حل تافه للنظام. طريقة جاوس لحل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية ذات الشكل العام

حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية (SLAE) هو بلا شك أهم موضوع في مقرر الجبر الخطي. يتم تقليل عدد كبير من المسائل من جميع فروع الرياضيات إلى حل أنظمة المعادلات الخطية. توضح هذه العوامل سبب إنشاء هذه المقالة. يتم تحديد مادة المقالة وتنظيمها بحيث يمكنك مساعدتها

• اختر الطريقة المثلى لحل نظام المعادلات الجبرية الخطية ،
• دراسة نظرية الطريقة المختارة ،
• حل نظام المعادلات الخطية ، بعد النظر بالتفصيل في حلول الأمثلة والمشكلات النموذجية.

وصف موجز لمادة المقال.

أولاً ، نقدم جميع التعريفات والمفاهيم الضرورية ونقدم بعض الرموز.

بعد ذلك ، نأخذ في الاعتبار طرق حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية التي يكون فيها عدد المعادلات مساويًا لعدد المتغيرات غير المعروفة والتي لها حل فريد. أولاً ، دعنا نركز على طريقة كرامر ، وثانيًا ، سنعرض طريقة المصفوفة لحل مثل هذه الأنظمة من المعادلات ، وثالثًا ، سنحلل طريقة غاوس (طريقة الحذف المتتالي للمتغيرات غير المعروفة). لتوحيد النظرية ، سنقوم بالتأكيد بحل العديد من SLAEs بطرق مختلفة.

بعد ذلك ننتقل إلى حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية ذات الشكل العام ، حيث لا يتطابق عدد المعادلات مع عدد المتغيرات غير المعروفة أو تتدهور المصفوفة الرئيسية للنظام. نقوم بصياغة نظرية Kronecker-Capelli ، والتي تسمح لنا بإثبات توافق SLAEs. دعونا نحلل حل الأنظمة (في حالة توافقها) باستخدام مفهوم الأساس الثانوي للمصفوفة. سننظر أيضًا في طريقة Gauss وسنصف بالتفصيل حلول الأمثلة.

تأكد من التركيز على بنية الحل العام للأنظمة المتجانسة وغير المتجانسة للمعادلات الجبرية الخطية. دعونا نعطي مفهوم النظام الأساسي للحلول ونبين كيف تتم كتابة الحل العام لـ SLAE باستخدام متجهات النظام الأساسي للحلول. لفهم أفضل ، دعنا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

في الختام ، نحن نأخذ في الاعتبار أنظمة المعادلات التي يتم اختصارها إلى المعادلات الخطية ، وكذلك المشكلات المختلفة ، التي تنشأ في حل SLAEs.

التنقل في الصفحة.

التعاريف والمفاهيم والتسميات.

سننظر في أنظمة المعادلات الجبرية الخطية مع n متغيرات غير معروفة (قد تكون p مساوية لـ n) من النموذج

متغيرات غير معروفة ، - معاملات (بعض الأرقام الحقيقية أو المركبة) ، - الأعضاء الحرة (أيضًا أرقام حقيقية أو معقدة).

يسمى هذا الشكل من SLAE تنسيق.

في شكل المصفوفةنظام المعادلات هذا له الشكل ،
أين - المصفوفة الرئيسية للنظام ، - عمود المصفوفة للمتغيرات غير المعروفة ، - عمود المصفوفة للأعضاء الأحرار.

إذا أضفنا إلى المصفوفة A باعتباره العمود (n + 1) عمود المصفوفة للمصطلحات الحرة ، فإننا نحصل على ما يسمى مصفوفة موسعةأنظمة المعادلات الخطية. عادة ، يتم الإشارة إلى المصفوفة المعززة بالحرف T ، ويتم فصل عمود الأعضاء الأحرار بخط رأسي عن بقية الأعمدة ، أي ،

بحل نظام المعادلات الجبرية الخطيةتسمى مجموعة من قيم المتغيرات غير المعروفة ، والتي تحول كل معادلات النظام إلى هويات. تتحول أيضًا معادلة المصفوفة للقيم المعطاة للمتغيرات غير المعروفة إلى هوية.

إذا كان نظام المعادلات يحتوي على حل واحد على الأقل ، فسيتم استدعاؤه مشترك.

إذا لم يكن لنظام المعادلات أي حلول ، فسيتم استدعاؤه غير متوافق.

إذا كان SLAE لديه حل فريد ، فسيتم استدعاؤه تأكيد؛ إذا كان هناك أكثر من حل ، إذن - غير مؤكد.

إذا كانت الشروط المجانية لجميع معادلات النظام تساوي صفرًا ، ثم يسمى النظام متجانس، خلاف ذلك - غير متجانسة.

حل الأنظمة الأولية للمعادلات الجبرية الخطية.

إذا كان عدد معادلات النظام يساوي عدد المتغيرات غير المعروفة وكان محدد المصفوفة الرئيسية لا يساوي الصفر ، فسنسمي هذه SLAEs ابتدائي. أنظمة المعادلات هذه لها حل فريد ، وفي حالة النظام المتجانس ، فإن جميع المتغيرات غير المعروفة تساوي الصفر.

بدأنا في دراسة SLAE في المدرسة الثانوية. عند حلها ، أخذنا معادلة واحدة ، وعبرنا عن متغير واحد غير معروف من حيث المتغيرات الأخرى واستبدلناها في المعادلات المتبقية ، ثم أخذنا المعادلة التالية ، وعبّرنا عن المتغير المجهول التالي واستبدلناه في معادلات أخرى ، وهكذا. أو استخدموا طريقة الجمع ، أي أضافوا معادلتين أو أكثر للتخلص من بعض المتغيرات غير المعروفة. لن نتطرق إلى هذه الأساليب بالتفصيل ، لأنها تعديلات أساسية لطريقة غاوس.

الطرق الرئيسية لحل الأنظمة الأولية للمعادلات الخطية هي طريقة كرامر وطريقة المصفوفة وطريقة غاوس. دعونا نفرزها.

حل أنظمة المعادلات الخطية بطريقة كرامر.

دعونا نحل نظام المعادلات الجبرية الخطية

حيث يكون عدد المعادلات مساويًا لعدد المتغيرات غير المعروفة ويكون محدد المصفوفة الرئيسية للنظام مختلفًا عن الصفر ، أي.

اسمحوا أن يكون محددا للمصفوفة الرئيسية للنظام ، و هي محددات المصفوفات التي تم الحصول عليها من A عن طريق الاستبدال 1 ، 2 ، ... ، نالعمود على التوالي إلى عمود الأعضاء الأحرار:

باستخدام هذا الترميز ، يتم حساب المتغيرات غير المعروفة بواسطة صيغ طريقة كرامر كـ . هذه هي الطريقة التي يتم بها إيجاد حل نظام المعادلات الجبرية الخطية بطريقة كرامر.

مثال.

طريقة كرامر .

المحلول.

المصفوفة الرئيسية للنظام لها الشكل . احسب محددها (إذا لزم الأمر ، راجع المقالة):

نظرًا لأن محدد المصفوفة الرئيسية للنظام غير صفري ، فإن النظام لديه حل فريد يمكن العثور عليه بواسطة طريقة كرامر.

يؤلف ويحسب المحددات الضرورية (يتم الحصول على المحدد عن طريق استبدال العمود الأول في المصفوفة A بعمود من الأعضاء الأحرار ، المحدد - عن طريق استبدال العمود الثاني بعمود من الأعضاء الأحرار - عن طريق استبدال العمود الثالث من المصفوفة A بعمود من الأعضاء الأحرار ):

البحث عن متغيرات غير معروفة باستخدام الصيغ :

إجابه:

العيب الرئيسي لطريقة كرامر (إذا كان من الممكن تسميتها عيبًا) هو تعقيد حساب المحددات عندما يكون عدد معادلات النظام أكثر من ثلاثة.

حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية بطريقة المصفوفة (باستخدام معكوس المصفوفة).

دع نظام المعادلات الجبرية الخطية يُعطى في شكل مصفوفة ، حيث يكون للمصفوفة A بعد n × n ومحددها غير صفري.

بما أن المصفوفة A قابلة للعكس ، أي أن هناك مصفوفة معكوسة. إذا ضربنا كلا جزأي المساواة في جهة اليسار ، فسنحصل على صيغة لإيجاد مصفوفة العمود لمتغيرات غير معروفة. إذن ، حصلنا على حل نظام المعادلات الجبرية الخطية بطريقة المصفوفة.

مثال.

حل نظام المعادلات الخطية طريقة المصفوفة.

المحلول.

دعنا نعيد كتابة نظام المعادلات في شكل مصفوفة:

لان

ثم يمكن حل SLAE بطريقة المصفوفة. باستخدام معكوس المصفوفة ، يمكن إيجاد حل هذا النظام بالصيغة .

لنقم ببناء مصفوفة معكوسة باستخدام مصفوفة مكملة جبرية لعناصر المصفوفة أ (إذا لزم الأمر ، راجع المقالة):

يبقى حساب - مصفوفة متغيرات غير معروفة بضرب معكوس المصفوفة في عمود المصفوفة للأعضاء الأحرار (إذا لزم الأمر ، راجع المقالة):

إجابه:

أو في طريقة أخرى x 1 = 4 ، x 2 = 0 ، x 3 = -1.

المشكلة الرئيسية في إيجاد حلول لأنظمة المعادلات الجبرية الخطية بطريقة المصفوفة هي تعقيد إيجاد المصفوفة العكسية ، خاصةً للمصفوفات المربعة ذات الترتيب الأعلى من الثالثة.

حل أنظمة المعادلات الخطية بطريقة جاوس.

لنفترض أننا بحاجة إلى إيجاد حل لنظام من المعادلات الخطية n ذات المتغيرات غير المعروفة n
محدد المصفوفة الرئيسية يختلف عن الصفر.

جوهر طريقة غاوسيتكون من الاستبعاد المتتالي للمتغيرات غير المعروفة: أولاً ، يتم استبعاد x 1 من جميع معادلات النظام ، بدءًا من الثانية ، ثم يتم استبعاد x 2 من جميع المعادلات ، بدءًا من الثالث ، وهكذا ، حتى المتغير المجهول فقط تبقى x n في المعادلة الأخيرة. تسمى هذه العملية لتحويل معادلات النظام للحذف المتتالي للمتغيرات غير المعروفة طريقة جاوس المباشرة. بعد الانتهاء من التشغيل الأمامي لطريقة Gaussian ، يتم العثور على x n من المعادلة الأخيرة ، ويتم حساب x n-1 من المعادلة قبل الأخيرة باستخدام هذه القيمة ، وهكذا ، تم العثور على x 1 من المعادلة الأولى. تسمى عملية حساب المتغيرات غير المعروفة عند الانتقال من المعادلة الأخيرة للنظام إلى الأولى طريقة غاوس العكسي.

دعونا نصف بإيجاز الخوارزمية للتخلص من المتغيرات غير المعروفة.

سنفترض ذلك ، حيث يمكننا دائمًا تحقيق ذلك من خلال إعادة ترتيب معادلات النظام. نستبعد المتغير المجهول x 1 من جميع معادلات النظام ، بدءًا من المتغير الثاني. للقيام بذلك ، أضف المعادلة الأولى مضروبة في المعادلة الثانية للنظام ، وأضف المعادلة الأولى مضروبة في المعادلة الثالثة ، وهكذا ، أضف أول مضروب في المعادلة رقم n. نظام المعادلات بعد هذه التحولات سيأخذ الشكل

اين ا .

سنصل إلى نفس النتيجة إذا عبرنا عن x 1 من حيث المتغيرات الأخرى غير المعروفة في المعادلة الأولى للنظام واستبدلنا التعبير الناتج في جميع المعادلات الأخرى. وبالتالي ، يتم استبعاد المتغير x 1 من جميع المعادلات ، بدءًا من الثانية.

بعد ذلك ، نتصرف بشكل مشابه ، ولكن فقط مع جزء من النظام الناتج ، والذي تم تمييزه في الشكل

للقيام بذلك ، أضف الثاني مضروبًا في المعادلة الثالثة للنظام ، وأضف الثاني مضروبًا في المعادلة الرابعة ، وهكذا ، أضف الثاني مضروبًا في المعادلة رقم n. نظام المعادلات بعد هذه التحولات سيأخذ الشكل

اين ا . وبالتالي ، يتم استبعاد المتغير x 2 من جميع المعادلات ، بدءًا من المتغير الثالث.

بعد ذلك ، ننتقل إلى إزالة المجهول x 3 ، بينما نتصرف بالمثل مع جزء النظام المميز في الشكل

لذلك نواصل المسار المباشر لطريقة غاوس حتى يأخذ النظام الشكل

من هذه اللحظة ، نبدأ المسار العكسي لطريقة غاوس: نحسب x n من المعادلة الأخيرة ، باستخدام القيمة التي تم الحصول عليها x n نجد x n-1 من المعادلة قبل الأخيرة ، وهكذا ، نجد x 1 من الأولى معادلة.

مثال.

حل نظام المعادلات الخطية طريقة جاوس.

المحلول.

دعنا نستبعد المتغير المجهول x 1 من المعادلتين الثانية والثالثة للنظام. للقيام بذلك ، إلى كلا الجزأين من المعادلتين الثانية والثالثة ، نضيف الأجزاء المقابلة من المعادلة الأولى ، مضروبة في وفي ، على التوالي:

الآن نستبعد x 2 من المعادلة الثالثة بإضافة الجزأين الأيسر والأيمن من المعادلة الثانية ، مضروبًا في:

في هذا ، اكتمل المسار الأمامي لطريقة غاوس ، نبدأ المسار العكسي.

من المعادلة الأخيرة لنظام المعادلات الناتج ، نجد x 3:

من المعادلة الثانية نحصل عليها.

من المعادلة الأولى نجد المتغير المجهول المتبقي وهذا يكمل المسار العكسي لطريقة غاوس.

إجابه:

X 1 \ u003d 4 ، × 2 \ u003d 0 ، × 3 \ u003d -1.

حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية ذات الشكل العام.

في الحالة العامة ، لا يتطابق عدد معادلات النظام p مع عدد المتغيرات غير المعروفة n:

قد لا يكون لمثل هذه SLAE حلول ، أو لديها حل واحد ، أو لديها عدد لا نهائي من الحلول. ينطبق هذا البيان أيضًا على أنظمة المعادلات التي تكون مصفوفتها الرئيسية مربعة ومنحطة.

نظرية كرونيكر كابيلي.

قبل إيجاد حل لنظام المعادلات الخطية ، من الضروري إثبات توافقه. الإجابة على السؤال عندما يكون SLAE متوافقًا ، وعندما يكون غير متوافق ، يعطي نظرية كرونيكر كابيلي:
لكي يكون نظام المعادلات p مع n مجهولة (يمكن أن تكون p مساوية لـ n) لكي يكون متسقًا ، من الضروري والكافي أن تكون رتبة المصفوفة الرئيسية للنظام مساوية لرتبة المصفوفة الممتدة ، أي الرتبة ( أ) = الرتبة (T).

دعونا ننظر في تطبيق نظرية Kronecker-Cappelli لتحديد مدى توافق نظام المعادلات الخطية كمثال.

مثال.

اكتشف ما إذا كان نظام المعادلات الخطية يحتوي على حلول.

المحلول.

. دعونا نستخدم طريقة تجاور القاصرين. الصغرى من الدرجة الثانية يختلف عن الصفر. دعنا ننتقل إلى القاصرين من الدرجة الثالثة المحيطين به:

نظرًا لأن كل الحدود الثانوية من الدرجة الثالثة تساوي صفرًا ، فإن رتبة المصفوفة الرئيسية هي اثنان.

بدوره ، رتبة المصفوفة المعززة يساوي ثلاثة ، لأن القاصر من الدرجة الثالثة

يختلف عن الصفر.

في هذا الطريق، لذلك ، وفقًا لـ Rang (A) ، وفقًا لنظرية Kronecker-Capelli ، يمكننا أن نستنتج أن النظام الأصلي للمعادلات الخطية غير متسق.

إجابه:

لا يوجد نظام حل.

لذلك ، تعلمنا إثبات عدم تناسق النظام باستخدام نظرية Kronecker-Capelli.

ولكن كيف تجد حل SLAE إذا تم إثبات توافقه؟

للقيام بذلك ، نحتاج إلى مفهوم الأساس الصغير للمصفوفة والنظرية في رتبة المصفوفة.

يسمى أعلى رتبة ثانوية في المصفوفة A ، بخلاف الصفر أساسي.

يترتب على تعريف الأساس الثانوي أن ترتيبها يساوي رتبة المصفوفة. بالنسبة للمصفوفة غير الصفرية A ، يمكن أن يكون هناك العديد من القاصرين الأساسيين ؛ هناك دائمًا قاصر أساسي واحد.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك المصفوفة .

جميع العناصر الثانوية من الرتبة الثالثة في هذه المصفوفة تساوي صفرًا ، نظرًا لأن عناصر الصف الثالث من هذه المصفوفة هي مجموع العناصر المقابلة للصفين الأول والثاني.

القاصرون التاليون من الرتبة الثانية أساسيون ، لأنهم ليسوا صفريًا

القصر ليست أساسية ، لأنها تساوي الصفر.

نظرية رتبة المصفوفة.

إذا كانت رتبة مصفوفة من الرتبة p في n هي r ، فإن جميع عناصر الصفوف (والأعمدة) في المصفوفة التي لا تشكل الأساس المختار الثانوي يتم التعبير عنها خطيًا من حيث العناصر المقابلة للصفوف (والأعمدة ) التي تشكل أساس القاصر.

ماذا تعطينا نظرية رتبة المصفوفة؟

إذا قمنا ، من خلال نظرية Kronecker-Capelli ، بتأسيس توافق النظام ، فسنختار أي ثانوي أساسي من المصفوفة الرئيسية للنظام (ترتيبها يساوي r) ، واستبعد من النظام جميع المعادلات التي لا تفعل ذلك. تشكيل القاصر الأساسي المختار. ستكون SLAE التي تم الحصول عليها بهذه الطريقة معادلة للمعادلة الأصلية ، نظرًا لأن المعادلات المهملة لا تزال زائدة عن الحاجة (وفقًا لنظرية رتبة المصفوفة ، فهي عبارة عن مجموعة خطية من المعادلات المتبقية).

نتيجة لذلك ، بعد التخلص من المعادلات المفرطة للنظام ، هناك حالتان ممكنتان.

إذا كان عدد المعادلات r في النظام الناتج مساويًا لعدد المتغيرات غير المعروفة ، فسيكون ذلك محددًا ويمكن إيجاد الحل الوحيد بطريقة Cramer أو طريقة المصفوفة أو طريقة Gauss.

مثال.

.

المحلول.

رتبة المصفوفة الرئيسية للنظام يساوي اثنين ، لأن القاصر من الدرجة الثانية يختلف عن الصفر. تمديد رتبة المصفوفة يساوي أيضًا اثنين ، لأن الصغرى الوحيدة من الرتبة الثالثة تساوي صفرًا

والصغرى من الدرجة الثانية المذكورة أعلاه تختلف عن الصفر. استنادًا إلى نظرية Kronecker-Capelli ، يمكن للمرء أن يؤكد توافق النظام الأصلي للمعادلات الخطية ، منذ الرتبة (A) = الرتبة (T) = 2.

كأساس ثانوي ، نأخذ . يتكون من معاملات المعادلتين الأولى والثانية:


لا تشارك المعادلة الثالثة للنظام في تكوين الصغرى الأساسية ، لذلك نستبعدها من النظام بناءً على نظرية رتبة المصفوفة:


وهكذا حصلنا على نظام أولي من المعادلات الجبرية الخطية. لنحلها بطريقة كرامر:


إجابه:

× 1 \ u003d 1 ، × 2 \ u003d 2.

إذا كان عدد المعادلات r في SLAE الناتج أقل من عدد المتغيرات غير المعروفة n ، فإننا نترك المصطلحات التي تشكل الأساسي الثانوي في الأجزاء اليسرى من المعادلات ، وننقل المصطلحات المتبقية إلى الأجزاء اليمنى من المعادلات للنظام مع الإشارة المعاكسة.

المتغيرات غير المعروفة (هناك r منها) المتبقية على الجانب الأيسر من المعادلات تسمى رئيسي.

يتم استدعاء المتغيرات غير المعروفة (هناك n - r) التي انتهى بها الأمر على الجانب الأيمن مجانا.

الآن نفترض أن المتغيرات المجانية غير المعروفة يمكن أن تأخذ قيمًا عشوائية ، في حين سيتم التعبير عن المتغيرات غير المعروفة الرئيسية من حيث المتغيرات غير المعروفة بطريقة فريدة. يمكن العثور على تعبيرهم عن طريق حل SLAE الناتج عن طريق طريقة Cramer أو طريقة المصفوفة أو طريقة Gauss.

لنأخذ مثالا.

مثال.

حل نظام المعادلات الجبرية الخطية .

المحلول.

ابحث عن رتبة المصفوفة الرئيسية للنظام بطريقة القاصرين المجاورة. لنأخذ 1 1 = 1 على أنه قاصر غير صفري من الدرجة الأولى. لنبدأ البحث عن قاصر غير صفري من الدرجة الثانية يحيط بهذا القاصر:


إذن وجدنا صغرى ليست صفرية من الرتبة الثانية. لنبدأ البحث عن قاصر حدودي غير صفري من الدرجة الثالثة:


وبالتالي ، فإن رتبة المصفوفة الرئيسية هي ثلاثة. رتبة المصفوفة المعززة تساوي أيضًا ثلاثة ، أي أن النظام ثابت.

سيتم اعتبار الترتيب الصغرى غير الصفري من الترتيب الثالث على أنه الترتيب الأساسي.

من أجل الوضوح ، نعرض العناصر التي تشكل الأساس الثانوي:


نترك المصطلحات المشاركة في الثانوية الأساسية على الجانب الأيسر من معادلات النظام ، وننقل الباقي بإشارات معاكسة إلى الجانب الأيمن:


نعطي المتغيرات غير المعروفة المجانية x 2 و x 5 قيمًا عشوائية ، أي أننا نأخذها ، أين الأرقام التعسفية. في هذه الحالة ، يأخذ SLAE النموذج


نحل النظام الأولي الذي تم الحصول عليه من المعادلات الجبرية الخطية بطريقة كرامر:


بالتالي، .

في الإجابة ، لا تنس الإشارة إلى المتغيرات المجانية غير المعروفة.

إجابه:

أين الأرقام التعسفية.

لخص.

لحل نظام المعادلات الجبرية الخطية ذات الشكل العام ، نكتشف أولاً توافقها باستخدام نظرية Kronecker-Capelli. إذا كانت رتبة المصفوفة الرئيسية لا تساوي مرتبة المصفوفة الممتدة ، فإننا نستنتج أن النظام غير متسق.

إذا كانت رتبة المصفوفة الرئيسية مساوية لرتبة المصفوفة الممتدة ، فإننا نختار الثانوية الأساسية ونتجاهل معادلات النظام التي لا تشارك في تشكيل القاصر الأساسي المختار.

إذا كان ترتيب الأساس الثانوي يساوي عدد المتغيرات غير المعروفة ، فإن SLAE لديه حل فريد يمكن العثور عليه بأي طريقة معروفة لنا.

إذا كان ترتيب الأساس الثانوي أقل من عدد المتغيرات غير المعروفة ، فإننا نترك المصطلحات مع المتغيرات الرئيسية غير المعروفة على الجانب الأيسر من معادلات النظام ، وننقل المصطلحات المتبقية إلى الأطراف اليمنى ونخصص قيمًا عشوائية إلى المتغيرات المجانية غير المعروفة. من نظام المعادلات الخطية الناتج ، نجد المتغيرات الرئيسية غير المعروفة بواسطة طريقة كرامر أو طريقة المصفوفة أو طريقة غاوس.

طريقة جاوس لحل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية ذات الشكل العام.

باستخدام طريقة Gauss ، يمكن للمرء حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية من أي نوع دون التحقيق الأولي من أجل التوافق. تتيح عملية الإزالة المتتالية للمتغيرات غير المعروفة استخلاص استنتاج حول كل من توافق وتضارب SLAE ، وإذا كان هناك حل ، فإنه يجعل من الممكن العثور عليه.

من وجهة نظر العمل الحسابي ، يفضل الأسلوب Gaussian.

انظر وصفها التفصيلي والأمثلة التي تم تحليلها في المقالة طريقة جاوس لحل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية ذات الشكل العام.

تسجيل الحل العام للأنظمة الجبرية الخطية المتجانسة وغير المتجانسة باستخدام متجهات النظام الأساسي للحلول.

في هذا القسم ، سوف نركز على أنظمة مشتركة متجانسة وغير متجانسة من المعادلات الجبرية الخطية التي لديها عدد لا حصر له من الحلول.

دعونا نتعامل مع الأنظمة المتجانسة أولاً.

نظام القرار الأساسيالنظام المتجانس من المعادلات الجبرية الخطية مع n المتغيرات غير المعروفة عبارة عن مجموعة من الحلول المستقلة خطيًا (n - r) لهذا النظام ، حيث r هو ترتيب الأساس الثانوي للمصفوفة الرئيسية للنظام.

إذا قمنا بتعيين حلول مستقلة خطيًا لـ SLAE متجانسة مثل X (1) ، X (2) ، ... ، X (n-r) (X (1) ، X (2) ، ... ، X (n-r) هي أعمدة مصفوفات ذات أبعاد n بواسطة 1) ، ثم يتم تمثيل الحل العام لهذا النظام المتجانس كمجموعة خطية من ناقلات النظام الأساسي للحلول ذات المعاملات الثابتة التعسفية С 1 ، С 2 ، ... ، С (n-r) ، أي.

ماذا يعني مصطلح الحل العام لنظام متجانس من المعادلات الجبرية الخطية (oroslau)؟

المعنى بسيط: تحدد الصيغة جميع الحلول الممكنة لـ SLAE الأصلي ، بمعنى آخر ، أخذ أي مجموعة من قيم الثوابت التعسفية C 1 ، C 2 ، ... ، C (n-r) ، وفقًا للصيغة نحن سوف تحصل على أحد حلول SLAE الأصلية المتجانسة.

وبالتالي ، إذا وجدنا نظامًا أساسيًا للحلول ، فيمكننا تعيين جميع حلول SLAE المتجانسة مثل.

دعونا نظهر عملية بناء نظام أساسي من الحلول لـ SLAE متجانس.

نختار الأساسي الثانوي للنظام الأصلي للمعادلات الخطية ، ونستبعد جميع المعادلات الأخرى من النظام ، وننقل إلى الجانب الأيمن من معادلات النظام بعلامات معاكسة جميع المصطلحات التي تحتوي على متغيرات مجانية غير معروفة. دعونا نعطي المتغيرات المجانية غير المعروفة القيم 1،0،0 ، ... ، 0 ونحسب المجهول الرئيسي عن طريق حل النظام الأولي الناتج من المعادلات الخطية بأي طريقة ، على سبيل المثال ، بطريقة كرامر. وبالتالي ، سيتم الحصول على X (1) - الحل الأول للنظام الأساسي. إذا أعطينا القيم المجهولة المجانية 0،1،0،0 ،… ، 0 وحساب المجهول الرئيسي ، نحصل على X (2). وهلم جرا. إذا أعطينا المتغيرات المجانية المجهولة القيم 0،0،…، 0،1 وحساب المجهول الرئيسي ، نحصل على X (n-r). هذه هي الطريقة التي سيتم بها بناء النظام الأساسي للحلول لـ SLAE المتجانس ويمكن كتابة الحل العام في النموذج.

بالنسبة للأنظمة غير المتجانسة من المعادلات الجبرية الخطية ، يتم تمثيل الحل العام كـ

لنلق نظرة على الأمثلة.

مثال.

أوجد النظام الأساسي للحلول والحل العام لنظام متجانس من المعادلات الجبرية الخطية .

المحلول.

إن رتبة المصفوفة الرئيسية للأنظمة المتجانسة للمعادلات الخطية تساوي دائمًا رتبة المصفوفة الممتدة. دعونا نجد رتبة المصفوفة الرئيسية بطريقة التهديب للقصر. كقاصر غير صفري من الدرجة الأولى ، نأخذ العنصر 1 1 = 9 من المصفوفة الرئيسية للنظام. أوجد الحد الصغير غير الصفري من الدرجة الثانية:

تم العثور على ثانوية من الدرجة الثانية ، تختلف عن الصفر. دعنا ننتقل إلى القاصرين من الدرجة الثالثة التي تحدها بحثًا عن واحد غير صفري:

جميع القاصرات الحدودية من الرتبة الثالثة تساوي صفرًا ، وبالتالي فإن رتبة المصفوفة الرئيسية والممتدة هي اثنان. لنأخذ القاصر الأساسي. من أجل الوضوح ، نلاحظ عناصر النظام التي يتكون منها:

لا تشارك المعادلة الثالثة لـ SLAE الأصلية في تكوين القاصر الأساسي ، لذلك يمكن استبعادها:

نترك المصطلحات التي تحتوي على المجهول الرئيسي على الجانب الأيمن من المعادلات ، وننقل المصطلحات ذات المجهول الحر إلى الجانب الأيمن:

دعونا نبني نظامًا أساسيًا من الحلول للنظام المتجانس الأصلي للمعادلات الخطية. يتكون النظام الأساسي للحلول الخاصة بـ SLAE من حلين ، نظرًا لأن SLAE الأصلي يحتوي على أربعة متغيرات غير معروفة ، وترتيب ثانوي أساسي هو اثنين. للعثور على X (1) ، نعطي المتغيرات المجانية غير المعروفة القيم x 2 \ u003d 1 ، x 4 \ u003d 0 ، ثم نجد المجهول الرئيسي من نظام المعادلات
.

حتى في المدرسة ، درس كل منا المعادلات ، وبالتأكيد نظم المعادلات. لكن لا يعرف الكثير من الناس أن هناك عدة طرق لحلها. سنقوم اليوم بتحليل مفصل لجميع طرق حل نظام المعادلات الجبرية الخطية ، والتي تتكون من أكثر من اثنين من المساواة.

قصة

من المعروف اليوم أن فن حل المعادلات وأنظمتها نشأت في بابل القديمة ومصر. ومع ذلك ، ظهرت المساواة في شكلها المعتاد بعد ظهور علامة المساواة "=" ، والتي تم تقديمها في عام 1556 من قبل عالم الرياضيات الإنجليزي ريكورد. بالمناسبة ، تم اختيار هذه العلامة لسبب: إنها تعني جزأين متوازيين متساويين. في الواقع ، لا يوجد مثال أفضل للمساواة.

مؤسس التعيينات الحديثة للحروف المجهولة وعلامات الدرجات هو عالم رياضيات فرنسي ، ومع ذلك ، فقد اختلفت تسمياته بشكل كبير عن اليوم. على سبيل المثال ، أشار إلى مربع رقم غير معروف بالحرف Q (خط الطول "quadratus") ، والمكعب بالحرف C (lat. "cubus"). تبدو هذه الرموز محرجة الآن ، لكنها في ذلك الوقت كانت الطريقة الأكثر مفهومة لكتابة أنظمة المعادلات الجبرية الخطية.

ومع ذلك ، كان العيب في طرق الحل في ذلك الوقت هو أن علماء الرياضيات اعتبروا الجذور الإيجابية فقط. ربما يرجع ذلك إلى حقيقة أن القيم السالبة ليس لها فائدة عملية. بطريقة أو بأخرى ، كان علماء الرياضيات الإيطاليون نيكولو تارتاجليا وجيرولامو كاردانو ورافائيل بومبيلي هم أول من فكر في الجذور السلبية في القرن السادس عشر. ووجهة النظر الحديثة ، طريقة الحل الرئيسية (من خلال التمييز) تم إنشاؤها فقط في القرن السابع عشر بفضل أعمال ديكارت ونيوتن.

في منتصف القرن الثامن عشر ، وجد عالم الرياضيات السويسري غابرييل كرامر طريقة جديدة لتسهيل حل أنظمة المعادلات الخطية. سميت هذه الطريقة لاحقًا باسمه وما زلنا نستخدمها حتى يومنا هذا. لكننا سنتحدث عن طريقة كرامر بعد قليل ، لكن في الوقت الحالي سنناقش المعادلات الخطية وطرق حلها بشكل منفصل عن النظام.

المعادلات الخطية

المعادلات الخطية هي أبسط معادلات متغيرة (متغيرات). يتم تصنيفها على أنها جبرية. اكتب بشكل عام كما يلي: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... and n * x n \ u003d b. سنحتاج إلى تمثيلهم في هذا النموذج عند تجميع الأنظمة والمصفوفات بشكل أكبر.

نظم المعادلات الجبرية الخطية

تعريف هذا المصطلح على النحو التالي: هو مجموعة من المعادلات التي لها مجاهيل مشتركة وحل مشترك. كقاعدة عامة ، في المدرسة ، تم حل كل شيء من خلال أنظمة تحتوي على معادلتين أو حتى ثلاث معادلات. لكن هناك أنظمة تحتوي على أربعة مكونات أو أكثر. دعنا أولاً نتعرف على كيفية كتابتها بحيث يكون حلها مناسبًا لاحقًا. أولاً ، ستبدو أنظمة المعادلات الجبرية الخطية أفضل إذا تمت كتابة جميع المتغيرات كـ x مع الفهرس المناسب: 1،2،3 ، وهكذا. ثانيًا ، يجب إحضار جميع المعادلات إلى الشكل الأساسي: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n = b.

بعد كل هذه الإجراءات ، يمكننا البدء في الحديث عن كيفية إيجاد حل لأنظمة المعادلات الخطية. المصفوفات مفيدة جدًا لهذا الغرض.

المصفوفات

المصفوفة هي جدول يتكون من صفوف وأعمدة ، وعند تقاطعها توجد عناصرها. يمكن أن تكون هذه إما قيمًا أو متغيرات محددة. في أغلب الأحيان ، لتعيين العناصر ، يتم وضع الرموز الفرعية تحتها (على سبيل المثال ، 11 أو 23). الفهرس الأول يعني رقم الصف والثاني رقم العمود. في المصفوفات ، وكذلك في أي عنصر رياضي آخر ، يمكنك إجراء عمليات مختلفة. وهكذا يمكنك:

2) اضرب المصفوفة في عدد أو متجه.

3) التحويل: حوّل صفوف المصفوفة إلى أعمدة وأعمدة إلى صفوف.

4) اضرب المصفوفات إذا كان عدد صفوف أحدها يساوي عدد أعمدة الأخرى.

سنناقش كل هذه التقنيات بمزيد من التفصيل ، لأنها ستكون مفيدة لنا في المستقبل. يعد طرح المصفوفات وإضافتها أمرًا سهلاً للغاية. نظرًا لأننا نأخذ مصفوفات من نفس الحجم ، فإن كل عنصر في جدول واحد يتوافق مع كل عنصر في الآخر. وبالتالي ، نضيف (نطرح) هذين العنصرين (من المهم أن يكونا في نفس المواضع في مصفوفاتهما). عند ضرب مصفوفة في رقم أو متجه ، تحتاج ببساطة إلى ضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة في ذلك الرقم (أو المتجه). التحويل هو عملية مثيرة للاهتمام للغاية. من الممتع جدًا أحيانًا رؤيته في الحياة الواقعية ، على سبيل المثال ، عند تغيير اتجاه جهاز لوحي أو هاتف. الأيقونات الموجودة على سطح المكتب عبارة عن مصفوفة ، وعندما تقوم بتغيير الموضع ، فإنها تنقلب وتصبح أكثر اتساعًا ، ولكنها تتناقص في الارتفاع.

دعنا نحلل مثل هذه العملية على الرغم من أنها لن تكون مفيدة لنا ، إلا أنه سيظل من المفيد معرفتها. يمكنك ضرب مصفوفتين فقط إذا كان عدد الأعمدة في أحد الجداول يساوي عدد الصفوف في الجدول الآخر. لنأخذ الآن عناصر صف من إحدى المصفوفات وعناصر العمود المقابل لمصفوفة أخرى. نضربهم في بعضهم البعض ثم نضيفهم (أي ، على سبيل المثال ، حاصل ضرب العنصرين a 11 و a 12 في b 12 و b 22 سيكون مساويًا لـ: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . وبالتالي ، يتم الحصول على عنصر واحد من الجدول ، ويتم تعبئته بطريقة مماثلة.

يمكننا الآن البدء في التفكير في كيفية حل نظام المعادلات الخطية.

طريقة جاوس

هذا الموضوع يبدأ في المدرسة. نحن نعلم جيدًا مفهوم "نظام معادلتين خطيتين" ونعرف كيفية حلهما. ولكن ماذا لو كان عدد المعادلات أكثر من اثنين؟ هذا سوف يساعدنا

بالطبع ، هذه الطريقة مناسبة للاستخدام إذا قمت بإنشاء مصفوفة خارج النظام. لكن لا يمكنك تحويلها وحلها بشكلها النقي.

إذن ، كيف يتم حل نظام المعادلات الجاوسية الخطية بهذه الطريقة؟ بالمناسبة ، على الرغم من تسمية هذه الطريقة باسمه ، فقد تم اكتشافها في العصور القديمة. يقترح Gauss ما يلي: تنفيذ العمليات باستخدام المعادلات من أجل تقليل المجموعة بأكملها في النهاية إلى شكل متدرج. وهذا يعني أنه من الضروري أن يتناقص واحد غير معروف من أعلى إلى أسفل (إذا تم وضعه بشكل صحيح) من المعادلة الأولى إلى الأخيرة. بعبارة أخرى ، نحتاج إلى التأكد من حصولنا ، على سبيل المثال ، على ثلاث معادلات: في الأولى - ثلاثة مجاهيل ، في الثانية - اثنان ، في الثالثة - واحدة. ثم من المعادلة الأخيرة نجد المجهول الأول ، نعوض بقيمته في المعادلة الثانية أو الأولى ، ثم نجد المتغيرين المتبقيين.

طريقة كرامر

لإتقان هذه الطريقة ، من الضروري إتقان مهارات الجمع وطرح المصفوفات ، كما يجب أن تكون قادرًا على إيجاد المحددات. لذلك ، إذا كنت تفعل كل هذا بشكل سيئ أو لا تعرف كيف على الإطلاق ، فسيتعين عليك التعلم والممارسة.

ما هو جوهر هذه الطريقة ، وكيف يتم إجراؤها بحيث يتم الحصول على نظام معادلات كرامر الخطية؟ كل شيء بسيط للغاية. علينا أن نبني مصفوفة من المعاملات العددية (دائمًا تقريبًا) لنظام المعادلات الجبرية الخطية. للقيام بذلك ، نأخذ الأرقام الموجودة أمام المجهول ونضعها في الجدول بالترتيب المكتوب بها في النظام. إذا كان الرقم مسبوقًا بعلامة "-" ، فسنكتب معاملًا سالبًا. لذلك ، قمنا بتجميع المصفوفة الأولى لمعاملات المجهول ، دون تضمين الأرقام بعد العلامات المتساوية (بطبيعة الحال ، يجب تقليل المعادلة إلى الشكل الأساسي ، عندما يكون الرقم على اليمين فقط ، وكل المجهول مع المعاملات على اليسار). ثم تحتاج إلى إنشاء عدة مصفوفات أخرى - واحدة لكل متغير. للقيام بذلك ، في المصفوفة الأولى ، نقوم بدورنا باستبدال كل عمود بالمعاملات بعمود من الأرقام بعد علامة التساوي. وهكذا نحصل على عدة مصفوفات ثم نجد محدداتها.

بعد أن وجدنا المحددات ، فإن الأمر صغير. لدينا مصفوفة أولية ، وهناك العديد من المصفوفات الناتجة التي تتوافق مع متغيرات مختلفة. للحصول على حلول النظام ، نقسم محدد الجدول الناتج على محدد الجدول الأولي. الرقم الناتج هو قيمة أحد المتغيرات. وبالمثل ، نجد كل المجهول.

أساليب أخرى

هناك عدة طرق أخرى للحصول على حل لأنظمة المعادلات الخطية. على سبيل المثال ، ما يسمى بطريقة Gauss-Jordan ، والتي تستخدم لإيجاد حلول لنظام المعادلات التربيعية وترتبط أيضًا باستخدام المصفوفات. هناك أيضًا طريقة جاكوبي لحل نظام المعادلات الجبرية الخطية. إنه الأسهل للتكيف مع الكمبيوتر ويستخدم في تكنولوجيا الكمبيوتر.

الحالات الصعبة

ينشأ التعقيد عادة عندما يكون عدد المعادلات أقل من عدد المتغيرات. ثم يمكننا أن نقول على وجه اليقين إما أن النظام غير متسق (أي ليس له جذور) ، أو أن عدد حلوله يميل إلى اللانهاية. إذا كانت لدينا الحالة الثانية ، فسنحتاج إلى كتابة الحل العام لنظام المعادلات الخطية. سيحتوي على متغير واحد على الأقل.

استنتاج

ها نحن نصل إلى النهاية. دعونا نلخص: لقد قمنا بتحليل ماهية النظام والمصفوفة ، وتعلمنا كيفية إيجاد حل عام لنظام المعادلات الخطية. بالإضافة إلى ذلك ، تم النظر في خيارات أخرى. اكتشفنا كيف يتم حل نظام المعادلات الخطية: طريقة Gauss وتحدثنا عن الحالات الصعبة والطرق الأخرى لإيجاد الحلول.

في الواقع ، هذا الموضوع أكثر شمولاً ، وإذا كنت تريد فهمه بشكل أفضل ، فننصحك بقراءة المزيد من الأدبيات المتخصصة.

الطريقة الغاوسية لها عدد من العيوب: من المستحيل معرفة ما إذا كان النظام متسقًا أم لا حتى يتم تنفيذ جميع التحولات الضرورية في الطريقة الغاوسية ؛ الطريقة الغاوسية ليست مناسبة للأنظمة ذات معاملات الحروف.

فكر في طرق أخرى لحل أنظمة المعادلات الخطية. تستخدم هذه الطرق مفهوم رتبة المصفوفة وتقليل حل أي نظام مشترك إلى حل نظام تنطبق عليه قاعدة كرامر.

مثال 1أوجد الحل العام للنظام التالي من المعادلات الخطية باستخدام النظام الأساسي لحلول النظام المتجانس المختزل وحل معين للنظام غير المتجانس.

1. نصنع مصفوفة أوالمصفوفة المعززة للنظام (1)

2. استكشف النظام (1) من أجل التوافق. للقيام بذلك ، نجد رتب المصفوفات أو https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif "width =" 17 "height =" 26 src = ">). إذا اتضح ذلك ، فإن النظام (1) غير متوافق. إذا حصلنا على ذلك ، فهذا النظام متسق وسنحلها. (تستند دراسة الاتساق إلى نظرية Kronecker-Capelli).

أ. نجد rA.

لايجاد rA، سوف ننظر على التوالي في الترتيب غير الصفري للأول ، والثاني ، إلخ. من المصفوفة أوالقصر من حولهم.

م 1= 1 ≠ 0 (1 مأخوذ من الزاوية اليسرى العليا للمصفوفة لكن).

الحدود م 1الصف الثاني والعمود الثاني من هذه المصفوفة. . نواصل الحدود م 1السطر الثاني والعمود الثالث..gif "width =" 37 "height =" 20 src = ">. الآن نحدد الصغرى غير الصفرية М2 ′الدرجة الثانية.

نملك: (لأن أول عمودين متماثلان)

(لأن الخطين الثاني والثالث متناسبان).

نحن نرى ذلك rA = 2، وهو الأساس الصغرى للمصفوفة أ.

ب. نجد .

قاصر أساسي بما فيه الكفاية М2 ′المصفوفات أالحدود مع عمود من الأعضاء الأحرار وجميع الأسطر (لدينا السطر الأخير فقط).

. ويترتب على ذلك أن М3 ′ ′يظل الأساس الصغرى للمصفوفة https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif "width =" 168 height = 75 "height =" 75 "> (2)

لان М2 ′- الأساس الصغرى للمصفوفة أالأنظمة (2) ، فإن هذا النظام يعادل النظام (3) ، تتكون من المعادلتين الأوليين للنظام (2) (إلى عن على М2 ′في الصفين الأولين من المصفوفة أ).

(3)

نظرًا لأن القاصر الأساسي هو https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif "width =" 153 "height =" 51 "> (4)

في هذا النظام ، مجاهيلان مجانيان ( x2 و x4 ). لهذا FSR الأنظمة (4) يتكون من حلين. للعثور عليهم ، نخصص مجاهيل مجانية لـ (4) القيم أولا س 2 = 1 , س 4 = 0 ، وثم - س 2 = 0 , س 4 = 1 .

في س 2 = 1 , س 4 = 0 نحن نحصل:

.

هذا النظام لديه بالفعل الشيء الوحيد الحل (يمكن إيجاده من خلال قاعدة كرامر أو بأي طريقة أخرى). بطرح المعادلة الأولى من المعادلة الثانية ، نحصل على:

سيكون قرارها x1 = -1 , x3 = 0 . بالنظر إلى القيم x2 و x4 ، الذي قدمناه ، نحصل على الحل الأساسي الأول للنظام (2) : .

الآن نضع (4) س 2 = 0 , س 4 = 1 . نحن نحصل:

.

نحل هذا النظام باستخدام نظرية كرامر:

.

نحصل على الحل الأساسي الثاني للنظام (2) : .

حلول β1 , β2 والمكياج FSR الأنظمة (2) . ثم سيكون حلها العام

γ= C1 β1 + С2β2 = С1 (-1 ، 1 ، 0 ، 0) + С2 (5 ، 0 ، 4 ، 1) = (- С1 + 5С2 ، С1 ، 4С2 ، С2)

هنا C1 , C2 ثوابت اعتباطية.

4. ابحث عن واحد خاص المحلول نظام غير متجانس(1) . كما في الفقرة 3 بدلا من النظام (1) النظر في النظام المكافئ (5) ، تتكون من المعادلتين الأوليين للنظام (1) .

(5)

ننقل المجهول إلى الجانب الأيمن x2و x4.

(6)

دعونا نعطي مجاهيل مجانية x2 و x4 قيم اعتباطية ، على سبيل المثال ، س 2 = 2 , س 4 = 1 وقم بتوصيلها (6) . دعنا نحصل على النظام

هذا النظام له حل فريد (لأنه محدده М2′0). حلها (باستخدام نظرية كرامر أو طريقة غاوس) نحصل عليها س 1 = 3 , x3 = 3 . نظرا لقيم المجاهيل الحرة x2 و x4 ، نحن نحصل حل خاص لنظام غير متجانس(1)α1 = (3،2،3،1).

5. الآن يبقى أن يكتب الحل العام α لنظام غير متجانس(1) : يساوي المجموع قرار خاصهذا النظام و الحل العام لنظامها المتجانس المختزل (2) :

α = α1 + γ = (3، 2، 3، 1) + (- С1 + 5С2، С1، 4С2، С2).

هذا يعنى: (7)

6. فحص.للتحقق مما إذا كنت قد قمت بحل النظام بشكل صحيح (1) ، نحن بحاجة إلى حل عام (7) يحل محل (1) . إذا أصبحت كل معادلة هوية ( C1 و C2 يجب تدميرها) ، ثم يتم العثور على الحل بشكل صحيح.

سوف نستبدل (7) على سبيل المثال ، فقط في المعادلة الأخيرة للنظام (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

نحصل على: (3 – С1 + 5С2) + (2 + С1) + (3 + 4С2) –9 (1 + С2) = - 1

(С1 – С1) + (5С2 + 4С2–9С2) + (3 + 2 + 3–9) = - 1

حيث -1 = -1. لدينا هوية. نقوم بهذا مع جميع المعادلات الأخرى للنظام (1) .

تعليق.عادة ما يكون التحقق مرهقًا جدًا. يمكننا أن نوصي بما يلي "التحقق الجزئي": في الحل الشامل للنظام (1) تعيين بعض القيم للثوابت التعسفية واستبدال الحل المعين الناتج فقط في المعادلات المهملة (أي في تلك المعادلات من (1) التي لم يتم تضمينها في (5) ). إذا حصلت على هويات ، إذن على الأرجح، حل النظام (1) تم العثور عليها بشكل صحيح (لكن هذا الفحص لا يعطي ضمانًا كاملاً للصحة!). على سبيل المثال ، إذا كان بتنسيق (7) وضع C2 =- 1 , C1 = 1، ثم نحصل على: x1 = -3 ، x2 = 3 ، x3 = -1 ، x4 = 0. بالتعويض في المعادلة الأخيرة للنظام (1) ، لدينا: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 ، على سبيل المثال –1 = –1. لدينا هوية.

مثال 2ابحث عن حل عام لنظام المعادلات الخطية (1) ، معربا عن المجهول الرئيسي من حيث المجاهيل الحرة.

المحلول.كما في مثال 1، يؤلف المصفوفات أو https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif "width =" 156 "height =" 50 "> من هذه المصفوفات. الآن نترك فقط معادلات النظام (1) ، المعاملات التي تم تضمينها في هذه الثانوية الأساسية (أي لدينا المعادلتين الأوليين) والنظر في النظام الذي يتكون منها ، وهو ما يعادل النظام (1).

دعونا ننقل المجهول الحر إلى الجانب الأيمن من هذه المعادلات.

النظام (9) نحلها بالطريقة الغاوسية ، معتبرين الأجزاء الصحيحة كأعضاء حرة.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif "العرض =" 202 الارتفاع = 106 "الارتفاع =" 106 ">

الخيار 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif "width =" 192 "height =" 106 src = ">

الخيار 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif "width =" 172 "height =" 80 ">

الخيار 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif "العرض =" 179 الارتفاع = 106 "الارتفاع =" 106 ">

الخيار 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif "width =" 195 "height =" 106 ">

يسمى نظام المعادلات الخطية التي تكون فيها جميع المصطلحات الحرة تساوي الصفر متجانس :

دائمًا ما يكون أي نظام متجانس ثابتًا ، لأنه دائمًا ما يكون كذلك صفر (تافه ) المحلول. السؤال الذي يطرح نفسه تحت أي ظروف سيكون للنظام المتجانس حل غير تافه.

نظرية 5.2.يحتوي النظام المتجانس على حل غير تافه إذا وفقط إذا كانت مرتبة المصفوفة الأساسية أقل من عدد المجهولات الخاصة بها.

عاقبة. يحتوي النظام المتجانس المربع على حل غير بسيط إذا وفقط إذا كان محدد المصفوفة الرئيسية للنظام لا يساوي الصفر.

مثال 5.6.حدد قيم المعلمة l التي يمتلك النظام حلولاً غير بديهية لها وابحث عن هذه الحلول:

المحلول. سيكون لهذا النظام حل غير تافه عندما يكون محدد المصفوفة الرئيسية يساوي صفرًا:

وبالتالي ، يكون النظام غير بديهي عندما l = 3 أو l = 2. بالنسبة إلى l = 3 ، فإن رتبة المصفوفة الرئيسية للنظام هي 1. ثم ترك معادلة واحدة فقط وافتراض أن ذ=أو ض=ب، نحن نحصل س = ب أ، بمعنى آخر.

بالنسبة إلى l = 2 ، تكون رتبة المصفوفة الرئيسية للنظام هي 2. ثم اختيار المصفوفة الأساسية:

نحصل على نظام مبسط

من هنا نجد ذلك س = ض/4، ص = ض/ 2. بافتراض ض=4أ، نحن نحصل

مجموعة جميع حلول النظام المتجانس لها أهمية كبيرة خاصية خطية : إذا كانت الأعمدة س 1 و X 2 - حلول النظام المتجانس AX = 0, ثم أي تركيبة خطية منهمأ X 1 + ب X 2 سيكون أيضًا الحل لهذا النظام. في الواقع ، منذ ذلك الحين فأس 1 = 0 و فأس 2 = 0 ، ومن بعد أ(أ X 1 + ب X 2) = أ فأس 1 + ب فأس 2 = a · 0 + b · 0 = 0. بسبب هذه الخاصية ، إذا كان للنظام الخطي أكثر من حل واحد ، فسيكون هناك عدد لا نهائي من هذه الحلول.

أعمدة مستقلة خطيًا ه 1 , ه 2 , ه ك، وهي حلول نظام متجانس ، يسمى نظام القرار الأساسي نظام متجانس من المعادلات الخطية إذا كان الحل العام لهذا النظام يمكن كتابته كمجموعة خطية من هذه الأعمدة:

إذا كان لدى النظام المتجانس نالمتغيرات ، ورتبة المصفوفة الرئيسية للنظام تساوي ص، ومن بعد ك = ن ص.

مثال 5.7.أوجد النظام الأساسي للحلول لنظام المعادلات الخطية التالي:

المحلول. ابحث عن رتبة المصفوفة الرئيسية للنظام:

وبالتالي ، فإن مجموعة حلول نظام المعادلات هذا تشكل فضاءً فرعيًا خطيًا من البعد ن - ص= 5 - 2 = 3. نختار كقاصر أساسي

.

بعد ذلك ، مع ترك المعادلات الأساسية فقط (الباقي سيكون مزيجًا خطيًا من هذه المعادلات) والمتغيرات الأساسية (الباقي ، ما يسمى بالمتغيرات الحرة ، ننتقل إلى اليمين) ، نحصل على نظام مبسط من المعادلات:

بافتراض x 3 = أ, x 4 = ب, x 5 = ج، نجد

, .

بافتراض أ= 1, ب = ج= 0 ، نحصل على الحل الأساسي الأول ؛ افتراض ب= 1, أ = ج= 0 ، نحصل على الحل الأساسي الثاني ؛ افتراض ج= 1, أ = ب= 0 ، نحصل على الحل الأساسي الثالث. نتيجة لذلك ، يأخذ النظام الأساسي الطبيعي للحلول الشكل

باستخدام النظام الأساسي ، يمكن كتابة الحل العام للنظام المتجانس كـ

X = أ 1 + يكون 2 + cE 3. أ

دعونا نلاحظ بعض خصائص حلول النظام غير المتجانس للمعادلات الخطية AX = بوعلاقتها بنظام المعادلات المتجانس المقابل AX = 0.

الحل العام لنظام غير متجانسيساوي مجموع الحل العام للنظام المتجانس المقابل AX = 0 وحل خاص تعسفي للنظام غير المتجانس. في الواقع ، دعنا ص 0 هو حل تعسفي خاص لنظام غير متجانس ، أي AY 0 = ب، و صهو الحل العام لنظام غير متجانس ، أي AY = ب. نطرح مساواة واحدة من الأخرى ، نحصل عليها
أ(ص ص 0) = 0 ، أي ص ص 0 هو الحل العام للنظام المتجانس المقابل فأس= 0. بالتالي، ص ص 0 = X، أو ص = ص 0 + X. Q.E.D.

دع النظام غير المتجانس له الشكل AX = B 1 + ب 2 . ثم يمكن كتابة الحل العام لمثل هذا النظام كـ X = X 1 + X 2 , حيث AX 1 = ب 1 و AX 2 = ب 2. تعبر هذه الخاصية عن الخاصية العامة لأي أنظمة خطية بشكل عام (جبري ، تفاضلي ، وظيفي ، إلخ). في الفيزياء ، هذه الخاصية تسمى مبدأ التراكب، في الهندسة الكهربائية والراديو - مبدأ التراكب. على سبيل المثال ، في نظرية الدوائر الكهربائية الخطية ، يمكن الحصول على التيار في أي دائرة كمجموع جبري للتيارات التي يسببها كل مصدر طاقة على حدة.

سنستمر في صقل التقنية التحولات الأوليةعلى ال نظام متجانس من المعادلات الخطية.
وفقًا للفقرات الأولى ، قد تبدو المادة مملة وعادية ، لكن هذا الانطباع خادع. بالإضافة إلى المزيد من تقنيات التطوير ، سيكون هناك الكثير من المعلومات الجديدة ، لذا يرجى محاولة عدم إهمال الأمثلة الواردة في هذه المقالة.

ما هو نظام متجانس من المعادلات الخطية؟

الجواب يقترح نفسه. نظام المعادلات الخطية متجانس إذا كان المصطلح الحر كل واحدمعادلة النظام هي صفر. فمثلا:

من الواضح أن النظام المتجانس ثابت دائمًا، أي أنه دائمًا ما يكون له حل. وقبل كل شيء ، ما يسمى ب تافهالمحلول . تافهة ، بالنسبة لأولئك الذين لا يفهمون معنى الصفة على الإطلاق ، تعني bespontovoe. ليس أكاديميًا بالطبع ، ولكن بشكل واضح =) ... لماذا تتغلب على الأدغال ، دعنا نكتشف ما إذا كان هذا النظام لديه أي حلول أخرى:

مثال 1

المحلول: لحل نظام متجانس لا بد من الكتابة مصفوفة النظاموبمساعدة التحولات الأولية ، قم بإحضاره إلى شكل متدرج. لاحظ أنه ليست هناك حاجة لكتابة الشريط الرأسي والعمود الصفري للأعضاء الأحرار هنا - بعد كل شيء ، مهما فعلت مع الأصفار ، فإنها ستبقى صفرًا:

(1) تمت إضافة الصف الأول إلى الصف الثاني ، مضروبًا في -2. تمت إضافة السطر الأول إلى السطر الثالث ، مضروبًا في -3.

(2) تم إضافة السطر الثاني إلى السطر الثالث ، مضروبًا في -1.

لا معنى لتقسيم الصف الثالث على 3.

نتيجة للتحولات الأولية ، يتم الحصول على نظام متجانس مكافئ ، وتطبيق الحركة العكسية للطريقة الغاوسية ، من السهل التحقق من أن الحل فريد من نوعه.

إجابه:

دعونا نصوغ معيارا واضحا: نظام متجانس من المعادلات الخطية حل تافه فقط، إذا رتبة مصفوفة النظام(في هذه الحالة ، 3) يساوي عدد المتغيرات (في هذه الحالة ، 3 قطع).

نقوم بإحماء جهاز الراديو الخاص بنا وضبطه على موجة من التحولات الأولية:

مثال 2

حل نظامًا متجانسًا من المعادلات الخطية

لإصلاح الخوارزمية أخيرًا ، دعنا نحلل المهمة النهائية:

مثال 7

حل نظامًا متجانسًا ، واكتب الإجابة في شكل متجه.

المحلول: نكتب مصفوفة النظام ، وباستخدام التحولات الأولية ، نحولها إلى شكل متدرج:

(1) تم تغيير علامة السطر الأول. مرة أخرى ، ألفت الانتباه إلى الأسلوب الذي تم التقيد به بشكل متكرر ، والذي يسمح لك بتبسيط الإجراء التالي بشكل كبير.

(1) تمت إضافة السطر الأول إلى الخطين الثاني والثالث. تمت إضافة السطر الأول مضروبًا في 2 إلى السطر الرابع.

(3) الأسطر الثلاثة الأخيرة متناسبة ، وقد تم حذف اثنين منها.

نتيجة لذلك ، يتم الحصول على مصفوفة خطوات قياسية ، ويستمر الحل على طول المسار المخرش:

- المتغيرات الأساسية.
متغيرات مجانية.

نعبر عن المتغيرات الأساسية من حيث المتغيرات الحرة. من المعادلة الثانية:

- استبدل في المعادلة الأولى:

لذا فإن الحل العام هو:

نظرًا لوجود ثلاثة متغيرات مجانية في المثال قيد الدراسة ، فإن النظام الأساسي يحتوي على ثلاثة متجهات.

لنعوض بثلاثية من القيم في الحل العام والحصول على متجه إحداثياته ​​تفي بكل معادلة من النظام المتجانس. ومرة أخرى ، أكرر أنه من المستحسن للغاية التحقق من كل متجه مستلم - لن يستغرق الأمر الكثير من الوقت ، ولكنه سيوفر مائة بالمائة من الأخطاء.

لثلاثية القيم ابحث عن المتجه

وأخيراً للثلاثي نحصل على المتجه الثالث:

إجابه: ، أين

أولئك الذين يرغبون في تجنب القيم الكسرية قد يفكرون في ثلاثة توائم واحصل على الإجابة بالشكل المعادل:

الحديث عن الكسور. لنلق نظرة على المصفوفة التي تم الحصول عليها في المسألة وطرح السؤال - هل من الممكن تبسيط الحل الإضافي؟ بعد كل شيء ، قمنا هنا أولاً بالتعبير عن المتغير الأساسي من حيث الكسور ، ثم المتغير الأساسي من حيث الكسور ، ويجب أن أقول إن هذه العملية لم تكن الأسهل وليست الأكثر متعة.

الحل الثاني:

الفكرة هي المحاولة اختر المتغيرات الأساسية الأخرى. لنلقِ نظرة على المصفوفة ونلاحظ وجود اثنين في العمود الثالث. فلماذا لا تحصل على الصفر في القمة؟ لنقم بتحويل أولي آخر: