الاهتمام المركب بمشاكل الامتحان.

حل المشكلات في الرياضيات على تطبيق المفاهيم الأساسية للفائدة.

يتم تدريس المشكلات المتعلقة بالنسب المئوية لحلها من الصف الخامس.

يرتبط حل المشكلات من هذا النوع ارتباطًا وثيقًا بثلاث خوارزميات:

1. إيجاد نسبة مئوية من الرقم
2. إيجاد رقم بنسبته المئوية ،
3. إيجاد نسبة مئوية.

في الدروس مع الطلاب ، فهموا أن مائة من المتر عبارة عن سنتيمتر ، ومئة من الروبل هي قرش ، ومئة من المائة هي كيلوغرام. لقد لاحظ الناس منذ فترة طويلة أن المئات من القيم مناسبة الأنشطة العملية. لذلك ، تم صياغة اسم خاص لهم - النسبة المئوية.

إذن ، فلس واحد يساوي واحد بالمائة من روبل واحد ، وسنتيمتر واحد هو واحد بالمائة من متر واحد.

واحد بالمائة هو واحد على مائة من رقم. العلامات الرياضيةتتم كتابة واحد بالمائة على النحو التالي: 1٪.

يمكن كتابة تعريف واحد بالمائة على النحو التالي: 1٪ \ u003d 0.01. أ

5٪ = 0.05 ، 23٪ = 0.23 ، 130٪ = 1.3 إلخ.

كيف تجد 1٪ من الرقم؟

نظرًا لأن 1٪ هو واحد من مائة ، فأنت بحاجة إلى قسمة الرقم على 100. ويمكن استبدال القسمة على 100 بضربها في 0.01. لذلك ، لإيجاد 1٪ من رقم معين ، عليك ضربه في 0.01. وإذا كنت بحاجة إلى إيجاد 5٪ من العدد ، فاضرب رقم معينبنسبة 0.05 ، إلخ.

مثال. البحث: 25٪ من 120.

1. 25% = 0,25;
2. 120 . 0,25 = 30.

القاعدة 1. لإيجاد عدد معين من النسب المئوية لرقم ما ، تحتاج إلى تدوين النسب المئوية عدد عشري، ثم اضرب الرقم في ذلك الرقم العشري.

مثال. أدار الترنر 40 جزءًا في ساعة واحدة. باستخدام قاطعة مصنوعة من فولاذ أقوى ، بدأ في تشغيل 10 أجزاء أخرى في الساعة. بأي نسبة زادت إنتاجية العمل؟

لحل هذه المسألة ، نحتاج إلى معرفة عدد النسبة المئوية المكونة من 10 أجزاء من 40. للقيام بذلك ، علينا أولاً إيجاد الجزء الذي يمثل الرقم 10 من الرقم 40. نعلم أننا بحاجة إلى قسمة 10 على 40. خارج 0.25. الآن دعنا نكتبها كنسبة مئوية - 25٪.

الإجابة: زادت إنتاجية Turner بنسبة 25٪.

القاعدة 2. لمعرفة النسبة المئوية لرقم واحد من رقم آخر ، تحتاج إلى قسمة الرقم الأول على الثاني وكتابة الكسر الناتج كنسبة مئوية.

مثال. مع هدف مخطط لـ 60 مركبة في اليوم ، أنتج المصنع 66 مركبة. بأي نسبة حقق المصنع الخطة؟

66: 60 \ u003d 1.1 - يتكون هذا الجزء من السيارات المصنعة من عدد السيارات وفقًا للخطة. دعنا نكتب بالنسبة المئوية = 110٪.

الإجابة: 110٪.

مثال. البرونز سبيكة من القصدير والنحاس. ما هي نسبة سبيكة النحاس الموجودة في قطعة من البرونز ، تتكون من 6 كجم من القصدير و 34 كجم من النحاس؟

1. 6+ 34 = 40 (كجم) - كتلة السبيكة بأكملها.
2. 34: 40 = 0.85 = 85 (٪) - السبيكة من النحاس.

الإجابة: 85٪.

مثال. خسر الفيل الصغير 20٪ في الربيع ، ثم كسب 30٪ في الصيف ، وفقد مرة أخرى 20٪ في الخريف ، واكتسب 10٪ في الشتاء. هل بقي وزنه على حاله هذا العام؟ إذا تغيرت ، بأي نسبة وفي أي اتجاه؟

1. 100 - 20 = 80 (٪) - بعد الربيع.
2. 80 + 80. 0.3 = 104 (٪) - بعد الصيف.
3. 104-104. 0.2 = 83.2 (٪) - بعد الخريف.
4. 83.2 + 83.2. 0.1 = 91.52 (٪) - بعد الشتاء.

الجواب: فقد الوزن بنسبة 8.48٪.

مثال. تركنا 20 كجم من عنب الثعلب للتخزين يحتوي على 99٪ ماء. انخفض محتوى الماء في التوت إلى 98٪. كم عدد حبات عنب الثعلب ستكون النتيجة؟

1. 100-99 = 1 (٪) = 0.01 - نسبة المادة الجافة في عنب الثعلب أولاً.
2. عشرين. 0.01 = 0.2 (كجم) - مادة جافة.
3. 100-98 = 2 (٪) = 0.02 - نسبة المادة الجافة في عنب الثعلب بعد التخزين.
4. 0.2: 0.02 = 10 (كجم) - أصبح عنب الثعلب.

الجواب: 10 كجم.

مثال. ماذا يحدث لسعر المنتج إذا تم زيادته بنسبة 25٪ أولاً ثم خفضه بنسبة 25٪؟

اجعل سعر المنتج x روبل ، ثم بعد الزيادة يكلف المنتج 125٪ من السعر السابق ، أي 1.25 مرة ، وبعد انخفاض بنسبة 25٪ ، تبلغ قيمتها 75٪ أو 0.75 من السعر المرتفع ، أي

0.75 .1.25x = 0.9375x ،

ثم انخفض سعر البضاعة بنسبة 6.25٪.

س - 0.9375 س = 0.0625 س ؛
0,0625 . 100% = 6,25%

الإجابة: انخفض السعر الأصلي للمنتج بنسبة 6.25٪.

المادة 3. لتجد النسبة المئويةرقمين A و B ، تحتاج إلى ضرب نسبة هذه الأرقام في 100٪ ، أي حساب (A: B). 100٪.

مثال. أوجد عددًا إذا كان 15٪ منه 30.

1. 15% = 0,15;
2. 30: 0,15 = 200.

x هو رقم معين ؛
0.15. س = 300 ؛
س = 200.

الجواب: 200.

مثال. ينتج القطن الخام 24٪ ألياف. ما هي كمية القطن الخام التي يجب تناولها للحصول على 480 كجم من الألياف؟

لنكتب 24٪ ككسر عشري يساوي 0.24 ونحصل على مشكلة إيجاد رقم من الجزء المعروف (الكسر).
480: 0.24 = 2000 كجم = 2 طن

الجواب: 2 ر.

مثال. كم كجم من عيش الغراب البورشيني يجب حصاده للحصول على 1 كجم من الفطر المجفف إذا كان 50٪ من كتلته متبقية أثناء معالجة الفطر الطازج ، و 10٪ من كتلة الفطر المعالج بقايا أثناء التجفيف؟

1 كجم من الفطر المجفف 10٪ أو 0.01 جزء من المعالجة ، أي
1 كجم: 0.1 = 10 كجم من الفطر المعالج ، أي 50٪ أو 0.5 من عيش الغراب المقطوع ، أي
10 كجم: 0.05 = 20 كجم.

الجواب: 20 كجم.

مثال. يحتوي الفطر الطازج على 90٪ ماء بالوزن ، وجاف 12٪. كم عدد الفطر الجاف الذي سيتم الحصول عليه من 22 كجم من الفطر الطازج؟

1. 22. 0.1 = 2.2 (كجم) - فطر بالوزن في عيش الغراب الطازج ؛ (0.1 هي 10٪ مادة جافة) ؛
2. 2.2: 0.88 = 2.5 (كجم) - فطر جاف تم الحصول عليه من طازج (لم تتغير كمية المادة الجافة ، لكنها تغيرت النسبة المئويةفي الفطر والآن 2.2 كجم هي 88٪ أو 0.88 فطر جاف).

الجواب: 2.5 كجم.

القاعدة 4. لإيجاد رقم بمعلومية نسبه ، تحتاج إلى التعبير عن النسب المئوية في صورة كسر ، ثم قسمة قيمة النسبة المئوية على هذا الكسر.

في مشاكل الحسابات المصرفية ، عادة ما توجد الفائدة البسيطة والمركبة. ما هو الفرق بين نمو الفائدة البسيطة والمركبة؟ مع النمو البسيط ، يتم حساب النسبة في كل مرة بناءً على القيمة البدائية، ومع النمو المعقد ، يتم حسابه من القيمة السابقة. مع النمو البسيط ، 100٪ هو المبلغ الأولي ، ومع النمو المعقد ، 100٪ جديد في كل مرة ويساوي القيمة السابقة.

مثال. يدفع البنك دخلاً شهريًا بنسبة 4٪ من مبلغ الوديعة. تم وضع 300 ألف روبل في الحساب ، ويتم استحقاق الدخل كل شهر. احسب قيمة المساهمة بعد 3 أشهر.

1. 100 + 4 = 104 (٪) = 1.04 - حصة الزيادة في الوديعة مقارنة بالشهر السابق.
2. 300. 1.04 = 312 (ألف روبل) - مقدار المساهمة بعد شهر واحد.
3. 312. 1.04 = 324.48 (ألف روبل) - مقدار المساهمة بعد شهرين.
4. 324.48. 1.04 = 337.4592 (ألف ص) = 337459.2 (ص) - قيمة المساهمة بعد 3 أشهر.

أو يمكنك استبدال الفقرات 2-4 بأخرى ، مع تكرار مفهوم الدرجة مع الأطفال: 300.1.043 \ u003d 337.4592 (ألف روبل) \ u003d 337459.2 (r) - مبلغ المساهمة بعد 3 أشهر.

الجواب: 337459.2 روبل

مثال. قرأ فاسيا في الصحيفة أنه خلال الأشهر الثلاثة الماضية ، ارتفعت أسعار المواد الغذائية بمعدل 10٪ شهريًا. بأي نسبة ارتفعت الأسعار في 3 أشهر؟

مثال. تدر الأموال المستثمرة في أسهم شركة معروفة 20٪ من الدخل سنويًا. كم سنة سيتضاعف الاستثمار؟

دعنا نفكر في خطة مهمة مماثلة باستخدام أمثلة محددة.

مثال. (الخيار 1 رقم 16. OGE-2016. الرياضيات. مهام الاختبار النموذجية_ ed. Yashchenko_2016 -80s)

يجري المتجر الرياضي عرضًا ترويجيًا. أي طائر يكلف 400 روبل. عند شراء كنزتين - خصم 75٪ على العبور الثاني. كم عدد الروبل الذي سأدفعه مقابل شراء اثنين من لاعبي القفز خلال فترة العرض الترويجي؟

وفقًا لحالة المشكلة ، اتضح أن العبور الأول تم شراؤه بنسبة 100٪ من تكلفته الأصلية ، والثاني مقابل 100-75 = 25 (٪) ، أي في المجموع ، يجب على المشتري دفع 100 + 25 = 125 (٪) من التكلفة الأصلية. يمكن بعد ذلك النظر في الحل بثلاث طرق.

1 الطريق.

نحن نقبل 400 روبل بنسبة 100٪. ثم 1٪ يحتوي على 400: 100 = 4 (روبل) ، و 125٪
أربعة. 125 = 500 روبل.

2 طريقة.

يمكن الحصول على نسبة مئوية من رقم بضرب الرقم في الكسر المقابل للنسبة المئوية ، أو بضرب الرقم في النسبة المئوية المعطاة والقسمة على 100.
400. 1.25 = 500 أو 400. 125/100 = 500.

3 طريقة.

تطبيق خاصية النسبة:
400 فرك. - 100٪
س فرك. - 125٪ ، نحصل على x \ u003d 125. 400/100 = 500 (روبل)

الجواب: 500 روبل.

مثال. (الخيار 4 رقم 16. OGE-2016. الرياضيات. مهام الاختبار النموذجية_ ed. Yashchenko_2016 -80s)

متوسط ​​وزن الأولاد من نفس عمر جوشا 57 كجم. وزن غوشا 150٪ من متوسط ​​الوزن. كم كيلوغراما يزن جوشا؟

على غرار المثال الذي تمت مناقشته أعلاه ، يمكنك عمل نسبة:

57 كجم - 100٪
x كجم - 150٪ ، نحصل على x \ u003d 57. 150/100 = 85.5 (كجم)

الجواب: 85.5 كجم.

مثال. (الخيار 7 رقم 16. OGE-2016. الرياضيات. مهام الاختبار النموذجية_ ed. Yashchenko_2016 - 80s)

بعد تخفيض سعر التلفزيون ، كان سعره الجديد 0.52 من السعر القديم. بأي نسبة انخفض السعر نتيجة التخفيض؟

1 الطريق.

دعونا أولاً نجد حصة تخفيض السعر. إذا تم أخذ السعر الأصلي على أنه 1 ، فإن 1 - 0.52 = 0.48 هي حصة تخفيض السعر. ثم نحصل على 0.48. 100٪ = 48٪. أولئك. انخفض السعر بنسبة 48٪ نتيجة التخفيض.

2 طريقة.

إذا تم أخذ التكلفة الأولية على أنها A ، فبعد التخفيض ، سيكون السعر الجديد للتلفزيون 0.52A ، أي سينخفض ​​بمقدار A - 0.52A = 0.48A.

دعونا نجعل نسبة:
أ - 100٪
0.48A - x٪ ، نحصل على x = 0.48A. 100 / أ = 48 (٪).

الإجابة: انخفض السعر بنسبة 48٪ نتيجة التخفيضات.

مثال. (الخيار 9 رقم 16. OGE-2016. الرياضيات. مهام الاختبار النموذجية_ ed. Yashchenko_2016 - 80s)

تم تخفيض المنتج المعروض للبيع بنسبة 15 ٪ ، بينما بدأ يكلف 680 روبل. كم كانت تكلفة السلعة قبل البيع؟

قبل انخفاض السعر كانت قيمة المنتج 100٪. انخفض سعر المنتج بعد البيع بنسبة 15٪ ، أي. أصبح 100-15 = 85 (٪) ، في روبل هذه القيمة تساوي 680 روبل.

1 الطريق.

680: 85 = 8 (روبل) - في 1٪
ثمانية . 100 = 800 (روبل) - تكلفة البضاعة قبل البيع.

2 طريقة.

هذه هي مشكلة إيجاد رقم بنسبته المئوية ، يتم حلها بقسمة الرقم على النسبة المئوية المقابلة له وبتحويل الكسر الناتج إلى نسبة مئوية ، أو الضرب في 100 ، أو القسمة على الكسر المتحصل عليه بالتحويل من النسب المئوية. .
680: 85. 100 = 800 (روبل) أو 680: 0.85 = 800 (روبل)

3 طريقة.

بالتناسب:
680 فرك. - 85٪
س فرك. - 100٪ نحصل على x = 680. 100/85 = 800 (روبل)

الجواب: 800 روبل تكلف البضاعة قبل البيع.

حل مسائل المخاليط والسبائك باستخدام مفاهيم "النسبة المئوية" ، "التركيز" ، "النسبة المئوية للحل".

معظم مهام بسيطةمن هذا النوع موضحة أدناه.

مثال. كم كجم من الملح في 10 كجم من الماء المالح إذا كانت نسبة الملح 15٪.

عشرة. 0.15 = 1.5 (كجم) ملح.

الجواب: 1.5 كجم.

النسبة المئوية لمادة في محلول (على سبيل المثال 15٪) ، يشار إليها أحيانًا بمحلول٪ (على سبيل المثال 15٪ محلول ملحي).

مثال. تحتوي السبيكة على 10 كجم من القصدير و 15 كجم من الزنك. ما هي نسبة القصدير والزنك في السبيكة؟

النسبة المئوية للمادة في السبيكة هي الجزء الذي يمثل الوزن مادة معينةمن وزن السبيكة بأكملها.

1. 10 + 15 = 25 (كجم) - سبيكة ؛
2. 10:25 صباحًا 100٪ = 40٪ - نسبة القصدير في السبيكة ؛
3. 15:25. 100٪ = 60٪ - نسبة الزنك في السبيكة.

الجواب: 40٪، 60٪.

في مهام من هذا النوع ، يعتبر مفهوم "التركيز" هو المفهوم الرئيسي. ما هذا؟

ضع في اعتبارك ، على سبيل المثال ، محلول حمض في الماء.

دع الوعاء يحتوي على 10 لترات من المحلول ، والذي يتكون من 3 لترات من الحمض و 7 لترات من الماء. ثم يكون المحتوى الحمضي النسبي (بالنسبة للحجم بأكمله) متساويًا في المحلول. يحدد هذا الرقم تركيز الحمض في المحلول. يتحدثون أحيانًا عن نسبة الحمض في المحلول. في المثال المعطى ، ستكون النسبة كما يلي:. كما ترى ، فإن الانتقال من التركيز إلى النسبة المئوية والعكس بالعكس بسيط للغاية.

لذلك ، دع خليطًا من الكتلة M يحتوي على بعض المواد ذات الكتلة m.

• تركيز مادة معينة في خليط (سبيكة) هو كمية ؛
• تسمى النسبة المئوية لمادة معينة c × 100٪ ؛

يتبع من الصيغة الأخيرة لتركيزات معروفة للمادة و الوزن الكليالخليط (سبيكة) يتم تحديد كتلة مادة معينة بالصيغة م = ج × م.

يمكن تقسيم مشاكل الخلائط (السبائك) إلى نوعين:

1. على سبيل المثال ، تم إعطاء خليطين (سبائك) بكتل م 1 و م 2 وتركيزات من بعض المواد فيها تساوي c1 و c2 ، على التوالي. يتم تصريف الخلائط (السبائك) (تنصهر). مطلوب تحديد كتلة هذه المادة في خليط جديد (سبيكة) وتركيزها الجديد. من الواضح أنه في الخليط الجديد (سبيكة) تكون كتلة المادة المعينة مساوية لـ c1m1 + c2m2 ، والتركيز.
2. يتم إعطاء حجم معين من الخليط (سبيكة) ، ومن هذا الحجم يبدأون في صب (إزالة) كمية معينة من الخليط (سبيكة) ، ثم إضافة (إضافة) نفس الكمية أو كمية أخرى من الخليط (سبيكة) بنفس تركيز هذه المادة أو بتركيز مختلف. يتم تنفيذ هذه العملية عدة مرات.

عند حل مثل هذه المشكلات ، من الضروري تحديد كمية مادة معينة وتركيزها عند كل مد ، وكذلك عند كل إضافة للخليط. نتيجة لهذا التحكم ، نحصل على معادلة حل. دعنا نفكر في مهام محددة.

إذا كان تركيز مادة في مركب بالكتلة هو P٪ ، فهذا يعني أن كتلة هذه المادة تساوي P٪ من كتلة المركب بأكمله.

مثال. تركيز الفضة في سبيكة 300 جرام هو 87٪. هذا يعني أن الفضة النقية في السبيكة تبلغ 261 جم.

300. 0.87 = 261 (ج).

في هذا المثال ، يتم التعبير عن تركيز مادة ما كنسبة مئوية.

تسمى نسبة حجم المكون النقي في المحلول إلى الحجم الكلي للخليط بالتركيز الحجمي لهذا المكون.

مجموع تركيزات جميع المكونات التي يتكون منها الخليط هو 1.

إذا كانت النسبة المئوية للمادة معروفة ، فسيتم تحديد تركيزها بالصيغة:
ك \ u003d ف / 100٪ ،
حيث K هو تركيز المادة ؛
P هي النسبة المئوية للمادة (بالنسبة المئوية).

مثال. (الخيار 8 رقم 22. OGE-2016. الرياضيات. مهام الاختبار النموذجية_ ed. Yashchenko_2016 - 80s)

تحتوي الفاكهة الطازجة على 75٪ ماء ، بينما تحتوي الفواكه المجففة على 25٪. ما هي كمية الفاكهة الطازجة المطلوبة لتحضير 45 كجم من الفواكه المجففة؟

إذا كانت الفاكهة الطازجة تحتوي على 75٪ ماء ، فإن المادة الجافة ستكون 100-75 = 25 (٪) ، ومجففة - 25٪ ، ثم المادة الجافة فيها ستكون 100-25 = 75 (٪).

عند حل مشكلة ما ، يمكنك استخدام الجدول:

الفاكهة الطازجة × 25٪ = 0.25 0.25. X

الفواكه المجففة 45 75٪ = 0.75 0.75. 45 = 33.75

لان لا تتغير كتلة المادة الجافة للفواكه الطازجة والمجففة ، نحصل على المعادلة:

0.25. س = 33.75 ؛
س = 33.75: 0.25 ؛
س = 135 (كجم) - الفاكهة الطازجة مطلوبة.

الجواب: 135 كغم.

مثال. (الخيار 8 رقم 11. امتحان الدولة الموحد -2016. الرياضيات. نموذجي. اختبار. المهام. Ed. Yashchenko 2016 -56 s)

خلط محاليل حمض 70٪ و 60٪ وإضافة 2 كجم ماء نظيف، حصلوا على محلول حمضي بنسبة 50٪. إذا تمت إضافة 2 كجم من محلول 90٪ من نفس الحمض بدلاً من 2 كجم من الماء ، فسيتم الحصول على محلول 70٪ من الحمض. ما عدد الكيلوغرامات من محلول 70٪ المستخدمة في صنع الخليط؟

الوزن الإجمالي ، كجم | تركيز المادة الجافة | كتلة المادة الجافة
أنا × 70٪ \ u003d 0.7 0.7. X
الثاني في 60٪ = 0.6 0.6. في
الماء 2 - -
I + II + ماء x + y + 2 50٪ \ u003d 0.5 0.5. (س + ص + 2)
ثالثا 2 90٪ = 0.9 0.9. 2 = 1.8
I + II + III x + y + 2 70٪ \ u003d 0.7 0.7. (س + ص + 2)

باستخدام العمود الأخير من الجدول ، سنقوم بتكوين معادلتين:

0.7. س + 0.6. ص = 0.5. (س + ص + 2) و 0.7. س + 0.6. ص + 1.8 = 0.7. (س + ص + 2).

بدمجها في نظام وحلها ، نحصل على x = 3 كجم.

الإجابة: تم استخدام 3 كيلوغرامات من محلول 70٪ للحصول على خليط.

مثال. (الخيار 2 رقم 11. امتحان الدولة الموحد -2016. الرياضيات. نموذجي. اختبار. واجبات. Ed. Yashchenko 2016-56s)

ثلاثة كيلوغرامات من الكرز تكلف نفس تكلفة خمسة كيلوغرامات من الكرز ، وثلاثة كيلوغرامات من الكرز تكلف نفس كيلوغرامين من الفراولة. بأي نسبة يكون كيلوغرام الفراولة أرخص من كيلوغرام الكرز؟

من الجملة الأولى من المشكلة ، نحصل على المساواة التالية:

3 ح = 5 فولت ،
3 فولت = 2 كيلو.
يمكننا من خلالها التعبير عن: h \ u003d 5v / 3 ، k \ u003d 3v / 2.

وبالتالي ، يمكنك عمل نسبة:
5 فولت / 3 - 100٪
3v / 2 - x٪ ، نحصل على x \ u003d (3. 100. c.3) / (2. 5. c) ، x \ u003d 90٪ هي تكلفة كيلوغرام من الفراولة من تكلفة كيلوغرام الكرز.

لذلك ، بنسبة 100-90 = 10 (٪) - كيلوغرام من الفراولة أرخص من كيلوغرام من الكرز.

الجواب: كيلوغرام من الفراولة أرخص بنسبة 10 في المائة من كيلوغرام الكرز.

حل مسائل الفائدة "المركبة" باستخدام مفهوم معامل الزيادة (النقصان).

لتكبير رقم موجب، عدد إيجابيوبنسبة p بالمائة ، يجب أن تضرب الرقم A في عامل الزيادة K \ u003d (1 + 0.01r).

لتقليل الرقم الموجب A بنسبة p بالمائة ، اضرب الرقم A في عامل الاختزال K = (1 - 0.01p).

مثال. (الخيار 29 رقم 22. OGE-2015. الرياضيات. النوع. خيارات الامتحان: 36 خيارات / محرر. ياشينكو ، 2015 - 224 ج)

تم تخفيض سعر سلعة ما مرتين بنفس النسبة المئوية. بأي نسبة انخفض سعر البضائع في كل مرة إذا كانت تكلفتها الأولية 5000 روبل والتكلفة النهائية 4050 روبل؟

1 الطريق.

لان انخفض سعر سلعة ما بنفس العدد٪ ، فلنشير إلى عدد٪ كـ x. دع سعر المنتج ينخفض ​​بنسبة x٪ للمرة الأولى والثانية ، ثم بعد التخفيض الأول أصبح سعر المنتج (100 - x)٪.

دعونا نصنع نسبة
5000 فرك. - 100٪
في فرك. - (100 - x)٪ ، نحصل على y = 5000. (100 - س) / 100 = 50. (100 - س) روبل - تكلفة البضاعة بعد التخفيض الأول.

دعونا نؤلف نسبة جديدةبالفعل بالسعر الجديد:
خمسون. (100 - x) فرك. - 100٪
ض فرك. - (100 - x)٪ نحصل على z \ u003d 50. (100 - س) (100 - س) / 100 = 0.5. (100 - س) 2 روبل - تكلفة البضاعة بعد التخفيض الثاني.

نحصل على المعادلة 0.5. (100 - x) 2 \ u003d 4050. بعد حلها ، نحصل على x \ u003d 10٪.

2 طريقة.

لان انخفض سعر سلعة ما بنفس العدد٪ ، دعنا نشير إلى عدد٪ كـ x ، x٪ = 0.01 x.

باستخدام مفهوم عامل الاختزال ، نحصل على الفور على المعادلة:
5000. (1 - 0.01x) 2 = 4050.

الإجابة: انخفض سعر البضاعة بنسبة 10٪ في كل مرة.

مثال. (الخيار 30 رقم 22. OGE-2015. الرياضيات. خيارات الاختبار النموذجية: 36 خيارًا / محرر بواسطة Yashchenko، 2015 - 224c)

تم زيادة سعر سلعة ما مرتين بنفس النسبة المئوية. ما هي النسبة المئوية التي يرتفع فيها سعر البضائع في كل مرة إذا كانت تكلفتها الأولية 3000 روبل والتكلفة النهائية 3630 روبل؟

لان ارتفع سعر السلعة بنفس العدد٪ ، دعنا نشير إلى عدد٪ x ، x٪ = 0.01 x.

باستخدام مفهوم عامل التكبير ، نحصل على الفور على المعادلة:
3000. (1 + 0.01 س) 2 = 3630.

لحلها ، نحصل على x = 10٪.

الجواب: 10٪ زيادة في سعر البضاعة في كل مرة.

مثال. (الخيار 4 رقم 11. امتحان الدولة الموحد -2016. الرياضيات. نموذجي. اختبار. Ass. ed. Yashchenko 2016-56s)

ويوم الخميس ، ارتفعت أسعار أسهم الشركة بنسبة معينة في المائة ، ويوم الجمعة هبط سعرها بنفس العدد في المائة. نتيجة لذلك ، بدأت تكلفتها 9٪ أرخص مما كانت عليه عند افتتاح التداول يوم الخميس. وبأي نسبة ارتفعت أسعار أسهم الشركة يوم الخميس؟

دع أسهم الشركة ترتفع وتنخفض في السعر بنسبة x٪ ، x٪ = 0.01 x ، والقيمة الأولية للأسهم كانت A. وباستخدام جميع شروط المشكلة ، نحصل على المعادلة:

(1 + 0.01 ×) (1 - 0.01 ×) أ \ u003d (1 - 0.09) أ ،
1 - (0.01 ×) 2 = 0.91 ،
(0.01 ×) 2 = (0.3) 2 ،
0.01 × \ u003d 0.3 ،
س = 30٪.

الجواب: ارتفعت أسهم الشركة 30 بالمئة يوم الخميس.

حل المشاكل "المصرفية" في نسخة جديدة USE-2016 في الرياضيات.

مثال. (الخيار 2 رقم 17. امتحان الدولة الموحد 2016. الرياضيات. 50 نوعًا. نسخة مراجعة. Yashchenko 2016)

في 15 يناير ، من المخطط أخذ قرض من البنك لمدة 15 شهرًا. وشروط عودته كالتالي:

من المعروف أن الدفعة الثامنة بلغت 108 آلاف روبل. ما هو المبلغ الذي يجب سداده للبنك خلال مدة القرض بالكامل؟

من الثاني إلى الرابع عشر ، يتم دفع A / 15 + 0.01A.

بعد ذلك ، سيكون مبلغ الدين 1.01A - A / 15 - 0.01A \ u003d 14A / 15.

بعد شهرين نحصل على: 1.01. 14 أ / 15.

الدفعة الثانية أ / 15 + 0.01. 14 أ / 15.

ثم الدين بعد الدفعة الثانية هو 13 أ / 15.

وبالمثل ، حصلنا على أن الدفعة الثامنة ستبدو كما يلي:

أ / 15 + 0.01. 8 أ / 15 = أ / 15. (1 + 0.08) = 1.08 أمبير / 15.

ووفقًا للحالة ، فهي تساوي 108 آلاف روبل. لذلك ، يمكننا كتابة المعادلة وحلها:

1.08A / 15 \ u003d 108 ،

أ = 1500 (ألف روبل) - المبلغ الأولي للديون.

2) للعثور على المبلغ المطلوب إعادته إلى البنك خلال فترة القرض بأكملها ، يجب أن نجد مبلغ جميع مدفوعات القرض.

سيبدو مجموع جميع مدفوعات القرض كما يلي:

(A / 15 + 0.01A) + (A / 15 + 0.01. 14A / 15) + (A / 15 + 0.01. 13A / 15) + ... + (A / 15 + 0.01. A / 15) \ u003d A + 0.01A / 15 (15 + 14 + 13 + 12 + 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1) \ u003d A + (0.01. 120A) / 15 = 1.08 أ.

لذلك 1.08. 1500 = 1620 (ألف روبل) = يجب إعادة 1620000 روبل إلى البنك خلال فترة القرض بأكملها.

الجواب: 1620000 روبل.

مثال. (الخيار 6 رقم 17. امتحان الدولة الموحد 2016. الرياضيات. 50 نوعًا. نسخة مراجعة. Yashchenko 2016)

في 15 يناير ، من المقرر أخذ قرض من البنك لمدة 24 شهرًا. وشروط عودته كالتالي:

• في الأول من كل شهر ، يزيد الدين بنسبة 1٪ مقارنة بنهاية الشهر السابق ؛
• من اليوم الثاني إلى الرابع عشر من كل شهر ، يجب سداد جزء من الدين ؛
• في اليوم الخامس عشر من كل شهر ، يجب أن يكون الدين هو نفس المبلغ أقل من الدين في اليوم الخامس عشر من الشهر السابق.

من المعروف أنه خلال الأشهر الـ 12 الأولى ، من الضروري دفع 177.75 ألف روبل للبنك. كم كنت تخطط للاقتراض؟

1) لنفترض أن A هو مبلغ القرض ، 1٪ = 0.01.

ثم 1.01A الدين بعد الشهر الأول.

من اليوم الثاني إلى الرابع عشر ، يتم دفع A / 24 + 0.01A.

بعد ذلك ، سيكون مبلغ الدين 1.01A - A / 24 - 0.01A \ u003d A - A / 24 \ u003d 23A / 24.

بموجب هذا المخطط ، يصبح الدين نفس المبلغ أقل من الدين في اليوم الخامس عشر من الشهر السابق.

بعد شهرين نحصل على: 1.01. 23 أ / 24.

الدفعة الثانية أ / 24 + 0.01. 23 أ / 24.

ثم الدين بعد الدفعة الثانية 1.01. 23 أ / 24 - أ / 24 - 0.01. 23A / 24 = 23A / 24 (1.01 - 0.01) - A / 24 = 23A / 24 - A / 24 = 22A / 24.

وبالتالي ، نحصل على ذلك لأول 12 شهرًا ، يتعين عليك دفع المبلغ التالي للبنك:
أ / 24 + 0.01 أ. 24/24 + أ / 24 + 0.01. 23 أ / 24 + أ / 24 + 0.01. 22 أ / 24 + ... + أ / 24 + 0.01. 13A / 24 = 12A / 24 + 0.01A / 24 (24 + 23 + 22 + 21 + 20 + 19 + 18 + 17 + 16 + 15 + 14 + 13) = A / 2 + 222A / 2400 = 711A / 1200.

ووفقًا للحالة ، فهي تساوي 177.375 ألف روبل. لذلك ، يمكننا كتابة المعادلة وحلها:
711A / 1200 = 177.75 ،
أ = 300 (ألف روبل) = 300000 روبل - من المخطط أخذ قرض.

الجواب: 300000 روبل.

لنتحدث عن المهام رقم 19 للامتحان

لمدة عامين حتى الآن ، تمت إضافة مهمة إلى الجزء الثاني ج المحتوى الاقتصادي ، أي مهام الفائدة المصرفية المركبة.

يقولون إننا نتعامل مع "الفائدة المركبة" في حالة خضوع قيمة معينة لتغيير تدريجي. علاوة على ذلك ، في كل مرة يكون تغييرها هو عدد معين من النسبة المئوية للقيمة التي كانت لهذه القيمة في المرحلة السابقة.

في نهاية كل مرحلة ، تتغير القيمة إلى نفس القيمة كمية ثابتةنسبه مئويه -R٪. ثم في النهايةن المرحلة الثالثة: قيمة بعض الكميةلكن ، القيمة الأولية التي كانت تساويلكن 0 ، يتم تحديده بواسطة الصيغة:

مع زيادة و

عند التناقص

مع العلم أن معدل الفائدة السنوي على الوديعة هو 12٪ ، ابحث

معدل الفائدة الشهري المعادل.

المحلول:

إذا وضعنا روبل في البنك أ ، فسنحصل في غضون عام على:أ 1 = أ 0 (1 +0,12)

إذا تم استحقاق الفائدة كل شهر بسعر فائدةX ، ثم وفقًا لمعادلة الفائدة المركبة في عام (12 شهرًا)لكن ن = أ 0 (1 + 0.01x) 12

من خلال معادلة هذه القيم ، نحصل على معادلة ، سيسمح لنا حلها بتحديد معدل الفائدة الشهريأ (1 + 0.12) = أ (1 + 0.01 س) 12

1.12 = (1 + 0.01x) 12

س = (-1) 100٪ 0.9488792934583046٪

الجواب: معدل الفائدة الشهري0.9488792934583046%.

من حل هذه المشكلة ، يمكن ملاحظة أن سعر الفائدة الشهري لا يساوي المعدل السنوي مقسومًا على 12.

في 31 ديسمبر 2013 ، حصل سيرجي على قرض بقيمة 9،930،000 روبل من أحد البنوك بنسبة 10٪ سنويًا. خطة سداد القرض هي كما يلي: 31 ديسمبر لكل منها العام القادميفرض البنك فائدة على المبلغ المتبقي من الدين (أي يزيد الدين بنسبة 10٪) ، ثم يقوم سيرجي بتحويل مبلغ معين من الدفعة السنوية إلى البنك. ما هو مبلغ الدفعة السنوية حتى يتمكن سيرجي من سداد الدين في ثلاث دفعات سنوية متساوية؟

المحلول:

دع مبلغ القرض يكونأ ، الدفعة السنوية تساويX روبل والمبالغ السنوية ك % . ثم في 31 ديسمبر من كل عام ، يتم ضرب المبلغ المتبقي من الدين بالمعامل م =1+ 0,01 ك . بعد الدفعة الأولى ، سيكون المبلغ المستحق: أ 1 = صباحا - X. بعد الدفعة الثانية ، المبلغ المستحق

سوف يكون:

أ 2 = أ 1 م - x \ u003d (at-x) m-x \ u003d a 2 -tx-x = في 2 - (1 + ر) س

وفقًا للشرط ، يجب على سيرجي سداد القرض على ثلاث دفعات كاملة

أين

فيأ = 9930000 وك =10 ، نحن نحصلر = 1،1 و

إجابه : 3993000 روبل.

الآن بعد أن تعاملنا مع هذا الحل المقترح في جميع البرامج التعليمية ، فلنلقِ نظرة على حل آخر.

يتركإناثا = 9،930،000 - مبلغ القرض ،x - المبلغ المطلوب من الدفعة السنوية.

العام الأول:

واجب:1.1F ;

دفع:X ;

بقية:1.1F- س .

السنة الثانية:

واجب:1.1 (1.1F- س) ;

دفع:X ;

بقية:1.1 (1.1F- س) -x .

السنة الثالثة:

واجب:1.1 (1.1F- س) -x );

دفع:X ;

المتبقي: 0 ، لأنه لم يكن هناك سوى ثلاث دفعات حسب الحالة.

المعادلة الوحيدة

1.1 (1.1 (1.1F-x) -x) -x = 0 . 1,331 F = 3.31x ، x = 3993000

الجواب: 3993000 روبل.

ومع ذلك - 1 ! بافتراض أن سعر الفائدة ليس جميلاً بنسبة 10٪ بل هو 13.66613٪ رهيب. زادت فرص الموت في مكان ما أثناء المضاعفات أو الجنون مع جدول مضاعف مفصل لمبلغ الدين لكل عام بشكل كبير. دعنا نضيف إلى هذا ليس 3 سنوات صغيرة ، ولكن 25 سنة ، مثل هذا الحل لن ينجح.

في 31 ديسمبر 2014 ، اقترض أندريه مبلغًا معينًا من البنك بنسبة 10 ٪ سنويًا. مخطط سداد القرض على النحو التالي: في 31 ديسمبر من كل عام قادم ، يتراكم البنك فائدة على المبلغ المتبقي من الدين (أي يزيد الدين بنسبة 10٪) ، ثم يقوم أندريه بتحويل 3460600 روبل إلى البنك. ما هو المبلغ الذي حصل عليه Andrey من البنك إذا قام بسداد الدين على ثلاث دفعات متساوية (أي لمدة 3 سنوات)؟

المحلول.

يتركأ - القيمة المرغوبة ،ك٪ - سعر الفائدة على القرض ،X - دفعة سنوية. ثم في 31 ديسمبر من كل عام ، سيتم ضرب المبلغ المتبقي من الدين بالمعاملم = 1 + 0.01 ك . بعد الدفعة الأولى ، سيكون مبلغ الدين:أ 1 = صباحا - x . بعد الدفعة الثانية ، سيكون مبلغ الدين:

أ 2 = أ 1 م - x \ u003d (at-x) m-x \ u003d a 2 -tx-x = في 2 - (1 + ر) س

بعد الدفعة الثالثة مبلغ الدين المتبقي:

وفقًا للشرط ، قام أندريه بسداد الدين لمدة ثلاث سنوات ،

هذا هوأ 3 = 0 ، أين.

فيx = 3460600 ، ك٪ = 10٪ ، نحن نحصل:م = 1.1 و=8 606 000 (روبل).

الجواب: 8606000 روبل.

في 31 ديسمبر 2013 ، حصل إيغور على قرض بقيمة 100000 روبل من البنك. مخطط سداد القرض هو كما يلي: في 31 ديسمبر من كل عام قادم ، يتراكم البنك فائدة على المبلغ المتبقي من الدين (أي يزيد الدين بمقدار معين من الفائدة) ، ثم يقوم إيغور بتحويل الشريحة التالية. قام إيغور بسداد القرض على شريحتين ، ونقل 51000 روبل لأول مرة و 66600 روبل للمرة الثانية. ما هي النسبة المئوية التي أصدرها البنك قرضًا لإيغور؟

المحلول

يتركك % - السعر المطلوب على القرض ؛م = (1 + 0.01 ك ) هو مضاعف الدين المتبقي ؛أ = 100000 - المبلغ المأخوذ من البنك ؛x 1 = 51 000, x 2 = 66 600 - أبعاد الخندق الأول والأخير.

بعد الدفعة الأولى ، سيكون مبلغ الدين:أ 1 = أماه - x 1 .

بعد الدفعة الثانية ، سيكون مبلغ الدين:أ 2 = أماه 1 – x 2 = أ م 2 - م x 1 – x 2 . حسب الشرط ،أ 2 = 0 . يجب أولاً حل المعادلة من أجلم ، بالطبع ، فقط جذر إيجابي:

100000 م 2 - 51000 م - 66600 = 0 ؛ 500 م 2 - 255 م - 333 = 0.

من هنا تبدأ الصعوبات.

د = 255 2 + 4∙500∙333= 15 2 ∙ 17 2 + 15 2 ∙37∙80= 15 2 (289+ 2 960) = 15 2 ∙3249=15 2 ∙3 2 ∙19 2 .

ثم.

الإجابة: 11٪.

في 31 ديسمبر 2013 ، اقترض ماشا مبلغًا معينًا من البنك بنسبة معينة سنويًا. مخطط سداد القرض هو على النحو التالي: في 31 ديسمبر من كل عام قادم ، يتراكم البنك فائدة على المبلغ المتبقي من الدين (أي يزيد الدين بمقدار معين من الفائدة) ، ثم يقوم ماشا بتحويل الشريحة التالية. إذا دفعت 2788425 روبل كل عام ، فسوف تسدد ديونها في 4 سنوات. إذا كان مقابل 4،991،625 ، ثم لمدة عامين. ما هي النسبة المئوية التي اقترضها ماشا من البنك؟

المحلول

بعد عامين من السداد ، يتم حساب مبلغ القرض المأخوذ بالصيغة التالية:

بعد أربع سنوات من السداد ، يتم حساب مبلغ القرض المأخوذ بالصيغة التالية:

أين

ومن بعد.

الجواب: 12.5٪.

في 31 ديسمبر 2013 ، اقترضت فانيا 9،009،000 روبل من أحد البنوك بنسبة 20٪ سنويًا. مخطط سداد القرض هو كما يلي: في 31 ديسمبر من كل عام قادم ، يتراكم البنك فائدة على المبلغ المتبقي من الدين (أي أنه يزيد الدين بنسبة 20٪) ، ثم تقوم فانيا بتحويل الدفعة إلى البنك. سددت فانيا كامل الدين على 3 أقساط متساوية. ما هو عدد الروبلات الأقل التي سيقدمها للبنك إذا كان بإمكانه سداد الدين في دفعتين متساويتين؟

المحلول

دعنا نستخدم النتيجة من المشكلة 2.

الاختلاف المطلوبX 3 -X 2 =34 276 800 – 25896800= 1 036 800 روبل.

الجواب: 103600 روبل.

في 1 يونيو 2013 ، حصل فسيفولود ياروسلافوفيتش على 900 ألف روبل من أحد البنوك. مخطط سداد القرض على النحو التالي: في اليوم الأول من كل شهر تالي ، يفرض البنك 1 في المائة على المبلغ المتبقي من الدين (أي أنه يزيد الدين بنسبة 1٪) ، ثم يقوم فسيفولود ياروسلافوفيتش بتحويل الدفعة إلى مصرف. ماذا او ما الحد الأدنى من المبلغأشهر يمكن أن يأخذ Vsevolod Yaroslavovich قرضًا بحيث لا تزيد المدفوعات الشهرية عن 300000 روبل؟

يجب أن أفهم حقيقة بسيطةكلما زاد سداد القرض ، قل الدين. كلما قل الدين لديك ، زادت سرعة تسديده. الحد الأقصى للدفع الشهري الذي يمكن للمقرض تحمله هو 300000 روبل حسب الحالة. إذا دفع فسيفولود ياروسلافوفيتش الحد الأقصى للدفع ، فسوف يسدد الدين بسرعة. بمعنى آخر ، سيكون قادرًا على الحصول على قرض لأقصر فترة زمنية ، وهو ما يتطلبه الشرط.

دعنا نحاول حل مشكلة الجبهة.

مر شهر. 1 يوليو 2013: الديون (1 + 0.01) 900000 - 300000 = 609000.

مر شهر. 1 أغسطس 2013: الدين (1+ 0.01) 609000 - 300000 = 315.090.

مر شهر. 1 سبتمبر 2013: الدين (1 +0.01) 315.090 - 300000 = 18240.9. مر شهر. 1 أكتوبر 2013: الديون (1 0.01) 1،240.9 = 18،423.309<300 000, кредит погашен. Итого прошло 4 месяца.

الجواب: 4 شهور.

لنحل المشكلة بالطريقة القياسية.

سأستخدم نتائج المشكلة 3 ، مع مراعاة المنطق التالي: عدم المساواة في الجزء المتبقي من الدين له الشكلأ x ≤ 0 .

يتركx - القيمة المرغوبة ،أ = 900000 - المبلغ المقترض من البنكك٪ = 1% - معدل القرضص = 300000 - الدفع الشهري،م = (1 + 0.01 ك) - المضاعف الشهري للديون المتبقية. ثم ، وفقًا للصيغة المعروفة بالفعل ، نحصل على عدم المساواة: ≤0 ;

لقد حصلنا على تفاوت مزعج ، لكنه صحيح.

نأخذ الجزء الصحيح من الرقم لأن عدد الدفعات لا يمكن أن يكون عددًا غير صحيح. نأخذ أقرب عدد صحيح أكبر ، ولا يمكننا أن نأخذ عددًا أصغر (لأنه سيكون هناك دين) ومن الواضح أن اللوغاريتم الناتج ليس عددًا صحيحًا. اتضح 4 دفعات ، 4 أشهر.

حصل المزارع على قرض من البنك بنسبة معينة في السنة. بعد مرور عام ، قام المزارع بسداد القرض للبنك من كامل المبلغ الذي كان يدين به للبنك بحلول ذلك الوقت ، وبعد عام ، وكسداد كامل للقرض ، أودع في البنك مبلغًا أعلى بنسبة 21٪ من مبلغ القرض المستلم. ما هي النسبة السنوية على قرض في هذا البنك؟

المحلول:

مبلغ القرض لا يؤثر على الوضع. خذ 4 روبل من البنك (يقبل القسمة على 4).

في غضون عام ، سيزداد الدين المستحق للبنك تمامًاX مرات ويصبح متساويا4x روبل.

قسّمها إلى 4 أجزاء ، ثم أعدها3x روبل وسنبقىX روبل.

من المعروف أنه بحلول نهاية العام المقبل سوف تضطر إلى الدفع4 1.21 روبل.

من المعروف أن مبلغ الدين على مدار العام قد تحول من الرقمX في عددX 2 .

منذ أن سدد المزارع الدين بالكامل بعد عامين ،

X 2 \ u003d 4 1.21 × \ u003d 2 1.1 × \ u003d 2.2

معامل في الرياضيات او درجةX يعني أن 100٪ يتحول إلى 220٪ في السنة.

وهذا يعني أن النسبة السنوية للبنك هي: 220٪ - 100٪.

إجابه: 120%

وضع البنك مبلغ 3900 ألف روبل بنسبة 50 ٪ سنويًا. في نهاية كل من السنوات الأربع الأولى من التخزين ، بعد احتساب الفائدة ، قام المودع بالإضافة إلى ذلك بإيداع نفس المبلغ الثابت في الحساب. بحلول نهاية العام الخامس بعد استحقاق الفائدة ، اتضح أن مبلغ الوديعة قد زاد بنسبة 725٪ مقارنة بالسنة الأصلية. كم يضيف المشترك سنويا على الوديعة؟

المحلول:

دع مبلغ الإيداع الثابتX روبل.

ثم ، بعد إجراء جميع العمليات ، بعد السنة الأولى ، أصبح المبلغ على الوديعة

+ س

بعد سنتين

بعد، بعدما3 من السنة

بعد، بعدما4 من السنة

بعد، بعدما5 من السنة

بما أنه بحلول نهاية العام الخامس بعد استحقاق الفائدة اتضح أن حجم الوديعة زاد بنسبة 725٪ مقارنة بالسنة الأولى ، سنقوم بعمل المعادلة:

3900 8.25 = 3900 1.5 5 + س (1.5 4 +1,5 3 +1,5 2 +1,5) /:1,5

3900 5.5 = 3900 1.5 4 + س (1.5 3 +1,5 2 +1,5+1)

الجواب: 210 روبل.

قبل البنك مبلغًا معينًا بنسبة معينة. بعد عام ، تم سحب ربع المبلغ المتراكم من الحساب. لكن البنك زاد النسبة سنويا بنسبة 40٪. بحلول نهاية العام المقبل ، تجاوز المبلغ المتراكم الإيداع الأولي بمقدار 1.44 مرة. ما هي نسبة الجديد سنويا؟

المحلول:

لن يتغير الوضع من مبلغ الإيداع. لنضع 4 روبل في البنك (مقسومًا على 4).

في غضون عام ، سيزداد المبلغ في الحساب تمامًاص مرات ويصبح متساويا4 ص روبل.

قسّمها إلى 4 أجزاء ، خذها إلى المنزلص روبل ، اتركه في البنك3 ص روبل.

من المعروف أنه بحلول نهاية العام المقبل ، كان لدى البنك 4 1.44 = 5.76 روبل.

إذن الرقم3 ص تحولت إلى الرقم 5.76. كم مرة زادت؟

وهكذا ، تم إيجاد عامل الضرب الثانيx إناء.

ومن المثير للاهتمام أن ناتج كلا المعاملين هو 1.92:

ويترتب على الشرط أن المعامل الثاني أكبر بمقدار 0.4 من الأول.

ص · x = ص ·( ص +0,4)=1,92

الآن يمكن تحديد المعاملات: 1.2 و 1.6.

لكننا نواصل حل المعادلة:

10p (10p + 4) = 192 يترك 10 ص = ك

ك (ك + 4) = 192

ك = 12 ، أي ع = 1.2 ؛ أ س = 1.6

الجواب: 60٪

سنبتعد قليلاً اليوم عن اللوغاريتمات القياسية ، والتكاملات ، وعلم المثلثات ، وما إلى ذلك ، وسننظر معًا في مهمة أكثر حيوية من اختبار الدولة الموحد في الرياضيات ، والذي يرتبط ارتباطًا مباشرًا باقتصادنا الروسي القائم على الموارد المتخلفة. ولكي نكون دقيقين ، سننظر في مشكلة الودائع والفوائد والقروض. لأنها المهام ذات النسب المئوية التي تمت إضافتها مؤخرًا إلى الجزء الثاني من امتحان الحالة الموحدة في الرياضيات. سأحجز على الفور أنه لحل هذه المشكلة ، وفقًا لمواصفات اختبار الدولة الموحد ، يتم تقديم ثلاث نقاط أساسية في وقت واحد ، أي أن الفاحصين يعتبرون هذه المهمة واحدة من أصعب المهام.

في الوقت نفسه ، لحل أي من هذه المهام من اختبار الدولة الموحد في الرياضيات ، تحتاج إلى معرفة صيغتين فقط ، كل منهما متاحة تمامًا لأي خريج مدرسة ، ومع ذلك ، لأسباب لا أفهمها ، هذه الصيغ هي تجاهلها تمامًا من قبل معلمي المدارس والمجمعين للمهام المختلفة للتحضير للامتحان. لذلك ، لن أخبرك اليوم فقط عن ماهية هذه الصيغ وكيفية تطبيقها ، لكنني سأشتق كل واحدة من هذه الصيغ أمام عينيك حرفيًا ، آخذًا مهام أساسية من بنك الاستخدام المفتوح في الرياضيات.

لذلك ، تبين أن الدرس ضخم جدًا ، وذو مغزى كبير ، لذا اجعل نفسك مرتاحًا ، ونبدأ.

وضع المال في البنك

بادئ ذي بدء ، أود أن أجعل استطراداً غنائياً بسيطاً يتعلق بالتمويل والبنوك والقروض والودائع ، وعلى أساسه سنحصل على الصيغ التي سنستخدمها لحل هذه المشكلة. لذا ، دعونا نستطرد قليلاً من الامتحانات ، من مشاكل المدرسة القادمة ، وننظر إلى المستقبل.

لنفترض أنك كبرت وستشتري شقة. لنفترض أنك لن تشتري شقة سيئة في الضواحي ، ولكن شقة جيدة مقابل 20 مليون روبل. في الوقت نفسه ، لنفترض أيضًا أنك حصلت على وظيفة عادية إلى حد ما وتكسب 300 ألف روبل شهريًا. في هذه الحالة ، يمكنك توفير حوالي ثلاثة ملايين روبل لهذا العام. بالطبع ، عندما تكسب 300 ألف روبل شهريًا ، ستحصل على مبلغ أكبر قليلاً في العام - 3600000 - لكن دع هذه 600000 تنفق على الطعام والملابس وغيرها من أفراح الأسرة اليومية. إجمالي بيانات الإدخال على النحو التالي: من الضروري كسب عشرين مليون روبل ، بينما لدينا تحت تصرفنا ثلاثة ملايين روبل فقط في السنة. يطرح سؤال طبيعي: كم سنة نحتاج إلى تخصيص ثلاثة ملايين من أجل الحصول على نفس العشرين مليونًا. تعتبر أولية:

\ [\ frac (20) (3) = 6، .... \ to 7 \]

ومع ذلك ، كما أشرنا بالفعل ، تكسب 300 ألف روبل شهريًا ، مما يعني أنك شخص أذكى ولن تدخر المال "تحت الوسادة" ، بل خذها إلى البنك. وبالتالي ، سيتم تحصيل الفائدة سنويًا على تلك الودائع التي تجلبها إلى البنك. لنفترض أنك اخترت بنكًا موثوقًا به ، ولكن في نفس الوقت أكثر أو أقل ربحية ، وبالتالي فإن ودائعك ستنمو بنسبة 15٪ سنويًا. بمعنى آخر ، يمكننا القول أن المبلغ في حساباتك سيزداد بمقدار 1.15 مرة كل عام. دعني أذكرك بالصيغة:

دعنا نحسب مقدار الأموال التي ستكون في حساباتك بعد كل عام:

في السنة الأولى ، عندما تبدأ للتو في توفير المال ، لن تتراكم أي فائدة ، أي في نهاية العام ستوفر ثلاثة ملايين روبل:

في نهاية السنة الثانية ، ستتراكم الفائدة بالفعل على تلك الثلاثة ملايين روبل المتبقية من السنة الأولى ، أي علينا الضرب في 1.15. ومع ذلك ، خلال السنة الثانية ، أبلغت أيضًا عن ثلاثة ملايين روبل أخرى. بالطبع ، لم تكن هذه الثلاثة ملايين قد تراكمت عليها الفوائد بعد ، لأنه بحلول نهاية العام الثاني ، لم يظهر هؤلاء الثلاثة ملايين إلا في الحساب:

لذا ، السنة الثالثة. في نهاية السنة الثالثة ، سيتم استحقاق الفائدة على هذا المبلغ ، أي أنه من الضروري مضاعفة هذا المبلغ بالكامل في 1.15. ومرة أخرى ، عملت بجد طوال العام وخصصت ثلاثة ملايين روبل:

\ [\ يسار (3 م \ cdot 1.15 + 3 م \ يمين) \ cdot 1.15 + 3 م \]

لنحسب سنة رابعة أخرى. مرة أخرى ، كامل المبلغ الذي كان لدينا في نهاية السنة الثالثة مضروب في 1.15 ، أي سيتم احتساب الفائدة على المبلغ بالكامل. وهذا يشمل الفائدة على الفائدة. ويضاف إلى هذا المبلغ ثلاثة ملايين أخرى ، لأنك خلال السنة الرابعة عملت أيضًا ووفرت المال:

\ [\ يسار (\ يسار (3 م \ cdot 1.15 + 3 م \ يمين) \ cdot 1.15 + 3 م \ يمين) \ cdot 1.15 + 3 م \]

والآن دعونا نفتح الأقواس ونرى المبلغ الذي سنحصل عليه بحلول نهاية السنة الرابعة لتوفير المال:

\ [\ start (align) & \ left (\ left (3m \ cdot 1،15 + 3m \ right) \ cdot 1،15 + 3m \ right) \ cdot 1،15 + 3m = \\ & = \ left ( 3m \ cdot ((1،15) ^ (2)) + 3m \ cdot 1،15 + 3m \ right) \ cdot 1،15 + 3m = \\ & = 3m \ cdot ((1،15) ^ (3 )) + 3 م \ cdot ((1،15) ^ (2)) + 3 م \ cdot 1،15 + 3 م = \\ & = 3 م \ يسار (((1،15) ^ (3)) + ((1 ، 15) ^ (2)) + 1،15 + 1 \ right) = \\ & = 3m \ left (1 + 1،15 + ((1،15) ^ (2)) + ((1،15) ^ (3)) \ right) \\\ end (محاذاة) \]

كما ترى ، بين قوسين لدينا عناصر للتقدم الهندسي ، أي لدينا مجموع عناصر التقدم الهندسي.

دعني أذكرك أنه إذا تم إعطاء التقدم الهندسي بواسطة العنصر $ ((b) _ (1)) $ ، بالإضافة إلى المقام $ q $ ، فسيتم حساب مجموع العناصر وفقًا للصيغة التالية:

يجب معرفة هذه الصيغة وتطبيقها بوضوح.

يرجى ملاحظة: الصيغة نيبدو العنصر الخامس كالتالي:

\ [((b) _ (n)) = ((b) _ (1)) \ cdot ((q) ^ (n-1)) \]

بسبب هذه الدرجة ، فإن العديد من الطلاب مرتبكون. في المجموع ، لدينا فقط نمقابل المجموع ن-العناصر و نالعنصر -th له درجة $ n-1 $. بعبارة أخرى ، إذا حاولنا الآن حساب مجموع التقدم الهندسي ، فإننا نحتاج إلى مراعاة ما يلي:

\ [\ start (align) & ((b) _ (1)) = 1 \\ & q = 1،15 \\\ end (align) \]

\ [((S) _ (4)) = 1 \ cdot \ frac (((1،15) ^ (4)) - 1) (1،15-1) \]

دعنا نحسب البسط بشكل منفصل:

\ [((1،15) ^ (4)) = ((\ left (((1،15) ^ (2)) \ right)) ^ (2)) = ((\ left (1،3225 \ right )) ^ (2)) = 1.74900625 \ حوالي 1.75 \]

في المجموع ، بالعودة إلى مجموع التقدم الهندسي ، نحصل على:

\ [((S) _ (4)) = 1 \ cdot \ frac (1.75-1) (0.15) = \ frac (0.75) (0.15) = \ frac (75) (15) = 5 \]

نتيجة لذلك ، حصلنا على ذلك في غضون أربع سنوات من المدخرات ، لن يزيد مبلغنا الأولي أربع مرات ، كما لو أننا لم نودع أموالًا في البنك ، بل خمسة أضعاف ، أي خمسة عشر مليونًا. دعنا نكتبها بشكل منفصل:

4 سنوات ← 5 مرات

بالنظر إلى المستقبل ، سأقول إنه إذا كنا قد ادخرنا ليس لمدة أربع سنوات ، ولكن لمدة خمس سنوات ، ونتيجة لذلك ، فإن مقدار مدخراتنا قد زاد بمقدار 6.7 مرات:

5 سنوات → 6.7 مرة

بمعنى آخر ، بحلول نهاية العام الخامس ، سيكون لدينا المبلغ التالي في الحساب:

أي بحلول نهاية العام الخامس من المدخرات ، مع مراعاة الفائدة على الوديعة ، كنا قد تلقينا بالفعل أكثر من عشرين مليون روبل. وبالتالي ، فإن إجمالي حساب التوفير من الفوائد المصرفية سينخفض ​​من حوالي سبع سنوات إلى خمس سنوات ، أي ما يقرب من عامين.

وبالتالي ، على الرغم من حقيقة أن البنك يفرض فائدة منخفضة نسبيًا على ودائعنا (15٪) ، فإن هذه الـ 15٪ نفسها ، بعد خمس سنوات ، تعطي زيادة تفوق بشكل كبير أرباحنا السنوية. في الوقت نفسه ، يحدث التأثير المضاعف الرئيسي في السنوات الأخيرة وحتى ، بالأحرى ، في العام الأخير من المدخرات.

لماذا كتبت كل هذا؟ بالطبع ، لا تستفزك لنقل الأموال إلى البنك. لأنه إذا كنت تريد حقًا زيادة مدخراتك ، فأنت بحاجة إلى استثمارها ليس في بنك ، ولكن في عمل حقيقي ، حيث نادرًا ما تنخفض هذه النسب المئوية ، أي الربحية في ظروف الاقتصاد الروسي ، إلى أقل من 30٪ ، أي ضعف الودائع المصرفية.

لكن ما هو مفيد حقًا في كل هذا المنطق هو صيغة تسمح لنا بإيجاد المبلغ النهائي للإيداع من خلال مبلغ الدفعات السنوية ، وكذلك من خلال الفائدة التي يفرضها البنك. لذلك دعونا نكتب:

\ [\ text (Vklad) = \ text (platezh) \ frac (((\ text (٪)) ^ (n)) - 1) (\ text (٪) - 1) \]

في حد ذاته ، يتم حساب النسبة المئوية باستخدام الصيغة التالية:

يجب أيضًا معرفة هذه الصيغة ، وكذلك الصيغة الأساسية لمقدار المساهمة. وبالمقابل ، يمكن للصيغة الرئيسية أن تقلل بشكل كبير من الحسابات في تلك المشكلات بالنسب المئوية حيث تكون مطلوبة لحساب المساهمة.

لماذا استخدام الصيغ بدلا من الجداول؟

من المحتمل أن يكون لدى الكثير سؤال ، لماذا كل هذه الصعوبات على الإطلاق ، هل من الممكن ببساطة الكتابة كل عام على لوحة ، كما هو الحال في العديد من الكتب المدرسية ، والحساب بشكل منفصل كل عام ، ثم حساب المبلغ الإجمالي للمساهمة؟ بالطبع ، يمكنك بشكل عام نسيان مجموع التقدم الهندسي وإحصاء كل شيء باستخدام الأجهزة اللوحية الكلاسيكية - ويتم ذلك في معظم المجموعات للتحضير للامتحان. ومع ذلك ، أولاً ، يزداد حجم العمليات الحسابية بشكل حاد ، وثانيًا ، نتيجة لذلك ، يزداد احتمال ارتكاب خطأ.

بشكل عام ، استخدام الجداول بدلاً من هذه الصيغة الرائعة هو نفسه حفر الخنادق بيديك في موقع البناء بدلاً من استخدام حفارة تقف في مكان قريب وتعمل بشكل كامل.

حسنًا ، أو نفس الشيء مثل ضرب خمسة في عشرة ليس باستخدام جدول الضرب ، ولكن جمع خمسة في نفسه عشر مرات على التوالي. ومع ذلك ، فقد استطعت بالفعل ، لذا سأكرر الفكرة الأكثر أهمية مرة أخرى: إذا كانت هناك طريقة ما لتبسيط الحسابات وتقصيرها ، فهذه هي طريقة الاستخدام.

الفائدة على القروض

لقد توصلنا إلى الودائع ، لذلك ننتقل إلى الموضوع التالي ، وهو الفائدة على القروض.

لذا ، أثناء قيامك بتوفير المال ، التخطيط بعناية لميزانيتك ، والتفكير في شقتك المستقبلية ، قرر زميلك في الفصل ، والآن عاطل بسيط عن العمل ، العيش لهذا اليوم وحصل للتو على قرض. في الوقت نفسه ، سيظل يضايقك ويضحك عليك ، كما يقولون ، لديه هاتف ائتماني وسيارة مستعملة ، مأخوذ بالدين ، وما زلت تركب مترو الأنفاق وتستخدم هاتفًا قديمًا يعمل بضغطة زر. بالطبع ، مقابل كل هذه "المواجهات" الرخيصة ، سيتعين على زميلك السابق أن يدفع ثمناً باهظاً. كم هو مكلف - هذا ما سنحسبه الآن.

أولا ، مقدمة موجزة. لنفترض أن زميلك السابق في الفصل حصل على مليوني روبل عن طريق الائتمان. في نفس الوقت ، وفقًا للعقد ، يجب أن يدفع x روبل شهريًا. لنفترض أنه حصل على قرض بنسبة 20٪ سنويًا ، وهو ما يبدو لائقًا في الظروف الحالية. افترض أيضًا أن مدة القرض ثلاثة أشهر فقط. دعنا نحاول ربط كل هذه الكميات في صيغة واحدة.

لذلك ، في البداية ، بمجرد أن غادر زميلك السابق البنك ، كان لديه مليوني دولار في جيبه ، وهذا هو دينه. في الوقت نفسه ، لم يمر عام ، ولا شهر ، ولكن هذه فقط البداية:

بعد ذلك ، بعد شهر واحد ، ستتراكم الفائدة على المبلغ المستحق. كما نعلم بالفعل ، لحساب الفائدة ، يكفي مضاعفة الدين الأصلي بمعامل ، والذي يتم حسابه باستخدام الصيغة التالية:

في حالتنا نحن نتحدث عن معدل 20٪ سنويًا ، أي يمكننا أن نكتب:

هذه هي نسبة المبلغ الذي سيتم تحصيله سنويًا. ومع ذلك ، فإن زميلنا في الفصل ليس ذكيًا جدًا ولم يقرأ العقد ، وفي الواقع حصل على قرض ليس بنسبة 20٪ سنويًا ، ولكن بنسبة 20٪ شهريًا. وبحلول نهاية الشهر الأول ، ستتراكم الفائدة على هذا المبلغ ، وستزيد بمقدار 1.2 مرة. بعد ذلك مباشرة ، سيحتاج الشخص إلى دفع المبلغ المتفق عليه ، أي x روبل شهريًا:

\ [\ يسار (2 م \ cdot 1،2-س \ يمين) \ cdot 1،2-س \]

ومرة أخرى ، يدفع ابننا مبلغًا قدره دولارًا × روبل.

ثم بنهاية الشهر الثالث يزيد مبلغ دينه مرة أخرى بنسبة 20٪:

\ [\ يسار (\ يسار (2 م \ cdot 1،2- س \ يمين) \ cdot 1،2- س \ يمين) 1،2- س \]

وبحسب شرط الثلاثة أشهر ، يجب أن يدفع بالكامل ، أي بعد سداد الدفعة الثالثة الأخيرة ، يجب أن يكون مبلغ الدين مساويًا للصفر. يمكننا كتابة هذه المعادلة:

\ [\ يسار (\ يسار (2 م \ cdot 1،2- س \ يمين) \ cdot 1،2- س \ يمين) 1،2 - س = 0 \]

دعونا نقرر:

\ [\ start (align) & \ left (2m \ cdot ((1،2) ^ (2)) - x \ cdot 1،2- x \ right) \ cdot 1،2- x = 0 \\ & 2m \ cdot ((1،2) ^ (3)) - س \ cdot ((1،2) ^ (2)) - س \ cdot 1،2- س = 0 \\ & 2 م \ cdot ((1،2) ) ^ (3)) = \ cdot ((1،2) ^ (2)) + \ cdot 1،2+ \\ & 2m \ cdot ((1،2) ^ (3)) = \ يسار ((( 1،2) ^ (2)) + 1،2 + 1 \ right) \\\ end (محاذاة) \]

أمامنا مرة أخرى تقدم هندسي ، أو بالأحرى مجموع العناصر الثلاثة للتقدم الهندسي. دعنا نعيد كتابته بترتيب تصاعدي للعناصر:

الآن علينا إيجاد مجموع العناصر الثلاثة للتقدم الهندسي. دعنا نكتب:

\ [\ تبدأ (محاذاة) & ((ب) _ (1)) = 1 ؛ \\ & q = 1،2 \\\ end (محاذاة) \]

لنجد الآن مجموع التقدم الهندسي:

\ [((S) _ (3)) = 1 \ cdot \ frac (((1،2) ^ (3)) - 1) (1،2-1) \]

يجب أن نتذكر أن مجموع التقدم الهندسي بهذه المعلمات $ \ left (((b) _ (1))؛ q \ right) $ يحسب بالصيغة:

\ [((S) _ (n)) = ((b) _ (1)) \ cdot \ frac (((q) ^ (n)) - 1) (q-1) \]

هذه هي الصيغة التي استخدمناها للتو. عوّض بهذه الصيغة في التعبير الخاص بنا:

لمزيد من العمليات الحسابية ، نحتاج إلى معرفة ما يساوي $ ((1،2) ^ (3)) $. لسوء الحظ ، في هذه الحالة ، لم يعد بإمكاننا الرسم كما في المرة الأخيرة على شكل مربع مزدوج ، ولكن يمكننا حساب مثل هذا:

\ [\ begin (align) & ((1،2) ^ (3)) = ((1،2) ^ (2)) \ cdot 1،2 \\ & ((1،2) ^ (3)) = 1،44 \ cdot 1،2 \\ & ((1،2) ^ (3)) = 1،728 \\\ end (محاذاة) \]

نعيد كتابة تعبيرنا:

هذا تعبير خطي كلاسيكي. دعنا نعود إلى الصيغة التالية:

في الواقع ، إذا قمنا بتعميمها ، فسنحصل على صيغة تربط بين الفائدة والقروض والمدفوعات والشروط. الصيغة تسير على النحو التالي:

ها هي الصيغة الأكثر أهمية في درس الفيديو اليوم ، حيث يتم أخذ 80٪ على الأقل من جميع المهام الاقتصادية من اختبار الدولة الموحد في الرياضيات في الجزء الثاني بعين الاعتبار.

في أغلب الأحيان ، في المهام الحقيقية ، سيُطلب منك سداد دفعة ، أو في كثير من الأحيان أقل بقليل للحصول على قرض ، أي المبلغ الإجمالي للديون التي كان لدى زميلنا في الفصل في بداية المدفوعات. في المهام الأكثر تعقيدًا ، سيُطلب منك العثور على نسبة مئوية ، ولكن بالنسبة للمهام المعقدة جدًا ، والتي سنقوم بتحليلها في درس فيديو منفصل ، سيُطلب منك العثور على الإطار الزمني الذي يتم خلاله ، مع معلمات القرض والسداد المحددة ، سيتمكن زميلنا العاطل عن العمل من سداد كامل المبلغ للبنك.

ربما يعتقد أحد الآن أنني أعارض بشدة القروض والتمويل والنظام المصرفي بشكل عام. لذلك ، لا شيء من هذا القبيل! على العكس من ذلك ، أعتقد أن أدوات الائتمان مفيدة للغاية وضرورية لاقتصادنا ، ولكن بشرط أن يتم أخذ القرض لتطوير الأعمال. في الحالات القصوى ، يمكنك الحصول على قرض لشراء منزل ، أي رهن عقاري أو للعلاج الطبي الطارئ - هذا كل شيء ، ببساطة لا توجد أسباب أخرى لأخذ قرض. وجميع أنواع العاطلين عن العمل الذين يقترضون من أجل "التباهي" وفي نفس الوقت لا يفكرون إطلاقا في العواقب في النهاية ويصبحون سبب الأزمات والمشاكل في اقتصادنا.

بالعودة إلى موضوع درس اليوم ، أود أن أشير إلى أنه من الضروري أيضًا معرفة هذه الصيغة التي تربط بين القروض والمدفوعات والفوائد ، بالإضافة إلى مقدار التقدم الهندسي. بمساعدة هذه الصيغ يتم حل المشكلات الاقتصادية الحقيقية من اختبار الدولة الموحد في الرياضيات. حسنًا ، الآن بعد أن عرفت كل هذا جيدًا ، عندما تفهم ماهية القرض ولماذا لا يجب أن تأخذه ، دعنا ننتقل إلى حل المشكلات الاقتصادية الحقيقية من اختبار الدولة الموحد في الرياضيات.

نحن نحل مشاكل حقيقية من الامتحان في الرياضيات

مثال 1

لذا فإن المهمة الأولى هي:

في 31 ديسمبر 2014 ، حصل أليكسي على قرض بقيمة 9282000 روبل من البنك بنسبة 10 ٪ سنويًا. مخطط سداد القرض على النحو التالي: في 31 ديسمبر من كل عام قادم ، يتراكم البنك فائدة على المبلغ المتبقي من الدين (أي يزيد الدين بنسبة 10٪) ، ثم يقوم أليكسي بتحويل X روبل إلى البنك. ماذا يجب أن يكون المبلغ X ليقوم أليكسي بسداد الدين في أربع دفعات متساوية (أي لمدة أربع سنوات)؟

إذن ، هذه مشكلة تتعلق بالقرض ، لذلك نكتب الصيغة على الفور:

نعرف القرض - 9282000 روبل.

سنتعامل مع النسب المئوية الآن. نحن نتحدث عن 10٪ من المشكلة. لذلك يمكننا ترجمتها:

يمكننا عمل معادلة:

لقد حصلنا على معادلة خطية عادية بالنسبة إلى $ x $ ، على الرغم من وجود معاملات هائلة. دعنا نحاول حلها. لنجد أولًا التعبير $ ((1،1) ^ (4)) $:

$ \ start (align) & ((1،1) ^ (4)) = ((\ left (((1،1) ^ (2)) \ right)) ^ (2)) \\ & 1،1 \ cdot 1،1 = 1،21 \\ & ((1،1) ^ (4)) = 1،4641 \\\ end (align) $

الآن دعنا نعيد كتابة المعادلة:

\ [\ start (align) & 9289000 \ cdot 1،4641 = x \ cdot \ frac (1،4641-1) (0،1) \\ & 9282000 \ cdot 1،4641 = x \ cdot \ frac (0، 4641) (0،1) |: 10000 \\ & 9282000 \ cdot \ frac (14641) (10000) = x \ cdot \ frac (4641) (1000) \\ & \ frac (9282 \ cdot 14641) (10) = x \ cdot \ frac (4641) (1000) |: \ frac (4641) (1000) \\ & x = \ frac (9282 \ cdot 14641) (10) \ cdot \ frac (1000) (4641) \\ & x = \ frac (2 \ cdot 14641 \ cdot 1000) (10) \\ & x = 200 \ cdot 14641 \\ & x = 2928200 \\\ end (align) \] \ [\]

هذا كل شيء ، تم حل مشكلتنا مع النسب المئوية.

بالطبع ، كانت هذه أبسط مهمة فقط مع النسب المئوية من اختبار الدولة الموحد في الرياضيات. في الاختبار الحقيقي ، لن تكون هناك على الأرجح مثل هذه المهمة. وإذا حدث ذلك ، فاعتبر نفسك محظوظًا جدًا. حسنًا ، بالنسبة لأولئك الذين يحبون العد ولا يرغبون في المخاطرة ، دعنا ننتقل إلى المهام التالية الأكثر صعوبة.

المثال رقم 2

في 31 ديسمبر 2014 ، اقترض ستيبان 4،004،000 روبل من أحد البنوك بنسبة 20 ٪ سنويًا. مخطط سداد القرض هو كما يلي: في 31 ديسمبر من كل عام قادم ، يتراكم البنك فائدة على المبلغ المتبقي من الدين (أي يزيد الدين بنسبة 20٪) ، ثم يقوم ستيبان بالدفع للبنك. سدد ستيبان كامل الدين في 3 دفعات متساوية. كم عدد الروبلات الأقل التي سيقدمها للبنك إذا كان بإمكانه سداد الدين في دفعتين متساويتين.

أمامنا مشكلة تتعلق بالقروض ، لذلك نكتب صيغتنا:

\[\]\

ما الذي نعرفه؟ أولاً ، نعرف إجمالي الائتمان. نحن نعلم أيضًا النسب المئوية. لنجد النسبة:

بالنسبة إلى $ n $ ، تحتاج إلى قراءة حالة المشكلة بعناية. أي أننا نحتاج أولاً إلى حساب المبلغ الذي دفعه لمدة ثلاث سنوات ، أي $ n = 3 دولارات ، ثم نؤدي نفس الخطوات مرة أخرى ولكن نحسب المدفوعات لمدة عامين. لنكتب معادلة للحالة التي يتم فيها دفع الدفعة لمدة ثلاث سنوات:

لنحل هذه المعادلة. لكن أولاً ، لنجد التعبير $ ((1،2) ^ (3)) $:

\ [\ begin (align) & ((1،2) ^ (3)) = 1،2 \ cdot ((1،2) ^ (2)) \\ & ((1،2) ^ (3)) = 1،44 \ cdot 1،2 \\ & ((1،2) ^ (3)) = 1،728 \\\ end (محاذاة) \]

نعيد كتابة تعبيرنا:

\ [\ start (align) & 4004000 \ cdot 1،728 = x \ cdot \ frac (1،728-1) (0،2) \\ & 4004000 \ cdot \ frac (1728) (1000) = x \ cdot \ frac (728 ) (200) |: \ frac (728) (200) \\ & x = \ frac (4004 \ cdot 1728 \ cdot 200) (728) \\ & x = \ frac (4004 \ cdot 216 \ cdot 200) ( 91) \\ & x = 44 \ cdot 216 \ cdot 200 \\ & x = 8800 \ cdot 216 \\ & x = 1900800 \\\ end (محاذاة) \]

في المجموع ، سيكون دفعنا 1900800 روبل. ومع ذلك ، انتبه: في المهمة ، لم يكن مطلوبًا منا العثور على دفعة شهرية ، ولكن المبلغ الذي سيدفعه ستيبان إجمالاً مقابل ثلاث دفعات متساوية ، أي طوال فترة استخدام القرض. لذلك ، يجب ضرب القيمة الناتجة في ثلاثة مرة أخرى. لنعد:

في المجموع ، سيدفع ستيبان 5702400 روبل لثلاث مدفوعات متساوية. هذا كم سيكلفه لاستخدام القرض لمدة ثلاث سنوات.

الآن ضع في اعتبارك الموقف الثاني ، عندما استعد ستيبان ، واستعد وسدد القرض بالكامل ليس في ثلاثة ، ولكن على دفعتين متساويتين. نكتب نفس الصيغة:

\ [\ start (align) & 4004000 \ cdot ((1،2) ^ (2)) = x \ cdot \ frac (((1،2) ^ (2)) - 1) (1،2-1) \\ & 4004000 \ cdot \ frac (144) (100) = x \ cdot \ frac (11) (5) | \ cdot \ frac (5) (11) \\ & x = \ frac (40040 \ cdot 144 \ cdot 5) (11) \\ & x = 3640 \ cdot 144 \ cdot 5 = 3640 \ cdot 720 \\ & x = 2620800 \\\ end (محاذاة) \]

لكن هذا ليس كل شيء ، لأننا الآن قمنا بحساب دفعة واحدة فقط من الدفعتين ، لذا في المجموع ، سيدفع ستيبان ضعف هذا المبلغ بالضبط:

رائع ، الآن اقتربنا من الإجابة النهائية. لكن انتبه: لم نتلق بعد إجابة نهائية بأي حال من الأحوال ، لأن ستيبان سيدفع 5702400 روبل لمدة ثلاث سنوات ، وسيدفع 5،241600 روبل لمدة عامين ، أي أقل قليلاً. كم أقل؟ لمعرفة ذلك ، تحتاج إلى طرح مبلغ الدفعة الثانية من مبلغ الدفعة الأولى:

مجموع الإجابة النهائية هو 460800 روبل. كم سيدخر ستيبان بالضبط إذا لم يدفع ثلاث سنوات ، بل سنتان.

كما ترى ، فإن الصيغة التي تربط الفائدة والمصطلحات والمدفوعات تبسط العمليات الحسابية إلى حد كبير مقارنة بالجداول الكلاسيكية ، ولسوء الحظ ، ولأسباب غير معروفة ، لا تزال الجداول مستخدمة في معظم مجموعات المشكلات.

بشكل منفصل ، أود أن ألفت انتباهكم إلى المدة التي تم أخذ القرض من أجلها ، ومقدار الأقساط الشهرية. الحقيقة هي أن هذا الاتصال غير مرئي مباشرة من الصيغ التي كتبناها ، ولكن فهمها ضروري لحل سريع وفعال للمشاكل الحقيقية في الامتحان. في الواقع ، هذه العلاقة بسيطة للغاية: فكلما طالت مدة القرض ، قل المبلغ في الدفعات الشهرية ، ولكن كلما زاد المبلغ الذي سيتراكم على مدار كامل فترة استخدام القرض. والعكس صحيح: كلما كانت المدة أقصر ، ارتفعت الدفعة الشهرية ، ولكن انخفضت الدفعة الزائدة النهائية وانخفضت التكلفة الإجمالية للقرض.

بالطبع ، كل هذه البيانات ستكون متساوية فقط بشرط أن يكون مبلغ القرض وسعر الفائدة في كلتا الحالتين هو نفسه. بشكل عام ، في الوقت الحالي ، فقط تذكر هذه الحقيقة - سيتم استخدامها لحل أصعب المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع ، ولكن في الوقت الحالي سنحلل مشكلة أبسط ، حيث تحتاج فقط إلى العثور على المبلغ الإجمالي للقرض الأصلي.

المثال رقم 3

لذلك ، هناك مهمة أخرى للحصول على قرض ، بالإضافة إلى المهمة الأخيرة في فيديو تعليمي اليوم.

في 31 ديسمبر 2014 ، أخذ فاسيلي مبلغًا معينًا من البنك بالائتمان بنسبة 13 ٪ سنويًا. مخطط سداد القرض هو كما يلي: في 31 ديسمبر من كل عام قادم ، يتراكم البنك فائدة على المبلغ المتبقي من الدين (أي أنه يزيد الدين بنسبة 13٪) ، ثم يقوم فاسيلي بتحويل 5107600 روبل إلى البنك. ما المبلغ الذي اقترضه فاسيلي من البنك إذا قام بسداد الدين على قسطين متساويين (لمدة عامين)؟

إذن ، أولاً وقبل كل شيء ، هذه المشكلة تتعلق مرة أخرى بالقروض ، لذلك نكتب صيغتنا الرائعة:

دعونا نرى ما نعرفه من حالة المشكلة. أولاً ، الدفع - يساوي 5107600 روبل في السنة. ثانيًا ، النسب المئوية ، حتى نتمكن من إيجاد النسبة:

بالإضافة إلى ذلك ، وبحسب حالة المشكلة ، أخذ فاسيلي قرضًا من البنك لمدة عامين ، أي تدفع على قسطين متساويين ، وبالتالي فإن $ n = 2 $. دعونا نستبدل كل شيء ونلاحظ أيضًا أن القرض غير معروف لنا ، أي المبلغ الذي أخذ ، ودعنا نشير إلى أنه $ x $. نحن نحصل:

\[{{1,13}^{2}}=1,2769\]

دعنا نعيد كتابة معادلتنا مع وضع هذه الحقيقة في الاعتبار:

\ [\ start (align) & x \ cdot \ frac (12769) (10000) = 5107600 \ cdot \ frac (1،2769-1) (0،13) \\ & x \ cdot \ frac (12769) (10000 ) = \ frac (5107600 \ cdot 2769) (1300) |: \ frac (12769) (10000) \ & x = \ frac (51076 \ cdot 2769) (13) \ cdot \ frac (10000) (12769) \ \ & x = 4 \ cdot 213 \ cdot 10000 \\ & x = 8520000 \\\ end (محاذاة) \]

هذا كل شيء ، هذه هي الإجابة النهائية. كان هذا المبلغ هو الذي حصل عليه فاسيلي في البداية.

من الواضح الآن لماذا يُطلب منا في هذه المشكلة الحصول على قرض لمدة عامين فقط ، لأن النسب المئوية المكونة من رقمين تظهر هنا ، أي 13٪ ، والتي ، تربيع ، تعطي بالفعل رقمًا "وحشيًا" إلى حد ما. لكن هذا ليس الحد الأقصى - في الدرس المنفصل التالي سننظر في مهام أكثر تعقيدًا ، حيث سيكون مطلوبًا للعثور على مدة القرض ، وسيكون المعدل واحدًا أو اثنين أو ثلاثة بالمائة.

بشكل عام ، تعلم كيفية حل مشاكل الودائع والقروض ، والاستعداد للامتحانات واجتيازها "بامتياز". وإذا كان هناك شيء غير واضح في مواد درس الفيديو اليوم ، فلا تتردد - اكتب ، اتصل ، وسأحاول مساعدتك.

شاهد أيضًا مقطع الفيديو "مشاكل نصية لامتحان الرياضيات".
مهمة النص ليست فقط مهمة للحركة والعمل. هناك أيضًا مهام للنسب المئوية ، للحلول ، والسبائك والمخاليط ، للتحرك في دائرة وإيجاد متوسط ​​السرعة. سوف نخبر عنهم.

لنبدأ بمشاكل النسبة المئوية. لقد التقينا بالفعل بهذا الموضوع في المشكلة 1. على وجه الخصوص ، قمنا بصياغة قاعدة مهمة: نحن نأخذ القيمة التي نقارن بها.

لقد استنتجنا أيضًا صيغ مفيدة:

إذا زادت القيمة بنسبة مئوية ، نحصل عليها.
إذا تم تخفيض القيمة بنسبة مئوية ، نحصل عليها.
إذا زادت القيمة بنسبة مئوية ، ثم خفضت بمقدار ، نحصل على.

إذا تضاعفت القيمة بنسبة مئوية ، نحصل عليها
إذا تضاعفت القيمة بنسبة مئوية ، نحصل عليها

دعونا نستخدمها لحل المشاكل.

في غضون عام ، عاش شخص في حي المدينة. في العام ، نتيجة لبناء منازل جديدة ، زاد عدد السكان بمقدار وفي العام - مقارنة بالعام. كم عدد الأشخاص الذين بدأوا العيش في الربع في السنة؟

وفقًا للشرط ، في العام زاد عدد السكان ، أي أصبح مساوياً للناس.

وفي العام زاد عدد السكان الآن مقارنة بالعام. حصلنا على ذلك في العام الذي بدأ فيه السكان العيش في الربع.

تم تقديم المهمة التالية في الاختبار التجريبي في الرياضيات في ديسمبر من العام. الأمر بسيط ، لكن القليل منهم أتقنه.

ويوم الاثنين ، ارتفعت أسعار أسهم الشركة بنسبة معينة ، وهبط سعرها يوم الثلاثاء بنفس النسبة. نتيجة لذلك ، بدأت تكلفتها أقل مما كانت عليه عند افتتاح التداول يوم الاثنين. وبأي نسبة ارتفعت أسعار أسهم الشركة يوم الاثنين؟

للوهلة الأولى ، يبدو أن هناك خطأ في الحالة ويجب ألا يتغير سعر الأسهم على الإطلاق. بعد كل شيء ، ارتفع سعرها وانخفض سعرها بنفس النسبة! لكن دعونا لا نتسرع. دع الأسهم تكلف روبل عند افتتاح التداول يوم الاثنين. بحلول مساء الاثنين ، ارتفعت الأسعار وبدأت تكلفتها. الآن تم أخذ هذه القيمة بالفعل ، وبحلول مساء الثلاثاء انخفضت الأسهم مقارنة بهذه القيمة. لنضع البيانات في جدول:

	صباح الاثنين	ليلة الاثنين	مساء الثلاثاء
شارك السعر

وبحسب الشرط ، انتهى سعر السهم بانخفاض.

لقد حصلنا على ذلك

نقسم طرفي المعادلة على (لأنها لا تساوي الصفر) ونطبق صيغة الضرب المختصرة على الجانب الأيسر.

وفقًا لمعنى المشكلة ، تكون القيمة موجبة.
لقد حصلنا على ذلك.

ينخفض ​​سعر الثلاجة في المتجر سنويًا بنفس النسبة المئوية عن السعر السابق. حدد النسبة المئوية التي انخفض فيها سعر الثلاجة كل عام إذا تم بيعها مقابل روبل بعد عامين ، معروضة للبيع مقابل روبل.

يتم حل هذه المشكلة أيضًا من خلال إحدى الصيغ الواردة في بداية المقالة. تكلفة الثلاجة روبية. انخفض سعره مرتين بمقدار ، وهو الآن يساوي

أربعة قمصان أرخص من السترات. بأي نسبة خمسة قمصان أغلى من السترة؟

دع تكلفة القميص تكون ، تكلفة السترة. كالعادة ، نأخذ القيمة التي نقارن بها بنسبة مائة بالمائة ، أي سعر السترة. ثم تكلفة أربعة قمصان يساوي سعر السترة ، أي
.

تكلفة القميص الواحد نصف الثمن:
,
وتكلفة خمسة قمصان:

لقد حصلنا على أن القمصان الخمسة أغلى من السترة.

إجابه: .

تتكون الأسرة من زوج وزوجة وابنتهما الطالبة. إذا تم مضاعفة راتب الزوج ، سيزداد إجمالي دخل الأسرة بمقدار. إذا تم تخفيض منحة الابنة إلى النصف ، فسيتم تخفيض إجمالي دخل الأسرة بمقدار النصف. ما هي نسبة راتب الزوجة من إجمالي دخل الأسرة؟

لنرسم طاولة. الحالات المشار إليها في المهمة ("إذا زاد راتب الزوج ، إذا انخفضت منحة البنت ...") فإننا نسمي "الحالة" و "الحالة".

	الزوج	زوجة	بنت	إجمالي الدخل
في الواقع
الموقف
الموقف

يبقى لكتابة نظام المعادلات.

لكن ماذا نرى؟ معادلتان وثلاثة مجاهيل! لن نتمكن من العثور ، وبشكل منفصل. صحيح ، لسنا بحاجة إليه. لنأخذ المعادلة الأولى ونطرح المجموع من كلا الطرفين. نحن نحصل:

أي أن راتب الزوج جزء من دخل الأسرة الإجمالي.

في المعادلة الثانية ، نطرح أيضًا التعبير من كلا الطرفين ، نبسط ونحصل على ذلك

وهذا يعني أن منحة البنت تعتمد على إجمالي دخل الأسرة. ثم راتب الزوجة هو إجمالي الدخل.

إجابه: .

النوع التالي من المشاكل هو مشاكل الحلول والمخاليط والسبائك. تم العثور عليها ليس فقط في الرياضيات ، ولكن أيضًا في الكيمياء. سنخبرك عن أسهل طريقة لحلها.

يتم إضافة لترات من الماء إلى وعاء يحتوي على لترات من المحلول المائي بنسبة مئوية من بعض المواد. ما هي النسبة المئوية لتركيز المحلول الناتج؟

تساعد الصورة في حل مثل هذه المشاكل. دعونا نصور وعاء به محلول بشكل تخطيطي - كما لو أن المادة والماء فيه لا يختلطان مع بعضهما البعض ، ولكن يتم فصلهما عن بعضهما البعض ، كما في كوكتيل. وسنوقع عدد اللترات التي تحتوي عليها الأوعية وكم نسبة المادة التي تحتوي عليها. نشير إلى تركيز المحلول الناتج.

احتوى الإناء الأول على لتر من المادة. الإناء الثاني يحتوي على الماء فقط. هذا يعني أن هناك عددًا من لترات المادة في الوعاء الثالث كما في الأول:

.

تم خلط كمية معينة من محلول نسبة مئوية من مادة معينة مع نفس الكمية من محلول النسبة المئوية لهذه المادة. ما هي النسبة المئوية لتركيز المحلول الناتج؟

دع كتلة الحل الأول تكون. كتلة الثانية - أيضا. والنتيجة هي حل بكتلة. نرسم صورة.

نحن نحصل:

إجابه: .

يحتوي العنب على الرطوبة ، والزبيب -. كم كيلوجرام من العنب المطلوب لإنتاج كيلوجرام من الزبيب؟

انتباه! إذا واجهتك مشكلة "تتعلق بالمنتجات" ، أي مشكلة الحصول على الزبيب من العنب ، أو المشمش المصنوع من المشمش ، أو البسكويت المصنوع من الخبز أو الجبن القريش مصنوع من الحليب - فاعلم أن هذه مشكلة في الواقع بالنسبة للحلول . يمكننا أيضًا تصوير العنب بشكل مشروط كحل. يحتوي على الماء و "المادة الجافة". "المادة الجافة" لها تركيبة كيميائية معقدة ، ومن خلال مذاقها ولونها ورائحتها ، يمكننا أن نفهم أنها عنب وليست بطاطس. يتم الحصول على الزبيب عندما يتبخر الماء من العنب. في نفس الوقت ، تبقى كمية "المادة الجافة" ثابتة. احتوى العنب على الماء ، مما يعني أنه كان هناك "مادة جافة". في ماء الزبيب و "المادة الجافة". دع كيلوغرام من الزبيب يخرج من كيلوغرام العنب. ثم

من من

لنصنع معادلة:

ويجد .

إجابه: .

هناك نوعان من السبائك. السبيكة الأولى تحتوي على النيكل ، والثانية تحتوي على النيكل. من هاتين السبيكتين ، تم الحصول على سبيكة ثالثة وزنها كجم تحتوي على نيكل. ما هو عدد الكيلوغرامات التي تقل فيها كتلة السبيكة الأولى عن كتلة الثانية؟

اجعل كتلة السبيكة الأولى x ، وكتلة الثانية تكون y. وكانت النتيجة سبيكة كتلتها.

لنكتب نظام معادلات بسيط:

المعادلة الأولى هي كتلة السبيكة الناتجة ، والثانية هي كتلة النيكل.

بالحل ، نحصل على ذلك.

إجابه: .

عن طريق خلط المحاليل الحمضية بنسبة مئوية ونسبة مئوية وإضافة كيلوغرام من الماء النقي ، حصلنا على محلول حمض بنسبة مئوية. إذا تمت إضافة محلول كجم من نفس الحمض بدلاً من كجم من الماء ، فسيتم الحصول على محلول حمض بنسبة٪. ما عدد الكيلوغرامات من محلول النسبة المئوية التي استخدمت للحصول على الخليط؟

دع كتلة الحل الأول تكون ، كتلة الثانية تساوي. كتلة المحلول الناتج هي. لنكتب معادلتين لكمية الحمض.

نحل النظام الناتج. نقوم بضرب كلا الجزأين من المعادلتين على الفور ، لأنه من الأنسب التعامل مع معاملات الأعداد الصحيحة مقارنة بالمعاملات الكسرية. دعونا نفك الأقواس.

إجابه: .

أثبتت المهام المحيطية أيضًا أنها صعبة على العديد من الطلاب. يتم حلها بنفس الطريقة تقريبًا مثل مشاكل الحركة العادية. يستخدمون أيضًا الصيغة. ولكن هناك خدعة واحدة سنخبرك بها.

غادر أحد الدراجين نقطة المسار الدائري ، وبعد دقيقة تبعه سائق دراجة نارية. بعد دقائق من المغادرة ، التقى بالدراج للمرة الأولى ، وبعد دقائق التقى به للمرة الثانية. أوجد سرعة سائق الدراجة النارية إذا كان طول المسار بالكيلومتر. أعط إجابتك بالكيلومتر / الساعة.

أولاً ، لنحول الدقائق إلى ساعات ، حيث يجب إيجاد السرعة بالكيلومتر / الساعة. نشير إلى سرعات المشاركين بواسطة و. أول مرة يتفوق فيها سائق دراجة نارية على راكب دراجة في دقائق ، أي بعد ساعات من البداية. حتى هذه اللحظة ، كان الدراج على الطريق لدقائق ، أي ساعة.

لنكتب هذه البيانات في جدول:

دراج
سائق دراجة نارية

كلاهما قطع نفس المسافة ، وهذا هو.

ثم تفوق سائق الدراجة النارية على راكب الدراجة للمرة الثانية. حدث ذلك في غضون دقائق ، أي بعد ساعة من التجاوز الأول.

لنرسم جدولًا ثانيًا.

دراج
سائق دراجة نارية

ما هي المسافات التي قطعوها؟ تجاوز سائق الدراجة النارية راكب الدراجة. لذلك قاد لفة واحدة أخرى. هذا هو سر هذه المهمة. اللفة الواحدة هي طول المسار ، وهي تساوي كيلومترًا. نحصل على المعادلة الثانية:

لنحل النظام الناتج.

لقد حصلنا على ذلك. ردا على ذلك ، اكتب سرعة سائق الدراجة النارية.

إجابه: .

الساعات مع العقارب تظهر ساعات الدقائق. بعد كم دقيقة سيتماشى عقرب الدقائق مع عقرب الساعات للمرة الرابعة؟

ربما تكون هذه هي أصعب مهمة في خيارات الاختبار. بالطبع ، هناك حل بسيط - خذ عقارب الساعة وتأكد من أن العقارب تصطف في رابع ساعات ، بالضبط عند ..
لكن ماذا لو كان لديك ساعة إلكترونية ولا يمكنك حل المشكلة تجريبياً؟

في ساعة واحدة ، يتحرك عقرب الدقائق بدائرة واحدة والجزء الخاص بالساعة من الدائرة. دع سرعاتهم تساوي (لفة في الساعة) و (لفات في الساعة). ابدأ - عند .. لنجد الوقت الذي سيلحق فيه عقرب الدقائق بعقرب الساعات لأول مرة.

سيذهب عقرب الدقائق إلى دائرة أخرى ، لذا ستكون المعادلة:

لحلها ، نحصل على تلك الساعات. لذلك ، لأول مرة ، ستصطف اليدين في غضون ساعات. اسمحوا للمرة الثانية اللحاق في الوقت المناسب. سيغطي عقرب الدقائق المسافة ، وعقرب الساعات ، مع تحريك عقرب الدقائق دورة أخرى. لنكتب المعادلة:

لحلها ، نحصل على تلك الساعات. لذلك ، بعد ساعة ، ستتحاذي العقارب للمرة الثانية ، بعد ساعة أخرى - للثالث ، وبعد ساعة أخرى - للرابع.

لذلك ، إذا كانت البداية في. ، فعندئذ للمرة الرابعة ستصطف الأسهم
ساعات.

الجواب يتفق تماما مع الحل "التجريبي"! :-)

في امتحان الرياضيات ، قد تواجه أيضًا مشكلة إيجاد متوسط ​​السرعة. تذكر أن متوسط ​​السرعة لا يساوي المتوسط ​​الحسابي للسرعة. يعتمد على صيغة خاصة:

,
أين هي السرعة المتوسطة ، والمسافة الكلية ، والوقت الإجمالي.

إذا كان هناك قسمان من المسار ، إذن

عبر المسافر البحر على متن يخت بمتوسط ​​سرعة كم / ساعة. عاد على متن طائرة رياضية بسرعة كم / ساعة. ابحث عن متوسط ​​سرعة المسافر للرحلة بأكملها. أعط إجابتك بالكيلومتر / الساعة.

لا نعرف ما هي المسافة التي قطعها المسافر. نحن نعلم فقط أن هذه المسافة كانت هي نفسها في الطريق ذهابًا وإيابًا. للتبسيط ، سنأخذ هذه المسافة (بحر واحد). ثم يساوي الوقت الذي أبحر فيه المسافر على اليخت ، والوقت الذي يقضيه المسافر في الرحلة يساوي. الوقت الإجمالي.
متوسط ​​السرعة كم / ساعة.

إجابه: .

دعنا نعرض خدعة أخرى رائعة تساعد في حل نظام المعادلات في المسألة 13 بسرعة.

أندريه وباشا يرسمان السياج في غضون ساعات. يرسم باشا وفولوديا نفس السور في غضون ساعات ، وفولوديا وأندريه - في غضون ساعات. كم ساعة سيستغرقها الأولاد لطلاء السياج مع عمل ثلاثة منهم؟

لقد قمنا بالفعل بحل مهام العمل والإنتاجية. القواعد هي نفسها. الاختلاف الوحيد هو أن هناك ثلاثة أشخاص يعملون هنا ، وسيكون هناك أيضًا ثلاثة متغيرات. دعونا - أداء أندري ، - أداء باشا ، وأداء فولوديا. سنأخذ السياج ، أي مقدار العمل ، لأنه - بعد كل شيء ، لا يمكننا قول أي شيء عن حجمه.

	أداء	عمل
أندرو
باشا
فولوديا
معاً

قام أندريه وباشا برسم السياج في غضون ساعات. نتذكر أن الأداء يضيف عندما نعمل معًا. لنكتب المعادلة:

على نفس المنوال،

ثم


.

يمكنك البحث عن ، وبشكل منفصل ، ولكن من الأفضل إضافة جميع المعادلات الثلاث فقط. لقد حصلنا على ذلك

لذلك ، بالعمل معًا ، يقوم أندريه وباشا وفولوديا برسم ثمن السور في ساعة واحدة. سيرسمون السياج بأكمله في غضون ساعات.

لاستخدام معاينة العروض التقديمية ، قم بإنشاء حساب Google (حساب) وقم بتسجيل الدخول: https://accounts.google.com

شرح الشرائح:

نظرية حول موضوع: "حل المشكلات من أجل الفائدة".

النوع 1: تحويل النسبة المئوية إلى رقم عشري. النسبة المئوية  الكسر A٪  A مقسومًا على 100 مهمة: 20٪؛ 75٪؛ 125٪؛ 50٪؛ 40٪؛ 1٪؛ 70٪؛ 35٪؛ 80٪ .... ملء الجدول 1٪ 5٪ 10٪ 20٪ 25٪ 50٪ 75٪ 100٪

النوع 2: تحويل الكسر إلى نسبة مئوية. عدد  النسب المئوية A  A مرات 100٪ تحويل الكسور إلى نسب مئوية: 3/4؛ 0.07 ؛ 2.4 (GIA ، المهام الموضوعية) طابق الكسور التي تعبر عن حصص قيمة معينة ، والنسب المئوية المقابلة لها. A.1 / 4 ؛ ب) 3/5 ؛ ج) 0.5 ؛ د) 0.05 1) 5٪ ؛ 2) 25٪ ؛ 3) 50٪ ؛ 4) 60٪ الإجابة: أ ب ج د

النوع 3: إيجاد نسبة مئوية من رقم. X٪ من A 1) يتم تمثيل X٪ ككسر عشري 2) يتم ضرب الرقم A في الكسر العشري. المهمة مثال. خلال شهر ، أنتجت الشركة 500 جهاز. 20٪ من الأجهزة المصنعة فشلت في اجتياز مراقبة الجودة. كم عدد الأجهزة التي فشلت في مراقبة الجودة؟ المحلول. عليك أن تجد 20٪ من العدد الإجمالي للأجهزة المصنعة (500). 20٪ = 0.2. 500 * 0.2 = 100. لم يجتاز 100 من العدد الإجمالي للأجهزة المصنعة رقابة الجودة.

النوع 4: ابحث عن رقم بنسبته المئوية. وهذه X٪: 1) يتم تمثيل X٪ ككسر عشري 2) A مقسومًا على كسر عشري. المهمة مثال. استعدادًا للامتحان ، حل الطالب 38 مهمة من دليل الدراسة الذاتية. وهو ما يمثل 25٪ من عدد جميع المهام في الدليل. كم عدد المهام التي تم جمعها في دليل الدراسة الذاتية هذا؟ المحلول. لا نعرف عدد المهام الموجودة في الدليل. لكن من ناحية أخرى ، نعلم أن 38 مهمة تمثل 25٪ من العدد الإجمالي. 25٪ = 0.25 38 / 0.25 = 152. توجد 152 مشكلة في هذه المجموعة.

اكتب 5: أوجد النسبة المئوية لرقمين. أرقام A و B. ما هي٪ ب من أ؟ 1) B / A 2) اضرب حاصل القسمة الناتج بنسبة 100٪ المهمة عبارة عن عينة. يوجد 30 طالبًا في الفصل. 15 منهم من الفتيات. ما هي نسبة الفتيات في الفصل؟ المحلول. لمعرفة النسبة المئوية لرقم واحد من رقم آخر ، تحتاج إلى الرقم الذي تريد البحث عنه ، ثم قسّمه على العدد الإجمالي واضربه في 100٪. لذا ، 1) 15/30 = 0.5 2) 0.5 * 100٪ = 50٪ المهمة عبارة عن عينة. لمدة ساعة واحدة ، أنتجت الآلة الأوتوماتيكية 240 قطعة. بعد إعادة بناء هذه الآلة ، بدأ في إنتاج 288 قطعة من نفس الأجزاء في الساعة. ما هي نسبة زيادة إنتاجية الماكينة؟ المحلول. زادت إنتاجية الماكينة بمقدار 288-240 = 48 جزءًا في الساعة. تحتاج إلى معرفة النسبة المئوية المكونة من 240 جزءًا والتي تتكون من 48 جزءًا. لمعرفة النسبة المئوية للرقم 48 من الرقم 240 ، تحتاج إلى قسمة الرقم 48 على 240 وضرب الناتج في 100٪. 48/240 * 100٪ = 20٪ الإجابة: زيادة إنتاجية الماكينة بنسبة 20٪

النوع 6: زيادة الرقم بنسبة مئوية. إنقاص الرقم بنسبة مئوية. A هو رقم ؛ زيادة بنسبة X٪ ، ثم زادت بمقدار (1 + x / 100) مرة. : 1) الرقم أ مضروب في 2) (1 + س / 100). المهمة مثال. . في امتحان الرياضيات العام الماضي ، حصل 140 طالبًا ثانويًا على درجة A. هذا العام زاد عدد الطلاب المتفوقين بنسبة 15٪. كم عدد الأشخاص الذين حصلوا على A في امتحان الرياضيات هذا العام؟ المحلول. 140 * (1 + 15/100) = 161. أ - رقم ؛ قلنا بنسبة X٪ ثم انخفض بمقدار (1 - x / 100) مرة. : 1) الرقم أ مضروب في 2) (1 - س / 100). المهمة مثال. قبل عام ، تخرج 100 طفل من المدرسة. وهذا العام انخفض عدد الخريجين بنسبة 25٪. كم عدد الخريجين هذا العام؟ المحلول. 100 * (1 - 25/100) = 75.

النوع 7: تركيز المحلول. المهمة مثال. تمت إذابة كيلوغرام من الملح في 9 لترات من الماء. ما هو تركيز المحلول الناتج؟ (كتلة 1 لتر من الماء 1 كجم) (خلايا بيترسون 6) الحل 1) كتلة المذاب 1 كجم 2) كتلة المحلول بالكامل 1 + 9 \ u003d 10 (كجم) 9 كجم هي الكتلة من الماء في المحلول (يجب عدم الخلط بينه وبين الكتلة الكلية للمحلول) 3) 1/10 * 100٪ \ u003d 10٪ 10٪ - تركيز المحلول

النوع 8: نسبة المعدن في السبيكة. مهمة - عينة 1. توجد قطعة من سبيكة من النحاس والقصدير كتلتها الإجمالية 12 كجم تحتوي على 45٪ نحاس. ما مقدار القصدير النقي الذي يجب إضافته إلى هذه القطعة من السبيكة بحيث تحتوي السبيكة الناتجة على 40٪ من النحاس؟ الحل 1) 12. 0.45 = 5.4 (كجم) - النحاس النقي في السبيكة الأولى ؛ 2) 5.4: 0.4 = 13.5 (كجم) - وزن السبيكة الجديدة ؛ 3) 13.5 - 12 = 1.5 (كجم) قصدير. الجواب: تحتاج 1.5 كجم من القصدير.

المهمة - العينة 2. هناك نوعان من السبائك تتكون من النحاس والزنك والقصدير. من المعروف أن السبيكة الأولى تحتوي على 40٪ قصدير ، والثانية - 26٪ نحاس. النسبة المئوية للزنك في السبائك الأولى والثانية هي نفسها. بعد صهر 150 كجم من السبيكة الأولى و 250 كجم من الثانية ، تم الحصول على سبيكة جديدة ، تبين أن 30 ٪ من الزنك فيها. حدد عدد كيلوغرامات القصدير الموجودة في السبيكة الجديدة الناتجة. نظرًا لأن نسبة الزنك في السبائك الأولى والثانية هي نفسها وفي السبيكة الثالثة فقد كانت 30٪ ، ثم في السبائك الأولى والثانية تكون نسبة الزنك 30٪. 250 * 0.3 = 75 (كجم) - زنك في السبيكة الثانية ؛ 250 * 0.26 = 65 (كجم) - النحاس في السبيكة الثانية ؛ 250- (75 + 65) = 110 (كجم) قصدير في السبيكة الثانية ؛ 150. 0.4 = 60 (كجم) - القصدير في السبيكة الأولى ؛ 110 + 60 = 170 (كجم) - قصدير في السبيكة الثالثة. الجواب: 170 كغم. سبيكة 1 سبيكة 2 سبيكة جديدة (3) نحاس 26٪ زنك 30٪ 30٪ 30٪ قصدير 40٪ كجم وزن 150 كجم 250 كجم 150 + 250 = 400

النوع 9: حول "المادة الجافة". أي منتج تقريبًا - التفاح والبطيخ والفطر والبطاطس والحبوب والخبز وما إلى ذلك. يتكون من الماء والمواد الجافة. علاوة على ذلك ، تحتوي كل من الأطعمة الطازجة والمجففة على الماء. أثناء عملية التجفيف ، يتبخر الماء فقط ، ولا تتغير كتلة المادة الجافة. اي جي. موردكوفيتش "الرياضيات 6" مشكلة رقم 362 المشكلة عينة. فطر طازج يحتوي على 90٪ ماء ، ومجفف - 15٪. كم عدد الفطر المجفف الذي سيتم الحصول عليه من 17 كجم من الفطر الطازج؟ كم عدد الفطر الطازج الذي تحتاجه للحصول على 3.4 كجم من الفطر المجفف؟ المحلول. لنضع جدولاً: الجزء 1 من المشكلة: المادة كتلة المادة (كجم) نسبة الماء نسبة المادة الجافة كتلة المادة الجافة (كجم) فطر طازج 17 كجم 90٪ 10٪ 17 * 0.1 = 1.7 فطر مجفف X كجم 15٪ 85٪ X * o.85 = 0.85x نظرًا لأن كتلة المادة الجافة في الفطر الجاف والطازج تظل دون تغيير ، نحصل على المعادلة: 0.85x \ u003d 1.7 ، x \ u003d 1.7: 0.85 ، x \ u003d 2.

الجزء الثاني من المشكلة: كتلة المادة (كجم) نسبة الماء نسبة الماء كتلة المادة الجافة (كجم) فطر طازج 90٪ 10٪ 0.1 فطر مجفف 3.4 15٪ 85٪ 3.4 * 0.85 = 2.89 0.1 س = 2.89 ، س = 2.89: 0.1 ، س = 28.9. الإجابة: من 17 كجم من الفطر الطازج تحصل على 2 كجم من الفطر المجفف ؛ للحصول على 3.4 كجم من الفطر المجفف ، يجب أن تتناول 28.9 كجم من الفطر الطازج.