حل المعادلة y 0. طرق مختلفة لحل المعادلات
سنقوم بتحليل نوعين من أنظمة حل المعادلات:
1. حل النظام بطريقة الاستبدال.
2. حل النظام عن طريق الجمع (الطرح) لكل مصطلح من معادلات النظام.
من أجل حل نظام المعادلات طريقة الاستبدالتحتاج إلى اتباع خوارزمية بسيطة:
1. نحن نعبر. من أي معادلة ، نعبر عن متغير واحد.
2. البديل. نعوض في معادلة أخرى بدلاً من المتغير المعبر عنه ، القيمة الناتجة.
3. نحل المعادلة الناتجة بمتغير واحد. نجد حلا للنظام.
لتحل النظام عن طريق الجمع مصطلحًا تلو الآخر (الطرح)بحاجة إلى:
1. حدد متغيرًا سنقوم بعمل نفس المعاملات له.
2. نجمع أو نطرح المعادلات ، ونتيجة لذلك نحصل على معادلة بمتغير واحد.
3. نحل المعادلة الخطية الناتجة. نجد حلا للنظام.
حل النظام هو نقاط تقاطع الرسوم البيانية للدالة.
دعونا نفكر بالتفصيل في حل الأنظمة باستخدام الأمثلة.
مثال 1:
لنحل بطريقة التعويض
حل جملة المعادلات بطريقة التعويض2 س + 5 ص = 1 (1 معادلة)
x-10y = 3 (المعادلة الثانية)
1. صريح
يمكن ملاحظة أنه في المعادلة الثانية يوجد متغير x بمعامل 1 ، ومن ثم اتضح أنه من الأسهل التعبير عن المتغير x من المعادلة الثانية.
س = 3 + 10 ص
2. بعد التعبير ، نعوض بـ 3 + 10y في المعادلة الأولى بدلاً من المتغير x.
2 (3 + 10 ص) + 5 ص = 1
3. نحل المعادلة الناتجة بمتغير واحد.
2 (3 + 10y) + 5y = 1 (بين قوسين مفتوحين)
6 + 20 ص + 5 ص = 1
25 ص = 1-6
25 ص = -5 |: (25)
ص = -5: 25
ص = -0.2
حل نظام المعادلة هو نقطتا تقاطع الرسوم البيانية ، لذلك علينا إيجاد س وص ، لأن نقطة التقاطع تتكون من س وص. لنجد س ، في الفقرة الأولى التي عوضنا فيها عن ص.
س = 3 + 10 ص
س = 3 + 10 * (- 0.2) = 1
من المعتاد كتابة النقاط في المقام الأول ، نكتب المتغير x ، وفي المرتبة الثانية نكتب المتغير y.
الجواب: (1 ؛ -0.2)
المثال الثاني:
دعنا نحل عن طريق الجمع كل حد على حدة (الطرح).
حل نظام المعادلات بطريقة الجمع3 س -2 ص = 1 (1 معادلة)
2x-3y = -10 (المعادلة الثانية)
1. حدد متغيرًا ، دعنا نقول إننا نختار x. في المعادلة الأولى ، المتغير x له معامل 3 ، في المعادلة الثانية - 2. نحن بحاجة إلى جعل المعاملتين متماثلتين ، لذلك لدينا الحق في ضرب المعادلات أو القسمة على أي رقم. نضرب المعادلة الأولى في 2 ، والثانية في 3 ونحصل على معامل إجمالي قدره 6.
3 س -2 ص = 1 | * 2
6 س -4 ص = 2
2x-3y = -10 | * 3
6 س -9 ص = -30
2. من المعادلة الأولى ، اطرح الثانية للتخلص من المتغير x حل المعادلة الخطية.
__6x-4y = 2
5 ص = 32 | : 5
ص = 6.4
3. ابحث عن x. نعوض بالموجد y في أي من المعادلات ، لنقل في المعادلة الأولى.
3 س -2 ص = 1
3 × 2 * 6.4 = 1
3 س -12.8 = 1
3 س = 1 + 12.8
3 س = 13.8 |: 3
س = 4.6
ستكون نقطة التقاطع س = 4.6 ؛ ص = 6.4
الجواب: (4.6 ؛ 6.4)
هل تريد التحضير للامتحانات مجانا؟ مدرس على الإنترنت بدون مقابل. لا تمزح.
4 × 3 - 19 × 2 + 19 × + 6 = 0
تحتاج أولاً إلى استخدام طريقة التحديد للعثور على جذر واحد. عادة ما يكون المقسوم على المصطلح الحر. في هذه الحالة ، قواسم الرقم 6 نكون ± 1 ، ± 2 ، ± 3 ، ± 6.
1: 4 - 19 + 19 + 6 = 10 رقم 1
-1: -4 - 19 - 19 + 6 = -36 رقم -1 ليس جذرًا لكثيرات الحدود
2: 4 ∙ 8 - 19 4 + 19 2 + 6 = 0 رقم 2 هو جذر كثير الحدود
لقد وجدنا أحد جذور كثير الحدود. جذر كثير الحدود هو 2, مما يعني أن كثير الحدود الأصلي يجب أن يقبل القسمة على س - 2. من أجل إجراء تقسيم كثيرات الحدود ، نستخدم مخطط هورنر:
4 | -19 | 19 | 6 | |
2 |
يحتوي السطر العلوي على معاملات كثيرة الحدود الأصلية. في الخلية الأولى من الصف الثاني ، نضع الجذر الذي وجدناه 2. يحتوي السطر الثاني على معاملات كثير الحدود ، والتي سيتم الحصول عليها نتيجة القسمة. يحسبون مثل هذا:
|
في الخلية الثانية من الصف الثاني ، اكتب الرقم 1, ببساطة عن طريق تحريكه من الخلية المقابلة في الصف الأول. | ||||||||||
|
2 ∙ 4 - 19 = -11 | ||||||||||
|
2 ∙ (-11) + 19 = -3 | ||||||||||
|
2 ∙ (-3) + 6 = 0 |
الرقم الأخير هو باقي القسمة. إذا كانت تساوي 0 ، فسنحصي كل شيء بشكل صحيح.
وهكذا ، قمنا بتجميع كثير الحدود الأصلي في عوامل:
4 س 3-19 س 2 + 19 س + 6 = (س - 2) (4 س 2-11 س - 3)
والآن ، كل ما تبقى هو إيجاد جذور المعادلة التربيعية
4 × 2 - 11 س - 3 = 0
د \ u003d ب 2 - 4ac \ u003d (-11) 2-4 ∙ 4 ∙ (-3) \ u003d 169
D> 0 ⇒ للمعادلة جذران
لقد وجدنا كل جذور المعادلة.
I. المعادلات الخطية
ثانيًا. المعادلات التربيعية
فأس 2 + bx +ج= 0, أ≠ 0 ، وإلا تصبح المعادلة خطية
يمكن حساب جذور المعادلة التربيعية بعدة طرق ، على سبيل المثال:
نحن جيدون في حل المعادلات التربيعية. يمكن اختزال العديد من المعادلات ذات الدرجات العليا إلى المعادلات التربيعية.
ثالثا. معادلات قابلة للاختزال إلى تربيعي.
تغيير المتغير: أ) المعادلة ثنائية التكافؤ فأس 2n + bxن + ج = 0,أ ≠ 0,ن ≥ 2
2) المعادلة المتماثلة من الدرجة الثالثة - معادلة الشكل
3) معادلة متماثلة من الدرجة الرابعة - معادلة للشكل
فأس 4 + bx 3 + cx 2 +bx + أ = 0, أ≠ 0 ، المعاملات أ ب ج ب أ أو
فأس 4 + bx 3 + cx 2 –bx + أ = 0, أ≠ 0 ، المعاملات أ ب ج (- ب) أ
لان x= 0 ليس جذرًا للمعادلة ، فمن الممكن قسمة طرفي المعادلة على x 2 ، ثم نحصل على:.
بعد إجراء التعويض ، نحل المعادلة التربيعية أ(ر 2 – 2) + BT + ج = 0
على سبيل المثال ، لنحل المعادلة x 4 – 2x 3 – x 2 – 2x+ 1 = 0 ، قسّم كلا الجزأين على x 2 ,
بعد الاستبدال نحصل على المعادلة ر 2 – 2ر – 3 = 0
المعادلة ليس لها جذور.
4) معادلة النموذج ( اكس- ا)(اكس ب)(اكس ج)(وجه ضاحك) = فأس 2 ، المعاملات أب = قرص مضغوط
فمثلا، ( x + 2)(x + 3)(x + 8)(x + 12) = 4x 2. بضرب الأقواس 1-4 و2-3 نحصل على ( x 2 + 14x+ 24)(x 2 +11x + 24) = 4x 2 ، نقسم كلا طرفي المعادلة على x 2 ، نحصل على:
نملك ( ر+ 14)(ر + 11) = 4.
5) معادلة متجانسة من الدرجة الثانية - معادلة بالصيغة P (x، y) = 0 حيث P (x، y) هي كثيرة الحدود ، كل حد لها درجة 2.
الجواب: -2 ؛ -0.5 ؛ 0
رابعا. جميع المعادلات المذكورة أعلاه يمكن التعرف عليها ونموذجية ، ولكن ماذا عن المعادلات ذات الشكل التعسفي؟
دعونا نعطي كثير الحدود صن ( x) = أن xن + أن -1 xن -1 + ... + أ 1x + أ 0 ، أين أن ≠ 0
ضع في اعتبارك طريقة خفض درجة المعادلة.
ومن المعروف أنه إذا كانت المعاملات أهي أعداد صحيحة و أن = 1 ، ثم الجذور الصحيحة للمعادلة صن ( x) = 0 من بين قواسم المصطلح الحر أ 0. فمثلا، x 4 + 2x 3 – 2x 2 – 6x+ 5 = 0 ، قواسم الرقم 5 هي الأرقام 5 ؛ -5 ؛ واحد؛ -واحد. ثم ص 4 (1) = 0 ، أي x= 1 هو جذر المعادلة. اخفض درجة المعادلة ص 4 (x) = 0 بقسمة "ركن" كثير الحدود على العامل x –1 ، نحصل عليه
ص 4 (x) = (x – 1)(x 3 + 3x 2 + x – 5).
على نفس المنوال، ص 3 (1) = 0 إذن ص 4 (x) = (x – 1)(x – 1)(x 2 + 4x+5) ، أي المعادلة ص 4 (x) = 0 له جذور x 1 = x 2 = 1. دعونا نعرض حلاً أقصر لهذه المعادلة (باستخدام مخطط هورنر).
1 | 2 | –2 | –6 | 5 | |
1 | 1 | 3 | 1 | –5 | 0 |
1 | 1 | 4 | 5 | 0 |
يعني، x 1 = 1 يعني x 2 = 1.
لذا، ( x– 1) 2 (x 2 + 4x + 5) = 0
ماذا فعلنا؟ خفض مستوى المعادلة.
5. النظر في المعادلات المتماثلة من الدرجة الثالثة والخامسة.
أ) فأس 3 + bx 2 + bx + أ= 0 من الواضح x= –1 هو جذر المعادلة ، ثم اخفض درجة المعادلة إلى اثنين.
ب) فأس 5 + bx 4 + cx 3 + cx 2 + bx + أ= 0 من الواضح x= –1 هو جذر المعادلة ، ثم اخفض درجة المعادلة إلى اثنين.
على سبيل المثال ، دعنا نعرض حل المعادلة 2 x 5 + 3x 4 – 5x 3 – 5x 2 + 3x + = 0
2 | 3 | –5 | –5 | 3 | 2 | |
–1 | 2 | 1 | –6 | 1 | 2 | 0 |
1 | 2 | 3 | –3 | –2 | 0 | |
1 | 2 | 5 | 2 | 0 |
x = –1
نحن نحصل ( x – 1) 2 (x + 1)(2x 2 + 5x+ 2) = 0. ومن ثم جذور المعادلة: 1؛ واحد؛ -واحد؛ –2 ؛ -0.5.
السادس. فيما يلي قائمة بالمعادلات المختلفة التي يجب حلها في الفصل وفي المنزل.
أدعو القارئ إلى حل المعادلات من 1 إلى 7 بنفسه والحصول على إجابات ...
2 س 4 + 5 س 3 - 11 س 2 - 20 س + 12 = 0
تحتاج أولاً إلى استخدام طريقة التحديد للعثور على جذر واحد. عادة ما يكون المقسوم على المصطلح الحر. في هذه الحالة ، قواسم الرقم 12 نكون ± 1 ، ± 2 ، ± 3 ، ± 4 ، ± 6 ، ± 12.لنبدأ في استبدالها بدورها:
1: 2 + 5-11-20 + 12 = -12 رقم 1
-1: 2-5-11 + 20 + 12 = 18 عدد -1 ليس جذرًا لكثيرات الحدود
2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8-11 4-20 ∙ 2 + 12 = 0 رقم 2 هو جذر كثير الحدود
لقد وجدنا أحد جذور كثير الحدود. جذر كثير الحدود هو 2, مما يعني أن كثير الحدود الأصلي يجب أن يقبل القسمة على س - 2. من أجل إجراء تقسيم كثيرات الحدود ، نستخدم مخطط هورنر:
2 | 5 | -11 | -20 | 12 | |
2 |
يحتوي السطر العلوي على معاملات كثيرة الحدود الأصلية. في الخلية الأولى من الصف الثاني ، نضع الجذر الذي وجدناه 2. يحتوي السطر الثاني على معاملات كثير الحدود ، والتي سيتم الحصول عليها نتيجة القسمة. يحسبون مثل هذا:
|
في الخلية الثانية من الصف الثاني ، اكتب الرقم 2, ببساطة عن طريق تحريكه من الخلية المقابلة في الصف الأول. | ||||||||||||
|
2 ∙ 2 + 5 = 9 | ||||||||||||
|
2 ∙ 9 - 11 = 7 | ||||||||||||
|
2 ∙ 7 - 20 = -6 | ||||||||||||
|
2 ∙ (-6) + 12 = 0 |
الرقم الأخير هو باقي القسمة. إذا كانت تساوي 0 ، فسنحصي كل شيء بشكل صحيح.
2 س 4 + 5 س 3 - 11 س 2 - 20 س + 12 = (س - 2) (2 س 3 + 9 س 2 + 7 س - 6)
ولكن هذا ليس نهاية المطاف. يمكنك محاولة توسيع كثير الحدود بنفس الطريقة 2 س 3 + 9 س 2 + 7 س - 6.
مرة أخرى نحن نبحث عن الجذر بين قواسم المصطلح الحر. قواسم الأرقام -6 نكون ± 1 ، ± 2 ، ± 3 ، ± 6.
1: 2 + 9 + 7-6 = 12 رقم 1 ليس جذرًا لكثيرات الحدود
-1: -2 + 9-7-6 = -6 رقم -1 ليس جذرًا لكثيرات الحدود
2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 2-6 = 60 عدد 2 ليس جذرًا لكثيرات الحدود
-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 (-2) - 6 = 0 رقم -2 هو جذر كثير الحدود
دعنا نكتب الجذر الموجود في مخطط هورنر الخاص بنا ونبدأ في ملء الخلايا الفارغة:
|
في الخلية الثانية من الصف الثالث ، اكتب الرقم 2, ببساطة عن طريق تحريكه من الخلية المقابلة في الصف الثاني. | ||||||||||||||||||
|
-2 ∙ 2 + 9 = 5 | ||||||||||||||||||
|
-2 ∙ 5 + 7 = -3 | ||||||||||||||||||
|
-2 ∙ (-3) - 6 = 0 |
وهكذا ، قمنا بتجميع كثير الحدود الأصلي في عوامل:
2 س 4 + 5 س 3 - 11 س 2 - 20 س + 12 = (س - 2) (س + 2) (2 س 2 + 5 س - 3)
متعدد الحدود 2 س 2 + 5 س - 3يمكن أيضًا أخذها في الاعتبار. للقيام بذلك ، يمكنك حل المعادلة التربيعية من خلال المميز ، أو يمكنك البحث عن الجذر بين قواسم الرقم -3. بطريقة أو بأخرى ، سنصل إلى استنتاج مفاده أن جذر كثير الحدود هذا هو الرقم -3
|
في الخلية الثانية من الصف الرابع ، اكتب الرقم 2, ببساطة عن طريق نقله من الخلية المقابلة في الصف الثالث. | ||||||||||||||||||||||||
|
-3 ∙ 2 + 5 = -1 | ||||||||||||||||||||||||
|
-3 ∙ (-1) - 3 = 0 |
وهكذا ، قمنا بتحليل كثير الحدود الأصلي إلى عوامل خطية:
2 س 4 + 5 س 3 - 11 س 2 - 20 س + 12 = (س - 2) (س + 2) (س + 3) (2 س - 1)
وجذور المعادلة هي.