خصائص الاحتمال الإحصائي. الاحتمال الإحصائي

تذاكر احتمالية.

نظرية الاحتمالات- فرع من الرياضيات يدرس قوانين الظواهر العشوائية: الأحداث العشوائية والمتغيرات العشوائية وخصائصها وعملياتها.

نظرية الاحتمالاتيدرس الظواهر العشوائية ، والظواهر العشوائية هي تلك التي تحدث في مجاميع عدد أكبر من الأجسام المتساوية أو المتساوية تقريبًا ويتم تحديدها من خلال الطبيعة الجماعية للظاهرة.

نظرية الاحتمالات- يعكس الأنماط المتأصلة في الأحداث العشوائية ذات الطبيعة الجماعية ، وتستند هذه النظرية أساسًا إلى المفاهيم الأساسية.

الأحداث وتصنيفها.

تتميز إمكانية تحديد حدث ما باحتمالية وقوع الحدث.

أين - عدد الأحداث ذات الأهمية - عدد الأحداث المرصودة.

حدث موثوقإذا كان احتمال حدوثه هو 1.

حدث غير موثوق بهيسمى إذا كان الاحتمال 0.

أحداث غير متوافقة- الأحداث التي لا يمكن أن يظهر فيها اثنان منهم في هذه التجربة.

أحداث ممكنة على قدم المساواة- الأحداث التي في هذه التجربة لا يكون أي منها ممكنًا بشكل موضوعي.

الأحداث المعاكسة- الأحداث التي تشكل مجموعة كاملة من حدثين.

أحداث مستقلة- تلك التي يكون فيها كل من الحدثين مستقلاً (الارتباط - عدم الاعتماد)

الأحداث المشتركة- مثل هذه الأحداث التي لا يستبعد ظهور أحدهم فيها ظهور بعضهما البعض في نفس التجربة.

التعاريف الكلاسيكية والإحصائية لاحتمال وقوع حدث

تسمى كل نتيجة من نتائج الاختبار (التجارب) الممكنة على قدم المساواة بالنتيجة الأولية. عادة ما يتم الإشارة إليها بالحروف. على سبيل المثال ، يتم إلقاء النرد. يمكن أن يكون هناك ست نتائج أولية وفقًا لعدد النقاط على الجانبين.

من النتائج الأولية ، يمكنك إنشاء حدث أكثر تعقيدًا. لذلك ، يتم تحديد حدث عدد زوجي من النقاط من خلال ثلاث نتائج: 2 ، 4 ، 6.

مقياس كمي لإمكانية حدوث الحدث قيد النظر هو الاحتمال.

يتم استخدام تعريفين لاحتمال حدث على نطاق واسع: كلاسيكيو إحصائية.

يرتبط التعريف الكلاسيكي للاحتمالية بمفهوم النتيجة الإيجابية.

يسمى الخروج ملائمهذا الحدث ، إذا كان وقوعه يستلزم وقوع هذا الحدث.

في المثال المعطى ، الحدث قيد النظر - عدد زوجي من النقاط على الوجه المسقط ، له ثلاث نتائج إيجابية. في هذه الحالة العامة
عدد النتائج المحتملة. لذلك ، يمكنك هنا استخدام التعريف الكلاسيكي لاحتمال وقوع حدث.

التعريف الكلاسيكي. احتمال وقوع حدث يساوي نسبة عدد النتائج الإيجابية إلى العدد الإجمالي للنتائج المحتملة

أين هو احتمال الحدث ، هو عدد النتائج المفضلة للحدث ، هو العدد الإجمالي للنتائج المحتملة.

في المثال المدروس

يرتبط التعريف الإحصائي للاحتمال بمفهوم التكرار النسبي لحدوث حدث في التجارب.

يتم حساب التكرار النسبي لحدوث حدث من خلال الصيغة

أين هو عدد حدوث حدث في سلسلة من التجارب (الاختبارات).

التعريف الإحصائي. احتمالية وقوع حدث ما هي الرقم المتعلق باستقرار (تأسيس) التردد النسبي مع زيادة غير محدودة في عدد التجارب.

في المشكلات العملية ، يتم أخذ التردد النسبي لعدد كبير بما فيه الكفاية من التجارب على أنه احتمال وقوع حدث.

من هذه التعريفات لاحتمالية حدث ما ، يمكن ملاحظة أن المتباينة ثابتة دائمًا

لتحديد احتمالية حدث ما بناءً على الصيغة (1.1) ، غالبًا ما تُستخدم الصيغ التوافقية لإيجاد عدد النتائج المفضلة والعدد الإجمالي للنتائج المحتملة.

مثال.من المعروف أنه من بين 30 ماكينة خياطة تم استلامها ، 10 منها بها عيب داخلي. أوجد احتمال أن تكون 3 سيارات خالية من العيوب من بين مجموعة مؤلفة من 5 سيارات مأخوذة عشوائيًا.

المحلول.لحل هذه المشكلة ، نقدم الترميز. دعونا - العدد الإجمالي للآلات ، - عدد الآلات الخالية من العيوب ، - عدد الآلات المختارة للدفعة ، - عدد الآلات الخالية من العيوب في الدفعة المحددة.

العدد الإجمالي لمجموعات السيارات ، أي سيكون العدد الإجمالي للنتائج المحتملة مساويًا لعدد مجموعات العناصر بواسطة ، أي . ولكن يجب أن تحتوي كل مجموعة مختارة على ثلاث سيارات خالية من العيوب. عدد هذه المجموعات يساوي عدد مجموعات العناصر بواسطة ، أي .

مع كل تركيبة من هذا القبيل في الدُفعة المحددة ، تشكل العناصر المعيبة المتبقية أيضًا مجموعة من التركيبات ، وعددها يساوي عدد مجموعات العناصر على طول ، أي .

هذا يعني أن العدد الإجمالي للنتائج الإيجابية يتم تحديده بواسطة المنتج. من أين نحصل

الاحتمال هو درجة (القياس ، التحديد الكمي) لإمكانية وقوع الحدث. عندما تفوق أسباب حدوث بعض الأحداث المحتملة فعليًا الأسباب المعاكسة ، يُطلق على هذا الحدث اسم محتمل ، وإلا فهو غير محتمل أو غير محتمل. يمكن أن تكون غلبة الأسباب الإيجابية على الأسباب السلبية ، والعكس بالعكس ، بدرجات متفاوتة ، ونتيجة لذلك يكون الاحتمال (وعدم الاحتمالية) أكبر أو أقل. لذلك ، غالبًا ما يتم تقدير الاحتمالية على مستوى نوعي ، خاصة في الحالات التي يكون فيها التقييم الكمي الدقيق إلى حد ما مستحيلًا أو صعبًا للغاية. التدرجات المختلفة "لمستويات" الاحتمال ممكنة.

يعتمد التعريف الكلاسيكي للاحتمالية على مفهوم النتائج المحتملة المتساوية. الاحتمال هو نسبة عدد النتائج التي تفضل حدثًا معينًا إلى العدد الإجمالي للنتائج المحتملة المتساوية. على سبيل المثال ، احتمالية الحصول على صورة الوجه أو ذيول القرعة العشوائية للعملة هو 1/2 إذا كان من المفترض حدوث هذين الاحتمالين فقط وهما احتمالان متساويان. يمكن تعميم هذا "التعريف" الكلاسيكي للاحتمالية على حالة عدد لا حصر له من القيم المحتملة - على سبيل المثال ، إذا كان من الممكن حدوث حدث ما مع احتمال متساوٍ في أي نقطة (عدد النقاط غير محدود) في منطقة محدودة من الفضاء (المستوى) ، فإن احتمال حدوثه في جزء ما من هذه المنطقة المسموح بها يساوي نسبة حجم (مساحة) هذا الجزء إلى حجم (مساحة) مساحة كل ما هو ممكن نقاط.

أصبح الوصف الاحتمالي لظواهر معينة منتشرًا في العلوم الحديثة ، ولا سيما في الاقتصاد القياسي ، والفيزياء الإحصائية للأنظمة العيانية (الديناميكية الحرارية) ، حيث حتى في حالة الوصف القطعي الكلاسيكي لحركة الجسيمات ، وصف حتمي للنظام بأكمله من الجسيمات غير ممكن عمليًا ومناسب. في فيزياء الكم ، العمليات الموصوفة نفسها ذات طبيعة احتمالية.

نشأة مفهوم ونظرية الاحتمال

تعود الأعمال الأولى حول عقيدة الاحتمال إلى القرن السابع عشر. مثل مراسلات العلماء الفرنسيين ب. باسكال ، ب. فيرمات (1654) والعالم الهولندي X. Huygens (1657) الذي قدم أقرب تفسير علمي معروف للاحتمال]. في جوهرها ، عملت Huygens بالفعل مع مفهوم التوقع. وضع عالم الرياضيات السويسري جيه برنولي قانون الأعداد الكبيرة لخطة من التجارب المستقلة ذات نتيجتين (بعد وفاته ، 1713). في القرن الثامن عشر. - بداية القرن التاسع عشر. تم تطوير نظرية الاحتمال في أعمال A. Moivre (إنجلترا) (1718) ، P. Laplace (فرنسا) ، C. Gauss (ألمانيا) و S. Poisson (فرنسا). يبدأ تطبيق نظرية الاحتمالية في نظرية أخطاء المراقبة ، والتي تطورت فيما يتعلق باحتياجات الجيوديسيا وعلم الفلك ، وفي نظرية الرماية. وتجدر الإشارة إلى أن قانون توزيع الخطأ قد اقترحه لابلاس بشكل أساسي ، أولاً كاعتماد أسي على الخطأ دون مراعاة العلامة (في 1774) ، ثم كدالة أسية لمربع الخطأ (1778). عادة ما يسمى القانون الأخير بالتوزيع الغاوسي أو التوزيع الطبيعي. قدم برنولي (1778) مبدأ حاصل ضرب احتمالات الأحداث المتزامنة. طور Adrien Marie Legendre (1805) طريقة المربعات الصغرى.

في النصف الثاني من القرن التاسع عشر. يرتبط تطوير نظرية الاحتمالات بعمل علماء الرياضيات الروس P.L. Chebyshev و A.M Lyapunov و A. A. Markov (كبير) ، وكذلك العمل على الإحصاء الرياضي بواسطة A. Quetelet (بلجيكا) و F.Galton (إنجلترا) فيزياء L. بولتزمان (في النمسا) ، الذي وضع الأساس لتوسيع كبير في مشاكل نظرية الاحتمالات. تم تطوير المخطط المنطقي (البديهي) لبناء أسس نظرية الاحتمالات ، وهو الأكثر شيوعًا في الوقت الحاضر ، في عام 1933 من قبل عالم الرياضيات السوفيتي أ.ن.كولموغوروف.

التعريف الكلاسيكي للاحتمال هو:

وفقًا للتعريف الكلاسيكي ، فإن احتمال وقوع حدث عشوائي P (A) يساوي نسبة عدد النتائج التي تفضل A إلى العدد الإجمالي للنتائج التي تشكل فضاء الأحداث الأولية ، أي

النظرية الكلاسيكية احتمالية ثابتة

في هذه الحالة ، يتم تقليل حساب الاحتمالات إلى حساب عناصر مجموعة واحدة أو أخرى ، وغالبًا ما يتضح أنها مشكلة اندماجية بحتة ، وأحيانًا تكون صعبة للغاية.

يتم تبرير التعريف الكلاسيكي عندما يكون من الممكن التنبؤ بالاحتمال بناءً على تناسق الظروف التي تجري التجربة في ظلها ، وبالتالي تناسق نتائج التجربة ، مما يؤدي إلى مفهوم النتائج "المتساوية الاحتمال".

فمثلا. إذا تم رمي نرد منتظم هندسيًا مصنوعًا من مادة متجانسة بحيث يكون لديه الوقت للقيام بعدد كبير بما فيه الكفاية من الثورات قبل السقوط ، فإن فقدان أي من وجوهه يعتبر نتيجة محتملة بنفس القدر.

لنفس أسباب التناسق ، فإن نتائج مثل هذه التجربة مثل إخراج الكرات البيضاء والسوداء الممزوجة بعناية والتي لا يمكن تمييزها عن اللمس تعتبر محتملة بشكل متساوٍ ، بحيث بعد تسجيل اللون ، يتم إرجاع كل كرة إلى الوعاء وبعد ذلك خلط دقيق ، يتم إخراج الكرة التالية.

في أغلب الأحيان ، يُلاحظ هذا التناظر في التجارب المنظمة بشكل مصطنع ، مثل المقامرة.

وبالتالي ، فإن التعريف الكلاسيكي للاحتمالية يرتبط بمفهوم تكافؤ الفرص ويستخدم للتجارب التي تختزل في مخطط الحالات. لهذا من الضروري أن تكون الأحداث e1 و e2 و en غير متوافقة ، أي أنه لا يمكن أن يظهر اثنان منهما معًا ؛ بحيث يشكلون مجموعة كاملة ، أي أنهم يستنفدون جميع النتائج المحتملة (لا يمكن أن يكون ذلك ، نتيجة للتجربة ، لم يحدث أي منها) ؛ ممكن بالتساوي ، بشرط أن توفر التجربة نفس إمكانية حدوث كل منها.

ليست كل تجربة ترضي مخطط الحالات. إذا تم انتهاك شرط التناظر ، فلا يوجد مخطط للحالات.

تم استخدام الصيغة (1.1) ، "الصيغة الكلاسيكية" ، لحساب احتمالات الأحداث منذ بداية ظهور علم الظواهر العشوائية.

تلك التجارب التي لم يكن لديها تناظر كانت "ملائمة" لمخطط الحالات. في الوقت الحاضر ، جنبًا إلى جنب مع "الصيغة الكلاسيكية" ، هناك طرق لحساب الاحتمالات عندما لا يتم اختزال التجربة في مخطط الحالات. لهذا ، يتم استخدام التعريف الإحصائي للاحتمال.

سيتم تقديم مفهوم الاحتمال الإحصائي لاحقًا ، لكن دعنا الآن نعود إلى الصيغة الكلاسيكية.

تأمل الأمثلة التالية.

مثال 1. تجربة تتكون من رمي عملتين. أوجد احتمال ظهور شعار واحد على الأقل من النبالة.

المحلول. حدث عشوائي أ - ظهور شعار واحد على الأقل من النبالة.

يتم تحديد مساحة الأحداث الأولية في هذه التجربة بالنتائج التالية: E = (GG ، GR ، RG ، RR) ، والتي يتم الإشارة إليها على التوالي بواسطة e1 ، e2 ، e3 ، e4. في هذا الطريق،

E = e1، e2، e3، e4 ؛ ن = 4.

من الضروري تحديد عدد النتائج من E التي تفضل ظهور A. وهي e1، e2، e3؛ عددهم م = 3.

باستخدام الصيغة الكلاسيكية لتحديد احتمالية حدث A ، لدينا

مثال 2. هناك 3 كرات بيضاء و 4 كرات سوداء في جرة. تؤخذ كرة واحدة من الجرة. أوجد احتمال أن تكون هذه الكرة بيضاء.

المحلول. حدث عشوائي أ - ظهور كرة بيضاء. تتضمن مساحة الأحداث الأولية E النتائج e1 ، e2 ، e3 ، e4 ، e5 ، e6 ، e7 ، حيث ei هو مظهر كرة واحدة (أبيض أو أسود) ؛

E = (e1، e2، e3، e4، 5، e6، e7)، n = 7.

يفضل الحدث العشوائي A في الفضاء E بثلاث نتائج ؛ م = 3. بالتالي،

مثال 3. هناك 3 كرات بيضاء و 4 كرات سوداء في جرة. يتم سحب كرتين من الجرة. أوجد احتمال أن كلاهما أبيض.

المحلول. حدث عشوائي A - كلتا الكرتين ستكون بيضاء.

يختلف المثال 3 عن المثال 2 في أنه في المثال 3 ، فإن النتائج التي تشكل مساحة النتائج الأولية E لن تكون كرات فردية ، ولكن مجموعات من 7 كرات في 2. أي لتحديد بُعد E ، من الضروري لتحديد عدد التوليفات من 7 إلى 2. للقيام بذلك ، يجب عليك استخدام صيغ التوليفات الواردة في قسم "الطريقة التوليفية". في هذه الحالة ، لتحديد عدد التوليفات من 7 إلى 2 ، يتم استخدام صيغة تحديد عدد المجموعات

نظرًا لأن الاختيار يتم بدون استبدال وترتيب ظهور الكرات غير مهم. في هذا الطريق،

يتم تعريف عدد التركيبات الملائمة لحدوث الحدث "أ" على أنه

بالتالي، .

التعريف الإحصائي للاحتمالية

عند التفكير في نتائج الاختبارات الفردية ، من الصعب جدًا العثور على أي أنماط. ومع ذلك ، في سلسلة من الاختبارات المتطابقة ، يمكن للمرء أن يجد ثبات بعض الخصائص المتوسطة. تواتر أي حدث في سلسلة معينة من التجارب n هو النسبة m / n ، العدد م لتلك التجارب التي حدث فيها الحدث A ، إلى العدد الإجمالي للتجارب n. في كل سلسلة تجارب طويلة بما فيه الكفاية تقريبًا ، يتم تعيين تكرار الحدث A عند قيمة معينة ، والتي يتم اعتبارها احتمالية للحدث A. تم تأكيد استقرار قيمة التردد من خلال تجارب خاصة. تم اكتشاف الانتظام الإحصائي من هذا النوع لأول مرة في مثال المقامرة ، أي في مثال تلك التجارب التي تتميز بنفس النتائج الممكنة. هذا فتح الطريق لنهج إحصائي للتحديد العددي للاحتمال عند انتهاك حالة التناظر التجريبي. يُطلق على تكرار الحدث A الاحتمال الإحصائي ، والذي يُرمز إليه

حيث mA هو عدد التجارب التي ظهر فيها الحدث A ؛

n هو العدد الإجمالي للتجارب.

الصيغتان (1.1) و (1.2) لتحديد الاحتمال لها تشابه خارجي ، لكنهما مختلفتان جوهريًا. تستخدم الصيغة (1.1) نظريًا لحساب احتمالية حدوث حدث في ظل ظروف تجريبية معينة. تعمل الصيغة (1.2) على تحديد تكرار الحدث بشكل تجريبي. لاستخدام الصيغة (1.2) ، هناك حاجة إلى مادة إحصائية تجريبية.

نهج بديهي لتعريف الاحتمالية

النهج الثالث لتعريف الاحتمال هو النهج البديهية ، حيث يتم إعطاء الاحتمالات من خلال تعداد خصائصها.

تم صياغة التعريف البديهي المقبول للاحتمال في عام 1933 بواسطة A.N.Kolmogorov. في هذه الحالة ، يتم إعطاء الاحتمال كدالة عددية P (A) في مجموعة جميع الأحداث التي تحددها هذه التجربة ، والتي تحقق البديهيات التالية:

P (A) = 1 إذا كان A حدثًا معينًا.

إذا كان A و B غير متوافقين.

الخصائص الأساسية للاحتمال

علاوة على ذلك ، يتم تحديد احتمال كل حدث عشوائي A.

بالنسبة لحدث معين U ، تحدث المساواة P (U) = 1. وتتبع الخصائص 1 و 2 من تعريف الاحتمال.

إذا كان الحدثان A و B غير متوافقين ، فإن احتمال مجموع الأحداث يساوي مجموع احتمالاتهما. تسمى هذه الخاصية صيغة إضافة الاحتمالات في حالة معينة (للأحداث غير المتوافقة).

للأحداث التعسفية A و B

تسمى هذه الخاصية معادلة إضافة الاحتمالات في الحالة العامة.

للأحداث المعاكسة (أ) والمساواة.

بالإضافة إلى ذلك ، يتم تقديم حدث مستحيل ، يتم الإشارة إليه ، والذي لا يتم الترويج له بأي نتيجة من فضاء الأحداث الأولية. احتمال حدوث حدث مستحيل هو 0 ، P () = 0.

مثال. احتمال أن يكون لدى عائلة تم اختيارها عشوائيًا نتيجة للمسح أجهزة تلفزيون ملونة أو بالأبيض والأسود أو بالألوان والأبيض والأسود يساوي 0.86 ، على التوالي ؛ 0.35 ؛ 0.29. ما هو احتمال أن يكون لدى الأسرة تلفزيون ملون أو أبيض وأسود؟

المحلول. دع الحدث "أ" يكون للعائلة تلفزيون ملون.

الحدث ب هو أن الأسرة لديها تلفزيون أبيض وأسود.

الحدث C هو أن الأسرة لديها تلفزيون ملون أو أبيض وأسود. يتم تعريف الحدث C من خلال A و B في الشكل ، وبالتالي فإن A و B مشتركان

طريقة اندماجية

في العديد من المشكلات الاحتمالية ، من الضروري سرد ​​جميع النتائج المحتملة للتجربة أو الأحداث الأولية الممكنة في موقف معين ، أو حساب عددها. للقيام بذلك ، يمكنك استخدام القواعد التالية.

القاعدة 1. إذا كانت العملية تتكون من خطوتين ، حيث يمكن تنفيذ الأولى بطرق n1 والثانية يمكن إجراؤها بطرق n2 ، فيمكن إجراء العملية بأكملها بطرق n1 n2.

تعني كلمة "عملية" أي إجراء أو عملية أو طريقة تختارها.

لتأكيد هذه القاعدة ، ضع في اعتبارك عملية تتكون من الخطوتين xi و yi ، يمكن إجراء الخطوة x بطرق n1 ، أي ، يمكن تنفيذ الخطوة y بطرق n2 ، أي ، ثم يمكن تمثيل سلسلة جميع الطرق الممكنة من خلال أزواج n1n2 التالية:

مثال. كم عدد النتائج المحتملة في تجربة تتكون من رمي نردتين.

المحلول. في هذه الحالة ، تعني x و y فقدان أي وجه في العظم الأول والعظم الثاني. يمكن إسقاط الوجه على العظم الأول من خلال ست طرق xi ، ؛ من الممكن أيضًا إسقاط وجه العظم الثاني بست طرق xj ،.

مجموع الطرق الممكنة 6.6 = 36.

القاعدة 2. إذا كانت العملية تتكون من خطوات k ، حيث يمكن إجراء العملية الأولى بطرق n1 ، والثانية بطرق n2 ، والثالثة بطرق ، وما إلى ذلك ، k-th بطرق ، عندئذٍ يمكن إجراء العملية بأكملها في n1 n2… خطوات nk.

مثال. يريد مفتش الجودة اختيار جزء من كل حاوية من أربع حاويات تحتوي على 4 ، 3 ، 5 و 4 أجزاء على التوالي. كم عدد الطرق التي يمكنه القيام بها؟

المحلول. يتم تحديد العدد الإجمالي للطرق على أنه 4 · 3 · 5 · 4 = 240.

مثال. ما عدد الطرق الممكنة التي يمكن للطالب الإجابة عليها في اختبار مكون من 20 سؤالًا إذا كان بإمكانه الإجابة بـ "نعم" أو "لا" على كل سؤال؟

المحلول. كل الطرق الممكنة 2 · 2 ... 2 = 220 = 1048576.

غالبًا ما يكون هناك موقف في الممارسة العملية حيث يجب ترتيب الأشياء.

على سبيل المثال: ما هو عدد الطرق المختلفة التي يمكن أن يجلس بها 6 أشخاص حول الطاولة؟ تسمى ترتيباتهم المختلفة التباديل.

مثال. كم عدد التبديلات الممكنة للأحرف أ ، ب ، ج؟

المحلول. المواقع المحتملة هي abc و acb و bac و bca و cab و cba. عدد الترتيبات الممكنة ستة.

بتعميم هذا المثال ، بالنسبة لـ n من الكائنات ، يوجد n (n-1) (n-2) ... 3 2 1 طرق مختلفة أو n! ، أي عدد التباديل n! = 1 2 3 ... (n-2) ( ن -1) ن ، بينما 0! = 1.

القاعدة 3. عدد التباديل لـ n كائنات مختلفة هو n !.

مثال. عدد التباديل لأربعة أحرف هو 4! = 24 ، لكن كم عدد التباديل الذي ستحصل عليه إذا اخترت حرفين من أربعة؟

المحلول. علينا ملء موضعين من أربعة أحرف. للمركز الأول - 4 طرق ، للوضع الثاني - 3 طرق. لذلك ، باستخدام القاعدة 1 ، لدينا 4 · 3 = 12.

بتعميم هذا المثال على n كائنات مختلفة ، والتي يتم من خلالها تحديد كائنات r دون الرجوع لـ r> 0 ، هناك طرق n (n-1) ... (n-r + 1) في المجموع. نشير إلى هذا الرقم ، وتسمى المجموعات الناتجة مواضع.

القاعدة 4. يتم تعريف عدد مواضع n من الكائنات بواسطة r على أنه

(لـ r = 0،1 ، ... ، ن).

تسمى التباديل عندما يتم ترتيب الكائنات في دائرة بالتباديل الدائري. لا يختلف اثنان من التباديل الدائري (ولكن يعد واحدًا فقط) إذا كانت الكائنات المقابلة في الترتيبين لها نفس الكائنات على اليسار واليمين.

على سبيل المثال: إذا كان هناك أربعة أشخاص يلعبون الجسر ، فلن نحصل على أوضاع مختلفة إذا قام جميع اللاعبين بتحريك كرسي واحد إلى اليمين.

مثال. كم عدد التباديل الدائري الممكنة من بين أربعة أشخاص يلعبون بريدج؟ المحلول. إذا اتخذنا موقف أحد اللاعبين الأربعة بشكل تعسفي على أنه ثابت ، فيمكننا وضع اللاعبين الثلاثة الآخرين عند 3! بعبارة أخرى ، لدينا ستة تباديل دائرية مختلفة.

بتعميم هذا المثال ، نحصل على القاعدة التالية.

القاعدة 5. عدد التباديل لعدد ن كائنات مختلفة مرتبة في دائرة هو (ن -1) !.

حتى الآن ، تم افتراض أن الكائنات n التي نختار منها كائنات r ونماذج التباديل متميزة. وبالتالي ، لا يمكن استخدام الصيغ المذكورة سابقًا لتحديد عدد الطرق التي يمكن بها ترتيب الأحرف في كلمة "كتاب" ، أو عدد الطرق التي يمكن من خلالها ثلاث نسخ من رواية واحدة ونسخة واحدة من كل من الأربعة الأخرى. يمكن ترتيب الروايات على الرف.

مثال. كم عدد التباديل المختلفة للحروف في كلمة "كتاب"؟

المحلول. إذا كان من المهم التمييز بين الأحرف O ، فإننا نشير إليها بـ O1 و O2 ثم سيكون لدينا 4! = 24 تباديلًا مختلفًا للأحرف في O1 و O2 و K. ومع ذلك ، إذا حذفنا المؤشرات ، فعندئذٍ O1 O2 و O2 و O1 لم يعدا مختلفين ، فإن إجمالي عدد التباديل هو نفسه.

مثال. كم عدد الطرق المختلفة المتاحة لترتيب ثلاث نسخ من رواية واحدة ونسخة واحدة من الروايات الأربع الأخرى على الرف؟

المحلول. إذا قمنا بتعيين ثلاث نسخ من القصة القصيرة الأولى كـ a1 و a2 و a3 والأربعة قصص القصيرة الأخرى - b و c و d و e ، ففي هذه الحالة لدينا 7! طرق مختلفة و 3! طريقة لترتيب a1، a2، a3.

إذا حذفت الفهارس ، فهناك طرق مختلفة لترتيب النسخ.

بتعميم هذه الاعتبارات ، نحصل على القاعدة التالية.

القاعدة 6. عدد التباديل للكائنات n ، حيث n1 من نفس النوع ، n2 من النوع الثاني ، ... ، nk من النوع k و n1 + n2 + ... + nk = n ،

هناك العديد من المشاكل التي يكون من الضروري فيها تحديد عدد الطرق لتحديد الكائنات r من n كائنات مختلفة ، بغض النظر عن الترتيب الذي يتم اختيارهم به. تسمى هذه المجموعات مجموعات.

مثال. ما هو عدد الطرق التي يمكن بها اختيار ثلاثة مرشحين من بين 20 شخصًا لاستطلاع عام؟

المحلول. إذا كان الترتيب مهمًا بالنسبة لنا عند اختيار المرشحين ، فعندئذٍ عدد المجموعات ، ولكن كل صف من ثلاثة مرشحين يمكن اختياره 3! طرق؛ إذا كان ترتيب الاختيار غير مهم ، فكل طرق الاختيار.

المجموعات بدون إرجاع r كائنات من n كائنات مختلفة تختلف في الكائنات نفسها ولكن ليس في ترتيبها تسمى مجموعات.

القاعدة 7. يتم تحديد عدد مجموعات كائنات r من n كائنات مختلفة بواسطة العدد ، ويمكن الإشارة إلى عدد التركيبات كـ.

مثال. ما هو عدد الطرق المختلفة التي يمكنك بها الحصول على طبقتين من الأسلحة و 4 ذيول مع 6 رميات لعملة واحدة؟

المحلول. نظرًا لأن ترتيب الحصول على معاطف الذيل والذيل ليس مهمًا ، فعند تطبيق القاعدة 7 ، نحصل عليها.

مثال. كم عدد اللجان المختلفة من كيميائيين وعالم فيزيائي واحد يمكن تشكيلها في كلية كلية صغيرة تضم 4 كيميائيين و 3 فيزيائيين.

المحلول. يمكن الحصول على عدد التركيبات المكونة من أربعة كيميائيين في 2 من خلال (ستة) طرق.

يمكن اختيار أحد الفيزيائيين الثلاثة (ثلاث) طرق.

تم تحديد عدد اللجان ، وفقًا للمادة 1 ، على أنه 6 · 3 = 18.

مثال. ما عدد الطرق التي يمكن بها تقسيم صف من أربعة عناصر إلى ثلاثة صفوف تحتوي على صفين وواحد وكائن واحد على التوالي؟

المحلول. دعونا نشير إلى هذه العناصر الأربعة بالحروف أ ، ب ، ج ، د. عدد الانقسامات إلى قسمين ، واحد وواحد سيكون 12:

يمكن الحصول على انقسام من كائنين بطرق تعطي 6 احتمالات. عدد طرق إنشاء القسم الثاني. وبالنسبة للقسم الثالث ، عدد الطرق هو 1.

وفقًا للقاعدة 2 ، يبلغ إجمالي عدد طرق التقسيم (6 2 1) = 12.

تلخيصًا لهذا المثال ، نحصل على القاعدة التالية.

القاعدة 8. عدد الطرق التي يمكن من خلالها تقسيم سلسلة من n كائنات مختلفة إلى أجزاء k مع كائنات n1 في الجزء الأول ، n2 في الجزء الثاني ، ... و nk في k ، يتم تعريفها على أنها

مثال. ما عدد الطرق التي يمكن بها استيعاب 7 رجال أعمال في جناح واحد من ثلاث غرف واثنين من غرفتين في فندق؟

المحلول. وفقًا للقاعدة 8 ، يمكن القيام بذلك من خلال (مائتين وعشرة) طرق.

إثبات القاعدة 8

نظرًا لأنه يمكن تحديد كائنات n1 بعدة طرق ، يمكن تحديد كائنات n2

وفقًا للقاعدة 2 ، سيتم تحديد العدد الإجمالي للطرق على أنها

التنازل عن عمل مستقل

1. يتم وضع عشرة كتب على رف واحد بشكل عشوائي. أوجد احتمال وجود ثلاثة كتب معينة بجوار بعضها البعض.

الجواب: 0.066.

2. يتم سحب ثلاث بطاقات عشوائيًا من مجموعة أوراق اللعب (52 بطاقة). أوجد احتمال أن يكون العدد ثلاثة ، وسبعة ، وآص.

الجواب: 0.0029.

3. هناك خمس تذاكر بقيمة 1 روبل لكل منها.

ثلاث تذاكر بتكلفة 3 روبل لكل منها ؛

تذكرتين بتكلفة 5 روبل لكل منهما.

يتم اختيار ثلاث تذاكر بشكل عشوائي. حدد احتمال أن:

أ) اثنتان على الأقل من هذه التذاكر لها نفس السعر.

الجواب: 0.75 ؛

ب) جميع التذاكر الثلاثة تكلف 7 روبل.

الجواب: 0.29.

4. هناك ثلاث عملات معدنية من فئة 20 كوبيك وسبع عملات من فئة 3 كوبيك في المحفظة. يتم أخذ عملة واحدة بشكل عشوائي ، ثم يتم أخذ عملة ثانية بقيمة 20 كوبيل.

أوجد احتمال أن يكون للعملة الأولى فئة 20 كوبيل.

الجواب: 0.22.

• 5. من أصل عشرة تذاكر يانصيب ، فاز اثنان. أوجد احتمال أنه من بين خمسة تذاكر مأخوذة عشوائيًا:
  • أ) فوز واحد.
  • ب) فوزان.
  • ج) فائز واحد على الأقل.

الجواب: 0.55 ، 0.22 ، 0.78.

6. يوجد عدد n من الكرات في السلة بأرقام من 1 إلى n ، ويتم سحب الكرات بشكل عشوائي واحدة تلو الأخرى دون استبدال. ما هو احتمال أن تتطابق أرقام الكرات مع أرقام السحوبات في أول k.

الجواب: (ن - ك)! / ن!

مراجع

• 1. http://kurs.ido.tpu.ru/courses/theory_ver/tema2/tema2.html
• 2. http://free.megacampus.ru/xbookM0018/index.html؟go=part-003*page.htm
• 3. http://www.testent.ru/publ/studenty/vysshaja_matematika/klassicheskoe_opredelenie_verojatnosti/35-1-0-1121
• 4. http://ru.wikipedia.org/
• 5. http://www.kolasc.net.ru/cdo/books/tv/page15.html

لقد لوحظ أعلاه أن التعريف الكلاسيكي للاحتمال ينطبق فقط على تلك الأحداث التي يمكن أن تظهر نتيجة للتجارب التي لها تناسق في النتائج المحتملة ، أي قابلة للاختزال إلى مخطط الحالات. ومع ذلك ، هناك فئة كبيرة من الأحداث التي لا يمكن حساب احتمالاتها باستخدام التعريف الكلاسيكي.

بادئ ذي بدء ، هذه أحداث لا تتساوى في النتائج المحتملة للاختبار. على سبيل المثال ، إذا تم تسطيح العملة المعدنية ، فمن الواضح أن أحداث "ظهور شعار النبالة" و "ظهور ذيول" عند رمي عملة معدنية لا يمكن اعتبارها ممكنة بنفس القدر ، والصيغة ( 1. 1) لحساب احتمال أي منهم سيكون غير قابل للتطبيق.

ولكن هناك طريقة أخرى لتقييم احتمالية الأحداث ، بناءً على عدد مرات ظهور حدث معين في الاختبارات التي يتم إجراؤها.

الاحتمال الإحصائي يسمى الحدث أ بالتردد النسبي (تكرر) حدوث هذا الحدث في عدد n من الاختبارات التي تم إجراؤها، بمعنى آخر.

أين R (L)- الاحتمال الإحصائي لحدث ما أ؛ ث (أ)- التردد النسبي (تواتر) الحدث في- عدد المحاكمات التي وقع فيها الحدث أ ؛ ص- إجمالي عدد المحاكمات.

على عكس الاحتمال "الرياضي" ف (أ) ،تعتبر في التعريف الكلاسيكي ( 1. 1), الاحتمال الإحصائي P (L) هو خاصية مميزة يختبر, تجريبي.اذا كان ف (أ)هي نسبة الحالات المواتية للحدث أ ، والتي يتم تحديدها مباشرة ، دون أي اختبارات ، إذن PIA)هي نسبة تلك الاختبارات التي أجريت بالفعل والتي حدث فيها لكنظهر.

حسب التعريف الإحصائي احتمالية الحدث هناك حد 1 التكرار النسبي (التردد) لحدث مع زيادة غير محدودة في عدد الاختبارات، بمعنى آخر.

هذا يعني أنه لعدد كبير بما فيه الكفاية من التجارب صيمكن اعتبار ذلك

التعريف الإحصائي للاحتمالية ، وكذلك مفاهيم وطرق نظرية الاحتمالات بشكل عام ، لا تنطبق على أي أحداث ذات نتيجة غير مؤكدة ، والتي تعتبر عشوائية في الممارسة اليومية ، ولكن فقط لتلك التي لها خصائص معينة و.

1. يجب أن تكون الأحداث المعنية نتائج تلك الاختبارات فقط التي يمكن إعادة إنتاجها لعدد غير محدود من المرات في ظل نفس مجموعة الشروط.لذلك ، على سبيل المثال ، من غير المجدي طرح مسألة تحديد احتمالات اندلاع الحروب ، وظهور الأعمال الفنية الرائعة ، وما إلى ذلك ، لأننا نتحدث عن اختبارات فريدة في ظل نفس الظروف ، وأحداث فريدة. أو ، على سبيل المثال ، ليس من المنطقي أن نقول إن هذا الطالب سوف يجتاز امتحانًا فصليًا في نظرية الاحتمالات ، لأننا نتحدث عن اختبار واحد ، لا يمكن تكراره في نفس الظروف.

وعلى الرغم من أن الأحداث ذات النتائج غير المؤكدة المذكورة في الأمثلة تنتمي إلى فئة "قد تحدث أو لا تحدث" ، فإن نظرية الاحتمالات لا تتعامل مع مثل هذه الأحداث.

2. الأحداث يجب أن يكون لها ما يسمى ب الاستقرار الإحصائي، أو استقرار الترددات النسبية. هذا يعني أنه في سلسلة مختلفة من الاختبارات ، يتغير التردد النسبي (التردد) لحدث ما بشكل طفيف (كلما كان أصغر ، زاد عدد الاختبارات) ، ويتأرجح حول رقم ثابت. اتضح أن هذا الرقم الثابت هو احتمال وقوع حدث (تمت مناقشة هذا في نظرية برنولي الواردة في الفصل 6).

حقيقة أن التكرار النسبي ، أو التكرار ، لحدث يقترب من احتماله (1.1) مع زيادة عدد الاختبارات التي تم تقليلها إلى مخطط للحالات تم تأكيده من خلال العديد من التجارب الجماعية التي أجراها أشخاص مختلفون منذ ظهور نظرية الاحتمالات. لذلك ، على سبيل المثال ، في تجارب Buffoia (القرن الثامن عشر) ، تبين أن التردد النسبي (التردد) لظهور شعار النبالة عند 4040 رمية لعملة معدنية هو 0.5069 ، في تجارب بيرسون (القرن التاسع عشر) عند 23000 رمية - 0.5005 ، لا تختلف عمليًا عن احتمالية هذا الحدث ، أي ما يعادل 0.5.

3. عدد من المحاكمات، ونتيجة لذلك يظهر الحدث L ، يجب أن تكون كبيرة بما يكفي، لأنه في هذه الحالة فقط يمكننا النظر في احتمال وقوع حدث ف (أ)يساوي تقريبًا تردده النسبي.

بإيجاز ، يمكننا أن نقول ذلك تدرس نظرية الاحتمالات مثل هذه الأحداث فقط, فيما يتعلق بما هو منطقي ليس فقط لتأكيد عشوائيتها, ولكن من الممكن أيضًا إجراء تقييم موضوعي للتكرار النسبي لحدوثها.إذن ، البيان أنه في ظل مجموعة معينة من الشروط؟ احتمال وقوع حدث هو p ، مما يعني ليس فقط عشوائية الحدثلام ، لكن تأكيد، قريبة بما فيه الكفاية ل ر, نسبة حدوث الحدث A مع عدد كبير من التجارب؛ مما يعني أنه يعبر هدف معين(وإن كان كيندا) العلاقة بين مجموعة من الشروط 5* والحدث أ(لا تعتمد على الأحكام الذاتية حول وجود هذا الاتصال لشخص معين). وحتى مجرد وجود احتمال ر(عندما تكون القيمة نفسها رغير معروف) يحافظ نوعيا على جوهر هذا البيان ، المظلل بخط مائل.

من السهل التحقق من أن خصائص الاحتمال (انظر (1.2)) التي تأتي من التعريف الكلاسيكي ( 1. 1), يتم الاحتفاظ بها أيضًا في التعريف الإحصائي للاحتمال (1.3 ").

جنبًا إلى جنب مع التعريفات الكلاسيكية والإحصائية للاحتمالية ، فإن تطبيقات الرياضيات تأخذ في الاعتبار أحيانًا ما يسمى احتمال شخصيكدرجة الثقة في وقوع حدث ما بناءً على معالجة آراء الخبراء. باستخدام هذا النهج ، يمكننا التحدث عن الاحتمال الذاتي (أو بالأحرى ، الاحتمال الذاتي) لحدوث أحداث فريدة - نتائج (نتائج) فريدة في ظل ظروف الاختبار نفسها. يمكن استخدام الاحتمالية الذاتية ، على سبيل المثال ، في توقع عوائد الأصول ، وعوائد الاستثمارات ، وما إلى ذلك.

• المفهوم ، أي يختلف التقارب ، في نظرية الاحتمالات ، اختلافًا كبيرًا عن النظرية الكلاسيكية ، التي يتم النظر فيها في سياق التحليل الرياضي (لمزيد من التفاصيل ، انظر الفقرات 6.3 ، 6.4).
• في الأدبيات التطبيقية ، يُسمى أحيانًا تحقيق الخصائص التالية للأحداث بنتيجة غير مؤكدة في الواقع المدروس شروط عمل المجموعة الإحصائية.

يعد مفهوم احتمالية حدث ما أحد المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات. الاحتمالية هي مقياس كمي لإمكانية حدوث حدث عشوائي أ. تم تعيينه P (A) وله الخصائص التالية.

الاحتمال هو رقم موجب يتراوح من صفر إلى واحد:

احتمال وقوع حدث مستحيل هو صفر

احتمال حدث معين يساوي واحد

التعريف الكلاسيكي للاحتمال. لنفترض أن = (1 ، 2 ، ... ، ن) يكون فضاء الأحداث الأولية التي تصف جميع النتائج الأولية المحتملة وتشكل مجموعة كاملة من الأحداث غير المتوافقة والمتساوية الاحتمال. دع الحدث A يتوافق مع مجموعة فرعية من النتائج الأولية m

تسمى هذه النتائج مواتية للحدث أ. في التعريف الكلاسيكي للاحتمال ، يُفترض أن احتمال أي نتيجة أولية

واحتمال وقوع حدث A تفضله نتائج m هو

ومن هنا التعريف:

احتمال وقوع حدث أ هو نسبة عدد النتائج المواتية لهذا الحدث إلى العدد الإجمالي لجميع النتائج الأولية غير المتوافقة الممكنة والمتساوية التي تشكل مجموعة كاملة. يتم تحديد الاحتمال بواسطة الصيغة

حيث m هو عدد النتائج الأولية التي تفضل الحدث A ، و _ هو عدد جميع النتائج الأولية الممكنة للتجربة.

يجعل التعريف الكلاسيكي للاحتمالية من الممكن في بعض المشكلات حساب احتمالية حدث ما بشكل تحليلي.

دع تجربة يتم إجراؤها ، ونتيجة لذلك قد تحدث أحداث معينة. إذا كانت هذه الأحداث تشكل مجموعة كاملة من الأحداث الزوجية غير المتوافقة والمتساوية في الاحتمال ، عندئذٍ يُقال أن التجربة لها تناسق في النتائج المحتملة ويتم اختزالها إلى "مخطط للحالات". بالنسبة للتجارب التي يتم تقليصها إلى مخطط للحالات ، فإن صيغة الاحتمال الكلاسيكية قابلة للتطبيق.

المثال 1.13. سحب اليانصيب 1000 تذكرة ، منها 5 فائزة. حدد احتمال أن يؤدي شراء تذكرة يانصيب واحدة إلى الفوز.

الحدث الأساسي لهذه التجربة هو شراء تذكرة. كل تذكرة يانصيب فريدة من نوعها ، حيث أن لها رقمها الخاص ، والتذكرة المشتراة غير قابلة للاسترداد. الحدث أ هو أن التذكرة الفائزة تم شراؤها. عند شراء واحدة من 1000 تذكرة لجميع النتائج المحتملة لهذه التجربة ، سيكون هناك = 1000 ، وتشكل النتائج مجموعة كاملة من الأحداث غير المتوافقة. عدد النتائج المواتية للحدث أ سيساوي = 5. ثم احتمال الفوز بشراء تذكرة واحدة يساوي

الفوسفور (أ) = = 0.005

للحساب المباشر للاحتمالات ، من الملائم استخدام صيغ التوافقية. دعونا نظهر هذا في مثال مشكلة التحكم الانتقائي.

مثال 1.14 لنفترض وجود مجموعة من المنتجات ، من بينها منتجات معيبة. للتحكم ، يتم تحديد جزء من المنتجات. ما هو احتمال أن يكون هناك عيب بالضبط من بين المنتجات المختارة

حدث أساسي في هذه التجربة هو اختيار مجموعة جزئية عنصرية من مجموعة العناصر الأصلية. يمكن اعتبار اختيار أي جزء من المنتجات من مجموعة منتجات أحداثًا محتملة بنفس القدر ، لذلك يتم تقليل هذه التجربة إلى مخطط للحالات. لحساب احتمالية الحدث A = (من بين المنتجات المعيبة ، إذا تم اختيارها من مجموعة منتجات معيبة) ، يمكنك تطبيق صيغة الاحتمال الكلاسيكية. عدد جميع النتائج المحتملة للتجربة هو عدد الطرق التي يمكن من خلالها اختيار المنتجات من الدفعة ج ، وهو يساوي عدد مجموعات العناصر من خلال:. يتألف الحدث المؤيد للحدث "أ" من منتج حدثين أساسيين: (مُختار من المنتجات المعيبة) (مُختار _ من _ المنتجات القياسية). سيكون عدد هذه الأحداث ، وفقًا لقاعدة ضرب التوافقيات

ثم الاحتمال المطلوب

على سبيل المثال ، دعنا = 100 ، = 10 ، = 10 ، = 1. ثم احتمال أن يكون هناك عيب واحد بالضبط من بين المنتجات العشرة المختارة يساوي

التعريف الإحصائي للاحتمالية. من أجل تطبيق التعريف الكلاسيكي للاحتمالية في ظل ظروف تجربة معينة ، من الضروري أن تتوافق التجربة مع مخطط الحالات ، وبالنسبة لمعظم المشاكل الحقيقية ، من المستحيل عمليًا تلبية هذه المتطلبات. ومع ذلك ، فإن احتمال وقوع حدث هو حقيقة موضوعية موجودة سواء تم تطبيق التعريف الكلاسيكي أم لا. هناك حاجة إلى تعريف آخر للاحتمال ، ينطبق عندما لا تتوافق الخبرة مع مخطط الحالات.

دع التجربة تتكون من إجراء سلسلة من التجارب لتكرار نفس التجربة ، ودع الحدث A يحدث مرة واحدة في سلسلة من التجارب. التكرار النسبي للحدث W (A) هو نسبة عدد التجارب التي وقع فيها الحدث A إلى عدد جميع التجارب التي تم إجراؤها

لقد ثبت تجريبياً أن التردد له خاصية الاستقرار: إذا كان عدد التجارب في سلسلة كبيرة بما فيه الكفاية ، فإن الترددات النسبية للحدث A في سلسلة مختلفة من نفس التجربة تختلف قليلاً عن بعضها البعض.

الاحتمال الإحصائي لحدث ما هو الرقم الذي تميل إليه الترددات النسبية إذا زاد عدد التجارب إلى أجل غير مسمى

على عكس الاحتمال الكلاسيكي (المحسوب قبل التجربة) ، فإن الاحتمال الإحصائي هو الاحتمال اللاحق (تم الحصول عليه بعد التجربة).

مثال 1.15 أظهرت أرصاد الأرصاد الجوية لمدة 10 سنوات في بعض المناطق أن عدد الأيام الممطرة في يوليو كان يساوي: 2 في سنوات مختلفة ؛ أربعة؛ 3 ؛ 2 ؛ أربعة؛ 3 ؛ 2 ؛ 3 ؛ 5 ؛ 3. حدد احتمالية هطول الأمطار في أي يوم معين من أيام تموز (يوليو)

الحدث أ هو أنه في يوم معين من شهر يوليو ، على سبيل المثال ، 10 يوليو ، ستمطر. لا تحتوي الإحصائيات الصادرة على معلومات عن أيام محددة من شهر يوليو / تموز أمطرت ، لذلك يمكننا أن نفترض أن جميع الأيام متساوية في احتمالية حدوث هذا الحدث. دع عام واحد عبارة عن سلسلة من المحاكمات مدتها 31 يومًا. يوجد إجمالي 10 سلاسل. الترددات النسبية للسلسلة هي:

تختلف الترددات ، ولكن لوحظ تجميعها بالقرب من الرقم 0.1. يمكن اعتبار هذا الرقم احتمالية للحدث أ. إذا أخذنا كل أيام يوليو لمدة عشر سنوات لسلسلة واحدة من الاختبارات ، فإن الاحتمال الإحصائي للحدث أ سيكون مساويًا لـ

التعريف الهندسي للاحتمالية. هذا التعريف للاحتمال يعمم التعريف الكلاسيكي للحالة عندما يتضمن فضاء النتائج الأولية مجموعة غير معدودة من الأحداث الأولية ، ويكون حدوث كل حدث ممكنًا بشكل متساوٍ. الاحتمال الهندسي لحدث أ هو نسبة المقياس (أ) للمنطقة التي تفضل حدوث الحدث إلى المقياس () للمنطقة بأكملها

إذا كانت المساحات أ) أطوال المقاطع ، ب) مناطق الأشكال ، ج) أحجام الأشكال المكانية ، فإن الاحتمالات الهندسية تساوي على التوالي

المثال 1.16. يتم نشر الإعلانات على فترات 10 أمتار على طول المركز التجاري. عرض بعض العملاء هو 3 أمتار. ما هو احتمال ألا يلاحظ الإعلان إذا تحرك بشكل عمودي على المركز التجاري ويمكنه عبور الصف في أي نقطة؟

يمكن تمثيل قسم المركز التجاري الواقع بين إعلانين كقطعة بخط مستقيم AB (الشكل 1.6). بعد ذلك ، لكي يلاحظ المشتري الإعلانات ، يجب عليه المرور عبر مقاطع مستقيمة من التيار المتردد أو DV تساوي 3 أمتار. إذا تجاوز صف التجارة عند إحدى نقاط مقطع SD ، وطوله 4 أمتار ، فلن يلاحظ الإعلان. سيكون احتمال هذا الحدث

مؤشر ارتباط رتبة كيندال ، يختبر الفرضية المقابلة حول أهمية العلاقة.

2. التعريف الكلاسيكي للاحتمال. خصائص الاحتمالية.
الاحتمال هو أحد المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات. هناك عدة تعريفات لهذا المفهوم. دعونا نعطي تعريف يسمى الكلاسيكية. بعد ذلك ، نشير إلى نقاط الضعف في هذا التعريف ونقدم تعريفات أخرى تجعل من الممكن التغلب على أوجه القصور في التعريف الكلاسيكي.

تأمل في مثال. دع الجرة تحتوي على 6 كرات متطابقة ومخلوطة جيدًا ، 2 منها حمراء و 3 زرقاء و 1 بيضاء. من الواضح أن إمكانية رسم كرة ملونة (أي حمراء أو زرقاء) عشوائيًا من جرة أكبر من إمكانية رسم كرة بيضاء. هل يمكن أن تتميز هذه الفرصة برقم؟ اتضح أنك تستطيع. يسمى هذا الرقم باحتمال وقوع حدث (ظهور كرة ملونة). وبالتالي ، فإن الاحتمال هو رقم يميز درجة احتمال حدوث حدث.

دعونا نحدد لأنفسنا مهمة إعطاء تقدير كمي لإمكانية أن تكون الكرة المأخوذة عشوائيًا ملونة. سيتم اعتبار ظهور الكرة الملونة كحدث أ. سيتم استدعاء كل نتيجة من النتائج المحتملة للاختبار (يتكون الاختبار من استخراج كرة من الجرة) النتيجة الأولية (حدث أولي). قم بالإشارة إلى النتائج الأولية من خلال w 1 ، w 2 ، w 3 ، إلخ. في مثالنا ، النتائج الأساسية الست التالية ممكنة: ث 1 - ظهرت كرة بيضاء ؛ ث 2 ، ث 3 - ظهرت كرة حمراء ؛ ث 4 ، ث 5 ، ث 6 - ظهرت كرة زرقاء. من السهل أن نرى أن هذه النتائج تشكل مجموعة كاملة من الأحداث غير المتوافقة مع الزوج (ستظهر كرة واحدة بالضرورة) وهي ممكنة بنفس القدر (يتم إخراج الكرة عشوائيًا ، والكرات متشابهة ومختلطة تمامًا).

تلك النتائج الأولية التي يحدث فيها الحدث الذي يهمنا ، سوف ندعو ملائمهذا الحدث. في مثالنا ، النتائج الخمس التالية تفضل الحدث A (ظهور كرة ملونة): w 2، w 3، w 4، w 5، w 6.

وبالتالي ، يتم ملاحظة الحدث A إذا حدثت إحدى النتائج الأولية لصالح A في التجربة ، بغض النظر عن النتيجة ؛ في مثالنا ، يتم ملاحظة A في حالة حدوث W 2 أو W 3 أو W 4 أو W 5 أو W 6. بهذا المعنى ، ينقسم الحدث A إلى عدة أحداث أولية (ث 2 ، ث 3 ، ث 4 ، ث 5 ، ث 6) ؛ لا يتم تقسيم الحدث الأساسي إلى أحداث أخرى. هذا هو الفرق بين الحدث A والحدث الابتدائي (النتيجة الأولية).

تسمى نسبة عدد النتائج الأولية المواتية للحدث A إلى العدد الإجمالي باحتمالية الحدث A ويتم الإشارة إليها بواسطة P (A). في المثال قيد النظر ، هناك 6 نتائج أولية ؛ من بين هؤلاء ، 5 حدث مفضل أ. لذلك ، فإن احتمال أن تكون الكرة المأخوذة ملونة يساوي P (A) \ u003d 5 / 6. يعطي هذا الرقم تقديرًا كميًا لدرجة احتمالية ظهور كرة ملونة التي أردنا العثور عليها. نعطي الآن تعريف الاحتمال.

احتمالية الحدث أهي نسبة عدد النتائج المواتية لهذا الحدث إلى العدد الإجمالي لجميع النتائج الأولية غير المتوافقة الممكنة والمتساوية التي تشكل مجموعة كاملة. لذا ، فإن احتمالية الحدث A تحددها الصيغة

حيث m هو عدد النتائج الأولية التي تفضل A ؛ n هو عدد جميع نتائج الاختبارات الأولية الممكنة.

من المفترض هنا أن النتائج الأولية غير متوافقة ، متساوية في الإمكان ، وتشكل مجموعة كاملة. الخصائص التالية تتبع من تعريف الاحتمالية:

مع حوالي y مع t في حوالي 1. احتمال حدث معين يساوي واحد.

في الواقع ، إذا كان الحدث موثوقًا به ، فإن كل نتيجة أولية للاختبار تفضل الحدث. في هذه الحالة ، م = ن ، لذلك ،

P (A) = m / n = n / n = 1.

مع حوالي y مع t في حوالي 2. احتمال وقوع حدث مستحيل هو صفر.

في الواقع ، إذا كان الحدث مستحيلًا ، فلن تكون أي من النتائج الأولية للمحاكمة في صالح الحدث. في هذه الحالة ، م = 0 ، لذلك ،

P (A) \ u003d م / n \ u003d 0 / n \ u003d 0.

مع حوالي y مع t في حوالي 3. احتمال وقوع حدث عشوائي هو رقم موجب بين صفر وواحد.

في الواقع ، يفضل جزء فقط من العدد الإجمالي للنتائج الأولية للاختبار حدثًا عشوائيًا. في هذه الحالة 0< m < n, значит, 0 < m / n < 1, следовательно,

0 < Р (А) < 1

إذن ، فإن احتمال أي حدث يحقق المتباينة المزدوجة

ملاحظة: الدورات الحديثة الصارمة في نظرية الاحتمالات مبنية على أساس نظري محدد. نحن نقتصر على العرض بلغة نظرية المجموعات لتلك المفاهيم التي تم النظر فيها أعلاه.

دع حدثًا واحدًا فقط من الأحداث w i ، (i = 1 ، 2 ، ... ، n) يحدث كنتيجة للاختبار. يتم استدعاء الأحداث الأحداث الابتدائية (النتائج الأولية). ويترتب على ذلك بالفعل أن الأحداث الأولية غير متوافقة مع الزوجين. يتم استدعاء مجموعة جميع الأحداث الأولية التي يمكن أن تظهر في التجربة مساحة الحدث الابتدائية W ، والأحداث الأولية نفسها - نقاط الفضاءدبليو.

يتم تحديد الحدث A بمجموعة فرعية (من الفضاء W) عناصرها هي نتائج أولية تفضل A ؛ الحدث B هو مجموعة فرعية من W التي تكون عناصرها نتائج مواتية لـ B ، وهكذا. وبالتالي ، فإن مجموعة جميع الأحداث التي يمكن أن تحدث في التجربة هي مجموعة كل المجموعات الفرعية W. يحدث W نفسه مع أي نتيجة للمحاكمة ، لذا فإن W هو حدث معين ؛ مجموعة فرعية فارغة من الفضاء W حدث مستحيل (لا يحدث لأي نتيجة للاختبار).

لاحظ أن الأحداث الأولية تتميز عن جميع الأحداث بحقيقة أن كل منها يحتوي على عنصر واحد فقط W.

يتم تعيين رقم موجب لكل نتيجة أولية صأنا هو احتمال هذه النتيجة ، و

حسب التعريف ، فإن احتمال P (A) لحدث A يساوي مجموع احتمالات النتائج الأولية لصالح A. ومن هذا يسهل الحصول على احتمال أن يكون احتمال وقوع حدث موثوق به يساوي واحدًا ، ومستحيلًا هو صفر ، تعسفي بين صفر وواحد.

ضع في اعتبارك حالة خاصة مهمة حيث تكون جميع النتائج متساوية في الاحتمال. عدد النتائج هو n ، ومجموع احتمالات جميع النتائج يساوي واحدًا ؛ ومن ثم فإن احتمال كل نتيجة هو 1 / ن. دع الحدث أ يتم تفضيله من خلال نتائج م. احتمال الحدث A يساوي مجموع احتمالات النتائج لصالح A:

الفوسفور (أ) = 1 / ن + 1 / ن + .. + 1 / ن.

بالنظر إلى أن عدد الحدود يساوي م ، لدينا

الفوسفور (أ) \ u003d م / ن.

يتم الحصول على التعريف الكلاسيكي للاحتمال.

يعتمد بناء نظرية احتمالية كاملة منطقيًا على التعريف البديهي للحدث العشوائي واحتمالية حدوثه. في نظام البديهيات الذي اقترحه أ.ن.كولموغوروف ، يعتبر الحدث الأولي والاحتمال مفاهيم لا يمكن تحديدها. فيما يلي البديهيات التي تحدد الاحتمال:

1. يتم تعيين رقم حقيقي غير سالب لكل حدث A. يسمى هذا الرقم باحتمالية الحدث A.

2. احتمال وقوع حدث معين يساوي واحدًا:

3. إن احتمال وقوع حدث واحد على الأقل من الأحداث غير المتوافقة الزوجية يساوي مجموع احتمالات هذه الأحداث.

بناءً على هذه البديهيات ، تُشتق خصائص الاحتمالات والعلاقات بينها كنظريات.

3. التعريف الثابت للاحتمال ، التردد النسبي.

التعريف الكلاسيكي لا يتطلب تجربة. في حين أن المشاكل التطبيقية الحقيقية لها عدد لا حصر له من النتائج ، والتعريف الكلاسيكي في هذه الحالة لا يمكن أن يعطي إجابة. لذلك ، سوف نستخدم في مثل هذه المشاكل تحديد ثابت للاحتمالات، والتي يتم حسابها بعد التجربة أو التجربة.

احتمال ثابت w (A) أو التردد النسبي هو نسبة عدد النتائج المفضلة لحدث معين إلى العدد الإجمالي للتجارب التي أجريت بالفعل.

ث(أ)=نانومتر

التكرار النسبي للحدث له خاصية الاستقرار:

ليم ن→∞ص(∣ ∣ نانومتر−ص∣ ∣ <ε)=1 (свойство устойчивости относительной частоты)

4- الاحتمالات الهندسية.

في نهج هندسيللتعريف الاحتمالاتتعتبر المجموعة التعسفية فضاء الأحداث الأولية قياس Lebesgue المحدود على الخط أو المستوى أو الفضاء.تسمى الأحداث كل أنواع القياسمجموعات فرعية من المجموعة.

احتمالية الحدث أيتم تحديده من خلال الصيغة

حيث يدل قياس Lebesgue للمجموعة A.مع هذا التعريف للأحداث والاحتمالات ، كل شيء تحققت بديهيات إيه إن كولموغوروف.

في مهام محددة يتم تقليلها إلى ما سبق مخطط احتمالييتم تفسير الاختبار على أنه اختيار عشوائي لنقطة في منطقة ما ، والحدث لكن- كضربة للنقطة المختارة في بعض المنطقة الفرعية أ من المنطقة. هذا يتطلب أن جميع النقاط في المنطقة لديها نفس الفرصة ليتم اختيارها.عادة ما يتم التعبير عن هذا المطلب من حيث المصطلحات "عشوائيا" ، "عشوائيا" ، إلخ.