نظريات الجمع وضرب الاحتمالات

نظرية الجمع

إن احتمال وقوع حدث من عدة أحداث غير متوافقة يساوي مجموع احتمالات هذه الأحداث.

في حالة حدثين غير متوافقين A و B ، لدينا:

ل (أ + ب) = ف (أ) + ف (ب) (7)

يتم الإشارة إلى الحدث المقابل للحدث A بواسطة. إن الجمع بين الأحداث أ ويعطي حدثًا موثوقًا به ، وبما أن الأحداث أ وأحداث متنافرة إذن

ف (أ) + ف () = 1 (8)

يتم استدعاء احتمالية الحدث A ، المحسوب على افتراض وقوع الحدث B احتمال مشروطالحدث A ويشار إليه بالرمز P B (A).

إذا كان الحدثان A و B مستقلين ، فإن P (B) = P A (B).

التطورات A ، B ، C ، ... تسمى بشكل جماعي، إذا لم يتغير احتمال كل منها بسبب حدوث أو عدم حدوث أحداث أخرى بشكل فردي أو في أي مجموعة منها وبأي عدد.

نظرية الضرب

احتمال وقوع الأحداث A و B و C ، ... يساوي ناتج احتمالاتها ، محسوبة على افتراض أن جميع الأحداث التي سبقت كل منها قد حدثت ، أي

P (AB) \ u003d P (A) P A (B)(9)

يشير الرمز P A (B) إلى احتمال وقوع الحدث B ، بافتراض أن الحدث A قد وقع بالفعل.

إذا كانت الأحداث A ، B ، C ، ... مستقلة في المجموع ، فإن احتمال حدوثها جميعًا يساوي ناتج احتمالاتها:

الفوسفور (ABC) = الفوسفور (أ) الفوسفور (ب) الفوسفور (ج) (10)

مثال 3.1.تحتوي الحقيبة على 10 كرات بيضاء و 15 سوداء و 20 زرقاء و 25 كرة حمراء. سحب كرة واحدة. أوجد احتمال أن تكون الكرة المسحوبة بيضاء؟ أسود؟ أيضا ، هل هو أبيض أم أسود؟

المحلول.

عدد جميع التجارب الممكنة n = 10 + 15 + 20 + 25 = 70 ؛

الاحتمال P (b) = 10/70 = 1/7 ، P (h) = 15/70 = 3/14.

نطبق نظرية إضافة الاحتمالات:

P (b + h) \ u003d P (b) + P (h) \ u003d 1/7 + 3/14 \ u003d 5/14.

ملحوظة:تشير الأحرف الكبيرة الموجودة بين قوسين ، على التوالي ، إلى لون كل كرة وفقًا لحالة المشكلة.

مثال 3.2الصندوق الأول يحتوي على كرتين بيضاء وعشر كرات سوداء. الصندوق الثاني يحتوي على ثماني كرات بيضاء وأربع كرات سوداء. تم أخذ كرة من كل صندوق. أوجد احتمال أن تكون كلتا الكرتين بيضاء.

المحلول.

الحدث A هو ظهور كرة بيضاء من الصندوق الأول. الحدث ب - ظهور كرة بيضاء من الصندوق الثاني. الأحداث A و B مستقلة.

الاحتمالات P (A) = 2/12 = 1/6 ، P (B) = 8/12 = 2/3.

نطبق نظرية الضرب الاحتمالية:

P (AB) = P (A) P (B) = 2/18 = 1/9.

راجع الأسئلة

1 ما هو العامل؟

2 قائمة المهام الرئيسية للتوافقيات.

3 ما هي التباديل؟

4 ما هي الحركة؟

5 ما هي التوليفات؟

6 ما هي الأحداث التي تسمى موثوقة؟

7 ما تسمى الأحداث غير المتوافقة؟

8 ما هو احتمال وقوع حدث؟

9 ما هو الاحتمال الشرطي؟

10 قم بصياغة نظريات الجمع والضرب في الاحتمالات.

11 إلخالتنسيب من ص عناصر بواسطة ك (ك ≤ ص ) أي مجموعة تسمى إلى العناصر المأخوذة بترتيب معين من البيانات ص عناصر.

وبالتالي ، فإن اثنين من المواضع من ص عناصر بواسطة إلى تعتبر مختلفة إذا كانت تختلف في العناصر نفسها أو في ترتيب وضعها. ص عناصر بواسطة إلى عين أ ف ك وتحسب بالصيغة

أ ص ك \ u003d

إذا كانت المواضع من ص عناصر بواسطة ص تختلف عن بعضها البعض فقط في ترتيب العناصر ، فهي إذن من التباديل ص عناصر

مثال 1. طلاب الصف الثاني يدرسون 9 مواد. كم عدد الطرق التي يمكنك من خلالها عمل جدول ليوم واحد بحيث يحتوي على 4 مواضيع مختلفة

الحل: يختلف أي جدول ليوم واحد ، يتكون من 4 مواضيع مختلفة ، عن آخر سواء في مجموعة الموضوعات أو بالترتيب الذي تظهر به. إذن ، في هذا المثال ، نتحدث عن مواضع مكونة من 9 عناصر في 4. لدينا

أ 9 4 = = 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9 = 3024

يمكن إنشاء الجدول الزمني بطرق 3024

مثال 2.كم عدد الأرقام المكونة من ثلاثة أرقام (بدون تكرار الأرقام في إدخال الرقم) التي يمكن تكوينها من الأرقام 0،1،2،3،4،5،6؟

الحل إذا لم يكن هناك صفر بين الأرقام السبعة ، فإن عدد الأرقام المكونة من ثلاثة أرقام (بدون تكرار الأرقام) التي يمكن تكوينها من هذه الأرقام يساوي عدد المواضع

22

من 7 عناصر إلى 3. ومع ذلك ، يوجد بين هذه الأرقام رقم 0 ، لا يمكن أن يبدأ به رقم مكون من ثلاثة أرقام. لذلك ، من مواضع 7 عناصر في 3 ، من الضروري استبعاد العناصر التي يكون عنصرها الأول 0. عددهم يساوي عدد مواضع عناصرهم الستة في 2. =

إذن ، العدد المطلوب من الأرقام المكونة من ثلاثة أرقام يساوي

أ ٧ ٣ - أ ٦ ٢ = - = 5 ∙ 6 ∙ 7 - 5 ∙ 6 = 180.

3. ترسيخ المعرفة المكتسبة في عملية حل المشكلات

№754 . ما هو عدد الطرق التي يمكن لعائلة مكونة من ثلاثة أفراد استيعابها في مقصورة ذات أربعة مقاعد إذا لم يكن هناك ركاب آخرون في المقصورة؟

المحلول. عدد الطرق أ 4 3 = = 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24

№755. من بين 30 مشاركا في الاجتماع ، من الضروري اختيار رئيس وسكرتير. ما هو عدد الطرق التي يمكن القيام بها؟

المحلول. نظرًا لأن أي من المشاركين يمكن أن يكون سكرتيرًا ورئيسًا ، فإن عدد الطرق لانتخابهم هو كذلك

أ 30 2 = = = 29 ∙ 30 = 870

№762 كم عدد الأرقام المكونة من أربعة أرقام التي لا تحتوي على نفس الأرقام التي يمكن تكوينها من الأرقام: أ) 1،3،5،7،9. ب) 0.2.4.6.8؟

الحل أ) أ 5 4 = = 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120

ب)) أ ٥ ٤ - أ ٤ ٣ = ٥! - أربعة! = 120 - 24 = 96

الواجب المنزلي # 756 ، # 757 ، # 758 ، # 759.

الدرس 6 موضوع: "المجموعات"

الغرض: لإعطاء مفهوم التوليفات ، ولإدخال معادلة حساب التوليفات ، ولتعليم كيفية تطبيق هذه الصيغة لحساب عدد التوليفات.

1 فحص الواجبات المنزلية.

№ 756 . هناك 7 مسارات للطوارئ في المحطة. ما هو عدد الطرق التي يمكن وضع 4 قطارات عليها؟

23

المحلول : أ 7 4 = = 4 5 6 7 = 20 42 = 840 طريقة

№757 ما هو عدد الطرق التي يمكن للمدرب أن يحدد فيها أي من لاعبي التتابع 12 × 100 م سوف يجرون في المراحل الأولى والثانية والثالثة والرابعة؟

المحلول: أ 12 4 \ u003d \ u003d 9 10 11 12 \ u003d 90132 \ u003d 11880

№ 758. في المخطط الدائري ، يتم تقسيم الدائرة إلى 5 قطاعات. قررنا أن نرسم القطاعات بألوان مختلفة مأخوذة من مجموعة تحتوي على 10 ألوان. ما هو عدد الطرق التي يمكن القيام بها؟

المحلول: أ 10 5 \ u003d \ u003d 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9 ∙ 10 \ u003d 30240

№759. ما عدد الطرق التي يمكن لـ 6 طلاب يؤدون الامتحان فيها أخذ مقاعد في غرفة بها 20 طاولة فردية؟

المحلول: أ 20 6 \ u003d \ u003d 15 16 17 18 19 20 \ u003d 27907200

يمكنك تنظيم فحص الواجبات المنزلية بطرق مختلفة: تحقق شفهيًا من حل التمارين المنزلية ، وقم بتدوين الحلول لبعض منها على السبورة ، وأثناء تسجيل القرارات ، قم بإجراء مسح للطلاب حول الأسئلة التالية:

1. ماذا يعني الدخول P!

2. ما يسمى التقليب ص عناصر؟

3. ما هي صيغة حساب عدد التباديل؟

4. ما يسمى التنسيب ص عناصر بواسطة إلى؟

5. ص عناصر بواسطة إلى؟

2 شرح مادة جديدة

يجب ألا يكون هناك 5 أزهار قرنفل بألوان مختلفة. دعونا نسميها بالأحرف. أ ، ج ، ج ، هـ ، هـ. مطلوب لعمل باقة من ثلاث أزهار قرنفل. دعنا نتعرف على الباقات التي يمكن صنعها.

إذا كانت الباقة تحتوي على قرنفل أ ، ثم يمكنك عمل مثل هذه الباقات:

avs ، avd ، ave ، asd ، ace ، الجحيم.

إذا كانت الباقة لا تحتوي على قرنفل أ، ولكن يتم تضمين القرنفل في ، إذن يمكنك الحصول على هذه الباقات:

vsd ، الكل ، vde.

أخيرًا ، إذا كانت الباقة لا تحتوي على قرنفل أ، ليس قرنفل في، إذن هناك خيار واحد فقط لتأليف باقة:

sde.

24

لقد أوضحنا جميع الطرق الممكنة لتكوين الباقات التي يتم فيها الجمع بين ثلاثة أزهار من أصل 5 بطرق مختلفة. يقولون إننا قمنا بتجميع كل ما هو ممكن مجموعات من 5 عناصر في 3 وجدنا أن C 5 3 \ u003d 10.

نشتق صيغة عدد التركيبات من ص عناصر بواسطة k ، أين ك ≤ ص.

لنكتشف أولاً كيف يتم التعبير عن C 5 3 بدلالة A 5 3 و P 3. وجدنا أن عناصرها الخمسة يمكن أن تتكون من المجموعات التالية من 3 عناصر:

avs و avd و ave و asd و ace و hell و vsd و all و vde و sde.

في كل مجموعة ، نقوم بإجراء جميع التباديل. عدد التباديل لثلاثة عناصر هو R 3. نتيجة لذلك ، نحصل على جميع المجموعات الممكنة من 5 عناصر في 3 ، والتي تختلف إما في العناصر نفسها أو في ترتيب العناصر ، أي جميع المواضع المكونة من 5 عناصر من 3. في المجموع ، نحصل على مواضع 5 3.

وسائل ، C 5 3 ∙ R 3 \ u003d A 5 3 ، ومن ثم C 5 3 \ u003d A 5 3: R 3

يتجادل في الحالة العامة ، نحصل عليه ج ص ك \ u003d أ ف ك: ص ك ،

باستخدام حقيقة أن A p k = أين ك ≤ ص. ، نحن نحصل ج ص ك =.

هذه هي الصيغة لحساب عدد التوليفات من ص عناصر بواسطة إلى لأي

ك ≤ ص.

مثال 1. من مجموعة مكونة من 15 لونًا ، تحتاج إلى اختيار 3 ألوان لتلوين الصندوق. ما هو عدد الطرق التي يمكن أن يتم بها هذا الاختيار؟

الحل: يختلف كل اختيار من ثلاثة ألوان عن الآخر بلون واحد على الأقل. إذن ، نحن نتحدث هنا عن مجموعات من 15 عنصرًا من 3

С 15 3 = = (13 ∙ 14 ∙ 15): ( 1∙ 2 ∙ 3) = 455

ملاحظة 2هناك 12 فتى و 10 فتيات في الفصل. مطلوب ثلاثة أولاد وفتاتين لتنظيف المنطقة المحيطة بالمدرسة. ما هو عدد الطرق التي يمكن أن يتم بها هذا الاختيار؟

الحل: يمكنك اختيار 3 فتيان من 12 درجة مئوية 12 3 ، ويمكنك اختيار فتاتين من 10 درجة مئوية 10 2. نظرًا لأنه مع كل اختيار للأولاد من الممكن اختيار الفتيات بطريقتين C 10 ، يمكنك عندئذٍ اختيار الطلاب ، وهو ما تمت مناقشته في المشكلة

С 12 3 ∙ С 10 2 = ∙ = 220 45 = 9900

3) توحيد المواد الجديدة في عملية حل المشاكل

25

مهمة

ساشا لديها 8 روايات تاريخية في مكتبتها المنزلية. بيتيا يريد أن يأخذ منه أي روايتين. ما هو عدد الطرق التي يمكن أن يتم بها هذا الاختيار؟

الحل: C 8 2 = = ( 7 ∙ 8) : ( 1∙ 2) = 56: 2 = 28

№779 أ

هناك 16 شخصا في نادي الشطرنج. ما هو عدد الطرق التي يمكن للمدرب فيها اختيار فريق من 4 منهم للبطولة القادمة؟

الحل: ج 16 4 = = ( 13∙ 14∙15 ∙16) : ( 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4) = 13 ∙ 7 ∙5∙ 4 = 91 ∙20 = 1820

№774 يتكون فريق تجديد المدرسة من 12 رسامًا و 5 نجارين. من بين هؤلاء ، يجب تخصيص 4 رسامين ونجارين لإصلاح الصالة الرياضية. ما هو عدد الطرق التي يمكن القيام بها؟

С 12 4 ∙ С 5 2 = ∙ = 495 ∙ 10 = 4950

الواجب المنزلي 768 ، # 769 ، # 770 ، # 775

الدرس 7 الموضوع: "حل المشكلات المتعلقة باستخدام الصيغ لحساب عدد الحركات والمواضع والتركيبات"

الغرض: ترسيخ معرفة الطلاب. تكوين مهارات لحل أبسط المشاكل الاندماجية

1 فحص الواجبات المنزلية

№768 هناك 7 أشخاص في الفصل ينجحون في الرياضيات. ما هو عدد الطرق التي يمكن بها اختيار طريقتين للمشاركة في أولمبياد الرياضيات؟

الحل: C 7 2 \ u003d \ u003d (6 ∙ 7): 2 \ u003d 21

№769 يبيع متجر الطوابع 8 مجموعات مختلفة من الطوابع المخصصة للرياضة. كم عدد الطرق التي يمكن اختيار 3 مجموعات منها؟

الحل: ج 8 3 = = ( 6 ∙ 7 ∙ 8) : ( 1∙ 2 ∙ 3) = 56

26

№770 تم إعطاء الطلاب قائمة من 10 كتب يوصى بقراءتها خلال الإجازات. ما عدد الطرق التي يمكن للطالب أن يختار منها 6 كتب؟

الحل: ج 10 6 = = ( 7 ∙ 8 ∙ 9∙ 10) : ( 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4) = 210

№775 في المكتبة ، عُرض على القارئ اختيار 10 كتب و 4 مجلات من الوافدين الجدد. ما هو عدد الطرق التي يمكن أن يختار منها 3 كتب ومجلتين؟

الحل: С 10 3 ∙ С 4 2 = ∙ = 120 ∙ 6 = 720

أسئلة للفصل

1. ما يسمى التقليب ص عناصر؟

2. ما هي الصيغة المستخدمة لحساب عدد التباديل؟

3. ما يسمى التنسيب ص عناصر بواسطة إلى؟

4. ما هي الصيغة المستخدمة لحساب عدد المواضع من ص عناصر بواسطة إلى؟

5. ما يسمى مزيج من ص عناصر بواسطة إلى؟

6. ما هي الصيغة المستخدمة لحساب عدد تركيبات ص عناصر بواسطة إلى؟

مهام الحل المشترك

عند حل كل مشكلة ، هناك مناقشة أولاً: أي من الصيغ الثلاث التي تمت دراستها سيساعد في الحصول على إجابة ولماذا

1. كم عددًا مكونًا من أربعة أرقام يمكن تكوينه من الأرقام 4،6،8،9 ، بشرط أن تكون جميع الأرقام مختلفة؟

2. من بين 15 شخصًا في مجموعة من الطلاب ، تحتاج إلى اختيار رئيس ونائبه. ما هو عدد الطرق التي يمكن القيام بها؟

3. من بين الطلاب العشرة الأوائل في المدرسة ، يجب إرسال شخصين إلى اجتماع القادة.

ما هو عدد الطرق التي يمكن القيام بها؟

تعليق:في المهمة رقم 3 ، لا يهم من تختار: أي شخصين من أصل 10 ، لذا فإن صيغة حساب عدد المجموعات تعمل هنا.

في المشكلة رقم 2 ، يتم اختيار زوج مرتب لأن في الزوج المحدد ، إذا تم تبديل الألقاب ، فسيكون اختيارًا مختلفًا ، وبالتالي فإن صيغة حساب عدد المواضع تعمل هنا

إجابات لمشاكل الحل المشترك:

رقم 1 في 24. # 2210 طريقة. # 3 45 طريقة

مشاكل المناقشة المشتركة والحسابات المستقلة

التقى الأصدقاء رقم 1 وصافح كل منهم كل من أصدقائه. كم عدد المصافحات هناك؟

27

رقم 2 كم عدد الطرق التي يمكنك بها عمل جدول زمني للطلاب في الصف الأول ليوم واحد ، إذا كان لديهم 7 مواد ، وفي هذا اليوم يجب أن يكون هناك 4 دروس؟

(عدد المواضع من 7 إلى 4)

رقم 3 هناك 6 أفراد في الأسرة ، ويوجد 6 كراسي على الطاولة في المطبخ. تقرر كل مساء قبل العشاء الجلوس على هذه الكراسي الستة بطريقة جديدة. كم يومًا سيتمكن أفراد العائلة من القيام بذلك دون تكرار.

رقم 4 جاء الضيوف أ ، ب ، ج ، د إلى صاحب المنزل. هناك خمسة كراسي مختلفة على الطاولة المستديرة. كم عدد خيارات الجلوس هناك؟

(جاء 4 أشخاص للزيارة + المالك = 5 أشخاص يجلسون على 5 كراسي ، تحتاج إلى حساب عدد التباديل)

5. يتم رسم مثلث غير متقاطع ومربع ودائرة في كتاب التلوين. يجب رسم كل شخصية بأحد ألوان قوس قزح ، بأشكال مختلفة بألوان مختلفة. كم عدد الطرق الموجودة للتلوين؟

(احسب عدد المواضع من 7 إلى 3)

رقم 6 هناك 10 فتيان و 4 فتيات في الفصل. من الضروري اختيار 3 أشخاص في الخدمة بحيث يكون بينهم صبيان وفتاة واحدة. ما هو عدد الطرق التي يمكن القيام بها؟

(عدد التوليفات 10 × 2 ضعف عدد التوليفات 4 × 1)

إجابات لمشاكل الحساب الذاتي

№1 15 مصافحة

№2840 طريقة

№3720 يومًا

№5120 طريقة

№6 180 طريقة

الواجب المنزلي رقم 835 ، رقم 841

الدرس 8 موضوع: "العمل المستقل"

الغرض: اختبار معرفة الطلاب

1. فحص الواجبات المنزلية

№^ 835 يمكن كتابة عدد الأرقام المكونة من أربعة أرقام والتي لا تتكرر فيها الأرقام باستخدام الأرقام أ) 1،2،3،7. ب) 1،2،3،4.

28

أ) يجب أن تنتهي أرقامنا برقم زوجي ، مثل هذا الرقم في الشرط الأول هو الرقم 2 ، وضعه في المكان الأخير ، وسنقوم بإعادة ترتيب الأرقام الثلاثة المتبقية ، وعدد هذه التباديل هو 3! = 6. يمكنك تكوين 6 أعداد زوجية

ب) نجادل كما في المثال أ) بوضع الرقم 2 في المكان الأخير ، نحصل على 6 أرقام زوجية ، بوضع الرقم 4 في المكان الأخير ، نحصل على 6 أرقام زوجية أخرى ،

يعني فقط 12 رقمًا زوجيًا

№841 ما عدد الطرق التي يمكنك الاختيار من بينها من فصل يضم 24 طالبًا: أ) اثنان من الحاضرين ؛ ب) الأكبر ومساعده؟

أ) لأن يمكن أن يكون أي شخصين من أصل 24 في الخدمة ، ثم يكون عدد الأزواج

C 24 2 \ u003d \ u003d 23 ∙ 24: 2 \ u003d 276

ب) هنا قاموا بتمزيق زوج مرتب من العناصر من 24 عنصرًا ، وعدد هذه الأزواج هو A 24 2 = = 23 ∙ 24 = 552

الخيار 1 يحل المهام رقم 1،2،3،4،5.

الخيار 2 يحل المهام رقم 6،7،8،9،10.

حل مسائل اندماجية بسيطة

(بناءً على المواد الخاصة بـ c.r. في أبريل 2010)

1 . ما هو عدد الطرق التي يمكن بها ترتيب خمسة كتب لمؤلفين مختلفين على الرف؟

2. ما عدد الطرق التي يمكنك بها إعداد وجبة خفيفة بعد الظهر من مشروب وفطيرة إذا كانت القائمة تحتوي على: شاي ، قهوة ، كاكاو وفطائر مع تفاحة أو كرز؟

3. يوم الأربعاء ، وفقًا لجدول الفصل التاسع "أ" ، يجب أن يكون هناك 5 دروس: الكيمياء ، والفيزياء ، والجبر ، وعلم الأحياء ، وسلامة الحياة. ما هو عدد الطرق التي يمكنك بها جدولة اليوم؟

4. يوجد 2 حصان أبيض و 4 خيول كبيرة. في عدد الطرق التي يمكن

اصنع زوج من الخيول بألوان مختلفة؟

5. ما عدد الطرق التي يمكن بها وضع 5 عملات معدنية مختلفة في 5 جيوب مختلفة؟

29

6. هناك 3 قبعات بتصاميم مختلفة و 4 أوشحة بألوان مختلفة في الخزانة على الرف. ما هو عدد الطرق التي يمكنك بها صنع مجموعة من قبعة واحدة ووشاح واحد؟

7. وصل 4 مشاركين إلى نهائي مسابقة الجمال. كم عدد الطرق

هل يمكنني تحديد ترتيب أداء المشاركات في مسابقة الجمال النهائي؟

^ 8 .هناك 4 بط و 3 اوز. كم عدد الطرق التي يمكن فيها اختيار طائرين مختلفين منهم؟

9. ما هو عدد الطرق التي يمكن بها تقسيم 5 أحرف مختلفة إلى 5 أحرف مختلفة؟

المغلفات إذا تم وضع حرف واحد فقط في كل مغلف؟

10. يحتوي الصندوق على 5 كرات حمراء و 4 كرات خضراء. كم عدد الطرق التي يمكنك صنع زوج من الكرات بألوان مختلفة؟

إجابات لمهام العمل المستقل

مؤسسة تعليمية "دولة بيلاروسيا

الأكاديمية الزراعية "

قسم الرياضيات العليا

إضافة وتضاعف الاحتمالات. الاختبارات المستقلة المتكررة

محاضرة لطلاب كلية ادارة الاراضي

الدراسة عن بعد

جوركي ، 2012

جمع وضرب الاحتمالات. معاد

اختبارات مستقلة

إضافة الاحتمالات

مجموع حدثين مشتركين لكنو فيدعا الحدث من، والتي تتكون من وقوع حدث واحد على الأقل لكنأو في. وبالمثل ، فإن مجموع الأحداث المشتركة المتعددة هو حدث يتكون من حدوث واحد على الأقل من هذه الأحداث.

مجموع حدثين منفصلين لكنو فيدعا الحدث من، تتكون من وقوع الحدث أو الحدث لكن، أو الأحداث في. وبالمثل ، فإن مجموع العديد من الأحداث غير المتوافقة هو حدث يتكون من وقوع أي من هذه الأحداث.

نظرية إضافة احتمالات الأحداث غير المتوافقة صحيحة: احتمال مجموع حدثين غير متوافقين يساوي مجموع احتمالات هذين الحدثين ، بمعنى آخر. . يمكن أن تمتد هذه النظرية إلى أي عدد محدود من الأحداث غير المتوافقة.

من هذه النظرية يتبع:

مجموع احتمالات الأحداث التي تشكل مجموعة كاملة يساوي واحدًا ؛

مجموع احتمالات الأحداث المعاكسة يساوي واحدًا ، أي
.

مثال 1 . صندوق يحتوي على 2 كرات بيضاء ، 3 حمراء و 5 كرات زرقاء. يتم خلط الكرات ويتم سحب أحدها عشوائيًا. ما هو احتمال أن تكون الكرة ملونة؟

المحلول . دعنا نشير إلى الأحداث:

أ= (تمت إزالة كرة اللون) ؛

ب= (كرة بيضاء مسحوبة) ؛

ج= (كرة حمراء مسحوبة) ؛

د= (تمت إزالة الكرة الزرقاء).

ثم أ= ج+ د. منذ الأحداث ج, دغير متوافقة ، ثم نستخدم نظرية إضافة احتمالات الأحداث غير المتوافقة:.

مثال 2 . جرة تحتوي على 4 كرات بيضاء و 6 كرات سوداء. يتم سحب 3 كرات عشوائيًا من الجرة. ما هو احتمال أن يكونوا جميعهم متشابهين في اللون؟

المحلول . دعنا نشير إلى الأحداث:

أ\ u003d (يتم إخراج كرات من نفس اللون) ؛

ب\ u003d (يتم إخراج الكرات البيضاء) ؛

ج= (يتم إخراج الكرات السوداء).

لان أ= ب+ جوالأحداث فيو منغير متوافقة ، ثم من خلال نظرية إضافة احتمالات الأحداث غير المتوافقة
. احتمالية الحدث فيمساوي ل
، أين
4,

. بديل كو نفي الصيغة والحصول على
وبالمثل ، نجد احتمال وقوع حدث من:
، أين
,
، بمعنى آخر.
. ثم
.

مثال 3 . من مجموعة من 36 بطاقة ، يتم سحب 4 بطاقات بشكل عشوائي. أوجد احتمال وجود ثلاث ارسالات على الأقل بينهم.

المحلول . دعنا نشير إلى الأحداث:

أ\ u003d (من بين البطاقات المرسومة هناك ثلاثة آسات على الأقل) ؛

ب\ u003d (من بين البطاقات المرسومة هناك ثلاثة ارسالا ساحقا) ؛

ج= (من بين الأوراق المسحوبة أربعة ارسالا ساحقا).

لان أ= ب+ ج، والأحداث فيو منغير متسق إذن
. لنجد احتمالات الأحداث فيو من:

,
. لذلك ، فإن احتمال وجود ثلاثة آسات على الأقل من بين الأوراق المسحوبة يساوي

0.0022.

الضرب الاحتمالي

الشغل حدثين لكنو فيدعا الحدث من، وتتكون من حدوث مشترك لهذه الأحداث:
. يمتد هذا التعريف إلى أي عدد محدود من الأحداث.

يتم استدعاء الحدثين لا يعتمد إذا كان احتمال حدوث أحدهما لا يعتمد على وقوع الحدث الآخر أم لا. التطورات ,, … ,اتصل بشكل جماعي ، إذا كان احتمال حدوث كل منها لا يعتمد على وقوع أحداث أخرى أو عدم حدوثها.

مثال 4 . سهمان يطلقان النار على الهدف. دعنا نشير إلى الأحداث:

أ= (أول إطلاق نار يصيب الهدف) ؛

ب= (الرامي الثاني أصاب الهدف).

من الواضح أن احتمال إصابة الهدف من قبل الرامي الأول لا يعتمد على ما إذا كان مطلق النار الثاني قد أصاب أو أخطأ ، والعكس صحيح. لذلك فإن الأحداث لكنو فيلا يعتمد.

نظرية مضاعفة احتمالات الأحداث المستقلة صحيحة: احتمالية حاصل ضرب حدثين مستقلين تساوي حاصل ضرب احتمالات هذين الحدثين : .

هذه النظرية صالحة أيضا ل نالأحداث المستقلة في المجمل:.

مثال 5 . اثنان من الرماة يطلقون النار على نفس الهدف. احتمال إصابة الرامي الأول 0.9 ، والثاني 0.7. كلا الرماة يطلقون رصاصة واحدة في نفس الوقت. أوجد احتمال وجود إصابتين على الهدف.

المحلول . دعنا نشير إلى الأحداث:

أ

ب

ج= (كلا السهمين سيصيبان الهدف).

لان
، والأحداث لكنو فيمستقل ، إذن
، بمعنى آخر..

التطورات لكنو فياتصل يعتمد إذا كان احتمال حدوث أحدهما يعتمد على ما إذا كان الحدث الآخر قد حدث أم لا. احتمالية وقوع حدث لكنشريطة أن الحدث فيإنه هنا بالفعل ، إنه يسمى احتمال مشروط والمشار إليها
أو
.

مثال 6 . تحتوي الجرة على 4 كرات بيضاء و 7 كرات سوداء. يتم سحب الكرات من الجرة. دعنا نشير إلى الأحداث:

أ= (تمت إزالة الكرة البيضاء) ؛

ب= (تمت إزالة الكرة السوداء).

قبل أن تبدأ في سحب الكرات من الجرة
. يتم سحب كرة واحدة من الجرة واتضح أنها سوداء. ثم احتمالية وقوع الحدث لكنبعد الحادث فيستكون مختلفة ومتساوية . هذا يعني أن احتمال وقوع حدث لكنحسب الحدث في، بمعنى آخر. هذه الأحداث سوف تعتمد.

نظرية مضاعفة احتمالات الأحداث التابعة صحيحة: احتمالية ناتج حدثين تابعين تساوي ناتج احتمالية أحدهما بواسطة الاحتمال الشرطي للآخر ، محسوبًا على افتراض أن الحدث الأول قد حدث بالفعل، بمعنى آخر. أو.

مثال 7 . جرة تحتوي على 4 كرات بيضاء و 8 كرات حمراء. يتم سحب كرتين بشكل عشوائي منه. أوجد احتمال أن تكون كلتا الكرتين سوداوين.

المحلول . دعنا نشير إلى الأحداث:

أ= (الكرة السوداء تُسحب أولاً) ؛

ب= (يتم سحب كرة سوداء ثانية).

التطورات لكنو فيتعتمد بسبب
، أ
. ثم
.

المثال 8 . ثلاثة سهام تطلق على الهدف بشكل مستقل عن بعضها البعض. احتمال إصابة الهدف الأول هو 0.5 ، وللثاني - 0.6 وللثالث - 0.8. أوجد احتمالية حدوث ضربتين إذا أطلق كل مطلق النار طلقة واحدة.

المحلول . دعنا نشير إلى الأحداث:

أ= (ستكون هناك ضربتان على الهدف) ؛

ب= (أول قاذفة تصيب الهدف) ؛

ج= (الرامي الثاني سيصيب الهدف) ؛

د= (الرامي الثالث سيصيب الهدف) ؛

= (الرامي الأول لن يصيب الهدف) ؛

= (مطلق النار الثاني لن يصيب الهدف) ؛

= (مطلق النار الثالث لن يصيب الهدف).

حسب المثال
,
,
,

,
,
. نظرًا لاستخدام نظرية الإضافة لاحتمالات الأحداث غير المتوافقة ونظرية ضرب احتمالات الأحداث المستقلة ، نحصل على:

دع الأحداث
تشكل مجموعة كاملة من أحداث بعض المحاكمات ، والأحداث لكنيمكن أن تحدث فقط مع أحد هذه الأحداث. إذا كانت الاحتمالات والاحتمالات الشرطية للحدث معروفة لكن، ثم يتم حساب احتمال الحدث أ بالمعادلة:

أو
. هذه الصيغة تسمى صيغة الاحتمال الكلي ، والأحداث
الفرضيات .

المثال 9 . يستقبل خط التجميع 700 قطعة من الماكينة الأولى و 300 قطعة من الثانية. الجهاز الأول يعطي 0.5٪ رفض ، والثاني - 0.7٪. أوجد احتمال أن العنصر الذي تم التقاطه معيب.

المحلول . دعنا نشير إلى الأحداث:

أ= (العنصر المأخوذ سيكون معيبًا) ؛

= (الجزء مصنوع على الجهاز الأول) ؛

= (الجزء مصنوع على الجهاز الثاني).

احتمال أن يكون الجزء قد صنع على الجهاز الأول هو
. للجهاز الثاني
. حسب الشرط ، فإن احتمال الحصول على جزء معيب مصنوع على الجهاز الأول يساوي
. بالنسبة للجهاز الثاني ، هذا الاحتمال يساوي
. ثم يتم حساب احتمال أن يكون الجزء المأخوذ معيبًا بواسطة صيغة الاحتمال الإجمالي

إذا كان من المعروف أن حدثًا قد وقع نتيجة للاختبار لكن، ثم احتمال وقوع هذا الحدث مع الفرضية
، مساوي ل
، أين
- الاحتمال الكلي للحدث لكن. هذه الصيغة تسمى صيغة بايز ويسمح لك بحساب احتمالات الأحداث
بعد أن أصبح معروفا أن الحدث لكنوصل بالفعل.

المثال 10 . يتم إنتاج أجزاء من نفس النوع للسيارات في مصنعين وتذهب إلى المتجر. المصنع الأول ينتج 80٪ من إجمالي عدد الأجزاء ، والثاني - 20٪. يحتوي إنتاج المصنع الأول على 90٪ من الأجزاء القياسية ، والثاني - 95٪. اشترى المشتري جزءًا واحدًا واتضح أنه قياسي. أوجد احتمال أن يكون هذا الجزء مصنوعًا في المصنع الثاني.

المحلول . دعنا نشير إلى الأحداث:

أ= (تم شراء جزء قياسي) ؛

= (الجزء مصنوع في المصنع الأول) ؛

= (الجزء مصنوع في المصنع الثاني).

حسب المثال
,
,
و
. احسب الاحتمالية الكلية لحدث ما لكن: 0.91. يتم حساب احتمال تصنيع الجزء في المصنع الثاني باستخدام صيغة Bayes:

.

مهام للعمل المستقل

احتمال إصابة الهدف الأول هو 0.8 ، وللثاني - 0.7 وللثالث - 0.9. أطلق الرماة رصاصة واحدة. أوجد احتمال وجود إصابتين على الأقل على الهدف.

تلقى الورشة 15 جرارا. من المعروف أن 6 منهم بحاجة إلى استبدال المحرك ، والباقي - لاستبدال المكونات الفردية. يتم اختيار ثلاثة جرارات بشكل عشوائي. أوجد احتمال ألا يحتاج أكثر من جرارين محددين إلى استبدال المحرك.

ينتج مصنع الخرسانة الألواح ، 80٪ منها بأعلى جودة. أوجد احتمال أن تكون اثنتان على الأقل من أعلى درجة من بين ثلاث لوحات تم اختيارها عشوائيًا.

يقوم ثلاثة عمال بتجميع المحامل. احتمال أن يكون المحمل الذي تم تجميعه بواسطة العامل الأول من أعلى مستويات الجودة هو 0.7 ، والثاني - 0.8 ، والثالث - 0.6. للتحكم ، تم أخذ محمل واحد عشوائيًا من تلك التي تم تجميعها بواسطة كل عامل. أوجد احتمال أن يكون اثنان منهم على الأقل من أعلى مستويات الجودة.

احتمال الفوز على تذكرة يانصيب من الإصدار الأول هو 0.2 ، والثاني - 0.3 والثالث - 0.25. هناك تذكرة واحدة لكل قضية. أوجد احتمال فوز تذكرتين على الأقل.

يقوم المحاسب بإجراء العمليات الحسابية باستخدام ثلاثة كتب مرجعية. احتمال أن تكون البيانات التي تهمه في الدليل الأول هي 0.6 ، وفي الدليل الثاني - 0.7 ، وفي الدليل الثالث - 0.8. أوجد احتمال أن البيانات التي تهم المحاسب لا تحتوي على أكثر من دليلين.

ثلاث آلات تصنع الأجزاء. ينتج الإنسان الأول جزءًا من أعلى مستويات الجودة مع احتمال 0.9 ، والثاني مع احتمال 0.7 ، والثالث مع احتمال 0.6. يتم أخذ عنصر واحد عشوائيًا من كل جهاز. أوجد احتمال أن يكون اثنان منهم على الأقل من أعلى مستويات الجودة.

يتم معالجة نفس النوع من الأجزاء على جهازين. احتمال تصنيع جزء غير قياسي للآلة الأولى هو 0.03 ، للثاني - 0.02. الأجزاء المعالجة مكدسة في مكان واحد. من بينها ، 67٪ من الجهاز الأول ، والباقي من الجهاز الثاني. تبين أن الجزء المأخوذ بشكل عشوائي هو المعيار. أوجد احتمال أن يكون قد تم صنعه على الجهاز الأول.

استقبلت الورشة صندوقين من نفس النوع من المكثفات. الصندوق الأول يحتوي على 20 مكثفًا ، 2 منها معيبة. في المربع الثاني هناك 10 مكثفات ، 3 منها معيبة. تم نقل المكثفات إلى صندوق واحد. أوجد احتمال أن يكون المكثف المأخوذ عشوائيًا من الصندوق جيدًا.

في ثلاث آلات ، يتم تصنيع نفس النوع من الأجزاء ، والتي يتم تغذيتها في ناقل مشترك. من بين كل التفاصيل ، 20٪ من الجهاز الأول ، و 30٪ من الثانية و 505 من الجهاز الثالث. احتمال تصنيع جزء قياسي على الجهاز الأول هو 0.8 ، والثاني - 0.6 والثالث - 0.7. كان الجزء المأخوذ معياريًا. أوجد احتمال أن يكون هذا الجزء مصنوعًا على الجهاز الثالث.

تستلم الرافعة 40٪ من الأجزاء من المصنع للتجميع لكنوالباقي - من المصنع في. احتمال أن يكون الجزء من المصنع لكن- أعلى جودة تساوي 0.8 ومن المصنع في- 0.9. أخذ الالتقاط عشوائيًا جزءًا واحدًا ولم يكن من أعلى مستويات الجودة. أوجد احتمال أن يكون هذا الجزء من المصنع في.

تم اختيار 10 طلاب من المجموعة الأولى و 8 طلاب من المجموعة الثانية للمشاركة في المسابقات الرياضية الطلابية. احتمال انضمام طالب من المجموعة الأولى إلى المنتخب الوطني للأكاديمية هو 0.8 ، ومن المجموعة الثانية - 0.7. تم اختيار طالب تم اختياره بشكل عشوائي للمنتخب الوطني. أوجد احتمال أن يكون من المجموعة الأولى.

صيغة برنولي

الاختبارات تسمى لا يعتمد ، إذا حدث لكل منهم لكنيحدث بنفس الاحتمال
، بغض النظر عما إذا كان هذا الحدث قد ظهر أم لم يظهر في تجارب أخرى. احتمالية وقوع الحدث المعاكس في هذه الحالة يساوي
.

المثال 11 . رمي النرد نذات مرة. دلالة على الحدث أ= (إسقاط ثلاث نقاط). احتمالية وقوع حدث لكنفي كل تجربة تساوي ولا تعتمد على ما إذا كان هذا الحدث قد حدث أو لم يحدث في تجارب أخرى. لذلك ، هذه الاختبارات مستقلة. احتمالية وقوع الحدث المعاكس
(لا يتدحرج ثلاث نقاط) يساوي
.

الاحتمال أن في نمحاكمات مستقلة ، في كل منها احتمال وقوع حدث لكنمساوي ل ص، سيحدث الحدث بالضبط كمرات (بغض النظر عن أي تسلسل) ، يتم حسابها بواسطة الصيغة
، أين
. هذه الصيغة تسمى صيغة برنولي ويكون مناسبًا إذا لم يكن عدد المحاولات n كبيرًا جدًا.

المثال 12 . وتبلغ نسبة إصابة الأجنة بالمرض بشكل كامن 25٪. يتم اختيار 6 فواكه بشكل عشوائي. أوجد احتمال أن يكون هناك من بين المختارين: أ) 3 أجنة مصابة بالضبط ؛ ب) ما لا يزيد عن ثمرتين مصابة.

المحلول . حسب المثال.

أ) وفقًا لمعادلة برنولي ، فإن احتمال إصابة ثلاثة من الثمار الست المختارة بالضبط يساوي

0.132.

ب) دلالة على الحدث أ= (لن يكون المصاب أكثر من جنينين). ثم . وفقًا لصيغة برنولي:

0.297.

بالتالي،
0.178+0.356+0.297=0.831.

نظريات لابلاس وبواسون

تُستخدم صيغة برنولي لإيجاد احتمالية وقوع حدث لكنتأتي كمرة نمحاكمات مستقلة وفي كل تجربة احتمال وقوع حدث لكنمستمر. بالنسبة لقيم n الكبيرة ، تصبح العمليات الحسابية باستخدام صيغة برنولي مضيعة للوقت. في هذه الحالة ، لحساب احتمال وقوع حدث لكنمن الأفضل استخدام صيغة مختلفة.

نظرية لابلاس المحلية . دع الاحتمال صحدث لكنفي كل اختبار ثابت ومختلف عن صفر وواحد. ثم احتمالية أن يكون الحدث لكنيأتي بالضبط كمرات لعدد كبير بما فيه الكفاية n من التجارب ، يتم حسابها بواسطة الصيغة

، أين
، وقيم الوظيفة
ترد في الجدول.

الخصائص الرئيسية للوظيفة
نكون:

دور
يتم تعريفه ومستمر في الفاصل الزمني
.

دور
هو إيجابي ، أي
>0.

دور
حتى ، أي
.

منذ الوظيفة
هو زوجي ، ثم يعرض الجدول قيمه فقط للقيم الموجبة X.

المثال 13 . إنبات بذور القمح 80٪. تم اختيار 100 بذرة للتجربة. أوجد احتمال أن تنبت 90 من البذور المختارة بالضبط.

المحلول . حسب المثال ن=100, ك=90, ص=0.8, ف= 1-0.8 = 0.2. ثم
. وفقًا للجدول ، نجد قيمة الوظيفة
:
. احتمال إنبات 90 من البذور المختارة بالضبط هو
0.0044.

عند حل المشكلات العملية ، يصبح من الضروري إيجاد احتمالية وقوع حدث ما لكنفي ناختبارات مستقلة على الأقل مرة ولا أكثر ذات مرة. تم حل هذه المشكلة بمساعدة نظرية لابلاس التكاملية : دع الاحتمال صحدث لكنفي كل من نالاختبارات المستقلة ثابتة ومختلفة عن الصفر والوحدة. عندها يكون احتمال وقوع الحدث على الأقل مرة ولا أكثر مرات لعدد كبير بما فيه الكفاية من الاختبارات ، يتم حسابها بواسطة الصيغة

أين
,
.

دور
اتصل وظيفة لابلاس ولا يتم التعبير عنها من حيث الوظائف الأولية. يتم إعطاء قيم هذه الوظيفة في جداول خاصة.

الخصائص الرئيسية للوظيفة
نكون:

.

دور
الزيادات في الفترة
.

في
.

دور
غريب ، أي
.

المثال 14 . تنتج الشركة منتجات ، 13٪ منها ليست بأعلى جودة. حدد احتمال وجود 125 وحدة على الأقل في الدفعة غير المختبرة المكونة من 150 وحدة من المنتج الأعلى جودة و 135 وحدة على الأكثر.

المحلول . دعنا نشير. إحصاء - عد
,

في لتقدير احتمالية حدوث أي حدث عشوائي ، من المهم جدًا أن يكون لديك فكرة جيدة مسبقًا عما إذا كان احتمال () حدوث الحدث الذي يثير اهتمامنا يعتمد على كيفية تطور الأحداث الأخرى.

في حالة المخطط الكلاسيكي ، عندما تكون جميع النتائج محتملة بشكل متساوٍ ، يمكننا بالفعل تقدير قيم الاحتمالية للحدث الفردي الذي يهمنا بمفردنا. يمكننا القيام بذلك حتى لو كان الحدث عبارة عن مجموعة معقدة من عدة نتائج أولية. وماذا لو حدثت عدة أحداث عشوائية في وقت واحد أو بالتتابع؟ كيف يؤثر ذلك على احتمالية وقوع الحدث الذي يهمنا؟

إذا دحرجت النرد عدة مرات وأريد أن أحصل على ست مرات وكنت دائمًا غير محظوظ ، فهل يعني ذلك أنني يجب أن أزيد رهاني لأنني ، وفقًا لنظرية الاحتمالات ، على وشك أن أكون محظوظًا؟ للأسف ، لا تقول نظرية الاحتمالات شيئًا من هذا القبيل. لا نرد ولا بطاقات ولا عملات لا أستطيع التذكر ما عرضوه علينا آخر مرة. لا يهمهم إطلاقاً سواء للمرة الأولى أو للمرة العاشرة اليوم أختبر مصيري. في كل مرة أتدحرج فيها مرة أخرى ، أعرف شيئًا واحدًا فقط: وهذه المرة احتمال دحرجة "ستة" مرة أخرى هو السدس. بالطبع ، هذا لا يعني أن الرقم الذي أحتاجه لن يسقط أبدًا. هذا يعني فقط أن خساري بعد الرمية الأولى وبعد أي رمية أخرى هي أحداث مستقلة.

يتم استدعاء الأحداث A و B لا يعتمد، إذا كان تنفيذ أحدهما لا يؤثر على احتمالية وقوع الحدث الآخر بأي شكل من الأشكال. على سبيل المثال ، لا تعتمد احتمالات إصابة الهدف بأول بندقيتين على ما إذا كانت البندقية الأخرى قد أصابت الهدف ، وبالتالي فإن أحداث "إصابة البندقية الأولى بالهدف" و "إصابة البندقية الثانية بالهدف" مستقلة.

إذا كان هناك حدثان A و B مستقلان ، وكان احتمال حدوث كل منهما معروفًا ، فيمكن حساب احتمالية التكرار المتزامن لكل من الحدث A والحدث B (المشار إليه بواسطة AB) باستخدام النظرية التالية.

نظرية الضرب الاحتمالية للأحداث المستقلة

P (AB) = P (A) * P (B)- احتمالا متزامنةاثنين لا يعتمدالأحداث الشغلاحتمالات هذه الأحداث.

مثال.احتمالات إصابة الهدف عند إطلاق البنادق الأولى والثانية متساوية على التوالي: p 1 = 0.7 ؛ ص 2 = 0.8. أوجد احتمالية الضرب بطائرة واحدة من كلا البندقية في وقت واحد.

المحلول:كما رأينا بالفعل ، فإن الأحداث A (التي أصابتها البندقية الأولى) و B (التي أصابتها البندقية الثانية) مستقلة ، أي P (AB) \ u003d P (A) * P (B) \ u003d ص 1 * ص 2 \ u003d 0.56.

ماذا يحدث لتقديراتنا إذا لم تكن الأحداث البادئة مستقلة؟ دعنا نغير المثال السابق قليلا.

مثال.يقوم اثنان من الرماة في مسابقة بإطلاق النار على الأهداف ، وإذا أطلق أحدهما النار بدقة ، يبدأ الخصم في الشعور بالتوتر ، وتتفاقم نتائجه. كيف تحول هذا الموقف اليومي إلى مشكلة رياضية وتوضح طرق حلها؟ من الواضح بشكل حدسي أنه من الضروري بطريقة ما الفصل بين السيناريوهين ، لتكوين ، في الواقع ، سيناريوهين ، ومهمتين مختلفتين. في الحالة الأولى ، إذا أخطأ الخصم ، سيكون السيناريو مناسبًا للرياضي العصبي وستكون دقته أعلى. في الحالة الثانية ، إذا أدرك الخصم فرصته بشكل لائق ، تقل احتمالية إصابة الهدف للرياضي الثاني.

لفصل السيناريوهات المحتملة (يطلق عليها غالبًا الفرضيات) لتطور الأحداث ، سنستخدم غالبًا مخطط "شجرة الاحتمالات". يشبه هذا الرسم البياني في المعنى شجرة القرار ، والتي ربما كان عليك التعامل معها بالفعل. كل فرع هو سيناريو منفصل ، الآن فقط له معناه الخاص لما يسمى الشرطالاحتمالات (q 1 ، q 2 ، q 1 -1 ، q 2 -1).

هذا المخطط مناسب جدًا لتحليل الأحداث العشوائية المتتالية.

يبقى توضيح سؤال أكثر أهمية: أين القيم الأولية للاحتمالات في مواقف حقيقية ؟ بعد كل شيء ، نظرية الاحتمال لا تعمل مع نفس العملات المعدنية والنرد ، أليس كذلك؟ عادة ما يتم أخذ هذه التقديرات من الإحصائيات ، وعندما لا تتوفر الإحصائيات ، نقوم بإجراء أبحاثنا الخاصة. وغالبًا ما يتعين علينا البدء ليس بجمع البيانات ، ولكن بمسألة ماهية المعلومات التي نحتاجها عمومًا.

مثال.في مدينة يبلغ عدد سكانها 100000 نسمة ، افترض أننا بحاجة إلى تقدير حجم السوق لمنتج جديد غير أساسي ، مثل مكيف الشعر المصبوغ. دعونا ننظر في مخطط "شجرة الاحتمالات". في هذه الحالة ، نحتاج إلى تقدير قيمة الاحتمال تقريبًا لكل "فرع". إذن ، تقديراتنا لقدرة السوق:

1) 50٪ من سكان المدينة من النساء.

2) من بين جميع النساء ، 30٪ فقط يصبغن شعرهن في كثير من الأحيان ،

3) من هؤلاء ، يستخدم 10٪ فقط المسكنات للشعر المصبوغ ،

4) من بين هؤلاء ، 10٪ فقط يمكنهم حشد الشجاعة لتجربة منتج جديد ،

5) 70٪ منهم يشترون عادة كل شيء ليس منا ، ولكن من منافسينا.

المحلول:وفقًا لقانون مضاعفة الاحتمالات ، نحدد احتمال وقوع الحدث الذي يهمنا A \ u003d (يشتري أحد سكان المدينة هذا البلسم الجديد منا) \ u003d 0.00045.

اضرب قيمة الاحتمال هذه في عدد سكان المدينة. نتيجة لذلك ، لدينا 45 مشترًا محتملاً فقط ، وبالنظر إلى أن قنينة واحدة من هذا المنتج تدوم لعدة أشهر ، فإن التجارة ليست نشطة للغاية.

ومع ذلك ، هناك فوائد من تقييماتنا.

أولاً ، يمكننا مقارنة تنبؤات الأفكار التجارية المختلفة ، سيكون لديهم "مفترقات" مختلفة على المخططات ، وبالطبع ستكون قيم الاحتمالات مختلفة أيضًا.

ثانيًا ، كما قلنا سابقًا ، لا يسمى المتغير العشوائي عشوائيًا لأنه لا يعتمد على أي شيء على الإطلاق. فقط هي بالضبطالقيمة غير معروفة مسبقًا. نحن نعلم أنه يمكن زيادة متوسط ​​عدد المشترين (على سبيل المثال ، عن طريق الإعلان عن منتج جديد). لذلك من المنطقي التركيز على تلك "الانقسام" حيث لا يناسبنا توزيع الاحتمالات بشكل خاص ، على تلك العوامل التي يمكننا التأثير فيها.

فكر في مثال كمي آخر لأبحاث سلوك المستهلك.

مثال.يزور سوق المواد الغذائية يوميًا ما معدله 10000 شخص. احتمال دخول زائر السوق إلى جناح الألبان هو 1/2. من المعروف أنه في هذا الجناح ، في المتوسط ​​، يتم بيع 500 كجم من المنتجات المختلفة يوميًا.

هل يمكن القول أن متوسط ​​الشراء في الجناح يزن 100 جرام فقط؟

مناقشة.بالطبع لا. من الواضح أنه ليس كل من دخل الجناح انتهى بشراء شيء ما هناك.

كما هو موضح في الرسم البياني ، للإجابة على السؤال حول متوسط ​​وزن الشراء ، يجب أن نجد إجابة السؤال ، ما هو احتمال أن يشتري الشخص الذي يدخل الجناح شيئًا هناك. إذا لم يكن لدينا مثل هذه البيانات تحت تصرفنا ، لكننا نحتاج إليها ، فسيتعين علينا الحصول عليها بأنفسنا ، بعد مراقبة زوار الجناح لبعض الوقت. لنفترض أن ملاحظاتنا تظهر أن خُمس زوار الجناح فقط يشترون شيئًا ما.

بمجرد الحصول على هذه التقديرات من قبلنا ، تصبح المهمة بسيطة بالفعل. من بين 10000 شخص قدموا إلى السوق ، سيذهب 5000 إلى جناح منتجات الألبان ، وسيكون هناك 1000 عملية شراء فقط ، ومتوسط ​​وزن الشراء 500 جرام. من المثير للاهتمام أن نلاحظ أنه من أجل بناء صورة كاملة لما يحدث ، يجب تحديد منطق "التفريع" الشرطي في كل مرحلة من مراحل تفكيرنا كما لو كنا نعمل مع موقف "ملموس" ، وليس مع الاحتمالات.

مهام الاختبار الذاتي

1. يجب ألا تكون هناك دائرة كهربائية تتكون من عناصر متصلة بالسلسلة n ، يعمل كل منها بشكل مستقل عن العناصر الأخرى.

يُعرف احتمال p لعدم فشل كل عنصر. حدد احتمال التشغيل السليم لقسم الدائرة بأكمله (الحدث أ).

2. يعرف الطالب 20 سؤالاً من أصل 25 سؤالاً في الامتحان. أوجد احتمال معرفة الطالب بالأسئلة الثلاثة التي طرحها عليه الممتحن.

3. يتكون الإنتاج من أربع مراحل متتالية ، كل منها تعمل بمعدات تكون احتمالات فشلها خلال الشهر التالي ، على التوالي ، p 1 و p 2 و p 3 و p 4. أوجد احتمال عدم توقف الإنتاج خلال شهر بسبب تعطل المعدات.

قد يكون من الصعب حساب الحالات التي تفضل حدثًا معينًا بشكل مباشر. لذلك ، لتحديد احتمالية حدث ما ، من المفيد تمثيل حدث معين كمجموعة من بعض الأحداث الأخرى الأبسط. ومع ذلك ، في هذه الحالة ، يجب على المرء أن يعرف القواعد التي تتبعها الاحتمالات عند حدوث مجموعة من الأحداث. تشير النظريات المذكورة في عنوان الفقرة إلى هذه القواعد.

يتعلق أولهما بحساب احتمال وقوع حدث واحد على الأقل من عدة أحداث.

نظرية الجمع.

لنفترض أن A و B حدثان غير متوافقين. ثم يكون احتمال وقوع حدث واحد على الأقل من هذين الحدثين مساويًا لمجموع احتمالاتهما:

دليل - إثبات. لنكن مجموعة كاملة من الأحداث غير المتوافقة الزوجية. إذا كان هناك من بين هذه الأحداث الأولية أحداثًا مواتية تمامًا لـ A ، وأحداث مواتية تمامًا لـ B. نظرًا لأن الحدثين A و B غير متوافقين ، فلا يمكن لأي حدث أن يفضل كلا الحدثين. من الواضح أن الحدث (أ أو ب) ، الذي يتألف من حقيقة أن حدثًا واحدًا على الأقل من هذين الحدثين ، يتم تفضيله بشكل واضح من قبل كل من الأحداث المواتية لـ A ، وكل حدث من الأحداث

مواتية ب. لذلك ، فإن العدد الإجمالي للأحداث المواتية للحدث (أ أو ب) يساوي المجموع الذي يليه:

Q.E.D.

من السهل أن نرى أن نظرية الإضافة التي تمت صياغتها أعلاه في حالة حدثين يمكن نقلها بسهولة إلى حالة أي عدد محدد منهما. وبالتحديد ، إذا كانت الأحداث غير المتوافقة الزوجية ، إذن

في حالة ثلاثة أحداث ، على سبيل المثال ، يمكن للمرء أن يكتب

إحدى النتائج المهمة لنظرية الإضافة هي العبارة: إذا كانت الأحداث غير متوافقة مع الزوجين وممكنة بشكل فريد ، إذن

في الواقع ، يكون الحدث مؤكدًا أو أو مؤكدًا واحتماله ، كما هو موضح في الفقرة 1 ، يساوي واحدًا. على وجه الخصوص ، إذا كان هناك حدثان متعاكسان يعنيان ، إذن

دعونا نوضح نظرية الإضافة بالأمثلة.

مثال 1. عند التسديد على هدف ، يكون احتمال تسديد لقطة ممتازة 0.3 ، واحتمال تسديد تسديدة جيدة هو 0.4. ما هو احتمال الحصول على الأقل على "جيد" في اللقطة؟

المحلول. إذا كان الحدث (أ) يعني الحصول على درجة ممتازة ، والحدث (ب) يعني الحصول على درجة جيدة ، إذن

مثال 2. جرة تحتوي على كرات بيضاء وحمراء وسوداء تحتوي على كرات بيضاء وكرة حمراء. ما هو احتمال رسم كرة غير سوداء؟

المحلول. إذا كان الحدث A هو ظهور كرة بيضاء ، والحدث B عبارة عن كرة حمراء ، فإن مظهر الكرة ليس أسودًا

يعني ظهور كرة بيضاء أو حمراء. منذ من خلال تعريف الاحتمال

ثم ، من خلال نظرية الجمع ، فإن احتمال ظهور كرة غير سوداء يساوي ؛

يمكن حل هذه المشكلة بهذه الطريقة. دع الحدث C يتكون في شكل كرة سوداء. عدد الكرات السوداء يساوي بحيث يكون P (C) مظهر الكرة غير السوداء هو الحدث المعاكس C ، لذلك ، بناءً على النتيجة الطبيعية المذكورة أعلاه من نظرية الإضافة ، لدينا:

كما كان من قبل.

مثال 3. في يانصيب النقود والملابس ، لسلسلة من 1000 تذكرة ، هناك 120 ربحًا نقديًا و 80 ربحًا للملابس. ما هو احتمال فوز أي تذكرة يانصيب؟

المحلول. إذا حددنا من خلال A حدثًا يتكون من خسارة مكسب نقدي ومن خلال B - حدث لباس ، ثم من تعريف الاحتمال يتبعه

الحدث الذي يهمنا هو (أ أو ب) ، لذلك تشير نظرية الإضافة

وبالتالي ، فإن احتمال أي فوز هو 0.2.

قبل الانتقال إلى النظرية التالية ، من الضروري أن تتعرف على مفهوم جديد مهم - مفهوم الاحتمال الشرطي. لهذا الغرض ، سنبدأ بإلقاء نظرة على المثال التالي.

لنفترض وجود 400 مصباح كهربائي في المستودع ، تم تصنيعها في مصنعين مختلفين ، الأول ينتج 75٪ من إجمالي المصابيح ، والثاني - 25٪. لنفترض أنه من بين المصابيح التي تم تصنيعها من قبل المصنع الأول ، فإن 83٪ تستوفي شروط معيار معين ، وبالنسبة لمنتجات المصنع الثاني ، هذه النسبة هي 63. لنحدد احتمال أن يلبي المصباح الكهربائي المأخوذ عشوائيًا من المستودع المتطلبات شروط المعيار.

لاحظ أن العدد الإجمالي للمصابيح القياسية المتاحة يتكون من المصابيح المصنوعة أولاً.

المصنع ، و 63 مصباحًا من المصنع الثاني ، أي ما يعادل 312. نظرًا لأن اختيار أي لمبة يجب اعتباره ممكنًا بشكل متساوٍ ، فلدينا 312 حالة مواتية من أصل 400 ، لذلك

حيث يكون الحدث B هو أن المصباح الذي اخترناه قياسي.

في هذا الحساب ، لم يتم عمل افتراضات حول إنتاج المصباح الذي اخترناه. إذا تم وضع أي افتراضات من هذا النوع ، فمن الواضح أن احتمال اهتمامنا قد يتغير. لذلك ، على سبيل المثال ، إذا كان معروفًا أن المصباح المختار قد تم تصنيعه في المصنع الأول (الحدث أ) ، فلن يكون احتمال كونه قياسيًا 0.78 ، بل 0.83.

هذا النوع من الاحتمال ، أي احتمال وقوع حدث ب ، بشرط أن يقع الحدث أ ، يسمى الاحتمال الشرطي للحدث ب ، بشرط أن يقع الحدث أ ويشير إليه

إذا قمنا ، في المثال السابق ، بالإشارة إلى الحدث الذي يشير إلى أن المصباح المحدد مصنوع في المصنع الأول ، فيمكننا كتابة

يمكننا الآن صياغة نظرية مهمة تتعلق بحساب احتمالية وقوع الأحداث.

نظرية الضرب.

إن احتمال الجمع بين الحدثين A و B يساوي ناتج احتمالية أحد الأحداث بواسطة الاحتمال الشرطي للآخر ، بافتراض أن الأول قد حدث:

في هذه الحالة ، يُفهم الجمع بين الأحداث A و B على أنه حدوث كل منهما ، أي وقوع الحدثين A والأحداث B.

دليل - إثبات. ضع في اعتبارك مجموعة كاملة من الأحداث غير المتوافقة الزوجية الممكنة بشكل متساوٍ ، يمكن أن يكون كل منها مناسبًا أو غير مواتٍ لكل من الحدث أ والحدث ب.

دعونا نقسم كل هذه الأحداث إلى أربع مجموعات مختلفة على النحو التالي. تتضمن المجموعة الأولى الأحداث التي تفضل الحدث "أ" والحدث "ب" ؛ تتضمن المجموعتان الثانية والثالثة مثل هذه الأحداث التي تفضل أحد الحدثين اللذين يهمناهما ولا تحابي الآخر ، على سبيل المثال ، المجموعة الثانية - أولئك الذين يفضلون "أ" ولكن لا يفضلون "ب" ، والمجموعة الثالثة - تلك التي لصالح B ، لكن لا تحبذ BUT ؛ في النهاية

المجموعة الرابعة تشمل الأحداث التي لا تحبذ أ أو ب.

نظرًا لأن ترقيم الأحداث لا يلعب دورًا ، يمكننا أن نفترض أن هذا التقسيم إلى أربع مجموعات يبدو كما يلي:

أنا مجموعة:

المجموعة الثانية:

المجموعة الثالثة:

المجموعة الرابعة:

وهكذا ، من بين الأحداث المتساوية الممكنة وغير المتوافقة مع الزوج ، هناك أحداث تفضل كلاً من الحدث A والحدث B ، والأحداث التي تفضل الحدث A ، ولكنها لا تفضل الحدث ، والأحداث التي تفضل B ، ولكنها لا تفضل A ، وأخيرًا ، الأحداث التي لا تحبذ لا A ولا B.

لاحظ ، بالمناسبة ، أن أيًا من المجموعات الأربع التي درسناها (وحتى أكثر من واحدة) قد لا تحتوي على حدث واحد. في هذه الحالة ، سيكون الرقم المقابل ، الذي يشير إلى عدد الأحداث في مثل هذه المجموعة ، مساويًا للصفر.

التقسيم إلى المجموعات الذي قمنا به يسمح لنا بالكتابة على الفور

لمزيج من الأحداث A و B مفضل من قبل أحداث المجموعة الأولى وفقط من قبلهم. إجمالي عدد الأحداث المواتية لـ A يساوي إجمالي عدد الأحداث في المجموعتين الأولى والثانية ، والمفضل لـ B يساوي إجمالي عدد الأحداث في المجموعتين الأولى والثالثة.

نحسب الآن الاحتمال ، أي احتمال الحدث B ، بشرط وقوع الحدث A. الآن تختفي الأحداث المدرجة في المجموعتين الثالثة والرابعة ، حيث أن ظهورها يتعارض مع وقوع الحدث A ، ولم يعد عدد الحالات المحتملة مساويًا لها. من بين هؤلاء ، يتم تفضيل الحدث B فقط من خلال أحداث المجموعة الأولى ، لذلك نحصل على:

لإثبات النظرية ، يكفي الآن كتابة الهوية الواضحة:

واستبدل جميع الكسور الثلاثة بالاحتمالات المحسوبة أعلاه. نصل إلى المساواة المنصوص عليها في النظرية:

من الواضح أن الهوية التي كتبناها أعلاه تكون منطقية فقط إذا كان A صحيحًا دائمًا ، ما لم يكن A حدثًا مستحيلًا.

نظرًا لأن الحدثين A و B متساويان ، فإننا من خلال تبديلهما نحصل على شكل آخر من نظرية الضرب:

ومع ذلك ، يمكن الحصول على هذه المساواة بنفس الطريقة السابقة ، إذا لاحظنا ذلك باستخدام الهوية

بمقارنة الجانبين الأيمن من تعبيرين للاحتمال P (A و B) ، نحصل على مساواة مفيدة:

دعونا الآن ننظر في أمثلة توضح نظرية الضرب.

مثال 4. في منتجات بعض المؤسسات ، يتم التعرف على 96٪ من المنتجات على أنها مناسبة (الحدث أ). الصف الأول (الحدث ب) مملوك لـ 75 عنصرًا من كل مائة عنصر مناسب. حدد احتمال أن يكون المنتج المأخوذ بشكل تعسفي مناسبًا وينتمي إلى الصف الأول.

المحلول. الاحتمال المطلوب هو احتمال الجمع بين الحدثين A و B. وفقًا للشرط ، لدينا:. إذن ، تعطي نظرية الضرب

مثال 5. احتمال إصابة الهدف برصاصة واحدة (الحدث أ) هو 0.2. ما هو احتمال إصابة الهدف إذا فشلت 2٪ من الصمامات (أي في 2٪ من الحالات لا تفشل اللقطة

المحلول. دع الحدث B هو أن اللقطة ستحدث ، و B يكون الحدث المعاكس. ثم من خلال الافتراض ووفقًا للنتيجة الطبيعية لنظرية الإضافة. علاوة على ذلك ، حسب الحالة

يعني ضرب الهدف الجمع بين الحدثين A و B (ستحدث اللقطة وتعطي ضربة) ، وبالتالي ، وفقًا لنظرية الضرب

يمكن الحصول على حالة خاصة مهمة لنظرية الضرب باستخدام مفهوم استقلالية الأحداث.

يقال إن حدثين مستقلين إذا لم يتغير احتمال أحدهما نتيجة حدوث الآخر أم لا.

أمثلة على الأحداث المستقلة هي فقدان عدد مختلف من النقاط عند إلقاء النرد مرة أخرى أو جانب واحد أو آخر من العملات المعدنية عند رمي العملة مرة أخرى ، حيث أنه من الواضح أن احتمال سقوط شعار النبالة على الرمية الثانية متساوية بغض النظر عما إذا كان شعار النبالة قد سقط أو لم يسقط في الأول.

وبالمثل ، فإن احتمال سحب كرة بيضاء مرة ثانية من جرة بها كرات بيضاء وسوداء ، إذا تم إرجاع الكرة الأولى المسحوبة أولاً ، لا يعتمد على ما إذا كانت الكرة البيضاء أو السوداء قد سحبت في المرة الأولى. لذلك ، فإن نتائج السحب الأول والثاني مستقلة عن بعضها البعض. على العكس من ذلك ، إذا لم تعود الكرة المسحوبة أولاً إلى الجرة ، فإن نتيجة الإزالة الثانية تعتمد على الأولى ، لأن تكوين الكرات في الجرة بعد الإزالة الأولى يتغير اعتمادًا على نتيجتها. هنا لدينا مثال للأحداث التابعة.

باستخدام الترميز المعتمد للاحتمالات الشرطية ، يمكننا كتابة الشرط لاستقلال الحدثين A و B في النموذج

باستخدام هذه المساواة ، يمكننا إحضار نظرية الضرب للأحداث المستقلة إلى الشكل التالي.

إذا كان الحدثان A و B مستقلين ، فإن احتمال الجمع بينهما يساوي حاصل ضرب احتمالات هذه الأحداث:

بل يكفي أن نضع في التعبير الأصلي عن نظرية الضرب التي تنبع من استقلالية الأحداث ، ونحصل على المساواة المطلوبة.

دعونا الآن نفكر في العديد من الأحداث: سوف نسميها مستقلة في المجموع إذا كان احتمال حدوث أي منها لا يعتمد على ما إذا كانت هناك أي أحداث أخرى معنية قد حدثت أم لا

في حالة الأحداث المستقلة في المجموع ، يمكن توسيع نظرية الضرب إلى أي عدد محدد منها ، والتي يمكن من خلالها صياغتها على النحو التالي:

إن احتمال دمج الأحداث المستقلة في المجموع يساوي ناتج احتمالات هذه الأحداث:

مثال 6. عامل يحتفظ بثلاث آلات أوتوماتيكية ، يجب الاتصال بكل منها لاستكشاف الأخطاء وإصلاحها إذا توقفت الآلة. احتمال ألا تتوقف الآلة الأولى خلال ساعة هو 0.9. نفس الاحتمال للجهاز الثاني هو 0.8 وللثالث - 0.7. حدد احتمال ألا يحتاج العامل خلال ساعة إلى الذهاب إلى أي من الآلات التي يخدمها.

مثال 7. احتمال إسقاط طائرة بطلقة من بندقية ما هو احتمال تدمير طائرة معادية إذا تم إطلاق 250 بندقية في وقت واحد؟

المحلول. إن احتمال عدم إسقاط الطائرة برصاصة واحدة ، وفقًا لنظرية الإضافة ، هو بعد ذلك ، باستخدام نظرية الضرب ، يمكن حساب احتمال عدم إسقاط الطائرة بـ 250 لقطة مثل احتمال الجمع الأحداث. إنها تساوي بعد ذلك ، يمكننا استخدام نظرية الجمع مرة أخرى وإيجاد احتمالية إسقاط المستوى كاحتمال للحدث المعاكس

يوضح هذا أنه على الرغم من أن احتمال إسقاط طائرة بطلقة بندقية واحدة ضئيل للغاية ، ومع ذلك ، عند إطلاق النار من 250 بندقية ، فإن احتمال إسقاط طائرة ما هو بالفعل ملموس للغاية. يزداد بشكل كبير إذا زاد عدد البنادق. لذلك ، عند إطلاق النار من 500 بندقية ، فإن احتمال إسقاط طائرة ، كما يسهل حسابه ، يساوي عند إطلاق النار من 1000 بندقية - حتى.

تسمح لنا نظرية الضرب التي تم إثباتها أعلاه بتوسيع نظرية الإضافة إلى حد ما من خلال توسيعها لتشمل حالة الأحداث المتوافقة. من الواضح أنه إذا كان الحدثان A و B متوافقين ، فإن احتمال حدوث أحدهما على الأقل لا يساوي مجموع احتمالاتهما. على سبيل المثال ، إذا كان الحدث A يعني رقمًا زوجيًا

عدد النقاط عند رمي النرد ، والحدث B هو خسارة عدد من النقاط يكون مضاعفًا لثلاث ، ثم يتم تفضيل الحدث (A أو B) بخسارة 2 و 3 و 4 و 6 نقاط ، هذا هو

من ناحية أخرى ، هذا هو. لذلك في هذه الحالة

يوضح هذا أنه في حالة الأحداث المتوافقة ، يجب تغيير نظرية إضافة الاحتمال. كما سنرى الآن ، يمكن صياغته بطريقة تجعله صالحًا لكل من الأحداث المتوافقة وغير المتوافقة ، بحيث يتبين أن نظرية الإضافة التي تم النظر فيها سابقًا هي حالة خاصة للحالة الجديدة.

الأحداث التي لا تحبذ A.

يجب أن تفضل جميع الأحداث الأولية التي تفضل حدثًا (أ أو ب) إما فقط أ ، أو ب فقط ، أو كلاهما أ و ب. وبالتالي ، فإن العدد الإجمالي لمثل هذه الأحداث يساوي

والاحتمال

Q.E.D.

بتطبيق الصيغة (9) على المثال أعلاه لفقدان عدد النقاط عند رمي النرد ، نحصل على:

والتي تتزامن مع نتيجة الحساب المباشر.

من الواضح أن الصيغة (1) هي حالة خاصة لـ (9). في الواقع ، إذا كان الحدثان A و B غير متوافقين ، فإن احتمال المصادفة

مثال. يتم توصيل اثنين من الصمامات في سلسلة في دائرة كهربائية. احتمال فشل المصهر الأول هو 0.6 ، والثاني هو 0.2. دعونا نحدد احتمال انقطاع التيار الكهربائي نتيجة لفشل واحد على الأقل من هذه الصمامات.

المحلول. نظرًا لأن الأحداث A و B ، التي تتكون من فشل المصهر الأول والثاني ، متوافقة ، يتم تحديد الاحتمال المطلوب بواسطة الصيغة (9):

تمارين

الموضوع: 15. النظريات الأساسية للنظرية

الاحتمالات وتداعياتها

1. نظرية إضافة احتمالات الأحداث المشتركة.

2. نظرية مضاعفة احتمالات الأحداث المستقلة.

3. الاحتمال الشرطي لحدث. نظرية مضاعفة احتمالات الأحداث التابعة.

4. نظرية إضافة احتمالات الأحداث المشتركة.

5. صيغة الاحتمال الكلي ، صيغة بايز.

6. تكرار الاختبارات.

1. نظرية إضافة احتمالات الأحداث المشتركة.

مجموعمن عدة أحداث تسمى حدثًا يتكون من وقوع واحد على الأقل من هذه الأحداث.

إذا كان الحدثان A و B مشتركين ، فإن مجموعهما A + B يشير إلى حدوث أي من الحدث A أو B أو كلا الحدثين معًا. إذا كان A و B حدثين غير متوافقين ، فإن مجموعهما A + B يعني حدوث أي من الحدث A أو B.

الشغليُطلق على الحدثين A و B اسم الحدث AB ، والذي يتكون من حدوث مشترك لهذه الأحداث.

النظرية: احتمال وقوع حدث من حدثين غير متوافقين ، بغض النظر عن أي منهما ، يساوي مجموع احتمالات هذه الأحداث

الفوسفور (أ + ب) \ u003d ف (أ) + ف (ب).

عاقبة: مجموع احتمالات الأحداث غير المتوافقة А 1 ، ... ، А ، تشكل مجموعة كاملة ، يساوي واحدًا:

P (A 1) + P (A 2) + ... + P (A n) \ u003d 1

2. نظرية ضرب الاحتمالات للمستقل

الأحداث .

يتم استدعاء الحدثين لا يعتمدإذا كان احتمال حدوث أحدهما لا يعتمد على وقوع الحدث الآخر أو عدم حدوثه.

تسمى العديد من الأحداث المستقلة بشكل متبادل (أو مستقلة بشكل متبادل) إذا كان كل منها وأي مجموعة مكونة من بقية الأحداث (جزء أو كل) أحداث مستقلة.

إذا كانت الأحداث А 1 ، А 2 ، ... ، А n مستقلة عن بعضها البعض ، فإن أحداثها المعاكسة تكون أيضًا مستقلة بشكل متبادل.

نظرية: احتمال إنتاج عدة أحداث مستقلة عن بعضها البعض يساوي ناتج احتمالات هذه الأحداث .

ص (أ 1 لكن 2 ،...لكن ن ) = ف (أ 1 )  ص (أ 2 )  ...  ص (أ ن )

لحدثين P (AB) = P (A)  P (B)

مهمة. يعمل تاجران بشكل مستقل عن بعضهما البعض. احتمال تخطي التاجر الأول للمنتج المعيب هو 0.1 ؛ الثانية 0.2. ما هو احتمال ألا يفوت التجار الزواج عند عرض المنتج.

المحلول: الحدث أ - التاجر فاتني الزواج ، الحدث ب - التاجر الثاني غاب عن الزواج.

حيث الحدث أ - الزواج لن يفوتني التاجر ،

الحدث ب - الزواج لن يغيب التاجر الثاني.

نظرًا لأن كلاهما يعمل بشكل مستقل عن الآخر ، فإن A و B هما حدثان مستقلان.

3. الاحتمال الشرطي لحدث. نظرية مضاعفة احتمالات الأحداث التابعة.

يسمى الحدث ب يعتمدمن الحدث أ ، إذا أدى وقوع الحدث أ إلى تغيير احتمال حدوث الحدث ب.

يتم استدعاء احتمالية الحدث B ، الموجود في حالة وقوع الحدث A احتمال مشروطالحدث B ويتم الإشارة إليه بواسطة P A (B).

نظرية : إن احتمال حدوث مشترك لحدثين تابعين A و B يساوي ناتج احتمال أحدهما من خلال الاحتمال الشرطي للآخر ، الموجود في ظل افتراض أن الحدث الأول قد حدث بالفعل ، أي

P (AB) = P (A) ر لكن (B) أو P (AB) \ u003d P (B) P. في (لكن)

يمكن تمديد نظرية مضاعفة الاحتمالات إلى أي عدد م من الأحداث التابعة - 1 - 2 ... - م.

ص (أ 1 لكن 2 ..لكن م ) = ف (أ 1 ) 

ويحسب احتمال وقوع الحدث التالي على افتراض أن جميع الأحداث السابقة قد حدثت.

مهمة.تحتوي العلبة على 2 أقلام بيضاء و 3 أقلام زرقاء. يتم إخراج قلمين من الصندوق على التوالي. أوجد احتمال أن يكون كلا القلمين أبيض.

الحل: الحدث أ - كلا القلمين أبيض ، الحدث ب - ظهور أول قلم أبيض ، الحدث ج - ظهور القلم الأبيض الثاني.

ثم أ = ب من.

بما أن القلم الأول لا يُعاد إلى الصندوق ، أي. تغير تكوين الصندوق ، ثم يتوقف الحدثان B و C.

P (B) \ u003d 2/5 ؛ نجد احتمال وقوع الحدث C على افتراض أن B قد حدث بالفعل ، أي P B (C) \ u003d ¼.

الاحتمال المطلوب