حل المعادلات المنطقية الكسرية. كيفية حل المعادلات مع الكسور

تي كوسياكوفا ،
المدرسة رقم 80 ، كراسنودار

حل المعادلات التربيعية والكسرية المنطقية التي تحتوي على معلمات

الدرس 4

موضوع الدرس:

الغرض من الدرس:لتكوين القدرة على حل المعادلات الكسرية المنطقية التي تحتوي على معلمات.

نوع الدرس:إدخال مواد جديدة.

1. (شفهيًا) حل المعادلات:

مثال 1. حل المعادلة

المحلول.

البحث عن قيم غير صالحة أ:

إجابه. اذا كان إذا أ = – 19 فلا جذور.

مثال 2. حل المعادلة

المحلول.

البحث عن قيم المعلمات غير صالحة أ :

10 – أ = 5, أ = 5;

10 – أ = أ, أ = 5.

إجابه. اذا كان أ = 5 أ № 5 ، ومن بعد س = 10– أ .

مثال 3. في أي قيم المعلمة ب المعادلة لديها:

أ) اثنين من الجذور ب) الجذر الوحيد؟

المحلول.

1) البحث عن قيم معلمات غير صالحة ب :

س = ب, ب 2 (ب 2 – 1) – 2ب 3 + ب 2 = 0, ب 4 – 2ب 3 = 0,
ب= 0 أو ب = 2;
س = 2 ، 4 ( ب 2 – 1) – 4ب 2 + ب 2 = 0, ب 2 – 4 = 0, (ب – 2)(ب + 2) = 0,
ب= 2 أو ب = – 2.

2) حل المعادلة × 2 ( ب 2 – 1) – 2ب 2x + ب 2 = 0:

د = 4 ب 4 – 4ب 2 (ب 2-1) ، د = 4 ب 2 .

أ)

استبعاد قيم المعلمات غير الصالحة ب ، نحصل على أن للمعادلة جذران ، إذا ب № – 2, ب № – 1, ب № 0, ب № 1, ب № 2 .

ب) 4ب 2 = 0, ب = 0, لكن هذه قيمة معلمة غير صالحة ب ؛ إذا ب 2 –1=0 ، بمعنى آخر. ب=1 أو.

الجواب: أ) إذا ب № –2 , ب № –1, ب № 0, ب № 1, ب № 2 , ثم جذرين ب) إذا ب=1 أو ب = -1 ، ثم الجذر الوحيد.

عمل مستقل

الخيار 1

حل المعادلات:

الخيار 2

حل المعادلات:

الإجابات

في 1. ماذا إذا أ=3 ثم لا توجد جذور. إذا ب) إذا أ № 2 فلا جذور.

في 2.اذا كان أ=2 ثم لا توجد جذور. إذا أ=0 ثم لا توجد جذور. إذا
ب) إذا أ=– 1 ، ثم تفقد المعادلة معناها ؛ إذا لم تكن هناك جذور.
إذا

واجب منزلي.

حل المعادلات:

الإجابات: أ) إذا أ № –2 ، ومن بعد س = أ ؛ إذا أ=–2 ثم لا توجد حلول. ب) إذا أ № –2 ، ومن بعد س = 2؛ إذا أ=–2 ثم لا توجد حلول. ج) إذا أ=–2 ، ومن بعد x- أي رقم بخلاف 3 ؛ إذا أ № –2 ، ومن بعد س = 2؛ د) إذا أ=–8 ثم لا توجد جذور. إذا أ=2 ثم لا توجد جذور. إذا

الدرس الخامس

موضوع الدرس:"حل المعادلات الجزئية التي تحتوي على معلمات".

أهداف الدرس:

تعلم حل المعادلات بشرط غير قياسي ؛
الاستيعاب الواعي من قبل الطلاب للمفاهيم الجبرية والعلاقات بينهم.

نوع الدرس:التنظيم والتعميم.

فحص الواجبات المنزلية.

مثال 1. حل المعادلة

أ) نسبة إلى س ؛ ب) نسبة إلى ص.

المحلول.

أ) البحث عن قيم غير صالحة ذ: ص = 0 ، س = ص ، ص 2 = ص 2 –2 ص,

ص = 0- قيمة معلمة غير صالحة ذ.

اذا كان ذ№ 0 ، ومن بعد س = ص -2؛ إذا ص = 0، ثم تفقد المعادلة معناها.

ب) البحث عن قيم المعلمات غير صالحة x: ص = س ، 2 س – س 2 + س 2 = 0 ، س = 0- قيمة معلمة غير صالحة x; ص (2 + س ص) = 0 ، ص = 0أو ص = 2 + س ؛

ص = 0لا تفي بالشرط ص (ص - س)№ 0 .

الجواب: أ) إذا ص = 0، ثم تفقد المعادلة معناها ؛ إذا ذ№ 0 ، ومن بعد س = ص -2؛ ب) إذا س = 0 x№ 0 ، ومن بعد ص = 2 + س .

مثال 2. ما هي قيم المعلمة a هي جذور المعادلة تنتمي إلى الفترة

د = (3 أ + 2) 2 – 4أ(أ+ 1) 2 = 9 أ 2 + 12أ + 4 – 8أ 2 – 8أ,

د = ( أ + 2) 2 .

اذا كان أ № 0 أو أ № – 1 ، ومن بعد

إجابه: 5 .

مثال 3. البحث نسبيا xالحلول الكاملة للمعادلة

إجابه. اذا كان ص = 0، ثم المعادلة لا معنى لها ؛ إذا ص = -1، ومن بعد x- أي عدد صحيح غير الصفر ؛ إذا ص # 0 ، ص # - 1، فلا توجد حلول.

مثال 4حل المعادلة مع المعلمات أ و ب .

اذا كان أ№ - ب ، ومن بعد

إجابه. اذا كان أ = 0 أو ب = 0 ، ثم تفقد المعادلة معناها ؛ إذا أ№ 0 ، ب№ 0 ، أ = -ب ، ومن بعد x- أي رقم غير الصفر ؛ إذا أ№ 0 ، ب№ 0 ، أ№ -ب ومن بعد س = -a ، س = -ب .

مثال 5. إثبات أنه لأي قيمة غير صفرية للمعامل n ، المعادلة له جذر واحد يساوي - ن .

المحلول.

بمعنى آخر. س = -nالتي كان من المقرر إثباتها.

واجب منزلي.

1. إيجاد الحلول الكاملة للمعادلة

2. ما قيم المعلمة جالمعادلة لديها:
أ) اثنين من الجذور ب) الجذر الوحيد؟

3. أوجد جميع الجذور الصحيحة للمعادلة إذا أا ن .

4. حل المعادلة 3 س ص - 5 س + 5 ص = 7:نسبيا ذ؛ ب) نسبيا x .

1. يتم تحقيق المعادلة بأي عدد صحيح متساوي من قيم x و y غير الصفر.
2. أ) متى
ب) في أو
3. – 12; – 9; 0 .
4. أ) إذا لم يكن هناك جذور ؛ إذا
ب) إذا لم تكن هناك جذور ؛ إذا

اختبار

الخيار 1

1. تحديد نوع المعادلة 7 ج (ج + 3) × 2 + (ج –2) × –8 = 0 في: أ) ج = -3؛ ب) ج = 2 ؛في) ج = 4 .

2. حل المعادلات: أ) × 2 –bx = 0 ؛ب) cx 2 –6x + 1 = 0؛ في)

3. حل المعادلة 3x-xy-2y = 1:

نسبيا x ;
ب) نسبيا ذ .

nx 2 - 26x + n \ u003d 0 ،مع العلم أن المعامل n يأخذ قيمًا صحيحة فقط.

5. ما هي قيم ب تفعل المعادلة لديها:

أ) اثنين من الجذور
ب) الجذر الوحيد؟

الخيار 2

1. تحديد نوع المعادلة 5 ج (ج + 4) × 2 + (ج –7) × + 7 = 0في: أ) ج = -4 ؛ب) ج = 7 ؛في) ج = 1 .

2. حل المعادلات: أ) ص 2 + سي = 0 ؛ب) ny2 –8y + 2 = 0 ؛في)

3. حل المعادلة 6 س-س ص + 2 ص = 5:

نسبيا x ;
ب) نسبيا ذ .

4. أوجد الجذور الصحيحة للمعادلة nx 2 -22x + 2n = 0 ،مع العلم أن المعامل n يأخذ قيمًا صحيحة فقط.

5. ما هي قيم المعلمة a المعادلة لديها:

أ) اثنين من الجذور
ب) الجذر الوحيد؟

الإجابات

في 1. 1. أ) المعادلة الخطية ؛
ب) معادلة تربيعية غير كاملة ؛ ج) معادلة من الدرجة الثانية.
2. أ) إذا ب = 0، ومن بعد س = 0؛ إذا ب # 0، ومن بعد س = 0 ، س = ب;
ب) إذا ج (9 ؛ + Ґ)ثم لا توجد جذور.
ج) إذا أ=–4 ، ثم تفقد المعادلة معناها ؛ إذا أ№ –4 ، ومن بعد س = - أ .
3. أ) إذا ص = 3ثم لا توجد جذور. إذا)؛
ب) أ=–3, أ=1.

مهام إضافية

حل المعادلات:

المؤلفات

1. Golubev V.I. ، Goldman A.M. ، Dorofeev G.V. حول المعلمات من البداية. - مدرس عدد 2/1991 ص. 3-13.
2. Gronshtein P.I. ، Polonsky V.B. ، Yakir MS الشروط اللازمة في المهام مع المعلمات. - كفانت ، رقم 11/1991 ، ص. 44-49.
3. Dorofeev G.V. ، Zatakavai V.V. حل المشكلات التي تحتوي على معلمات. الجزء 2. - م ، وجهة نظر ، 1990 ، ص. 2 - 38.
4. Tynyakin S.A. خمسمائة وأربعة عشر مهمة مع معلمات. - فولجوجراد ، 1991.
5. Yastrebinetsky G.A. المهام مع المعلمات. - م ، التربية ، 1986.

§ 1 المعادلات المنطقية الكاملة والكسرية

في هذا الدرس ، سنقوم بتحليل مفاهيم مثل المعادلة المنطقية ، والتعبير المنطقي ، والتعبير الصحيح ، والتعبير الكسري. ضع في اعتبارك حل المعادلات المنطقية.

المعادلة المنطقية هي معادلة يكون فيها الجانبان الأيمن والأيسر تعابير منطقية.

التعبيرات العقلانية هي:

كسور.

يتكون تعبير العدد الصحيح من الأرقام والمتغيرات والقوى الصحيحة باستخدام عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة على رقم آخر غير الصفر.

فمثلا:

في التعبيرات الكسرية ، يوجد قسمة على متغير أو تعبير به متغير. فمثلا:

لا يكون التعبير الكسري منطقيًا لجميع قيم المتغيرات المضمنة فيه. على سبيل المثال ، التعبير

عند x = -9 لا معنى له ، لأنه عند x = -9 يذهب المقام إلى الصفر.

هذا يعني أن المعادلة الكسرية يمكن أن تكون عددًا صحيحًا وكسرًا.

المعادلة المنطقية الصحيحة هي معادلة منطقية يكون فيها الجانبان الأيمن والأيسر تعابير عددية.

فمثلا:

المعادلة المنطقية الكسرية هي معادلة منطقية يكون فيها الجانب الأيمن أو الأيسر عبارة عن تعبيرات كسرية.

فمثلا:

§ 2 حل معادلة منطقية كاملة

ضع في اعتبارك حل معادلة عقلانية كاملة.

فمثلا:

اضرب طرفي المعادلة في المقام المشترك الأصغر لمقام الكسور المتضمنة فيها.

لهذا:

1. أوجد المقام المشترك للمقام 2 ، 3 ، 6. إنه يساوي 6 ؛

2. ابحث عن عامل إضافي لكل كسر. للقيام بذلك ، اقسم المقام المشترك 6 على كل مقام

مضاعف إضافي للكسر

3. اضرب بسط الكسور في العوامل الإضافية المقابلة لها. وهكذا نحصل على المعادلة

وهو ما يعادل هذه المعادلة

دعونا نفتح الأقواس على اليسار ، وننقل الجزء الأيمن إلى اليسار ، ونغير إشارة المصطلح أثناء النقل إلى العكس.

نعطي شروطًا متشابهة لكثيرات الحدود ونحصل عليها

نرى أن المعادلة خطية.

بحلها نجد أن x = 0.5.

§ 3 حل معادلة كسرية منطقية

ضع في اعتبارك حل المعادلة المنطقية الكسرية.

فمثلا:

1. اضرب طرفي المعادلة في المقام المشترك الأصغر للمقامين الخاصين بالكسور المنطقية المتضمنة فيها.

أوجد المقام المشترك للمقامرين x + 7 و x - 1.

إنه يساوي حاصل ضربهم (س + 7) (س - 1).

2. لنجد عاملًا إضافيًا لكل كسر كسري.

للقيام بذلك ، نقسم المقام المشترك (x + 7) (x - 1) على كل مقام. مضاعف إضافي للكسور

يساوي x - 1 ،

مضاعف إضافي للكسر

يساوي x + 7.

3. اضرب بسط الكسور في العوامل الإضافية المقابلة لها.

نحصل على المعادلة (2x - 1) (x - 1) \ u003d (3x + 4) (x + 7) ، وهو ما يعادل هذه المعادلة

4- اضرب لليمين واليسار في ذات الحدين واحصل على المعادلة التالية

5. ننقل الجزء الأيمن إلى اليسار ، ونغير إشارة كل مصطلح عند التحويل إلى العكس:

6. نقدم أعضاء متشابهين في كثير الحدود:

7. يمكنك قسمة كلا الجزأين على -1. نحصل على معادلة من الدرجة الثانية:

8. بعد حلها ، سنجد الجذور

منذ ذلك الحين في المعادلة

الجزءان الأيمن والأيسر عبارة عن تعبيرات كسرية ، وفي التعبيرات الكسرية ، بالنسبة لبعض قيم المتغيرات ، قد يتلاشى المقام ، ثم من الضروري التحقق مما إذا كان المقام المشترك لا يختفي عند العثور على x1 و x2.

عند x = -27 لا يختفي المقام المشترك (x + 7) (x - 1) ، وعند x = -1 يكون المقام المشترك أيضًا غير صفري.

لذلك ، كلا الجذور -27 و -1 هي جذور المعادلة.

عند حل المعادلة المنطقية الكسرية ، من الأفضل الإشارة على الفور إلى منطقة القيم المسموح بها. احذف تلك القيم التي يصل عندها المقام المشترك إلى الصفر.

فكر في مثال آخر لحل معادلة منطقية كسرية.

على سبيل المثال ، لنحل المعادلة

نحلل مقام الكسر الموجود في الجانب الأيمن من المعادلة إلى عوامل

نحصل على المعادلة

أوجد المقام المشترك للمقام (x - 5)، x، x (x - 5).

سيكون التعبير x (x - 5).

لنجد الآن نطاق القيم المقبولة للمعادلة

للقيام بذلك ، نساوي المقام المشترك بصفر x (x - 5) \ u003d 0.

نحصل على معادلة ، ونحلها ، نجد أنه عند x \ u003d 0 أو عند x \ u003d 5 ، يتلاشى المقام المشترك.

إذن ، لا يمكن أن تكون x = 0 أو x = 5 جذور معادلتنا.

الآن يمكنك العثور على مضاعفات إضافية.

مضاعف إضافي للكسور المنطقية

مضاعف إضافي للكسور

سيكون (× - 5) ،

والعامل الإضافي للكسر

نضرب البسط في العوامل الإضافية المقابلة.

نحصل على المعادلة x (x - 3) + 1 (x - 5) = 1 (x + 5).

لنفتح الأقواس الموجودة على اليسار واليمين ، x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

دعنا ننقل المصطلحات من اليمين إلى اليسار عن طريق تغيير علامة الشروط المراد نقلها:

س 2 - 3 س + س - 5 - س - 5 = 0

وبعد إحضار المصطلحات المماثلة ، نحصل على المعادلة التربيعية x2 - 3x - 10 \ u003d 0. بعد حلها ، نجد الجذور x1 \ u003d -2 ؛ س 2 = 5.

لكننا اكتشفنا بالفعل أنه عند x = 5 يتلاشى المقام المشترك x (x - 5). لذلك ، جذر معادلتنا

سيكون x = -2.

§ 4 ملخص الدرس

من المهم أن تتذكر:

عند حل المعادلات المنطقية الكسرية ، يجب عليك القيام بما يلي:

1. أوجد المقام المشترك للكسور المتضمنة في المعادلة. علاوة على ذلك ، إذا كان من الممكن تحليل مقامات الكسور إلى عوامل ، فقم بتحليلها إلى عوامل ثم ابحث عن المقام المشترك.

2. اضرب طرفي المعادلة بمقام موحد: أوجد عوامل إضافية ، واضرب البسط في عوامل إضافية.

3. حل المعادلة الناتجة.

4. استبعاد من جذوره تلك التي تحول المقام المشترك إلى الصفر.

قائمة الأدب المستخدم:

Makarychev Yu.N. ، N.G. Mindyuk ، Neshkov K.I. ، Suvorova S.B. / تحت رئاسة تحرير Telyakovsky S.A. الجبر: كتاب مدرسي. لمدة 8 خلايا. تعليم عام المؤسسات. - م: التعليم ، 2013.
مردكوفيتش أ. الجبر. الصف الثامن: في جزئين. الجزء 1: Proc. للتعليم العام المؤسسات. - م: Mnemosyne.
روركين أ. تطورات الدرس في الجبر: الصف الثامن - م: فاكو ، 2010.
الجبر الصف 8: خطط الدرس وفقًا للكتاب المدرسي لـ Yu.N. ماكاريشيفا ، ن. مينديوك ، ك. نيشكوفا ، س. سوفوروفا / شركات. ت. أفاناسييف ، لوس أنجلوس تابلينا. - فولغوغراد: مدرس ، 2005.

يستخدم المقام المشترك الأصغر لتبسيط هذه المعادلة.تُستخدم هذه الطريقة عندما لا يمكنك كتابة المعادلة المحددة بتعبير منطقي واحد على كل جانب من جوانب المعادلة (واستخدام طريقة الضرب المتقاطع). تُستخدم هذه الطريقة عندما تحصل على معادلة منطقية من 3 كسور أو أكثر (في حالة وجود كسرين ، يكون الضرب التبادلي أفضل).

أوجد المقام المشترك الأصغر للكسور (أو المضاعف المشترك الأصغر). NOZ هو أصغر رقم يقبل القسمة على كل مقام.

أحيانًا يكون NOZ رقمًا واضحًا. على سبيل المثال ، إذا تم تقديم المعادلة: x / 3 + 1/2 = (3x + 1) / 6 ، فمن الواضح أن المضاعف المشترك الأصغر للأرقام 3 و 2 و 6 سيكون 6.
إذا لم يكن NOD واضحًا ، فقم بتدوين مضاعفات المقام الأكبر وابحث من بينها أيضًا عن مضاعفات المقامات الأخرى. يمكنك غالبًا العثور على NOD بضرب مقامين معًا. على سبيل المثال ، إذا كانت المعادلة x / 8 + 2/6 = (x - 3) / 9 معطاة ، فإن NOZ = 8 * 9 = 72.
إذا كان هناك مقام واحد أو أكثر يحتوي على متغير ، فإن العملية تكون أكثر تعقيدًا إلى حد ما (ولكنها ليست مستحيلة). في هذه الحالة ، فإن NOZ هو تعبير (يحتوي على متغير) يقبل القسمة على كل مقام. على سبيل المثال ، في المعادلة 5 / (x-1) = 1 / x + 2 / (3x) NOZ = 3x (x-1) ، لأن هذا التعبير قابل للقسمة على كل مقام: 3x (x-1) / (x -1) = 3x ؛ 3x (x-1) / 3x = (x-1) ؛ 3x (x-1) / x = 3 (x-1).

اضرب كلًا من بسط ومقام كل كسر في رقم يساوي نتيجة قسمة NOZ على المقام المقابل لكل كسر. نظرًا لأنك تضرب كلًا من البسط والمقام في نفس الرقم ، فأنت تقوم بضرب الكسر في 1 (على سبيل المثال ، 2/2 = 1 أو 3/3 = 1).

لذلك في مثالنا ، اضرب x / 3 في 2/2 لتحصل على 2x / 6 ، واضرب 1/2 في 3/3 لتحصل على 3/6 (3x + 1/6 لا تحتاج إلى الضرب لأن المقام هو 6).
تابع بالمثل عندما يكون المتغير في المقام. في مثالنا الثاني NOZ = 3x (x-1) ، لذا 5 / (x-1) مرات (3x) / (3x) هي 5 (3x) / (3x) (x-1) ؛ 1 / x ضرب 3 (x-1) / 3 (x-1) لتحصل على 3 (x-1) / 3x (x-1) ؛ 2 / (3x) اضرب في (x-1) / (x-1) وستحصل على 2 (x-1) / 3x (x-1).

ابحث عن x.الآن بعد أن اختزلت الكسور إلى مقام مشترك ، يمكنك التخلص من المقام. للقيام بذلك ، اضرب كل جانب من جوانب المعادلة في مقام مشترك. ثم حل المعادلة الناتجة ، أي أوجد "x". للقيام بذلك ، اعزل المتغير على جانب واحد من المعادلة.

في مثالنا: 2x / 6 + 3/6 = (3x +1) / 6. يمكنك جمع كسرين بنفس المقام ، لذا اكتب المعادلة على النحو التالي: (2x + 3) / 6 = (3x + 1) / 6. اضرب طرفي المعادلة في 6 وتخلص من المقامات: 2x + 3 = 3x +1. حل واحصل على x = 2.
في مثالنا الثاني (مع متغير في المقام) ، تبدو المعادلة كما يلي (بعد الاختزال إلى قاسم مشترك): 5 (3x) / (3x) (x-1) = 3 (x-1) / 3x (x -1) + 2 (x-1) / 3x (x-1). بضرب طرفي المعادلة في NOZ ، تتخلص من المقام وتحصل على: 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1) ، أو 15x = 3x - 3 + 2x -2 ، أو 15x = x - 5 حل واحصل على: x = -5/14.

أهداف الدرس:

الدورة التعليمية:

تشكيل مفهوم المعادلات المنطقية الكسرية ؛
للنظر في طرق مختلفة لحل المعادلات المنطقية الكسرية ؛
ضع في اعتبارك خوارزمية لحل المعادلات المنطقية الكسرية ، بما في ذلك شرط أن الكسر يساوي صفرًا ؛
لتعليم حل المعادلات المنطقية الكسرية وفقًا للخوارزمية ؛
التحقق من مستوى استيعاب الموضوع بإجراء اختبار.

النامية:

تنمية القدرة على العمل بشكل صحيح مع المعرفة المكتسبة والتفكير المنطقي ؛
تنمية المهارات الفكرية والعمليات العقلية - التحليل والتركيب والمقارنة والتعميم ؛
تطوير المبادرة ، والقدرة على اتخاذ القرارات ، وليس التوقف عند هذا الحد ؛
تنمية التفكير النقدي.
تنمية مهارات البحث.

التنشئة:

تعليم الاهتمام المعرفي بالموضوع ؛
تعليم الاستقلال في حل المشاكل التربوية ؛
تعليم الإرادة والمثابرة لتحقيق النتائج النهائية.

نوع الدرس: درس - شرح مادة جديدة.

خلال الفصول

1. لحظة تنظيمية.

مرحبا يا شباب! المعادلات مكتوبة على السبورة ، انظر إليها بعناية. هل يمكنك حل كل هذه المعادلات؟ أيها ليس كذلك ولماذا؟

تسمى المعادلات التي يكون فيها الجانب الأيمن والأيسر تعبيرات منطقية كسرية معادلات عقلانية كسرية. ما رأيك سوف ندرس اليوم في الدرس؟ قم بصياغة موضوع الدرس. لذلك ، نفتح دفاتر الملاحظات ونكتب موضوع الدرس "حل المعادلات المنطقية الكسرية".

2. تفعيل المعرفة. مسح أمامي ، عمل شفهي مع الفصل.

والآن سنكرر المادة النظرية الرئيسية التي نحتاجها لدراسة موضوع جديد. الرجاء الإجابة على الأسئلة التالية:

ما هي المعادلة؟ ( المساواة مع متغير أو متغيرات.)
ماذا تسمى المعادلة رقم 1؟ ( خطي.) طريقة حل المعادلات الخطية. ( انقل كل شيء مع المجهول إلى الجانب الأيسر من المعادلة ، كل الأرقام إلى اليمين. إحضار شروط مماثلة. أوجد المضاعف المجهول).
ماذا تسمى المعادلة 3؟ ( ميدان.) طرق حل المعادلات التربيعية. ( اختيار المربع الكامل ، بالصيغ ، باستخدام نظرية فييتا وعواقبها.)
ما هي النسبة؟ ( المساواة بين العلاقات.) الخاصية الرئيسية للنسبة. ( إذا كانت النسبة صحيحة ، فإن حاصل ضرب حدودها القصوى يساوي حاصل ضرب الحدود الوسطى.)
ما هي الخصائص المستخدمة في حل المعادلات؟ ( 1. إذا نقلنا المصطلح في المعادلة من جزء إلى آخر ، وقمنا بتغيير علامته ، فإننا نحصل على معادلة مكافئة لتلك المعطاة. 2. إذا تم ضرب جزئي المعادلة أو تقسيمهما على نفس الرقم غير الصفري ، فسيتم الحصول على معادلة تعادل المعطى.)
متى الكسر يساوي الصفر؟ ( الكسر يساوي صفرًا عندما يكون البسط صفرًا والمقام غير صفري.)

3. شرح المواد الجديدة.

حل المعادلة رقم 2 في دفاتر الملاحظات وعلى السبورة.

إجابه: 10.

ما المعادلة الكسرية المنطقية التي يمكنك محاولة حلها باستخدام الخاصية الأساسية للنسبة؟ (رقم 5).

(س -2) (س -4) = (س + 2) (س + 3)

× 2 -4x-2x + 8 \ u003d x 2 + 3x + 2x + 6

× 2 -6x-x 2-5x \ u003d 6-8

حل المعادلة رقم 4 في دفاتر الملاحظات وعلى السبورة.

إجابه: 1,5.

ما المعادلة الكسرية الكسرية التي يمكنك محاولة حلها بضرب طرفي المعادلة في المقام؟ (رقم 6).

× 2-7 س + 12 = 0

د = 1> 0 ، س 1 = 3 ، س 2 = 4.

إجابه: 3;4.

حاول الآن حل المعادلة رقم 7 بإحدى الطرق.


(x 2 -2x-5) x (x-5) = x (x-5) (x + 5)
(x 2 -2x-5) x (x-5) -x (x-5) (x + 5) = 0			س 2 -2 س -5 = س + 5
س (س -5) (س 2 -2 س -5 (س + 5)) = 0			س 2 -2 س -5-س -5 = 0
س (س -5) (س 2-3x-10) = 0
x = 0 x-5 = 0 x 2-3x-10 = 0
× 1 \ u003d 0 × 2 \ u003d 5 د \ u003d 49
× 3 \ u003d 5 × 4 \ u003d -2			× 3 \ u003d 5 × 4 \ u003d -2
إجابه: 0;5;-2.			إجابه: 5;-2.

اشرح لماذا حدث هذا؟ لماذا توجد ثلاثة جذور في حالة واحدة واثنتان في الأخرى؟ ما هي أعداد جذور هذه المعادلة الكسرية المنطقية؟

حتى الآن ، لم يلتق الطلاب بمفهوم الجذر الخارجي ، فمن الصعب جدًا عليهم فهم سبب حدوث ذلك. إذا لم يتمكن أي شخص في الفصل من تقديم شرح واضح لهذا الموقف ، فإن المعلم يطرح أسئلة إرشادية.

كيف تختلف المعادلتان رقم 2 و 4 عن المعادلتين رقم 5،6،7؟ ( في المعادلتين رقم 2 و 4 في مقام العدد ، رقم 5-7 - التعبيرات ذات المتغير.)
ما هو جذر المعادلة؟ ( قيمة المتغير الذي تصبح فيه المعادلة مساواة حقيقية.)
كيف تعرف ما إذا كان الرقم هو جذر المعادلة؟ ( قم بإجراء شيك.)

عند إجراء اختبار ، يلاحظ بعض الطلاب أنه يتعين عليهم القسمة على صفر. استنتجوا أن العددين 0 و 5 ليسا جذور هذه المعادلة. السؤال الذي يطرح نفسه: هل هناك طريقة لحل المعادلات المنطقية الكسرية التي تزيل هذا الخطأ؟ نعم ، تعتمد هذه الطريقة على شرط أن الكسر يساوي صفرًا.

س 2 -3 س -10 = 0 ، د = 49 ، س 1 = 5 ، س 2 = -2.

إذا كانت x = 5 ، فإن x (x-5) = 0 ، إذن 5 هو جذر غريب.

إذا كانت x = -2 ، فإن x (x-5) ≠ 0.

إجابه: -2.

دعنا نحاول صياغة خوارزمية لحل المعادلات المنطقية الكسرية بهذه الطريقة. الأطفال أنفسهم يصوغون الخوارزمية.

خوارزمية لحل المعادلات المنطقية الكسرية:

انقل كل شيء إلى اليسار.
اجعل الكسور في مقام مشترك.
اصنع نظامًا: الكسر يساوي صفرًا عندما يكون البسط صفرًا والمقام ليس صفرًا.
حل المعادلة.
تحقق من عدم المساواة لاستبعاد الجذور الدخيلة.
اكتب الجواب.

مناقشة: كيفية إضفاء الطابع الرسمي على الحل إذا تم استخدام الخاصية الأساسية للنسبة وضرب كلا طرفي المعادلة بمقام مشترك. (أكمل الحل: استبعد من جذوره أولئك الذين يحولون القاسم المشترك إلى الصفر).

4. الفهم الأساسي للمواد الجديدة.

العمل في ازواج. يختار الطلاب كيفية حل المعادلة بأنفسهم ، اعتمادًا على نوع المعادلة. مهام من الكتاب المدرسي "الجبر 8" ، Yu.N. ماكاريشيف ، 2007: رقم 600 (ب ، ج ، ط) ؛ رقم 601 (أ ، هـ ، ز). يتحكم المعلم في أداء المهمة ، ويجيب على الأسئلة التي نشأت ، ويقدم المساعدة للطلاب ذوي الأداء الضعيف. الاختبار الذاتي: تتم كتابة الإجابات على السبورة.

ب) 2 هو جذر دخيل. الجواب: 3.

ج) 2 هو جذر دخيل. الجواب: 1.5.

أ) الجواب: -12.5.

ز) الجواب: 1 ؛ 1.5.

5. بيان الواجب المنزلي.

اقرأ البند 25 من الكتاب المدرسي ، وحلل الأمثلة 1-3.
تعلم الخوارزمية لحل المعادلات المنطقية الكسرية.
حل في دفاتر الملاحظات رقم 600 (أ ، د ، هـ) ؛ رقم 601 (ز ، ح).
حاول حل # 696 (أ) (اختياري).

6. إتمام المهمة الرقابية على الموضوع المدروس.

يتم العمل على الأوراق.

مثال على الوظيفة:

أ) أي من المعادلات منطقية كسرية؟

ب) الكسر يساوي صفرًا عندما يكون البسط هو ______________________ والمقام هو _______________________.

س) هل الرقم -3 هو جذر المعادلة رقم 6؟

د) حل المعادلة رقم 7.

معايير تقييم المهام:

يتم إعطاء "5" إذا أكمل الطالب أكثر من 90٪ من المهمة بشكل صحيح.
"4" - 75٪ -89٪
"3" - 50٪ -74٪
يتم منح "2" للطالب الذي أكمل أقل من 50٪ من المهمة.
لا يتم وضع الدرجة 2 في المجلة ، والثالثة اختيارية.

7. انعكاس.

على المنشورات ذات العمل المستقل ، ضع:

1 - إذا كان الدرس ممتعًا ومفهومًا لك ؛
2 - مثيرة للاهتمام ولكنها غير واضحة ؛
3 - ليست مثيرة للاهتمام ، لكنها مفهومة ؛
4 - غير مشوق وغير واضح.

8. تلخيص الدرس.

لذلك ، تعرفنا اليوم في الدرس على المعادلات المنطقية الكسرية ، وتعلمنا كيفية حل هذه المعادلات بطرق مختلفة ، واختبرنا معرفتنا بمساعدة العمل التربوي المستقل. سوف تتعلم نتائج العمل المستقل في الدرس التالي ، وستتاح لك الفرصة في المنزل لتعزيز المعرفة المكتسبة.

ما هي طريقة حل المعادلات المنطقية الكسرية ، برأيك ، أسهل وأكثر سهولة في الوصول إليها وأكثر عقلانية؟ بغض النظر عن طريقة حل المعادلات المنطقية الكسرية ، ما الذي لا ينبغي نسيانه؟ ما هو "دهاء" المعادلات المنطقية الكسرية؟

شكرًا لكم جميعًا ، انتهى الدرس.

\ (\ bullet \) المعادلة المنطقية هي معادلة معبر عنها كـ \ [\ dfrac (P (x)) (Q (x)) = 0 \] حيث \ (P (x)، \ Q (x) \) - كثيرات الحدود (مجموع "xes" بدرجات مختلفة ، مضروبًا في أعداد مختلفة).
يسمى التعبير الموجود على الجانب الأيسر من المعادلة بالتعبير المنطقي.
ODV (نطاق القيم المقبولة) للمعادلة المنطقية هو جميع القيم \ (x \) التي لا يتلاشى فيها المقام ، أي \ (Q (x) \ ne 0 \).
\ (\ bullet \) على سبيل المثال ، المعادلات \ [\ dfrac (x + 2) (x-3) = 0 ، \ qquad \ dfrac 2 (x ^ 2-1) = 3 ، \ qquad x ^ 5-3x = 2 \]هي معادلات منطقية.
في المعادلة الأولى ، يكون ODZ هو all \ (x \) بحيث \ (x \ ne 3 \) (يكتبون \ (س \ في (- \ infty ؛ 3) \ كوب (3 ؛ + \ infty) \)) ؛ في المعادلة الثانية ، هذه كلها \ (x \) ، بحيث \ (x \ ne -1 ؛ x \ ne 1 \) (اكتب \ (س \ في (- \ infty ؛ -1) \ كوب (-1 ؛ 1) \ كوب (1 ؛ + \ infty) \)) ؛ وفي المعادلة الثالثة لا توجد قيود على ODZ ، أي أن ODZ هو all \ (x \) (يكتبون \ (x \ in \ mathbb (R) \)). \ (\ رصاصة \) النظريات:
1) ناتج عاملين يساوي صفرًا فقط إذا كان أحدهما يساوي صفرًا ، بينما الآخر لا يفقد معناه ، وبالتالي ، فإن المعادلة \ (f (x) \ cdot g (x) = 0 \) مكافئ للنظام \ [\ البدء (الحالات) \ اليسار [\ البدء (المجمعة) \ البدء (المحاذاة) & f (x) = 0 \\ & g (x) = 0 \ النهاية (المحاذاة) \ النهاية (المجمعة) \ اليمين. \ \ نص (معادلات ODV) \ نهاية (حالات) \] 2) الكسر يساوي صفرًا فقط إذا كان البسط يساوي صفرًا والمقام لا يساوي صفرًا ، لذلك فإن المعادلة \ (\ dfrac (f (x)) (g (x)) = 0 \ ) يعادل نظام المعادلات \ [\ start (cases) f (x) = 0 \\ g (x) \ ne 0 \ end (cases) \]\ (\ bullet \) لنلقي نظرة على بعض الأمثلة.

1) حل المعادلة \ (x + 1 = \ dfrac 2x \). لنجد ODZ لهذه المعادلة - هذا \ (x \ ne 0 \) (بما أن \ (x \) في المقام).
لذلك ، يمكن كتابة ODZ على النحو التالي:.
دعنا ننقل كل المصطلحات إلى جزء واحد ونختزلها إلى قاسم مشترك: \ [\ dfrac ((x + 1) \ cdot x) x- \ dfrac 2x = 0 \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ dfrac (x ^ 2 + x-2) x = 0 \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ start ( الحالات) x ^ 2 + x-2 = 0 \\ x \ ne 0 \ end (cases) \]سيكون حل المعادلة الأولى للنظام هو \ (س = -2 ، س = 1 \). نلاحظ أن كلا الجذور ليست صفرية. لذلك ، الجواب هو: \ (x \ in \ (- 2 ؛ 1 \) \).

2) حل المعادلة \ (\ يسار (\ dfrac4x - 2 \ يمين) \ cdot (س ^ 2-س) = 0 \). دعونا نجد ODZ لهذه المعادلة. نرى أن القيمة الوحيدة \ (x \) التي لا معنى لها الجانب الأيسر هي \ (x = 0 \). لذلك يمكن كتابة OD على النحو التالي: \ (س \ في (- \ infty ؛ 0) \ كوب (0 ؛ + \ infty) \).
وبالتالي ، فإن هذه المعادلة تعادل النظام:

\ [\ البدء (الحالات) \ اليسار [\ البدء (المجمعة) \ البدء (المحاذاة) & \ dfrac 4x-2 = 0 \\ & x ^ 2-x = 0 \ end (محاذاة) \ النهاية (مجمعة) \ يمين. \\ x \ ne 0 \ end (cases) \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ begin (cases) \ left [\ begin (المجمعة) \ start (المحاذاة) & \ dfrac 4x = 2 \\ & x (x-1) = 0 \ end (محاذاة) \ نهاية (مجمعة) \ يمين. \\ x \ ne 0 \ end (cases) \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ begin (cases) \ left [\ start (collection) \ begin (align) & x = 2 \\ & x = 1 \\ & x = 0 \ end (محاذاة) \ end (مجمعة) \ يمين. \\ x \ ne 0 \ end (cases) \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ left [\ start (مجمعة) \ تبدأ (محاذاة) & س = 2 \\ & س = 1 \ نهاية (محاذاة) \ نهاية (تم تجميعها) \ اليمين. \]في الواقع ، على الرغم من حقيقة أن \ (x = 0 \) هو جذر العامل الثاني ، إذا استبدلت \ (x = 0 \) في المعادلة الأصلية ، فلن يكون ذلك منطقيًا ، لأن لم يتم تعريف التعبير \ (\ dfrac 40 \).
لذا فإن حل هذه المعادلة هو \ (x \ in \ (1؛ 2 \) \).

3) حل المعادلة \ [\ dfrac (x ^ 2 + 4x) (4x ^ 2-1) = \ dfrac (3-x-x ^ 2) (4x ^ 2-1) \]في معادلتنا \ (4x ^ 2-1 \ ne 0 \) ، من أين \ ((2x-1) (2x + 1) \ ne 0 \) ، أي \ (x \ ne - \ frac12 ؛ \ frac12 \).
ننقل جميع المصطلحات إلى الجانب الأيسر ونختزلها إلى قاسم مشترك:

\ (\ dfrac (x ^ 2 + 4x) (4x ^ 2-1) = \ dfrac (3-x-x ^ 2) (4x ^ 2-1) \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ dfrac (x ^ 2 + 4x- 3 + x + x ^ 2) (4x ^ 2-1) = 0 \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ dfrac (2x ^ 2 + 5x-3) (4x ^ 2-1) = 0 \ quad \ Leftrightarrow \)

\ (\ Leftrightarrow \ quad \ start (الحالات) 2x ^ 2 + 5x-3 = 0 \\ 4x ^ 2-1 \ ne 0 \ end (cases) \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ begin (cases) (2x-1 ) (x + 3) = 0 \\ (2x-1) (2x + 1) \ ne 0 \ end (cases) \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ start (cases) \ left [\ begin (التجمع) \ begin ( محاذاة) & x = \ dfrac12 \\ & x = -3 \ end (محاذاة) \ end (مجمعة) \ right. \\ x \ ne \ dfrac 12 \\ x \ ne - \ dfrac 12 \ end (cases) \ quad \ السهم الأيسر \ الرباعي س = -3 \)

الجواب: \ (س \ في \ (- 3 \) \).

تعليق. إذا كانت الإجابة تتكون من مجموعة محدودة من الأرقام ، فيمكن كتابتها من خلال فاصلة منقوطة بأقواس معقوفة ، كما هو موضح في الأمثلة السابقة.

تتم مواجهة المهام التي تتطلب حل المعادلات المنطقية كل عام في اختبار الدولة الموحد في الرياضيات ، لذلك ، استعدادًا لاجتياز اختبار الشهادة ، يجب على الخريجين بالتأكيد تكرار النظرية حول هذا الموضوع بأنفسهم. لتكون قادرًا على التعامل مع مثل هذه المهام ، يجب بالضرورة على الخريجين الذين يجتازون المستوى الأساسي ومستوى الملف الشخصي للامتحان. بعد إتقان النظرية والتعامل مع التدريبات العملية حول موضوع "المعادلات المنطقية" ، سيتمكن الطلاب من حل المشكلات بأي عدد من الإجراءات ويتوقعون الحصول على نقاط تنافسية في نهاية الامتحان.

كيف تستعد للامتحان مع البوابة التعليمية "شكلكوفو"؟

في بعض الأحيان يكون من الصعب جدًا العثور على مصدر يتم فيه تقديم النظرية الأساسية لحل المشكلات الرياضية بشكل كامل. قد لا يكون الكتاب المدرسي في متناول اليد. وأحيانًا يكون من الصعب جدًا العثور على الصيغ الضرورية حتى على الإنترنت.

سوف تعفيك البوابة التعليمية "شكلكوفو" من الحاجة إلى البحث عن المواد المناسبة وتساعدك على الاستعداد جيدًا لاجتياز اختبار الشهادة.

تم إعداد كل النظرية اللازمة حول موضوع "المعادلات العقلانية" من قبل المتخصصين لدينا وتم تقديمها في الشكل الأكثر سهولة. من خلال دراسة المعلومات المقدمة ، سيتمكن الطلاب من سد الفجوات في المعرفة.

للتحضير بنجاح لامتحان الدولة الموحد ، لا يحتاج الخريجون فقط إلى تحديث ذاكرتهم من المواد النظرية الأساسية حول موضوع "المعادلات العقلانية" ، ولكن إلى ممارسة أداء المهام باستخدام أمثلة محددة. يتم تقديم مجموعة كبيرة من المهام في قسم الكتالوج.

لكل تمرين على الموقع ، وصف خبراؤنا خوارزمية حل وأشاروا إلى الإجابة الصحيحة. يمكن للطلاب التدرب على حل المشكلات ذات الصعوبة المتفاوتة اعتمادًا على مستوى التدريب. يتم استكمال وتحديث قائمة المهام في القسم المقابل باستمرار.

يمكنك دراسة المادة النظرية وصقل مهاراتك في حل المشكلات المتعلقة بموضوع "المعادلات المنطقية" ، على غرار تلك المضمنة في اختبارات الاستخدام ، عبر الإنترنت. إذا لزم الأمر ، يمكن إضافة أي من المهام المعروضة إلى قسم "المفضلة". بعد تكرار النظرية الأساسية مرة أخرى حول موضوع "المعادلات العقلانية" ، سيتمكن طالب المدرسة الثانوية من العودة إلى المشكلة في المستقبل لمناقشة تقدم حلها مع المعلم في درس الجبر.