طرق حل المتباينات المثلثية وأنظمتها. أبسط وأعقد المتباينات المثلثية

المتباينات هي علاقات على شكل أ ›ب ، حيث أ وب عبارة عن تعابير تحتوي على متغير واحد على الأقل. يمكن أن تكون المتباينات صارمة - ‹،› وغير صارمة - ، ≤.

المتباينات المثلثية هي تعبيرات من الشكل: F (x) ›a ، F (x)‹ a ، F (x) ≤ a ، F (x) ≥ a ، حيث يتم تمثيل F (x) بواحد أو أكثر من الدوال المثلثية .

مثال على أبسط المتباينات المثلثية هو: sin x ‹1/2. من المعتاد حل مثل هذه المشكلات بيانياً ؛ تم تطوير طريقتين لهذا.

الطريقة الأولى - حل المتباينات عن طريق رسم دالة

لإيجاد فترة تحقق شروط المتباينة sin x ‹1/2 ، عليك القيام بما يلي:

1. على ال تنسيق المحوربناء الجيب y = sin x.
2. ارسم رسمًا بيانيًا على نفس المحور حجة رقميةعدم المساواة ، أي خط مستقيم يمر بالنقطة ½ للإحداثي y.
3. حدد نقاط التقاطع بين الرسمين البيانيين.
4. ظلل المقطع الذي يمثل الحل في المثال.

عندما تكون هناك إشارات قوية في تعبير ما ، فإن نقاط التقاطع ليست حلولاً. منذ الأصغر فترة إيجابيةالجيوب الأنفية هي 2π ، ثم نكتب الإجابة على النحو التالي:

إذا لم تكن علامات التعبير صارمة ، فيجب تضمين الفاصل الزمني للحلول أقواس مربعة-. يمكن أيضًا كتابة إجابة المشكلة على أنها متباينة أخرى:

الطريقة الثانية - حل المتباينات المثلثية باستخدام دائرة الوحدة

يمكن حل مشاكل مماثلة بسهولة بمساعدة الدائرة المثلثية. خوارزمية البحث بسيطة للغاية:

1. أولاً ، ارسم دائرة وحدة.
2. ثم تحتاج إلى ملاحظة قيمة دالة القوس لسعة الجانب الأيمن من المتباينة على قوس الدائرة.
3. من الضروري رسم خط مستقيم يمر عبر قيمة دالة القوس الموازية للمحور السيني (OX).
4. بعد ذلك ، يبقى فقط تحديد قوس الدائرة ، وهو مجموعة حلول المتباينة المثلثية.
5. اكتب الإجابة بالشكل المطلوب.

دعونا نحلل خطوات الحل باستخدام المتباينة sin x ›1/2 كمثال. يتم تمييز النقطتين α و على الدائرة - القيم

نقطتا القوس الواقعة فوق α و هي الفترة الزمنية لحل المتباينة المعطاة.

إذا كنت بحاجة إلى حل مثال لجيب التمام ، فسيتم تحديد موقع قوس الإجابات بشكل متماثل مع محور OX ، وليس OY. يمكنك النظر في الفرق بين فترات الحل لجيب الجيب وجيب التمام في المخططات أدناه في النص.

ستختلف الحلول الرسومية لمتباينات الظل والظل عن كل من الجيب وجيب التمام. هذا يرجع إلى خصائص الوظائف.

ظل القوس وظل القوس هما مماس الدائرة المثلثية، والحد الأدنى للفترة الموجبة لكلتا الوظيفتين هو π. من أجل استخدام الطريقة الثانية بسرعة وبشكل صحيح ، عليك أن تتذكر على أي محور يكون ملف قيم الخطيئةو cos و tg و ctg.

المماس يعمل بالتوازي مع محور OY. إذا رسمنا قيمة arctg a على دائرة الوحدة ، فإن النقطة المطلوبة الثانية ستكون موجودة في الربع المائل. زوايا

إنها نقاط توقف للوظيفة ، حيث أن الرسم البياني يميل إليها ولكنه لا يصل إليها أبدًا.

في حالة ظل التمام ، يعمل الظل بالتوازي مع محور OX ، ويتم مقاطعة الوظيفة عند النقطتين π و 2π.

عدم المساواة المثلثية المعقدة

إذا تم تمثيل وسيطة دالة عدم المساواة ليس فقط بواسطة متغير ، ولكن من خلال تعبير كامل يحتوي على مجهول ، فإننا نتحدث بالفعل عن عدم المساواة المعقدة. يختلف مسار الحل وترتيبه إلى حد ما عن الطرق الموضحة أعلاه. افترض أننا بحاجة إلى إيجاد حل لعدم المساواة التالية:

يوفر الحل الرسومي لبناء الجيب العادي y = sin x لقيم x المختارة بشكل عشوائي. لنحسب جدولًا بإحداثيات النقاط المرجعية للرسم البياني:

يجب أن تكون النتيجة منحنى جميل.

لسهولة إيجاد حل ، نستبدل وسيطة الدالة المعقدة

خوارزمية لحل أبسط عدم المساواة المثلثيةوالتعرف على طرق حل التفاوتات المثلثية.

معلمين من أعلى فئة التأهيل:

شيركو ف. قرية التقدم ، MOBU-SOSH №6

سانكينا إل. أرمافير ، مدرسة PEI الثانوية " طريق جديد»

غير موجود الحيل العالميةتخصصات تدريس الدورة الرياضية الطبيعية. يجد كل معلم طرقه الخاصة في التدريس مقبولة له فقط.

تُظهر سنوات خبرتنا في التدريس أنه يمكن للطلاب تعلم المواد التي تتطلب تركيز الانتباه وتخزين قدر كبير من المعلومات في الذاكرة بسهولة أكبر إذا تم تعليمهم استخدام الخوارزميات في عملهم. المرحلة الأوليةالتعلم موضوع صعب. مثل هذا الموضوع ، في رأينا ، هو موضوع حل عدم المساواة المثلثية.

لذلك ، قبل أن نبدأ مع الطلاب في تحديد تقنيات وأساليب حل التفاوتات المثلثية ، نعمل على إيجاد وإصلاح الخوارزمية لحل أبسط التفاوتات المثلثية.

خوارزمية لحل أبسط المتباينات المثلثية

نحتفل بالنقاط على المحور المقابل ( إلى عن على الخطيئة x- المحور ص ، لـكوس x- محور OX)

نقوم باستعادة العمود العمودي على المحور ، والذي سيتقاطع مع الدائرة عند نقطتين.

أولاً ، نوقع على الدائرة النقطة التي تنتمي إلى فاصل نطاق قيم دالة القوس بالتعريف.

بدءًا من النقطة الموقعة ، نقوم بتظليل قوس الدائرة المقابل للجزء المظلل من المحور.

انعطفنا انتباه خاصفي اتجاه الالتفافية. إذا كان الاجتياز في اتجاه عقارب الساعة (أي أن هناك انتقال من خلال 0) ، فإن النقطة الثانية في الدائرة ستكون سالبة ، إذا كانت عكس اتجاه عقارب الساعة - موجبة.

نكتب الإجابة كفترة زمنية ، مع مراعاة دورية الوظيفة.

دعنا نفكر في تشغيل الخوارزمية بأمثلة.

1) الخطيئة ≥ 1/2;

المحلول:

ارسم دائرة وحدة ؛

نحتفل بنقطة ½ على المحور y.

استعادة العمود العمودي على المحور ،

التي تتقاطع مع الدائرة عند نقطتين.

من خلال تعريف القوس ، نحتفل أولاً

النقطة π / 6.

نقوم بتظليل جزء المحور الذي يتوافق مع

بالنظر إلى عدم المساواة ، فوق النقطة ½.

نقوم بتظليل قوس الدائرة المقابل للجزء المظلل من المحور.

تم إجراء التجاوز بعكس اتجاه عقارب الساعة ، حصلنا على النقطة 5π / 6.

نكتب الإجابة كفترة زمنية ، مع مراعاة دورية الوظيفة ؛

إجابه:x ؛ [/ 6 + 2π ن، 5π / 6 + 2π ن], ن Z.

يتم حل أبسط متباينة باستخدام نفس الخوارزمية إذا لم تكن هناك قيمة مجدولة في تسجيلة الإجابة.

يقوم الطلاب ، في الدروس الأولى ، بحل التفاوتات على السبورة ، بنطق كل خطوة من الخوارزمية بصوت عالٍ.

2) 5 كوس x – 1 ≥ 0;

ص المحلول:في

5 كوس x – 1 ≥ 0;

كوس x ≥ 1/5;

ارسم دائرة وحدة.

نحتفل على محور OX بنقطة بالإحداثيات 1/5.

نعيد العمودي إلى المحور الذي

يتقاطع مع الدائرة عند نقطتين.

أولاً على الدائرة نوقع النقطة التي تنتمي إلى فاصل نطاق قيم قوس القوس بالتعريف (0 ؛ π).

نقوم بتظليل جزء المحور الذي يتوافق مع هذه المتباينة.

بدءا من النقطة الموقعة arccos 1/5 ، ظلل قوس الدائرة المقابل للجزء المظلل من المحور.

يتم إجراء التجاوز في اتجاه عقارب الساعة (أي أن هناك انتقالًا عبر 0) ، مما يعني أن النقطة الثانية في الدائرة ستكون سالبة - arccos 1/5.

نكتب الإجابة في صورة فترة ، مع مراعاة دورية الوظيفة ، من قيمة أصغر إلى قيمة أكبر.

إجابه: x  [-arccos 1/5 + 2π ن, arccos 1/5 + 2π ن], ن Z.

يتم تسهيل تحسين القدرة على حل عدم المساواة المثلثية من خلال الأسئلة: "كيف سنحل مجموعة من عدم المساواة؟" ؛ "كيف تختلف إحدى المتباينات عن الأخرى؟" ؛ "كيف تتشابه متباينة مع أخرى؟" ؛ كيف ستتغير الإجابة إذا تم إعطاء عدم مساواة صارمة؟ كيف ستتغير الإجابة إذا كانت هناك علامة بدلاً من علامة ""

تسمح لك مهمة تحليل قائمة عدم المساواة من وجهة نظر طرق حلها بالعمل على التعرف عليها.

يتم إعطاء الطلاب عدم المساواة لحلها في الفصل.

سؤال:تسليط الضوء على عدم المساواة التي يجب تطبيقها التحولات المكافئةعند تقليل عدم المساواة المثلثية إلى أبسط؟

إجابه 1, 3, 5.

سؤال:ما هي التفاوتات التي تتطلب اعتبار الحجة المعقدة حجة بسيطة؟

إجابه: 1, 2, 3, 5, 6.

سؤال:قم بتسمية عدم المساواة حيث يمكنك التقديم الصيغ المثلثية?

إجابه: 2, 3, 6.

سؤال:ما هي المتباينات حيث يمكنك تطبيق طريقة إدخال متغير جديد؟

إجابه: 6.

تسمح لك مهمة تحليل قائمة عدم المساواة من وجهة نظر طرق حلها بالعمل على التعرف عليها. عند تطوير المهارات ، من المهم تحديد مراحل تنفيذها وصياغتها فيها نظرة عامة، والذي يتم تقديمه في الخوارزمية لحل أبسط المتباينات المثلثية.