الزاوية موجبة وسالبة. زاوية سالبة

عد الزوايا على دائرة مثلثية.

انتباه!
هناك المزيد
المادة في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين بقوة "ليس جدا ..."
ولأولئك الذين "كثيرًا ...")

يكاد يكون هو نفسه كما في الدرس السابق. هناك محاور ، دائرة ، زاوية ، كل شيء ذقن صيني. أعداد الأرباع المضافة (في زوايا مربع كبير) - من الأول إلى الرابع. ثم فجأة من لا يعرف؟ كما ترى ، فإن الأرباع (تسمى أيضًا الكلمة الجميلة "الأرباع") مرقمة بعكس اتجاه عقارب الساعة. قيم الزاوية المضافة على المحاور. كل شيء واضح ، بلا زخرفة.

ويضاف سهم أخضر. مع زائد. ماذا تعني؟ اسمحوا لي أن أذكرك أن الجانب الثابت من الزاوية دائماً مسمر على المحور الموجب OH. لذلك ، إذا قمنا بلف الجانب المتحرك من الزاوية بالإضافة إلى السهم، بمعنى آخر. بأرقام ربع سنوية تصاعدية ، ستعتبر الزاوية موجبة.على سبيل المثال ، تُظهر الصورة زاوية موجبة + 60 درجة.

إذا أجلنا الزوايا في الاتجاه المعاكس ، في اتجاه عقارب الساعة ، ستعتبر الزاوية سالبة.قم بالمرور فوق الصورة (أو المس الصورة على الجهاز اللوحي) ، سترى سهمًا أزرق مع علامة ناقص. هذا هو اتجاه القراءة السلبية للزوايا. يتم عرض الزاوية السالبة (-60 درجة) كمثال. وسترى أيضًا كيف تغيرت الأرقام الموجودة على المحاور ... لقد قمت أيضًا بترجمتها إلى زوايا سالبة. لا يتغير ترقيم الأرباع.

هنا ، عادة ، يبدأ سوء الفهم الأول. كيف ذلك!؟ وإذا كانت الزاوية السالبة في الدائرة تتطابق مع الموجب !؟ وبصفة عامة ، اتضح أن نفس موضع الجانب المتحرك (أو نقطة على دائرة الأرقام) يمكن تسميته بزاوية سالبة وموجبة !؟

نعم. بالضبط. لنفترض أن الزاوية الموجبة التي قياسها 90 درجة تأخذ دائرة بالضبط نفس الشيء ضعها كزاوية سالبة مقدارها 270 درجة سالب. تأخذ زاوية موجبة ، على سبيل المثال + 110 درجة بالضبط نفس الشيء الموضع كزاوية سالبة -250 درجة.

لا مشكلة. كل شيء صحيح.) يعتمد اختيار الحساب الموجب أو السالب للزاوية على حالة المهمة. إذا كانت الحالة لا تقول شيئًا نص عادي حول علامة الزاوية (مثل "تحديد الأصغر إيجابيزاوية "، وما إلى ذلك) ، فنحن نتعامل مع القيم التي تناسبنا.

الاستثناء (وكيف بدونها؟!) هو عدم المساواة المثلثية ، لكن هناك سنتقن هذه الحيلة.

والآن سؤال لك. كيف أعرف أن موضع الزاوية 110 درجة هو نفسه موضع الزاوية -250 درجة؟
سوف ألمح أن هذا يرجع إلى دوران كامل. في 360 درجة ... غير واضح؟ ثم نرسم دائرة. نرسم على الورق. بمناسبة الزاوية حول 110 درجة. و يصدقكم تبقى حتى دورة كاملة. فقط 250 درجة متبقية ...

فهمتك؟ والآن - الاهتمام! إذا كانت الزاويتان 110 ° و -250 ° تحتلان الدائرة نفس موقف ، ثم ماذا؟ نعم حقيقة أن الزاويتين 110 درجة و -250 درجة بالضبط نفس الشيء الجيب وجيب التمام والظل والظل!
أولئك. sin110 ° = sin (-250 °) ، ctg110 ° = ctg (-250 °) وهكذا. الآن هذا مهم حقًا! وفي حد ذاته - هناك الكثير من المهام حيث يكون من الضروري تبسيط التعبيرات ، وكأساس للتطوير اللاحق لصيغ الاختزال وغيرها من تعقيدات علم المثلثات.

بالطبع ، أخذت 110 درجة و -250 درجة بشكل عشوائي ، على سبيل المثال بحتة. تعمل كل هذه المساواة مع أي زوايا تشغل نفس الموضع على الدائرة. 60 درجة و -300 درجة ، -75 درجة و 285 درجة ، وهكذا. ألاحظ على الفور أن الزوايا في هؤلاء الأزواج - مختلف.لكن لديهم وظائف مثلثية - نفس الشيء.

أعتقد أنك تفهم ما هي الزوايا السلبية. انها بسيطة جدا. عكس اتجاه عقارب الساعة هو عدد موجب. على طول الطريق ، الأمر سلبي. ضع في اعتبارك الزاوية الإيجابية أو السلبية يعتمد علينا. من رغبتنا. حسنًا ، والمزيد من المهمة بالطبع ... أتمنى أن تفهم كيفية الانتقال في الدوال المثلثية من الزوايا السالبة إلى الزوايا الإيجابية والعكس صحيح. ارسم دائرة ، زاوية تقريبية ، وانظر مقدار ما ينقصك قبل الانعطاف الكامل ، أي حتى 360 درجة.

زوايا أكبر من 360 درجة.

دعونا نتعامل مع الزوايا الأكبر من 360 درجة. ومثل هذه الأشياء؟ هناك بالطبع. كيف ترسمهم على شكل دائرة؟ لا مشكلة! لنفترض أننا بحاجة إلى فهم أي ربع ستقع زاوية مقدارها 1000 درجة؟ بسهولة! نقوم بدورة واحدة كاملة عكس اتجاه عقارب الساعة (تم إعطاء الزاوية لنا موجبة!). ترجيع 360 درجة. حسنًا ، دعنا ننتقل! منعطف آخر - لقد تحول بالفعل إلى 720 درجة. كم تبقى؟ 280 درجة. لا يكفي لدوران كامل ... لكن الزاوية أكثر من 270 درجة - وهذا هو الحد بين الربع الثالث والرابع. إذن ، الزاوية 1000 درجة تقع في الربع الرابع. كل شىء.

كما ترى ، الأمر بسيط للغاية. اسمحوا لي أن أذكرك مرة أخرى أن الزاوية 1000 درجة والزاوية 280 درجة ، والتي حصلنا عليها من خلال التخلص من المنعطفات الكاملة "الإضافية" ، هي ، بالمعنى الدقيق للكلمة ، مختلفزوايا. لكن الدوال المثلثية لهذه الزوايا بالضبط نفس الشيء! أولئك. sin1000 ° = sin280 ° ، cos1000 ° = cos280 ° إلخ. إذا كنت جيبًا ، فلن ألاحظ الفرق بين هاتين الزاويتين ...

لماذا كل هذا ضروري؟ لماذا نحتاج إلى ترجمة الزوايا من واحدة إلى أخرى؟ نعم ، كل نفس.) من أجل تبسيط التعابير. تبسيط التعبيرات ، في الواقع ، هو المهمة الرئيسية للرياضيات المدرسية. حسنًا ، على طول الطريق ، يتدرب الرأس).

حسنًا ، هل نتدرب؟)

نجيب على الأسئلة. بسيط في البداية.

1. في أي ربع تقع الزاوية -325 درجة؟

2. في أي ربع تسقط الزاوية 3000 درجة؟

3. في أي ربع تقع الزاوية -3000 درجة؟

هناك مشكلة؟ أم انعدام الأمن؟ ننتقل إلى القسم 555 ، عمل عملي مع الدائرة المثلثية. هناك ، في الدرس الأول من هذا "العمل العملي ..." كل شيء مفصل ... في مثلأسئلة عدم اليقين لا ينبغي!

4. ما هي علامة sin555 °؟

5. ما هي علامة tg555 °؟

يحدد؟ ممتاز! شك؟ من الضروري القسم 555 ... بالمناسبة ، ستتعلم هناك كيفية رسم الظل والظل على دائرة مثلثية. شيء مفيد جدا.

والآن الأسئلة الأكثر ذكاءً.

6. اجلب التعبير sin777 ° إلى جيب أصغر زاوية موجبة.

7. اجعل التعبير cos777 ° لجيب تمام الزاوية السالبة الأكبر.

8. حوّل التعبير cos (777 °) إلى جيب تمام أصغر زاوية موجبة.

9. اجعل التعبير sin777 ° لجيب أكبر زاوية سالبة.

ماذا ، الأسئلة 6-9 في حيرة؟ تعتاد على ذلك ، لا توجد مثل هذه الصيغ في الامتحان ... فليكن ، سأترجمها. فقط من اجلك!

الكلمات "اختزال التعبير إلى ..." تعني تحويل التعبير بحيث تكون قيمته لم يتغيروتغير المظهر وفقًا للمهمة. لذا ، في المهمتين 6 و 9 ، يجب أن نحصل على شرط ، بداخله أصغر زاوية موجبة.كل شيء آخر لا يهم.

سأقدم الإجابات بالترتيب (في انتهاك لقواعدنا). لكن ما يجب فعله ، هناك علامتان فقط ، وأربعة أرباع فقط ... لن تشتت في الخيارات.

6. sin57 درجة.

7.cos (-57 درجة).

8.cos57 درجة.

9.- الخطيئة (-57 درجة)

أفترض أن إجابات الأسئلة 6-9 أربكت بعض الناس. خاصة -sin (-57 درجة)، أليس كذلك؟) في الواقع ، في القواعد الأولية لحساب الزوايا هناك مجال للأخطاء ... ولهذا السبب كان علي أن أعطي درسًا: "كيف أحدد إشارات الدوال ونعطي الزوايا على دائرة مثلثية؟" في القسم 555. هناك المهام من 4 إلى 9 تم فرزها. مرتبة بشكل جيد ، مع كل المزالق. وهم هنا.)

في الدرس التالي ، سنتعامل مع الراديان الغامض والرقم "Pi". تعرف على كيفية تحويل الدرجات إلى راديان بسهولة وبشكل صحيح والعكس صحيح. وسنندهش عندما نجد هذه المعلومات الأولية على الموقع يكفي بالفعل لحل بعض ألغاز علم المثلثات غير القياسية!

إذا أعجبك هذا الموقع ...

بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

في الدرس الأخير ، نجحنا في إتقان (أو تكرار - كما يحب أي شخص) المفاهيم الأساسية لجميع علم المثلثات. هو - هي الدائرة المثلثية , زاوية على دائرة , جيب وجيب هذه الزاوية ويتقن أيضا علامات الدوال المثلثية في الأرباع . تعلمت بالتفصيل. على الأصابع ، قد يقول المرء.

لكن هذا لا يزال غير كاف. من أجل تطبيق كل هذه المفاهيم البسيطة بنجاح في الممارسة العملية ، نحتاج إلى مهارة أخرى مفيدة. وهي الصحيحة العمل مع الزوايا في علم المثلثات. بدون هذه المهارة في علم المثلثات - لا شيء. حتى في أكثر الأمثلة بدائية. لماذا ا؟ نعم ، لأن الزاوية هي التمثيل الرئيسي في كل حساب المثلثات! لا ، ليست الدوال المثلثية ، لا الجيب مع جيب التمام ، لا الظل مع ظل التمام ، أي الزاوية نفسها. لا زاوية - لا دوال مثلثية ، نعم ...

كيف تعمل مع الزوايا على شكل دائرة؟ للقيام بذلك ، من المفارقات أن نتعلم نقطتين.

1) كيفهل تحسب الزوايا على الدائرة؟

2) ماذا او ماهل يحسبون (يقاسون)؟

الجواب على السؤال الأول هو موضوع درس اليوم. سنتعامل مع السؤال الأول بالتفصيل هنا والآن. لن يتم تقديم إجابة السؤال الثاني هنا. لأنه متطور تمامًا. مثل السؤال الثاني نفسه ، إنه زلق للغاية ، نعم.) لن أخوض في التفاصيل في الوقت الحالي. هذا هو موضوع الدرس المنفصل التالي.

هل نبدأ؟

كيف تحسب الزوايا على الدائرة؟ الزوايا الإيجابية والسلبية.

أولئك الذين يقرؤون عنوان الفقرة قد يكون لديهم شعرهم بالفعل. كيف ذلك؟! زوايا سلبية؟ هل هذا ممكن حتى؟

للسلبية أعدادلقد اعتدنا بالفعل على ذلك. يمكننا تمثيلها على المحور العددي: موجب على يمين الصفر ، وسالب على يسار الصفر. نعم ، ونحن ننظر إلى الترمومتر خارج النافذة بشكل دوري. خاصة في فصل الشتاء ، في الصقيع.) والمال على الهاتف في "ناقص" (أي واجب) في بعض الأحيان تذهب بعيدا. كل شيء مألوف.

لكن ماذا عن الزوايا؟ اتضح أن الزوايا السالبة في الرياضيات يحدث أيضا!كل هذا يتوقف على كيفية حساب هذه الزاوية بالذات ... لا ، ليس على خط الأعداد ، ولكن على دائرة الأرقام! أعني ، في دائرة. الدائرة - ها هي ، نظير خط الأعداد في علم المثلثات!

لذا، كيف يتم حساب الزوايا على الدائرة؟لا يوجد شيء يمكن القيام به ، سيتعين علينا رسم هذه الدائرة بالذات أولاً.

سأرسم هذه الصورة الجميلة:

إنه مشابه جدًا للصور الموجودة في الدرس السابق. هناك محاور ، هناك دائرة ، هناك زاوية. لكن هناك أيضًا معلومات جديدة.

أضفت أيضًا أرقامًا لـ 0 درجة و 90 درجة و 180 درجة و 270 درجة و 360 درجة على المحاور. الآن هذا أكثر إثارة للاهتمام.) ما هي هذه الأرقام؟ بشكل صحيح! هذه هي قيم الزوايا المقاسة من جانبنا الثابت الذي يقع على محاور الإحداثيات.نتذكر أن الضلع الثابت للزاوية دائمًا ما يكون مرتبطًا بشدة بنصف المحور الموجب OX. وأي زاوية في علم المثلثات تقاس من هذا النصف المحوري. يجب وضع هذا الأصل الأساسي للزوايا في الاعتبار بشكل مثير للسخرية. والمحاور - تتقاطع بزوايا قائمة ، أليس كذلك؟ لذلك نضيف 90 درجة في كل ربع.

وأضاف المزيد سهم احمر. مع زائد. الأحمر هو عن قصد لجذب الأنظار. وهي عالقة في ذاكرتي جيدًا. لذلك يجب تذكر هذا بشكل موثوق.) ماذا يعني هذا السهم؟

لذلك اتضح ، إذا استدرنا بالإضافة إلى السهم(عكس اتجاه عقارب الساعة ، في سياق ترقيم الأرباع) ، ثم الزاوية سوف تعتبر إيجابية!يوضح الشكل زاوية + 45 درجة كمثال. بالمناسبة ، يرجى ملاحظة أن الزوايا المحورية 0 درجة و 90 درجة و 180 درجة و 270 درجة و 360 درجة يتم لفها أيضًا بدقة زائد! بواسطة السهم الأحمر.

الآن دعونا نلقي نظرة على صورة أخرى:

تقريبا كل شيء هو نفسه هنا. يتم ترقيم الزوايا الموجودة على المحاور فقط عكس.في اتجاه عقارب الساعة. ولديهم علامة ناقص.) السهم الأزرق. أيضا مع ناقص. هذا السهم هو اتجاه القراءة السلبية للزوايا على الدائرة. تبين لنا أننا إذا أجلنا ركننا في اتجاه عقارب الساعة، ومن بعد ستعتبر الزاوية سالبة.على سبيل المثال ، أظهرت زاوية مقدارها -45 درجة.

بالمناسبة ، يرجى ملاحظة أن ترقيم الأحياء لا يتغير أبدًا! لا يهم إذا قمنا بلف الزوايا في موجب أو ناقص. دائما بدقة عكس اتجاه عقارب الساعة.)

تذكر:

1. بداية عد الزوايا من نصف المحور الموجب. بالساعة - "ناقص" ، مقابل الساعة - "زائد".

2. دائمًا ما يكون ترقيم الأرباع عكس اتجاه عقارب الساعة ، بغض النظر عن اتجاه حساب الزوايا.

بالمناسبة ، توقيع الزوايا على المحاور 0 درجة ، 90 درجة ، 180 درجة ، 270 درجة ، 360 درجة ، في كل مرة رسم دائرة ، ليس شرطًا على الإطلاق. هذا فقط لفهم الجوهر. لكن يجب أن تكون هذه الأرقام موجودة في رأسكعند حل أي مشكلة في علم المثلثات. لماذا ا؟ نعم ، لأن هذه المعرفة الأولية تعطي إجابات للعديد من الأسئلة الأخرى في جميع علم المثلثات! السؤال الأهم هو في أي ربع تقع الزاوية التي نهتم بها؟ صدق أو لا تصدق ، الإجابة الصحيحة على هذا السؤال تحل نصيب الأسد من جميع المشكلات الأخرى في علم المثلثات. سنتعامل مع هذا الدرس المهم (توزيع الزوايا على أرباع) في نفس الدرس ، ولكن بعد ذلك بقليل.

يجب تذكر قيم الزوايا الموجودة على محاور الإحداثيات (0 درجة و 90 درجة و 180 درجة و 270 درجة و 360 درجة)! تذكر بحزم ، إلى الأتمتة. وكلاهما موجب وناقص.

لكن من هذه اللحظة تبدأ المفاجآت الأولى. وإلى جانبهم أسئلة خادعة موجهة إلي ، نعم ...) وماذا سيحدث إذا كانت الزاوية السلبية على الدائرة تطابق الإيجابي؟لقد أتضح أن نفس النقطةعلى الدائرة يمكن أن تدل على أنها زاوية موجبة ، والزاوية السالبة ؟؟؟

حق تماما! على سبيل المثال ، زاوية موجبة + 270 درجة تحتل دائرة نفس الموقف وهي الزاوية السالبة -90 درجة. أو ، على سبيل المثال ، ستأخذ زاوية موجبة + 45 درجة على دائرة نفس الموقف وهي الزاوية السالبة -315 درجة.

ننظر إلى الصورة التالية ونرى كل شيء:

وبالمثل ، فإن الزاوية الموجبة + 150 درجة ستذهب حيث الزاوية السالبة -210 درجة ، والزاوية الموجبة + 230 درجة ستنتقل إلى نفس المكان مثل الزاوية السالبة -130 درجة. وهلم جرا…

والآن ماذا يمكنني أن أفعل؟ كيف تحسب الزوايا بالضبط ، إذا كان ممكنًا بهذه الطريقة وذاك؟ كيف الحق؟

إجابه: على أي حال صحيح!لا تحظر الرياضيات أيًا من الاتجاهين لحساب الزوايا. واختيار اتجاه معين يعتمد فقط على المهمة. إذا كانت المهمة لا تذكر أي شيء بنص عادي حول علامة الزاوية (مثل "تحديد أكبر نفيركن"إلخ) ، ثم نعمل مع الزوايا الأكثر ملاءمة لنا.

بالطبع ، على سبيل المثال ، في موضوعات رائعة مثل المعادلات المثلثية وعدم المساواة ، يمكن أن يكون لاتجاه حساب الزوايا تأثير كبير على الإجابة. وفي الموضوعات ذات الصلة ، سننظر في هذه المزالق.

تذكر:

يمكن الإشارة إلى أي نقطة على الدائرة بزوايا موجبة وسالبة. أي واحد! ماذا نريد.

الآن دعونا نفكر في هذا. اكتشفنا أن الزاوية 45 درجة هي بالضبط نفس الزاوية التي قياسها -315 درجة؟ كيف عرفت عن نفس هؤلاء 315° ؟ لا يمكنك التخمين؟ نعم! من خلال دورة كاملة) بزاوية 360 درجة. لدينا زاوية 45 درجة. كم هو مفقود قبل دورة كاملة؟ اطرح 45° من 360° - هنا نحصل على 315° . ننتقل في الاتجاه السلبي - ونحصل على زاوية قياسها -315 درجة. لا يزال غير واضح؟ ثم انظر إلى الصورة أعلاه مرة أخرى.

ويجب أن يتم ذلك دائمًا عند ترجمة الزوايا الموجبة إلى زوايا سالبة (والعكس صحيح) - ارسم دائرة ، لاحظ حولزاوية معينة ، نأخذ في الاعتبار عدد الدرجات المفقودة قبل دورة كاملة ، ونلف الفرق الناتج في الاتجاه المعاكس. وهذا كل شيء.)

ما هو الشيء المثير للاهتمام في الزوايا التي تحتل نفس الموضع في الدائرة ، ما رأيك؟ وحقيقة أن مثل هذه الزوايا بالضبط نفس الشيء الجيب وجيب التمام والظل والظل! دائما!

فمثلا:

Sin45 ° = الخطيئة (-315 درجة)

Cos120 ° = cos (-240 درجة)

Tg249 ° = tg (-111 °)

Ctg333 ° = ctg (-27 درجة)

والآن هذا مهم للغاية! لاجل ماذا؟ نعم ، كل نفس!) لتبسيط التعبيرات. لتبسيط التعبيرات هو إجراء أساسي لحل ناجح أيالواجبات في الرياضيات. وعلم المثلثات كذلك.

لذلك توصلنا إلى القاعدة العامة لحساب الزوايا على الدائرة. حسنًا ، إذا ألمحنا هنا إلى المنعطفات الكاملة ، حول الأرباع ، فقد حان الوقت للالتفاف ورسم هذه الزوايا بالذات. هل نرسم؟)

دعنا نبدء ب إيجابيزوايا. سيكونون أسهل في الرسم.

ارسم زوايا في دورة واحدة (بين 0 درجة و 360 درجة).

لنرسم ، على سبيل المثال ، زاوية مقدارها 60 درجة. كل شيء بسيط هنا ، بلا زخرفة. نرسم محاور إحداثيات ، دائرة. يمكنك مباشرة باليد ، دون أي بوصلة أو مسطرة. نرسم بشكل تخطيطيج: ليس لدينا صياغة معك. ليست هناك حاجة للامتثال لـ GOST ، فلن يتم معاقبتهم.)

يمكنك (لنفسك) تحديد قيم الزوايا على المحاور والإشارة إلى السهم في الاتجاه ضد عقارب الساعة.بعد كل شيء ، سنوفر المال كميزة إضافية؟) لا يمكنك القيام بذلك ، ولكن عليك الاحتفاظ بكل شيء في رأسك.

والآن نرسم الجانب الثاني (المتحرك) من الزاوية. أي ربع؟ في الأول بالطبع! ل 60 درجة بدقة بين 0 درجة و 90 درجة. لذلك نرسم في الربع الأول. بزاوية حول 60 درجة للجانب الثابت. كيف نحسب حول 60 درجة بدون منقلة؟ بسهولة! 60 درجة ثلثي الزاوية اليمنى!نقسم عقليًا الربع الأول من الدائرة إلى ثلاثة أجزاء ، ونأخذ الثلثين لأنفسنا. ونرسم ... ما مقدار ما نصل إليه بالفعل (إذا أرفقنا منقلة وقمنا بقياسها) - 55 درجة أو 64 - لا يهم! من المهم أن لا يزال في مكان ما حوالي 60 درجة.

نحصل على صورة:

هذا كل شئ. ولم تكن هناك حاجة لأدوات. نطور عين! سيكون مفيدًا في المشكلات الهندسية.) يمكن أن يكون هذا الرسم القبيح لا غنى عنه عندما تحتاج إلى خدش دائرة وزاوية على عجل ، دون التفكير حقًا في الجمال. لكن في نفس الوقت خربش حقا، بدون أخطاء ، مع جميع المعلومات اللازمة. على سبيل المثال ، كعامل مساعد في حل المعادلات المثلثية وعدم المساواة.

لنرسم الآن زاوية ، على سبيل المثال ، 265 درجة. خمن أين قد يكون؟ حسنًا ، من الواضح أنه ليس في الربع الأول ولا حتى في الربع الثاني: إنها تنتهي عند 90 درجة و 180 درجة. يمكنك أن تعتقد أن 265 درجة هي 180 درجة بالإضافة إلى 85 درجة أخرى. وهذا يعني أنه يجب إضافة OX إلى semiaxis السالب (حيث 180 درجة) حول 85 درجة. أو ، من الأسهل ، تخمين أن 265 درجة لا تصل إلى المحور شبه السالب OY (حيث 270 درجة) لبعض درجات 5 المؤسفة. باختصار ، في الربع الثالث سيكون هناك هذه الزاوية. قريب جدًا من المحور السالب OY ، إلى 270 درجة ، لكنه لا يزال في المحور الثالث!

ألفت:

مرة أخرى ، الدقة المطلقة ليست مطلوبة هنا. دعونا في الواقع تبين أن هذه الزاوية ، على سبيل المثال ، 263 درجة. لكن السؤال الأهم (أي ربع؟)أجبنا بشكل صحيح. لماذا هذا هو السؤال الأهم؟ نعم ، لأن أي عمل بزاوية في علم المثلثات (سواء رسمنا هذه الزاوية أم لا) يبدأ بالإجابة على هذا السؤال بالذات! دائما. إذا تجاهلت هذا السؤال أو حاولت الإجابة عليه عقلياً ، فإن الأخطاء تكاد تكون حتمية ، نعم ... هل تحتاجها؟

تذكر:

دائمًا ما يبدأ أي عمل بزاوية (بما في ذلك رسم هذه الزاوية على دائرة) بتحديد الربع الذي تقع فيه هذه الزاوية.

الآن ، أتمنى أن ترسم الزوايا بشكل صحيح ، على سبيل المثال ، 182 درجة ، 88 درجة ، 280 درجة. في صحيحأرباع. في الثالث والأول والرابع ، إن وجد ...)

ينتهي الربع الرابع بزاوية 360 درجة. هذه دورة كاملة. واضح الفلفل أن هذه الزاوية تشغل نفس الموضع على الدائرة مثل 0 ° (أي النقطة المرجعية). لكن الزوايا لا تنتهي عند هذا الحد ، نعم ...

ماذا تفعل بزوايا أكبر من 360 درجة؟

"هل توجد مثل هذه الأشياء؟"- أنت تسأل. هناك كيف! يحدث ، على سبيل المثال ، بزاوية 444 درجة. وأحيانًا ، لنقل ، زاوية مقدارها 1000 درجة. هناك كل أنواع الزوايا.) فقط بصريًا ، يُنظر إلى هذه الزوايا الغريبة بشكل أكثر تعقيدًا من الزوايا المعتادة في دورة واحدة. لكن عليك أيضًا أن تكون قادرًا على رسم هذه الزوايا وحسابها ، نعم.

لرسم هذه الزوايا بشكل صحيح على دائرة ، عليك أن تفعل الشيء نفسه - اكتشف في أي ربع تقع زاوية الفائدة. هنا القدرة على تحديد الربع بدقة أكثر أهمية بكثير من الزوايا من 0 درجة إلى 360 درجة! إجراء تحديد الربع معقد بخطوة واحدة فقط. أيهما ستراه قريبًا.

إذن ، على سبيل المثال ، علينا أن نعرف في أي ربع تقع الزاوية 444 °. نبدأ في الدوران. أين؟ كإضافة بالطبع! أعطونا زاوية إيجابية! + 444 درجة. نحن نلتف ، نلتف ... نلتف مرة واحدة - وصلنا إلى 360 درجة.

كم تبقى حتى 444 درجة؟نحسب الذيل المتبقي:

444 درجة -360 درجة = 84 درجة.

لذا فإن 444 درجة هي دورة كاملة واحدة (360 درجة) بالإضافة إلى 84 درجة أخرى. من الواضح أن هذا هو الربع الأول. لذلك ، تقع الزاوية 444 درجة في الربع الأول.نصف تام.

يبقى الآن لتصوير هذه الزاوية. كيف؟ بسيط جدا! نقوم بدورة كاملة على طول السهم الأحمر (الزائد) ونضيف 84 درجة أخرى.

مثله:

هنا لم أفسد الرسم - أرباع اللافتات ، ارسم الزوايا على المحاور. كان ينبغي أن يكون كل هذا الخير في رأسي لفترة طويلة).

لكنني أوضحت باستخدام "حلزون" أو لولب كيف تتشكل الزاوية البالغة 444 درجة بالضبط من زاويتين 360 درجة و 84 درجة. الخط الأحمر المنقط هو دورة كاملة. التي 84 درجة بالإضافة إلى ذلك مشدود (خط صلب). بالمناسبة ، يرجى ملاحظة أنه إذا تم تجاهل هذا المنعطف الكامل جدًا ، فلن يؤثر ذلك على موضع ركننا بأي شكل من الأشكال!

لكن هذا مهم! وضع الزاوية 444 درجة يتزامن تمامابزاوية 84 درجة. لا توجد معجزات ، هذا يحدث فقط.)

هل من الممكن تجاهل ليس دورة واحدة كاملة ، ولكن اثنين أو أكثر؟

لما لا؟ إذا كانت الزاوية ضخمة ، فهذا ليس ممكنًا فحسب ، بل ضروري أيضًا! الزاوية لن تتغير! بتعبير أدق ، الزاوية نفسها ستتغير بالطبع من حيث الحجم. لكن موقفه في الدائرة - مستحيل!) لهذا السبب هم ممتلئالزخم ، بغض النظر عن عدد النسخ التي تضيفها ، بغض النظر عن مقدار ما تطرحه ، ستظل تصل إلى نفس النقطة. حق جميل؟

تذكر:

إذا أضفنا (طرح) إلى الزاوية أي كاملعدد الثورات الكاملة ، لن يتغير موضع الزاوية الأصلية على الدائرة!

فمثلا:

في أي ربع تقع الزاوية 1000 درجة؟

لا مشكلة! نحن نأخذ في الاعتبار عدد الثورات الكاملة التي تقع في ألف درجة. إحدى الثورات 360 درجة ، والثانية 720 درجة بالفعل ، والثالثة هي 1080 درجة ... توقف! إفلاس! لذلك ، بزاوية 1000 درجة يجلس اثنيندوران كامل. تخلص منها من 1000 درجة واحسب الباقي:

1000 درجة - 2 360 درجة = 280 درجة

إذن موضع الزاوية 1000 درجة على الدائرة نفس، وهي نفس زاوية 280 درجة. مع من هو بالفعل أكثر متعة للعمل.) وأين تقع هذه الزاوية؟ يقع في الربع الرابع: 270 درجة (سالب نصف المحور OY) بالإضافة إلى عشرة أخرى.

ألفت:

هنا لم أعد أقوم برسم منعطفين كاملين مع دوامة منقط: اتضح أنها طويلة بشكل مؤلم. فقط رسم بقية ذيل الحصان من الصفر، التخلص الكليتحول اضافية. يبدو الأمر كما لو أنهم لم يكونوا موجودين حتى).

مرة اخرى. بطريقة جيدة ، تختلف الزوايا 444 درجة و 84 درجة ، وكذلك 1000 درجة و 280 درجة. ولكن بالنسبة للجيب وجيب التمام والظل والظل ، فهذه الزوايا هي نفس الشيء!

كما ترى ، من أجل العمل بزوايا أكبر من 360 درجة ، تحتاج إلى تحديد كم عدد الثورات الكاملة الموجودة في زاوية كبيرة معينة. هذه هي الخطوة الإضافية التي يجب القيام بها مسبقًا عند العمل بهذه الزوايا. لا شيء معقد ، أليس كذلك؟

بالطبع ، يعد إسقاط الأدوار الكاملة تجربة ممتعة.) ولكن في الممارسة العملية ، عند العمل بزوايا مروعة تمامًا ، تحدث صعوبات أيضًا.

فمثلا:

في أي ربع تسقط الزاوية 31240 °؟

وماذا سنضيف 360 درجة عدة مرات؟ من الممكن ، إذا لم تحترق بشكل خاص. لكن لا يمكننا أن نضيف فقط.) يمكننا أيضًا أن نقسم!

لذلك دعونا نقسم الزاوية الضخمة إلى 360 درجة!

من خلال هذا الإجراء ، نكتشف فقط عدد الثورات الكاملة المخفية في درجة 31240. يمكنك مشاركة ركن ، يمكنك (الهمس في أذنك :)) على آلة حاسبة.)

نحصل على 31240: 360 = 86.777777….

حقيقة أن الرقم تبين أنه كسري ليس مخيفًا. نحن فقط كاملأنا مهتم في التحولات! لذلك ، لا داعي للتقسيم حتى النهاية).

لذلك ، في ركننا الأشعث يوجد ما يصل إلى 86 دورة كاملة. رعب…

بالدرجات سيكون86360 درجة = 30960 درجة

مثله. هذا هو عدد الدرجات التي يمكن رميها دون ألم من زاوية معينة تبلغ 31240 درجة. بقايا:

31240 درجة - 30960 درجة = 280 درجة

كل شىء! موقف زاوية 31240 درجة محددة بالكامل! في نفس المكان مثل 280 درجة. أولئك. الربع الرابع.) يبدو أننا قد صورنا هذه الزاوية بالفعل من قبل؟ متى تم رسم الزاوية 1000 درجة؟) هناك أيضًا ذهبنا 280 درجة. صدفة.)

لذا فإن مغزى القصة هو:

إذا حصلنا على زاوية كبيرة رهيبة ، فعندئذٍ:

1. حدد عدد الثورات الكاملة الموجودة في هذه الزاوية. للقيام بذلك ، قسّم الزاوية الأصلية على 360 وتجاهل الجزء الكسري.

2. نحن نأخذ في الاعتبار عدد الدرجات في عدد الثورات المتلقاة. للقيام بذلك ، اضرب عدد الثورات في 360.

3. اطرح هذه الدورات من الزاوية الأصلية واعمل مع الزاوية المعتادة في النطاق من 0 درجة إلى 360 درجة.

كيف تعمل مع الزوايا السلبية؟

لا مشكلة! كما هو الحال مع الإيجابية ، مع اختلاف واحد فقط. ماذا؟ نعم! تحتاج إلى تحويل الزوايا الجانب المعاكس، ناقص! في اتجاه عقارب الساعة.)

لنرسم ، على سبيل المثال ، زاوية مقدارها -200 درجة. في البداية ، كل شيء كالمعتاد بالنسبة للزوايا الموجبة - محاور ، دائرة. لنرسم سهمًا أزرقًا بعلامة ناقص ونوقع الزوايا على المحاور بطريقة مختلفة. بالطبع ، يجب أيضًا احتسابهم في الاتجاه السلبي. ستكون كل هذه الزوايا متشابهة ، وتتخطى 90 درجة ، ولكنها تحسب في الاتجاه المعاكس ، ناقص: 0 درجة ، -90 درجة ، -180 درجة ، -270 درجة ، -360 درجة.

ستبدو الصورة كما يلي:

عند العمل بزوايا سلبية ، غالبًا ما يكون هناك شعور بالحيرة الطفيفة. كيف ذلك؟! اتضح أن نفس المحور ، على سبيل المثال ، + 90 درجة و -270 درجة؟ كلا ، هناك خطأ ما هنا ...

نعم ، كل شيء نظيف وشفاف! بعد كل شيء ، نعلم بالفعل أنه يمكن تسمية أي نقطة على الدائرة بزاوية موجبة وأخرى سالبة! إطلاقا أي. بما في ذلك بعض محاور الإحداثيات. في حالتنا ، نحن بحاجة نفيحساب الزوايا. لذلك نحن نقطع كل الزوايا إلى سالب).

الآن رسم الزاوية اليمنى -200 درجة ليس مشكلة. هذا هو -180 درجة و ناقص 20 درجة أخرى. نبدأ في الالتفاف من صفر إلى سالب: نطير خلال الربع الرابع ، والثالث أيضًا ، ونصل إلى -180 درجة. أين ريح العشرين المتبقية؟ نعم ، كل شيء هناك! بالساعة.) الزاوية الكلية -200 درجة تقع في ثانياربع.

أنت الآن تفهم مدى أهمية تذكر الزوايا على محاور الإحداثيات؟

يجب تذكر الزوايا على محاور الإحداثيات (0 درجة ، 90 درجة ، 180 درجة ، 270 درجة ، 360 درجة) بدقة من أجل تحديد الربع الذي تقع فيه الزاوية بدقة!

وإذا كانت الزاوية كبيرة ، مع عدة دورات كاملة؟ كل شيء على مايرام! ما الفارق الذي يحدثه عند تحويل هذه السرعات الكاملة - زائد أو ناقص؟ النقطة على الدائرة لن تغير موقعها!

فمثلا:

في أي ربع تقع الزاوية -2000 °؟

كل نفس! بادئ ذي بدء ، ننظر في عدد الثورات الكاملة الموجودة في هذه الزاوية الشريرة. حتى لا تفسد اللافتات ، دعنا نترك الطرح وحده في الوقت الحالي ونقسم 2000 على 360. نحصل على 5 مع الذيل. الذيل لا يزعجنا بعد ، وسوف نحسبه بعد ذلك بقليل عندما نرسم الزاوية. نحن نؤمن خمسةالثورات الكاملة بالدرجات:

5360 درجة = 1800 درجة

فووت. هذا هو عدد الدرجات الإضافية التي يمكنك التخلص منها بأمان من ركننا دون الإضرار بالصحة.

نحسب الذيل المتبقي:

2000 درجة - 1800 درجة = 200 درجة

والآن يمكنك أيضًا تذكر الطرح.) أين سنلف الذيل 200 درجة؟ الجانب السلبي بالطبع! لدينا زاوية سالبة.)

2000 درجة = -1800 درجة - 200 درجة

لذلك نرسم زاوية مقدارها -200 درجة ، فقط بدون دورات إضافية. لقد رسمتها للتو ، ولكن ، فليكن ، سأرسمها مرة أخرى. باليد.

الفلفل واضح أن الزاوية المعطاة -2000 درجة ، وكذلك -200 درجة ، تقع فيها الربع الثاني.

لذلك ، نلف أنفسنا في دائرة ... آسف ... على شارب:

إذا تم إعطاء زاوية سالبة كبيرة جدًا ، فسيكون الجزء الأول من العمل بها (إيجاد عدد الدورات الكاملة والتخلص منها) هو نفسه عند العمل بزاوية موجبة. لا تلعب علامة الطرح أي دور في هذه المرحلة من الحل. تؤخذ العلامة في الاعتبار فقط في النهاية ، عند العمل بالزاوية المتبقية بعد إزالة المنعطفات الكاملة.

كما ترى ، فإن رسم زوايا سلبية على دائرة ليس أكثر صعوبة من رسم زوايا إيجابية.

كل شيء هو نفسه ، فقط في الاتجاه الآخر! كل ساعة!

والآن - الأكثر إثارة للاهتمام! لقد غطينا الزوايا الموجبة ، والزوايا السالبة ، والزوايا الكبيرة ، والزوايا الصغيرة - النطاق الكامل. اكتشفنا أيضًا أنه يمكن تسمية أي نقطة على الدائرة بزاوية موجبة وسالبة ، وتجاهلنا المنعطفات الكاملة ... ألا توجد أفكار؟ يجب تأجيلها ...

نعم! مهما كانت النقطة التي تلتقطها في الدائرة ، فستتوافق معها زوايا لا نهاية لها! كبيرة وليست كذلك ، إيجابية وسلبية - الجميع! وسيكون الفرق بين هذه الزوايا كامل عدد المنعطفات الكاملة. دائما! إذن الدائرة المثلثية مرتبة ، نعم ...) لهذا السبب يعكسالمهمة هي إيجاد الزاوية المعروفة بالجيب / جيب التمام / الظل / ظل التمام - تم حلها غامض. وأكثر صعوبة. على عكس المشكلة المباشرة - للعثور على المجموعة الكاملة من وظائفها المثلثية لزاوية معينة. وفي مواضيع أكثر جدية في علم المثلثات ( أقواس، حساب المثاثات المعادلاتو عدم المساواة ) سنواجه هذه الشريحة باستمرار. التعود.)

1. في أي ربع تقع الزاوية -345 درجة؟

2. في أي ربع تسقط الزاوية 666 °؟

3. في أي ربع تقع الزاوية 5555 درجة؟

4. في أي ربع تقع الزاوية -3700 درجة؟

5. ما هي العلامةكوس999 درجة؟

6. ما هي العلامةctg999 درجة؟

وهل نجحت؟ رائع! هناك مشكلة؟ ثُم أنت.

الإجابات:

1. 1

2. 4

3. 2

4. 3

5. "+"

6. "-"

هذه المرة ، يتم تقديم الإجابات بالترتيب ، خلافًا للتقاليد. لأن هناك أربعة أرباع فقط ، وهناك علامتان فقط. لن تهرب ...)

في الدرس التالي ، سنتحدث عن الراديان ، وعن الرقم الغامض "pi" ، وسوف نتعلم كيفية تحويل الراديان بسهولة وببساطة إلى درجات والعكس صحيح. وسوف نتفاجأ عندما نجد أنه حتى هذه المعرفة والمهارات البسيطة ستكون كافية بالفعل بالنسبة لنا لحل العديد من المشكلات غير التافهة في علم المثلثات بنجاح!

خصوصيتك مهمة بالنسبة لنا. لهذا السبب ، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى قراءة سياسة الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كان لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد أو الاتصال بشخص معين.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عندما تقدم طلبًا على الموقع ، فقد نجمع معلومات مختلفة ، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• تسمح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها بالاتصال بك وإبلاغك بالعروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر ، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إخطارات واتصالات مهمة.
• يجوز لنا أيضًا استخدام المعلومات الشخصية لأغراض داخلية ، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا دخلت في سحب على جائزة أو مسابقة أو حافز مماثل ، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة هذه البرامج.

الإفصاح للغير

نحن لا نكشف عن المعلومات التي نتلقاها منك لأطراف ثالثة.

استثناءات:

• في حالة الضرورة - وفقًا للقانون والنظام القضائي و / أو الإجراءات القانونية و / أو بناءً على طلبات عامة أو طلبات من هيئات الدولة في أراضي الاتحاد الروسي - الكشف عن معلوماتك الشخصية. قد نكشف أيضًا عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأمن أو إنفاذ القانون أو لأسباب أخرى تتعلق بالمصلحة العامة.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع ، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الجهة الأخرى التي تخلف الطرف الثالث.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام ، وكذلك من الوصول غير المصرح به والكشف والتعديل والتدمير.

الحفاظ على خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة ، فإننا ننقل ممارسات الخصوصية والأمان لموظفينا ونطبق ممارسات الخصوصية بصرامة.

زوج من الأشعة المختلفة Oa و Ob ، يخرجان من نفس النقطة O ، يسمى الزاوية ويشار إليه بالرمز (أ ، ب). تسمى النقطة O رأس الزاوية ، والأشعة Oa u Ob هي جوانب الزاوية. إذا كانت A و B نقطتين من الأشعة Oa و Ob ، فإن (أ ، ب) يُشار إليها أيضًا بالرمز AOB (الشكل 1.1).

تسمى الزاوية (أ ، ب) غير مطوية إذا كانت الأشعة Oa و Ob ، الخارجة من نقطة واحدة ، تقع على نفس الخط المستقيم ولا تتطابق (أي أنها موجهة بشكل معاكس).

الشكل 1.1

تعتبر الزاويتان متساويتين إذا أمكن تركيب إحدى الزاويتين على الأخرى بحيث تتطابق زاويتان. منصف الزاوية هو شعاع يبدأ من رأس الزاوية ويقسم الزاوية إلى زاويتين متساويتين.

يقولون أن نظام التشغيل الشعاعي المنبثق من قمة الزاوية AOB يقع بين جانبيها إذا تقاطع مع المقطع AB (الشكل 1.2). يُقال أن النقطة C تقع بين جانبي الزاوية إذا كان من الممكن رسم شعاع من خلال هذه النقطة ، بدءًا من قمة الزاوية ، ثم تقع بين جانبي الزاوية. تشكل مجموعة جميع نقاط المستوى الواقعة بين جانبي الزاوية المنطقة الداخلية للزاوية (الشكل 1.3). تشكل مجموعة النقاط في المستوى التي لا تنتمي إلى المنطقة الداخلية وجوانب الزاوية المنطقة الخارجية للزاوية.

تعتبر الزاوية (أ ، ب) أكبر من الزاوية (ج ، د) إذا كان من الممكن تركيب الزاوية (ج ، د) على الزاوية (أ ، ب) بحيث بعد الجمع بين زوج واحد من الجوانب ، يكون الجانب الثاني من الزاوية (ج ، د) تقع بين جانبي الزاوية (أ ، ب). على التين. 1.4 AOB أكبر من AOC.

دع الشعاع ج يقع بين جانبي الزاوية (أ ، ب) (الشكل 1.5). تشكل أزواج الأشعة a و c و c و b زاويتين. يقال إن الزاوية (أ ، ب) هي مجموع زاويتين (أ ، ج) و (ج ، ب) ، وكتبوا: (أ ، ب) = (أ ، ج) + (ج ، ب).

الشكل 1.3

عادة في الهندسة يتعاملون مع زوايا أصغر من الزوايا الموسعة. ومع ذلك ، نتيجة لجمع زاويتين ، يمكنك الحصول على زاوية أكبر من الزاوية الموسعة. في هذه الحالة ، يتم تمييز ذلك الجزء من المستوى ، والذي يعتبر المنطقة الداخلية للزاوية ، بقوس. على التين. 1.6 الجزء الداخلي للزاوية AOB ، الذي تم الحصول عليه نتيجة إضافة الزاويتين AOC و COB والجزء الأكبر الموسع ، يتميز بقوس.

الشكل 1.5

هناك أيضًا زوايا أكبر من 360 درجة. تتشكل هذه الزوايا ، على سبيل المثال ، من خلال دوران مروحة الطائرة ، ودوران الأسطوانة التي يتم لف الحبل عليها ، وما إلى ذلك.

في المستقبل ، عند النظر في كل زاوية ، سنتفق على اعتبار أحد ضلعي هذه الزاوية ضلعًا أوليًا ، والآخر ضلعًا نهائيًا.

يمكن الحصول على أي زاوية ، مثل الزاوية AOB (الشكل 1.7) ، نتيجة دوران الحزمة المتحركة حول الرأس O من الجانب الأولي للزاوية (OA) إلى جانبها الأخير (OB). سنقوم بقياس هذه الزاوية ، مع الأخذ في الاعتبار العدد الإجمالي للثورات التي تتم حول النقطة O ، وكذلك الاتجاه الذي حدث فيه الدوران.

الزوايا الإيجابية والسلبية.

دعونا نحصل على زاوية شكلتها الأشعة OA و OB (الشكل 1.8). يمكن للحزمة المتحركة ، التي تدور حول النقطة O من موضعها الأولي (OA) ، أن تأخذ الموضع النهائي (OB) مع اتجاهين مختلفين للدوران. هذه الاتجاهات موضحة في الشكل 1.8 بواسطة الأسهم المقابلة.

الشكل 1.7

تمامًا كما هو الحال في محور الأرقام ، يُعتبر أحد الاتجاهين موجبًا والآخر سلبيًا ، كما يتم تمييز اتجاهين مختلفين لدوران الحزمة المتحركة. اتفقنا على النظر في الاتجاه الإيجابي للدوران وهو الاتجاه المعاكس لاتجاه دوران عقارب الساعة. يعتبر اتجاه الدوران الذي يتزامن مع اتجاه دوران عقرب الساعة سالبًا.

وفقًا لهذه التعريفات ، يتم أيضًا تقسيم الزوايا إلى موجبة وسالبة.

الزاوية الموجبة هي الزاوية الناتجة عن دوران الشعاع المتحرك حول نقطة البداية في الاتجاه الموجب.

يوضح الشكل 1.9 بعض الزوايا الموجبة. (يظهر اتجاه دوران الحزمة المتحركة بواسطة الأسهم في الرسومات.)

الزاوية السالبة هي الزاوية المتكونة من دوران الشعاع المتحرك حول نقطة البداية في الاتجاه السلبي.

يوضح الشكل 1.10 بعض الزوايا السالبة. (يظهر اتجاه دوران الحزمة المتحركة بواسطة الأسهم في الرسومات.)

ولكن يمكن أن تشكل حزمتان متطابقتان أيضًا زاويتين + 360 درجة ن و -360 درجة ن (ن = 0،1،2،3 ، ...). دعونا نشير بواسطة b إلى أصغر زاوية دوران غير سلبية ممكنة والتي تترجم الشعاع OA إلى الموضع OB. إذا أحدثت الحزمة OB الآن ثورة كاملة إضافية حول النقطة O ، فسنحصل على قيمة زاوية مختلفة ، وهي: ABO \ u003d b + 360 °.

قياس الزوايا بأقواس دائرية. وحدات القوس والزاوية

في بعض الحالات يكون من المناسب قياس الزوايا باستخدام أقواس دائرية. تعتمد إمكانية مثل هذا القياس على اقتراح معروف جيداً لقياس المسطحات والذي في دائرة واحدة (أو في دوائر متساوية) تكون الزوايا المركزية والأقواس المقابلة لها متناسبة بشكل مباشر.

دع بعض الأقواس لدائرة معينة تؤخذ كوحدة قياس الأقواس. ستؤخذ الزاوية المركزية المقابلة لهذا القوس كوحدة قياس الزوايا. في ظل هذه الحالة ، سيحتوي أي قوس دائري والزاوية المركزية المقابلة لهذا القوس على نفس عدد الوحدات. لذلك ، من خلال قياس أقواس الدائرة ، من الممكن تحديد قيمة الزوايا المركزية المقابلة لهذه الأقواس.

ضع في اعتبارك النظامين الأكثر شيوعًا لقياس الأقواس والزوايا.

قياس درجة الزوايا

عند قياس الزوايا بالدرجات ، تُؤخذ الوحدة الأساسية لقياس الزوايا (الزاوية المرجعية التي تُقارن بها الزوايا المختلفة) كزاوية درجة واحدة (يُشار إليها بـ 1؟). الزاوية التي تبلغ درجة واحدة هي زاوية تساوي 1/180 من الزاوية المستقيمة. الزاوية التي تساوي 1/60 من الزاوية في 1 ° هي زاوية دقيقة واحدة (يُشار إليها بـ 1 "). الزاوية التي تساوي 1/60 من الزاوية في الدقيقة الواحدة هي زاوية ثانية واحدة (يُشار إليها بـ 1").

قياس الزوايا الراديان

إلى جانب قياس درجة الزوايا في الهندسة وعلم المثلثات ، يتم استخدام مقياس آخر للزوايا ، يسمى الراديان. ضع في اعتبارك دائرة نصف قطرها R مع مركز O. ارسم نصف قطر O A و OB بحيث يكون طول القوس AB مساويًا لنصف قطر الدائرة (الشكل 1.12). ستكون الزاوية المركزية الناتجة AOB زاوية راديان واحد. تؤخذ الزاوية 1 راديان كوحدة قياس لقياس الراديان للزوايا. عند قياس الزوايا بالتقدير الدائري ، فإن الزاوية المطورة تساوي p راديان.

ترتبط الدرجة والراديان في قياس الزوايا بالمساواة:

1 راديان \ u003d 180؟ / p57 ° 17 "45" ؛ 1؟ \ u003d ص / 180 راديان 0.017453 راديان ؛

1 "= p / 180 * 60 راديان 0.000291 راديان ؛

1 "" = p / 180 * 60 * 60 راديان 0.000005 راديان.

يسمى قياس الدرجة (أو الراديان) أيضًا بحجم الزاوية. أحيانًا يتم الإشارة إلى قيمة الزاوية AOB /

تصنيف الزاوية

الزاوية التي تساوي 90 درجة أو قياس نصف قطرها p / 2 تسمى الزاوية اليمنى ؛ غالبًا ما يُشار إليه بالحرف d. الزاوية الأقل من 90 درجة تسمى الزاوية الحادة ؛ الزاوية الأكبر من 90 درجة ولكن أقل من 180 درجة تسمى الزاوية المنفرجة.

زاويتان تشتركان في نفس الجانب ويصل مجموعهما إلى 180 درجة تسمى زاويتان متجاورتان. الزاويتان اللتان تشتركان في نفس الجانب ويصل مجموعهما إلى 90 درجة تسمى الزوايا التكميلية.