اختزال الكسور بالحروف. القيام بتقليل الكسر

عندما ينتقل الطالب إلى المدرسة الثانوية ، تنقسم الرياضيات إلى مادتين: الجبر والهندسة. هناك المزيد والمزيد من المفاهيم والمهام أصبحت أكثر صعوبة. يجد بعض الناس صعوبة في فهم الكسور. غاب عن الدرس الأول حول هذا الموضوع ، وفويلا. كسور؟ سؤال من شأنه أن يعذب طوال الحياة المدرسية.

مفهوم الكسر الجبري

لنبدأ بتعريف. تحت كسر جبريتُفهم تعبيرات P / Q ، حيث P هو البسط و Q هو المقام. يمكن إخفاء رقم أو تعبير رقمي أو تعبير رقمي أبجدي تحت إدخال أبجدي.

قبل أن تتساءل عن كيفية حل الكسور الجبرية ، عليك أولاً أن تفهم أن مثل هذا التعبير جزء من الكل.

كقاعدة عامة ، الكل هو 1. الرقم الموجود في المقام يوضح عدد الأجزاء التي تم تقسيم الوحدة إليها. البسط مطلوب لمعرفة عدد العناصر المأخوذة. الشريط الكسري يتوافق مع علامة القسمة. يُسمح بتسجيل تعبير كسري كعملية رياضية "قسم". في هذه الحالة ، البسط هو المقسوم ، والمقام هو المقسوم عليه.

القاعدة الأساسية للكسور المشتركة

عندما يمر الطلاب بهذا الموضوع في المدرسة ، يتم إعطاؤهم أمثلة لتعزيزها. لحلها بشكل صحيح وإيجاد طرق مختلفة للخروج من المواقف الصعبة ، تحتاج إلى تطبيق الخاصية الأساسية للكسور.

يبدو الأمر كما يلي: إذا ضربت كلًا من البسط والمقام في نفس الرقم أو التعبير (بخلاف الصفر) ، فلن تتغير قيمة الكسر العادي. حالة خاصة لهذه القاعدة هي تقسيم كلا الجزأين من التعبير إلى نفس العدد أو كثير الحدود. تسمى هذه التحولات بالمساواة المتطابقة.

أدناه سننظر في كيفية حل جمع وطرح الكسور الجبرية لإجراء الضرب والقسمة واختزال الكسور.

العمليات الحسابية مع الكسور

ضع في اعتبارك كيفية حل الخاصية الرئيسية لكسر جبري ، وكيفية تطبيقها عمليًا. إذا كنت بحاجة إلى ضرب كسرين ، أو جمعهما ، أو قسمة أحدهما على الآخر ، أو الطرح ، فيجب عليك دائمًا اتباع القواعد.

لذلك ، من أجل عملية الجمع والطرح ، يجب إيجاد عامل إضافي لإحضار التعبيرات إلى قاسم مشترك. إذا تم إعطاء الكسور في البداية بنفس التعبيرات Q ، فأنت بحاجة إلى حذف هذا العنصر. عند إيجاد قاسم مشترك ، كيف نحل الكسور الجبرية؟ اجمع أو اطرح البسط. ولكن! يجب أن نتذكر أنه في حالة وجود علامة "-" أمام الكسر ، يتم عكس كل الإشارات الموجودة في البسط. في بعض الأحيان لا يجب عليك إجراء أي استبدالات أو عمليات حسابية. يكفي تغيير العلامة أمام الكسر.

غالبًا ما يستخدم المصطلح كـ تخفيض الكسر. هذا يعني ما يلي: إذا كان البسط والمقام مقسومًا على تعبير غير الوحدة (نفس الشيء لكلا الجزأين) ، فسيتم الحصول على كسر جديد. المقسوم والمقسوم عليهما أصغر من ذي قبل ، ولكن نظرًا للقاعدة الأساسية للكسور ، تظل مساوية للمثال الأصلي.

الغرض من هذه العملية هو الحصول على تعبير جديد غير قابل للاختزال. يمكن حل هذه المشكلة بتقليل البسط والمقام بواسطة القاسم المشترك الأكبر. تتكون خوارزمية العملية من نقطتين:

1. إيجاد GCD لكلا الجزأين من الكسر.
2. قسمة البسط والمقام على التعبير الموجود والحصول على كسر غير قابل للاختزال يساوي الكسر السابق.

يوضح الجدول أدناه الصيغ. للراحة ، يمكنك طباعته وحمله معك في دفتر ملاحظات. ومع ذلك ، بحيث في المستقبل ، عند حل اختبار أو امتحان ، لن تكون هناك صعوبات في مسألة كيفية حل الكسور الجبرية ، يجب تعلم هذه الصيغ عن ظهر قلب.

بعض الأمثلة مع الحلول

من الناحية النظرية ، يتم النظر في مسألة كيفية حل الكسور الجبرية. ستساعدك الأمثلة الواردة في المقالة على فهم المادة بشكل أفضل.

1. حول الكسور واجلبها إلى قاسم مشترك.

2. حول الكسور واجلبهم إلى قاسم مشترك.

بعد دراسة الشق النظري والنظر في الأمور العملية ، لا ينبغي أن تثور أسئلة أخرى.

تتابع هذه المقالة موضوع تحويل الكسور الجبرية: ضع في اعتبارك إجراءً مثل اختزال الكسور الجبرية. دعنا نحدد المصطلح نفسه ، ونصيغ قاعدة الاختصار ونحلل الأمثلة العملية.

Yandex.RTB R-A-339285-1

معنى اختصار الكسر الجبري

في المواد الموجودة في الكسر العادي ، اعتبرنا تقليله. لقد حددنا اختزال الكسر المشترك بأنه قسمة البسط والمقام على عامل مشترك.

إن اختزال الكسر الجبري عملية مماثلة.

التعريف 1

اختزال الكسر الجبريهي قسمة البسط والمقام على عامل مشترك. في هذه الحالة ، على عكس اختزال الكسر العادي (فقط الرقم يمكن أن يكون قاسمًا مشتركًا) ، يمكن أن يكون متعدد الحدود ، على وجه الخصوص ، أحادي أو رقم ، عاملًا مشتركًا لبسط ومقام كسر جبري.

على سبيل المثال ، يمكن اختزال الكسر الجبري 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 بالرقم 3 ، ونتيجة لذلك نحصل على: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2. يمكننا اختزال نفس الكسر بالمتغير x ، وهذا يعطينا التعبير 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2. من الممكن أيضًا اختزال كسر معين بواسطة مونوميل 3 ×أو أي من كثيرات الحدود س + 2 ص، 3 س + 6 ص ، س 2 + 2 س ص أو 3 × 2 + 6 × ص.

الهدف النهائي لتقليل الكسر الجبري هو جزء من شكل أبسط ، وفي أحسن الأحوال جزء غير قابل للاختزال.

هل كل الكسور الجبرية خاضعة للاختزال؟

مرة أخرى ، من المواد الموجودة على الكسور العادية ، نعلم أن هناك كسورًا قابلة للاختزال وغير قابلة للاختزال. غير قابلة للاختزال - هذه هي الكسور التي ليس لها عوامل مشتركة في البسط والمقام ، بخلاف 1.

مع الكسور الجبرية ، كل شيء هو نفسه: قد يكون لديهم أو لا يكون لديهم عوامل مشتركة للبسط والمقام. يسمح لك وجود العوامل المشتركة بتبسيط الكسر الأصلي من خلال الاختزال. في حالة عدم وجود عوامل مشتركة ، يستحيل تحسين جزء معين بطريقة الاختزال.

في الحالات العامة ، بالنسبة لنوع معين من الكسر ، من الصعب جدًا فهم ما إذا كان خاضعًا للاختزال. بالطبع ، في بعض الحالات ، يكون وجود عامل مشترك للبسط والمقام واضحًا. على سبيل المثال ، في الكسر الجبري 3 · x 2 3 · y ، من الواضح تمامًا أن العامل المشترك هو الرقم 3.

في الكسر - x · y 5 · x · y · z 3 نفهم أيضًا على الفور أنه من الممكن اختزاله بواسطة x أو y أو x · y. ومع ذلك ، فإن أمثلة الكسور الجبرية أكثر شيوعًا ، عندما لا يكون من السهل رؤية العامل المشترك للبسط والمقام ، وفي كثير من الأحيان - إنه ببساطة غائب.

على سبيل المثال ، يمكننا تقليل الكسر × 3-1 × 2-1 في x - 1 ، بينما العامل المشترك المحدد غير موجود في السجل. لكن لا يمكن اختزال الكسر x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 x + 4 ، لأن البسط والمقام ليس لهما عامل مشترك.

وبالتالي ، فإن مسألة معرفة قابلية الكسر الجبري للتقلص ليست بهذه البساطة ، وغالبًا ما يكون من الأسهل التعامل مع جزء من شكل معين بدلاً من محاولة معرفة ما إذا كان قابلاً للتقلص. في هذه الحالة ، تحدث مثل هذه التحولات التي تسمح لنا في حالات معينة بتحديد العامل المشترك للبسط والمقام أو استنتاج أن الكسر غير قابل للاختزال. سنقوم بتحليل هذه المشكلة بالتفصيل في الفقرة التالية من المقال.

قاعدة تخفيض الكسر الجبري

قاعدة تخفيض الكسر الجبرييتكون من خطوتين متتاليتين:

• إيجاد العوامل المشتركة للبسط والمقام ؛
• في حالة العثور على هذا ، تنفيذ الإجراء المباشر لتقليل الكسر.

الطريقة الأكثر ملاءمة لإيجاد القواسم المشتركة هي تحليل كثيرات الحدود الموجودة في البسط والمقام لكسر جبري معين. يتيح لك ذلك أن ترى على الفور وجود أو عدم وجود عوامل مشتركة.

يعتمد الإجراء ذاته لتقليل الكسر الجبري على الخاصية الرئيسية لكسر جبري ، معبرًا عنها بالمساواة غير المحددة ، حيث تكون a ، b ، c بعض كثيرات الحدود ، و b و c ليست صفرية. الخطوة الأولى هي اختزال الكسر إلى الصورة أ ج ب ج ، حيث نلاحظ على الفور العامل المشترك ج. الخطوة الثانية هي إجراء التخفيض ، أي الانتقال إلى جزء من الشكل أ ب.

أمثلة نموذجية

على الرغم من بعض الوضوح ، دعنا نوضح الحالة الخاصة عندما يتساوى البسط والمقام في كسر جبري. الكسور المتشابهة تساوي 1 على كامل مساحة ODZ لمتغيرات هذا الكسر:

5 5 = 1 ؛ - 2 3 - 2 3 = 1 ؛ س س = 1 ؛ - 3 ، 2 × 3-3 ، 2 × 3 = 1 ؛ 1 2 x - x 2 y 1 2 x - x 2 y ؛

بما أن الكسور العادية هي حالة خاصة من الكسور الجبرية ، فلنتذكر كيف يتم اختزالها. يتم تحليل الأعداد الطبيعية المكتوبة في البسط والمقام إلى عوامل أولية ، ثم يتم تقليل العوامل المشتركة (إن وجدت).

على سبيل المثال ، 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2105

يمكن كتابة ناتج العوامل المتطابقة البسيطة كدرجات ، وفي عملية تقليل الكسر ، استخدم خاصية قسمة الدرجات بنفس القواعد. ثم يكون الحل أعلاه هو:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2105

(البسط والمقام مقسومان على عامل مشترك 2 2 3). أو للتوضيح ، بناءً على خصائص الضرب والقسمة ، سنقدم الحل بالشكل التالي:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2105

عن طريق القياس ، يتم إجراء اختزال الكسور الجبرية ، حيث يكون للبسط والمقام أحاديات ذات معاملات عدد صحيح.

مثال 1

تم إعطاء كسر جبري - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z. يجب تقليله.

المحلول

من الممكن كتابة البسط والمقام لكسر معين كمنتج للعوامل الأولية والمتغيرات ، ثم اختزال:

27 أ 5 ب 2 ج ض 6 أ 2 ب 2 ج 7 ع = - 3 3 3 أ أ أ أ أ أ ب ب ج ض 2 3 أ أ ب ب ج ج ج ج ج ج ج ج ع = - 3 3 أ أ أ 2 ج ج ج ج ج ج = - 9 أ 3 2 ج 6

ومع ذلك ، فإن الطريقة الأكثر عقلانية هي كتابة الحل كتعبير ذي قوى:

27 أ 5 ب 2 ج ض 6 أ 2 ب 2 ص 7 ع = - 3 3 أ 5 ب 2 ج ع 2 3 أ 2 ب 2 ص 7 ع = - 3 3 2 3 أ 5 أ 2 ب 2 ب 2 ج ص 7 ع ع = = - 3 3 - 1 2 أ 5 - 2 1 1 1 ج 7 - 1 1 = - 3 2 أ 3 2 ج 6 = - 9 أ 3 2 ج 6.

إجابه:- 27 أ 5 ب 2 ج ض 6 أ 2 ب 2 ص 7 ع = - 9 أ 3 2 ص 6

عندما تكون هناك معاملات عددية كسرية في البسط والمقام لكسر جبري ، فهناك طريقتان محتملتان لاتخاذ إجراءات أخرى: إما قسمة هذه المعاملات الكسرية بشكل منفصل ، أو التخلص أولاً من المعاملات الكسرية بضرب البسط والمقام في عدد طبيعي . يتم إجراء التحويل الأخير بسبب الخاصية الرئيسية لكسر جبري (يمكنك أن تقرأ عنه في مقالة "اختزال الكسر الجبري إلى مقام جديد").

مثال 2

إذا كان الكسر 2 5 × 0 ، 3 × 3. يجب تقليله.

المحلول

من الممكن تصغير الكسر بهذه الطريقة:

2 5 × 0 ، 3 × 3 = 2 5 3 10 × × 3 = 4 3 1 × 2 = 4 3 × 2

دعنا نحاول حل المشكلة بشكل مختلف ، بعد أن تخلصنا سابقًا من المعاملات الكسرية - نضرب البسط والمقام في المضاعف المشترك الأصغر لمقام هذه المعاملات ، أي لكل LCM (5، 10) = 10. ثم نحصل على:

2 5 × 0 ، 3 × 3 = 10 2 5 × 10 0 ، 3 × 3 = 4 × 3 × 3 = 4 3 × 2.

الإجابة: ٢ ٥ × ٠ ، ٣ × ٣ = ٤ ٣ × ٢

عندما نقوم بتقليل الكسور الجبرية العامة ، حيث يمكن أن تكون البسط والمقام على حد سواء أحادية ومتعددة الحدود ، تكون المشكلة ممكنة عندما لا يكون العامل المشترك دائمًا مرئيًا على الفور. أو أكثر من ذلك ، فهو ببساطة غير موجود. بعد ذلك ، لتحديد العامل المشترك أو إصلاح حقيقة غيابه ، يتم تحليل بسط ومقام الكسر الجبري إلى عوامل.

مثال 3

بالنظر إلى كسر نسبي 2 · أ 2 · ب 2 + 28 · أ · ب 2 + 98 · ب 2 أ 2 · ب 3-49 · ب 3. يجب تقصيرها.

المحلول

دعونا نحلل كثيرات الحدود في البسط والمقام. لنقم بالأقواس:

2 أ 2 ب 2 + 28 أ ب 2 + 98 ب 2 أ 2 ب 3-49 ب 3 = 2 ب 2 (أ 2 + 14 أ + 49) ب 3 (أ 2-49)

نرى أنه يمكن تحويل التعبير الموجود بين قوسين باستخدام صيغ الضرب المختصرة:

2 ب 2 (أ 2 + 14 أ + 49) ب 3 (أ 2-49) = 2 ب 2 (أ + 7) 2 ب 3 (أ - 7) (أ + 7)

من الواضح أنه من الممكن تقليل الكسر بعامل مشترك ب 2 (أ + 7). لنقم بإجراء تخفيض:

2 ب 2 (أ + 7) 2 ب 3 (أ - 7) (أ + 7) = 2 (أ + 7) ب (أ - 7) = 2 أ + 14 أ ب - 7 ب

نكتب حلًا قصيرًا بدون تفسير كسلسلة من المساواة:

2 أ 2 ب 2 + 28 أ ب 2 + 98 ب 2 أ 2 ب 3-49 ب 3 = 2 ب 2 (أ 2 + 14 أ + 49) ب 3 (أ 2-49) = = 2 ب 2 (أ + 7) 2 ب 3 (أ - 7) (أ + 7) = 2 (أ + 7) ب (أ - 7) = 2 أ + 14 أ ب - 7 ب

إجابه: 2 أ 2 ب 2 + 28 أ ب 2 + 98 ب 2 أ 2 ب 3-49 ب 3 = 2 أ + 14 أ ب - 7 ب.

يحدث أن يتم إخفاء العوامل المشتركة بواسطة المعاملات العددية. بعد ذلك ، عند اختزال الكسور ، من الأفضل إخراج العوامل العددية عند قوى أعلى للبسط والمقام.

مثال 4

بالنظر إلى كسر جبري 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2. يجب تقليله إن أمكن.

المحلول

للوهلة الأولى ، لا يوجد قاسم مشترك للبسط والمقام. ومع ذلك ، لنحاول تحويل الكسر المعطى. لنخرج العامل x في البسط:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

يمكنك الآن رؤية بعض التشابه بين التعبير الموجود بين قوسين والتعبير الموجود في المقام بسبب x 2 y . دعونا نخرج المعامِلات العددية في القوى الأعلى لهذه كثيرات الحدود:

× ١ ٥ - ٢ ٧ × ٢ × ٥ × ٢ ص - ٣ ١ ٢ = س - ٢ ٧ - ٧ ٢ ١ ٥ + × ٢ × ٥ × ٢ ص - ١ ٥ ٣ ١ ٢ = - ٢ ٧ × - ٧ ١٠ + س 2 ص 5 × 2 ص - 7 10

الآن يصبح المضاعف المشترك مرئيًا ، نقوم بإجراء التخفيض:

٢ ٧ س - ٧ ١٠ + س ٢ ص ٥ × ٢ ص - ٧ ١٠ = - ٢ ٧ × ٥ = - ٢ ٣٥ س

إجابه:١ ٥ × - ٢ ٧ × ٣ × ٥ × ٢ ص - ٣ ١ ٢ = - ٢ ٣٥ ×.

دعونا نؤكد أن مهارة اختزال الكسور المنطقية تعتمد على القدرة على تحليل كثيرات الحدود إلى عوامل.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

بناءً على الخاصية الرئيسية الخاصة بهم: إذا تم تقسيم البسط والمقام على نفس كثير الحدود غير الصفري ، فسيتم الحصول على كسر يساوي ذلك.

يمكنك فقط تقليل المضاعفات!

لا يمكن اختزال أعضاء كثيرات الحدود!

لتقليل كسر جبري ، يجب أولاً تحليل كثيرات الحدود في البسط والمقام.

ضع في اعتبارك أمثلة على تقليل الكسر.

بسط الكسر ومقامه أحاديات الكسر. يمثلون الشغل(الأرقام والمتغيرات ودرجاتها) ، المضاعفاتيمكننا التقليل.

نقوم بتقليل الأعداد من خلال القاسم المشترك الأكبر لها ، أي بأكبر عدد يمكن من خلاله القسمة على كل من الأرقام المعطاة. بالنسبة إلى 24 و 36 ، تكون هذه 12. بعد التخفيض من 24 ، يتبقى 2 ، من 36 إلى 3.

نقوم بتقليل الدرجات بالدرجة باستخدام أصغر مؤشر. لتقليل الكسر يعني قسمة البسط والمقام على نفس المقسوم عليه ، وطرح الأسس.

يتم تقليل a² و a⁷ بمقدار ². في الوقت نفسه ، يبقى المرء في البسط من a² (نكتب 1 فقط إذا لم يتبق بعد الاختزال أي عوامل أخرى. ويتبقى من 24 ، 2 ، لذلك لا نكتب 1 المتبقي من a²). من a⁷ بعد التخفيض يبقى a⁵.

يتم اختصار b و b بواسطة b ، ولا تتم كتابة الوحدات الناتجة.

يتم تقليل c³º و c⁵ بواسطة c⁵. من c³º، c²⁵ بقايا من c⁵ - وحدة (نحن لا نكتبها). في هذا الطريق،

البسط والمقام في هذا الكسر الجبري متعدد الحدود. من المستحيل تقليل شروط كثيرات الحدود! (لا يمكن تقليله ، على سبيل المثال ، 8x² و 2x!). لتقليل هذا الكسر ، فمن الضروري. عامل مشترك في البسط هو 4x. لنخرجه من الأقواس:

كل من البسط والمقام لهما نفس العامل (2x-3). نحن نختصر الكسر بهذا العامل. حصلنا على 4x في البسط ، و 1 في المقام ، ووفقًا لخاصية 1 للكسور الجبرية ، فإن الكسر يساوي 4x.

يمكنك فقط تقليل العوامل (لا يمكنك تقليل جزء معين بمقدار 25 ײ!). لذلك ، يجب تحليل كثيرات الحدود في بسط ومقام الكسر.

البسط هو مربع المجموع بالكامل ، والمقام هو الفرق بين المربعات. بعد التوسع بصيغ الضرب المختصر ، نحصل على:

نختصر الكسر بمقدار (5x + 1) (للقيام بذلك ، اشطب الاثنين في البسط كأسس ، من (5x + 1) ² وسيتبقى هذا (5x + 1)):

عامل مشترك للبسط هو 2 ، فلنخرجه من الأقواس. في المقام - صيغة اختلاف المكعبات:

نتيجة التوسع في البسط والمقام ، حصلنا على نفس العامل (9 + 3a + a²). نقوم بتقليل الكسر الموجود عليه:

يتكون كثير الحدود في البسط من 4 حدود. الحد الأول مع الثاني ، والثالث مع الرابع ، ونخرج العامل المشترك x² من الأقواس الأولى. نقوم بتحليل المقام وفقًا لصيغة مجموع المكعبات:

في البسط ، نخرج العامل المشترك (x + 2) من الأقواس:

نقوم بتقليل الكسر بمقدار (x + 2):

في هذه المقالة ، سوف نركز على اختزال الكسور الجبرية. أولاً ، دعنا نتعرف على المقصود بمصطلح "اختزال كسر جبري" ، ومعرفة ما إذا كان الكسر الجبري قابلًا للاختزال دائمًا. بعد ذلك ، نعطي قاعدة تسمح لنا بإجراء هذا التحول. أخيرًا ، ضع في اعتبارك حلول الأمثلة النموذجية التي ستجعل من الممكن فهم كل التفاصيل الدقيقة للعملية.

التنقل في الصفحة.

ماذا يعني اختزال كسر جبري؟

دراسة تحدثنا عن الحد منها. سمينا قسمة البسط والمقام على العامل المشترك. على سبيل المثال ، يمكن اختزال الكسر المشترك 30/54 بمقدار 6 (أي مقسومًا على 6 بسطه ومقامه) ، مما يقودنا إلى الكسر 5/9.

يُفهم اختزال الكسر الجبري على أنه إجراء مشابه. تقليل الكسر الجبريهو قسمة البسط والمقام على عامل مشترك. ولكن إذا كان العامل المشترك لبسط ومقام كسر عادي يمكن أن يكون رقمًا فقط ، فإن العامل المشترك لبسط ومقام كسر جبري يمكن أن يكون متعدد الحدود ، على وجه الخصوص ، أحادي أو رقم.

على سبيل المثال ، يمكن اختزال الكسر الجبري بالرقم 3 الذي يعطي الكسر . من الممكن أيضًا اختزال المتغير x ، والذي سينتج عنه التعبير . يمكن اختزال الكسر الجبري الأصلي بواسطة الأحادي 3 x ، وكذلك بأي من كثيرات الحدود x + 2 y أو 3 x + 6 y أو x 2 +2 x y أو 3 x 2 +6 x y.

الهدف النهائي لتقليل الكسر الجبري هو الحصول على جزء من شكل أبسط ، في أحسن الأحوال ، جزء غير قابل للاختزال.

هل أي كسر جبري خاضع للاختزال؟

نعلم أن الكسور العادية تنقسم إلى. لا تحتوي الكسور غير القابلة للاختزال على عوامل مشتركة بخلاف الوحدة في البسط والمقام ، لذلك لا يمكن اختزالها.

قد تحتوي الكسور الجبرية أو لا تحتوي على عوامل مشتركة في البسط والمقام. في ظل وجود عوامل مشتركة ، من الممكن تقليل الكسر الجبري. إذا لم تكن هناك عوامل مشتركة ، فإن تبسيط الجزء الجبري عن طريق تصغيره أمر مستحيل.

في الحالة العامةمن خلال ظهور كسر جبري ، من الصعب تحديد ما إذا كان من الممكن إجراء اختزاله. لا شك في أن العوامل المشتركة للبسط والمقام واضحة في بعض الحالات. على سبيل المثال ، من الواضح أن بسط ومقام كسر جبري لهما عامل مشترك 3. من السهل أيضًا ملاحظة أن الكسر الجبري يمكن اختزاله بواسطة x أو بواسطة y أو مباشرةً بواسطة x · y. ولكن في كثير من الأحيان ، لا يكون العامل المشترك لبسط ومقام الكسر الجبري مرئيًا على الفور ، وفي كثير من الأحيان لا يوجد ببساطة. على سبيل المثال ، يمكن اختزال الكسر بواسطة x − 1 ، ولكن من الواضح أن هذا العامل المشترك غير موجود في الترميز. وكسر جبري لا يمكن اختزاله لأن البسط والمقام ليس لهما عوامل مشتركة.

بشكل عام ، مسألة قابلية الكسر الجبري للتقلص صعبة للغاية. وأحيانًا يكون حل مشكلة ما من خلال العمل مع كسر جبري في صورته الأصلية أسهل من معرفة ما إذا كان يمكن اختزال هذا الكسر بشكل مبدئي. لكن مع ذلك ، هناك تحويلات تسمح في بعض الحالات ، بجهد قليل نسبيًا ، بإيجاد العوامل المشتركة للبسط والمقام ، إن وجدت ، أو استنتاج أن الكسر الجبري الأصلي غير قابل للاختزال. سيتم الكشف عن هذه المعلومات في الفقرة التالية.

قاعدة تخفيض الكسر الجبري

تسمح لك المعلومات الواردة في الفقرات السابقة بإدراك ما يلي بشكل طبيعي قاعدة تخفيض الكسر الجبريوتتكون من خطوتين:

• أولاً ، تم إيجاد العوامل المشتركة لبسط ومقام الكسر الأصلي ؛
• إن وجد ، يتم إجراء التخفيض بواسطة هذه العوامل.

هذه الخطوات من اللائحة المعلنة تحتاج إلى توضيح.

الطريقة الأكثر ملاءمة لإيجاد القيم المشتركة هي تحليل كثيرات الحدود الموجودة في بسط ومقام الكسر الجبري الأصلي. في هذه الحالة ، تصبح العوامل المشتركة للبسط والمقام مرئية على الفور ، أو يتضح أنه لا توجد عوامل مشتركة.

إذا لم تكن هناك عوامل مشتركة ، فيمكننا أن نستنتج أن الكسر الجبري غير قابل للاختزال. إذا تم العثور على العوامل المشتركة ، فسيتم تقليلها في الخطوة الثانية. والنتيجة هي كسر جديد بصيغة أبسط.

تعتمد قاعدة اختزال الكسور الجبرية على الخاصية الرئيسية لكسر جبري ، والتي يتم التعبير عنها بالمساواة ، حيث تكون a و b و c بعض كثيرات الحدود ، و b و c ليست صفرية. في الخطوة الأولى ، يتم تقليل الكسر الجبري الأصلي إلى الشكل ، حيث يصبح العامل المشترك c مرئيًا ، وفي الخطوة الثانية ، يتم إجراء الاختزال - الانتقال إلى الكسر.

دعنا ننتقل إلى حل الأمثلة باستخدام هذه القاعدة. سنحلل عليها جميع الفروق الدقيقة المحتملة التي تنشأ عند تحليل البسط والمقام لكسر جبري إلى عوامل والاختزال اللاحق.

أمثلة نموذجية

تحتاج أولاً إلى الحديث عن اختزال الكسور الجبرية ، حيث يكون البسط والمقام متماثلين. هذه الكسور تساوي بشكل مماثل واحدًا في ODZ بأكمله للمتغيرات المضمنة فيه ، على سبيل المثال ،
إلخ.

الآن لا يضر أن نتذكر كيف يتم اختزال الكسور العادية - فهي في النهاية حالة خاصة من الكسور الجبرية. الأعداد الطبيعية في البسط والمقام لكسر عادي ، وبعد ذلك يتم تقليل العوامل المشتركة (إن وجدت). فمثلا، . يمكن كتابة ناتج العوامل الأولية المتطابقة في شكل درجات ، وعند تقليلها ، يمكن استخدامها. في هذه الحالة ، سيبدو الحل كما يلي: ، قسمنا هنا البسط والمقام على عامل مشترك 2 2 3. أو لمزيد من الوضوح ، بناءً على خصائص الضرب والقسمة ، يتم تقديم الحل في النموذج.

وفقًا لمبادئ مماثلة تمامًا ، يتم تقليل الكسور الجبرية ، في البسط والمقام الذي يوجد به monomials مع معاملات عدد صحيح.

مثال.

تقليل الكسر الجبري .

المحلول.

يمكنك تمثيل بسط ومقام الكسر الجبري الأصلي كمنتج لعوامل ومتغيرات بسيطة ، ثم إجراء عملية الاختزال:

لكن من المنطقي كتابة الحل كتعبير ذي قوى:

إجابه:

.

بالنسبة لتقليل الكسور الجبرية التي لها معاملات عددية كسرية في البسط والمقام ، يمكنك القيام بأمرين: إما قسمة هذه المعاملات الكسرية بشكل منفصل ، أو التخلص أولاً من المعاملات الكسرية بضرب البسط والمقام في عدد طبيعي ما. تحدثنا عن التحويل الأخير في المقالة بإحضار كسر جبري إلى مقام جديد ، ويمكن تنفيذه بسبب الخاصية الرئيسية للكسر الجبري. دعونا نتعامل مع هذا بمثال.

مثال.

إجراء تقليل الكسر.

المحلول.

يمكنك تقليل الكسر كما يلي: .

وكان من الممكن التخلص من المعاملات الكسرية أولاً بضرب البسط والمقام في مقامات هذين المعاملين ، أي في المضاعف المشترك الأصغر (5 ، 10) = 10. في هذه الحالة لدينا .

إجابه:

.

يمكنك الانتقال إلى الكسور الجبرية بشكل عام ، حيث يمكن أن يحتوي البسط والمقام على أرقام ومقادير أحادية ، بالإضافة إلى كثيرات الحدود.

عند اختزال هذه الكسور ، فإن المشكلة الرئيسية هي أن العامل المشترك للبسط والمقام لا يكون مرئيًا دائمًا. علاوة على ذلك ، فهي غير موجودة دائمًا. لإيجاد عامل مشترك أو التأكد من عدم وجوده ، تحتاج إلى تحليل بسط ومقام كسر جبري.

مثال.

اختصر الكسر المنطقي .

المحلول.

للقيام بذلك ، نحلل كثيرات الحدود في البسط والمقام. لنبدأ بالأقواس:. من الواضح أن التعبيرات بين قوسين يمكن تحويلها باستخدام

قسموبسط الكسر ومقامه على القاسم المشتركالذي يختلف عن الوحدة يسمى تخفيض الكسر.

لتقليل الكسر المشترك ، عليك قسمة البسط والمقام على نفس العدد الطبيعي.

هذا الرقم هو القاسم المشترك الأكبر لبسط ومقام الكسر المحدد.

ما يلي ممكن نماذج سجل القرارأمثلة لاختزال الكسور العادية.

للطالب الحق في اختيار أي شكل من أشكال التسجيل.

أمثلة. بسّط الكسور.

اختصر الكسر بمقدار 3 (اقسم البسط على 3 ؛

اقسم المقام على 3).

نحن نقلل الكسر بمقدار 7.

نقوم بتنفيذ الإجراءات المشار إليها في بسط ومقام الكسر.

يتم تقليل الكسر الناتج بمقدار 5.

دعونا نقلل هذا الكسر 4) على ال 5 7³- القاسم المشترك الأكبر (GCD) للبسط والمقام ، والذي يتكون من العوامل المشتركة للبسط والمقام المأخوذة للقوة ذات الأس الأصغر.

دعونا نحلل بسط هذا الكسر ومقامه إلى عوامل بسيطة.

نحن نحصل: 756 = 2² 3³ 7و 1176 = 2³ 3 7 ².

أوجد GCD (القاسم المشترك الأكبر) لبسط الكسر ومقامه 5) .

هذا هو نتاج العوامل المشتركة المأخوذة مع أصغر الأسس.

gcd (756 ؛ 1176) = 2² 3 7.

نقسم بسط هذا الكسر ومقامه على GCD ، أي على 2² 3 7نحصل على جزء غير قابل للاختزال 9/14 .

وكان من الممكن كتابة توسعات البسط والمقام في صورة حاصل ضرب العوامل الأولية ، دون استخدام مفهوم الدرجة ، ثم اختزال الكسر بشطب نفس العوامل في البسط والمقام. في حالة عدم وجود عوامل متطابقة متبقية ، نضرب العوامل المتبقية بشكل منفصل في البسط وبشكل منفصل في المقام ونكتب الكسر الناتج 9/14 .

وأخيرًا ، كان من الممكن تصغير هذا الكسر 5) بالتدريج ، تطبيق علامات قسمة الأعداد على كل من بسط الكسر ومقامه. فكر هكذا: الأرقام 756 و 1176 تنتهي برقم زوجي ، فكلاهما يقبل القسمة على 2 . نحن نقلل الكسر بمقدار 2 . بسط الكسر الجديد ومقامه عبارة عن أرقام 378 و 588 أيضا مقسمة إلى 2 . نحن نقلل الكسر بمقدار 2 . نلاحظ أن الرقم 294 - حتى و 189 أمر فردي ، ولم يعد التقليل بمقدار 2 ممكنًا. دعنا نتحقق من علامة قابلية الأرقام للقسمة 189 و 294 على ال 3 .

(1 + 8 + 9) = 18 قابلة للقسمة على 3 و (2 + 9 + 4) = 15 قابلة للقسمة على 3 ، وبالتالي فإن الأرقام نفسها 189 و 294 تنقسم إلى 3 . نحن نقلل الكسر بمقدار 3 . إضافي، 63 يقبل القسمة على 3 و 98 - رقم. كرر على العوامل الأولية الأخرى. كلا الرقمين يقبلان القسمة على 7 . نحن نقلل الكسر بمقدار 7 والحصول على الجزء غير القابل للاختزال 9/14 .