الخطيئة دالة زوجية أو فردية. الوظائف الفردية والزوجية

دالة زوجية.

حتى فييتم استدعاء الوظيفة التي لا تتغير علامتها عند تغيير العلامة x.

xالمساواة F(–x) = F(x). إشارة xلا يؤثر على علامة ذ.

الرسم البياني للدالة الزوجية متماثل حول محور الإحداثيات (الشكل 1).

أمثلة على الوظائف الزوجية:

ذ= كوس x

ذ = x 2

ذ = –x 2

ذ = x 4

ذ = x 6

ذ = x 2 + x

خاطئة:
لنأخذ دالة ذ = x 2 أو ذ = –x 2 .
لأي قيمة xالوظيفة موجبة. إشارة xلا يؤثر على علامة ذ. الرسم البياني متماثل حول محور الإحداثيات. هذه وظيفة زوجية.

وظيفة غريبة.

الفرديةهي وظيفة تتغير علامتها عند تغيير العلامة x.

بمعنى آخر ، لأي قيمة xالمساواة F(–x) = –F(x).

الرسم البياني للدالة الفردية متماثل بالنسبة إلى الأصل (الشكل 2).

أمثلة على دالة فردية:

ذ= الخطيئة x

ذ = x 3

ذ = –x 3

خاطئة:

خذ الدالة y = - x 3 .
كل القيم فيسيكون لها علامة ناقص. هذه هي العلامة xيؤثر على العلامة ذ. إذا كان المتغير المستقل رقمًا موجبًا ، تكون الوظيفة موجبة ؛ إذا كان المتغير المستقل رقمًا سالبًا ، تكون الوظيفة سالبة: F(–x) = –F(x).
الرسم البياني للدالة متماثل حول الأصل. هذه وظيفة غريبة.

خصائص الوظائف الفردية والزوجية:

ملاحظة:

ليست كل الميزات فردية أو زوجية. هناك وظائف لا تخضع لمثل هذا التدرج. على سبيل المثال ، وظيفة الجذر في = √Xلا ينطبق على الوظائف الفردية أو الزوجية (الشكل 3). عند سرد خصائص هذه الوظائف ، يجب إعطاء وصف مناسب: ليس زوجيًا ولا فرديًا.

وظائف دورية.

كما تعلم ، الدورية هي تكرار عمليات معينة في فترة زمنية معينة. تسمى الوظائف التي تصف هذه العمليات وظائف دورية. أي ، هذه هي الدوال التي توجد في الرسوم البيانية فيها عناصر تتكرر في فترات عددية معينة.

كيف تدخل الصيغ الرياضية في الموقع؟

إذا احتجت في أي وقت إلى إضافة صيغة رياضية واحدة أو اثنتين إلى صفحة ويب ، فإن أسهل طريقة للقيام بذلك هي كما هو موضح في المقالة: يتم إدراج الصيغ الرياضية بسهولة في الموقع في شكل صور يقوم Wolfram Alpha بإنشائها تلقائيًا. بالإضافة إلى البساطة ، ستساعد هذه الطريقة العالمية في تحسين رؤية الموقع في محركات البحث. لقد كانت تعمل لفترة طويلة (وأعتقد أنها ستعمل إلى الأبد) ، لكنها عفا عليها الزمن من الناحية الأخلاقية.

إذا كنت تستخدم المعادلات الرياضية باستمرار على موقعك ، فأوصيك باستخدام MathJax ، وهي مكتبة JavaScript خاصة تعرض تدوين الرياضيات في متصفحات الويب باستخدام ترميز MathML أو LaTeX أو ASCIIMathML.

هناك طريقتان لبدء استخدام MathJax: (1) باستخدام رمز بسيط ، يمكنك بسرعة توصيل برنامج نصي MathJax بموقعك ، والذي سيتم تحميله تلقائيًا من خادم بعيد في الوقت المناسب (قائمة الخوادم) ؛ (2) قم بتحميل البرنامج النصي MathJax من خادم بعيد إلى الخادم الخاص بك وقم بتوصيله بجميع صفحات موقعك. الطريقة الثانية أكثر تعقيدًا وتستغرق وقتًا طويلاً وستسمح لك بتسريع تحميل صفحات موقعك ، وإذا أصبح خادم MathJax الرئيسي غير متاح مؤقتًا لسبب ما ، فلن يؤثر ذلك على موقعك بأي شكل من الأشكال. بالرغم من هذه المميزات اخترت الطريقة الأولى فهي أبسط وأسرع ولا تتطلب مهارات فنية. اتبع المثال الخاص بي ، وفي غضون 5 دقائق ستتمكن من استخدام جميع ميزات MathJax على موقعك.

يمكنك توصيل البرنامج النصي لمكتبة MathJax من خادم بعيد باستخدام خياري رمز مأخوذين من موقع MathJax الرئيسي أو من صفحة التوثيق:

يجب نسخ أحد خيارات التعليمات البرمجية هذه ولصقه في رمز صفحة الويب الخاصة بك ، ويفضل أن يكون ذلك بين العلامات وأو بعد العلامة مباشرة . وفقًا للخيار الأول ، يتم تحميل MathJax بشكل أسرع ويقلل من إبطاء الصفحة. لكن الخيار الثاني يتتبع ويحمل تلقائيًا أحدث إصدارات MathJax. إذا أدخلت الرمز الأول ، فسيلزم تحديثه بشكل دوري. إذا قمت بلصق الكود الثاني ، فسيتم تحميل الصفحات بشكل أبطأ ، لكنك لن تحتاج إلى مراقبة تحديثات MathJax باستمرار.

أسهل طريقة لتوصيل MathJax هي في Blogger أو WordPress: في لوحة التحكم بالموقع ، أضف عنصر واجهة مستخدم مصمم لإدراج كود JavaScript لجهة خارجية ، وانسخ الإصدار الأول أو الثاني من كود التحميل أعلاه فيه ، ثم ضع الأداة بالقرب من بداية القالب (بالمناسبة ، هذا ليس ضروريًا على الإطلاق ، حيث يتم تحميل البرنامج النصي MathJax بشكل غير متزامن). هذا كل شئ. تعرف الآن على صيغة الترميز MathML و LaTeX و ASCIIMathML وستكون جاهزًا لتضمين الصيغ الرياضية في صفحات الويب الخاصة بك.

يتم بناء أي كسورية وفقًا لقاعدة معينة ، والتي يتم تطبيقها باستمرار لعدد غير محدود من المرات. كل وقت يسمى التكرار.

الخوارزمية التكرارية لبناء إسفنجة منجر بسيطة للغاية: يتم تقسيم المكعب الأصلي مع الجانب 1 بواسطة طائرات موازية لوجوهها إلى 27 مكعبًا متساويًا. تتم إزالة مكعب مركزي واحد و 6 مكعبات مجاورة له على طول الوجوه منه. اتضح مجموعة تتكون من 20 مكعبات أصغر متبقية. بالقيام بالشيء نفسه مع كل من هذه المكعبات ، نحصل على مجموعة تتكون من 400 مكعب أصغر. استمرارًا لهذه العملية إلى أجل غير مسمى ، نحصل على إسفنجة منجر.

يُطلق على اعتماد المتغير y على المتغير x ، حيث تقابل كل قيمة x قيمة واحدة من y ، اسم دالة. التدوين هو y = f (x). كل دالة لها عدد من الخصائص الأساسية ، مثل الرتابة والتكافؤ والدورية وغيرها.

ضع في اعتبارك خاصية التكافؤ بمزيد من التفصيل.

يتم استدعاء الدالة y = f (x) حتى إذا كانت تفي بالشرطين التاليين:

2. يجب أن تكون قيمة الوظيفة عند النقطة x التي تنتمي إلى نطاق الوظيفة مساوية لقيمة الوظيفة عند النقطة -x. أي ، بالنسبة لأي نقطة x ، من مجال الوظيفة ، يجب أن تكون المساواة التالية f (x) \ u003d f (-x) صحيحة.

رسم بياني لدالة زوجية

إذا قمت بإنشاء رسم بياني لدالة زوجية ، فسيكون متماثلًا حول المحور y.

على سبيل المثال ، الدالة y = x ^ 2 زوجية. دعونا التحقق من ذلك. مجال التعريف هو المحور العددي بأكمله ، مما يعني أنه متماثل حول النقطة O.

خذ x التعسفي = 3. و (س) = 3 ^ 2 = 9.

و (-x) = (- 3) ^ 2 = 9. لذلك ، f (x) = f (-x). وبالتالي ، فإن كلا الشرطين مستوفيان بالنسبة لنا ، مما يعني أن الوظيفة متساوية. يوجد أدناه رسم بياني للدالة y = x ^ 2.

يوضح الشكل أن الرسم البياني متماثل حول المحور ص.

رسم بياني لدالة فردية

تسمى الوظيفة y = f (x) فردية إذا كانت تفي بالشرطين التاليين:

1. يجب أن يكون مجال الوظيفة المعينة متماثلًا حول النقطة O. أي ، إذا كانت نقطة ما تنتمي إلى مجال الوظيفة ، فيجب أن تنتمي النقطة المقابلة -a أيضًا إلى مجال الوظيفة المحددة.

2. لأي نقطة x ، من مجال الوظيفة ، يجب استيفاء المساواة التالية f (x) \ u003d -f (x).

الرسم البياني للدالة الفردية متماثل بالنسبة للنقطة O - الأصل. على سبيل المثال ، الدالة y = x ^ 3 فردية. دعونا التحقق من ذلك. مجال التعريف هو المحور العددي بأكمله ، مما يعني أنه متماثل حول النقطة O.

خذ x التعسفي = 2. و (س) = 2 ^ 3 = 8.

و (-x) = (- 2) ^ 3 = -8. لذلك f (x) = -f (x). وبالتالي ، فإن كلا الشرطين مستوفيان بالنسبة لنا ، مما يعني أن الوظيفة فردية. يوجد أدناه رسم بياني للدالة y = x ^ 3.

يوضح الشكل بوضوح أن الدالة الفردية y = x ^ 3 متناظرة بالنسبة إلى الأصل.

تحويل الرسم البياني.

الوصف اللفظي للوظيفة.

طريقة الرسم.

الطريقة الرسومية لتحديد وظيفة هي الأكثر توضيحًا وغالبًا ما تستخدم في الهندسة. في التحليل الرياضي ، يتم استخدام الطريقة الرسومية لتحديد الوظائف كتوضيح.

رسم بياني وظيفي f هي مجموعة جميع النقاط (x ؛ y) لمستوى الإحداثيات ، حيث y = f (x) ، و x "تمر عبر" المجال الكامل للدالة المحددة.

المجموعة الفرعية من مستوى الإحداثيات هي رسم بياني لبعض الوظائف إذا كانت تحتوي على نقطة مشتركة واحدة على الأكثر مع أي خط موازٍ لمحور Oy.

مثال. هل الأشكال أدناه رسوم بيانية للوظائف؟

ميزة المهمة الرسومية هي وضوحها. يمكنك أن ترى على الفور كيف تتصرف الوظيفة ، وأين تزيد ، وأين تنقص. من الرسم البياني ، يمكنك على الفور معرفة بعض الخصائص المهمة للوظيفة.

بشكل عام ، تسير الطرق التحليلية والبيانية لتحديد وظيفة جنبًا إلى جنب. يساعد العمل مع الصيغة في بناء رسم بياني. وغالبًا ما يقترح الرسم البياني حلولًا لن تلاحظها في الصيغة.

يعرف أي طالب تقريبًا الطرق الثلاث لتحديد الوظيفة التي قمنا بتغطيتها للتو.

دعنا نحاول الإجابة على السؤال: "هل هناك طرق أخرى لتحديد وظيفة؟"

هناك مثل هذا الطريق.

يمكن تعريف الوظيفة بشكل لا لبس فيه في الكلمات.

على سبيل المثال ، يمكن تعريف الدالة y = 2x بالوصف الشفهي التالي: يتم تعيين قيمة مضاعفة لكل قيمة حقيقية للوسيطة x. تم تعيين القاعدة ، تم تعيين الوظيفة.

علاوة على ذلك ، من الممكن تحديد وظيفة لفظيًا ، وهو أمر يصعب للغاية ، إن لم يكن من المستحيل ، تحديده بواسطة صيغة.

على سبيل المثال: ترتبط كل قيمة للوسيطة الطبيعية x بمجموع الأرقام التي تشكل قيمة x. على سبيل المثال ، إذا كانت x = 3 ، فإن y = 3. إذا كانت x = 257 ، فإن y = 2 + 5 + 7 = 14. إلخ. من الصعب تدوين ذلك في صيغة. لكن الجدول سهل الصنع.

طريقة الوصف اللفظي هي طريقة نادرا ما تستخدم. لكن في بعض الأحيان يحدث ذلك.

إذا كان هناك قانون للمراسلات واحد لواحد بين x و y ، فهناك وظيفة. أي قانون ، في أي شكل يتم التعبير عنه - بواسطة صيغة ، لوح ، رسم بياني ، كلمات - لا يغير جوهر الأمر.

ضع في اعتبارك الوظائف التي تكون مجالات تعريفها متماثلة فيما يتعلق بأصل الإحداثيات ، أي لأي احد Xرقم خارج النطاق (- X) ينتمي أيضًا إلى مجال التعريف. من بين هذه الوظائف زوجى و فردى.

تعريف.الوظيفة f تسمى حتى في، إن وجد Xخارج مجالها

مثال.ضع في اعتبارك الوظيفة

هي حتى. دعونا التحقق من ذلك.

لأي احد Xالمساواة

وبالتالي ، فإن كلا الشرطين مستوفيان بالنسبة لنا ، مما يعني أن الوظيفة متساوية. يوجد أدناه رسم بياني لهذه الوظيفة.

تعريف.الوظيفة f تسمى الفردية، إن وجد Xخارج مجالها

مثال. ضع في اعتبارك الوظيفة

إنها غريبة. دعونا التحقق من ذلك.

مجال التعريف هو المحور العددي بأكمله ، مما يعني أنه متماثل حول النقطة (0 ؛ 0).

لأي احد Xالمساواة

وبالتالي ، فإن كلا الشرطين مستوفيان بالنسبة لنا ، مما يعني أن الوظيفة فردية. يوجد أدناه رسم بياني لهذه الوظيفة.

الرسوم البيانية الموضحة في الشكلين الأول والثالث متناظرة حول المحور y ، والرسوم البيانية الموضحة في الشكلين الثاني والرابع متماثلة حول الأصل.

أي من الدوال التي تظهر رسومها البيانية في الأشكال زوجية وأيها فردية؟

الدوال الفردية والزوجية هي إحدى خصائصها الرئيسية ، ويحتل التكافؤ جزءًا مثيرًا للإعجاب من الدورة المدرسية في الرياضيات. إنه يحدد إلى حد كبير طبيعة سلوك الوظيفة ويسهل بشكل كبير بناء الرسم البياني المقابل.

دعونا نحدد التكافؤ في الوظيفة. بشكل عام ، تعتبر الوظيفة قيد الدراسة حتى إذا كانت القيم المقابلة للمتغير المستقل (x) الموجود في مجالها ، فإن القيم المقابلة لـ y (الوظيفة) متساوية.

دعونا نعطي تعريف أكثر دقة. ضع في اعتبارك بعض الدالة f (x) ، التي تم تحديدها في المجال D. وستكون حتى إذا كانت أي نقطة x تقع في مجال التعريف:

• تقع -x (النقطة المعاكسة) أيضًا في النطاق المحدد ،

• و (-x) = و (س).

من التعريف أعلاه ، فإن الشرط الضروري لمجال تعريف هذه الوظيفة يتبع ، أي التناظر فيما يتعلق بالنقطة O ، التي هي أصل الإحداثيات ، لأنه إذا كانت هناك نقطة ب مضمنة في مجال تعريف دالة زوجية ، فإن النقطة المقابلة - b تقع أيضًا في هذا المجال. مما سبق ، فإن الاستنتاج التالي: الوظيفة الزوجية لها شكل متماثل فيما يتعلق بالمحور الإحداثي (Oy).

كيفية تحديد التكافؤ في وظيفة في الممارسة؟

دعها تُعطى باستخدام الصيغة h (x) = 11 ^ x + 11 ^ (- x). باتباع الخوارزمية التي تتبع مباشرة من التعريف ، نقوم أولاً بدراسة مجال تعريفها. من الواضح أنه يتم تعريفه لجميع قيم الحجة ، أي تم استيفاء الشرط الأول.

الخطوة التالية هي استبدال المتغير (x) بقيمته المعاكسة (-x).
نحن نحصل:
ح (-x) = 11 ^ (- س) + 11 ^ س.
بما أن الإضافة تفي بقانون (الإزاحة) التبادلي ، فمن الواضح أن h (-x) = h (x) والاعتماد الوظيفي المحدد هو زوجي.

دعنا نتحقق من تكافؤ الدالة h (x) = 11 ^ x-11 ^ (- x). باتباع نفس الخوارزمية ، نحصل على h (-x) = 11 ^ (- x) -11 ^ x. إخراج ناقص ، نتيجة لذلك ، لدينا
ح (-x) = - (11 ^ x-11 ^ (- x)) = - h (x). ومن ثم فإن h (x) أمر غريب.

بالمناسبة ، يجب أن نتذكر أن هناك وظائف لا يمكن تصنيفها وفقًا لهذه المعايير ، فهي تسمى ليست زوجية ولا فردية.

حتى الوظائف لها عدد من الخصائص المثيرة للاهتمام:

• نتيجة لإضافة وظائف مماثلة ، يتم الحصول على وظيفة واحدة ؛
• نتيجة لطرح هذه الوظائف ، يتم الحصول على واحدة ؛
• حتى أيضا.
• نتيجة لضرب وظيفتين من هذا القبيل ، يتم الحصول على واحدة زوجية ؛
• نتيجة مضاعفة الدوال الفردية والزوجية ، يتم الحصول على واحد فردي ؛
• نتيجة لتقسيم الوظائف الفردية والزوجية ، يتم الحصول على واحد فردي ؛
• مشتق هذه الوظيفة غريب ؛
• إذا قمنا بتربيع دالة فردية ، فسنحصل على واحدة زوجية.

يمكن استخدام تماثل الدالة في حل المعادلات.

لحل معادلة مثل g (x) = 0 ، حيث يكون الجانب الأيسر من المعادلة دالة زوجية ، يكفي إيجاد حلها للقيم غير السالبة للمتغير. يجب دمج جذور المعادلة التي تم الحصول عليها مع أرقام معاكسة. واحد منهم يخضع للتحقق.

يتم استخدام نفس الشيء بنجاح لحل المشكلات غير القياسية مع المعلمة.

على سبيل المثال ، هل هناك أي قيمة للمعامل a تجعل المعادلة 2x ^ 6-x ^ 4-ax ^ 2 = 1 لها ثلاثة جذور؟

إذا أخذنا في الاعتبار أن المتغير يدخل المعادلة في قوى زوجية ، فمن الواضح أن استبدال x بـ -x لن يغير المعادلة المعطاة. ويترتب على ذلك أنه إذا كان رقم معين هو جذره ، فسيكون كذلك الرقم المقابل. الاستنتاج واضح: جذور المعادلة ، بخلاف الصفر ، يتم تضمينها في مجموعة حلولها في "أزواج".

من الواضح أن الرقم 0 نفسه ليس ، أي أن عدد جذور هذه المعادلة يمكن أن يكون زوجيًا ، وبطبيعة الحال ، لا يمكن أن يكون لأي قيمة للمعامل ثلاثة جذور.

لكن عدد جذور المعادلة 2 ^ x + 2 ^ (- x) = ax ^ 4 + 2x ^ 2 + 2 يمكن أن يكون فرديًا ، ولأي قيمة للمعامل. في الواقع ، من السهل التحقق من أن مجموعة جذور معادلة معينة تحتوي على حلول في "أزواج". دعنا نتحقق مما إذا كان 0 هو جذر. عند استبدالها في المعادلة ، نحصل على 2 = 2. وبالتالي ، بالإضافة إلى "الزوج" 0 هو أيضًا جذر ، مما يثبت عددهم الفردي.