حل آلة حاسبة الوظائف الأسية على الإنترنت. حل المعادلات الأسية في الرياضيات

في دورة الرياضيات للصف السابع ، يجتمعون أولاً المعادلات ذات المتغيرين، ولكن يتم دراستها فقط في سياق أنظمة المعادلات ذات المجهولين. هذا هو السبب في أن عددًا من المشكلات يختفي عن الأنظار ، حيث يتم إدخال شروط معينة على معاملات المعادلة التي تحددها. بالإضافة إلى ذلك ، يتم أيضًا تجاهل طرق حل المشكلات مثل "حل معادلة بأرقام طبيعية أو أعداد صحيحة" ، على الرغم من مواجهة مشكلات من هذا النوع في كثير من الأحيان في مواد الاستخدام وفي امتحانات القبول.

أي معادلة ستسمى معادلة ذات متغيرين؟

لذلك ، على سبيل المثال ، المعادلات 5x + 2y = 10 ، x 2 + y 2 = 20 ، أو xy = 12 هي معادلات ذات متغيرين.

ضع في اعتبارك المعادلة 2x - y = 1. تتحول إلى مساواة حقيقية عند x = 2 و y = 3 ، لذا فإن زوج القيم المتغيرة هذا هو حل المعادلة قيد الدراسة.

وبالتالي ، فإن حل أي معادلة ذات متغيرين هو مجموعة الأزواج المرتبة (x ؛ y) ، قيم المتغيرات التي تحولها هذه المعادلة إلى مساواة عددية حقيقية.

يمكن للمعادلة ذات المجهولين:

أ) حل واحد.على سبيل المثال ، المعادلة x 2 + 5y 2 = 0 لها حل فريد (0 ؛ 0) ؛

ب) حلول متعددة.على سبيل المثال ، (5 - | س |) 2 + (| ص | - 2) 2 = 0 له 4 حلول: (5 ؛ 2) ، (-5 ؛ 2) ، (5 ؛ -2) ، (-5 ؛ - 2) ؛

في) ليس لديهم حلول.على سبيل المثال ، المعادلة x 2 + y 2 + 1 = 0 ليس لها حلول ؛

ز) عدد لا حصر له من الحلول.على سبيل المثال ، x + y = 3. ستكون حلول هذه المعادلة عبارة عن أرقام مجموعها 3. يمكن كتابة مجموعة حلول هذه المعادلة كـ (k ؛ 3 - k) ، حيث k هو أي رقم حقيقي.

الطرق الرئيسية لحل المعادلات ذات المتغيرين هي طرق تعتمد على تعبيرات التحليل إلى عوامل ، وتسليط الضوء على المربع الكامل ، واستخدام خصائص المعادلة التربيعية ، والتعبيرات المحدودة ، وطرق التقييم. يتم تحويل المعادلة ، كقاعدة عامة ، إلى شكل يمكن من خلاله الحصول على نظام لإيجاد المجهول.

العوملة

مثال 1

حل المعادلة: س ص - 2 = 2 س - ص.

المحلول.

نقوم بتجميع المصطلحات لغرض العوملة:

(xy + y) - (2x + 2) = 0. اخرج العامل المشترك من كل شريحة:

ص (س + 1) - 2 (س + 1) = 0 ؛

(س + 1) (ص - 2) = 0. لدينا:

y = 2 ، x أي رقم حقيقي أو x = -1 ، y أي رقم حقيقي.

في هذا الطريق، الجواب هو كل أزواج من النموذج (x؛ 2)، x € R و (-1؛ y)، y € R.

المساواة إلى الصفر للأرقام غير السالبة

مثال 2

حل المعادلة: 9 س 2 + 4 ص 2 + 13 = 12 (س + ص).

المحلول.

التجمع:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2-12y + 9) = 0. الآن يمكن تصغير كل قوس باستخدام صيغة الفرق التربيعي.

(3 س - 2) 2 + (2 ص - 3) 2 = 0.

مجموع تعبيرين غير سالبين يساوي صفرًا فقط إذا كانت 3 س - 2 = 0 و 2 ص - 3 = 0.

إذن x = 2/3 و y = 3/2.

الجواب: (2/3 ؛ 3/2).

طريقة التقييم

مثال 3

حل المعادلة: (س 2 + 2 س + 2) (ص 2-4 ص + 6) = 2.

المحلول.

في كل قوس ، حدد المربع بالكامل:

((س + 1) 2 + 1) ((ص - 2) 2 + 2) = 2. تقدير معنى التعبيرات بين قوسين.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 و (y - 2) 2 + 2 ≥ 2 ، إذن يكون الجانب الأيسر للمعادلة دائمًا على الأقل 2. تكون المساواة ممكنة إذا:

(س + 1) 2 + 1 = 1 و (ص - 2) 2 + 2 = 2 ، لذا س = -1 ، ص = 2.

الجواب: (-1 ؛ 2).

دعنا نتعرف على طريقة أخرى لحل المعادلات بمتغيرين من الدرجة الثانية. هذه الطريقة هي أن المعادلة تعتبر مربع بالنسبة لبعض المتغيرات.

مثال 4

حل المعادلة: س 2-6 س + ص - 4 ص + 13 = 0.

المحلول.

لنحل المعادلة في صورة تربيعية بالنسبة إلى x. لنجد المميز:

د = 36-4 (ص - 4 ص + 13) = -4 ص + 16 ص - 16 = -4 (ص - 2) 2. سيكون للمعادلة حل فقط عندما يكون D = 0 ، أي إذا كانت y = 4. نعوض بقيمة y في المعادلة الأصلية ونجد أن x = 3.

الجواب: (3 ؛ 4).

غالبًا في المعادلات ذات المجهولين تشير إلى القيود على المتغيرات.

مثال 5

حل المعادلة بالأعداد الصحيحة: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

المحلول.

دعنا نعيد كتابة المعادلة بالصيغة x 2 = -5y 2 + 20x + 2. الجانب الأيمن من المعادلة الناتجة ، عند القسمة على 5 ، يعطي الباقي 2. لذلك ، x 2 لا يقبل القسمة على 5. لكن المربع من عدد لا يقبل القسمة على 5 يعطي الباقي 1 أو 4. وبالتالي فإن المساواة مستحيلة ولا توجد حلول.

الجواب: لا جذور.

مثال 6

حل المعادلة: (س 2-4 | س | + 5) (ص 2 + 6 ص + 12) = 3.

المحلول.

دعنا نختار المربعات الكاملة في كل قوس:

((| x | - 2) 2 + 1) ((y + 3) 2 + 3) = 3. دائمًا ما يكون الجانب الأيسر من المعادلة أكبر من أو يساوي 3. تكون المساواة ممكنة إذا | x | - 2 = 0 و y + 3 = 0. وهكذا ، x = ± 2 ، y = -3.

الجواب: (2 ؛ -3) و (-2 ؛ -3).

مثال 7

لكل زوج من الأعداد الصحيحة السالبة (س ؛ ص) تحقق المعادلة
س 2 - 2 س ص + 2 ص 2 + 4 ص = 33 ، احسب المجموع (س + ص). أجب على أقل مبلغ.

المحلول.

حدد المربعات الكاملة:

(س 2 - 2 س + ص 2) + (ص 2 + 4 ص + 4) = 37 ؛

(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. بما أن x و y عددان صحيحان ، فإن تربيعهما عدد صحيح أيضًا. مجموع مربعي عددين صحيحين ، يساوي 37 ، نحصل عليه إذا أضفنا 1 + 36. لذلك:

(س - ص) 2 = 36 و (ص + 2) 2 = 1

(س - ص) 2 = 1 و (ص + 2) 2 = 36.

حل هذه الأنظمة مع الأخذ في الاعتبار أن x و y سالبان ، نجد الحلول: (-7 ؛ -1) ، (-9 ؛ -3) ، (-7 ؛ -8) ، (-9 ؛ -8).

الجواب: -17.

لا تيأس إذا كنت تواجه صعوبات عند حل المعادلات ذات مجهولين. بقليل من الممارسة ، ستتمكن من إتقان أي معادلة.

هل لديك اسئلة؟ لا أعرف كيف تحل المعادلات بمتغيرين؟
للحصول على مساعدة مدرس - سجل.
الدرس الأول مجاني!

الموقع ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، يلزم وجود رابط إلى المصدر.

مهمة الخدمة. تم تصميم حاسبة المصفوفة لحل أنظمة المعادلات الخطية بطريقة المصفوفة (انظر مثالاً لحل المشكلات المماثلة).

تعليمات. للحصول على حل عبر الإنترنت ، يجب عليك تحديد نوع المعادلة وتعيين أبعاد المصفوفات المقابلة.

نوع المعادلة: أ س = ب X أ = ب أ × ب = ج
أبعاد المصفوفة أ
أبعاد المصفوفة ب 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

أبعاد المصفوفة ج 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

حيث يتم إعطاء مصفوفات A ، B ، C ، X هي المصفوفة المرغوبة. يتم حل معادلات المصفوفة بالصيغة (1) و (2) و (3) من خلال معكوس المصفوفة A -1. إذا تم إعطاء التعبير A X - B = C ، فمن الضروري أولاً إضافة المصفوفات C + B وإيجاد حل للتعبير A X = D ، حيث D = C + B (). إذا كان التعبير A * X = B 2 معطى ، فلا بد من تربيع المصفوفة B أولاً. يوصى أيضًا بالتعرف على العمليات الأساسية على المصفوفات.

مثال 1. ممارسه الرياضه. أوجد حلًا لمعادلة مصفوفة
المحلول. دل:
ثم ستتم كتابة معادلة المصفوفة بالصيغة: A · X · B = C.
محدد المصفوفة A هو detA = -1
بما أن A مصفوفة غير لونية ، فهناك معكوس مصفوفة A -1. اضرب طرفي المعادلة على اليسار في أ -1: اضرب طرفي المعادلة على اليسار في أ -1 وعلى اليمين ب -1: أ -1 أ × ب ب -1 = أ -1 ج ب -1. بما أن A -1 = B B -1 = E و E X = X E = X ، إذن X = A -1 C B -1

مصفوفة معكوسة أ -1:
أوجد المصفوفة العكسية ب -1.
تبديل المصفوفة B T:
مصفوفة معكوسة ب -1:
نحن نبحث عن المصفوفة X بالصيغة: X = A -1 C B -1

إجابه:

المثال رقم 2. ممارسه الرياضه.حل معادلة المصفوفة
المحلول. دل:
ثم ستتم كتابة معادلة المصفوفة بالصيغة: أ س = ب.
محدد المصفوفة A هو detA = 0
نظرًا لأن A عبارة عن مصفوفة متدهورة (المحدد هو 0) ، فلا يوجد حل للمعادلة.

المثال رقم 3. ممارسه الرياضه. أوجد حلًا لمعادلة مصفوفة
المحلول. دل:
ثم ستتم كتابة معادلة المصفوفة بالصيغة: X · A = B.
محدد المصفوفة A هو detA = -60
بما أن A مصفوفة غير لونية ، فهناك معكوس مصفوفة A -1. اضرب على اليمين كلا طرفي المعادلة في A -1: X A A -1 = B A -1 ، ومن هنا نجد أن X = B A -1
أوجد المصفوفة العكسية أ -1.
مصفوفة منقولة A T:
مصفوفة معكوسة أ -1:
نبحث عن المصفوفة X بالصيغة: X = B A -1


الجواب:>

في مرحلة التحضير للاختبار النهائي ، يحتاج طلاب المدارس الثانوية إلى تحسين معرفتهم حول موضوع "المعادلات الأسية". تشير تجربة السنوات الماضية إلى أن مثل هذه المهام تسبب بعض الصعوبات لأطفال المدارس. لذلك ، يحتاج طلاب المدارس الثانوية ، بغض النظر عن مستوى إعدادهم ، إلى إتقان النظرية بعناية وحفظ الصيغ وفهم مبدأ حل هذه المعادلات. بعد تعلم كيفية التعامل مع هذا النوع من المهام ، سيتمكن الخريجون من الاعتماد على درجات عالية عند اجتياز اختبار الرياضيات.

استعد للاختبار مع شكولكوفو!

عند تكرار المواد التي تمت تغطيتها ، يواجه العديد من الطلاب مشكلة إيجاد الصيغ اللازمة لحل المعادلات. الكتاب المدرسي ليس دائمًا في متناول اليد ، واختيار المعلومات الضرورية حول موضوع ما على الإنترنت يستغرق وقتًا طويلاً.

تدعو البوابة التعليمية Shkolkovo الطلاب لاستخدام قاعدة المعرفة الخاصة بنا. نحن نطبق طريقة جديدة تمامًا للتحضير للاختبار النهائي. من خلال الدراسة على موقعنا ، ستتمكن من تحديد الفجوات المعرفية والاهتمام بدقة بتلك المهام التي تسبب أكبر الصعوبات.

قام معلمو "شكولكوفو" بجمع وتنظيم وتقديم جميع المواد اللازمة لاجتياز الامتحان بنجاح في أبسط أشكال وأسهل طريقة للوصول إليها.

يتم تقديم التعريفات والصيغ الرئيسية في قسم "المرجع النظري".

لاستيعاب المواد بشكل أفضل ، نوصيك بممارسة المهام. راجع بعناية أمثلة المعادلات الأسية مع الحلول المقدمة في هذه الصفحة لفهم خوارزمية الحساب. بعد ذلك ، تابع المهام في قسم "الكتالوجات". يمكنك البدء بأسهل المهام أو الانتقال مباشرة إلى حل المعادلات الأسية المعقدة مع العديد من المجاهيل أو. يتم استكمال وتحديث قاعدة بيانات التمارين على موقعنا باستمرار.

يمكن إضافة تلك الأمثلة مع المؤشرات التي سببت لك صعوبات إلى "المفضلة". حتى تتمكن من العثور عليها بسرعة ومناقشة الحل مع المعلم.

لاجتياز الامتحان بنجاح ، ادرس على بوابة شكولكوفو كل يوم!

استخدام المعادلات منتشر في حياتنا. يتم استخدامها في العديد من العمليات الحسابية ، وبناء الهياكل وحتى الرياضة. استخدم الإنسان المعادلات منذ العصور القديمة ومنذ ذلك الحين ازداد استخدامها فقط. معادلات القوة أو الأسية تسمى المعادلات التي تكون فيها المتغيرات في قوى ، والأساس عبارة عن رقم. فمثلا:

ينخفض ​​حل المعادلة الأسية إلى خطوتين بسيطتين إلى حد ما:

1. من الضروري التحقق مما إذا كانت قواعد المعادلة على اليمين واليسار متطابقة. إذا لم تكن الأسس هي نفسها ، فإننا نبحث عن خيارات لحل هذا المثال.

2. بعد أن تصبح القواعد كما هي ، نقوم بمساواة الدرجات وحل المعادلة الجديدة الناتجة.

لنفترض أننا حصلنا على معادلة أسية بالشكل التالي:

يجدر البدء في حل هذه المعادلة بتحليل القاعدة. الأساسيان مختلفان - 2 و 4 ، وللحل نحتاج إلى أن يكونا متطابقين ، لذلك نقوم بتحويل 4 وفقًا للصيغة التالية - \ [(a ^ n) ^ m = a ^ (nm): \]

أضف إلى المعادلة الأصلية:

دعونا نخرج الأقواس \

يعبر \

نظرًا لأن الدرجات متشابهة ، فإننا نتجاهلها:

إجابه: \

أين يمكنني حل معادلة أسية عبر الإنترنت باستخدام محلل؟

يمكنك حل المعادلة على موقعنا https: // site. سيسمح لك برنامج الحل المجاني عبر الإنترنت بحل معادلة عبر الإنترنت لأي تعقيد في ثوانٍ. كل ما عليك فعله هو فقط إدخال بياناتك في الحل. يمكنك أيضًا مشاهدة تعليمات الفيديو ومعرفة كيفية حل المعادلة على موقعنا. وإذا كانت لديك أي أسئلة ، فيمكنك طرحها في مجموعة فكونتاكتي http://vk.com/pocketteacher. انضم إلى مجموعتنا ، يسعدنا دائمًا مساعدتك.

في هذا الفيديو ، سنحلل مجموعة كاملة من المعادلات الخطية التي تم حلها باستخدام نفس الخوارزمية - ولهذا السبب يطلق عليها الأبسط.

بادئ ذي بدء ، دعنا نحدد: ما هي المعادلة الخطية وأي منها يجب أن يسمى الأبسط؟

المعادلة الخطية هي المعادلة التي يوجد فيها متغير واحد فقط ، وفي الدرجة الأولى فقط.

أبسط معادلة تعني البناء:

يتم تقليل جميع المعادلات الخطية الأخرى إلى أبسط المعادلات باستخدام الخوارزمية:

1. الأقواس المفتوحة ، إن وجدت ؛
2. انقل المصطلحات التي تحتوي على متغير إلى جانب واحد من علامة التساوي ، والمصطلحات التي لا تحتوي على متغير إلى الجانب الآخر ؛
3. أحضر الشروط المتشابهة إلى يسار ويمين علامة التساوي ؛
4. اقسم المعادلة الناتجة على معامل المتغير $ x $.

بالطبع ، هذه الخوارزمية لا تساعد دائمًا. الحقيقة هي أنه في بعض الأحيان ، بعد كل هذه المكائد ، يتضح أن معامل المتغير $ x $ يساوي صفرًا. في هذه الحالة ، هناك خياران ممكنان:

1. المعادلة ليس لها حلول على الإطلاق. على سبيل المثال ، عندما تحصل على شيء مثل $ 0 \ cdot x = 8 $ ، أي على اليسار صفر ، وعلى اليمين رقم غير صفري. في الفيديو أدناه ، سنلقي نظرة على عدة أسباب تجعل هذا الموقف ممكنًا.
2. الحل هو كل الأرقام. الحالة الوحيدة التي يكون فيها ذلك ممكنًا هي عندما يتم تقليل المعادلة إلى البناء $ 0 \ cdot x = 0 $. من المنطقي تمامًا أنه بغض النظر عن قيمة $ x $ التي نعوضها ، ستظل النتيجة "صفر يساوي صفرًا" ، أي المساواة العددية الصحيحة.

والآن دعونا نرى كيف يعمل كل شيء على مثال المشاكل الحقيقية.

أمثلة على حل المعادلات

اليوم نتعامل مع المعادلات الخطية ، وأبسطها فقط. بشكل عام ، المعادلة الخطية تعني أي مساواة تحتوي على متغير واحد بالضبط ، وتنتقل فقط إلى الدرجة الأولى.

يتم حل هذه الإنشاءات بنفس الطريقة تقريبًا:

1. بادئ ذي بدء ، تحتاج إلى فتح الأقواس ، إن وجدت (كما في مثالنا الأخير) ؛
2. ثم أحضر ما شابه
3. أخيرًا ، اعزل المتغير ، أي كل ما يرتبط بالمتغير - المصطلحات التي يحتوي عليها - ينتقل إلى جانب ، وكل ما يبقى بدونه ينتقل إلى الجانب الآخر.

بعد ذلك ، كقاعدة عامة ، تحتاج إلى إحضار متشابه في كل جانب من جوانب المساواة الناتجة ، وبعد ذلك يبقى فقط القسمة على المعامل عند "x" ، وسنحصل على الإجابة النهائية.

من الناحية النظرية ، يبدو هذا لطيفًا وبسيطًا ، ولكن من الناحية العملية ، يمكن حتى لطلاب المدارس الثانوية ذوي الخبرة ارتكاب أخطاء هجومية في معادلات خطية بسيطة إلى حد ما. عادة ، يتم ارتكاب الأخطاء إما عند فتح الأقواس ، أو عند حساب "الإيجابيات" و "السلبيات".

بالإضافة إلى ذلك ، يحدث أن المعادلة الخطية ليس لها حلول على الإطلاق ، أو أن الحل هو خط الأعداد بالكامل ، أي أي رقم. سنقوم بتحليل هذه التفاصيل الدقيقة في درس اليوم. لكننا سنبدأ ، كما فهمت بالفعل ، بأبسط المهام.

مخطط لحل المعادلات الخطية البسيطة

بادئ ذي بدء ، اسمحوا لي مرة أخرى أن أكتب المخطط بأكمله لحل أبسط المعادلات الخطية:

1. قم بتوسيع الأقواس ، إن وجدت.
2. المتغيرات المنعزلة ، أي يتم نقل كل ما يحتوي على "x" إلى جانب ، وبدون "x" - إلى الجانب الآخر.
3. نقدم شروط مماثلة.
4. نقسم كل شيء على المعامل عند "x".

بالطبع ، لا يعمل هذا المخطط دائمًا ، فهو يحتوي على بعض التفاصيل الدقيقة والحيل ، والآن سنتعرف عليها.

حل أمثلة حقيقية لمعادلات خطية بسيطة

مهمة 1

في الخطوة الأولى ، نحن مطالبون بفتح الأقواس. لكنهم ليسوا في هذا المثال ، لذلك نتخطى هذه الخطوة. في الخطوة الثانية ، علينا عزل المتغيرات. يرجى ملاحظة ما يلي: نحن نتحدث فقط عن المصطلحات الفردية. دعنا نكتب:

نعطي مصطلحات متشابهة على اليسار واليمين ، ولكن تم القيام بذلك بالفعل هنا. لذلك ننتقل إلى الخطوة الرابعة: قسمة عامل:

\ [\ frac (6x) (6) = - \ frac (72) (6) \]

هنا حصلنا على الجواب.

المهمة رقم 2

في هذه المهمة ، يمكننا ملاحظة الأقواس ، لذلك دعونا نوسعها:

على كل من اليسار واليمين ، نرى نفس البنية تقريبًا ، لكن دعنا نتصرف وفقًا للخوارزمية ، أي متغيرات العزل:

فيما يلي بعض مثل:

في أي جذور يعمل هذا؟ الجواب: لأي. لذلك ، يمكننا كتابة أن $ x $ هو أي رقم.

المهمة رقم 3

المعادلة الخطية الثالثة هي بالفعل أكثر إثارة للاهتمام:

\ [\ يسار (6-x \ يمين) + \ يسار (12 + x \ يمين) - \ يسار (3-2x \ يمين) = 15 \]

يوجد العديد من الأقواس هنا ، لكن لم يتم ضربهم بأي شيء ، بل لديهم فقط إشارات مختلفة أمامهم. دعنا نقسمهم:

نقوم بالخطوة الثانية التي نعرفها بالفعل:

\ [- س + س + 2 س = 15-6-12 + 3 \]

دعنا نحسب:

نقوم بالخطوة الأخيرة - نقسم كل شيء على المعامل عند "x":

\ [\ frac (2x) (x) = \ frac (0) (2) \]

أشياء يجب تذكرها عند حل المعادلات الخطية

إذا تجاهلنا المهام البسيطة جدًا ، فأود أن أقول ما يلي:

• كما قلت أعلاه ، ليس لكل معادلة خطية حل - في بعض الأحيان ببساطة لا توجد جذور ؛
• حتى لو كانت هناك جذور ، فإن الصفر يمكن أن يدخل بينها - فلا حرج في ذلك.

الصفر هو نفس الرقم مثل الباقي ، فلا يجب أن تميزه بطريقة ما أو تفترض أنك إذا حصلت على صفر ، فهذا يعني أنك فعلت شيئًا خاطئًا.

ميزة أخرى تتعلق بتوسيع الأقواس. يرجى ملاحظة: عندما يكون هناك "ناقص" أمامهم ، نقوم بإزالته ، ولكن بين قوسين نغير العلامات إلى عكس. وبعد ذلك يمكننا فتحه وفقًا للخوارزميات القياسية: سنحصل على ما رأيناه في الحسابات أعلاه.

سيساعدك فهم هذه الحقيقة البسيطة على تجنب ارتكاب أخطاء غبية ومؤلمة في المدرسة الثانوية ، عندما يكون القيام بمثل هذه الإجراءات أمرًا مفروغًا منه.

حل المعادلات الخطية المعقدة

دعنا ننتقل إلى معادلات أكثر تعقيدًا. الآن ستصبح الإنشاءات أكثر تعقيدًا وستظهر وظيفة تربيعية عند إجراء تحويلات مختلفة. ومع ذلك ، لا ينبغي أن تخاف من هذا ، لأنه إذا قمنا ، وفقًا لنية المؤلف ، بحل معادلة خطية ، فعندئذ في عملية التحويل ، سيتم بالضرورة تقليل جميع المونوميرات التي تحتوي على دالة تربيعية.

مثال 1

من الواضح أن الخطوة الأولى هي فتح الأقواس. لنفعل هذا بعناية شديدة:

لنأخذ الآن الخصوصية:

\ [- س + 6 ((س) ^ (2)) - 6 ((س) ^ (2)) + س = -12 \]

فيما يلي بعض مثل:

من الواضح أن هذه المعادلة ليس لها حلول ، لذلك نكتب في الإجابة على النحو التالي:

\[\تشكيلة \]

أو لا جذور.

المثال رقم 2

نقوم بنفس الخطوات. الخطوة الأولى:

لننقل كل شيء باستخدام متغير إلى اليسار ، وبدونه - إلى اليمين:

فيما يلي بعض مثل:

من الواضح أن هذه المعادلة الخطية ليس لها حل ، لذلك نكتبها على النحو التالي:

\ [\ varnothing \] ،

أو لا جذور.

الفروق الدقيقة في الحل

تم حل المعادلتين بالكامل. في مثال هذين التعبيرين ، تأكدنا مرة أخرى أنه حتى في أبسط المعادلات الخطية ، لا يمكن أن يكون كل شيء بهذه البساطة: يمكن أن يكون هناك واحد ، أو لا شيء ، أو عدد لا نهائي. في حالتنا هذه ، درسنا معادلتين ، في كلتا الحالتين ببساطة لا توجد جذور.

لكني أود أن ألفت انتباهك إلى حقيقة أخرى: كيفية التعامل مع الأقواس وكيفية توسيعها إذا كانت أمامها علامة ناقص. ضع في اعتبارك هذا التعبير:

قبل الفتح ، تحتاج إلى ضرب كل شيء في "x". يرجى ملاحظة: الضرب كل مصطلح على حدة. يوجد في الداخل حدان - على التوالي ، حدين ومضروب.

وفقط بعد اكتمال هذه التحولات التي تبدو أولية ، ولكنها مهمة جدًا وخطيرة ، يمكن فتح القوس من وجهة نظر أن هناك علامة ناقص بعده. نعم ، نعم: الآن فقط ، عندما تتم التحولات ، نتذكر أن هناك علامة ناقص أمام الأقواس ، مما يعني أن كل شيء أدناه يغير الإشارات فقط. في الوقت نفسه ، تختفي الأقواس نفسها ، والأهم من ذلك ، تختفي علامة "ناقص" الأمامية أيضًا.

نفعل الشيء نفسه مع المعادلة الثانية:

ليس من قبيل المصادفة أن أنتبه لهذه الحقائق الصغيرة التي تبدو غير مهمة. لأن حل المعادلات هو دائمًا سلسلة من التحولات الأولية ، حيث يؤدي عدم القدرة على أداء إجراءات بسيطة بوضوح وكفاءة إلى حقيقة أن طلاب المدارس الثانوية يأتون إلي ويتعلمون حل مثل هذه المعادلات البسيطة مرة أخرى.

بالطبع ، سيأتي اليوم الذي ستصقل فيه هذه المهارات إلى الأتمتة. لم تعد مضطرًا لإجراء العديد من التحولات في كل مرة ، بل ستكتب كل شيء في سطر واحد. لكن بينما تتعلم فقط ، تحتاج إلى كتابة كل إجراء على حدة.

حل المعادلات الخطية الأكثر تعقيدًا

ما سنحله الآن بالكاد يمكن أن يسمى أبسط مهمة ، لكن المعنى يظل كما هو.

مهمة 1

\ [\ يسار (7x + 1 \ يمين) \ يسار (3x-1 \ يمين) -21 ((x) ^ (2)) = 3 \]

لنضرب كل العناصر في الجزء الأول:

لنقم بالتراجع:

فيما يلي بعض مثل:

لنقم بالخطوة الأخيرة:

\ [\ frac (-4x) (4) = \ frac (4) (- 4) \]

ها هي إجابتنا النهائية. وعلى الرغم من حقيقة أنه في عملية الحل كان لدينا معاملات ذات دالة تربيعية ، إلا أنها تلغى بعضها بشكل متبادل ، مما يجعل المعادلة خطية تمامًا وليست مربعة.

المهمة رقم 2

\ [\ يسار (1-4x \ يمين) \ يسار (1-3x \ يمين) = 6x \ يسار (2x-1 \ يمين) \]

لنقم بالخطوة الأولى بعناية: اضرب كل عنصر في القوس الأول في كل عنصر في الثاني. في المجموع ، يجب الحصول على أربعة شروط جديدة بعد التحولات:

والآن قم بإجراء الضرب بعناية في كل حد:

لننقل المصطلحات مع "x" إلى اليسار ، وبدون - إلى اليمين:

\ [- 3x-4x + 12 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (2)) + 6x = -1 \]

فيما يلي مصطلحات متشابهة:

لقد تلقينا إجابة نهائية.

الفروق الدقيقة في الحل

أهم ملاحظة حول هاتين المعادلتين هي: بمجرد أن نبدأ في ضرب الأقواس التي يوجد فيها أكثر من حد ، يتم ذلك وفقًا للقاعدة التالية: نأخذ المصطلح الأول من الأول ونضرب مع كل عنصر من الثاني ثم نأخذ العنصر الثاني من الأول ونضرب بالمثل مع كل عنصر من العنصر الثاني. نتيجة لذلك ، نحصل على أربعة حدود.

على المجموع الجبري

مع المثال الأخير ، أود أن أذكر الطلاب ما هو المجموع الجبري. في الرياضيات الكلاسيكية ، نعني بـ1-7 دولارات بناءًا بسيطًا: نطرح سبعة من واحد. في الجبر ، نعني بهذا ما يلي: إلى الرقم "واحد" نضيف عددًا آخر ، وهو "ناقص سبعة". يختلف هذا المجموع الجبري عن المجموع الحسابي المعتاد.

بمجرد إجراء جميع التحويلات ، كل إضافة وضرب ، تبدأ في رؤية هياكل مشابهة لتلك الموضحة أعلاه ، لن تواجه أي مشاكل في الجبر عند العمل مع كثيرات الحدود والمعادلات.

في الختام ، دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة الأخرى التي ستكون أكثر تعقيدًا من تلك التي نظرنا إليها للتو ، ومن أجل حلها ، سيتعين علينا توسيع الخوارزمية القياسية لدينا بشكل طفيف.

حل المعادلات بكسر

لحل مثل هذه المهام ، يجب إضافة خطوة أخرى إلى الخوارزمية الخاصة بنا. لكن أولاً ، سوف أذكر الخوارزمية الخاصة بنا:

1. أقواس مفتوحة.
2. متغيرات منفصلة.
3. إحضار ما شابه.
4. اقسم على عامل.

للأسف ، هذه الخوارزمية الرائعة ، بكل كفاءتها ، ليست مناسبة تمامًا عندما يكون لدينا كسور أمامنا. وفي ما سنراه أدناه ، لدينا كسر على اليسار وعلى اليمين في كلا المعادلتين.

كيف تعمل في هذه الحالة؟ نعم ، الأمر بسيط للغاية! للقيام بذلك ، تحتاج إلى إضافة خطوة أخرى إلى الخوارزمية ، والتي يمكن إجراؤها قبل الإجراء الأول وبعده ، أي التخلص من الكسور. وبالتالي ، ستكون الخوارزمية على النحو التالي:

1. تخلص من الكسور.
2. أقواس مفتوحة.
3. متغيرات منفصلة.
4. إحضار ما شابه.
5. اقسم على عامل.

ماذا يعني "التخلص من الكسور"؟ ولماذا من الممكن القيام بذلك بعد الخطوة القياسية الأولى وقبلها؟ في الواقع ، في حالتنا جميع الكسور عددية من حيث المقام ، أي في كل مكان يكون المقام مجرد رقم. لذلك ، إذا ضربنا كلا الجزأين من المعادلة في هذا العدد ، فسوف نتخلص من الكسور.

مثال 1

\ [\ frac (\ left (2x + 1 \ right) \ left (2x-3 \ right)) (4) = ((x) ^ (2)) - 1 \]

دعنا نتخلص من الكسور في هذه المعادلة:

\ [\ frac (\ left (2x + 1 \ right) \ left (2x-3 \ right) \ cdot 4) (4) = \ left (((x) ^ (2)) - 1 \ right) \ cdot أربعة \]

يرجى ملاحظة: كل شيء مضروب في "أربعة" مرة واحدة ، أي فقط لأن لديك قوسين لا يعني أنه عليك ضرب كل منهما في "أربعة". دعنا نكتب:

\ [\ يسار (2x + 1 \ يمين) \ يسار (2x-3 \ يمين) = \ يسار (((x) ^ (2)) - 1 \ يمين) \ cdot 4 \]

لنفتحه الآن:

نقوم بعزل المتغير:

نقوم بتخفيض المصطلحات المماثلة:

\ [- 4x = -1 \ يسار | : \ يسار (-4 \ يمين) \ يمين. \]

\ [\ frac (-4x) (- 4) = \ frac (-1) (- 4) \]

لقد تلقينا الحل النهائي ، ننتقل إلى المعادلة الثانية.

المثال رقم 2

\ [\ frac (\ left (1-x \ right) \ left (1 + 5x \ right)) (5) + ((x) ^ (2)) = 1 \]

هنا نقوم بنفس الإجراءات:

\ [\ frac (\ left (1-x \ right) \ left (1 + 5x \ right) \ cdot 5) (5) + ((x) ^ (2)) \ cdot 5 = 5 \]

\ [\ frac (4x) (4) = \ frac (4) (4) \]

تم حل المشكلة.

هذا ، في الواقع ، هو كل ما أردت أن أقوله اليوم.

النقاط الرئيسية

النتائج الرئيسية هي كما يلي:

• تعرف على الخوارزمية لحل المعادلات الخطية.
• القدرة على فتح الأقواس.
• لا تقلق إذا كان لديك وظائف تربيعية في مكان ما ، على الأرجح ، في عملية مزيد من التحولات ، سيتم تقليلها.
• جذور المعادلات الخطية ، حتى أبسطها ، تتكون من ثلاثة أنواع: جذر واحد ، خط الأعداد بالكامل جذر ، لا توجد جذور على الإطلاق.

آمل أن يساعدك هذا الدرس في إتقان موضوع بسيط ولكنه مهم جدًا لفهم الرياضيات بشكل أكبر. إذا كان هناك شيء غير واضح ، فانتقل إلى الموقع ، وحل الأمثلة المقدمة هناك. ابق على اتصال ، هناك العديد من الأشياء المثيرة للاهتمام في انتظارك!