يتم إعطاء المتغير العشوائي بواسطة دالة التوزيع. أوجد دالة التوزيع F (x)

على عكس المتغير العشوائي المنفصل ، لا يمكن تحديد المتغيرات العشوائية المستمرة في شكل جدول من قانون التوزيع الخاص به ، لأنه من المستحيل سرد وكتابة جميع قيمه في تسلسل معين. تتمثل إحدى الطرق الممكنة لتعريف متغير عشوائي مستمر في استخدام دالة التوزيع.

تعريف. دالة التوزيع هي دالة تحدد احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي قيمة يتم تصويرها على المحور الحقيقي بنقطة على يسار النقطة x ، أي

في بعض الأحيان ، يتم استخدام مصطلح "دالة متكاملة" بدلاً من مصطلح "وظيفة التوزيع".

خصائص دالة التوزيع:

1. تنتمي قيمة دالة التوزيع إلى المقطع: 0F (x) 1
2. F (x) دالة غير متناقصة ، أي F (x 2) F (x 1) إذا x 2> x 1

نتيجة طبيعية 1. احتمال أن يأخذ متغير عشوائي قيمة واردة في الفترة (أ ، ب) يساوي زيادة دالة التوزيع في هذه الفترة:

ص (أكس

مثال 9: المتغير العشوائي X تعطى بواسطة دالة التوزيع:

أوجد الاحتمال ، نتيجة للاختبار ، أن X ستأخذ قيمة تنتمي إلى الفترة الزمنية (0 ؛ 2): P (0

الحل: بما أنه في الفترة الزمنية (0 ؛ 2) حسب الشرط ، F (x) = x / 4 + 1/4 ، ثم F (2) -F (0) = (2/4 + 1/4) - (0 / 4 + 1/4) = 1/2. لذا ف (0

النتيجة الطبيعية 2. احتمال أن يأخذ متغير عشوائي مستمر X قيمة محددة واحدة يساوي صفرًا.

النتيجة الطبيعية 3. إذا كانت القيم المحتملة لمتغير عشوائي تنتمي إلى الفترة الزمنية (أ ؛ ب) ، إذن: 1) F (x) = 0 لـ xa ؛ 2) F (x) = 1 لـ xb.
العلاقات المحددة التالية صالحة:

يقع الرسم البياني لوظيفة التوزيع في الشريط الذي تحده خطوط مستقيمة y = 0 ، y = 1 (الخاصية الأولى). مع زيادة x في الفترة (أ ؛ ب) ، التي تحتوي على جميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي ، فإن الرسم البياني "يرتفع". بالنسبة إلى xa ، إحداثيات الرسم البياني تساوي صفرًا ؛ في xb ، إحداثيات الرسم البياني تساوي واحدًا:

الصورة 1

مثال 10. المتغير العشوائي المنفصل X يُعطى بواسطة جدول التوزيع:

X	1	4	8
ص	0.3	0.1	0.6

ابحث عن دالة التوزيع وابني الرسم البياني الخاص بها.
الحل: يمكن كتابة دالة التوزيع بشكل تحليلي على النحو التالي:

الشكل 2

التعريف: كثافة التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المستمر X هي الوظيفة f (x) - المشتق الأول لدالة التوزيع F (x): f (x) \ u003d F "(x)

ويترتب على هذا التعريف أن دالة التوزيع هي المشتق العكسي لكثافة التوزيع.

نظرية. احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي المستمر X قيمة تنتمي إلى الفترة الزمنية (أ ؛ ب) يساوي جزءًا لا يتجزأ من كثافة التوزيع ، مأخوذ في النطاق من أ إلى ب:

(8)

خصائص كثافة الاحتمال:

1. كثافة الاحتمال دالة غير سالبة: f (x) 0.
2. التكامل المحدد من-إلى + لكثافة التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي مستمر يساوي 1: f (x) dx = 1.
3. التكامل المحدد من-إلى x لكثافة التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي مستمر يساوي دالة التوزيع لهذا المتغير: f (x) dx = F (x)

مثال 11. بالنظر إلى كثافة التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي X

أوجد الاحتمال ، نتيجة الاختبار ، أن تأخذ X قيمة تنتمي إلى الفترة الزمنية (0.5 ؛ 1).

الحل: الاحتمال المطلوب:

دعونا نوسع تعريف الخصائص العددية للكميات المنفصلة إلى الكميات المستمرة. دع المتغير العشوائي المستمر X يُعطى بكثافة التوزيع f (x).

تعريف. يُطلق على التوقع الرياضي للمتغير العشوائي المستمر X ، الذي تنتمي قيمه المحتملة إلى المقطع ، تكامل محدد:

M (x) = xf (x) dx (9)

إذا كانت القيم المحتملة تنتمي إلى المحور x بأكمله ، فعندئذٍ:

م (س) = xf (س) دكس (10)

الوضع M 0 (X) لمتغير عشوائي مستمر X هو قيمته المحتملة ، والتي تتوافق مع الحد الأقصى المحلي لكثافة التوزيع.

الوسيط M e (X) لمتغير عشوائي مستمر X هو قيمته المحتملة ، والتي تحددها المساواة:

الفوسفور (X e (X)) = P (X> M e (X))

تعريف. تشتت المتغير العشوائي المستمر هو التوقع الرياضي لمربع انحرافه. إذا كانت القيم المحتملة لـ X تنتمي إلى المقطع ، فعندئذٍ:

د (س) = 2 و (س) دكس (11)
أو
D (x) = x 2 f (x) dx- 2 (11 *)

إذا كانت القيم المحتملة تنتمي إلى المحور x بأكمله ، إذن.

متغير عشوائي هو متغير يمكن أن يأخذ قيمًا معينة اعتمادًا على ظروف مختلفة ، و يسمى المتغير العشوائي المستمر ، إذا كان يمكن أن يأخذ أي قيمة من فاصل زمني محدد أو غير محدود. بالنسبة لمتغير عشوائي مستمر ، من المستحيل تحديد جميع القيم الممكنة ، لذلك يتم الإشارة إلى فترات هذه القيم المرتبطة باحتمالات معينة.

من أمثلة المتغيرات العشوائية المستمرة: قطر الجزء الذي تحول إلى حجم معين ، وارتفاع الشخص ، ومدى المقذوف ، وما إلى ذلك.

منذ المتغيرات العشوائية المستمرة الدالة F(x) ، على عكس المتغيرات العشوائية المنفصلة، ليس له قفزات في أي مكان ، فإن احتمال أي قيمة مفردة لمتغير عشوائي مستمر يساوي صفرًا.

هذا يعني أنه بالنسبة لمتغير عشوائي مستمر ، ليس من المنطقي التحدث عن توزيع الاحتمالات بين قيمه: فلكل منها احتمال صفري. ومع ذلك ، بمعنى ما ، من بين قيم المتغير العشوائي المستمر هناك "احتمال أكثر فأكثر". على سبيل المثال ، من غير المحتمل أن يشك أي شخص في أن قيمة المتغير العشوائي - ارتفاع الشخص الذي تمت مواجهته عشوائيًا - 170 سم - من المرجح أن تزيد عن 220 سم ، على الرغم من إمكانية حدوث قيمة وأخرى في الممارسة العملية.

دالة التوزيع لمتغير عشوائي مستمر وكثافة احتمالية

كقانون توزيع ، والذي يكون منطقيًا فقط للمتغيرات العشوائية المستمرة ، يتم تقديم مفهوم كثافة التوزيع أو كثافة الاحتمال. دعنا نتناولها من خلال مقارنة معنى دالة التوزيع لمتغير عشوائي مستمر ومتغير عشوائي منفصل.

إذن ، دالة التوزيع لمتغير عشوائي (كلاهما منفصل ومستمر) أو دالة متكاملةتسمى دالة تحدد احتمالية أن تكون قيمة متغير عشوائي Xأقل من أو يساوي القيمة المحددة X.

لمتغير عشوائي منفصل عند نقاط قيمه x1 , x 2 , ..., xأنا ،...كتل مركزة من الاحتمالات ص1 , ص 2 , ..., صأنا ،...، ومجموع كل الكتل يساوي 1. لننقل هذا التفسير إلى حالة المتغير العشوائي المستمر. تخيل أن كتلة تساوي 1 لا تتركز في نقاط منفصلة ، ولكنها "تلطخ" باستمرار على طول المحور السيني ثورمع بعض الكثافة غير المتكافئة. احتمالية إصابة متغير عشوائي في أي موقع Δ xسيتم تفسيره على أنه الكتلة المنسوبة إلى هذا القسم ، ومتوسط ​​الكثافة في هذا القسم - كنسبة الكتلة إلى الطول. لقد قدمنا ​​للتو مفهومًا مهمًا في نظرية الاحتمالات: كثافة التوزيع.

كثافة الاحتمال F(x) من المتغير العشوائي المستمر هو مشتق من دالة التوزيع الخاصة به:

.

بمعرفة دالة الكثافة ، يمكننا إيجاد احتمال أن تنتمي قيمة المتغير العشوائي المستمر إلى الفترة المغلقة [ أ; ب]:

احتمال أن يكون متغير عشوائي مستمر Xسيأخذ أي قيمة من الفاصل الزمني [ أ; ب] ، تساوي تكاملًا معينًا لكثافة احتمالية في النطاق من أقبل ب:

.

في هذه الحالة ، الصيغة العامة للدالة F(x) التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي مستمر ، والذي يمكن استخدامه إذا كانت دالة الكثافة معروفة F(x) :

.

يسمى الرسم البياني للكثافة الاحتمالية لمتغير عشوائي مستمر منحنى التوزيع الخاص به (الشكل أدناه).

مساحة الشكل (المظللة في الشكل) ، يحدها منحنى ، وخطوط مستقيمة مرسومة من النقاط أو بعمودي على محور الإحداثية ، والمحور أوهيعرض بيانياً احتمال أن تكون قيمة متغير عشوائي مستمر Xيقع في نطاق أقبل ب.

خصائص دالة الكثافة الاحتمالية لمتغير عشوائي مستمر

1. احتمالية أن يأخذ المتغير العشوائي أي قيمة من الفاصل الزمني (ومساحة الشكل المحدد بالرسم البياني للوظيفة F(x) والمحور أوه) يساوي واحدًا:

2. لا يمكن لدالة كثافة الاحتمال أن تأخذ قيمًا سالبة:

وخارج نطاق وجود التوزيع ، قيمته صفر

كثافة التوزيع F(x) ، وكذلك دالة التوزيع F(x) ، أحد أشكال قانون التوزيع ، ولكن بخلاف دالة التوزيع ، فهي ليست عامة: كثافة التوزيع موجودة فقط للمتغيرات العشوائية المستمرة.

دعنا نذكر أهم نوعين في الممارسة العملية لتوزيع متغير عشوائي مستمر.

إذا كانت دالة كثافة التوزيع F(x) متغير عشوائي مستمر في فترة محدودة [ أ; ب] يأخذ قيمة ثابتة ج، وخارج الفترة يأخذ قيمة تساوي صفرًا ، ثم هذا التوزيع يسمى موحد .

إذا كان الرسم البياني لوظيفة كثافة التوزيع متماثلًا حول المركز ، فإن القيم المتوسطة تتركز بالقرب من المركز ، وعند الابتعاد عن المركز ، يتم جمع المزيد من المتوسطات (الرسم البياني للوظيفة يشبه قطع جرس) ، ثم هذا التوزيع يسمى عادي .

مثال 1تُعرف دالة التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي مستمر:

ابحث عن ميزة F(x) كثافة الاحتمال لمتغير عشوائي مستمر. ارسم الرسوم البيانية لكلتا الوظيفتين. أوجد احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي المستمر أي قيمة في النطاق من 4 إلى 8:.

المحلول. نحصل على دالة كثافة الاحتمال من خلال إيجاد مشتق دالة التوزيع الاحتمالي:

رسم بياني وظيفي F(x) - القطع المكافئ:

رسم بياني وظيفي F(x) - خط مستقيم:

لنجد احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي المستمر أي قيمة في النطاق من 4 إلى 8:

مثال 2يتم إعطاء دالة كثافة الاحتمال لمتغير عشوائي مستمر على النحو التالي:

حساب العامل ج. ابحث عن ميزة F(x) التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي مستمر. ارسم الرسوم البيانية لكلتا الوظيفتين. أوجد احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي المستمر أي قيمة في النطاق من 0 إلى 5:.

المحلول. معامل في الرياضيات او درجة جنجد ، باستخدام الخاصية 1 لدالة كثافة الاحتمال:

وبالتالي ، فإن دالة كثافة الاحتمال لمتغير عشوائي مستمر هي:

عند التكامل ، نجد الدالة F(x) التوزيعات الاحتمالية. اذا كان x < 0 , то F(x) = 0. إذا كان 0< x < 10 , то

.

x> 10 ، إذن F(x) = 1 .

وبالتالي ، فإن السجل الكامل لوظيفة التوزيع الاحتمالي هو:

رسم بياني وظيفي F(x) :

رسم بياني وظيفي F(x) :

لنجد احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي المستمر أي قيمة في النطاق من 0 إلى 5:

مثال 3كثافة الاحتمالية لمتغير عشوائي مستمر Xمن خلال المساواة ، بينما. أوجد المعامل لكن، احتمالية أن يكون متغير عشوائي مستمر Xيأخذ بعض القيمة من الفاصل] 0 ، 5 [، دالة التوزيع لمتغير عشوائي مستمر X.

المحلول. بشرط ، نصل إلى المساواة

لذلك من أين. لذا،

.

الآن نجد احتمال وجود متغير عشوائي مستمر Xسيأخذ أي قيمة من الفاصل الزمني] 0 ، 5 [:

الآن نحصل على دالة التوزيع لهذا المتغير العشوائي:

مثال 4أوجد كثافة الاحتمال لمتغير عشوائي مستمر X، التي تأخذ فقط القيم غير السالبة ، ودالة التوزيع الخاصة بها .

الفصل 1. المتغير العشوائي المنفصل

§ 1. مفهوم المتغير العشوائي.

قانون توزيع المتغير العشوائي المنفصل.

تعريف : Random عبارة عن كمية ، كنتيجة للاختبار ، تأخذ قيمة واحدة فقط من مجموعة محتملة من قيمها ، غير معروفة مقدمًا وتعتمد على أسباب عشوائية.

هناك نوعان من المتغيرات العشوائية: متقطع ومستمر.

تعريف : المتغير العشوائي X يسمى منفصله (غير مستمر) إذا كانت مجموعة قيمها محدودة أو غير محدودة ، ولكنها قابلة للعد.

بمعنى آخر ، يمكن إعادة ترقيم القيم المحتملة لمتغير عشوائي منفصل.

يمكنك وصف متغير عشوائي باستخدام قانون التوزيع الخاص به.

تعريف : قانون توزيع المتغير العشوائي المنفصل يسمى التطابق بين القيم المحتملة لمتغير عشوائي واحتمالاتها.

يمكن إعطاء قانون توزيع المتغير العشوائي المنفصل X في شكل جدول ، في السطر الأول يتم الإشارة إلى جميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي بترتيب تصاعدي ، وفي السطر الثاني الاحتمالات المقابلة من هذه القيم ، أي

حيث р1 + р2 +… + рn = 1

يسمى هذا الجدول سلسلة توزيع لمتغير عشوائي منفصل.

إذا كانت مجموعة القيم المحتملة للمتغير العشوائي لا نهائية ، فإن السلسلة р1 + р2 +… + рn +… تتقارب ومجموعها يساوي 1.

يمكن تصوير قانون التوزيع لمتغير عشوائي X متقطع بيانياً ، حيث يتم بناء خط متعدد الأضلاع في نظام إحداثيات مستطيل ، يربط النقاط المتتالية بالإحداثيات (xi ؛ pi) ، i = 1،2 ، ... n. يتم استدعاء الخط الناتج مضلع التوزيع (رسم بياني 1).

الكيمياء العضوية "href =" / text / category / organicheskaya_hiimya / "rel =" bookmark "> للكيمياء العضوية هي 0.7 و 0.8 ، على التوالي. ضع قانون توزيع المتغير العشوائي X - عدد الاختبارات التي سيجريها الطالب يمر.

المحلول. نتيجة للاختبار ، يمكن للمتغير العشوائي X المدروس أن يأخذ إحدى القيم التالية: x1 = 0 ، x2 = 1 ، x3 = 2.

دعونا نحدد احتمالية هذه القيم. دلالة الأحداث:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg "width =" 259 "height =" 66 src = ">

إذن ، قانون توزيع المتغير العشوائي X معطى في الجدول:

التحكم: 0.6 + 0.38 + 0.56 = 1.

§ 2. وظيفة التوزيع

كما يتم إعطاء وصف كامل للمتغير العشوائي بواسطة دالة التوزيع.

تعريف: دالة التوزيع لمتغير عشوائي منفصل X يتم استدعاء الوظيفة F (x) ، والتي تحدد لكل قيمة x احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي X قيمة أقل من x:

و (س) = ف (س<х)

هندسيًا ، يتم تفسير دالة التوزيع على أنها احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي X القيمة الموضحة على خط الأعداد بنقطة على يسار النقطة x.

1) 0 درجة فهرنهايت (س) ≤1 ؛

2) F (x) هي دالة غير متناقصة على (-؛ + ∞) ؛

3) F (x) - متصلة من اليسار عند النقاط x = xi (i = 1،2،… n) ومستمرة في جميع النقاط الأخرى ؛

4) و (-) = ف (س<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,

F (+ ∞) = P (X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.

إذا تم إعطاء قانون التوزيع لمتغير عشوائي X منفصل في شكل جدول:

ثم يتم تحديد دالة التوزيع F (x) بالصيغة:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif "height =" 110 ">

0 لـ x≤ x1 ،

p1 في x1< х≤ x2,

F (x) = p1 + p2 عند x2< х≤ х3

1 لـ x> xn.

يظهر الرسم البياني لها في الشكل. 2:

§ 3. الخصائص العددية لمتغير عشوائي متقطع.

التوقع الرياضي هو أحد الخصائص العددية الهامة.

تعريف: التوقع الرياضي M (X) المتغير العشوائي المنفصل X هو مجموع حاصل ضرب كل قيمه والاحتمالات المقابلة لها:

م (X) = ∑ xiрi = x1р1 + x2р2 +… + xnрn

التوقع الرياضي بمثابة خاصية لمتوسط ​​قيمة متغير عشوائي.

خصائص التوقع الرياضي:

1) M (C) = C ، حيث C قيمة ثابتة ؛

2) M (C X) \ u003d C M (X) ،

3) M (X ± Y) = M (X) ± M (Y) ؛

4) M (X Y) = M (X) M (Y) ، حيث X ، Y متغيرات عشوائية مستقلة ؛

5) M (X ± C) = M (X) ± C ، حيث C هي قيمة ثابتة ؛

لتوصيف درجة تشتت القيم المحتملة لمتغير عشوائي منفصل حول قيمته المتوسطة ، نستخدمها تشتت.

تعريف: تشتت د ( X ) المتغير العشوائي X هو التوقع الرياضي للانحراف التربيعي للمتغير العشوائي عن توقعه الرياضي:

خصائص التشتت:

1) D (C) = 0 ، حيث C هي قيمة ثابتة ؛

2) D (X)> 0 ، حيث X متغير عشوائي ؛

3) D (C X) = C2 D (X) ، حيث C هي قيمة ثابتة ؛

4) D (X + Y) = D (X) + D (Y) ، حيث X ، Y متغيرات عشوائية مستقلة ؛

لحساب التباين ، غالبًا ما يكون من الملائم استخدام الصيغة:

D (X) = M (X2) - (M (X)) 2 ،

حيث М (Х) = ∑ xi2рi = x12р1 + x22р2 +… + xn2рn

يحتوي التباين D (X) على أبعاد مربع المتغير العشوائي ، وهذا ليس مناسبًا دائمًا. لذلك ، تُستخدم القيمة √D (X) أيضًا كمؤشر على تشتت القيم المحتملة لمتغير عشوائي.

تعريف: الانحراف المعياري σ (X) المتغير العشوائي X يسمى الجذر التربيعي للتباين:

رقم المهمة 2.يتم إعطاء المتغير العشوائي المنفصل X بواسطة قانون التوزيع:

أوجد P2 ، دالة التوزيع F (x) ورسم الرسم البياني الخاص بها ، وكذلك M (X) ، D (X) ، σ (X).

المحلول: بما أن مجموع احتمالات القيم المحتملة للمتغير العشوائي X يساوي 1 ، إذن

Р2 = 1- (0.1 + 0.3 + 0.2 + 0.3) = 0.1

أوجد دالة التوزيع F (x) = P (X

هندسيًا ، يمكن تفسير هذه المساواة على النحو التالي: F (x) هو احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي القيمة الموضحة على المحور الحقيقي بنقطة على يسار x.

إذا كانت x≤-1 ، فإن F (x) = 0 ، حيث لا توجد قيمة واحدة لهذا المتغير العشوائي في (-∞ ؛ x) ؛

إذا -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1;

إذا كان 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток

(-∞ ؛ х) قيمتان x1 = -1 و x2 = 0 تقع ؛

إذا 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1;

إذا 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2;

إذا كانت x> 3 ، فإن F (x) = P (X = -1) + P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) = 0.1 +0.1 + 0.3 + 0.2 + 0.3 = 1 ، نظرًا لأن أربع قيم x1 = -1 ، x2 = 0 ، x3 = 1 ، x4 = 2 تقع في الفاصل الزمني (-∞ ؛ x) و x5 = 3.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif "width =" 14 height = 2 "height =" 2 "> 0 لـ x≤-1 ،

0.1 في -1<х≤0,

0.2 في 0<х≤1,

F (x) = 0.5 عند 1<х≤2,

0.7 في 2<х≤3,

1 لـ x> 3

دعنا نمثل الدالة F (x) بيانياً (الشكل 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg "العرض =" 158 الارتفاع = 29 "الارتفاع =" 29 "> ≈1.2845.

§ 4. قانون التوزيع ذي الحدين

متغير عشوائي منفصل ، قانون بواسون.

تعريف: ذات الحدين يسمى قانون توزيع المتغير العشوائي المنفصل X - عدد تكرارات الحدث A في n تجارب متكررة مستقلة ، في كل منها قد يحدث A مع الاحتمال p أو لا يحدث مع الاحتمال q = 1-p. ثم Р (Х = m) - احتمالية حدوث الحدث A بالضبط م مرة في n من التجارب يتم حسابها بواسطة صيغة برنولي:

الفوسفور (X = م) = Сmnpmqn-m

تم العثور على التوقع الرياضي والتباين والانحراف المعياري لمتغير عشوائي X ، موزعة وفقًا لقانون ثنائي ، على التوالي ، من خلال الصيغ:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif "width =" 26 "> احتمالية الحدث A -" الحصول على خمسة "في كل اختبار هو نفسه ويساوي 1/6 ، أي P (A) = p = 1/6 ، ثم P (A) = 1-p = q = 5/6 ، حيث

- "قطرات ليست خمس".

يمكن أن يأخذ المتغير العشوائي X القيم: 0 ؛ 1 ؛ 2 ؛ 3.

نجد احتمال كل من القيم الممكنة لـ X باستخدام صيغة برنولي:

P (X = 0) = P3 (0) = C03p0q3 = 1 (1/6) 0 (5/6) 3 = 125/216 ؛

الفوسفور (X = 1) = P3 (1) = C13p1q2 = 3 (1/6) 1 (5/6) 2 = 75/216 ؛

الفوسفور (X = 2) = P3 (2) = C23p2q = 3 (1/6) 2 (5/6) 1 = 15/216 ؛

الفوسفور (X = 3) = P3 (3) = C33p3q0 = 1 (1/6) 3 (5/6) 0 = 1/26.

الذي - التي. قانون توزيع المتغير العشوائي X له الشكل:

التحكم: 125/216 + 75/216 + 15/216 + 1/216 = 1.

لنجد الخصائص العددية للمتغير العشوائي X:

M (X) = np = 3 (1/6) = 1/2 ،

D (X) = npq = 3 (1/6) (5/6) = 5/12 ،

رقم المهمة 4.أجزاء طوابع الآلة الأوتوماتيكية. احتمال أن يكون الجزء المصنّع معيبًا هو 0.002. أوجد احتمال أن يكون هناك من بين 1000 جزء محدد:

أ) 5 معيب ؛

ب) واحد على الأقل معيب.

المحلول: الرقم n = 1000 كبير ، واحتمال تصنيع جزء معيب p = 0.002 صغير ، والأحداث قيد النظر (الجزء معيب) مستقلة ، لذلك تحدث صيغة Poisson:

Рn (م) = ه- λ λ م

لنجد λ = np = 1000 0.002 = 2.

أ) أوجد احتمال وجود 5 أجزاء معيبة (م = 5):

P1000 (5) = ه-2 25 = 32 0,13534 = 0,0361

ب) أوجد احتمال وجود جزء معيب واحد على الأقل.

الحدث أ - "أحد الأجزاء المحددة على الأقل معيب" هو عكس الحدث - "جميع الأجزاء المحددة ليست معيبة". لذلك ، P (A) \ u003d 1-P (). ومن ثم فإن الاحتمال المطلوب يساوي: Р (А) = 1-Р1000 (0) = 1- ه-2 20 = 1-e-2 = 1-0.13534≈0.865.

مهام العمل المستقل.

1.1

1.2. يتم إعطاء المتغير العشوائي المشتت X بواسطة قانون التوزيع:

ابحث عن p4 ، دالة التوزيع F (X) وارسم الرسم البياني الخاص بها ، وكذلك M (X) ، D (X) ، σ (X).

1.3. يوجد 9 أقلام فلوماستر في الصندوق ، 2 منها لم تعد تكتب. بشكل عشوائي ، خذ 3 أقلام فلوماستر. المتغير العشوائي X - عدد أقلام التلوين بين تلك التي تم التقاطها. يؤلف قانون توزيع المتغير العشوائي.

1.4. هناك 6 كتب مدرسية موضوعة بشكل عشوائي على رف المكتبة ، 4 منها ملزمة. يأخذ أمين المكتبة 4 كتب مدرسية بشكل عشوائي. المتغير العشوائي X هو عدد الكتب المدرسية المنضمة من بين تلك التي تم أخذها. يؤلف قانون توزيع المتغير العشوائي.

1.5. التذكرة لها مهمتان. احتمال حل المشكلة الأولى بشكل صحيح هو 0.9 ، والثاني هو 0.7. المتغير العشوائي X هو عدد المشكلات التي تم حلها بشكل صحيح في التذكرة. قم بتكوين قانون توزيع ، وحساب التوقع والتباين الرياضي لهذا المتغير العشوائي ، وكذلك إيجاد دالة التوزيع F (x) وبناء الرسم البياني الخاص بها.

1.6. ثلاثة رماة يطلقون النار على هدف. احتمال إصابة الهدف برصاصة واحدة للمطلق الأول هو 0.5 ، وللثاني - 0.8 ، وللثالث - 0.7. المتغير العشوائي X هو عدد الضربات على الهدف إذا أطلق الرماة طلقة واحدة لكل منهم. أوجد قانون التوزيع M (X) ، D (X).

1.7. يقوم لاعب كرة السلة برمي الكرة في السلة مع احتمال إصابة كل رمية 0.8. يحصل على 10 نقاط مقابل كل ضربة ، وفي حالة الخطأ لا يحصل على نقاط. قم بتجميع قانون توزيع المتغير العشوائي X- عدد النقاط المستلمة لاعب كرة سلةلمدة 3 رميات. أوجد M (X) و D (X) وأيضًا احتمال حصوله على أكثر من 10 نقاط.

1.8. الحروف مكتوبة على البطاقات ، فقط 5 أحرف متحركة و 3 حروف ساكنة. يتم اختيار 3 بطاقات بشكل عشوائي ، وفي كل مرة يتم إرجاع البطاقة التي تم أخذها. المتغير العشوائي X هو عدد حروف العلة من بين تلك التي تم التقاطها. ضع قانون توزيع وابحث عن M (X)، D (X)، σ (X).

1.9. في المتوسط ​​، تحت 60٪ من العقود ، تدفع شركة التأمين مبالغ التأمين فيما يتعلق بوقوع حدث مؤمن عليه. ضع قانون توزيع لمتغير عشوائي X - عدد العقود التي تم دفع مبلغ التأمين مقابلها من بين أربعة عقود تم اختيارها عشوائيًا. أوجد الخصائص العددية لهذه الكمية.

1.10. ترسل محطة الراديو على فترات زمنية معينة إشارات نداء (لا تزيد عن أربعة) حتى يتم إنشاء اتصال ثنائي الاتجاه. احتمال تلقي استجابة لإشارة النداء هو 0.3. عدد X المتغير العشوائي لإشارات النداء المرسلة. اكتب قانون التوزيع وابحث عن F (x).

1.11. هناك 3 مفاتيح ، واحد منها فقط يناسب القفل. ضع قانون توزيع للمتغير العشوائي X- عدد محاولات فتح القفل ، إذا لم يشارك المفتاح الذي تم تجربته في المحاولات اللاحقة. أوجد M (X) ، D (X).

1.12. يتم إجراء اختبارات مستقلة متسلسلة لثلاثة أجهزة من أجل الموثوقية. يتم اختبار كل جهاز لاحق فقط إذا تبين أن الجهاز السابق موثوق به. احتمال اجتياز الاختبار لكل أداة هو 0.9. قم بتجميع قانون توزيع عدد X المتغير العشوائي للأجهزة المختبرة.

1.13 المتغير العشوائي المتقطع X له ثلاث قيم محتملة: x1 = 1 و x2 و x3 و x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины.

1.14. تحتوي كتلة الجهاز الإلكتروني على 100 عنصر متطابق. احتمال فشل كل عنصر خلال الوقت T يساوي 0.002. العناصر تعمل بشكل مستقل. أوجد احتمال ألا يفشل أكثر من عنصرين في الوقت T.

1.15. تم نشر الكتاب المدرسي في 50000 نسخة. احتمالية ربط الكتاب المدرسي بشكل غير صحيح هي 0.0002. أوجد احتمال احتواء التداول على:

أ) أربعة كتب معيبة ،

ب) أقل من كتابين معيبين.

1 .16. يتم توزيع عدد المكالمات التي تصل إلى PBX كل دقيقة وفقًا لقانون بواسون مع المعلمة λ = 1.5. أوجد الاحتمال في غضون دقيقة:

أ) مكالمتين ؛

ب) مكالمة واحدة على الأقل.

1.17.

أوجد M (Z) ، D (Z) إذا كان Z = 3X + Y.

1.18. يتم إعطاء قوانين توزيع متغيرين عشوائيين مستقلين:

أوجد M (Z) ، D (Z) إذا كان Z = X + 2Y.

الإجابات:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif "height =" 110 "> 1.1. p3 = 0.4 ؛ 0 لـ x≤-2 ،

0.3 في -2<х≤0,

F (x) = 0.5 عند 0<х≤2,

0.9 في 2<х≤5,

1 لـ x> 5

1.2. p4 = 0.1 ؛ 0 لـ x≤-1 ،

0.3 في -1<х≤0,

0.4 في 0<х≤1,

F (x) = 0.6 عند 1<х≤2,

0.7 في 2<х≤3,

1 لـ x> 3

م (س) = 1 ؛ د (س) = 2.6 ؛ σ (X) ≈1.612.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif "width =" 2 height = 98 "height =" 98 "> 0 لـ x≤0 ،

0.03 في 0<х≤1,

F (x) = 0.37 عند 1<х≤2,

1 لـ x> 2

م (س) = 2 ؛ د (س) = 0.62

م (س) = 2.4 ؛ د (س) = 0.48 ، ف (س> 10) = 0.896

1. 8 .

م (س) = 15/8 ؛ D (X) = 45/64 ؛ σ (Х) ≈

م (س) = 2.4 ؛ د (س) = 0.96

https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif "width =" 14 "> 1.11.

م (س) = 2 ؛ د (س) = 2/3

1.14. 1.22e-0.2≈0.999

1.15. أ) 0.0189 ؛ ب) 0.00049

1.16. أ) 0.0702 ؛ ب) 0.77687

1.17. 3,8; 14,2

1.18. 11,2; 4.

الفصل 2 متغير عشوائي مستمر

تعريف: مستمر قم بتسمية القيمة ، كل القيم الممكنة التي تملأ بالكامل الفاصل المحدود أو اللانهائي للمحور العددي.

من الواضح أن عدد القيم الممكنة لمتغير عشوائي مستمر لا نهائي.

يمكن تحديد متغير عشوائي مستمر باستخدام دالة التوزيع.

تعريف: F دالة التوزيع المتغير العشوائي المستمر X هو دالة F (x) ، والتي تحدد لكل قيمة xhttps: //pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg "width =" 14 "height =" 13 "> R

تسمى دالة التوزيع أحيانًا دالة التوزيع التراكمي.

خصائص دالة التوزيع:

1) 1 درجة فهرنهايت (س) ≤1

2) بالنسبة لمتغير عشوائي مستمر ، تكون دالة التوزيع مستمرة عند أي نقطة و قابل للتفاضلفي كل مكان باستثناء ، ربما ، نقاط فردية.

3) احتمال أن يقع متغير عشوائي X في أحد الفواصل الزمنية (أ ؛ ب) ، [أ ؛ ب) ، [أ ؛ ب] ، يساوي الفرق بين قيم الدالة F (x) عند النقطتين أ و ب ، أي ص (أ<Х

4) احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي المستمر X قيمة واحدة هو 0.

5) و (-) = 0 ، و (+ ∞) = 1

تحديد متغير عشوائي مستمر باستخدام دالة التوزيع ليس هو الوحيد. دعونا نقدم مفهوم كثافة التوزيع الاحتمالي (كثافة التوزيع).

تعريف : كثافة الاحتمال F ( x ) المتغير العشوائي المستمر X هو مشتق من دالة التوزيع الخاصة به ، أي:

يُشار أحيانًا إلى توزيع الكثافة الاحتمالية باسم التفاضليهدالة التوزيع أو قانون التوزيع التفاضلي.

يسمى الرسم البياني لكثافة التوزيع الاحتمالي f (x) منحنى التوزيع الاحتمالي .

خصائص كثافة الاحتمال:

1) f (x) ≥0 ، عندما xhttps: //pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg "width =" 285 "height =" 141 ">. gif" width = "14" height = "62 src ="> 0 لـ x≤2 ،

و (س) = ج (س -2) عند 2<х≤6,

0 لـ x> 6.

أوجد: أ) قيمة ج ؛ ب) دالة التوزيع F (x) وبناء الرسم البياني الخاص بها ؛ ج) Р (3≤х<5)

المحلول:

+ ∞

أ) أوجد قيمة c من حالة التطبيع: ∫ f (x) dx = 1.

لذلك ، -∞

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif "height =" 38 src = ">-2 2 x

إذا 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))=

1/8 (x2 / 2-2x + 2) = 1/16 (x-2) 2 ؛

Gif "width =" 14 "height =" 62 "> 0 لـ x≤2 ،

F (x) \ u003d (x-2) 2/16 في 2<х≤6,

1 لـ x> 6.

يظهر الرسم البياني للدالة F (x) في الشكل 3

https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif "width =" 14 "height =" 62 src = "> 0 لـ x≤0 ،

F (x) \ u003d (3 arctg x) / عند 0<х≤√3,

1 من أجل x> √3.

أوجد دالة التوزيع التفاضلي f (x)

المحلول: منذ f (x) \ u003d F '(x) ، إذن

https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg "العرض =" 118 "الارتفاع =" 24 ">

جميع خصائص التوقع الرياضي والتشتت التي تم النظر فيها سابقًا للمتغيرات العشوائية المشتتة صالحة أيضًا للمتغيرات المستمرة.

رقم المهمة 3.يتم إعطاء المتغير العشوائي X بواسطة الدالة التفاضلية f (x):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif "الارتفاع =" 38 ">-2

X3 / 9 + x2 / 6 = 8 / 9-0 + 9 / 6-4 / 6 = 31/18 ،

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif "الارتفاع =" 38 "> + ∞

D (X) = ∫ x2 f (x) dx- (M (x)) 2 = ∫ x2 x / 3 dx + ∫1 / 3x2 dx = (31/18) 2 = x4 / 12 + x3 / 9 -

- (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif "الارتفاع =" 38 ">

ص (1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х =

4/6-1/6+1-2/3=5/6.

مهام الحل المستقل.

2.1. يتم إعطاء المتغير العشوائي المستمر X بواسطة دالة التوزيع:

0 لـ x≤0 ،

F (x) = https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif "width =" 14 "height =" 86 "> 0 لـ x≤ π / 6 ،

F (х) = - cos 3x عند π / 6<х≤ π/3,

1 لـ x> / 3.

أوجد دالة التوزيع التفاضلي f (x) وأيضًا

Р (2π / 9<Х< π /2).

2.3.

0 لـ x≤2 ،

f (x) = مع x عند 2<х≤4,

0 لـ x> 4.

2.4. يتم إعطاء المتغير العشوائي المستمر X بواسطة كثافة التوزيع:

0 لـ x≤0 ،

و (х) = с √х عند 0<х≤1,

0 لـ x> 1.

ابحث عن: أ) الرقم ج ؛ ب) م (X) ، د (X).

2.5.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg "width =" 36 "height =" 39 "> لـ x ،

0 في x.

ابحث عن: أ) F (x) وارسم الرسم البياني الخاص بها ؛ ب) M (X) ، D (X) ، σ (X) ؛ ج) احتمال أنه في أربع تجارب مستقلة ، ستأخذ القيمة X ضعف القيمة التي تنتمي إلى الفترة الزمنية (1 ؛ 4).

2.6. يتم إعطاء كثافة التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي مستمر X:

f (x) \ u003d 2 (x-2) لـ x ،

0 في x.

ابحث عن: أ) F (x) وارسم الرسم البياني الخاص بها ؛ ب) M (X) ، D (X) ، σ (X) ؛ ج) احتمال أن القيمة X ستأخذ ضعف القيمة التي تنتمي إلى الفترة الزمنية في ثلاثة اختبارات مستقلة.

2.7. يتم إعطاء الوظيفة f (x) على النحو التالي:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg "width =" 43 "height =" 38 src = ">. jpg" width = "16" height = "15"> [- √ 3/2 ؛ √3 / 2].

2.8. يتم إعطاء الوظيفة f (x) على النحو التالي:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg "width =" 45 "height =" 36 src = "> .jpg" width = "16" height = "15"> [- π / أربعة π / 4].

أوجد: أ) قيمة الثابت c ، حيث ستكون الوظيفة كثافة الاحتمال لبعض المتغيرات العشوائية X ؛ ب) دالة التوزيع F (x).

2.9. المتغير العشوائي Х ، المركّز على الفاصل الزمني (3 ؛ 7) ، يُعطى بواسطة دالة التوزيع F (х) =. أوجد احتمال ذلك

سيأخذ المتغير العشوائي X القيمة: أ) أقل من 5 ، ب) لا تقل عن 7.

2.10. المتغير العشوائي X ، مركّز على الفاصل الزمني (-1 ؛ 4) ،

تعطى بواسطة دالة التوزيع F (x) =. أوجد احتمال ذلك

سيأخذ المتغير العشوائي X القيمة: أ) أقل من 2 ، ب) لا تقل عن 4.

2.11.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg "width =" 43 "height =" 44 src = "> .jpg" width = "16" height = "15">.

ابحث عن: أ) الرقم ج ؛ ب) م (س) ؛ ج) الاحتمال P (X> M (X)).

2.12. يتم إعطاء المتغير العشوائي بواسطة دالة التوزيع التفاضلي:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg "width =" 60 "height =" 38 src = ">. jpg" width = "16 height = 15" height = "15"> .

البحث: أ) م (س) ؛ ب) الاحتمال Р (Х≤М (Х))

2.13. يتم إعطاء توزيع الوقت من خلال كثافة الاحتمال:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg "width =" 46 "height =" 37 "> لـ x ≥0.

أثبت أن f (x) هي بالفعل توزيع كثافة احتمالية.

2.14. يتم إعطاء كثافة التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي مستمر X:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg "العرض =" 174 "الارتفاع =" 136 src = "> (الشكل 4) (الشكل 5)

2.16. يتم توزيع المتغير العشوائي X وفقًا لقانون "المثلث القائم الزاوية" في الفترة (0 ؛ 4) (الشكل 5). ابحث عن تعبير تحليلي لكثافة الاحتمال f (x) على المحور الحقيقي بأكمله.

الإجابات

0 لـ x≤0 ،

f (x) = https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif "width =" 14 "height =" 86 "> 0 لـ x≤ π / 6 ،

F (x) = 3sin 3x عند π / 6<х≤ π/3,

0 لـ x> / 3. المتغير العشوائي المستمر X لديه قانون توزيع موحد على فترة زمنية معينة (أ ؛ ب) ، والتي تنتمي إليها جميع القيم الممكنة لـ X ، إذا كانت كثافة توزيع الاحتمال f (x) ثابتة في هذه الفترة وتساوي 0 خارجه ، أي

0 لـ x≤a ،

و (س) = ل<х

0 لـ x≥b.

يظهر الرسم البياني للوظيفة f (x) في الشكل. واحد

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif "width =" 14 "height =" 86 "> 0 لـ x≤a ،

F (х) = https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg "width =" 30 "height =" 37 "> ، D (X) = ، σ (Х) =.

رقم المهمة 1.يتم توزيع المتغير العشوائي X بشكل موحد على المقطع. تجد:

أ) كثافة التوزيع الاحتمالي f (x) وبناء رسمها البياني ؛

ب) دالة التوزيع F (x) وبناء الرسم البياني الخاص بها ؛

ج) M (X) ، D (X) ، σ (X).

المحلول: باستخدام الصيغ التي تمت مناقشتها أعلاه ، مع أ = 3 ، ب = 7 ، نجد:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg "العرض =" 22 "الارتفاع =" 39 "> عند 3-7 ،

0 لـ x> 7

دعونا نبني الرسم البياني الخاص به (الشكل 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif "width =" 14 "height =" 86 src = "> 0 لـ x≤3 ،

F (х) = https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg "العرض =" 203 "الارتفاع =" 119 src = "> شكل 4

D (X) = == https: //pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg "width =" 37 "height =" 43 "> == https: //pandia.ru/text/ 78/455 / images / image092_10.gif "width =" 14 "height =" 49 src = "> 0 لـ x<0,

و (х) = λе-λх عند х≥0.

يتم إعطاء دالة التوزيع لمتغير عشوائي X ، الموزعة وفقًا لقانون أسي ، من خلال الصيغة:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg "width =" 191 "height =" 126 src = "> fig..jpg" width = "22" height = "30"> ، D (X) = ، σ (X) =

وبالتالي ، فإن التوقع الرياضي والانحراف المعياري للتوزيع الأسي متساويان.

يتم حساب احتمال وقوع X في الفترة الزمنية (أ ؛ ب) بالصيغة:

Р (أ<Х

رقم المهمة 2.يبلغ متوسط ​​وقت تشغيل الجهاز 100 ساعة. بافتراض أن وقت تشغيل الجهاز به قانون توزيع أسي ، ابحث عن:

أ) كثافة التوزيع الاحتمالية.

ب) وظيفة التوزيع.

ج) احتمال أن يتجاوز وقت التشغيل الخالي من الأعطال للجهاز 120 ساعة.

المحلول: حسب الشرط ، التوزيع الرياضي M (X) = https: //pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif "height =" 43 src = "> 0 لـ x<0,

أ) f (x) = 0.01e -0.01x لـ x≥0.

ب) F (x) = 0 من أجل x<0,

1-e -0.01x عند x≥0.

ج) نجد الاحتمال المطلوب باستخدام دالة التوزيع:

P (X> 120) = 1-F (120) = 1- (1-e-1.2) = e-1.2≈0.3.

§ 3- قانون التوزيع الطبيعي

تعريف: المتغير العشوائي المستمر X لديه قانون التوزيع الطبيعي (قانون غاوسي) ، إذا كانت كثافة التوزيع لها الشكل:

,

حيث m = M (X) ، σ2 = D (X) ، σ> 0.

يسمى منحنى التوزيع الطبيعي منحنى عادي أو غاوسي (الشكل 7)

المنحنى العمودي متماثل بالنسبة للخط المستقيم x = m ، وله قيمة قصوى عند x = a يساوي.

يتم التعبير عن دالة توزيع المتغير العشوائي X ، الموزعة وفقًا للقانون العادي ، من خلال دالة لابلاس Ф (х) وفقًا للصيغة:

,

أين هي وظيفة لابلاس.

تعليق: الوظيفة Ф (х) فردية (Ф (-х) = - Ф (х)) ، إلى جانب ذلك ، إذا كانت x> 5 ، فيمكننا اعتبار Ф (х) ≈1 / 2.

يظهر الرسم البياني لوظيفة التوزيع F (x) في الشكل. ثمانية

https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg "العرض =" 218 "الارتفاع =" 33 ">

يتم حساب احتمال أن تكون القيمة المطلقة للانحراف أقل من رقم موجب δ بواسطة الصيغة:

على وجه الخصوص ، بالنسبة إلى m = 0 ، تكون المساواة صحيحة:

"قاعدة سيجما الثلاثة"

إذا كان للمتغير العشوائي X قانون توزيع عادي مع المعلمات m و ، فمن المؤكد عمليًا أن قيمته تقع في الفترة (a-3σ ؛ a + 3σ) ، لأن

https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg "width =" 157 "height =" 57 src = "> a)

ب) لنستخدم الصيغة:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg "width =" 369 "height =" 38 src = ">

وفقًا لجدول قيم الوظيفة Ф (х) نجد Ф (1.5) = 0.4332 ، Ф (1) = 0.3413.

لذا فإن الاحتمال المطلوب هو:

ص (28

مهام العمل المستقل

3.1. يتم توزيع المتغير العشوائي X بشكل موحد في الفاصل الزمني (-3 ؛ 5). تجد:

ب) دالة التوزيع F (x) ؛

ج) الخصائص العددية.

د) الاحتمال P (4<х<6).

3.2. يتم توزيع المتغير العشوائي X بشكل موحد على المقطع. تجد:

أ) كثافة التوزيع f (x) ؛

ب) دالة التوزيع F (x) ؛

ج) الخصائص العددية.

د) الاحتمال Р (3≤х≤6).

3.3. يتم تثبيت إشارة مرور أوتوماتيكية على الطريق السريع ، حيث يضيء الضوء الأخضر لمدة دقيقتين للمركبات ، والأصفر لمدة 3 ثوانٍ والأحمر لمدة 30 ثانية ، إلخ. تمر السيارة على طول الطريق السريع في وقت عشوائي. أوجد احتمال مرور السيارة على إشارة المرور دون توقف.

3.4. تعمل قطارات مترو الأنفاق بانتظام على فترات مدتها دقيقتان. يدخل الراكب إلى المنصة في وقت عشوائي. ما هو احتمال أن يضطر الراكب إلى الانتظار أكثر من 50 ثانية للقطار؟ أوجد التوقع الرياضي لمتغير عشوائي X - وقت انتظار القطار.

3.5. ابحث عن التباين والانحراف المعياري للتوزيع الأسي المعطى بواسطة دالة التوزيع:

F (x) = 0 عند x<0,

1-e-8x لـ x≥0.

3.6. يتم إعطاء المتغير العشوائي المستمر X من خلال كثافة التوزيع الاحتمالية:

و (س) = 0 في س<0,

0.7 e-0.7x عند x≥0.

أ) قم بتسمية قانون توزيع المتغير العشوائي المدروس.

ب) أوجد دالة التوزيع F (X) والخصائص العددية للمتغير العشوائي X.

3.7. يتم توزيع المتغير العشوائي X وفقًا للقانون الأسي ، وفقًا لكثافة التوزيع الاحتمالي:

و (س) = 0 في س<0,

0.4 e-0.4 x عند x≥0.

أوجد الاحتمال ، نتيجة للاختبار ، أن X ستأخذ قيمة من الفترة (2.5 ؛ 5).

3.8. يتم توزيع المتغير العشوائي المستمر X وفقًا للقانون الأسي الذي تقدمه دالة التوزيع:

F (x) = 0 عند x<0,

1st-0.6x عند x≥0

أوجد الاحتمال ، نتيجة للاختبار ، أن تأخذ X قيمة من الفترة الزمنية.

3.9. التوقع الرياضي والانحراف المعياري لمتغير عشوائي يتم توزيعه بشكل طبيعي هما 8 و 2 على التوالي. أوجد:

أ) كثافة التوزيع f (x) ؛

ب) الاحتمال ، نتيجة للاختبار ، أن تأخذ X قيمة من الفترة (10 ؛ 14).

3.10. يتم توزيع المتغير العشوائي X عادة بمتوسط ​​3.5 والتباين 0.04. تجد:

أ) كثافة التوزيع f (x) ؛

ب) الاحتمال ، نتيجة للاختبار ، أن تأخذ X قيمة من الفترة الزمنية.

3.11. يتم توزيع المتغير العشوائي X بشكل طبيعي مع M (X) = 0 و D (X) = 1. أي من الأحداث: | X | ≤0.6 أو | X | ≥0.6 لديه احتمالية أعلى؟

3.12. يتم توزيع المتغير العشوائي X عادةً مع M (X) = 0 و D (X) = 1. من أي فاصل زمني (-0.5 ؛ -0.1) أو (1 ؛ 2) في اختبار واحد سيأخذ قيمة ذات قيمة أكبر احتمالا؟

3.13. يمكن نمذجة السعر الحالي للسهم باستخدام التوزيع الطبيعي مع M (X) = 10den. الوحدات و σ (X) = 0.3 دن. الوحدات تجد:

أ) احتمال أن يكون سعر السهم الحالي من 9.8 دن. الوحدات ما يصل إلى 10.4 دن. الوحدات.

ب) استخدام "قاعدة الثلاث سيجما" لإيجاد الحدود التي يقع فيها السعر الحالي للسهم.

3.14. يتم وزن المادة دون أخطاء منهجية. تخضع أخطاء الوزن العشوائية للقانون العادي بنسبة جذر متوسط ​​مربع σ = 5r. أوجد احتمال عدم حدوث الخطأ في ثلاثة أوزان في أربع تجارب مستقلة في القيمة المطلقة 3r.

3.15. يتم توزيع المتغير العشوائي X بشكل طبيعي مع M (X) = 12.6. احتمال سقوط متغير عشوائي في الفترة (11.4 ؛ 13.8) هو 0.6826. أوجد الانحراف المعياري σ.

3.16. يتم توزيع المتغير العشوائي X بشكل طبيعي مع M (X) = 12 و D (X) = 36. أوجد الفاصل الزمني الذي ، مع احتمال 0.9973 ، سوف يسقط المتغير العشوائي X نتيجة للاختبار.

3.17. يعتبر الجزء الذي يتم تصنيعه بواسطة آلة أوتوماتيكية معيبًا إذا تجاوز الانحراف X للمعامل المتحكم به عن القيمة الاسمية 2 في النموذج الوحدات. من المفترض أن المتغير العشوائي X يوزع عادة مع M (X) = 0 و σ (X) = 0.7. ما هي النسبة المئوية للأجزاء المعيبة التي تعطيها الآلة؟

3.18. يتم توزيع المعلمة التفصيلية X عادةً مع توقع رياضي يبلغ 2 يساوي القيمة الاسمية وانحراف معياري قدره 0.014. أوجد احتمال ألا يتجاوز انحراف X عن معيار القيمة الاسمية 1٪ من القيمة الاسمية.

الإجابات

https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif "width =" 14 "height =" 110 src = ">

ب) 0 لـ x≤-3 ،

F (x) = يسار ">

3.10. أ) و (س) = ،

ب) Р (3.1≤Х≤3.7) ≈0.8185.

3.11. | س | ≥0.6.

3.12. (-0,5;-0,1).

3.13. أ) Р (9.8 - 10.4) ≈0.6562.

3.14. 0,111.

3.15. σ = 1.2.

3.16. (-6;30).

3.17. 0,4%.

قيم عشوائية

مثال 2.1.قيمة عشوائية Xمن خلال دالة التوزيع

أوجد احتمالية ذلك كنتيجة للاختبار Xسيأخذ القيم بين (2.5 ؛ 3.6).

المحلول: Xفي الفاصل الزمني (2.5 ؛ 3.6) يمكن تحديده بطريقتين:

مثال 2.2.ما قيم المعلمات لكنو فيوظيفة F(x) = أ + كن - سيمكن أن تكون دالة توزيع للقيم غير السالبة لمتغير عشوائي X.

المحلول:منذ كل القيم الممكنة للمتغير العشوائي Xتنتمي إلى الفاصل الزمني ، ثم لكي تكون الوظيفة دالة توزيع لـ X، يجب أن يحتوي العقار على:

.

إجابه: .

مثال 2.3.يتم إعطاء المتغير العشوائي X بواسطة دالة التوزيع

أوجد احتمالية أن القيمة ، كنتيجة لأربع تجارب مستقلة Xبالضبط 3 مرات سوف تأخذ قيمة تنتمي إلى الفترة الزمنية (0.25 ؛ 0.75).

المحلول:احتمالية الوصول إلى قيمة Xفي الفترة الزمنية (0.25 ؛ 0.75) نجدها بالصيغة:

مثال 2.4.احتمال اصطدام الكرة بالسلة في رمية واحدة هو 0.3. ضع قانون توزيع عدد الضربات في ثلاث رميات.

المحلول:قيمة عشوائية X- عدد الضربات في السلة بثلاث رميات - يمكن أن تأخذ القيم: 0 ، 1 ، 2 ، 3. الاحتمالات التي X

X:

مثال 2.5.يقوم اثنان من الرماة بإطلاق طلقة واحدة على الهدف. احتمال ضربه من قبل مطلق النار الأول هو 0.5 ، والثاني - 0.4. اكتب قانون توزيع عدد الضربات على الهدف.

المحلول:أوجد قانون توزيع متغير عشوائي منفصل X- عدد الضربات على الهدف. اجعل الحدث يصيب الهدف من قبل مطلق النار الأول ، و- يصيبه مطلق النار الثاني ، و- على التوالي ، أخطائهم.

دعونا نؤلف قانون التوزيع الاحتمالي لـ SV X:

مثال 2.6.يتم اختبار 3 عناصر تعمل بشكل مستقل عن بعضها البعض. فترات الوقت (بالساعات) من التشغيل الخالي من العطل للعناصر لها وظائف كثافة التوزيع: للأول: F 1 (ر) =1-هـ- 0,1 ر، للمرة الثانية: F 2 (ر) = 1-هـ- 0,2 ر، للثالث: F 3 (ر) =1-هـ- 0,3 ر. أوجد احتمال أنه في الفترة الزمنية من 0 إلى 5 ساعات: سيفشل عنصر واحد فقط ؛ فقط عنصران سيفشلان ؛ كل العناصر الثلاثة تفشل.

المحلول:دعنا نستخدم تعريف دالة توليد الاحتمالات:

احتمال أنه في تجارب مستقلة ، في أولها احتمال وقوع حدث لكنيساوي ، في الثانية ، وما إلى ذلك ، الحدث لكنيظهر مرة واحدة بالضبط ، يساوي المعامل عند توسيع دالة التوليد في قوى. لنجد احتمالية الفشل وعدم الفشل ، على التوالي ، للعنصر الأول والثاني والثالث في الفترة الزمنية من 0 إلى 5 ساعات:

لنقم بإنشاء وظيفة توليد:

المعامل عند يساوي احتمال وقوع الحدث لكنسيظهر ثلاث مرات بالضبط ، أي احتمال فشل العناصر الثلاثة ؛ المعامل عند يساوي احتمال فشل عنصرين بالضبط ؛ المعامل عند يساوي احتمال فشل عنصر واحد فقط.

مثال 2.7.نظرا لكثافة الاحتمال F(x) متغير عشوائي X:

أوجد دالة التوزيع F (x).

المحلول:نستخدم الصيغة:

.

وبالتالي ، فإن دالة التوزيع لها الشكل:

المثال 2.8.يتكون الجهاز من ثلاثة عناصر تعمل بشكل مستقل. احتمال فشل كل عنصر في تجربة واحدة هو 0.1. قم بتجميع قانون توزيع عدد العناصر الفاشلة في تجربة واحدة.

المحلول:قيمة عشوائية X- عدد العناصر التي فشلت في تجربة واحدة - يمكن أن تأخذ القيم: 0 ، 1 ، 2 ، 3. الاحتمالات Xيأخذ هذه القيم ، نجدها من خلال صيغة برنولي:

وبالتالي ، نحصل على القانون التالي للتوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي X:

المثال 2.9.هناك 4 أجزاء قياسية في الكثير من 6 أجزاء. تم اختيار 3 عناصر بشكل عشوائي. ضع قانون توزيع عدد الأجزاء المعيارية على الأجزاء المختارة.

المحلول:قيمة عشوائية X- عدد الأجزاء القياسية بين الأجزاء المختارة - يمكن أن تأخذ القيم: 1 ، 2 ، 3 ولها توزيع فوق هندسي. الاحتمالات التي X

أين -- عدد الأجزاء في الدفعة ؛

-- عدد الأجزاء القياسية في الدفعة ؛

– عدد الأجزاء المختارة

-- عدد الأجزاء القياسية من بين تلك المختارة.

.

.

.

المثال 2.10.المتغير العشوائي له كثافة توزيع

أين و غير معروفين ، لكن أ و. اعثر و .

المحلول:في هذه الحالة ، المتغير العشوائي Xله توزيع مثلثي (توزيع سيمبسون) على الفاصل الزمني [ أ ، ب]. الخصائص العددية X:

بالتالي، . لحل هذا النظام ، نحصل على زوجين من القيم:. منذ ذلك الحين ، وفقًا لحالة المشكلة ، لدينا أخيرًا: .

إجابه: .

المثال 2.11.في المتوسط ​​، بالنسبة لـ 10٪ من العقود ، تدفع شركة التأمين المبالغ المؤمن عليها فيما يتعلق بوقوع حدث مؤمن عليه. احسب التوقع الرياضي والتباين في عدد هذه العقود بين أربعة عقود تم اختيارها عشوائيًا.

المحلول:يمكن العثور على التوقع والتباين الرياضي باستخدام الصيغ:

.

القيم المحتملة لـ SV (عدد العقود (من أصل أربعة) مع وقوع حدث مؤمن عليه): 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4.

نستخدم معادلة برنولي لحساب احتمالات عدد مختلف من العقود (من أصل أربعة) التي تم دفع المبالغ المؤمن عليها من أجلها:

.

سلسلة توزيع السيرة الذاتية (عدد العقود مع وقوع حدث مؤمن عليه) لها الشكل:

	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

إجابه: ، .

المثال 2.12.من الورود الخمسة ، اثنان من الورود البيضاء. اكتب قانون توزيع لمتغير عشوائي معبرًا عن عدد الورود البيضاء بين وردين مأخوذين في نفس الوقت.

المحلول:في عينة من وردين ، قد لا يكون هناك وردة بيضاء ، أو قد يكون هناك وردة بيضاء واحدة أو اثنتين. لذلك ، المتغير العشوائي Xيمكن أن تأخذ القيم: 0 ، 1 ، 2. الاحتمالات أن Xيأخذ هذه القيم ، نجدها من خلال الصيغة:

أين -- عدد الورود

-- عدد الورود البيضاء

– عدد الورود المأخوذة في وقت واحد ؛

-- عدد الورود البيضاء بين تلك المأخوذة.

.

.

.

ثم يكون قانون توزيع المتغير العشوائي على النحو التالي:

المثال 2.13.من بين 15 وحدة مجمعة ، هناك 6 وحدات تحتاج إلى تزييت إضافي. ضع قانون توزيع عدد الوحدات التي تحتاج إلى تزييت إضافي ، من بين خمس وحدات تم اختيارها عشوائيًا من العدد الإجمالي.

المحلول:قيمة عشوائية X- عدد الوحدات التي تحتاج إلى تشحيم إضافي بين الوحدات الخمس المحددة - يمكن أن تأخذ القيم: 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ولها توزيع فوق هندسي. الاحتمالات التي Xيأخذ هذه القيم ، نجدها من خلال الصيغة:

أين -- عدد الوحدات المجمعة

-- عدد الوحدات التي تتطلب تشحيمًا إضافيًا ؛

– عدد الركام المختار ؛

-- عدد الوحدات التي تحتاج إلى تشحيم إضافي بين الوحدات المختارة.

.

.

.

.

.

.

ثم يكون قانون توزيع المتغير العشوائي على النحو التالي:

المثال 2.14.من بين الساعات العشر التي تم استلامها للإصلاح ، تحتاج 7 ساعات إلى تنظيف عام للآلية. لا يتم فرز الساعات حسب نوع الإصلاح. السيد ، الذي يريد العثور على ساعة تحتاج إلى التنظيف ، يفحصها واحدة تلو الأخرى ، وبعد أن وجد مثل هذه الساعة ، يتوقف عن المشاهدة. أوجد التوقع الرياضي والتباين في عدد ساعات المشاهدة.

المحلول:قيمة عشوائية X- عدد الوحدات التي تحتاج إلى تشحيم إضافي من بين الخمس المحددة - يمكن أن تأخذ القيم التالية: 1 ، 2 ، 3 ، 4. الاحتمالات التي Xيأخذ هذه القيم ، نجدها من خلال الصيغة:

.

.

.

.

ثم يكون قانون توزيع المتغير العشوائي على النحو التالي:

الآن دعنا نحسب الخصائص العددية للكمية:

إجابه: ، .

المثال 2.15.لقد نسي المشترك الرقم الأخير من رقم الهاتف الذي يحتاجه ، لكنه يتذكر أنه رقم فردي. ابحث عن التوقع الرياضي والتباين في عدد الأوجه التي أجراها قبل أن يصل إلى الرقم المطلوب ، إذا اتصل بالرقم الأخير عشوائيًا ولم يتصل بالرقم المطلوب في المستقبل.

المحلول:يمكن أن يأخذ المتغير العشوائي قيمًا:. نظرًا لأن المشترك لا يطلب الرقم المطلوب في المستقبل ، فإن احتمالات هذه القيم متساوية.

لنؤلف سلسلة توزيع لمتغير عشوائي:

	0,2

دعنا نحسب التوقع الرياضي والتباين في عدد محاولات الاتصال:

إجابه: ، .

مثال 2.16.يساوي احتمال الفشل أثناء اختبارات الموثوقية لكل جهاز من أجهزة السلسلة ص. حدد التوقع الرياضي لعدد الأجهزة التي فشلت ، إذا تم اختبارها نالأجهزة.

المحلول:المتغير العشوائي المنفصل X هو عدد الأجهزة الفاشلة في ناختبارات مستقلة ، يتساوى فيها احتمال الفشل صوزعت وفق قانون الحدين. التوقع الرياضي للتوزيع ذي الحدين يساوي ناتج عدد المحاولات واحتمال وقوع حدث في تجربة واحدة:

المثال 2.17.المتغير العشوائي المنفصل Xيأخذ 3 قيم ممكنة: مع الاحتمال ؛ مع الاحتمال والاحتمال. اكتشف ومعرفة أن M ( X) = 8.

المحلول:نستخدم تعريفات التوقع الرياضي وقانون توزيع المتغير العشوائي المنفصل:

نجد: .

المثال 2.18.يقوم قسم التحكم الفني بفحص المنتجات للتأكد من المواصفات القياسية. احتمال أن يكون العنصر معياريًا هو 0.9. كل دفعة تحتوي على 5 عناصر. أوجد التوقع الرياضي لمتغير عشوائي X- عدد الدُفعات ، كل منها يحتوي بالضبط على 4 منتجات قياسية ، إذا كانت 50 دفعة خاضعة للتحقق.

المحلول:في هذه الحالة ، تكون جميع التجارب التي تم إجراؤها مستقلة ، والاحتمالات التي تحتوي على كل دفعة تحتوي بالضبط على 4 منتجات قياسية هي نفسها ، لذلك ، يمكن تحديد التوقع الرياضي من خلال الصيغة:

,

أين هو عدد الأحزاب؟

احتمال احتواء الدُفعة على 4 عناصر قياسية بالضبط.

نجد الاحتمال باستخدام صيغة برنولي:

إجابه: .

المثال 2.19.أوجد تباين متغير عشوائي X- عدد تكرارات الحدث أفي تجربتين مستقلتين ، إذا كانت احتمالات حدوث حدث في هذه التجارب هي نفسها ومن المعروف أن م(X) = 0,9.

المحلول:يمكن حل المشكلة بطريقتين.

1) قيم CB الممكنة X: 0 ، 1 ، 2. باستخدام صيغة برنولي ، نحدد احتمالات هذه الأحداث:

, , .

ثم قانون التوزيع Xيشبه:

من تعريف التوقع الرياضي ، نحدد الاحتمال:

لنجد تباين SW X:

.

2) يمكنك استخدام الصيغة:

.

إجابه: .

مثال 2.20.التوقع الرياضي والانحراف المعياري لمتغير عشوائي يتم توزيعه بشكل طبيعي Xهي 20 و 5 على التوالي. أوجد الاحتمال نتيجة الاختبار Xسوف تأخذ القيمة الواردة في الفترة الزمنية (15 ؛ 25).

المحلول:احتمالية الوصول إلى متغير عشوائي عادي Xفي القسم من إلى من حيث وظيفة لابلاس:

المثال 2.21.إعطاء وظيفة:

ما قيمة المعلمة جهذه الوظيفة هي كثافة التوزيع لبعض المتغيرات العشوائية المستمرة X؟ أوجد التوقع الرياضي والتباين لمتغير عشوائي X.

المحلول:لكي تكون الوظيفة هي كثافة التوزيع لبعض المتغيرات العشوائية ، يجب أن تكون غير سالبة ، ويجب أن تفي بالخاصية:

.

بالتالي:

احسب التوقع الرياضي باستخدام الصيغة:

.

احسب التباين باستخدام الصيغة:

هذا ص. من الضروري إيجاد التوقع الرياضي والتباين لهذا المتغير العشوائي.

المحلول:قانون توزيع المتغير العشوائي المنفصل X - عدد تكرارات حدث في تجارب مستقلة ، يُطلق على كل منها احتمال حدوث حدث ما ، يسمى ذو الحدين. التوقع الرياضي للتوزيع ذي الحدين يساوي ناتج عدد المحاولات واحتمال حدوث الحدث أ في تجربة واحدة:

.

مثال 2.25.تم إطلاق ثلاث طلقات مستقلة على الهدف. احتمال إصابة كل طلقة هو 0.25. أوجد الانحراف المعياري لعدد الضربات بثلاث طلقات.

المحلول:نظرًا لإجراء ثلاث تجارب مستقلة ، واحتمال حدوث الحدث A (النتيجة) في كل تجربة هو نفسه ، سنفترض أن المتغير العشوائي المنفصل X - عدد الزيارات على الهدف - يتم توزيعه وفقًا للحدين قانون.

التباين في التوزيع ذي الحدين يساوي ناتج عدد المحاولات واحتمالات حدوث وعدم حدوث حدث في تجربة واحدة:

مثال 2.26.متوسط ​​عدد العملاء الذين يزورون شركة التأمين في 10 دقائق هو ثلاثة. أوجد احتمال وصول عميل واحد على الأقل خلال الدقائق الخمس التالية.

متوسط ​​عدد العملاء الذين يصلون في 5 دقائق: . .

مثال 2.29.يخضع وقت انتظار التطبيق في قائمة انتظار المعالج لقانون التوزيع الأسي بمتوسط ​​قيمة 20 ثانية. أوجد احتمالية أن الطلب التالي (التعسفي) سينتظر المعالج لأكثر من 35 ثانية.

المحلول:في هذا المثال ، التوقع ، ومعدل الفشل.

ثم الاحتمال المطلوب هو:

المثال 2.30.مجموعة مكونة من 15 طالبًا تعقد اجتماعًا في قاعة بها 20 صفًا من 10 مقاعد لكل منها. يجلس كل طالب في القاعة بشكل عشوائي. ما هو احتمال ألا يكون هناك أكثر من ثلاثة أشخاص في المركز السابع على التوالي؟

المحلول:

المثال 2.31.

ثم وفقًا للتعريف الكلاسيكي للاحتمالية:

أين -- عدد الأجزاء في الدفعة ؛

-- عدد الأجزاء غير القياسية في الدفعة ؛

– عدد الأجزاء المختارة

-- عدد الأجزاء غير القياسية بين الأجزاء المختارة.

ثم سيكون قانون توزيع المتغير العشوائي على النحو التالي.