حل السلو بأمثلة طريقة غاوس. طريقة غاوس (الاستبعاد المتتالي للمجهول)

تجد هذه الآلة الحاسبة عبر الإنترنت حلاً لنظام المعادلات الخطية (SLE) باستخدام طريقة Gaussian. يتم إعطاء حل مفصل. للحساب ، اختر عدد المتغيرات وعدد المعادلات. ثم أدخل البيانات في الخلايا وانقر على "احسب".

× 1 +x2 +× 3 × 1 +x2 +× 3 × 1 +x2 +× 3 = = =

تمثيل الرقم:

الأعداد الصحيحة و / أو الكسور المشتركة
الأعداد الصحيحة و / أو الأعداد العشرية

عدد الخانات بعد الفاصل العشري

×

تحذير

مسح كافة الخلايا؟

إغلاق واضح

تعليمات إدخال البيانات.يتم إدخال الأرقام كأرقام كاملة (أمثلة: 487 ، 5 ، -7623 ، إلخ) ، أو أرقام عشرية (مثل 67. ، 102.54 ، إلخ) أو كسور. يجب كتابة الكسر بالصيغة a / b ، حيث يكون a و b (b> 0) عددًا صحيحًا أو رقمًا عشريًا. أمثلة 45/5 ، 6.6 / 76.4 ، -7 / 6.7 ، إلخ.

طريقة جاوس

طريقة غاوس هي طريقة للانتقال من النظام الأصلي للمعادلات الخطية (باستخدام تحويلات مكافئة) إلى نظام يسهل حله أكثر من النظام الأصلي.

التحولات المكافئة لنظام المعادلات الخطية هي:

• مبادلة معادلتين في النظام ،
• ضرب أي معادلة في النظام بعدد حقيقي غير صفري ،
• إضافة إلى معادلة واحدة معادلة أخرى مضروبة في رقم عشوائي.

ضع في اعتبارك نظام المعادلات الخطية:

(1)

نكتب النظام (1) في شكل مصفوفة:

الفأس = ب

(2)

(3)

أيسمى مصفوفة معامل النظام ، ب- الجانب الصحيح من القيود ، x- ناقلات المتغيرات التي سيتم إيجادها. اسمحوا رتبة ( أ)=ص.

لا تغير التحويلات المكافئة رتبة مصفوفة المعامل ورتبة المصفوفة المعززة للنظام. لا تتغير مجموعة حلول النظام أيضًا في ظل التحولات المكافئة. يتمثل جوهر طريقة غاوس في إحضار مصفوفة المعاملات أقطري أو متدرج.

لنقم ببناء المصفوفة الموسعة للنظام:

في المرحلة التالية ، نقوم بإعادة تعيين جميع عناصر العمود 2 ، أسفل العنصر. إذا كان العنصر المحدد فارغًا ، فسيتم تبادل هذا الصف مع الصف الموجود أسفل الصف المحدد مع وجود عنصر غير صفري في العمود الثاني. بعد ذلك ، نحذف جميع عناصر العمود 2 أسفل العنصر البادئ من الصفر أ 22. للقيام بذلك ، أضف الصفوف 3 ، ... ممع الصف 2 مضروبًا في - أ 32 /أ 22 , ..., −أم 2 / أ 22 على التوالي. استمرارًا للإجراء ، نحصل على مصفوفة ذات شكل قطري أو متدرج. دع المصفوفة المعززة الناتجة تبدو كما يلي:

(7)

لان رتبة أ = رتبة(أ | ب) ، ثم مجموعة الحلول (7) هي ( ن − ص) هو مجموعة متنوعة. بالتالي ن − صيمكن اختيار المجهول بشكل تعسفي. يتم حساب المجهول المتبقية من النظام (7) على النحو التالي. من المعادلة الأخيرة نعبر عنها x p من خلال بقية المتغيرات وإدراجها في التعبيرات السابقة. بعد ذلك ، من المعادلة قبل الأخيرة ، نعبر عنها xص − 1 عبر باقي المتغيرات وأدخلها في التعبيرات السابقة ، إلخ. ضع في اعتبارك طريقة غاوس في أمثلة محددة.

أمثلة على حل نظام المعادلات الخطية باستخدام طريقة جاوس

مثال 1. أوجد الحل العام لنظام المعادلات الخطية باستخدام طريقة Gauss:

للدلالة به أعناصر ij أنا-الخط و يالعمود.

أأحد عشر . للقيام بذلك ، أضف الصفوف 2 ، 3 مع الصف 1 ، مضروبًا في -2/3 ، -1/2 ، على التوالي:

نوع سجل المصفوفة: الفأس = ب، أين

للدلالة به أعناصر ij أنا-الخط و يالعمود.

استبعد عناصر العمود الأول من المصفوفة أسفل العنصر أأحد عشر . للقيام بذلك ، أضف الصفوف 2 ، 3 مع الصف 1 ، مضروبًا في -1/5 ، -6/5 ، على التوالي:

نقسم كل صف من المصفوفة على العنصر البادئ المقابل (إذا كان العنصر الأول موجودًا):

أين x 3 , x

باستبدال التعبيرات العلوية بالتعبيرات السفلية ، نحصل على الحل.

ثم يمكن تمثيل حل المتجه على النحو التالي:

أين x 3 , x 4 هي أرقام حقيقية عشوائية.

يقال أن نظامين من المعادلات الخطية متكافئان إذا كانت مجموعة جميع حلولهما متطابقة.

التحولات الأولية لنظام المعادلات هي:

1. الحذف من نظام المعادلات التافهة ، أي تلك التي تكون جميع معاملاتها مساوية للصفر ؛
2. ضرب أي معادلة بعدد غير صفري ؛
3. إضافة إلى أي معادلة i لأي معادلة j ، مضروبة في أي رقم.

يسمى المتغير x i مجاني إذا كان هذا المتغير غير مسموح به ، وكان نظام المعادلات بأكمله مسموحًا به.

نظرية. تحول التحولات الأولية نظام المعادلات إلى نظام مكافئ.

معنى طريقة غاوس هو تحويل نظام المعادلات الأصلي والحصول على نظام مكافئ مسموح به أو مكافئ غير متسق.

لذلك ، تتكون طريقة Gauss من الخطوات التالية:

1. تأمل المعادلة الأولى. نختار المعامل الأول غير الصفري ونقسم المعادلة بأكملها عليه. نحصل على معادلة يدخل فيها بعض المتغيرات x i بمعامل 1 ؛
2. دعونا نطرح هذه المعادلة من جميع المعادلات الأخرى ، ونضربها في أرقام بحيث يتم ضبط معاملات المتغير x i في المعادلات المتبقية على صفر. نحصل على نظام تم حله فيما يتعلق بالمتغير x i وهو مكافئ للمتغير الأصلي ؛
3. إذا ظهرت معادلات تافهة (نادرًا ، ولكنها تحدث ؛ على سبيل المثال ، 0 = 0) ، نحذفها من النظام. نتيجة لذلك ، تصبح المعادلات أقل ؛
4. نكرر الخطوات السابقة ليس أكثر من n مرة ، حيث n هو عدد المعادلات في النظام. في كل مرة نختار متغيرًا جديدًا "للمعالجة". إذا ظهرت معادلات متضاربة (على سبيل المثال ، 0 = 8) ، فإن النظام غير متناسق.

نتيجة لذلك ، بعد بضع خطوات نحصل إما على نظام مسموح به (ربما مع متغيرات مجانية) أو نظام غير متناسق. تنقسم الأنظمة المسموح بها إلى حالتين:

1. عدد المتغيرات يساوي عدد المعادلات. لذلك يتم تعريف النظام ؛
2. عدد المتغيرات أكبر من عدد المعادلات. نجمع كل المتغيرات المجانية على اليمين - نحصل على صيغ للمتغيرات المسموح بها. هذه الصيغ مكتوبة في الجواب.

هذا كل شئ! تم حل نظام المعادلات الخطية! هذه خوارزمية بسيطة إلى حد ما ، ولإتقانها ، لا تحتاج إلى الاتصال بمدرس في الرياضيات. فكر في مثال:

مهمة. حل نظام المعادلات:

وصف الخطوات:

1. نطرح المعادلة الأولى من الثانية والثالثة - نحصل على المتغير المسموح به x 1 ؛
2. نضرب المعادلة الثانية في (1) ، ونقسم المعادلة الثالثة على (−3) - نحصل على معادلتين يدخل فيهما المتغير x 2 بمعامل 1 ؛
3. نضيف المعادلة الثانية إلى الأولى ونطرحها من الثالثة. دعنا نحصل على المتغير المسموح به x 2؛
4. أخيرًا ، نطرح المعادلة الثالثة من الأولى - نحصل على المتغير المسموح به × 3 ؛
5. لقد تلقينا نظامًا معتمدًا ، نقوم بتدوين الإجابة.

الحل العام لنظام مشترك من المعادلات الخطية هو نظام جديد ، مكافئ للنظام الأصلي ، حيث يتم التعبير عن جميع المتغيرات المسموح بها من حيث المتغيرات المجانية.

متى قد تكون هناك حاجة إلى حل عام؟ إذا كان عليك أن تأخذ خطوات أقل من k (k هو عدد المعادلات في المجموع). ومع ذلك ، فإن أسباب انتهاء العملية في خطوة ما ل< k , может быть две:

1. بعد الخطوة l -th ، نحصل على نظام لا يحتوي على معادلة بالرقم (l + 1). في الحقيقة ، هذا جيد لأن. يتم استلام النظام الذي تم حله على أي حال - حتى بضع خطوات في وقت سابق.
2. بعد الخطوة l -th ، يتم الحصول على معادلة تكون فيها جميع معاملات المتغيرات مساوية للصفر ، ويختلف المعامل الحر عن الصفر. هذه معادلة غير متسقة ، وبالتالي فإن النظام غير متسق.

من المهم أن نفهم أن ظهور معادلة غير متسقة بطريقة غاوس هو سبب كاف لعدم الاتساق. في الوقت نفسه ، نلاحظ أنه نتيجة للخطوة l -th ، لا يمكن أن تبقى المعادلات التافهة - يتم حذفها جميعًا مباشرةً في العملية.

وصف الخطوات:

1. اطرح المعادلة الأولى من الثانية مضروبة في 4. ونضيف أيضًا المعادلة الأولى إلى المعادلة الثالثة - نحصل على المتغير المسموح به x 1 ؛
2. نطرح المعادلة الثالثة ، مضروبة في 2 ، من الثانية - نحصل على المعادلة المتناقضة 0 = −5.

لذا ، فإن النظام غير متسق ، حيث تم العثور على معادلة غير متسقة.

مهمة. تحقق من التوافق وابحث عن الحل العام للنظام:

وصف الخطوات:

1. نطرح المعادلة الأولى من الثانية (بعد الضرب في اثنين) والثالثة - نحصل على المتغير المسموح به × 1 ؛
2. اطرح المعادلة الثانية من الثالثة. نظرًا لأن جميع المعاملات في هذه المعادلات هي نفسها ، فإن المعادلة الثالثة تصبح تافهة. في الوقت نفسه ، نضرب المعادلة الثانية في (−1) ؛
3. نطرح المعادلة الثانية من المعادلة الأولى - نحصل على المتغير المسموح به x 2. تم الآن أيضًا حل نظام المعادلات بالكامل ؛
4. نظرًا لأن المتغيرين x 3 و x 4 مجانيان ، فإننا ننقلهما إلى اليمين للتعبير عن المتغيرات المسموح بها. هذا هو الجواب.

لذا ، فإن النظام مشترك وغير محدد ، حيث يوجد متغيرين مسموح بهما (x 1 و x 2) ومتغيران مجانيان (x 3 و x 4).

حل أنظمة المعادلات الخطية بطريقة جاوس.لنفترض أننا بحاجة إلى إيجاد حل للنظام من نالمعادلات الخطية مع نمتغيرات غير معروفة
محدد المصفوفة الرئيسية يختلف عن الصفر.

جوهر طريقة غاوسيتكون في الاستبعاد المتتالي للمتغيرات غير المعروفة: أولاً ، × 1من كل معادلات النظام ابتداء من الثانية ثم x2من جميع المعادلات ، بدءًا من المعادلة الثالثة ، وهكذا ، حتى يبقى المتغير المجهول فقط في المعادلة الأخيرة x ن. تسمى هذه العملية لتحويل معادلات النظام للحذف المتتالي للمتغيرات غير المعروفة طريقة جاوس المباشرة. بعد الانتهاء من التحرك للأمام لطريقة غاوس ، من المعادلة الأخيرة التي وجدناها x ن، باستخدام هذه القيمة من المعادلة قبل الأخيرة يتم حسابها xn-1وهكذا ، من المعادلة الأولى × 1. تسمى عملية حساب المتغيرات غير المعروفة عند الانتقال من المعادلة الأخيرة للنظام إلى الأولى طريقة غاوس العكسي.

دعونا نصف بإيجاز الخوارزمية للتخلص من المتغيرات غير المعروفة.

سنفترض ذلك ، حيث يمكننا دائمًا تحقيق ذلك من خلال إعادة ترتيب معادلات النظام. تخلص من المتغير المجهول × 1من جميع معادلات النظام ، بدءًا من الثانية. للقيام بذلك ، أضف المعادلة الأولى مضروبة في المعادلة الثانية للنظام ، أضف الأول مضروبًا في المعادلة الثالثة ، وهكذا ، إلى ال الأضف المعادلة الأولى مضروبة في. نظام المعادلات بعد هذه التحولات سيأخذ الشكل

اين ا .

سنصل إلى نفس النتيجة إذا عبرنا عن ذلك × 1من خلال متغيرات أخرى غير معروفة في المعادلة الأولى للنظام وتم استبدال التعبير الناتج في جميع المعادلات الأخرى. لذا فإن المتغير × 1مستثنى من جميع المعادلات بدءا من الثانية.

بعد ذلك ، نتصرف بشكل مشابه ، ولكن فقط مع جزء من النظام الناتج ، والذي تم تمييزه في الشكل

للقيام بذلك ، أضف الثاني مضروبًا في المعادلة الثالثة للنظام ، أضف الثاني مضروبًا في المعادلة الرابعة ، وهكذا ، إلى ال الأضف المعادلة الثانية مضروبة في. نظام المعادلات بعد هذه التحولات سيأخذ الشكل

اين ا . لذا فإن المتغير x2مستثنى من جميع المعادلات بدءا من الثالث.

بعد ذلك ، ننتقل إلى القضاء على المجهول × 3، بينما نتصرف بالمثل مع جزء النظام المميز في الشكل

لذلك نواصل المسار المباشر لطريقة غاوس حتى يأخذ النظام الشكل

من هذه اللحظة ، نبدأ المسار العكسي لطريقة غاوس: نحسب x نمن المعادلة الأخيرة باستخدام القيمة التي تم الحصول عليها x نتجد xn-1من المعادلة قبل الأخيرة ، وما إلى ذلك ، نجد × 1من المعادلة الأولى.

مثال.

حل نظام المعادلات الخطية طريقة جاوس.

تردد كارل فريدريش جاوس ، أعظم عالم رياضيات ، لفترة طويلة ، في الاختيار بين الفلسفة والرياضيات. ربما كانت هذه العقلية على وجه التحديد هي التي سمحت له "بالمغادرة" بشكل ملحوظ في علوم العالم. على وجه الخصوص ، من خلال إنشاء "طريقة غاوس" ...

منذ ما يقرب من 4 سنوات ، اهتمت مقالات هذا الموقع بالتعليم المدرسي ، بشكل أساسي من وجهة نظر الفلسفة ، حيث تم إدخال مبادئ (سوء الفهم) في أذهان الأطفال. حان الوقت لمزيد من التفاصيل والأمثلة والأساليب ... أعتقد أن هذا هو النهج المألوف والمربك و مهممجالات الحياة تعطي أفضل النتائج.

نحن البشر مرتبون للغاية بغض النظر عن مقدار ما تتحدث عنه التفكير المجرد، لكن فهم دائماًيحدث من خلال الأمثلة. إذا لم تكن هناك أمثلة ، فمن المستحيل فهم المبادئ ... ما مدى استحالة أن تكون على قمة جبل بخلاف المرور عبر منحدره بالكامل من سفح الجبل.

نفس الشيء مع المدرسة: في الوقت الحالي قصص حيةليس كافيًا ، فنحن بشكل غريزي نستمر في اعتباره مكانًا يتعلم فيه الأطفال فهمه.

على سبيل المثال ، تدريس طريقة جاوس ...

طريقة جاوس في الصف الخامس بالمدرسة

سأقوم بالحجز على الفور: طريقة Gauss لها تطبيق أوسع بكثير ، على سبيل المثال ، عند الحل أنظمة المعادلات الخطية. ما سنتحدث عنه يحدث في الصف الخامس. هو - هي بداية، بعد أن فهمت ذلك ، من الأسهل بكثير فهم المزيد من "الخيارات المتقدمة". في هذا المقال نتحدث عنه طريقة (طريقة) Gauss عند إيجاد مجموع سلسلة

إليكم مثال أحضره ابني الأصغر من المدرسة ، حيث حضر الصف الخامس في صالة للألعاب الرياضية في موسكو.

عرض مدرسي لطريقة غاوس

قام مدرس رياضيات يستخدم سبورة بيضاء تفاعلية (طرق التدريس الحديثة) بعرض عرض تقديمي للأطفال حول قصة "إنشاء الطريقة" بواسطة غاوس الصغير.

قام مدرس المدرسة بجلد كارل الصغير (طريقة قديمة ، لم تستخدم الآن في المدارس) لكونها ،

بدلاً من جمع الأرقام بالتتابع من 1 إلى 100 لإيجاد مجموعها لاحظتأن أزواج الأرقام المتباعدة بالتساوي من حواف التقدم الحسابي تضيف ما يصل إلى نفس العدد. على سبيل المثال ، 100 و 1 و 99 و 2. بعد حساب عدد هذه الأزواج ، حل غاوس الصغير على الفور تقريبًا المشكلة التي اقترحها المعلم. الذي تعرض للإعدام أمام جمهور مذهول. لبقية التفكير كان عدم احترام.

ماذا فعل غاوس الصغير المتقدمة عدد المعنى? لاحظتبعض الميزاتسلسلة رقمية بخطوة ثابتة (التقدم الحسابي). و هذا بالضبطجعله فيما بعد عالمًا عظيمًا ، قادر على الملاحظة، الحيازة الشعور ، غريزة الفهم.

هذه هي قيمة الرياضيات التي تتطور القدرة على الرؤيةبشكل عام على وجه الخصوص - التفكير المجرد. لذلك ، فإن معظم الآباء وأرباب العمل اعتبر الرياضيات بشكل غريزي تخصصًا مهمًا ...

"يجب تدريس الرياضيات لاحقًا ، حتى تُنظم العقل.
ام في لومونوسوف ".

ومع ذلك ، فإن أتباع أولئك الذين جلدوا عباقرة المستقبل حولوا الطريقة إلى شيء معاكس. كما قال مشرفي منذ 35 عامًا: "لقد تعلموا السؤال". أو ، كما قال ابني الأصغر أمس عن طريقة غاوس: "ربما لا يستحق صنع علم كبير من هذا ، هاه؟"

تتجلى عواقب إبداع "العلماء" في مستوى رياضيات المدرسة الحالية ، ومستوى تدريسها وفهم الأغلبية لـ "ملكة العلوم".

ومع ذلك ، دعنا نكمل ...

طرق شرح طريقة جاوس في الصف الخامس بالمدرسة

أدى مدرس الرياضيات في صالة للألعاب الرياضية في موسكو ، يشرح طريقة غاوس بطريقة فيلينكين ، إلى تعقيد المهمة.

ماذا لو كان الفرق (الخطوة) في التقدم الحسابي ليس واحدًا ، بل رقمًا آخر؟ على سبيل المثال ، 20.

المهمة التي كلف بها تلاميذ الصف الخامس:

20+40+60+80+ ... +460+480+500

قبل التعرف على طريقة الصالة الرياضية ، دعونا نلقي نظرة على الويب: كيف يقوم مدرسو المدارس - مدرسو الرياضيات بذلك؟ ..

طريقة غاوس: الشرح رقم 1

يعطي المعلم المعروف على قناته على YOUTUBE الأسباب التالية:

"لنكتب الأرقام من 1 إلى 100 على النحو التالي:

أولاً سلسلة من الأرقام من 1 إلى 50 ، وأسفلها تمامًا سلسلة أخرى من الأرقام من 50 إلى 100 ، ولكن بترتيب عكسي "

1, 2, 3, ... 48, 49, 50

100, 99, 98 ... 53, 52, 51

يرجى ملاحظة: مجموع كل زوج من الأرقام من الصفين العلوي والسفلي هو نفسه ويساوي 101! دعونا نحسب عدد الأزواج ، فهو 50 ونضرب مجموع زوج واحد في عدد الأزواج! Voila: The الجواب جاهز! ".

"إذا لم تستطع الفهم ، فلا تنزعج!" كرر المعلم ثلاث مرات أثناء الشرح. "سوف تجتاز هذه الطريقة في الصف التاسع!"

طريقة غاوس: الشرح رقم 2

يتخذ مدرس آخر ، أقل شهرة (بناءً على عدد المشاهدات) منهجًا أكثر علمية ، حيث يقدم خوارزمية حل مكونة من 5 نقاط يجب إكمالها بالتسلسل.

للمبتدئين: الرقم 5 هو أحد أرقام فيبوناتشي التي تعتبر تقليديًا سحرية. تعتبر طريقة الخمس خطوات دائمًا أكثر علمية من طريقة الخطوات الست ، على سبيل المثال. ... وهذا ليس بالصدفة ، على الأرجح ، المؤلف هو مناصر خفي لنظرية فيبوناتشي

بالنظر إلى التقدم الحسابي: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .

خوارزمية لإيجاد مجموع الأرقام في سلسلة باستخدام طريقة Gauss:

الخطوة 1: أعد كتابة تسلسل الأرقام المعطى في الاتجاه المعاكس ، بالضبطتحت الأول.

4, 10, 16 ... 244, 250, 256

256, 250, 244 ... 16, 10, 4

الخطوة 2: احسب مجموع أزواج الأرقام المرتبة في صفوف عمودية: 260.

الخطوة 3: احسب عدد هذه الأزواج في سلسلة الأرقام. للقيام بذلك ، اطرح الحد الأدنى من العدد الأقصى لسلسلة الأرقام واقسم على حجم الخطوة: (256-4) / 6 = 42.

في نفس الوقت ، عليك أن تتذكر بالإضافة إلى قاعدة واحدة : يجب إضافة واحد إلى حاصل القسمة الناتج: وإلا فسنحصل على نتيجة أقل بمقدار واحد من العدد الحقيقي للأزواج: 42 + 1 = 43.

الخطوة 4: اضرب مجموع زوج واحد من الأرقام في عدد الأزواج: 260 × 43 = 11،180

الخطوة 5: منذ أن حسبنا المبلغ أزواج من الأرقام، ثم يجب تقسيم المبلغ المستلم على اثنين: 11 180/2 = 5590.

هذا هو المبلغ المطلوب للتقدم الحسابي من 4 إلى 256 بفارق 6!

طريقة غاوس: شرح في الصف الخامس من صالة موسكو للألعاب الرياضية

وإليكم كيف كان المطلوب حل مشكلة إيجاد مجموع المتسلسلة:

20+40+60+ ... +460+480+500

في الصف الخامس من صالة الألعاب الرياضية في موسكو ، كتاب فيلينكين المدرسي (حسب ابني).

بعد عرض العرض التقديمي ، أظهر مدرس الرياضيات بضعة أمثلة غاوسية وأعطى الفصل مهمة إيجاد مجموع الأرقام في سلسلة بخطوة 20.

هذا يتطلب ما يلي:

الخطوة 1: تأكد من كتابة جميع الأرقام الموجودة في الصف في دفتر ملاحظاتمن 20 إلى 500 (بزيادات قدرها 20).

الخطوة 2: اكتب مصطلحات متتالية - أزواج من الأرقام:الأول مع الأخير ، والثاني مع ما قبل الأخير ، إلخ. وحساب مبالغهم.

الخطوة 3: احسب "مجموع المبالغ" وابحث عن مجموع المتسلسلة بأكملها.

كما ترون ، هذه تقنية أكثر إحكاما وفعالية: الرقم 3 هو أيضًا عضو في تسلسل فيبوناتشي

تعليقاتي على النسخة المدرسية من طريقة غاوس

من المؤكد أن عالم الرياضيات العظيم كان سيختار الفلسفة إذا كان قد تنبأ بما سيحول أتباعه "طريقته" إليه. مدرس لغة ألمانيةالذي جلد كارل بالعصي. كان سيرى الرمزية والدوامة الديالكتيكية وغباء "المعلمين" الأبدي. محاولة قياس انسجام الفكر الرياضي الحي مع جبر سوء الفهم ....

بالمناسبة ، هل تعلم. أن نظامنا التعليمي متجذر في المدرسة الألمانية في القرنين الثامن عشر والتاسع عشر؟

لكن غاوس اختار الرياضيات.

ما هو جوهر طريقته؟

في تبسيط. في المراقبة والقبضأنماط بسيطة من الأرقام. في تحويل الحساب المدرسي الجاف إلى نشاط ممتع وممتع ، وتنشيط الرغبة في الاستمرار في الدماغ ، وعدم إعاقة النشاط العقلي عالي التكلفة.

هل من الممكن حساب مجموع أرقام التقدم الحسابي بأحد "تعديلات طريقة غاوس" المذكورة أعلاه فورا؟ وفقًا لـ "الخوارزميات" ، كان من الممكن ضمان أن يتجنب كارل الصغير الضرب على الردف ، ويزرع النفور من الرياضيات وقمع دوافعه الإبداعية في مهدها.

لماذا نصح المعلم تلاميذ الصف الخامس بإلحاح "بألا يخافوا من سوء فهم" الطريقة ، وأقنعهم بأنهم سيحلون "مثل هذه" المشاكل الموجودة بالفعل في الصف التاسع؟ عمل أمي نفسيا. كانت فكرة جيدة أن نلاحظ: "أرك لاحقًا بالفعل في الصف الخامس يمكنك ذلكحل المشاكل التي ستمر بها فقط في 4 سنوات! يا لك من رفقاء طيبين! "

لاستخدام طريقة Gaussian ، يكفي المستوى 3 من الفصلعندما يعرف الأطفال العاديون بالفعل كيفية الجمع والضرب والقسمة على 2-3 أرقام. تنشأ المشاكل بسبب عدم قدرة المدرسين البالغين الذين "لا يدخلون" في كيفية شرح أبسط الأشياء بلغة بشرية عادية ، وليس فقط لغة رياضية ... فهم غير قادرين على الاهتمام بالرياضيات وثنيهم تمامًا حتى "القادرون".

أو ، كما علق ابني ، "اصنع علمًا كبيرًا من ذلك."

كيف (في الحالة العامة) معرفة الرقم الذي يجب "فك تغليفه" في سجل الأرقام في الطريقة رقم 1؟

ماذا تفعل إذا كان عدد أعضاء السلسلة هو الفردية?

لماذا تتحول إلى "قاعدة زائد 1" ما يمكن للطفل فقط استيعابحتى في الصف الأول ، إذا كان قد طور "حس العدد" ، و لم أتذكر"العد في عشرة"؟

وأخيرًا: أين اختفى الصفر ، اختراع عبقري عمره أكثر من 2000 عام ويتجنب معلمو الرياضيات الحديثون استخدامه ؟!

طريقة جاوس ، تفسيراتي

شرحت أنا وزوجتي هذه "الطريقة" لطفلنا ، على ما يبدو ، حتى قبل المدرسة ...

البساطة بدلاً من التعقيد أو لعبة الأسئلة - الإجابات

"" انظر ، هذه هي الأرقام من 1 إلى 100. ماذا ترى؟ "

لا يتعلق الأمر بما يراه الطفل. الحيلة هي جعله ينظر.

"كيف يمكنك تجميعها معًا؟" اكتشف الابن أن مثل هذه الأسئلة لا يتم طرحها "تمامًا مثل هذا" وعليك أن تنظر إلى السؤال "بطريقة مختلفة ، بطريقة مختلفة عما يفعله عادةً"

لا يهم إذا رأى الطفل الحل على الفور ، فمن غير المحتمل. من المهم أن يكون توقف عن الخوف من النظر ، أو كما أقول: "نقل المهمة". هذه بداية الطريق إلى التفاهم

"أيهما أسهل: أضف ، على سبيل المثال ، 5 و 6 أم 5 و 95؟" سؤال أساسي ... ولكن بعد كل شيء ، فإن أي تدريب يأتي إلى "إرشاد" الشخص إلى "إجابة" - بأي طريقة مقبولة لديه.

في هذه المرحلة ، قد تكون هناك بالفعل تخمينات حول كيفية "الحفظ" في الحسابات.

كل ما فعلناه هو تلميح: طريقة العد "الأمامية والخطية" ليست الوحيدة الممكنة. إذا قام الطفل بقطع هذا ، فسيقوم لاحقًا باختراع العديد من هذه الأساليب ، لأنها مثيرة للاهتمام !!!وسيتجنب بالتأكيد "سوء الفهم" للرياضيات ، ولن يشعر بالاشمئزاز من ذلك. لقد حصل على الفوز!

اذا كان اكتشف الطفلإذن ، فإن إضافة أزواج من الأرقام التي تضيف ما يصل إلى مائة مهمة تافهة "التقدم الحسابي مع الفرق 1"- شيء كئيب إلى حد ما وغير مثير للاهتمام لطفل - فجأة أعطاه الحياة . خرج النظام من الفوضى ، وهذا دائمًا متحمس: هذا ما نحن عليه!

سؤال سريع: لماذا ، بعد بصيرة الطفل ، يجب أن يتم دفعهم مرة أخرى إلى إطار الخوارزميات الجافة ، والتي هي أيضًا عديمة الفائدة وظيفيًا في هذه الحالة؟!

لماذا إعادة كتابة غبيةالأرقام المتسلسلة في دفتر ملاحظات: حتى لا يكون للقادرين فرصة واحدة للفهم؟ إحصائيًا بالطبع ، لكن التعليم الجماهيري يركز على "الإحصاء" ...

أين ذهب الصفر؟

ومع ذلك ، فإن جمع الأرقام التي تضيف ما يصل إلى 100 هي أكثر قبولًا للعقل من إعطاء 101 ...

تتطلب "طريقة المدرسة غاوس" هذا بالضبط: أضعاف بلا تفكيرعلى مسافة متساوية من مركز تقدم زوج من الأرقام ، بغض النظر.

ماذا لو نظرت؟

ومع ذلك ، فإن الصفر هو أعظم اختراع للبشرية ، عمره أكثر من 2000 عام. ويستمر مدرسو الرياضيات في تجاهله.

من الأسهل كثيرًا تحويل سلسلة من الأرقام التي تبدأ من 1 إلى سلسلة تبدأ من 0. ولن يتغير المجموع ، أليس كذلك؟ تحتاج إلى التوقف عن "التفكير في الكتب المدرسية" والبدء في البحث ...ولترى أن الأزواج التي يبلغ مجموعها 101 يمكن استبدالها بالكامل بأزواج بمجموع 100!

0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51

كيف تلغي "القاعدة زائد 1"؟

لأكون صادقًا ، سمعت لأول مرة عن مثل هذه القاعدة من مدرس YouTube ...

ماذا لا زلت أفعل عندما أحتاج إلى تحديد عدد أعضاء سلسلة؟

النظر في التسلسل:

1, 2, 3, .. 8, 9, 10

وعندما تتعب تمامًا ، ثم في صف أبسط:

1, 2, 3, 4, 5

وأعتقد: إذا طرحت واحدًا من 5 ، فستحصل على 4 ، لكنني واضح تمامًا نرى 5 أرقام! لذلك ، تحتاج إلى إضافة واحد! يشير الإحساس بالعدد ، الذي تم تطويره في المدرسة الابتدائية ، إلى أنه حتى لو كان هناك مجموعة كاملة من أعضاء السلسلة (من 10 إلى مائة) ، فإن النمط سيظل كما هو.

ههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههه

حتى أنه في غضون بضع سنوات - ثلاث سنوات لملء كل الفراغ بين الجبهة ومؤخرة الرأس والتوقف عن التفكير؟ ماذا عن كسب الخبز والزبدة؟ بعد كل شيء ، نحن نتحرك في مراتب متساوية في عصر الاقتصاد الرقمي!

المزيد عن منهج غاوس المدرسي: "لماذا نستخرج العلم من هذا؟ .."

لم يكن عبثًا أن نشرت لقطة شاشة من دفتر ملاحظات ابني ...

"ماذا كان هناك في الدرس؟"

"حسنًا ، عدت على الفور ، ورفعت يدي ، لكنها لم تسأل. لذلك ، بينما كان الآخرون يعدون ، بدأت في DZ باللغة الروسية حتى لا أضيع الوقت. ثم ، عندما انتهى الآخرون من الكتابة (؟؟ ؟) ، اتصلت بي على السبورة ، وقلت الإجابة ".

قال المعلم: "هذا صحيح ، أرني كيف حللت الأمر". أظهرت. قالت: "خطأ ، عليك أن تحسب كما بينت!"

"من الجيد أنني لم أضع شيطانًا. وجعلتني أكتب" عملية اتخاذ القرار "بطريقتهم الخاصة في دفتر ملاحظات. لماذا أصنع علمًا كبيرًا من هذا؟ .."

الجريمة الرئيسية لمعلم الرياضيات

بالكاد بعد هذه الحالةتمتع كارل جاوس بإحساس عالٍ من الاحترام لمعلم الرياضيات في المدرسة. ولكن إذا كان يعرف كيف أتباع هذا المعلم تحريف جوهر الطريقة... كان ليثير غضبًا شديدًا ، ومن خلال المنظمة العالمية للملكية الفكرية WIPO ، فرض حظرًا على استخدام اسمه الحسن في الكتب المدرسية! ..

ماذا او ما الخطأ الرئيسي في نهج المدرسة؟ أم ، كما أصفها ، جريمة معلمي الرياضيات بالمدارس ضد الأطفال؟

خوارزمية سوء الفهم

ماذا يفعل أخصائيو المنهج المدرسي ، والغالبية العظمى منهم لا يعرفون كيف يفكرون؟

إنشاء طرق وخوارزميات (انظر). هو - هي رد فعل دفاعي يحمي المعلمين من النقد ("كل شيء يتم وفقًا ...") ، ويحمي الأطفال من الفهم. وبالتالي - من الرغبة في انتقاد المعلمين!(المشتق الثاني من "الحكمة" البيروقراطية ، مقاربة علمية للمشكلة). الشخص الذي لا يفهم المعنى سوف يلوم بالأحرى سوء فهمه ، وليس غباء النظام المدرسي.

ما يحدث: الآباء يلومون الأبناء ، والمعلمون ... نفس الشيء للأطفال الذين "لا يفهمون الرياضيات! ..

هل انت ذكي؟

ماذا فعل كارل الصغير؟

على الإطلاق ، بشكل غير تقليدي ، اقترب من مهمة نموذجية. هذا هو جوهر نهجه. هو - هي الشيء الرئيسي الذي يجب أن يتم تدريسه في المدرسة هو التفكير ليس بالكتب المدرسية ، ولكن في التفكير. بالطبع ، هناك أيضًا عنصر أساسي يمكن استخدامه ... في البحث عن طرق عد أبسط وأكثر كفاءة.

طريقة جاوس حسب فيلينكين

في المدرسة يعلمون أن طريقة غاوس هي

في باريسأوجد مجموع الأرقام على مسافة متساوية من حواف المتسلسلة العددية ، تبدأ بالضرورة من الحواف!

أوجد عدد هذه الأزواج ، وهكذا.

ماذا او ما، إذا كان عدد العناصر في الصف فرديًاكما في المهمة التي كلف بها الابن؟ ..

"الحيلة" في هذه الحالة يجب أن تجد الرقم "الإضافي" للسلسلةوأضفه إلى مجموع الأزواج. في مثالنا ، هذا الرقم هو 260.

كيف تكتشف؟ إعادة كتابة جميع أزواج الأرقام في دفتر!(لهذا السبب جعل المعلم الأطفال يقومون بهذا العمل الغبي ، في محاولة لتعليم "الإبداع" باستخدام طريقة غاوس ... ولهذا السبب فإن مثل هذه "الطريقة" غير قابلة للتطبيق عمليًا على سلاسل البيانات الكبيرة ، ولهذا السبب فهي ليست غاوسية طريقة).

القليل من الإبداع في الروتين المدرسي ...

تصرف الابن بشكل مختلف.

لاحظ في البداية أنه من الأسهل مضاعفة الرقم 500 وليس 520.

(20 + 500, 40 + 480 ...).

ثم اكتشف أن عدد الخطوات كان فرديًا: 500/20 = 25.

ثم أضاف صفرًا إلى بداية السلسلة (على الرغم من أنه كان من الممكن تجاهل المصطلح الأخير من السلسلة ، والذي سيضمن أيضًا التكافؤ) وأضاف الأرقام ، مما يعطي إجمالي 500

0+500, 20+480, 40+460 ...

26 خطوة هي 13 زوجًا من "خمسمائة": 13 × 500 = 6500 ..

إذا تجاهلنا العضو الأخير في السلسلة ، فسيكون هناك 12 زوجًا ، لكن لا ينبغي أن ننسى إضافة الخمسمائة "المهملة" إلى نتيجة الحسابات. ثم: (12 × 500) + 500 = 6500!

قراءة سهلة؟

ولكن من الناحية العملية ، يصبح الأمر أسهل ، مما يسمح لك باقتطاع 2-3 دقائق للاستشعار عن بعد باللغة الروسية ، بينما يتم "العد" الباقي. بالإضافة إلى ذلك ، فإنه يحتفظ بعدد خطوات المنهجية: 5 ، والتي لا تسمح بانتقاد النهج لكونه غير علمي.

من الواضح أن هذا النهج أبسط وأسرع وأكثر تنوعًا في أسلوب الطريقة. لكن ... المعلم لم يمدحني فحسب ، بل أجبرني أيضًا على إعادة كتابته "بالطريقة الصحيحة" (انظر لقطة الشاشة). أي أنها قامت بمحاولة يائسة لخنق الدافع الإبداعي والقدرة على فهم الرياضيات في مهدها! على ما يبدو ، لكي يتم تعيينها لاحقًا كمدرس ... هاجمت الشخص الخطأ ...

كل ما وصفته طويلًا ومضجرًا يمكن شرحه لطفل عادي في مدة أقصاها نصف ساعة. جنبا إلى جنب مع الأمثلة.

وحتى لا ينسى ذلك أبدًا.

وسوف خطوة نحو التفاهم... ليس فقط الرياضيات.

اعترف بها: كم مرة في حياتك أضفتها باستخدام طريقة Gauss؟ وأنا أبدا!

ولكن غريزة الفهمالذي يتطور (أو يطفئ) في عملية دراسة الأساليب الرياضية في المدرسة ... أوه! .. هذا حقًا شيء لا يمكن الاستغناء عنه!

خاصة في عصر الرقمنة العالمية ، الذي دخلناه بهدوء تحت إشراف صارم من الحزب والحكومة.

كلمات قليلة دفاعا عن المعلمين ...

من الظلم والخطأ تحميل المسؤولية الكاملة عن هذا النمط من التدريس على عاتق معلمي المدارس فقط. النظام قيد التشغيل.

بعضيتفهم المعلمون عبثية ما يحدث ، ولكن ماذا يفعلون؟ قانون التعليم ، المعايير التعليمية الفيدرالية للدولة ، الأساليب ، بطاقات الدروس ... يجب عمل كل شيء "وفقًا وعلى أساس" ويجب توثيق كل شيء. تنحى جانبا - وقفت في الطابور للإقالة. دعونا لا نكون منافقين: رواتب أساتذة موسكو جيدة جدًا ... إذا طُردوا ، فأين يذهبون؟ ..

لذلك هذا الموقع ليس عن التعليم. هو على وشك التعليم الفردي، الطريقة الوحيدة الممكنة للخروج من الزحام الجيل Z ...

منذ بداية القرنين السادس عشر والثامن عشر ، بدأ علماء الرياضيات في دراسة الوظائف بشكل مكثف ، والتي بفضلها تغير الكثير في حياتنا. تكنولوجيا الكمبيوتر بدون هذه المعرفة ببساطة لن تكون موجودة. لحل المشكلات المعقدة ، تم إنشاء المعادلات والوظائف الخطية والمفاهيم والنظريات وتقنيات الحل المختلفة. إحدى هذه الأساليب والتقنيات العالمية والعقلانية لحل المعادلات الخطية وأنظمتها كانت طريقة غاوس. المصفوفات ورتبتها ومحدداتها - يمكن حساب كل شيء دون استخدام عمليات معقدة.

ما هو SLAU

في الرياضيات ، هناك مفهوم SLAE - نظام المعادلات الجبرية الخطية. ماذا تمثل؟ هذه مجموعة من معادلات m مع n مجهولة مطلوبة ، وعادة ما يشار إليها بالرموز x أو y أو z أو x 1 أو x 2 ... x n أو غيرها من الرموز. لحل هذا النظام بالطريقة الغاوسية يعني إيجاد جميع المجهول المجهول. إذا كان النظام يحتوي على نفس عدد المجهول والمعادلات ، فإنه يسمى نظام الترتيب رقم n.

أكثر الطرق شيوعًا لحل SLAE

في المؤسسات التعليمية للتعليم الثانوي ، يتم دراسة طرق مختلفة لحل هذه الأنظمة. غالبًا ما تكون هذه معادلات بسيطة تتكون من مجهولين ، لذا فإن أي طريقة موجودة للعثور على إجابة لها لن تستغرق الكثير من الوقت. يمكن أن تكون مثل طريقة الاستبدال ، عندما يتم اشتقاق معادلة أخرى من معادلة واحدة واستبدالها بالمعادلة الأصلية. أو مصطلح عن طريق الطرح والجمع. لكن طريقة غاوس تعتبر الأسهل والأكثر عالمية. يجعل من الممكن حل المعادلات بأي عدد من المجاهيل. لماذا تعتبر هذه التقنية عقلانية؟ كل شيء بسيط. طريقة المصفوفة جيدة لأنها لا تتطلب عدة مرات إعادة كتابة الأحرف غير الضرورية في شكل مجاهيل ، يكفي إجراء عمليات حسابية على المعاملات - وستحصل على نتيجة موثوقة.

أين يتم استخدام SLAEs في الممارسة؟

حل SLAE هو نقاط تقاطع الخطوط على الرسوم البيانية للوظائف. في عصر الكمبيوتر عالي التقنية ، يحتاج الأشخاص الذين يشاركون عن كثب في تطوير الألعاب والبرامج الأخرى إلى معرفة كيفية حل هذه الأنظمة وما تمثله وكيفية التحقق من صحة النتيجة الناتجة. في أغلب الأحيان ، يطور المبرمجون حاسبات جبر خطية خاصة ، وهذا يشمل نظام المعادلات الخطية. تتيح لك طريقة Gauss حساب جميع الحلول الموجودة. كما يتم استخدام صيغ وتقنيات مبسطة أخرى.

معيار توافق SLAE

لا يمكن حل مثل هذا النظام إلا إذا كان متوافقًا. من أجل الوضوح ، نقدم SLAE بالشكل Ax = b. لها حل إذا كان المدى (أ) يساوي رن (أ ، ب). في هذه الحالة ، (أ ، ب) عبارة عن مصفوفة ممتدة يمكن الحصول عليها من المصفوفة أ بإعادة كتابتها بشروط مجانية. اتضح أن حل المعادلات الخطية باستخدام طريقة Gaussian سهل للغاية.

ربما تكون بعض الرموز غير واضحة تمامًا ، لذلك من الضروري النظر في كل شيء بمثال. لنفترض أن هناك نظامًا: x + y = 1 ؛ 2 س -3 ص = 6. يتكون من معادلتين فقط حيث يوجد 2 مجهولين. سيكون للنظام حل فقط إذا كانت رتبة المصفوفة الخاصة به مساوية لرتبة المصفوفة المعززة. ما هي الرتبة؟ هذا هو عدد الخطوط المستقلة للنظام. في حالتنا ، رتبة المصفوفة هي 2. ستتألف المصفوفة A من المعاملات الواقعة بالقرب من المجهول ، والمعاملات خلف علامة "=" سوف تتناسب أيضًا مع المصفوفة الموسعة.

لماذا يمكن تمثيل SLAE في شكل مصفوفة

استنادًا إلى معيار التوافق وفقًا لنظرية Kronecker-Capelli التي أثبتت جدواها ، يمكن تمثيل نظام المعادلات الجبرية الخطية في شكل مصفوفة. باستخدام طريقة Gaussian cascade ، يمكنك حل المصفوفة والحصول على الإجابة الوحيدة الموثوقة للنظام بأكمله. إذا كانت رتبة المصفوفة العادية تساوي مرتبة المصفوفة الممتدة ، ولكن أقل من عدد المجهول ، فإن النظام لديه عدد لا حصر له من الإجابات.

تحولات المصفوفة

قبل الانتقال إلى حل المصفوفات ، من الضروري معرفة الإجراءات التي يمكن تنفيذها على عناصرها. هناك عدة تحولات أولية:

• من خلال إعادة كتابة النظام في شكل مصفوفة وتنفيذ حلها ، يمكن ضرب جميع عناصر السلسلة في نفس المعامل.
• لتحويل مصفوفة إلى شكل متعارف عليه ، يمكن تبديل صفين متوازيين. يشير الشكل الأساسي إلى أن جميع عناصر المصفوفة الموجودة على طول القطر الرئيسي تصبح عناصر ، بينما تصبح العناصر المتبقية أصفارًا.
• يمكن إضافة العناصر المقابلة للصفوف المتوازية للمصفوفة الواحدة إلى الأخرى.

طريقة جوردان جاوس

يتمثل جوهر حل أنظمة المعادلات الخطية المتجانسة وغير المتجانسة بطريقة غاوس في التخلص التدريجي من المجهول. لنفترض أن لدينا نظامًا من معادلتين فيهما مجهولان. للعثور عليهم ، تحتاج إلى التحقق من توافق النظام. تم حل المعادلة الغاوسية بكل بساطة. من الضروري كتابة المعاملات الموجودة بالقرب من كل مجهول في شكل مصفوفة. لحل النظام ، تحتاج إلى كتابة المصفوفة المعززة. إذا كانت إحدى المعادلات تحتوي على عدد أقل من المجاهيل ، فيجب وضع "0" بدلاً من العنصر المفقود. يتم تطبيق جميع طرق التحويل المعروفة على المصفوفة: الضرب ، والقسمة برقم ، وإضافة العناصر المقابلة من الصفوف إلى بعضها البعض ، وغيرها. اتضح أنه في كل صف من الضروري ترك متغير واحد بالقيمة "1" ، يجب تقليل الباقي إلى الصفر. لفهم أكثر دقة ، من الضروري النظر في طريقة غاوس مع الأمثلة.

مثال بسيط لحل نظام 2x2

بادئ ذي بدء ، لنأخذ نظامًا بسيطًا من المعادلات الجبرية ، حيث سيكون هناك مجهولين.

دعنا نعيد كتابتها في مصفوفة مكثفة.

لحل نظام المعادلات الخطية هذا ، يلزم إجراء عمليتين فقط. علينا إحضار المصفوفة إلى الصورة المتعارف عليها بحيث توجد وحدات على طول القطر الرئيسي. لذلك ، بالترجمة من نموذج المصفوفة إلى النظام ، نحصل على المعادلات: 1x + 0y = b1 و 0 x + 1y = b2 ، حيث b1 و b2 هي الإجابات التي تم الحصول عليها في عملية الحل.

1. ستكون الخطوة الأولى في حل المصفوفة المعززة كما يلي: يجب ضرب الصف الأول في -7 وإضافة العناصر المقابلة إلى الصف الثاني ، على التوالي ، من أجل التخلص من واحد غير معروف في المعادلة الثانية.
2. نظرًا لأن حل المعادلات بطريقة Gauss يعني ضمناً إحضار المصفوفة إلى الشكل المتعارف عليه ، فمن الضروري إجراء نفس العمليات مع المعادلة الأولى وإزالة المتغير الثاني. للقيام بذلك ، نطرح السطر الثاني من الأول ونحصل على الإجابة اللازمة - حل SLAE. أو ، كما هو موضح في الشكل ، نضرب الصف الثاني في عامل -1 ونضيف عناصر الصف الثاني إلى الصف الأول. نفس الشئ.

كما ترى ، تم حل نظامنا بطريقة جوردان جاوس. نعيد كتابته بالصيغة المطلوبة: x = -5 ، y = 7.

مثال على حل SLAE 3x3

افترض أن لدينا نظام معادلات خطية أكثر تعقيدًا. تجعل طريقة غاوس من الممكن حساب الإجابة حتى بالنسبة لأكثر الأنظمة التي تبدو مربكة. لذلك ، من أجل التعمق في منهجية الحساب ، يمكننا الانتقال إلى مثال أكثر تعقيدًا مع ثلاثة مجاهيل.

كما في المثال السابق ، نعيد كتابة النظام في شكل مصفوفة موسعة ونبدأ في نقله إلى الشكل المتعارف عليه.

لحل هذا النظام ، ستحتاج إلى تنفيذ إجراءات أكثر بكثير مما في المثال السابق.

1. تحتاج أولاً إلى إنشاء عنصر واحد في العمود الأول والباقي من الأصفار. للقيام بذلك ، اضرب المعادلة الأولى في -1 وأضف المعادلة الثانية إليها. من المهم أن نتذكر أننا نعيد كتابة السطر الأول في شكله الأصلي ، والثاني - بالفعل في شكل معدل.
2. بعد ذلك ، نزيل نفس المجهول الأول من المعادلة الثالثة. للقيام بذلك ، نضرب عناصر الصف الأول في -2 ونضيفها إلى الصف الثالث. الآن يتم إعادة كتابة السطر الأول والثاني في شكلهما الأصلي ، والثالث - مع التغييرات بالفعل. كما ترى من النتيجة ، حصلنا على أول واحد في بداية القطر الرئيسي للمصفوفة والباقي أصفار. عدد قليل من الإجراءات ، وسيتم حل نظام المعادلات بطريقة غاوس بشكل موثوق.
3. أنت الآن بحاجة إلى إجراء عمليات على عناصر أخرى من الصفوف. يمكن دمج الخطوتين الثالثة والرابعة في خطوة واحدة. علينا قسمة الخطين الثاني والثالث على -1 للتخلص من السالب الموجودة على القطر. لقد قمنا بالفعل بإحضار السطر الثالث إلى النموذج المطلوب.
4. بعد ذلك ، يمكننا جعل السطر الثاني عنوانًا أساسيًا. للقيام بذلك ، نضرب عناصر الصف الثالث في -3 ونضيفها إلى السطر الثاني من المصفوفة. يمكن أن نرى من النتيجة أن السطر الثاني يتم أيضًا تقليله إلى الشكل الذي نحتاجه. يبقى القيام ببعض العمليات الأخرى وإزالة معاملات المجهول من الصف الأول.
5. من أجل جعل 0 من العنصر الثاني في الصف ، تحتاج إلى ضرب الصف الثالث في -3 وإضافته إلى الصف الأول.
6. الخطوة الحاسمة التالية هي إضافة العناصر الضرورية للصف الثاني إلى الصف الأول. لذلك نحصل على الصيغة الأساسية للمصفوفة ، وبالتالي الإجابة.

كما ترى ، حل المعادلات بطريقة غاوس بسيط للغاية.

مثال على حل نظام المعادلات 4x4

يمكن حل بعض أنظمة المعادلات الأكثر تعقيدًا بطريقة Gaussian باستخدام برامج الكمبيوتر. من الضروري دفع معاملات المجهول إلى الخلايا الفارغة الموجودة ، وسيقوم البرنامج بحساب النتيجة المطلوبة خطوة بخطوة ، مع وصف كل إجراء بالتفصيل.

يتم وصف الإرشادات خطوة بخطوة لحل مثل هذا المثال أدناه.

في الخطوة الأولى ، يتم إدخال المعاملات والأرقام المجانية للمجهول في الخلايا الفارغة. وبالتالي ، نحصل على نفس المصفوفة المعززة التي نكتبها يدويًا.

ويتم إجراء جميع العمليات الحسابية اللازمة لإحضار المصفوفة الممتدة إلى الشكل المتعارف عليه. يجب أن يكون مفهوما أن الإجابة على نظام المعادلات ليست دائما أعداد صحيحة. في بعض الأحيان يمكن أن يكون الحل من الأعداد الكسرية.

التحقق من صحة الحل

توفر طريقة Jordan-Gauss للتحقق من صحة النتيجة. لمعرفة ما إذا كانت المعاملات قد تم حسابها بشكل صحيح ، ما عليك سوى استبدال النتيجة في نظام المعادلات الأصلي. يجب أن يتطابق الجانب الأيسر من المعادلة مع الجانب الأيمن خلف علامة التساوي. إذا كانت الإجابات غير متطابقة ، فأنت بحاجة إلى إعادة حساب النظام أو محاولة تطبيق طريقة أخرى لحل SLAE المعروف لك ، مثل الاستبدال أو الطرح والإضافة مصطلحًا تلو الآخر. بعد كل شيء ، الرياضيات علم يحتوي على عدد كبير من طرق الحل المختلفة. لكن تذكر: يجب أن تكون النتيجة هي نفسها دائمًا ، بغض النظر عن طريقة الحل التي استخدمتها.

طريقة غاوس: الأخطاء الأكثر شيوعاً في حل SLAE

أثناء حل أنظمة المعادلات الخطية ، غالبًا ما تحدث أخطاء ، مثل النقل غير الصحيح للمعاملات إلى شكل مصفوفة. هناك أنظمة تفتقد فيها بعض المجهول في إحدى المعادلات ، ثم نقل البيانات إلى المصفوفة الموسعة ، يمكن أن تضيع. نتيجة لذلك ، عند حل هذا النظام ، قد لا تتوافق النتيجة مع النتيجة الحقيقية.

من الأخطاء الرئيسية الأخرى كتابة النتيجة النهائية بشكل غير صحيح. يجب أن يكون مفهوما بوضوح أن المعامل الأول سيتوافق مع المجهول الأول من النظام ، والثاني - إلى الثاني ، وما إلى ذلك.

تصف طريقة غاوس بالتفصيل حل المعادلات الخطية. بفضله ، من السهل إجراء العمليات اللازمة والعثور على النتيجة الصحيحة. بالإضافة إلى ذلك ، هذه أداة عالمية لإيجاد إجابة موثوقة للمعادلات بأي تعقيد. ربما هذا هو السبب في أنها تستخدم في كثير من الأحيان في حل SLAE.