مجموع الأعداد غير المنطقية هو عدد غير نسبي. الجوهر والتسمية

عدد صحيح

تعريف الأعداد الطبيعية هي الأعداد الصحيحة أرقام موجبة. تستخدم الأعداد الطبيعية لعد الأشياء ولأغراض أخرى كثيرة. ها هي الأرقام:

هذه سلسلة طبيعية من الأرقام.
الصفر رقم طبيعي؟ لا ، الصفر ليس عددًا طبيعيًا.
كيف الأعداد الطبيعيةموجود؟ موجود مجموعة لانهائيةالأعداد الطبيعية.
ما هو أصغر عدد طبيعي؟ واحد هو أصغر عدد طبيعي.
ما هو أكبر عدد طبيعي؟ لا يمكن تحديده ، لأن هناك مجموعة لا نهائية من الأعداد الطبيعية.

مجموع الأعداد الطبيعية هو عدد طبيعي. إذن ، جمع الأعداد الطبيعية أ وب:

ناتج الأعداد الطبيعية هو عدد طبيعي. إذن ، حاصل ضرب الأعداد الطبيعية أ و ب:

c دائمًا رقم طبيعي.

اختلاف الأعداد الطبيعية لا يوجد دائمًا عدد طبيعي. إذا كان الحد الأدنى أكبر من المطروح ، فإن الفرق في الأعداد الطبيعية هو عدد طبيعي ، وإلا فهو ليس كذلك.

حاصل قسمة الأعداد الطبيعية لا يوجد دائمًا عدد طبيعي. إذا كان للأعداد الطبيعية أ و ب

حيث c عدد طبيعي ، فهذا يعني أن a يقبل القسمة على b بالتساوي. في هذا المثال ، a هو المقسوم ، b هو القاسم ، c هو حاصل القسمة.

المقسوم على العدد الطبيعي هو الرقم الطبيعي الذي يقبل القسمة على الرقم الأول بالتساوي.

كل عدد طبيعي يقبل القسمة على 1 وعلى نفسه.

الأعداد الطبيعية البسيطة لا تقبل القسمة إلا على 1 وعلى نفسها. هنا نقصد الانقسام التام. مثال ، الأرقام 2 ؛ 3 ؛ 5 ؛ 7 يقبل القسمة على 1 وعلى نفسها. هذه أرقام طبيعية بسيطة.

واحد لا يعتبر عددًا أوليًا.

تسمى الأعداد الأكبر من واحد والتي ليست أولية بالأرقام المركبة. أمثلة على الأرقام المركبة:

واحد لا يعتبر رقمًا مركبًا.

مجموعة الأعداد الطبيعية واحدة ، الأعداد الأوليةوالأرقام المركبة.

يشار إلى مجموعة الأعداد الطبيعية حرف لاتينين.

خصائص جمع وضرب الأعداد الطبيعية:

خاصية التبديل من إضافة

الملكية الترابطية للإضافة

(أ + ب) + ج = أ + (ب + ج) ؛

خاصية تبادلية الضرب

الخاصية الترابطية للضرب

(أب) ج = أ (قبل الميلاد) ؛

خاصية التوزيع الضرب

أ (ب + ج) = أب + ج ؛

الأعداد الكلية

الأعداد الصحيحة هي الأعداد الطبيعية ، صفر وعكس الأعداد الطبيعية.

الأعداد المقابلة للأرقام الطبيعية هي أعداد صحيحة سالبة ، على سبيل المثال:

1; -2; -3; -4;...

يتم الإشارة إلى مجموعة الأعداد الصحيحة بالحرف اللاتيني Z.

أرقام نسبية

الأعداد المنطقية هي أعداد صحيحة وكسور.

يمكن تمثيل أي رقم كسري في صورة كسر دوري. أمثلة:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

من الأمثلة يتضح أن أي عدد صحيح هو جزء دوريمع فترة صفر.

يمكن تمثيل أي عدد نسبي في صورة كسر م / ن ، حيث م عدد صحيح عدد n طبيعيرقم. دعنا نمثل الرقم 3 ، (6) من المثال السابق على أنه كسر.

يُشار إلى مجموعة جميع الأعداد الطبيعية بالحرف N. الأعداد الطبيعية هي الأرقام التي نستخدمها لحساب عدد الكائنات: 1،2،3،4 ، ... في بعض المصادر ، يُشار إلى الرقم 0 أيضًا بالأرقام الطبيعية .

يتم الإشارة إلى مجموعة جميع الأعداد الصحيحة بالحرف Z. الأعداد الصحيحة كلها أعداد طبيعية ، صفر وأرقام سالبة:

1,-2,-3, -4, …

نضيف الآن إلى مجموعة جميع الأعداد الصحيحة مجموعة الكل الكسور العادية: 2/3 ، 18/17 ، -4/5 وما إلى ذلك. ثم نحصل على مجموعة الكل أرقام نسبية.

تعيين الأرقام المنطقية

يتم الإشارة إلى مجموعة جميع الأرقام المنطقية بالحرف Q. مجموعة جميع الأرقام المنطقية (Q) هي المجموعة التي تتكون من أرقام النموذج m / n و -m / n والرقم 0. في مثل ن ، ميمكن أن يكون أي عدد طبيعي. تجدر الإشارة إلى أنه يمكن تمثيل جميع الأرقام المنطقية ككسر عشري محدود أو لانهائي. والعكس صحيح أيضًا ، وهو أن أي كسر عشري دوري محدود أو غير محدود يمكن كتابته كرقم منطقي.

ولكن ماذا عن الرقم 2.0100100010 على سبيل المثال ...؟ إنه غير دوري بلا حدود عدد عشري. ولا ينطبق على الأعداد المنطقية.

في دورة مدرسيةتدرس الجبر فقط بأرقام حقيقية (أو حقيقية). كثير من الجميع أرقام حقيقيةيُشار إليها بالحرف R. تتكون المجموعة R من جميع الأرقام المنطقية وجميع الأرقام غير المنطقية.

مفهوم الأعداد غير المنطقية

أرقام غير منطقيةكلها أرقام عشرية لا نهائية كسور غير دورية. الأعداد غير النسبية ليس لها تدوين خاص.

على سبيل المثال ، جميع الأرقام التي تم الحصول عليها عن طريق استخراج الجذر التربيعي للأعداد الطبيعية التي ليست مربعات للأعداد الطبيعية ستكون غير منطقية. (√2 ، √3 ، √5 ، √6 ، إلخ.).

لكن لا تعتقد أن الأعداد غير المنطقية يتم الحصول عليها فقط عن طريق استخراج الجذور التربيعية. على سبيل المثال ، الرقم "pi" هو أيضًا غير منطقي ، ويتم الحصول عليه عن طريق القسمة. وبغض النظر عن مدى صعوبة المحاولة ، لا يمكنك الحصول عليها عن طريق الاستخراج الجذر التربيعيمن أي عدد طبيعي.

مع جزء من طول الوحدة ، كان علماء الرياضيات القدامى يعرفون بالفعل: لقد عرفوا ، على سبيل المثال ، عدم قابلية القياس للقطر وجانب المربع ، وهو ما يعادل عدم عقلانية العدد.

اللاعقلانية هي:

أمثلة على إثبات اللاعقلانية

جذر 2

افترض العكس: إنه عقلاني ، أي أنه يتم تمثيله ككسر غير قابل للاختزال ، حيث يكون عددًا صحيحًا. دعونا نربّع المساواة المفترضة:

.

من هذا يتبع ذلك حتى ، وبالتالي ، حتى و. دع أين كله. ثم

لذلك ، حتى ، وبالتالي ، حتى و. لقد حصلنا على ذلك بل وحتى ، وهو ما يتعارض مع عدم إمكانية اختزال الكسر. ومن ثم ، فإن الافتراض الأصلي كان خاطئًا ، وهو رقم غير منطقي.

اللوغاريتم الثنائي للرقم 3

افترض العكس: إنه منطقي ، أي أنه يتم تمثيله ككسر ، وأين وأعداد صحيحة. منذ ذلك الحين ، ويمكن أن تؤخذ إيجابية. ثم

لكن هذا واضح ، إنه غريب. لدينا تناقض.

ه

قصة

تم تبني مفهوم الأعداد غير المنطقية ضمنيًا من قبل علماء الرياضيات الهنود في القرن السابع قبل الميلاد ، عندما وجد ماناوا (750 قبل الميلاد - 690 قبل الميلاد) أن الجذور التربيعية لبعض الأعداد الطبيعية ، مثل 2 و 61 لا يمكن التعبير عنها صراحة.

يُنسب الدليل الأول لوجود الأرقام غير المنطقية عادةً إلى Hippasus of Metapontus (حوالي 500 قبل الميلاد) ، وهو فيثاغورس الذي وجد هذا الدليل من خلال دراسة أطوال جوانب النجم الخماسي. في زمن الفيثاغورس ، كان يُعتقد أن هناك وحدة طول واحدة ، صغيرة بما يكفي وغير قابلة للتجزئة ، وهي عدد صحيح من المرات المدرجة في أي مقطع. ومع ذلك ، جادل هيباسوس بأنه لا توجد وحدة طول واحدة ، لأن افتراض وجودها يؤدي إلى تناقض. أظهر أنه إذا كان الوتر متساوي الساقين مثلث قائميحتوي على عدد صحيح من أجزاء الوحدة ، ثم يجب أن يكون هذا الرقم زوجيًا وفرديًا في نفس الوقت. بدا الدليل على هذا النحو:

• يمكن التعبير عن نسبة طول الوتر إلى طول ساق مثلث قائم الزاوية متساوي الساقين أ:ب، أين أو بتم اختياره على أنه أصغر حجم ممكن.
• وفقًا لنظرية فيثاغورس: أ² = 2 ب².
• لان أ² حتى ، أيجب أن يكون زوجيًا (لأن مربع الرقم الفردي سيكون فرديًا).
• بسبب ال أ:بغير القابل للاختزال بيجب أن يكون غريبًا.
• لان أحتى ، دلالة أ = 2ذ.
• ثم أ² = 4 ذ² = 2 ب².
• ب² = 2 ذ² ، لذلك بحتى ، إذن بحتى.
• ومع ذلك ، فقد ثبت أن بالفردية. تناقض.

أطلق علماء الرياضيات اليونانيون على هذه النسبة من الكميات غير القابلة للقياس alogos(لا يمكن وصفه) ، ولكن وفقًا للأساطير ، لم يحصل Hippasus على الاحترام الواجب. هناك أسطورة أن Hippasus اكتشفها أثناء وجوده رحلة بحرية، وقد ألقى بها فيثاغورس الآخرون "لخلق عنصر الكون الذي ينكر العقيدة القائلة بأن جميع الكيانات في الكون يمكن اختزالها إلى أعداد صحيحة ونسبها." وضع اكتشاف هيباس قبل رياضيات فيثاغورس مشكلة خطيرة، مما يدمر الافتراض الكامن وراء النظرية بأكملها القائلة بأن الأرقام والأشياء الهندسية واحدة لا تنفصل.

أنظر أيضا

ملحوظات

الأنظمة العددية
عد مجموعات	الأعداد الطبيعية () الأعداد الصحيحة ()

يعد فهم الأرقام ، وخاصة الأعداد الطبيعية ، من أقدم "المهارات" الرياضية. عزت العديد من الحضارات ، حتى الحديثة منها ، بعض الخصائص الصوفية إلى الأرقام نظرًا لأهميتها الكبيرة في وصف الطبيعة. رغم العلم الحديثوالرياضيات لا تؤكد هذه الخصائص "السحرية" ، فإن أهمية نظرية الأعداد لا يمكن إنكارها.

تاريخيا ، ظهرت العديد من الأعداد الطبيعية لأول مرة ، ثم بعد ذلك بقليل تم إضافة الكسور والأرقام الموجبة غير المنطقية إليها. تم إدخال الأعداد الصفرية والسالبة بعد هذه المجموعات الفرعية لمجموعة الأعداد الحقيقية. آخر مجموعة ، مجموعة ارقام مركبةظهر فقط مع تطور العلم الحديث.

في الرياضيات الحديثة ، لا يتم إدخال الأرقام ترتيب تاريخي، على الرغم من قربه منه.

الأعداد الطبيعية $ \ mathbb (N) $

غالبًا ما يُشار إلى مجموعة الأعداد الطبيعية على أنها $ \ mathbb (N) = \ lbrace 1،2،3،4 ... \ rbrace $ وغالبًا ما تكون مبطنّة بصفر للإشارة إلى $ \ mathbb (N) _0 $.

يحدد $ \ mathbb (N) $ عمليتي الجمع (+) والضرب ($ \ cdot $) باستخدام الخصائص التاليةلأي $ a، b، c \ in \ mathbb (N) $:

1. $ a + b \ in \ mathbb (N) $، $ a \ cdot b \ in \ mathbb (N) $ the set $ \ mathbb (N) $ مغلق تحت الجمع والضرب
2. $ a + b = b + a $، $ a \ cdot b = b \ cdot a $ commutativity
3. $ (a + b) + c = a + (b + c) $، $ (a \ cdot b) \ cdot c = a \ cdot (b \ cdot c) $ Associativity
4. $ a \ cdot (b + c) = a \ cdot b + a \ cdot c $ التوزيعية
5. $ a \ cdot 1 = a $ هو العنصر المحايد في الضرب

نظرًا لأن المجموعة $ \ mathbb (N) $ تحتوي على عنصر محايد للضرب ولكن ليس للإضافة ، فإن إضافة صفر إلى هذه المجموعة يضمن أنها تتضمن عنصرًا محايدًا للإضافة.

بالإضافة إلى هاتين العمليتين ، في المجموعة $ \ mathbb (N) $ العلاقات "أقل من" ($

1. $ a b $ trichotomy
2. إذا كان $ a \ leq b $ و $ b \ leq a $ ، فإن $ a = b $ هو عدم تناسق
3. إذا كان $ a \ leq b $ و $ b \ leq c $ ، فإن $ a \ leq c $ هو متعد
4. إذا كان $ a \ leq b $ ، ثم $ a + c \ leq b + c $
5. if $ a \ leq b $ ، ثم $ a \ cdot c \ leq b \ cdot c $

الأعداد الصحيحة $ \ mathbb (Z) $

أمثلة عدد صحيح:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

يتطلب حل المعادلة $ a + x = b $ ، حيث $ a $ و $ b $ أرقام طبيعية معروفة ، و $ x $ رقم طبيعي غير معروف ، يتطلب إدخال عملية جديدة - الطرح (-). إذا كان هناك رقم طبيعي $ x $ يحقق هذه المعادلة ، فإن $ x = b-a $. ومع ذلك ، لا تحتوي هذه المعادلة المحددة بالضرورة على حل للمجموعة $ \ mathbb (N) $ ، لذا فإن الاعتبارات العملية تتطلب توسيع مجموعة الأعداد الطبيعية بطريقة تتضمن حلولًا لمثل هذه المعادلة. يؤدي هذا إلى إدخال مجموعة من الأعداد الصحيحة: $ \ mathbb (Z) = \ lbrace 0،1، -1،2، -2،3، -3 ... \ rbrace $.

بما أن $ \ mathbb (N) \ subset \ mathbb (Z) $ ، فمن المنطقي أن نفترض أن العمليات التي تم تقديمها سابقًا $ + $ و $ \ cdot $ والعلاقة $ 1. $ 0 + a = a + 0 = a $ هناك عنصر محايد للإضافات
2. $ a + (- a) = (- a) + a = 0 $ موجود رقم مضاد$ -a $ مقابل $ a $

5. الملكية:
5. إذا كان $ 0 \ leq a $ و $ 0 \ leq b $ ، فإن $ 0 \ leq a \ cdot b $

يتم أيضًا إغلاق المجموعة $ \ mathbb (Z) $ تحت الطرح ، أي $ (\ forall a، b \ in \ mathbb (Z)) (a-b \ in \ mathbb (Z)) $.

الأعداد المنطقية $ \ mathbb (Q) $

أمثلة على الأرقام المنطقية:
$ \ frac (1) (2) ، \ frac (4) (7) ، - \ frac (5) (8) ، \ frac (10) (20) ... $

الآن ضع في اعتبارك المعادلات بالصيغة $ a \ cdot x = b $ ، حيث $ a $ و $ b $ من الأعداد الصحيحة و $ x $ غير معروف. لجعل الحل ممكنًا ، من الضروري تقديم عملية القسمة ($: $) ، ويصبح الحل $ x = b: a $ ، أي $ x = \ frac (b) (a) $. مرة أخرى ، تبرز المشكلة أن $ x $ لا ينتمي دائمًا إلى $ \ mathbb (Z) $ ، لذلك يجب تمديد مجموعة الأعداد الصحيحة. وبالتالي ، نقدم مجموعة الأرقام المنطقية $ \ mathbb (Q) $ مع العناصر $ \ frac (p) (q) $ ، حيث $ p \ in \ mathbb (Z) $ و $ q \ in \ mathbb (N) $. المجموعة $ \ mathbb (Z) $ هي مجموعة فرعية يكون فيها كل عنصر $ q = 1 $ ، وبالتالي $ \ mathbb (Z) \ subset \ mathbb (Q) $ وتنطبق أيضًا عمليات الجمع والضرب على هذه المجموعة وفقًا للقواعد التالية ، والتي تحافظ على جميع الخصائص المذكورة أعلاه أيضًا على المجموعة $ \ mathbb (Q) $:
$ \ frac (p_1) (q_1) + \ frac (p_2) (q_2) = \ frac (p_1 \ cdot q_2 + p_2 \ cdot q_1) (q_1 \ cdot q_2) $
$ \ frac (p-1) (q_1) \ cdot \ frac (p_2) (q_2) = \ frac (p_1 \ cdot p_2) (q_1 \ cdot q_2) $

يتم إدخال التقسيم على النحو التالي:
$ \ frac (p_1) (q_1): \ frac (p_2) (q_2) = \ frac (p_1) (q_1) \ cdot \ frac (q_2) (p_2) $

في المجموعة $ \ mathbb (Q) $ ، تحتوي المعادلة $ a \ cdot x = b $ على حل فريد لكل $ a \ neq 0 $ (لم يتم تعريف القسمة على الصفر). هذا يعني أن هناك عنصرًا معكوسًا $ \ frac (1) (a) $ أو $ a ^ (- 1) $:
$ (\ forall a \ in \ mathbb (Q) \ setminus \ lbrace 0 \ rbrace) (\ موجود \ frac (1) (a)) (a \ cdot \ frac (1) (a) = \ frac (1) (أ) \ cdot a = a) $

يمكن تمديد ترتيب المجموعة $ \ mathbb (Q) $ بهذه الطريقة:
$ \ frac (p_1) (q_1)

المجموعة $ \ mathbb (Q) $ لها واحد خاصية مهمة: بين أي رقمين منطقيين يوجد عدد لا نهائي من الأعداد المنطقية الأخرى ، لذلك لا يوجد رقمان منطقيان متجاوران ، على عكس مجموعات الأعداد الطبيعية والأعداد الصحيحة.

الأعداد غير النسبية $ \ mathbb (I) $

أمثلة على الأرقام غير المنطقية:
$ \ sqrt (2) \ حوالي 1.41422135 ... $
$ \ pi \ حوالي 3.1415926535 ... $

نظرًا لوجود عدد غير محدود من الأرقام المنطقية الأخرى بين أي رقمين منطقيين ، فمن السهل الاستنتاج خطأً أن مجموعة الأعداد المنطقية كثيفة جدًا بحيث لا توجد حاجة لتوسيعها أكثر. حتى فيثاغورس ارتكب مثل هذا الخطأ مرة واحدة. ومع ذلك ، فقد دحض معاصروه هذا الاستنتاج بالفعل عند دراسة حلول المعادلة $ x \ cdot x = 2 $ ($ x ^ 2 = 2 $) على مجموعة الأرقام المنطقية. لحل مثل هذه المعادلة ، من الضروري تقديم مفهوم الجذر التربيعي ، ومن ثم يكون حل هذه المعادلة بالصيغة $ x = \ sqrt (2) $. معادلة من النوع $ x ^ 2 = a $ ، حيث $ a $ رقم منطقي معروف و $ x $ معادلة غير معروفة ، ليس لها دائمًا حل لمجموعة الأعداد المنطقية ، ومرة ​​أخرى هناك حاجة لتوسيع المجموعة. تنشأ مجموعة من الأرقام غير المنطقية ، وتنتمي إلى هذه المجموعة أرقام مثل $ \ sqrt (2) $ ، $ \ sqrt (3) $ ، $ \ pi $ ....

الأعداد الحقيقية $ \ mathbb (R) $

اتحاد مجموعتي الأعداد المنطقية وغير المنطقية هو مجموعة الأعداد الحقيقية. نظرًا لأن $ \ mathbb (Q) \ subset \ mathbb (R) $ ، فمن المنطقي مرة أخرى افتراض أن العمليات الحسابية والعلاقات المقدمة تحتفظ بخصائصها في المجموعة الجديدة. إن الدليل الرسمي على ذلك صعب للغاية ، لذلك يتم تقديم الخصائص المذكورة أعلاه للعمليات الحسابية والعلاقات على مجموعة الأعداد الحقيقية كبديهيات. في الجبر ، يسمى هذا الكائن حقل ، لذلك يُقال أن مجموعة الأرقام الحقيقية هي حقل مرتب.

لكي يكتمل تعريف مجموعة الأعداد الحقيقية ، من الضروري تقديم بديهية إضافية تميز المجموعتين $ \ mathbb (Q) $ و $ \ mathbb (R) $. افترض أن $ S $ مجموعة فرعية غير فارغة من مجموعة الأرقام الحقيقية. العنصر $ b \ in \ mathbb (R) $ يسمى الحد الأعلى $ S $ إذا كان $ \ forall x \ in S $ يرضي $ x \ leq b $. ثم يُقال أن المجموعة $ S $ محدودة من أعلى. يُطلق على الحد الأعلى الأدنى للمجموعة $ S $ اسم supremum ويُرمز إليه بـ $ \ sup S $. يتم تقديم مفاهيم الحد الأدنى ، والمجموعة المحددة أدناه ، واللانهاية $ \ inf S $ بالمثل. الآن يتم صياغة البديهية المفقودة على النحو التالي:

أي مجموعة فرعية غير فارغة ومحدودة من مجموعة فرعية من مجموعة الأعداد الحقيقية لها سيادة.
يمكن أيضًا إثبات أن مجال الأعداد الحقيقية المحددة أعلاه فريد من نوعه.

الأعداد المركبة $ \ mathbb (C) $

أمثلة على الأعداد المركبة:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$ 1 + 5i ، 2 - 4i ، -7 + 6i ... $ حيث $ i = \ sqrt (-1) $ أو $ i ^ 2 = -1 $

مجموعة الأعداد المركبة عبارة عن أزواج مرتبة من الأعداد الحقيقية ، أي $ \ mathbb (C) = \ mathbb (R) ^ 2 = \ mathbb (R) \ times \ mathbb (R) $ ، والتي عليها عمليات الجمع و يتم تعريف الضرب على النحو التالي:
$ (a، b) + (c، d) = (a + b، c + d) $
$ (a، b) \ cdot (c، d) = (ac-bd، ad + bc) $

هناك عدة طرق لكتابة الأعداد المركبة ، وأكثرها شيوعًا هو $ z = a + ib $ ، حيث $ (a، b) $ زوج من الأعداد الحقيقية ، والرقم $ i = (0،1) $ تسمى الوحدة التخيلية.

من السهل إظهار أن $ i ^ 2 = -1 $. يسمح لنا امتداد المجموعة $ \ mathbb (R) $ للمجموعة $ \ mathbb (C) $ بتحديد الجذر التربيعي لـ أرقام سالبة، والذي كان سبب إدخال مجموعة الأعداد المركبة. من السهل أيضًا إظهار أن مجموعة فرعية من المجموعة $ \ mathbb (C) $ المعطاة كـ $ \ mathbb (C) _0 = \ lbrace (a، 0) | a \ in \ mathbb (R) \ rbrace $ ترضي الجميع البديهيات للأرقام الحقيقية ، ومن ثم $ \ mathbb (C) _0 = \ mathbb (R) $ أو $ R \ subset \ mathbb (C) $.

البنية الجبرية للمجموعة $ \ mathbb (C) $ فيما يتعلق بعمليات الجمع والضرب لها الخصائص التالية:
1. تبادلية الجمع والضرب
2. اتحاد الجمع والضرب
3. $ 0 + i0 $ - عنصر محايد للإضافة
4. $ 1 + i0 $ - عنصر محايد للضرب
5. الضرب توزيعي فيما يتعلق بالجمع
6. يوجد عنصر واحد معكوس لكل من الجمع والضرب.