج - المصطلح الحر. على سبيل المثال ، في المعادلة 3x²-x + 2 = 0 ، المعامل الأول (الأول) أ = 3 ، المعامل الثاني ب = -1 ، والمصطلح المجاني ج = 2. يعود حل العديد من مسائل الرياضيات والفيزياء والتكنولوجيا إلى حل المعادلات التربيعية: 2x² + x-1 = 0 ، x²-25 = 0 ، 4x² = 0 ، 5t²-10t + 3 = 0. عند حل العديد من المشكلات ، يتم الحصول على المعادلات التي بمساعدة التحولات الجبريةخفضت إلى مربع. على سبيل المثال ، المعادلة 2x² + 3x = x² + 2x + 2 ، بعد نقل كل شروطها إلى الجانب الأيسر وإحضار الحدود المتشابهة ، تختزل إلى المعادلة التربيعية x² + x-2 = 0.

ضع في اعتبارك المعادلة نظرة عامة: ax² + bx + c = 0 ، حيث a0. تم العثور على جذور المعادلة بواسطة الصيغة: يسمى التعبير مميز المعادلة التربيعية. إذا كانت D 0 ، فإن للمعادلة جذرين حقيقيين. في الحالة التي تكون فيها D = 0 ، يُقال أحيانًا أن المعادلة التربيعية لها جذران متطابقان.

معادلات تربيعية غير مكتملة. إذا كانت المعادلة التربيعية ax² + bx + c = 0 المعامل الثاني b أو المصطلح المجاني c يساوي صفرًا ، فإن المعادلة التربيعية تسمى غير كاملة. يمكن أن تحتوي المعادلة التربيعية غير المكتملة على واحد من الأنواع التالية: معادلات غير كاملةمميز لأنه للعثور على جذورهم ، لا يمكنك استخدام صيغة جذور المعادلة التربيعية - فمن الأسهل حل المعادلة عن طريق تحليل جانبها الأيسر إلى عوامل.

تسمى المعادلة التربيعية بالصيغة x 2 + px + q = 0 مخفضة. في هذه المعادلة ، المعامل الرئيسي يساوي واحد: أ = 1. تم العثور على جذور المعادلة التربيعية أعلاه بواسطة الصيغة: هذه الصيغة ملائمة للاستخدام عندما يكون p عددًا زوجيًا. مثال: حل المعادلة x 2-14x-15 = 0. وفقًا للصيغة التي نجدها: الإجابة: × 1 \ u003d 15 ، × 2 \ u003d -1.

فرانسوا فيت؟ نظرية فييتا. إذا كانت المعادلة التربيعية المختزلة x 2 + px + q = 0 لها جذور حقيقية ، فإن مجموعها يساوي -p ، والمنتج يساوي q ، أي x 1 + x 2 = -p ، x 1 x 2 = q (مجموع جذور المعادلة المربعة المختزلة يساوي المعامل الثاني المأخوذ من علامة المعاكس، وحاصل ضرب الجذور يساوي المصطلح الحر). دراسة العلاقة بين الجذور والمعاملات لمعادلة تربيعية.

العبارة 1: لنفترض أن x 1 و x 2 هما جذور المعادلة x 2 + px + q = 0. ثم ترتبط الأرقام x 1 ، x 2 ، p ، q بالمساواة: x 1 + x 2 \ u003d - p ، x 1 x 2 \ u003d q البيان 2: دع الأرقام x 1 ، x 2 ، p ، q أن تكون مرتبطة بالمساواة x 1 + x 2 \ u003d - p، x 1 x 2 \ u003d q. ثم x 1 و x 2 هما جذور المعادلة x 2 + px + q \ u003d 0 النتيجة الطبيعية: x 2 + px + q \ u003d (x-x 1) (x-x 2). الحالات التي يمكن فيها استخدام نظرية فييتا. التحقق من صحة الجذور الموجودة. تحديد علامات جذور المعادلة التربيعية. الاكتشاف الشفوي للجذور الصحيحة للمعادلة التربيعية المعطاة. تجميع المعادلات التربيعية مع الجذور المعطاة. تقسيم ثلاثي الحدود مربعللمضاعفات.

المعادلات Biquadratic المعادلة البيكودية هي معادلة للصيغة ، حيث يكون 0. معادلة بكوادريتم حلها بإدخال متغير جديد: وضعنا ، نحصل على معادلة تربيعية t2 = 3. الآن يتم تقليل المشكلة إلى حل المعادلات x 2 = -7 ، x 2 = 3. المعادلة الأولى ليس لها جذور حقيقية ، من الثانية نجدها: وهي جذور المعادلة البيكودية المعطاة.

حل المشكلات باستخدام المعادلات التربيعية المشكلة الأولى: انطلقت الحافلة من محطة الباص إلى المطار الواقع على مسافة 40 كم. بعد 10 دقائق ، تبع أحد الركاب في سيارة أجرة الحافلة. - تزيد سرعة سيارة الأجرة بمقدار 20 كم / ساعة عن سرعة الحافلة. ابحث عن سرعة التاكسي والحافلة إذا وصلا إلى المطار في نفس الوقت. السرعة V (km / h) الوقت t (h) المسافة S (km) Busx40 TaxiX + 2040 لمدة 10 دقائق 10 min = h قم بتكوين المعادلة وحلها:

نضرب طرفي المعادلة في 6x (x + 20) ، نحصل على: جذور هذه المعادلة: بالنسبة لقيم x هذه ، فإن مقامات الكسور المتضمنة في المعادلة لا تساوي 0 ، لذلك فهي جذور المعادلة. نظرًا لأن سرعة الحافلة موجبة ، فإن جذرًا واحدًا فقط يفي بشرط المشكلة: x = 60. لذلك ، تبلغ سرعة التاكسي 80 كم / ساعة. الجواب: سرعة الحافلة 60 كم / ساعة ، وسرعة التاكسي 80 كم / ساعة.

المهمة 2: تقضي الطابعة الأولى ثلاث ساعات أقل في إعادة طباعة المخطوطة مقارنة بالثانية. بالعمل في وقت واحد ، انتهوا من إعادة طباعة المخطوطة بأكملها في 6 ساعات و 40 دقيقة. كم من الوقت سيستغرق كل منهم لإعادة طباعة المخطوطة بأكملها؟ عدد العمل في الساعة الوقت t (h) مقدار العمل عامل الطباعة الأول x1 عامل الطباعة الثاني x + 31 معًا لمدة 6 ساعات 40 دقيقة 6 ساعات 40 دقيقة = 6 ساعات اكتب وحل المعادلة:

يمكن كتابة هذه المعادلة على النحو التالي: بضرب طرفي المعادلة في 20x (x + 3) ، نحصل على: جذور هذه المعادلة: بالنسبة لقيم x هذه ، فإن مقامات الكسور المدرجة في المعادلة ليست كذلك يساوي 0 ، لذلك - جذور المعادلة. بما أن الوقت موجب ، س = 12 ساعة. لذلك ، يقضي الكاتب الأول 12 ساعة في العمل ، والثاني - 12 ساعة + 3 ساعات \ u003d 15 ساعة الإجابة: 12 ساعة و 15 ساعة 15

ولد فرانسوا فيت فرانسوا فييت عام 1540 في فرنسا. كان والد فييتا المدعي العام. اختار الابن مهنة والده وأصبح محامياً بعد تخرجه من جامعة بواتو. في عام 1563 ترك القانون وأصبح مدرسًا في عائلة نبيلة. كان التدريس هو الذي أثار اهتمام المحامي الشاب بالرياضيات. ينتقل فيت إلى باريس ، حيث يسهل التعرف على إنجازات علماء الرياضيات الرائدين في أوروبا. منذ عام 1571 ، احتلت فييت أهمية كبيرة المناصب الحكوميةولكن في عام 1584 تم إبعاده وطرده من باريس. الآن أتيحت له الفرصة لأخذ الرياضيات على محمل الجد. في عام 1591 ، نشر أطروحة "مقدمة في الفن التحليلي" ، حيث أظهر أنه من خلال العمل بالرموز ، يمكن للمرء الحصول على نتيجة تنطبق على أي كميات ذات صلة. تم نشر النظرية الشهيرة في نفس العام. حصل على شهرة كبيرة في عهد هنري الثاني خلال الحرب الفرنسية الإسبانية. في غضون أسبوعين ، بعد جلوسه في العمل ليلًا ونهارًا ، وجد مفتاح الشفرة الإسبانية. توفي في باريس عام 1603 ، ويشتبه في أنه قُتل.

تأمل مشكلة كوشي: (14) (15) أين توجد المعلمات. فيما يلي ، نعتبر الوظائف التي تعتمد على المعلمات من خلال حل مشكلة كوشي (14) ، (15). ثم ستعتمد معادلات التدرج اللوني على المشتقات فيما يتعلق بحل المسألة (14) ، (15) ...

تحديد معاملات العمليات المتذبذبة في الحياة الفطرية على غرار المعادلات التفاضلية

نكتب مسألة كوشي لمعادلات لوتكا (5) البند 2 باستخدام معيار أكثر تدوين رياضي: ، (1) ، (2) مشكلة كوشي (17) ، (18) البند 1 سيكون كالتالي: ، (3) ، (4) كما نرى ، مشكلة كوشي (1) ، (2) ، (3) ، (4) كثير الحدود ...

ثبات التوزيع الثابت لشبكة ثلاثية العقد الطابور

افترض أن هناك توزيعًا ثابتًا. لنقم بإنشاء معادلة توازن ...

اندماج المعادلات التفاضليةباستخدام سلسلة الطاقة

المعادلة التفاضلية العادية من الرتبة n لوظيفة الوسيطة هي علاقة من الشكل (1.10) حيث - وظيفة معينةحججهم. باسم هذه الفئة معادلات رياضيةمصطلح "التفاضلية" يؤكد ...

المعادلات غير المنطقية

مثال 1. حل المعادلة. المحلول. لنقم بتربيع طرفي المعادلة الأصلية الإجابة: (6). مثال 2. حل المعادلة. المحلول. الحساب على الجانب الأيسر من المعادلة الأصلية الجذر التربيعي- هو بحكم التعريف غير سلبي ...

المعادلات غير المنطقية

في كثير من الأحيان ، عند حل معادلات من هذا النوع ، يستخدم الطلاب الصيغة التالية لخاصية المنتج "ناتج عاملين يساوي صفرًا عندما يكون أحدهما على الأقل مساويًا للصفر". ملحوظة...

المعادلات غير المنطقية

يمكن حل هذه المعادلات باستخدام الطريقة الأساسية لحل المعادلات غير المنطقية (تربيع طرفي المعادلة) ، ولكن في بعض الأحيان يمكن حلها بطرق أخرى. ضع في اعتبارك المعادلة (1). يجب أن يكون جذر المعادلة (1) ...

المعادلات التربيعيةتم حلها في الهند. تم العثور بالفعل على مشاكل المعادلات التربيعية في الأطروحة الفلكية Aryabhattam ، التي جمعتها في 499 عالم الرياضيات والفلك الهندي أرياباتا. عالم هندي آخر ...

المعادلات التربيعية والعليا

معادلة الإرجاع هي معادلة جبرية a0xn + a1xn - 1 + ... + an - 1x + an \ u003d 0 ، حيث ak \ u003d an - k ، حيث k \ u003d 0 ، 1 ، 2 ... n علاوة على ذلك ، أليس كذلك؟ 0 ...

التبعيات الخطية والتربيعية ، الوظيفة س والمعادلات والمتباينات ذات الصلة

في بعض مهام امتحان القبول ، لا يلزم فقط التحقق من موقع جذور ثلاثي الحدود المربع ، ولكن لمعرفة قيم المعلمة التي يتم استيفاء هذا البيان المنطقي أو ذاك ...

دالة لوغاريتميةفي المهام

مثال 1. حل المعادلة. الحل: المنطقة القيم المسموح بها- مجموعة من كل شيء أرقام حقيقيةمنذ ذلك الحين للجميع. من خلال تعريف اللوغاريتم ، لدينا احصل على المعادلة الأسيةوالتي سنحلها بطريقة الاختزال إلى الجبرية ...

طريقة حل المعادلات من نوع الالتواء

مثال 3.1. المعادلات غير الخطيةمع نواة هيلبرت: (3.12) (3.13) لديهم حل فريد في فضاء هيلبرت. في عام 1977 م. اعتبر ماغوميدوف معادلات تكاملية مفردة غير خطية مع نواة كوشي من الشكل (3 ...

الطرق التقريبية لحل مسائل القيمة الحدية للمعادلات التفاضلية ذات المشتقات الجزئية

تذكر معادلة بواسون (4) (4) في الممارسة العملية ، يتم استخدام العديد من القوالب لإنشاء مخططات الفروق المحدودة. 1- مخطط الفروق المحدودة "تقاطع" ...

تطبيق التفاضلية و حساب متكامللحل المادية و مشاكل هندسيةفي MATLab

عديدة القوانين الفيزيائيةلها شكل المعادلات التفاضلية ، أي العلاقات بين الوظائف ومشتقاتها. مهمة دمج هذه المعادلات هي أهم مهمةالرياضيات...

تطبيق التعويض المثلثي لحل المسائل الجبرية

غالبًا ما توجد المعادلات غير المنطقية في امتحانات القبولفي الرياضيات ، لأنه بمساعدتهم يسهل تشخيص المعرفة بمفاهيم مثل التحولات المكافئةوالنطاق وغيرها ...

أنواع المعادلات القياسية وطرق حلها

1. معادلة النموذج
= ب↔ و (س) = ب 2 ، من أجل ب 0 ؛ ليس لديه حلول ل b

قاعدة ذهبية.لحل الجذر ، تحتاج إلى عزل.

أمثلة.

3)
. لا توجد حلول لأن

2. معادلة النموذج

أمثلة.

الجواب: س = - 1

2) في الأمثلة مخفضة إلى هذه الأنواعالمعادلات ، عند تطبيق انتقالات مكافئة ، من الضروري إيجاد نطاق القيم المسموح بها.

مثال.

إجابه

3. معادلة النموذج

أو

اختر المتباينة الأسهل.

أمثلة.

، sinх = t، | t | ≤ 1 ، t ≥ 0 ، 0 ≤ t ≤ 1

2 طن 2 + ر - 1 = 0

ر = -1 ، ر = ½ مقيدة t = ½

إجابه:

4. المعادلات التي تختزل إلى المربعات

تحتوي هذه المعادلات على جذور لها نفس التعبيرات الجذرية ، والتي تختلف درجاتها بمعامل اثنين (
). حل عن طريق تغيير الجذر
، مع مراعاة القيود.

أمثلة.

= t ، حيث t ≥ 0

ر 2 - 2 ر - 3 = 0 ، ر = - 1 ، ر = 3 ، بالنظر إلى أن تي 0 ، تي = 3

= 3

الجواب: س = ± 7

= t إذن

= 2 أو = ½

= 32 = 1/32

16z \ u003d 32 16 32z - z \ u003d - 1

ض = 2 ض = - 1/511
5. معادلات تحتوي على أكثر من جذر كمصطلحات

في معادلات من هذا النوع ، من الضروري التخلص من الجذور. يحدث هذا غالبًا عن طريق تربيع كلا الجزأين. تجدر الإشارة إلى أنه عند تربيع ODZ للمجهول ، فإنه يتمدد ، مما قد يؤدي إلى جذور أجنبيةالمعادلات. لا يوفر التربيع انتقالًا مكافئًا ، لذلك يجب التحقق من القيم التي تم الحصول عليها من المجهول.

عند اتخاذ القرار ، يجب مراعاة القواعد التالية:

نثر الجذور جوانب مختلفة، لأن التحولات في هذه الحالة أبسط ؛
أوجد مجموعة القيم التي توجد لها الجذور ؛
مربع كلا الجزأين ؛
أحضر المعادلة إلى الشكل القياسي ؛
حل حسب الأنواع 1 - 3 ؛
استبعاد الجذور الدخيلة ؛
تحقق من الجذور المتبقية.

أمثلة.

نحلها بتنفيذ البند 5 (معادلة النموذج)

تحقق من x = 3

المساواة صحيحة.

الجواب: س = 3.
2)

3x - 4 - 2
= س - 2

2 س - 2 = (1) س - 1 =

لاحظ أنه بناءً على التكافؤ ، نحل المعادلة (1) فقط ، وليس المعادلة الأصلية ، لذلك نحتاج إلى التحقق.

من الممكن حلها دون مراعاة ODZ وعدم استخدام التكافؤ ، ولكن في هذه الحالة يجب التحقق من جميع قيم x التي تم الحصول عليها. في بعض المعادلات ، هذا صعب للغاية.

فحص. س = 3

المساواة صحيحة.

الجواب: س = 3
6. تحل المعادلات بطريقة تغيير المتغيرات.

6.1 الاستبدالات الواضحة.

إذا كان المثال يحتوي على أعضاء بتعبيرات متكررة ، فمن المستحسن تغيير المتغيرات ، والتي في الواقع ليست حلاً مباشرًا ، ولكنها تبسط بشكل كبير تحويل التعبيرات وإحضار المعادلة إلى شكل قياسي.

قاعدة ذهبية . تم إجراء بديل - حدد نطاق المتغير الجديد. (ضع قيودًا على المتغير الجديد)

أمثلة.

دعونا = t ، حيث t ≥ 0 ، منذ الجذر الحسابي.

نحصل على: t 2 - 2t - 3 \ u003d 0

ر = -1 ، ر = 3

لأن t ≥ 0، t = 3

لننتقل إلى x

\ u003d 3 × 2 + 32 \ u003d 81 ، س \ u003d ± 7.

الجواب: س = ± 7.

T. إلى.
و
تعابير معكوسة بشكل متبادل ، ثم إذا
= ر ،

= ، حيث t> 0.

نحصل على t + = ، 2t 2-5t + 2 = 0 ،

ر = ½ ، ر = 2 ،

= أو = 2

8 س = 1 + 2 س ، 2 س = 4 + 8 س

س = 1/6. س = - 2/3

أكبر جذر هو x = 1/6.

= t، t ≥ 0 غيّر الجذر وعبر عن الطرف الأيمن بدلالة t.

\ u003d ر 2 ،
ر 2 - 20

t \ u003d - (t 2 - 20) ، t 2 + t - 20 \ u003d 0. t \ u003d - 5 أو t \ u003d 4.

لان t ≥ 0 ، ثم t = 4

= 4,

س 2 + 2 س + 8 = 16 ،

س 2 + 2 س - 8 = 0 ، س = - 4 أو س = 2.

الجواب: س \ u003d - 4 ، س \ u003d 2.

4)
. هيا ننتج استبدال مزدوج:

ر =
، حيث t ≥ 0 ، د =
حيث د ≥ 0.

نعبر عن x من كل: x \ u003d 5 - t 2 أو x \ u003d d 2 + 3. دعنا نحصل على النظام:

. ر = 0 أو د = 0

= 0 أو = 0

س = 5 أو س = 3

الجواب: س = 5 ؛ س = 3.

6.2 استبدال غير واضح

قد لا يحدث الاستبدال المتغير على الفور ، ولكن بعد التحولات.

أمثلة.

ODZ: - 1 x ≤ 3

إعادة الجدولة
الحق في المزيد تعبير معقد
بقيت واحده.

دعونا نربّع كلا الجزأين ، ونتوقع نفس التعبيرات:

كانت التوقعات مبررة.

= ر ، ر ≥0
= ر 2 + 4

4t \ u003d t 2 + 4، t 2-4t + 4 \ u003d 0، (t - 2) 2 \ u003d 0، t \ u003d 2

= 2,
= 4,

x \ u003d 1 هو جذر المعادلة ، لأن مجموع المعاملات والمصطلح المجاني هو صفر.

دعونا نقسم
على x - 1. نحصل على x 2 - 2x + 1 \ u003d 0. x \ u003d 1 ±
.

جميع الجذور الثلاثة عبارة عن حلول ، لأنها تحقق الشرط - 1 x ≤ 3.

الجواب: س = 1 ، س = 1 ±
7. معادلات المنتج النموذجي تساوي صفرًا.

يكون المنتج مساويًا للصفر عندما يكون أحد العوامل على الأقل مساويًا للصفر ، بينما لا يفقد الآخر معناه.

و (س) ز (س) = 0

أمثلة.

= 0

لا توجد حلول س = - 1 ، س = 2.

الجواب: س \ u003d - 1 ، س \ u003d 2.

لا يمكن حل المتباينات المتضمنة في النظام على الفور ، ولكن استبدال الجذر الناتج في المتباينة.

2) من الضروري التحليل.

= 4

لا توجد حلول س = 0 ، س = 5.

الجواب: س = 0 ، س = 5.

معادلات تحتوي على جذور تربيعية وتكعيبية.

يجب حل هذه المعادلات عن طريق استبدال كل جذر ، والتعبير عن المجهول من حيث المتغيرات المستبدلة ، وتجميع نظام المعادلات.

أمثلة.

= ر ،
= د ، حيث د ≥ 0

x \ u003d 2 - t 3، x \ u003d d 2 + 1. لنصنع نظامًا:

لان لجميع القيم التي تم العثور عليها t d ≥ 0 ، فلا يمكن العثور على d من النظام ، ويمكن العثور على x من الحالة x = 2 - t 3.

س = 2 ، س = 10 ، س = 1

الجواب: س = 2 ، س = 10 ، س = 1

2)
.

1 الطريق. حل المعادلة السابقة.

2 طريقة. لاحظ أن الجانب الأيسر من المعادلة يمثل دالة متزايدة ، لأنه يتكون من مجموع وظيفتين متزايدتين في مجال التعريف: x ≥ - 1. الجزء الأيمنثابت. تتقاطع الرسوم البيانية لهذه الدوال عند نقطة واحدة ، والتي ستكون حدودها هي الحل لهذه المعادلة ، أي أن المعادلة لها حل واحد. دعنا نحاول استلامه.

من الواضح أن الاختيار يجب أن يتم في معادلة ODZ. لا بد من افتراض أن الجذور يجب أن تُستخرج لأن. المجموع 3.

نتأكد من أن x \ u003d 3 هو جذر المعادلة.

الجواب: س = 3.

3)
.

لان
نحضر الجذور إلى نفس الدرجة.

، س = - 1

(x + 1) (x 2 - 4x + 4)

× 2 - 4x + 4 \ u003d 0 × \ u003d 2.

كلا الجذور ترضي ODZ.

الجواب: س \ u003d - 1 ، س \ u003d 2

معادلة تحتوي على مجموع (فرق) جذرين من الدرجة الثالثة.

لحل هذه المعادلات ، من الملائم استخدام الصيغة:

(أ + ب) 3 = أ 3 + ب 3 + 3 أب (أ + ب) ،

(أ - ب) 3 = أ 3 - ب 3 - 3 أب (أ - ب).

لاحظ أن القوس (أ ± ب) =

أمثلة.

1)
. دعنا نرفع كلا الجزأين إلى مكعب:

ولكن
= 2 ، لذا استبدل القوس الأخير بـ 2.

احصل على

س = 0

الجواب: س = 0.

لاحظ أن التعبيرات 2 - x و 7 + x مكررة. لنقم باستبدال:

ر =
، د =
. حيث x \ u003d 2 - t 3 أو x \ u003d d 3-7

لا يمكنك إيجاد t و d ، لكن استخدم حقيقة أن td = 2

= 2

- x 2-5x + 14 \ u003d 8، x 2 + 5x - 6 \ u003d 0، x \ u003d - 6، x \ u003d 1.

الجواب: س \ u003d - 6 ، س \ u003d 1.

معادلات تحتوي على جذور معقدة.

في وجود الجذور المعقدة ، على سبيل المثال ، الجذر تحت الجذر ، استخدم برنامج الإجراءات التالي:

حدد ما إذا كان التعبير الجذري ليس مربعًا كاملًا ؛
حدد المربع الكامل ؛
في حالة عدم وجود الفقرة 1 ، قم بتطبيق صيغ الجذور المعقدة ؛
في حالة عدم وجود العناصر 1-3 ، قم بتطبيق التحويلات القياسية (الاستبدال ، التحليل ، الأس ، إلخ.)

أمثلة.

دعنا نحاول إيجاد مربع كامل. (أ ± ب) 2 = أ 2 ± 2 أب + ب 2. يجب أن تفكر في الأمر على النحو التالي:

يترك
- منتج مزدوج ، 2ab.

يترك
- الرقم الأول أ.

ثم الرقم الثاني ب \ u003d 1. إذن ، مجموع مربعي الرقمين الأول والثاني هو x - 3. التعبير الجذر هو مربع كامل.

يترك
- عمل مضاعف.

اسمحوا أن يكون الرقم الأول أ.

ثم الرقم الثاني ب = 2. إذن مجموع مربعي الرقمين الأول والثاني هو x. التعبير الجذر هو مربع كامل.

+ = 1

لان
│a│ ، ثم نحصل على المعادلة:
│
│ + │
│ = 1

الآن لنجعل الاستبدال = t ، = t - 1

│ر │ + │t - 1 │ = 1

أوجد أصفار الوحدات النمطية: t = 0، t = 1

│تي

- │ + │ +

│ر - 1-0-1 + س

لا توجد حلول
لا توجد حلول

0 ≤ ≤ 1

1 ≤ 2 جميع أجزاء المتباينة موجبة ، فلنربّعها.

1 × س - 4 × 4 ، 5 × × 8.

إجابه:

طرق حل المعادلات غير المنطقية

استخدام خصائص رتابة الوظائف.

11.1 إذا كانت f (x) = g (x) ، و f (x) - تزيد (تنقص) و g (x) - تنقص (تزداد) أو إذا كانت إحدى الوظائف ثابتة ، فإن الرسوم البيانية لهذه الوظائف تتقاطع عند واحد نقطة. حل المعادلة هو حدود نقطة التقاطع. للمعادلة حل واحد يمكن تحديده بالاختيار.

عند القيام بذلك ، ضع في اعتبارك ما يلي:

مجموع وظيفتين متزايدتين (متناقصة) هو دالة متزايدة (متناقصة).
يمكن تحديد الزيادة والنقصان في الوظيفة من خلال المشتق.

أمثلة.

1)
.

دع f (x) =
. f (x) - تناقص في D (f) = (-؛ 3]

ز (س) = 6 ثابت. الرسوم البيانية للوظائف تتقاطع عند نقطة واحدة. المعادلة لها حل واحد.

نختار من D (f) = (-؛ 3] ، مع الأخذ في الاعتبار أنه يجب استخراج الجذور.

س = - 1.

فحص.

، 4 + 2 = 6 ، المساواة صحيحة.

الجواب: س = - 1.

دع f (x) =
. الوظيفة تتناقص.

دعنا نثبت ذلك. د (و) =

و ′ (س) =

و ′ (س) = 0 ، = 0 ، س = 2 د (و)

و (1) =
, و (2) = 3، و (3) =

ه (و) = [؛ 3]

ز (س) =
, د (ز) =

ز ′ (س) =

ز ′ (س) = 0 = 0 ، س = 1 د (ز)

ز (0) = 3 ، ز (1) = 4 ، ز (2) = 3

ه (ز) =

لاحظ أنه يتم الحصول على نفس قيمة الوظائف فقط من أجل x = 2

يمكن أيضًا الجدال على النحو التالي: أعلى قيمةدالة واحدة تساوي أصغر قيمةدالة أخرى لنفس قيم x. لذلك ، فإن حل المعادلة f (x) = g (x) هو قيم x هذه.

max f = 3 ، min g = 3 ، max f = min g = 3 عند x = 2

الجواب: س = 2

1 الطريق.

دع f (x) =
, د(F) = ص.

و ′ (س) \ u003d 4x 3 + 12x 2 + 12x + 4

و ′ (س) \ u003d 0 4x 3 + 12x 2 + 12x + 4 \ u003d 0 ،

س 3 + 3 س 2 + 3 س + 1 = 0 ، (س + 1) 3 = 0

س = - 1
و ′ (س) - │ +

و (خ) - 1
و دقيقة = و (-1) = - 1 هـ (و) = [- 1 ؛ ∞)
ز (س) =
د (ز) = ر.

ز ′ (س) =
، ز ′ (س) = 0 س = - 1

ز ′ (س) + -

ز (خ) │-1

g max = g (-1) = - 1 E (g) = (- ∞ ؛ - 1]
دقيقة f \ u003d max g \ u003d - 1 عند x \ u003d -1.

الجواب: س = - 1.

2 طريقة.

حدد المربع الكامل لكثير الحدود:

(س 2 + 2 س) 2 + 2 س 2 + 4 س. نحن نحصل:

(X 2 + 2x) 2 + 2 (x 2 + 2x) +
.

يمكنك الآن إجراء استبدال:

س 2 + 2 س = ر

t2 + 2t +
= 2

من الممكن أن يكون في معادلة معينةالطريقة الثانية هي الأفضل. لكن يجب إتقان طريقة التقييم بشكل جيد ، حيث يتم حل العديد من المعادلات والأنظمة وعدم المساواة بهذه الطريقة.

استخدام DHS

في بعض الأحيان يكون من المفيد العثور على ODZ للمجهول ، مما قد يؤدي إلى تضييق البحث عن حل وحل المعادلة نفسها.
يظهر التحليل أن تطبيق أي طرق صعب. دعنا نحاول إيجاد ODZ.
إذن ، x = 4 هي القيمة الوحيدة الممكنة.
فحص.
، 0 = 0 المساواة صحيحة.
الجواب: س = 4.
14. استخدام التفاوتات الواضحة
ومن المعروف أن
(المتوسط الحسابي أكبر من أو يساوي الوسط الهندسي). في هذه الحالة ، يتم ملاحظة المساواة إذا أ = ب.
إذا كان هناك منتج تحت الجذر في المعادلة ، فمن المستحسن تطبيق هذه الخاصية.
أمثلة.
1)

نحن نحلل التعبير الجذري إلى عوامل.
دع أ = س + 1 ، ب = 2 س + 3 ، ثم أ + ب = 3 س + 4.
الوسط الهندسي على الجانب الأيسر ، المتوسط الحسابي على الجانب الأيمن.
ستكون المساواة إذا أ = ب.
س + 1 = 2 س + 3 ، س = - 2.
الجواب: س = - 2.
15. استخدام المنتج النقطي
دع المتجه له إحداثيات (أ 1 ؛ أ 2) ، المتجه (ب 1 ؛ ب 2).
ثم منتج عددي\ u003d أ 1 ب 1 + أ 2 ب 2. لأن أ 1 ب 1 + أ 2 ب 2 = ││ ∙ ││ cosα ، لذلك ، أ 1 ب 1 + أ 2 ب 2 ≤ ││ ∙
││ =
││=
│ =

النظر في استخدام DHS ؛

ضع في اعتبارك استخدام رتابة الوظيفة ؛

ضع في اعتبارك استخدام خصائص الوظيفة (النطاق ، الأكبر ، الأصغر) ، أي تطبيق عشرات

ضع في اعتبارك استخدام التعبيرات المقابلة ؛

ضع في اعتبارك استخدام عدم المساواة الواضحة ، حاصل الضرب النقطي.
لاحظ أنه يمكن حل نفس المعادلة طرق مختلفة. تحتاج إلى اختيار الطريقة التي يتم تعلمها بشكل أفضل ، والتي تكون أكثر منطقية لهذه المعادلة.