حل تكامل محدد مع حل. تكاملات الدمى: كيفية الحل ، قواعد الحساب ، التفسير

حل التكاملات مهمة سهلة ، ولكن فقط للنخبة. هذه المقالة مخصصة لأولئك الذين يريدون تعلم كيفية فهم التكاملات ، لكنهم لا يعرفون سوى القليل أو لا يعرفون شيئًا عنها. لا يتجزأ ... لماذا هو مطلوب؟ كيف تحسبها؟ ما هي التكاملات المحددة وغير المحددة؟

إذا كان الاستخدام الوحيد للتكامل الذي تعرفه هو الحصول على شيء مفيد من الأماكن التي يصعب الوصول إليها بخطاف على شكل رمز متكامل ، فمرحبًا بك! تعلم كيفية حل التكاملات البسيطة والتكاملات الأخرى ولماذا لا يمكنك الاستغناء عنها في الرياضيات.

ندرس المفهوم « متكامل »

كان الاندماج معروفا في مصر القديمة. بالطبع ، ليس في شكل حديث ، لكن لا يزال. منذ ذلك الحين ، كتب علماء الرياضيات عددًا كبيرًا من الكتب حول هذا الموضوع. مميز بشكل خاص نيوتن و لايبنيز لكن جوهر الأشياء لم يتغير.

كيف نفهم التكاملات من الصفر؟ مستحيل! لفهم هذا الموضوع ، ستظل بحاجة إلى معرفة أساسية بأساسيات التحليل الرياضي. المعلومات حول ، والتي تعتبر ضرورية أيضًا لفهم التكاملات ، موجودة بالفعل في مدونتنا.

تكامل غير محدد

دعونا نحصل على بعض الوظائف و (خ) .

تكامل الدالة غير المحدود و (خ) تسمى هذه الوظيفة و (س) ، مشتقها يساوي الوظيفة و (خ) .

بمعنى آخر ، التكامل هو مشتق عكسي أو مشتق عكسي. بالمناسبة ، حول كيفية القراءة في مقالتنا.

المشتق العكسي موجود لجميع الوظائف المستمرة. أيضًا ، غالبًا ما يتم إضافة علامة ثابتة إلى المشتق العكسي ، حيث تتطابق مشتقات الوظائف التي تختلف بشكل ثابت. تسمى عملية إيجاد تكامل التكامل.

مثال بسيط:

من أجل عدم حساب المشتقات العكسية للوظائف الأولية باستمرار ، من المناسب إدراجها في جدول واستخدام القيم الجاهزة.

الجدول الكامل للتكاملات للطلاب

واضح لا يتجزأ

عند التعامل مع مفهوم التكامل ، فإننا نتعامل مع كميات متناهية الصغر. سيساعد التكامل في حساب مساحة الشكل ، وكتلة الجسم غير المتجانس ، والمسار الذي تم قطعه أثناء الحركة غير المتساوية ، وأكثر من ذلك بكثير. يجب أن نتذكر أن التكامل هو مجموع عدد لا نهائي من الحدود الصغيرة بشكل لا نهائي.

كمثال ، تخيل رسمًا بيانيًا لبعض الوظائف.

كيف يمكن إيجاد مساحة شكل محدد برسم بياني للدالة؟ بمساعدة جزء لا يتجزأ! دعنا نقسم شبه المنحني المنحني الخطي ، المحاط بمحاور الإحداثيات والرسم البياني للوظيفة ، إلى مقاطع متناهية الصغر. وبالتالي ، سيتم تقسيم الشكل إلى أعمدة رفيعة. سيكون مجموع مساحات الأعمدة هو مساحة شبه المنحرف. لكن تذكر أن مثل هذا الحساب سيعطي نتيجة تقريبية. ومع ذلك ، كلما كانت المقاطع أصغر وأضيق ، زادت دقة الحساب. إذا قمنا بتقليلها إلى الحد الذي يميل فيه الطول إلى الصفر ، فإن مجموع مناطق المقاطع سيميل إلى مساحة الشكل. هذا هو التكامل المحدد ، والذي يتم كتابته على النحو التالي:

تسمى النقطتان أ و ب حدود التكامل.

« متكامل »

على فكرة! بالنسبة لقرائنا ، يوجد الآن خصم 10٪ على

قواعد حساب التكاملات للمبتدئين

خصائص التكامل غير المحدود

كيفية حل تكامل غير محدد؟ هنا سننظر في خصائص التكامل غير المحدد ، والتي ستكون مفيدة في حل الأمثلة.

• مشتق التكامل يساوي التكامل:

• يمكن إخراج الثابت من تحت علامة التكامل:

• تكامل المجموع يساوي مجموع التكاملات. ينطبق أيضًا على الاختلاف:

خصائص التكامل المحدد

• الخطية:

• تتغير علامة التكامل إذا تم عكس حدود التكامل:

• في أينقاط أ, بو مع:

لقد اكتشفنا بالفعل أن التكامل المحدد هو نهاية المجموع. ولكن كيف تحصل على قيمة محددة عند حل مثال؟ لهذا ، هناك صيغة نيوتن-لايبنيز:

أمثلة على حل التكاملات

أدناه نعتبر التكامل غير المحدد والأمثلة مع الحلول. نحن نقدم لك أن تفهم بشكل مستقل تعقيدات الحل ، وإذا كان هناك شيء غير واضح ، اطرح الأسئلة في التعليقات.

لتوحيد المادة ، شاهد مقطع فيديو حول كيفية حل التكاملات عمليًا. لا تيأس إذا لم يتم إعطاء التكامل على الفور. انتقل إلى خدمة طلابية احترافية ، وسيكون أي تكامل ثلاثي أو منحني الأضلاع على سطح مغلق في حدود قدرتك.

إذا كانت تعريفات الكتاب المدرسي معقدة للغاية وغير مفهومة ، فاقرأ مقالتنا. سنحاول أن نشرح ببساطة ، "على الأصابع" ، النقاط الرئيسية لمثل هذا القسم من الرياضيات كتكاملات محددة. كيفية حساب التكامل ، اقرأ في هذا الدليل.

من وجهة نظر هندسية ، فإن تكامل الوظيفة هو مساحة الشكل الذي يتكون من الرسم البياني لهذه الوظيفة والمحور داخل التكامل. اكتب التكامل ، وحلل الوظيفة تحت التكامل: إذا كان من الممكن تبسيط التكامل و (تقليل ، واستبعاد علامة التكامل ، والانقسام إلى اثنين من التكاملات البسيطة) ، فافعل ذلك. افتح الجدول المتكامل لتحديد مشتقة الدالة التي تقع تحت التكامل. وجدت الإجابة؟ اكتب العامل المأخوذ من التكامل (إذا حدث) ، اكتب الدالة الموجودة في الجدول ، وعوض بحدود التكامل.

لحساب قيمة التكامل ، احسب قيمته عند الحد الأعلى واطرح قيمته عند الحد الأدنى. الفرق هو القيمة المطلوبة.

لاختبار نفسك أو على الأقل فهم مسار حل مشكلة التكاملات ، من الملائم استخدام الخدمة عبر الإنترنت لإيجاد التكاملات ، ومع ذلك ، قبل متابعة الحل ، اقرأ قواعد إدخال الدوال. أكبر ميزة لها هي أنه يتم هنا وصف الحل الكامل للمشكلة مع التكامل خطوة بخطوة.

بالطبع ، يتم النظر هنا فقط في أبسط إصدارات التكاملات - في الواقع ، هناك العديد من أنواع التكاملات ، يتم دراستها في سياق الرياضيات العليا والتحليل الرياضي والمعادلات التفاضلية في الجامعات لطلاب التخصصات التقنية.

الخدمة عبر الإنترنت متاحة موقع الكترونييسمح لك أن تجد حل جزء لا يتجزأ من الإنترنت. يتم تنفيذ القرار تلقائيًا على الخادم وفي غضون ثوانٍ قليلة يتم إعطاء المستخدم النتيجة. جميع الخدمات عبر الإنترنت على الموقع مجانية تمامًا ، ويتم إصدار الحل في شكل مناسب ومفهوم. وميزتنا أيضًا هي أننا نوفر للمستخدم الفرصة للدخول إلى حدود التكامل ، بما في ذلك حدود التكامل: ناقص زائد ما لا نهاية. وبالتالي ، يصبح حل تكامل محدد أمرًا بسيطًا وسريعًا وعالي الجودة. من المهم أن يسمح الخادم حساب التكاملات المحددة عبر الإنترنتوظائف معقدة ، غالبًا ما يكون حلها على الخدمات الأخرى عبر الإنترنت مستحيلًا بسبب عيوب أنظمتها. نحن نقدم آلية بسيطة للغاية وبديهية لإدخال الوظائف والقدرة على اختيار متغير تكامل ، حيث لا يتعين عليك ترجمة وظيفة معينة في متغير إلى آخر ، مما يلغي الأخطاء والأخطاء المطبعية المرتبطة بذلك. تحتوي الصفحة أيضًا على روابط لمقالات نظرية وجداول حول حل التكاملات المحددة. سيتيح لك كل ذلك معًا حساب تكامل محدد عبر الإنترنت بسرعة كبيرة ، وإذا كنت ترغب في ذلك ، يمكنك العثور على نظرية حل التكاملات المحددة وفهمها. على موقع http: // ، يمكنك أيضًا الانتقال إلى خدمات أخرى: الحل عبر الإنترنت للحدود ، والمشتقات ، ومجموع السلاسل. يعد الانتقال إلى علامة التبويب الخاصة بحل التكاملات غير المحددة عبر الإنترنت أمرًا بسيطًا للغاية - فالرابط موجود في صف واحد بين الروابط المفيدة. علاوة على ذلك ، يتم تحسين الخدمة وتطويرها باستمرار ، وكل يوم هناك المزيد والمزيد من الميزات والتحسينات الجديدة. حل التكاملات المحددةمعنا! جميع الخدمات عبر الإنترنت متاحة حتى للمستخدمين غير المسجلين وهي مجانية تمامًا.

من خلال حل جزء لا يتجزأ معنا ، يمكنك التحقق من الحل الخاص بك أو التخلص من الحسابات غير الضرورية التي تستغرق وقتًا طويلاً والثقة في آلة آلية عالية التقنية. الدقة المحسوبة على الخدمة ستلبي تقريبًا أي معايير هندسية. في كثير من الأحيان ، بالنسبة للعديد من التكاملات المحددة المجدولة ، يتم إعطاء النتيجة بمصطلحات دقيقة (باستخدام ثوابت معروفة ووظائف غير أولية).

حل التكاملات مهمة سهلة ، ولكن فقط للنخبة. هذه المقالة مخصصة لأولئك الذين يريدون تعلم كيفية فهم التكاملات ، لكنهم لا يعرفون سوى القليل أو لا يعرفون شيئًا عنها. لا يتجزأ ... لماذا هو مطلوب؟ كيف تحسبها؟ ما هي التكاملات المحددة وغير المحددة؟

إذا كان الاستخدام الوحيد للتكامل الذي تعرفه هو الحصول على شيء مفيد من الأماكن التي يصعب الوصول إليها بخطاف على شكل رمز متكامل ، فمرحبًا بك! تعلم كيفية حل التكاملات البسيطة والتكاملات الأخرى ولماذا لا يمكنك الاستغناء عنها في الرياضيات.

ندرس المفهوم « متكامل »

كان الاندماج معروفا في مصر القديمة. بالطبع ، ليس في شكل حديث ، لكن لا يزال. منذ ذلك الحين ، كتب علماء الرياضيات عددًا كبيرًا من الكتب حول هذا الموضوع. مميز بشكل خاص نيوتن و لايبنيز لكن جوهر الأشياء لم يتغير.

كيف نفهم التكاملات من الصفر؟ مستحيل! لفهم هذا الموضوع ، ستظل بحاجة إلى معرفة أساسية بأساسيات التحليل الرياضي. معلومات حول الحدود والمشتقات ، ضرورية لفهم التكاملات ، لدينا بالفعل في مدونتنا.

تكامل غير محدد

دعونا نحصل على بعض الوظائف و (خ) .

تكامل الدالة غير المحدود و (خ) تسمى هذه الوظيفة و (س) ، مشتقها يساوي الوظيفة و (خ) .

بمعنى آخر ، التكامل هو مشتق عكسي أو مشتق عكسي. بالمناسبة ، اقرأ مقالنا حول كيفية حساب المشتقات.

المشتق العكسي موجود لجميع الوظائف المستمرة. أيضًا ، غالبًا ما يتم إضافة علامة ثابتة إلى المشتق العكسي ، حيث تتطابق مشتقات الوظائف التي تختلف بشكل ثابت. تسمى عملية إيجاد تكامل التكامل.

مثال بسيط:

من أجل عدم حساب المشتقات العكسية للوظائف الأولية باستمرار ، من المناسب إدراجها في جدول واستخدام القيم الجاهزة.

الجدول الكامل للتكاملات للطلاب

واضح لا يتجزأ

عند التعامل مع مفهوم التكامل ، فإننا نتعامل مع كميات متناهية الصغر. سيساعد التكامل في حساب مساحة الشكل ، وكتلة الجسم غير المتجانس ، والمسار الذي تم قطعه أثناء الحركة غير المتساوية ، وأكثر من ذلك بكثير. يجب أن نتذكر أن التكامل هو مجموع عدد لا نهائي من الحدود الصغيرة بشكل لا نهائي.

كمثال ، تخيل رسمًا بيانيًا لبعض الوظائف.

كيف يمكن إيجاد مساحة شكل محدد برسم بياني للدالة؟ بمساعدة جزء لا يتجزأ! دعنا نقسم شبه المنحني المنحني الخطي ، المحاط بمحاور الإحداثيات والرسم البياني للوظيفة ، إلى مقاطع متناهية الصغر. وبالتالي ، سيتم تقسيم الشكل إلى أعمدة رفيعة. سيكون مجموع مساحات الأعمدة هو مساحة شبه المنحرف. لكن تذكر أن مثل هذا الحساب سيعطي نتيجة تقريبية. ومع ذلك ، كلما كانت المقاطع أصغر وأضيق ، زادت دقة الحساب. إذا قمنا بتقليلها إلى الحد الذي يميل فيه الطول إلى الصفر ، فإن مجموع مناطق المقاطع سيميل إلى مساحة الشكل. هذا هو التكامل المحدد ، والذي يتم كتابته على النحو التالي:

تسمى النقطتان أ و ب حدود التكامل.

« متكامل »

على فكرة! بالنسبة لقرائنا ، يوجد الآن خصم 10٪ على أي نوع من العمل

قواعد حساب التكاملات للمبتدئين

خصائص التكامل غير المحدود

كيفية حل تكامل غير محدد؟ هنا سننظر في خصائص التكامل غير المحدد ، والتي ستكون مفيدة في حل الأمثلة.

• مشتق التكامل يساوي التكامل:

• يمكن إخراج الثابت من تحت علامة التكامل:

• تكامل المجموع يساوي مجموع التكاملات. ينطبق أيضًا على الاختلاف:

خصائص التكامل المحدد

• الخطية:

• تتغير علامة التكامل إذا تم عكس حدود التكامل:

• في أينقاط أ, بو مع:

لقد اكتشفنا بالفعل أن التكامل المحدد هو نهاية المجموع. ولكن كيف تحصل على قيمة محددة عند حل مثال؟ لهذا ، هناك صيغة نيوتن-لايبنيز:

أمثلة على حل التكاملات

أدناه نعتبر التكامل غير المحدد والأمثلة مع الحلول. نحن نقدم لك أن تفهم بشكل مستقل تعقيدات الحل ، وإذا كان هناك شيء غير واضح ، اطرح الأسئلة في التعليقات.

لتوحيد المادة ، شاهد مقطع فيديو حول كيفية حل التكاملات عمليًا. لا تيأس إذا لم يتم إعطاء التكامل على الفور. انتقل إلى خدمة طلابية احترافية ، وسيكون أي تكامل ثلاثي أو منحني الأضلاع على سطح مغلق في حدود قدرتك.

ما هي التكاملات ل؟ حاول أن تجيب على هذا السؤال بنفسك.

شرح موضوع التكاملات ، يسرد المعلمون مجالات التطبيق التي لا تفيد عقول المدرسة إلا قليلاً. بينهم:

• حساب مساحة الشكل.
• حساب وزن الجسم مع كثافة غير متساوية.
• تحديد المسافة المقطوعة عند التحرك بسرعة متغيرة.
• وإلخ.

ليس من الممكن دائمًا ربط كل هذه العمليات ، لذلك يشعر الكثير من الطلاب بالارتباك ، حتى لو كان لديهم كل المعرفة الأساسية لفهم التكامل.

السبب الرئيسي للجهل- عدم فهم الأهمية العملية للتكاملات.

لا يتجزأ - ما هذا؟

المتطلبات الأساسية. نشأت الحاجة إلى التكامل في اليونان القديمة. في ذلك الوقت ، بدأ أرخميدس في استخدام طرق مشابهة في جوهرها لحساب التفاضل والتكامل الحديث لإيجاد مساحة الدائرة. كانت الطريقة الرئيسية لتحديد مساحة الأشكال غير المتساوية هي "طريقة الإرهاق" ، والتي يسهل فهمها تمامًا.

جوهر الطريقة. يتم تسجيل تسلسل رتيب لأشكال أخرى في هذا الشكل ، ثم يتم حساب حد تسلسل مناطقهم. تم أخذ هذا الحد كمساحة للشكل المحدد.

في هذه الطريقة ، يمكن تتبع فكرة حساب التفاضل والتكامل بسهولة ، وهي إيجاد نهاية المبلغ اللامتناهي. في وقت لاحق ، تم تطبيق هذه الفكرة من قبل العلماء لحلها المهام التطبيقيةعلم الفضاء والاقتصاد والميكانيكا ، إلخ.

التكامل الحديث. تمت صياغة النظرية الكلاسيكية للتكامل بشكل عام من قبل نيوتن ولايبنيز. واعتمدت على قوانين التفاضل والتفاضل الموجودة آنذاك. لفهم ذلك ، يجب أن يكون لديك بعض المعرفة الأساسية التي ستساعدك على وصف الأفكار المرئية والبديهية حول التكاملات في اللغة الرياضية.

اشرح مفهوم "Integral"

تسمى عملية إيجاد المشتق التفاضل، وإيجاد المشتق العكسي - دمج.

متكامل لغة رياضيةهو المشتق العكسي للدالة (ما كان قبل المشتق) + الثابت "C".

متكامل بكلمات بسيطةهي مساحة الشكل المنحني. التكامل غير المحدود هو المنطقة بأكملها. التكامل المحدد هو المساحة الموجودة في منطقة معينة.

التكامل مكتوب على النحو التالي:

يتم ضرب كل تكامل في مكون "dx". يظهر المتغير الذي يتم تكامله. "dx" هي زيادة الوسيطة. بدلاً من X ، يمكن أن يكون هناك أي حجة أخرى ، مثل t (الوقت).

تكامل غير محدد

التكامل غير المحدود ليس له حدود للتكامل.

لحل التكاملات غير المحددة ، يكفي إيجاد المشتق العكسي للمتكامل وإضافة "C" إليه.

واضح لا يتجزأ

في التكامل المحدد ، تتم كتابة القيود "أ" و "ب" على علامة التكامل. يشار إليها على المحور x في الرسم البياني أدناه.

لحساب تكامل محدد ، تحتاج إلى إيجاد المشتق العكسي ، واستبدال قيم "أ" و "ب" فيه وإيجاد الفرق. في الرياضيات يسمى هذا صيغة نيوتن ليبنيز:

جدول التكاملات للطلاب (الصيغ الأساسية)

قم بتنزيل صيغ التكاملات ، فستظل مفيدة لك

كيفية حساب التكامل بشكل صحيح

هناك عدة عمليات بسيطة لتحويل التكاملات. فيما يلي أهمها:

إزالة ثابت من تحت علامة التكامل

تحليل المجموع لا يتجزأ في مجموع التكاملات

إذا قمت بتبديل a و b ، ستتغير العلامة

يمكنك تقسيم التكامل إلى فترات كما يلي

هذه هي أبسط الخصائص ، والتي على أساسها سيتم صياغة نظريات وطرق أكثر تعقيدًا في حساب التفاضل والتكامل لاحقًا.

أمثلة على حساب التكاملات

حل التكامل غير المحدد

حل تكامل محدد

المفاهيم الأساسية لفهم الموضوع

حتى تفهم جوهر التكامل ولا تغلق الصفحة من سوء الفهم ، سنشرح لك عددًا من المفاهيم الأساسية. ما هي وظيفة ، مشتق ، محدد ومشتق عكسي.

دور- قاعدة ترتبط وفقًا لها جميع العناصر من مجموعة واحدة بجميع العناصر من مجموعة أخرى.

المشتقهي دالة تصف معدل تغير دالة أخرى في كل نقطة محددة. بعبارات صارمة ، هذا هو حد نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة. يتم حسابه يدويًا ، ولكن من الأسهل استخدام جدول المشتقات الذي يحتوي على معظم الوظائف القياسية.

زيادة راتب- التغيير الكمي للدالة مع بعض التغيير في الحجة.

حد- القيمة التي تتجه إليها قيمة الوظيفة ، عندما تميل الوسيطة إلى قيمة معينة.

مثال على الحد: لنفترض أن X يساوي 1 ، فإن Y ستكون مساوية لـ 2. ولكن ماذا لو كانت X لا تساوي 1 ، لكنها تميل إلى 1 ، أي ألا تصل إليها مطلقًا؟ في هذه الحالة ، لن تصل y أبدًا إلى 2 ، ولكنها ستميل فقط إلى هذه القيمة. في اللغة الرياضية ، تتم كتابة هذا على النحو التالي: limY (X) ، مع X -> 1 = 2. ويقرأ: حد الوظيفة Y (X) ، مع x يميل إلى 1 ، هو 2.

كما ذكرنا سابقًا ، فإن المشتق هو وظيفة تصف وظيفة أخرى. يمكن اشتقاق الوظيفة الأصلية من وظيفة أخرى. هذه الوظيفة الأخرى تسمى بدائي.

استنتاج

ليس من الصعب إيجاد التكاملات. إذا كنت لا تفهم كيفية القيام بذلك ، فإن. من المرة الثانية يصبح الأمر أكثر وضوحًا. تذكر!يتم تقليل حل التكاملات إلى عمليات تحويل بسيطة للتكامل والبحث عنها في.

إذا كان شرح النص لا يناسبك ، شاهد الفيديو حول معنى التكامل والمشتق:

التكاملات - ما هو ، وكيفية حلها ، وأمثلة على الحلول وشرح للدمىتم التحديث: 22 نوفمبر 2019 بواسطة: مقالات علمية