الحل: لحل هذه المشكلة ، نستخدم الصيغة N = 2 - الحل. مبدأ الاستقراء الرياضي

إذا كانت الجملة أ (ن) ، اعتمادًا على عدد طبيعي n صحيح لـ n = 1 ، وبما أنه صحيح لـ n = k (حيث k هو أي رقم طبيعي) ، فإنه يتبع أنه صحيح بالنسبة لـ الرقم القادم n = k + 1 ، ثم الافتراض A (n) صحيح لأي عدد طبيعي n.

في عدد من الحالات ، قد يكون من الضروري إثبات صحة بيان معين ليس لجميع الأعداد الطبيعية ، ولكن فقط لـ n> p ، حيث p هو رقم طبيعي ثابت. في هذه الحالة ، المبدأ الاستنتاج الرياضيتمت صياغته على النحو التالي.

إذا كان الاقتراح A (n) صحيحًا لـ n = p وإذا كان A (k) X A (k + 1) لأي k> p ، فإن الاقتراح A (n) يكون صحيحًا لأي n> p.

يتم إثبات طريقة الاستقراء الرياضي على النحو التالي. أولاً ، يتم التحقق من التأكيد المراد إثباته لـ n = 1 ، أي ، تم إثبات حقيقة البيان أ (1). يسمى هذا الجزء من الإثبات أساس الاستقراء. يتبع ذلك جزء من الدليل يسمى خطوة الاستقراء. في هذا الجزء ، تم إثبات صحة العبارة لـ n = k + 1 على افتراض أن العبارة صحيحة لـ n = k (الافتراض الاستقرائي) ، أي إثبات أن A (k) ~ A (k + 1)

أثبت أن 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n 2.

1) لدينا n = 1 = 1 2. لذلك ، البيان صحيح لـ n = 1 ، أي أ (1) صحيح
2) دعنا نثبت أن A (k) ~ A (k + 1)

لنفترض أن k أي عدد طبيعي ودع العبارة تكون صحيحة من أجل n = k ، أي

1 + 3 + 5 + ... + (2 ك -1) = ك 2

دعنا نثبت أن التأكيد صحيح أيضًا بالنسبة للعدد الطبيعي التالي n = k + 1 ، أي ماذا او ما

1 + 3 + 5 + ... + (2k + 1) = (ل + 1) 2 بالفعل ،
1 + 3 + 5 + ... + (2 ك -1) + (2 ك + 1) = ك 2 + 2 ك + 1 = (ك + 1) 2

إذن ، أ (ك) × أ (ك + 1). بناءً على مبدأ الاستقراء الرياضي ، نستنتج أن الافتراض A (n) صحيح لأي n О N

اثبت ذلك

1 + x + x 2 + x 3 + ... + x n \ u003d (x n + 1 -1) / (x-1) ، حيث x رقم 1

1) بالنسبة إلى n = 1 نحصل على
1 + س = (س 2 -1) / (س -1) = (س -1) (س + 1) / (س -1) = س + 1

لذلك ، بالنسبة لـ n = 1 الصيغة صحيحة ؛ أ (1) صحيح

2) دع k يكون أي عدد طبيعي ودع الصيغة صحيحة لـ n = k ،
1 + س + س 2 + س 3 + ... + س ك = (س ك + 1 -1) / (س -1)

دعونا نثبت ذلك ثم المساواة

1 + س + س 2 + س 3 + ... + س ك + س ك + 1 = (س ك + 2 -1) / (س -1) في الواقع
1 + х + х 2 + س 3 + ... + х ك + س ك + 1 = (1 + س + س 2 + س 3 + ... + س ك) + س ك + 1 =

= (س ك + 1 -1) / (س -1) + س ك + 1 = (س ك + 2 -1) / (س -1)

إذن A (k) ⋅ A (k + 1). بناءً على مبدأ الاستقراء الرياضي ، نستنتج أن الصيغة صحيحة لأي عدد طبيعي n

إثبات أن عدد الأقطار المحدبة n-gon هو n (n-3) / 2

الحل: 1) بالنسبة إلى n = 3 ، فإن العبارة صحيحة ، لأن في المثلث

أ 3 = 3 (3-3) / 2 = 0 قطري ؛ أ 2 أ (3) صحيح

2) افترض أنه في أي محدب يحتوي k-gon على A 1 sya A k \ u003d k (k-3) / 2 قطريًا. A k دعنا نثبت أنه في حالة محدبة A k + 1 (k + 1) - على عدد الأقطار A k + 1 = (k + 1) (k-2) / 2.

دعونا А 1 А 2 А 3 ... A k A k + 1 -convex (k + 1) -gon. لنرسم قطريًا A 1 A k فيه. للعد الرقم الإجماليأقطار من هذا (ك + 1) - ، تحتاج إلى حساب عدد الأقطار في k-gon A 1 A 2 ... A k ، أضف k-2 إلى الرقم الناتج ، أي عدد الأقطار للمضلع (k + 1) المنبثق من الرأس A k + 1 ، بالإضافة إلى ذلك ، يجب على المرء أن يأخذ في الاعتبار القطر A 1 A k

في هذا الطريق،

G k + 1 = G k + (k-2) + 1 = k (k-3) / 2 + k-1 = (k + 1) (k-2) / 2

إذن A (k) ⋅ A (k + 1). نظرًا لمبدأ الاستقراء الرياضي ، فإن العبارة صحيحة لأي محدب n-gon.

إثبات أن العبارة صحيحة لأي n:

1 2 +2 2 +3 2 + ... + n 2 = n (n + 1) (2n + 1) / 6

الحل: 1) دع n = 1 ، ثم

X 1 \ u003d 1 2 \ u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 = 1

2) افترض أن n = k

X k \ u003d k 2 \ u003d k (k + 1) (2k + 1) / 6

3) ضع في اعتبارك هذه العبارة من أجل n = k + 1

Xk + 1 = (ك + 1) (ك + 2) (2 ك + 3) / 6

س ك + 1 = 1 2 +2 2 +3 2 + ... + ك 2 + (ك + 1) 2 = ك (ك + 1) (2 ك + 1) / 6 + + (ك + 1) 2

= (ك (ل + 1) (2 ك + 1) +6 (ك + 1) 2) / 6 = (ك + 1) (ك (2 ك + 1) +

6 (ك + 1)) / 6 = (ك + 1) (2 ك 2 + 7 ك + 6) / 6 = (ك + 1) (2 (ك + 3/2) (ك +

2)) / 6 = (ك + 1) (ك + 2) (2 ك + 3) / 6

لقد أثبتنا صحة المساواة لـ n = k + 1 ، لذلك ، بحكم طريقة الاستقراء الرياضي ، فإن العبارة صحيحة لأي n طبيعي

إثبات أن المساواة صحيحة لأي نوع طبيعي:

1 3 +2 3 +3 3 + ... + ن 3 = ن 2 (ن + 1) 2/4

الحل: 1) دع n = 1

ثم X 1 = 1 3 = 1 2 (1 + 1) 2/4 = 1. نرى أن العبارة n = 1 صحيحة.

2) افترض أن المساواة صحيحة لـ n = k

X ك \ u003d ك 2 (ك + 1) 2/4

3) دعنا نثبت صحة هذا البيان لـ n = k + 1 ، أي

X k + 1 = (k + 1) 2 (k + 2) 2/4. X k + 1 = 1 3 +2 3 +… + k 3 + (k + 1) 3 = k 2 (k + 1) 2/4 + (k + 1) 3 = (k 2 (k ++ 1) 2 +4 (ك + 1) 3) / 4 = (ك + 1) 2 (ك 2 + 4k + 4) / 4 = (ك + 1) 2 (ك + 2) 2/4

يمكن أن نرى من الدليل أعلاه أن العبارة صحيحة لـ n = k + 1 ، وبالتالي ، فإن المساواة صحيحة لأي n طبيعي

اثبت ذلك

((2 3 +1) / (2 3 -1)) ґ ((3 3 +1) / (3 3 -1)) ґ ... ґ ((ن 3 +1) / (ن 3 -1)) = 3n (n + 1) / 2 (n 2 + n + 1) ، حيث n> 2

الحل: 1) بالنسبة إلى n = 2 ، تبدو الهوية كما يلي:

(2 3 +1) / (2 3 -1) = (3 ґ 2 ґ 3) / 2 (2 2 + 2 + 1) ، أي هذا صحيح
2) افترض أن التعبير صحيح من أجل n = k
(2 3 +1) / (2 3 -1) ґ ... ґ (ك 3 +1) / (ك 3 -1) \ u003d 3 ك (ك + 1) / 2 (ك 2 + ك + 1)
3) سنثبت صحة التعبير عن n = k + 1
(((2 3 +1) / (2 3 -1)) ґ… ґ ((ك 3 +1) / (ك 3 -1))) ґ (((ك + 1) 3 +

1) / ((k + 1) 3-1)) = (3k (k + 1) / 2 (k 2 + k + 1)) ґ ((k + 2) ((k +

1) 2 - (ك + 1) +1) / ك ((ك + 1) 2 + (ك + 1) +1)) = 3 (ك + 1) (ك + 2) / 2 ґ

ґ ((ك + 1) 2 + (ك + 1) +1)

لقد أثبتنا صحة المساواة لـ n = k + 1 ، لذلك ، بحكم طريقة الاستقراء الرياضي ، فإن العبارة صحيحة لأي n> 2

اثبت ذلك

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 + ... + (2n-1) 3 - (2n) 3 = -n 2 (4n + 3) لأي ن طبيعي

الحل: 1) دع n = 1 ، ثم

1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7
2) افترض أن n = k ثم
1 3 -2 3 +3 3-4 3 + ... + (2k-1) 3 - (2k) 3 = -k 2 (4k + 3)
3) سنثبت صحة هذا البيان لـ n = k + 1
(1 3-2 3 + ... + (2k-1) 3 - (2k) 3) + (2k + 1) 3 - (2k + 2) 3 = -k 2 (4k + 3) +

+ (2 ك + 1) 3 - (2 ك + 2) 3 = - (ك + 1) 3 (4 (ك + 1) +3)

ثبت أيضًا صحة المساواة لـ n = k + 1 ، وبالتالي فإن العبارة صحيحة لأي n طبيعي.

إثبات صحة الهوية

(1 2/1 ґ 3) + (2 2/3 ґ 5) + ... + (n 2 / (2n-1) ґ (2n + 1)) = n (n + 1) / 2 (2n + 1) لأي ن طبيعي

1) بالنسبة إلى n = 1 ، تكون الهوية صحيحة 1 2/1 ґ 3 = 1 (1 + 1) / 2 (2 + 1)
2) افترض أن ن = ك
(1 2/1 ґ 3) + ... + (ك 2 / (2 ك -1) ґ (2 ك + 1)) = ك (ك + 1) / 2 (2 ك + 1)
3) نثبت أن الهوية صحيحة لـ n = k + 1
(1 2/1 ґ 3) + ... + (ك 2 / (2 ك -1) (2 ك + 1)) + (ك + 1) 2 / (2 ك + 1) (2 ك + 3) = (ك (ك + 1) ) / 2 (2 ك + 1)) + ((ك + 1) 2 / (2 ك + 1) (2 ك + 3)) = ((ك + 1) / (2 ك + 1)) ґ ((ك / 2) + ((ك + 1) / (2 ك + 3))) = (ك + 1) (ك + 2) ґ (2 ك + 1) / 2 (2 ك + 1) (2 ك + 3) = (ك + 1) (ك + 2) / 2 (2 (ك + 1) +1)

يمكن أن نرى من الدليل أعلاه أن التأكيد صحيح لأي عدد صحيح موجب ن.

أثبت أن (11 n + 2 +12 2n + 1) قابلة للقسمة على 133 بدون باقي

الحل: 1) دع n = 1 ، ثم

11 3 +12 3 =(11+12)(11 2 -132+12 2)=23 ґ 133

لكن (23 ґ 133) قابلة للقسمة على 133 بدون باقي ، لذلك فإن العبارة n = 1 صحيحة ؛ أ (1) هو الصحيح.

2) افترض أن (11 k + 2 +12 2k + 1) قابلة للقسمة على 133 بدون الباقي
3) دعنا نثبت أنه في هذه الحالة (11 k + 3 +12 2k + 3) قابل للقسمة على 133 بدون الباقي. في الواقع
11 ك + 3 +12 2 ك + 3 = 11 11 ك + 2 +12 2 ґ 12 2 ك + 1 = 11 ґ 11 ك + 2 +

+ (11 + 133) ґ 12 2 ك + 1 = 11 (11 ك + 2 +12 2 ك + 1) +133 ґ 12 2 ك + 1

المقدار الناتج قابل للقسمة على 133 بدون باقي ، حيث أن المصطلح الأول قابل للقسمة على 133 بدون باقي على افتراض ، وفي العامل الثاني هو 133. إذن ، A (k) Yu A (k + 1). بحكم طريقة الاستقراء الرياضي ، تم إثبات التأكيد

أثبت أن أي n 7 n -1 يقبل القسمة على 6 بدون الباقي

1) دع n = 1 ، ثم X 1 \ u003d 7 1 -1 \ u003d 6 مقسومًا على 6 بدون باقي. لذلك فإن العبارة n = 1 صحيحة
2) افترض أن لـ n \ u003d k 7 k -1 قابلة للقسمة على 6 بدون الباقي
3) دعنا نثبت أن العبارة صحيحة من أجل n = k + 1

X k + 1 \ u003d 7 k + 1 -1 \ u003d 7 ґ 7 k -7 + 6 \ u003d 7 (7 k -1) + 6

الحد الأول يقبل القسمة على 6 ، لأن 7 k -1 يقبل القسمة على 6 بافتراض ، والحد الثاني هو 6. لذا فإن 7 ن -1 هو مضاعف 6 لأي ن طبيعي. بحكم طريقة الاستقراء الرياضي ، تم إثبات التأكيد.

أثبت أن 3 3n-1 +2 4n-3 لعدد صحيح موجب عشوائي n قابل للقسمة على 11.

1) دع n = 1 ، إذن

X 1 \ u003d 3 3-1 +2 4-3 \ u003d 3 2 +2 1 \ u003d 11 مقسومًا على 11 بدون باقي.

لذلك فإن العبارة n = 1 صحيحة

2) افترض أن لـ n = k X k = 3 3k-1 +2 4k-3 قابلة للقسمة على 11 بدون الباقي
3) نثبت أن العبارة صحيحة من أجل n = k + 1

X k + 1 = 3 3 (k + 1) -1 +2 4 (k + 1) -3 = 3 3k + 2 +2 4k + 1 = 3 3 3 k-1 +2 4 2 4k-3 =

27 3 3k-1 +16 2 4k-3 = (16 + 11) 3 3k-1 +16 2 4k-3 = 16 3 3k-1 +

11 3 3 ك -1 +16 2 4 ك -3 = 16 (3 3 ك -1 +2 4 ك -3) +11 3 3 ك -1

المصطلح الأول قابل للقسمة على 11 بدون باقي ، نظرًا لأن 3 3k-1 +2 4k-3 يقبل القسمة على 11 عن طريق الافتراض ، والثاني قابل للقسمة على 11 ، لأن أحد عوامله هو الرقم 11. وبالتالي ، فإن المجموع هو يمكن أيضًا القسمة على 11 بدون باقي أي قيمة n طبيعية. بحكم طريقة الاستقراء الرياضي ، تم إثبات التأكيد.

إثبات أن 11 2n -1 لعدد صحيح موجب عشوائي n قابل للقسمة على 6 بدون باقي

1) لنفترض أن n = 1 ، إذن 11 2-1 = 120 قابلة للقسمة على 6 بدون الباقي. لذلك فإن العبارة n = 1 صحيحة
2) افترض أن n = k 1 2k -1 يقبل القسمة على 6 بدون الباقي
11 2 (ل + 1) -1 = 121 ґ 11 2 ك -1 = 120 11 2 ك + (11 2 ك -1)

كلا المصطلحين يقبلان القسمة على 6 بدون باقي: الأول يحتوي على مضاعف 6 رقم 120 ، والثاني قابل للقسمة على 6 بدون باقي الافتراض. إذن ، فإن المجموع يقبل القسمة على 6 بدون الباقي. بحكم طريقة الاستقراء الرياضي ، تم إثبات التأكيد.

إثبات أن 3 3n + 3 -26n-27 لعدد صحيح موجب عشوائي n قابل للقسمة على 26 2 (676) بدون باقي

دعنا نثبت أولاً أن 3 3n + 3-1 يقبل القسمة على 26 دون الباقي

1. عندما ن = 0
3 3 -1 = 26 يقبل القسمة على 26
2. افترض أن لـ n = k
3 3k + 3-1 يقبل القسمة على 26
3. دعنا نثبت أن العبارة صحيحة من أجل n = k + 1
3 3k + 6-1 = 27 ґ 3 3k + 3-1 = 26 3 3k + 3 + (3 3k + 3-1) - يقبل القسمة على 26

دعونا الآن نثبت التأكيد الذي تمت صياغته في حالة المشكلة

1) من الواضح أن العبارة n = 1 صحيحة
3 3+3 -26-27=676
2) افترض أنه بالنسبة لـ n = k ، فإن التعبير 3 3k + 3 -26k-27 قابل للقسمة على 26 2 بدون الباقي
3) دعنا نثبت أن العبارة صحيحة من أجل n = k + 1
3 3 ك + 6 -26 (ك + 1) -27 = 26 (3 3 ك + 3-1) + (3 3 ك + 3 -26 ك -27)

كلا المصطلحين يقبلان القسمة على 26 2 ؛ الأول يقبل القسمة على 26 2 لأننا أثبتنا أن التعبير بين الأقواس يقبل القسمة على 26 ، والثاني يقبل القسمة على فرضية الاستقراء. بحكم طريقة الاستقراء الرياضي ، تم إثبات التأكيد

أثبت أنه إذا كان n> 2 و х> 0 ، فإن المتباينة (1 + х) n> 1 + n ґ х

1) بالنسبة إلى n = 2 ، فإن عدم المساواة صحيحة منذ ذلك الحين
(1 + س) 2 = 1 + 2 س + س 2> 1 + 2 س

إذن A (2) هو الصحيح

2) دعنا نثبت أن A (k) ⋅ A (k + 1) إذا k> 2. افترض أن A (k) صحيح ، أي أن المتباينة
(1 + х) ك> 1 + ك ґ س. (3)

دعنا نثبت أن A (k + 1) صحيح أيضًا ، أي أن عدم المساواة

(1 + س) ك + 1> 1+ (ك + 1) س

في الواقع ، ضرب طرفي عدم المساواة (3) في رقم موجب، عدد إيجابي 1 + س ، نحصل عليه

(1 + س) ك + 1> (1 + ك ґ س) (1 + س)

انصح الجانب الأيمنآخر عدم المساواة نملك

(1 + k ґ x) (1 + x) = 1 + (k + 1) ґ x + k ґ x 2> 1+ (k + 1) ґ x

نتيجة لذلك ، حصلنا على (1 + х) ك + 1> 1+ (ك + 1) ґ س

إذن A (k) ⋅ A (k + 1). استنادًا إلى مبدأ الاستقراء الرياضي ، يمكن القول إن عدم مساواة برنولي صالحة لأي ن> 2

أثبت أن المتباينة (1 + a + a 2) m> 1 + m ґ a + (m (m + 1) / 2) ґ a 2 صحيحة بالنسبة لـ a> 0

الحل: 1) بالنسبة إلى m = 1

(1 + a + a 2) 1> 1 + a + (2/2) ґ a 2 كلا الجزأين متساويان
2) افترض أن م = ك
(1 + a + a 2) k> 1 + k ґ a + (k (k + 1) / 2) ґ a 2
3) دعنا نثبت أنه بالنسبة لـ m = k + 1 فإن عدم المساواة صحيح
(1 + أ + أ 2) ك + 1 = (1 + أ + أ 2) (1 + أ + أ 2) ك> (1 + أ + أ 2) (1 + ك ґ أ +

+ (ك (ك + 1) / 2) ґ أ 2) = 1 + (ك + 1) ґ أ + ((ك (ك + 1) / 2) + ك + 1) ґ أ 2 +

+ ((ك (ك + 1) / 2) + ك) ґ أ 3 + (ك (ك + 1) / 2) ґ أ 4> 1+ (ك + 1) ґ أ +

+ ((ك + 1) (ك + 2) / 2) ґ أ 2

لقد أثبتنا صحة عدم المساواة لـ m = k + 1 ، وبالتالي ، نظرًا لطريقة الاستقراء الرياضي ، فإن المتباينة صالحة لأي m طبيعي.

أثبت أن المتباينة 3 n> n ґ 2 n + 1 لـ n> 6

دعونا نعيد كتابة المتباينة بالصيغة (3/2) n> 2n

1. بالنسبة إلى n = 7 لدينا 3 7/2 7 = 2187/128> 14 = 2 ґ 7 ، فإن المتباينة صحيحة
2. افترض أن n = k (3/2) k> 2k
3) دعنا نثبت صحة المتباينة لـ n = k + 1
3 ك + 1/2 ك + 1 = (3 ك / 2 ك) ґ (3/2)> 2 ك ґ (3/2) = 3 ك> 2 (ك + 1)

بما أن k> 7 ، فإن المتباينة الأخيرة واضحة.

بسبب طريقة الاستقراء الرياضي ، فإن المتباينة صالحة لأي ن طبيعي

برهن على أن المتباينة لـ n> 2

1+ (1/2 2) + (1/3 2) + ... + (1 / ن 2)<1,7-(1/n)

1) بالنسبة إلى n = 3 ، فإن المتباينة صحيحة
1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180
2. افترض أن لـ n = k
1+ (1/2 2) + (1/3 2) + ... + (1 / ك 2) = 1.7- (1 / ك)
3) دعنا نثبت صحة المتباينة لـ n = k + 1
(1+ (1/2 2) + ... + (1 / ك 2)) + (1 / (ك + 1) 2)

دعنا نثبت أن 1،7- (1 / ك) + (1 / (ك + 1) 2)<1,7-(1/k+1) Ы

ق (1 / (ك + 1) 2) + (1 / ك + 1)<1/k Ы (k+2)/(k+1) 2 <1/k Ы

ث ك (ك + 2)<(k+1) 2 Ы k 2 +2k

هذا الأخير واضح ، وبالتالي

1+ (1/2 2) + (1/3 2) + ... + (1 / (ك + 1) 2)<1,7-(1/k+1)

بحكم طريقة الاستقراء الرياضي ، تم إثبات عدم المساواة.

الحجم: بكسل

بدء الانطباع من الصفحة:

نسخة طبق الأصل

الحل بالتعريف ، الرقم هو نهاية تسلسل رقمي n n n N إذا كان هناك عدد طبيعي N بحيث يتم استيفاء المتباينة لجميع n n n N حل المتباينة الأخيرة n بالنسبة إلى n: n n n n n (n) مثل N يمكننا خذ N إذا ثم N إذا ثم N لذلك لأي n n (n)) الإجابة n n المشكلة احسب li n n الحل n n n li li n n n n لنقم بتغيير المتغيرات: n (n) إذا كان n ثم

2 li الإجابة e li li e e المسألة تحديد ترتيب الدالة اللامتناهية في الصغر y sin بالنسبة إلى العدد اللامتناهي في الصغر y إذا كانت الإجابة. إجراء تغيير في المتغيرات: t ؛ إذا ثم t ؛ t t sin t t sin cos t li li li li t t t t t t الإجابة المشكلة تحقق من الدالة f () للاستمرارية الحل لم يتم تعريف الدالة f () عند النقطة احسب الحدود من جانب واحد: li li kind

3 نقطة الإجابة - نقطة الانقطاع من النوع الثاني المهمة قم بإجراء دراسة كاملة للوظيفة y وبناء الرسم البياني الخاص بها مجال الحل للوظيفة يتم تعريف الوظيفة على محور العدد بالكامل О تماثل الوظيفة منذ y () y ثم الوظيفة هي تقاطع الرسم البياني للوظيفة مع محاور الإحداثيات. الفواصل الزمنية للإشارة الثابتة للدالة الوظيفة موجبة لأي خطوط مقاربة بما أن الوظيفة لا تحتوي على نقاط توقف من النوع الثاني ، فلا توجد خطوط مقاربة عمودية ، فلنكتشف وجود خط مقارب مائل y k b y li li k li b li y k وبالتالي ، يوجد خط تقارب أفقي y فترات زيادة احسب المشتق الأول: y () "" من الواضح أن y at؛ لذلك ، بالنسبة لـ y ، تقل الوظيفة لـ "؛ وبالنسبة لـ y ، تزيد الدالة من أجل ذلك ، بالنسبة للدالة لها حد أدنى وفواصل محدبة y" "احسب المشتق الثاني: y في

4 "" منذ y إذا كان ذلك لـ ؛ ؛ تكون الوظيفة محدبة لأعلى "" كذلك y إذا كانت تعني إذا ؛ ثم تكون الوظيفة محدبة لأسفل "" وأخيرًا y إذا كانت نقاط الانعطاف عبارة عن نقاط رسم بياني للدالة y () المشكلة أوجد المصفوفة إذا كان الحل احسب محدد المصفوفة: det أوجد المكملات الجبرية للعناصر المقابلة في المصفوفة: يؤلف مصفوفة الاتحاد * ثم * det

5 إجابة المسألة باستخدام التحويلات الأولية لإيجاد رتبة المصفوفة الحل إجراء تحويلات أولية متتالية ، نقوم بتحويل المصفوفة الأصلية إلى شكل متدرج: رتبة المصفوفة الأخيرة هي اثنان ، لذلك ، نفس رتبة المصفوفة الأصلية. حل نظام المعادلات باستخدام طريقة كرامر: الحل المصفوفة غير متدهورة منذ الاكتشاف احسب: ثم: تلك الإجابة

6 مهمة التحقيق في نظام المعادلات من أجل التوافق إذا كان النظام متوافقًا ، فابحث عن حل عام وحل واحد معين ضع في اعتبارك المصفوفات الرئيسية والممتدة للنظام: نحصل على النظام فيما يتعلق بـ: الإشارة إلى المتغيرات الحرة ، على التوالي ، نحصل عليها الحل العام حيث R الحل الجزئي ، على سبيل المثال ، الإعداد: حل عام حيث R حل جزئي مشكلة

7 رتبة مصفوفة المعاملات هو< Поэтому система имеет ненулевые решения Выбрав в качестве базисного минора минор M преобразуем исходную систему к виду: Решив данную систему относительно получим Обозначив свободные переменные соответственно через получим общее решение где R Ответ Общее решение где R Задача Решить систему методом Гаусса: Решение В результате элементарных преобразований над расширенной матрицей системы имеем Этой матрице соответствует система

8 بعد إكمال المسار العكسي للطريقة الغاوسية ، نجد c ومن هنا نحصل على الحل العام: c حيث c R c الإجابة الحل العام: c حيث c R المهمة احسب المنطقة S لمتوازي أضلاع مبني على المتجهات a b و الحل a b إذا كانت a b والزاوية بين المتجهين a و b متساوية وفقًا لتعريف وخصائص المنتج المتجه ، لدينا إجابة b a b a a a b a (a b) (a b) بما أن a a b a b) ثم S a b a b sin b مشكلة أوجد الحجم V لمثلث هرم برؤوس ؛؛ ب ؛؛ ج ؛ و د ؛ الحل حجم الهرم يساوي حجم خط الموازي المبني على المتجهات b B C D لنجد إحداثيات هذه المتجهات: B المتجهات B ؛؛ ج ؛ D C ومن ثم D V ؛؛ أ أ أ ب أ ب (ب) أوجد حاصل الضرب المختلط لهذه () () الإجابة

9 مهام لامتحان تحريري في الرياضيات العليا في فصل الشتاء - العام الدراسي الخيار البحث عن نقاط التوقف للدالة y والإشارة إلى خصائصها احسب المحدد أوجد مجموع القيم القصوى للدالة y هذه الفترة؟ بالنظر إلى مصفوفة غير صفرية n من المعروف أن ang () = ما معنى ang (T)؟ ما هي النسبة المئوية التي ستتغير فيها قيمة الدالة y إذا زادت قيمة الوسيطة من = بنسبة٪؟ المتجهات المعطاة أ (؛) ب (؛) ج (؛) د (؛) ابحث عن أساس هذه المجموعة من المتجهات وقم بتمثيل المتجهات غير المدرجة في الأساس كمجموعة خطية من المتجهات الأساسية قم بتكوين معادلات الظلال للمنحنى y عند النقاط مع معادلة حدودية مستوي يمر عبر ثلاث نقاط معينة نظرية كرونكر-كابيلي تطبيق النظرية لحل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية

10 مهام امتحان كتابي في الرياضيات العليا في الفصل الشتوي - العام الدراسي حالة المشكلة نظرية كرونكر-كابيلي تطبيق النظرية لحل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية اثبت أن قواعد شبه المنحرف تكمن على الخطوط y احسب طول ارتفاع شبه المنحرف للمصفوفة ، أوجد المعكوس التحقيق في النظام وفي الحالة حلها الإجابة حل عام حل خاص الوظيفة مستمرة عند التحقيق في استمرارية الوظيفة y في المجموعة (؛) (؛) ( ؛) - نقطة الانقطاع القابل للإزالة - نقطة الانقطاع اللانهائي =٪؟ ٪ أوجد مجموع الحد الأقصى للدالة y y () y () يؤلف معادلات مماسات المنحنى y عند النقاط ذات الإحداثي y احسب مساحة متوازي الأضلاع المبنية على المتجهين a و b حيث a و b ()

11 مهام الامتحان الكتابي في الرياضيات العليا في فصل الشتاء - العام الدراسي محددات المهام لخصائص المحددات نظرية لاجرانج احسب الحد tg sin li sin قم بإجراء دراسة كاملة للوظيفة ، ارسم الرسم البياني y وابحث عن الزيادة والتفاضل للدالة y عند نقطة ما إذا كانت زيادة الوسيطة تحديد كيفية تطبيق التفاضل للحسابات التقريبية. الدالة f (t) t t t حيث t t هو الوقت بالساعات حدد الوقت t الذي تقل فيه إنتاجية العمالة أوجد نقطة تقاطع الخط والمستوى: y z y z هل الخطوط والمستويات متوازية؟ بالنظر إلى نظام المعادلات b b b حدد مجموعة المتجهات b (b bb) التي يتوافق معها النظام صف المجموعة التي تم الحصول عليها هندسيًا وقم ببنائها في R أعط تبريرًا نظريًا للحل أوجد مساحة متوازي أضلاع مبنية على المتجهات أ ب حيث والزاوية بين الإجابة y a y () y في y () ؛ رسم بياني للوظيفة في الصفحة التالية y dy (y n) sin (n) n عند t يقلل إنتاجية العمل N نقطة تقاطع - M (؛ ؛) ؛ يمكن اختيار متجه التوجيه للخط المستقيم على هذا النحو l (؛) b b b ناقلات مساوية لـ

12 الرسم البياني للدالة y له خط مقارب رأسي ويميل y y () مثل () as

13 مهام الامتحان التحريري في الرياضيات العليا في الفصل الشتوي - العام الأكاديمي المهمة الإجابة المنتج العددي للمتجهات الحد الملحوظ الأول (اشتقاق الصيغة) أعط مثالاً لحساب الحد تحقق من الوظيفة t من أجل الاستمرارية قم بإجراء دراسة كاملة عن ترسم الدالة الرسم البياني الخاص بها f (t) t t إذا كانت y وتؤلف معادلة من المعدل الطبيعي للرسم البياني للدالة y عند النقطة (؛) هل للمعادلة جذور على المقطع [؛]؟ لها نقاط - نقاط توقف من النوع -th-removable y a y () y in y () رسم بياني للوظيفة في الصفحة التالية y في مثلث برؤوس (؛ ؛) B (؛) C (؛ ؛) ابحث عن h height h BD يؤلف معادلة للمستوى الذي يمر عبر النقطة (؛ ؛) عموديًا على المستويين y z و y z y z تحقق من توافق نظام المعادلات وحلها إذا كان متوافقًا مع R اكتب توسعة المتجه (؛ ؛) في المتجهات أ (؛ ؛) أ (؛ ؛) أ (؛ ؛) أ أ

14 الرسم البياني للدالة y له خط مقارب عمودي و y y () مائل مثل () as

15 اختبار كتابي في الرياضيات العليا في فصل الشتاء - الدراسة في قسم المراسلات n n أوجد الحدود li li n n n n أوجد مجموع أكبر وأصغر قيم للدالة y في المقطع [؛] y z u v تحقق من نظام المعادلات من أجل توافق y z u v وحلها إذا كانت متوافقة أوجد مشتق الدالة f () sin () cos () تحقق من الدالة y ورسم مخططها البياني tg أوجد الحدود li li اكتب معادلات المماس على الرسم البياني للدالة y عند نقاط تقاطع الرسم البياني للدالة مع المحور x تحقق من الدالة f () y للاستمرارية حل نظام المعادلات y باستخدام طريقة Cramer أوجد مجموع القيم القصوى للدالة y

16 امتحان كتابي في الرياضيات العليا في فصل الشتاء - الدراسة في قسم المراسلات بكلية الاقتصاد طريقة غاوس قاعدة لوبيتال للكشف عن عدم اليقين احسب حد التسلسل العددي المعطى بواسطة المشترك (n) (n) (n) المصطلح n (n) (n) احسب li تحديد الترتيب الصغير جدًا فيما يتعلق بـ عند المنحنى y ، أوجد النقطة التي يكون فيها الظل موازيًا لوتر نقطة الاتصال (- ؛-) و B (؛) احسب الزاوية الحادة بين المستوى y z والخط المستقيم y z y z احسب مشتقات الدوال: a) y ()؛ ب) ytg () ؛ ج) ص) (التحقيق في نظام المعادلات من أجل التوافق وحلها إذا كان متوافقًا احسب مرونة الوظيفة لقيمة معينة من الوسيطة s

برنامج الامتحان التحريري في "الرياضيات العليا" في الفصل الشتوي - العام الدراسي لطالب السنة الأولى بكلية الاقتصاد بقسم التفرغ (تخصصي "الاقتصاد" و "النظرية الاقتصادية") بالمراسلة

مصفوفات التذاكر ، الإجراءات عليها التسلسل العددي ، خصائص التسلسل المتناهي الصغر احسب المسافة من النقطة M (؛ ؛) إلى المستوى الذي يمر عبر النقاط A (؛ ؛ 0) ، B (؛ ؛

أسئلة للتحضير لموضوع الامتحان. الجبر الخطي 1. ما هو المحدد؟ تحت أي تحولات لا تتغير قيمة المحدد؟ 2. ما هي الحالات التي يكون فيها المحدد صفرًا؟ ماذا يتبع

برنامج الامتحان التحريري في "الرياضيات العليا" للسنة الأولى لأقسام المراسلة بكلية الاقتصاد في الفصل الشتوي. الامتحان الكتابي لمدة ساعتين. في الامتحان لكل طالب

وزارة التربية والتعليم في جمهورية بيلاروسيا الجامعة التقنية الوطنية البيلاروسية قسم "الرياضيات العليا" أسئلة البرنامج ومهام التحكم للدورة "الرياضيات. فصل دراسي "ل

مبادئ توجيهية لحل الاختبار 1 في تخصص "الرياضيات" لطلاب السنة الأولى من تخصصات البناء قسم الرياضيات العليا AV Kapusto مينسك 016016 قسم التعليم العالي

أسئلة التحكم للمحاضرات. القسم 1. الجبر الخطي والمتجهي. المحاضرة 1. المصفوفات العمليات عليها. المحددات. 1. تعريفات مصفوفة ومنقول مصفوفة .. ما يسمى ترتيب المصفوفة؟

أسئلة التحكم للمحاضرات. القسم 1. الجبر الخطي والمتجهي. المحاضرة 1. المصفوفات العمليات عليها. المحددات. 1. تعريفات مصفوفة ومنقول مصفوفة .. ما يسمى أمر

الاتجاه: أسئلة ومهام "البناء" لفصل الامتحان. المصفوفات: التعريف ، الأنواع. الإجراءات مع المصفوفات: التحويل ، الجمع ، الضرب برقم ، ضرب المصفوفة. 2. التحولات الأولية

أسئلة للتحضير للامتحان الجبر المتجه والهندسة التحليلية. تعريف المتجه. ناقلات المساواة. العمليات الخطية على النواقل. الاعتماد الخطي على النواقل. الأساس والإحداثيات.

المحتويات الجزء الأول المحاضرات 1 2 المحددات والمصفوفات محاضرة 1 1.1. مفهوم المصفوفة. أنواع المصفوفات ... 19 1.1.1. التعريفات الأساسية ... 19 1.1.2. أنواع المصفوفات ... 19 1.2. * التبديلات والبدائل ... 21 1.3. *

مقدمة الفصل الأول. عناصر الجبر الخطي 1. المصفوفات 1.1. المفاهيم الأساسية 1.2. الإجراءات على المصفوفات 2. المحددات 2.1. المفاهيم الأساسية 2.2. خصائص المحددات 3. عدم توليد المصفوفات 3.1.

بطاقة الاختبار 1 1. المصفوفات ، العمليات على المصفوفات. 2. الحدود العليا والسفلى للمجموعات العددية. مجال الأعداد الحقيقية. تذكرة الفحص 2 1. المحددات. الخصائص والطرق المحددة

قسم الرياضيات والمعلوماتية التحليل الرياضي مجمع تعليمي ومنهجي لطلاب HPE الذين يدرسون باستخدام تقنيات عن بعد الوحدة 4 تطبيقات المشتق من إعداد: أستاذ مشارك

وزارة التعليم والعلوم في روسيا المؤسسة التعليمية لميزانية الدولة الفيدرالية للتعليم المهني العالي "جامعة الدولة الروسية الإنسانية" (RSUH) فرع في دوموديدوفو

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي ، الجامعة الفيدرالية الشمالية (القطب الشمالي) التي تحمل اسم قسم MLomonosov للرياضيات ، مهام نموذجية لامتحان الرياضيات (جزء) لطلاب المجموعة 9 IEIT direction

الوكالة الفيدرالية للتعليم جامعة موسكو التقنية الحكومية "MAMI" قسم "الرياضيات العليا" البروفيسور دكتوراه Kadymov VA Assoc.

قسم الرياضيات والمعلوماتية عناصر الرياضيات العليا مجمع تعليمي ومنهجي لطلاب التعليم المهني الثانوي الذين يدرسون باستخدام تقنيات عن بعد.

إرشادات للطلاب حول إتقان التخصص (وحدة) خطط الدروس العملية المصفوفات والمحددات وأنظمة المعادلات الخطية المصفوفات العمليات على المصفوفات المصفوفة المعكوسة الابتدائية

الخيار 5 أوجد مجال الوظيفة: y arcsin + يتم تحديد مجال الوظيفة المعينة من خلال متباينتين: و أو اضرب المتباينة الأولى في علامة الوحدة وتخلص منها: من اليسار

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي جامعة القطب الشمالي الفيدرالية. MV Lomonosov Moscow State University قسم الرياضيات أسئلة حول الرياضيات لطلاب تخصص بدوام جزئي 000. "هندسة الطاقة الحرارية"

المحاضرة 9. مشتقات وتفاضلات الرتب العليا وخصائصها. نقاط إكستريموم للوظيفة. نظريات فيرمات ورول. اجعل الدالة y قابلة للاشتقاق في جزء ما [ب]. في هذه الحالة ، مشتقها

بالنظر إلى فحص المصفوفة A 0 T = المهمة [، p] تحديد أبعادها اكتب خصائص هذه المصفوفة: مستطيل ، مربع ، متماثل ، واحد ، صفر ، مثلث ، قطري ،

بطاقة الامتحان 1 الكلية: 101-152 ، 125-126 1. ضرب المصفوفة. 2. منتج متجه في شكل تنسيق 3. حدود من جانب واحد. بطاقة الامتحان 2 1. محدد الترتيب الثالث. 2.

أسئلة ومهام للاختبار الجبر الخطي المصفوفات والمحددات حساب المحددات: أ) ، ب) ، ج) ، د) حل المعادلة 9 9 أوجد محدد المصفوفة ب أ ج: أ ، ب أوجد حاصل ضرب المصفوفات

الخيار ابحث عن مجال الوظيفة: + + + يتم استيفاء عدم المساواة + دائمًا لذلك ، يتم تحديد مجال الوظيفة المعينة من خلال عدم المساواة التالية: ، وتلك ، وتلك حل نظام هذه التفاوتات

سميت جامعة موسكو التقنية الحكومية على اسم N.E. Bauman

أوجد حدًا مشتركًا في المتتابعة ،) أوجد ب) lim () ج) 9 7 7) 8 7 ب) 7 ج) 7 د) 7 أوجد () !! lim ()!) b) c) أوجد 6 si lim si d)) b) c) d) () أوجد lim [(l () l)]) b) c) e d) l 6 أوجد

الرياضيات [مورد إلكتروني]: مجمع تعليمي ومنهجي إلكتروني. الجزء 1 / E. ليفينا ، ف. زيمين ، إ. كاسيموفا [وآخرون] ؛ Sib. حالة صناعة un-t. - نوفوكوزنتسك: SibGIU ، 2010. - 1 قرص ضوئي إلكتروني

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي المؤسسة التعليمية لميزانية الدولة الفيدرالية للتعليم المهني العالي "أكاديمية الدولة الجيوديسية للدولة السيبيرية"

التذكرة 1 1 محددات الرتبتين الثالثة والثالثة ، خصائصهما وطرق حسابهما. حل أنظمة المعادلات الخطية بطريقة كرامر حل نظام معادلات باستخدام طرق غاوس وحساب المصفوفة: إيجاد الإحداثيات

امتحانات في تخصص "الرياضيات" لطلبة الاتجاه 676 (9) "تكنولوجيا وتصميم إنتاج العبوات" القائمة المواضيعية الجبر الخطي المتجهات الجبر الهندسة التحليلية

المحتويات مقدمة الجبر الخطي مشاكل الفصول الدراسية عينة الحلول مشاكل للدراسة الذاتية الهندسة التحليلية والجبر المتجه مشاكل الفصل الدراسي عينة الحلول

حساب التفاضل والتكامل المفاهيم الأساسية والصيغ التعريف 1 يسمى مشتق دالة عند نقطة حد نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة ، بشرط أن تكون الزيادة في الوسيطة

مهام العمل المستقل لطلاب المراسلة خلال فترة ما بين الدورات في الانضباط الأكاديمي "طرق الحلول المثلى" في اتجاه الإعداد 37.00.01 علم النفس الموضوع 1. المصفوفات

المؤسسة التعليمية الحكومية للتعليم المهني العالي "جامعة فورونيج البيداغوجية" مقدمة لتحليل وظائف متغير واحد وحسابها التفاضلي

شرح لبرنامج عمل تخصص "الرياضيات" اتجاه التدريب (تخصص) 38.03.04 إدارة الولاية والبلدية 1. أهداف ومهام التخصص 1.1. أهداف الانضباط: التطوير

اختبار العمل الموضوع حدود ومشتقات الوظائف أوجد حدود الوظائف التالية لمتغير واحد (بدون قاعدة L'Hopital) أ) ب) ج) د) مثال أ) الحل تحديد نوع عدم اليقين تحت رسمي

أدوات التقييم للرقابة الحالية على الأداء ، وشهادة مؤقتة على نتائج إتقان الانضباط الأكاديمي B.2.1 - ملف تدريب الرياضيات: موضوع إدارة الإنتاج

1 جامعة موسكو التقنية الحكومية سميت باسم المركز التربوي والعلمي المتخصص N.E. Bauman GOU Lyceum 1580

1 جامعة موسكو التقنية الحكومية سميت باسم المركز التربوي والعلمي المتخصص N.E. Bauman GOU Lyceum 1580. أسئلة لامتحان التحويل في الرياضيات. الصف العاشر 2014-2015 أكاديمي

الخيار 9 أوجد مجال الوظيفة: y + lg يتم تحديد مجال الوظيفة المحددة من خلال عدم المساواة التالية:> ، هؤلاء> علاوة على ذلك ، يجب ألا يختفي المقام: أو ± دمج النتائج ،

عينة من مسائل وأسئلة ماجستير أساسية لتسلسل الفصل الدراسي حد التسلسل البسيط لحساب حد التسلسل l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 حساب حد التسلسل

الدفق: TVGT -I EXAM TICKET 1 محددات الترتيب الأول والثاني قواعد الحساب الخوارزمية العامة لدراسة الرسم البياني للوظائف باستخدام المشتقات البحث عن القيم الأكبر والأصغر

خيار أوجد مجال الوظيفة يتم تحديد مجال الوظيفة المعينة من خلال عدم المساواة> جذور المعادلة عبارة عن أرقام نظرًا لأن فروع القطع المكافئ موجهة لأعلى ، فإن المتباينة> يتم استيفائها

01 1. أوجد الحل العام والأساسي لنظام المعادلات: 16x 10x + 2x = 8 ، 40x + 25x 5x = 20. الإجابة: إذا تم اختيار x كمتغير أساسي ، فإن الحل العام هو: x = 1 2 + 5 8 x 1 8 x، x، xR ؛ أساسي

صندوق أدوات التقييم للتصديق المؤقت للطلاب في الانضباط (الوحدة). معلومات عامة 1. قسم المعلوماتية وهندسة الحاسبات وأمن المعلومات 2. التوجيه

الخيار أوجد مجال الوظيفة: y arcsi + يتم تحديد مجال الوظيفة المعينة من خلال متباينتين واضرب أول متباينة في علامة الوحدة وتخلص منها: من المتباينة اليسرى

الخيار أوجد مجال الوظيفة: y + يتم تحديد مجال الوظيفة المعينة من خلال عدم المساواة بالإضافة إلى ذلك ، يجب ألا يختفي المقام أوجد جذور المقام: الجمع بين النتائج

الخيار + ابحث عن مجال الوظيفة: y lg يتم تحديد مجال الوظيفة المعينة من خلال عدم المساواة + me علاوة على ذلك ، يجب ألا يختفي المقام: lg أو ± بالإضافة إلى وسيطة اللوغاريتم

تمت الموافقة في اجتماع قسم "الرياضيات والمعلوماتية" بروتوكول 2 (25) "8" سبتمبر 2015. رأس قسم الدكتوراه. تيمشينا دي. أسئلة للاختبار في تخصص "الجبر الخطي والتحليل الرياضي"

التذكرة .. تعريف المصفوفة (مع أمثلة المصفوفات المربعة والمستطيلة) .. المعنى الهندسي لكثير الحدود تايلور من الدرجة الأولى (صيغة ، مثال ، شكل). (x) ctg (x). 4. طريقة الأوتار الرسومية

المعهد الحكومي للتعليم المهني العالي "الجامعة البيلاروسية الروسية" قسم "الرياضيات العليا" الرياضيات العليا تعليمات منهجية وخيارات لمهام المراقبة

4 إرشادات لتنفيذ اختبار "المشتقات وتطبيقاتها تطبيقات حساب التفاضل" تطبيقات مشتقة لحساب التفاضل التفاضل دالة مشتقة f (

الخيار 7 ابحث عن مجال الوظيفة: y + / lg يتم تحديد مجال الوظيفة المحددة بالشروط التالية: ،> ، تلك> / علاوة على ذلك ، يجب ألا يختفي المقام: أو الجمع بين النتائج ،

المحاضرات 7-9 الفصل 7 التحقيق في دالة 7 زيادة وتقليل نظرية دالة على رتابة دالة إذا كانت f (في الفترة (a ؛ b ، ثم في هذه الفترة الزمنية f (تزيد)) إذا كانت f (في الفترة الزمنية)

برنامج الامتحان في الرياضيات لطلاب تخصص "التمويل والائتمان" (دورة المراسلة) 1 القسم 2. أساسيات التحليل الرياضي الوظائف والقيود مفهوم الوظيفة تعريف الوظيفة ،

جامعة موسكو التقنية الحكومية سميت باسم N.E Bauman

الخيار 5 أوجد مجال الوظيفة lg5 يتحدد مجال هذه الوظيفة من خلال عدم المساواة

المهمة 2.1.ابحث عما إذا كان
,
,
.

المحلول.أ). إلى عن على
نملك

ب). إلى عن على
.

في). إلى عن على
.

المهمة 2.2.تجد
، إذا

ب). التفريق بين معادلة
، نملك

يعطي التفريق بين العلاقة الأخيرة

تقديم تعبير عن ، نجد

في). يتم حساب المشتق الأول لدالة حدية معينة بواسطة الصيغة

نحسب المشتق الثاني بالصيغة

المهمة 2.3.احسب الحد باستخدام قاعدة لوبيتال:

المحلول.أ). الحد المطلوب هو نوع غير محدد

وفقًا لحكم لوبيتال

ب). الحد هو عدم التيقن من النموذج
لذلك ، يجب أولاً تحويله إلى النموذج أو :

إلى آخر (مثل
) يمكنك تطبيق قاعدة لوبيتال:

الحد الناتج هو مرة أخرى عدم اليقين
لذا فإن تطبيق القاعدة مرة أخرى يعطي

في). الحد هو عدم التيقن من النموذج والتي من المناسب تطبيق الطريقة التالية عليها. دل

. (1)

دعونا نحسب الحد الإضافي

الحد المطلوب وفقًا لـ (1) يساوي

المهمة 2.4.اكتشف الوظيفة
ورسمها.

المحلول.مجال التعريف هو المحور الحقيقي بأكمله
. للعثور على مناطق الرتابة نجد

ثم
في
(الفاصل الزمني التصاعدي) ،
في
(الفاصل الزمني المتناقص). نقطة
ثابت لأن
عند المرور
تغيرات المشتقة علامة من موجب إلى ناقص ، لذلك متى
الوظيفة لها حد أقصى محلي.

لإيجاد مناطق التحدب ، يتم استخدام المشتق الثاني

في
أو
سوف يكون
والوظيفة مقعرة. في

والوظيفة محدبة.

الوظيفة ليس لها خطوط مقاربة عمودية. للعثور على خطوط مقاربة مائلة
إحصاء - عد

لذلك ، متى
الوظيفة لها خط مقارب

نتائج الدراسة مع مراعاة تكافؤ الوظيفة
يظهر على الرسم البياني

4.3 حل متغير اختبار نموذجي ن 3

المهمة 3.1.أوجد انحدار ومعادلات المستوى المماس والمستوى العمودي لسطح معطى في هذه النقطة
.

المحلول.دل

قيمة التدرج

معادلة مستوى الظل الذي له متجه عادي (7 ، -4 ، -19) ويمر من خلاله
، سيتم تسجيلها

الخط العادي له متجه اتجاه (7 ، -4 ، -19) ويمر من خلاله
، لذلك معادلاتها

المهمة 3.2.أوجد أكبر وأصغر قيم للدالة
في المنطقة د يحدها خطوط معينة:

المحلول.تظهر المنطقة D في الشكل (مثلث OAB).

النقاط الثابتة هي حلول لنظام المعادلات

أين نجد النقطة
التي ، كما يتضح من الشكل ، تنتمي إلى المنطقة
. عند هذه النقطة
. (2)

ندرس الوظيفة على حدود المجال D.

قسم الزراعة العضوية.هنا
و
يتم تحديد النقاط الثابتة من المعادلة
أين
عند هذه النقطة

. (3)

في نهايات المقطع

,

. (4)

الجزء AB.هنا
و

من المعادلة
تجد
و

. (5)

في
نملك

. (6)

الجزء OV.هنا
بسبب ال
في
الوظيفة ليس لها نقاط ثابتة. قيمها في

تم حسابها في (4) ، (6).

من النتائج (2) - (6) نستنتج ذلك

علاوة على ذلك ، يتم الوصول إلى أكبر قيمة عند النقطة A (3،0) ، الأصغر - عند النقطة C (2،1).

المهمة 3.3.أوجد التفاضل الكامل للدالة

المحلول.المشتقات الجزئية متساوية

المهمة 3.4.أوجد مشتقات جزئية من الرتبة الثانية لدالة

المحلول.أولًا ، نجد المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى:

بعد ذلك ، عند اشتقاق المشتقات الجزئية الموجودة ، نحصل على الجزئية

مشتقات الدرجة الثانية لهذه الوظيفة:

المهمة 3.5.احسب قيمة مشتقة دالة معقدة

في
بدقة منزلتين عشريتين.

المحلول.منذ وظيفة معقدة يعتمد على متغير واحد من خلال المتغيرات الوسيطة و والتي بدورها تعتمد على متغير واحد ثم نحسب المشتق الكلي لهذه الدالة بالصيغة

إحصاء - عد و في
:

استبدل القيم
في تعبير مشتق. احصل على

4.4 حل البديل النموذجي لأعمال التحكم رقم 4

المشكلة 4.1.باستخدام التكامل بالأجزاء ، احسب التكامل غير المحدد لدالة في النموذج

المحلول. بسبب ال

التكامل المطلوب يساوي

المهمة 4.2.احسب التكامل غير المحدد عن طريق فك التكامل و إلى كسور بسيطة

المحلول.نظرًا لأن درجة كثير الحدود في البسط لا تقل عن درجة المقام ، يجب إجراء القسمة:

نحن نحلل الكسر المناسب إلى كسور بسيطة

باستخدام طريقة المعاملات غير المحددة ، نجد

لدينا حل نظام المعادلات هذا

التكامل المطلوب يساوي

المهمة 4.3.
.

المحلول. لنقم بإجراء الاستبدال
حل المعادلة بالنسبة ل ، نجد:

.

ثم يمكن كتابة التكامل المطلوب:

فك التكامل إلى كسور بسيطة

وفتح الأقواس على قدم المساواة

نصل إلى النسبة

نظام المعادلات ل
اشتراك

نجد حلها بطريقة جاوس

التكامل المطلوب يساوي:

المهمة 4.4.احسب التكامل غير المحدد للدالة باستخدام التعويض
.

المحلول. الاستبدال الشامل هو
التي من السهل التحقق من المساواة

لذلك ، يتم تقليل التكامل المطلوب إلى حالة تكامل الكسر المنطقي

. (7)

ومع ذلك ، في بعض الحالات ، تكون البدائل أكثر ملاءمة:

(1)
ثم

;

(2)
ثم

;

(3)
ثم

.

تؤدي البدائل 1،2 إلى تكاملات تحتوي على جذري وبالتالي فهي غير مناسبة. للتعويض 3 ، نصل إلى تكامل أبسط من (7) ويمكن اختزاله بسهولة إلى واحد جدولي:

المهمة 4.5.احسب مساحة الشكل المحدد بخطوط:

أ)

ب)

المحلول. أ). ضع في اعتبارك وظيفة مساعدة في المقطع
يتم حساب المنطقة بواسطة الصيغة

استكشاف
من الواضح أن
بسبب ال

من السهل التحقق من ذلك
يصل إلى النقطة
الحد الأدنى المحلي ، علاوة على ذلك ،
لذلك ، أصغر قيمة
على ، يساوي
، بشكل إيجابي ، وبالتالي ،
نملك

نجد حساب التكامل بالأجزاء

ب). هنا
على ال
نملك

، وبالتالي
علامة التغييرات. أوجد الفترات التي تكون فيها موجبة أو سالبة. إيجاد جذور المعادلة
تجد قيمة
لهذا
في
و
في
المنطقة المطلوبة هي:

نحسب التكامل غير المحدد

المشكلة 4.6.احسب المساحة التي يحدها منحنى في الإحداثيات القطبية.

المحلول. يتم تحديد المنحنى لتلك القيم من الفاصل
(أو
) التي بموجبها الشرط
عدم المساواة
لديها حلول
أو

. (8)

المناطق (8) تنتمي إلى الفترة الزمنية
في القيم
أولئك.

يتم حساب المنطقة بواسطة الصيغة

حساب التكامل غير المحدد

مشكلة 4.7.احسب التكامل غير الصحيح
أو إثبات اختلافها.

المحلول. وفقًا لتعريف التكامل غير الصحيح مع حد لانهائي ، لدينا

لأن جذور المثلث في المقام ستكون

ومن بعد

باستخدام طريقة المعاملات غير المحددة ، نجد

، أين

لهذا

قيمة التكامل غير الصحيح هي

مشكلة 4.8.احسب كتلة صفيحة غير متجانسة محدودة بخطوط معينة ولها كثافة سطحية

د:

المحلول. يظهر منظر المنطقة في الشكل.

وزن اللوحة
يمكن كتابتها باستخدام التكامل المزدوج

نقوم بتقليل التكامل المزدوج إلى التكامل المتكرر

مشكلة 4.9.استخدم التكامل الثلاثي لحساب حجم المنطقة V التي تحدها الأسطح المشار إليها: V: y = 8-2x 2 ، z = 0 ، y = 0 ، x = 0 ، z = 2x + y.

المحلول. تظهر المنطقة V في الشكل ، حيث تشير الأرقام 1 ، 2 إلى الأسطوانة المكافئة y = 8-2x 2 والمستوى z = 2x + y ، على التوالي ؛ تتوافق بقية المعادلات مع مستويات الإحداثيات.

1 4 -

0 ج

مقدار يتم كتابة المنطقة عن طريق التكامل الثلاثي

نأتي بالتكامل إلى المكرر

خلال
نقاط زين المسمى
(انظر الشكل) محسوبة من معادلات المستوى
والطائرة
، بمعنى آخر.
,
. خلال تم وضع علامة على منطقة الطائرة
التي يتم عرض المنطقة عليها . لذلك ، عند تقليل التكامل المزدوج على المنطقة لإعادة التنسيق
نقاط
محسوبة من المعادلة
ومعادلة الخط الذي هو تقاطع سطح أسطواني
والطائرة
أولئك. المعادلات
الحجم المطلوب يساوي

المشكلة 4.10.احسب: أ) شحنة الموصل الموجود على طول المنحنى بكثافة
باستخدام تكامل منحني من النوع الأول ؛ ب) عمل القوة
على طول المسار إلمن ر. أل t. بباستخدام التكامل المنحني من النوع الثاني.

ربع دائرة
بين أ (3 ، -3) ، ب (5 ، -1). (2) - قوس القطع المكافئ
من لكن(0.1) إلى في(1,-1).

المحلول.أ). تكلفة فموصل بكثافة شحنة
محسوبة بالصيغة

(واحد). من الملائم ضبط الدائرة في شكل حدودي:

حبكة إلتطابق قيمة المعلمة
أين

حيث يتم التعبير عن التكامل Curvilinear من حيث جزء معين

حيث يتم اختيار العلامة العلوية متى
وأقل - في

في هذه المهمة

(2). بالنسبة لقوس القطع المكافئ L ، من الأنسب استخدام حالة معينة من الصيغة لـ

إلى عن على
نملك

باستخدام الاستبدال

ب). قوة العمل الميداني مع المكونات
على طول المسار AB ستكتب

(واحد). لربع دائرة ، نختزل التكامل إلى الذي حددته الصيغة

(2). لقوس القطع المكافئ

المشكلة 4.11.احسب معدل تدفق مائع يتدفق فيه مجال السرعة لكل وحدة زمنية عبر جزء الطائرة مستلقية في الثماني الأول. وحدة عادية خارج الأصل.

المحلول.يتم إعطاء معدل التدفق المطلوب بواسطة الصيغة

تحتوي الوحدة العادية للطائرة على مكونات

يمكن التعبير عن تكامل السطح من حيث التكامل المزدوج

أين هي معادلة السطح مكتوب صراحة:

منطقة
هو إسقاط الى الطائرة
وتحدها خطوط

بإدخال الدوال المعطاة في التكامل المزدوج ، نجد

يمكن كتابة الأخير من خلال التكامل المتكرر

محتوى


	البرامج النموذجية لدورة "الرياضيات العليا". الأدب الموصى به. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
		برنامج مقرر "الرياضيات العليا" للهندسة
		برنامج مقرر "الرياضيات العليا" للاقتصاد التخصصات. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	أوراق الاختبار. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
		قواعد تصميم العمل الرقابي. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
		اختيار خيار الاختبار. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
		مهام أعمال المراقبة. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	عمل رقابة رقم 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	عمل رقابة رقم 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	عمل رقابة رقم 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	عمل رقابة رقم 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	أمثلة على حل مشاكل التحكم في العمل. . . . . . . . . . .
		حل البديل النموذجي لأعمال التحكم رقم 1. . . . . . . . . . . . .
		قرار البديل النموذجي لأعمال التحكم رقم 2. . . . . . . . . . . . .
		حل البديل النموذجي لأعمال التحكم رقم 3. . . . . . . . . . . . .
		حل البديل النموذجي لأعمال التحكم رقم 4. . . . . . . . . . . . .

يتم وضع نص العمل بدون صور وصيغ.
النسخة الكاملة من العمل متاحة في علامة التبويب "ملفات الوظائف" بتنسيق PDF

مقدمة

هذا الموضوع مناسب ، لأن الناس كل يوم يحلون مشاكل مختلفة يستخدمون فيها طرقًا مختلفة للحل ، ولكن هناك مهام لا يمكن فيها الاستغناء عن طريقة الاستقراء الرياضي ، وفي مثل هذه الحالات ستكون المعرفة في هذا المجال مفيدة للغاية.

لقد اخترت هذا الموضوع للبحث ، لأنه في المناهج الدراسية يتم إعطاء طريقة الاستقراء الرياضي القليل من الوقت ، يتعلم الطالب معلومات سطحية ستساعده في الحصول على فكرة عامة فقط عن هذه الطريقة ، ولكن تطوير الذات سوف مطلوبًا لدراسة هذه النظرية بعمق. سيكون من المفيد حقًا معرفة المزيد عن هذا الموضوع ، لأنه يوسع آفاق الشخص ويساعد في حل المشكلات المعقدة.

هدف:

التعرف على طريقة الاستقراء الرياضي ، وتنظيم المعرفة في هذا الموضوع وتطبيقها في حل المشكلات الرياضية وإثبات النظريات ، وإثبات وإظهار الأهمية العملية لطريقة الاستقراء الرياضي كعامل ضروري لحل المشكلات.

مهام العمل:

تحليل الأدبيات ولخص المعرفة حول الموضوع.

فهم مبادئ الاستقراء الرياضي.

استكشف تطبيق طريقة الاستقراء الرياضي في حل المشكلات.

صياغة الاستنتاجات والاستنتاجات بشأن العمل المنجز.

الهيئة الرئيسية للبحث

تاريخ المنشأ:

في نهاية القرن التاسع عشر فقط ، تطور معيار متطلبات الدقة المنطقية ، والتي لا تزال حتى يومنا هذا مهيمنة في العمل العملي لعلماء الرياضيات على تطوير النظريات الرياضية الفردية.

الاستقراء هو إجراء معرفي يتم من خلاله استنتاج بيان يعممها من مقارنة الحقائق المتاحة.

في الرياضيات ، يتمثل دور الاستقراء إلى حد كبير في أنه يكمن وراء البديهيات المختارة. بعد ممارسة طويلة أوضحت أن المسار المستقيم دائمًا ما يكون أقصر من المسار المنحني أو المنكسر ، كان من الطبيعي صياغة بديهية: لأي ثلاث نقاط A و B و C ، يتم استيفاء عدم المساواة.

يعود إدراك طريقة الاستقراء الرياضي كطريقة مهمة منفصلة إلى Blaise Pascal و Gersonides ، على الرغم من وجود بعض حالات التطبيق حتى في العصور القديمة بواسطة Proclus و Euclid. تم تقديم الاسم الحديث لهذه الطريقة بواسطة de Morgan في عام 1838.

يمكن مقارنة طريقة الاستقراء الرياضي بالتقدم: نبدأ من الأدنى ، ونتيجة للتفكير المنطقي نصل إلى الأعلى. لقد سعى الإنسان دائمًا إلى التقدم ، من أجل القدرة على تطوير فكره منطقيًا ، مما يعني أن الطبيعة نفسها قد وجهته إلى التفكير الاستقرائي.

الاستقراء والخصم

من المعروف أن هناك عبارات خاصة وعامة ، ويستند المصطلحان المحددان إلى الانتقال من واحد إلى الآخر.

الاستنتاج (من الاستنتاج اللاتيني - الاشتقاق) - الانتقال في عملية الإدراك من جنرال لواءالمعرفة ل خاصو غير مرتبطة. في الاستنتاج ، تعمل المعرفة العامة كنقطة بداية للتفكير ، ويفترض أن تكون هذه المعرفة العامة "جاهزة" ، موجودة. خصوصية الاستنتاج هي أن حقيقة مقدماته تضمن حقيقة الاستنتاج. لذلك ، يتمتع الاستنتاج بقوة كبيرة في الإقناع ويستخدم على نطاق واسع ليس فقط لإثبات النظريات في الرياضيات ، ولكن أيضًا حيثما تكون هناك حاجة إلى معرفة موثوقة.

الاستقراء (من الحث اللاتيني - التوجيه) هو انتقال في عملية الإدراك من خاصالمعرفة ل جنرال لواءبمعنى آخر ، إنها طريقة بحث ومعرفة مرتبطة بتعميم نتائج الملاحظات والتجارب ، ومن سمات الاستقراء طبيعتها الاحتمالية ، أي بالنظر إلى حقيقة المقدمات الأولية ، من المحتمل أن يكون استنتاج الاستقراء صحيحًا فقط ، وفي النتيجة النهائية قد يكون صحيحًا وخاطئًا.

الاستقراء الكامل وغير الكامل

الاستدلال الاستقرائي هو شكل من أشكال التفكير المجرد الذي يتطور فيه الفكر من معرفة بدرجة أقل من العمومية إلى معرفة درجة أكبر من العمومية ، والاستنتاج الذي يتبع من المقدمات هو في الغالب احتمالي.

في سياق البحث ، اكتشفت أن الاستقراء ينقسم إلى نوعين: كامل وغير كامل.

يُطلق على الاستقراء الكامل الاستنتاج الذي يتم فيه التوصل إلى استنتاج عام حول فئة من الكائنات على أساس دراسة جميع كائنات هذه الفئة.

على سبيل المثال ، دع الأمر يتطلب إثبات أن كل عدد زوجي طبيعي n ضمن 6≤ n≤ 18 يمكن تمثيله كمجموع عددين أوليين. للقيام بذلك ، نأخذ كل هذه الأرقام ونكتب التوسعات المقابلة:

6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;14=7+7; 16=11+5; 18=13+5;

توضح هذه المساواة أن كل رقم من الأرقام التي تهمنا يتم تمثيله بالفعل كمجموع من مصطلحين بسيطين.

تأمل المثال التالي: التسلسل yn = n 2 + n + 17 ؛ لنكتب أول أربعة حدود: y 1 = 19؛ y2 = 23 ؛ y3 = 29 ؛ y4 = 37 ؛ ثم يمكننا أن نفترض أن التسلسل بأكمله يتكون من الأعداد الأولية. لكن الأمر ليس كذلك ، فلنأخذ ص 16 = 16 2 + 16 + 17 = 16 (16 + 1) + 17 = 17 * 17. هذا رقم مركب ، مما يعني أن افتراضنا خاطئ ، وبالتالي ، فإن الاستقراء غير الكامل لا يؤدي إلى استنتاجات موثوقة تمامًا ، ولكنه يسمح لنا بصياغة فرضية ، والتي تتطلب فيما بعد إثباتًا رياضيًا أو تفنيدًا.

طريقة الاستقراء الرياضي

الاستقراء الكامل له تطبيقات محدودة فقط في الرياضيات. العديد من العبارات الرياضية المثيرة للاهتمام تغطي عددًا لا نهائيًا من الحالات الخاصة ، ولا يمكننا اختبار كل هذه المواقف ، لكن كيف نختبر عددًا لا حصر له من الحالات؟ تم اقتراح هذه الطريقة من قبل B.Pascal و J. Bernoulli ، وهي طريقة للحث الرياضي ، والتي تعتمد على مبدأ الاستقراء الرياضي.

إذا كانت الجملة A (n) ، التي تعتمد على عدد طبيعي n ، صحيحة لـ n = 1 ، ومن حقيقة أنها صحيحة لـ n = k (حيث k هي أي عدد طبيعي) ، فهذا يعني أنها كذلك صحيح بالنسبة للرقم التالي n = k +1 ، فإن الافتراض A (n) صحيح لأي عدد طبيعي n.

في عدد من الحالات ، قد يكون من الضروري إثبات صحة بيان معين ليس لجميع الأعداد الطبيعية ، ولكن فقط لـ n> p ، حيث p هو رقم طبيعي ثابت. في هذه الحالة ، تتم صياغة مبدأ الاستقراء الرياضي على النحو التالي:

إذا كانت الجملة A (n) صحيحة لـ n = p وإذا كانت A (k)  A (k + 1) لأي k> p ، فإن الجملة A (n) صحيحة لأي n> p.

الخوارزمية (تتكون من أربع مراحل):

1. القاعدة(نظهر أن التأكيد الذي يتم إثباته صحيح بالنسبة لبعض أبسط الحالات الخاصة ( ص = 1));

2-تخمين(نفترض أن التأكيد قد تم إثباته لأول مرة إلى حالات)؛ 3 .خطوة(بموجب هذا الافتراض نثبت تأكيد القضية ص = إلى + 1) ؛ 4. الإخراج (yالبيان صحيح لجميع الحالات ، أي للجميع ع) .

لاحظ أنه لا يمكن حل جميع المشكلات بطريقة الاستقراء الرياضي ، ولكن يمكن حل المشكلات فقط بواسطة بعض المتغيرات. هذا المتغير يسمى متغير الاستقراء.

تطبيق طريقة الاستقراء الرياضي

دعونا نطبق كل هذه النظرية في الممارسة ونكتشف المشاكل التي تستخدم هذه الطريقة.

مشاكل إثبات عدم المساواة.

مثال 1برهن على عدم مساواة برنولي (1 + س) n≥1 + n x، x> -1، n € N.

1) بالنسبة إلى n = 1 ، تكون المتباينة صحيحة ، بما أن 1 + х≥1 +

2) افترض أن عدم المساواة صحيحة لبعض n = k ، أي

(1 + س) ك ≥1 + ك س.

بضرب طرفي المتباينة في عدد موجب 1 + x ، نحصل على

(1 + س) ك + 1 ≥ (1 + ك س) (1+ س) = 1 + (ك + 1) س + ك س 2

بالنظر إلى أن kx 2 ≥0 ، نصل إلى المتباينة

(1 + س) ك + 1 1 + (ك + 1) س.

وبالتالي ، فإن الافتراض القائل بأن عدم مساواة برنولي صحيحة بالنسبة لـ n = k يعني ضمناً أنها صحيحة بالنسبة لـ n = k + 1. استنادًا إلى طريقة الاستقراء الرياضي ، يمكن القول إن عدم مساواة برنولي صالحة لأي ن ∈ ن.

مثال 2إثبات ذلك لأي عدد طبيعي ن> 1 ،.

دعونا نثبت باستخدام طريقة الاستقراء الرياضي.

تشير إلى الجانب الأيسر من المتباينة بواسطة.

1) ، لذلك ، بالنسبة إلى n = 2 ، فإن المتباينة صحيحة.

2) دع لبعض k. دعونا نثبت ذلك ثم و نملك .

مقارنة و لدينا أي .

بالنسبة لأي عدد صحيح موجب k ، يكون الجانب الأيمن من المساواة الأخيرة موجبًا. لهذا. لكن ، بالتالي ، و. لقد أثبتنا صحة المتباينة لـ n = k + 1 ، لذلك ، بحكم طريقة الاستقراء الرياضي ، فإن المتباينة صحيحة لأي n طبيعي> 1.

مشاكل إثبات الهويات.

مثال 1إثبات أن المساواة صحيحة لأي نوع طبيعي:

1 3 +2 3 +3 3 + ... + ن 3 = ن 2 (ن + 1) 2/4.

لنفترض أن n = 1 ، ثم X 1 = 1 3 = 1 2 (1 + 1) 2/4 = 1.

نرى أن العبارة n = 1 صحيحة.

2) افترض أن المساواة صحيحة لـ n = kX k = k 2 (k + 1) 2/4.

3) دعنا نثبت صحة هذا البيان لـ n = k + 1 ، أي X k + 1 = (k + 1) 2 (k + 2) 2/4. X k + 1 = 1 3 +2 3 +… + k 3 + (k + 1) 3 = k 2 (k + 1) 2/4 + (k + 1) 3 = (k 2 (k + 1) 2 +4 (ك + 1) 3) / 4 = (ك + 1) 2 (ك 2 + 4k + 4) / 4 = (ك + 1) 2 (ك + 2) 2/4.

من الدليل أعلاه ، من الواضح أن العبارة صحيحة لـ n = k + 1 ، وبالتالي ، فإن المساواة صحيحة لأي n طبيعي.

مثال 2إثبات ذلك لأي مساواة طبيعية

1) تحقق من صحة هذه الهوية لـ n = 1 .؛ - حقا.

2) اجعل الهوية صحيحة لـ n = k أيضًا ، أي

3) دعنا نثبت أن هذه المطابقة صحيحة أيضًا لـ n = k + 1 ، أي ؛

لان المساواة صحيحة لـ n = k و n = k + 1 ، فهي صحيحة لأي n طبيعي.

مهام التلخيص.

مثال 1أثبت أن 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n 2.

الحل: 1) لدينا n = 1 = 1 2. لذلك ، البيان صحيح لـ n = 1 ، أي أ (1) هو الصحيح.

2) دعنا نثبت أن А (k)  A (k + 1).

لنفترض أن k أي رقم طبيعي ودع العبارة تكون صحيحة لـ n = k ، أي 1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) = k 2.

دعنا نثبت أن التأكيد صحيح أيضًا بالنسبة للعدد الطبيعي التالي n = k + 1 ، أي ماذا او ما

1 + 3 + 5 + ... + (2 ك + 1) = (ك + 1) 2.

في الواقع ، 1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) + (2k + 1) = k 2 + 2k + 1 = (k + 1) 2.

إذن ، أ (ك)  أ (ك + 1). بناءً على مبدأ الاستقراء الرياضي ، نستنتج أن الافتراض A (n) صحيح لأي n N.

مثال 2إثبات الصيغة ، n عدد طبيعي.

الحل: عندما يكون n = 1 ، يتحول كلا الجزأين من المساواة إلى جزء واحد ، وبالتالي يتم استيفاء الشرط الأول لمبدأ الاستقراء الرياضي.

افترض أن الصيغة صحيحة لـ n = k ، أي .

دعونا نضيف إلى كلا الجانبين من هذه المساواة ونحول الجانب الأيمن. ثم نحصل

وبالتالي ، من حقيقة أن الصيغة صحيحة لـ n = k ، فهذا يعني أنها صحيحة لـ n = k + 1 ، فإن هذه العبارة صحيحة لأي n طبيعي.

مشاكل الانقسام.

مثال 1أثبت أن (11 n + 2 +12 2n + 1) قابلة للقسمة على 133 بدون باقي.

المحلول: 1) دع n = 1 ، إذن

11 3 +12 3 = (11 + 12) (11 2-132 + 12 2) = 23 × 133.

(23 × 133) قابلة للقسمة على 133 بدون باقي ، لذلك فإن العبارة n = 1 صحيحة ؛

2) افترض أن (11 k + 2 +12 2k + 1) يقبل القسمة على 133 بدون الباقي.

3) دعونا نثبت ذلك في هذه الحالة

(11 k + 3 +12 2k + 3) يقبل القسمة على 133 بدون الباقي. في الواقع ، 11 ك + 3 +12 2 ن + 3 = 11 × 11 ك + 2 +

12 2 × 12 2 ك + 1 = 11 × 11 ك + 2 + (11 + 133) × 12 2 ك + 1 = 11 (11 ك + 2 +12 2 ك + 1) + 133 × 12 2 ك + 1.

المجموع الناتج قابل للقسمة على 133 بدون باقي ، حيث أن المصطلح الأول قابل للقسمة على 133 بدون باقي الافتراض ، وفي العامل الثاني هو 133.

لذلك ، A (k) → A (k + 1) ، ثم بناءً على طريقة الاستقراء الرياضي ، فإن العبارة صحيحة لأي n طبيعي.

مثال 2أثبت أن 3 3n-1 +2 4n-3 لعدد صحيح موجب عشوائي n قابل للقسمة على 11.

الحل: 1) لنفترض أن n = 1 ، ثم X 1 = 3 3-1 +2 4-3 = 3 2 +2 1 = 11 قابلة للقسمة على 11 بدون الباقي. ومن ثم فإن العبارة n = 1 صحيحة.

2) افترض أن ن = ك

X k \ u003d 3 3k-1 +2 4k-3 قابل للقسمة على 11 بدون الباقي.

3) دعنا نثبت أن العبارة صحيحة من أجل n = k + 1.

X k + 1 = 3 3 (k + 1) -1 +2 4 (k + 1) -3 = 3 3k + 2 +2 4k + 1 = 3 3 * 3 3k-1 +2 4 * 2 4k-3 =

27 3 ك -3 + 16 * 2 4 ك -3 = (16 + 11) * 3 3 ك -1 + 16 * 2 4 ك -3 = 16 * 3 3 ك -1 +

11 * 3 3 ك -1 + 16 * 2 4 ك -3 = 16 (3 3 ك -1 +2 4 ك -3) + 11 * 3 3 ك -1.

مهام من واقع الحياة.

مثال 1إثبات أن مجموع Sn للزوايا الداخلية لأي مضلع محدب هو ( ص- 2) π أين صهو عدد جوانب هذا المضلع: Sn = ( ص- 2) π (1).

هذا البيان لا معنى له لجميع الطبيعية ص، ولكن فقط من أجل ص > 3 ، لأن الحد الأدنى لعدد الزوايا في المثلث هو 3.

1) متى ص= 3 بياننا يأخذ الشكل: S 3 = π. لكن مجموع الزوايا الداخلية لأي مثلث هو في الواقع π. لذلك ، متى ص= 3 الصيغة (1) صحيحة.

2) دع هذه الصيغة صحيحة لـ n = ك، هذا هو ، S. ك = (ك- 2) π أين ك > 3. دعنا نثبت أن الصيغة تحمل أيضًا في هذه الحالة: S. ك + 1 = (ك- 1) π.

دع أ 1 أ 2 ... أ ك أ ك + 1 - محدب تعسفي ( ك+ 1) -غون (الشكل 338).

عن طريق ربط النقطتين A 1 و A ك ، نحصل على محدب ك-بدءًا من A 1 A 2 ... ك - 1 أ ك . من الواضح أن مجموع الزوايا ( ك+ 1) - انطلق A 1 A 2 ... ك أ ك + 1 يساوي مجموع الزوايا ك-بدءًا من A 1 A 2 ... ك زائد مجموع زوايا المثلث أ 1 أ ك أ ك + واحد . لكن مجموع الزوايا ك-بدءًا من A 1 A 2 ... ك يفترض أن يكون ( ك- 2) π ومجموع زوايا المثلث أ 1 أ ك أ ك + 1 يساوي باي. لهذا

س ك + 1 = S. ك + π = ( ك- 2) π + π = ( ك- 1) π.

لذلك ، يتم استيفاء كلا الشرطين من مبدأ الاستقراء الرياضي ، وبالتالي فإن الصيغة (1) صحيحة لأي شيء طبيعي ص > 3.

مثال 2يوجد درج ، جميع درجاته متشابهة. مطلوب تحديد الحد الأدنى من عدد المراكز التي تضمن إمكانية "تسلق" أي خطوة برقم.

يتفق الجميع على وجوب وجود شرط. يجب أن نكون قادرين على تسلق الخطوة الأولى. بعد ذلك ، يجب أن يكونوا قادرين على الصعود من الخطوة الأولى إلى الثانية. ثم في الثانية - في الثالث ، إلخ. إلى الخطوة التاسعة. بالطبع ، في المجمل ، تضمن عبارات "n" أن نتمكن من الوصول إلى الخطوة رقم n.

دعنا الآن نلقي نظرة على المواضع 2 ، 3 ،…. ، n ومقارنتها مع بعضها البعض. من السهل أن نرى أنهم جميعًا لديهم نفس البنية: إذا وصلنا إلى الخطوة k ، فيمكننا تسلق الخطوة (k + 1). من هنا ، تصبح هذه البديهية لصحة العبارات التي تعتمد على "n" طبيعية: إذا كانت الجملة A (n) ، حيث n عددًا طبيعيًا ، تكتفي بـ n = 1 ومن حقيقة أنها راضية مع n = k (حيث k هو أي رقم طبيعي) ، فإنه يتبع ذلك أيضًا أنه ينطبق على n = k + 1 ، ثم افتراض A (n) ينطبق على أي عدد طبيعي n.

طلب

المهام باستخدام أسلوب الاستقراء الرياضي عند دخول الجامعات.

لاحظ أنه عند دخول مؤسسات التعليم العالي ، هناك أيضًا مهام يتم حلها بهذه الطريقة. لنفكر فيها في أمثلة محددة.

مثال 1يثبت أن أي شيء طبيعي صمساواة عادلة

1) متى ن = 1نحصل على الخطيئة المساواة الصحيحة.

2) بعد إجراء الافتراض الاستقرائي لـ n = كالمساواة صحيحة ، ضع في اعتبارك المجموع على الجانب الأيسر من المساواة ، من أجل n = ك + 1 ؛

3) باستخدام صيغ الاختزال ، نقوم بتحويل التعبير:

ثم ، بحكم طريقة الاستقراء الرياضي ، تكون المساواة صحيحة لأي ن طبيعي.

مثال 2اثبت أن قيمة التعبير 4n + 15n-1 لأي n طبيعية هي مضاعف 9.

1) مع n = 1: 2 2 + 15-1 = 18 - مضاعف 9 (لأن 18: 9 = 2)

2) دع المساواة تصمد ل ن = ك: 4k + 15k-1 من مضاعفات العدد 9.

3) دعنا نثبت أن المساواة تنطبق على الرقم التالي ن = ك + 1

4k + 1 +15 (ك + 1) -1 = 4k + 1 + 15 ك + 15-1 = 4.4 ك + 60 ألف-4-45 ك + 18 = 4 (4 ك + 15 ك -1) -9 (5 ك -2)

4 (4k + 15k-1) - من مضاعفات 9 ؛

9 (5 ك -2) - من مضاعفات العدد 9 ؛

وبالتالي ، فإن التعبير الكامل 4 (4 ك + 15 ك -1) -9 (5 ك -2) هو مضاعف 9 ، والذي كان من المقرر إثباته.

مثال 3إثبات ذلك لأي رقم طبيعي صتم استيفاء الشرط: 1 ∙ 2 ∙ 3 + 2 ∙ 3 ∙ 4 + ... + n (n + 1) (n + 2) =.

1) تحقق من صحة هذه الصيغة ن = 1:الجهه اليسرى = 1∙2∙3=6.

الجزء الأيمن = . 6 = 6 ؛ صحيح في ن = 1.

2) افترض أن هذه الصيغة صحيحة لـ n = ك:

1 ∙ 2 ∙ 3 + 2 ∙ 3 ∙ 4 + ... + ك (ك + 1) (ك + 2) =.س ك =.

3) دعنا نثبت أن هذه الصيغة صحيحة لـ n = ك + 1:

1 ∙ 2 ∙ 3 + 2 ∙ 3 ∙ 4 + ... + (ك + 1) (ك + 2) (ك + 3) =.

س ك + 1 =.

دليل - إثبات:

إذن ، هذا الشرط صحيح في حالتين وثبت أنه صحيح لـ n = ك + 1 ،لذلك فهو صحيح لأي عدد طبيعي ص.

استنتاج

للتلخيص ، في عملية البحث ، اكتشفت ما هو الاستقراء ، وهو مكتمل أو غير مكتمل ، تعرفت على طريقة الاستقراء الرياضي القائمة على مبدأ الاستقراء الرياضي ، والتي اعتبرت العديد من المشكلات باستخدام هذه الطريقة.

كما تعلمت الكثير من المعلومات الجديدة ، تختلف عما هو مدرج في المناهج المدرسية ، وأثناء دراستي لطريقة الاستقراء الرياضي ، استخدمت العديد من المؤلفات ، ومصادر الإنترنت ، واستشرت أيضًا مدرسًا.

استنتاج: بعد المعرفة المعممة والمنظمة حول الاستقراء الرياضي ، أصبحت مقتنعًا بالحاجة إلى المعرفة حول هذا الموضوع في الواقع. تتمثل إحدى السمات الإيجابية لطريقة الاستقراء الرياضي في تطبيقها الواسع في حل المشكلات: في مجال الجبر والهندسة والرياضيات الحقيقية. أيضًا ، تزيد هذه المعرفة من الاهتمام بالرياضيات كعلم.

أنا متأكد من أن المهارات المكتسبة أثناء العمل ستساعدني في المستقبل.

فهرس

سومينسكي إ. طريقة الاستقراء الرياضي. محاضرات شعبية في الرياضيات العدد 3 م نووكا 1974.

إل آي جولوفينا ، آي إم ياجلوم. الاستقراء في الهندسة. - Fizmatgiz، 1961. - T. 21. - 100 ص. - (محاضرات شعبية في الرياضيات).

Dorofeev G.V. ، Potapov MK ، Rozov N.Kh. دليل الرياضيات للمتقدمين للجامعات (أسئلة مختارة من الرياضيات الابتدائية) - الطبعة الخامسة ، المنقحة ، 1976 - 638 ثانية.

أ. شن. الاستنتاج الرياضي. - MTsNMO، 2004. - 36 ص.

ML Galitsky ، A.M. Goldman ، L.I. Zvavich مجموعة من المشاكل في الجبر: كتاب مدرسي من 8 إلى 9 خلايا. بعمق دراسة الرياضيات الطبعة السابعة - م: التربية 2001. - 271 ص.

يو. - م: Pro-sve-shche-nie ، 2002.

ويكيبيديا هي الموسوعة المجانية.